Внутренняя структура неабелевых черных дыр Эйнштейна-Янга-Миллса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Зотов, Михаил Юрьевич

• Зотов, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зотов, Михаил Юрьевич

Предисловие

Глава 1. Уравнения Эйнштейна-Янга-Миллса для сферически-симметричных полей

1. Обзор литературы и постановка задачи.

2. Полевые уравнения.

Глава 2. Что происходит под горизонтом событий черной дыры ЭЯМ?

1. Методика численного исследования.

2. Частные решения.

3. Общий случай.

4. Приближенное описание осциллирующих решений.

5. Сравнение внутренней структуры черных дыр

ЭЯМ и ЭЯМ-дилатон.

6. Обсуждение.

Глава 3. Структура сингулярности г —

1. Динамическая система и ее особые точки.

2. Предварительный анализ.

3. Осциллирующие решения и решения с асимптотикой типа «анти-Райсснер-Нордстрем».

4. Решения с асимптотикой типа Райсснера-Нордстрема.

5. Решения с асимптотиками Шварцшильда и Бартника-МакКиннона.

6. Основная теорема.

Глава 4. Решения в окрестности других особых точек

1. Регулярный горизонт.

2. Решения в окрестности точки г = 1.

3. Сингулярный горизонт.

4. Поведение решений на бесконечности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внутренняя структура неабелевых черных дыр Эйнштейна-Янга-Миллса»

Актуальность темы. Исследование солитонов и черных дыр в теоретико-полевых моделях, включающих гравитацию, представляет большой интерес в связи с попытками создания объединенной теории фундаментальных взаимодействий. Некоторое время назад было обнаружено, что черные дыры в теории Эйнштейна-Янга-Миллса нарушают сформулированные ранее в теории черных дыр утверждения об отсутствии «волос», тем самым существенно расширяя представления о структуре внешних полей, создаваемых черной дырой. Однако, внутренняя структура черных дыр в неабелевых теориях до недавнего времени оставалась неясной, хотя этот вопрос имеет важное значение как для более полного понимания проблемы сингулярностей в общей теории относительности, так и для дальнейшего продвижения в квантовой гравитации. Исследования, результаты которых излагаются в диссертации, явились первыми в данном направлении и привели к неожиданным результатам, расширяющим ранее существовавшие представления о природе сингулярностей в черных дырах.

Цель диссертационной работы: исследование структуры внутренних решений для статических сферически-симметричных неабелевых черных дыр в теории Эйнштейна-Янга-Миллса (ЭЯМ) с калибровочной группой SU(2).

Научные результаты и новизна работы. В диссертации впервые получены следующие результаты:

1. Показано, что черные дыры ЭЯМ имеют внутреннюю структуру» существенно отличающуюся от всех, известных к настоящему времени. А именно, обнаружено, что в общем случае пространство-время внутри черной дыры ЭЯМ не имеет горизонтов Коши, причем метрика осциллирует с амплитудой, неограниченно возрастающей по мере приближении к сингулярности. В ходе этого процесса массовая функция совершает бесконечную последовательность колебаний с экспоненциально нарастающей амплитудой и быстро убывающим периодом, а плотность энергии поля Янга-Миллса возрастает через бесконечную серию «всплесков», чередующихся с этапами монотонного роста. Получены асимптотические и рекуррентные формулы, описывающие динамику развития данного процесса. Вместе с тем, найдены дискретные семейства частных решений, которые соответствуют черным дырам с внутренней структурой типа Шварц-шильда и Райсснера-Нордстрема, а также (вещественные) сингулярные решения, имеющие в нуле поведение типа Райсснера-Нордстрема с мнимым (магнитным) зарядом и условно названные « анти-Райсснер- Норд стрем ».

