Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Трямкин Максим Владимирович

• Трямкин Максим Владимирович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Трямкин Максим Владимирович

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Отображения в евклидовых пространствах

1.2. Пространства Карно — Каратеодори

2. Оценки на модули семейств кривых для отображений с весовым ограниченным (р, д)-искажением

2.1. Класс отображений

2.2. Модуль, ёмкость, поднятия

2.3. Аналог леммы Полецкого

2.4. Модульные неравенства

3. Отображения с ограниченным искажением на пространствах Карно — Каратеодори

3.1. Группа поворотов-сдвигов

3.2. Свойство морфизма на группе поворотов-сдвигов

3.3. Формула замены переменной на группе поворотов-сдвигов

3.4. I-АС Ь-свойство квазиконформных отображений

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах»

Введение

Первая часть настоящей работы посвящена изучению класса отображений с весовым ограниченным (р, д)-искажением, недавно введённого С. К. Водопьяновым. Для этих отображений установлен аналог леммы Полецкого и доказаны модульные неравенства типа По-лецкого и Вяйсяля. В качестве следствия получены некоторые результаты об устранении особенностей, в частности, доказна теорема о непрерывном продолжении рассматриваемых отображений на множество, семейство асимптотических кривых которого имеет нулевой модуль. Отметим, что в определение класса отображений не входит N-свойство Лузина.

Во второй части диссертации изучаются отображения с ограниченным искажением на пространствах Карно — Каратеодори. Установлено свойство морфизма субэллиптических уравнений для отображений с ограниченным искажением, область определения которых лежит в группе поворотов-сдвигов, а область значений — в группе Гейзенберга. В качестве следствия получено, что всякое непостоянное локально ограниченное отображение с ограниченным искажением, области определения и значений которого лежат в группе поворотов-сдвигов, непрерывно, открыто и дискретно. Доказано, что квазиконформные отображения пространств Карно — Каратеодори абсолютно непрерывны не только на интегральных кривых горизонтальных векторных полей, но и на интегральных линиях векторных полей более высокой степени.

Обзор темы исследования

В второй половине 1960-х гг. Ю. Г. Решетняк опубликовал серию статей [1-12], в которых были заложены основы теории отображений с ограниченным искажением. Монография [13] содержит всестороннее изложение результатов Ю. Г. Решетняка в этой области. Теорию отображений с ограниченным искажением следует рассматривать как естественное обобщение теории аналитических функций на многомерные евклидовы пространства. Напомним точное определение. Пусть П — область в евклидовом пространстве Кга, п ^ 2. Отображение f = (¡1,...^п): П ^ Ега класса Соболева №^Хос(П) называется отображением с ограниченным искажением, если для почти всех х € П выполняется неравенство (х)1п ^ КЗ(х,/), где К € [1, то) — постоянная, (х) = (^(ж))г,^=1,...,га — матрица Якоби, (ж)| и 3(х,/) — её операторная норма и определитель соответственно. Гомео-

морфизмы с ограниченным искажением — это квазиконформные отображения, введенные М. А. Лаврентьевым [14] в 1938 г.

Значительный прогресс в обсуждаемой теории достигнут усилиями советских, финских и американских математиков. В этой связи упомянем монографии М. Вуоринена [15] и С. Рикмана [16]. Теории отображений с ограниченным искажением (в зарубежной литературе чаще называемых квазирегулярными) посвящены несколько глав в монографиях Т. Килпелайнена, О. Мартио и Ю. Хейнонена [17], а также Т. Иванца и Г. Мартина [18].

В последние десятилетия активно исследуются классы отображений, удовлетворяющие различным обобщениям сформулированного определения. Здесь прослеживаются два направления: с одной стороны, оставаясь в рамках пространства Кга, можно менять условие регулярности и характеристику искажения, с другой — можно заменить евклидово пространство на метрическую структуру более общей природы и вводить адекватные этой природе аналоги функционального класса и условия искажения. Не претендуя на полноту, мы приведём обзор результатов, полученных в этих направлениях. Сразу отметим, что в настоящей работе установлены утверждения в каждом из них.

Изучение отображений с ограниченным искажением и их обобщений ведётся двумя методами: аналитическим и геометрическим. Остановимся сначала на первом.

Основы аналитического подхода заложены Ю. Г. Решетняком. Этот подход заключается в использовании исчисления внешних дифференциальных форм, теории пространств С. Л. Соболева и аппарата уравнений в частных производных эллиптического типа. Поясним сказанное подробнее. Сначала сформулируем важнейший топологический результат Ю. Г. Решетняка.

Теорема 1 ( [13, гл. 2, § 6]). Пусть О — область в Ега и f: О ^ Ега — отображение с ограниченным искажением, отличное от постоянного. Тогда f непрерывно, открыто и дискретно.

Фундаментальную роль в доказательстве этой теоремы играет свойство морфизма решений некоторых эллиптических уравнений [13, гл. 2, Теорема 5.1]: если £: О ^ О' — отображение с ограниченным искажением, где О, О' суть открытые множества в Кга, и функция V Е С2(О') является решением уравнения ¿.1у(\^у(у)1п-2^у(у)) = 0, то композиция и = V о f служит обобщенным решением уравнения А(х, ^и(х)) = 0, где А(х,£) = {С(х)£,£)('п-2'1/2С(х)$:.

Здесь угловые скобки обозначают скалярное произведение в Кга, а С — это матричная функция, определённая почти всюду в П следующим образом:

(Д/(х)*И/(х))-13(х, /)2/га, если 3(х, /) = 0,

И, если 3(х, f) = 0.

В свою очередь, само свойство морфизма устанавливается на основе того факта, что для дифференциальных форм ш степени п — 1 справедливо соотношение

3(/#ш) = /# Зш, (1)

где внешний дифференциал 3 понимается в смысле распределений. В евклидовых пространствах равенство (1) доказывается с помощью аппроксимации / гладкими отображениями [13, гл. 2, § 4].

