Операторы композиции в пространствах Соболева на группе Карно тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Евсеев Никита Александрович

• Евсеев Никита Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Евсеев Никита Александрович

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Группа Карно

1.1.1 Метрика Карно - Каратеодори

1.1.2 Мера семейства кривых

1.2 Пространства Соболева

1.2.1 Весовые пространства Соболева

1.3 Дальнейшие свойства метрики Карно - Каратеодори

1.4 Аппроксимация гладкими функциями

1.5 Неравенства Пуанкаре и области Джона

1.6 Разложение области на компакты

1.7 Функция множеств

1.8 Емкость

1.8.1 Емкость в пространстве Ь], р(И) и ее свойства

1.8.2 Емкость в пространстве потенциалов

1.8.3 Обобщенная емкость Тейхмюллера

2 Операторы композиции в весовых пространствах Соболева

2.1 Свойства отображения <р

2.1.1 Объемная производная

2.1.2 Аппроксимативная дифференцируемость (р

2.1.3 Кусочная абсолютная непрерывность на линиях

2.2 Необходимые и достаточные условия ограниченности оператора композиции

3 Изоморфизмы пространств Соболева на группах Карно и метрические свойства отображений

3.1 Оператор композиции и класс 1Ь})

65

3.2 Квазиизометрические отображения и оператор композиции

3.2.1 Случай р > V

3.2.2 Случай р<и

3.2.3 Доказательство теоремы

3.3 Квазиконформные отображения и оператор композиции

3.3.1 Пространство р

3.3.2 Свойства отображения (р

3.3.3 Доказательство теоремы

3.3.4 Устранимые множества для квазиконформных отображений

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Введение

Настоящая работа посвящена изучению операторов композиции в пространствах Соболева на группах Карно. Напомним, что оператор композиции определяется отображением р : И ^ И' следующим образом: <р*(/) = $ о для любой функции f : И' ^ К. Для пространств Соболева мы изучаем оператор композиции следующего вида

: Ь^') П С^(Б') ^ Ь\(Б), р*(/) = f о у, f е Ь^') П С™(Б').

Распространение на все пространство Ьр(И') исследуется отдельно.

Решаются следующие две задачи. 1) Описание операторов композиции весовых пространств Соболева. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых измеримое отображение индуцирует ограниченный оператор в весовых пространствах Соболева. В отличие от предыдущих работ по данной теме, мы отказываемся от каких-либо априорных предположений о регулярности отображения.

2) Описание изоморфизмов пространств Соболева, порожденных измеримыми отображениями. Доказано, что такое отображение можно переопределить на множестве меры нуль так, что оно будет либо квазиконформным, когда показатель суммируемости совпадает с хаусдорфовой размерностью группы, либо квазиизометрическим в противном случае.

Обзор темы диссертационного исследования

Изучение операторов композиции в пространствах Соболева восходит к работе С. Л. Соболева 1941 г. [1], где решается задача об описании группы преобразований, сохраняющих некоторый класс функций. Теорему из [1] для классов Соболева с первыми обобщенными производными можно сформулировать следующим образом (см. [2]). Пространство Соболева Ь1 сохраняется при преобразованиях группы 3, состоящей из таких диффеоморфизмов

р € С1, для которых выполняются условия

\Dp\ix) < Ь и 0 <а <\,1 (х,р)\ (1)

для всех х. Заметим, что условия (1) эквивалентны определению квазиизометрического отображения. В конце [1] С. Л. Соболев высказывает предположение «Весьма вероятно, что группа & есть группа всех преобразований, сохраняющих ¿р». В 1961 г. В. Г. Мазья [3] доказывает частичную справедливость высказанного С. Л. Соболевым предположения: В категории С1 -диффеоморфизмов только квазиизометрии (квазиконформные отображения) сохраняют пространство Соболева Ь^ при р отличным от (равным) размерности пространства. Из работы Ф. Геринга 1971 г. [4] можно вывести, что сформулированный результат распространяется и на категорию гомеоморфизмов: Гомеоморфизм <р : И ^ И', И, И' С Кга, п > 2, индуцирует изоморфизм р* : Ьр(И') ^ ^(Б) пространств Соболева, тогда и только тогда, когда он квазиизометричен при р = п (квазиконформен при р = п ).

В 1968 году на Первом донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений Ю. Г. Решетняком был поставлен вопрос: охарактеризовать все изоморфизмы р* пространств Ь^, порожденные квазиконформными гомеоморфизмами р, (см. также [5]). В 1975 г. С. К. Водопьянов и В. М. Гольдштейн [6] установили следующее утверждение.

Теорема ( [6]). Пусть С, С С Ега и С — ограниченная область. Для всякого структурного изоморфизма р* : Ь1п(С) ^ Ь1п(С) существует единственный квазиконформный гомеоморфизм р : С ^ Ега, удовлетворяющий условиям:

1) область <р(С) (1,п)-эквивалентна С;

2) для всякой функции f € Ь]1(С1) (р*£)(ж) = f (р(х)) почти всюду.

Далее, в 1976 г. был исследован случай р > и.

Теорема ( [7]). Пусть р* : Ьр(&) ^ Ьр(С), р > и, — структурный изоморфизм, переводящий единицу в единицу. Тогда существует единственное квазиизометрическое отображение р : С ^ Ега такое, что )(ж) = f (р(х)) для п. в. х € С для всех f € Ьр(&) и области С и <р(С) (1;р)-эквивалентны.

Обратно, любое квазиизометрическое отображение р : С ^ Ега, для которого области С и <р(С) (1;р)-эквивалентны, порождает структурный изоморфизм р* : Ь^С) ^ ^(С) по правилу )(ж) = f (р(х)) для п. в. х € С и для всех функций f € Ь\(С).

В 1984 г. В. М. Гольдштейн и А. С. Романов [8] изучили случай, когда показатель суммируемости п — 1 < р < п. В работе [9] 2003 года С. К. Водопьянов новым методом установил аналогичный результат при 1 < р < то, р = п:

Теорема ([9]). Отображение : D ^ D' индуцирует изоморфизм <р* : W^ (G') ^ W^ (G), 1 < р < то, р = п тогда и только тогда, когда р совпадает п. в. с некоторой квазиизомет-рией Ф : G ^ Rra, для которой области Ф(С) и G' (1;р)-эквивалентны.

В [2] приведена подробная история и библиография по этому вопросу.

Здесь стоит отметить, что в работах [6,7] a priori не предполагается существование какого-либо отображения р, индуцирующего оператор ц>*. Это обстоятельство свидетельствует о том, что изначальная формулировка задач в работах [6,7] была мотивированна теоремой Банаха - Стоуна и её последующими модификациями: Пусть Н : С(S) ^ С(Т) — изоморфизм, тогда существует гомеоморфизм h : Т ^ S такой, что

(Hf )(t) = f (h(t)), t e T, f e С(S).

Изоморфность оператора H : С(S) ^ С(Т) означает, что на С(S) и С(Т) задана некоторая структура, которую и сохраняет оператор Н. Оригинальная теорема для компактных метрических пространств была получена С. Банахом в 1932 году. Затем, в 1937 г. М. Стоун распространил эту теорему на компактные хаусдорфовы пространства. Близкие результаты имеются у С. Эйленберга (1942 г.), Р. Аренса и Д. Келли (1947 г.) и Э. Хьюита (1950 г.). И. М. Гельфанд и А. Н. Колмогоров (1939 г.) доказали, что кольцо С(S) определяет S. Также М. Стоун (1937 г.) показал, что С(S) как структурно упорядоченная группа определяет S. Более полное изложение данного вопроса можно найти в [10,11].

Затем, в 1960 г. и 1971 г. М. Накаи [12] и Л. Льюис [13] установили, что изоморфность алгебр Ройдена равносильна квазиконформной эквивалентности областей определения. Напомним, что алгеброй Ройдена называется алгебра ограниченных непрерывных функций, имеющих обобщенные производные суммируемые в степени п. Для восстановления гомеоморфизма используется тот же метод, что и для непрерывных функций. Основную сложность представляет доказательство квазиконформности полученного гомеоморфизма.

Несмотря на схожую форму с теоремами типа Банаха - Стоуна, доказательства в [6,7] базировались на принципиально других рассуждениях (в частности, в силу того, что функции из Lp(G) не обязаны быть непрерывными, восстановление гомеоморфизма становится значительно более трудной задачей).

В рамках найденного в [6] подхода возникла следующая задача: какие метрические и аналитические свойства имеет измеримое отображение р, индуцирующее изоморфизм р* по правилу <р*(/) = / о р, f € Ь1п. Варьируя функциональное пространство, мы каждый раз приходим к новой задаче: пространства Соболева ШР^, р > п, рассмотрены в работе [7], однородные пространства Бесова &Р(Ега), п > 1, 1р = п, — в [14] при р = п +1 ив [15] при р > п + 1, пространства Соболева ШРр,, п — 1 < р < п, — в [8], пространства риссовых и бесселевых потенциалов — в [16], трехиндексные шкалы пространств Никольского — Бесова и Лизоркина — Трибеля (и их анизотропные аналоги) — в [17], пространства Соболева Шр на областях многомерных евклидовых областей, 1 < р < то, р = п, — в [9] (новое сравнительно с работами [7,16] доказательство). В [18] к задаче замены переменной в пространствах Соболева применена теория мультипликаторов.