2. На основе методов теории динамических систем построена классификация всех действительнозначных локальных решений системы уравнений ЭЯМ, определенных в окрестности сингулярности г = 0. В частности, показано, что существует окрестность нуля, в которой метрическая функция и — г2/дгг является строго знакоопределенной. При этом, если функция, параметризующая калибровочное поле Янга-Миллса, имеет в нуле предельное значение, равное ±1, то все решения описываются асимптотиками Шварцшильда и Бартника-МакКиннона. В остальных случаях поведение решений качественно определяется знаком метрической функции. А именно, если эта функция положительна, то все решения имеют асимптотику типа Райсснера-Нордстрема. Если же метрическая функция отрицательна, то почти все решения таковы, что метрика осциллирует с амплитудой, неограниченно возрастающей по мере приближения к сингулярности, а калибровочная функция монотонна (хотя при этом ее производная также осциллирует с неограниченно возрастающей амплитудой). И лишь исключительные решения в данном случае имеют степенную асимптотику типа «анти-Райсснер-Нордстрем».

3. В рамках того же подхода рассмотрено поведение решений системы уравнений ЭЯМ в окрестности других конечных особых точек, а также на бесконечности. Проделанный анализ позволил найти новые, более простые доказательства существования всех известных ранее локальных решений, а также обнаружить два новых сингулярных решения, обладающих степенными асимптотиками, семейство локальных решений с осциллирующей калибровочной функцией, а также комплекснозначные решения уравнений ЭЯМ. В качестве следствий получено описание предельного поведения решений в случае, когда число нулей калибровочной функции стремится к бесконечности, а также некоторые утверждения о продолжимости решений системы ЭЯМ. А именно, показано, что почти все решения, определенные в некоторой конечной точке, могут быть продолжены влево вплоть до нуля, но при этом лишь исключительные решения допускают продолжение на бесконечность.

4. Произведен анализ влияния, которое оказывает на внутреннюю структуру рассмотренных черных дыр добавление к полям ЭЯМ скалярного поля дилатона, Показано, что дилатон полностью подавляет осцилляции метрики, так что в общем случае внутренних решений ЭЯМ с дилатоном массовая функция при приближении к сингулярности расходится монотонно, степенным образом. При этом в обоих случаях черные дыры общего вида удовлетворяют сильному принципу космической цензуры.

Примененная методика доказательства существования локальных решений в окрестности особых точек системы ЭЯМ может быть использована для получения аналогичных результатов в широком классе систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представляющих физический интерес, например, для системы ЭЯМ с дилатоном, полем Хиггса и других.

На защиту выносятся:

1. Вывод о том, что в общем случае сингулярность внутри неабеле-вых статических сферически-симметричных черных дыр в теории Эйнштейна-Янга-Миллса с калибровочной группой SU{2) является пространственноподобной и имеет колебательный характер, проявляющийся в том, что в окрестности сингулярности метрика пространства-времени совершает бесконечные осцилляции с экспоненциально нарастающей амплитудой, не имея при этом горизонтов Коши.

2. Вывод о существовании дискретных семейств частных решений уравнений ЭЯМ, описывающих черные дыры с внутренней структурой типа Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема, а также (вещественных) сингулярных решений, имеющих в нуле поведение типа Райсснера-Нордстрема с мнимым (магнитным) зарядом.

3. Классификация всех действительнозначных локальных решений уравнений ЭЯМ, определенных в окрестности сингулярности г = 0, и, в частности, доказательства существования осциллирующих решений, а также всех локальных решений со степенными асимптотиками.

4. Доказательства существования двух неизвестных ранее локальных сингулярных решений со степенными асимптотиками, нового семейства решений с осциллирующей калибровочной функцией, а также комплекснозначных решений уравнений ЭЯМ.

5. Вывод о том, что добавление к полям ЭЯМ скалярного поля ди-латона приводит к подавлению осцилляций метрики в окрестности сингулярности. При этом показано, что в обоих случаях черные дыры общего вида удовлетворяют сильному принципу космической цензуры, т.е. сингулярность внутри них является пространственноподобной.

