Анализ границ областей устойчивости и оптимизация циркуляционных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Кириллов, Олег Николаевич

• Кириллов, Олег Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кириллов, Олег Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЦИРКУЛЯЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ.

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЦИРКУЛЯЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ.

ГЛАВА 3. ПЕРЕСТРОЙКИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ КРИВЫХ ВБЛИЗИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ.

ГЛАВА 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ, ДВИЖУЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЛЕДЯЩЕЙ СИЛЫ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ границ областей устойчивости и оптимизация циркуляционных систем»

Проблемы устойчивости и колебаний неконсервативных систем возникают при проектировании современных конструкций в машиностроении, авиации, ракетной технике и т. д. Необходимо отметить, что большое число работ по устойчивости неконсервативных систем относится к области аэроупругости, см. например [21, 62]. Вместе с тем эти задачи возникают также и в менее традиционных приложениях, таких как теория двуногой ходьбы [9, 11,61] или исследование шума, возникающего при торможении колеса [81, 82]. Характерным примером являются крупногабаритные космические конструкции [8, 10], отличающиеся большими размерами при относительно малой массе, лимитируемой стоимостными ограничениями, связанными с расходами по доставке конструкции на заданную орбиту. Жесткость таких конструкций весьма низкая и, например, неудачное расположение реактивных двигателей может привести к статической или даже к динамической форме потери устойчивости, когда вследствие изменения направления вектора тяги реактивного двигателя при деформации конструкции возникают незатухающие колебания, ведущие к разрушению аппарата. Гашение колебаний больших космических конструкций значительно усложняется из-за относительно низких коэффициентов демпфирования, что во многом связано с масштабными эффектами: роль демпфирования уменьшается с возрастанием размеров конструкции [8, 58].

При проектировании конструкций, рассчитываемых на нестационарные воздействия, подобные включению реактивных двигателей, нередко используются модели, в которых пренебрегают механическим демпфированием. Такие идеализированные модели позволяют получить вполне удовлетворительное описание поведения конструкций в случае, когда рассматриваемый интервал времени достаточно мал, материал, из которого изготовлена конструкция, является идеально упругим, взаимодействие ее со средой таково, что внешним трением можно пренебречь, а также можно не учитывать потерь энергии, происходящих вследствие неидеальности соединения элементов конструкции и т. д. Исследование устойчивости таких моделей приводит к необходимости изучения линейных автономных механических систем, находящихся под действием неконсервативных позиционных сил и описываемых уравнениями вида q + Lq = 0, где L - несамосопряженный оператор, матричный или дифференциальный. Системы, описываемые такими уравнениями, в 50-х годах XX века были выделены в отдельный класс известным швейцарским ученым Гансом Циглером, который назвал их циркуляциоными [56].

Задачам устойчивости циркуляционных систем посвящено большое количество статей и монографий, среди которых отметим работы В.В. Болотина [12], Я.Г. Пановко и И.И. Губановой [41], Дж. Херманна [68], Г. Циглера [56], Д.Р. Меркина [38], С.А. Агафонова [1], В.М. Лахада-нова [31, 32], A.B. Карапетяна [24], A.A. Зевина [22], К. Хусейна [70], Г. Лейпхольца [78, 79], Дж. Томпсона [53], В.В. Белецкого [9, 61], P.M. Булатовича [64], Р.Х. Плаута [86] и др. Хорошо известно, что циркуляционные системы не обладают асимптотической устойчивостью, но могут быть устойчивыми по Ляпунову [38]. В работе С.А. Агафонова [1] прямым методом Ляпунова было показано, в частности, что конечномерная циркуляционная система неустойчива, если ее матрица L кососимметрическая: L = -Lr. В исследованиях устойчивости неконсервативных систем несимметрическую матрицу L часто разбивают на симметрическую Р (потенциальные силы) и кососимметрическую R (силы радиальной коррекции) составляющие, так что L = P + R. В статье В.М. Лахаданова [31] содержится результат о неустойчивости циркуляционной системы, если SpР < 0, а в работе того же автора [32] доказано, что неустойчивую консервативную систему можно стабилизировать силами радиальной коррекции тогда и только тогда, когда SpР > 0. В статье A.A. Зевина [32] доказано, что теорема Релея о поведении собственных частот консервативных систем при изменении жесткости и инерции не может быть обобщена на случай циркуляционных систем. Недавняя работа P.M. Булатовича [64] содержит результаты об устойчивости циркуляционных систем специального вида.

Еще Г. Циглер поставил вопрос о влиянии малых диссипативных сил на устойчивость циркуляционных систем, и тем самым о правомерности пренебрежения механическим демпфированием. Им был обнаружен парадокс дестабилизации, заключающийся в том, что в ряде случаев предел критической нагрузки неконсервативной системы, вычисленный при стремлении параметра диссипации к нулю, оказывается ниже критической нагрузки системы, вычисленной без учета диссипативных сил [56]. Этому эффекту посвящена обширная литература, обзор которой можно найти в работе А.П. Сейраняна [47]. В настоящее время выяснено, что парадокс дестабилизации вследствие исчезающе малого трения носит формальный характер и является следствием использования критерия устойчивости на бесконечном интервале времени. При этом границей области практической устойчивости является величина критической силы, вычисленная без учета диссипации [42,47, 69, 77, 94]. В работах [35, 47, 50] показано, что в пространстве параметров диссипации наряду с областью дестабилизации существует область стабилизации и, таким образом, всегда возможен выбор дисси-пативного оператора, стабилизирующего неконсервативную систему. Эти выводы подтверждаются многочисленными экспериментальными исследованиями, среди которых выделяются работы Ю.И. Ягна и Л.К. Паршина [57], 1966, а также У.Дж. Вуда, С.С. Со и П.М. Саундерса [97], 1969, по устойчивости стержней, нагруженных следящей силой. Обзор экспериментальных работ в этой области, охватывающий 19601980 годы, имеется в статье А.П. Сейраняна [47]. В прошедшем десятилетии ряд тщательных экспериментов был поставлен в Университете г. Осака (Япония) под руководством Йошихико Сугиямы [77,92-94].

