Функции соболевского типа на метрических пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Романов, Александр Сергеевич

• Романов, Александр Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Романов, Александр Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА M^{X,d,fi)

§1.1. Основные определения и некоторые свойства функций классов М(X, d, fi).

§1.2. Теоремы вложения разных метрик.

§ 1.3. Теоремы вложения "разных мер".

§ 1.4. О компактности оператора вложения.

§1.5. Условия компактности оператора следа.

II. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ Wa!P(X,d,^)

§2.1. Основные определения и некоторые свойства функций классов Wa,p{X, d, fi).

§2.2. Вложение пространств Wa,p{X, d, fi) в пространства Лебега.

§ 2.3. Описание пространств Wa,p(X, d, ji) в случае, когда мера удовлетворяет условию удвоения.

§ 2.4. Взаимосвязь пространств с различной "гладкостью".

§ 2.5. О следах функций класса Wa,p.

III. О КЛАССАХ СОБОЛЕВА В ЕВКЛИДОВЫХ ОБЛАСТЯХ С ГЕЛЬДЕРОВЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

§3.1. Взаимосвязь пространств Соболева Wp и пространств Мр в нулевых" пиках при больших показателях суммируемости.

§ 3.2. О компактности вложения следов соболевских функций на границе пика.

§ 3.3. Взаимосвязь пространств Соболева Wp и пространств М£ в "нулевых" пиках при малых показателях суммируемости.

§ 3.4. О компактности операторов вложения и следа.

IV. О НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

§4.1. Пространства Лоренца.

§ 4.2. Непрерывность функций, удовлетворяющих неравенству

Пуанкаре.

§ 4.3. Абсолютная непрерывность функций, удовлетворяющих неравенству Пуанкаре.

V. О НЕЛИНЕЙНОЙ ЕМКОСТИ, СВЯЗАННОЙ С ПРОСТРАНСТВАМИ СОБОЛЕВА

§ 5.1. Сингулярные меры и (1,р)- емкость в весовых классах

Соболева.

§ 5.2. О продолжении соболевских функций.

§ 5.3. Емкостные соотношения в плоском четырехстороннике.

§ 5.4. Сопряженные экстремальные функции и экстремальные отображения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функции соболевского типа на метрических пространствах»

Изучение функциональных классов, в той или иной мере являющихся обобщением классических пространств Соболева, уже в течение многих лет является актуальной задачей, имеющей многочисленные приложения в разных областях математики - анализе, геометрии, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении . В настоящее время теория функциональных классов соболевского типа активно развивается в различных направлениях.

К уже традиционным направлениям, как правило, имеющим практические приложения, можно отнести введение и изучение в областях евклидова пространства новых классов вещественнозначных функций, гладкость которых понимается в некотором обобщенном смысле. Так в работе О. В. Бесова [5] введены и изучаются функции соболевского типа с "переменной гладкостью", а в книге Д. Эдмундса и В. Д. Эванса [56] рассматриваются "абстрактные пространства Соболева" Wk(X(Q), У(Г2)), функции которых принадлежат банахову пространству X(Q<) и имеют обобщенные производные, принадлежащие банахову пространству Y(Q).

Наряду с традиционными направлениями можно отметить активно развивающиеся в последние десятилетия анализ на группах Карно и метрическую теорию функций соболевского типа.

В настоящее время на группах Карно активно изучаются различные вопросы, в которых важную роль играет принадлежность функций или отображений соответствующим классам Соболева. На группах Карно, в отличие от евклидова случая, во многих вопросах определяющую роль играет не полный дифференциал отображения, а дифференциал, вычисляемый лишь вдоль "горизонтальных" векторных полей. Групповая специфика не позволяет автоматического перенесения евклидовых результатов и требует новых подходов и методов доказательств, которые порой оказываются близки к используемым при изучении свойств функций на метрических пространствах. Подробное обсуждение вопросов теории отображений с ограниченным искажением и различных свойств соболевских функций на группах Карно можно найти в работе С. К. Водопьянова [76], содержащей обширную библиографию.

В последнее время появилось много работ, в которых изучаются различные обобщения функциональных классов соболевского типа, связанные с метрическими пространствами.

В работах Ю. Г. Решетняка [26,27,28] были введены и изучены классы функций соболевского типа со значениями в метрическом пространстве. Оригинальный подход к определению таких функциональных пространств позволил получить аналоги многих классических результатов, известных для пространств Соболева.

Нас же в первую очередь будет интересовать ситуация, когда метрическое пространство является областью определения функции.

Вполне актуальным и целесообразным представляется введение и систематическое изучение (в дополнение к традиционно рассматриваемым на метрических пространствах классам непрерывных, липшицевых и суммируемых функций) новых классов функций с обобщенной "гладкостью", наследующих многие характеристические свойства классических пространств Соболева, которые в евклидовом случае имеют многочисленные приложения.

В общем случае на метрических пространствах нет никакой линейной структуры и как следствие нет адекватного понятия дифференциала функции. Поэтому метрическое определение функций соболевского типа естественным образом должно отличаться от традиционного определения пространств Соболева, используемого в евклидовом случае. При всем внешнем различии формулировок, а порой и различии получаемых в итоге классов функций, в основе разных подходов к определению функциональных классов соболевского типа на метрических пространствах лежит единый принцип - для функций пространства Wp(B) на шаре В С Rn выделяется какое-либо характеристическое свойство, допускающее переформулировку в терминах произвольной метрики и подходящей борелевской меры, а затем это свойство используется в качестве аксиомы принадлежности функции соответствующему классу соболевского типа на метрическом пространстве. В результате получаемые классы функций, совпадая на шарах В С Rn с классическими пространствами Соболева, в общем случае на метрических пространствах могут оказаться существенно различными.

Наиболее общий - аксиоматический подход к определению соболевских классов функций предложен в работе В. М. Гольдштейна и М. Трояно-ва [58], формализовавших минимальный набор требований, позволяющий определить на метрическом пространстве функциональные классы, совпадающие в евклидовом случае с пространствами Соболева. В эту схему вписываются большинство из известных классов соболевского типа на метрических пространствах. К сожалению, минимальный набор условий позволяет получить лишь ограниченный набор содержательных утверждений о свойствах функций.

На связном метрическом пространстве (X, d) стандартным образом определяются класс спрямляемых кривых и понятие интеграла по кривой.

Ю. Хейноненом и П. Коскелой для функции и : X —> R было введено понятие "верхнего градиента" [67,68] - неотрицательной функции д такой, что и(х)-и(у)\ < J gdl 7 для всякой кривой 7, соединяющей точки х и у. Очевидно, что определение "верхнего градиента" является обобщением стандартной оценки, в которой в евклидовом случае вместо функции д стоит |Vw|. При этом класс функций соболевского типа Wp (X, d, ц) определяется как совокупность функций, у которых "верхний градиент" суммируем в степени р по мере /I [59,66,67,68].

