Влияние размерного эффекта на характеристики фазового перехода в разбавленных наномагнетиках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Петров Александр Александрович

• Петров Александр Александрович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Петров Александр Александрович

Введение

ГЛАВА 1. ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРНОГО ЭФФЕКТА НА МАГНИТНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ: ЭКСПЕРИМЕНТ И ТЕОРИЯ

1.1. Обзор экспериментальных данных

1.2. Метод случайных полей взаимодействия

1.2.1. Метод среднего спина

1.2.2. «Нормальное распределение» полей взаимодействия

1.2.3. Параметры порядка и магнитные состояния вблизи критической точки

1.2.4. Магнетики с РККИ взаимодействием. Спиновое стекло

1.2.5. Концентрационные переходы в магнетиках с РККИ взаимодействия

1.2.6. Магнитостатическое взаимодействие наночастиц в системах различной размерности

ГЛАВА 2. МЕТОД «СРЕДНЕГО СПИНА» ДЛЯ НАНОРАЗМЕРНЫХ МАГНЕТИКОВ

2.1. Метод «среднего спина» для наночастиц

2.2. Метод «среднего спина» для тонких кристаллических пленок

2.3. Аморфные тонкие пленки

ГЛАВА 3. МАГНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В НЕРАЗБАВЛЕННЫХ НАНОМАГНЕТИКАХ

3.1. Размерный эффект в ферромагнитных наночастицах

3.2. Размерная зависимость температуры Кюри ультратонкой пленки

3.3. Температура Кюри нанотрубки

3.4. Критическая температура фазового перехода аморфных ферромагнитных пленок

3.5. Зависимость магнитной восприимчивости от толщины плёнки

ГЛАВА 4. КОНЦЕНТРАЦИОННЫЙ ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В НАНОРАЗМЕРНЫХ МАГНЕТИКАХ

4.1. Температура Кюри разбавленных ферромагнитных наночастиц

4.2. Концентрационный фазовый переход в ферромагнитной пленке

4.3. Моделирование концентрационного фазового перехода в аморфных пленках

ГЛАВА 5. МЕТОД СРЕДНЕГО СПИНА В НАНОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМАХ С РАЗЛИЧНЫМ ТИПОМ МАГНИТНОГО УПОРЯДОЧЕНИЯ

5.1. Особенности фазового перехода в антиферромагнитной пленке

5.2. Температурная зависимость энергии межфазного обменного взаимодействия между ферро-и антиферромагнетиком

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Влияние размерного эффекта на характеристики фазового перехода в разбавленных наномагнетиках»

Введение

Актуальность работы. Интерес к изучению влияния размерного эффекта на характеристики магнитного фазового перехода в наноматериалах имеет, по крайней мере, два аспекта: практический и теоретический. С практической точки зрения знания о размерной зависимости критической температуры фазового перехода, магнитной восприимчивости и других магнитных характеристиках различных наноматериалов лежат в основе разработки элементов энергонезависимой памяти, логических устройств, носителей информации с высокой плотностью записи, включая магниторезистивную память, высокочувствительных сенсоров магнитного поля, а также в основе различных биомедицинских технологиях. Требования практики инициировали многочисленные экспериментальные исследования наноразмерных магнетиков. Так, например, размерный эффект изучался в ультратонких ферромагнитных эпитаксиальных [1 - 3] и поликристаллических [4] плёнках, а также в пленках антиферромагнетиков [5 - 7] и сплавов [6, 8]. В экспериментах с наночастицами использовались ферромагнитные [9 - 16], антиферромагнитные [17] и ферримагнитные [18] материалы.

