Теоремы существования и аппроксимации в некоммутатиивном геометрическом анализе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Грешнов, Александр Валерьевич

• Грешнов, Александр Валерьевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Грешнов, Александр Валерьевич

Содержание

Введение

§ 0.1. Краткая аннотация

§ 0.2. Объект исследований

§ 0.3. Мотивация исследований

§ 0.4. Проблемы

§ 0.5. Краткий обзор содержания диссертации

§ 0.6. Апробация полученных результатов

§ 0.7. Основные обозначения

Глава 1. Динамические системы и координаты

§1.1. Динамические системы и их простейшие свойства 60 §1.2. Базисные векторные поля и нормальная система координат

§1.3. Динамические системы координат. Примеры

Глава 2. 2-лупы, динамические системы

и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа

§2.1. Определения и примеры 74 § 2.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для Сг-гладких

векторных полей 78 § 2.3. 2-лупы, индуцированные Сг-гладкими

базисными векторными полями

§ 2.4. Пример

§ 2.5. Конечномерные группы и алгебры Ли

Глава 3. Базисные векторные поля,

градуированные степенями

§ 3.1. Определения, свойства и примеры 103 § 3.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для С2Г~2-базисных

векторных полей, градуированных степенями

§ 3.3. Канонические векторные поля

§ 3.4. Градуированные группалгебры Ли. Примеры

Глава 4. Нильпотентный касательный конус

§ 4.1. е-сжатые и ^-однородные векторные поля

й-

§4.2. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация

и нильпотентный касательный конус

§ 4.3. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация

для С1-гладких канонических векторных полей

§ 4.4. Изоморфизм нильпотентных касательных конусов

Глава 5. Квазиметрики и квазипространства

§ 5.1. Определения и примеры

§5.2. Квазиметрики и квазигруппы

§5.3. Базисные векторные поля

и анизотропные метрические функции

§ 5.4. Квазиметрики и векторные поля,

градуированные степенями

§ 5.5. Свойство поглощения для множеств Вохсс(<?,г)

§5.6. Эквивалентные квазиметрики

и билипшицево эквивалентные квазипространства

§5.7. Градуировка векторных полей

и нильпотентный касательный конус

Глава 6. Аппроксимация квазипространств

нильпотентными касательными конусами

§6.1. Некоторые свойства градуированных группалгебр Ли . 180 § 6.2. Локальные аппроксимационные теоремы

для квазиметрик

§ 6.3. Квазиметрики различных нильпотентных

касательных конусов. Примеры

§ 6.4. Компактные квазипространства и сходимость

по Громову — Хаусдорфу

Глава 7. Квазипространства Карно — Каратеодори

§ 7.1. Векторные поля, выражающиеся согласованно

через свои коммутаторы, и сс-соединимость

§ 7.2. Квазипространства Карно — Каратеодори,

порожденные липшицевыми векторными полями

§ 7.3. Квазипространства Карно — Каратеодори,

порожденные измеримыми векторными полями

Глава 8. Дифферендируемость горизонтальных

кривых в квазипространствах

§ 8.1. Сходимость множеств к направлению

§ 8.2. Горизонтальные и сс-спрямляемые кривые

§ 8.3. Абсолютно непрерывные горизонтальные кривые 250 § 8.4. Спрямляемость и сходимость горизонтальных кривых

к направлению

§ 8.5. со- и /ьдифференцируемость горизонтальных кривых

Глава 9. Области, удовлетворяющие условиям

внутренней и внешней спиралей

§ 9.1. Определения и формулировки результатов

§ 9.2. Доказательства утверждений 9.1, 9.3, 9.4

§ 9.3. Доказательство теоремы 9.1

§ 9.4. Условия сс-однородных конусов и области Джона

Глава 10. Вычисления на группалгебрах Карно

§ 10.1. Равномерные области на группалгебрах Карно 284 § 10.2. Шары в метрике Карно — Каратеодори

на группагебрах Гейзенберга

Литература

Предметный указатель

Список обозначений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы существования и аппроксимации в некоммутатиивном геометрическом анализе»

ВВЕДЕНИЕ

§ 0.1. Краткая аннотация

В настоящей работе на областях U С рассматриваются базисные векторные поля {-Х^}^!,...^ е C°(U), т. е.

rank(Xi,.. .,XN)(x) = N Vx e U, sup ||Х(ж)|| < Си = const,

xGU

градуированные формально степенями, т. е. каждому векторному полю Xi присвоено некоторое натуральное число deg Хг, принадлежащее множеству {1, ...,iV}, Т = max deg Xi. В случае, когда

Сг-гладкие базисные векторные поля {^}г-1,..мдг, г > 1, удовлетворяют в U следующей таблице коммутаторов

С*хк, Cij е СГ~1(С/),

deg Хк <deg Xt+deg Хэ

при соответствующих показателях Т доказаны теоремы существования их однородной нильпотентной аппроксимации в выделенной точке д £ U. и развит соответствующий аналитический аппарат, основанный на выводе аналогов формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа для базисных векторных полей различной гладкости.

Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы метрические функции вида drp(u,v) = maxi=1)..Mjv {l^il ^desxt j, ( N \

v = exp ( JD a-iXt)(u), где 1 < ipi < ■ ■ • < фт, являлись квазиметриками в некоторых областях От С U\ построены важные примеры таких квазиметрик — квазиметрики dcc, соответствующие случаям V'degx = degXi при г > 2, Т > 2, и г = 1, Т = 2. Доказана эквивалентность квазиметрик, порожденных различными базисами векторных полей, согласованных с фильтрацией касательного пространства, индуцированной векторными полями при помощи кото-

рой установлена теорема об изоморфизме различных нильпотентных касательных конусов, определенных в общей точке д.

Для квазипространств вида (Uy,dcc), где Uy С U — некоторая область, доказаны теоремы их аппроксимации нильпотентными касательными конусами (Og,d£) в некоторой окрестности Од С С/т выделенной точки д £ U — установлены локальные аппроксима-ционные теоремы для квазиметрик dcc и при помощи которых

получены аналоги сходимости по Громову — Хаусдорфу квазипространств , dCc)i Ur С U, к квазипространству (Og,dполучены обобщения теоремы Рашевского — Чоу. Построены примеры квазипространств Карно — Каратеодори, индуцированных недифферен-цируемыми векторными полями.

На квазипространствах (Uy,cIcc), Ur С £7, для достаточно широкого класса абсолютно непрерывных горизонтальных кривых доказано, что почти всюду обычная сходимость контролирующих координатных компонент горизонтальной кривой к некоторому направлению в точке (аналог обычной дифференцируемости) влечет диф-ференцируемость всех координат рассматриваемой кривой (в смысле dcc) в той же точке. Как следствие, получена сс-дифференцируемость почти всюду произвольной абсолютно непрерывной горизонтальной кривой.

Построены примеры равномерных, NT А- областей, областей, удовлетворяющих одновременно условиям внутренней и внешней спиралей на группах Карно-и* более общих метрических пространствах. Исследована геометрия шаров в метрике Карно — Каратеодори на группах Гейзенберга.

§ 0.2. Объект исследований

Рассмотрим базисные векторные поля £ C°(U), т. е.

rank^Xi,..., XN){x) = rank(X(а;)) = N Vcc G U, sup.||X(a;)|| < Cv,

x€U

для некоторой константы Си; здесь X — (N х 7V)-матрица, г-й столбец которой- совпадает с Xi, U с М^ — некоторая область. Пусть € С1 (i7). Тогда мы имеем

N

[Xi, Xj] = Е CijXь> е (0-1)

fc=i

Разделим векторные поля на Т (1 < Т < N) непересека-

ющихся наборов

Mj+i = {Xmi+1,..., Xmi+1}, rrii = const, г — 0,..., Y-l, m0 = 0.

Каждому векторному полю Xi сопоставим натуральное число deg Xi = j, где j определяется по включению Х{ £ Mj. Пусть Hi — подрас-слоение касательного расслоения, натянутое на все векторные поля Xj такие, что deg Xj < i. Полагаем Н0 = {0}, dim Н0 = 0,

dimЩ(х) — hi = mi + • • • + rrii = const для всех x G U, hi > 1, T = max degXi. Совокупность чисел /ц, i — 1,-..,T, и степеней

degXj = j, j = 1,..., iV, мы будем называть (формальной) градуировкой системы базисных векторных полей а сами базисные векторные поля {Хг}г=1,...,лг — (формально) градуированными степенями (degXl5..., degXn)- В этом случае для каждой точки х € U мы имеем следующую неубывающую последовательность векторных пространств (флаг):

О = Н0(х) С Hi{x) С • • ■ С Ят(®) = TXU. (0.2)

Среди всех таких систем векторных полей нас особо будет интересовать случай, когда коммутаторы базисных векторных полей, формально градуированных степенями, самое большее, складывают степени, т. е.

lXi,X,]= Е. CiiX*> ^eC(U). (О-3)

degXfe<deg Xt+degX3

В этом случае мы будем говорить, что базисные векторные поля удовлетворяют условию (-f deg).

Примерами базисных векторных полей, удовлетворяющих условию (+ deg), являются

1° векторные поля' € C°°(U), являющиеся базисом,

адаптированным к фильтрации касательного пространства TU, порожденной эквирегулярной поляризацией, «натянутой» на векторные поля с {Хг}г=1!...;дг для некоторого п < N, удовлетворяющие условию Хёрмандера, см. [130];

2° алгебры Карно [91, 178];

3° алгебры Гейзенберга [156].

Напомним, см. [91, 143], что векторные поля {-^¿}i=i,...,n5 определенные на некотором гладком многообразии Л4 (число п, вообще говоря, не связано с dim.A/i), удовлетворяют условию Хёрмандера, если их значения вместе со значениями всех их коммутаторов до некоторого порядка г порождают в каждой точке х 6 ЛЛ все касательное пространство ТХА4. Если г — минимальное, то говорят, что векторные поля {Хг}г=1)...)П удовлетворяют условию Хёрмандера степени г. Теперь на некотором гладком многообразии Л4 рассмотрим гладкие векторные поля п < dimA'i, такие, что

1° {Xi}i-iimm_fn удовлетворяют условию Хермандера,

2° размерность hi векторного подпространства Щ{х) С ТХМЬ х Е М, натянутое на значения всех коммутаторов векторных полей Xi,..., Хп до порядка г — 1 включительно (под коммутаторами нулевого порядка подразумеваются векторные поля {^г}г=1,...,п)? не зависит от выбора х для каждого i.

Понятно, что векторные подпространства Щ(х) удовлетворяют условию (0.2) в каждой точке х £ Л4. В этом случае будем говорить, что многообразие Л4 обладает эквирегулярной поляризацией Нг с базисом векторных полей {-X¿}¿=i,...,n} ср. с [130]. Пусть при этом {-X¿}¿=i,...,dim.M — базисные векторные поля такие, что Xi(x),...,Xht(х) образуют базис векторного пространства Н{(х), hi = п. Тогда базисные векторные поля {.X¿}¿:=i,...,dim.M удовлетворяют таблице (0.3), где degJ*Q = min-fj | Х{ С Hj], и величина Т из (0.2) называется степенью неголономности многообразия Л4, а набор векторных полей {^Q}í=i,...,dim./Ví — базисом, согласованным с фильтрацией подрасслоений касательного расслоения

{0} = Н0 С #i С • • • С НТ = TU,

ср. с [89, 130].

*

Каждому набору M¿, определенному выше, сопоставим некоторое положительное число ф{ > 1; при этом полагаем, что фг < Фг+i, i = 1,..., Т — 1. Введем в рассмотрение следующую анизотропную метрическую функцию

йф(д,и) = max {|a¿|1/Wl | и = ехр(Ха)(р)}, ф = ... ,фу),

Ъ—1

(0.4)

N

где Ха = щХг, а = (ai,... ,ajv) '— достаточно малый по длине »=1

вектор, Шг = ipj в случае, если Xi е Mj, exp(Ха)(д) = ж(1), где x(s) — решение следующей задачи Коши

¿(e) = Xa(x(s)), s е [0,1], х(0) = д.