Апробация работы. Результаты представленного исследования были доложены автором на конференции Отделения ядерной физики РАН «Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц» (Москва, 1995) и на Ломоносовских чтениях в МГУ (1999), а также соавтором ряда статей Е. Е. Донцом на 7-й Канадской конференции по общей теории относительности и релятивистской астрофизике (1997) и научным руководителем профессором Д. В. Гальцовым на Международном школе-семинаре «Основания гравитации и космологии» (Одесса, 1995), IX Российской гравитационной конференции «Теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации» (Новгород, 1996), 8-й Конференции памяти М. Гросс-манна по общей теории относительности (Иерусалим, 1997), Международной конференции по внутренней структуре черных дыр и пространственно-временным сингулярностям (Хайфа, 1997), 15-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (Пуна, 1997) и VIII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (1997).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 научных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из предисловия, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, содержит 19 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 133 наименования. Объем диссертации 124 страницы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Зотов, Михаил Юрьевич

Заключение

Таким образом, на основании изложенных результатов можно сделать следующие основные выводы:

1. В общем случае сингулярность внутри статических сферически-симметричных черных дыр в теории ЭЯМ с калибровочной группой SU(2) является пространственноподобной и имеет колебательный характер: по мере приближения к сингулярности метрика пространства-времени совершает бесконечные осцилляции с экспоненциально нарастающей амплитудой, но при этом не имеет горизонтов Коши. Указанные осцилляции не являются хаотическими.

2. Наряду с осциллирующими решениями, в рассматриваемой теории существуют также дискретные семейства решений, которые описывают черные дыры с внутренней структурой, аналогичной вакуумным и электровакуумным черным дырам Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема. Такие конфигурации имеют нулевую меру в пространстве всех решений, описывающих черные дыры ЭЯМ.

3. Все действительнозначные решения рассмотренных уравнений ЭЯМ, определенные в окрестности сингулярности, либо являются осциллирующими, либо имеют степенные асимптотики типа Шварцшильда и Райсснера-Нордстрема, а также типа Райсснера-Нордстрема с мнимым (магнитным) зарядом.

4. Добавление к рассмотренной конфигурации полей скалярного поля дилатона приводит к подавлению осцилляций метрики в окрестности сингулярности. При этом в обоих случаях черные дыры общего вида удовлетворяют сильному принципу космической цензуры.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, профессору Д. В. Гальцову, без которого решение данной задачи было бы невозможно, Е. Е. Донцу за плодотворное сотрудничество на этапе численного анализа, а также коллективу отдела частиц сверхвысоких энергий НИИЯФ МГУ, и особенно профессорам Ю. А. Фомину и Г. В. Куликову, за неизменную поддержку.

Исследование было выполнено при частичном финансировании со стороны Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант 96-02-18899.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зотов, Михаил Юрьевич, 2000 год

1. Р. Раджараман, Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля, Москва, Мир, 1985.

2. М. S. Volkov, D. V. Gal'tsov, "Gravitating non-Abelian solitons and black holes with Yang-Mills fields", Physics Reports 319, 1-83, 1999; hep-th/9810070.

3. R. Bartnik, J. McKinnon, "Particle-like solutions of the Einstein-Yang-Mills equations", Phys. Rev. Lett. 61, 141-144, 1988.

4. A. Lichnerowicz, Theories Relativiste de la Gravitation et de I'Elec-tromagnetisme, Paris, Masson, 1955.

5. S. Deser, "Absence of static solutions in source-free Yang-Mills theory", Phys. Lett B64, 463-464, 1976.

6. H. Pagels, 'Absence of periodic solutions to scale invariant classical field theories", Phys. Lett B68, 466-469, 1977.

7. R. Ruffini, J. A. Wheeler, "Introducing the black hole", Physics Today 24, 30-41, 1971.

8. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, Москва, Мир, 1975.

9. И. Д. Новиков, В. П. Фролов, Физика черных дыр, Москва, Наука, 1986.