На метрическом пространстве (X, d) с борелевской мерой ц естественным образом записывается аналог ^неравенства Пуанкаре Ур

-j |и — ив(х,р)\ < р -j gpdn

Б(х,р) \В(х,р) где д - некоторая неотрицательная функция. Учитывая имеющуюся в евклидовом случае взаимосвязь между принадлежностью функции и пространству Соболева Wp{B) и выполнением для нее соответствующего неравенства Пуанкаре, классы функций, удовлетворяющих на метрическом пространстве неравенству (*), можно считать функциональными классами соболевского типа.

Свойства функций, удовлетворяющих на метрическом пространстве неравенствам Пуанкаре, довольно подробно изучатся в работе П. Хайлаша и П. Коскелы [64], а также рассматриваются в работах [59,61,62,68].

В первой главе диссертации на метрическом пространстве {X, d) с борелевской мерой IX изучаются классы функций М^ (X, d, ц), введенные П.Хай-лашем [60]. В основе определения данного функционального пространства лежит выполнение для функции и G М* (X, d, ц) глобальной оценки "липшицевого типа" и(х) - и{у)| < d(x, у)(д(х) + д(у)) с некоторой допустимой функцией д Е Lp(X, /х).

В евклидовых областях G С Rn с достаточно регулярной границей (к примеру, липшицевой) при р > 1 пространство , | * |,mn), определяемое по стандартной евклидовой метрике и мере Лебега, совпадает с классическим пространством Соболева Wp{G), а в качестве допустимой может быть выбрана функция пропорциональная максимальной функции модуля градиента функции и [8,60].

В работе [60] показано, что получаемое функциональное пространство будет банаховым, а липшицевы функции образуют в нем всюду плотное подмножество. Различные свойства пространств Мр(Х, d, р) и их взаимосвязь с другими классами функций изучаются в работах [59,60,61,62,63,64].

Если не предполагать никакой взаимосвязи между метрикой и мерой, то сложно ожидать какой-либо дополнительной содержательной информации о свойствах функций классов Мр. В случае, когда мера р удовлетворяет условию s-регулярности (р,(В(х,р)) > С ps), П.Хайлашем [60] для пространств Мр (X, d,, р) был получен аналог классической соболевской теоремы вложения в пространства Лебега Ьд(Х,рь).

Для пространств Mp(X,d, р) вполне содержательная теория, включающая в себя различные варианты теорем вложения, получается в случае, когда мера р, удовлетворяет простому геометрическому "условию удвоения" т.е. мера шара удвоенного радиуса допускает оценку сверху через меру исходного шара. Всякая мера, удовлетворяющая условию удвоения, является 5-регулярной с показателем s = log2 Cd, который в теоремах вложения для пространств Мр(Х, d, р) играет роль "размерности" метрического пространства (X,d). Метрических пространств, на которых можно ввести меру, удовлетворяющую условию удвоения, достаточно много. Как показали А. Л. Вольберг и С. В. Конягин [10,11] такие меры могут быть заданы на любом компакте в Rn.

Далее при обсуждении результатов первой главы мы будем предполагать, что мера р удовлетворяет условию удвоения, а символом s обозначен ее показатель регулярности. Важным следствием этого предположения является возможность довольно удобного конструктивного описания допустимых функций, полученного П. Хайлашем и Ю. Киннуненом [63].

Для всякой локально суммируемой функции и и произвольного 7 € (0,1] уточненная максимальная функция порядка 7 однозначно определяется во всех точках множества X равенством fi(B(x,2p))<Cdv(B(x,p))

При этом, согласно работе [63], для всех точек Лебега локально суммируемой функции и выполняется неравенство

Помимо этого в работе [63] доказано, что при 1 < р < оо для функции и G Lp(X, fi) следующие три условия эквивалентны:

3. существует такая функция h G LP(X, //), что неравенство Пуанкаре выполняется для произвольных х £ X и р > 0.

Отметим, что эквивалентность пунктов 1 и 2 полностью согласуется с результатом А. Кальдерона [55], показывающим, что в евклидовом случае при р > 1 принадлежность функции и пространству Соболева Wp(Rn) эквивалентна принадлежности самой функции и и ее уточненной максимальной функции первого порядка uf пространству Лебега Lp(Rn).

Выполнение для функций пространства Мр (.X, fi) неравенства Пуанкаре позволяют переформулировать в удобной для нас форме результат работы П. Хайлаша и П. Коске л ы [64]: произвольная последовательность функций, ограниченная в норме Mp(X,d, /л), содержит подпоследовательность, сходящуюся в Lq{X,fj) к некоторой функции и € /л), где

1- 1 < Q < sPlp при 1 < р < S]

2. 1 < q < оо при р> s.

Из формулировки теоремы видно, что условия на показатель суммируемости q полностью определяются соотношением между значениями р и s - показателем регулярности меры fi относительно метрики d.

Поскольку строение пространств Мр{Х, d, fi) определяется метрикой d и мерой fi, то и соответствующие теоремы вложения по аналогии с терминологией книги С. М. Никольского [23] естественным образом можно разбить на два типа: теоремы вложения разных метрик и теоремы вложения разных мер.

Под теоремами вложения разных метрик обычно понимают вложения в пространства функций, имеющих гладкость меньшую чем гладкость исходного пространства. При 0 < 7 < 1 в определении пространств соболевского

Мя) - < C{d(x, у)У(и*(х) + иПу)).

1.we Мр (X, d, /х);

2. uf eLp{X^)в{ типа расстояние d(x,y) можно заменить на d^x^y) = {dlx.y))1 и получить соответствующие гельдеровы классы МДХ, d, fi). Однако d1(x,y) в свою очередь является метрикой, поэтому возникающие гельдеровы классы d, fi) относительно исходной метрики d часто оказывается более удобным рассматривать как пространства соболевского типа с "единичной гладкостью" Мр(Х, dy, /л) относительно новой метрики d7. Достоинство такого подхода заключается в том, что для пространств Мр(Х, d7, /а) не требуется новых доказательств теорем вложения, т.к. достаточно пересчитать показатель регулярности меры ц относительно новой гельдеровой метрики и воспользоваться уже имеющимся результатом. При этом термин "теоремы вложения разных метрик "можно понимать в буквальном смысле.

В евклидовом случае пространства М* относительно гельдеровых метрик использовались в работе П. Хайлаша и О. Мартио [65] при изучении следов соболевских функций на фракталах.

Формулируемые ниже теоремы получены в работах автора [32*, 37*] и характеризуют взаимосвязь пространств соболевского типа определяемых разными метриками и разными мерами.

Теорема 1.2.2. Пусть 1 < р < оо, 0 < 7 < 1. Тогда пространство Mp(X,d, ц) непрерывно вложено в пространство М){Х1 d~n /л), где

1- 1 ~ | = 7 ~ т при (1 - 7)р < s;

2. 1 < г < оо при (1 — 7)р > s.