Необходимость создания уникальных сложных и дорогостоящих аппаратов в различных областях техники явилась причиной повышенного интереса производителей и исследователей к задачам оптимального проектирования конструкций во второй половине XX века. Об этом свидетельствуют, в частности, проводящиеся каждые два года международные симпозиумы А1АА/и8АРЛЧА8А/188МО по междисциплинарному анализу и оптимизации, а также международные конгрессы

С8МО по оптимизации конструкций и междисциплинарной оптимизации [87, 88, 91], отражающие различные аспекты оптимального проектирования.

В неконсервативных задачах упругой устойчивости важную роль играет оптимальное проектирование конструкций с целью предотвращения динамической и статической неустойчивости. Область устойчивости зависит от геометрических, массовых и жесткостных характеристик конструкции (параметров проектирования). Изучение влияния параметров проектирования на область устойчивости и возможностей расширения этой области за счет соответствующего выбора этих параметров является одним из важных и общих вопросов теории упругой устойчивости. К этому кругу вопросов относятся исследования по оптимизации критических параметров динамической устойчивости стержней, нагруженных следящими силами, оптимизации панелей с ограничениями по флаттеру, а также оптимизации критических скоростей флаттера и дивергенции несущих поверхностей летательных аппаратов [13,40,46, 98].

Оптимизации циркуляционных систем по критерию устойчивости посвящены работы [7, 52, 65, 67, 77, 83, 96]. Эти задачи являются весьма трудоемкими с вычислительной точки зрения, поскольку в ходе оптимизации для нахождения критической нагрузки необходимо многократно решать задачу на собственные значения: функционал критической нагрузки, как правило, не выражается явно через параметры проектирования. Кроме того, функционал критической нагрузки оказывается сложно устроенным, так как циркуляционные системы подвержены и статической, и динамической неустойчивости. Общий подход к решению таких задач основан на анализе чувствительности, позволяющим найти градиенты критической нагрузки в случае, если она является гладким функционалом, и простых собственных значений по параметрам проектирования [46, 52, 85, 89].

Интересной и трудной особенностью задач оптимизации циркуляционных систем является возникновение в ходе оптимизации кратных критических нагрузок, а также эффекта перехлеста ветвей частотных кривых, сопровождающегося скачком критической нагрузки, где традиционного анализа чувствительности оказывается недостаточно. Так, в работе А.П. Сейраняна и A.B. Шаранюка [52] решалась задача об оптимальном распределении толщины пластинки, колеблющейся в сверхзвуковом потоке. В процессе оптимизации критическая нагрузка флаттера стала двукратной, но авторам удалось построить вариацию распределения толщины пластинки, позволяющую одновременно увеличивать обе критические нагрузки, и продолжить процесс. Однако возникший в дальнейшем перехлест ветвей частотных кривых блокировал оптимизацию. Решения с двукратными и трехкратными критическими нагрузками флаттера были получены и в работе М.А. Ланг-тьема и Й. Сугиямы [77], где отыскивалось оптимальное распределение массы стержня в задаче Бека [60]. Заметим, что, в отличие от задач оптимизации консервативных систем [40, 51, 98], где решения с кратной критической нагрузкой хорошо изучены и для них получены необходимые условия максимума [51], в случае циркуляционных систем такие решения исследованы недостаточно. Эффект перехлеста ветвей частотных кривых отмечался во многих работах, связанных с оптимизацией циркуляционных систем [52, 65, 67, 77], но ни в одной из них не было предложено ни его объяснения, ни конструктивного метода, позволяющего построить улучшающую вариацию в такой ситуации.

Описанные эффекты характерны не только для задач оптимизации. Во многих работах анализировалось влияние различных параметров, входящих как в оператор, так и в граничные условия, на устойчивость конкретных механических систем, являющихся циркуляционными. В статьях [76, 83-85] были построены частотные кривые и отмечался эффект их перехлеста. В работах [9, 11, 61, 76, 83, 96] приведены двухпа-раметрические диаграммы устойчивости, причем в каждой из них граница области устойчивости имеет ту или иную особенность (точку, где нарушается гладкость границы).

Общей чертой рассмотренных выше задач является необходимость исследовать не отдельную циркуляционную систему, а целое семейство систем (конечномерных или распределенных), гладко зависящих от параметров или распределений (масс, жесткостей и т.п.). В этом случае основной интерес представляет нахождение областей устойчивости в пространстве параметров, что предполагает исследование поведения собственных значений несамосопряженного оператора Ь при изменении параметров. Для определения области устойчивости необходимо найти ее границу, которая не является, вообще говоря, гладкой. Она может иметь особенности, отвечающие кратным собственным значениям оператора Ь. При возмущении параметров кратные собственные значения распадаются на несколько собственных значений более низкой кратности (происходит бифуркация). Все это приводит к сложному анализу даже в самых простых случаях. Перечисленные вопросы изучаются в теории особенностей и бифуркаций - области математики, активно развивающейся в последнее время. Обзор результатов в этой области можно найти в книгах [4, 5].