10. Р. К. Townsend, "Black holes", gr-qc/9707012.

11. J. E. Chase, "Event horizons in static scalar-vacuum space-time", Commun. Math. Phys. 19, 276-288, 1970.

12. J. B. Hartle, "Long-range neutrino forces exerted by Kerr black holes", Phys. Rev. D3, 2938-2940, 1971.

13. J. D. Bekenstein, "Nonexistence of baryon number for static black holes", Phys. Rev. D5, 1239-1246, 1972.

14. F. A. Bais, R. J. Russel, "Magnetic-monopolesolution of non-Abelian gauge theory in curved spacetime", Phys. Rev. Dll, 2692-2695, 1975.

15. Y. M. Cho, P. G. 0. Freund, "Gravitating't Hooft monopoles", Phys. Rev. D12, 1588-1589, 1975.

16. M. J. Wang, "A solution of coupled Einstein-50(3) gauge theory in curved spacetime", Phys. Rev. D12, 3069-3071, 1975.

17. M. Perry, "Black holes are colored", Phys. Lett. B71, 234-236, 1977.

18. P. B. Yasskin, "Solutions for gravity coupled to massless gauge fields", Phys. Rev. D12, 2212-2217, 1975.

19. D. V. Gal'tsov, A. A. Ershov, "Non-Abelian baldness of colored black holes", Phys. Lett. A138, 160-164, 1989.

20. A. A. Ershov, D. V. GaPtsov, "Nonexistence of regular monopoles and dyons in the SU(2) Einstein-Yang-Mills theory", Phys. Lett. A150, 159-162, 1990.

21. M. С. Волков, Д. В. Гальцов, "Неабелевы черные дыры Эйнштейна-Янга-Миллса", Письма ЖЭТФ 50, 312-315, 1989.

22. Н. P. Kiinzle, А. К. М. Masood-ul-Alam, "Spherically symmetric static SU(2) Einstein-Yang-Mills fields", J. Math. Phys. 31, 928935, 1990.

23. M. С. Волков, Д. В. Гальцов, "Черные дыры в теории Эйнштейна-Янга-Миллса", Ядерная физика 51, 1171-1181, 1990.

24. P. Bizori, "Colored black holes", Phys. Rev. Lett. 64, 2844-2847, 1990.

25. V. A. Berezin, "Quantum black hole model and Hawking's radiation", Phys. Rev. D55, 2139-2151, 1997; gr-qc/9602020.

26. V. A. Berezin, А. М. Boyarsky, A. Yu. Neronov, "Quantum geo-metrodynamics for black holes and wormholes", Phys. Rev. D5T, 1118-1128, 1998; gr-qc/9708060.

27. V. A. Berezin, A. M. Boyarsky, A. Yu. Neronov, "Towards the mass spectrum of quantum black holes and wormholes", gr-qc/9710067.

28. С. Хоукинг, Дж. Ф. P. Эллис, Крупномасштабная структура пространства-времени, Москва, Мир, 1978.

29. С. Чандрасекар, Математическая теория черных дыр, Москва, Мир, 1986.

30. A. D. Rendall, "Local and global existence theorems for the Einstein equations", Living Reviews in Relativity 1, No. 4, 1998.http: //www.livingreviews.org/Articles/Volumel/1998-4rendall

31. N. Straumann, Z. H. Zhou, "Instability of the Bartnik-McKinnon solution of the Einstein-Yang-Mills equations", Phys. Lett. B237, 353-356, 1990.

32. N. Straumann, Z. H. Zhou, "Instability of a colored black hole solution", Phys. Lett. B243, 33-35, 1990.

33. Z. H. Zhou, "Instability of 5(7(2) Einstein-Yang-Mills solitons and non-abelian black holes", Helv. Phys. Acta 65, 767-819, 1992.

34. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, S.-T. Yau, J. B. McLeod, "Smooth static solutions of the Einstein/Yang-Mills equations", Commun. Math. Phys. 143, 115-147, 1991.

35. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Existence of particle-like solutions of the Einstein-'Yang/Mills equations", J. Diff. Eq. 96, 279-282, 1992.

36. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Existence of infinitely-many smooth, static, global solutions of the Einstein/Yang-Mills equations", Commun. Math. Phys. 151, 303-325, 1993.

37. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, S.-T. Yau, "Existence of black hole solutions for the Einstein/Yang-Mills equations", Commun. Math. Phys. 154, 377-401, 1993.

38. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "An investigation of the limiting behavior of particle-like solutions to the Einstein-Yang/Mills equations, and a new black hole solution", Commun. Math. Phys. 161, 365-389, 1994.

39. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Limiting behavior of solutions to the Einstein-'Yang/Mills equations", gr-qc/9405003.

40. P. Breitenlohner, D. Maison, "On the limiting solution of the Bartnik-McKinnon family", Commun. Math. Phys. 171, 685-689, 1995; gr-qc/9405014.

41. P. Breitenlohner, P. Forgacs, D. Maison, "Static spherically symmetric solutions of the Einstein-Yang-Mills equations", Commun. Math. Phys. 163, 141-172, 1994.

42. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Uniqueness of extreme Reissner-Nordstrom solution in SU(2) Einstein-Yang-Mills theory for spherically symmetric spacetime", Phys. Rev. D52, 5812-5815, 1995.

43. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Uniqueness of zero surface gravity SU(2) Einstein-Yang/Mills black holes", J. Math. Phys. 37, 1461-1484, 1996.

44. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Limiting masses of solutions of the Einstein-Yang/Mills equations", Physica D 93, 123-136, 1996.

45. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Regular solutions of the Einstein-Yang-Mills equations", J. Math. Phys. 36, 4301-4323, 1995.

46. E. M. Лифшиц, И. M. Халатников, "Проблемы релятивистской космологии", УФН 80, 391-439, 1963.

47. В. А. Белинский, И. М. Халатников, "К вопросу о характере особенностей в общих решениях уравнений гравитации", ЖЭТФ 56, 1700-1712, 1969.

48. В. А. Белинский, Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников, "Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии", УФН 102, 463-500, 1970.

49. В. А. Белинский, Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников, "Колебательный режим приближения к особой точке в однородных космологических моделях с вращением осей", ЖЭТФ 60,1969-1979, 1971.

50. В. А. Белинский, И. М. Халатников, "О влиянии скалярного и векторного полей на характер космологической сингулярности", ЖЭТФ 63, 1121-1134, 1972.

51. V. A. Belinskii, I. М. Khalatnikov, Е.М. Lifshitz, "A general solution of the Einstein equations with a time singularity", Adv. Phys. 13, 639-667, 1982.

52. P. Пенроуз, "Сингулярности и асимметрия во времени", в кн.: Общая теория относительности, под ред. С. Хокинга и В. Из-раэля, Москва, Мир, 1983.

53. Е. Poisson, W. Israel, "Internal structure of black holes", Phys. Rev. D41, 1796-1809, 1990.

54. W. G. Anderson, P. R. Brady, W. Israel, S. M. Morsink, "Quantum effects in black hole interiors", Phys. Rev. Lett. 70, 1041-1044, 1993; gr-qc/9210013.

55. A. Bonanno, S. Droz, W. Israel, S. M. Morsink, "Structure of the spherical black hole interior", gr-qc/9411050.

56. P. R. Brady, J. D. Smith, "Black hole singularities: a numerical approach", Phys. Rev. Lett. 75, 1256-1259, 1995; gr-qc/9506067.

57. S. Droz, "Numerical investigation of black hole interiors", Helv. Phys. Acta 69, 257-260, 1996; gr-qc/9608034.

58. S. O. Alexeyev, M. V. Pomazanov, "Black hole solutions with dila-tonic hair in higher curvature gravity", Phys. Rev. D55, 2110-2118, 1997; hep-th/9605106.