Вектор ф мы будем назвать сигнатурой набора векторных полей {•Xí}¿=i,...,jv- Если ф1 = г, i = 1,..., Т, то мы будем использовать обозначение dcc вместо d-ф. Из (0.4) вытекает, что йф удовлетворяет аксиомам неотрицательности и симметричности. В случае, когда векторные поля совпадают со стандартным базисом ев-

клидова пространства метрические функции с1ф удовлетворяют

неравенству треугольника и широко используются в теории функциональных пространств Соболева и их обобщениях, см. [8, 14, 15], и называются анизотропными метриками, показатели анизотропности которых совпадают с компонентами вектора ч/>; здесь термин «анизотропность» употребляется в том смысле, что оценки d-ф относительно стандартной евклидовой метрики в разных координатных направлениях оказываются существенно различными. Отметим серию пионерских работ С. К. Водопьянова [14-16], в которых для решения традиционных для теории функциональных пространств задач (граничные значения дифференцируемых функций, продолжение дифференцируемых функций за границу области определения, компактность оператора вложения в пространство непрерывных функций) был разработан специальный метод, основанный на свойствах внутренних метрик евклидовых областей, индуцированных анизотропными метрическими функциями d-,p. В случае векторных полей общего вида метрическая функция d-ф может не удовлетворять даже обобщенному неравенству треугольника, см. пример 5.2 настоящей работы, однако хорошо известно [130, 176], что в случае пространств Карно — Каратеодори, см. определение 0.1, метрическая функция dcc удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника, являясь тем самым квазиметрикой [139], см. определение 5.1 настоящей работы. Более того, квазиметрика dcc билипшицево эквивалентна метрике Карно — Каратеодори рсс (теорема Ball-Box). Здесь уместно напомнить определение метрики Карно — Каратеодори. Для этого, следуя [166], рассмотрим С°°-гладкое связное риманово многообразие Л4, dim.M = N, снабженное С°°-гладким распределением n-плоскостей, где п < N. Такое распределение А сопоставляет каждой точке х £ Л4 n-мерное векторное подпространство касательного пространства ТХМ к Л4 в точке х € М.. Абсолютно непрерывная параметризованная кривая 7(t), t б [а, 6], называется горизонтальной, если 7 (t) касается А для почти всех t. Пусть значения векторных полей {Хг}г=1,...,п, удовлетворяющих условию Хёрмандера в Л4, в каждой точке х £ М образуют базис линейного пространства А (ж) (в литературе это условие обычно называют условием Чоу [89, 91, 148]). Из классического результата Рашевского [75] и Чоу [105] вытекает, что любые две точки такого многообразия М можно соединить кусочно непрерывно дифференцируемым горизонтальным путем конечной длины (сс-соединимость). Отметим, что в случае аналитических векторных полей условие Чоу является и необходимым [175, 194] для

сс-соединимости.

Определение 0.1. Расстояние Карно — Каратеодори pcc(n, v) между точками и, v € М. определяется как

Pcc{u,v) = inf{Z(7) | 7 G CU}V},

где CUjV — множество всех абсолютно непрерывных горизонтальных параметризованных кривых 7 С Л4, соединяющих и, v. Пространством Карно — Каратеодори называется пара (М.,рсс)•

Здесь длина 1(7) параметризованной кривой 7 : [а, 6] —Л4 вы-

ь

числяется по обычной формуле ¿(7) = f л/Ям (,í(f) > 7(¿)) dt , где

а

дм{-г) — форма стандартного риманова скалярного произведения многообразия М. Часто в литературе метрику Карно — Каратеодори называют субримановой метрикой, а пространства Карно — Каратеодори — субриманоеыми многообразиями, см., например, [89, 191]. Начало изучения пространств Карно — Каратеодори в математике и прикладных науках обычно датируют фундаментальной работой К. Каратеодори [101] по основам термодинамики. Пространства Карно — Каратеодори и их частные случаи (группы- Карно, Гей-зенберга) являются объектами интенсивного исследования в теории уравнений в частных производных [74, 91, 92, 97, 98, 107, 109, 113, 115, 117, 135, 143, 162, 185, 186, 204], в теории потенциала [18, 74, 91, 92, 154, 155, 157, 176; 185, 186, 204], в квазиконформном анализе и теории пространств Соболева [17-19, 27-30, 33-35, 39-49, 54-56, 79, 93, 99, 116, 120, 127, 128, 134, 137-139, 145, 149, 156, 161, 163, 164, 171, 177, 178, 200, 201], в теории оптимального контроля [6, 12, 26, 50, 67, 90, 125, 126, 140, 147, 159; 168-170, 175, 181, 184, 190195], в геометрической теории меры [31, 57, 106, 172, 202, 203], в теории минимальных поверхностей [100, 118, 119, 121], в комплексном анализе [113-115, 157, 186-189], в инженерных науках, связанных с робототехникой и механикой [108]. Нильпотентные группы и многообразия, порождаемые векторными полями, удовлетворяющими условию Хёрмандера, с неримановыми метриками изучаются и используются в теории субэллиптических уравнений [91, 93, 97, 98, 107, 109, 112, 115, 117, 143, 167, 176, 186, 204], в задачах, связанных с неголономной механикой [124]. Особое место в вариационном исчислении и теории оптимального' контроля занимает направление, посвященное исследованию кратчайших в метрике Карно — Каратеодори (сс-кратчайшие). Известная задача Дидоны о поис-

ке максимальной площади при фиксированном периметре [4] — это переформулировка задачи о нахождении со-кратчайших одномерной группалгебры Гейзенберга, см. [6, 12, 26, 100], а также §10.2 настф-ящей работы. Изучение сс-кратчайших существенно осложнено тем фактом, что, в отличие от римановых кратчайших, сс-кратчайшие являются экстремалями неголономной вариационной задачи в форме принципа максимума Понтрягина [71, 192, 193]. Это приводит (в связи с тем, что коэффициент А0 из стандартной формулировки принципа максимума Понтрягина [71], на который умножается функционал длины, вообще говоря, может быть не равен нулю) к абсолютно новым эффектам, не свойственным римановой геометрии, например, существованию среди сс-экстремалей так называемых анормальных экстремалей (abnormal extremals) [125, 159168-170], аналитическая запись, которых, в общем случае, не может быть сведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям, разрешенным относительно старшей производной. Существует целое направление в теории оптимального управления, посвященное анормальным экстремалям, см., например, [50, 67, 125, 159, 168-170]. В настоящее время достаточно изучены лишь сс-кратчайшие 2-ступенчатых групп Карно [125], однако далее в самом простом случае — группах Гейзенберга— поведение сс-кратчайших далеко не просто, см. § 10.2 настоящей работы. Отметим, что для общих групп Карно до сих пор не известно — являются ли. их сс-кратчайшие гладкими.. Все это приводит к тому, что с «вычислительной» точки: зрения метрика Карно — Каратеодори малопригодна. Учитывая теорему Ball-Box, практически всегда используется некоторая эквивалентная метрике Карно — Каратеодори квазиметрика: в получении оценок для параметриксов дифференциальных гипоэллиптических операторов [176], в субрима-новой геометрии [20, 30-32, 58], в геометрической теории меры на неголономных многообразиях [57,146-148, 202-203], в квазиконформном анализе [27, 156], и т. д.

Основной объект наших рассмотрений— пары (0,с^), где О с М^ — некоторая область, на которой локально определена по правилу (0.4) метрическая функция d-ф. Такие пары мы будем называть квазипространствами. При этом особое внимание мы уделяем квазипространствам вида (О, dcc) и их частным случаям — группам и группалгебрам Карно.

Напомним, см. также § 2.5 настоящей работы, что канонической конечномерной группой Ли [66] или группалгеброй [72] называ-

t

\

\

ется аналитическая группа Ли G такая, что G отождествляется с К*^, I единичный элемент — с точкой 0 (начало координат R^), групповая

t операция определяется при помощи формулы Кэмпбелла — Хаусдор-

фа и соответствующей таблицы коммутаторов, заданной на базисных векторных полях {eij-^i,...^ евклидова пространства экспоненциальное отображение группалгебры является тождественным отображением. В частности, группалгебру Гейзенберга ШР мы можем представлять себе, см. пример 3.6, как евклидово пространство R2n+1 с системой координат , у\..., хп, уп, z) и групповой операцией

(Ж1J У\ 5 • • • > хп J Уп ) z) ' (^1 ; y'i : • • • } Хп J Уп ? Z )

те

= (хг + х[, уг + у[,..., хп + х'п,уп + у'п, z + z' + 2 ^Г(у1х'г - здО) >

г-1

базис левоинвариантных векторных полей группалгебры ИР имеет вид

XS ✓S

хг = дХг + 2угди Yi = дУг - 2Xidu Т = dt.

§ 0.3. Мотивация исследований.

Изучение квазипространств мотивировано различными

задачами, в частности

— задачами теории сингулярных операторов и субэллиптических уравнений [79, 90, 113, 176, 185],

— задачами теории функциональных пространств [8, 10, 14-16, 21-25, 78, 79, 86, 95, 133, 135],

— задачами многомерного комплексного анализа [113-115, 157, 186-189],

— задачами вариационного исчисления и оптимального управления [1, 12, 159, 169, 181, 190, 194, 195],

— задачами сингулярной дифференциальной геометрии (субри-мановой геометрии) [5-7, 11, 12, 30, 124, 130-132, 166, 169, 170, 191, 192, 203],

— задачами геометрического анализа (включая квазиконформный анализ на общих метрических пространствах) [14-16, 63, 64, 89, 90, 93, 98, 103, 133, 133, 138, 139, 163, 164, 167, 178, 200, 203],

— задачами геометрической теории меры [63, 64, 200, 202, 203],

— задачами метрической геометрии [5, 6, 9, 103, 104, 130, 180],

— задачами теории тканей и квазигрупп [2, 87], и др.

!

Настоящая работа большей частью мотивирована задачей о существовании однородной нильпотентной аппроксимации для базисных векторных полей £ Cr(U), удовлетворяющих таблице (0.3), при минимальных предположениях на г, описанием общих подходов к геометрии квазипространств и развитию соответствующего аналитического аппарата, необходимых для неформального понимания аппроксимации квазипространств (О, dcc) их нильпотентны-ми касательными конусами, вопросами теории дифференцирования отображений в субримановых (квази) метриках и задачами о суще-( ствовании некоторых классов областей, связанных с пространствами ^ Соболева и квазиконформным анализом, в субримановой геометрии.

Аппроксимация произвольных наборов векторных полей нильпо-тентными алгебрами имеет важное значение при изучении регулярности параметриксов (приближенных фундаментальных решений) диф-^ ференциальных гипоэллиптических операторов. Рассмотрим следу-

= ющий дифференциальный ультрапараболический оператор

п 3=1

где Хо,..., Хп — некоторые С°°(Л4)-гладкие векторные поля, удовлетворяющие условию Хёрмандера, определенные на многообразии М.. Операторы типа (0.5) изучались с точки зрения теории потенциала [92], теории дифференциальных (гипоэллиптических) уравнений [74], теории вероятности [59]. В 1967 г. JI. Хёрмандер [143] доказал гипоэллиптичность оператора (0.5) (также см. альтернативные исследования в работах [74] и [155]). Теорема о гипоэллиптичности доказывалась в [143] при условии выполнения некоторых оценок в L<i для функций из Cq°(K) (К с M — некоторая компактная область), вытекающих из условий Хёрмандера, однако эти оценки не являлись оптимальными даже в контексте работы [143]. С другой стороны, к середине 70-х годов на нильпотентных стратифицированных группах Ли операторы типа (0.5) были довольно хорошо изучены, см. [112114], поэтому в рамках изучения свойств операторов типа (0.5) естественным образом возник следующий подход: на подходящих нильпотентных группах построить класс аппроксимирующих (0.5) дифференциальных операторов для нахождения параметрикса, при помощи которого возможно получение соответствующих оптимальных оценок в функциональных пространствах Lp, Lip (см. [113, 185]). Ранее подобный подход был успешно реализован при получении теорем

регулярности для дь комплексов на строго псевдовпуклых гиперповерхностях в Сп, см. [113, 114]. В известной работе JI. Ротшильд и Б. Стейна [185] доказывались теоремы регулярности для оператора (0.5), для сублапласиана

¿X?, (0.6)

3=1

где векторные поля удовлетворяют условию Хёрмандера на многообразии Л4, и для лапласиана, индуцированного дь комплексом на некоторых C-R многообразиях. Для получения результатов регулярности в [185] была развита специальная техника аппроксимации векторных полей {^¿}z=i,...,n свободными алгебрами Ли — лифтинг (lifting), заключающаяся в следующем: при помощи системы координат 1-го рода, добавляя новые переменные, мы «спускаем» векторные ПОЛЯ {Х\) . . . , -^п}г=1,...,п в некоторое многообразие М, dim.M > dim A"i, так, что «новые» векторные поля {-Х"г}г=1,...,п и их коммутаторы вплоть до порядка г — свободны. Далее, в своей области определения векторные поля {-Xi}i=i,...,n возможно «хорошо» (в некотором смысле) аппроксимировать левоинвариантными векторными полями порождающими базис свободной алгебры Ли, со-

ответствующей некоторой свободной нильпотентной группе Nr степени г: Хк — У/г + Rk] здесь Rk — дифференциальный оператор степени < 0, где степень определяется при помощи соответствующего неоднородного оператора растяжения. Таким образом, метод работы [185] позволил свести доказательство теорем регулярности для операторов (0.5), (0.6) к изучению свойств соответствующих ОПера-

га

торов Y?. Однако, в рамках теории дифференциальных гипоэл-¿=1

липтических операторов метод аппроксимации, разработанный Ротшильд и Стейном, не является единственным возможным. В 1976 г. Г. Метивьер в работе [162], посвященной изучению асимптотики спектра сублапласиана (0.5), который определялся при помощи векторных полей {-XfG С°°(Л4), п < dim.M, образующих базис эк-вирегулярной поляризации гладкого многообразия Л4, доказал следующую алпроксимационную теорему.