Теоретический аспект интереса обусловлен естественной потребностью осмыслить многообразные экспериментальные данные и представить их с помощью непротиворечивых теоретических построений. Здесь наряду с мощными численными методами моделирования фазовых переходов в различных магнетиках, можно выделить одним из вариантов метода «эффективного поля», аналитический подход в основе которого лежит постулат о случайности полей взаимодействия между магнитными моментами атомов. Однако, этот подход обычно использовался при изучении магнитных свойств неограниченных магнетиков. Поэтому задачи развития метода случайных полей взаимодействия, как и исследование с помощью него магнитных характеристик наноразмерных материалов, являются достаточно актуальными.

Целью диссертационной работы является изучение влияния размерного эффекта на характеристики фазовых переходов в разбавленных наномагнетиках. Для достижения цели работы необходимо решить следующие задачи:

1. В приближении случайности полей взаимодействия между магнитными моментами атомов разработать метод, позволяющий исследовать магнитное упорядочение в разбавленных наноразмерных магнетиках.

2. Изучить зависимость критической температуры магнитного фазового перехода от характерных размеров элементов наноструктуры (наночастицы, ультратонкой пленки или нанотрубки) магнетика.

3. Оценить влияние размеров элементов наноструктуры разбавленного магнетика на критическую концентрацию фазового перехода в ферромагнитное состояние.

4. Методом среднего спина рассчитать температурную зависимость межфазного обменного взаимодействия между ферро- и антиферромагнетиком. Научная новизна

1. Разработан подход (метод среднего спина), позволяющий с помощью простых аналитических соотношений исследовать влияние размеров нанонагнетиков на критическую температуру и другие характеристики магнитного и концентрационного фазовых переходов в разбавленных магнетиках.

2. В приближении метода среднего спина подтверждена экспериментально наблюдаемая зависимость критической температуры фазового перехода Тс от размеров элементов наноструктуры Б неразбавленного магнетика. Увеличение Тс вплоть до критической температуры массивного материала с ростом Б в пределах первых десяти межатомных расстояний обусловлено увеличением числа ближайших соседей.

3. Показано, что с уменьшением размеров элементов наноструктуры разбавленного магнетика критическая концентрация фазового перехода рс в ферромагнитное состояние возрастает относительно значений, соответствующих массивному материалу. Причем изменение рс для магнетиков с гранецентрированной кубической решеткой существенно превышает соответствующие изменения рс для магнетиков с объёмноцентрированной и, тем более, простой кубической решеткой.

4. Моделирование температурной зависимости константы межфазного обменного взаимодействия между ферро- и антиферромагнетиком,

проведенное в рамках метода среднего спина, подтвердило экспериментально наблюдаемую экспоненциальную зависимость от температуры.

Практическая значимость. Разработанный метод среднего спина представляет собой развитие теории эффективного поля в магнетизме наноразмерных материалов. Этот метод может быть использован при исследованиях, направленных на создание магнитных наноматериалов с заранее заданными свойствами с целью повышения эффективности выбора наноразмерного материала (наночастиц, ультратонких пленок и пр.), используемых в различных биомедицинских и технических приложениях. На защиту выносятся:

1. Метод среднего спина, позволяющий исследовать магнитные свойства в наноразмерных разбавленных магнетиков.

2. Полученное в приближении метода среднего спина увеличение критической фазового перехода рс в ферромагнитное состояние, связанное с падением характерных размеров элементов наноструктуры в разбавленных магнетиках обусловлено уменьшением среднего числа ближайших соседей.

3. Температурная зависимость константы межфазного обменного взаимодействия между ферро- и антиферромагнетиком , рассчитанная методом среднего спина описывается законом экспоненты: ^¿п(Г)~ехр (— Т/Т0). Апробация работы. Основные научные результаты диссертационной работы опубликованы в рецензируемых научных изданиях и были представлены в виде устных и стендовых докладов на 14-ти международных и всероссийских конференциях:

1. Международная конференция по металлургическим технологиям и материалам (1СМТМ 2013), Гонконг, Китай, 2013

2. Евро-Азиатский Симпозиум "Тенденции в магнетизме" (EASTMAG), Владивосток, Россия, 2013.

