Численное исследование процесса формирования сингулярностей в связанной системе уравнений Янга-Миллса с дилатоном тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Стрельцова, Оксана Ивановна

• Стрельцова, Оксана Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Стрельцова, Оксана Ивановна

Введение

Глава 1 Стационарные решения системы ЯМд

1.1 Стационарные решения.

1.2 Анализ устойчивости стационарных решений.

1.3 Задача Штурма-Лиувилля для неустойчивых мод стационарных решений

1.4 Результаты расчетов.

Глава 2 Исследование автомодельных решений системы уравне

• ний ЯМд

2.1 Автомодельные решения системы уравнений ЯМд.

2.2 Анализ устойчивости автомодельных решений.

Глава 3 Исследование процесса формирования сингулярностей в связанной системе уравнений ЯМд

3.1 Начально-краевая задача для системы уравнений ЯМд.

3.2 Вычислительная схема.

3.3 Результаты и анализ расчетов.

Глава 4 Задача распада возмущенных стационарных решений системы уравнений ЯМд

4.1 Постановка задачи распада стационарных решений.

4.2 Параллельная реализация вычислительной схемы.

• 4.2.1 Параллельные алгоритмы решения трехдиагональных систем.

4.2.2 MPI реализация метода разбиения системы.

4.3 Эффективность параллельных вычислений.

4.4 Результаты и анализ расчетов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование процесса формирования сингулярностей в связанной системе уравнений Янга-Миллса с дилатоном»

Диссертация посвящена исследованию динамики формирования сингуляр-ностей, возникающих в решениях связанных систем нелинейных эволюционных уравнений второго порядка, принадлежащих к классу надкритических систем. Именно в надкритических системах (этот термин будет разъяснен ниже) возможно образование сингулярностей в решениях эволюционной задачи Коши при гладких начальных условиях с конечной энергией. В качестве представителя такого класса надкритических систем для исследования была выбрана система взаимодействующих безмассовых сферически-симметричных полей Янга-Миллса калибровочной группы SU(2) и дилатон-ного поля в пространстве-времени Минковского размерности 3 + 1. Такая система описывается двумя связанными нелинейными уравнениями в частных производных гиперболического типа (нелинейными волновыми уравнениями в физической терминологии) для двух неизвестных функций. Этот выбор обусловлен с одной стороны тем, что данная система, как выяснилось в процессе работы, обладает всем разнообразием свойств, присущих классу надкритических систем и с этой точки зрения является самым общим представителем класса. С другой стороны, эта система представляет большой интерес для физики, так как она возникает в ряде теоретико-полевых моделей, инспирированных теорией суперструн. Таким образом, исследование процессов формирования сингулярностей в такой модели позволяет изучать существенно непертурбативные (не описываемые теорией малых возмущений)аспекты динамики полей при высоких энергиях, а также определяет границы применимости модели.

Возможность формирования сингулярности - процесса, при котором решения (или его производные) неограниченно возрастают за конечное время в некоторой области пространства при ограниченных и гладких начальных данных, является одной из характерных особенностей, отличающей нелинейные эволюционные уравнения от линейных [1].

Изучение этого феномена является предметом интенсивного исследования во многих областях математической физики от гидродинамики и нелинейной оптики до теории гравитации. Произойдет ли формирование сингулярности или нет для нелинейных эволюционных уравнений общего вида - это сложный математический вопрос, ответ на который не известен, например, для уравнения Навье-Стокса и уравнений Эйнштейна общего вида. После того, как для некоторого данного эволюционного уравнения (или системы связанных уравнений) установлена возможность формирования сингулярности, представляет большой интерес ответы на следующие вопросы [2]:

• в какой области пространства и за какое время произойдет формирование сингулярности;

• каковы условия возникновения сингулярности, например, при каких начальных данных это возможно; в несколько иной постановке эта проблема может быть сформулирована так: найти множество пороговых конфигураций, лежащих в функциональном пространстве решений на границе, разделяющей решения с последующим образованием сингулярности и решения, остающиеся регулярными;

• чем характеризуется процесс образования сингулярности, насколько он универсален;

• как промоделировать его численно.

Для проведения такого исследования, отвечающего на вышеперечисленные вопросы, в диссертации разработаны эффективные методы и вычислительные алгоритмы для решения:

- краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих особые точки как внутри, так и на границах исследуемого интервала по пространственной переменной (задачи на нахождение стационарных и автомодельных решений);

- задач Коши для нелинейных уравнений и систем уравнений (возникающих при проведении анализа устойчивости стационарных и автомодельных решений);

- матричных задач Штурма-Лиувилля (задача на нахождение собственных неустойчивых мод стационарных решений);

- начально-краевых задач для систем нелинейных волновых уравнений, возникающих при исследовании процесса формирования сингулярности.

Наиболее наглядным примером возникновения сингулярности в нелинейных задачах являются решения, которые становятся неограниченными при стремлении временной независимой переменной к конечному значению Т > О Такие решения называются неограниченными (blow-up) или режимы с обострением (физический термин) [1].

Проблема режимов с обострением была поставлена в 1940-1950-ых годах при изучении цепных реакций Семенова, задачи адиабатического взрыва и в связи с теорией горения [1], [3]. Первый анализ эффектов пространственной локализации граничных режимов с обострением был проведен А. А. Самарским и И. М. Соболем [3], [4] в 1963 г. при изучении квазилинейного уравнения теплопроводности.

В простейшей форме появление сингулярности возможно в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера рассмотрим задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения [2]: щ = и2, t> 0, u(0) = a. (v.l)

Для начальных данных а > 0 следует, что существует единственное решение задачи (v.l) во временном интервале 0 < t < Т: u(t) = jl—, 0 < t < Т = i. (v.2) / CL a

Из (v.2) видно, что u{t) является ограниченной функцией при t < Т, и u(t) —> oo при t —► T~ (предел слева). В этом случае говорится, что решение разрушается при t = Т.

В случае нелинейных уравнений в частных производных возрастают математические сложности при изучении решений и увеличивается разнообразие и типы разрушающихся решений. Например, решение может становиться неограниченным как в одной точке, так и в некоторой пространственной области, в том числе и неограниченной [1].

При рассмотрении разрушающихся решений можно выделить два основ

• ных типа [5]:

1. Сильное, или грубое, разрушение; в этом случае решение обращается в бесконечность за конечное время.

2. Слабое, или мягкое, разрушение; в этом случае само решение остается ограниченным, но производная решения обращается в бесконечность за конечное время, т.е. возникает так называемая градиентная катастрофа. При этом существуют градиентные катастрофы высшего порядка. Забегая вперед сразу отметим, что в диссертации исследован случай градиентной катастрофы второго порядка, т.е. образование сингулярно

4 сти в малой окрестности начала сферической системы координат обусловлено неограниченным ростом второй производной у исследуемых функций при ограниченном росте самих функций и их первых производных.

В последние годы проблеме отсутствия глобального решения или, другими словами, "необходимым условиям существования решений "уделяется особое внимание. При исследовании возможности существования решений, приводящих к формированию сингулярности, как правило, изучают решения в пространстве произвольной размерности или рассматривают наиболее общий класс нелинейностей [6], [7], [8]. Как пример такого типа исследований приведем классический результат X. Фуджиты [7]. X. Фуджита рассмотрел задачу: щ = Аи + ир, р> 1, xeRN, t > 0',u(x,0) = щ(х) > 0, (v.3) где через А обозначен оператор Лапласа размерности N, и введен критический показатель pc(N) = 1 + 2/N, определяющий существование положительных глобальных решений, т.е. решений определенных для всех t > 0. Им было показано, что:

• Если 1 < р < pc(N), то задача (v.3) имеет только тривиальное неотрицательное глобальное решение и = 0.