Изучение границ областей устойчивости и их особенностей для конечномерных циркуляционных систем было начато А.П. Сейраняном в работах [48, 49]. В работе [48] рассматривался однопараметрический случай, и было установлено, что на границе области устойчивости несимметрическая матрица циркуляционной системы Ь имеет либо простое нулевое, либо положительное двукратное собственное значение с цепочкой Жордана второго порядка. В препринте [49] исследовался случай, когда матрица Ь гладко зависит от двух вещественных параметров. Там была отмечена связь между задачами классификации особенностей общего положения границ областей устойчивости циркуляционных систем и бифуркационных диаграмм семейств вещественных матриц, Д.М. Галин [15]. Тем не менее, приведенный в препринте [49] список особенностей для двухпараметрических циркуляционных систем является неполным. Дело в том, что классификация Д.М. Галина относит к разным классам матрицы с одинаковой жордановой структурой, но с различным соотношением комплексных и вещественных собственных значений, и при этом не выделяет в отдельный класс матрицы, имеющие нулевые собственные значения, которые определяют границу между областями устойчивости и дивергенции в циркуляционных системах. По этой причине списки, приведенные в [15], содержат лишь часть особенностей общего положения границ областей устойчивости циркуляционных систем. Вместе с тем, полученные в [15] миниверсальные деформации вещественных матриц позволяют осуществить классификацию особенностей для циркуляционных систем, однако до настоящего времени этого сделано не было.

Миниверсальные деформации матриц были введены как обобщение жордановой нормальной формы на случай матриц, зависящих от параметров. В случае семейств комплексных матриц миниверсальные деформации были найдены В.И. Арнольдом, классифицировавшим с их помощью особенности бифуркационных диаграмм семейств комплексных матриц [3]. Найденные Д.М. Галиным [15] миниверсальные деформации вещественных матриц были использованы В.И. Арнольдом [4] для классификации особенностей декремент-диаграмм, а также особенностей границ областей устойчивости автономных систем дифференциальных уравнений вида у = Ау, где А вещественная несимметрическая матрица. Позднее эти результаты развивались JI.B. Jle-вантовским [33]. В настоящее время получены миниверсальные деформации различных типов матриц, таких как гамильтоновы, Д.М. Галин [16], и обратимые, М.Б. Севрюк [45], и классифицированы особенности общего положения бифуркационных диаграмм семейств таких матриц.

Перечисленные выше результаты носят качественный характер, давая представление о том, сколько и какого рода особенностей может возникать на границах области устойчивости, но не отвечают на вопрос, как исследовать конкретные системы, зависящие от параметров. В последние годы появился ряд работ А.П. Сейраняна и A.A. Майлыбаева [35-37, 49, 75, 89, 90], где были развиты конструктивные методы анализа границ областей устойчивости, с помощью которых исследовались различные классы механических систем. Эти методы позволяют по информации о системе в точке границы получить линейную аппроксимацию границы в окрестности этой точки независимо от того, является ли она регулярной или особой. В работе [35] были найдены касательные конусы к области устойчивости (т.е. множества направлений в пространстве параметров, по которым из данной точки можно выпустить кривую, лежащую в области устойчивости) в особых точках границы области устойчивости для систем вида у = Ау, зависящих от двух и трех параметров, а в работе [37] - для двух- и трехпараметрических гамильтоновых, гироскопических и консервативных систем. В препринте [49], где исследовались двухпараметрические циркуляционные системы, линейные аппроксимации границы были построены в регулярных точках и в двух из четырех особых точек общего положения. Отметим, что в работах [35] и [37] использовалась проделанная ранее в [4, 16, 33] классификация особенностей, в то время как для циркуляционных систем такая классификация отсутствовала. Развитые в упомянутых выше работах методы анализа границ областей устойчивости основаны на теории миниверсальных деформаций матриц и теории возмущений собственных значений несамосопряженных операторов.

Подход, связанный с миниверсальными деформациями, берет свое начало в работах В.И. Арнольда, Д.М. Галина и Л.В. Левантовского. В работе Л.В. Левантовского [33] касательные конусы к области устойчивости вычислялись в пространстве параметров миниверсальной деформации матрицы, имеющей относительно простой вид. Однако, для вычисления линейных аппроксимаций границы в пространстве исходных параметров (что представляет основной интерес в приложениях) необходимо знать гладкую замену базиса и параметров, приводящую заданное семейство матриц к миниверсальной деформации. Этот вопрос был полностью решен лишь недавно A.A. Майлыбаевым [37], предложившим конструктивный метод отыскания такого диффеоморфизма.

Другой метод анализа границ областей устойчивости основан на исследовании бифуркаций собственных значений матрицы системы при вариациях параметров. В работе [89] А.П. Сейранян ввел возмущение по направлению в пространстве параметров, что позволило использовать теорию возмущений собственных значений несимметричных матриц, развитую М.И. Вишиком и Л.А. Люстерником [14], а также В.Б. Лидским [34] для случая одного параметра, в многопараметрических задачах. Изучение того, как распадаются кратные собственные значения, соответствующие точкам границы, при различных вариациях вектора параметров, позволяет найти направления в пространстве параметров, стабилизирующие или дестабилизирующие систему. Метод возмущений является конструктивным по своей природе, но становится громоздким при исследовании сложных особенностей, отвечающих собственным значениям высокой кратности. Кроме того, для исследования некоторых особенностей бывает необходимо использовать вырожденные возмущения, когда традиционные разложения собственных значений и собственных векторов матрицы в ряды по дробным степеням малого параметра [14, 34] становятся несправедливыми. В таких вырожденных случаях правильный вид разложений можно найти с помощью миниверсальных деформаций матрицы в сочетании с методом диаграмм Ньютона, см. например, работу Дж. Моро, Дж.В. Бурке и М.Л. Овертона [80].

По сравнению с конечномерным случаем, анализ границ областей устойчивости распределенных систем (оператор которых не матричный, а дифференциальный, зависящий от параметров) остается недостаточно развитым. Среди работ, посвященных анализу несамосопряженных операторов, необходимо отметить прежде всего статью М.В. Келдыша 1951 года [25], содержащую обобщение понятия жордановой цепочки векторов на случай операторов в гильбертовом пространстве и доказательство полноты системы собственных и присоединенных функций. Дальнейшее развитие теории линейных несамосопряженных операторов можно проследить по книгам И.Ц. Гохберга и М.Г. Крейна [20], М.А. Наймарка [39] и М. Рида и Б. Саймона [44]. В работе М.И. Ви-шика и Л.А. Люстерника [14] теория возмущений охватывает не только случай несимметрических матриц, но и случай несамосопряженных линейных дифференциальных операторов, для которого также справедливы теоремы о разложении собственных значений и собственных функций в ряды по дробным степеням малого параметра, если возмущение регулярное.