В работе [63] показано, что при 1 < р < s для всякой функции и (Е Мр(Х, d, /2), произвольных 0<7<1и£>0 существуют функция w и открытое множество U С X такие, что

1. и = w почти всюду в X \ U,

2. функция w является гельдеровой с показателем 7,

3. #£([/) < , где /? > s—(1—7)р, а через H^U) обозначена /3-вместимость Хаусдорфа множества U.

При (3 > s — (1 — 7)р этот результат может быть получен как следствие теоремы 1.2.2., т.к. согласно доказываемой в диссертационной работе лемме 1.3.1. уточненная максимальная функция и# будет конечной вне множества нулевой /?-меры Хаусдорфа.

И. А. Иванишко и В. Г. Кротов [13,14] рассматривали функциональные классы и максимальные функции несколько более общего вида

1 г

U#(x) = Slip -jr-r 4 | и- uB^p)\dp, р>о где положительная возрастающая функция rj допускает двухстороннюю оценку через степенные функции с различными показателями степени. В работе [14] были получены довольно тонкие оценки для максимальных функций, определяемых функциями rj(t) и rj(t) ■ ta соответственно.

В параграфе 1.4. получены условия компактности оператора вложения.

Теорема 1.4.2. Пусть 1<р<оо,0<7<1. Оператор вложения

I: МЦХ, d, ц) М}(Х, dy, р) будет компактным при

1- 1 < г < s (iS 7у К0ГДа С1 - 7)Р < s;

2. 1 < г < оо, когда (1 — ~f)p = s;

3. 1 < г < со, когда (1 — 7)р > s.

Теоремы вложения разных мер (разных измерений) обычно связывают задачей описания следов функций из соболевских классов на подмножествах, имеющих размерность меньшую чем исходное пространство.

Пусть мера \i удовлетворяет условию удвоения и является s-регулярной, s > 1, а подмножество Е С X и удовлетворяющая условию удвоения s'-регулярная мера v таковы, что для произвольного шара В(х,р) с центром х € Е верна оценка ъ>(В(х, р)) < Cp~afi(B(x, р)), где а — s — s' > 0.

Согласно определению, функция и, принадлежащая пространству Мр(Х, d, /z), вообще говоря, может быть определена лишь /л-почти всюду в X и ее значения могут быть не заданы на множестве А С Е, для которого v{A) > 0. Однако при р > а из доказываемой в работе леммы 1.3.1. следует, что v- почти все точки множества Е являются точками Лебега функции и G Mp(X^d,p). Это позволяет доопределить функцию и почти всюду на множестве Е (в смысле меры г/) и получить корректно определенный оператор следа.

Как и в евклидовом случае, получить полное описание следов оставаясь в рамках шкалы пространств М^ не удается, однако возникающие гель-деровы пространства близки к пространству следов. Для евклидовых областей G С Rn с гладкой границей пространство следов функций класса Wp(G) = Мр(С?, | * |,т„) совпадает с пространством Бесова B^~l/p{dG)

6,50]. При этом для любого е > О

Bl~llv(dG) С M^flG, | * I1"1/*5, Я""1) С Blzll{jp~s\dG), где | * | - евклидова метрика, Нп~1 - мера Хаусдорфа на dG [65].

В теореме 1.3.3. рассматривается вопрос о непрерывности оператора следа

Тг : МЦХ, d, ji) -»• М}(Е, d1: и), а в параграфе 1.5. устанавливаются условия его компактности.

Теорема 1.5.1. Пусть 1 < р < оо, 0 < а < mm{s,p} и 0 < 7 < 1 — а/р. Тогда оператор следа

Тг : rf, ц) -> МЦЕ, сЦ, и) будет компактным при

L 1 ^ г < s ^"L^y когДа С1 ~ 7)Р <

2. 1 < г < оо, когда (1 — 7)р = s;

3. 1 < г < оо, когда (1 — 7)р > 5.

Из теоремы 1.5.1. и теоремы вложения 1.1.1. следует результат о компактности оператора следа в пространствах Лебега.

Теорема 1.5.2. Пусть 1<р<оои0<а< mm{s,p}. Тогда оператор следа

Tr:Mlp{X,d,}i)-+Lq{E, v) будет компактным при T)(s — си)

1- 1 < Я. < s -p i когда р < S)

2. 1 < q < 00, когда р = s;

3. 1 < q < сю, когда р > s.

Во второй главе изучаются введенные в работах [34*,35*] функциональные пространства Wa,p{X, d, /i). Приращение функций, принадлежащих таким классам, контролируется мерой шара, содержащего точки х и у, и допустимой неотрицательной функцией, суммируемой в степени р, т.е.

Кж) - и(у)I < (М(ъу))1/аШ+9(у)), где М{х, у) - мера соответствующего шара, содержащего точки х и у, а функция д G Lp(X, р).

При изучении пространств d,fj) можно было заметить, что в доказательствах теорем вложения, основную роль играет оценка приращения функции не через расстояние между точками х и у, а получаемая в процессе доказательства подходящая оценка через меру соответствующего шара, содержащего точки х и у. С другой стороны, оценки приращения функции через меру подходящего шара появляются и при изучении свойств функций других функциональных классов соболевского типа, к примеру, в работе [8] при изучении свойств монотонных функций из пространств Соболева на группах Карно. Поэтому представляется вполне естественным введение и изучение таких классов функций, формально не вписывающихся в аксиоматику работы В. М. Гольдштейна и М. Троянова [58]. В случае неоднородных мер, пространства Wa,p(X, d. /х) можно воспринимать как классы функций с переменной гладкостью, зависящей от строения меры в окрестности данной точки. Такая точка зрения вполне согласуется с подходом О. В. Бесова к определению классов функций с переменной гладкостью в евклидовом случае [5].

В случае, когда существует двусторонняя степенная оценка меры шара через его радиус ( С\Г3 < ц(В{х,г) < С2Г5 ), пространства WStP(X, d, ц) и Мр(Х, d, fi) совпадают, а на произвольном шаре В С Rn пространство Wn>p(B, |*|, тп) совпадает с классическим пространством Соболева Wp(B). В общем случае пространства Wa,p(X,d, р) и Mp(X,d, (i) оказываются существенно различными, при этом в наиболее интересном (с точки зрения выполнения теорем вложения) случае s-регулярных мер где нижняя грань берется по множеству допустимых функций. Относительно такой нормы пространство Wa>p(X, d, ц) является банаховым.

Для пространств Wa>p(X, d, /./,) выполняется аналог соболевской теоремы вложения в пространства Лебега.

Теорема 2.2.1. Пусть а > 1 и функция и € WatP(X, d, fi). 1. Если р < а, то и е Lq(fi), где i = J - и

М WaJ>\\ = \\u\ Х„||+ inf||p |LP||

3. Если р> а, то

IIи-их | LooII < С\\и I Ьаф||.

