Некоторые задачи неустойчивости вязкоупругих систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кабельков, Александр Николаевич

• Кабельков, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кабельков, Александр Николаевич

БВВДЕНИЕ.

1. МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

2. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ.

2.1. Общие уравнения движения вязкоупругих тел

2.2. Формулировка задачи об автоколебаниях вязкоупругих тел.

2.3. Приведение задачи о возмущенном движении к операторному уравнению.

2.4. Определение критических параметров вязкоупругих систем.

2.5. Расчет автоколебательных режимов методом Ляпунова-Шмидта

2.6. Исследование устойчивости автоколебаний

2.7. Аппроксимирование вязкоупругих систем с распределенными параметрами системами с конечным числом степеней свободы

3. ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.

3.1. Устойчивость и автоколебания фрикционной вязкоупругой механической системы с одной степенью свободы

3,1.1. Постановка задачи

3.1.2. Определение равновесных состояний и критических параметров систем

3.1.3. Исследование устойчивости равновесных состояний

3.1.4. Исследование периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия

3.1.5. Исследование устойчивости автоколебательных режимов

3.1.6. Анализ результатов автоколебаний механических систем с одной степенью свободы

3.2. Устойчивость и автоколебания фрикционной вязкоуп-ругой механической системы с двумя степенями свободы

3.2.1. Уравнения движения.

3.2.2. Исследование устойчивости равновесных состояний.

Нахождение критических значений параметров

3.2.3. Исследование периодических режимов, ответвлякь-щихся от состояний равновесия

3.2.4. Исследование устойчивости периодических режимов 74 Выводы.

4. АВТиКОЛЕБАНИЯ ФРИКЦИОННЫХ ВЯЗЮУПРУГИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Определение равновесных состояний и критических значений параметров системы

4.3. Определение амплитуд и частот автоколебаний

4.4. Исследование устойчивости равновесных состояний

4.5. Исследование устойчивости автоколебательных режимов

Выводы.

5 . ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЗЕЦ

СУПОРТ

5.1. Постановка задачи и основные уравнения.

5.2. Исследование устойчивости равновесных состояний. Определение критических значений параметров системы

5.3. Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний . . Ю

5.4. Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия . И

5.5. Пример исследования автоколебаний системы резецсупорт.

Выводы.

6. АВТОКОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СУП0РТ-РЕЗЕЦ-0БРА

БАТЫВАЕМАЯ ДЕТАЛЬ.

6.1. Постановка задачи.

6.2. Уравнения движения системы.

6.3. Определение статического состояния системы. Нахождение критических параметров системы

6.4. Определение амплитуд и частот периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний

6.5. Исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия

6.6. Пример исследования автоколебаний системы резецсу порт-обрабатывае мая деталь.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи неустойчивости вязкоупругих систем»

Основные направления экономического и социального развития СССР на 1981-1985 года и на период до 1990 года", принятые Ш1 съездом КПСС, предусматривают создание высокоэффективных и надежных машин, приборов, автоматизированных технологических линий. В связи с этим повышаются значение и требования к точности расчетов в машиностроении, в частности, относящиеся к исследованию устойчивости стационарных режимов и вибраций исполнительных и других механизмов. Одним из аспектов этой проблемы является разработка методов анализа автоколебаний во фрикционных устройствах, металлорежущих станках, бурильных установках и других деформируемых системах, подверженных действию неконсервативных нагрузок,

В работах А.А.Алифова [2-4] , А.И.Каширина [бз], С.С.Кедрова [54], Ю.И.КЬстерина [58, бо], И.В.Крагельского [ээ], А.В.Ку-динова [63-65] , Г.С.Лазарева[бб] , П.С.Ланда[б7], Я.Г.Пановко[82], А.С.Пономарева [91, 92], А.П.Соколовского [9б], А.Тондла [102]и других ученых выполнены исследования автоколебаний механических систем с малым числом степеней свободы.

Для систем с большим числом степеней свободы решены лишь ограниченные задачи о нахождении критических значений параметров, при которых равновесные состояния становятся неустойчивыми, причем рассматриваются линеаризованные уравнения движений, возмущенных относительно состояний равновесия. Методы исследования характеристических уравнений соответствующих дифференциальных уравнений, а также критерии устойчивости решений разработаны Раусом, 1Урвицем, Найквистом, А.В.Михайловым, И.А.Вышнеградским.

Общие теоремы, относящиеся к устойчивости движения различных систем, сформулированы А.М.Ляпуновым [73], А.А.Андроновым [в], И.Г.Малкиным [75], Н.Г.Четаевым [юв] , Н.Н.Боголюбовым[l4] , М.Розо [88].

В практических приложениях можно выделить три направления, основанные на применении:

- точных методов решения нелинейных уравнений, из которых наиболее распространенным является метод точечного преобразования поверхностей А.А.Андронова;

- приближенных методов (ассимптотического, малого параметра, гармонической линеаризации, усреднения и других), разработанных Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым [б2] , А.Пуанкаре [87] , Ван-дер-Полем [24], Л.И.Мандельштамом [7б], Ю.А.Митропольским [78], Е.П.Поповым [86] ;

- методов статистической линеаризации, предложенных И.Е.Казаковым [бо] , Б.Г.Доступовнм [35] .

Особое место среди перечисленных методов занимает метод Ляпу нова-Шмидт а, позволяющий исследовать поведение деформируемых систем при действии неконсервативных нагрузок в "окрестностях" критических значений параметров. Метод развит в работах М.М.Вайн-берга и В.А.Треногина [23] , В.И.Юдовича [109-III], В.Г.Громова [31, 32].

Актуальность настоящей диссертации обусловлена необходимостью:

- дальнейшего развития методов теории устойчивости применительно к задачам о формулировании условий возбуждения автоколебаний, определении критических параметров, частот и амплитуд периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия вязкоупругих механических систем, исследованию устойчивости этих режимов, обоснованию единственности получаемых решений;

- комплексного рассмотрения важных в теоретическом и практическом отношениях задач об анализе влияния различных нелинейных факторов и вязкоупругости на поведение фрикционных автоколебательных систем и механических систем при резании;

- анализа точности решений, полученных при аппроксимировании деформируемых тел системами с малым числом степеней .свободы;

- создания пакета программ для решения перечисленных задач на ЭВМ. на основе теории устойчивости движения деформируемых тел разработать, реализовать и довести до практических приложений методики:

- определения критических параметров существенно нелинейных вязкоупругих систем;

- расчета амплитуд и частот автоколебаний;

- исследования автоколебательных до- и закритических режимов.

Задачиисследованийх

1. Модификация методов теории устойчивости применительно к существенно нелинейным неконсервативным деформируемым системам.

2. Составление уточненных дифференциальных уравнений о колебаниях вязкоупругих систем, подверженных действию неконсервативных сил трения или резания.

3. Исследование работы моделей фрикционных механизмов с целью определения влияния различных факторов на:

- области неустойчивости равновесных состояний систем;

- критические значения параметров;

- частоты и амплитуды периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия;

- устойчивость автоколебательных режимов.

4. Анализ плоских автоколебаний механических систем типа су-порт-резец металлорежущих станков при обработке деталей большой жесткости с учетом:

-запаздывания контактных усилий относительно перемещений;

- сдвига по фазе продольной составляющей силы резания относительно поперечной составляющей;

- нелинейной зависимости контактных сил относительно глубины и скорости резания;

- сил вязкого трения и податливости супорта;

- влияния изгиба резца на глубину резания.