Вывод работ [6-9,14-18] состоит в том, что изоморфность оператора р* влечет в зависимости от соотношения между показателями гладкости, суммируемости и размерностью пространства свойство отображения быть квазиконформным или квазиизометрическим в метрике области определения, адекватной геометрии функционального пространства.

Аналитические и метрические свойства гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченные операторы пространств Соболева Ь^, изучались в [3,4,19-23]. В [19,20] получено аналитическое описание таких гомеоморфизмов без каких-либо априорных предположений: гомеоморфизм р : Б ^ И' между областями Б, Б' С Ега, п > 2 индуцирует ограниченный оператор р* : Ь^И') ^ Ь^(И), 1 < р < то, по правилу ) = f о тогда и только тогда, когда отображение р принадлежит классу \ос(0) и \Ор\р(х) < К\3(х,ф)\ почти всюду в И. При р = п этот класс отображений совпадает с классом квазиконформных отображений. При р = 1 такие отображения названы В. Г. Мазьей субареальными и применены к разрешимости задачи Неймана (см. [21]). Квазиконформное отображение может быть определено через метрические термины как гомеоморфизм, обладающий ограниченным искажением ( [24-26]). Аналог метрического определения для гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор р* : Ьр(И') ^ ^(И) при п — 1 < р < то и р = п, получен в [27]. В работах [2,28,29] изучался класс гомеоморфизмов, индуцирующих ограниченный оператор р* : Ьр(И') ^ Ь^(И) при 1 < д < р < то. Основы теории (р, д)-квазиконформных гомеоморфизмов на группах Карно, являющихся естественным обобщением квазиконформных отображений, заложены в [29].

Работа [30] посвящена изучению измеримых отображений областей евклидова пространства, индуцирующих ограниченный оператор р* : Ьр(И') ^ Ь1Я(И) при 1 < д < р < то. В [31] решается аналогичная задача на группе Карно (в предположении, что отображение р

принадлежит классу ACL). В работах [28-31] естественно возникает квазиаддитивная функция множеств, ассоциированная с оператором композиции (в [31] выводятся необходимые свойства квазиаддитивной функции множеств).

В [32] понятие оператора композиции обобщается на пространство дифференциальных Lp-форм на римановых многообразиях. Исследуется ограниченный оператор переноса f * : Lp(M', Лк) ^ LP(M, Лк), порожденный аппроксимативно дифференцируемым отображением f: M ^ M'. В качестве следствия, в частности, получено, что гомеоморфизм класса ACL(M), для которого оператор переноса дифференциальных форм с нормой в £р является изоморфизмом, неизбежно будет либо квазиконформным, либо квазиизометричным.

Отображения, порождающие ограниченный оператор композиции в весовых пространствах Соболева, полностью описаны в [33] для случая евклидова пространства. Таковыми являются отображения, имеющее конечное искажение и суммируемую в некоторой степени весовую функцию искажения. На группе Карно аналогичное описание получено в [34] при условии, что отображение р — гомеоморфизм.

Свойства ограниченного оператора композиции на пространствах Бесова кроме работы [15] изучались также в [35] и [36]. Квазиконформная эквивалентность классов Лизор-кина — Трибеля исследована в [37, 38]. В [39] исследуются гомеоморфизмы, порождающие оператор композиции пространств Соболева — Лоренца. В [40] изучаются свойства ^-квазиконформных отображений, порождающих операторы композиции в пространствах Соболева — Орлича. В работе [41] близкой по содержанию к [28] рассматриваются гомеоморфизмы с конечным искажением, индуцирующие оператор композиции пространств Соболева Wp, loc (см. также [42]).

Структура диссертации и обзор результатов

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Список литературы содержит 70 наименований и приведен в порядке цитирования. Общий объем диссертации: 128 страниц.

В главе 1 диссертации вводятся основные понятия и доказываются вспомогательные утверждения. В параграфе 1.1 приведены определение группы Карно С и используемые в работе обозначения. Определения различных классов Соболева на группе Карно Ьр(И), Шр (О), Ьр(И,и), Шр \ос(0; С) вводятся в параграфе 1.2. В параграфе 1.3 доказываем справедливость уравнения эйконала на группах Карно: в,(х0,х)1 = 1 почти всюду. В параграфе 1.4 мы приводим вспомогательные результаты об аппроксимации функций класса

Соболева на группе Карно. В параграфе 1.5 приведены определение и некоторые свойства областей Джона, неравенства Пуанкаре, которые потребуются в этой работе. Здесь же в случае р > V мы доказываем неравенство „ 2 \1-„/р < к\\/ I Ъ1р(В)\\ для функций $ € С (И) П Ьр (И) таких, что f (х0) = 0 и f (^1) = 1. В параграфе 1.6 с помощью теоремы Лузина представляем область определения с точностью до множества нулевой меры в виде возрастающей последовательности компактных множеств Тк С И, на каждом из которых

отображение непрерывно: \ и Тк | = 0. Поэтому областью определения отображения р

к

можно считать множество Бош1 р = У Тк. В параграфе 1.7 проверяются свойства функ-

к

ции множеств, которые будут использованы далее. Различные понятия емкости вводятся в параграфе 1.8, где доказываются также некоторые дополнительные свойства.

В главе 2 исследуется задача 1, то есть изучаются свойства измеримых отображений р : И ^ И', индуцирующих по правилу замены переменных ограниченный оператор весовых пространств Соболева на группе Карно:

: Ь1р(Б',у) П С^(В') ^ Ь\(В, и), р*(/) = / о р, / € Ь1р(Б',у) П С^(В').

Получены необходимые и достаточные условия ограниченности оператора композиции. В параграфе 2.1 мы выводим некоторые свойства непрерывности, дифференцируемости и искажения меры отображений, порождающих ограниченный оператор композиции. Приводится понятие кусочной абсолютной непрерывности на почти всех линиях, которое обусловленно спецификой задачи. Это понятие предложено Водопьяновым С. К., и является некоторым ослаблением известного в литературе АС ¿-свойства.

Определение (2.1). Отображение р : Б ^ В' кусочно абсолютно непрерывно на почти всех линиях ( р € АСЬрагЬ(Б) ), если на почти каждой интегральной линии 7 горизонтального поля Ху (] = 1,... ,п) существует открытое множество ш1 С 7 полной меры на 7 такое, что для любого отрезка [а,@] С ш-у отображение р абсолютно непрерывно на [а,[3] и

lim dist(^(x),öß') = 0 или lim р(р(х)) = ж,

хЕш-у хЕш-у

для всех а Е 7 \

Впоследствии это свойство обеспечит принадлежность классу ACL(D) композиции f о р. Основные результаты главы сформулированы в параграфе 2.2. Нам потребуются следующие определения:

Определение (2.2). Отображение р : Б ^ Б' класса АСЬраЛ(Б) имеет конечное (и,у)-весовое искажение, если Бьр(х)и(х) = 0 почти всюду на множестве

= [х е Б | 3(х'р)ь(р(х)) = 0}.

Определение (2.3). Весовая функция искажения для р определяется как

В' э у^ Я'"' („) =

V р (у)

хе<р-1(у)\(Ец,иг,,)

0, если р-1(у) \ (Яр игъ) =

Определение. Индикатриса Банаха N (у ,р) = #[х е Б | р(х) = у} — это число прообразов у. Если число прообразов бесконечно, то N (у ,р) = то.

В зависимости от соотношения между показателями суммируемости д,р удается получить полное или частичное решение задачи 1. Для случая д = р найдены необходимые условия, при которых отображение индуцирует ограниченный оператор композиции.

Теорема (2.2). Пусть функция N (у ,р)у(у) е \ос(Б'), а веси Т—р (х) е \ос(Б), 1 <р < то. Пусть измеримое отображение р : Б ^ Б' индуцирует ограниченный оператор композиции р* : Ьр(И', у) П С^(Б') ^ Ьр(И,и) весовых пространств Соболева. Тогда отображение р обладает следующими свойствами:

1) р принадлежит классу АСЬра^(Б),

2) р имеет конечное (и,ь)-весовое искажение,

3) функция искажения Н™''"(■) е Ь^(Б'). При этом \\К"/и(•) | Ь^(Б')\\ < С\\(р*\\.

Достаточные условия ограниченности оператора композиции сформулированы в следующей теореме для общей ситуации 1 < д < р < то.

Теорема (2.3). Пусть 1 < д < р < то. Если отображение р : Б ^ Б' обладает следующими свойствами:

1) р принадлежит классу АСLpart(Б),

2) р имеет конечное (и,ь)-весовое искажение,

1

3) функция искажения Н™'"(■) е ЬК(Б'), где К д р, тогда отображение р индуцирует ограниченный оператор композиции р * : ЩБ', у) П С^(Б') ^ Ь1я(Б,и) весовых пространств Соболева. При этом у*\\ < НЯ^(■) | Ьн(Б')\\.

При совпадении показателей суммируемости и хаусдорфовой размерности ^ = р = и), задача решается в полной мере:

Теорема (2.4). Пусть V Е Ь^\ос(И'), иЕ Ь^\ж(0) и V о < и п. в. на И. Измеримое отображение р : И ^ И' индуцирует ограниченный оператор композиции р* : Ь](О', у) П ) ^ Ь](О,и) весовых пространств Соболева тогда и только тогда, когда

1) р принадлежит классу АСЬрагЬ(И),

2) р имеет конечное (и,ь)-весовое искажение,

3) функция искажения Нр,,и(■) Е ).

При этом

СЩу(■) | Ь^')\\ < \\^\\ < \\Н^(■) | )||.