Аналитический метод используется также в работе Б. Боярского и Т. Иванца [19], где, в частности, доказано, что отображение с ограниченным искажением лежит в классе ^1ос(П) при некотором р > п. Для квазиконформных отображений аналогичный результат был получен Ф. Герингом [20].

Наиболее активно исследуемым обобщением отображений с ограниченным искажением стали отображения с конечным искажением. Говорят, что отображение £: П ^ Кга класса ^(П) имеет конечное искажение, если для некоторой измеримой функции К(■) € [1, то) имеем (х)\п ^ К(х)3(х,/) для п. в. х € П, или, другими словами, за исключением множества меры нуль в П, равенство 3(х, /) = 0 влечёт И/(х) = 0. Положим

(, если 3(х,!) = 0, К (х,/ )=^ ^

I 1, если 3(х, /) = 0.

Отображения с конечным искажением нашли применение, например, в моделях нелинейной теории упругости (см. работы Дж. Болла [21,22] и монографию Ф. Сьярле [23]). Свойства этого класса отображений впервые изучены в 1975 г. в кандидатской диссертации С. К. Водопьянова [24] (см. также статью С. К. Водопьянова и В. М. Гольдштейна [25]): установлено, что отображения класса Ьс(П), имеющие конечное искажение, непрерывны и имеют монотонные компоненты. Название для этих отображений было предложено значительно позже (в 1993 г.) Т. Иванцом и В. Швераком в статье [26], где показано, что в плоском случае

С(х)

отображение f класса есть композиция аналитической функции и гомеоморфиз-

ма, если К(•,f) Е Li,ioc(Q). В работе Д. Манфреди и Э. Вилламора [27] доказано, что если f Е W^loc(П) и К(•,f) е LPtloc(Q) при р > п — 1, то f непрерывно, открыто и дискретно. Т. Иванец, П. Коскела и Я. Оннинен [28] установили непрерывность отображения f Е Wl(n) при условии, что J(•, f) Е L1(Q) и функция exp(XK(•, f)) интегрируема для некоторого А > 0. В работе Я. Кауханена, П. Коскелы и Я. Мали [29] при тех же условиях доказана открытость и дискретность этого отображения. В статье Т. Иванца, П. Коскелы и Г. Мартина [30] получены топологические свойства отображений, искажение которых имеет ограниченное среднее колебание. Помимо задачи распространения теоремы Решетняка, для отображений с конечным искажением изучается задача об устранении особенностей [31], вопрос об интегрируемости обратного якобиана [32,33] и др. Например, в работе П. Коскелы, Я. Оннинена и К. Ражалы [33] установлено, что если для непрерывного открытого и дискретного отображения f: П ^ R с конечным искажением и локально интегрируемым якобианом справедливо включение К 1/(n-1\^,f) Е LPtloc(Q) при некотором р ^ 1, то log ^е + 7(77)) Е Lploc(n). Вышедшая в 2014 г. монография С. Хенсля и П. Коскелы [34] содержит многие другие результаты, касающиеся отображений с конечным искажением. Отметим, что методы работ [26,27,29] во многом являются дальнейшим развитием идей Ю. Г. Решетняка.

Новый подход к получению топологических свойств отображений с конечным искажением предложил С. К. Водопьянов [35]. В работе [35] доказано, что непрерывное отображение f: П ^ R с конечным искажением такое, что К(•, f) Е Lp,ioc(H) для некоторого р Е [п — 1, то] при п = 2 и р Е (п — 1, то] при п ^ 3, и adj Df Е Lq loc(n) для q = п/(п — 1), обладает следующими свойствами: f Е W(1,loc (П), где q = пр/(р + 1), f открыто и дискретно, f дифференцируемо почти всюду в П в классическом смысле. Метод доказательства этого утверждения основан на формуле замены переменной для функции кратности и степени отображения и не использует аппроксимацию отображения гладкими. Тем самым в [35] предлагается новый способ для доказательства ключевого в теории отображений с ограниченным искажением равенства (1). Впоследствии С. К. Водопьянов успешно распространил этот способ на случай групп Карно, о чём мы скажем подробнее ниже.

Перейдём к обсуждению аналитического подхода в теории отображений с ограниченным искажением на неевклидовых структурах, на который мы опираемся в главе 3. Нач-

нём с квазиконформных отображений, отчасти потому, что один из параграфов настоящей работы посвящён им. Изучение квазиконформных отображений на неримановых пространствах инициировал Д. Мостов [36] при исследовании проблемы классификации метрических пространств постоянной отрицательной кривизны. В доказательстве теоремы о жесткости Д. Мостов использовал квазиконформные преобразования идеальной границы некоторого симметрического пространства. М. Громов установил, что геометрия этой границы моделируется нильпотентной группой с метрикой Карно — Каратеодори, которая не эквивалентна римановой. Чуть позже появились работы П. Пансю [37] и Г. А. Маргулиса и Д. Мостова [38], в которых рассматривались квазиконформные отображения на группах Карно и более общих пространствах Карно — Каратеодори. Примерно в то же время вышла статья С. К. Водопьянова [39], где развивается теория потенциала на однородных группах, в число которых входят группы Карно, а также появились работы С. К. Водопьянова и В. М. Черникова [40,41], в которых исследуется ряд вопросов теории субэллиптических уравнений.

