Особенности границ областей устойчивости: Анализ и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Майлыбаев, Алексей Абаевич

• Майлыбаев, Алексей Абаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Майлыбаев, Алексей Абаевич

Оглавление

Введение

Глава I. Особенности границ областей устойчивости

§1. Распад жордановых клеток

§2. Одно- и двухпараметрические семейства матриц

§3. Пример: устойчивость состояния равновесия в цепи вольтовой дуги

§4. Трехпараметрические семейства матриц

§5. Особенность "излом ребра"

§6. Маятник Циглера

§7. Семейства полиномов

§8. Случай произвольного числа параметров

Глава И. О смене критического тона

§1. Классификация способов смены критического тона

§2. Задача М.В. Келдыша об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами----55

Глава III. Об особенностях оптимальных решений и методе учета

погрешностей параметров в задачах устойчивости

§1. Оптимизация крыла с подкосом по критерию аэроупругой устойчивости

погрешностей параметров

§3. Нахождение критической скорости крыла с подкосом с учетом

погрешностей параметров

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности границ областей устойчивости: Анализ и приложения»

Введение

Задачи устойчивости и колебаний неконсервативных систем приобрели особый интерес в связи с развитием современного машиностроения, авиации, ракетной техники и т.д. Этим задачам посвящено большое количество статей и монографий, см., например, [11, 16, 17, 36]. Анализ устойчивости является одним из основных этапов в исследовании неконсервативной системы. Он приводит к необходимости исследовать собственные значения несамосопряженных операторов. На практике для систем с бесконечным числом степеней свободы применяются различные методы дискретизации (метод конечного элемента, метод Бубнова-Галеркина, и т.п.). В результате задача устойчивости сводится к изучению собственных значений конечномерного несамосопряженного оператора (т.е. несимметрической матрицы а).

В случае, когда рассматривается матрица а, отвечающая отдельно взятой неконсервативной системе, свойства собственных значений хорошо изучены, см. например [20]. По другому обстоит дело, когда исследованию подлежит не отдельная система, а целое семейство систем, гладко зависящих от параметров (длин, жесткостей, масс и т.п.). В этом случае целью исследования устойчивости является нахождение областей устойчивости в пространстве параметров. Для определения области устойчивости необходимо найти ее границу. Именно здесь и возникают главные трудности. Дело в том, что граница области устойчивости не является, вообще говоря, гладкой. Она может иметь особенности, отвечающие кратным собственным значениям матрицы а. При возмущении параметров кратные собственные значения распадаются на несколько собственных значений более низкой кратности (происходит бифуркация). Все это приводит к сложному анализу даже в самых простых случаях. Перечисленные вопросы изучаются в теории особенностей и бифуркаций - области математики, бурно развивающейся в последнее время. Обзор результатов в этой области дан в [5, 50].

Особенности границ областей устойчивости в случае автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида у — а у исследовались В. И. Арнольдом

[3, 4, 6]. Им были перечислены особенности общего положения в случае, когда матричный оператор А зависит от двух или трех параметров, и дано их описание с точностью до гладкой замены координат (диффеоморфизма). Эти результаты развивались в работах Л.В. Левантовского [29, 30, 31]. В [31] для семейств матриц и полиномов (автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида у — А у и

ж("г)_)_а1а;("1-1)-)-----\-атх = 0) с точностью до диффеоморфизма описаны особенности

общего положения границ областей устойчивости в случае четырех параметров (т.е. описаны перестройки трехмерных диаграмм устойчивости). В работах [29, 30] исследуются особенности границ областей устойчивости в пространстве действительных матриц и полиномов. С точностью до диффеоморфизма описаны касательные конусы (линейные приближения) к области устойчивости для всех типов особенностей в случае полиномов. В случае матриц касательные конусы описаны для особенностей, характеризуемых собственными значениями с одной жордановой клеткой.

Перечисленные выше результаты В.И. Арнольда и Л.В. Левантовского носят качественный характер. Они дают представление о том, какие особенности могут возникать на границах областей устойчивости, но не указывают конструктивные методы для исследования конкретных систем, зависящих от параметров.

Особенности границ областей устойчивости в случае циркуляционных систем (систем автономных обыкновенных дифференциальных уравнений вида у = А у), зависящих от двух параметров, изучались А.П. Сейраняном [44]. Им был предложен метод определения геометрии особенностей типа "излом границы" и "точка возврата". Для этого использовалась информация о собственных и присоединенных векторах матрицы А, а также ее первых производных по параметрам в точке особенности.

С задачей исследования особенностей границ областей устойчивости тесно связана задача об определении стабилизирующих возмущений матрицы. Этому вопросу посвящена работа Дж.В. Бурке и М.Л. Овертона [53], где для возмущения вида А(е) = А0 + еВ (е > 0 - параметр возмущения) получены необходимые условия, которым удовлетворяет матрица В стабилизирующего возмущения.