3. Международный форум по технологиям обработки материалов (IFMPT), Гуанчжоу, Китай, 2014.

4. Международная конференция по наноструктурным материалам (NANO), Москва, Россия, 2014.

5. Международная конференция по передовой технике и технологиям (ICAET), Инчхон, Корея, 2014 г.

6. Международная азиатская школа-конференция по физике и технологиям наноструктурных материалов (ASCO-NANOMAT) , Владивосток, Россия, 2015.

7. Международные конференции по математическому моделированию в физических науках (IC-MSQUARE), Прага, Чешская Республика, 2013; Мадрид, Испания, 2014; Миконос, Греция, 2015; Афины, Греция, 2016; Братислава, Словакия, 2019; Белград, Сербия, 2023.

8. Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные вопросы естествознания», Владивосток, 2013.

9. Всероссийская научная конференция «Актуальные вопросы фундаментальных и прикладных исследований», Владивосток, 2019. Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано: 1 монография и 15 научных работ, из них 12 работ в рецензируемых научных журналах, 3 статьи в сборниках трудов конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы составляет 86 страниц включая 27 рисунков, 10 таблиц и библиографию из 86 работ. Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов производилась совместно с соавторами. Вклад диссертанта в опубликованные работы является равнозначным.

ГЛАВА 1. ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРНОГО ЭФФЕКТА НА МАГНИТНЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ: ЭКСПЕРИМЕНТ И

ТЕОРИЯ

В данной главе описаны экспериментальные и теоретические исследования зависимости критической температуры и других характеристик магнитного фазового перехода от характерных размеров наномагнетиков. Особое внимание уделено методу случайных полей взаимодействия в неограниченном магнетике, а также его применению для исследования зависимости магнитного упорядочения (ферро-, антиферро-, ферримагнитного и спинового стекла) от типа взаимодействия между магнитными моментами атомов (обменное, РККИ, магнитостатическое).

1.1. Обзор экспериментальных данных

Многочисленные экспериментальные исследования указывают на существенную зависимость поведения магнитной восприимчивости, теплоемкости, корреляционной длины вблизи точки магнитного фазового перехода, а также зависимость температуры Кюри (Нееля) от размеров таких систем, как ультратонкие плёнки [1-7, 19-26], наночастицы [1-2, 7-8, 21-24, 26-28] и нанотрубки [29, 30]. Так, например, размерный эффект изучался в ультратонких ферромагнитных эпитаксиальных N1, Яе, ИЬРе [1-3] и поликристаллических N1/3102 [31] плёнках, а также в пленках антиферромагнетиков СоО, N10 [5-7] и сплавов Ni50Fe50, N10/000 [6, 8]. В экспериментах с наночастицами использовались ферромагнитные (N1, Ре304, FePt, NdQ|4SrQ|6Mn03,

Ьа1-хСахМп03(х = 0,33), Еи^) [9-16], антиферромагнитные (МпО) [17] и ферримагнитные (МпРе204) [18] материалы. В отличие от пленок и наночастиц, изучению размерного эффекта в нанотрубках посвящено существенно меньше работ (см., например, [29, 30]).

Как известно, при повышении температуры магнитное упорядочение разрушается сильными температурными флуктуациями. В объёмных материалах

при приближении температуры Т к критической температуре Тс, корреляционная длина описывается следующим уравнением:

? = , (1.1)

'с

в котором v - критический индекс корреляционной длины спин-спинового взаимодействия, (0 - корреляционная длина при нулевой температуре. При температуре Кюри корреляционная длина становится бесконечной, что означает начало выстраивания моментов по всей системе [32].

В случае с ультратонкими плёнками или наночастицами с небольшим числом атомов на ребре (Na <15) при температурах ниже критической размеры наносистемы L могут оказаться соизмеримы с корреляционной длиной спин-спинового взаимодействия f, что и приводит к размерным эффектам. Для температур Т, при которых корреляционная длина f много меньше, чем размер наносистемы L её поведение, по существу, ничем не отличается от объемных (так называемых 3D или bulk materials) систем.