Теорема 0.1 [162]. Пусть и С Л4 — некоторая область, dim Ну (х) = N = dim./Vi (х е со) для некоторого Т (Т — минимальное). Тогда для каждой точки xq € ш существуют ее окрестности uji (<= ш0 <Ш и>, Uq —

некоторая окрестность 0 в RN и С°°-отображение в : cJi х ш0 Шм такие, что

(i) для каждого х Е UJi отображение 9Х : у —> в(х, у) является (^-диффеоморфизмом из на вх(ш0) = С/о, вх(х) = О,

(И) для каждого х е векторные поля Х^х = (6x)*Xi, г = 1,..., п, степени < 1 в О,

(iii) если Х{>х — однородная часть степени 1 от XijX, то векторные

__/S

поля порождают нильпотентную алгебру Ли Vx размерности

N; более того, размерность векторного пространства Vi(x), натянутого на значения коммутаторов векторных полей XjjXi j = 1,... ,п, до порядка г — 1 включительно, равна hi = const для всех х € , i ~ 1,..., X, ^

(iv) векторные поля Х{)Х, XijX зависят гладко от х G

Отметим, что в теореме 0.1 термин «степень» определяется при помощи действия соответствующего неоднородного оператора растяжения, см. [162]. Как несложно заметить, конструкция нильпотент-ной аппроксимации из теоремы 0.1 не использует вложение исходного пространства в другое пространство большей размерности; аппроксимация происходит в «исходном» пространстве. Подобный подход к построению нильпотентной аппроксимации «в том же самом пространстве» для тех или иных наборов векторных полей {Х*}г=i,...,n широко используется в теории оптимального контроля в так называемых задачах STLC (small-time local controllability), см. [90, 140,195]. Несмотря на конструктивные различия, методы построения нильпотентной аппроксимации из [162] и [185] существенно используют определенные свойства систем координат 1-го рода и разложения Кэмпбелла — Хаусдорфа для векторных полей. В 90-х годах появилось несколько работ, в которых для построения нильпотентной аппроксимации векторных полей использовались другие системы координат: в работе Г. Гермеса [140] был изложен метод построения нильпотентной аппроксимации для С°°-гладких базисных векторных полей {Хг}г—1,.,.,/v, удовлетворяющих таблице (0.3), в системе координат 2-го рода, индуцированной в работе М. Громова [130] был предложен способ построения нильпотентной аппроксимации для С1-гладких базисных векторных полей {Xi}i=i,...,N, удовлетворяющих таблице (0.3), в системе координат 2-го рода, индуцированной (отметим, что метод Громова принципиально отличается от метода работы [140]); в работе А. Беляша [89] была сконструирована специальная привилегированная система координат

(privileged coordinates) для доказательства существования нильпо-тентной аппроксимации С°° (тМ)-гладких векторных полей {Xi}i=i,...)T] являющихся базисом эквирегулярной поляризации многообразия М. (в связи с результатом Беляша см. [184]). Выбор других систем координат был мотивирован упрощением вычислений [140, р. 247], и получением более точных оценок [89, р. 1]. Дальнейшее развитие теории дифференциальных операторов и некоммутативной геометрии неизбежно неизбежно привело к вопросу о том, в каком сисе смысле нилъпотентные алгебры Ли аппроксимируют «исходные» векторные поля (см., например, [89, р. 45]). Рассмотрим алгебру Ли Vx, порожденную векторными полями {JQ,®} из теоремы 0.1, и пусть Gx — соответствующая этой алгебре Ли градуированная группа Ли. Используя известные работы Громова [131, 132] и теорему 0.1, в 1985 г. Д. Митчелл в [166] привел схему доказательства следующего факта: касательный конус (в смысле сходимости Громова — Хаусдорфа) в точке х е М. к метрическому пространству (Л4,рсс), где М. — многообразие из теоремы 0.1, рсс — его метрика Карно — Каратеодори, изометричен метрическому пространству (Gx,px), где рхс — левоинва-риантная метрика Карно — Каратеодори градуированной группы Ли Gx. Позже в работе [130] появилась следующая равномерная относительно е > 0 оценка, известная как локальная аппроксимациопная теорема Громова:

\pcc(v,u) - рхс(у,и)| = о(е) (0.6)

для любых и, v е Всс(х,£), где Всс(х,е) — шар в метрике Карно — Каратеодори многообразия М, обладающего Ст-гладкой эквирегулярной поляризацией, Т — степень неголономности многообразия М. Как справедливо было замечено в [130], результат Митчелла является следствием (0.6). В работе [89] для многообразий М. из теоремы 0.1 в привилегированной системе координат оценка (0.6) была усилена

\Pcc{v,u) -pxc(v,u)\ = o(pxc{x,u)(pxc{v,u))*). (0.7)

В [176] было показано, что общий случай векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, сводится к векторным полям, удовлетворяющим таблице (0.3), поэтому, учитывая теорему Ball-Box, оценки (0.6), (0.7) наиболее точно отражают понимание того, в каком смысле происходит аппроксимация нильпотентными алгебрами Ли векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера.

Работы [130, 166] в 80-90 гг. существенным образом повлияли на развитие геометрического анализа, в частности, теории квазиконформных отображений и пространств Соболева, гармонического анализа, геометрической теории меры на общих пространствах Кар-но — Каратеодори. Квазиконформные отображения на неримановых структурах впервые рассматривались Мостовым в связи с вопросами классификации метрических пространств постоянной отрицательной кривизны [174]. Для доказательства теоремы о жесткости Мостову понадобились квазиконформные преобразования идеальной границы некоторого симметрического пространства [173]. Громов при помощи разработанной им концепции сходимости по Громову — Хаусдор-фу доказал [131, 132, 166], что геометрия такой идеальной границы моделируется нильпотентной группой с метрикой Карно — Каратеодори. Таким образом, возник интерес к изучению квазиконформных отображений на группах Карно и более общих пространствах Карно — Каратеодори [130]. Исследование теории квазиконформных отображений на группах Карно стимулировалось также связью этих отображений с некоторыми функциональными классами (в частности, пространствами Соболева) (см. [14-16]). В работе П. Пансю [178] впервые было введено понятие дифференцируемое™ отображений «в терминах» метрики Карно — Каратеодори на группах Карно ("Р-дифференцируемость). Пансю интерпретирует дифференциал как некоторый гомоморфизм групп Ли, порождающий гомоморфизм соответствующих алгебр Ли и сохраняющий их градуировку. Используя понятие "Р-дифференцируемости, в [178] была доказана теорема Радемахера для липшицевых отображений, определенных на открытых множествах группы Карно. Используя концепцию Р-дифференцирования, А. Кораньи и X. М. Рей-манн [156] систематизировали аналитические методы исследования квазиконформных отображений на группах Гейзенберга, предполагая более сильное по сравнению с евклидовым пространством условие: Р-дифференцируемость отображений почти всюду (см. в связи с этим подходом работу [137]). Аналитический аппарат, позволяющий развить теорию квазиконформных отображений на группах Карно при минимальных предположениях был разработан С. К. Водопьяновым и его учениками [17, 19, 26-28, 35]. Используя результаты Митчелла [166], Г. Маргулис и Д. Мостов в работе [163] ввели понятие дифференцируемости на эквирегулярных пространствах Карно — Каратеодори «в терминах» метрики Карно — Каратеодо-

ри (сс-дифференцируемость), где доказывали теорему о сс-диффе-ренцируемости почти всюду квазиконформных отображений. Концепция сс-дифференцируемости Маргулиса и Мостова имела некоторые конструктивные недостатки, см. [20, 160, 164], которые в дальнейшем устранялись в [164]. Используя аналог локальной аппрок-симационной теоремы Громова для квазиметрик, С. К. Водопьяновым была предложена другая концепция дифференцируемости для пространств Карно — Каратеодори [20] (кс-дифференцируемостъ), при помощи которой в [20] были доказаны теоремы типа Радемахера и Степанова о дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори.

Развитие теории квазиконформных отображений на группах Карно и пространствах Карно — Каратеодори привело к переосмыслению классических методов и доказательств. Это явилось одним из стимулов развития анализа (в частности, теории квазиконформных отображений и связанных с ними функциональных классов Соболева, ВМО) на метрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения (пространства однородного типа) или более сильному условию регулярности [26, 103, 133, 134, 138, 160]. Концепция дифференцируемости отображений, определенных на достаточно общих метрических пространствах, применительно к вопросу дифференцируемости липшицевых отображений рассматривалась в работах [103, 104, 160].

Равномерные, локально равномерные, А^ГА-области естественным образом возникают в различных вопросах анализа и играют важную роль, в теории пространств Соболева и квазиконформных отображений. В середине 70-х годов возник подход к изучению квазиконформных отображений, основанный на связи этих отображений с некоторыми функциональными пространствами. С. К. Водопьяновым и В. М. Гольдштейном [22] было установлено [22, 25], что гомеоморфизм / двух евклидовых областей Т>, V с Мп является квазиконформным тогда и только тогда, когда оператор суперпозиции /* есть структурный изоморфизм пространств Ь^г(Т>') и Ь^(V). Одновременно X. М. Рейманн [182] установил связь между квазиконформными отображениями и пространствами ВМО(Т>), определенными на областях V из Шп. С изложенным выше подходом тесно связана задача о продолжении функциональных пространств за границу области определения. В 1979 г. было доказано [24, 25], что плоская область V является образом некоторого шара при действии квазиконформного

отображения плоскости на себя (такал плоская область называется квазикругом) тогда и только тогда, когда существует непрерывный оператор продолжения

ext: L\(p) L^(Mn).

Позже П. Джонсом в [152] были найдены необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять область V С En, п > 2, чтобы существовал непрерывный оператор продолжения

ext: BMO{V) BMO(Rn);

им же для п = 3 был построен пример области V, не являющейся квазишаром, на которой существует оператор продолжения пространств ВМО(Т>). Оказалось, что класс областей, из которых продолжаются функции с ограниченным средним колебанием, совпадает с классом равномерных областей, введенных в конце 70-х годов в работе О. Мартио и Д. Сарваса [165], посвященной изучению свойств аппроксимации и инъективности классов функций, определенных на областях из . Грубо говоря, равномерная область — это такал область, что любые ее две точки можно соединить при помощи сигарообразной односвязной подобласти, которая не очень тонка и не очень согнута к концам, см. [197]. Равномерные области являются объектом интенсивных исследований в теории квазиконформных отображений и пространств Соболева, см., например, [99, 141, 142], в частности, свойства «равномерности» области инвариантны относительно действия квазиконформных отображений [122, 165]. В 1995 г. результат Джонса о продолжении функции из пространств В МО был обобщен в работе С. К. Водопьянова и А. В. Грешнова [26] для полных локально компактных метрических пространств однородного типа с внутренней метрикой; там же (впервые) были приведены примеры ограниченных равномерных областей на группах Гейзенберга. Исследуя задачу о продолжении пространств Соболева Wp за границу области определения, П. Джонс в [153] установил, что если условия равномерности для области из Мп будут выполняться локально ((е, 6)-область), то для таких областей существует непрерывный оператор продолжения

ext: Wlp{V) W^(lRn).

Задача о продолжении пространств Соболева рассматривалась также другими авторами (см. [10, 85]). Результат Джонса для (е,6)~

областей групп Карно был обобщен в работах [127, 145, 177], на пространствах Карно — Каратеодори в случае W^(T>) — в работе [120]. Условие того, что область является локально равномерной областью, не является необходимым в задаче о продолжении для Wp, п ф 2,1р ф 2; известны примеры областей, не являющихся локально равномерными, для которых построены операторы продолжения для конкретного набора параметров из шкалы пространств W^, Llp, см. [23, 62]. К середине 80-х годов были найдены некоторые необходимые условия для продолжения функций из пространств Соболева — это регулярность и квазивыпуклость области определения (см. [13-15, 123]). Некоторые из этих результатов были обобщены на случай групп Карно в работах [37, 127]. В 1981 г. Д. Джерисон и С. Кениг в [150] ввели понятие iVTA-области (non-tangentially accessible domain) в Шм. С метрической точки зрения NT А- область — это равномерная область, удовлетворяющая условию внешней спирали, т. е. если мы возьмем произвольную граничную точку х такой области и рассмотрим метрический шар с центром в точке х радиуса е, то пересечение этого шара с дополнением к рассматриваемой области всегда будет содержать некоторый шар радиуса се, где положительная константа с не зависит от выбора жиг, Для этих областей Джериссон и Кениг [150] доказали ряд теорем о граничном поведении гармонических функций и свойствах гармонических мер. Развитие квазиконформного анализа и теории уравнений в частных производных на пространствах Карно — Каратеодори Л4 естественным образом привело к постановке задач о регулярности решений субэллиптических уравнений и, соответственно, рассмотрению NT А- областей на М. [97, 98, 205]. В частности, в 1998 г. работе JI. Капонья и Н. Гарофало [98] было изучено граничное поведение неотрицательных решений некоторых субэллиптических уравнений и доказаны теоремы типа Фату о некасательных пределах; там же на общих 2-ступенчатых группах Карно были построены примеры iVTA-областей. Области класса J (или области Джона) были введены в работе Ф. Джона [151], где изучалась задача устойчивости изометрий в Жм. Понятие области Джона обобщает известное в Шм определение области, удовлетворяющей условию конуса [62]. Грубо говоря, область Джона V — это такая область, что найдется точка xq Е V, что любую другую точку х 6 V можно соединить с xq некоторой параметризованной кривой, длина которой сравнима с расстоянием от х до принадлежащей V, двигаясь по которой от х к ж0, мы всегда будем отстоять от дТ> на расстояние,

пропорциональное пройденному пути [76, 81, 134, 165, 198]. На областях Джона евклидова пространства Ю. Г. Решетняк вывел свои известные интегральные представления функций через дифференциальные операторы и доказал теоремы устойчивости [76]. На группах Гейзенберга H. Н. Романовским [79] были получены интегральные представления типа Соболева для функций через их горизонтальные производные и коэрцитивные оценки для некоторых дифференциальных операторов. Используя эти результаты, для областей Джона групп Гейзенберга С. К. Водопьянов и Д. В. Исангулова [33] получили точные оценки геометрической жесткости изометрий на группах Гейзенберга. Также отметим работы [34, 145], в которых оригинальными методами, являющимися новым даже для Шм, на областях Джона группа Карно были получены коэрцитивные оценки, вложения функциональных классов Соболева, неравенство Пуанкаре.