С границами областей устойчивости связаны также другие эффекты теории осо-

бенностей и бифуркаций. Одним из них является эффект смены критического тона. Этот эффект наблюдался при параметрическом исследовании флаттера самолетов, трубопроводов, по которым течет жидкость, и т.д. (см., например, [14, 52, 73]). Один из способов смены критического тона является следствием "перехлеста ветвей" в окрестности двукратного собственного значения. Этот случай был описан А.П. Сейраняном и П. Педерсеном [68, 69, 43]. Другие эффекты - устойчивость при за-критических значениях параметра нагрузки и разрыв критической скорости при изменении параметра системы - наблюдались при исследовании конкретных систем в работах [54, 55].

Возникновение особенностей границ областей устойчивости является типичным явлением. Многочисленные примеры механических систем, в которых реализуются особенности, можно найти в монографиях [1, 11, 25, 34, 36] и др. Тем не менее, методы количественного анализа этих особенностей находятся на начальной стадии развития. Основное внимание исследователей уделялось качественному анализу особенностей и их классификации.

Основными методами анализа особенностей и бифуркаций являются метод нормальных форм и метод возмущений. Развитию этих методов и их применению к различным задачам теории особенностей и бифуркаций посвящено множество статей и монографий (см. [4, 5, 8, 12, 13, 46, 64] и др.). В случае семейств комплексных матриц нормальные формы (миниверсальные деформации) были найдены В.И. Арнольдом [2, 4]. Миниверсальные деформации матриц были введены как обобщение жордановой нормальной формы на случай матриц, зависящих от параметров. В [2] миниверсальные деформации были использованы для классификации особенностей бифуркационных диаграмм в случае двух и трех параметров. Миниверсальные деформации вещественных матриц были найдены Д.М. Галиным [18] и применены в [3, 4] для классификации особенностей декремент-диаграмм в случае одного и двух параметров, а также для классификации особенностей границ областей устойчивости. Эти же миниверсальные деформации являлись основным инструментом исследования особенностей в работах Л.В. Левантовского [29, 30, 31]. В настоящее время найдены

миниверсальные деформации матриц, описывающих системы различного вида. В том числе, случай гамильтоновых матриц рассматривался в работах [19, 57], случай обратимых матриц - в [38, 70] и т.д. Общей чертой вышеперечисленных работ является то, что в них не затрагивается вопрос о приведении к минивер сальной деформации (о нахождении соответствующих замен базиса и параметров). Попытки разрешить эту проблему для семейств малой размерности или семейств, имеющих специфическую жорданову структуру, предпринимались в работах Д. Шмидта [71, 72]. Дж.В.Бурке и М.Л. Овертоном [53] частично были найдены первые производные функций замены параметров, приводящей семейство действительных матриц к минивер сальной деформации.

Отсутствие конструктивных методов приведения к минивер сальной деформации представляет собой главное препятствие при попытке применить их к количественному анализу особенностей. Тем не менее, метод минивер сальных деформаций является очень эффективным при качественном исследовании особенностей и их классификации.

Другой подход к изучению особенностей границ областей устойчивости заключается в использовании методов теории возмущений. Методы теории возмущений по своей природе являются методами количественного анализа. Однако, в отличие от метода минивер сальных деформаций, они значительно более трудны в применении при исследовании сложных особенностей.

Задачи теории возмущений можно разделить на однопараметрические и многопараметрические. В случае одного параметра центральные задачи теории возмущений решены полностью. Этому посвящено большое число статей и монографий, в том числе [51, 56], где довольно подробно представлена аналитическая теория возмущений, и дана обширная библиография.

Перечислим некоторые ключевые работы, касающиеся возмущений собственных значений несимметрических матриц. В работе М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [15] была доказана теорема о разложимости возмущенных собственных значений и собственных векторов в ряды по дробным степеням параметра возмущения и пред-

ложена рекуррентная процедура для определения коэффициентов в этих рядах. В.Б. Лидским [32] был разработан более простой метод определения главных членов вариаций собственных значений и векторов. Обобщенная задача на собственные значения а(А) + в(А, е) = 0, где А - собственное значений, а г - параметр возмущения, рассматривалась в работах X. Лангера и Б. Неймана [62, 58], где были найдены главные члены вариаций собственных значений.

Многие работы по теории возмущений собственных значений посвящены матрицам специального типа. Так, возмущения собственных значений в случае матриц монодромии линейных канонических систем с периодическими коэффициентами исследовались И.М. Гельфандом и В.Б. Лидским [21], а также М.Г. Крейном и Г.Я. Любарским [28]. Случай гамильтоновых матриц был изучен в работе Дж. X. Мад-докса и М.Л. Овертона [60].