В плёнке конечной толщины или наночастице конечных размеров, уменьшение L приводит к падению температуры TC(L). Кроме того, разрыв магнитной восприимчивости х(Г) в точке фазового перехода становится более гладким. Этот сдвиг и подчиняется степенному закону:

где Л = 1/v.

Ренормгрупповые методы предсказывают, что корреляционная длина %(L)~L/3, которая определяет поведение температуры кроссовера-в физике фазовых переходов явление изменения значений критических индексов при изменении внешних параметров (температуры, напряженности внешних полей и др.), которое не сопровождается изменением симметрии системы и скачком термодинамических параметров, в отличие от фазового перехода-следующим образом . Этот эффект наблюдался в таких разнообразных системах,

как сверхрешёточные сверхпроводники, высокотемпературные оксидные

сверхпроводники, спиновые многослойные стёкла, переходные сплавы металлов, эпитаксиальные магнитные тонкие плёнки. Более того, расчёты методом Монте-Карло спин-решёточных систем указывают на то, что параметр порядка является функцией L и изменяется непрерывно при приближении Т к TC(L). Причем критические индексы параметра порядка для трёхмерных и двумерных систем сильно отличается [22]. Данные результаты подтверждаются экспериментами на плёнках Ni, которые показывают, что параметр порядка в, определяющий дальний порядок структуры в тонких магнитных плёнках M~(1 — T/TC)e, резко меняется с изменением толщины плёнок Ni (100), Ni(110), Ni (111).

Такое макроскопическое изменение критического индекса fi (L) было впервые обнаружено Li и Baberschke, которые отметили резкое уменьшение значение fi (L) между 7 и 5 ML для ультратонких плёнок Ni (111)/W(110). Они объяснили это явление как кроссовер при переходе системы от трехмерного (объемного, 3D) к двумерному (2D) магнитному поведению. Оригинальность работы [22] заключается в том, что показано как fi (L) уменьшается дискретно, от одного значения к другому, при различных конечных толщинах. Кроме того, в [22] представлена зависимость fi (L) от выбора кристаллографического направления, а также легирования (см. рис. 1.1).

П. В. Прудников с соавторами [33] в рамках модели макроскопической спиновой системы с кристаллической анизотропией, которая описывается анизотропной моделью Гейзенберга, методом Монте-Карло исследовали зависимость критических индексов (fi, v, у) от толщины ультратонкой пленки. Ими показано, что при толщинах пленки больших пяти монослоев критические индексы изменяются от 2D значений (fi « 0.125, v « 1, у « 1.75) до 3D - (fi ~ 0.365, v « 0,71, у^ 1.39).

Размерные эффекты оказывают влияние на восприимчивость наносистем. Например, для эпитаксиальных Ni (001) ультратонких плёнок была

о

Рисунок 1.1. - Критический индекс в как функция толщины (А) и кристаллографического направления для плёнок N1 и Ре50Ы150: (100)-верхний рисунок, (110)-средний, (111)-нижний. Ьхо -толщина плёнки, при которой начинается кроссовер [22]

экспериментально исследована температурная зависимость магнитной восприимчивости и остаточной намагниченности вблизи температуры Кюри (см. рис. 1.2).

b)

-С

сз

X

♦Л

♦ ♦

Хн □

□

□

п D п ОО

а) MJ д н/ М, Г

! / ___ к

Т(К)

420 440 460 480 \ 500 520 540 560

тс(Ь)

Рисунок 1.2. - Петля гистерезиса (а), остаточная намагниченность Мк и восприимчивость Хн (Ь) ультратонких Ni (001) плёнок для Ь = 13 монослоёв