Настоящая диссертация посвящена исследованию границ областей устойчивости, а также динамической (флаттер) и статической (дивергенция) неустойчивости в конечномерных и распределенных циркуляционных системах, гладко зависящих от параметров. Основное внимание уделяется построению аппроксимации границы в окрестности ее регулярной или особой точки по информации об операторе системы лишь в самой точке границы. Кроме того, исследуются перестройки общего положения частотных кривых вблизи границ областей устойчивости и неустойчивости, по которым можно судить о свойствах выпуклости границ. Полученные результаты применяются для разработки градиентных методов и вывода необходимых условий экстремума в задачах оптимизации конструкций по критерию устойчивости, где функционал качества может негладко зависеть от распределенных и дискретных параметров. Основное содержание диссертации излагается в четырех главах.

В первой главе исследуются области устойчивости, флаттера и дивергенции двух- и трехпараметрических конечномерных циркуляционных систем: дана классификация особенностей общего положения, возникающих на границах этих областей, и построены линейные аппроксимации границ как в особых, так и в регулярных точках. Для анализа границ использовались методы, основанные на теории возмущений собственных значений матриц, зависящих от параметров, и теории миниверсальных деформаций. В качестве примеров рассмотрены задачи об устойчивости пластинки в набегающем потоке газа и о стабилизации двуногого шагающего аппарата в режиме комфортабельной ходьбы.

Во второй главе развивается конструктивный подход к анализу границ областей устойчивости и неустойчивости распределенных циркуляционных систем, оператор которых не матричный, а линейный дифференциальный. При помощи методов теории возмущений собственных значений несамосопряженных операторов показано, что для построения линейной аппроксимации границы области устойчивости или неустойчивости как в регулярных, так и в особых точках, необходима лишь информация в самой точке границы: первые производные дифференциального оператора и операторов граничных условий по параметрам, а также собственные и присоединенные функции.

В этой же главе исследована обобщенная задача Бека об устойчивости упругого стержня, нагруженного консервативной и тангенциальной следящей силами. Построены и проанализированы области устойчивости и неустойчивости. Показано, что граница области устойчивости имеет особенность с вырожденным касательным конусом, отвечающую двукратному нулевому собственному значению с цепочкой Келдыша порядка 2. Получено уравнение, позволяющее определить координаты особой точки на плоскости параметров. Найден касательный конус к области устойчивости в особой точке.

В третьей главе исследуются однопараметрические перестройки общего положения частотных кривых вблизи границ областей устойчивости, флаттера и дивергенции в двухпараметрических циркуляционных системах как с конечным числом степеней свободы, так и распределенных. Устанавливается связь между типом перестройки и свойствами выпуклости границ. Получены аналитические выражения, описывающие перестройки. Показано, что для аналитического описания перестроек достаточно знать лишь информацию об операторе в точке границы. В качестве примеров рассмотрены задача об устойчивости пластинки в потоке газа и обобщенная задача Бека.

Четвертая глава посвящена трем задачам оптимизации конструкций по критерию устойчивости. В 60-е годы рядом авторов [18, 19, 55, 59] была сформулирована и решалась задача об устойчивости однородного упругого стержня, движущегося под действием следящей силы, моделирующая длинную гибкую неуправляемую ракету на активном участке полета. В.И. Феодосьев [55], 1965, нашел, что однородный стержень теряет устойчивость динамически (флаттер) при некотором критическом значении следящей силы. В данной главе ставятся и решаются две задачи о поиске распределений массовых и жесткостных характеристик такой конструкции, максимизирующих критическую следящую силу. Задачи решались численно методом проекции градиента, позволяющим увеличивать критическую нагрузку на каждой итерации. Найдены решения, на которых функционал критической нагрузки терпит разрыв и одновременно достигает своей верхней грани. Получены необходимые условия оптимальности таких решений и приведен способ построения вариации распределения конструкционных параметров, увеличивающей верхнюю грань функционала при движении вдоль разрыва. Отдельно рассмотрена трехпараметрическая задача об оптимальном выборе массы материальной точки и ее оптимальном расположении вдоль однородного упругого стержня, движущегося под действием следящей силы (задача Лейпхольца). Найдено оптимальное решение, доставляющее максимум функционалу критической нагрузки в точке особенности границы области устойчивости - так называемого «полукубического ребра возврата».

При ссылках на формулы и рисунки внутри глав используется двойная нумерация: первая цифра означает номер текущего параграфа, вторая - номер рисунка или формулы. При необходимости ссылки на рисунок или формулу, расположенные вне текущей главы, используется тройная нумерация, где первая цифра означает номер главы. Для утверждений используется сквозная нумерация.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [27, 28, 71] и препринте [73]; докладывались на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина (Москва, 1998г.) [26], на 7-ом Симпозиуме AIAA/USAF/NASA/ISSMO по междисциплинарному анализу и оптимизации (Сент-Луис, США, 1998г.)

71], на V Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 1999г.) [29], на Научной конференции «Ломоносовские чтения-99» (Москва, 1999г.), на 3-м Всемирном конгрессе по оптимизации конструкций и междисциплинарной оптимизации (Буффало, США, 1999г.)

72], на VII Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Донецк, Украина, 1999г.) [74], на Международной конференции «Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики», посвященной 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева (Москва, 1999г.) [30], а также на семинарах в МГУ и DCAMM (Датском центре по прикладной математике и механике).

