Метрические аспекты пространств Карно - Каратеодори и применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Карманова, Мария Борисовна

• Карманова, Мария Борисовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Карманова, Мария Борисовна

Введение

1. Геометрия пространств Карно — Каратеодори в условиях минимальной гладкости

1.1. Предварительные сведения

1.2. Сравнение геометрий локальных однородных групп

1.3. Геометрический анализ на пространствах Карно — Каратеодори с полями класса С1,а, а > 0

1.4. Пространства Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией

1.5. Приложения метрических результатов и доказательство локальной аппрокси-мационной теоремы

1.6. Доказательство леммы 1.1.32

2. Формула площади

2.1. Субриманова формула площади для гладких отображений

2.2. Субриманова формула площади для липшицевых отображений

3. Формула коплощади

3.1. Предварительные сведения

3.2. Свойства множеств уровня

3.3. Характеристическое множество

3.4. Множество вырождения

3.5. Формулы коплощади

4. «Графики» липшицевых функций и минимальные поверхности на группах Карно

4.1. «Графики» и формула площади

4.2. Минимальные поверхности

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метрические аспекты пространств Карно - Каратеодори и применения»

Введение

Аннотация. Работа посвящена выводу тонких аналитических и геометрических свойств пространств Карно — Каратеодори и решению трудных задач геометрической теории меры на субримановых структурах. Одна из особенностей работы состоит в новом подходе к исследованию таких структур, который позволил как распространить классические результаты теории на более общие случаи (точнее, на пространства Карно — Каратеодори, базисные векторные поля которых имеют минимальную гладкость), так и получить принципиально новые свойства пространств Карно — Каратеодори даже в «классическом», гладком случае. Отметим, что, несмотря на результативность нового подхода, он не требует применения громоздкого инструментария, а основан на «прямом» рассмотрении субримановых структур, как поверхностей с системами векторных полей, определяющими специфическую (квази)метрику на них, и применении методов классического анализа к таким метрическим структурам. Это привело к постановке и решению новых и, как выяснилось, актуальных задач, возникших впервые в теории пространств Карно — Каратеодори. Кроме того, оказалось, что такой «наивный» взгляд на задачи позволил выявить новые специфические свойства пространств Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией. Результаты работы использованы другими авторами для исследования неэквирегулярных пространств Карно — Каратеодори, решения задачи о множестве достижимости в условиях минимальной гладкости векторных полей, развития теории субримановой дифференцируемости и т. д.

Подход, основанный на новых идеях — применении методов классического анализа к сложным структурам — успешно использован и для решения задач геометрической теории меры: доказательства формул площади и коплощади на пространствах Карно — Каратеодори, а также описания классов минимальных поверхностей на группах Карно. Результаты являются новыми: формула площади доказана впервые для липшицевых (относительно внутренних (квази)метрик) отображений пространств Карно — Каратеодори, а формула коплощади — впервые для отображений, образ которых имеет неголономную структуру. Подчеркнем, что наш подход позволил получить не только эти результаты, не являющиеся прямым следствием уже имеющихся, но и вывести точные аналитические выражения соответственно для субриманова якобиана и субриманова коэффициента коплощади, что позволяет применять формулы для решения прикладных задач.

Одним из таких приложений результатов стал вывод специфических свойств поверхностей-«графиков»1 липшицевых (относительно внутренних (квази)метрик) функций на группах Карно и описание классов минимальных поверхностей. Для возможности такого исследования доказан вариант форулы площади для «графиков» (в силу того, что отображения-«графики» не являются липшицевыми даже относительно внутренних (квази)метрик, возникла необходимость отдельного доказательства новой формулы площади); он применен для получения необходимых свойств классов минимальных поверхностей-«графиков». Для некоторых классов поверхностей выведены достаточные условия минимальности. Исследование свойств такого рода «графиков» («над группой») проведено впервые.

Актуальность. Пространство Карно — Каратеодори М и его частный случай, называемый в дальнейшем многообразием Карно (см., например, [20, 205]) — это связное риманово многообразие, в касательном расслоении ТМ которого выделено горизонтальное подрасслое-ние НМ, удовлетворяющее некоторым алгебраическим условиям на коммутаторы векторных полей {Xi,..., Хп}, составляющих локальный базис в ЯМ, где п = dim НрМ для всех р € М.

Исторически элементы геометрии пространств Карно — Каратеодори, или субримано-вой геометрии, впервые появились в 1909 г. в работе К. Каратеодори [156]. Это исследование было мотивировано знаменитой проблемой Гильберта о математических основаниях разных областей физики, сформулированной в 1900 г. (см., например, [214]).

Структуры пространств Карно — Каратеодори являются важной интерпретацией геометрической теории управления, основанной в ее современном виде в 1950-е гг Л. С. Пон-трягиным и его коллегами. Геометрическая теория управления является идеальным средством для применения достижений современной чистой математики к прикладным наукам, решения разнообразных актуальных теоретических и прикладных задач физики; экономики; исследования, моделирования и развития технологий и др. Возникающие трудные задачи ведут к необходимости создания новых фундаментальных концепций геометрического анализа, а также разработки новых методов для решения этих задач.

Кроме того, субриманова геометрия является основополагающей для теории гипоэл-липтических операторов, как это показано JL Хёрмандером в 1967 г. (см., например, [141, 284]), и многих задач геометрической теории меры (см., например, [130, 263] и ссылки в этих работах). В 1971 г. Stein объявил программу об исследовании субримановой геометрии для

13десь «график» понимается не в общепринятом смысле, см. детали ниже в определении 4.1.14

изучения сингулярностей ядер гипоэллиптических операторов, в частности, фундаментальных решений субэллиптических уравнений. Гипоэллиптические уравнения — интересный класс уравнений в частных производных, простейшим примером которых является уравнение Колмогорова, описывающее процесс диффузии. Эти уравнения имеют и разнообразные приложения в экономике и финансах. Субриманова геометрия также естественно возникает (в том числе, как интерпретация геометрической теории управления) в контактной геометрии, неголономной механике, нейробиологии, роботехнике и других областях (см. работы А. А. Аграчева и А. В. Сарычева [1], А. А. Ардентова и Ю. JI. Сачкова [2, 3, 4], В. Н. Бере-стовского [9, 10, И, 12, 13, 14], В. Н. Берестовского и И. А. Зубаревой [15], А. М. Вершика и В. Я. Гершковича [20], С. К. Водопьянова [22, 23, 24], С. К. Водопьянова и А. В. Грешно-ва [25], А. В. Грешнова [38], В. И. Гурмана и Ю. JI. Сачкова [39], М. И. Зеликина [42, 43, 44], М. И. Зеликина и JL Ф. Зеликиной [45], М. И. Зеликина, JI. В. Локуциевского и Р. Хильде-бранда [46], А. П. Маштакова и Ю. JI. Сачкова [77], Ю. JI. Сачкова [92, 93, 94, 95, 96, 97, 98], Ю. JT. Сачкова, А. А. Ардентова и А. П. Маштакова [99], Ю. JI. Сачкова и С. В. Левя-кова [100], A. A. Agrachev [115], A. A. Agrachev и J.-P. Gauthier [117], A. A. Agrachev и A. Marigo [118], A. A. Agrachev и Yu. L. Sachkov [119], A. A. Agrachev и А. V. Sarychev [120, 121, 122, 123], F. Alouges, A. De Simone и A. Lefebvre [124], A. Beilaiche [133], В. H. Берестовского и С. Plaut [134], V. Berestovskii, С. Plaut и С. Stallman [135], A. Bonfiglioli, Е. Lanconelli и F. Uguzzoni [141], R. Brockett [143], S. Buckley, P. Koskela и G. Lu [145], L. Capogna [147, 148], L. Capogna, D. Danielli и N. Garofalo [151, 152, 153, 154, 155], G. Citti, N. Garofalo и E. Lanconelli [163], G. Citti и A. Sarti [164], Ya. Eliashberg [168, 169, 170], G. B. Folland [177, 178], G. B. Folland и E. M. Stein [179], В. Franchi, R. Serapioni и F. Serra Cassano [191, 192, 193, 194], N. Garofalo [196], N. Garofalo и D.-M. Nhieu [198, 199], R. W. Goodman [202], M. Gromov [205, 206], R. Hladky и S. D. Pauls [215], L. Hörmander [218], F. Jean [220], V. Jurdjevic [227], J. P. Laumond [242], G. P. Leonardi и S. Rigot [243], W. Liu и H. J. Suss-man [246], G. Lu [247], G. A. Margulis и G. D. Mostow [258, 259], G. Metivier [260], J. Mitchell [263], R. Montgomery [265, 266], R. Monti [267, 268], A. Nagel, F. Ricci и E. M. Stein [270, 271], A. Nagel, E. M. Stein и S. Wainger [272], P. Pansu [275, 276, 277, 278], J. Petitot [283], L. P. Rothschild и E. M. Stein [284], Yu. L. Sachkov [286], R. S. Strichartz [294], N. Varopoulos, L. Salofï-Coste и T. Coulhon [298], M. Vendittelli, G. Oriolo, F. Jean и J. P. Laumond [299], S. K. Vodopyanov [302, 303], C. J. Xu и С. Zuily [309], M. I. Zelikin и V. F. Borisov [310] для

введения в эту теорию и некоторые ее приложения).

Отметим некоторые актуальные приложения и задачи субримановой геометрии, возникшие из разных областей науки:

1) задачи о машинах с прицепами (см. работы R. Bryant и L. Hsu [144], F. Jean [219], J. P. Laumond [242], W. Liu и H. J. Sussman [246], P. Rouchon, M. Fliess, J. Levine и P. Martin [285], M. Zhitomirskii [311] и др.);

2) проблемы перемещения масс (см. статью В. Khesin и Р. Lee [236] и книгу С. Villani [300];

3) роботехника (см., например, монографию А. Bloch [140]);

4) траектории летательных аппаратов (см., например, статьи А. А. Ардентова, И. Ю. Бесчастного, А. П. Маштакова, А. Ю. Попова, Ю. JI. Сачкова и Е. Ф. Сачковой [5], В. И. Гурмана, Е. А. Трушковой и А. О. Блинова [40], Е. А. Трушковой [105]);

5) движение самопропульсируюших микроорганизмов и падающих кошек (см. описание в монографии R. Montgomery [266]);

6) квантовое управление (см. работы L. Accardi, A. Pechen и I. V. Volovich [114], M. D. Grace, J. Dominy, W. M. Witzel и M. S. Carroll [203], N. Khaneja, В. Luy и S. J. Glaser [234], N. Khaneja, T. Reiss и С. Kehlet [235], N. С. Nielsen, С. Kehlet, S. J. Glaser и N. Khaneja [273], А. N. Pechen [282], и др.);

7) термодинамика черных дыр (см., например, статьи С. Udriste и V. Ciando [296], С. Udriste, V. Ciando и F. Farsaci [297], M. Anastasiei и S. I. Vacaru [128]);

8) астродинамика (см. диссертацию J. К. Whiting [308]);

9) экономика (см., например, работы D. G. Hobson и L. С. G. Rogers [216], A. Pascucci и P. Foschi [182]);

10) нейробиология (математические модели работы человеческого мозга) (см. статьи A. Field, A. Heyes и R. F. Hess [176], W. С. Hoffman [217], G. Citti и A. Sarti [164], R. K. Hladky и S. D. Pauls [215], A. Sarti, G. Citti и J. Petitot [290], книгу J. Petitot [283] и др.).