Систематическое развитие теории квазиконформных отображений на группах Карно началось со статьи А. Кораньи и Х. Реймана [42], в которой на примере группы Гейзен-берга продемонстрирована необходимость развития аналитического аппарата для работы в субримановых установках. Один из шагов в этом направлении сделал П. Пансю [37], предложивший понятие V-дифференциала, которым воспользовались А. Кораньи и Х. Рейман. Большой вклад в развитие новых аналитических средств внёс С. К. Водопьянов в серии работ [43-51]. В [43] впервые введено адекватное определение классов Соболева на группах Карно; доказана теорема вложения Соболева на сферах групп Карно, и с её помощью получены условия непрерывности и найден модуль непрерывности монотонных функций классов Соболева; новым методом установлено, что непрерывное открытые отображения групп Кар-но класса Соболева ^^,Хос(П) обладают N-свойством Лузина; получены новые описания квазиконформных отображений на группах Карно и доказано, что они эквивалентны известным определениям квазиконформности; установлена теорема о затираемых особенностях для квазиконформных отображений групп Карно. В работах [44,45] установлено, что если отображение групп Карно аппроксимативно V-дифференцируемо вдоль горизонтальных векторных полей, то оно аппроксимативно V-дифференцируемо почти всюду. В статье [46] разработаны аналитические основы теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно и

развиты новые методы доказательства основных фактов теории. Работа [47] посвящена теореме о том, что предел локально равномерно сходящейся последовательности отображений с ограниченным искажением на группе Карно — это отображение с ограниченным искажением. Метод доказательства, изложенный в [47], является новым и в евклидовом пространстве. В статье [48] установлена "Р-дифференцируемость в топологии Соболева слабо контактных отображений групп Карно; в качестве следствия получены V-дифференцируемость в смысле Пансю контактных отображений класса , р > и, и другие результаты. Рассуждения, приведённые в [48], являются новыми и для евклидова пространства, что, в частности, даёт новое (и, по всей видимости, самое простое из существующих) доказательство известных теорем Решетняка и Зигмунда — Кальдерона о дифференцируемости функций классов Соболева. В работах [49, 50] вводится новое понятие ^с-дифференцируемости и доказывается ^с-дифференцируемость липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори (обобщение теоремы Радемахера) и обобщение теоремы Степанова; в качестве следствия получена ^с-дифференцируемость почти всюду квазиконформных отображений пространств Карно — Каратеодори. Статья [51] посвящена дифференцируемости отображений классов Соболева и ВУ-отображений пространств Карно — Каратеодори в топологии этих классов; в качестве следствия получены обобщения теорем Кальдерона — Зигмунда для отображений пространств Карно — Каратеодори.

Перечисленные результаты находят непосредственное применение в исследованиях по квазиконформному анализу на пространствах Карно — Каратеодори, в частности, в третьей главе настоящей диссертации, где обсуждаются отображения с ограниченным искажением на субримановых структурах. Отметим несколько работ, имеющих ту же тематику.

Ю. Хейнонен и И. Холопайнен [52] исследовали упомянутые отображения на группах Карно, однако определение класса Соболева, которое они использовали, нельзя считать естественным: в [52] требуется, чтобы компоненты отображения имели обобщенные производные вдоль негоризонтальных векторных полей. Н. С. Даирбеков (см., например, [53,54]) на основе подхода Ю. Г. Решетняка получил основные топологические свойства отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга. В работе [55] показано, что доказательство соотношения (1) на группах Карно ведет к нежелательным последствиям: гладкие отображения, аппроксимирующие /, не сохраняют горизонтальную структуру. В связи с этим

возникла необходимость в выработке нового подхода к проверке равенства (1).

В статье [56] С. К. Водопьянов предложил новый подход к доказательству соотношения (1) на двухступенчатых группах Карно, вобравший в себя идеи работ [35,43-50]. Метод, разработанный в [56], основан на рафинированном использовании формулы замены переменной с топологической степенью и позволяет установить (1), не используя аппроксимацию / гладкими функциями. Обратим внимание на изящный приём, составляющий существо метода. Поскольку в [56] задача формулируется в наиболее слабых аналитических предположениях, формулу замены переменной не удаётся установить на всём многообразии. Эта трудность обходится следующим образом: с помощью формулы коплощади совершается переход на подмногообразие коразмерности один, которое, в свою очередь, рассматривается как метрическое пространство однородного типа, и в нём имеющихся аналитических свойств уже оказывается достаточно для того, чтобы, применив теорему вложения из известной статьи П. Хайлоша [60], получить условия, гарантирующие формулу замены перменной.

В настоящей работе мы, опираясь на подход, развитый в [56], показываем, что заключение теоремы 1 справедливо для отображений с ограниченным искажением на группе поворотов-сдвигов, которая входит в список трехмерных групп Ли, наделённых левоинва-риантной субримановой структурой (см. [57]). Эта группа находит приложение, например, в задачах моделирования восприятия изображений зрительной системой человека (см. [58,59]).

Во второй главе диссертации мы пользуемся геометрическим методом в теории отображений с ограниченным искажением в евклидовых пространствах. Этот метод основан на оценках искажения модулей семейств кривых (или, если этого достаточно, ёмкостей конденсаторов). Понятие модуля семейства кривых на плоскости было введено в 1950 г. Л. Альфор-сом и А. Бьерлингом [61], а затем распространено на многомерные пространства Б. Фугле-де [62] и Б. В. Шабатом [63]. На языке этого понятия было сформулировано одно из эквивалентных описаний квазиконформных отображений, в связи с чем метод модулей приобрел важное значение в работе с этим классом отображений, позволив найти альтернативный подход к их изучению. Необходимость в таком подходе была вызвана отсутствием в многомерных пространствах теоремы Римана. Напомним определение. Пусть Г — семейство кривых в Кга, п ^ 2. Борелевская функция р: Мга ^ [0, то] называется допустимой для семейства Г, если для всякой локально спрямляемой кривой 7 Е Г имеем ^ рйз ^ 1. Через adm Г обозна-

чим совокупность всех допустимых для Г функций. Пусть р Е [1, то). р-Модулем семейства кривых Г называется величина

Впервые метод модулей к исследованию отображений с ограниченным искажением применил Е. А. Полецкий [64] в 1970 г. Опираясь на упомянутые топологические характеристики, Е. А. Полецкий с помощью процедуры поднятия путей установил свойства некоторого специального отображения, известного сегодня как функция Полецкого. Это позволило доказать, что справедлива следующая

Теорема 2 ( [64, теорема 1]). Пусть f: П ^ Ега — отображение с ограниченным искажением и Г — семейство кривых в области П. Тогда