• Если р > pc(N), то задача (v.3) имеет неотрицательные глобальные решения при условии, что начальные данные щ(х) достаточно малы (в соответствующей норме).

Критический показатель Фуджита зависит от размерности пространства N, а естественным обобщением рассмотренного обыкновенного дифференциального уравнения (v.l) является уравнение щ = f(u), для которого необходимое и достаточное условие формирования сингулярности за конечное время при любых положительных начальных данных было получено в работе [9].

Особенностям решений, приводящим к формированию сингулярности для различных типов дифференциальных уравнений посвящены обзоры [2], [8].

Несмотря на то, что история задачи Коши для нелинейного волнового уравнения типа utt = Au + f(u), /(«)> 0, (v.4) более длинная [10], чем для соответствующего параболического уравнения (обширная литература посвящена исследованию разрушающихся решений для параболических уравнений, например [1], [2], [11] и ссылки там), решения гиперболических уравнений, приводящие к формированию сингулярности, изучены в меньшей степени, чем соответствующих решений параболических уравнений [2].

Нелинейные гиперболические уравнения с различными типами нелиней-ностей продолжают интенсивно исследоваться в настоящее время (см. например [12]-[16]). Отметим, что существует несколько подходов к доказательству теорем об отсутствии глобальных решений для нелинейных уравнений в частных производных. Один из наиболее распространенных подходов базируется на принципе сравнения, позволяющем на основе построения нижних разрушающихся решений доказать разрушение рассматриваемого решения за конечное время. Альтернативный метод доказательства теоремы об отсутствии глобальных решений для нелинейных уравнений в частных производных, основанный на априорных оценках для решений рассматриваемой нелинейной задачи (получение этой оценки базируется на методе пробных функций), был предложен в работах [5], [11].

Исследуемая в диссертации система взаимодействующих полей Янга-Милл-са с дилатоном является системой нелинейных волновых уравнений, для которой выполняется закон сохранения энергии. Возможность существования разрушающихся решений данной системы нелинейных уравнений базируется на результатах работы [17]. В этой работе был предложен эвристический мета-принцип, который основывается на свойствах масштабного преобразования функционала энергии при одновременном масштабировании пространственных координат и времени. Этот принцип заключается в следующем. Если исследуемая система допускает масштабно-инвариантные решения u(t, г) относительно преобразований и при этом функционал энергии рассматриваемой системы преобразуется по t t/\,r г/А, где Л = const, 0 < Л < 1: v.5) следующему закону: А aE[u(t,r)}, (v.6) то показатель а параметра преобразований Л определяет критический индекс системы дифференциальных уравнений в частных производных. Критический индекс указывает на возможность формирования сингулярности в системе эволюционных дифференциальных уравнений при решении задачи Коши (или начально-краевой задачи):

• если а < 0, то система уравнений называется подкритической и изначально гладкие регулярные решения остаются всегда гладкими в процессе эволюции;

• если а > 0, то система называется надкритической, в этом случае возможно существование решений, приводящих к формированию сингулярности за конечное время на малых пространственных масштабах; при достаточно малых начальных данных, задача Коши глобально разрешима по времени;

• при а = 0, то система называется критической и о возможности формирования сингулярности нет определенных указаний.

Таким образом, критический индекс определяется трансформационными свойствами функционала энергии при масштабировании пространственных координат и времени и является индикатором возможности образования сингулярностей при эволюции ограниченных и гладких начальных распределений с конечной энергией.

Исследования математических аспектов образования сингулярностей в надкритических системах нелинейных эволюционных уравнений приобрели особую актуальность с начала 90-х годов XX века в связи с задачей коллапса (образования черных дыр) безмассовых полей в эйнштейновской теории гравитации. Е

Процессы формирования сингулярности активно изучаются в теории гравитации, поскольку пространственно-временные сингулярности являются наиболее характерными особенностями уравнений Эйнштейна [18]. Одной из интересных, до сих пор полностью не исследованных задач теории гравитации является задача гравитационного коллапса полей материи, при котором могут возникать черные дыры - так называются области пространства-времени, в которых гравитационное поле настолько сильно, что не позволяет даже свету покинуть эти области, а границы таких областей пространства

• времени, называют горизонтами событий [19]. Внутри черной дыры формируется пространственно-временная сингулярность, что выражается в том, что некоторые компоненты тензора кривизны Римана, вычисленного по метрике данного коллапсирующего пространственного-временного многообразия, становятся расходящимися функциями в окрестности некоторой точки или области. Тип образующейся сингулярности модельно зависим и гравитационный коллапс различных полей материи приводит к различными сценариям формирования сингулярности. Отметим также, что при гравитационном коллапсе процесс формирования сингулярности скрыт от гипотетического внешнего удаленного наблюдателя под горизонтом событий.

• Одной из наиболее изучаемых проблем в данной области исследований в последние 15 лет стала задача коллапса безмассовых полей материи, т.е. полей, не имеющих массы покоя (самый общеизвестный пример такого поля - это электромагнитная волна). Исследование этой проблемы было инициировано пионерской работой М. Чоптюка [20], в которой численно изучалась самосогласованная задача гравитационного коллапса безмассового скалярного поля, т.е. численно решалась полная сферически симметричная система уравнений Эйнштейна и уравнений для скалярного поля. Скалярные поля в природе пока не обнаружены экспериментально, но они являются неотъемлемой частью практически всех основополагающих физических теорий и очень

• удобны для изучения в модельных задачах. В работе [20] было, в частности, установлено, что в такой задаче возможно образование ничтожно малых черных дыр с произвольно малой массой при коллапсе сферически симметричной тонкой оболочки из безмассового скалярного поля (полученный тип решений был назван Тип-Н). Это был совершенно неожиданный результат, поскольку еще с 40-х годов XX века было известно, что в случае гравитационного коллапса остывших массивных звезд (которые состоят из массивных полей материи - частиц, имеющих ненулевую массу покоя, таких как протоны, нейтроны и т.д.) возможно возникновение черных дыр с массами, строго большими, чем чандрасекаровский предел (около 1.2 масс Солнца) [19], [21]. Все вышесказанное относительно коллапса безмассовых полей относится к случаю, когда безмассовое скалярное поле является свободным, т.е. без потенциала самодействия.

Если рассмотреть случай самодействующих безмассовых полей, то картина гравитационного коллапса еще более усложняется. Дальнейший прогресс в этой области был связан с изучением гравитационного коллапса поля Янга-Миллса [22], [23]. Поле Янга-Миллса является одним из самых физически интересных безмассовых самодействующих полей. Это векторное поле, вектор-потенциал которого имеет два типа индексов - пространственно-временной и внутренний, групповой индекс, определяющий калибровочную группу. Поле Янга-Миллса впервые было введено в теории электрослабых взаимодействий [24]; в настоящее время это поле - неотъемлемая часть всех реалистических полевых моделей. Согласно общим принципам, калибровочные поля преобразуются по неприводимым представлениям компактных калибровочных групп. В некотором грубом смысле поле Янга-Миллса можно считать обобщением электромагнитного поля на случай более высоких энергий. Но, в отличие от электромагнитного поля, которое обладает калибровочной симметрией относительно абелевой группы [/( 1), поле Янга-Миллса преобразуется по присоединенному представлению неабелевых калибровочных групп, например, группы SU(2) в самом простейшем случае. Генераторы неабеле вых групп, как известно, не коммутируют между собой, и на языке полей это приводит к появлению в лагранжиане и в уравнениях движения членов с самодействием. В результате уравнения, описывающие распространяющиеся волны, оказываются нелинейными волновыми уравнениями в отличие от электромагнитных волн, где калибровочная группа U(l) абелева и никаких нелинейных членов самодействия не возникает.