Случай нескольких параметров в задачах о возмущении собственных значений матриц исследовался в работах А.П. Сейраняна [42, 67], где было введено возмущение по направлению в пространстве параметров, и затем использовались результаты М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [15]. В работе [43] были выписаны соотношения, описывающие возмущения собственных значений в случае механической системы му + в у + с у — 0, зависящей от нескольких параметров.

В перечисленных выше работах предлагаются методы определения возмущений собственных значений матриц. Однако в каждом из этих методов имеются условия, которым должно удовлетворять возмущение матрицы (некоторые условия невырожденности возмущения, названные в [15] условием "Г"). Эти условия имеют вид неравенств. Их невыполнение означает то, что разложения собственных значений в ряд по дробным степеням параметра возмущения могут иметь иной, не стандартный для возмущаемой матрицы вид. В случае нескольких параметров такое условие может, например, выделить гиперплоскость направлений. При изучении возмущений вдоль таких направлений упомянутые методы возмущений не действуют. Оказывается, что именно такие "вырожденные" направления представляют особый интерес при исследовании особенностей границ областей устойчивости.

Задачи о возмущении собственных значений в случае невыполнения условий невырожденности рассматривались в работах X. Лангера и Б. Неймана [59], Дж. Моро и др. [61], где изучались некоторые специфические случаи. Однако конструктивных методов исследования данной задачи в общем случае не было предложено.

Как отмечалось выше, исследование особенностей границ областей устойчивости несамосопряженных операторов имеет большое прикладное значение для исследования устойчивости неконсервативных механических систем, зависящих от параметров. Особо это относится к задачам аэроупругости, которые являются неконсервативными из-за наличия аэродинамических сил. Эти задачи представляют исключительный интерес для авиации, ракетной техники и т.д. В настоящее время имеется обширная библиография, посвященная аэроупругости. Отметим некоторые монографии отечественных и зарубежных авторов, целиком посвященные этому вопросу [10, 16, 17, 24, 47, 48]. В них, в частности, можно найти библиографические сведения об основополагающих работах в области аэроупругости. Одной из основных задач аэроупругости является исследование устойчивости колебаний конструкций в потоке жидкости или газа. По своей природе задачи аэроупругой устойчивости содержат большое число параметров. Кроме того, вследствие сложной структуры аэродинамических сил задачи аэроупругости чрезвычайно емкие с вычислительной точки зрения. Все это делает актуальным развитие методов, позволяющих исследовать устойчивость системы в окрестности точки пространства параметров по информации в этой точке (не проводя параметрического исследования окрестности). В неособом случае эта задача решается методами анализа чувствительности (см. [41]). В особых случаях (при наличии нескольких форм потери устойчивости при критической нагрузке) данная задача так или иначе связана с исследованием особенностей границ областей устойчивости. Такие особые случаи (в связи с задачей оптимизации) обсуждались в работах А.П. Сейраняна и A.B. Шаранюка [39, 40].

Другая область, где особенности границ областей устойчивости играют особую роль - это задачи оптимизации по критерию устойчивости. Особенности возникают как в процессе оптимизации, так и в качестве оптимальных точек. С ними связано

такое опасное и часто проявляющееся свойство оптимальных решений, как чувствительность к несовершенствам. Задачам оптимизации неконсервативных систем по критерию устойчивости посвящено большое число публикаций. Обширная библиография по этому вопросу содержится в докторской диссертации А.П. Сейраняна [41]. Вопросы оптимизации авиационных конструкций исследовались в [7, 9], а вопросы чувствительности к несовершенствам оптимальных решений обсуждались в работах [37, 46, 49, 64, 65, 75].

Настоящая диссертация посвящена исследованию особенностей границ областей устойчивости и связанных с ними эффектов, возникающих при изучении устойчивости неконсервативных механических систем, зависящих от нескольких параметров, а также в задачах оптимизации по критерию устойчивости. В ней развиваются конструктивные методы количественного анализа особенностей, формируется общий подход к количественному исследованию особенностей границ областей устойчивости и других подобных эффектов. Основное содержание диссертации излагается в трех главах.

В первой главе рассматривается линейная автономная система дифференциальных уравнений у = а у, где матричный оператор а гладко зависит от вещественных параметров. Предлагается конструктивный подход, позволяющий определить геометрию особенностей границ областей устойчивости (ориентацию в пространстве, величины углов и т.п.) по первым производным матрицы а по параметрам и ее собственным и присоединенным векторам, вычисленным в особых точках границы. Методы исследования особенностей основаны на теории возмущений собственных значений матриц, зависящих от параметров, и теории миниверсальных деформаций. Далее изучаются особенности границ областей устойчивости для линейных дифференциальных уравнений порядка ш, коэффициенты которых гладко зависят от двух или трех параметров. В качестве примеров рассмотрены задачи об устойчивости состояния равновесия в цепи вольтовой дуги и об устойчивости движения двойного маятника Циглера, нагруженного следящей силой, с двумя независимыми параметрами диссипации. С точки зрения теории особенностей дана геометрическая интер-

претация известного парадокса дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокса Циглера).