Расстояние dcc (внутренняя метрика Карно — Каратеодори) между точками х.у € M — это точная нижняя грань длин горизонтальных кривых, соединяющих х и у (кусочно-гладкая кривая 7 называется горизонтальной, если -у(t) £ i/7(¿)M для почти всех £). Оно не

эквивалентно риманову расстоянию, если НМ. — собственное подрасслоение. Результаты о свойствах этой метрики изложены в работе A. Nagel, Е. М. Stein и S. Wainger [272], книге Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго и С. В. Иванова [16] и др.

Метрика Карно — Каратеодори применяется в изучении гипоэллиптических операторов, см. работы С. Fefferman и D. Н. Phong [175], L. Hórmander [218], D. Jerison [221],

A. Nagel, E. M. Stein и S. Wainger [272], L. P. Rothschild и E. M. Stein [284], A. Sánchez-Calle [288]. Кроме того, эта метрика и ее свойства существенно используются в теории уравнений с частными производными (см. работы М. Biroli и U. Mosco [138, 139], S. М. Buckley, Р. Koskela и G. Lu [145], L. Capogna, D. Danielli и N. Garofalo [151, 152, 153, 154, 155], V. M. Chernikov и S. К. Vodopyanov [160, 161], D. Danielli, N. Garofalo и D.-M. Nhieu [165],

B. Franchi [183], B. Franchi, S. Gallot и R. Wheeden [184], B. Franchi, С. E. Gutiérrez и R. L. Wheeden [185], B. Franchi и E. Lanconelli [186, 187], B. Franchi, G. Lu и R. Wheeden [188, 189], B. Franchi и R. Serapioni [190], R. Garattini [195], N. Garofalo и E. Lanconelli [197], P. Hajlasz и Р. Strzelecki [210], J. Jost [222, 223, 224, 225], J. Jost и С. J. Xu [226], S. Marchi [257], К. T. Sturm [295]).

В [230] один из основных результатов диссертации (см. теорему 1.3.15) получен для пространств Карно — Каратеодори, базисные векторные поля которых принадлежат классу С1,а, а > 0, удовлетворяющих некоторым дополнительным требованиям. В 2009 г. во время обсуждения работы [230] М. Громов задал вопрос, существуют ли многообразия Карно с горизонтальным подрасслоением класса С1, но не класса С2, такие, что коммутаторы векторных полей этого подрасслоения — линейные комбинации С ^гладких базисных полей с непрерывными коэффициентами. Заметим, что произвольное векторное поле с непрерывными координатными функциями не всегда является такой линейной комбинацией, так как необходимо выполнение «треугольной» таблицы коммутаторов: см. далее (1.1.1): иными словами, коммутатор, например, горизонтальных полей должен в каждой точке принадлежать

подпространству, состоящему из полей степени не более 2. Особый интерес представляют век-N

торные поля Xj~ = ^ а,клд¿г с коэффициентами к, г = 1,.... N, зависящими от несколь-

г=1

ких переменных, обладающие следующим свойством. При коммутировании двух таких полей негладкие (т. е. не принадлежащие классу С1) коэффициенты зануляются не в результате дифференцирования их по переменной, от которой они не зависят. Кроме того, глубина М всего пространства должна быть больше двух, так как для М = 2, во-первых, в качестве

векторных полей степени 2 можно взять подходящие стандартные постоянные (а потому — гладкие) векторные поля и, во-вторых, таблица коммутаторов (1 1 1) выполняется всегда для М — 2

Ниже приведен пример многообразия Карно глубины М = 3

Пример 1 (многообразие Карно с С1-гладкими базисными векторными полями, ср [53]). Рассмотрим произвольные С1 -гладкие функции ф,(р,£,г),ш Ш —> М такие, что на отрезке W С К. для них верно ф,1р,£,г],ш ф 0, их производные только непрерывны (но не дифференцируемы) и ^ ф 0 Построим векторные поля X, У, Z, Т на W х W х W х W Ш М4 следующим образом

у

X =ф{х)дх + ф(х)(р(у)ду + 77 J £(х, s) ds + z^jdz + ip(y)u{q)dq,

£

У

Y=d«+i-Iw)+x)9"

£

Z =ф(х)ду + u(q)dq, Т=ду

Здесь £(x,s) = H — f + xJ. a e — число, зависящее от W и выбора функций Jler-ко убедиться в том, что X Е Cl{x,y z q). Y Е Сг(х,у), Z Е C1(z,g), а поле Т гладкое Кроме того, [X, Y] = —^ • Z Положим Н = Н\ = span{X, У}, Н2 = span{X, Y, Z}, а Дз = span{X,Y, Z,T} Получена невырожденная система векторных полей, для которой справедлива таблица (111)

Таким образом, мы получили многообразие Карно глубины М = 3, горизонтальные векторные поля которого принадлежат классу С1 (но не принадлежат С2) по одним переменным (поля X и Y являются С1-гладкими по х и по у) Кроме того, Z Е span{X, У, [X, У]} — С1-гладкое (в том числе, и по переменной х), а Т Е span{X. У [X,Y],[X. Z],[Y. Z]} — гладкое векторное поле

Актуальность проведенных в диссертации исследований для решения прикладных задач иллюстрируется работой [4]. авторы которой исследуют нильпотентную аппроксимацию неголономных систем в четырехмерном пространстве с двумерным управлением (например, для системы, описывающей движение мобильного робота с прицепом) для которой пространство имеет групповую (т е более частную) структуру Для сравнения таких аппроксимаций

с задачами, поставленными на общих субримановых структурах, важно знать, насколько структура локальной однородной группы близка к структуре пространства Карно — Ка-ратеодори, в как можно более общем случае. Нильпотентные аппроксимации изучаются и другими специалистами; см., например, [1, 131, 133, 213, 266, 284]. Отметим, что в диссертации для случая, когда базисные поля принадлежат классу С1,а, а > 0, показана в том числе и количественная зависимость различия геометрий локальной группы и самого пространства от показателя а. Таким образом, оценки сравнения могут быть полезны и для вывода ряда свойств решений исходной субримановой задачи, если известны свойства нильпотентной аппроксимации.

Задача о визуализации [164, 215, 283, 290] также является одним из примеров, демонстрирующих актуальность исследования субримановой геометрии при минимальных условиях на гладкость. Результатов о регулярности изображения, построенного человеческим мозгом, на сегодняшний день нет, поэтому любое уменьшение гладкости векторных полей существенно для построения точных моделей визуализации. Для дальнейшего развития этой задачи, распространения ее на случай цветного (а не только черно-белого) изображения требуются тонкие свойства многообразий Карно глубины, большей, чем 2. Кроме того, в вышеупомянутых работах установлено, что принцип моделирования достроенной части основан на свойствах минимальных поверхностей на неголономных структурах. На сегодняшний день модели построены только для черно-белых изображений, которым соответствует трехмерное многообразие Карно, а минимальные поверхности исследованы для класса достаточно гладких отображений, см., например, [149, 150, 200, 198, 166, 167, 279, 200, 158, 159]. В квалификационной работе [75] проведены базовые исследования для случая восприятия изображения наблюдателем, у которого незначительно нарушен механизм горизонтального соединения клеток VI. Однако, и вопросы построения моделей для как можно более общей ситуации, и исследования свойств негладких минимальных поверхностей, пока остаются открытыми (см., например, доклад [281]). Таким образом, ввиду непредсказуемости свойств регулярности векторных полей в модельных задачах, для получения их точного решения и/или построения точной модели важно получение специфических свойств пространств Карно — Каратеодори с минимальными дополнительными требованиями: особенностей геометрии, зависимости глобальных свойств от локальных, а также решение актуальных трудных задач геометрической теории меры на субримановых структурах.

Известно, что при исследовании различных метрических объектов аналоги классических формул площади

J J(<p,x)dHn(x) = J Y, Xu(x)dHn(y), (1)

и Rfc x:x€<p~1{y)

где J{(fi,x) = yJdet(D(p(x)*D(p(x)): a ip e C^C/,®*), U С Kn, n < к, и коплощади

Jjk(ip,x)dx = J dz J dHn~k{u), (2)

где Jk{<p,x) = y^det {Dip{x)Dip(x)*), a <p e Cl(U, Efc), U С Mn, n > к, играют важную роль: они полезны в решении разнообразных задач анализа и приложений (см., например, [74, 76, 172, 173, 171, 201, 245, 274]). В частности, формула (2) применяется в теории внешних форм, потоков, в решении задач о минимальных поверхностях (см., например, статью Н. Federer и W. Н. Fleming [174]). Формула Стокса легко доказывается с помощью формулы коплощади (см., например, записки лекций С. К. Водопьянова [21]). Кроме того, она активно используется в интегральной геометрии, теории особенностей, в алгебраической геометрии и других областях. Вышеперечисленные применения формулы коплощади являются сильной мотивировкой для распространения этой формулы на объекты максимально общей природы, особенно на метрические пространства и, в частности, субримановы структуры.

В субримановом случае интерес для изучения представляют контактные отображения неголономных структур, так как они в некотором смысле «переносят» субриманову структуру прообраза на образ. Существование таких отображений показано разными авторами; см., например, [239, 240, 306, 307]. Подчеркнем, что для решения задач геометрической теории меры на пространствах Карно — Каратеодори необходим субриманов аналог дифференциру-емости классов отображений. Как показано в [303] (см. также [230]), развитие субримановой теории дифференцируемости невозможно без знания тонких локальных свойств изучаемых классов пространств Карно — Каратеодори: аппроксимация однородными группами, теорема Рашевского — Чоу, локальные аппроксимационные теоремы и др. И если в классическом, «гладком», случае эти результаты широко известны, то при минимальной гладкости базисных векторных полей вопрос об их справедливости долгое время оставался открытым.

Формулы геометрической теории меры полезны в исследовании параметризованных поверхностей в субримановой геометрии, что является является трудной и малоизученной

проблемой. Одним из примеров таких поверхностей является «график» отображения. Сложность исследования состоит в том, что из-за особенностей неголономной структуры отображение-«график» липшицева в субримановом смысле отображения в общем случае не является регулярным, следовательно, известные на сегодняшний день теоремы об аппроксимации «касательным» отображением с «удобными» свойствами и вычислении площади неприменимы. Тем не менее, изучение «графиков» отображений и решение новых задач об их свойствах, в частности, нахождение аналитических выражений для вычисления площади, актуально в силу их немаловажной роли в развитии теории минимальных поверхностей на неголоном-ных структурах, имеющей приложения для решения разнообразных практических задач. Отметим работы А. Д. Веденяпина и В. М. Миклюкова [19], Дао Чонг Тхи и А. Т. Фоменко [41], А. В. Киселева [59], А. А. Клячина [60], А. А. Клячина и В. М. Миклюкова [61, 62], В. А. Клячина [63, 64, 65, 66, 67, 68, 69], В. А. Клячина и В. М. Миклюкова [70, 71, 72, 73], В. М. Миклюкова [78, 79, 80, 81, 82, 83], В. М. Миклюкова, А. А. Клячина и В. А. Клячина [84], В. М. Миклюкова и В. Г. Ткачева [85, 86], А. А. Тужилина и А. Т. Фоменко [106, 107], А. Т. Фоменко [108, 109, 110, 111, 112, 113], Н. Federer и W. Н. Fleming [174], А. Т. Fomenko [180, 181], V. A. Klyachin и V. М. Miklyukov [238], сборник [261] и др., в которых получен ряд важных свойств минимальных поверхностей как на евклидовых пространствах, так и на более общих структурах, таких, как структуры лоренцевой геометрии.