Отметим, что в отличие от теоремы вложения для пространств типа в данном случае не требуется дополнительных предположений о взаимосвязи метрики и меры, а роль "размерности" метрического пространства выполняет показатель а.

Приведенные в параграфе 2.2. примеры показывают, что при внешней схожести формулировок соответствующих теорем вложения для пространств Мр и Wa,p внутреннее содержание получаемых результатов в общем случае оказывается весьма различным даже для функций одновременно, принадлежащих этим пространствам. В случае неоднородных мер оценка на показатель суммируемости q, получаемая в теореме 2.2.1. оказывается более точной.

В случае, когда мера д удовлетворяет условию удвоения, для локально интегрируемой функции и : X —> R к а > 1 вводятся максимальные функции специального вида и доказывается ( лемма 2.3.2. ), что неравенство

Ж - <у)\ < С(М(х,y))1/a(utjx) + ui^y)) выполняется для всех точек Лебега функции и.

При 1 < р < оо в теореме 2.3.3. получено описание пространств Wa,p(X,d,fi) в терминах максимальных функций и показана эквивалентность этого описания выполнению аналога неравенства Пуанкаре j- \и- uB{XiP)\dfi < (fi(B{x, p))l/a -f- hdji.

B(x,p) B{x,p)

Описание рассматриваемых функциональных классов через максимальные функции позволяет довольно просто получить результат характеризующий взаимосвязь пространств типа Wa,p с различными показателями "гладкости".

Теорема 2.4.1. Пусть 1 < р < оо, и а < I < оо. Тогда пространство Wa.p(X,d, р) непрерывно вложено в пространство Wi!q(X,d, /л), где

1 1!-1! ппи I a p ~ I q p P ol I'

111

2. 1 < q < оо при p < ~ — j.

В шкале пространств И^^Х, с?, у) удается получить и аналог теоремы вложения для пространства следов на множестве "меньшей размерности".

Теорема 2.5.2. Пусть 1 < р < оо, max (0,1 - р/а) < 7 < 1, Е С X и мера v такова, что для произвольного шара с центром в точке х £ Е = supp v выполняется оценка v{B(x,r)) < C{fi(B{x,r))y.

Тогда пространство LajP(X, d, ц) непрерывно вложено в пространство Lltq(E,d,v), где

1. - \) = р - к при к ~ ? - Ь <

2. 1 < q < 00 при к ~ "J ~ J} ^

Отметим, что в евклидовом случае, получаемые в теореме 2.5.2. оценки для показателей "гельдеровости" и суммируемости согласуются (за исключением предельных значений) с соответствующими показателями для следов соболевских функций на гладкой гиперповехности.

Последовательное применение теоремы 2.5.2. и теоремы вложения 2.2.1. позволяет получить результат о вложении пространства следов в пространства Лебега.

Следствие 2.5.4 Пусть 1 < р < 00, min(0,1 — р/а) < 7 < 1 ,Е С X и мера v такова, что для произвольного шара с центром в точке х £ Е = supp и выполняется оценка

С-\ц{В(хуг))У < v(B(x,r)) < С(м(В(х,г))Р.

Тогда для функции и £ La^p(X, d, /1) верны следующие утверждения.

1. Если р < а, то и £ Lq(u), где -q — р — к~> 11 и - иЕ I Lq(y)\\ < C\\u I LQ|p||.

2. Если р = а, то существуют постоянные С\ и С2 такие, что exp U и) dv < С*.

JE \ \\и\ LQtP(x,dtp)11/

3. Если р > а, то

- иЕ | Loo|| < С\\и I LaJ\.

В третьей главе рассматривается модельная ситуация, в которой результаты, полученные для классов функций соболевского типа на метрических пространствах, используются при изучении свойств функций, принадлежащих классическим пространствам Соболева в евклидовых областях с гельдеровой особенностью.

Нас будет интересовать вопрос о компактности вложения следов соболевских функций в лебеговские классы на границе "нулевого" пика.

Непрерывность и компактность оператора вложения

I: Wlp{G) Lq(G) для областей с гельдеровыми особенностями даже более общего вида достаточно подробно изучены в работах О. В. Бесова, Д. А. Лабутина, В. Г. Ма-зьи . [2,3,4,17,18,20]. При этом вопрос о компактности оператора следа

Tr : Wp(G) Lq(8G) для областей с нерегулярной границей исследован мало. Отметим работу М. Ю. Васильчика и В. М. Гольдштейна [7], согласно которой в "нулевом" пике G<p С Rn пространство следов соболевских функций класса H/21(G'(/,) компактно вложено в весовое пространство Лебега L2,Cp(dGip) на границе пика.

Точку пространства Rn будем обозначать через (х,у), где х G R, у € Я71-1. Для 1 < А < со пик G\ С ЕР определим условием:

G\ = {(х,у) € RP | 0 < х < 1, 0 < ук < хх, к = 1,. .,n- 1}.

Обозначим через тп сужение п- мерной меры Лебега на пик G\, а через а сужение (п — 1)- мерной меры Хаусдорфа на границу пика G\.

Введем показатель Л = 1 + (п — 1)А. Поскольку для меры шаров с центром в вершине пика выполняется оценка |£?(0,г) П (7д| ~ СгЛ, то в различных оценках показатель Л часто играет роль "размерности" пика G\.

Схема доказательства в данном случае основана на выяснении взаимосвязи пространств Соболева Wp(G\) с пространствами Mp(G\, d, fi) и последующем применении уже имеющихся теорем вложения для пространств соболевского типа.

Основным результатом главы является

Теорема 3.4.8. Пусть ^ < р < оо, тогда оператор следа

Tr : Wp{G\) —> Lq(dG\,a) является компактным при когда д д + ! < р < Л;

2. 1 < # < со, когда р = Л;

3. 1 < g < оо, когда р > Л.

Построенный в параграфе 3.2. пример показывает, что, не смотря на некоторую экзотичность используемого метода, полученная в первом пункте теоремы оценка на показатель суммируемости q является точной. Это означает, что и промежуточные оценки являются точными.

При р > ^ удается показать, что

W}(G\) = Mlp(Gx, | * \,тп).

Поэтому интересующий нас результат является следствием теоремы 1.5.2. и цепочки вложений

W}(GX) =» Ml(GXi | * |,mn) Lq(d(Gx),cr).

При достаточно больших показателях р доказательство совпадения в "нулевом" пике пространств Соболева и пространств М* основано на специальной конструкции оператора продолжения "с ухудшением класса"

Ext: W}(GX) -> W^Gi), где 1 < г < р.

При р < ^ таким приемом воспользоваться нельзя, т.к. оператор продолжения оказывается неограниченным, и доказать совпадение соответствующих функциональных классов не удается. Однако удается получить достаточное для наших целей вложение.