Во второй главе исследуется эффект смены критического тона в неконсервативных механических системах, связанный как с особенностями границ областей устойчивости, так и с бифуркациями кратных собственных значений. Дается полная классификация способов смены критического тона в случае общего положения. Каждый из способов описывается с точки зрения теории особенностей и бифуркаций.

В этой же главе рассматривается задача об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами. Данная задача была поставлена М.В. Келдышем в 1938 году [26, 27]. В результате численных расчетов он пришел к выводу, что при определенных положениях подкоса флаттер крыла отсутствует. Эти выводы, полученные на основании одночленного приближении по Бубнову-Галеркина, не подтверждаются при увеличении числа членов в разложении. Показано, что точка "исчезновения" флаттера в действительности является точкой смены критического тона.

Третья глава посвящена исследованию особенностей оптимальных решений в задачах максимизации критической скорости потери аэроупругой устойчивости. Определяются оптимальные положения подкоса в задаче М.В. Келдыша. Показано, что эти оптимальные решения являются негрубыми: малые возмущения параметров приводят к резкому падению критической скорости. Разрабатывается конструктивный метод учета погрешностей параметров для определения надежной критической скорости. Решается задача оптимизации положения подкоса с учетом погрешностей параметров. Обосновывается необходимость учета погрешностей параметров в задачах оптимизации по критерию аэроупругой устойчивости.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [78, 83, 84, 85, 86, 95] и препринтах [82, 94], докладывались на Конференции молодых ученых мехмата МГУ (1995г.), на Международном научном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (Москва, 1996г.) [77], на III Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Москва, 1997г.) [79], на Всероссийской конферен-

ции с международным участием "Проблемы небесной механики" (Санкт-Петербург, 1997г.) [80], на VII Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1997г.) [81], на II Международном конгрессе по структурной и междисциплинарной оптимизации (Закопане, Польша, 1997г.) [91], на 3-ей Международной конференции ЕШЮМЕСН по механике твердого тела (Стокгольм, 1997г.) [92], на II Международном аэрокосмическом конгрессе (Москва, 1997 г.) [93], на Международном конгрессе математиков (Берлин, 1998г.) [96], на 7-ом Симпозиуме А1АА/Ш АР/^АБА/188МО по междисциплинарному анализу и оптимизации (Сент-Луис, США, 1998г.) [97], на Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 1998г.) [98], а также на семинарах в МГУ, ЦАГИ, ИПМ РАН, МФТИ, МАИ и БСАММ (Датском центре по прикладной математике и механике).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.П. Сейраняну за чуткое руководство, всяческую помощь во вхождении в научный мир и за переданное философское отношение к науке и жизни.

Автор особо благодарен В.В. Александрову за то, что он порекомендовал ему А.П. Сейраняна в качестве научного руководителя и в дальнейшем неизменно оказывал поддержку и помощь, а также В.И. Арнольду, В. Климу (\У. КПет) и В.М. Морозову за ценные комментарии и замечания.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Майлыбаев, Алексей Абаевич

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие результаты:

1. Предложен конструктивный подход, позволяющий определить геометрию особенностей границ областей устойчивости (касательные векторы, величины углов и т. п.).

1.1. В явном виде выписаны выражения для нескольких первых членов разложений, описывающих распад дву- и трехкратных собственных значений вещественной несимметрической матрицы, зависящей от параметров.

1.2. В случае линейных автономных систем дифференциальных уравнений вида у — А у, где матрица А гладко зависит от двух или трех параметров, найдены касательные конусы (линейные приближения) к области устойчивости в особых точках ее границы. Рассмотрены все типы особенностей общего положения.

1.3. Исследованы особенности границ областей устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения х^-\-----|-атх = 0, коэффициенты которого гладко зависят от двух или трех параметров. Получены выражения касательных конусов для всех типов особенностей общего положения.

1.4. Показано, что для определения геометрии особенности границы области устойчивости необходима лишь информация в самой точке: первые производные матрицы А по параметрам, а также ее собственные и присоединенные векторы, либо значения коэффициентов аг- и их первых производных по параметрам в особой точке.

1.5. Предложены два метода исследования особенностей границ областей устойчивости. Первый метод основан на теории возмущений собственных значений несамосопряженных операторов, а второй - на теории миниверсальных деформаций матриц.

1.6. Освещены перспективы использования этих методов для исследования особенностей в случае общего и не общего положения при наличии более чем трех параметров.