5. Анализ автоколебаний механических систем при резании с учетом податливости обрабатываемой детали.

6. Составление пакета программ для решения задач на ЭВМ; разработка практических рекомендаций с целью исключения или ограничения автоколебаний фрикционных систем и систем типа супорт-ре-зец-обрабатываемая деталь.

Впервые автоколебания фрикционных и фрикционно-запаздывающих систем рассмотрены с позиций теории устойчивости. Возникновение автоколебаний трактуется как факт потери устойчивости равновесного состояния, а сами автоколебания - как до- или закритическОе движение.

Предложен метод расчета критических параметров деформируемых вязкоупругих систем на основе совместного решения уравнений основного состояния и спектральной задачи для возмущенного движения.

Для определения амплитуд и частот до- или закритических режимов разработана модификация метода Ляпунова-Шмидта, предусматривающая исследование устойчивости этих режимов.

Разработанная методика применена к качественно новым задачам об автоколебаниях фрикционных и фрикционно-запаздывающих систем« Выявлены количественные и качественные особенности автоколебательных режимов в зависимости от моделей вязкоупругих тел, "запаздывания" контактных усилий, степени демпфирования, податливости обрабатываемой детали, распределенности параметров.

Практическое значениедиссертации — — — — — — — — ■ 1 " —I - - I —--- I 1 *1' ■ I I || ф -| II П . ■ I ~

Разработаны и реализованы на ЭВМ алгоритмы:

- нахождения областей неустойчивости равновесных состояний вязкоупругих нелинейных механических систем;

- определения частот и амплитуд периодических режимов, ответвляющихся от равновесных состояний;

- исследования устойчивости автоколебательных режимов.

На основе расчетов по составленным программам могут быть установлены режимы работы и значения параметров систем, исключающие или ограничивающие амплитуды автоколебаний.

Апробация и внедредие результатов ^исследований

По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:

Ш и 1У-й научно-практических конференциях молодых ученых и специалистов HIM (1976, 1977 гг.);

ШТ-ХХХ и ХХХШ-й научно-практических конференциях НИИ (1977-1981, 1984 гг.);

V-й Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Ленинград, 1977 г.);

VI-й тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" (Ленинград, 1983 год).

Содержание диссертации опубликовано в -девяти статьях [29], [41-48] .

Результаты работы по автоколебаниям фрикционных механических систем внедрены в практику работы КБ Азовского оптико-механического завода.

1. Метод исследования автоколебаний фрикционных и фрикцион-но-запаздывающих систем, основанный на концепциях устойчивости, что позволяет предсказывать ситуации возбуждения автоколебаний, рассчитывать их характеристики и исследовать устойчивость.

2. Результаты исследования фрикционных и фрикционно-запаздывг ющих систем, касающиеся: а) определения критических параметров; б) расчета частот и амплитуд автоколебаний; в) устойчивости автоколебательных режимов.

3. Рекомендации по выбору режимов работы и значений параметров систем, исключающих или ограничивающих автоколебания.

Содержание работы отражено в шести главах. диссертации приведен анализ публикаций отечественных и зарубежных ученых, посвященных общим теоремам об устойчивости движения и методам исследования автоколебаний механических систем. Рассмотрены математические модели фрикционных систем, учитывающие зависимость сил трения от относительных скоростей контактирующих поверхностей. Описаны нелинейные зависимости сил резания при взаимодействии резца и обрабатываемой детали.

Изложены основные результаты, относящиеся к исследованиям автоколебаний систем с малым числом степеней свободы. Обоснованы актуальность работы и выбор метода исследований.

Во. второй главе, диссертации дана общая постановка задачи о движении нелинейного вязкоупругого тела при действии неконсервативных стационарных нагрузок. Равновесные (основные) состояния тела определяются в результате решения нелинейной краевой задачи. Уравнение движения тела относительно основного состояния представлено в операторной форме. Изложен метод нахождения критических значений параметров, определяемых при совместном решении краевой задачи основного состояния и спектральной задачи для линеаризованного оператора. Разработан алгоритм исследования автоколебаний тела при значениях параметров, близких к критическим. Алгоритм, основанный на модифицированном методе Ляпунова-Шмидта, включает в себя задачи о нахождении частот, амплитуд и исследовании устойчивости колебаний. На основе принципа возможных перемещений выполнено приведение задачи к конечномерной. Описан алгоритм исследования равновесных состояний и автоколебаний систем с конечным числом степеней свободы.

В третьей .главе приведены дифференциальные уравнения движения фрикционных систем с одной и двумя степенями свободы, нагруженных нелинейными силами трения. Получены выражения, определяющие равновесные состояния систем, критические значения параметров, частоты и амплитуды периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия.

В отличие от работ других авторов, учтены вязкоупругие свойства деформируемых связей и выполнено исследование устойчивости периодических режимов.

Выявлены количественные и качественные особенности поведения систем, соответствующих моделям Фойхта и стандартного вязко-упругого тела.

Четвертая глава посвящена исследованию фрикционных автоколебаний вязкоупругой системы с распределенными параметрами. Составлены дифференциальное уравнение и граничные условия задачи с учетом внутреннего и внешнего трения. Выведены уравнения и формулы, определяющие статическое состояние системы, критические параметры, амплитуды и поправки к частотам автоколебаний. Исследована устойчивость равновесных состояний и автоколебаний.

Впятой и ,шестой .главах диссертации рассмотрены фрикционно-эапаздывакхцие системы типа супорт-резец-обрабатываемая деталь, в частности, с учетом податливости обрабатываемой детали.

Получены дифференциальные уравнения движения деформируемых систем данного типа, учитывающие: запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу; нелинейные зависимости усилий от относительной скорости резания, толщины стружки и подачи. Найдены равновесные состояния и критические параметры систем. На основе метода Ляпунова-Шмидта определены амплитуды и поправки к частотам автоколебаний. Проведено исследование устойчивости периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия. Даны рекомендации по использованию результатов исследования при выборе параметров систем и режимов резания.

Приложения содержат блок-схемы и распечатки отлаженных программ исследования устойчивости и расчета амплитуд и частот автоколебательных режимов.

I. МЕТОДЫ й РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ РШМОВ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМ

Все большее значение для повышения точности расчетов в машиностроении приобретает учет колебаний конструкций. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок вследствие возбуждения колебаний, неточности показаний приборов, неконтролируемые отклонения размеров деталей, обрабатываемых на металлорежущих станках, приводят к необходимости тщательного исследования возможных вибраций узлов машин. Одному из аспектов указанной проблемы-автоколебаниям деформируемых систем,- посвящена данная работа.

Автоколебательные системы представляют собой широкий класс колебательных систем с различными свойствами: автомобиль при включении сцепления в момент трогания; тормозные колодки при торможении; супорт при перемещении вдоль направляющих; система станок-инструмент-деталь при обработке резанием;.соприкасающиеся детали в измерительных и следящих устройствах; валы прокатных станов; валы,.вращающиеся в подшипниках скольжения; колонны бурильных станков; стержни, нагруженные следящими силами; прицепы автомобилей и самолеты с носовым колесом; крылья и панели обшивки самолетов и ракет, обтекаемые потоком воздуха; висячие мосты; лопатки высокоскоростных турбин; оболочки в потоке газов; механические часы; тепловые машины поршневого типа и многие другие механизмы и устройства. В подобных системах при определенных условиях могут возникать незатухающие колебания за счет источников энергии, колебательными свойствами не обладающими.