Последнее утверждение в наши дни называется неравенством Полецкого. В той же работе [64] получено некоторое улучшение этого неравенства в нормальных областях (см. [64, теорема 2]). Полезная интерпретация последнего была получена Ю. Вяйсяля [65, 3.1] и называется в литературе неравенством Вяйсяля. Немногим ранее О. Мартио [67], а таже О. Мартио, С. Рикман и Ю. Вяйсяля [66] установили аналогичные оценки для ёмкости. Отметим, однако, что модульные неравенства суть более общие, чем соответствующие ёмкостные (см., например, [68, пример 1]). Оценки для модуля и ёмкости играют ключевую роль в исследовании поведения отображения на границе, в теории распределения значений в духе Неванлинны (теоремы типа Лиувилля и Пикара, устранение особенностей) (см. монографию С. Рикма-на [16]), в связи дилатации с минимальной кратностью ветвления и др. Модульная техника нашла применение в метрических пространствах с мерой, что привело к рассмотрению так называемых пространств Лёвнера (см., например, статью Ю. Хейноне и П. Коскелы [69]). Отметим также, что метод модулей широко используется для решения задач теории функций на плоскости. В этом отношении следует упомянуть две работы: вышедшую в 2002 г. монографию А. Ю. Васильева [70] и вышедшую в 2009 г. монографию В. Н. Дубинина [71].

Подход, основанный на модульных и ёмкостных оценках, как показывает ряд недавно вышедших работ (см., например, монографии [72,73], а также статьи [74-77]), продолжает

шоага f (г) ^ к(/)шоага г.

оставаться основным инструментом в изучении различных обобщений отображений с ограниченным искажением. С. К. Водопьянов и М. Троянов [74], предполагая N-свойство Лузина, применяли ёмкостные оценки для изучения отображений с ограниченным ^-искажением на римановых многообразиях. В работе П. Коскелы и Я. Оннинена [75] установлены модульные и ёмкостные неравенства для отображений с конечным искажением при минимальных условиях регулярности также в предположении об N-свойстве Лузина на исходное отображение. В статье Р. Салимова и Е. Севостьянова [76] аналогичные неравенства получены для отображений с конечным (р, д)-искажением длины. В работе Е. Севостьянова [77] оценка на модуль доказана для некоторого специального класса отображений, обладающих следующими свойствами: открытость, дискретность, дифференцируемость почти всюду, N - и N-1-свойство Лузина, и так называемое свойство абсолютной непрерывности в обратном направлении. В монографии О. Мартио, В. Рязанова, У. Сребро и Е. Якубова [72] рассматриваются ^-гомеоморфизмы с функцией Q из различных классов (интегрируемые, с ограниченным средним и с ограниченным конечным колебанием), отображения с конечным искажением длины и с конечным искажением площади, и для них устанавливаются результаты о диф-ференцируемости, поведении на границе, устранении особенностей, нормальных семействах и пр. В 2014 г. появилась монография Е. А. Севостьянова [73], где исследуются геометрическим методом кольцевые ^-отображения и ^-отображения. В 2015 г. вышла статья А. Н. Байкина и С. К. Водопьянова [78], в которой сформулировано естественное обобщение класса отображений, введённых Ю. Г. Решетняком — так называемые отображения с весовым ограниченным (р, д)-искажением. В [78] получены емкостные оценки для введённого класса отображений без предположения об условии Лузина N, которое в предшествующих работах либо постулировалось, либо автоматически выполнялось. Для отображений из нового класса это условие может и не иметь места, поскольку (по определению) они принадлежат пространству 1ос(^)> где ^ > п — 1. Во второй главе диссертации мы получаем модульные неравенства (например, аналог теоремы 2), а также несколько утверждений об устранении особенностей для отображений с весовым ограниченным (р, д)-искажением без некоторых аналитических предположений, характерных для выводов результатов предшествующих работ, в частности, без N-свойства Лузина. Это оказывается возможным благодаря следующему замечательному факту, установленному С. К. Водопьяновым [78,79] (см. также работы [80-82]): частные

производные функции Полецкого обращаются в нуль почти всюду на образе множества точек ветвления. Таким образом, из результатов С. К. Водопьянова следует, что предположение об N-свойстве Лузина, встречавшееся ранее в работах по различным обобщениям отображений с ограниченным искажением, является чисто техническим и теперь можно обойтись без него.

Наконец, остановимся на геометрическом методе в теории отображений с ограниченным искажением на неримановых пространствах. С. К. Водопьянов и ряд его учеников развивают модульную и ёмкостную технику в субримановых установках. В работах С. К. Водопьянова и И. Г. Маркиной [83,84] понятия модуля и ёмкости применяются для исследования квазимероморфных отображений и отображений с ограниченным ^-искажением на группах Карно. И. Г. Маркина [85] обобщила (при некоторых дополнительных ограничениях) лемму Полецкого [64, леммма 6] в случае отображений с ограниченным ^-искажением на группах Карно, а также обобщила [86] результат В. А. Шлыка [87] о совпадении модуля и ёмкости на тех же группах. В статье С. К. Водопьянова и А. Д. Ухлова [88] ёмкостные оценки используются для изучения отображений с ограниченным (Р, ^-искажением на группах Карно. В настоящей работе мы используем понятие модуля семейства интегральных кривых векторного поля для изучения квазиконформных отображений на пространствах Карно — Кара-теодори. Наш подход, с одной стороны, учитывает специфику субриманова многообразия, а с другой — то обстоятельство, что пространство Карно — Каратеодори является метрическим пространством однородного типа с неравенством Пуанкаре. Последнее удаётся учесть благодаря работе Ю. Хейнонена и П. Коскелы [69]. Эти же авторы ранее применяли этот подход в [89], где изучались квазиконформные отображения на группах Карно. Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав (разбитых на параграфы), заключения и списка литературы. Список литературы, за исключением выделенных в отдельную часть работ автора по теме диссертации, содержит 130 наименований и приведён в порядке цитирования. Объём диссертации — 112 страниц.

В главах все утверждения (теоремы, леммы, предложения, следствия, замечания) пронумерованы тремя числами: первое является номером главы, второе — номером параграфа в главе, третье — порядковым номером утверждения в данном параграфе. Нумерация формул сквозная.