2. Исследована устойчивость двойного маятника Циглера с двумя независимыми параметрами диссипации, нагруженного следящей силой.

2.1. Показано, что граница области устойчивости этой системы имеет ребро, оканчивающееся особенностью типа "тупик на ребре".

2.2. Показано, что возникновение особенности "тупик на ребре" является причиной парадокса дестабилизации неконсервативной системы малыми диссипативными силами (парадокса Циглера) и приводит к отсутствию предела критической нагрузки при стремлении параметров диссипации к нулю.

3. Произведена классификация способов смены критического тона потери устойчивости в задачах о флаттере, содержащих два параметра V и р, где V - параметр нагрузки.

3.1. Показано, что в случае общего положения существуют три таких способа, которые сопровождаются соответственно гладкостью, разрывом первой производной и разрывом критической нагрузки Ус(р).

3.2. Для каждого из способов смены критического тона описано характерное поведение собственных значений А на комплексной плоскости и приведены характерные графики функций 11еА(У) при различных р.

3.3. Описана связь эффекта смены критического тона с особенностями границ областей устойчивости и бифуркациями кратных собственных значений.

4. Исследована аэроупругая устойчивость крыла с подкосами в двух случаях: один подкос, закрепленный на оси жесткости крыла, и два подкоса, фиксирующие одно сечение крыла (задача М.В. Келдыша).

4.1. Изучено поведение собственных значений на комплексной плоскости при изменении параметров задачи. На плоскости параметров построены области устойчивости, флаттера и дивергенции.

4.2. Показано, что при изменении точки крепления подкоса происходит смена критического тона. При этом для подкосов разного типа эта смена реализуется двумя различными способами (из трех возможных).

4.3. Показано, что положение подкоса, при котором происходит смена критического тона в первом случае, было обнаружено М.В. Келдышем, но не охарактеризовано, как таковое. На основе одночленного приближения по Бубнову-Галеркину им был сделан вывод, что при некотором удалении точки крепления подкоса первого и второго типа от основания крыла критической скорости не существует. В настоящей диссертации показано, что этот вывод не подтверждается при увеличении числа членов в методе Бубнова Галеркина.

5. Исследована аэроупругая устойчивость крыла с подкосом при произвольном положении точки крепления подкоса на крыле.

5.1. В пространстве трех параметров (скорость потока воздуха и две координаты точки крепления подкоса) построены области устойчивости, флаттера и дивергенции.

5.2. Определены оптимальные точки крепления подкоса, максимизирующие критическую скорость потери устойчивости. Показано, что полученные оптимальные решения являются негрубыми (небольшие погрешности в определении параметров имеют сильное дестабилизирующее влияние).

6. Разработан конструктивный метод учета погрешностей параметров в задачах оптимизации по критерию устойчивости.

6.1. Дано определение критической скорости потери устойчивости с учетом погрешностей параметров. Предложен эффективный метод ее расчета, использующий первые производные простых собственных значений по параметрам.

6.2. Для крыла с подкосом выведены выражения первых производных простых собственных значений по всем параметрам задачи (массам, длинам, жесткостям и т.д.) через собственные функции прямой и транспонированной задач на собственные значения.

6.3. Решена задача оптимизации (максимизации критической скорости крыла с подкосом) в новой постановке (с учетом погрешностей параметров). Проведено сравнение решений, полученных при различных постановках задачи оптимизации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Майлыбаев, Алексей Абаевич, 1999 год

Список литературы

[1] Андронов A.A., Витт A.A., ХаЙКИН С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

[2] АРНОЛЬД В.И. О матрицах, зависящих от параметров. УМН. 1971. Т. 26. Вып. 2. С. 101-114.

[3] Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версалъных семействах. УМН. 1972. Т. 27. Вып. 5. С. 119-184.

[4] арнольд в.и. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

[5] Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Динамические системы - 5. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986.

[6] арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128с.

[7] Баничук Н.В., Бирюк В.И., Сейранян А.П., Фролов В.М., Яремчук Ю.Ф. Методы оптимизации авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1989. 296 с.

[8] БелицкиЙ Г.Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев: Наукова думка, 1979. 173 с.

[9] бирюк В.И., Липин Е.К., Фролов В.М. Методы проектирования конструкций самолетов. М.: Машиностроение, 1977. 232 с.

[10] Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость. М.: ИЛ, 1958. 799 с.

[11] БОЛОТИН В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

[12] брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 254 с.

[13] БРЮНО А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных урав-МбМ ИЛкС • М.: Наука. Физматлит, 1998. 288с.

[14] БУНЬКОВ В.Г. Расчет оптимальных флаттерных характеристик методом градиента. Тр. ЦАГИ. 1969. Вып. 1166. С. 3-23.