Исследование задачи коллапса в системе самосогласованных уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса (ЭЯМ) привело к обнаружению нового типа пове дения решений, названного Тип-I. Этот тип коллапсирующих решений характеризуется тем, что в спектре масс образующихся черных дыр опять, как и в случае коллапса массивных звезд, имеется массовая щель. Иными словами, образующиеся таким образом черные дыры не могут иметь массу, меньшую некоторого порогового значения. Выяснилось также, что если для рассматриваемой системы безмассовых полей возможны коллапсирующие решения Типа-I, то и коллапсирующие решения Типа-Н тоже возможны, но при несколько иных начальных данных, обратное же утверждение неверно. Оказалось, что коллапсирующие решения Типа-I имеют место, если данная система уравнений Эйнштейна с полями материи допускает частицеподобные решения, т.е. асимптотически плоские всюду регулярные стационарные решения с конечной энергией. Как правило, такие стационарные решения оказываются неустойчивыми относительно малых возмущений. И вот в этих случаях возможно образование черной дыры по Типу-I с наименьшей возможной (пороговой) массой, равной энергии основного стационарного решения. В случае системы ЭЯМ таким основным неустойчивым стационарным решением оказалось регулярное решение с одним узлом функции Янга-Миллса, впервые полученное Бартником и МакКиноном [25]. Более того, оказалось, что это решение играет роль промежуточного аттрактора, к которому приближаются коллапсирующие решения Типа-I, приводящие к появлению черной дыры

22], [23], [26], [27].

Заметим, что уравнения Эйнштейна без материи не имеют несингулярных, "частицеподобных"решений, так же как и поля Янга-Миллса в плоском пространстве-времени [28], [29]. Причины отсутствия таких решений лежат в масштабной инвариантности уравнений Янга-Миллса в плоском пространстве-времени. При наличии гравитации (уравнения Эйнштейна-Янга-Миллса) такая инвариантность нарушается, физически это обусловлено неустойчивым равновесием между 11 самоотталкивающим "полем Янга-Миллса и притягивающим гравитационным полем. Из приведенных качественных рассуждений следует, что для существования частицеподобных решений необходимо наличие второго поля, приводящего к притягивающей силе и нарушающего масштабную инвариантность полевых уравнений. В качестве такого поля, нарушающего масштабную инвариантность, также можно рассмотреть ди-латонное поле - это поле, возникающие в теории суперструн и описывающее дилатации (растяжения) струны в пространстве-времени размерности 10 или 26. После процедуры компактификации лишних измерений в низкоэнергетическом пределе гетеротической струны дилатон Ф - это скалярное поле, которое взаимодействует с полем Янга-Миллса Faiiv благодаря члену в лагранжиане ехр\$\Failv Faiiv. Отметим, член с дилатоном в экспоненте играет роль переменной константы связи с полем Янга-Миллса. Дилатон также называют "скалярным гравитоном", так как система полей Янга-Миллса с дилатонным полем в плоском пространстве-времени обнаруживает ряд свойств, схожих с самогравитирующей системой ЭЯМ. Именно система уравнений, описывающая взаимодействующее поле Янга-Миллса с дилатонным полем в плоском пространстве-времени и являлась основным объектом исследования в настоящей диссертации.

В работе [30] было получено счетное множество частицеподобных решений системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном (ЯМд). Такие решения были получены и для уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса с дилатоном [31], [32]. Это обстоятельство свидетельствует о доминирующей роли поля Янга

Миллса в указанных системах. Отметим, что частицеиодобные решения, присущие этим моделям, неустойчивы относительно линейных возмущений [30], [33]- [36].

Таким образом, есть множество оснований полагать, что основные свойства решений системы уравнений ЯМд математически эквивалентны свойствам коллапсирующих решений в самогравитирущих системах нелинейных безмассовых полей. Система ЯМд в плоском пространстве-времени чрезвычайно удобна для численных расчетов, так как позволяет просчитать эволюцию решений вплоть до образования сингулярности, тогда как в случае гравитационного коллапса это возможно лишь вплоть до образования горизонта событий черной дыры. Продолжая эту цепочку аналогий схожести задачи гравитационного коллапса и образования сингулярностей в системе ЯМд отметим, что в последние годы было действительно осознано, что многие свойства поведения коллапсирующих решений в случае гравитационного коллапса не есть свойства только уравнений Эйнштейна, а являются общими для целого широкого класса так называемых надкритических систем [17]. Как показали дальнейшие исследования, роль гравитационного поля в таких системах не является определяющей; качественно похожие закономерности были обнаружены при численном моделировании процесса формирования сингулярности в решениях уравнения Янга-Миллса в плоском пространстве-времени Минковского размерности 5 + 1 [37], [38] и многих других.

Базируясь на этом наблюдении, было выдвинуто предположение [39], что все основные свойства гравитационного коллапса безмассовых полей, такие как критическое поведение решений, универсальность, самоподобие, (подробнее об этом ниже) изначально открытые на уравнениях Эйнштейна, являются основными свойствами для широкого класса надкритических уравнений в частных производных [17],[37]. Этот класс включает в себя уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса в пространстве Минковского размерности 5 + 1, нелинейные и- модели [38], [40] и многие другие. Как будет показано ниже, система взаимодействующих полей Янга-Миллса с дилатоном является надкритической и, более того, наиболее общим представителем класса надкритических систем.

Приведем некоторые важные результаты, полученные при исследовании коллапса безмассовых полей материи в самосогласованной системе уравнений Эйнштейна с полями материи [20]-[45]:

• универсальность: при однопараметрическом задании начального распределения поля, зависящего от параметра р, существует критическое значение этого параметра р*, разделяющее два типа решений. Первое, при р < р*, такое что, волна поля сжимается к г = 0 и далее рассеивается по направлению к г = оо, и эволюция поля описывается волновым (линейным) уравнением. Второй тип решения, при р > р*, характеризуется тем, что конечным этапом эволюции является формирование черной дыры: при некотором значении гвн неограниченно возрастает метрическая функция за конечное время Т.

• критическое поведение решений. При исследовании эволюции начального распределения поля с параметром р, принадлежащем окрестности р*, было обнаружено, что все решения до того как рассеяться или сформировать черную дыру, проходят через определенный этап своей эволюции, в течение которого они приближаются к некоторому промежуточному аттрактору. Такой универсальный промежуточный аттрактор называют критическим решением. В зависимости от рассматриваемых моделей, были обнаружены следующие свойства критических решений:

- непрерывная самоподобность решений: критическое решение является автомодельным решением, т.е. все безразмерные полевые характеристики Ф(£,г) зависят не от переменных г и t по отдельности, а от комбинации r/l(t) = £ - автомодельной переменной, Ф(£,г) = Ф(£), и остаются подобными самим себя в течении некоторого промежутка времени;

- дискретная самоподобность решений: решения с начальным распределением поля, принадлежащим окрестности р* эволюционируют к критическому решению, проявляющему на малых пространственно-временных масштабах свойство, при котором все безразмерные полевые характеристики Ф(£,г) повторяют сами себя через определенный промежуток времени А на все меньших пространственных масштабах. Например для модели, рассмотренной в [20] г) = Ф(е~пА£, е-пЛг), где п -целое число и А = 3.44;

В некоторых моделях критическим решением является стационарное (периодическое) решение, при этом формирование черный дыры соответствует типу-1.