Глава 3 посвящена решению задачи 2: исследованию метрических и аналитических свойств измеримых отображений р, индуцирующих изоморфизм пространств Соболева р* по правилу <р*(/) = / о р, / Е Ьр. В параграфе 3.1 вводится основной объект исследования — класс 1Ьр:

Определение. Пусть Б, Б' — области на группе Карно С. Измеримое отображение р : И ^ В' принадлежит классу IЬр, если р индуцирует оператор композиции пространств Соболева

р* : Ь^Б') П СГ(&) ^ Ьр(Б), <р*у) = f о у, f е Ь1 (Б') П СГ(&), (2)

такой, что

1) для любой функции f Е Ьр(И') П ) справедливы неравенства

К-lWf | Ll(D')|| < Ц<р*(f) | Ll(D)\\ < К||/| Ll(D>)|

где постоянная К не зависит от выбора от выбора функции f, 2) образ р* (Llp(D') П СX(D')) всюду плотен в Llp(D).

Далее, мы показываем, что оператор (2) можно продолжить по непрерывности на Lp(D').

Лемма (3.6). Пусть р Е ILp. Тогда оператор р* : Lp(D') П C^(D') ^ Lp(D) продолжается по непрерывности до оператора р* : Lp(D') ^ Lp(D) и обладает следующими свойствами:

1) значение оператора р* : Ьр(И') ^ Ьр(И) на классах е Ьр(И') можно найти по формуле:

„_ I ! о р при р < и, где / — произвольный представитель класса [/],

^*([Л) = ^

I / о р при р > и, где / — непрерывный представитель класса [/];

2) К-1\Ц | ЬР(Б')\\ < \\р*(!) | ЬР(Б)\\ < К||/ | Ь1р(И')\\;

3) р* : Ьр(И') ^ Ьр(Б) — изоморфизм.

В параграфе 3.2 изучаются свойства отображений на группе Карно, индуцирующих по правилу замены переменной изоморфизмы пространств Соболева, показатель суммируемости которых отличен от хаусдорфовой размерности группы (р = и). Доказывается, что такое отображение совпадает почти всюду с некоторой квазиизометрией.

Определение (3.1). Гомеоморфизм Ф : Б ^ И' двух открытых множеств называется квазиизометрией, если выполнены условия

— А(Ф(у),Ф(х))ъг А(Ф-1(у),Ф-1(г)) _

Ит к \у' ; < М и Иш -у/7 ч 1 < М (3)

^ А(У,х) А(у, г)

для всех х е Б иг е И', М — некоторая константа, не зависящая от выбора точек х е Б иг е V, А — метрика Карно - Каратеодори на группе С.

Основной результат главы в случае р = V составляет следующая теорема.

Теорема (3.1). Пусть р > 1, р = и, и И, И' — области на группе Карно С (здесь и — хаусдорфова размерность С). Измеримое отображение р: И ^ В' принадлежит классу 1Ьр тогда и только тогда, когда р совпадает п.в. с некоторой квазиизометрией Ф: Б ^ Ф(О), для которой области Ф( Б) и V (1,р)-эквивалентны.

Доказательство приведенной теоремы разбивается на два основных случая. Первый — р > V — более простой. По существу, он сводится к ситуации, когда измеримое отображение р биективно, и базируется на том, что емкость двух точек х и у в пространстве Ьр(С) сравнима с величиной А(х,у)и-р. Тогда изоморфность оператора р* равносильна соотношениям М-1 А(х,у) < А(р(х),р(у)) < МА(х,у) для достаточно близких точек х,у е Б, выбранных из специального всюду плотного подмножества в И. Из последнего выводим свойство квазии-зометричности отображения.

Второй случай — 1 < р < и — значительно более деликатный:

Лемма (3.16). Пусть р < и, а отображение р : И ^ В' принадлежит классу 1Ьр. Тогда отображение р совпадает с квазиизометрическим гомеоморфизмом почти всюду.

Этой лемме предшествуют многошаговые рассуждения, целью которых является удаление на каждом шаге некоторого множества нулевой меры, чтобы получить в конце концов суженную область определения Бош6 р С И измеримого отображения р, \Бош6 = 0, на которой р обладает рядом замечательных свойств таких, как биективность, ^-свойство Лузина и М-1-свойство Лузина. Эти свойства дают возможность доказать аппроксимативную дифференцируемость отображения р вдоль горизонтальных векторных полей. Последнее — это основа для применения аналитических методов исследования отображения р. Оказывается, что прямое отображение р аппроксимативно дифференцируемо, и его аппроксимативный дифференциал Ир(х) и якобиан 3(х,р) = det Ир(х) удовлетворяют соотношениям

^рКх) < Ь < то, (х,р)| > а1 > 0 п. в. в И.

Здесь же мы доказываем аналогичные соотношения для аппроксимативного дифференциала Оф(у) обратного отображения ф = р-1:

^ФКу) < V < то, у,ф)| > а > 0 п. в. в В'.

С помощью этих соотношений и условий на оператор р* мы сводим исследование метрических свойств отображения р к первому случаю. Эта редукция и позволяет доказать, что р совпадает п. в. на И с некоторой квазиизометрией Ф : И ^ И'.

В параграфе 3.3 мы изучаем случай р = и. Устанавливается, что отображение класса совпадает почти всюду с некоторым квазиконформным отображением.

Определение (3.6). Гомеоморфизм Ф : Б ^ И' класса \ос называется квазиконформным, если существует постоянная К такая, что

^(х)^ < К(ж,Ф)| п. в. в Д

где БФ(х) — аппроксимативный дифференциал отображения Ф, а 3(ж,Ф) = det БФ(х).

Основной результат при р = и составляет

Теорема (3.3). Пусть Б, Б' — области на группе Карно С, где и — хаусдорфова размерность группы С. Измеримое отображение р: Б ^ И' принадлежит классу 1Ь] тогда и

только тогда, когда р совпадает почти всюду с некоторым квазиконформным отображением Ф: В \ {х0} ^ С, для которого области Ф(В \ |жо|) и В' (1,и)-эквивалентны, где хо Е С — некоторая точка (здесь С — одноточечная компактификация С).

Достаточность доказывается аналогично соответствующей части теоремы для случая р = V. Доказательство необходимости разбивается на серию утверждений, целью которых является улучшение свойств регулярности отображения. Сначала мы показываем (лемма 3.23), что отображение р совпадает почти всюду с некоторым квазинепрерывным отображение <р0, для которого выполнена оценка следующего вида Сар(р0(В)) < КСар(В), где В — произвольный шар. Затем для отображения р0 устанавливаем тот факт, что для почти всех х Е В образы шаров с уменьшающимися радиусами р0(В(х,г)) стягиваются к единственной точке г Е В' (следствие 3.6). Последнее позволяет продолжить отображение <р0 до непрерывного (предложение 3.9) и затем доказать его гомеоморфность (предложение 3.11). Окончательно, в предложении 3.16 доказываем квазиконформность отображения р0.

Полученные результаты опубликованы в 10 печатных изданиях [А1-А10], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [А1-А4], 6 — в тезисах докладов и материалах конференций [А5-А10]. Все сформулированные результаты являются новыми и получены при личном участии автора. Результаты главы 2 получены автором самостоятельно. Результаты глав 1 и 3 были получены совместно с научным руководителем С. К. Водопьяновым, которому принадлежат формулировки задач и общее руководство работой. В остальном вклад авторов в совместные работы равноправен и неделим.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторы композиции в пространствах Соболева на группе Карно»

Апробация работы

Основные положения и результаты работы прошли апробацию на следующих научных конференциях и семинарах:

• Х1УШ международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2010.

• Школа-конференция по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2012.

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», посвященная 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова. Новосибирск, 2012.

• Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория прииближений», посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск, 2013.

• Всероссийская молодежная школа-семинар «Анализ, геометрия и топология». Барнаул, 2013.

• Международная молодежная конференция «Геометрия и управление». Москва, 2014.

• Школа-конференция молодых ученых по геометрическому анализу. Горно-Алтайск, 2014.

• Международная конференция «Геометрическая теория управления и анализ на метрических структурах». Турбаза «Кумуткан», озеро Байкал, 2014.

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2014», посвященная 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка. Новосибирск, 2014.

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске, 2015», Новосибирск, 2015.

• Семинар по геометрическому анализу, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор С. К. Водопьянов.

• Семинар лаборатории геометрической теории управления, институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск. Руководитель: д. ф.-м. н., профессор А. А. Аграчев.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. К. Водопьянову за постановку и обсуждение задач, и за неоценимую поддержку на всем протяжении подготовки диссертации.

Глава 1

Предварительные сведения

1.1 Группа Карно

Определение 1.1. Группой Карно G называется связная односвязная нильпотентная группа Ли, алгебра Ли Q которой градуирована, т. е. Q = V1 ф ■ ■ ■ ф Vm, где dim V1 = п1 > 2,

т

[Vi,Vk] = Vk+l для 1 <к <т - 1, [Vl,Vm\ = 0, и N = £ dim V,.

i=1

Отождествим элементы д Е G с элементами X Е RN посредством экспоненциального отображения exp^2XijXij), числа Xij называются координатами первого рода точки g Е G, 1 < i < т, 1 < j < пг = dimV,. Для краткости координаты, соответствующие горизонтальному подпространству будем обозначать без двойной индексации: Xj = X1j, 1 < j < п1. Таким образом, на G существует глобальная система координат, посредством которой точки на группе G отождествляются с точками в R N. Будем обозначать символом д^ элементы группы, у которых все координаты кроме X\,... ,хП1, равны нулю.