[15] вишик м.и., люстерник л.а. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I. УМН. 1960. Т. 15. Вып. 3. С. 3-80.

[16] ВОЛЬМИР A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976. 416 с.

[17] ВОЛЬМИР A.C. Оболочки б потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.

[18] Галин Д.М. О вещественных матрицах, зависящих от параметров. УМН. 1972. Т. 27. Вып. 1. С. 241-242.

[19] Галин Д.М. Версалъные деформации линейных гамильтоновых систем. Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1975. Вып. 1. С. 63-74.

[20] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988.

[21] ГЕЛЬФАНД И.М., ЛИДСКИЙ В.Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. УМН. 1955. Т. 10. Вып. 1. С. 3-40.

[22] гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1966. 280с.

[23] Гроссман Е.П., Кричевский С.С., Борин A.A. К вопросу о потере устойчивости конструкцией крыла в полете. Тр. ЦАГИ. 1935. Вып. 202. 64 с.

[24] Гроссман Е.П. Флаттер. Тр. ЦАГИ. 1937. Вып. 284. 248 с.

[25] карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: "Эдиториал УРСС", 1998. 168 с.

[26] келдыш М.В. Вибрации в воздушном потоке крыла с подкосами. Тр. ЦАГИ. 1938. Вып. 357. 39 с.

[27] келдыш М.В. Механика: Избр. тр. М.: Наука, 1985. С. 304-341.

[28] КРЕЙН М.Г., ЛЮБАРСКИЙ Г.Я. Об аналитических свойствах мультипликаторов периодических канонических дифференциальных систем положительного типа. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962. Т. 26. С. 549-572.

[29] ЛЕВАНТОВСКИЙ Л.В. Об особенностях границы области устойчивости. Вести. МГУ. Сер. 1, матем., мех. 1980. №6. С. 20-22.

[30] ЛЕВАНТОВСКИЙ Л.В. О границе множества устойчивых матриц. УМН. 1980. Т. 35. Вып. 2. С. 213-214.

[31] ЛЕВАНТОВСКИЙ Л.В. Особенности границы области устойчивости. Функ. анализ и его прил. 1982. Т. 16. Вып. 1. С. 44-48.

[32] ЛИДСКИЙ В.Б. К теории возмущений несамосопряженных операторов. Ж. вы-числ. мат. мат. физ. 1966. Т. 6. № 1. С. 52-60.

[33] МАКАРЕВСКИЙ А.И., ЧИЖОВ В.М. Основы прочности и аэроупругости летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1982. 238 с.

[34] МЕРКИН Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987. 304 с.

[35] МИХЛИН С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

[36] Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 384 с.

[37] ПОЛЯК Б.Т., ЦЫПКИН Я.З. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем. Автоматика и телемех. 1990. №9. С. 45-54.

[38] СЕВРЮК М.Б. Линейные обратимые системы и их версальные деформации. Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. Вып. 15. С. 33-54.

[39] СеЙРАНЯН А.П., ШАРАНЮК A.B. Чувствительность и оптимизация критических параметров в задачах динамической устойчивости. Изв. АН СССР. МТТ. 1983. №5. С. 174-183.

[40] СеЙРАНЯН А.П., ШАРАНЮК A.B. Оптимизация флаттерных характеристик. Изв. АН Арм. ССР. Механика. 1984. Т. 37. №5. С. 38-51.

[41] СеЙРАНЯН А.П. Анализ чувствительности и оптимизация в задачах устойчивости и колебаний упругих систем. Дис. ... докт. физ.-мат. наук. М., ИПМ АН СССР, 1984. 345 с.

[42] СеЙРАНЯН А.П. Анализ чувствительности собственных значений и развитие неустойчивости. Strojnicky cäs. 1991. V. 42. №3. Р. 193-208.

[43] СеЙРАНЯН А.П. Столкновения собственных значений в линейных колебательных системах. ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 5. С. 49-58.

[44] СеЙРАНЯН А.П. О границах областей устойчивости, флаттера и дивергенции. Препринт И-та механики МГУ. М., 1995. № 11-95. 39 с.

[45] СеЙРАНЯН А.П. О стабилизации неконсервативных систем диссипативными силами и неопределенности критической нагрузки. Докл. РАН. 1996. Т. 348. № 3. С. 323-326.

[46] томпсон Дж.М.т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. 254 с.

[47] фершинг Г.В. Основы аэроупругости. М.: Машиностроение, 1984. 599 с.

[48] Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.: Физматгиз, 1959. 523 с.

[49] харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений. Диф. ур. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.

[50] arnold V.I. Bifurcations and singularities in mathematics and mechanics. Theoretical and Appl. Mech. P. Germain, M. Piau and D. Caillerie, ed. Elsevier Science Publishers B.V., IUTAM, 1989. P. 1-25.