Степень разработанности темы. Серьезное изучение структур субримановой геометрии начато относительно недавно, в 1970-е гг, и большинство основных результатов о локальных свойствах пространств Карно — Каратеодори было доказано в модельном случае: для пространств, базисные векторные поля которых достаточно гладкие (см., например, [119, 140, 179, 205, 227, 266, 272, 284] и др.). Результаты о субримановой дифферен-цируемости, позволяющие ставить задачи геометрической теории меры на неголономных пространствах, сначала были получены для групп Карно (см., например, [278, 302]), а также для пространств Карно — Каратеодори с достаточно гладкими базисными полями (см., например, [22, 23, 24, 25, 26, 303]). Отметим, что применяемые в большинстве работ методы напрямую не переносятся на «негладкий» случай: таким образом, условие уменьшения гладкости превращает вопросы, имеющие несложное решение в классическом случае, в тонкие проблемы анализа и геометрии.

В классическом анализе формула площади (1) доказана для разнообразных классов

отображений ip : U —> U С Kn, n < k, удовлетворяющих некоторым условиям регулярности. Эти классы включают непрерывно дифференцируемые и липшицевы отображения; а также отображения классов Соболева; аппроксимативно дифференцируемые отображения, обладающие А/"-свойством Лузина (см., например, [209]); и др. Формула коплощади (2) впервые получена А. С. Кронродом [74] в 1950 г. для функций <р : R2 —► Е, а затем обобщена на отображения ip : Л4п —■> Áík, п > к, римановых пространств и спрямляемых подмножеств евклидовых пространств в работах Н. Federer [172, 173]. Далее появились многочисленные обобщения на отображения ip : Rn —> Rm, п,т > к, с 7-^-а"-конечным образом <¿>(]Rn) [274], отображения классов Соболева [209], бесконечномерный аналог для пространств Винера [125, 256], различные приложения [171, 201, 245] и т. д.

Приведенные примеры явным образом показывают тенденцию найти аналоги формул геометрической теории меры на метрических структурах как можно более общей природы. При распространении (1) на новые объекты существенный прогресс (по сравнению с классическими результатами, изложенными в [173]) впервые достигнут в 1994 г., когда В. Kirchheim [237] доказал формулу площади для липшицевых отображений, определенных на евклидовом пространстве и принимающих значения в произвольном метрическом пространстве. В работе L. Ambrosio и В. Kirchheim [127] этот результат распространен на липшицевы отображения спрямляемых метрических пространств в произвольное метрическое пространство, и доказан аналог формулы коплощади для липшицевых отображений, определенных на 7-£п-спрямляемом метрическом пространстве, со значениями в п > к (см. также [47, 228], где развиты подходы работы [21] для исследования метрических структур, а также впервые получена формула коплощади для отображений "-спрямляемых метрических пространств в "^-спрямляемые метрические пространства, п > к). В [50] выведены различные варианты формулы площади для таких классов отображений, как классы Соболева [91] и ВУ-отображения [126] со значениями в метрическом пространстве и определенные на Мп. Метрический аналог теоремы о неявной функции, а также необходимые и достаточные условия на образ и прообраз липшицева отображения, определенного на "^"-спрямляемом метрическом пространстве и принимающего значения в произвольном метрическом пространстве, для справедливости формулы коплощади, получены впервые в [48, 228, 229].

В вышеперечисленных результатах отображения определены на спрямляемых метрических пространствах, структура которых имеет много общего с римановыми многообразиями

и фактически моделируется подмножествами пространства Rn. Но пространства Карно — Каратеодори являются неспрямляемыми (см., например, [250]); они содержат принципиально новые трудности, и представляют особый интерес. До недавнего времени задача о получении субримановой формулы коплощади была одной из известных открытых внутренних проблем; решение задачи о формуле площади на пространствах Карно — Каратеодори было также неизвестно.

Группы Гейзенберга и Карно — известные частные случаи пространств Карно — Каратеодори. Отображения групп Карно и соответствующая формула площади изучались в начале 2000-х гг в работах [248, 280]. Главный результат [280] — следующая

Теорема 2 (см. [280, Definition 2.20, Theorem 3.3]). Пусть tp : G —> G — липшицево относительно субримановых метрик отображение групп Карно. Тогда для любого НУ -измеримого множества Е С G (здесь и — хаусдорфова размерность G) имеет место равенство

J J{{<p,x)dHv{x) = J Y1 XE(y)dH»(y),

E Q х-.хер-^у)

где якобиан равен

JUр х) = hm КсЫВссМ))

а меры Хаусдорфа построены относительно метрики dcc.

Основная идея [248] — использовать в качестве якобиана локальное искажение Т^-меры при отображении Dtp:

Теорема 3 (см. [248, Definition 10, Theorem 4.4]). Пусть tp : G —> G — липшицево относительно субримановых метрик отображение групп Карно. Тогда для любого НУ-измеримого множества Е С G (здесь и — хаусдорфова размерность G) имеет место равенство

J Мдф)) dH»{x) = J £ ХЕ(У) dihC(у),

Е = х:х<Еч>~1{у)

где якобиан Jy(Dip{x)) равен

= н»(всс( о, 1)) • (3)

Здесь меры Хаусдорфа построены по метрике dcc.

Так как на группах Карно исходное отображение достаточно «хорошо» аппроксимируется касательным, определения субриманова якобиана, приведенные в работах [248] и [280], совпадают. Отображения субримановых пространств, не имеющих групповой структуры, ранее не рассматривались.

В 1982 г. P. Pansu доказал первый неголономный вариант формулы коплощади для ве-щественнозначных функций, определенных на одномерной группе Гейзенберга [275]. Позже J. Heinonen [212] распространил эту формулу на гладкие функции, определенные на группах Карно. В 2000 г. V. Magnani доказал неравенство коплощади для отображений групп Карно [249]. Равенство было получено только для отображений групп Гейзенберга в евклидово пространство Шк [251, 253, 255]. Другие результаты о формуле коплощади для отображений стратифицированных групп содержатся в [252, 254]. Кроме того, R. Monti и F. Serra Cassano [269] вывели аналог формулы коплощади для функций класса BVx (субриманов аналог класса BV), определенных на пространствах Карно — Каратеодори глубины 2. Некоторые тонкие свойства характеристических множеств функций, определенных на группе Гейзенберга, описаны в [129]. Тем не менее, вопрос о справедливости формулы коплощади даже для модельного случая гладких отображений групп Карно (т. е., когда образ имеет субри-манову структуру) до недавнего времени оставался открытым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Карманова, Мария Борисовна, 2014 год

Список литературы

1. Аграчев, А. А. Фильтрация алгебры Ли векторных полей и нильпотентная аппроксимация управляемых систем / А. А. Аграчев, А. В. Сарычев // Докл. АН СССР. — 1987.

- Т. 285. - С. 777-781.

2. Ардентов, А. А. Решение задачи Эйлера об эластиках / А. А. Ардентов, Ю. JI. Сачков // Автомат, и телемех. — 2009. — № 4. — С. 78-88.

3. Ардентов, А. А. Антропоморфное восстановление поврежденных изображений на основе методов субримановой геометрии / А. А. Ардентов, Ю. JI. Сачков // Программные системы: теория и приложения. — 2011. — Т. 2., № 4. — С. 3-15.

4. Ардентов, А. А. Экстремальные траектории в нильпотентной субримановой задаче на группе Энгеля / А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков // Мат. сб. — 2011. — Т. 202, № 11. — С. 31-54.

5. Ардентов, А. А. Алгоритмы вычисления положения и ориентации БПЛА / А. А. Ардентов [и др.] // Программные системы: теория и приложения. — 2012. — Т. 3. — № 3.

- С. 23-39.

6. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. — 3-е изд. — М. : Наука, 1989. - 472 с.

7. Басалаев, С. Г. Параметризации поверхностей уровня вещественнозначных отображений групп Карно / С. Г. Басалаев // Мат. тр. - 2012. - Т. 15, № 2. - С. 3-29.

8. Басалаев, С. Г. Одномерные поверхности уровня /гс-дифференцируемых отображений на пространствах Карно — Каратеодори / С. Г. Басалаев // Вестн. НГУ. — 2013. — Т. 13, № 4. - С. 16-36.

9. Берестовский, В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I / В. Н. Бере-стовский // Сиб. мат. журн. - 1988. - Т. 29, № 6. - С. 17-29.

10. Берестовский, В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. II / В. Н. Берестовский // Сиб. мат. журн. — 1989. — Т. 30, № 2. — С. 14-28.

11. Берестовский, В. Н. Геодезические левоинвариантной неголоиомной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости / В. Н. Берестовский // Сиб. мат. журн. — 1994. - Т. 35, № 6. - С. 1223-1229.

12. Берестовский, В. Н. Геодезические неголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы плоскости Минковского / В. Н. Берестовский // Сиб. мат. журн. - 1994. - Т. 35, № 1. - С. 3-11.

13. Берестовский, В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой (нерешенные задачи) / В. Н. Берестовский // Изв. вузов. Математика. — 1994. — № 2. — С. 17-21.

14. Берестовский, В. Н. Однородные пространства: результаты, перспективы, нерешенные задачи / В. Н. Берестовский // Труды по геометрии и анализу. — Ин-т математики СО РАН. - Новосибирск, 2003. - С. 26-68.

15. Берестовский, В. Н. Формы сфер специальных неголономных левоинвариантных внутренних метрик на некоторых группах Ли / В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, № 4. - С. 731-748.

16. Бураго, Д. Ю. Курс метрической геометрии / Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. — Москва-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. — 511 с.

17. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли / Н. Бурбаки; пер. с франц. — М. : Мир, 1976. — 496 с.

18. Варченко, А. Н. О препятствиях к локальной эквивалентности распределений / А. Н. Варченко // Мат. заметки. - 1981. -Т. 29, № 6. - С. 939-947.

19. Веденяпин, А. Д. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперповерхностей / А. Д. Веденяпин, В. М. Миклюков // Мат. сб. - 1986. - Т. 131, № 2. - С. 240-250.

20. Вершик, А. М. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи / А. М. Вершик, В. Я. Гершкович // Динамические системы - 7. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. — М. : ВИНИТИ, 1987. - Т. 16. - С. 5-85.

21. Водопьянов, С. К. Интегрирование по Лебегу: учебное пособие [Электронный ресурс] / С. К. Водопьянов. — Режим доступа: http://math.nsc.ru/~matanalyse/Lebesgue.pdf.

22. Водопьянов, С. К. Дифференцируемость кривых в категории многообразий Карно / С. К. Водопьянов // Докл. АН. - 2006. - Т. 410, № 4. - С. 439-444.

23. Водопьянов, С. К. Дифференцируемость отображений многообразий Карно и изоморфизм касательных конусов / С. К. Водопьянов // Докл. АН. — 2006. — Т. 411, № 4. — С. 439-443.

24. Водопьянов, С. К. Дифференцируемость отображений в геометрии пространств Карно — Каратеодори / С. К. Водопьянов // Сиб. мат. журн. — 2007. — Т. 48, № 2. — С. 251-271.