В координатах первого рода отображение 5t : (X1,X2,... ,Xm) м- (tX1,12X2,... ,tmXm), t > 0, задает однопараметрическое семейство растяжений. Здесь Xг Е Rrai.

Левоинвариантные векторные поля Хг = Хгд, г = 1,... ,п\, составляющие стандартный базис подрасслоения Vi, называются горизонтальными.

Зафиксируем следующую однородную норму на группе G (см. например [43])

1/2т!

P(x) =[У

т

(Е 1^2т]/г) ^ i=i '

где ^^ — евклидова норма в У^. Как и для всякой однородной нормы [44] выполняются следующие свойства: 1) р(х) = 0 ^ х = 0,

2) р(х *) = р(х),

3) р(8\(х)) = Хр(х),

4) Р(ху) < с(р(х) + p(y)),

где с — некоторая постоянная, не зависящая от х,у Е С. Однородная норма задает однородную квазиметрику: р(х,у) = р(х-1у) для точек х,у Е С.

1.1.1 Метрика Карно — Каратеодори

Абсолютно непрерывная кусочно гладкая кривая 7 : [а,Ь] ^ С, касательный вектор которой принадлежит У\, называется горизонтальной кривой.

Определение 1.2. Метрика Карно - Каратеодори ¿(х,у) на группе С это точная нижняя грань длин всех горизонтальных кривых, соединяющих точки х и у.

Обозначим расстояние до нуля символом ¿(х) = ¿(0,х).

Можно показать, что величины ¿(х, у) и р(х, у) эквивалентны (см. рассуждения из леммы 1.4 и предложения 1.5 в [44]), т. е. соотношения

ср(х,у) < й(х,у) < Ср(х,у).

выполнены для всех точек х,у Е С с некоторыми постоянными 0 < с < С < то. Пусть д Е С. Несложно показать, что для элементов дн верно

Л(дн) = Р(дн) = х1 + ••• + х2П1 (1.1)

и

сКдн) < Л(д). (1.2)

Действительно, пусть дн = (х\,... ,хП1,0,... , 0). Кривая 7(Ь) = (Ьх\,... ¿хП1,0,..., 0), Ь Е [0,1], горизонтальна и 7(0) = 0, 7(1) = дн. Так как 7(I) — прямолинейный отрезок, соединяющий 0 и дн, а метрика в горизонтальной плоскости совпадает с евклидовой, то ^(Ь) имеет минимальную длину. Таким образом, д(дн) совпадает с длиной данного отрезка [д(дн) = ^ х\ + • • • + х2пг ). Для любой горизонтальной кривой 7(I) = (ъ&),... ,Ъ(1),Ъ1 (I),... ,7тпт&)), соединяющей 0 и д, имеем

1) Гги 7(0) = 0 и Гги 7(1) = дн,

2) длина кривой ¥тн 7 равна длине кривой 7,

где ¥тн^(Ь) = (^(Ь),... ,^2(Ь),0,... ,0) — проекция кривой на горизонтальное подпростран-

ство; с другой стороны, d(gh) — длина отрезка, соединяющего 0 и gh, и, следовательно, не превосходит длины любой кривой, соединяющей эти точки, т. е. d(gh) < d(g).

Размерность Хаусдорфа группы G равна и = п\ + 2п2 + 3п3 + • • • + тпт, где щ = dim Vi.

1.1.2 Мера семейства кривых

Рассмотрим семейство Г интегральных кривых базисного горизонтального векторного поля Xj, образующих гладкое слоение открытого множества А С G. Если соответствующий этому полю поток обозначить символом gs, то слой имеет вид 7(5) = gs(p), где р принадлежит поверхности Sj, трансверсальной к векторному полю Xj, а параметр s из интервала I С R. Для слоения, определяемого векторным полем Xj, мера d7 может быть получена как внутреннее умножение i(Xj ) векторного поля Xj с биинвариантной формой объема dx. Если Js — якобиан потока gs, то

g*i(Xj) dx = Jsi(Xj) dx или g*(J9_ai(Xj)dx) = i(Xj) dx.

Поскольку поток gs переводит касательный вектор к однопараметрическому семейству кривых 7t в касательный вектор к тому же семейству, то форма Jfl_si(V) dx определяет меру d7 на слоении Г.,-. Так как Xj — левоинвариантное горизонтальное векторное поле, поток gs есть правый сдвиг на exp s Xj : G Э p ^ pexp s Xj. Так как dx — биинвариантная форма, то Jfls = 1. Используя левоинвариантность и однородность относительно растяжений, находим

/ d7 = clBя*-

yllB(x,r

Отсюда можно вывести теорему Фубини, применяемую ниже. Более подробно см. [43].

1.2 Пространства Соболева

Пусть G — группа Карно с однопараметрической группой растяжений 8 и И — открытое множество в G. Определим пространство функций Ьр(0), суммируемых в степени р Е [1,то), как совокупность измеримых по Лебегу функций, имеющих конечную норму

WflLp(D)\\ = (у |f(x)lpdx)j

D

\ 1/Р

< со.

Здесь йх — мера Лебега в , нормированная таким образом, что мера шара единичного радиуса (относительно квазиметрики р) равна 1. Локально суммируемая функция уг : И м К называется обобщенной производной функции f вдоль векторного поля Хг, г = 1,... ,пр, если

J ьгф Ах = — J /Хгф Ах

б о

для произвольной финитной функции ф Е С^°(0).

Однородное пространство Соболева Ьр(И) состоит из локально суммируемых функций с конечной полунормой

II/1 ьр р)ц = \\vcf | ьРт\,

где Vс!(х) = (Хрf(х),...,ХП1 /(ж)) — обобщенный субградиент f в точке х Е И (здесь производные только по горизонтальным полям).

Пространство Соболева Шр(И) состоит из локально суммируемых функций, имеющих конечную норму

II/1 к р)|| = \\/1 ьРт + \\vcf | ьРт\.

Будем говорить, что / принадлежт классу ШРр^Ъс(0), если / Е Wр(V) для любой ограниченной подобласти V С И такой, что V С И.

Напомним определение сходимости в полунормированном пространстве Ьр(И).

Определение 1.3. Будем говорить, что последовательность функций {/п} Е Ьр(И) сходится к функции / Е Ьр(Б) (/п м /) в пространстве Ьр(И), если

\\и — / | ьр(0)\\^ 0 при п мто.

Заметим, что если /п м / в пространстве Ьр(И), то также /п м / + С, где С Е К — произвольная константа.

В [45] Ю. Г. Решетняк предложил подход к определению соболевских классов функций со значениями в метрических пространствах. Пусть (X, г) — полное метрическое пространство, г — метрика на X, а И — открытое множество на группе Карно С. Будем говорить, что отображение р : И м X принадлежт классу Ъс(0;X), если выполнены следующие условия.

(А) Для всякого г Е X функция : х Е И м г(р(х),г) принадлежит классу Шр 1ос(0).

(B) Семейство субградиентов (V ¿[р] z)^ж имеет мажоранту, принадлежащую Lp,ioc(D), т. е. существует функция д G Lp,\oc(D), не зависящая от z, такая, что (ж)| < д(х) для

почти всех х G D.

В работе [43] отражена специфика этого определения применительно к отображениям классов Соболева на группе Карно. В частности, приводится эквивалентное описание отображений классов Соболева: отображение р : D ^ G принадлежит Wp \oc(D) тогда и только тогда, когда его можно изменить на множестве нулевой меры так, чтобы

1) для всякого z G G функция [p]z : D Э х ^ d(p(x),z) принадлежит классу Lp,ioc(D).

2) отображение р : D ^ G абсолютно непрерывно на почти всех интегральных линиях горизонтальных векторных полей Xj, j = 1,... ,п, (р G ACL(D)),

3) производная Xjр(х) = lim8t-i(p(x)-1p(exptXj)) существует п. в. в открытом множестве D, принадлежит V\ (р(х)) и, кроме того, IXj pi G Lp, loc(D) для всех j.

Напомним, что отображение р : D ^ G называется абсолютно непрерывным на почти всех интегральных линиях базисных горизонтальных векторных полей Xj, j = 1,... ,п, если для любой области U Ш D и слоения Г, определяемого векторным полем Xj (j = 1,... ,п), отображение р абсолютно непрерывно на пересечении 7 П U относительно одномерной меры Хаусдорфа для d'j-почти всех кривых 7 G Г.,-. Для такого отображения почти всюду в D существуют производные Xj р (j = 1,... ,п) (см. различные доказательства этого факта в [46-48]).

Обозначим символом Dp аппроксимативный дифференциал отображения р [43], а символом D^p — горизонтальную часть дифференциала. Якобиан det Dp отображения р обозначим символом J(х,р).

Имеет место следующая формула замены переменных.

Предложение 1.1 ([43, Corollary 5.1], [49]). Пусть отображение р : А ^ G, где А С G — измеримое множество, имеет аппроксимативные частные производные п. в. на А. Тогда существует множество £^ С А меры 0 такое, что формула замены переменных в интеграле Лебега для любой неотрицательной измеримой функции f : А ^ R имеет вид

i f (x)iJ (x,p)I dx = if ^ f (x)] dy. (1.3)

{ G ) J

1.2.1 Весовые пространства Соболева

Весом будем называть измеримую функцию т : G ^ К, принимающую почти всюду положительные значения. Для любого измеримого множества А определим весовую меру

т(А) = ! т(х) ¿х.