Эпитаксиальные плёнки Ni (001) толщиной 5 < L < 10 монослоёв были получены методом молекулярно-лучевой эпитаксии на подложках Cu (001) при температуре 300^ в сверхвысоковакуумной камере (5,0 X 10-11 mbar). Темп роста 0.1 Á/с контролировали с помощью кварцевого измерителя толщины (КИТ). Исследование морфологии плёнки проводилось с помощью дифракции низкоэнергетических электронов (LEED) и высокоэнергетических электронов (REED), регулирующих послойный рост и фиксирующих упорядоченную ГЦК структуру плёнок. Подобные плёнки Ni хорошо изучены, и имеется обширная литература на эту тему.

Намагниченность плёнок была изучена с помощью приложенного магнитного поля в сверхвысоковакуумной камере, используя поверхностный магнитостатический эффект Керра (SMOKE). Результаты отображены на рис. 2 и показывают поведение петли гистерезиса (a), там же показано изменение остаточной намагниченности с температурой.

Восприимчивость в работе [22] была определена как градиент дМк/дН при Н = 0. Хорошо выраженный пик восприимчивости расположен в точке ТС(Ц), который, несмотря на увеличение округления при уменьшении толщины Ь, оставался резко очерченным вплоть до толщин в несколько монослоёв.

В работе [8] авторы приводят экспериментальные результаты зависимости магнитной восприимчивости х и температуры Кюри Тс от толщины плёнки (см. рис. 1.3 и 1.4). Ими показано, уменьшение толщины плёнки приводит к расширению кривой х(Т) и смещению Тс в область меньших значений.

150 200 25Q 300 Ш 400

Temperature (К)

Рисунок 1.3. - Размерный эффект в ультратонких плёнках Ni50Fe50, на которых измерена намагниченность (•) и магнитная восприимчивость (о). 1 ML = 1.23А [8]

Отметим, также, теоретическое исследование влияния размерного эффекта на магнитную восприимчивость в котором получен аналогичный результат [33].

Рисунок 1.4. - Зависимость температуры Кюри от толщины плёнки для ферромагнитных N1 плёнок (Я0 -характерная область спин-спиновых взаимодействий)

Данные экспериментальные результаты подтверждают влияние размера наносистемы на такие термодинамические характеристики магнитного фазового перехода, как магнитная восприимчивость и температура Кюри. Мы видим, что температура Кюри "сдвигается" в область низких температур при уменьшении толщины плёнки. При этом для ферромагнитных плёнок N1 наблюдается кроссовер при толщинах меньших Я0, что выражается в линейной зависимости температуры Кюри от толщины плёнки (см. рис. 1.4).

В работе [2] также приводится график зависимости температуры Кюри от толщины ультратонких ферромагнитных плёнок с простой кубической кристаллической структурой (см. рис. 1.5). Данные экспериментальные результаты также подтверждают влияние размера наносистемы на температуру магнитного фазового перехода для различных материалов, что также выражается в уменьшении температуры Кюри при изменении толщины плёнки.

* ВДНЮ1)Щ111) о Си И11 )МРе(111 )/Си(111)

*

Ло.е-

□ 0.4 -

^подокпи х едтущпи

в \Л/(110)/Ре(110)/Ад

О

О

10

20

30

40

50

О

Рисунок 1.5. - Экспериментальная зависимость приведенной температуры Кюри от толщины ультратонкой пленки ф-число монослоёв) для различных материалов

В работах [15-16] изучалось влияние размерного эффекта на магнитные свойства наночастиц Е^. Для определения температуры Кюри воспользовались следующим соотношением для спонтанной намагниченности в нулевом внешнем магнитном поле:

На рис. 1.6 приведена зависимость М2(Т) для наночастиц размером 4,9 нм, 5,7 нм, 7,2 нм. При пересечении графика с осью ох, то есть при М3 = 0, мы можем найти значение температуры Кюри. Как видно из рис. 1.6, точка пересечения прямой квадрата спонтанной намагниченности М2 в нулевом внешнем магнитном поле с осью температур Т смешается в область низких Г для наночастиц с меньшим диаметром, что означает уменьшение температуры Кюри для наночастиц меньших размеров. Зависимость температуры Кюри от диаметра наночастиц представлена на рис. 1.7. Фиолетовая кривая представляет результат экспериментальных измерений, представленных в работе [15], красная кривая - результат теоретических расчетов с помощью теории "среднего поля", учитывающих только изменение

М2 = В(ТС-Т) .