Автоколебательные системы принято делить на следующие группы. а. Фрикционные системы [б|, [57-6о], [l04], [lI8], [12б], [l29] , которые являются наиболее распространенными. Примерами могут служить фрикционные тормоза и муфты, коллекторные щетки электродвигателей и генераторов,фрикционные маятники, скрипичные музыкальные инструменты. К фрикционным в первом приближении могут быть отнесены [53J, [61], [80} [9б], [l24) [128] и автоколебательные системы резец-супорт-обрабатываемая деталь.

Автоколебания в фрикционных системах обусловлены нелинейной зависимостью сил трения от скорости относительного движения контактирующих поверхностей [2-4], [82], [84], [102] . б. Механические квазилинейные системы с запаздыванием, динамические процессы в которых описываются дифференциальными, интегральными и интегродифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом [40^ [85], [89], [lI9]. Так, возникновение автоколебаний при резании авторы [54], [72], [II2-II5], [lI9] объясняют фактом запаздывания сил резания относительно друг друга и перемещений в деформируемой системе обрабатываемая деталь-резец. Другие авторы [ЗЭ], [63-65], [77],]l0l], [l25] объясняют автоколебательные процессы при резании нелинейной зависимостью сил резания от толщины срезаемой стружки.

Наличие сдвига по фазе между силой резания и перемещением резца вызвано неоднозначностью изменения толщины срезаемого слоя при относительном движении инструмента и обрабатываемой детали. С учетом указанных факторов механические системы типа супорт станка-резец-обрабатываемая деталь могут быть отнесены к фрикци-онно-запаздывающим системам при нелинейной зависимости контактных усилии от перемещений и относительной скорости, в. Механические системы, подверженные действию "следящих" нагрузок, направление которых изменяется в зависимости от конфигурации системы [1б], [37|, [l0б), [пб], [lI7], [l23] , г. Аэроупругие системы. Важные задачи, связанные с обтеканием тел потоками газа, рассмотрены в работах [if], [l7-2o], [94], [l05] . Достаточно хорошо к настоящему времени изучены явления флаттера крыла самолета, панельного флаттера, колебаний и потери устойчивости оболочек и висячих конструкций [вз], [92], [93], 104] в потоке газов, д. Автоколебательные колесные системы [69~7l].

Общей чертой всех этих систем являются нелинейность и неконсервативность, вследствие чего исследования устойчивости их равновесных состояний и, тем более, движений не могут быть выполнены методами Эйлера^Лагранжа или начальных несовершенств. Устойчивость автоколебательных систем должна быть исследована на основе "динамического" подхода - изучении их "возмущенных" движений и применений общих критериев А.М.Ляпунова [73], [74].

Способы решения задач об автоколебаниях и устойчивости неконсервативных деформируемых систем квалифицируем по следующим признакам:

- методам аппроксимирования реальных тел различными моделями с конечным или бесконечным числом степеней свободы;

- применению "точных" методов решения получаемых уравнений;

- использованию приближенных (качественных, асимптотических) методов решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Остановимся более подробно на методах решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неконсервативных систем с конечным числом степеней свободы.

Одним из наиболее распространенных точных методов является способ"точечного преобразования поверхностей" А.А.Андронова . К точным методам тесно примыкают различные алгоритмы численного решения нелинейных уравнений. При нахождении равновесных состояний неконсервативных систем могут быть использованы методы [28], [зб] приведения нелинейных алгебраических уравнений к линейным дифференциальным уравнениям.

Однако более широко в задачах об устойчивости и автоколебаниях применяют различные приближенные методы. . .

Метод малого параметра разработан А.Цуанкаре и А.М.Ляпуновым, использован Л.И.Мандельштамом [7б] и развит А.А.Андроновым.

Систему дифференциальных уравнений

I.D представляют в виде где fJL - малый параметр, Решение ОС^"порождающих" уравнений считают известным. Подставляя в выражение (1.2) ряды т Т (JL*XKСО,

K=f получают последовательные системы уравнений для нахождения вектор-функций «^(О,-.

Метод Ван-дер-Поля предложен в 1922 г. [24] для систем с одной степенью свободы; обобщен и обоснован Л.И.Мандельштамом и Н.Д.Папалекси [7б].

Уравнения движения систем, близких к консервативным, преобразуют к форме где матрица Ф =diog [cor . . ] .

Предполагая, что амплитуды A.it) и фазы автоколебаj ний являются медленно применяющимися функциями времени, решение уравнений (1.3) разыскивают в виде и составляют выражения и (1.4) J

Предусмотрена возможность приведения задачи к.уравнениям с разделяющимися неизвестными Ау и </>у . Уравнения (1.4) позволяют исследовать периодические и непериодические режимы автоколебаний, в том числе, процессы установления. В задачах об устойчивости колебаний метод Ван-дер-Поля позволяет составить лишь необходимые условия.

Близким к. методу Ван-дер-Поля является метод усреднения, предложенный Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым [62] для исследования уравнений типа i^pFtf^tp), (Ie5) гдеX(t) сначала считается медленно изменяющейся вектор-функцией времени.

Решение первого приближения получают из уравнения

Ct)=pM{F(t,pt,a:*)), : (i#6) где М - оператор усреднения по явно входящему "быстрому" времени t . Подставляя вектор-функцию (1.6) в правую часть уравнения (1.5) и разлагая F(t 9Х*) в ряд Фурье, составляют выражения

Аналогично могут быть получены второе и последующие приближения. .

Асимптотический метод Крылова-Боголюбова [l4] также в известной мере можно считать обобщением метода Ван-дер-Поля. Решение уравнения (1.3) разыскивают в виде л.

AJCOS<J)y^tlUfj^KPJtLt>ti U2j ^ »!Р t У■ у ' с* > У о+ • ■■ ■ причем правую часть (1.3) раскладывают в ряды »

1.7)

1.8)

1.9) V считают

KJ

Здесь вектор-функция <p = OOZN- 1|/ ; X . ся медленно изменяющимися функциями времени. Для определения неизвестных функцйй^ . выражения (1.7) и(1.9) подставляют в исходную систему уравнений (1.3) и приравнивают члены, содержащие малый параметрjjl в одинаковой степени.

Для нахождения решения в первом приближении не требуется отыскание функций Ufj,U2j , . ряда (1.7), причем уравнения для амплитуд и фаз аналогичны (1.4). Нахождение функцийj , Ля/ уРавнений (1*8) представляет собой более сложную задачу, для решения которой предварительно определяются функции ufj. Метод может быть использован также при решении задач, описываемых уравнениями типа (1.5).

Метод эквивалентной линеаризации Н.М. Крылова и Н.Н.Боголюбова [56, 62, 8б] обобщает понятия о передаточной функции и передаточной матрице линейной системы на нелинейные элементы [90, 91, 107].

Передаточной функцией нелинейной системы называют отношение комплексной амплитуды основной гармоники сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе. Аналогично вводится понятие передаточной матрицы. В применении к нелинейным дифференциальным уравнениям вида

U.I0) где JD - матрица, состоящая из нелинейных дифференциальных операторов, a f(ty - вектор внешних воздействий, метод заключается в следующем. Каждому CC(t) ставится в соответствие вектор y(t) ^DocCf) . Если X(t) - точное решение дифференциального уравнения, то уСО^/СО • Далее формируют такой линейный оператор i)* , при котором минимизируется разность например, на основе критерия минимума среднеквадратичной ошибки за период колебаний. После этого разыскивают решение эквивалентной системы уравнений J?*JCCt)=Jit) . Метод является простым и эффективным при определении стационарных режимов в автоколебательных- системах и исследовании их устойчивости. Однако для линеаризации необходимо знать примерный вид решения (в случае квазилинейных систем им служит порождающее решение). Упомянем также некоторые другие методы: энергетический метод Теодорчика ^99, Юо], который представляет собой модифицированный метод Ван-дер-Поля;

- метод Бубнова-Галеркина [зо], позволяющий рассчитывать установившиеся режимы в автоколебательных системах. Так как этот метод требует задания формы решения, то он, по сути дела, близок к методу эквивалентной линеаризации;

- методы статистической линеаризации, предложенные И.Е.Казаковым [бо] и Б.Г. Доступовым [зб].