• закон масштабирования массы образующейся черной дыры, соответствующий Типу-Н формирования черной дыры, и заключающийся в том, что для начальных данных, приходящих к формированию черной дыры, с значением начального параметра р > р*, принадлежащего окрестности р*, масса черной дыры определяется соотношением: М ос (р—р*)1, где параметр 7 - критическая экспонента, зависит от рассматриваемой модели, но не зависит от типа начального распределения поля.

Как отмечалось выше, основные свойства гравитационного коллапса, являются общими для широкого класса надкритических систем нелинейных уравнений, включающего полевые модели без гравитации. Интересны такие модели тем, что эволюцию решений можно проследить вплоть до формирования сингулярности. Одним из важнейших вопросов в динамике формирования сингулярности является вопрос об асимптотическом профиле решений, когда t —> Т. В большинстве случаев для ответа на этот вопрос решения исследуются в измененных переменных, масштабирующих эволюционные решения и ищутся предельные кривые, к которым притягиваются решения в области формирования сингулярностей. Типичным для сингулярностей, формирующимся за конечное время Т < со, являются асимптотические профили, описываемые автомодельными решениями исходных уравнений [47].

Во многих случаях автомодельные решения служат своеобразным "центром притяжения" широко го множества решений данного уравнения (или системы), а так же решений большего класса других уравнений, полученных за

• счет "нелинейных возмущений"исходного [1], [46], [47], [48]. Например, в теории диссипативных структур автомодельные решения называют "собственными функциями"нелинейной диссипативной среды, так как они определяют универсальные характеристики тех процессов, которые могут в ней устойчиво развиваться [1], [2], [3], [49], [50]. Конкретный вид автомодельных решений определяется из условий инвариантности уравнений относительно некоторых преобразований. В общем случае семейства инвариантных решений находятся путем групповой классификации уравнения (или системы), которая позволяет выделить все классы уравнений рассматриваемого вида, инвариантных относительно специальных групп преобразований.

В приведенных выше примерах формирования сингулярностей в решениях уравнений Янга-Миллса в пространстве Минковского размерности 5 + 1 и нелинейных сг-моделей было установлено [39]-[41], [51], [52], что исследуемые уравнения (или системы) обладают счетным множеством автомодельных решений, содержащих единственное устойчивое решение, которое и является универсальным асимптотическим профилем в процессе формирования сингулярности: все решения, становящиеся сингулярными за конечное время Т, приближаются к этой конфигурации при t —> Т, являющейся устойчивым автомодельным решением нелинейного эволюционного уравнения (или системы уравнений).

При изучении надкритических систем так же изучались пороговые конфигурации: одноузловые стационарное или автомодельные решения, играющие роль барьера в функциональном пространстве решений, разделяющего решения с последующим образованием сингулярности и решения, остающиеся регулярными.

При исследовании динамики нелинейных систем особую роль играют стационарные решения соответствующих нелинейных уравнений. Являясь точками локального экстремума функционала действия, такие стационарные решения также могут претендовать на роль глобальных или промежуточных аттракторов в соответствующей эволюционной задаче Коши.

Таким образом, при исследовании динамики формирования сингулярно-стей особую роль играют автомодельные и стационарные решения соответствующих нелинейных уравнений, как возможные глобальные или промежуточные аттракторы -промежуточные асимптотики решений в некоторых областях, в которых решения не зависят от деталей начальных и/или граничных условий, но в которых система может находится далеко от состояния равновесия [1], [39], [53].

Суммируя вышеизложенное, сформулируем задачи, возникающие при исследовании надкрических систем:

• нахождение стационарных решений (если их существование допускает исследуемая система), проведение анализа их устойчивости;

• нахождение автомодельных решений (если их существование допускает исследуемая система), проведение анализа их устойчивости;

• моделирование процесса формирование сингулярности для широкого класса начальных данных;

• исследование эволюционных решений, становящихся сингулярными за конечное время Т, в асимптотической области при t —> Т и в окрестности сингулярности;

• исследование роли стационарных и автомодельных решений в динамике формирования сингулярностей, как возможных промежуточных аттракторов и пороговых конфигураций, разделяющих решения с последующим образованием сингулярности и решения, остающиеся всюду регулярными (рассеяние).

Исследование процесса формирования сингулярности в решениях нелинейных уравнений связано как с качественным анализом, так и с численным решением возникающих задач. Например, для нахождения автомодельных и стационарных решений исследуемых систем требуется решение краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При анализе устойчивости этих решений, возникают задачи Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. А соответствующие задачи на определение неустойчивых мод требуют решения задачи на собственные функции и собственные значения. Исследование процесса формирования сингулярности в эволюционных решениях связано с необходимостью создания адаптивных алгоритмов для решения начально-краевой задачи для системы нелинейных уравнений в частных производных.

В настоящей работе для численного решения краевых задач на полубесконечном интервале для систем обыкновенных дифференциальных уравнений использовались метод пристрелки по параметру и непрерывный аналог метода Ньютона [54], [55], [56].

Метод пристрелки по параметру заключается в замене краевой задачи на задачу Коши с начальными условиями так, чтобы решения на бесконечности удовлетворяли краевым условиям. Для численного решения задачи Коши системы уравнений второго порядка сводятся к системам уравнений первого порядка, для решения которых в диссертации применялись варианты метода Рунге-Кутты и метода Адамса [57], [58].

Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и задача Штурма-Лиувилля решались на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН).

Метод введения непрерывного параметра, предложенный в работе [54], основан на сведении исходной задачи к эволюционной, при этом соответствующие дифференциальные уравнения были получены как непрерывные аналоги одношаговых итерационных процессов. Непрерывный аналог метода Ньютона разрабатывался в работах [55], [56] и позволил исследовать широкий круг нелинейных задач физики [55],[56], [59] - [69]. Для численной реализации НАМН в диссертации использовалась дискретизация по "времени"на основе метода Эйлера, для которого сходимость на конечном отрезке изменения временного параметра была рассмотрена и обоснована в работах [55], [56]. Пространственная дискретизация может быть осуществлена на основе метода конечных элементов [70], [66] -[68], [49], [69] и на основе метода конечных разностей [71], [72]. В диссертации использовался второй подход [73].

Анализ устойчивости стационарных и автомодельных решений, выполненный в диссертации, основан на методе фазовых функций [74], [75], [77]-[81], позволяющий определять число связанных состояний в поле заданного потенциала, которые в свою очередь определяют число неустойчивых мод стационарного (автомодельного) решения. Выбор этого метода связан с возможностью сведения, в рамках линейной теории возмущений, задачи на нахождение возмущений решений уравнений ЯМд к двухканалыюму уравнению Шредингера для радиальной волновой функции S -волны [30].

Математической основой метода фазовых функций является возможность сведения линейного однородного уравнение второго порядка, каким является уравнение Шредингера, к нелинейному уравнению первого порядка - уравнению Риккати. Физическое содержание такого подхода состоит в том, что удовлетворяющая уравнению Риккати функция (фазовая функция) имеет смысл сдвига (по сравнению со случаем свободного движения) фазы волновой функции при обрезанном в этой точке потенциале [76]. Двух-канальное рассеяние описывается двумя фазовыми функциями и функцией, которую обычно называют "параметром смешивания"[75], [77], [82].