(1.3)

Рисунок 1.6. - Зависимость спонтанной намагниченности от температуры для наночастиц Е^ со средним диаметром 4,9 нм, 5,7 нм, 7,2 нм

Рисунок 1.7. - Зависимость температуры Кюри от диаметра наночастиц

в числе ближайших соседей для атомов, лежащих на поверхности. Зеленая кривая представляет результат теоретических расчетов, учитывающих не только изменение числа ближайших соседей у атомов в объёме и на поверхности образца, но и величины константы обменного взаимодействия для поверхностных атомов.

1.2. Метод случайных полей взаимодействия

Достаточно активно ведется теоретическое изучение влияния размерных эффектов на критическую температуру магнитного фазового перехода и поведение магнитной восприимчивости (теплоемкости, корреляционной длины) вблизи точки фазового перехода. Здесь используются различные подходы. Это расчеты, проведенные в рамках модели Изинга методом высокотемпературного разложения [34-35], на основе ренормгруппового подхода [36], с помощью вариационных кумулянтов (VCE) [37-38], методом Монте-Карло [39-43], а также с помощью метода функций Грина в рамках d-f модели [44-45]. Кроме того, можно отметить изучение влияния размерного эффекта на критическую температуру фазового перехода на основе термодинамического подхода [46] и в приближении среднего поля [48-49].

К перечисленным выше теоретическим методам исследования магнитных фазовых переходов можно отнести метод случайных полей взаимодействия, который является одним из вариантов методов «эффективного поля». Этот подход имеет достаточно давнюю историю [50] и, значительно позже, успешно использовался при изучении магнитных свойств систем взаимодействующих наночастиц [51, 52] Существенное развитие и применение приближения случайного поля взаимодействия к изучению магнитных фазовых переходов в средах неограниченных размеров представлено в работах В.И. Белоконя с соавторами [52-53]. Отметим также работы Saber с соавторами который используя формализм случайного поля [54], исследовал магнитные фазовые переходы в тонких пленках [55-56] и нанотрубках [57-59] и наночастицах [60-61].

1.2.1. Метод среднего спина

Метод среднего спина, по существу, является методом эффективного (молекулярного) поля, функция распределения полей взаимодействия которого зависит от закона взаимодействия магнитных моментов и их распределения в пространстве. Законом взаимодействия может быть, например, прямое либо косвенное обменное взаимодействие, РККИ или диполь-дипольное взаимодействие. Преимущество этого метода по сравнению с обычным методом эффективного поля в том, что он позволяет количественно описать фазовые переходы в системах с заданным законом взаимодействия, в том числе в разбавленных магнетиках.

Для решения задачи о распределении полей взаимодействия магнитных моментов рассмотрим систему взаимодействующих «магнитных» атомов, распределенных с концентрацией р в немагнитной неограниченной среде случайным образом по узлам кристаллической решетки или по объему в аморфном веществе. Будем считать, что магнитные моменты атомов ориентированы вдоль некоторой оси Oz (приближение модели Изинга). Совместим начало координат с одним из «магнитных» атомов. Тогда, зная поле взаимодействия Фк = Фк(тк, гк), создаваемое в начале координат атомом, обладающим магнитным моментом тк и расположенным в точке с координатами Гк, можно рассчитать плотность распределения случайных полей взаимодействия Ш(Н):