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность своему научному руководителю А.П. Сейраняну за постоянное внимание к работе и неоценимые помощь и поддержку, которые всегда были очень важными для автора. Автор искренне признателен В.В. Александрову и В.В. Белецкому за внимание к работе и ценные замечания. Автор особо благодарен A.A. Майлыбаеву за полезные обсуждения и дружескую поддержку на всем протяжении работы над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Кириллов, Олег Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации получены следующие результаты:

1. Исследованы области устойчивости, а также динамической (флаттер) и статической (дивергенция) неустойчивости в конечномерных циркуляционных системах, описываемых линейными автономными дифференциальными уравнениями вида у + Ау = 0, где несимметрическая матрица А гладко зависит от вектора вещественных параметров.

1.1. Приведен метод классификации особенностей общего положения, возникающих на границах областей устойчивости и неустойчивости п - параметрических циркуляционных систем. Подсчитано количество особенностей в случаях, когда п < 9. Для одно-, двух- и трехпарамет-рических циркуляционных систем составлены полные списки особенностей общего положения.

1.2. В явном виде выписаны выражения для нескольких первых членов разложений, описывающих поведение простых и распад двух- и трехкратных собственных значений вещественной несимметрической матрицы, зависящей от параметров, как в невырожденных, так и в некоторых вырожденных случаях при вариациях вектора параметров вдоль кривых.

1.3. В случае, когда матрица А циркуляционной системы гладко зависит от двух или трех параметров, при помощи методов теории возмущений собственных значений несамосопряженных операторов и теории миниверсальных деформаций матриц найдены касательные конусы (линейные приближения) к областям устойчивости и дивергенции в регулярных и особых точках их границ. Получены выражения касательных конусов для всех типов особенностей общего положения.

1.4. Показано, что для построения линейной аппроксимации границы области устойчивости или неустойчивости как в регулярных, так и в особых точках необходима лишь информация в самой точке границы: первые производные матрицы А по параметрам, а также ее собственные и присоединенные векторы.

1.5. В качестве примеров рассмотрены задачи об устойчивости пластинки в набегающем потоке газа и о стабилизации двуногого шаг-вющего аппарата в режиме комфортабельной ходьбы. Построены области устойчивости и исследованы их границы. Показано, что граница области устойчивости в обеих задачах имеет особенность с вырожденным касательным конусом, отвечающую двукратному нулевому собственному значению с цепочкой Жордана порядка 2, - единственно возможную в двухпараметрических циркуляционных системах с двумя степенями свободы. Наличие этой особенности во второй задаче резко ограничивает выбор коэффициентов обратной связи, стабилизирующих комфортабельную двуногую ходьбу.

2. Развит метод анализа границ областей устойчивости для распределенных циркуляционных систем вида у + Ьу = 0, где у = у(х,^)> а Ь линейный дифференциальный оператор по координате х со стационарными граничными условиями, гладко зависящий от вектора вещественных параметров.

2.1. При помощи методов теории возмущений собственных значений несамосопряженных операторов получены явные выражения для нескольких первых членов разложений, описывающих поведение простых и распад двукратных собственных значений линейного дифференциального оператора в невырожденных и в некоторых вырожденных случаях при вариациях вектора параметров вдоль кривых.

2.2. Показано, что для построения линейной аппроксимации границы области устойчивости или неустойчивости как в регулярных, так и в особых точках, необходима лишь информация в самой точке границы: первые производные дифференциального оператора и операторов граничных условий по параметрам, а также собственные и присоединенные функции.

2.3. Рассмотрена обобщенная задача Бека об устойчивости упругого консольно закрепленного стержня, нагруженного на свободном конце потенциальной и тангенциальной следящей силами. Построены и проанализированы области устойчивости, флаттера и дивергенции на плоскости двух параметров: абсолютной величины неконсервативной силы и угла ее отклонения от касательной к срединной линии стержня на свободном конце.

2.3.1. Получены явные выражения для нормальных векторов к границам областей флаттера и дивергенции в регулярных точках через собственные и присоединенные функции. В аналитическом виде найдены собственные и присоединенные функции простого нулевого собственного значения и двукратного вещественного с цепочкой Келдыша второго порядка. Вычислены нормальные векторы, построены линейные аппроксимации и исследованы свойства выпуклости границ в нескольких характерных точках.

2.3.2. Показано, что граница области устойчивости имеет особенность с вырожденным касательным конусом, отвечающую двукратному нулевому собственному значению с цепочкой Келдыша порядка 2. Получено уравнение, позволяющее определить координаты особой точки на плоскости параметров. Найден касательный конус к области устойчивости в особой точке.

2.3.3. Во всех рассмотренных точках границ получены явные выражения, описывающие поведение собственных значений при вариациях параметров. Сравнение с решениями трансцендентного частотного уравнения показывает, что найденные формулы с высокой точностью приближают собственные значения в малой окрестности точки границы.

3. Исследованы перестройки общего положения в однопараметриче-ских семействах частотных карт в окрестности регулярных точек границ областей флаттера и дивергенции для конечномерных и распределенных циркуляционных систем.

3.1. Показано, что в случае общего положения существуют четыре типа таких перестроек, связанных с выпуклостью или вогнутостью областей флаттера и дивергенции.

3.2. Получены аналитические выражения, описывающие каждый из четырех типов перестроек. Показано, что уравнения перестроек имеют одинаковый вид в конечномерном и распределенном случаях. Коэффициенты в полученных уравнениях выражаются через производные операторов (матричного или дифференциального) по параметрам и собственные и присоединенные векторы (функции). В явном виде выписаны квадратичные аппроксимации границ областей флаттера и дивергенции в регулярных точках, позволяющие установить связь между свойствами выпуклости границ и типом перестройки.