[51] BAUMGARTEL H. Analytic perturbation theory for matrices and operators. Boston: Birkhauser Verlag, 1985.

[52] BISHOP R.E.D., FawZY I. Free and forced oscillation of a vertical tube containing a flowing fluid. Phil. Trans. Roy. Soc. bond. Ser. A. 1976. V. 284. № 1316. P. 1-47.

[53] BURKE J.V., OVERTON M.L. Stable perturbations of nonsymmetric matrices. Linear Algebra Appl. 1992. V. 171. P. 249-273.

[54] Finzi L., glangreco E. Recent Ralian contributions in the field of dynamic stability of structures. Proc. Int. Conf. on Dynamic Stability of Structures (ed. g. Herrmann). Pergamon Press, 1965. P. 309-312.

[55] herrmann G., Jong I.-C. On the destabilizing effect of damping in nonconservative elastic systems. Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1965. V. 32. P. 592-597.

[56] KATO T. Perturbation theory for linear operators. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

[57] Koqak H. Normal forms and versal deformations of linear Hamiltonian systems. J. Diff. Equat. 1984. V. 51. №3. P. 359-407.

[58] LANGER H., NajmaN B. Remarks on the perturbation of analytic matrix functions II. Integral Equations Operator Theory. 1989. V. 12. № 3. P. 392-407.

[59] langer H., Najman B. Remarks on the perturbation of analytic matrix functions III. Integral Equations Operator Theory. 1992. V. 15. № 5. P. 798-806.

[60] MADDOCKS J.H., OVERTON M.L. Stability theory for dissipatively perturbed Hamil-tonian systems. Comm. Pure Appl. Math. 1995. V. 48. № 6. P. 583-610.

[61] Moro J., Burke J.V., Overton M.L. On the Lidskii-Vishik-Lyusternik perturbation theory for eigenvalues of matrices with arbitrary Jordan structure. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1997. V. 18. №4. P. 793-817.

[62] NAJMAN B. Remarks on the perturbation of analytic matrix functions. Integral Equations Operator Theory. 1986. V. 9. P. 593-599.

[63] pedersen p., seyranian A.p. Sensitivity analysis for problems of dynamic stability. Int. j. Solids Structures. 1983. V. 19. №4. p. 315-335.

[64] poston T., stewart I. Catastrophe theory and its applications. London: Pitman, 1978.

[65] PRIVALOVA O.G., SEYRANIAN A.P. Post-buckling behaviour of elastically supported optimal columns. Proc. 2nd World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization (Eds. W.Gutkowski, Z.Mroz). Zakopane, Poland, 1997. V. 2. P. 791-796.

[66] seyranian A.P. Sensitivity analysis and optimization of aeroelastic stability. Int. J. Solids Structures. 1982. V. 18. № 9. P. 791-807.

[67] SEYRANIAN A.P. Sensitivity analysis of multiple eigenvalues. Mech. Struct, and Mach. 1993. V. 21. №2. P. 261-284.

[68] seyranian A.P., pedersen P. On interaction of eigenvalue branches in non-conservative, multi-parameter problems. Dynamics and Vibration of Time-Varying Structures: Conf. on Mech. Vibrat. and Noise. N. Y.: ASME, 1993. p. 19-31.

[69] seyranian A.p., pedersen p. On two effects in fluid/structure interaction theory. Proc. 6th Int. Conf. on Fluid-Induced Vibration (ed. p. Bearman). 1995. P. 565-576.

[70] SHIH C.-W. Normal forms and versal deformations of linear involutive dynamical systems. Chinese J. Math. 1993. V. 21. №4. P. 333-347.

[71] schmidt D.S. Transformations to versal normal form. In: K. R. Meyer, D. s. Schmidt, Eds. Computer Aided Proofs in Analysis. IMA Vol. Math. Appl. V. 28 (New York: Springer, 1989). P. 235-240.

[72] schmidt D. Versal normal form of the Hamiltonian function of the restricted problem of three bodies near L\. J. Comput. Appl. Math. 1994. V. 52. P. 155-176.

[73] sugiyama Y., noda T. Studies of stability of two-degrees-of-freedom articulated pipes conveying fluid. Bull. JSME. 1981. V. 24. № 194. P. 1354-1362.

[74] Sun J.-G. Eigenvalues and eigenvectors of a matrix dependent on several parameters. J. Comput. Math. 1985. V. 3. P. 351-364.

[75] Thompson J.M.T., Hunt G.W. A general theory of elastic stability. London: Wiley, 1973.

[76] ZlEGLER H. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik. Ing.-Arch. 1952. V. 20. № 1. P. 49-56.