Следует отметить, что эти методы не затрагивают вопросы исследования устойчивости равновесных состояний, от которых при определенных условиях ответвляются периодические режимы. В связи с этим их можно характеризовать как прямые методы исследования дифференциальных уравнений колебаний.

Для исследования автоколебаний существенно нелинейных деформируемых систем широкое применение получил метод Ляпунова-Шмидта. '

Теоретические основы метода, касающиеся теории ветвления решений нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений в "окрестностях" критических значений параметров; были разработаны А.М.Ляпуновым [74] и Е.Шмидтом [l2?J f М.М.Вайнбергом и В.А.Тре-ногиным [23]. Дальнейшее развитие метод получил в гидродинамике и механике наследственно деформируемых тел соответственно в работах В.И.Кйовича [I09-III] и В.Г.Громова [31, 32]. Метод применен при решении ряда задач об автоколебаниях и устойчивости деформируемых систем [б, 6, 8, 33, бб].

Подробное изложение основ метода Ляпунова-Шмидта применительно к деформируемым системам с распределенными параметрами приведено в главе 2. Сравнительная характеристика метода (по отношению к одному из наиболее распространенных методов - малого параметра) дана в табл. I.

Таблица I

Метод Ляцуяова-Шмидта Метод малого параметра

Г.1 Уравнение движения: x+Lx^FCx,*)), где L - матрица с постоянными коэффициентами; ч) - вектор параметров системы. Уравнение движения: F - нелинейная вектор-функция.

2. Разыскиваются равновесные состояния неконсервативной системы. Равновесные состояния квазиконсервативной системы не разыскиваются.

3. Порождающим является решение, соответствующее совместной системе нелинейного уравнения равновесия и линеаризованного уравнения движения, возмущенного относительно состояния равновесия Х0 , характеризуемого параметром • Порождающим является линейное однородное уравнение консервативной системы, в которую обращается исследуемая система при

4. Нелинейное уравнение возмущенного движения yj / dFCXaJa) Эх N содержит нелинейные члены, зависящие от v0, Хо- Уравнение возмущенного движения не содержит нелинейных членов, не зависящих от малого параметра: Ьх+lSx =^F(Sx,[±).

5. Форма решения уравнений возмущенного движения системы: <> °° OD *>сOt, Xf > i • Форма решения

Выбор того или иного метода при решении задач, поставленных в диссертации, требует рассмотрения особенностей математических моделей фрикционных систем и систем при резании.

При аппроксимировании зависимостей Рсил трения от скорости относительного движения V- функцию РОУ) нередко раскладывают в ряд по степеням tf- , ограничиваясь несколькими нечетными членами ряда. Во многих работах [2, 82], используют зависимость вида рОП=9 (s V- + Ot, V- * Of 3:V ъ+ •• -) , (1. 11) где » oift cij - постоянные; Л/ - сила нормального давления; fQ - коэффициент трения покоя.

Функция Р(&) может быть аппроксимирована и другими выражениями. Так, в работе [52] принято

I.I2) где %-Р(0) ; ^=Р(оо) ; А - положительная постоянная.

В статье [бб] предложена зависимость

I.X3) где а , € , с , d - константы, зависящие от условий работы и свойств поверхностей трения.

В настоящей работе предполагаем, что в автоколебательных системах скорость относительного движения причем, отдаем предпочтение формуле (I.II), определяющей в первом приближении и силы резания как функции скорости относительного движения резца и детали [8о].

Усилия, возникающие при обработке металлов резанием, можно описать зависимостями вида y-/,y,2), (I.I4) где В - оператор дифференцирования по времени; V- - относительная скорость резания; Д - глубина срезаемого слоя; 5 - подача;

Cj - коэффициенты, характеризующие свойства резца и обрабатываг-емого материала; ^ , у - передний угол и угол резца в плане; оси X ,У ,Z с началом в вершине резца направлены соответственно по образующей., касательной и нормали к поверхности обработки.

В зависимости от учета тех или иных факторов, математические модели силообразования при резании можно разбить на две группы.

I. Модели, не учитывающие "запаздывания" сил резания по отношению друг к другу и к перемещениям.

Так, автором [бо] предложены зависимости где S, -.глубина резания при отсутствии колебаний; у - смещение резца? с и hf - коэффициенты, зависящие от свойств обрабатываемого материала и ширины срезаемой стружки; н = ;

- скорость резания при колебательном движении; % - скорость выбранного режима обработки; kq - величина, характеризующая диапазон скоростей, соответствующий "падающему" участку зависимости P(V).

Условный коэффициент трения определяется выражением

I.I6) в котором^ , ос1 и - коэффициенты, зависящие от свойств контактирующих поверхностей; - скорость сжимаемой стружки в направлении оси у (см. рис. 1.6); у - скорость колебаний резца в этом же направлении.

В работе [бз] приведены зависимости приращений сил резания от приращения скорости резания при неустановившемся режиме обработки:

I.17) где <?2 , q , ~ коэффициенты, учитывающие свойства обрабатываемого материала, сечение стружки и способ охлаждения резца.

Автор [96] рассматривает поперечные колебания резца под воздействием силы у уг Уъ

1*18) о ио "о ' где R - статическая составляющая силы резания; 2 с - коэффициенты, зависящие от материала детали и условий резания; - скорость установившегося режима резания.

2. Однако выполненные эксперименты [Иб] показывают, что при резании имеет место запаздывание усилия Р^ по отношению к перемещениям резца и усилия Ру по отношению к Рг .

Так, в работе [54] автор рассматривает колебания резца как системы с одной степенью свободы, полагая + ТрРш — KpW-ьhpW , (1.19) где Тр , к0 , hp - постоянные коэффициенты, определяемые из экспериментов; w - изменение толщины срезаемого слоя.

Автор [из] рассматривает плоскую задачу резания для системы с двумя степенями свободы, когда силы резания описаны зависимостями

Pv*TPvpy= fрг > где ки , к, и f - коэффициенты, определяемые на основе эксУ я J периментов; Трг и 7ру - переменные времени запаздывания, нелинейно зависящие от относительных скоростей резания; у и z -смещения системы в направлениях У и 2 .

В зависимости от выбранных математических моделей силооб-разования возможны- различные постановки задач об автоколебаниях фрикционных систем и систем при резании.

Этим задачам посвящена обширная литература . В ряде работ задачи решены на основе одной и той же модели, предусматривающей введение контактных сил, нелинейно зависящих от скоростей.

Так, в работе [53 J Л.И.Каширина экспериментально изучены характер и условия возникновения вибраций при резании металлов, а также влияние скорости на силы резания при обработке вязких сталей. Установлено, что вибрации возникают при относительных скоростях резания, соответствующих ниспадающей ветви графика R ^ Т? , см. выражение (I.II). С помощью метода Ван-дер-Поля исследованы поперечные колебания резца, аппроксимируемого системой с одной степенью свободы (рис. I.I), изгибные колебания резца не учитывались. стемы (рис. 1.2) при действии сил трения, определяемых той же зависимостью (I.II). На основе метода Боголюбова-Митропольского автором сформированы условия устойчивости состояния покоя и найдены частоты и амплитуды автоколебаний в первом приближении.