Введем в пике Gx новую метрику с/, полагая d((xi,yi)] {Х2:У2)) = \j(x\~X§)2 +\yi-y2\2, и весовые меры fi и v определяемые условиями: dfi = xp^-l)dmn, dp = xP^da.

Тогда

Wi(Gx)cM^(Gx,d,fi).

Интересующий нас результат вновь является следствием цепочки вложений

W}(GX) => Mp(G\, d, ц) M}(d(Gx), v) Ls(d(Gx), v) Lq{d(Gx), a).

При этом на каждом шаге вложение либо уже известно, либо является простым следствием неравенства Гельдера.

В ходе доказательства кроме основного утверждения получаются и другие результаты о непрерывности и компактности оператора вложения и оператора следа в соответствующих функциональных пространствах. Как уже было отмечено, часть этих результатов, являются известными (О. В. Бесов, Д. А. Лабутин, В. Г. Мазья), а часть результатов, в частности вложения в пространства М*, являются новыми. Хотя соответствующие пространства М^ относительно гельдеровых метрик отличаются от пространства следов, однако они близки к нему, и вложения в такие классы функций в некоторых случаях оказываются вполне информативными.

Условия компактности оператора вложения получены для случаев: : Wp(G\) =Ф- Mr(G\,dj,/j,)]

I : W${GX) Mq(Gx- d7, mn);

I: W£(Gx)=> Ml (Gx,\*\\mn);

I: W}(GX) C°«(Gx)l I :W}(Gx)=^Lr(Gx:fi).

Условия компактности оператора следа получены для случаев:

Тг : W${Gx) M}(dGXl d7, i/);

Tr : Wp(Gx) Mg(dGx, <7);

Тт : Wp(Gx) MfrdGx, | * |7,cr);

Tr : Wp{Gx) C^{dGx)\

Tr : Wp(Gx) Lr(dGx,v)

В четвертой главе исследуются вопросы, связанные с непрерывностью функций соболевского типа [38*].

Согласно классической теореме вложения при р > п соболевское пространство Wp(Rn) вложено в пространство непрерывных функций, а пространство W*(Rn) уже содержит разрывные функции. Очевидно, что в рамках стандартной шкалы пространств Соболева нельзя получить ответ на вопрос о минимальных условиях, которые обеспечивают непрерывность функции, имеющей обобщенные производные.

В евклидовом случае близкий к оптимальному результат был получен в работе Ю. Кауханена, П. Коскелы, Я. Малы [70].

Пусть G - область в евклидовом пространстве Rn.

Функцию / : G —» R называют п-абсолютно непрерывной, если для произвольного £ > 0 существует такое 5 > 0, что для любого семейства непересекающихся шаров B(xk, г^) С G из условия rl < 8 к следует (ojc f)n < £. к Вк

Согласно работе [70] всякая функция класса Wiloc(G), градиент которой принадлежит пространству Лоренца £пд((7), эквивалентна некоторой n-абсолютно непрерывной функции. Это более тонкий результат по сравнению с классической соболевской теоремой вложения, поскольку для произвольной ограниченной области G С Rn и любого р > п выполняется вложение LP(G) С LThi(G) С Ln{G).

Отметим, что условие принадлежности градиента функции пространству Лоренца L1lti(G) ранее использовалось в работе И. Стейна [74] в связи с изучением вопроса о дифференцируемости функций с обобщенными производными.

В диссертационной работе рассматриваются классы функций, удовлетворяющих неравенству Пуанкаре на s-регулярных метрических пространствах. В довольно общей ситуации, включающей в себя евклидов случай, удается получить прямое доказательство s-абсолютной непрерывности функций, у которых "метрический аналог градиента" принадлежит соответствующему пространству Лоренца. При этом, в метрическом случае техника доказательств существенно отличается от методов, используемых в работе [70] для евклидова случая.

В параграфе 4.1. обсуждаются свойства функций из пространств Лоренца. В леммах 4.1.1. и 4.1.2. доказываются две оценки, связанные с нормировкой пространств Лоренца и используемые в последующих доказательствах. В параграфе 4.2. исследуется вопрос о непрерывности функций, удовлетворяющих неравенству Пуанкаре на s-регулярных метрических пространствах.

Полное метрическое пространство (X, d) называют s-регулярным ( s > 0 ), если существуют такие постоянные 0 < Li < L2 < 00 и такая борелевская мера р, что для всякого шара В(х, р) С X при р < diamX выполняется оценка

Будем говорить, что пара функций (/, д) удовлетворяет р-неравенству Пуанкаре на метрическом пространстве (X,d), если функция / Е L\{X), неотрицательная функция д Е LP(X) и для всякого шара В = В(х, р) С X выполняется оценка где постоянные L и <т не зависят от выбора шара.

Как уже отмечалось, классы функций, удовлетворяющих неравенствам Пуанкаре на метрических пространствах с борелевской мерой, довольно подробно изучаются в работе [64].

Основным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема 4.2.2. Пусть р € [1,5), пара функций (/, д) удовлетворяет р-неравенству Пуанкаре на s-регулярном метрическом пространстве (X, d) с борелевской мерой функция / Е Li(X, р), а неотрицательная функция д принадлежит пространству Лоренца LSji(X). Тогда класс эквивалентности функции / содержит непрерывную функцию.

В параграфе 4.3. вводится понятие локально «-регулярного метрического пространства и в лемме 4.3.1. доказывается выполнение р-неравенства Пуанкаре специального вида для пары функций (/, /г), где h - максимальная функция, построенная по функции д.

Доказательство абсолютной непрерывности основано на получаемой в лемме 4.3.2. оценке отклонения значения функции в произвольной точке шара от среднего значения по шару.

Лемма 4.3.2. Пусть р Е [1,5), пара функций (f,g) удовлетворяет р~ неравенству Пуанкаре на локально 5-регулярном метрическом простран

LlPs <p(B(x,p))<L2ps. стве (X,d), функция / G Li(X), а неотрицательная функция g принадлежит пространству Лоренца LSii(X). Тогда для всякого шара В С X и произвольной точки z € В, являющейся точкой Лебега функции /, выполняется неравенство

-/в|<С||Л.хв1к1, где h - функция из леммы 4.3.1.

Эта оценка позволяет довольно просто получить основной результат главы.

Теорема 4.3.3. Пусть р £ [l,s), пара функций (/,</) удовлетворяет р-неравенству Пуанкаре на локально s-регулярном метрическом пространстве (X,d), функция / € Li(X), а неотрицательная функция д принадлежит пространству Лоренца LSti(X). Тогда класс эквивалентности функции / содержит з-абсолютно непрерывную функцию.

По аналогии с введенными П. Хайлашем [60] функциональными пространствами соболевского типа пространство М}^(Х) определим как класс функций, у которых допустимые функции принадлежат пространству Лоренца LSi i(X).