Публикации автора

[77] майлыбаев а.а. Численное исследование аэроупругой устойчивости крыла с подкосами (задача М.В. Келдыша). Тр. межд. научного конгресса студ., асп. и молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (YSTM'96). М., НТА АПФН, 1997. Т. 1. С. 1-11-1-12.

[78] МАЙЛЫБАЕВ А.А., СЕЙРАНЯН А.П. Задача Келдыша об аэроупругой устойчивости крыла с подкосами. Докл. РАН. 1996. Т. 350. № 4. С. 485-488.

[79] майлыбаев А.А., сейранян А.П. Задача Келдыша об аэроупругой устойчивости крыла с подкосом и ее развитие. Тезисы докл. III Межд. симп. "Динами-

ческие и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". М., 1997. С. 78.

[80] СеЙРАНЯН А.П., МАЙЛЫБАЕВ A.A. Об особенностях границы области устойчивости семейства матриц. Тезисы докл. Всероссийской конф. смежд. участием "Проблемы небесной механики". Санкт-Петербург, 1997. С. 150-151.

[81] МАЙЛЫБАЕВ A.A., СЕЙРАНЯН А.П. Исследование особенностей границ областей устойчивости. Тезисы докл. VII Четаевской конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Казань, 1997. С. 17.

[82] СЕЙРАНЯН А.П., МАЙЛЫБАЕВ A.A. Геометрия особенностей границ областей устойчивости. Препринт И-та механики МГУ. М., 1997. №25-97. 39с.

[83] МАЙЛЫБАЕВ A.A., СЕЙРАНЯН А.П. Влияние места крепления подкоса на аэроупругую устойчивость прямого крыла. Уч. зап. ЦАГИ. 1997. Т. 28. № 3-4. С. 171-186.

[84] МАЙЛЫБАЕВ A.A., СЕЙРАНЯН А.П. Аэроупругая устойчивость крыла с подкосами (задача Келдыша). Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 1. С. 151-162.

[85] МАЙЛЫБАЕВ A.A., СЕЙРАНЯН А.П. Об особенностях границы области устойчивости. Докл. РАН. 1998. Т. 359. № 5. С. 632-636.

[86] МАЙЛЫБАЕВ A.A., СЕЙРАНЯН А.П. Особенности границ областей устойчивости. ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 6. С. 984-995.

[87] МАЙЛЫБАЕВ A.A. О касательных конусах к области устойчивости семейства действительных матриц. Вестн. МГУ. Сер. 1, матем., мех. 1998. №6. С. 51-54.

[88] МАЙЛЫБАЕВ A.A. Приведение семейств матриц к нормальным формам и приложение к теории устойчивости. Фунд. и прикл. матем. (принято к печати)

[89] МАЙЛЫБАЕВ A.A. Метод приведения семейств матриц к нормальным формам. Докл. РАН. (принято к печати)

[90] МАЙЛЫБАЕВ A.A. О смене критического тона в неконсервативных механических системах. Вести, молодых ученых. Сер. ПММ. (в печати)

[91] MAILYBAEV A.A., SEYRANIAN А.P. Optimal position of a bracing strut of a wing with respect to aeroelastic stability. Proc. 2nd World Congress of Structural and Mul-tidisciplinary Optimization (Eds. W.Gutkowski, Z.Mroz). Zakopane, Poland, 1997. V. 2. P. 941-946.

[92] MAILYBAEV A.A., SEYRANIAN A.P. Optimization of a wing with a strut with respect to critical speed of aeroelastic stability. 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conf. Abstracts. Stockholm, Sweden, 1997. P. 284.

[93] SEYRANIAN A.P., MAILYBAEV A.A. The Keldysh problem on aeroelastic stability of a wing with struts and its extension. 2nd Int. Aerospace Congress. Abstracts. M., 1997. P. 210.

[94] MAILYBAEV A.A., SEYRANIAN A.P. On singularities of a boundary of the stability domain. DCAMM report № 574. Technical University of Denmark. 1998. 29p.

[95] MAILYBAEV A.A., SEYRANIAN A.P. On singularities of a boundary of stability domain. SIAM J. Matrix Anal. Appl. (accepted for publication)

[96] MAILYBAEV A.A., SEYRANIAN A.P. On singularities of stability domain boundaries. Int. Congress of Mathematicians. Abstracts. Berlin, 1998. (in Internet: http://elib.zib.de/ICM98)

[97] MAILYBAEV A.A., SEYRANIAN A.P. Sensitivity analysis of eigenvalues and singularities of stability domains. Proc. 7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization. St. Louis, USA, 1998. V.3. P. 2166-2176.

[98] MAILYBAEV A.A., SEYRANIAN A.P. On singularities of a boundary of the stability domain. Int. Conf. Dedicated to the 90th Anniversary of L.S. Pontryagin. Abstracts. Algebra, Geometry and Topology. M.: Изд. МГУ, 1998. P. 79-81.