Ш(Н) = 11 6 (тк, г*)) П ф*(ть, гь)ат* аг*, 0~4)

где 6(х) - дельта-функция Дирака, 8[Н -£кфк(тк,гк)] - плотность распределения поля Н при известном распределении атомов по координатам гк, магнитным моментам тк, £к фк (тк, гк) - суммарное поле от этих атомов, Фк(тк,гк) - плотность распределения атомов по координатам гк и магнитным моментам тк. Если магнитные моменты атомов не зависят от их положения, то

Фк(тк,гк) = /к(гк) тк(тк). (1.5)

Здесь тк(тк) и ^(гк) - плотности распределения атомов по магнитным моментам и координатам соответственно, причем ^(Гк) в кристаллических и аморфных магнетиках существенно различаются. Кристаллические магнетики

Плотность распределения атомов в кристаллических магнетиках имеет следующий вид:

fk(rk) = 8(гк-гк0), (1.6)

где гк0 - координаты узлов кристаллической решетки.

В рамках модели Изинга плотность распределения тк(тк) атомов с одинаковыми значениями магнитного момента 1тк1 = т0 можно определить следующим образом:

?к(™-к) = [ак8(вк)+рк6(п-6к)][(1-р)6(тк)+р6(тк-т0)], (1.7) где вк - угол между тк и осью Ог, ак - относительная вероятность ориентации спина «вверх» (вк = 0), рк = 1 — ак - относительная вероятность ориентации спина «вниз» (вк = и). В поле Н равновесные значения ак и рк определяются следующим образом:

/ткН\ ( ткН\

ехр(т^т) ехр(—Т^т)

ак = гткН\ , ( ткН\' = (шкН\ , ( ткН\ ' (18 ехр\к^Г) + ехр Т^Г) ехр\к^Г) + ехр Т^Г)

Отметим, что средние по ансамблю значения (ак) и {рк), как и среднее

значение относительного магнитного момента т = (ак) — (рк) определяются

«мгновенными» значениями ак и рк:

ш = (ак) — Ю = | [ак(Н) — 0к(Н)] ЩН, ак,рк)йН. (1.9)

Задача определения т существенно упрощается, если в соотношении (1.6) ак и рк заменить на их средние значения:

1 — т 1 + т

<ак)=—2-, Ю = —2~. (110)

В этом случае (1.9) переходит в уравнение для определения среднего момента атома:

1 — т 1 + т\

[ак(Н)- (1.11)

Уравнение (1.11) является основой метода среднего спина.

Характеристическую функцию для кристаллического ферромагнетика А(р) = / №(Н) е1рнйН можно представить в следующем виде:

А(р) = П[(1 _Р) + р((ак)е1рФк(т°,Гк0^ + (рк)е-1Р^к(то,гко))]. (1.12) к

Последнее выражение записано с учетом того, что смена направления тк приводит к смене знака фк.

В случае прямого обменного взаимодействия ближайших соседей характеристическую функцию можно привести к виду:

'1 — ш. 1 + т

_Р1р<р +__

2 е +2

А(р) =

(1 — ш . 1 + т м (1 — р) + р\——е1Р(Р +---—е-1р(р\

(1.13)

где г - число ближайших соседей, <р0 - поле обменного взаимодействия, создаваемое соседним атомом.

Используя выражение (1.13), легко рассчитать плотность распределения полей обменного взаимодействия:

г I

\ \ _^_(л _ _1_ п^М-к,

-к

Ж(Н) = СГ (1 _ т)к(1 + т)1~к8[Н _ (2к _ 1)щ]

1=0 к=0

(1.14)

Здесь = 11/(1 _ к)\к\ - биномиальные коэффициенты.