Для исследования эволюционных решений системы уравнений ЯМд ставится начально-краевая задача, для которой строится консервативная разностная схема, сохраняющая энергию системы в процессе эволюции [71], [72]. Разностный аналог закона сохранения был получен на основе метода энергетических неравенств [83].

При численном моделировании процесса формирования сингулярности возникают следующие вопросы: как выбрать пространственную и временную ф сетки, какой выбрать адаптивный алгоритм, позволяющий сгущать сетки в окрестности особенности в зависимости от близости к времени разрушения решения Т [84], [85].

Для численного моделирования процессов формирования сингулярностей используются адаптивные методы сгущения сеток [86], с различными процедурами адаптации сеток [84]. Адаптация сетки может быть основана, например, на свойстве масштабной инвариантности решений [87]. В работах [50],

88] предложен подход к построению процедуры адаптации сеток, согласованный с пространственно-временной структурой автомодельного решения.

В диссертации изучался процесс формирования сингулярности в центре ф симметрии г = 0, характеризующийся тем, что при стремлении временной независимой переменной t к некоторому конечному значению Т > 0 (заранее не известному) неограниченно возрастает вторая производная функции Янга-Миллса и неограниченно убывает дилатонная функция в точке г = 0

89]. Для численного моделирования этого процесса, а именно, построения решений на малых пространственных, в окрестности центра симметрии г = 0, и временных, при t —> Т, масштабах строится адаптивный алгоритм, учитывающий самоподобный характер поведения функции Янга-Миллса.

Для исследования роли стационарных решений в динамике формирования сингулярности, в диссертации рассмотрена задача распада этих решений. # Начальными условиями в этой задаче выбирались возмущенные стационарные решения связанной системы ЯМд, где в качестве возмущений брались собственные возмущения.

Одной из особенностей стационарных решений системы ЯМд (которые могут быть параметризованы через число нулей N функции Янга-Миллса [30]) является быстрое смещение асимптотической области к большим значениям г с увеличение номера iV, что обуславливает разработку адаптивных алгоритмов для проведения эволюционных расчетов. Для расчетов в диссертации использовались квазиравномерные сетки по пространственной переменной, сгущающиеся к центру симметрии г = 0 и вводилось степенное масштабирование по радиальной координате [90]. Для ускорения расчетов появилась необходимость использования параллельных алгоритмов решения трехдиаго-нальных систем, возникающих после дискретизации задачи.

Началом разработки методов решения трехдиагональных систем принято считать работу Томаса [91]. Полное описание метода прогонки и его разновидностей, пригодных также для параллельных методов, можно найти в [92]. Первый параллельный алгоритм был предложен Хокни и Голубом в работе [93]. Параллельным и векторным методам решения линейных систем посвящена книга [94], где дан краткий обзор параллельных методов решения трехдиагональных и ленточных систем. Обширный список работ по алгоритмам параллельного решения трехдиагональных систем с 1965 г. по 1999 г. приведен на сайте http://ta.twi.tudelft.nl/wagm/users/lin/Biblio/trisol.html.

В работе [95] был предложен метод разделения системы уравнений, предназначенный для случая, когда число процессоров намного меньше числа уравнений. В результате строится вспомогательная редуцированная система, причем каждому процессору соответствует одно уравнение этой системы. В работе [96] было установлено диагональное преобладание этой системы, тогда как численная устойчивость алгоритма Ванга была проанализирована в работе [97].

При моделировании задачи распада стационарных решений использовался метод разбиения исходной системы уравнений для дальнейшего распараллеливания, предложенный в [98]; этот метод мы будем ниже называть «Метод разбиения системы». Для распараллеливания мы использовали технологию MPI (Massage Passing Interface), которая позволяет проводить вычисления на кластерах с многопроцессорной архитектурой.

Расчеты проводились на кластере Лаборатории информационных технологий ОИЯИ.

Основные свойства системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном

Связанная система взаимодействующих полей Янга-Миллса с дилатоном (ЯМд) в пространстве-времени Минковского размерности 3+1 описывается функционалом действия [30]

S = TZ I ( ^Ф)2 - ^PPf^F^ d3x dt, (v.7) где Ф - дилатонное поле, Fa^u - тензор поля Янга-Миллса, греческие индексы принимают значения от 0 до 3, латинские индексы - от 1 до 3, к и g дилатонная и калибровочная константы соответственно.

В сферически симметричном случае дилатонное поле и поле ЯМ могут быть описаны двумя функциями Ф(£,г) и f(t,r): к

Ф = Ф(*,г), = А? = saik^ (f(t,r) - l), (v.8) где Л® - потенциалы поля ЯМ, eaik - структурные константы группы 5/7(2). После подстановки соотношений (v.8) в (v.7) и замены Ф —► Ф/к, г —> (k/g)r, t —> (k/g)t и S —► gkS в действии исчезают зависимости от двух параметров к и д. Интегрирование в (v.7) по угловым переменным позволяет представить эффективное действие в следующем виде:

Ъф2 W + еФ ({2 ft2 + 1 У

2 г 2 1 V 2г2 dr dt. (v.9)

Тогда уравнения движения f(1 - f2) ftt + №t ~ frr ~ ЛФг = JK / , (v. 10a) v.lOb) вытекают из (v.9) как необходимое условие экстремума функционала.

Система нелинейных уравнений (v. 10) имеет две особые точки г = 0 и г = со. Нами будут рассматриваться только решения, ограниченные в этих точках.

Требованию регулярности при г = 0 удовлетворяют решения, представи-мые в виде ряда в окрестности этой точки

Ф(г, г)г о = Фо(<) + Ф2 {t)r2 + <9(r4), (v.ll) где Ь(£), Фо(£)> Ф2(t) ограниченные гладкие функции. Инвариантность уравнений (v. 10) относительно замены / —» —/, позволяет выбрать значение /(£, 0) = 1. И так как преобразование: Ф —» Ф + Л, г —> гехр[Л/2], t —> t ехр[Л/2] с А = const не меняет уравнений, то можно положить Фо(0) = 0.

Из разложения (v.ll) для f(t>r) и Ф(£,г) получаем краевые условия в точке г = 0 f(t,r = 0) = 1, /г(*,г = 0) = 0, Фг(£,г = 0) = 0. (v. 12)

Асимптотическое поведение регулярных решений при г —> оо имеет следующий вид:

Ж г)™ = ± (l - ^ + 0(г-2)) , Ф(*,г)гоо = Фоо - ; + 0(r~4), (v. 13) где с, d и Фоо - константы. Из (v. 13) получаем краевые условия на бесконечности:

Mm f{t,r) = ±l, lim fr(t, r) = 0,

Г—► OO )--too lim Ф(£, r) = Фоо, lim Фг(£, r) = 0. (v. 14)

Г—>00 r—too

Отметим важное свойство системы ЯМд. Так как подынтегральная функция (v.9) не содержит явно время t, то энергия оо О является сохраняющейся величиной, т.е. dE/dt = 0.