3.3. В задаче об устойчивости пластинки в набегающем потоке газа рассмотрена перестройка частотных кривых (зависимостей собственных значений от скорости потока) вблизи границы области флаттера при изменении относительной жесткости подвесов. Показано, что перестройка частотных кривых описывается семейством гипербол, что связано с выпуклостью области флаттера. По информации в точке границы построено уравнение, описывающее перестройку, и квадратичная аппроксимация границы области флаттера. Показано, что приближенное уравнение перестройки хорошо аппроксимирует точное частотное уравнение.

3.4. В обобщенной задаче Бека об устойчивости упругого консольно закрепленного стержня, нагруженного на свободном конце потенциальной и тангенциальной следящей силами, изучена перестройка частотных кривых в окрестности точки границы между областями флаттера и дивергенции. По информации в точке (производные дифференциального оператора и операторов граничных условий по параметрам, собственные и присоединенные функции) выведено уравнение, описывающее перестройку, и получена квадратичная аппроксимация границы. Сравнение частотных карт, построенных при помощи приближенного уравнения и при помощи численного решения трансцендентного частотного уравнения, показывает хорошее качественное и количественное совпадение в поведении частотных кривых.

4. Поставлена и исследована задача об оптимальном распределении массы упругого стержня, движущегося под действием следящей силы. В задаче необходимо найти распределение, доставляющее максимум функционалу критической нагрузки, при неизменной массе материала стержня.

4.1. Выведены соотношения, описывающие поведение простых и распад двукратных собственных значений с цепочкой Келдыша второго порядка при вариациях параметров задачи (распределение массы и величина следящей силы) через собственные функции прямой и сопряженной задач на собственные значения. Показано, что «условие флаттера», заключающееся в ортогональности собственных функций прямой и сопряженной задач, является простым следствием образования цепочки Келдыша.

4.2. При помощи анализа бифуркаций собственных значений вблизи границ областей статической и динамической неустойчивости получены явные выражения для градиентов критических нагрузок флаттера и дивергенции по распределению массы стержня через собственные функции прямой и сопряженной задач на собственные значения.

4.3. Построен градиентный метод оптимизации, учитывающий изопе-риметрическое условие и позволяющий монотонно увеличивать функционал критической нагрузки на каждой итерации.

4.4. Показано, что оптимальные решения могут достигаться в точках функционального пространства, где функционал критической нагрузки терпит разрыв. Получены необходимые условия экстремума для таких случаев и найдено решение, удовлетворяющее этим необходимым условиям. При этом критическая нагрузка возрастает по сравнению с однородным стержнем более чем в 2.5 раза.

5. Поставлена и исследована задача об оптимальном размещении заданной неконструктивной массы, погонная плотность которой ограничена, вдоль однородного упругого стержня, движущегося под действием следящей силы.

5.1. При помощи анализа бифуркаций собственных значений на границах областей флаттера и дивергенции выведены явные выражения для градиентов критических нагрузок флаттера и дивергенции по распределению неконструктивной массы. Построен градиентный метод оптимизации, учитывающий изопериметрическое условие и ограничения сверху и снизу на распределение массы, который позволяет монотонно увеличивать критическую нагрузку на каждой итерации.

5.2. При помощи принципа максимума Понтрягина показано, что оптимальные распределения неконструктивной массы являются релейными функциями. Выведены необходимые условия экстремума. Путем численного решения задачи оптимизации градиентным методом получены три релейных распределения с двумя и четырьмя точками переключения, удовлетворяющие необходимым условиям экстремума.

6. Исследована задача об оптимальном выборе массы материальной точки и ее оптимальном расположении вдоль однородного упругого стержня, движущегося под действием следящей силы (задача Лейп-хольца).

6.1. В пространстве трех параметров (значение следящей силы, отношение массы груза к полной массе системы и смещение груза относительно точки приложения следящей силы) построены области устойчивости, флаттера и дивергенции. Найдено оптимальное решение.

6.2. Показано, что оптимальные значения массы материальной точки и ее координаты вдоль стержня доставляют максимум критической нагрузке в точке особенности границы области устойчивости - так называемого «полукубического ребра возврата». В этой точке образуется трехкратное положительное собственное значение с цепочкой Келдыша длины 3. Построены частотные кривые, соответствующие трехкратному собственному значению и иллюстрирующие его распад при вариациях параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кириллов, Олег Николаевич, 2000 год

1. Агафонов С.А. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестник МГУ. Математика, механика. 1972. № 4. С. 87-90.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров // УМН. 1971. Т. 26. №2. С. 101-114.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

5. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982. 304 с.

6. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об устойчивости вязкоупругих стержней // Механика твердого тела. 1974. № 2. С. 78-87.

7. Баничук Н.В., Гура Н.М. Об одной динамической задаче оптимального проектирования // В кн. «Механика деформируемого твердого тела». СО АН СССР. Ин-т гидродинамики, 1979. Вып. 41. С. 20-24.

8. Баничук Н.В., Карпов И.И., Климов Д.М., Маркеев А.П., Соколов Б.Н., Шаранюк A.B. Механика больших космических конструкций. М.: «Факториал», 1997. 302 с.

9. Белецкий В.В. Прикладные задачи устойчивости. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 1990. № 121. 28 с.

10. Ю.Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 336 с.

11. П.Белецкий В.В., Голубицкая М.Д. Стабилизация и экстремальные свойства резонансных режимов двуногой ходьбы // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 2. С. 193-200.

12. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

13. Буньков В.Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента // Труды ЦАГИ. 1969. Вып. 1166. С. 3-23.

14. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // УМН. 1960. Т. 15. Вып. 3 (93). С. 380.

15. Галин Д.М. О вещественных матрицах, зависящих от параметров // УМН. 1972. Т. 27. Вып. 1 (163). С. 241-242.

16. Галин Д.М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем // Труды семинара им. Г.И. Петровского. 1975. Вып. 1. С. 63-74.

17. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. Пятое издание, исправленное. Москва: Добросвет, МЦНМО, 1998.