Как мы видим, области Джона, равномерные и NT А- области играют весьма существенную роль в анализе и теории дифференциальных уравнений в частных производных, и наличие их конкретных примеров очень важно с содержательной точки зрения. В пространстве Еп с римановой метрикой классы этих областей достаточно велики. Вопрос о существовании равномерных и NTА-областей в случае групп Карно с метрикой Карно — Каратеодори ставился в ряде работ (см., например, [205]), однако первые нетривиальные примеры таковых областей появились сравнительно недавно (см. [26, 42, 97, 98]). Отметим, что до сих пор не известно: существуют ли ограниченные равномерные и NTА-области на m-ступенчатых группах Карно, где m > 2.

§ 0.4: Проблемы

1° Выбор системы координат и оптимальных показателей гладкости для векторных полей. Конструкция лифтинга работы [185] оказалась достаточно сложной, и вскоре Р. Гудман [126] упростил доказательства Родшильд и Стейна из [185]. Лифтинг решал вопросы, поставленные в [185], однако не подходил для решения некоторых принципиальных проблем в случае векторных полей, удовлетворяющих Хёрмандера (условие удвоения по мере, оценки на ядра, связанные с параметриксом субэллиптических дифференциальных операторов [176], оценки на размерность по Хаусдорфу [146], и др.). Для решения данных задач в работе [176], используя свойства координат 1-го рода и разложения Кэмпбелла — Хаусдорфа, была доказана известная теорема Ball-Box. Результаты работы [126] были положены

в основу построения нильпотентной аппроксимации в [162], однако неудачное в [162] изложение вывода формулы дифференциала экспоненциального отображения, а также достаточно громоздкая конструкция лифтинга [176], возможно, привели к мнению о том, что в общем случае система координат 1-го является не очень пригодной для вычислений, см. [140]. Подход к построению нильпотентной аппроксимации в системе координат 2-го рода, предложенный Громовым [130], выглядит, по сравнению с методами из [140], эффектно более простым и компактным, однако те свойства записи векторных полей в координатах 2-го рода, которые используются в [130], там не проверяются, и неизвестно, имеют ли они место. В работе [89] для построения нильпотентной аппроксимации и связанных с этим вопросами была сконструирована специальная привилегированная система координат, действительно обладающая хорошими (в плане практического применения) свойствами, см. [89, р. 42], однако сама конструкция этой системы координат в [89] достаточно сложна, кроме того, система координат Белляша не обладает такой же геометрической ясностью, как системы координат 1-го и 2-го рода. Отметим, что результаты работ [89, 140, 143, 162, 166, 176, 185] доказывались в предположении С°°-гладкости или аналитичности векторных полей. Обычно, рассматривая те или иные задачи, связанные с анализом на пространствах Карно — Каратеодори, предполагают, что векторные поля С°°-гладкие, см., например, [97, 98,148]. Но понятно, что в случае положительного решения результаты останутся справедливыми и для Сг-гладких векторных полей, где г достаточно велико. Вообще говоря, в априорных предположениях С°°-гладкости или аналитичности векторных полей есть некоторый дефект — вопросы совершенно естественные могут привести к базисным векторным полям с недифференцируемыми коэффициентами. Изучение дифференциальных операторов, которые определяются при помощи негладких векторных полей, началось в 80-х годах с диагональных векторных полей в Ёп, т. е. с полей вида Xj = \j(x)dXj, j = 1,..., п, см. [117]. Задача построения нильпотентной аппроксимации для С1-гладких векторных полей, удовлетворяющих таблице (0.3), по-видимому, впервые была рассмотрена Громовым в работе [130], однако не была там решена. Все это инициировало интенсивное изучение вопросов, связанных с доказательствами теоремы Рашевского — Чоу, теоремы Ball-Box, теоремы о нильпотентном касательном конусе и локальной аппроксимационной теоремы в геометрии негладких векторных по-

лей. С. К. Водопьянов [20] одним из первых сформулировал задачу о поиске минимальных условий на гладкость на векторных полей, при которых выполняются основополагающие факты субримановой геометрии. В недавней работе [93] на областях из Шм, используя аппроксимацию С'1-гладких векторных полей {-Х"г}г=1,...,п3 удовлетворяющих условию Хёрмандера со степенью г, некоторыми гладкими векторными полями с полиномиальными коэффициентами и свойства систем координат 2-го рода, были доказаны свойство удвоения по мере, теорема- Рашевского — Чоу, неравенство Пуанкаре; отметим, что подобный способ аппроксимации ранее использовался в работах [106, 107] для более узкого класса векторных полей. Позже в работе [167] в областях из R^ рассматривался следующий класс As

веКТОрНЫХ ПОЛеЙ {-^г}г=1,...,п'

- € Cf-2'Ve > 2,

- все производные X^fi существуют и непрерывны, где fi — произвольный коммутатор порядка s — 1 векторных полей из

- любая производная (в смысле распределений) Xj(Xifj) класса

г оо Ь1ос'

Для векторных полей класса А3, удовлетворяющих условию Хёрмандера степени s, используя стандартную процедуру сглаживания их коэффициентов в системе координат 2-го рода, в [167] была доказана теорема Ball-Box. В работах С. К. Водопьянова и М. Б. Кар-мановой [30, 32, 203] при некоторых априорных предположениях на С1 -гладкие векторные поля, удовлетворяющие таблице (0.3), где Т = 2, было получено доказательство теоремы Громова о существовании нильпотентной аппроксимации и оценки, при помощи которой доказаны локальная аппроксимационная теорема, теорема Рашевского — Чоу, теорема Ball-Box; эти результаты были использованы в [203] на пространствах Карно — Каратеодори для доказательства /гс-дифференцируемое™ отображений с непрерывными горизонтальными производными, вывода формул коплощади для гладких контактных отображений и площади для липшицевых отображений. В 2010 г. в работе [58, стр. 313] М. Б. Карманова отметила, что из теоремы 5 из [58] и результатов работы [203] следуют локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик, обобщенное неравенство треугольника для квазиметрик, теорема Рашевского — Чоу, Ball-Box теорема в случае С1,а-гладких векторных полей, удовлетворяющих таблице (0.3).

Прямолинейное использование формулы Кэмпбелла — Хаусдор-

фа для Сг-гладких векторных полей в вопросе о существовании однородной нильпотентной аппроксимации накладывает определенные ограничения на г при произвольном Т [43]; для уменьшения значения показателя г здесь необходимы модификации формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа [47, 49], или же методы, напрямую не связанные с ее применением [39, 46].

Теорема Рашевского — Чоу и ее обобщения при минимальных условиях на гладкость векторных полей традиционно являются предметом исследования в задачах теории оптимального контроля. Так, в недавней работе Ф. Рампаццо и Г. Суссманна [181] на основе методов сглаживания было введено понятие коммутатора для липшице-вых векторных полей на некоторых подмножествах их области определения. Там же они показали, что данный подход непригоден для определения коммутаторов более высоких порядков для липшицевых векторных полей. В 2010 г. в работе [48], используя абсолютно другой подход, для липшицевых векторных полей типа Леви, определенных на областях из М3, были доказаны теоремы Рашевского — Чоу и Ball-Box (отметим, что для аналогичных векторных полей, но класса Л2, теорема Ball-Box была установлена в [167]). Поиск подходящих технических средств, адекватно отражающих «некоммутативность» липшицевых векторных полей, является актуальной задачей.

2° Оптимальный выбор метрики. В связи со схематичностью работы [166], в [89, 130] были приведены независимые от [166] доказательства существования нильпотентного касательного конуса в выделенной точке пространства Карно — Каратеодори. Концепция сс-дифференцируемости Маргулиса и Мостова существенно базируется на работе Митчелла, поэтому в работе [164] авторам пришлось привести пропущенные в [166] аргументы. Отметим работу В. Н. Бе-рестовского [5], в которой, используя некоторые идеи из [166], было доказано существование касательного конуса в точке для однородных многообразий с внутренней метрикой и установлено, что этот конус изометричен нильпотентной градуированной группе Ли с ле-воинвариантной неголономной финслеровой метрикой. Одна из основных трудностей при доказательстве теоремы о нильпотентном касательном конусе для пространств Карно — Каратеодори состоит в том, что, поскольку сс-кратчайшие в общем случае не могут быть представлены как решения обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, разрешенных относительно старшей производной (о чем говорилось выше), появляются определенные проблемы, свя-

занные с предельным переходом в рамках сходимости соответствующих компактных метрических пространств и получении необходимых метрических оценок. Учитывая теорему Ball-Box, ряд вопросов, связанных с аппроксимацией пространств Карно — Каратеодори внутренними метриками соответствующих нильпотентных касательных конусов (например, локальная аппроксимационная теорема Громова, теорема Митчелла о касательном конусе), может быть решен с помощью подходящей «квазиметрической» аппроксимации. Наиболее удобно рассматривать квазиметрику dcc, введенную выше, поскольку для нее автоматически выполняется аксиома симметрии (чего нельзя сказать, например о квазиметрике, которая определяется при помощи координат 2-го рода, см. § 5.6 настоящей работы). Подобный подход позволяет распространить результаты Громова и Митчелла о нильпотентной аппроксимации на квазипространства, априори не обладающие свойством сс-соединимости, — установить соответствующие аналоги локальной аппроксимационной теоремы Громова для квазиметрик dcc при различной гладкости векторных полей [39; 44, 47, 49; 129]; обобщить (в подходящем смысле) понятие сходимости по Громову — Хаусдорфу для квазиметрических пространств и получить аналог теоремы Митчелла о касательном конусе [44]. Аналитические методы, основанные на использовании систем координат 1-го рода и обобщениях формулы Кэмпбелла — Хаусдор-фа [43, 47, 49], позволяют эффективно использовать свойства квазиметрик при решении указанных выше задач, а также найти необходимые и достаточные условия для того анизотропные метрические функции d-ф общего вида были квазиметриками, и построить их содержательные примеры [49]. В качестве приложений разработанных методов и полученных результатов естественно рассмотреть вопросы, связанные с сс-соединимостыо и теоремой Ball-Box при минимальной гладкости (возможно даже при ее отсутствии) векторных полей, а также сс- и /г.с-дифференцируемостью отображений на квазипространствах (0,dcc).

3° Существование областей, связанных с квазиконформным анализом и пространствами Соболева, в геометрии Карно — Каратеодори. Для содержательного построения теории квазиконформных отображений и пространств Соболева на метрических пространствах необходимы примеры областей Джона, равномерных и NT А- областей, которые определяются в геометрии рассматриваемого метрического пространства. В со стандартной евклидовой метрикой класс та-

ких областей достаточно широк, например, обычный шар очевидно является одновременно областью Джона, равномерной и ЫТА-областью. Для многообразий с римановой метрикой построение при-1 меров областей указанного выше типа не составляет никакого труда.

Однако ситуация радикально меняется в случае пространств Кар-но — Каратеодори. Конечно, не трудно проверить, что любой шар в метрике Карно — Каратеодори (сс-шар) является областью Джона, но неизвестно — является ли сс-шар общих пространств Карно — Каратеодори односвязпой областью, соответственно, неизвестно — существуют ли на общих пространствах Карно — Каратеодори односвязные области Джона. Отметим недавнюю работу Монти и Морбиделли [171], в которой изучаются свойства областей Джона на градуированных группах. Трудности, которые возникают при поиске равномерных и ЫТА-областей в метрике Карно — Каратеодори, хорошо видны на примере сс-шаров группы Гейзенберга. В работе [26] равномерность сс-шаров группы Гейзенберга вытекала из следующего факта, который доказывался при помощи методов вариационного исчисления и результатов работы [6]: множество точек, которые соединяются с единицей группы более чем одной сс-кратчайшей; совпадает с интегральной линией вертикального векторного поля, проходящей через начало координат. Работа [18] инициировала дискуссию о том, являются ли сс-шары группы Гейзенберга ТУТА-обл астями, см. [97, 98]. Используя результаты работы [135], в [97, 98] был полу* чен отрицательный ответ на этот вопрос; там же был сформулирован вопрос о равномерности сс-шара на произвольных группах Карно. В работах [79, 97, 98] был построен достаточно широкий класс равномерных и ]УТА-областей на 2-ступенчатых группалгебрах Карно; в частности, там было доказано, что любая ограниченная область с С^-гладкой границей является ЫТА-областью. Отметим, что метод доказательства равномерности сс-шара групп Карно из [127] также оправдан только для 2-ступенчатого случая. Таким образом, примеры равномерных, ИТ А—областей, областей Джона актуальны для пространств Карно — Каратеодори.

0.5 Краткий обзор содержания диссертации.

Настоящая работа состоит из введения, 10 глав и списка литературы из 205 наименований. По результатам диссертации опубликованы работы [26-29, 39-49, 128, 129, 201].