Для определения критического индекса системы уравнений ЯМд исследуем ее трансформационные свойства относительно масштабных преобразований. Уравнение (v. 10а) инвариантно относительно преобразований r-Д, (V.16) т.е. если функции /(£,г), Ф(£,г) - решения (v.lOa), то решениями также являются функции mrwg,!), $(*,.)=(.и)

Уравнение (v.lOb) не инвариантно относительно преобразования (v. 16), однако, как было показано в нашей работе [89], оно содержит скрытую масштабно-инвариантную часть. Действительно, после представления дилатонной функции Ф(£, г) в следующем виде:

Ф(£,г) = </>(£,г) + 21пг, (v.18) система уравнений (v.10), переписанная относительно функций /(£, г), </>(£, г) становится инвариантной относительно масштабных преобразований. Выделение масштабно-инвариантной части ф{Ь,г) у дилатонной функции Ф(£,г)

1 2' гГ2Фг2 + ^г2Ф*2 + еф fr2 + ft2 + f2 ~ 1)' 2r2 dr, v. 15) обнаруживает схожесть с выделением из компонент метрики в коллапсирую-щих уравнениях Эйнштейна масштабно-инвариантных и масштабно не инвариантных частей [101], что еще раз подтверждает справедливость названия дилатонного поля "скалярным гравитоном".

Функционал энергии (v.15) выраженный через функции f{t,r), ф(Ь,г) имеет вид

Е = в данном случае преобразуется по следующему закону Е \aE{f(t,r),<f>(t,r)}, а = +1.

Для исследуемой системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном, критический индекс а = +1, т.е. система является надкритической и допускает существование решений, приводящих к формированию сингулярности.

Инвариантность уравнений (v. 10) относительно масштабных преобразований, при одновременном преобразовании дилатонной функции (v. 18), означает, что система уравнений может иметь решения, зависящие не от переменных t и г по отдельности, а от их отношения: r/t или t/r (автомодельные переменные). Поскольку система уравнений инвариантна относительно преобразования трансляции по времени, можно ввести положительную постоянную Т, а автомодельную переменную представить в виде:

Т — t =-. (v.20) г

При исследовании процесса формирования сингулярности константа Т может играть роль времени существования решения.

Диссертационная работа устроена следующим образом: в первой главе воспроизведено семейство стационарных решений и уточнены значения параметров, характеризующих эти решения, проведен анализ их устойчивости методом фазовых функций. Получены собственные неустойчивые моды (собственные функции и собственные значения) стационарных решений системы связанных уравнений ЯМд на основе непрерывного аналога метода Ньютона.

Во второй главе получены автомодельные решения системы уравнений ЯМд и проведен анализ устойчивости полученных решений в линейном приближении. На основе метода фазовых функций показано, что безузловое автомодельное решение устойчиво.

В третьей главе исследуется процесс формирования сингулярности в эволюционной задаче Коши для системы ЯМд, строится консервативная разностная схема и изучается динамика формирования сингулярности для широкого класса начальных распределений поля Янга-Миллса.

В четвертой главе приведены параллельные алгоритмы и МР1-подпрог-раммы решения трехдиагональных систем, возникающих после дискретизации эволюционных задач, представленных в диссертации. Представлены результаты моделирования некоторых тестовых задач и проиллюстрирована эффективность выбранных параллельных алгоритмов. На основе примененных методов проведения параллельных вычислений исследована задача распада стационарных и (отчасти) автомодельных решений связанной системы уравнений Янга-Миллса с дилатоном. В результате найдено множество пороговых (критических) конфигураций, лежащих в функциональном пространстве решений на границе, разделяющей дисперсное поведение решений (рассеяние) и решений с образованием сингулярностей (blow-up).

В заключении приведены основные результаты выполненных в диссертации исследований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Стрельцова, Оксана Ивановна

Заключение

В диссертационной работе проведено исследование решений системы нелинейных волновых уравнений, описывающей систему взаимодействующих сферически симметричных полей Янга-Миллса калибровочной группы SU(2) и дилатонного поля в пространстве Минковского размерности 3 + 1. Основной целью данной работы было изучение процесса формирование сингулярности в решениях системы уравнений ЯМд. В результате проведенных исследований были получены следующие результаты:

1. Обнаружена скрытая масштабная инвариантность системы уравнений ЯМд и на основе анализа масштабных свойств функционала энергии установлена принадлежность системы ЯМд к классу надкритических систем.

2. Для численного исследования эволюционных решений построена вычислительная схема на основе консервативной разностной схемы, позволившая исследовать поведение решений на разных пространственных и временных масштабах. Для ускорения расчетов создана параллельная реализация вычислительной схемы.

3. Впервые получено семейство автомодельных решений системы ЯМд, проведен анализ их устойчивости в линейном приближении с помощью метода фазовых функций, который показал, что множество автомодельных решений содержит только одно устойчивое решение.

4. В результате численного исследования процесса формирования сингулярности в решениях системы нелинейных волновых уравнений ЯМд было установлено, что при значении управляющего параметра, большего некоторого критического, решения становятся сингулярными за конечное время. Асимптотическое поведение решений в окрестности сингулярности носит универсальный характер и описывается устойчивым автомодельным решением, которое может претендовать на роль глобального аттрактора для всех решений, приводящих к формированию сингулярности.

5. Впервые получены неустойчивые моды (собственные функции и собственные значения) регулярных стационарных решений системы ЯМд в линейном приближении, на основе которых была решена задача распада стационарных решений. Было установлено, что стационарные решения образуют множество пороговых конфигураций, лежащих в функциональном пространстве решений на границе, разделяющей решения, приводящие к формированию сингулярности и решения, остающиеся регулярными в процессе эволюции.

Благодарности

Выражаю свою благодарность Э. А. Айряну и Е. Е. Донцу за научное руководство, постановку задач, постоянную помощь и поддержку.

Выражаю особую признательность профессорам Е. П. Жидкову, И. В. Пу-зынину и С. Н. Димовой за проявленный интерес к работе, ценные консультации и полезные дискуссии. Считаю своим приятным долгом поблагодарить соавторов и коллег по работе: Т. Л. Бояджиева, Д. А. Георгиеву, М. Павлуша, Я. Буша, И. Покорны, Т. А. Стриж, В. П. Гердта и Я. Прибиша. Искренне благодарна Д. В. Подгайному за неоценимую помощь и поддержку. А так же хочу поблагодарить Т. Ф. Сапожникову и А. П. Сапожникова за помощь при освоении и внедрении технологии MPI.

Отдельно хочу поблагодарить дирекцию Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований за предоставленные хорошие условия для работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Стрельцова, Оксана Ивановна, 2005 год

1. А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А.П. Михайлов. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений.-М.:Наука, 1987.

2. V. A. Galaktionov, J. L. Vazquez. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations. Discrete and continuous dynamical systems. 2002, Vol. 8, № 2, p. 399-433.

3. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур.-М.:Наука, 1998. 225 с.

4. А. А. Самарский, И. М. Соболь. Примеры численного расчета температурных волн// ЖВМиМФ, 1963, т. 3, № 4, с.945-970.

5. С. И. Лохожаев. Об априорных оценках и градиентных катастрофах гладких решений гиперболических систем законов сохранения// Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2003, том. 243, с. 257288.

6. S. Kaplan. On the growth of solutions of quasilinear parabolic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1963, v. 16, p. 305-330.

7. H. Fujita. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for щ = Au-\-ul+a// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math. 1966, v. 13, p. 109-124.

8. H. A. Levine. The role of critical exponents in blow-up problems. SIAM Review, 1990, v. 32, p. 262-288.

9. W. F. Osgood. Beweis der existenz einer Losung der differentialgleichung dy/dx = f(x, y)ohne hinzunahme der Cauchy-Lipschitzschen bedingung// Monatshefte fur Mathematik und Physik (Vienna). 1898, T. 9,p. 331-345.