18. Гопак К.Н., Потеря устойчивости свободным стержнем, ускоренно движущимся под действием следящей силы // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и Машиностроение. 1960. № 4. С. 136-137.

19. Горошко O.A. Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета. Киев: Наукова думка, 1965. С. 46-54.

20. Гохберг И.Ц, Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука. 1965.

21. Гроссман Е.П. Флаттер //Труды ЦАГИ. 1937. Вып. 284. -248 с.22.3евин A.A. К теории линейных неконсервативных систем // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 3. С. 386-391.

22. Ильин М.М., Колесников К.С. Параметрические колебания незакрепленного стержня // Механика твердого тела. 1969. № 5. С. 61-72.

23. Карапетян A.B. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестник МГУ. Математика, механика. 1975. № 4. С. 109-113.

24. Келдыш М.В., О собственных значениях и сопряженных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Доклады Академии Наук СССР. 1951. Т. 77. № 1. С. 11-14.

25. Кириллов О.Н. Оптимизация устойчивости летящего стержня // Вестник молодых ученых. Серия ПММ. 1999. Т. 1, Вып. 1. С. 64-79. С-Пб.

26. Кириллов О.Н., Сейранян А.П. О перестройках частотных кривых в двухпараметрических циркуляционных системах // Научно-методический сборник статей по теоретической механике. МГТУ им. Баумана (принята к печати).

27. Лахаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 2. С. 246-253.

28. Лахаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 1.С. 53-58.

29. Левантовский Л.В. О границе множества устойчивых матриц // УМН. 1980. Т. 35. № 2. С. 213-214.

30. Лидский В.Б. К теории возмущений несамосопряженных операторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6.№1.С. 52-60.

31. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Особенности границ областей устойчивости // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 984-995.

32. Майлыбаев A.A. Метод приведения семейств матриц к нормальным формам // Доклады Академии Наук. 1999. Т. 367. № 2. С. 168-172.

33. Майлыбаев A.A., Сейранян А.П. Об областях устойчивости га-мильтоновых систем // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 4. С. 568-579.

34. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971.-312 с.

35. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.40.0льхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир. 1981.-277 с.

36. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука. 1964. -336 с.

37. Пановко Я.Г., Сорокин C.B. О квазиустойчивости упруговязких систем со следящими силами // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. Том 5. С. 135-139.

38. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

39. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 4. Анализ операторов. М.: Мир. 1982.

40. Севрюк М.Б. Линейные обратимые системы и их версальные деформации // Труды семинара имени И.Г. Петровского. 1991. Вып. 15. С. 33-54.

41. Сейранян А.П. Анализ чувствительности и оптимизация в задачах устойчивости и колебаний упругих систем. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. ИПМ АН СССР. Москва. 1984.

42. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации в задачах устойчивости неконсервативных систем // Успехи механики. 1990. Т. 13. № 2. С. 89124.

43. Сейранян А.П. Бифуркации в однопараметрических циркуляционных системах // МТТ. 1994. № 1. С. 142-148.

44. Сейранян А.П. О границах областей устойчивости, флаттера и дивергенции. Препринт Института механики МГУ, 1995. № 11-95.

45. Сейранян А.П. О стабилизации неконсервативных систем диссипа-тивными силами и неопределенности критической нагрузки // Доклады Академии Наук. 1996. Т. 348. № 3. С. 323-326.

46. Сейранян А.П. Оптимизация систем по критериям колебаний и устойчивости // Известия Академии Наук. Теория и системы управления. 1997. №3. С. 121-127.

47. Сейранян А.П., Шаранюк А.В. Чувствительность и оптимизация критических параметров в задачах динамической устойчивости // Механика твердого тела. 1983. № 5. С. 174-183.

48. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.-254 с.

49. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

50. Феодосьев В.И. Об одной задаче устойчивости // Прикладная математика и механика. 1965. Вып. 2. С. 391-392.

51. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971.- 192 с.

52. Ягн Ю.И., Паршин JI.K. Экспериментальное изучение устойчивости стержня, сжатого следящей силой // Доклады АН СССР. 1966. Том 167. №. 1.С. 49-50.

53. Ashley Н. On Passive Damping Mechanisms in Large Space Structures //Journal of Spacecraft and Rockets. 1984. Vol. 21. No. 5. P. 448-455.

54. Beal T.R. Dynamic Stability of a Flexible Missile under Constant and Pulsating Thrusts // AIAA Journal. 1965. Vol. 3. P. 486-494.

55. Веск M. Die Knicklast des einseitig eingespannten, tangential gedruckten Stabes // ZAMM. 1952. Vol. 3. P. 225-228.

56. Beletsky V.V. Some Stability Problems in Applied Mechanics // Applied Mathematics and Computation. 1995. Vol. 80. P. 1-25.

57. Bisplinghoff R.L., Ashley H. Principles of aeroelasticity. 1975. New York. Dover.

58. Bolotin V.V., Zhinzher N.I. Effects of damping on stability of elastic systems subjected to non-conservative forces // Int. J. Solids Struct. 1969. Vol. 5. No. 9 P. 965-989.

59. Bulatovic R.M. On the stability of linear circulatory systems. // Z. Angew. Math. Phys. ZAMP. 1999. Vol. 50. P. 669-674.

60. Claudon J.L. Characteristic curves and optimum design of two structures subjected to circulatory loads // J.Mec. 1975. V.14. No. 3. P. 531543.

61. Gohberg, I., Lancaster, P., and Rodman L. Matrix Polynomials. 1982. Academy Press, NY.

62. Hanaoka M., Washizu K. Optimum Design of Beck's Column // Computers and Structures. 1980. V. 11. No. 6. P. 473-480.

63. Herrmann, G. Stability of Equilibrium of Elastic Systems Subjected to Nonconservative Forces //Appl. Mech. Rev. 1967. Vol. 20, P. 103-108.