В Главе 1 получены вспомогательные результаты о свойствах систем координат, индуцированных липшицевыми базисными век-

торными полями {-Хг}г=1,...,лг £ С0,1 (и) (системы координат 1-го, 2-го рода, и подобные им). Особое внимание уделено системам координат 1-го рода {экспоненциальным отобраэюениям), которые определяются при помощи отображения вд : Ве(0, Тд) —> Од С и, д £ и, действующего по формуле

N

вд : (хи..., Ждг) ехр(Хх)(д) = 0д(х, 1) = V, 9д(0) = д, Хх = У^гс^ч

г=1

здесь для каждого вектора начальных значений х £ Ве(0,Тд) выражение 9д(х, б) обозначает точку на интегральной линии векторного поля Хх, находящуюся на временном расстоянии в, если двигаться от д в сторону возрастания параметра, Ве(0,Тд) — шар в стандартной евклидовой метрике <1е достаточно малого радиуса Тд.

Определение 1.3 [51]. Числа х1}..., ждг, шах |ссг| < Тд, которые

определяются из равенства Од(х) = V, х = ... ,хм), назьшаются, каноническими координатами 1-го рода или нормальными координатами точки V. Таким образом, отображение 9д задает систему канонических координат 1-го рода или нормальную систему координат в некоторой окрестности точки д.

Следующие результаты Главы 1, содержащиеся в § 1.2, являются основой аналитических построений работы.

Теорема 1.1. Пусть {-Х"г}г=1,...,лт £ С0,1 (и) с константой Липшица Ь. Тогда

1° существует положительное число ей такое, что отображение 9д является гомеоморфизмом на Ве(0,ед); 2°

на Ве(0,ед) отображение 9д является липшицевым с константой Липшица зависящей от Ь, И, ед и Си]

3° отображение 9д непрерывно зависит от д, более того,

\вд{х,1)-вд{хЛ)\<Ь2\д-~д\

для некоторой константы зависящей от Ь, N, ед и Си', 4° величина ед непрерывно зависит от д £11.

Лемма 1.1. Пусть £ С0,1 (и) с константой Липшица

Ь. Тогда существует область Оси такая, что О С 9д{Ве{0,е)) для каждой точки д £ О, е = т£{б9 | д £ О}, где ед — из теоремы 1.1.

Й

1

Лемма 1.2. Пусть {Х*}^!,...^ £ С0'1 (С/) с константой Липшица Ь. Тогда для любой области О С О такой, что йе(0,д0) > О, найдется положительное число ё, зависящее от с1е(0,д0), Ь, Си, е из леммы 1.1, такое, что для любых векторов а = (¿¿1,..., адг), Ъ = (61,..., Ьм), тах{|а|, |Ь|} < ё, и любой точки д £ О найдется единственный вектор с9 = с5 (а, Ъ) = (с^,..., с9н) такой, что

ехр(Хъ) о ехр(Ха)(д) = ехр(Хс9)(д) С О.

В последнее время, в связи с повышенным интересом к проблемам анализа на пространствах Карно — Каратеодори при минимальной гладкости векторных полей, свойства (липшицевых) систем координат 1-го рода исследуются в литературе, связанной с данной тематикой, см., например, [93]. Некоторые из установленных нами в Главе 1 свойств в другом виде можно найти в работах по теории о. д. у. (см. замечание 1.1).

В Главе 2 для базисных векторных полей 6 Сг(£/),

г £ М, мы исследуем свойства вектор-функции

Игд{а,Ь, з) = ехр(яХь) о ехр(¿Ха)(д), б, £ б К,

N N

где Ха = агХг, Хь = Ь{Хг, д Е I7, и нормы векторов а =

г—1 г=1

(ац,..., аде), Ь = (£>1,..., Ьде) достаточно малы. Нами получены некоторые аналоги разложений Кэмпбелла — Хаусдорфа, при помощи которых выведена формула дифференциала соответствующего экспоненциального отображения вд.

Следствие 2.1. Пусть {-Х,}^...^ € См(11), 2г < М, — набор базисных векторных полей. Тогда найдется положительная константа т, т < е такая, что равномерно по д Е О и а, Ь Е Ве(0,т) выполняется асимптотическое равенство

г+1

ехр{Хь) о ехр(Ха)(д) = ехр(^22г(хь,ха)^(д) + Яг+Аа, Ь,д),

г—1

г{ е См~г V*, Яг+1 е См~г, Д^Са.М) = о(|(а,6)|г+1),

Яг+1 (кЬ, 6, д) = Яг+1 (а, ка, д) = О,

для всех достаточно малых по модулю чисел к € К.

Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа имеет большое значение в различных областях математики (дифференциальные уравнения, теория групп Ли) [66, 69, 193] и физики (квантовая физика) [95, 183]. В 1903 г. Кэмпбелл [96] и независимо от него в 1906 г. Хаусдорф [136] предложили метод, позволяющий по алгебре Ли последовательно вычислять коэффициенты степенных рядов, задающих операцию умножения в группе Ли. Однако алгоритм Кэмпбелла — Хаусдорфа оказался мало эффективным и не давал общего представления о природе коэффициентов. В работах Е. Б. Дынкина [52, 53] была выведена явная формула для вычисления коэффициентов, заменяющая алгоритм Кэмпбелла — Хаусдорфа. К середине 70-х годов было известно несколько доказательств формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа, см. [88, 96, 102; 110, 111, 136, 144, 179, 199]; некоторые из них достаточно просты [110, 111]. В'настоящей работе мы получаем разложения для композиции ехр(Хь) оехр(Ха)(д) из следствия 2.1, используя классический вывод формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа —■ Дынкина через формальные степенные ряды, адаптированный к случаю общих векторных полей, см., например, [91]: сначала конструируется под-

г+1

ходящее Сг-гладкое векторное поле Z = Z(Xa,Xb) = Ё %г(Хь,Ха),

i—1

представляющее собой сумму ¿-мономов Ли, г = 1,...,г + 1, от неком-мутирующих переменных Ха, Хь, а затем проверяется, что концевая точка интегральной линии этого векторного поля асимптотически приближает величину Wg(a, b, t, s) с требуемой асимптотической точностью. Отметим, что в рамках такого «прямолинейного» подхода, показатели гладкости в следствии 2.1 при соответствующей степени разложения — минимальные. Используя следствие 2.1, в лемме 2.2 мы получили формулу дифференциала экспоненциального отображения 9д, индуцированного С2г+1-гладкими базисными векторными полями.

Лемма 2.2. Пусть {^->¿=1.....лг е См, 2r + 1 < М, г Е N, —

базисные векторные поля, х0 = 9д(а), xq ф д. Тогда

г+1

Е Zk{Xa+sXU-Xa) {{вд)*ег){хо) = lim -(х0) + о(|а|г). (2.21)

5 ' О 5

Формула для дифференциала экспоненциального отображения, аналогичная (2.21), для случая С°°-гладких векторных полей приводится (без вывода) в [176, Lemma 2.12].

Если базисные векторные поля имеют гладкость Сг, то получение аналогов разложений Кэмпбелла —Хаусдорфа степени большей г для композиции ехр(Хь) о ехр(Ха)(д) методом доказательства следствия 2.1 невозможно; в связи с уменьшением гладкости векторных полей Хь, Ха необходима модификация «аппроксимирующего» векторного поля Z(Xa,Xъ). Теоремы 2.4, 2.5 дают необходимые модификации в виде векторного поля где вектор-функция

сд(а,Ь) определялась выше в лемме 1.2. Рассмотрим базисные векторные поля {Хг}г==1)..^дг Е Сг{11). Из известных теорем теории о. д. у. вытекает, что для любых векторов а, 6 е М*^ таких, что величины |а|, \Ь\ достаточно малы, найдется единственный вектор с9 = с9 (а, Ь) = (с1,..., с9м)(а, Ь) е Сг такой, что

дг

УУд(а,Ь, 1,1) = ехр^с^(а,6)Хг)(р) = ехр (ХсВ(а>ь))(д).

г~1

Заметим, что в общем случае Хс9^а^) ф Z(Xa,Xb). Из определения с9(а, 6) вытекает, что с5(0,6) = 6, с9(а, 0) = а, при этом отображение с5(а, 6) в общем случае не ассоциативно, т. е. с9 (х,сд(а,Ь)) ф сд{с9(х, а), Ь), см. пример 2.3 настоящей работы; таким образом, отображение с9 (а, Ь) является 2-лупой.

Теорема 2.4.

1° В случае г = 1 вектор с9(а,Ь) определяется из следующего тождества

ХС9( а, ь)(9) = (-X С*! + Хь]) (9) + а, Ь), аг = а + Ь, (2.31)

где Я2(а, 6, р) = (Д£,..., Ь, д) = о(|(а, &)|2);

2° в случае г = 2 вектор с9 (а, 6) определяется из следующего тождества

-*св(а>ьДр) - + -[Аа, + -—--1- -—-

+ Хй2)(р) +(2.32)

где = а+Ъ, Яз(а, Ь,р) = (Щ,..., Ядг)(а, Ь,д) = о(|(а, 6)|3), и вектор ¿¿2 определяется из тождества

1 N N

7 Е = Хй2(р). (2.33)

4

Теорема 2.5. Пусть {-Х"г}г=1,...,лг £ Сг. Тогда имеют место следующие разлоаюения

г+1

с9(а,Ъ) = а + Ъ + У^2 Р?(а>Ь) + Ягч-хК 6,д),

г=2

6, д) = (Д}+1,..., Л?+1)(а, 6, <?) = о(|(а, Ь)Г+1) 6 Сг,

где при фиксированном д выражение Р9(а,Ь) — N-мерный вектор, компоненты которого суть однородные полиномы порядка г, причем среди этих полиномов нет таких, которые зависели бы только от компонент вектора а или только от компонент вектора Ь, и Лт(а, ка,д) = Пг(кЬ,Ь,д) = 0 для всех достаточно малых по модулю чисел к е К.

В для рассматриваемых в теореме 2.4 случаев компоненты вектор-функции с9 (а, Ь) вычислены с точностью до соответствующей асимптотики явным образом; в теореме 2.5 для общего случая получена лишь достаточно общая информация о компонентах вектор-функции с9(а,Ь), более детальная информация.содержится в утверждении 5.1 Главы 5. Отметим, что задача о выводе разложений Кэмпбелла — Хаусдорфа при как можно меньшей гладкости векторных полей другими методами решалась в работах [167] для векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера. Результаты Главы 2, имея самостоятельный характер, используются нами в Главах 3-5. По результатам Главы 2 автором опубликованы работы [43, 47, 49].

В Главе 3 в области 17 С рассматриваются Сг-гладкие базисные векторные поля удовлетворяющие условию (+ deg), и базисные векторные поля € Сг(11) такие, что значения векторных полей X?, у = 1,...,/^, образуют базис Щ(х) для

каждого х е и. Тогда X? = 2 Ь,3Хк, з = 1,degXf =

к—1

degXj, где Ък^ — некоторые непрерывные в и функции, т. е. Хв — ХВ, где X, Xе — (IV х Л/")-матрицы, г-е столбцы которых совпадают с Хг, Xе соответственно. Несложно проверить, см. свойство 3.2, что В е Сг(и). Векторные поля мы будем называть в

дальнейшем В-связанными с векторными полями

Определение 3.2. Каждому натуральному числу г от 1 до N сопоставим некоторое натуральное число deg г так, что deg 1 < deg 2 < • • • < deg N. Определим следующий неоднородный оператор растя-

OfC&'HtU/ifl

5e : ж = (Ж1,...,%) -» (edeslrci,... ,£degiVzN) = 5 > 0. (3.12)

В случае, когда degi = 1 для всех г = 1,..., N, мы будем использовать обозначение Если же degi = degJQ для всех % = 1,..., JV, то будем говорить, что оператор 6£ согласован с градуировкой векторных полей {Xi}i=i,...,iv-

Пусть в* : (хи .. . ,xN) -> ехр(Е ^Х?) (<?), 0f (0) = 0f (0,..., 0) =

д, — Сг-гладкий диффеоморфизм некоторого шара Ве(0, ef) на некоторую окрестность Од с U точки д. В случае В = Е мы используем обозначение 6д) где Е — (N х 7У)-единичная матрица.

Определение 3.3. Для каждой матрицы В определим следующий неоднородный оператор растяжения Af,9 = 9д о д£ о degi = degXi, г = 1, ...,iV, согласованный с градуировкой базисных векторных.полей

Если В = Е, то мы< используем обозначение Д§.

Для каждого мультииндекса а = (ai,... , о^) обозначим |о;| = N N _

Y^ Oii, М/г = X) аг deg Xi; также для всех г = 1,..., iV полагаем X? =

г=1 г=1

[Og^^Xi, и пусть Вох(0,е) = {и(аь..., aN) eRN | |а»| <£desx*}. Из определения отображения 9д вытекает, что, каковы бы ни были С1-гладкие базисные векторные поля мы имеем Хд(х) =

Е -+- о(1) при х 0, где X9 — (N х iV)-матрица, г-й столбец которой совпадает с Xf.