59. S. О. Alexeyev, "Internal structure of a Gauss-Bonnet black hole", Grav. & Cosmol 3, 161-164, 1997; gr-qc/9704031.

60. A. D. Rendall, "The structure of singularities in inhomogeneous cos-mological models", gr-qc/9804036.

61. В. K. Berger, "Numerical approaches to spacetime singularities", Living Reviews in Relativity 1, No. 7, 1998. http://www.livingreviews.org/Articles/Volumel/1998-7berger

62. T. P. Singh, "Gravitational collapse, black holes, and naked singularities", gr-qc/9805066.

63. S. Chandrasekhar, J. B. Hartle, "On crossing the Cauchy horizon of a Reissner-Nordstrom black hole", Proc. R. Soc. London, Sect. A 384, 301-315, 1982.

64. E. E. Donets, D. V. Gal'tsov, M.'Yu. Zotov, "Internal structure of Einstein-Yang-Mills black holes", Phys. Rev. D56, 3459-3465,1997. Основные результаты: gr-qc/9612067.

65. M. Zotov, "Einstein-Yang-Mills black hole interiors: serious problems but simple solution", gr-qc/9704080.

66. Д. В. Гальцов, E. E. Донец, M. Ю. Зотов, "О сингулярностях в неабелевых черных дырах", Письма ЖЭТФ 65, 855-860, 1997; JETP Lett. 65, 895-901, 1997.; gr-qc/9706063.

67. М. Yu. Zotov, "Dynamical system analysis for the Einstein-Yang-Mills equations", gr-qc/9906024 (принято к опубликованию в J. Math. Phys.).

68. Д. В. Гальцов, М. Ю. Зотов, "Внутренние решения уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса для неабелевых черных дыр", Тезисы докладов на Международном школе-семинаре «Основания гравитации и космологии», Одесса, ОГУ, 1995, с. 19.

69. Д. В. Гальцов, М. Ю. Зотов, "Внутренняя структура неабелевых черных дыр", доклад на конференции Отделения ядернойфизики РАН «Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц», Москва, ИТЭФ, 1995.

70. D. V. Gal'tsov, М. Yu. Zotov, "New asymptotics for the Einstein-Yang-Mills equations", Тезисы докладов на IX Российской гравитационной конференции «Теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации», Новгород,1996, с. 15.

71. D. V. Gal'tsov, Е. Е. Donets, М. Yu. Zotov, "Singularities inside hairy black holes", in: Proc. of the Eighth Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, (Jerusalem, 1997), World Scientific, Singapore, 1998, p. 539-541; gr-qc/9712003.

72. Д. В. Гальцов, Е. Е. Донец, М. Ю. Зотов, ''Внутренняя структура и сингулярности неабелевых черных дыр", доклад на VIII Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, секция «Эффекты квантовой гравитации», 1997.

73. М. Ю. Зотов, "Некоторые экзотические объекты в теоретической физике высоких энергий", доклад на Ломоносовских чтениях в МГУ, 1999.

74. И. П. Волобуев, Физика и геометрия симметричных калибровочных полей, диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Москва, НИИЯФ МГУ, 1995.

75. G. Rudolf, Т. Ток, I. Volobuev, "Exact solutions of Reissner-Nordstrom type in Einstein-Yang-Mills systems with arbitrary gauge groups and spacetime dimensions", Int. J. Mod. Phys. All, 4999-5014, 1996; gr-qc/9602006.

76. В. K. Darian, H. P. Ktinzle, "Cosmological Einstein-Yang-Mills equations", J. Math. Phys. 38, 4696-4713, 1997; gr-qc/9610026.