10. J. Keller. On solutions of nonlinear wave equations// Comm. Pure Appl. Math. 1957, v. 10, p. 523-532.

11. Э. Митидиери, С. И. Похожаев. Априорных оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных// Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2001, том. 234, 383 с.

12. Н. A. Levine. Instability and nonexistence of global solutions of nonlinear wave equations of the form Putt = — Au + F(u). Trans.Amer. Math.Soc., 1974, v. 192, p. 1-21.

13. W. Strauss. Nonlinear invariante wave equations. Berlin: Springer-Verl., 1978 (Lect. Notes Phys., v. 78).

14. R. Glassey. Finite time blow up for solutions of nonlinear wave equations. Math.Z., 1981, v. 117, p. 323-340.

15. D. Christodoulou. Global solutions of nonlinear hyperbolic equations for small initial data// Comm.Pure Appl. Math., 1986, v. 39, p. 267-282.1992, v. 26, № 1, p. 53-86.

16. S. Alinhac. Blow-up for nonlinear hyperbolic equations. Boston: Birkhauser., 1995 (Prog. Nonlin. Diff. Equat. and Appl., v. 17).

17. S. Klainerman. On the regularity of classical field theories in Minkowski space-time// Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, v. 29 (Birkhauser, 1997).

18. R. Penrose. Phys. Rev. Lett. 14, 1965, v. 57; S. W. Hawking. Proc. R. Soc. London Ser.:A300, 1967, v. 187; S. W. Hawking and G. F. R.

19. Ellis. The Large Scale structure of Space-Time. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1973.

20. И. Д. Новиков, В. П. Фролов. Физика черных дыр. М.: Наука, 1986, 328 с.

21. М. W. Choptuik. Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar field // Phys. Rev. Lett., 1993, v. 70, N. 1, p. 9-12.

22. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация. М.:Мир, 1977.

23. М. W. Choptuik, Т. Chmaj, P. Bizon. Critical Behaviour in Gravitational Collapse of a Yang-Mills Field// Phys. Rev. Lett., 1996, v. 77, Is. 3, p. 424427.

24. P. Bizon, T. Chmaj. Dispersion and collapse of wave maps// Phys. Rev. D., 1998, v. 58, p. 041501.

25. C. N. Yang, R. L. Mills. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance // Phys. Rev., 1954, v. 96, № l,p. 1094.

26. R. Bartnik and J. McKinnon. Particlelike solutions of the Einstein-Yang-Mills equations// Phys. Rev. Lett., 1988, v.61, p. 141-144.

27. C. Gundlach. Echoing and scaling in Einstein-Yang-Mills critical collapse//Phys. Rev.D, 1997, v. 55, p. 6002-6013.

28. C. Gundlach. //Phys. Rep., 2003, v. 376, p. 339.

29. S. Deser. Absence of static solutions in source-free Yang-Mills theory// Phys. Lett. B64, 1976, № 5, p. 463-464.

30. S. Coleman in: New phenomena in subnuclear physics, ed. A. Zichichi (Plenum, New York, 1975)

31. G. Lavrelashvili and D. Maison. Static spherically symmetric solutions of a Yang-Mills field coupled to a dilaton// Phys. Lett.B, 1992, v. 295, p. 67-72.

32. Е. Е. Donets and D. V. Gal'tsov. Charged stringy black holes with non-Abelian hair// Phys. Lett. B. 1993. V. 312. P. 392-397.

33. G. Lavrelashvili and D. Maison. Regular and black hole solutions of Einstein-Yang-Mills dilaton theory// Nucl. Phys. B, 1993, v. 410, p. 407-422.

34. N. Straumann and Z. Zhou. Instability of the Bartnik-McKinnon solution of the Einstein-Yang-Mills equations// Phys. Lett. B, 1990, v. 237, p. 353-356.

35. N. Straumann and Z. Zhou. Instability of a colored black hole solution// Phys. Lett. B, 1990, v. 243, p. 33-35.

36. P. Breitenlohner, P. Forgacs, D. Maison. Static spherically symmetric solutions of the Einstein-Yang-Mills equations// Comm. Math. Phys., 1994, v. 163, p. 141-172.

37. D. Maison. Static, spherically symmetric solutions of Yang-Mills-Dilaton theory// E-print: gr-qc/0405052.

38. P. Bizon, A. Wasserman. Self-similar spherically symmetric wave maps coupled to gravity// Phys. Rev. D, 2000, v. 62, p. 084031.

39. P. Bizon, T. Chmaj and Z. Tabor. Dispersion and collapse of wave maps// Nonlinearity, 2000, v. 13, p. 1411.

40. P. Bizon, Z. Tabor. On blowup for Yang-Mills fields// Phys. Rev. D., 2001, v. 64, p. 121701.

41. P. Bizon. An unusual eigenvalue problem// E-print: math-ph/0411041, 2004.

42. P. Bizon. Formation of singularities in Yang-Mills equations// Acta Phys. Polon. B, 2002, v. 33, p. 1893-1922.

43. D. V. Gal'tsov and M. S. Volkov. Sphalerons in Einstein-Yang-Mills theory// Phys. Lett. В., 1991, v. 273, p. 255-259.

44. M. S. Volkov and D. V. Gal'tsov. Odd-parity negative modes of Einstein-Yang-Mills black holes and sphalerons// Phys. Lett. В., 1995, v. 341, p. 279285.

45. C. Gundlach. Critical phenomena in gravitational collapse (Physics Reports)//Phys. Rept., 2003, v. 376, p. 339-405.

46. M. S. Volkov and D. V. Gal'tsov. Gravitating non-Abelian solitons and black holes with Yang-Mills fields// Phys. Rept., 1999, v. 319, p. 1-83.

47. Г. И. Баренблатт. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. -Л.: Гидрометеоиздат, 1978, 208 с.

48. В. J. Carr and A. A. Coley. Self-similarity in general relativity// gr-qc/9806048, 1999.

49. A. JI. Дышко, H. Б. Конюхова. АВтомодельные решения нелинейного волнового уравнения для поля Хиггса в пространстве де Ситтера// ЖВМиМФ, 1999, т. 39, №1, с. 124-140.

50. С. Н. Димова, М. С. Касчиев, С. П. Курдюмов. Численный анализ собственных функций горения нелинейной среды. Численный метод и эксперименты// Препринт ОИЯИ Р11-88-473, 1988; ЖВМиМФ. 1989, т. 29, № 6, с. 61-73.

51. S. Dimova, М. Kaschiev, М. Koleva, D. Vasileva. Numerical analysis of radially nonsymmetric blow-up solutions of a nonlinear parabolic problem// J. Comput. Appl. Math. 1998, v. 97, p. 81-97.

52. J. Shatah.// Comm. Pure Appl. Math., 1988, v. 41, p. 459.

53. N. Turok and D. Spergel.// Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64, p. 2736.

54. А. А. Самарский, А. П. Михайлов. Математическое моделирование. -M.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

55. М. К. Гавурин. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных процессов// Изв. ВУЗов. Сер. Математика, 1958, 5(6), с. 18-31.

56. Е. П. Жидков, И. В. Пузынин Об одном методе введения параметра при решении краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка// ЖВМиМФ, 1967, т. 7, № 5, с.1086-1095; Препринт ОИЯИ, 1967, 5-3368.