25. Водопьянов, С. К. О дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори / С. К. Водопьянов, А. В. Грешнов // Докл. АН. - 2003. - Т. 389, № 5. -С. 592-596.

26. Водопьянов, С. К. Дифференцируемость отображений пространств Карно — Каратеодори в топологии Соболева и ¿З^-топологии / С. К. Водопьянов, Д. В. Исангулова // Сиб. мат. журн. - 2007. - Т. 48, № 1. - С. 46-67.

27. Водопьянов, С. К. Локальная геометрия многообразий Карно в условиях минимальной гладкости / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Докл. АН. — 2007. — Т. 413, № 3. — С. 305-311.

28. Водопьянов, С. К. Формула ко площади для гладких контактных отображений многообразий Карно / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Докл. АН. — 2007. — Т. 417, № 5. - С. 583-588.

29. Водопьянов, С. К. Формула площади для С1-гладких контактных отображений многообразий Карно / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Докл. АН. — 2008. — Т. 422, № 1. - С. 15-20.

30. Водопьянов, С. К. Субриманова геометрия при минимальной гладкости векторных полей / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Докл. АН. - 2008. - Т. 422, № 5. -С. 583-588.

31. Водопьянов, С. К. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости / С. К. Водопьянов, М. Б. Карманова // Докл. АН.

- 2009. - Т. 427, № 3. - С. 731-736.

32. Водопьянов, С. К. Алгебраические свойства касательного конуса к квазиметрическому пространству со структурой растяжений / С. К. Водопьянов, С. В. Селиванова // Докл. АН. - 2009. - Т. 428, № 5. - С. 586-590.

33. Грешнов, А. В. Метрики равномерно регулярных пространств Карно — Каратеодори и их касательных конусов / А. В. Грешнов // Сиб. мат. журн. — 2006. — Т. 47, № 2. — С. 259-292.

34. Грешнов, А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных квазипространств Карно — Каратеодори их касательными конусами / А. В. Грешнов // Сиб. мат. журн.

- 2007. - Т. 48, № 2. - С. 290-312.

35. Грешнов, А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С^-гладких некоммутирующих векторных полей / А. В. Грешнов // Сиб. мат. журн. - 2009. - Т. 50, № 1. - С. 47-62.

36. Грешнов, А. В. Об обобщенном неравенстве треугольника для квазиметрик, индуцированных некоммутирующими векторными полями / А. В. Грешнов // Мат. тр. — 2011.

- Т. 14, № 1. - С. 70-98.

37. Грешнов, А. В. Доказательство теоремы Громова об однородной нильпотентной аппроксимации для векторных полей класса С1 / А. В. Грешнов // Мат. тр. — 2012. — Т. 15, № 2. - С. 72-88.

38. Грешнов, А. В. Анализ на квазиметрических пространствах. Теоремы существования и аппроксимации / А. В. Грешнов. — Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2012.

- 232 с.

39. Гурман, В. И. Представление и реализация обобщенных решений управляемых систем с неограниченным годографом / В. И. Гурман, Ю. Л. Сачков // Автомат, и телемех. — 2008. - Ж 4. - С. 72-80.

40. Гурман, В. И. Приближенная оптимизация управления на основе преобразований модели объекта / В. И. Гурман, Е. А. Трушкова, А. О. Блинов // Автомат, и телемех. — 2009. - № 5. - С. 13-23.

41. Дао Чонг Тхи. Минимальные поверхности и проблема Плато / Дао Чонг Тхи, А. Т. Фоменко. — М. : Наука, 1987. — 311 с.

42. Зеликин, М. И. Нерегулярность оптимального управления в регулярных экстремальных задачах / М. И. Зеликин // Фунд. и прикл. мат. - 1995. - Т. 1, № 2. - С. 399-408.

43. Зеликин, М. И. Структура оптимального синтеза в окрестности особых многообразий для аффинных по управлению задач / М. И. Зеликин // Дифференциальные уравнения и динамические системы: сб. науч. тр. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко. Тр. МИАН. - М. : Наука, 2002. - Т. 236. - С. 174-196.

44. Зеликин, М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление / М. И. Зеликин. - 2-е изд. - М. : Эдиториал УРСС, 2004. - 160 с.

45. Зеликин, М. И. Структура оптимального синтеза в окрестности особых многообразий для аффинных по управлению задач / М. И. Зеликин, JI. Ф. Зеликина // Мат. сб. — 1998. - Т. 189, № 10. - С. 33-52.

46. Зеликин, М. И. Геометрия окрестностей особых экстремалей в задачах с многомерным управлением. В сб. Математическая теория управления и дифференциальные уравнения / М. И. Зеликин, JI. В. Локуциевский, Р. Хильдебранд // Математическая теория управления и дифференциальные уравнения: сб. науч. тр. К 90-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко. Тр. МИАН. — М. : МАИК, 2012. — Т. 277. — С. 74-90.

47. Карманова, М. Б. Метрическая дифференцируемость отображений и геометрическая теория меры / М. Б. Карманова // Докл. АН. - 2005. - Т. 401, № 4. - С. 443-447.

48. Карманова, М. Б. Спрямляемые множества и формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве / М. Б. Карманова // Докл. АН. — 2006. — Т. 408, № 1. - С. 16-21.

49. Карманова, М. Б. Метрическая теорема Радемахера и формула площади для отображений со значениями в метрическом пространстве / М. Б. Карманова // Вестн. НГУ.

- 2006. - Т. 6, Вып. 4. - С. 50-69.

50. Карманова, М. Б. Формулы площади и коплощади для отображений классов Соболева со значениями в метрическом пространстве / М. Б. Карманова // Сиб. мат. журн. — 2007. - Т. 48, № 4. - С. 778-788.

51. Карманова, М. Б. Формула площади для липшицевых отображений пространств Кар-но - Каратеодори / М. Б. Карманова // Докл. АН. - 2008. - Т. 423, № 5. - С. 603-608.

52. Карманова, М. Б. Характеристическое множество гладких контактных отображений пространств Карно — Каратеодори / М. Б. Карманова // Докл. АН. — 2009. — Т 425, № 3. - С. 314-319.

53. Карманова, М. Б. Пример многообразия Карно с С^-гладкими базисными векторными полями / М. Б. Карманова // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 5. — С. 84-87.

54. Карманова, М. Б. Графики липшицевых функций и минимальные поверхности на группах Карно / М. Б. Карманова // Докл. АН. - 2012. - Т. 445, № 3. - С. 259-264.

55. Карманова, М. Б. Графики липшицевых функций и минимальные поверхности на группах Карно / М. Б. Карманова // Сиб. мат. журн. - 2012. - Т. 53, № 4. - С. 839-861.

56. Карманова, М. Б. Тонкие свойства базисных векторных полей на пространствах Карно — Каратеодори в условиях минимальной гладкости / М. Б. Карманова // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55, № 1. - С. 87-99.

57. Карманова, М. Б. Формула площади для липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори / М. Б. Карманова // Изв. РАН. Сер. мат. — 2014. — Т. 78, № 3. — С. 53-78.

58. Карманова, М. Б. Тонкие свойства базисных векторных полей на пространствах Карно — Каратеодори в условиях минимальной гладкости / М. Б. Карманова // Докл. АН.

- 2014. - Т. 456, № 4. - С. 392-395.

59. Киселев, А. В. О минимальных поверхностях, связанных с неполиномиальными контактными симметриями / А. В. Киселев // Фунд. и прикл. мат. — 2006. — Т. 12, № 7.

- С. 93-100.

60. Клячин, А. А. Описание множества целых решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей / А. А. Клячин // Мат. сб. — 2003. — Т. 194, № 7. — С. 83-104.

61. Клячин, А. А. Следы функций с пространственноподобными графиками и задача о продолжении при ограничениях на градиент / А. А. Клячин, В. М. Миклюков // Мат. сб. - 1992. - Т. 183, № 7. - С. 49-64.

62. Клячин, А. А. Существование решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского / А. А. Клячин, В. М. Миклюков // Мат. сб.

- 1993. - Т. 184, № 9. - С. 103-124.

63. Клячин, В. А. Оценка протяженности трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности / В. А. Клячин // Сиб. мат. журн. — 1992. — Т. 33, № 5. — С. 201-206.

64. Клячин, В. А. Максимальные трубчатые поверхности произвольной коразмерности в пространстве Минковского / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. мат. — 1993. — Т. 57, № 4.

- С. 118-131.

65. Клячин, В. А. Новые примеры трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности / В. А. Клячин // Мат. заметки. — 1997. — Т. 62, № 1. — С. 154-156.

66. Клячин, В. А. Исследование решений уравнения поверхностей нулевой средней кривизны в пространстве Минковского / В. А. Клячин // Докл. АН. — 2002. — Т. 384, № 5. — С. 587-589.

67. Клячин, В. А. Об асимптотических свойствах максимальных трубок и лент в окрестности изолированной особенности в пространстве Минковского / В. А. Клячин // Сиб. мат. журн. - 2002. - Т. 43, № 1. - С. 76-89.

68. Клячин, В. А. Поверхности нулевой средней кривизны смешанного типа в пространстве Минковского / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. мат. - 2002. - Т. 67, № 2. - С. 7-20.

69. Клячин, В. А. О некоторых свойствах устойчивых и неустойчивых поверхностей предписанной средней кривизны / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. мат. — 2006. — Т. 70, № 4. - С. 77-90.

70. Клячин, В. А. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Мин-ковского / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1991. — Т. 55, № 1. - С. 206-217.

71. Клячин, В. А. Об одном емкостном признаке неустойчивости минимальных гиперповерхностей / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Докл. АН. - 1993. — Т. 330, № 4. -С. 424-426.

72. Клячин, В. А. Условия конечности времени существования максимальных трубок и лент в искривленных лоренцевых произведениях / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Изв. РАН. Сер. мат. - 1994. - Т. 58, № 3. - С. 196-210.

73. Клячин, В. А. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Мат. сб. — 1996. - Т. 187, № 11. - С. 67-88.

74. Кронрод, А. С. О функциях двух переменных / А. С. Кронрод // Успехи мат. наук. — 1950. - Т. 5, № 1. - С. 24-134.

75. Кузнецов М. В. О методах субримановой геометрии в задачах нейробиологии : выпуск, квалификац. работа бакалавра / Кузнецов Михаил Владимирович. — Новосибирск : НГУ, 2013. - 24 с.

76. Мазья, В. Г. Пространства Соболева / В. Г. Мазья. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1985. — 416 с.

77. Маштаков, А. П. Экстремальные траектории и асимптотика времени Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости / А. П. Маштаков, Ю. Л. Сачков // Мат. сб. - 2011. - Т. 202, № 9. - С. 97-120.

78. Миклюков, В. М. Две теоремы о граничных свойствах минимальных поверхностей в непараметрической форме / В. М. Миклюков // Мат. заметки. — 1977. — Т. 21, № 4. — С. 551-556.

79. Миклюков, В. М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности / В. М. Миклюков // Мат. сб. — 1979. — Т. 108, № 2. - С. 268-289.

80. Миклюков, В. М. Об одной оценке модуля семейства кривых на минимальной поверхности и ее применениях / В. М. Миклюков // Успехи мат. наук. — 1979. — Т. 34, № 3.

- С. 207-208.

81. Миклюков, В. М. Некоторые особенности поведения решений уравнений типа минимальной поверхности в неограниченных областях / В. М. Миклюков // Мат. сб. — 1981.