Для функций из пространства М^Х) доказывается выполнение подходящего варианта неравенства Пуанкаре и как следствие теоремы 4.3.3. получается утверждение о том, что всякая функция / £ М^Х) эквивалентна некоторой s-абсолютно непрерывной функции.

Из теоремы 4.3.3. почти непосредственно следует соответствующий результат для евклидова случая, полученный ранее в работе [70] совершенно иным способом.

Результаты пятой главы объединяет между собой понятие нелинейной емкости, связанной с соболевскими пространствами в евклидовых областях. Обсуждаемые в главе результаты опубликованы в работах автора [29*,30*,33*,39*].

В параграфе 5.1. изучается одно свойство емкости, связанной с пространствами Соболева по произвольной мере. Несколько неожиданный эффект был обнаружен В.Д.Степановым и Д.В.Прохоровым [24] при изучении весовых неравенств на прямой - оказалось, что в одномерной ситуации значение емкости произвольного конденсатора полностью определяется абсолютно непрерывной составляющей меры, а вклад сингулярной части меры оказывается нулевым. В диссертации рассматривается взаимосвязь между сингулярными мерами и соответствующей емкостью в пространственном случае.

Конечную регулярную борелевскую меру а в D (a(D) > 0) будем называть р - тривиальной, если для любого конденсатора К и любой конечной абсолютно непрерывной меры v сарр(К, у + о) = сарр(К, и).

Несложно показать, что всякая р - тривиальная мера является сингулярной. С другой стороны линейная мера Хаусдорфа на отрезке [а, (3} С Rn при п> 2 является сингулярной, но не является р - тривиальной.

Основным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема 5.1.3. Пусть Е С D ~ множество нулевой линейной меры Хаусдорфа. Тогда всякая конечная регулярная борелевская мера, носитель которой содержится в множестве Е, является р - тривиальной.

В основе доказательства, как и в работе [24], лежит перестройка допустимой функции, в результате которой функция становится локально постоянной на носителе сингулярной меры.

В параграфе 5.2. обсуждаются вопросы, связанные с существованием ограниченного оператора продолжения соболевских функций из области на все евклидово пространство.

Достаточные условия, характеризующие границу области и гарантирующие существование ограниченного оператора продолжения, как правило, являются универсальными и при их выполнении продолжение возможно сразу для всей шкалы пространств Wp(G). При изучении необходимых условий обычно проявляется зависимость от показателя суммируемости р. К примеру, в емкостном условии (c&pp(K,Rn) < С capV(K, G) для всякого конденсатора К С G) зависимость от р вполне очевидна, т.к. при pi < довольно просто привести пример конденсатора, имеющего нулевую р\-емкость и положительную р2~емк°сть [22]. В работе В. Г. Мазьи [19] построена плоская ограниченная область ("акула" с обложки книги [20]), допускающая продолжение функций из пространств Соболева при р € [1,2) и не допускающая продолжения при р > 2. В этом примере верхняя грань показателей суммируемости, для которых существует ограниченный оператор продолжения, одновременно является нижней гранью тех р, при которых пространство Wp(R2) вложено в пространство непрерывных функций. Нас интересовало, насколько существенно это совпадение? Иными словами, существует ли для некоторого числа q ф 2 плоская ограниченная область, допускающая продолжение функций классов Соболева Wp при р < q и не допускающая продолжения при р > q.

Будем говорить, что область G С R2 принадлежит классу Extp, если существует ограниченный оператор продолжения

Ext: W${G) -> W^{R2).

Основным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема 5.2.1. Для произвольного числа q Е (1,2) существует такая ограниченная плоская область Gq, что a) Gq G Extp при р G [1, q)\ b) Gq ^ Extp при р> q.

Основная идея построения области Gq близка к используемой в примере В. Г. Мазьи, только в данном случае расположение "зубов акулы" и их размеры согласованы с некоторым канторовским множеством хаусдорфо-вой размерности а, где а € (0,1). При этом значение q является границей тех показателей суммируемости р, при которых р-емкость канторовского множества равна нулю [22].

В параграфе 5.3. устанавливается вполне естественная взаимосвязь между сопряженными емкостями двух конденсаторов, образованных парами противоположных "сторон" плоского криволинейного четырехсторонника.

Плоскую ограниченную область G с отмеченными четырьмя граничными точками будем называть четырехсторонником и обозначать Gа получаемые на границе замкнутые дуги будем называть его "сторонами".

Основной результат параграфа показывает взаимосвязь сопряженных емкостей пар противоположных "сторон" (i*o, F\) и (jE70, Е\) четырехсторонника G

Теорема 5.3.3. При всех показателях р Е (1, оо) для произвольного четырехсторонника G* С R2 выполняется равенство caPp(F0, Fi)]1^ • [сарр,(Яо, £i)]W = 1, ^ =

В конформном случае на плоскости ( р=2 ) это соотношение хорошо известно [1] и является следствием теоремы Римана о конформной эквивалентности односвязных областей и непосредственного вычисления емкости пары противоположных сторон прямоугольника. Для областей евклидова пространства Rn аналогичное соотношение между конформной емкостью (р = п) и соответствующим модулем семейства разделяющих поверхностей тоже известно [15,77]. Однако найти какие-либо упоминания о подобных соотношениях для неконформной емкости автору обнаружить не удалось. Прогресс в вопросе о регулярности экстремалей р-функционала Дирихле [52,57,71], достигнутый со времени написания работы В. Цимера [77], позволяет использовать совершенно иную технику и структуру доказательств.

В диссертации доказательство основано на двух свойствах экстремальных функций:

1. экстремальная функция и является гладкой [52,57,71] и в обобщенном смысле удовлетворяет уравнению div(|Vu|p-2 • Vu) = 0;

2. для почти всех t € (0,1)

J \Vu\p~l dl = const, u—t лемма 5.3.4.

Используя эти свойства, довольно просто показывается, что векторное поле А = |Vu\p~2 является потенциальным, а функция v: являющаяся его потенциалом, пропорциональна экстремальной функции для сопряженной емкости двух других "сторон" четырехсторонника.

В результате возникает класс экстремальных отображений Ф(х:у) = (u(x,y),v(x,y)), обладающих следующими свойствами:

1. отображение Ф является гомеоморфизмом области G и прямоугольника Р со сторонами длины 1 и cap^Fo, F\)]

2. функция и является экстремальной для р-емкости пары "сторон" (jFo, Fi) и в обобщенном смысле удовлетворяет уравнению div(|V<~2 • Vu) = 0, функция v пропорциональна экстремальной для р'-емкости пары "сторон" (Eq, Ei) ив обобщенном смысле удовлетворяет уравнению div(|Vw|p'~2 • Vu) = 0;

3. градиенты функций и и v взаимно ортогональны;

4. функции и и v удовлетворяют системе уравнений dv \тг7„ \p-2du dv \v7.\p-2du которая при р = 2 превращается в систему Коши-Римана.