Определение 3.5. Рассмотрим некоторые базисные векторные поля {■^¿}г=1,...,дг, определенный в некоторой окрестности начала координат евклидова пространства MN, градуированные степенями, такие, что элементы матрицы X = (а;™)П)7гг=1,...,дг, m-й столбец которой совпадает с Хт, т = 1,..., N, равномерно по е G (0, е), где е — некоторое фиксированное число, удовлетворяют асимптотическим условиям

+ п<т,

х™ = ^ 0(e), < е atf £ diag

0(е*~'), x^eAij, i>j,

или

Г ^ + П<ш,

X™ = ^ о(1), х% е X™ £ diag

(: х™ е Ли, г > ¿,

на множестве Вох(0,5бг), где А^, 1 < г, у < Т, — часть матрицы X, представляющая из себя прямоугольную матрицу, образованную элементами х™ такими, что /¿¿-1 < п < Ы, < т < /г^, и "Е > 0 — некоторая достаточно большая константа, одна и- та же для всех е 6 (0, €). Тогда мы говорим, что набор векторных полей удовлетворяет 0(е)-асимптотическим условиям или о(1)-асимптотическим условиям. Если мы, рассматривая, набор базисных векторных полей {-Х*}^!,...^, говорим, что базисные векторные поля {Щ}г=1,...,лг равномерно по д удовлетворяют О(е)-асимптотическим условиям (о(1)-асимптотическим условиям), то имеется ввиду следующее: числа Н, введенные выше, не зависят от д.

В Главе 3, применяя результаты-Главы-2, мы выводим формулу для дифференциала отображения в^, индуцированного базисными векторными полями при помощи которой

нами доказана

Теорема 3.2. Пусть {-Х"г}г=1,...,лг

— базисные векторные поля, удовлетворяющие условию {+ с^). Тогда векторные поля {Х?;}^!,...^ удовлетворяют О {е)-асимптотическим условиям.

Асимптотика векторных полей из теоремы 3.2, видимо, впервые появилась.в.работе [162] для случая С°°-гладких векторных полей, обладающих эквирегулярной поляризацией; этот результат существенно используется в [163, 164, 166]. Наше доказательство основано на идеях из [162] (однако технически существенно от [162] отличается) и следующем факте, установленным в лемме 3.3: матрица, обратная к той, что удовлетворяет О (е)-асимптотическим условиям, такоюе удовлетворяет О(е)-асимптотическим условиям.

Используя теорему 2.4, в Главе 3 нами получена следующая

Теорема 3.3. Пусть .....лг £ СТ-1(Е7) — базисные векторные

поля, удовлетворяющие условию (+с^). В случаях Т = 2,3 имеют

место следующие разложения

с1 (а, Ь) = аг + Ьг+ • Ъ? + ЯV (а, Ъ,д),

2<|а+/3|<Т

-йт(аз Ь,д) = о(|(а, Ъ)\Т), (3.25)

где (с®,..., Сдг) = с9 е Ст-1 — ш теоремы 2.4, д Е О, а, Ь Е Ве(0, е), коэффициенты Ё^'р зависят.от д и не зависят от выбора а, 6; при этол* = в случае с^Х* = ¡а-Ь/З^. Координаты век-

торных полей X? = Е г^т 6 стандартном базисе ,..., в

э—1 3

точке х = (ж1,... ,хм) имеют вид 2<|а+е»|<Т

Даже в случае Т = 2 остатки Ь, д) зависят как от а, так и от Ь; в работах [32, 203] при изучении векторных полей г = 1,..., ЛГ, удовлетворяющих таблице (0.3), предполагалась специальная зависимость Я\ (а, 6, от а.

В Главе 3 мы вводим в рассмотрение важные для наших дальнейших рассуждений канонические векторные поля, частными случаями которых являются алгебры Ли группалгебр Ли.

Определение 3.4. Набор базисных векторных полей определенных в некоторой окрестности начала координат О с М^, будем называть каноническим, если для каждого вектора р Е Ьр е О, Ь € М+, выполняются тождества Х(р1)(р) = р, У(рЬ){р) = р, где X — (-/Vх7у)-матрица, г-й столбец которой совпадает с {^г}г=1,...,лг, и У = Х~г.

Свойства канонических векторных полей играют ключевую роль в классическом выводе формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа для групп Ли, см. [66, 69]. Известным примером канонических векторных полей являются векторные поля {X?}г=1,...,лг, Щ = где вектор-

ные поля класса С2.

По результатам Главы 3 автором опубликованы работы [29, 43, 44, 46, 47].

В Главе 4 нами доказаны результаты о существовании в окрестности выделенной точки д Е U однородной нильпотентной аппроксимации для базисных векторных полей £ Cr(U), градуированных степенями, удовлетворяющих таблице (0.3), при различных показателях г.

Рассмотрим канонические базисные векторные поля Е

С1 (О), градуированные степенями, удовлетворяющие следующей таблице коммутаторов

[Х<Д,](*)=( ^ £ ^ С* **)(*), хео, (4.32)

deg Xfc<deg Xt+deg Х3

где О — некоторая окрестность начала координат евклидова пространства Шм, Cfj (х) Е С0 (О) — некоторые функции такие, что

С^(х) = 0 в случаях deg Xi + deg Xj < degXfc. Нами доказана следующая

Теорема 4.5. Пусть {-X¿}¿=i,...,ív Е С1 (О) — базисные канонические векторные поля, градуированные степенями, коммутаторы которых, самое большее, складывают степени. Тогда на некотором множестве Вох(0,£о) С О выполняется

(¿1/e)* ° Х(5ех) О (Se)* Х(х),

где е Е (0,1), X = Х(х) Е С°°(Вох(0,Ео)) — нижнетреугольная (N х N)- матрица с диагональными элементами равными 1.

Обозначим i-й столбец матрицы X из теоремы 4.5 через Имеет место следующее

Утверждение 4.7. Векторные поля {-X"¿}¿=i,...,ív являются базисом левоинвариантных векторных полей градуированной алгебры JIu V нильпотентной степени Т некоторой группалгебры Ли Q] при этом на Вох(0,£о) выполняется следующая таблица коммутаторов

= ( Е С^Хк)(х), <?£ = с£( 0). (4.47)

deg вг+deg еэ =deg еь

Определение 4.4. Векторные поля {X¿}í=i)...)jv назовем канонической однородной^нильпотентной аппроксимацией канонических векторных полей {^Q}í=i,...,ív в окрестности точки 0, а соответствующую

градуированную группалгебру Ли Q — каноническим нильпотент-ным касательным конусом векторных полей {X¿}í=i,...,ív в окрестности точки 0.

Обозначим X? = sdezXiXi, г = 1,..., N, ||а||ь = max lail3^"

для произвольной точки а = (ai,... ,адг). Из теоремы 4.6 и утверждения 4.7 вытекает следующая

Теорема 4.6. Пусть € C2(JJ) — базисные векторные

поля, удовлетворяющие условию (+deg). Тогда найдутся полоэюи-тельные константы £q, v такие, что для каоюдой точки g G О выполняется

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Грешнов, Александр Валерьевич, 2011 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.

[2] Акивис М. А. О канонических разложениях уравнений локальной аналитической квазигруппы // Доклады АН СССР. 1969. Т. 188. С." 967-970.

[3] Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М - Л.: ГИТТЛ. 1948.

[4] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

[5] Берестовский В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой. Дисс. ... докт. физ.-мат. паук. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева. 1988.

[6] Берестовский В. Н. Геодезические неголономных левоинва-риантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изоперимет-риксы плоскости Минковского // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, N2 1. С. 3-11.

[7] Берестовский В. Н., Зубарева И. А. Формы сфер специальных неголономных левоинвариантных внутренних метрик на некоторых группах Ли.// Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 4. С. 731-748.

[8] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные . представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

[9] Бураго Д1 Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

[10] Буренков В. И., Файн В. Л. О продолжении функций из анизотропных пространств с сохранением класса // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228, № 3. С. 525-528.

[11] Варченко А. Н. О препятствиях к локальной эквивалентности распределений // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 6. С. 939-947.

[12] В ершик А. М., Гершкович ВI Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 16. С. 7-85.

[13] Водопьянов С. К. Изопериметрические соотношения и условия продолжения дифференцируемых функций // Докл. АН СССР. 1987. Т. 292, № 1. С. 11-15.

[14] Водопьянов С. К. Внутренние геометрии и пространства дифференцируемых функций // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск, 1987. С. 18-38.

[15] Водопьянов С. К. Формула Тейлора и функциональные пространства. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1988.

[16] Водопьянов С. К. Геометрические аспекты пространств обобщенно дифференцируемых функций. Дисс. ... докт. физ.-мат. наук. Новосибирский гос. ун-т. Новосибирск. 1991.

[17] Водопьянов С. К. Квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269-1295.

[18] Водопьянов С. К. Весовые пространства Соболева и граничное поведение решений вырождающихся гипоэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 2. С. 278-300.

[19] Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269-1295.

[20] Водопьянов С. К. Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий Карно // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 251-271'.

[21] Водопьянов С. К. Ьр-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрии и анализа. Новосибирск: Наука, 1989. С. 45-89.

[22] Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Структурные изоморфизмы пространств и квазиконформные отображения^ // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. С. 224-246.

[23] Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Пространства Соболева и специальные классы отображений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1981.

[24] Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М., Латфуллин Т. Г. Критерий продолжения функций класса Ь\ из неограниченных плоских областей // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 2. С. 416-419.

[25] Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными // Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, Вып. 1<. С. 17-62.

[26] Водопьянов С. К., Грешное А. В. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1015-1048.

[27] Водопьянов С. К., Грешное А. В. Аналитические свойства

квазиконформных отображений на группах Карно// Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1317-1327.

[28] Водопьянов С. К., Грешное А. В. Продолжение дифференцируемых функций и квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996, Т. 348. № 1. С. 15-18.

[29] Водопьянов С. К., Грешное А.. В. О дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори // Докл. РАН. 2003. Т. 389, № 5. С. 592-596.

[30] Водопьянов С. К., Карманова М. В. Субриманова геометрия при минимальной гладкости, векторных полей // Докл. АН. 2008. Т. 422, № 5: С. 583-588.

[31] Водопьянов С. К., Карманова М. Б; Формула площади для С1 -гладких контактных отображений // Докл. АН. 2008. Т. 422, № 1. С. 15-20.

[32] Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксима-ционная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 3. С. 731-736. .4

[33] Водопьянов С. К. у Исангулова Д. В. Точные оценки геометрической жесткости изометрий на группах Рейзенберга // Докл. РАН. 2008. Т. 420, Л* 5. С. 583-588.

[34] Водопьянов С.К., Исангулова Д. В. Теоремы вложения типа Соболева на областях Джона групп Карно // Труды Математического центра им.- Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной, школы- конференции; «Лобачевские чтения-2010»; Казань, 1-6 октября 2010 г., Казан, матем. об-во. 2010. Т. 42. С. 68-74.

[35] Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Аппроксимативно дифференцируемые преобразования и замена переменных на нильпотентных группах // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 70 89.

[36] Гелбаум В., Олмстед До/с. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.

[37] Головин С. В., Чесноков А. А. Групповой анализ дифференциал ы 1ых уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2008.

[38] Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

[39] Грешное А. В. Некоммутирующие векторные поля и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа. Новосибирск, 2008. 28 с. (Препринт / ИМ СО РАН; № 207).

[40] Грешное А. В. Области, удовлетворяющие условиям внутренней и внешней спирали, на метрических пространствах // Труды 12 Сибирской школы «Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика». 1999. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. С. 54-67.

[41] Грешное А. В. О существовании областей, удовлетворяющих условиям внутренней и внешней спиралей // Математические труды. 2002. Т. 5, № 2. С. 138-154.

[42] Грешное А. В. О равномерных и ИТ А- областях на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 5. С. 1018-1035.

[43] Грешное А. В. Метрики равномерно регулярных пространств Карно — Каратеодори и их касательных конусов // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 2. С. 259-292.

[44] Грешное А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных квазипространств Карно — Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 290-312.

[45] Грешное А. В. О дифференцируемости горизонтальных кривых в квазипространствах Карно — Каратеодори // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 67-86.

[46] Грешное А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С1-гладких некоммутирующих векторных полей // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 1. С. 47-62.

[47] Грешное А. В. О применениях формулы Тейлора на некоторых квазипространствах // Математические труды. 2009. Т. 12, № 1*. С. 3-25.

[48] Грешное А. В. Об одном классе липшицевых векторных полей в!3// Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 517-527.

[49] Грешное А. В. Об обобщенном неравенстве треугольника для квазиметрик, индуцированных некоммутирующими векторными полями // Математические труды. 2011. Т. 14, № 1. С. 70-98.

[50] Дмитрук А. В. Квадратичные достаточные условия минимальности анормальных субримановых геодезических // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 1999. Т. 65. С. 5-89.

[51] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко Ф. Т. Современная геометрия. М: Наука, 1979.

[52] Дынкин Е. Б. Нормированные алгебры Ли и аналитические группы // Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, № 1(35). С. 135-186.

[53] Дынкин Е. Б. О представлении ряда \о^(ехеу) от некомму-

тирующих х и у через коммутаторы // Мат. сборник. 1949. Т. 25, № 67. С. 155.

[54] Исангулова Д. В. Класс отображений с ограниченным удельным колебанием и интегрируемость отображений с ограниченным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, N2 2. С. 313-334.

[55] Исангулова Д. В. Локальная устойчивость отображений с ограниченным искажением на группах Гейзенберга // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 6. С. 1228-1245.

[56] Исангулова Д. В. Устойчивость отображений с ограниченным искажением в норме Соболева на областях Джона групп Гейзенберга // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 3. С. 526-546.