- Т. 116, № 1. - С. 72-86.

82. Миклюков, В. М. Максимальные трубки и ленты в пространстве Минковского /

B. М. Миклюков // Мат. сб. - 1992. - Т. 183, № 12. - С. 45-76.

83. Миклюков, В. М. Граничные свойства решений уравнений типа минимальных поверхностей / В. М. Миклюков // Мат. сб. - 2001. - Т. 192, № 10. - С. 71-94.

84. Миклюков, В. М. Максимальные поверхности в пространстве-времени Минковского [Электронный ресурс] / В. М. Миклюков, А. А. Клячин, В. А. Клячин. — 530 с. — Режим доступа: http://www.uchimsya.info/maxsurf.pdf.

85. Миклюков, В. М. О строении в целом внешне полных минимальных поверхностей в R3 / В. М. Миклюков, В. Г. Ткачев // Изв. вузов. Математика. — 1987. — Т. 31, № 7. —

C. 30-36.

86. Миклюков, В. М. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности / В. М. Миклюков, В. Г. Ткачев // Мат. сб. — 1989. — Т. 180, № 9. - С. 1278-1295.

87. Овсянников, JI. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / JI. В. Овсянников.

- М. : Наука, 1978. - 399 с.

88. Понтрягин, JI. С. Непрерывные группы / J1. С. Понтрягин. — 3-е изд., доп. — М. : Наука, Физматлит, 1973. — 527 с.

89. Постников, М. М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли / М. М. Постников. — М. : Наука, 1982. — 447 с.

90. Рашевский, П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией / П. К. Рашевский // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. - 1938. — Т. 3, № 2. - С. 83-94.

91. Решетняк, Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве / Ю. Г. Решетняк // Сиб. мат. журн. - 1997. - Т. 38, № 3. - С. 657-675.

92. Сачков, Ю. Л. Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте / Ю. Л. Сачков // Мат. заметки. — 1995. — Т. 58, № 3. — С. 419-424.

93. Сачков, Ю. Л. Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны // Мат. сб. - 2003. - Т. 194, № 9. - С. 63-90.

94. Сачков, Ю. Л. Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны / Ю. Л. Сачков // Мат. сб. - 2006. - Т. 197, № 2. - С. 95-116.

95. Сачков, Ю. Л. Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны / Ю. Л. Сачков // Мат. сб. - 2006. - Т. 197, № 4. - С. 123-150.

96. Сачков, Ю. Л. Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны / Ю. Л. Сачков // Мат. сб. - 2006. - Т. 197, № 6. - С. 111-160.

97. Сачков, Ю. Л. Теория управления на группах Ли / Ю. Л. Сачков // Оптимальное управление. Совр. мат. Фунд. напр. - М. : РУДН, 2008. - Т. 27. - С. 5-59.

98. Сачков, Ю. Л. Симметрии и страты Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости / Ю. Л. Сачков // Мат. сб. - 2010. - Т. 201, № 7. - С. 99-120.

99. Сачков, Ю. Л. Параллельный алгоритм и программа восстановления изофот для поврежденных изображений / Ю. Л. Сачков, А. А. Ардентов, А. П. Маштаков // Программные системы: теория и приложения. — 2010. — Т. 1, № 1. — С. 3-20.

100. Сачков, Ю. Л. Устойчивость инфлексионных эластик, центрированных в вершинах или точках перегиба / Ю. Л. Сачков, С. В. Левяков // Тр. МИАН. - 2010. - Т. 271. -С. 187-203.

101. Селиванова, С. В. Касательный конус к регулярному квазиметрическому пространству Карно — Каратеодори / С. В. Селиванова // Докл. АН. — 2009. — Т. 425, № 5. — С. 595-599.

102. Селиванова, С. В. Касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями / С. В. Селиванова // Сиб. мат. журн. - 2010. - Т. 51, № 5. - С. 388-403.

103. Селиванова, С. В. Локальная геометрия нерегулярных весовых пространств квазиметр и- ческих пространств Карно — Каратеодори / C.B. Селиванова / / Докл. АН. - 2012. - Т. 443, № 1. - С. 16-21.

104. Серр, Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли / Ж.-П. Серр; пер. с англ. и франц. М. : Мир, 1969. - 376 с.

105. Трушкова, Е. А. Синтез оптимальных траекторий, подчиненных граничным условиям, в линейно-квадратической задаче / Е. А. Трушкова // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика. — 2008. — Вып. 9. — С. 60-66.

106. Тужилин, А. А. Многозначные отображения, минимальные поверхности и мыльные пленки / А. А. Тужилин, А. Т. Фоменко // Вестн. МГУ. Серия 1. Математика, механика. - 1986. - № 3. - 3-12.

107. Тужилин, А. А. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей / А. А. Тужилин, А. Т. Фоменко. — М. : Наука, 1991. — 176 с.

108. Фоменко, А. Т. Гомологические свойства минимальных компактов в многомерной задаче Плато / А. Т. Фоменко // Докл. АН СССР. - 1970. - Т. 192, № 1. - С. 38-41.

109. Фоменко, А. Т. Многомерная задача Плато в экстраординарных теориях гомологий и когомологий / А. Т. Фоменко // Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 200, № 4. - С. 797-800.

110. Фоменко, А. Т. Многомерная задача Плато в римановых многообразиях / А. Т. Фоменко // Мат. сб. - 1972. - Т. 89, № 3. - С. 475-519.

111. Фоменко, А. Т. Многомерная задача Плато на римановых многообразиях / А. Т. Фоменко // Мат. заметки. - 1973. - Т. 13, № 1. - С. 159-167.

112. Фоменко, А. Т. Многомерные задачи Плато на римановых многообразиях и экстраординарные теории гомологий и когомологий. Ч. 2 / А. Т. Фоменко // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М. : Изд-во МГУ, 1978. — Вып. 18. — С. 4-93

113. Фоменко, А. Т. О минимальных объемах топологических глобально минимальных поверхностей в кобордизмах / А. Т. Фоменко // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1981. — Т. 45, № 1. С. 187-213.

114. Accardi, L. A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low density limit / L. Accardi, A. Pechen, I. V. Volovich // Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top.

- 2003. - V. 6, № 3. - P. 431-453.

115. Agrachev, A. A. Compactness for sub-Riemannian length minimizers and subanalyticity / A. A. Agrachev // Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino. - 1998. - V. 56, № 4. - P. 1-12.

116. Agrachev, A., Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups / A. Agrachev, D. Barilari //J. Dyn. Contr. Syst. - 2012. - V. 18, № 1. - P. 21-44.

117. Agrachev, A. A. On subanalyticity of Carnot-Carathéodory distances / A. A. Agrachev, J.-P. Gauthier // Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire. — 2001. — V. 18, № 3. — P. 359-382.

118. Agrachev, A. Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions / A. Agrachev, A. Marigo // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. — 2003. — V. 9. — P. 111-120.

119. Agrachev, A. A. Control theory from the geometric viewpoint / A. A. Agrachev, Yu. L. Sachkov. — Berlin : Springer, 2004. - 412 p.

120. Agrachev, A. A. Strong minimality of abnormal geodesies for 2-distributions / A. A. Agrachev, A. V. Sarychev // J. Dyn. Contr. Syst. - 1995. - V. 1, № 2. - P. 139-176.

121. Agrachev, A. A. Abnormal sub-Riemannian geodesies: Morse index and rigidity / A. A. Agrachev, A. V. Sarychev // Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. Non Linéaire. — 1996.

- V. 13, № 6. - P. 635-690.

122. Agrachev, A. A. On abnormal extremals for Lagrange variational problems / A. A. Agrachev, A. V. Sarychev // J. Math. Syst. Estim. Cont. - 1998. - V. 8, № 1. - P. 87-118.

123. Agrachev, A. A. Sub-Riemannian metrics: Minimality of abnormal geodesies versus subanalyticity / A. A. Agrachev, A. V. Sarychev // ESAIM Control Optim. Calc. Var. - 1999. - V. 4. - P. 377-403.

124. Alouges, F. Optimal strokes for low Reynolds number swimmers: an example / F. Alouges, A. De Simone, A. Lefebvre //J. Nonlinear Sci. - 2008. - V. 18, № 3. - P. 277-302.

125. Airault, H. Intégration géométrie sur l'espace de Wiener / H. Airault, P. Malliavin // Bull. Sci. Math. - 1988. - V. 112. - P 3-52.

126. Ambrosio, L. Metric space valued functions of bounded variation / L. Ambrosio // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa CI. Sci. (4). - 1990. - V. 17. - P. 439-478.

127. Ambrosio, L. Rectifiable sets in metric and Banach spaces / L. Ambrosio, B. Kirchheim // Math. Ann. - 2000. - V. 318. - P. 527-555.

128. Anastasiei, M. Nonholonomic Black Ring and Solitonic Solutions in Finsler and Extra Dimension Gravity Theories / M. Anastasiei, S. I. Vacaru // Int. J. Theor. Phys. — 2010. — V. 49, № 8. - P. 1788-1804.

129. Balogh, Z. Size of characteristic sets and functions with prescribed gradient / Z. Balogh // Crelle's Journal. - 2003. - V. 564. - P. 63-83.

130. Balogh, Z. Comparison of Hausdorff measures with respect to the Euclidean and the Heisenberg metric / Z. Balogh, M. R. Matthieu, F. Serra Cassano // Publ. Mat. — 2003. V. 47, № 1. - P. 237-259.

131. Barilari, D. On 2-Step, Corank 2 Nilpotent sub-Riemannian Metrics / D. Barilari, U. Boscain, J.-P. Gauthier // SIAM J. Contr. and Optim. - 2012. - V. 50, № 1. - P. 559-582.

132. Basalaev, S. G. Approximate differentiability of mappings of Carnot-Carathéodory spaces / S. G. Basalaev, S. K. Vodopyanov // Eurasian Math. J. - 2013. - V. 4, № 2. - P. 10-48.

133. Bellaiche, A. Tangent Space in Sub-Riemannian Geometry // Sub-Riemannian geometry. — Basel : Birkhauser Verlag, 1996. - P. 1-78.

134. Berestovskii, V. Homogeneous Spaces of Curvature Bounded Below / V. Berestovskii, C. Plaut // J. Geom. Anal. - 1999. - V. 9, № 2. - P. 218-219.

135. Berestovskii, V. Geometric groups. I / V. Berestovskii, C. Plaut, C. Stallman // Trans. Amer. Math. Soc. - 1999. - V. 351, № 4. - P. 1403-1422.

136. Bigolin, F. Intrinsic regular hypersurfaces in Heisenberg groups and weak solutions of non linear first-order PDEs : Ph. D. Thesis / Bigolin Francesco. — Trento : Universita Degli Studi di Trento, 2008. - 157 p.

137. Bigolin, F. Distributional solutions of Burgers' equation and intrinsic regular graphs in Heisenberg groups / F. Bigolin, F. Serra Cassano //J- Math. Anal, and Appl. — 2010.

- V. 366. - P. 561-568.

138. Biroli, M. Formed de Dirichlet et estimationes structurelles dans les mileux discontinues / M. Biroli, U. Mosco // C. R. Acad. Sci. Paris. - 1991. - V. 313. - P. 593-598.

139. Biroli, M. Sobolev inequalities on homogeneous spaces / M. Biroli, U. Mosco // Pot. Anal.

- 1995. - V. 4. - P. 311-324.