Обзор содержания диссертации

Глава 1 посвящена предварительным сведениям, которые будут использоваться в дальнейшем. В параграфе 1.1 приводятся известные факты из теории отображений в евклидовых пространствах. Определяются встречающиеся во всех главах диссертации понятия открытого и дискретного отображения. Пусть Х,У — топологические пространства. Непрерывное отображение f: X ^ У называется открытым, если образ всякого открытого в X множества открыт в У; / дискретно, если прообраз /-1(у) всякого элемента у Е У состоит из изолированных точек. Формулируются понятия множества точек ветвления и топологической степени отображения. Даются определения классов Соболева в Кга, точек плотности, аппроксимативной дифференцируемости, а также некоторые результаты, связанные с этими понятиями (формула замены переменной, эквивалентное описание соболевских отображений, описание абсолютно непрерывных функций, недавно полученное С. К. Водопьяновым, и др.).

В параграфе 1.2 обсуждаются базовые понятия и факты теории пространств Кар-но — Каратеодори. Выписывается определение этих пространств.

Определение. Фиксируем связное риманово многообразие М класса С^ топологической размерности N. Многообразие М называется (эквирегулярным) пространством Карно — Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ задана фильтрация

ЯМ = Я1М с ... С НМ С ... С Нм М = ТМ

подрасслоений таких, что каждая точка д0 Е М имеет окрестность и(д0) С М, снабжённую набором С 1-гладких векторных полей Х1,... , образующих базис пространства ТдМ в каждой точке д Е и(д0), и удовлетворяющую следующим двум свойствам.

(1) НгМ(д) = Щ(д) = span{X1(g),... ,ХАтм.($)} есть подпространство в ТдМ постоянной размерности dimЩ, г = 1,... ,М;

(2) Н+1 = span{ЯJ, [Н1,Н3 ], [Я2, Я^],..., [Нк, Е3+Х-к ]}, где к = [. ], 3 = 1,...,М —1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Трямкин Максим Владимирович, 2015 год

Список литературы

1. Решетняк Ю.Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными // Сиб. мат. журн. - 1966. - Т. 7, № 5. - С. 886-919.

2. Решетняк Ю. Г. Оценки модуля непрерывности для некоторых отображений // Сиб. мат. журн. - 1966. - Т. 7, № 5. - С. 1106-1114.

3. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 3. - С. 629-658.

4. Решетняк Ю. Г. Теорема Лиувилля при минимальных предположениях регулярности // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 835-840.

5. Решетняк Ю. Г. Общие теоремы о полунепрерывности и о сходимости с функционалом // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 5. - С. 1052-1071.

6. Решетняк Ю.Г. О множестве особых точек решений некоторых нелинейных уравнений эллиптического типа // Сиб. мат. журн. - 1968. - Т. 9, № 2. - С. 354-367.

7. Решетняк Ю. Г. Об условии ограниченности индекса для отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. - 1968. - Т. 9, № 2. - С. 368-374.

8. Решетняк Ю. Г. Отображения с ограниченным искажением как экстремали интегралов Дирихле // Сиб. мат. журн. - 1968. - Т. 9, № 3. - С. 652-666.

9. Решетняк Ю. Г. Обобщенные производные и дифференцируемость почти всюду // Мат. сб. - 1968. - Т. 75, № 3. - С. 323-334.

10. Решетняк Ю. Г. О понятии ёмкости в теории функций с обобщенными производными // Сиб. мат. журн. - 1969. - Т. 10, № 5. - С. 1109-1138.

11. Решетняк Ю. Г. Об экстремальных свойствах отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. - 1969. - Т. 10, № 6. - С. 1308-1318.

12. Решетняк Ю. Г. Локальная структура отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. - 1969. - Т. 10, № 6. - С. 1319-1333.

13. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. - Новосибирск: Наука, 1982. - 285 с.

14. Лаврентьев М. А. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфных отображений трехмерных областей // Докл. АН СССР. - 1938. - Т. 20. - С. 241-242.

15. Vuorinen M. Conformal geometry and quasiregular mappings. - Lecture Notes in Mathematics 1319, Springer-Verlag, 1988. - 209+xix p.

16. Rickman S. Quasiregular Mappings. - Springer-Verlag, 1993. - 213 p.

17. Heinonen J., Kilpeiainen T., Martio O. Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations. - Oxford Mathematical Monographs, Oxford Science Publications, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993. - 363 p.

18. Iwaniec T., Martin G. Geometric function theory and non-linear analysis. - Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, Oxford, 2001. - 552 p.

19. Bojarski B., Iwaniec T. Analytical foundations of the theory of quasiconformal mappings in Rn // Ann. Acad. Sc. Fenn. Ser. A. I. Math. - 1983. - V. 8. - P. 257-324.

20. Gehring F. W. The Lp-integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. - 1973. - V. 130. - P. 265-277.

21. Ball J.M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1977. - V. 63. - P. 337-403.

22. Ball J.M. Global invertibility of Sobolev functions and the interpenetration of matter // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. - 1981. - V. 88A. - P. 315-328.

23. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. - М.: Мир, 1982. - 472 с.

24. Водопьянов С. К. Функционально-теоретический подход к некоторым задачам теории пространственных квазиконформных отображений. - Дис. ... канд. физ.-матем. наук, Сиб. отделение АН СССР, Ин-т математики, Новосибирск, 1975.

25. Водопьянов С. К., Гольдштейн В.М. Квазиконформные отображения и пространства функций с первыми обобщенными производными // Сиб. матем. журн. - 1976. - Т. 17, № 3. - С. 515-531.

26. Iwaniec T., Sverak V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. -1993. - V. 118, N 1. - P. 181-188.

27. Manfredi J., Villamor E. An Extension of Reshetnyak's Theorem // Indiana University Mathematics Journal. - 1998. - V. 47, N 3. - P. 1131-1145.