64. Herrmann, G., Jong I.-C. On nonconservative stability problems of elastic systems with slight damping // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33, No. 1. P. 125-133.

65. Huseyin, K. Vibrations and Stability of Multiple Parameter Systems. 1978. Sijthoff & Noordhoff.

66. Kirillov, O.N. and Seyranian, A.P. Optimization of Stability of a Flexible Missile under Follower Thrust // AIAA Paper #98-4969. 1998. P. 2063-2073.

67. Kirillov, O.N. and Seyranian, A.P. Optimization of Stability of a Flying Column // 3rd World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization. Buffalo. New York (USA). May 17-21. 1999. Short paper proceedings. Volume 2. P. 355-357.

68. Kirillov, O.N. and Seyranian, A.P. On the Stability Boundaries of Circulatory Systems // Moscow State Lomonosov University. Institute of Mechanics. 1999. Preprint No. 51-99. 60 p.

69. Kirillov, O.N. and Seyranian, A.P. Bifurcation Diagrams and Stability Boundaries of Circulatory System // VII Международная конференция «Устойчивость, управление и динамика твердого тела». ИПММ НАНУ. Донецк. Украина. 1999. Тезисы докладов. С. 64.

70. Kliem, W. and Seyranian, A.P. Analysis of the Gyroscopic Stabilization of a System of Rigid Bodies // ZAMP. 1997. Vol. 48. P. 840-847.

71. Kounadis, A.N. and Katsikadelis, J.T. On the Discontinuity of the Flutter Load for Various Types of Cantilevers // Int. J. Solids Structures. 1980. Vol. 16. P. 375-383.

72. Langthjem, M.A. and Sugiyama, Y. Optimum Shape Design Against Flutter of a Cantilevered Column with an End-Mass of Finite Size Subjected to a Non-Conservative Load // Journal of Sound and Vibrations. 1999. V. 226. No l.P. 1-23.

73. Leipholz, H. Stability of Elastic Systems. 1980. Sijthoff & Noordhoff.

74. Leipholz, H. Stability Theory. 1987. John Wiley & Sons and B.G. Teubner, Stuttgart.

75. Moro, J., Burke, J.V., and Overton, M.L. On the Lidskii-Vishik-Lyusternik Perturbation Theory for Eigenvalues of Matrices with Arbitrary Jordan Structure // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1997. Vol. 18.,No 4, P. 793-817.

76. Mottershead, J.E. and Chan, S.N. Flutter instability of circular discs with frictional follower forces // Transactions of the ASME, Journal of Vibration and Acoustics. 1995. Vol. 117. P. 161-163.

77. Nishivaki, M. Generalized theory of brake noise // Proceedings of the institution of mechanical Engineers. 1993. Vol. 207. P. 195-202.

78. Park, Y.P. and Mote, C.D. The Maximum Controlled Follower Force on a Free-free Beam Carrying a Concentrated Mass // Journal of Sound and Vibration. 1985. 98(2). P. 247-256.

79. Pedersen, P. Influence of Boundary Conditions on the Stability of a Column under Non-conservative Load // Int. J. Solids Structures. 1977. Vol. 13. No. 5. P. 445-455.

80. Pedersen, P. and Seyranian A.P. Sensitivity Analysis for Problems of Dynamic Stability // Int. J. Solids Structures. 1983. Vol. 19. No. 4. P. 315-335.

81. Plaut, R.H. Determining the Nature of Instability in Nonconservative Problems//AIAA J. 1972. Vol. 10. 967-968.

82. Proceedings of WCSMO-2 Second World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization. 1997. Zakopane. Poland, (ed. Gutkowski W. and Mroz Z.) In 2 volumes.

83. Proceedings of 7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multi-disciplinary Analysis and Optimization. 1998. St. Louis. Missouri. USA. In 3 volumes.

84. Seyranian, A.P. Sensitivity Analysis of Multiple Eigenvalues // Mech. Struct. & Mach. 1993. Vol. 21. No 2. P. 261-284.

85. Seyranian, A.P. and Pedersen, P. On Two Effects in Fluid/Structure Interaction Theory // Proc. 6th Int. Conf. on Fluid-Induced Vibration (Ed. P. Bearman). 1995. P. 565-576.

86. Short Paper Proceedings of WCSMO-3 Third World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization. 1999. Buffalo. New-York. USA. In 2 volumes.

87. Sugiyama, Y., Katayama K., and Kinoi, S. Flutter of cantilevered column under rocket thrust // Journal of Aerospace Engineering, ASCE. 1995. Vol. 8. P. 9-15.

88. Sugiyama, Y., Matsuike, J., Ryu, B.-J., Katayama K., Kinoi, S., and Enomoto, N. Effect of concentrated mass on stability of cantilevers under rocket thrust // AIAA Journal. 1995 Vol. 33. P. 499-503; 1996. Vol. 34, P. 212.

89. Sugiyama, Y., Langthjem, M.A., Ryu, B.-J. Realistic follower forces // Journal of Sound and Vibrations. 1999. Vol. 225. No. 4. P. 779-782.

90. Sun, J.-G. Eigenvalues and eigenvectors of a matrix dependent on several parameters //J. Comput. Math. 1985. V. 3. P. 351-364.

91. Sundararajan C. Optimization of a Nonconservative Elastic System with Stability Constraint // Journal of Optimization Theory and Applications. 1975. Vol. 16. Nos. 3/4, P. 355-378.

92. Wood W.G., Saw S.S., Saunders P.M. The kinetic stability of a tangen-tially loaded structure // Proc. Royal Soc. London. 1969. Ser. A. Vol. 313. No. 1513 P. 239-248.

93. Zyczkowski M. (ed.) Structural Optimization Under Stability and Vibration Constraints. 1989. Wien New-York. Springer-Verlag. -329 p.