А

Весовое пространство Ьр(И,т) состоит из локально суммируемых функций, имеющих конеч-ноую весовую норму:

и \ Ьр(В,т)\\ =у \¡(х)\рт(х) /Р < ж. о

Весовое пространство Соболева состоит из локально суммируемых функций с

конечной полунормой

||/\Ь1р(П,Ш)\\ = \\Vcf \Ьр(В,т)\\, где Vс/(х) = (Хх £(х),... ,ХП1 ¡(х)) — обобщенный субградиент f в точке х Е И. Определение 1.4. Весовая функция т принадлежит классу Макенхаупта Ар, р Е (1, ж),

1 Г , \/ 1

если

р-х

I г^ I т--р с1х) = стр < ж,

BCG\\Ви ) \\В \ J )

в в

где супремум берется по всем шарам В из G.

Более подробно о весовых пространствах Соболева см. например [50-52].

1.3 Дальнейшие свойства метрики Карно — Каратеодори

Напомним определение локально липшицевых и билипшицевых отображений.

Определение 1.5. Отображение р : и ^ G называется локально липшицевым (билипшицевым), если для каждой точки х Е и найдутся окрестность V С и и постоянная Ьу, для которых выполняются соотношения

¿((р(у),ф)) < Ьу¿(у,г) (Ь-1(1(у,г) < ¿(р(у)р(г)) < Ьуй(у,г)) (1.4)

для всех у, г Е V. Если в качестве V можно взять и, то отображение р : и ^ G будем называть липшицевым (билипшицевым) на и.

Символом Liploc(ß) будем обозначать пространство локально липшицевых функций f : D ^ R. Заметим, что пространство локально липшицевых функций Lipjoc(ß) совпадает с пересечением С(D) П ^^^(D), см. например [53].

Лемма 1.1. Пусть д(х) = d(x0,x), где х0 Е G — фиксированная точка. Тогда

IVcg(x)l = 1 п. в. в G.

Доказательство. ШАГ 1. Имеем Ig(x) — g(y)I = Id(x0,x) — d(x0,y)I — d(x,y). Таким образом, g — липшицева функция. Отсюда выводим неравенство

Ig(x) — g(y)I . , , (Л

-77-\- — 1 для всех х = у. (1.5)

d(x,y)

ШАГ 2. Для произвольной точки х Е G найдется кратчайшая 7, соединяющая х и х0. Пусть у — точка на кривой 7. Тогда Ig(x) — g(y)I = d(x,y) и, следовательно,

—-—-— = 1 для у Е 1. (1.6)

d(x,y)

Из неравенств (1.5) и (1.6) выводим

lim Ж-iM = h (1.7)

y^xeG d(x,y)

ШАГ 3. Так как д — липшицева функция, она V-дифференцируема п. в. в смысле Пансю [46] (см. другое доказательство в [43]). Следовательно, в точке х V-дифференцируемости функции д имеем

Ит д(у) — д(х) — Vcg(x) • (x-ly)h = 0

d(x,y)^0 d(x,y) '

П1

где Vcg(x) • (x-1y)h = Е Xig(x)(x-1y)u.

i=1

Обозначим z = х-1у. Из (1.7) и (1.8) можно вывести, что

um •ZhI = 1. (1.9)

d(z)^o d(z)

Тогда

1=ш > йт IV^\•ZhI = um •ZhI. (1.10)

d(z)^0 d(z) z=zh,d(z)^0 d(z) d(zh)^0 d(zh)

С другой стороны, из неравенства (1.2) выводим

I- = I- > ц- ^^^ = ^ (1.11)

Поэтому

— ^сд(х) • ^ = ш ЩхЬМ = 1. (1.12)

Учитывая равенство й(ги) = р(ги) (см. (1.1)), получаем

1 = lim

Vcg(ж) Zh

sup \Vcg(ж) ■ yh\,

yh€R"i ,p(yh) = 1

□

Р(

где уи = . Отсюда приходим к равенству ^сд(х)\ = 1.

Замечание 1.1. Утверждение леммы 1.1 справедливо также и для функции

д(х) = d(x,F) = inf d(x,y)

yeF

в следующей форме: \Veg(ж)\ = 1 п. в. в G \ F. Здесь функция g — это расстояние от точки х до фиксированного множества F.

1.4 Аппроксимация гладкими функциями

Рассуждения в этом подпункте во многом основаны на работах [44,50]. Пусть p Е С^°(С), supp p С В(0,1), и

У p(x) dx = а. (1.13)

G

Пусть и Е Lp(D) и и(х) = 0 для всех ж Е G \D. Рассмотрим семейство усреднений:

u£(x) = ^J p(Ь£-1ху-l)u(y)dy. (1.14)

G

Функция p называется усредняющим ядром, а число е - радиусом усреднения.

Предложение 1.2 ( [44, Proposition 1.20]). Если и Е LP(D), р Е [1,œ), то имеют место следующие свойства

1) и£ Е C™(G);

2) и£ ^ au в LP(D).

Доказательство. 1. Функции р(х) и ту(ж) = ху-1 принадлежат Споэтому в силу теоремы о дифференцировании под знаком интеграла и£ Е С

2. Непрерывные финитные функции плотны в Ьр(0), стало быть, для любой V Е Ьр(С) имеем

У 1ь(хг-1) — ь(х))1Р Ах ^ 0 при г ^ е, (1.15)

С

где е - единица группы С (т. е. й(г) ^ 0).

Положим р£(х) = -1 ф(8г-1 х). Далее выводим

1и£(х) — аи(х)1 = У р-(ху-1 )и(у)с1у — и(х) ^ р-(ху-1)ёу

С С

^ У 1^£(ху-1)1 • 1и(у) — и(х^у <(У ^£ (ху-1)]1йу^ ^ У ^£(ху-1)1 • 1и(у) — и^йу^

С С С

= К^ 1р-(г)1 • 1и(хг-1) — и(х)1Р(1^Р,

С

где К — положительная константа. Далее имеем

Ци£ — аи I ЬР(0)ЦР = 1и£(х) — аи(х)1Р йх

Ру4^ /II I 1и'£

С

< ^У У 1р£(г)1 • \а(хг-1) — и(х)1Р ¿хдьх

С С

= ^у {р£(г)1 У 1и(хг-1) — и(х)1Р ¿хдьх

С С

= ^у 1и(х(8£Н)-1) — и(х)1Р ¿хдк ^ 0 при е ^ 0.

С С

В предпоследнем интеграле сделали замену переменных к = 8£-1 г. Таким образом, и£ ^ аи при е ^ 0 в ЬР(0). □

Замечание 1.2. В частности, если а = 1, то и£ ^ и при е ^ 0 в ЬР(С).

Предложение 1.3. Пусть и Е ЬР(И), а = 1 (т. е. / <р(х) ¿х =1) и V Ш В — компакты

С

вложенная область1. Тогда

Х^и£ ^ Хги в ЬР(У). (1.16

1 Другими словами, V - ограниченная область такая, что V с В.

Доказательство. Заметим, что на группе Карно свертка не коммутативна, поэтому аргументы, применяемые в Кга, на группах Карно не работают. Доказательство этого утверждения на группах Карно основано на более рафинированных методах. В [54, лемма 2.1] и [55] доказано существование функций Е С^(В(0,1)) таких, что / Хч(х)^х = 8^, и для всех х Е V

с

и £ < ^^ V, дИ) выполнено следующее равенство:

N

Х^е (х) = ^ (Х^и) * Хгз,е (х)

3 = 1

где Хч,е(х) = еУХгз(^-1х). По предложению 1.2 имеем (Х^и) * Хч,е ^ Ь^Х^и при е ^ 0 в Ьр(V). В итоге

\\ХгПе -Хги | Ьр(У)||

N

N

3 = 1

3 = 1

Е(Х>и) * Хгзе - Е 5ИХЗи 1 ЬР(У)

N

< £ \\(Х3и) * Хг3,е - 5гзХ3и | Ьр(У)\\ ^ 0

3 = 1

при £ ^ 0. □

Предложение 1.3 позволяет доказать плотность гладких функций в Ьр (И).

Лемма 1.2. Пространство Ьр(Б) П С™(И) плотно в Ьр(Б). Если f Е Ьр(И) — локально липшицева функция, то существует последовательность функций ^ Е Ьр(Б) П С™(И), I Е N сходящаяся к f локально равномерно и в Ьр(Б).

Доказательство. Приводимое ниже доказательство основано на рассуждениях из [50, теорема 1].

Пусть и Е Ьр(И). Рассмотрим локально конечное покрытие2 {Вк}к>\ области И шарами Вк С И и разбиение единицы {фк}к>\, подчиненное этому покрытию. Пусть {рк} - убывающая к нулю последовательность положительных чисел такая, что последовательность шаров {(1 + Рк)Вк} также образует локально конечное покрытие области И. Обозначим символом ик усреднение функции ик = фки с радиусом усреднения ркгк, где гк — радиус шара Вк.

Легко видеть, что и = принадлежит С™(И), так как сумма локально конечна (каждая

к

точка имеет окрестность, в которой только конечное число функций и не равны нулю).

2Т. е. для каждой точки х е И найдется окрестность и с И, которая пересекается только с конечным числом шаров из покрытия {В^}.

Возьмем произвольное £ Е (0,1). В силу предложений 1.2 и 1.3 можно выбрать рк так, что

\\ик -тк \Ь1(0)\\ < £к. (1.17)

На любой ограниченной области V такой, что V С И, выполнено равенство и = ^ ик.