Автоколебательные системы с /г степенями свободы (рис.1.3) рассмотрены в работах А.А.Алифова [2-4]. Задача усложнена введением переменных жесткостей costpit) ) и учетом взаимодействия системы с источником энергии. Составленные уравнения

А.Тондлом рассмотрены автоколебания двухмассовой си

С2

-D-—л/vv— V

Рис. 1.2

-•—п

ЛЛА/— Л кп hk Т

Рис. 1.3 движения, естественно, содержат периодические коэффициенты; Задача решена для случая двухмассовой системы с помощью асимптотического метода: наедены области параметрического резонанса; определены амплитуды автоколебаний.

В статьях А.С.Пономарева [б4, 8б] изучены крутильные автоколебания систем с двумя (рис. 1.4) и одной (рис. 1.5) степенями свободы. Особо отметим работу [92], в которой принято, что силы трения запаздывают по отношению к угловой скорости. Для нахождения условий возникновения автоколебаний использован метод I) - разбиения [8l]. Амплитуда автоколебаний в первом приближении определена на основе асимптотического метода.

Результаты исследований автоколебаний механических систем, аппроксимированных моделями с одной степенью свободы, приведены в публикациях [i, 10, 34, 82, 118].

В работе Л.С.ВДурашкина [80] исследованы автоколебания резца, аппроксимированного системой с двумя степенями свободы (рис. 1.6), однако колебания в направленияхZ и У считаются независимыми. Предположено, что передний угол резца равен нулю. В этом случае усилия , ^ « Т определяются формулами типа (I.I5). Приведены также линеаризованные уравнения совместных колебаний резца, но не дано их решение.

А.П.Соколовским [9б] рассмотрены связанные поперечные автоколебания упругой системы супорт-обрабатываемая деталь. На основе линейных уравнений проведено исследование устойчивости установившегося режима резания. Методом энергетического баланса на основе нелинейных уравнений задачи найдены амплитуды автоколебаний. Автором отмечено влияние качества обработки (начальных несовершенств) на развитие вибраций, но математическое исследование этого влияния не выполнено.

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Вопросу изучения изгибных колебаний резца посвящена работа Кривоухова В.А. и Воронова А,Л, [si]. Резец аппроксимирован системой с одной степенью свободы (рис. 1.7), масса резца сосредоточена в "вершине". Исследование выполнено на основе энергетического метода, с учетом сил вязкого трения т, упругости

•А/ 79* к ^ и переменных сил резания и трения = С, где р , ^ , с , и - постоянные. Определены частота и амплитуда колебаний, а также условия устойчивости автоколебаний.

В книге [54] Кедрова С.С. рассмотрены задачи, связанные с исследованием устойчивости процесса резания в системах: резец, представленный системой с одной степенью свободы (рис. 1.8) и резец-деталь.(система с двумя степенями свободы, рис. 1.9). Предположено, что силы резания запаздывают по отношению к перемещениям и имеют вид (I.I9). На основе критерия Рауса-Гурвица найдены области устойчивости равновесных состояний в обеих системах. Амплитуды автоколебаний не определены.

Аналогичная задача для системы с одной степенью свободы представлена в £119].

В работах Эльясберга М.Е. [lI2-II5] изучена устойчивость процесса резания металлов. Для построения теории автоколебаний использованы закономерности, учитывающие пластические деформации обрабатываемого материала. Проведено обоснование и найдены оценки запаздывания сил резания по отношению к перемещениям резца и детали. Изучены плоские колебания резца, вызываемые силами резания/^ и (рис. 1.10), определяемые зависимостями (1.20). Для системы с двумя степенями свободы методом D - разбиения найдены границы областей неустойчивости.

В диссертационной работе Акинфиевой Л.Ю. [i] рассмотрены автоколебания резца, моделируемого системой с тремя степенями

Рио. 1.9 1 1 1 у

Рис, 1,10

I свободы. Для сил резания принята достаточно общая зависимость, ' не учитывающая, однако, податливости детали и супорта, диссипа-тивные силы, а также запаздывание сил резания относительно перемещений. Выполнено исследование устойчивости установившегося режима резания (по методе Рауса-Гурвица) в зависимости от глубины резания. Влияние других параметров системы на устойчивость процесса резания не установлено. По методу Боголюбова-Митрополь-ского найдены амплитуды и частоты колебаний в первом приближении. Условия устойчивости автоколебаний не исследованы.

Анализ выполненных исследований фрикционных автоколебаний, автоколебаний при резании и методов решения соответствующих задач [9, 12, 13, 22, 68, 75, 88, 98, 103, 108, 120-122, 130-132] позволяет установить следующее.

Автоколебательные системы при резании металлов и системы с сухим трением исследованы на моделях с одной, двумя и тремя степенями свобода.

В опубликованных работах, как правило, не рассмотрены вопросы устойчивости автоколебательных режимов.

Не выполнена оценка точности результатов, полученных на основе аппроксимирования реальных деформируемых конструкций системами с малым числом степеней свободы. При исследовании автоколебательных систем при резании в отдельных работах учтены: запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу; нелинейные зависимости усилий от относительной скорости резания, толщины стружки и подачи. Однако совместное влияние всех факторов на процесс резания и качество обработки не исследовано.

Остается открытым вопрос о влиянии вязкоупругих свойств деформируемых сред на границы областей устойчивости, на частоты и амплитуды автоколебаний и их устойчивость.

Для решения задач, связанных с автоколебаниями при резании и сухом трении применены методы, которые не учитывают возможность ветвления решений нелинейных уравнений в окрестности критических параметров систем.Единственность полученных решений, как правило, не доказывается.

Метод Ляцунова-Шмидта, в отличие от других методов,предусматривает и позволяет:

- определение равновесных состояний существенно нелинейных систем;

- нахождение критических значений параметров на основе совместного решения краевой задачи статического состояния и спектральной.задачи линеаризованных уравнений возмущенного движения систем;

- исследование периодических режимов, ответвляющихся от предельных состояний равновесия в окрестностях критических значений параметров (как до-, так и закритические колебания);

- исследование устойчивости автоколебаний.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кабельков, Александр Николаевич

Выводы

I. Составлены уравнения основного состояния и возмущенного движения деформируемой системы типа супорт-резец-деталь. Уравнения учитывают:

- нелинейные зависимости сил резания от относительных перемещений и скоростей резца и обрабатываемой детали;

- запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу;

- податливость обрабатываемой детали;

- распределение масс по длине резца и детали;

- диссипативные силы вязкого трения;

2. Получены разрешающие уравнения задач о нахождении критических значений параметров системы. На основе метода Ляпунова-Шмидта определены амплитуды и частоты автоколебаний, а также условия устойчивости (неустойчивости) основных состояний и периодических режимов, ответетвляющихся от них.

3. Составлен пакет программ, реализующих алгоритмы нахождения критических значений параметров, амплитуд и частот автоколебаний и исследования устойчивости системы на ЭВМ.

4. Выполнен анализ влияния различных параметров системы на области устойчивости основных состояний и устойчивости автоколебаний.