Рассмотрим совокупность всех четырехсторонников порождаемых областью G и класс всех соответствующих р-экстремальных гомеоморфизмов обозначим через Hp(G).

Пусть G\,G2 С R2 - ограниченные односвязные области с жордановы-ми границами. Будем говорить, что гомеоморфизм L : G\ —> G2 является ^-экстремальным, если L = Ф^Г1 о Фь где Ф1 £ Hp{Gi),<&2 £ ^>(^2)-Класс соответствующих ^-экстремальных гомеоморфизмов обозначим через #p(Gi,G2).

Возможность отображения произвольного четырехсторонника на соответствующий прямоугольник показывает, что ^-экстремальных гомеоморфизмов достаточно много. С одной стороны, свойства таких гомеоморфизмов должны существенным образом зависеть от показателя суммируемости р, с другой стороны, можно надеяться, что для них будут выполняться некоторые аналоги утверждений о конформных отображениях, известные из классического комплексного анализа . В частности, для р~ экстремальных гомеоморфизмов удается довольно просто получить аналог теоремы Римана о конформной эквивалентности односвязных областей.

Теорема 5.4.1. Пусть Gi, G2 С R2 - две ограниченные односвязные области с жордановыми границами Г\ и Г2 соответственно. Фиксируем тройки попарно различных точек «-i, аг, аз G Г\ и &2, € Г2. Тогда существует такой гомеоморфизм L : Gi —> G2 класса HP(G 1, G2), что L(a^) = Ъ}~.

При р = 2 отображение будет конформным, и мы получаем отличное от традиционного доказательство теоремы Римана.

Довольно просто доказывается и существование р-экстремальных гомеоморфизмов для двусвязных областей, имеющих одинаковый р-модуль семейства кривых, соединяющих граничные компаненты.

Можно надеяться, что изучение ^-экстремальных отображений окажется содержательной задачей, представляющей практический интерес.

В тексте диссертации используется раздельная тройная нумерация для утверждений и формул (глава, параграф, порядковый номер), к примеру, теорема 2.2.1. и неравенство (2.2.1). В оценках постоянные обозначаются символами G, С\, С'., чтобы не нагромождать индексов, местами (где это не влияет на правильность доказательств) для обозначения различных постоянных используется один символ. В тексте эквивалентными называются величины, каждая из которых допускает двухстороннюю оценку через другую.

Работы автора отмечены звездочкой - [32*] (Романов А. С. .).

I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Основным содержанием данной главы является доказательство различных теорем вложения для функциональных классов d, д), полученных в работах автора [32*,36*,37*].

Классы функций М^{Х1 d, у) были введены П. Хайлашем [60]. В основе их определения лежит выполнение специальной глобальной оценки "лип-шицевого типа" для приращения функции. В евклидовом случае оценки такого вида были получены и использованы при изучеиии различных свойств функций из пространств Соболева в работах Б. Боярского и П. Хай-лаша [53,54]. Определение пространств Мр(Х, d,/i) оказалось весьма удачным с точки зрения доказательства различных аналогов соболевских теорем вложения. С одной стороны, выполнение для функций оценки липши-цевого типа позволяет получить достаточно простые и наглядные доказательства, с другой стороны все получаемые утверждения имеют довольно универсальный характер и зависят не от выбора конкретного метрического пространства, а только лишь от показателя регулярности меры относительно соответствующей метрики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Романов, Александр Сергеевич, 2008 год

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир. 1969.

2. Бесов О. В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Докл. РАН. 2000. Т. 373, № 2. С. 151-154.

3. Бесов О. В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 3. С. 3-26.

4. Бесов О. В. О компактности вложений весовых пространств Соболева на области с нерегулярной границей // Труды МИАН. 2001. Т. 232.С. 72-93.

5. Бесов О. В. Вложения пространств дифференцируемых функций переменной гладкости // Труды МИАН. 1997. Т. 214. С. 25-58.

6. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

7. Васильчик М. Ю., Гольдштейн В. М. О разрешимости третьей краевой задачи для области с пиком // Мат. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 466-468.

8. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269-1295.

9. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева // Математические труды. 2003. Т. 6, № 2. С. 14-65.

10. Вольберг А. Л., Конягин С. В. На любом компакте в Rn существует однородная мера // ДАН СССР. 1984. Т. 278, № 4. С. 783-785.

11. Вольберг А. Л., Конягин С. В. О мерах с условием удвоения // Изв. Акад. наук СССР. 1987. Т. 51, № 3. С. 666-676.

12. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука. 1983.

13. Иванишко И. А. Обобщенные классы Соболева на метрических пространствах с мерой // Мат. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 937-940.

14. Иванишко И. А., Кротов В. Г. Обобщенное неравенство Пуанкаре-Соболева на метрических пространствах // Нац. ак. наук Белоруси, Труды Ин-та математики. 2005. Т. 13, № 1. С. 11.

15. Кривов В. В. Некоторые свойства модулей в пространстве // ДАН СССР. 1964. Т. 154, № 3, С. 510-513.

16. Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953.

17. Лабутии Д. А. Интегральное представление функций и вложение пространства Соболева на областях с нулевыми углами // Мат. заметки. Т. 61, № 2. С. 201-219.

18. Лабутин Д. А. Неулучшаемость неравенства Соболева для класса нерегулярных областей // Труды МИАН. 2001. Т. 232. С. 218-222.

19. Мазья В. Г. О продолжении функций из пространств С.Л.Соболева // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1981. Т. 113. С. 231-236.

20. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Ленинград: ЛГУ, 1985.

21. Мазья В. Г., Поборчий С. В. Продолжение функций из классов С.Л.Соболева во внешность области с вершиной пика на границе. II // Czech. Math. J. 1987. V. 37, № 1. P. 128-150.

22. Мазья В. Г., Хавин В. П. Нелинейная теория потенциала // Усп. мат. наук. 1972. Т. 27, Вып. 6. С. 67-138.

23. Никольский С. М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

24. Прохоров Д. В., Степанов В. Д. О неравенствах с мерами типа теорем вложения Соболева на открытых множествах действительной оси // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 4. С. 864-878.

25. Решетняк Ю. Г. О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, № 2. С. 1109-1138.

26. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 657-675.

27. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениямив метрическом пространстве, II // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 4. С. 855-870.

28. Решетняк Ю. Г. К теории соболевских классов функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 1. С. 146-168.

29. Романов А. С. Емкостной аналог теоремы Лебега о дифференцировании интеграла // ДАН СССР. 1989. Т. 304, № 4, С. 803-806.

30. Романов А. С. О продолжении функций из пространств Соболева // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 4, С. 149-152.

31. Романов А. С. Об одном обобщении пространств Соболева // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 4. С. 949-953.