[57] Карманова М. Б. Характеристическое множество гладких контактных отображений пространств Карно —Каратеодори // Докл. АН. Т. 425, № 3. С. 314-319.

[58] Карманова М. Б. Новый подход к исследованию геометрии пространств Карно —Каратеодори // Докл. АН. 2010. Т. 434, № 3. С. 309-314.

[59] Колмогоров А. Н. Zufällige Bewegundgen // Ann. Math. 1934. V. 35, N 2. P.116-117.

[60] Колмогоров А. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

[61] Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1966.

[62] Мазъя В. Г. Пространства Соболева. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. 1985.

[63] Миклюков В. М. Введение в негладкий анализ. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2006.

[64] Миклюков В. М. Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и вырождающиеся квазиконформные отображения. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010.

[65] Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. - Л.: Гостехиздат, 1947.

[66] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

[67] Петров H. Н. О кратчайших субримановых геодезических // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 5. С. 768-775.

[68] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984.

[69] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

[70] Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.

[71] Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

[72] Постников M. М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.

[73] Постников M. М. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.

[74] Радкевич Е. В. Hypoelliptic operators with multiple characteristics // Мат. сборник. 1969. T. 79, № 121. С. 193-216.

[75] Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин.-та. им. К. Либкхнехта. Сер. физ.-мат. 1938. Т. 3, № 2. С. 83-94.

[76] Решетняк Ю. ГТеоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.

[77] Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999. Ч I, Кн. 2.

[78] Романов А. С. О следах функций, принадлежащих обобщенным классам соболевского типа // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. С. 848-866.

[79] Романовский H. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга Hn // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16. Вып. 2. С. 82-119.

[80] Селиванова С. В. Касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 2. С. 388-403.

[81] Троценко Д. А. Свойства областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 4. С. 221-224.

[82] Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.

[83] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

[84] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

[85] Шварцман П. А. Теоремы продолжения с сохранением локально-полиномиальных приближений / Ярославский ун-т. М.: 1986. 153 с. Деп. в ВИНИТИ 04.09.86, № 6487-В86.

[86] Агтаг Н.} Forzará L., Toledano R. Balls and quasi-metrics: a space of homogeneous type modeling the real analysis related to the Monge-Ampère equation // Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4, N 4, 5.

P. 377-381.

[87] Akivis M., Goldberg V. V. Differential geometry of webs // Handbook of Differential Geometry. Basel: Birkhâuser, 2000. V. 1. P. 1152.

[88] Baker H. F. Alternants and continuous groups // Proc. London Math. Soc., II Ser. 1905. V. 3. P. 24-47.

[89] Bellâiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry// Sub-Reimannian geometry. Basel: Birkhâuser, 1996. P. 1-78. (Prog. Math.; 144).

[90] Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximations and controllability along trajectory //SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28. P. 903-924.

[91] Bonfiglioli A., Lanconelli E., Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-Laplacian. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2007.

[92] Bony J. M. Principe du maximum, inégalité de Harnack, et unicité du problème de cauchy pour les operateurs elliptiques dégénrés // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 1969. V. 19, N 1. P. 277-304.

[93] Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of non-smooth Hermander's vector fields and Poincaré's inequality // arxiv.org: 0889.2872vl.

[94] Buchbinder I. L., Pletnev N. G. Construction of one-loop N=4 SYM effective action on the mixed branch in the harmonic superspace approach // JHEP. 2005. 0509:073-1. P. 1-30.

[95] Caffarelli L., Gutiérriz C. Real analysis related to the Monge-Ampére equation // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348. P. 10751092.

[96] Campbell J. E. Introductory treatise on Lie theory of finite continuous transformation groups. Oxford, 1903.

[97] Capogna L., Garofalo N. Non tangentially accassible domains for Carnot-Caratheodory metrics and a Fatou type theorem // C. R. Acad. Sci. Paris. Sér. I Math. 1995. V. 321, N 12. P. 1565-1570.

[98] Capogna L., Garofalo N. Boundary behavior of non-negative solutions of subelliptic equations in iVTA-domains for Carnot-Caratheodory metrics // Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4, N 4. P. 403-432.

[99] Capogna L., Tang P. Uniform domains and quasiconformal mappings on Heisenberg group // Manuscripta Math. 1995. V. 86, N 3. P. 267-281.

[100] Capogna L., Danielli D., Pauls S. D., Tyson J. T. An intro-

duction to the Heiseberg groups and the sub-Riemannian isopiremetric problem. Basel, Boston, Berlin: Birkhâuser Verlag AG, 2007.

[101] Carathéodory C. Untersuchungen iiber die grundlangen der thermodynamik // Math. Ann. 1909. V. 67. P. 355-386.

[102] Cartier P. Demonstration algébrique de la formule de Hausdorff // Bull. Soc. Math. France. 1956. V. 84. P. 241-249.

[103] Cheeger J. Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces // Geom. Funct. Anal. 1999. V. 9, N 3. P. 428-517.

[104] Cheeger J., Kleiner B. Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces with the Radon-Nikodym property // Geom. Funct. Anal. 2009. V. 19; N 4. P. 1017-1028.

[105] Chow W. L. Uber systeme von linearen partiallen differentialgleichungen erster ordnung // Math. Ann. 1939. V. 117. P. 98-105.

[106] Citti G., Lanconelli E., Montanari A. Smoothness of Lipchitz-continuous graphs with nonvanishing Levi curvature // Acta Math. 2002. V. 188, N 1. P. 87-128.

[107] Citti G., Montanari A. Regularity properties of solutions of a class of elliptic-parabolic nonlinear Levi type equations // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. V. 354, N 7. P. 2819-2848.

[108] Chirikjian G., Kyatkin A. Engineering applications of noncom-mutative harmonic analysis. Boca Raton, FL: CRC Press, 2001.

[109] Danielli DGarofalo N., Petrosyan A. The sub-elliptic obstacle problem: C1,OL regularity of the free boundary in Oarnot groups of step two // Adv. Math. 2007. V. 211. P. 485-516.

[110] Djokovic D. Z. An elementary proof of the Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin formula // Math. Z. 1975. Bd 143, N 3. S. 209-211.

[111] Eichler M. A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin formula //J. Math. Soc. Japan. 1968. V. 20. P. 23-25.

[112] Folland G. B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups // Ark. Mat. 1975. V. 13. P. 161-207.

[113] Folland G. B. Applications of analysis on nilpotent Lie groups to partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. V. 83, N 5. P. 912-930.

[114] Folland G. B., Stein E. M. Estimates for the db complex and analysis on Heiseberg group // Comm. Pure Appl. Math. 1974. V. 27. P. 429-522.

[115] Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton: Princeton Univ. Press, 1982. (Math. Notes; 28).

[116] Franchi B., Gutiérrez C. E., Weeden R. L. Weight Sobolev-Poincaré inequalities for Grushin type operators // Comm. Part. Dif. Eq. 1994. V. 19, N 3,4. P.523-604.

[117] Franchi B., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of linear nonuniformly elliptic operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1983. V. 10, N 4. P. 523-541.

[118] Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Rectifiability and perimeter in the Heiseberg group // Math. Ann. 2001. V. 321, N 3. P. 479-531.

[119] Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. On the structure of finite perimeter sets in step 2 Carnot groups //J. Geom. Anal. 2003. V. 13, N 2: P. 421-466.

[120] Garofalo N., Nhieu D.-M. Lipschitz continuity, global smooth approximations and extension theorems for Sobolev functions in Carnot-Caratheodory spaces //J. Anal. Math. 1998. V. 74. P. 67-97.

[121] Garofalo N., Nhieu D.-M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot - Carathéodory spaces and the existence of minimal surfaces // Comm. Pure Appl. Math. 1996. V. 49, N 10. P. 1081-1144.

[122] Gehring F., Osgood B. Uniform domains and quasi-hyperbolic metric //J. Analyse Math. 1979. V. 36. P. 50-74.

[123] Gehring F., Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings //J. Anal. Math. 1985. V. 45. P. 181-206.

[124] Gershkbvish V., Vershik A. Nonholonomic manifolds and nilpotent analysis //J. Geom. Phys. 1988. V. 5. N. 3. P. 407-452:

[125] Golé C., Karidi R. A note on Carnot-geodesies in nilpotent Lie groups //J. Dynam. Control Sys. 1995. V. 1. P. 535-549.

[126] Goodman R. Lifting vector fields to nilpotent Lie groups //J. Math. Pures Appl. 1978. V. 57. P. 77-85.

[127] Greshnov A. V. Extension of differentiate functions beyond the boundary of the domain on Carnot groups // Sib. Adv. Math. 1997. V. 7, N 3. P. 20-62.

[128] Greshnov A. V. John domains and homogeneous cone condition on Carnot groups // Progress in Analysis. Proc. 3rd ISAAC Congress. (Germany, Berlin, 20-25 August 2001). NJ, London, Singapore, Hong Kong: World Scientific, 2003. V. 1. P. 57-62.

[129] Greshnov A. Some approximation theorems for quasimetrics, induced by non-commutative vector fields // Lie Groups: New Research. NY.: NOVA Publishers, 2009. P. 307-323.

[130] Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within // Sub-Reimannian geometry. P. 79-323. 1996. Basel: Birkhâuser. (Prog. Math.; 144).

[131] Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Inst. Hatues Études Sci. Publ. Math. 1981. V. 53. P. 53-73.

[132] Gromov M. Structures métriques pour les variétés riemanni-ennes. CEDIC: Paris, 1981.

[133] Hajlasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric space //J. Potent. Anal. 1996. V. 5, N. 4. P. 403-415.

[134] Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincaré // Mem. Amer. Math. Soc. 2000. V. 145, N 688.

[135] Hansen W., Huber H. The Dirichlet problem for sublaplacians on nilpotent groups - Geometric criteria for regularity // Math. Ann. 1984. V. 246. P. 537-547.

[136] Hausdorff F. Die symbolishce exponentialformel in der gruppentheorie // Ber. Sachs. Ges. 1906. V. 58.

[137] Heinonen J. Calculus on Carnot group // Fall School in Analysis. Jyvaskylâ, 1994. Ill p. (Preprint/University of Jyvaskyla/1995)

[138] Heinonen J., Koskela P. Definitions of quasiconformality // Invent. Math. 1995. V. 120. P. 61-79.

[139] Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Universi-text. NY.: Springer-Verlag, 2001.

[140] Hermes H. Nilpotent and high-order approximations of vector field system // SIAM Review. 1991. V. 33, N 2. P. 238-264.

[141] Herron D., Koskela P. Locally uniform domains and quasicon-formal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1995. V. 29. P. 187-206.

[142] Herron D., Koskela P. Uniform, Sobolev extension and quasi-conformal circle domains //J. Anal. Math. 1991. V. 57. P. 172-202.

[143] Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math. 1967. V. 119. P. 147-171.

[144] Hochschild G. The structure of Lie groups. SF., London, Amsterdam: Holden-Day, 1965.

[145] Isangulova D. V., Vodopyanov S. K. Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups // Eurasian Math. J. 2010, V. 1, N 3. P. 58-96.

[146] Jean F. Entropy and complexity of a path in sub-Riemannian geometry // ENSTA, 1999. Tech. Report, N 331.

[147] Jean F. Complexity of nonholonomic motion planning / / Internal J. Control. 2001. V. 74, N 8. P. 776-782.

[148] Jean F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls // J. Dy-nam. Cont. Syst. V. 7, N 4. P. 473-500.

[149]Jerison D: The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math. J. 1986. V, 53, N 2. P. 503-523.

[150] Jerison D. , Kenig C. Boundary behavior of harmonic functions; in non-tangentially accessible domain // Adv. Math. 1982. V. 47, N 1. P. 80-147.

[151] John F. Rotation and strain-// Comm.. Pure Appl. Math. 1961. V. 14, N. 3. P.: 391-413.

[152] Jones P. Extension theorems for БМО // Indiana Univ.. Math. 1980. V. 29, N 1. P. 41-66.

[153] Jones P. Quasiconformal mappings and; extendability of functions in Sobolev spaces // Acta Math. 1981. V 147. P. 71-88.

[154] Knapp A. W., Stein E. M. Intertwining, operators for semisimple groups // Ann. Math. 1971. V. 93, N 3. P. 489-578. •

[155] Kohn J. J. Phseudo-differential operators and hypoellipticity // Proc. Symp. Pure Math; Amer. Math. Soc. 1973, V. 23. P. 61-69.

[156] Koranyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the-Heisenberg groups // Adv. Math. 1995. V. 111. p: 1-87.

[157] Koranyi A., Vagi S. Singular integrals in homogeneous spaces and some problems of classical analysis // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. CI. Sci. (4). 1971. V. 25. P. 575-648.

[158] Koskela P. Capacity extension domain. Helsinki, 1990. 42 p. (Препринт/University of Jyvaskyla, N 73/Soumalainen Tiedakatemia/ Helsinki/1990).

[159]; Liu W., Sussmann H. J. Shortest paths for Sub-Reimannian metrics on rank-two distributions // Mem, Amer. Math.. Soc. 1995. V. 118, N 564. .

[160] Lytchak A. Differentiation in metric spaces // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, № 6. С. 128-161.

[161] Lu G. Weighted Poincare and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander's condition and applications // Rev. Mat. Iber. 1992. V. 8, N 3. P. 367-439.

[162] Metivier G. Fonction spectrale et valeurs proposes d'une classe d'operateurs // Comm. Partial Differential Equations. 1976. V. 1. P. 479-519.