140. Bloch, A. M. Nonholonomic Mechanics and Control / A. M. Bloch. — N. Y. : Springer-Verlag, 2003. - 484 p.

141. Bonfiglioli, A. Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians / A. Bonfiglioli, E. Lanconelli, F. Uguzzoni. — Berlin, Heidelberg : Springer, 2007. — 828 p.

142. Bramanti, M. Basic properties of nonsmooth Hormander's vector fields and Poincare's inequality / M. Bramanti, L. Brandolini, M. Pedroni // Forum Math. — 2013. — V. 25, № 4. - P. 703-769.

143. Brockett, R. Control theory and singular Riemannian geometry / R. Brockett // New Directions in Applied Mathematics. — N. Y., Berlin : Springer, 1982. — P. 11-27.

144. Bryant, R. Rigidity of integral curves of rank-2 distributions / R. Bryant, L. Hsu // Invent. Math. - 1993. - V. 114. - P. 435-461.

145. Buckley, S. M. Subelliptic Poincare inequalities: the case p < 1 / S. M. Buckley, P. Koskela, G. Lu // Publ. Math. - 1995. - V. 39. - P. 313-334.

146. Buliga. M. Dilatation structures I. Fundamentals / M. Buliga //J. Gen. Lie Theory and Appl. - 2007. - V. 2, № 1. - P. 65-95.

147. Capogna, L. Regularity of quasi-linear equations in the Heisenberg group / L. Capogna // Commun. Pure and Appl. Math. - 1997. - V. 50, № 9. - P. 867-889.

148. Capogna, L. Regularity for quasilinear equations and 1-quasiconformal maps in Carnot groups / L. Capogna // Math. Ann. - 1999. - V. 313, № 2. - P. 263-295.

149. Capogna, L. Regularity of non-characteristic minimal graphs in the Heisenberg group H1 / L. Capogna, G. Citti, M. Manfredini // Indiana Univ. Math. J. — 2009. — V. 58, № 5. -P. 2115-2160.

150. Capogna, L. Smoothness of Lipschitz Intrinsic Minimal Graphs in Heisenberg Group Hn, n > 1 / L. Capogna, G. Citti, M. Manfredini // Crelle's Journal. - 2010. - V. 648. -P. 75-110.

151. Capogna, L. An imbedding theorem and the Harnack inequality for nonlinear subelliptic equations / L. Capogna, D. Danielli, N. Garofalo // Commun. Part. Different. Equat. — 1993. - V. 18 - P. 1765-1794.

152. Capogna, L. Subelliptic mollifiers and characterization of Rellich and Poincare domains / L. Capogna, D. Danielli, N. Garofalo // Rend. Sem. Mat. Univ. Polit. Torino. — 1993. — V. 54. - P. 361-386.

153. Capogna, L. The geometric Sobolev embedding for vector fields and the isoperimetric inequality / L. Capogna, D. Danielli, N. Garofalo // Commun. Anal, and Geom. — 1994. — V. 2. - P. 203-215.

154. Capogna, L. Capacitary estimates and the local behavior of solutions to nonlinear subelliptic equations / L. Capogna, D. Danielli, N. Garofalo // Amer. J. Math. — 1996. — V. 118. — P. 1153-1196.

155. Capogna, L. Subelliptic mollifiers and a basic pointwise estimate of Poincare type / L. Capogna, D. Danielli, N. Garofalo // Math. Z. - 1997. - V. 226. - P. 147-154.

156. Caratheodory, C. Untersuchungen ueber die Grundlagen der Thermodynamik / C. Caratheodory // Math. Ann. - 1909. - V. 67. -P. 355-386.

157. Chang, D.-Ch. Sub-Lorentzian Geometry on Anti-de Sitter Space / D.-Ch. Chang, I. Markina, A. Vasil'ev //J. Math. Pures et Appl. - 2008. - V. 90. - P. 82-110.

158. Cheng, J. H. Properly embedded and immersed minimal surfaces in the Heisenberg group / J. H. Cheng, J. F. Hwang // Bull. Austral. Math. Soc. - 2004. - V. 70, № 3. - P. 507-520.

159. Cheng, J. H. Minimal surfaces in pseudohermitian geometry and the Bernstein problem in the Heisenberg group, revised version 2004 / J. H. Cheng [et al.] // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. - 2005. - V. 1. - P. 129-177.

160. Chernikov, V. M. Sobolev Spaces and hypoelliptic equations. I / V. M. Chernikov, S. K. Vodop'yanov // Siberian Adv. Math. - 1996. - V. 6, № 3. - P. 27-67.

161. Chernikov, V. M. Sobolev Spaces and hypoelliptic equations. II / V. M. Chernikov, S. K. Vodop'yanov // Siberian Adv. Math. - 1996. - V. 6, № 4. - P. 64-96.

162. Chow, W. L. Uber Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordung / W. L. Chow // Math. Ann. - 1939. - V. 117. - P. 98-105.

163. Citti, G. Harnack's inequality for sum of squares of vector fields plus a potential / G. Citti, N. Garofalo, E. Lanconelli // Amer. J. Math. - 1993. - V. 115, № 3. - P. 699-734.

164. Citti, G. A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space / G. Citti, A. Sarti // Lecture Notes of Seminario Interdisciplinare di Matematica. — 2004. — V. 3. - P. 145-161.

165. Danielli, D. Trace inequalities for Carnot-Caratheodory spaces and applications / D. Danielli, N. Garofalo, D.-M. Nhieu // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4). - 1999. - V. 27, № 2. - P. 195-252.

166. Danielli, D. A notable family of entire intrinsic minimal graphs in the Heisenberg group which are not perimeter minimizing / D. Danielli, N. Garofalo, D.-M. Nhieu // Amer. J. Math. — 2008. - V. 130, № 2. - P. 317-339.

167. Danielli, D. Instability of graphical strips and a positive answer to the Bernstein problem in the Heisenberg group H1 / D. Danielli, N. Garofalo, D.-M. Nhieu, S. D. Pauls // J. Different. Geom. - 2009. - V. 81. - P. 251-295.

168. Eliashberg, Ya. Classification of overtwisted contact structures on 3-manifolds / Ya. Eliashberg // Invent. Math. - 1989. - V. 98. - P. 623-637.

169. Eliashberg, Ya. New Invariants of Open Symplectic and Contact Manifolds / Ya. Eliashberg // J. Amer. Math. Soc. - 1991. - V. 4. - P. 513-520.

170. Eliashberg, Ya. Contact 3-Manifolds Twenty Years Since J. Martinet's Work / Ya. Eliashberg // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 1992. - V. 42. - P. 1-12.

171. Evans, L. C. Measure theory and fine properties of functions / L. C. Evans, R. F. Gariepy.

- Boca Raton : CRC Press, 1992. - 288 p.

172. Federer, H. Curvature measures / H. Federer // Trans. Amer. Math. Soc. — 1959. — V. 93.

- P. 418-491.

173. Federer, H. Geometric Measure Theory / / H. Federer. — N. Y. : Springer, 1969. — 676 p.

174. Federer, H. Normal and Integral Currents / H. Federer, W. H. Fleming // Ann. Math. — 1960. - V. 72, № 2. - P. 458-520.

175. Fefferman, C. Subelliptic eigenvalue problems / C. Fefferman, D. H. Phong // Proceedings of the Conference in Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund. — Belmont, CA: Wadsworth Math. Ser., 1981. - P. 590-606.

176. Field, A. Contour integration by the human visual system / A. Field, A. Heyes, R. F. Hess // Vision Research. - 1993. - V. 33. - P. 173-193.

177. Folland, G. B. A fundamental solution for a subelliptic operator / G. B. Folland // Bull. Amer. Math. Soc. - 1973. - V. 79. - P. 373-376.

178. Folland, G. B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups / G. B. Folland // Ark. Mat. - 1975. - V. 13, № 2. - P. 161-207.

179. Folland, G. B. Hardy spaces on homogeneous groups / G. B. Folland, E. M. Stein // Princeton : Princeton Univ. Press, 1982.

180. Fomenko, A. T. Multidimensional Plateau problem on Riemannian manifolds. On the problem of the algorithmical recognizability of the standard three-dimensional sphere / A. T. Fomenko // Proc. Internat. Congr. Math. (Vancouver, 1974). — Montreal, Que. : Canad. Math. Congress, 1975. - V. 1. - P. 515-523.

181. Fomenko, A. T. Minimization of length, area, and volume. Some solved and some unsolved problems in the theory of minimal graphs and surfaces / A. T. Fomenko // Minimal surfaces. Adv. Soviet Math. - Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1993. - V. 15. — P. 1-13.

182. Foschi, P. Path dependent volatility / P. Foschi and A. Pascucci // Decis. Econ. Finance. — 2008. - V. 31, № 1. - P. 13-32.

183. Franchi, B. Weighted Sobolev-Poincaré inequalities and pointwise inequalities for a class of degenerate elliptic equations / B. Franchi // Trans. Amer. Math. Soc. — 1991. — V. 327. — P. 125-158.

184. Franchi, B. Sobolev and isoperimetric inequalities for degenerate metrics / B. Franchi, S. G allot, R. Wheeden // Math. Ann. - 1994. - V. 300. - P. 557-571.

185. Franchi, B. Weighted Sobolev-Poincaré inequalities for Grushin type operators / B. Franchi, C. E. Gutiérrez, R. L. Wheeden // Commun. Part. Different. Equat. - 1994. - V. 19. -P. 523-604.

186. Franchi, B. Holder regularity theorem for a class of non uniformly elliptic operators with measurable coefficients / B. Franchi, E. Lanconelli // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. — 1983. - V. 10. - P. 523-541.

187. Franchi, B. An imbedding theorem for Sobolev spaces related to non smooth vector fields and Harnack inequality / B. Franchi, E. Lanconelli // Commun. Part. Different. Equat. — 1994. - V. 9. - P. 1237-1264.

188. Franchi, B. Representation formulas and weighted Poincaré inequalities for Hôrmander vector fields / B. Franchi, G. Lu, R. Wheeden // Ann. Inst. Fourier (Grenoble) - 1995. - V. 45.

- P. 577-604.

189. Franchi, B. A relationship between Poincaré type inequalities and representation formulas in spaces of homogeneous type / B. Franchi, G. Lu. R. Wheeden // Int. Math. Res. Notices. — 1996. — № 1. - P. 1-14.

190. Franchi, B. Pointwise estimates for a class of strongly degenerate elliptic operators: a geometric approach / B. Franchi, R. Serapioni // Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. — 1987.

- V. 14. - P. 527-568.

191. Franchi, В. Rectifiability and Perimeter in the Heisenberg group / B. Franchi, R. Serapioni,

F. Serra Cassano // Math. Ann. - 2001. - V. 321, № 3. - P. 479-531.

192. Franchi, В. On the structure of finite perimeter sets in step 2 Carnot groups / B. Franchi, R. Serapioni, F. Serra Cassano //J. Geom. Anal. - 2003. - V. 13, № 3. - P. 421-466.

193. Franchi, В. Regular hypersurfaces, intrinsic perimeter and implicit function theorem in Carnot groups / B. Franchi, R. Serapioni, F. Serra Cassano // Commun. Anal, and Geom. - 2003. - V. 11, № 5. P. 909-944.