57. Е. 77. Жидков, И. В. Пузынин. Применение непрерывного аналога метода Ньютона для приближенного решения одной нелинейной граничной задачи// ДАН СССР, 1968, т. 180, № 1, с. 18-21.

58. Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежестские задачи. Пер. с англ.-М.: Мир, 1990512 с.

59. Э. Хайрер, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жестские и дифференциально-алгебраические задачи. Пер. с англ.-М.: Мир, 1999.-685 с.

60. Е. П. Жидков, Г. И. Макаренко. Решение задачи Дирихле для нелинейного эллиптического уравнения путем введения непрерывного параметра// ДАН СССР, 1969, т. 187, № 4, с. 723-725.

61. Е. П. Жидков, Т. В. Рыльцева, Б. Ф. Феоктистов. Метод решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение заряженных частиц в магнитных полях ускорителей// ЖВМиМФ, 1970, т. 10, № 5, с.1199-1209.

62. Е. П. Жидков. Некоторые нелинейные задачи современной физики и математические методы их решения. Докторская диссертация. ОИЯИ, Дубна, 1970.

63. Е. П. Жидков, Г. И. Макаренко, И. В. Пузынин. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики// ЭЧАЯ, 1973, т. 4, в. 1, с. 123-158.

64. JI. И. Пономарев, И. В. Пузынин, Т. П. Пузынина. Вычисление уровней энергии мезомолекул с помощью непрерывного аналога метода Ньютона// Препринт ОИЯИ Р4-6256, 1972.

65. В. В. Ермаков, Н.Н. Калиткин. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона//ЖВМиМФ, 1981, т. 21, № 2, с. 419-497.

66. T.L. Boyadjiev, D.V. Pavlov and I.V. Puzynin. Newton's algorithm for calculation of the critical parameters in the one-dimensional inhomogeneous Josephson junction// Comm. JINR, Pll-88-409.

67. T.L. Boyadjiev, M. Todorov, P. Fiziev and S. Yazadjiev. New Numerical Algorithm for Modeling of Boson Fermion Stars in Dilatonic Gravity// El-print: math.sc/0004108; Journal of Computational and Applied Mathematics, 2002 v. 145(1), p. 113-131.

68. T.L. Boyadjiev, T. Zhanlav and I. V. Puzynin. Numerical investigation of an eigenvalue problem in the theory of soliton stability// Comm. JINR, P5-89-423.

69. С. H. Димова, M. С. Касчиев, M. Г. Колева. Анализ собственных функций горения нелинейной среды в полярных координатах методом конечных элементов// Математическое моделирование. 1992, т. 4, № 3, с. 74-83.

70. Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. Методы сплайн-функций.-М.: Наука, 1980.

71. А. А. Самарский. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1983.

72. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 416 с.

73. О. I. Streltsova, Е. Е. Donets, Е. A. Hayryan, D. A. Georgieva, Т. L. Boyadjiev. Unstable even-parity eigenmodes of the regular static SU(2) Yang-Mills-dilaton solutions. E-print: gr-qc/0408060, 2004; ЖВМиМФ., 2005, т. 45, № 5, c.925-937.

74. Г. Ф. Друкарев. Об определении фазы волновой функции при рассеянии// ЖЭТФ, 1949, т. 19, с. 247-250.

75. В. В. Бабиков. Метод фазовых функций в квантовой механике. -М.: Наука., 1968.

76. В. В. Бабиков. Метод фазовых функций в квантовой механике// УФН, 1967, т. 92, вып. 1.

77. Ф. Калоджеро. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния М.: Мир, 1972, 292 с.

78. Ф. Калодэюеро, А. Дегасперис. Спектральные преобразования и со-литоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений М.: Мир, 1985, 472 с.

79. F. Calogero. A novel approach to elementary scattering theory// Nuovo Cimento, 1963, v. 27, p. 261-302;

80. F. Calogero. A variational principle for scattering phase shifts// Nuovo Cimento, 1963, v. 27. p. 947-951.

81. F. Calogero. The scattering of a Dirac particle on a central scalar potential// Nuovo Cimento, 1963, v. 27, p. 1007-1016.

82. A. Degasperis. A novel approach to elementary scattering theory// Nuovo Cimento, 1964, v. 34, p. 1667.

83. О. И. Стрельцова, Э. А. Айрян, E. E. Донец, Т. JI. Бояджиев. Численное моделирование процесса формирования сингулярности в связанной системе уравнений Янга-Миллса с дилатоном// Вестник РУДН, сер. Прикладная математика, 2003, т. 2, с.13-25.

84. С. Bandle, Н. Brunner. Blowup in diffusion equations: A survey// J. Comput. Appl. Math. 1998, v. 97, p. 3-22.

85. J. M. Linhart. Numerical investigations of singularity formation in non-linear wave equations in the adiabatic limit// E-print: math-ph/0105048. 2001.

86. А. А. Самарский, П. H. Вабищееич, П. П. Матус. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998, 442 с.

87. М. Berger, R. V. Kohn. A rescaling algorithm for the numerical calculation of blowing up solutions// Comm. Pure. Appl. Math. 1988, v. 41, p. 841-863.

88. S. N. Dimova, D. I. Ivanova. Finite element method with special mesh refinement for analysis of single poin blow-up solutions.// Comm. JINR, Ell-91-39, 1991.

89. E. E. Donets, О. I. Streltsova, T. L. Boyadjiev. Self-similarity and singularity formation in a coupled system of Yang-Mills-dilaton evolution equations // Phys. Rev. D, 2003, v. 68, № 12, p. 125010(9).

90. H. H. Калиткин. Численные методы.-М.: Наука, 1978, 512 с.

91. L. Н. Thomas. Elliptic Problems in Linear Difference Equations over a Network// Watson Sci. Comput. Lab. Rept., Columbia University, New York, 1949.

92. А. А. Самарский, Е. С. Николаев. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1978, 592 с.

93. R. W. Hockney. A Fast Direct Solution of Poissons Equation using Fourier Analysis// J. ACM, 1965, v. 12, № 1, p. 95-113.

94. Дж. Ортега. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем.- М.: Мир, 1991, 367 с.

95. Н. Н. Wang. A Parallel Method for Tridiagonal Equations// ACM Trans. Math. Software, 1981, v. 7, № 2, p. 170-183.

96. С. H. Walshaw. Diagonal Dominance in the Parallel Partition Method for Tridiagonal Systems// SIAM J. Matrix. Anal. Appl., 1995, v. 16, № 4, p. 1086-1099.

97. P. Yalamov, V. Pavlov. On the Stability of a Partitioning Algorithm for Tridiagonal Systems// SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 1999, v. 20, № 1, p. 159-181.

98. Т. M. Austin, M. Berndt, J. D. Moulton. A Memory Efficient Parallel Tridiagonal Solver. Preprint LA-VR-03-4149, 2004, 13 p.

99. R. Glassey and J. Schaeffer. Convergence of a second-order scheme for semilinear hyperbolic equations in 2 + 1 dimensions// J. Math, of Сотр., 1991, v.56, №193, p. 87-106.

100. В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. Параллельные вычисления.-СПб.: БХВ-Петербург, 2002, 608 с.

101. D. Garfinkle. Choptuik scaling and the scale invariance of Einstein's equation// Phys.Rev. D56, 1997, p. 3169-3173.

102. В. П. Михайлов Дифференциальные уравнения в частных производных М.: Наука, 1983, 424 с.