Установлено,что в деформируемых системах типа супорт-резец-деталь: а) могут возникать как устойчивые докритические, так и неустойчивые закритические автоколебания; б) во всех случаях существует значение скорости резания О Р ниже которой основные (равновесные) состояния неустойчивы. Значение ^ существенно зависит от податливости обрабатываемой детали, подачи S , коэффициента диссипации h и глубины резания А ; в) при уменьшении глубины резания области неустойчивости основных состояний расширяются и возможна смена устойчивых до-критических неустойчивыми некритическими автоколебаниями; г) автоколебания происходят на частотах собственных колебаний резца или обрабатываемой детали; д) амплитуды периодических режимов с частотой собственных колебаний детали незначительны; е) автоколебания, происходящие на частоте собственных колебаний резца, имеют амплитуды такого же порядка, как и в гл. 5.

Из сказанного следует, что режимы при и

А < 0,73 недопустимы, а при - нежелательны, так как в кр последнем случае основные состояния неустойчивы.

ОСНОВНЫЕ вывода ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе сравнительной характеристики качественных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений доказаны преимущества метода Ляпунова-Шмидта, обобщенного в диссертации на задачи исследования автоколебаний вязкоупругих систем с распределенными параметрами и многими степенями свободы. Порождающими являются совместные уравнения, описывающие основные состояния и возмущенные движения вязкоупругих систем.

Дано доказательство единственности решений, относящихся к периодическим режимам, ответвляющимся от основных состояний. Приведены необходимые и достаточные условия существования и устойчивости периодических возмущенных движений.

Разработанная методика включает в себя:

- определение основных состояний вязкоупругих неконсервативных систем;

- нахождение частот и амплитуд периодических режимов, ответвляющихся от основных состояний;

- исследование устойчивости равновесных (основных) состояний и автоколебательных режимов.

2. Предложенная методика применена к качественно новым задачам об автоколебаниях фрикционных и фрикционно-запаздывающих систем. Составлены уточненные дифференциальные уравнения движения этих систем, учитывающие:

- влияние вязкоупругих свойств систем;

- нелинейные зависимости контактных сил от перемещений и относительных скоростей;

- запаздывание сил резания по отношению к перемещениям и друг к другу;

- непрерывное распределение масс.

Исследовано влияние различных параметров систем на области неустойчивости равновесных состояний, частоты и амплитуды периодических режимов, ответвляющихся от состояний равновесия.

3. Для фрикционных деформируемых автоколебательных систем установлено следующее.

Аппроксимирование систем моделями с одной степенью свободы приводит к неверным результатам при оценке устойчивости периодических режимов.

Области устойчивости равновесных состояний вязкоупругого стержня с распределенными параметрами и аппроксимирующей его модем с двумя степенями свободы (идентичной по частоте свободных колебаний основного тона, коэффициенту диссипации и запасу эйлеровой устойчивости) отличаются несущественно - различие в амплитудах колебаний не превышает 15$.

Равновесные состояния неустойчивы при скоростях где - скорость, при которой достигается минимум сил трения.

Увеличение демпфирования оказывает дестабилизирующее влияние - устойчивые докритические автоколебания сменяются неустойчивыми закритическими. Однако области неустойчивости равновесных состояний при возрастании коэффициента диссипации сокращаются.

При возрастании давления (коэффициента трения покоя) на поверхности контакта и уменьшении жесткости системы область неустойчивости равновесных состояний расширяется, причем.возмо-вда смена докритических устойчивых автоколебаний неустойчивыми закритическими.

4. Выполнен анализ движения фрикционно-запаздывашей системы типа супорт-резец. Установлено, что в подобных системах:

- во всех случаях существует значение скорости резания >) , ниже которой равновесные состояния неустойчивы. Значение 0 существенно зависит от параметров системы, но всегда превышает

- при увеличении ширины резания возможно появление второй области неустойчивых равновесных состояний при скоростях резания \> > , где - вторая критическая скорость;

- докритические автоколебания является устойчивыми, за-критические могут быть устойчивыми и неустойчивыми;

- частота автоколебаний практически не зависит от коэффициента диссипации и близка к частоте собственных колебаний резца.

5. В деформируемых системах типа супорт-резец-обрабатыва-емая деталь:

- существует значение скорости резания ^ , ниже которой основные (равновесные) состояния неустойчивы. Значение л) существенно зависит от податливости детали, подачи супорта, коэффициента диссипации и глубины резания;

- при уменьшении глубины резания области неустойчивости равновесных состояний расширяются и возможна смена устойчивых докритических неустойчивыми закритическими автоколебаниями;

- автоколебания происходят на частотах собственных колебаний резца или обрабатываемой детали;

- амплитуды периодических режимов с частотой, близкой к частоте собственных колебаний детали, незначительны;

- автоколебания, происходящие на частоте собственных колебаний резца, имеют амплитуды такого же порядка, как и системы супорт-резец.

6. Разработанные алгоритмы расчета и пакет программ на языке FORTRAN-IV позволяют определить области устойчивых (неустойчивых) равновесных состояний, амплитуды и частоты автоколебаний, а также исследовать устойчивость движения критических режимов работы фрикционных и фрикционно запаздывающих систем. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы при расчетах параметров автоколебательных систем и режимов их работы с целью предотвращения или ограничения автоколебаний. Методика внедрена в практику работы КБ Азовского оптико-механического завода для расчета фрикционных автоколебаний приборов и устройств,

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кабельков, Александр Николаевич, 1984 год

1. Акинфиева Л.Ю. Методы исследования автоколебаний при резании металлов.: Автореф* Дис. . канд. техн. наук.- Киев, 1975259 с.

2. Алифов А.А, Автопараметрические автоколебания в системе с сухим трением и с ограниченным возбуждением.- МТТ, 1977, № 4, с. 68-78.

3. Алифов А.А. О связанных автоколебаниях в автоколебательной системе с ограниченным возбуждением.- Докл. Ш симпоз. Виброзащита человека-оператора и колебания в машинах.- М.: Наука, 1977, с. 294-298.

4. Алифов А.А. О параметрическом резонансе в автоколебательной системе, взаимодействующей с источником энергии.- Докл. Ш симпоз. Виброзащита . машинах.- М.: Наука, 1977, с. 298-303.

5. Андрейчиков И.П., К&ович в.И. Об устойчивости вязкоупругих стержней.- Изв. АН СССР. МТТ, 1974, № 2, с. 78-87.

6. Андрейчиков И.П., КЗцович В.И. Об автоколебаниях вязкоупругих стержней.- Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 6, с. 126-134.

7. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.- М.: Физматгиз, 1981.- 568 с.

8. Беленькая Л.Х., КЗцович В.И. О возникновении колебаний вязкоуп-ругого стержня, нагруженного периодической силой.- Изв. СКНЦ ВШ, сер. Естеств. науки, 1979, Jfc I, с. II-I5,

9. Бендриков Г.А., Теодорчик К.Ф. Траектории корней линейных автоматических систем.- М.: Наука, 1964.- 159 с.

10. Бессараб Н.Ф. Фрикционные автоколебания.- ЖТФ, 1956, т. ХХУ1, J& I, с. 107-108.

11. Бисплингофф B.C., Этли X., Халфмэн Р.Л. Аэроупругость.- М.: . ИЛ, 1959.- ТО с.

12. Блакьер 0. Анализ нелинейных систем.- М.: Мир, 1969,- 400 с.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1974.- 504 с.

14. Боголюбов Н.Н. Теория возлцущения в нелинейной механике.- Сб. инст. строит, мех. АН УССР, 1950, гё 14, с. 9-34.

15. Болотин В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости.-М.: Физматгиз, 1961.- 339 с.