28. Iwaniec T., Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Monotonicity and continuity // Invent. math. - 2001. - V. 144. - P. 507-531.

29. Kauhanen J., Koskela P., Maly J. Mappings of Finite Distortion: Discreteness and Openness // Arch. Rational Mech. Anal. - 2001. - V. 160. - P. 131-151.

30. Iwaniec T., Koskela P., Martin G. Mappings of BMO-distortion and Beltrami-type operators // Journal d'Analyse Mathematique. - 2002.- V. 88, N 1. - P. 337-381.

31. Koskela P., Rajala K. Mappings of finite distortion: Removable singularities // Israel Journal of Mathematics. - 2003. - V. 136. - P. 269-283.

32. Hencl S., Koskela P., Zhong X. Mappings of Finite Distortion: Reverse Inequalities for the Jacobian // The Journal of Geometric Analysis. - 2007. - V. 17, N 2. - P. 253-273.

33. Koskela P., Onninen J., Rajala K. Mappings of Finite Distortion: Decay of the Jacobian //J Geom Anal. - 2012. - V. 22. - P. 964-976.

34. Hencl S., Koskela P. Lectures on Mappings of Finite Distortion. - Lecture Notes in Mathematics, vol. 2096, Springer, 2014. - 176+xi p.

35. Водопьянов С. К. Топологические и геометрические свойства отображений классов Соболева с суммируемым якобианом. I // Сиб. матем. журн. - 2000. - Т. 41, № 1. - С. 23-48.

36. Mostow G. D. Strong Rigidity of Locally Symmetric Spaces // Annals of Mathematics Studies, N 78. Princeton, N.J.: Princeton University Press; Tokyo: Tokyo Univ. Press, 1973. - 195 p.

37. Pansu P. Métriques de Carnot-Caratheodory et quasiisometries des espaces symétriques de rang un // Ann. of Math. - 1989. - V. 119. - P. 1-60.

38. Margulis G. A., Mostow G. D. The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Caratheodory spaces // Geometric and Functional Analysis. - 1995. - V. 5, N 2. -P. 402-433.

39. Водопьянов С. К. Теория потенциала на однородных группах // Матем. сб. - 1989. -Т. 180, № 1. - С. 57-77.

40. Chernikov V. M., Vodop'yanov S. K. Sobolev Spaces and Hypoelliptic Equations. I // Siberian Advances in Mathematics. - 1996. - V. 6, N 3. - P. 27-67.

41. Chernikov V. M., Vodop'yanov S. K. Sobolev Spaces and Hypoelliptic Equations. II // Siberian Advances in Mathematics. - 1996. - V. 6, N 4. - P. 64-96.

42. Koranyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Adv. Math. - 1995. - V. 111. - P. 1-87.

43. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. матем. журн. - 1996. - Т. 37, № 6. - С. 1269-1295.

44. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Аппроксимативно дифференцируемые преобразования и замена переменных на нильпотентных группах // Сиб. матем. журн. - 1996. - Т. 37, № 1. - С. 70-89.

45. Vodop'yanov S.K. Р-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Proceedings on Analysis and Geometry (S.K. Vodopyanov, ed.), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000. - P. 603-670.

46. Водопьянов С. К. Отображения с ограниченным искажением и с конечным искажением на группах Карно // Сиб. матем. журн. - 1999. - Т. 40, № 4. - С. 764-804.

47. Водопьянов С. К. О замкнутости классов отображений с ограниченным искажением на группах Карно // Матем. тр. - 2002. - Т. 5, № 2. - С. 92-137.

48. Водопьянов С. К. О дифференцируемости отображений классов Соболева на группе Карно // Матем. сб. - 2003. - Т. 194, № 6. - С. 67-86.

49. Водопьянов С. К. Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий Карно // Сиб. матем. журн. - 2007. - Т. 48, № 2. - С. 251-271.

50. Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces and Differentiability of Mappings // Contemporary Mathematics. - 2007. - V. 424. - P. 247-301.

51. Водопьянов С. К., Исангулова Д. В. Дифференцируемость отображений пространств Карно — Каратеодори в топологии Соболева и BV-топологии // Сиб. матем. журн. -2007. - Т. 48, № 1. - С. 46-67.

52. Heinonen J., Holopainen I. Quasiregular maps on Carnot groups //J. Geom. Anal. - 1997. -V. 7, № 1. - P. 109-148.

53. Даирбеков Н. С. Свойство морфизма для отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга // Сиб. матем. журн. - 1999. - Т. 40, № 4. - С. 811-823.

54. Даирбеков Н. С. Отображения с ограниченным искажением на группах Гейзенберга // Сиб. матем. журн. - 2000. - Т. 41, № 3. - С. 567-590.

55. Dairbekov N. S. Mappings with bounded distortion of two-step Carnot groups // Proceedings on Analysis and Geometry (S. K. Vodopyanov, ed.), Sobolev Institute Press, Novosibirsk, 2000. - P. 122-155.

56. Vodopyanov S.K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups // Contemporary Mathematics. - 2007. - V. 424. - P. 303-344.

57. Agrachev A., Barilari D. Sub-Riemannian Structures on 3D Lie Groups // Journal of Dynamical and Control Systems. - 2012. - V. 18, № 1. - P. 21-44.

58. Citti G., Sarti A. A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space //J. Math. Imaging and Vision. - 2006. - V. 24, № 3. - P. 307-326.

59. Hladky R., Pauls S. Minimal surfaces in the roto-translation group with applications to a neuro-biological image completion model //J. Math. Imaging and Vision. - 2010. - V. 36, № 1 - P. 1-27.

60. Hajlasz P. Sobolev spaces on metric-measure spaces // Contemporary Mathematics. - 2003. -V. 338. - P. 173-218.

61. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets // Acta Math. -1950. - V. 83. - P. 101-129.

62. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. - 1957. - V. 98. -P. 171-219.

63. Шабат Б. В. Метод модулей в пространстве // Докл. АН СССР. - 1960. - Т. 130. -С. 1210-1213.

64. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. - 1970. - Т. 83 (125), № 2. - С. 261-272.