к

Следовательно,

\\и -ю \ Ь1(Г)\\ < £\\ик - Юк \ Ь1(Г)\\ < . (1.18)

к

Таким образом, для любой функции и Е Ьр(И) и для произвольного £ Е (0,1) найдется функция ю Е Ьр(Б) П Стакая, что \\и -ю \ Ьр(Б)\\ < £. □

Отметим следующие свойства, очевидным образом вытекающие из леммы 1.2.

Замечание 1.3. Если / Е Ьр(И), то найдется последовательность гладких функций /п Е Ьр(И) П С^(И), сходящаяся к / п. в. в И. А если р > и, то можно подобрать последовательность, которая будет сходится локально равномерно в И.

Доказательство. В качестве данной последовательности можно взять функций {юк}, построенные в лемме 1.2. □

Из леммы 1.2 выводим следующее Следствие 1.1. Пространство Ь1(0) П Ыр1ос(И) плотно в Ь1(0), где И С С — область.

1.5 Неравенства Пуанкаре и области Джона

Напомним, что кривая 7 : [а,Ь] ^ С спрямляема, если

кр

р л

г=1

где супремум берется по всем разбиениям Р = {а = х0 < х1 < ■ ■ ■ < хкр = Ъ}. Для двух точек х,у Е С кратчайшей называется горизонтальная кривая, соединяющая эти точки и имеющая минимальную длину.

Определение 1.6. Область П С С называется областью Джона 3(а,[) (коротко П Е 3(а,[)), 0 < а < [, если найдется точка х0 Е П такая, что любую точку х Е П можно соединить с х0 спрямляемой кривой 7, которая содержится в П и удовлетворяет следующим

условиям: если в Е [0,/] - натуральная параметризация кривой 7, то I < [,

аз

7(0) = х, ^(1) = х0, и ^^(з),дО) > — для всех в Е [0,I]. (1.19)

Замечание 1.4. Легко проверить, что шар В(х,г) в метрике Карно - Каратеодори является областью Джона 3(а = г,[ = г), где центр шара (точка х) является выделенной точкой.

Лемма 1.3. Пусть И - произвольная область в О, и шары В0,В1 содержатся в этой области. Тогда найдется область Джона О Е 3(а,[), О С И, с некоторыми параметрами а, [, зависящими от области И и шаров В,В1, которая будет содержать оба этих шара.

Доказательство. Заметим, что если И = О, то в качестве искомой области Джона О можно выбрать произвольный шар содержащий шары В$,В\. Поэтму далее считаем, что И — собственная подобласть в О.

Пусть х$,х\ — центры данных шаров, а Го, г1 — их радиусы. Построим спрямляемую кривую, соединяющую точки х и х1.

Для этого рассмотрим сначала произвольную непрерывную кривую К, лежащую в И и соединяющую точки хо и х1, т. е. непрерывное отображение К : [0,1] ^ И такое, что К(0) = хо и К(1) = хр. Такая кривая существует, поскольку И — связное открытое множество. (Заметим, что кривая К не обязательно является спрямляемой.)

Совокупность шаров {В(К(1)),р ^^К(Ь),дО)}гфд] образует покрытие компактного множества К([0,1]). Из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие В (С\,р\),... , В( £т, рт), где ^ = К (Т3), ^ Е [0,1] и п < т2 < ... < тт.

Пусть В(£1,рг) — шар с наибольшим номером, содержащий точку хо. Если х\ Е В(рг), то кривая 7, составленная из кратчайших, соединяющих точку & с точками хо и х\, спрямляема и ее длина |7| не больше 2р\.

В противном случае существует максимальное значение параметра Ь Е (0,1) такое,

что У\ = К(Ь1) Е дВ(£1, рг), а К(1) Е В, рг) для всех Ь Е (Ь 1,1]. Тогда найдется кривая

С В(^1,рг) С И, составленная из кратчайших, соединяющих точку & с точками хо и v1. Длина кривой 71 не превосходит 2р\.

В свою очередь, точка ь1 принадлежит некоторому шару В(£к,рк), где I < к < т — максимальный номер шара, содержащий точку v1. Если х1 Е В(£к ,Рк), то дополним кривую 71 кратчайшими, соединяющими точку £к с точками у1 и х1. Получим кривую 7, длина которой не превосходит 2(рг + рк).

В противном случае существует максимальное значение Ь2 параметра Ь Е (Ь 1,1) такое,

что у2 = К(Ь2) Е дВ(£к, рк), а К(1) Е В(£к, рк) для всех Ь Е (Ь,1]. Тогда дополним кривую

7х новой кривой 72 С В(^,) С И, составленной из кратчайших, соединяющих точку ^ с

точками ух, и у2. Так как длина не превосходит 2рк, то длина составленной кривой 7х и

не превосходит 2(рг + рк).

Продолжая этот процесс по индукции, через конечное число шагов (не более т) мы пота

лучим спрямляемую кривую Г = 7х и 72 ■ ■ ■ в И, длина которой не превосходит 2 ^ рк.

к=1

Таким образом, кривая Г спрямляема, и соединяет центры шаров В0 и Вх: Г(0) = х0,

Г(Ь) = хх (считаем, что Г параметризована натуральным параметром, а Ь - длина Г).

Обозначим символом 8 = ^81;(Г,<9И) расстояние между кривой Г и границей области И.

Рассмотрим область О = В0 и Вх и и В(х,8), состоящую из шаров Во, Вх и всех шаров

жег

радиуса 8 с центрами на Г. Положим а = тт{&81;(Г, 5О), г0, гх} (или, что то же самое, а = тт{8, Го, Гх}), р = Ь + го + Гх + 8.

Покажем, что О является областью Джона 3(а,Р) с выделенной точкой х0. Пусть х Е О. Если х Е В0, то условия (1.19) выполняются автоматически: в качестве кривой 7 выбираем кратчайшую, соединяющую х и х0. Тогда I = |у| < г0 < Р и для всех з Е [0,/] выполнены следующие неравенства:

в ),дО) > в ),дВо) > з = ^ > > у. (1.20)

Если х Е Вх, то положим 7 = 7х и Г, где 7х - это кратчайшая соединяющая х и хх. Обозначим к = 17х| < гх, тогда I = 7 = 1х + Ь < п +Ь < р, ^(7^),дО) > ^ > ^ для в Е [0,1 х] и dist(7( в ),дО) > а > для в Е [Iх,1 х + Ь]. Следовательно, &81(7(з),дО) > ^ для всех ^ Е [0,1 ].

Пусть х не принадлежит ни В0, ни Вх. Следовательно, х Е В(£,г), где £ - точка на кривой Г иг < 8. В качестве кривой 7 возьмем кривую, состоящую из кратчайшей, соединяющей х и £, и сегмента кривой Г от £ до х0. Тогда, как и в предыдущих двух случаях, имеем 1х = 17х1 < 5, 1= Ы < 8 + Ь < р,

аз аз аз

dist(7(5 ),дО) > —— > —- для ^ Е [0,1 х] и dist(7(5 ),дО) > а > — для ^ Е [Iх,1 ]. х

Таким образом, dist(7(5 ),дО) > для всех ^ Е [0,/].

Поэтому О С И является областью Джона, содержащей данные шары В0,Вх. □

Замечание 1.5. Из доказательства леммы 1.3 получаем следующее свойство: если dist(дИ,В0) > 0 и dist(дD,Вх) > 0, то для достаточно малого параметра Л > 0 можно построить дополнительную область Джона Од такую, что О < Од < И, т. е. области О и Од ограниченные и dist(дD, Од) > 0 и dist(О,дОд) > Л. Действительно, область Джона О

строится как объединение шаров В0, В1 и совокупности шаров с центрами на кривой Г с радиусами, не превышающими 2 dist(r,5D). Область Па можно построить как объединение шаров с теми же центрами увеличив при этом их радиусы. В качестве такого радиуса можно взять любое значение в интервале (2 dist(r,SD), | dist(r,5D)) для шаров отличных от В,В1. В свою очередь радиусы шаров В,В1 нужно увеличить таким образом, чтобы они не оставались внутри D.

Приведем следующее неравенство Пуанкаре для областей Джона (см. [56]).

Предложение 1.4 ([56, Theorem 4]). Пусть р < и, р < q < и U - область Джона J(а,Р). Тогда для любой функции и Е W}(U) имеем

(!)

\\и - си | Lq(U)|| < С ( ^ ) diam(U)1-p+?\\Vu | LP(U)\\

Г1-21)

где си и С — постоянные, причем С > 0 и не зависит от и, и,а,0.

Далее нам потребуется вариант неравенства Пуанкаре в следующей форме (см. [57])

Лемма 1.4. Пусть и - область Джона 3 (а,0) и подмножество Ь си имеет положительную меру, I > 0. Тогда для всех и(х) Е ), р < д < , р < и, таких, что и1р = 0, выполнено неравенство

lu(x)lqdx\ <С

т

IF l F

F (!)

— ) diam( U)1 p + f

lVcu(x)IP dx

1.22)

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию и(х) Е ) такую, что и1р = 0,

где подмножество Ь с и имеет положительную меру. Обозначим М = ||и | Ьд(и)|| > 0.

Тогда

IF I = J(XF (x))q dx < J

и и

Следовательно,

1 -

u(x)lUI f

M

dx <rn

< M

и

M

IUI

- и( x)

dx.

Mq IF I<IU l\\(M IU Г F -и) I Lq (U )\\q.