77. B. Kleihaus, J. Kunz, A. Sood, "Charged SU(N) Einstein-Yang-Mills black holes", Phys. Lett. B418, 284-293, 1998.

78. J. D. Barrow, J. Levin, "Chaos in the Einstein-Yang-Mills equations", gr-qc/9706065.

79. H. Kim, "Classical and quantum wormholes in Einstein-Yang-Mills theory", Nucl. Phys. B527, 342-359, 1998; hep-th/9706085.

80. G. Rudolf, Т. Ток, I. Volobuev, "Exact solutions in Einstein-Yang-Mills-Dirac systems", J. Math. Phys. 40, 5890-5904, 1999; gr-qc/9707060.

81. V. Brindejonc, "Einstein-Yang-Mills black hole solutions in three dimensions", Class. Quant. Grav. 15, 3599-3608, 1998.

82. B. Kleihaus, J. Kunz, A. Sood, M. Wirschins, "Black holes with Yang-Mills hair", gr-qc/9807035.

83. Е. Е. Donets, М. N. Tentyukov, М. М. Tsulaia, "Towards N = 2 SUSY homogeneous quantum cosmology: Einstein-Yang-Mills systems", Phys. Rev. D59, 023515, 1999; gr-qc/9807057.

84. E. E. Donets, M. N. Tentyukov, M. M. Tsulaia, "Evolution of nonlinear perturbations inside Einstein-Yang-Mi lis black holes", Phys. Rev. D59, 064008, 1999; gr-qc/9808025.

85. JT. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теория поля, 7-е издание, Москва, Наука, 1988.

86. А. А. Соколов, И. М. Тернов, В. Ч. Жуковский, А. В. Борисов, Калибровочные поля, Москва, Издательство МГУ, 1986.

87. И. П. Волобуев, Ю. А. Кубышин, Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля, Москва, Эдито-риал УРСС, 1999.

88. В. А. Рубаков, Классические калибровочные поля, Москва, Эди-ториал УРСС, 1999.

89. Н. Boutaleb-Joutei, A. Chakrabarti, A. Comtet, "Gauge field configurations in curved spacetime. I", Phys. Rev. D20, 1884-1897, 1979.

90. P. Breitenlohner, G. Lavrelashvili, D. Maison, "Mass inflation and chaotic behavior inside hairy black holes", Nucl. Phys. B524, 427-443, 1998; gr-qc/9703047.

91. M. Ю. Зотов, "Неабелевы черные дыры: внутренние решения", дипломная работа, физ. фак. МГУ, 1995.

92. P. Bizon, "Saddle point solutions in Yang-Mills-dilaton theory", Phys. Rev. D47, 1656-1663, 1993; hep-th/9209106.

93. P. Bizon, "Saddle points of stringy action", Acta Phys. Polon. B24, 1209-1220, 1993; gr-qc/9304040.

94. E. E. Donets, D. V. Gal'tsov, "Stringy sphalerons and non-Abelian black holes", Phys. Lett. B302, 411-418, 1993.

95. P. Bizon, "Gravitating solitons and hairy black holes", Acta Phys. Polon. B25, 877-898, 1994; gr-qc/9402016.

96. С. М. O'Neill, "Einstein-Yang-Mills theory with a massive dilaton and axion: string-inspired regular and black hole solutions", Phys. Rev. D50, 865-887, 1994.

97. O. Sarbach, N. Straumann, M. S. Volkov, "Internal structure of Einstein-Yang-Mills-dilaton black holes", gr-qc/9709081.

98. D. V. Gal'tsov, E. E. Donets, "Power-law mass inflation in Einstein-Yang-Mills-Higgs black holes", gr-qc/9706067.

99. C. W. Misner, "Mixmaster Universe", Phys. Rev. Lett. 22, 10711074, 1969.

100. О. И. Богоявленский, Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике, Москва, Наука, 1980.

101. В. К. Berger, D. Garfinkle, J. Isenberg, V. Moncrief, M. Weaver, "The singularity in generic gravitational collapse is spacelike, local, and oscillatory", Mod. Phys. Lett A13, 1565-1574, 1998; gr-qc/9805063.