194. Franchi, В. Regular submanifolds, graphs and area formula in Heisenberg groups / B. Franchi, R. Serapioni, F. Serra Cassano // Adv. Math. - 2007. - V. 211, № 1. - P. 152-203.

195. Garattini, R. Harnack's inequality on homogeneous spaces / R. Garattini // Ann. Mat. Рига ed Appl. - 2001. - V. 179, № 1. - P. 1-16.

196. Garofalo, N. Analysis and Geometry of Carnot-Carathéodory Spaces, With Applications to PDE's / N. Garofalo. — Birkhâuser [in preparation],

197. Garofalo, N. Existence and nonexistence results for semilinear equations on the Heisenberg group / N. Garofalo, E. Lanconelli // Indiana Univ. Math. J. — 1992. - V. 41. — P. 71-98.

198. Garofalo, N. Isoperimetric and Sobolev Inequalities for Carnot-Carathéodory Spaces and the Existence of Minimal Surfaces / N. Garofalo, D.-M. Nhieu // Commun. Pure and Appl. Math. - 1996. - V. 49. - P. 1081-1144.

199. Garofalo, N. Lipschitz continuity, global smooth approximation and extension theorems for Sobolev functions in Carnot-Carathéodory spaces / N. Garofalo, D.-M. Nhieu //J. Anal. Math. - 1998. - V. 74. - P. 67-97.

200. Garofalo, N. The Bernstein problem in the Heisenberg group [Электронный ресурс] / N. Garofalo, S. D. Pauls. — Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/math/0209065v2.pdf.

201. Giaquinta, M. Cartesian currents in the calculus of variations. V. 1-2 / M. Giaquinta,

G. Modica, J. Soucek. — Berlin : Springer-Verlag, 1998.

202. Goodman, R. W. Nilpotent Lie groups: structure and applications to analysis / R. W. Goodman // Lecture Notes in Mathematics. — Berlin a. o. : Springer-Verlag, 1976. — V. 562. - 216 p.

203. Grace, M. D. Combining dynamical-decoupling pulses with optimal control theory for improved quantum gates [Электронный ресурс] / M. D. Grace [et al.]. — Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/1105.2358vl.pdf.

204. Gromov, M. Groups of polynomial growth and expanding maps / M. Gromov // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. - 1981. - V. 53. - P. 53-73.

205. Gromov, M. Carnot-Caratheodory Spaces Seen From Within / M. Gromov // Sub-Riemannian geometry. — Basel : Birkhauser Verlag, 1996. — P. 79-318.

206. Gromov, M. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces / M. Gromov. — 3rd printing. — Boston : Birkhauser, 2006. — p. — Appendices by M. Katz, P. Pansu, S. Semmes. — 586 p.

207. Grong, E. Sub-Riemannian and sub-Lorentzian geometry on SU( 1,1) and on its universal cover / E. Grong, A. Vasil'ev //J. Geom. Mech. - 2011. - № 2. - P. 225-260.

208. Guzman, M. Differentiation of Integrals in ]Rn / M. Guzman. — Berlin : Springer, 1975. — 226 p.

209. Hajlasz, P. Sobolev Mappings, Co-Area Formula and Related Topics / P. Hajlasz // Труды по анализу и геометрии. — Ин-т математики СО РАН. — Новосибирск, 2000. — С. 227254.

210. Hajlasz, P. Subelliptic p-harmonic maps into spheres and the ghost of Hardy spaces / P. Hajlasz, P. Strzelecki // Math. Ann. - 1998. - V. 312. - P. 341-362.

211. Hartman, Ph. Ordinary Differential Equations / Ph. Hartman. — New York-London-Sydney : John Wiley & Sons, 1964. - 612 p.

212. Heinonen, J. Calculus on Carnot groups / J. Heinonen // Fall school in Analysis (Jyvaskyla, 1994). University of Jyvaskyla. — Jyvaskyla, 1994. - P. 1-32.

213. Hermes, H. Nilpotent and high-order approximations of vector field systems / H. Hermes // SIAM Rev. - 1991. - V. 33, № 2. - R 238-264.

214. Hilbert, D. Mathematische Probleme [Электронный ресурс] / D. Hilbert // Режим доступа: http: / / www .mathematik.uni-bielefeld.de / ~kersten/hilbert/rede .html.

215. Hladky, R. K. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model / R. K. Hladky, S. D. Pauls //J. Math. Imaging and Vision. - 2005. - V. 36, № 1. - P. 1-27.

216. Hobson, D. G. Complete models with stochastic volatility / D. G. Hobson, L. C. G. Rogers // Math. Finance. - 1998. - V. 8, № 1. - P. 27-48.

217. Hoffman, W. C. The visual cortex is a contact bundle / W. C. Hoffman // Appl. Math, and Comput. - 1989. - V. 32. - P. 137-167.

218. Hormander, L. Hypoelliptic second order differential equations / L. Hormander // Acta Math. - 1967. - V. 119. - P. 147-171.

219. Jean, F. The car with n trailers: Characterisation of the singular configurations / F. Jean // Contr. Optim. С ale. Var. - 1996. - V. 1. - P. 241-266.

220. Jean, F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls / F. Jean //J. Dyn. Contr. Syst. — 2001. - V. 7, № 4. - P. 473-500.

221. Jerison, D. The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition / D. Jerison // Duke Math. J. - 1986. - V. 53. - P. 503-523.

222. Jost, J. Equilibrium maps between metric spaces / J. Jost // Calc. Var. — 1994. — V. 2. — P. 173-205.

223. Jost, J. Generalized harmonic maps between metric spaces / J. Jost // Geometric Analysis and the Calculus of Variations for Stefan Hildebrandt. — Boston : International Press, 1996. - P. 143-174.

224. Jost, J. Generalized Dirichlet forms and harmonic maps / J. Jost // Calc. Var. — 1997. — V. 5. - P. 1-19.

225. Jost, J. Nonlinear Dirichlet forms / J. Jost // New Directions in Dirichlet Forms. Stud. Adv. Math. - Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1998. - V. 8. - P. 1-47.

226. Jost, J. Subelliptic harmonic maps / J. Jost, C. J. Xu // Trans. Amer. Math. Soc. — 1998.

- V. 350. - P. 4633-4649.

227. Jurdjevic, V. Geometric Control Theory / V. Jurdjevic // Cambridge Studies in Mathematics. — Cambridge : Cambridge University Press, 1997. — V. 52. — 492 p.

228. Karmanova, M. Geometric Measure Theory Formulas on Rectifiable Metric Spaces / M. Karmanova // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics.

- Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2007. - V. 424. - P. 103-136.

229. Karmanova, M. Rectifiable Sets and Coarea Formula for Metric-Valued Mappings / M. Karmanova // J. Funct. Anal. - 2008. - V. 254, № 5. - P. 1410-1447.

230. Karmanova, M. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces, Differentiability, Coarea and Area Formulas / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Analysis and Mathematical Physics.

- Basel : Birkhäuser, 2009. - P. 233-335.

231. Karmanova, M. An Area Formula for Contact C1-Mappings of Carnot Manifolds / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Complex Variabl. and Ellipt. Equat. — 2010. — V. 55, № 1-3. - P. 317-329.

232. Karmanova, M. A Coarea Formula for Smooth Contact Mappings of Carnot-Caratheodory Spaces / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Acta Appl. Math. — 2013. — V. 128, № 1. — P. 67-111.

233. Karmanova, M. On Local Approximation Theorem on Equiregular Carnot-Caratheodory Spaces / M. Karmanova, S. Vodopyanov // Proc. INDAM Meeting on Geometric Control and Sub-Riemannian Geometry (Cortona, May 2012). — N. Y. : Springer INDAM Ser., 2014.

- V. 5. - P. 241-262.

234. Khaneja, N. Boundary of quantum evolution under decoherence / N. Khaneja, B. Luy, S. J. Glaser // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. - 2003. - V. 100, № 23. - P. 13162-13166.

235. Khaneja, N. Optimal Control of Coupled Spin Dynamics: Design of NMR Pulse Sequences by Gradient Ascent Algorithms / N. Khaneja [et al.] //J. Magn. Reson. — 2005. — V. 172. - P. 296-305.

236. Khesin, B. A nonholonomic Moser theorem and optimal transport / B. Khesin, P. Lee //J. Symplectic Geom. - 2009. - V. 7, № 4. - P. 381-414.

237. Kirchheim, В. Rectifiable metric spaces: local structure and regularity of the Hausdorff measure / B. Kirchheim // Proc. Amer. Math. Soc. - 1994. - V. 121. - P. 113-123.

238. Klyachin, V. A. Geometrical structure of tubes and bands of zero mean curvature in Minkowski space / V. A. Kyachin, V. M. Miklyukov // Ann. Acad. Sei. Fenn. Math. — 2003. - V. 28 - P. 239-270.

239. Koranyi, A. Quasiconformal mappings on the Heisenberg group / A. Koranyi, H. M. Reimann // Invent. Math. - 1985. - V. 80. - P. 309-338.

240. Koranyi, A. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group / A. Koranyi, H. M. Reimann // Adv. Math. - 1995. - V. 111. - P. 1-87.

241. Kozhevnikov, A. Rugosité des lignes de niveau des applications difFérentiables sur le groupe d'Heisenberg [Электронный ресурс] / A. Kozhevnikov. — Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/1110.3634.pdf.

242. Laumond, J. P. Controllability of a multibody mobile robot / J. P. Laumond // IEEE T. Robotics and Automation. — 1993. — V. 9, № 6. — P. 755-763.

243. Leonardi, G. P. Isoperimetric sets on Carnot groups / G. P. Leonardi, S. Rigot // Houston J. Math. - 2003. - V. 29, № 3. - P. 609-637.

244. Lie, S. Theorie der Transformationsgruppen. Bd 1-3 / S. Lie, F. Engel. - Lpz., 1888-1893.

245. Lin, F. Geometrie Measure Theory: An Introduction / F. Lin, X. Yang. — Beijing а. о. : Science Press, 2002. - 237 p.

246. Liu, W. Shortest paths for sub-Riemannian metrics on rank-two distributions / W. Liu, H. J. Sussman // Mem. Amer. Math. Soc. - 1995. - V. 564.

247. Lu, G. Weighted Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander's condition and applications / G. Lu // Rev. Mat. Iberoamericana. — 1992. — V. 8, № 3. — P. 367-439.

248. Magnani, V. Differentiability and Area formula on Stratified Lie groups / V. Magnani // Houston J. Math. - 2001. - V. 27. - P. 297-323.

249. Magnani, V. Elements of Geometric Measure Theory on sub-Riemannian groups : Ph. D. Thesis / Magnani Valentino. — Pisa : Scuola Nórmale Superiore, 2002. — 208 p.

250. Magnani, V. Unrectifiability and rigidity in stratified groups / V. Magnani // Arch. Math.

- 2004. - V. 83, № 6. - P. 568-576.

251. Magnani, V. Note on coarea formulae in the Heisenberg group / V. Magnani // Publ. Math.

- 2004. - V. 48, № 2. - P. 409-422.

252. Magnani, V. The coarea formula for real-valued Lipschitz maps on stratified groups / V. Magnani // Math. Nachr. - 2005. - V. 278, № 14. - P. 1689-1705.

253. Magnani, V. Blow-up of regular submanifolds in Heisenberg groups and applications / V. Magnani // Cent. Eur. J. Math. - 2006. - V. 4,№ 1. - P. 82-109.