:i.23)

Для постоянной си из неравенства Пуанкаре (предложение 1.4) справедлива следующая оценка:

IM IU I-F - Cul = IU I-F llu I Lq (U )ll - IU I-F II Си I Lq (U)ll < IU I-F \\u - Си I Lq (U)\\.

-

F

p

-

Поэтому, используя неравенство Пуанкаре (1.21), имеем

\\(М\U\-1 - и) \ Lq(U)\\ < \\(М\U\-1 - с») \ Lq(U)\\ + \\и - си \ Lq(U)||

V

а

£

Применяя (1.23), получаем

< 2\\и - си \ Lq (U )\\ < 2С[^\ diam(U )x-f+1 \\V си \ LP(U )\\.

\\и \ Lq(U)\\ < ^2с(а) diam(U)x-f+1\\V£u \ Lp(U)\\. \F \ 1 VP,

Таким образом, лемма доказана. □

Лемма 1.5. Пусть р > и, а функция f Е С (И) П Ьр(И) такова, что ¡(х0) = 0 и ¡(хх) = 1 для некоторых точек х0,хх Е В С И. Тогда выполнено неравенство

1

<К\\ЦЬ1т\. (1.24)

d(x0,xx)1-v/P ~ " 1 pv Доказательство. Нам потребуется следующее неравенство Пуанкаре из [56, Theorem 4]

\\и - Си I Ь^(В)\\ < Сdiam(В)х-?\\Vcu | ЬР(В)\\. (1.25) Фиксируем шар В такой, что х0,хх Е В. Имеем

IПхо) - !(хх)1 < Iкхо) - с,I + I¡(хх) - с,I < 2\\I- с, I ЬЖ(В)\\ <

Кй(хохх)х-и/р\\^с1 I Ьр(В)\\ < Кй(хо)хх)х-и/р\\^с1 I Ьр(И)\\, (1.26)

где К — некоторая постоянная. В нашем случае I/(х0) - f(хх)| = 1 и, следовательно,

«х^р <К(1-27)

□

1.6 Разложение области на компакты

Лемма 1.6. Пусть D,D' С G - открытые множества и \D\ < ж, р : D ^ D' - измеримое

отображение, определенное п. в. в D. Тогда найдется возрастающая последовательность

компактов {Тк} С Dom р С D такая, что р непрерывно на каждом Тк и \D \ (J Тк\ = 0.

к

Доказательство. По теореме Лузина найдется компактное множество Р\ С Dom р такое, что отображение р будет непрерывным на Р\ и \ Domр \ Р1\ < 1. Аналогично, найдется компактное множество Р2 С Dom р \ Р1 такое, что отображение р непрерывно на Р2 и

\(Domр \ Р1) \ Р2\ < 2, и так далее. Таким образом, получаем последовательность мно-

к

жеств {Рг}. Обозначим Тк = (J Pi, тогда Тк С Тк+1 С Dom р. Отображение р непрерывно

1

на каждом Тк, поскольку Тк представляет собой конечное объединение компактных попарно непересекающихся множеств Р1,... ,Рк, на каждом из которых отображение р непрерывно.

Кроме того, \D \ Тк \ = \ Dom р \ Тк\ < к для любого к Е N. Следовательно, \D \U Тк\ = 0. □

к к

Таким образом, областью определения отображения р можно считать множество

Domi р = У Тк.

к

Замечание 1.6. Можно выбрать множества "Тк С Тк (где Тк — множества из леммы 1.6), состоящие только из точек ненулевой плотности. При этом р непрерывно на каждом "Тк и

\D \ U П\ = 0.

к

Доказательство. Действительно, пусть "Тк - множество точек ненулевой плотности множества Тк. Тогда \Тк \ Тк\ = 0, Тк+i D Тк и \D \ U "Тк\ = 0. □

к

Замечание 1.7. Лемма 1.6 также верна и в том случае, когда мера области D не ограничена.

Доказательство. Область D можно представить в виде счетного объединения непересекающихся множеств: D = (J Ог, где D1 = D П В(0,1), D2 = (D П В(0,2)) \ D1 и т. д. По лемме 1.6 для каждого множества Ог мы имеем возрастающую (по индексу к) последовательность компактов Тк С Dom р такую, что \Ог \ (J Тгк \ = 0. Полагая Т1 = Tf, Т2 = Т} UТ22, Т3 = Т^ UТ2 UТ33

к

и т. д., мы получаем возрастающую последовательность компактов Тк С Dom р. В частности,

\D%\U Тк\ = 0 (поскольку U Тк С (J Тк). Тогда имеем, D\U Тк = (J (D%\U Тк). Следовательно, к к к к i к \D \ У Тк\ = 0, как счетное объединение множеств нулевой меры. □

к

1.7 Функция множеств

Определение 1.7. Отображение Ф, определенное на открытых подмножествах открытого множества И С С и принимающее неотрицательные значения, называется конечно Л-квазиаддитивной функцией множеств 1 < Л < ж, если

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Евсеев Никита Александрович, 2015 год

Список литературы

1. Соболев С. Л. О некоторых группах преобразований n-мерного пространства // Докл. АН. — 1941. — Т. 32, № 6. — С. 380-382.

2. Водопьянов С. К. О регулярности отображений, обратных к соболевским // Матем. сб. — 2012. — Т. 203, № 10. — С. 3-32.

3. Мазья В. Г. Классы множеств и теоремы вложения функциональных классов. Некоторые проблемы теории эллиптических операторов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Л.: Ленинградский госуниверситет, 1961.

4. Gehring F. W. Lipschitz mappings and the p-capacity of rings in n-space // Advances in the theory of Riemann surfaces (Proc. Conf., Stony Brook, N.Y., 1969). — Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1971. — Pp. 175-193. Ann. of Math. Studies, No. 66.

5. Poleckii E. A. Quasiconformal homeomorphisms and orthogonal isomorphisms // Metric questions of the theory of functions and mappings, No. V (Russian). — Izdat. "Naukova Dumka", Kiev, 1974. — Pp. 120-127.

6. Водопьянов С. К. Гольдштейн В. М. Структурные изоморфизмы пространств VV^ и квазиконформные отображения // Сиб. мат. журн. — 1975. — Т. 16, № 2. — С. 224-246.

7. Водопьянов С. К. Гольдштейн В. М. Функциональные характеристики квазиизометрических отображений // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 4. — С. 768-773.

8. Гольдштейн В. М. Романов А. С. Об отображениях, сохраняющих пространства Соболева // Сиб. мат. журн. — 1984. — Т. 25, № 3. — С. 55-61.

9. Vodopyanov S.K. Composition operators on Sobolev spaces. // Complex analysis and dynamical systems II. Proceedings of the 2nd conference in honor of Professor Lawrence Zalcman's sixtieth birthday, Nahariya, Israel, June 9-12, 2003. — Providence, RI: American Mathematical Society (AMS); Ramat Gan: Bar-Ilan University, 2005. — Pp. 401-415.

1Ü. Данфорд Н. Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.

11. Garrido M. I. Jaramillo J. A. Variations on the Banach-Stone Theorem // Extracta Mathe-maticae. — 2ÜÜ2. — Vol. 17, no. З. — Pp. З51-З8З.

12. Nakai M. Algebraic criterion on quasiconformal equivalence of Riemann surfaces // Nagoya Math. J. — 196Ü. — Vol. 16. — Pp. 157-184.

13. Lewis L. G. Quasiconformal mappings and Royden algebras in space // Trans. Amer. Math. Soc. — 1971. — Vol. 158, no. 2. — Pp. 481-492.

14. Водопьянов С. К. Гольдштейн В. М. Новый функциональный инвариант для квазиконформных отображений // Некоторые вопросы современной теории функций: Материалы конф. — Новосибирск, 1976. — С. 18-2Ü.

15. Водопьянов С. К. Отображения однородных групп и вложения функциональных пространств // Сиб. мат. журн. — 1989. — Т. 30, № 5. — С. 25-41.

16. Романов А. С. О замене переменной в пространствах потенциалов Бесселя и Рисса // Функциональный анализ и математическая физика: Сб. научных трудов / АН ССР. Сиб. отд-ние. — Новосибирск: Ин-т математики, 1985. — С. 117-133.

17. Водопьянов С. К. Lp-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрии и анализа. — Новосибирск: Наука, 1989. — С. 45-89.

18. Мазья В. Г. Шапошникова Т. О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.

19. Водопьянов С. К. Формула Тейлора и функциональные пространства. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1988.

2Ü. Водопьянов С. К. Геометрические аспекты пространств обобщенно-дифференцируемых функций: дис. ... д-ра. физ.-мат. наук. — Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева, 1992.

21. Мазья В. Г. О слабых решениях задач Дирихле и Неймана // Тр. ММО. — 1969. — Vol. 2Ü. — Pp. 137-172.

22. Lelong-Ferrand J. Etude d'une classe d'applications liées à des homomorphismes d'algebres de fonctions, et generalisant les quasi conformes // Duke Math.. J. — 1973. — Vol. 40. — Pp. 163-186.

23. Reimann H. M. Uber harmonische Kapazitat und quasikonforme Abbildungen im Raum // Comment. Math. Helv. — 1969. — Vol. 44. — Pp. 284-307.

24. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. — Новосибирск: Наука, 1982.

25. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. — 1969. — Vol. 448. — P. 40.

26. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 229. — Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971. — Pp. xiv+144.

27. Goïdshtein V., Gurov L., Romanov A. Homeomorphisms that induce monomorphisms of Sobolev spaces // Israel J. Math. — 1995. — Vol. 91, no. 1-3. — Pp. 31-60. http://dx.doi. org/10.1007/BF02761638.