102. N. J. Cornish, J. J. Levin, "The mixmaster universe is chaotic", Phys. Rev. Lett. 78, 998-1001, 1997; gr-qc/9605029.

103. N. J. Cornish, J. J. Levin, "The mixmaster universe: a chaotic Farey tale", Phys. Rev. D55, 7489-7510, 1997; gr-qc/9612066.

104. D. N. Page, "Black-hole thermodymamics, mass-inflation, and evaporation", in: Proceedings of NATO Advanced Summer Institute on Black Hole Physics, V. De Sabbata, Z. Zhang (eds.), p. 185-224, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1992.

105. A. Ori, "Structure of the singularity inside a realistic black hole", Phys. Rev. Lett. 68, 2117-2120, 1992.

106. W. A. Anderson, P. R. Brady, R. Camporesi, "Vacuum polarisation and the black hole singularity", Class. Quant. Grav. 10, 497-504, 1993; gr-qc/9211016.

107. R. Penrose, "Gravitational collapse: the role of general relativity", Riv. Nuovo Cirri. 1, (Numero Speciale) 252-276, 1969.

108. E. Poisson, "Black-hole interiors and strong cosmic censorship", gr-qc/9709022.

109. R. M. Wald, "Gravitational collapse and cosmic censorship", e-pre-print gr-qc/9710068

110. P. R. Brady, I. G. Moss, R. C. Myers, "Cosmic censorship: as strong as ever", Phys. Rev. Lett. 80, 3432-3435, 1998; gr-qc/9801032.

111. И. Т. Кнгурадзе, Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений, Москва, Наука, 1990.

112. В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений) Москва-Ленинград, 2-е издание, 1949.

113. С. Лефшец, Геометрическая теория дифференциальных уравнений, Москва, ИЛ, 1961.

114. Д. Эрроусмит, К. Плейс, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями, Москва, Мир, 1986.

115. А. Б. Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Москва, Факториал, 1999.

116. J. Wainwright, J. F. R. Ellis (eds.), Dynamical systems in cosmology, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

117. H. P. de Oliveira, R. O. Ramos, "Dynamical system analysis for inflation with dissipation", Phys. Rev. D57, 834-856, 1998.

118. S. Byla.nd, D. Scialom, "Evolution of the Bianchi I, the Bianchi III, and the Kantowski-Sachs Universe: isotropisation and inflation", Phys. Rev. D57, 6065-6074, 1998; gr-qc/9802043.

119. P. Hajfcek, "Black hole interacting with matter as a simple dynamical system", J. Math. Phys. 40, 318-339, 1999.

120. A. A. Saharian, "Qualitative evolution in higher-loop string cosmology", gr-qc/9812082.

121. U. S. Nilsson, C. Uggla, J. Wainwright, "A dynamical systems approach to geodesies in Bianchi cosmologies", gr-qc/9908062.

122. A. P. Billyard, The asymptotic behaviour of cosmological models containing matter and scalar fields, PhD thesis, Dalhousie University, 1999; gr-qc/9908067.

123. A. A. Coley, "Dynamical systems in cosmology", gr-qc/9910074.

124. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Москва, Мир, 1970.

125. Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович, Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, 2-е издание, Москва, Наука, 1990.

126. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Investigation of the interior of colored black holes and the extendability of solutions of the Einstein-Yang/Mills equations defined in the far field", Commun. Math. Phys. 194, 707-732, 1998; gr-qc/9706039.

127. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, "Reissner-Nordstrom-like solutions of the SU(2) Einstein-Yang/Mills equations", J. Math. Phys. 38, 6522-6559, 1997; gr-qc/9703062.

128. S. W. Hawking, "Particle creation by black holes", Commun. Math. Phys. 43, 199-220, 1975.

129. С. M. Никольский, Курс математического анализа, 4-е издание, Москва, Наука, 1991.