[163] Margulis G. A., Mostow G. D. The differential of quasi-confor-mal mapping of a Carnot-Carathéodory spaces // Geom. Funct. Anal. 1995. V. 5, N 2. P. 402-433.

[164] Margulis G. A., Mostow G. D. Some remark on definition of tangent cones in a Carnot-Carathéodory space //J. Anal. Math. 2000. V. 80. P. 299-317.

[165] Martio 0., Sarvas J. Injectivity theorems in plane in space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1979. V. 4. P. 383-401.

[166] Mitchell J. On Carnot-Carathéodory metrics //J. Differential Geometry. 1985. V. 21. P. 35-45.

[167] Montanari A., Morbidelli D. Nonsmooth Hërmander vector fields and their controlled balls // arxiv.org: 0812.2369vl.

[168] Montgomery R. Abnormal minimizer // SIAM J. Control Op-tim. 1994. V. 32, N. 6. P. 1605-1620.

[169] Montgomery R. Survey of singular geodesies Sub-Reimannian geometry. Basel: Birkhâuser, 1996. (Progr. Math.; 144. P. 325-339).

[170] Montgomery R. A tour of subriemannian geometries, their geodesies and applications. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002.

[171] Monti R., Morbidelli D. Regular domains in homogeneous groups // Trans. Amer. Math. Soc. 2005. V. 357. P:2975-3011.

[172] Monti R., Serra Cassano F. Surface measures in Carnot-Carathéodory spaces // Calc. Var. Partial Differential Equations. 2001. V. 13. P. 339-376.

[173} Mostow G. D. Quasi-conformal mappings in n-spaces and the rigidity of hyperbolic space forms // Inst. Hatues Etudes Sci. Publ. Math. 1968. N 34.

[174] Mostow G. D. Strong rigidity of locally symmetric spaces. Princeton: Tokyo Univ. Press, 1973.

[175] Nagano T. Linear differential systems with singularities and an application to transitive Lie algebras // J'. Math. Soc. Japan. 1966. V. 18. P. 398-404.

[176] Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155, P. 103-147.

[177] Nhieu D.-M. The Neumann problem for sub-Laplacians on Carnot groups and the extension theorem for Sobolev spaces // Ann. Mat. Pure Appl. 2001. V. 180, N 1. P. 1-25.

[178] Pansu P. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un // Ann. Math. 1989. V. 119. P. 1-60.

[179] Pejas W. Ein bewies der qualitativen aussage der CampbellHausdorff-Formel fiir analytische gruppen // Arch. Math. 1968. V. 19. S. 453-456.

[180] Petersen VP. Gromov-Hausdorff convergence in metric space // Differential geometry: Reimannian geometry (Proc. Sympos. Pure Math.; V. 54, Pt. 3). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993. P. 489-504.

[181] Rampazzo F., Sussmann H. Commutators of flow maps of non-smooth vector fields //J. Diff. Equi. 2007. V. 232, N 1. P. 134-175.

[182] Reimann H. M. Functions of bounded mean oscillation and quasiconformal mappings // Comm. Math. Helv. 1974. V. 49. P. 260276.

[183] Reinsch M. W. A simple expression for the terms in the Baker-Campbell-Hausdorff series //J. Math. Phys. 2000. 41:2434-2442. P. 1-8.

[184] Rockland Ch. Intrinsic nilpotent approximation // Acta Appl. Math. 1987. V. 8. P. 213-270.

[185] Rothchild L. P., Stein E. S. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math. 1976. V. 137. P. 247-320.

[186] Stein E. M. Some geometrical concepts arising in harmonic analysis // Geom. Func. Anal. 2000: Special Volume. P. 434-453.

[187] Stein E. M. Singular integrals and estimates for the Cauchy-Riemann equations // Bull Amer. Math. Soc. 1973. V. 79. P. 440-445.

[188] Stein E. M. Boundary behavior of holomorphic functions of several complex variables // Princeton: Princeton Univ. Press, 1972. (Math. Notes Ser., N 11).

[189] Stein E. M. Harmonic analysis: real-variables methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.

[190] Stefan P. Accessible sets, orbits, and foliations with singularities // Proc. London Math. Soc. 1974. V. 29, N 3. P. 699-713.

[191] Strichards R. Sub-Reimannian geometry //J. Differential Geometry. 1986. V. 24, N 2. P. 221-262.

[192] Strichards R. Correction to «Sub-Riemannian geometry» // J. Differential Geometry. 1989. V. 30. P. 595-596.

[193] Strichards R. The Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin formula and solutions of differential equations //J. Funct. Anal. 1987. V. 72. P. 320-345.

[194] Sussman H. J. An extension of theorem of Nagano on transitive Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 45. P. 349-356.

[195] Sussman H. J. A general theorem on local controllability // SIAM J. Control Optim. 1987. V. 25. P. 158-194.

[196] Triebel H. A new approach to function spaces on quasi-metric spaces // Rev. Mat. Complut. 2005. V. 18, N 1. P. 7-^8.

[197] Vaisala J. Uniform domains // Tohoku Math. J. 1988. V. 40, N 1. P. 101-118.

[198] Vaisala J. Exhaustions of John domains // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1994. V. 19. P. 47-57.

[199] Varadrajan V. S. Lie groups, Lie algebras, and their representations. Englewood Cliff: Prince-Hall, 1974.

[200] Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces and differentiability of mappings // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemp. Math.; V. 424. Providence, RI: Amer. Math.Soc., 2007. P. 247-302.

[201] Vodop'yanov S. K., Greshnov A. V. Quasiconformal mappings and BMO-spaces on metric structures // Sib. Adv. Math. 1998. V. 8, N 3. P. 132-150.

[202] Vodopyanov S. K., Karmanova M. B. An area formula for contact C1 -mappings of Carnot manifolds // Complex Var. Elliptic Equ. 2010. V. 55, N 1-3. P. 317-329.

[203] Vodopyanov S. K., Karmanova M. B. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces, differentiability, coarea and area formulas // Analysis and mathematical physics, Trends Math. Basel: Birkhauser, 2009. P. 233-335.

[204] Vodopyanov S. K., Markina I. G. Foundation of the nonlinear potential theory of subelliptic equations // Sobolev spaces and adjacent problems of analysis. Tr. Inst. Mat. S. L. Soboleva SO RAN. Novosibirsk: Izdatel'stvo Instituta Matematiki SO RAN, 1996. V. 31. P. 161-186.

[205] Wittmann R. A non-tangential limit theorem // Osaka J. Math. 1987. V. 24, N 1. P. 61-76.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

аксиома неотрицательности, 157 аксиома тождества, 157 аксиома симметрии, 157

— обобщенной, 157 алгебра Гейзенберга, 109 алгебра Карно, 109 алгебра Ли, 86, 98

— градуированная, 108

— каноническая, 100

— Карно, 109

— стратифицированная, 108 векторное поле горизонтальное, 107, 216 векторные поля базисные, 62

— .В-связанные, 105

— выражающиеся через свои коммутаторы согласованно, 219

— канонические, 116

— коммутаторы которых, самое большее,

складывают их степени, 103

— согласованные с фильтрацией, 107

— формально градуированные степенями, 103 группалгебра Ли, 11, 75

— градуированная, 76

— Гейзенберга, 11, 76, 123

— Карно, 123

группа Ли каноническая конечномерная, 9, 75 группа Карно, 109 групповое ядро, 75

интегральная линия векторного поля, 60 квазиметрика, 157 квазирасстояние по Хаусдорфу, 207 квазиметрическое пространство, 157 квазипространство, 157

— компактное, 206

квазипространство Карно — Каратеодори, 218 коммутатор векторных полей, 79 коммутатор порядка к — 1, 79 константы равномерности, 269 контролирующие компоненты, 250

координаты динамические, 72

кратчайшая, 268

кривая сс-спрямляемая, 247

— сс-липшицева, 256

— сс-дифференцируемая в точке, 260

— Н-дифференцируемая в точке, 260

— т-спрямляемая в точке, 255

— абсолютно непрерывная, 250

— горизонтальная, 216, 247, 287

— спрямляемая по параметру в точке, 256

— со-спрямляемая по хорде в точке, 255

— удовлетворяющая условию Липшица в точке, 256

— Джона, 269 лебегово множество, 266 метрика, 157

метрика Гейзенберга, 290 метрическое пространство, 157 начало интегральной линии векторного поля, 60 неравенство треугольника обобщенное, 157

— в точке по множеству, 129 нильпотентный касательный конус, 138

— канонический, 147 область Джона, 269

— равномерная, 270

— ИТ А, 270 образующий шар, 277

однородная нильпотентная аппроксимация, 139

— каноническая, 147 однородный /с-полином Ли, 78 оператор растяжения неоднородный, 110

— согласованный с градуировкой векторных полей, 110 оператор структурный, 76

ось сс-гибкого конуса, 288 открытый шар, 158 отображение экспоненциальное, 63 подрасслоение горизонтальное, 107 подрасслоение эквирегулярное, 106 пространство Карно — Каратеодори, 9, 216 пространство однородного типа, 268

псевдометрика, 157

расстояние Карно — Каратеодори, 9, 218

расстояние по Липшицу, 206

расстояние по Громову — Хаусдорфу, 207

ряд Кэмпелла — Хаусдорфа в форме Дынкина, 75

свойство поглощения, 159

сигнатура набора базисных векторных полей, 162 система автономная, 60 система динамическая, 62 система координат 1-го рода, 67

— 2-го рода, 72 скобка Ли, 75

скобка Пуассона векторных полей, 79 степень неголономности многообразия, 7 стратификация, 108

структурные константы алгебры Ли, 86, 98 сходимость по Громову — Хаусдорфу, 207 сходимость квазипространств по Липшицу, 206 сходимость квазипространств равномерная, 206 тождество Якоби, 79

тождества Якоби для структурных констант, 99 точка Джона, 269

условие сс-однородного внутреннего конуса, 271

— в точке, 271

условие внутренней спирали, 270

условие внешней спирали, 270

условие удвоения по мере, 268

условие Хёрмандера, 9, 107

условие Чоу, 8, 107

условие (+deg), 104

условие сс-гибкого конуса, 288

формальная степень векторного поля, 103

формальная однородная нильпотентная аппроксимация, 139

формальная градуировка системы векторных полей, 103

формальный нильпотентный касательный конус, 139

функции билипшицево эквивалентные, 158

эквирегулярная поляризация, 7

эквирегулярность подрасслоения, 107

сс-кратчайшая, 9, 284

сс-соединимость, 8 сс-однородный конус, 271 сс-шар, 25 &-моном Ли, 78 Ь-близость по сетям, 208 п-группа, 74 п-квазигруппа, 74 п-лупа, 74

о(1)-асимптотическое условие, 121 О (е)-асим птотическое условие, 121

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Е, 58

X*, 4, 62

Хх, 62

124

124

124

Ъ 116

Х^, 116

у, 116

XI 93

х 93

хг, 124

124

Хэ'е а 5 124

Хг, 98

^ 99

126, 127

Х5, 127

99

Хх, 100

х?, 127

Xя-', 127

хг, 127

х", 105

X,, 104

хх, 110

X 129

х?'\ 129, 150

Хв,д'£ 129

хЧ 150

X 150

и, 4, 62

г/т, 185, 189, 197

£/', 219

U", 218, 220 О, 67 Од, 63 О, 68 Ов, 106 Ов, 106

о*, 106

От, 167 Of, 167

0, 99 Q9, 169 Of, 168, 169

01,Ml 69 Ot,M, 69

Од, 63 Од, 63

Of, 106

tig, 72 tig,i, 72 0X, 100 0f -167 167 102

®g,L,M, 69

Си, 62 C^ „ „ 79

C, 79 63 6s, 106 106 €, 68 6fc, 68 6s, 106 eB>k, 106 et,M, 69 tg,L,M, 69 eg, 150 £B>g, 168

vB,150

15, 74 Vg, 76

75

сüB(a,b), 168 c°(a,b), 146, 180 с9 (a, b), 77, 86, 87, 91, 149 с9 (а, 6), 139, 148 <м, 70 68

св>9, 168 W9, 139, 148 WB>9, 169

(ad A)B, 79 [А, В], 79 78, 79 С, 75 Со, 180 75

Q, 75, 100 V, 100, 180 V9, 101, 132 G9, 101, 139, 148 V9, 135, 138, 148

150, 169 VB>9, 150, 168

Se, 110 5ее, 110 Ag, 110 Af'5, 110

hm, 103 T, 103 Hi, 103 degz, 109, 141 dege¿, 76, 180 degX¿, ЮЗ i, 103

\

Ú!(¿), 109 Prнг, 245 degP, 109 Ph, 109 H, 109 Мл, 109 NU, 146

Cg, 218

Cg, 218

Ki n°

^7Afc,m> НО 114

114

114

,Ä,fe,m) 114

p5^ 114

fe,m ' 114 114

114

^ 114

114

de, 58

4c, 166, 167 166 dc, 182 dg, 169 168 Pe, 217

Pee, 218

Priem, 170

"лет,

170 ácc, 194 173 162 dL, 206

dis, 206

Be, 58 Box, 120 Boxc, 183 Boxcc, 151 Boxfc, 151, 167 Box^, 162 Box£, 175 Box®, 169 Boxf'5, 169 Bœ4M, 173 Boxcc, 196 Вас, 216 в и 214