16. Болотин В.В. О колебаниях и устойчивости стержней под действием неконсервативных сил.- Сб. колебания в турбомашинах.-М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 34-40.

17. Болотин В.В. К вопросу об устойчивости пластинки в потоке сжимаемого газа.- Сб. Вопросы прочности материалов и конструкций.- М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. II5-II9.

18. Болотин В.В. О критических скоростях в нелинейной теории аэроупругости.- Научн. докл. высш. школы, сер. Машиностроение и приборостроение, 1958, Л 3, с. 25-29.

19. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек.- Инж. сборн., I960, 1Ь 28, с. 65-75.

20. Булгаков Б.В. Колебания.- М.: Гостехиздат, 1954,- 892 с.

21. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.- М.: Наука, 1969.- 527 с.

22. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний.-М.: Связьиздат, 1935,- 167 с.

23. Волосов В.Т. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.- УМН, 1962, т. 17, в. 6, с. 3-126,

24. Волосов В.М. Некоторые виды расчетов в теории нелинейных колебаний, связанные с усреднением.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1963, т. 3, Л I, с. 353.

25. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.- М.: Изд. МГУ, 1971.- 507 с.

26. Ворович И.И.t Зипалова В.Ф. К решению паевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши.- ПММ, 1965, т. 29, вып. 5, с. 894-901.

27. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Применение метода Ляцунова-Шмидта к исследованию устойчивости и автоколебаний сложных механических систем.- Прикладная механика, 1983, т. XIX, в. 12, с. 102-109.

28. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений.- М.: Изд. АН СССР, 1952, т. I,- 391 с.

29. Громов В.Г. Динамический критерий устойчивости и закритиче-ское поведение гибких вязкоупругих тел при термосиловом за-гружении.- Докл. АН СССР, 1975, т. 220, 4, с. 805-808.

30. Громов В.Г. Первый метод Ляпунова в динамической устойчивости гибких термовязкоупругих тел.- Докл. АН СССР, т. 223, № 4, с. 819-822.

31. Доступов Б.Г., Казаков И.Е. Статистическая динамика нелиней. ных автоматических систем.- М.: Физматгиз, 1962.- 332 с.

32. Ядвиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений.- Докл. АН СССР, 1953, т. 38 f $ 2, с. 601-602.

33. Жинжер Н.И. Об устойчивости неконсервативных упругих систем при наличии трения.- Изв. вузов. Машиностроение, 1968, № 4, с. 65-68.

34. Зубов Л.М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.- ПММ, 1971, т. 35, в. 3, с. 406-410.

35. Ильницкий И.И. Причины автоколебаний резцов.- Сб. Вопросы технологии машиностроения.- М.: Машгиз, 1956, в. 63, с. 6773.

36. Инфант Е.Ф., Плаут Р.Г. Влияние демпфирования, запаздывания и изменения параметров на устойчивость неконсервативной системы.- ИЛ, Прикладная механика, 1971, & 2, с. 225-226.

37. Кабельков А.Н. Об автоколебаниях консольного вязкоупругого стержня.- Деп. ЦИНИС,раздел "Б",выпуск 6, 1977.

38. Кабельков А.Н. Два подхода к расчету автоколебаний упругого консольного стержня, нагруженного силой сухого трения на конце.- Сб. научн. статей.- Деп. ВНИИИС, библ. указ. деп. рук., выпуск 3, 1981.

39. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Устойчивость и автоколебания упругого консольного стержня, нагруженного силой сухого трения.» Изв. СКНЦ ВШ, Естеств, науки, 1983, JS I, с. 30-33.

40. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Исследование фрикционных автоколебаний механических систем с двумя степенями свободы.-Изв. СКНЦ ВШ, технические науки, 1984, №. I, с.

41. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Алгоритм расчета устойчивости и автоколебаний механических систем по методу Ляпунова-Швд-та. Деп. ВИНИТИ, й 2253, 1983.

42. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Исследование автоколебаний вяз-коупругой фрикционной механической системы с одной степенью свободы. Деп. ВИНИТИ, № 2254, 1983.

43. Кононенко В.О.,Ковальчук А.С. Воздействие параметрического возбуждения на автоколебательную систему.- Прикладная механика, 1971,т.7,с.3-10.

44. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой.- М.: Наука, 1977.- 416 с.

45. Кайдановский Н.А. Природа механических автоколебаний, возникающих при трении.- ЖТФ, 1949, т. 19, в. 9, с. 985-996.

46. Каудерер Г. Нелинейная механика.- М.: Изд. иностр. лит., 196I, 777 с.

47. Каширин А.И. Исследование вибраций при резании металлов.- М.-Л.: Изд. АН СССР, 1944.- 132 с.

48. Кедров С.С. Колебания металлорежущих станков.- М.: Машиностроение, 1978,- 199 с,

49. Дж.Б.Келлер, С.Антман. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения.- М.: Мир, 1974.- 254 с.

50. Колмогоров А.Н., Фомин С.В» Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976.- 544 с,

51. Кононенко В.О. Автоколебания при трении, близкие к гармоническим.- Сб. Вопросы прочности конструкций и динамика машин.-Киев.: Изд-во АН УССР, 1954, 1Ь 19, с. 106-126.

52. Костерин Ю.И., Крагельский И.В. Причины захватывания и вибраг-ций в автоколебательном сцеплении.- Сб. Конструирование, исследование и испытание автоколебаний.- Машгиз, 1956, J& 2,с. 56-64.

53. Костерин Ю.И., Крагельский И.В. Релаксационные колебания в упругих системах трения.- Сб. Трение и износ в машинах.-1958, в. 12, с. 27-35.

54. Костерин Ю.И. Механические автоколебания при сухом трении.-М.: Изд. АН СССР, I960.- 76 с.

55. Кривоухов В.А., Воронов В.А. Высокочастотные вибрации в станках.- Тр. МАИ.- 1956, в. 67.- 78 с.

56. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику.-Киев: Изд-во АН УССР, 1937.- 363 с.

57. Кудинов В.А. Теория вибраций при резании (трении).- Сб. Передовая технология машиностроения.- М.: Изд-во АН СССР, 1955. с. 11-20.

58. Кудинов В.А. Природа автоколебаний при трении.- Сб. Исследование колебаний металлорежущих станков при резании металлов.-М.: Машгиз, 1958. с. 251-272.

59. Кудинов В.А. Общность задач устойчивости движения в станках и других механических системах.- Сб. Исследования колебаний металлорезкущих станков при резании металлов.- М.: Машгиз, 1958, с. 29-36.

60. Лазарев Г.С. Автоколебания при резании металлов.- М.: Высшая школа, 1971.- 244 с.

61. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы.- М.: Наука, 1980.- 359 с.

62. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.- М.: Мир, 1964.- 168 с.

63. Лобас Л.Г. Шимми колес с двухстепенной подвеской в случае наклонной оси ориентировки.- Прикладная механика, 1981, т. 17, № 2, с.121-126.

64. Лобас Л.Г. Автоколебания ориентирующейся стойки в случае реализации классических неголономных связей качения.- Математическая физика, Киев, 1981, Л 29, с. 48-55.

65. Лобас Л.Г. Автоколебания колеса на ориентирующейся стойке шасси с нелинейным демпфером.- Прикладная математика и механика, 1981, т. 45, № 4, с. 756-759.

66. Лубик В.Л., Байнов Д.Д. Об устойчивости периодических колебаний квалилинейных систем с запаздыванием.- Теоретическая и прикладная механика, 1972, т. 3, № I, с. 53-59.

67. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.- М.-Л.: Гостехиздат, 1950.- 472 с.

68. Ляпунов A.M. Собр. соч. М.: Изд. АН СССР, 1959, т. 4.- 645 с.

69. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.- 940 с.

70. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.- М.: Наука, 1966.530 с.

71. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. Об обосновании одного метода приближенного решения дифференциальных уравнений.- ЖТФ, 1934, т. 4, в. 2, с. II7-I2I.

72. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.-Киев; Наукова думка, 1971.- 440 с.

73. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра.- М.: Наука, 1965.- 300 с.

74. Цурашкин Л.С. К вопросу о возбуждении автоколебаний на металлорежущих станках.- Тр. Ленинград, политехи, инст.- 1957, в. 191, с. I60-I8I.

75. Неймарк Ю.И. Структура D -разбиения пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста.- Докл. АН СССР, 1948, т. 59, № 5, с. 853-856.

76. Пановко Я.Г., 1Убанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.- М.: Наука, 1967.- 420 с.

77. Писаренко Г.С., Ольштейн Л.Е. Проблемы аэроупругости турбо-машин.- Проблемы прочности, 1974, № 8, с. 3-8.

78. Пономарев А.С. Аналитическое исследование фрикционных автоколебаний в системах с двумя степенями свободы.- Сб. Динамика и прочность машин.- 1977, в. 25, с. 80-86.

79. Пономарев А.С. Автоколебания в машинах при запаздывании сил трения.- Сб. Динамика и прочность машин.- 1977, в. 12, с.1411. Г47.

80. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем.- М.: Физматгиз, I960.- Ъ2 с.

81. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.: Гостехиздат, 1947.- 211 с.

82. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости.- М.: Наука, 1971.- 287 с.

83. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.-М.: Наука, 1969.- 287 с.

84. Савинов Г.В. Автоколебания систем с сильно выраженной нелинейностью.- Вестник МГУ. Сер. физ.-мат. и естест. наук, 1953, № 6, с. 77-81.

85. Савинов Г.В. Автоколебания в существенно нелинейных квазиконсервативных системах.- Докл. АН СССР, 1953, т. 89, № 6,с. 995-I0II.

86. Самойлович Г.С. Нестационарное обтекание и аэроупругие колебания решеток турбомашин.- М.: Наука, 1969.- 444 с.

87. Самойлович Г.С. Возбуждение колебаний лопаток турбомашин.-М.: Машиностроение, 1976.- 288 с.

88. Смирнов А.И. Аэроупругость. Часть I. Статические задачи аэроупругости.-М.: Изд. МАИ, 3971.- 184 с.

89. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов.-М.: Машиностроение, 1980.- 231 с.

90. Соколовский А.П. Жесткость в технологии машиностроения.- М.: Машгиз, 1946.- 207 с.

91. Степанов Г.Ю. Международный симпозиум по аэроупругости турбомашин.- Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 3977, № 5,с. 197-200.

92. Стрелков С.П. К общей теории линейных усилителей.- Автоматика и телемеханика, 1949, т. 10,№ 4, с. 274-280.

93. Теодорчик К.Ф. Траектории корней характеристического уравнения системы третьего порядка при непрерывном изменении свободного члена и максимальная достижимая при этом устойчивость.-ЖТФ, 1948, т. 18, в. II, с. 1394-1398.

94. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы.- М.: Гостй$здат, 1952.- 272 с.

95. Тлустый И. Автоколебания в металлорежущих стнках.- М.: Машгиз, 1956.- 395 с.

96. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем.- М.: Мир, Б73.- 336 с.

97. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматического управления.- М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963.- 112 с.

98. Харкевич А.А. Автоколебания.- М.: Гостехтеориздат, 1954,"" 170 с.

99. Хедженет Д. Флаттер прямоугольных свободно опертых панелей при больших сверхзвуковых скоростях.- Сб. Механика. ИЛ, 1959, 2, с.

100. Циглер Г.Основы теории устойчивости конструкций.- М.: Мир, 1971.- 192 с.

101. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1964.477 с.

102. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- М.: Наука, 1965.- 207с.

103. Юдович В.И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости.- Докл. АН СССР, 1965, т. 161, № 5, с. I037-I04I.

104. НО. Юдович В.И. Об устойчивости автоколебаний жидкости.- Докл. АН СССР, 1970, т. 195, № 3, с. 574-576.

105. Юдович В.И. Возникновение автоколебаний в жидкости.- ПММ, 1971, т. 35, в. 4, с. 638-655.

106. Эльясберг М.Е. Об устойчивости процесса резания.- Изв. АН СССР ОТН, 1958, №9, с. 12-16; *

107. Эльясберг М.Е. Основы теории автоколебаний при резании металлов.- Станки и инструмент, 1962,^ 10, с. 3-8,№ 12,с.3.^6.

108. Эльясберг М.Е. Абсолютная виброустойчивость металлорежущих станков по скорости резания.- Станки и инструмент, 1966,4, с. 12-16.

109. Эльясберг М.Е. Расчет металлорежущих станков на устойчивость процесса резания.- Станки и инструмент, 1959, № 3,

110. Янг Ю.И., Паршин Л.К. Экспериментальное изучение устойчИ' вости стержня, сжатого следящей силой.- ДАН СССР, 1966, т. 167, № I, с. 49-51.

111. Dot 5.} Kato S. Shatter v-l€zatlon of Lathe TooP-- Tzcnsoctlons of the ASME. /956 , V. 78 , S.76.

112. Evans W.R. ContioP system dynamics. Ж УLondon, 1954.

113. FPoyuet Suites equations difei&ntiePPes Pinea?es a coefficients pezlodiyues. Ann. sclent if i^ues de P'EcoPP MoimaPP supe2ieu?e, 1983, sez.2, t./2JM*1, p.47.

114. Не?гтап.п G-., Jong 1.-С. On поп conse ? и a ti ve stoSifity p?ot>Pe/ns of ePostic systems With sPight damping. Tians. ASME. se?.£.7. Appe. Mech19667 VoP33, Mo. 1.

115. WoodИ1.G.jSaw- S.S., Sanndevs RM. The kinetic staii-Pity of и tangentiaPPу Poacled st?ut. Pioc.Roy. London, se?. A , 1969, l/оP. 31 5, Mo. 15/3.

116. Losota A., Ruse/t P. StaiiPity of sePf-induced Violations in metaP cutting. Pzoc. 5th WoiPd Congz. Theo?. Mach. and Mech., Mont7eaP, 1979. VoP2. Mew Yotk, 1979 ,5. /502-/505

117. Schmidt F., Zuz Theoiie del Pine a? en und nicAtPi -пеагел JnteyzaPgPeichnungen , Ж, Math. Ann., /9/0, 65, S.370-399.

118. Tofoas S.A., Fish wick W. Fine Theo?ie c/es Regeneza-tiven Rattevns .-Dez Maschinenmaikt. /956, VoP62?M/7.

119. TondPA.J. Sound and Vl€i . /976, Ms2, S.285-294.

120. JO. Myyuib H. Regeneration theoiy. BeP System Tech. J. y /932, V.//,M1 ,p./26.3/. Jfemat-M}sse2s. }Heiimann Cr. Adjoint systems in nonconsevv-cttiv-e p?o£Pems of ePastic Sta&Pity . A7AA Jou7naP, /966, VoP\ 4y A/o. /2.

121. ЦедРеъН. die StaSiPitatsKZitevien del EPastorne-chanic. Ingi.-A-zch., /952, 8d.20,M/.