32. Романов А. С. О теоремах вложения для обобщенных пространств Соболева // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 931-937.

33. Романов А. С. Сингулярные меры и (1,р)-емкоеть в весовых пространствах Соболева // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 433-437.

34. Романов А. С. Теоремы вложения для одного класса функций соболевского типа на метрических пространствах // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. С. 452-465.

35. Романов А. С. О вложениях классов функций с обобщенной гладкостью на метрических пространствах // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 4. С. 871-880.

36. Романов А. С. О следах соболевских функций на границе пика с гельдеровой особенностью // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 1. С. 176-184.

37. Романов А. С. О следах функций, принадлежащих обобщенным классам соболевского типа // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. С. 848-866.

38. Романов А. С. О непрерывности функций соболевского типа на метрических пространствах // Доклады РАН. 2008. Т. 418, № 5. С. 599-602.

39. Романов А. С. Емкостные соотношения в плоском четырехстороннике // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 4. С. 886-897.

40. Романов А. С. Об одном аналоге соболевских классов функций на метрических пространствах // Сб. статей "Математический и прикладной анализ". Изд. Тюменского госуниверситета. 2003. С. 183-192.

41. Романов А. С. Об абсолютной непрерывности функций, градиенты которых принадлежат пространствам Лоренца // Математический и прикладной анализ: сборник научных трудов. Вып. 3. Изд. Тюменского госуниверситета. 2007. С. 78-89.

42. Романов А. С. Классы функций с "обобщенной гладкостью "на метрических пространствах // Тезисы докладов. ИНПРИМ-98, ч.1, Новосибирск. 1998.

43. Романов А. С. Емкость и модули, связанные с соболевскими классами на метрических пространствах // Тезисы докладов. Международная конференция по анализу и геометрии, Новосибирск. 1999.

44. Романов А. С. О теоремах вложения для соболевских классов на метрических пространствах // Тезисы докладов. Международная конференция "Геометрия и приложения Новосибирск. 2000.

45. Романов А. С. Емкость и сингулярные меры // Тезисы докладов. Международная школы-конференция по геометрии и анализу, Новосибирск. 2002.

46. Романов А. С. Теоремы вложения для одного класса функций на метрических пространствах // Тезисы доклада. Международная школа-конференция "Геометрический анализ и его приложения Волгоград. 2004.

47. Романов А. С. О классах Соболева в областях с гельдеровыми особенностями // Тезисы доклада. Международная школа-конференция по анализу и геометрии, Новосибирск. 2004.

48. Романов А. С. О непрерывности функций соболевского типа на метрических простанствах // Тезисы докладов. Российская конференция "Математика в современном мире посвященная 50-летию Института математики им. C.JL Соболева СО РАН, Новосибирск. 2007.

49. Романов А. С. Теоремы вложения для следов соболевских функций в области с гельдеровыми особенностями // Тезисы докладов. Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения " , Новосибирск, 2007.

50. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973.

51. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах // М.: Мир. 1974.

52. Уральцева Н. Н. Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 1968. Т. 7. С. 184-222.

53. Bojarski В. Remarks on some geometric properties of Sobolev mappings // Functional Analysis and Related Topics, ed. Shozo Koshi, World Scientific. 1991.

54. Bojarski В., Hajlasz P. Pointwise inequalities for Sobolev functions and some applications // Studia Math. 1993. V. 106, № 1. P. 77-92.

55. Calderon A.P. Estimates for singular integral operators in terms of maximal functions // Studia Math. 1972. V. 44. P. 167-186.

56. Edmunds D. E., Evans W. D. Hardy Operators, Function Spaces and Embeddigs. New York.: Springer. 2004.

57. Evans L. C. A New Proof of Local C1,a Regularity for Solutions of Certain Degenerate Elliptic P.D.E.// J. Differential Equations. 1982. V. 45, № 3. P. 356-373.

58. Gol'dshtein V. M., Troyanov M. Axiomatic Theory of Sobolev Spaces // Expo. Math. 2001. V. 19, № 4. P. 289 336.

59. Franchi В., Hajlasz P., Koskela P. Definitions of Sobolev classes on metric spaces // Ann. Inst. Fourier. 1999. V. 49, № 6. P. 1903-1924.

60. Hajlasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric spaces // Potential Analysis 1996. V. 5, №. 4. P. 403-415.

61. Hajlasz P. Sobolev spaces on metric-measure spaces // Contemporary Math. 2003. V. 338. P. 173-218.

62. Hajlasz P. A new characterization of the Sobolev space // Studia Math. 2003. V. 159. P. 263-275.

63. Hajlasz P., Kinnunen J. Holder quasicontinuity of Sobolev functions // Rev. Mat. Iberoamericana. 1998. V. 14, № 3. P. 601-622.

64. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev Met Poincare// Memoirs AMS, V. 145. № 688. P. 1-101.

65. Hajlasz P., Martio O. Traces of Sobolev functions on fractal type sets and characterization of extension domains //J. Funct. Anal. 1997. V. 143. P. 221-246.

66. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Springer-Verlag, Berlin,

67. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps on metric spaces with controled geometry // Acta Math. 1998. V. 181. 1-61.

68. Heinonen J., Koskela P. A note on Lipshitz functions, upper gradients and the Poincare inequality // New Zealand J. Math. 1999, V. 28. P. 37-42.

69. Hunt R. A. An extension of the Marcinkiewicz interpellation theorem to Lorentz spaces // Bull. Amer. Math. Sos., 1964, V. 70. N 6. P. 803-807

70. Kauhanen J., Koskela P., Maly J. On function with derivatives in a Lorentz space // Manuscripta Math. 100, 1 (1999), p.87-101.

71. Lewis J. Regularity of the derivatives of solutions to certain elliptic equations // Indiana Univ. Math. J., 1983, V. 32, N. 6, P. 849-858.

72. Maly J. Sufficient Conditions for Change of Variables in Integral // Труды по анализу и геометрии. Изд. Института математики. Новосибирск. 2000. С. 370-386.

73. Sawyer Е., Wheeden R. L. Weighted inequalities for fractional integrals on euclidean and homogeneous spaces // Amer. J of Math, 1992, V. 114, N. 4. P. 813-874.

74. Stein E. M. Editor's note: The differentiability of function in Rn. // Annals of Math. 1981. V.113. P.383-385.

75. Stromberg J. O., Torchinsky A. Weighted Hardy Spaces. Berlin etc.: Springer. 1989 (Lecture Notes in Math.; 1381).

76. Vodopyanov S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups // Tte Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics. 2007. V. 424. P. 303-344.

77. Ziemer W. P. Extremal length and conformal-capacity // Trans. Amer. Math. Sos., 1967, V. 126, N. 3, P. 460-473.

78. Ziemer W. P. Extremal length and p-capacity // Michigan Math. J., 1969, V. 16, N. 1, P. 43-51.2001.