65. Vaisala J. Modulus and capacity inequalities for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. - 1972. - № 509. - P. 1-14.

66. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sc. Fenn. Ser. A I. - 1969. - № 448. - P. 5-40.

67. Martio O. A capacity inequality for quasiregular mappings // Ann. Sc. Fenn. Ser. A I. - 1970. -№ 474. - P. 1-18.

68. Полецкий Е. А. О стирании особенностей квазиконформных отображений // Мат. сб. -1973. - Т. 92 (134), № 2. - С. 242-256.

69. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry // Acta Math. - 1998. - V 181. - P. 1-41.

70. Vasil'ev A. Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings. -Springer-Verlag, 2002. - 211+ix p.

71. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного. - Российская акад. наук, Дальневосточное отд-ние, Ин-т прикладной математики, Владивосток : Дальнаука, 2009. - 390+ix с.

72. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. - New York, Springer, 2009. - 367 p.

73. Севостьянов Е. А. Исследование пространственных отображений геометрическим методом. - Киев, Наукова думка, 2014. - 303 с.

74. Vodop'yanov S., Troyanov M. Liouville type theorems for mappings with bounded (co)-distortion // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 2002. - V. 52, N 6. - P. 1753-1784.

75. Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Capacity and modulus inequalities //J. Reine Angew. Math. - 2006. - V 599. - P. 1-26.

76. Salimov R., Sevost'yanov E. The Poletskii and Vaisala inequalities for the mappings with (p, q)-distortion // Complex Variables and Elliptic Equations: An International Journal. -2014. - V. 59, № 2. - P. 217-231.

77. Sevost'yanov E. About one modulus inequality of the Vaisala type // preprint. - 2013. -available at http://arxiv.org/abs/1204.3810v4.

78. Байкин А.Н., Водопьянов С. К. Емкостные оценки, теоремы Лиувилля и об устранении особенностей для отображений с ограниченным (р, (^-искажением // Сиб. матем. журн. - 2015. - Т. 56, № 2. - С. 290-321.

79. Водопьянов С. К. О регулярность функции Полецкого при слабых аналитических предположениях исходного отображения // Докл. АН. - 2014. - Т. 455, № 2. - С. 130-134.

80. Водопьянов С. К. О регулярности отображений, обратных к соболевским // Мат. сб. -2012. - Т. 203, № 10. - С. 3-32.

81. Водопьянов С. К. Отображения с конечным искажением и классы Соболева // Докл. АН. - 2011. - Т. 440, № 3. - С. 301-305.

82. Водопьянов С. К. О регулярности отображений, обратных к соболевским // Докл. АН. -2008. - Т. 423, № 5. - С. 592-596.

83. Водопьянов С. К., Маркина И. Г. Локальные изменения отображений с ограниченным s-искажением на группах Карно // Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика / Труды 12-ой Сибирской математической школы: Новосибирск, 18-23 июля 1998 года. Новосибирск, Изд-во Института математики СО РАН, 1999

84. Водопьянов С. К., Маркина И. Г. Распределение значений квазимероморфных отображений на поляризуемых группах Карно // Докл. АН. - 2005. - Т. 72, № 1. - С. 530-534.

85. Markina I. Extremal lengths for mappings with bounded s-distortion on Carnot groups // Bol. Soc. Mat. Mexicana. - 2003. - V. 9, N 3. - P. 1-20.

86. Markina I. On coincidence of p-module of a family of curves and p-capacity on the Carnot group // Rev. Mat. Iberoamericana. - 2003. - V. 19. - P. 143-160.

87. Шлык В. А. О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. мат. журн. - 1993. - V. 34, № 6. -P. 216-221.

88. Vodop'yanov S.K., Ukhlov A. Mappings with bounded (P,Q)-distortion on Carnot groups // Bull. Sci. Math. - 2010. - V. 134, N 6. - P. 605-634.

89. Heinonen J., Koskela P. Definitions of quasiconformality // Invent. math. - 1995. - V. 120. -P. 61-79.

90. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. - Princeton Mathematical Series, vol. 4, Princeton University Press, 1941. - 165+vii p.

91. Чернавский А. В. Конечнократные открытые отображения многообразий // Матем. сб. - 1964. - Т. 65(107), № 3. - С. 357-369.

92. Чернавский А. В. Письмо в редакцию: дополнение к статье «О конечнократных открытых отображениях многообразий» // Матем. сб. - 1965. - Т. 66(108), № 3. - С. 471-472.

93. Rado T., Reichelderfer P. V. Continuous Transformations in Analysis. - Grundlehren der math. Wissenschaften, vol. 75, Springer, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1955. - 442+vi p.

94. Outerelo E., Ruiz J. M. Mapping Degree Theory. - Graduate studies in mathematics, vol. 108, American Mathematical Society, 2009. - 244+x p.

95. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

96. Väisalä J. Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings. - Lecture Notes in Mathematics, vol. 229, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1971. - 144+xi p.

97. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. - 416 с.

98. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2000. - 368 с.

99. Evans L. C., Gariepy R. F. Measure Theory and Fine Properties of Functions. - CRC Press, 1992. - 268+viii p.

100. Федерер Х. Геометрическая теория меры. - М.: Наука, 1987. - 761 с.

101. Колмогоров А. Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Физматлит, 2004. - 572 с.

102. Whitney H. On totally differentiate and smooth functions // Pacif. J. Math. - 1951. - V. 1, N 1. - P. 143-159.

103. Basalaev S.G., Vodopyanov S. K. Aprroximate differentiability of mappings of Carnot-Caratheodory spaces // Eurasian Mathematical Journal. - 2013. - V. 4, N 2.- P. 10-48.

104. Karmanova M., Vodop'yanov S. Geometry of Carnot-Caratheodory Spaces, Differentiability, Coarea and Area Formulas // Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics. Birkhauser, 2009. - P. 233-335.

105. Карманова М. Б. Сходимость масштабированных векторных полей и локальная ап-проксимационная теорема на пространствах Карно — Каратеодори и приложения // Докл. АН. - 2011. - Т. 440, № 6. - С. 736-742.