254. Magnani, V. Non-horizontal submanifolds and coarea formula / V. Magnani //J. Anal. Math. - 2008. - V. 106. - P. 95-127 .

255. Magnani, V. Area implies coarea / V. Magnani // Indiana Univ. Math. J. — 2011. — V. 60.

- P. 77-100.

256. Malliavin, P. Stochastic Analysis / P. Malliavin. — N. Y. : Springer, 1997. — 370 p.

257. Marchi, S. Holder continuity and Harnack inequality for De Giorgi classes related to Hormander vector fields / S. Marchi // Ann. Mat. Pura ed Appl. — 1995. — V. 168. — P. 171-188.

258. Margulis, G. A. The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Carathéodory space / G. A. Margulis, G. D. Mostow // Geom. and Funct. Anal. - 1995. - V. 5, № 2. - P. 402433.

259. Margulis, G. A. Some remarks on the definition of tangent cones in a Carnot-Carathéodory space / G. A. Margulis, G. D. Mostow // J. Anal. Math. - 2000. - V. 80. - P. 299-317.

260. Metivier, G. Fonction spectrale et valeurs propres d'une classe d'opérateurs non elliptiques / G. Metivier // Commun. Part. Different. Equat. - 1976. - V. 1. - P. 467-519.

261. Minimal Surfaces / Adv. Soviet Math. [A. T. Fomenko, éd.] — V. 15. — Providence : Amer. Math. Soc., 1993. - 342 p.

262. Mitchell, J. W. A Local Study of Carnot-Carathéodory Metrics : Ph. D. Thesis. / Mitchell John William. — Stony Brook : State University of New York at Stony Brook, 1982. — 58 p.

263. Mitchell, J. On Carnot-Carathéodory metrics / J. Mitchell //J. Different. Geom. — 1985. - V. 21. - P. 35-45.

264. Montanari, A. Nonsmooth Hôrmander vector fields and their control balls / A. Montanari, D. Morbidelli // Trans. Amer. Math. Soc. - 2012. - V. 364, № 5. - P. 2339-2375.

265. Montgomery, R. Abnormal minimizers / R. Montgomery // SIAM J. Contr. and Optim. — 1994. - V. 32, № 6. - P. 1605-1620.

266. Montgomery, R. A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications / R. Montgomery. — Providence : AMS, 2002. — 259 p.

267. Monti, R. Some properties of Carnot-Carathéodory balls in the Heisenberg group / R. Monti // Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Mem. s.9. - 2000. — V. 11. — P. 155-167.

268. Monti, R. Distances, boundaries and surface measures in Carnot-Carathéodory spaces : Ph. D. Thesis / Monti Roberto. — Trento : University of Trento, 2001. - 183 p.

269. Monti, R. Surface measures in Carnot-Carathédory spaces / R. Monti, F. Serra Cassano // Calc. Var. Partial Differential Equations. - 2001. - V. 13, № 3. - P. 339-376.

270. Nagel, A. Fundamental solutions and harmonic analysis on nilpotent groups / A. Nagel, F. Ricci, E. M. Stein // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) - 1990. - V. 23, № 1. - P. 139-144.

271. Nagel, A. Harmonie analysis and fundamental solutions on nilpotent Lie groups / A. Nagel, F. Ricci, E. M. Stein // Analysis and partial differential equations. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. - N. Y. : Dekker, 1990. - V. 122. - P. 249-275.

272. Nagel, A. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties / A. Nagel, E. M. Stein, S. Wainger // Acta Math. - 1985. - V. 155. - P. 103-147.

273. Nielsen, N. C. Optimal Control Methods in NMR Spectroscopy / N. C. Nielsen [et al.]. — Encyclopedia of Nuclear Magnetic Resonance. — Chichester, NY : Wiley, 2010.

274. Ohtsuka, M. Area Formula / M. Ohtsuka // Bull. Inst. Math. Acad. Sinica. — 1978. — V. 6, № 2 (2). - P. 599-636.

275. Pansu, P. Geometrie du group d'Heisenberg : Ph. D. Thesis / Pansu Pierre. — Paris : Univ. Paris VII, 1982. - 104 p.

276. Pansu, P. Une inégalité isoperimetrique sur le groupe de Heisenberg / P. Pansu // C.R. Acad. Sei. Paris., Série I. - 1982. — V. 295. - P. 127-130.

277. Pansu, P. Croissance des boules et des géodésiques fermeés dans les nilvariété / P. Pansu // Ergod. Dyn. Syst. - 1983. - V. 3. - P. 415-445.

278. Pansu, P. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un / P. Pansu // Ann. Math. (2). - 1989. - V. 129, № 1. - P. 1-60.

279. Pauls, S. Minimal surfaces in the Heisenberg group / S. Pauls // Geom. Dedic. — 2004. — V. 104. - P. 201-231.

280. Pauls, S. D. A Notion of Rectifiability Modeled on Carnot Groups / S. D. Pauls // Indiana Univ. Math. J. - 2004. - V. 53. - P. 49-82.

281. Pauls, S. Sub-Riemannian geometry in models of the visual cortex [Электронный ресурс] / S. Pauls. — Режим доступа: http : / / www. math. pur due: edu/~danielli / symposium09/Programfiles / slidespauls .pdf.

282. Pechen, A. Engineering arbitrary pure and mixed quantum states / A. Pechen // Phys. Rev. A. - 2011. - V. 84, № 4. - 042106. - 6 p.

283. Petitot, J. Neurogéométrie de la vision. Modèles mathématiques et physiques des architectures fonctionelles / J. Petitot. — Paris : Les Éditions de l'École Polytechnique, 2008. - 419 p.

284. Rothschild, L. P. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups / L. P. Rothschild, E. M. Stein // Acta Math. - 1976. - V. 137. - P. 247-320.

285. Rouchon, P. Flatness and motion planning: a car with n trailers / P. Rouchon [et al.] // Proceedings of European Control Conference. — Groningen, 1993. — P. 1518-1522.

286. Sachkov, Yu. L. Closed Euler elasticae / Yu. L. Sachkov // Tp. MHAH. - 2012. - T. 278. - C. 227-241.

287. Tilbury, D. Trajectory génération for the n-trailer problem using Goursat normal form / D. Tilbury, R. Murray, S. Sastry // IEEE Trans. Aut. Contr. - 1995. - V. 40, № 5. -P. 802-819.

288. Sánchez-Calle, A. Fundamental solutions and geometry of sums of squares of vector fields / A. Sánchez-Calle // Invent. Math. - 1984. - V. 78. - P. 143-160.

289. Sansone, G. Equazioni differenziali nel campo reale. V. 2 / G. Sansone. — 3rd ed. — Bologna : N. Zanichelli, 1963. - 495 p.

290. Sarti, A. The symplectic structure of the primary visual cortex / A. Sarti, G. Citti, J. Petitot // Biol. Cybernet. - 2008. - V. 98, № 1. - P. 33-48.

291. Selivanova, S. V. The structure of the tangent cone to a quasimetric space with dilations / S. V. Selivanova, S. K. Vodopyanov // Complex Analysis and Dynamical Systems IV, Part 1: Function Theory and Optimization. Contemporary Mathematics. — Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2011. - V. 553 - P. 267-287.

292. Selivanova, S. Metric geometry of nonregular weighted Carnot-Caratheodory spaces / S. Selivanova //J. Dyn. Contr. Syst. - 2014. - V. 20. - P. 123-148.

293. Stein, E. M. Harmonic analysis: real-variables methods, orthogonality, and oscillatory integrals / E. M. Stein. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1993. — 716 p.

294. Strichartz, R. S. Sub-Riemannian geometry / R. S. Strichartz //J. Diff. Geom. — 1986. — V. 24. - P. 221-263.

Corrections / R. S. Strichartz //J. Diff. Geom. - 1989. - V. 30. - P. 595-596.

295. Sturm, К. T. Analysis on local Dirichlet spaces III. The parabolic Harnack inequality / К. T. Sturm // J. Math. Pures et Appl. - 1996. - V. 75. - P. 273-297.

296. Udriste, C. Controllability of nonholonomic black holes systems / C. Udriste, V. Ciancio // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. - 2013. - V. 10, № 2. - 21 p.

297. Udriste, C. Black holes nonholonomic thermodynamics / C. Udriste, V. Ciancio, F. Farsaci // Proceedings of 12th WSEAS International Conference on Mathematical Methods, Computational Technics, Intelligent Systems (MAMECTIS/10), Kantaoui, Sousse, Tunisia, 3-6 May, 2010. Electrical and Computer Engineering Series. A Series of Reference Books and Textbooks. - Athens: WSEAS, 2010. - P. 162-171.

298. Varopoulos, N. Analysis and geometry on groups / N. Varopoulos, L. Saloff-Coste, T. Coulhon // Cambridge Tracts in Mathematics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - V. 100.

299. Vendittelli, M. Nonhomogeneous nilpotent approximations for nonholonomic systems with singularities / M. Vendittelli [et al.] // IEEE Trans. Aut. Contr. - 2004. - V. 49. - P. 261266.

300. Villani, C. Optimal Transport. Old and New / C. Villani // Series: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. — Berlin : Springer, 2009. — V. 338. — 978 p.

301. Vittone, D. Submanifolds in Carnot groups / D. Vittone. — Pisa : Eduzioni della Normale, 2008. - 180 p.

302. Vodop'y&nov, S. K. "P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics / S. K. Vodop'yanov // Труды по анализу и геометрии. — Ин-т математики СО РАН. - Новосибирск, 2000. - С. 603-670.

303. Vodopyanov, S. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces and Differentiability of Mappings / S. Vodopyanov // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics. - Providence, RI : Amer. Math. Soc., 2007. - V. 424. - P. 247-301.

304. Vodopyanov, S. K. Set functions and their applications in the theory of Lebesgue and Sobolev spaces. I / S. K. Vodopyanov, A. D. Ukhlov // Siberian Adv. Math. - 2004. - V. 14, № 4.

- P. 78-125.

305. Vodopyanov, S. K. Set functions and their applications in the theory of Lebesgue and Sobolev spaces. II / S. K. Vodopyanov, A. D. Ukhlov // Siberian Adv. Math. - 2005. - V. 15, №1.

- P. 91-125.

306. War hurst, B. Contact and quasiconformal mappings on real model filiform groups / B. Warhurst // Bull. Austral. Math. Soc. - 2003. - V. 68. - P. 329-343.

307. Warhurst, B. Jet spaces as nonrigid Carnot groups / B. Warhurst //J. Lie Theory. — 2005.

- V. 15. - P. 341-356.

308. Whiting, J. K. Path Optimization Using sub-Riemannian Manifolds with Applications to Astrodynamics : Ph. D. Thesis / Whiting James Kalani. — Cambridge, MA : Massachusetts Institute of Technology, 2011. — 131 p.

309. Xu, C. J. Higher interior regularity for quasilinear subelliptic systems / C. J. Xu, C. Zuily // Calc. Var. Partial Differential Equations - 1997. - V. 5, № 4. - P. 323-343.

310. Zelikin, M. I. Theory of Chattering Control with applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering / M. I. Zelikin, V. F. Borisov. — Boston, MA : Birkhauser, 1994. - 242 p.

311. Zhitomirskii, M. Rigid and abnormal line subdistributions of 2-distributions / M. Zhitomirskii // J. Dyn. Contr. Syst. - 1995. — V. 1. — P. 253-294.