28. Ухлов А. Д. Отображения, порождающие вложения пространств Соболева // Сиб. мат. журн. — 1993. — Т. 34, № 1. — С. 185-192.

29. Водопьянов С. К. Ухлов А. Д. Пространства Соболева и ( Р,<5)-квазиконформные отображения групп Карно // Сиб. мат. журн. — 1998. — Т. 39, № 4. — С. 776-795.

30. Водопьянов С. К. Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Соболева // Известия вузов. Математика. — 2002. — № 10. — С. 11-33.

31. Водопьянов С. К. Ухлов А. Д. Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I // Матем. тр. — 2004. — Т. 6, № 2. — С. 14-65.

32. Водопьянов С. К. Пространства дифференциальных форм и отображения с контролируемым искажением // Изв. РАН. Сер. матем. — 2010. — Т. 74, № 4. — С. 5-32.

33. Ukhlov A. Vodopyanov S. K. Mappings associated with weighted Sobolev spaces // Complex analysis and dynamical systems III. — Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008. — Vol. 455 of Contemp. Math. — Pp. 369-382. http://dx.doi.org/10.1090/conm/455/08868.

34. Ukhlov A. Composition operators in weighted Sobolev spaces on Carnot groups // Acta Math. Hungar. — 2011. — Vol. 133, no. 1-2. — Pp. 103-127. http://dx.doi.org/10.1007/ s10474-011-0104-4.

35. Bourdaud G. Sickel G. Changes of variable in Besov spaces // Math. Nachr. — 1999. — Vol. 198. — Pp. 19-39.

36. Koch H. Koskela P. Saksman E. Soto T. Bounded compositions on scaling invariant Besov spaces // J. Funct. Anal. — 2014. — Vol. 266, no. 5. — Pp. 2765-2788.

37. Koskela P. Yang D. Zhou Y. Pointwise characterizations of Besov and Triebel-Lizorkin spaces and quasiconformal mappings // Adv. Math. — 2011. — Vol. 226, no. 4. — Pp. 3579-3621.

38. Hencl S. Koskela P. Composition of quasiconformal mappings and functions in Triebel-Lizorkin spaces // Math. Nachr. — 2013. — Vol. 286, no. 7. — Pp. 669-678. http: //dx.doi.org/10.1002/mana.201100130.

39. Hencl S. Kleprlik L. Maly J. Composition operator and Sobolev-Lorentz spaces WLn'q // Studia Math. — 2014. — Vol. 221, no. 3. — Pp. 197-208. http://dx.doi.org/10.4064/ sm221-3-1.

40. Hencl S. Kleprlik L. Composition of g-quasiconformal mappings and functions in Orlicz-Sobolev spaces // Illinois J. Math. — 2012. — Vol. 56, no. 3. — Pp. 931-955. http: //projecteuclid.org/euclid.ijm/1391178556.

41. Kleprlik L. Mappings of finite signed distortion: Sobolev spaces and composition of mappings // J. Math. Anal. Appl. — 2012. — Vol. 386, no. 2. — Pp. 870-881. http: //dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.08.045.

42. Kleprlik L. Composition operators on Ware necessarily induced by quasiconformal mappings // Cent. Eur. J. Math. — 2014. — Vol. 12, no. 8. — Pp. 1229-1238. http: //dx.doi.org/10.2478/s11533-013-0392-8.

43. Vodopyanov S. K. P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Труды по анализу и геометрии / Под ред. С. К. Водопьянова. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — С. 603-670.

44. Folland G. B. Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous group. — Princeton: Princeton, 1982.

45. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // С'иб. мат. журн. — 1997. — Т. 38, № 3. — С. 657-675.

46. Pansu P. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un // Ann. Math. — 1989. — Vol. 129, no. 1. — Pp. 1-60.

47. Водопьянов С. К. Дифференцируемость кривых в категории многообразий Карно // Докл. АН. — 2006. — Т. 410, № 4. — С. 439-444.

48. Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces and differentiability of mappings // The interaction of analysis and geometry. — Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007. — Vol. 424 of Contemp. Math. — Pp. 247-301. http://dx.doi.org/10.1090/conm/424/08105.

49. Hajlasz P. Change-of-variables formula under the minimal assumptions // Colloq. Math. — 1993. — Vol. 64, no. 1. — Pp. 93-101.

50. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

51. Kilpelainen T. Weighted Sobolev spaces and capacity // Annales Academiœ Scientiarum Fennicœ Series A. I. Mathematical. — 1994. — Vol. 19. — Pp. 95-113.

52. Lu G. Weighted Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition and applications // Revista Mat. Iberoamericana. — 1992. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 368-439.

53. Folland G. B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups // Ark. Math.

— 1975. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 161-207.

54. Dairbekov N. S. Mappings with Bounded Distortion of Two-Step Carnot Groups // Proceedings on Analysis and Geometry / Ed. by Vodopyanov S. K. — Novosibirsk: Sobolev Inst. of Mathematics, 2000. — Pp. 122-155.

55. Jerison D. The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math J. — 1986. — Vol. 53, no. 2. — Pp. 503-523.

56. Isangulova D. V. Vodopyanov S. K. Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups // Eurasian Math. J. — 2010. — Vol. 1, no. 3. — Pp. 58-96.

57. Vodop'yanov S. K. Differentiability of maps of Carnot groups of Sobolev classes // Mat. Sb.

— 2003. — Vol. 194, no. 6. — Pp. 67-86.

58. Водопьянов С. К. Черников В. М. Пространства Соболева и гипоэллиптические уравнения // Тр. Ин-та математики / РАН. Сиб. отд-ние. — 1995. — Т. 29. — С. 3-64.

59. Choquet G. Theory of capacities // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). — 1959. — Vol. 9. — Pp. 83-89.

60. Водопьянов С. К. Кудрявцева Н. А. Нелинейная теория потенциала для пространств Соболева на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 2009. — Т. 50, № 5. — С. 1016-1036.

61. Решетняк Ю. Г. Гольдштейн В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. — М.: Наука, 1983.

62. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1974.

63. Федерер Г. Геометрическая теория меры. — М.: Наука, 1987.

64. Vodop'yanov S. K. Composition operators of Sobolev spaces // Modern Problems of Function Theory and its Applications. — The address of the publisher: Saratov, 2002. — 1. — Pp. 42-43.

65. Ukhlov A. Composition operators in weighted Sobolev spaces on Carnot groups // Acta Math-ematica Hungarica. — 2011. — Vol. 133, no. 1-2. — Pp. 103-127.

66. Isangulova D. V. Vodopyanov S. K. Sharp geometric rigidity of isometries on Heisenberg groups // Mathematische Annalen. — 2012. — Vol. 355, no. 4. — Pp. 1301-1329.

67. Водопьянов С. К. Гольдштейн В. М. Критерий устранимости множеств для пространств Lp квазиконформных и квазиизометрических отображений // Сиб. мат. журн. — 1977.

— Т. 18, № 1. — С. 48-68.

68. Водопьянов С. К. Ухлов А. Д. Аппроксимативно дифференцируемые преобразования и замена переменных на нильпотентных группах // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 1.

— С. 70-89.

69. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн. — 1995. — Т. 37, № 6. — С. 1269-1295.

70. Vodopyanov S. K. Differentiability of maps of Carnot groups of Sobolev classes // Sbornik Mathematics. — 2003. — Vol. 194, no. 6. — Pp. 857-877.

Публикации автора по теме диссертации

[А1] Водопьянов, С. К. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиизометрические отображения. /С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев// Сибирский математический журнал. — 2014. — Т. 55, № 5. — С. 1001-1039.

[А2] Водопьянов С. К. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиконформные отображения. /С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев // Сибирский математический журнал. — 2015. — Т. 56, № 5. — С. 989-1029.

[А3] Водопьянов С. К. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и метрические свойства отображений. /С. К. Водопьянов, Н. А. Евсеев // Доклады Академии Наук. — 2015. — Т. 464, № 2. — С. 131-135.

[А4] Евсеев Н. А. Об операторах замены переменной в весовых пространствах Соболева на группе Карно. /Н. А. Евсеев // Сибирский журнал чистой и прикладной математики (старое название: Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика). — 2015. — Т. 15, № 3. — С. 63-70.

[А5] Евсеев Н. А. Инвариантность весовых пространств Соболева на группе Карно // Материалы Х1УШ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». — Новосибирск: НГУ, 2010. — С. 121.

[А6] Евсеев Н. А. Инвариантность весовых пространств Соболева // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. — РИО ГАГУ, Горно-Алтайск, 2012. — С. 21-22.

[А7] Водопьянов С. К. Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и квазиизометрические отображения // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения Функциональные пространства Теория приближений», посвященной 105-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. — Новосибирск, 2013. — С. 327.

[A8] Евсеев Н. А. Изоморфизмы соболевских пространств на группах Карно и метрические свойства отображений // Материалы школы-конференции молодых учёных по геометрическому анализу. — РИО ГАГУ, Горно-Алтайск, 2014. — С. 10-11.

[A9] Evseev N. A. Composition operators on Sobolev spaces in a Carnot group and metric properties of mappings // Тезисы международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2014», посвященной 85-летию академика Юрия Григорьевича Решетняка. — Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2014. — С. 96.

[A10] Evseev N. A. Composition operators on weighted Sobolev spaces on a Carnot group // Тезисы международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске - 2015». — Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2015. — С. 79-80.