106. Грешнов А. В. Доказательство теоремы Громова об однородной нильпотентной аппроксимации для С 1-гладких векторных полей // Математические труды. - 2012. - Т. 15, № 2. - С. 72-88.

107. Карманова М. Б. Тонкие свойства базисных векторных полей на пространствах Карно — Каратеодори в условиях минимальной гладкости // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55, № 1. - С. 87-99.

108. Рашевский П. К. Любые две точки вполне неголономного пространства могут быть соединены допустимой линией // Уч. зап. пед. инст. им. Либкнехта. - 1938. - V. 2. -С. 83-94.

109. Chow W. L. Uber systeme von linearen partiallen differentialgleichungen erster ordnung // Math. Ann. - 1939. - V. 117. - P. 98-105.

110. Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно при минимальной гладкости // Докл. АН. - 2009. - Т. 427, № 6. -С. 731-736.

111. Karmanova M., Vodopyanov S. On Local Approximation Theorem on Equiregular Carnot-Caratheodory Spaces // Proceedings of INDAM Meeting on Geometric Control and Sub-Riemannian Geometry (Cortona, May 2012). N. Y. : Springer INDAM Series, 2014. V. 5. P. 241-262.

112. Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics //J. Differential Geometry. - 1985. - V. 21. -P. 35-45.

113. Решетняк Ю.Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. матем. журн. - 1997. - Т. 38, № 3. - С. 657-675.

114. Пономарев С. П. Об N-свойстве гомеоморфизмов класса W^ // Сиб. матем. журн. -1987. - Т. 28, № 2. - С. 140-148.

115. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Соболева // Известия вузов. Математика. - 2002. - № 10. - С. 11-33.

116. Kilpelainen T. Weighted Sobolev spaces and capasity // Ann. Acad. Sci. Fenn. AI Math. -1994. - V. 19. - P. 95-113.

117. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I // Математические труды. - 2003. - Т. 6, № 2. - С. 14-65.

118. Сакс С. Теория интеграла. - М.: Издательство иностранной литературы, 1949. - 494 с.

119. Karmanova M., Vodopyanov S. Coarea formula for smooth contact mappings of Carnot-Caratheodory spaces // Acta Applicandae Mathematicae. - 2013. - V. 128. - P. 67-111.

120. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления. - М.: Наука, 1970. - 320 с.

121. Kaplan A. Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms // Transactions of the American mathematical society. - 1980. - V. 285, N 1. - P. 147-153.

122. Fassler K., Koskela P., Le Donne E. Nonexistence of quasiconformal maps between certain metric measure spaces // International Mathematics Research Notices. - 2014. - available at http://imrn.oxfordjournals.org/content/early/2014/09/20/imrn.rnu153.full.pdf+html.

123. Derridj M. Un problème aux limites pour une classe d'opérateurs du second ordre hypoelliptiques // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 1971. - V. 4, N 21. - P. 99-148.

124. Derridj M. Sur un théorème de traces // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 1972. - V. 2, N 22. -P. 73-83.

125. Capogna L., Garofalo N. Ahlfors type estimates for perimeter measures in Carnot— Carathéodory spaces // J. Geom. Anal. - 2006. - V. 16, № 4. - P. 455-497.

126. Folland G. B., Stein I. M. Hardy spaces on homogeneous groups. - Mathematical Notes, V. 28, Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1982. - 284+xii p.

127. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. Аналитические свойства квазиконформных отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн. - 1995. - Т. 36, № 6. - С. 1317-1327.

128. Басалаев С. Г. Неравенство Пуанкаре для С1,а-гладких векторных полей // Сиб. матем. журн. - 2014. - Т. 55, № 2. - С. 267-284.

129. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev Met Poincaré // Memoris of the American Mathematical Society. - 2000. - V. 143, N 688. - 101+ix p.

130. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. - М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2005. - 608 с.

Список работ автора по теме диссертации

A1. Трямкин, М. В. Абсолютная непрерывность квазиконформного отображения пространств Карно-Каратеодори / М. В. Трямкин // Известия вузов. Математика. - 2013. -№ 5. - С. 64-68.

A2. Трямкин, М. В. Свойство морфизма субэллиптических уравнений на группе поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Сибирский математический журнал. - 2015. - Т. 56, № 5. -С. 1171-1194.

A3. Трямкин, М. В. Оценки на модули семейств кривых для отображений с весовым ограниченным ( , )-искажением / М. В. Трямкин // Владикавказский математический журнал. - 2015. - Т. 17, вып. 3. - С. 65-74.

A4. Трямкин, М. В. ACL-свойство квазиконформных отображений и функции класса ВМО / М. В. Трямкин // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. -Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2012. - С. 56.

A5. Трямкин, М. В. ACL-свойство квазиконформных отображений и функции класса ВМО [Электронный ресурс] / М. В. Трямкин // Дни геометрии в Новосибирске, 2012: Тезисы международной конференции. Новосибирск. - 2012. - Режим доступа: http://math.nsc.ru/conference/geomtop2012/abstracts/Tryamkin.pdf

A6. Трямкин, М. В. Отображения с ограниченным искажением на группе поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголономных систем». Тезисы докладов. - Переславль-Залесский: изд. «Университет города Переславля». - 2013. - С. 40-41.

A7. Tryamkin, M. Analytical Properties of Sobolev Mappings on Roto-Translation Groups / M. Tryamkin // International Youth Conference "Geometry and Control". Abstracts. -Moscow: Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences. - 2014. - P. 42-43.

A8. Трямкин, М. В. Отображения с ограниченным искажением на группе поворотов-сдвигов / М. В. Трямкин // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ. - 2014. - С. 29-31.

A9. Трямкин, М. В. Оценки на модули семейств кривых для отображений с весовым ограниченным (р, д)-искажение.м / М. В. Трямкин // Дни геометрии в Новосибирске - 2015:

Тезисы международной конференции. - Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. - 2015. - С. 63-64.