С учетом (1.11) уравнение, определяющее зависимость среднего магнитного момента от температуры и концентрации «магнитных» атомов, имеет вид:

г I

, (1 _ т)к(1 + т)1-к \(2к _ I) РГ "

1=0 к=0

= ^^с?с!(р1(1_ру-1

т= У У С, С1ъ1(1 _ V) --ЧЪ--—гк

2

где t = квТ/тоФо.

(1.15)

Аморфный магнетик

В случае аморфного вещества со случайным распределением атомов в объеме функция их распределения равна:

f(rk)dVk =

dV»

V

(1.16)

Плотность распределения по магнитным моментам тк(тк) в аморфных магнетиках можно определить следующим образом:

^к(Щк) = 8(тк — т0)[ак6(вк) + (Зк8(п — вк)]. (1.17)

Полагая, что взаимодействие между атомами одинаково, представим характеристическую функцию в виде:

А(р) = Um

j exp(ipy(m, r)) T(m)dm—

N

(1.18)

Используя условие нормировки f f(rk)dVk = 1, преобразуем (1.18)

А(р) = Um

1

1 — v

j exp(ip<p(m, r)) r(m)dm

dV

N

= exp(—n a), (1.19)

где п - концентрация «магнитных атомов» (число атомов в единице объема),

а

=jN

1 — т 1 + т х

exp[ip^(r)] +---—exp {—ipv(r)})

dV. (1.20)

v(r)=

(1.21)

22 В случае прямого обменного взаимодействия между атомами

[(р0,при И < R Д при |г| > V

где R - эффективный радиус взаимодействия, плотность распределения полей взаимодействия можно представить в виде:

ж к к

W(H) = с? (1 — т)1 (1 + m)k-lS[h — (21 — к)щ]. (1.22)

к=0 1=0

Здесь с = n v - объемная концентрация «магнитных» взаимодействующих атомов, v = 4nR3/3.

Средний магнитный момент, приходящийся на один атом аморфного магнетика, можно найти из следующего уравнения:

ж к

— г

т = e

^Z^Zlhb^d—™-)1 (1 + m)k—hh

(2r — l)

t

(1.23)

к=0 1=0

Соотношение (1.23) позволяет определить зависимость среднего магнитного момента от температуры и объемной концентрации «магнитных» атомов.

1.2.2. «Нормальное распределение» полей взаимодействия

Распределения полей взаимодействия, определяемые соотношениями (1.14) и (1.22), можно назвать дискретными.

Заменив в формуле (1.9) ак и рк на их средние значения (а) и (Р), преобразуем (1.12) к виду:

1пА(р) = ^[(1 — р) + р(а) ехр{1рсрк} + р(Р)ехр {—1р(рк}]. (1.24)

к

Если ограничиться первыми тремя членами разложения экспонент в ряд, то можно получить

1пА(р) « I

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петров Александр Александрович, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bramfeld T. S., Won H., Willis R. F. Abrupt dimensionality crossover in thin-film ferromagnets: Quantum size effect //Journal of Applied Physics. - 2010. - V. 107.

- №. 9.

2. Gradmann U. Monolayer Films: Magnetism //Encyclopedia of Materials: Science and Technology. - 2001. - P. 5832-5837.

3. Li Y., Baberschke K. Dimensional crossover in ultrathin Ni (111) films on W (110) //Physical review letters. - 1992. - V. 68. - №. 8. - P. 1208.

4. Lopeandía A. F., Pi F., Rodríguez-Viejo J. Nanocalorimetric analysis of the ferromagnetic transition in ultrathin films of nickel //Applied physics letters. -2008. - V. 92. - №. 12.

5. Ambrose T., Chien C. L. Dependence of exchange coupling on antiferromagnetic layer thickness in NiFe/CoO bilayers //Journal of Applied Physics. - 1998. - V. 83. - №. 11. - P. 6822-6824.

6. Abarra E. N., Takano K., Hellman F., Berkowitz A. E. Thermodynamic measurements of magnetic ordering in antiferromagnetic superlattices //Physical review letters. - 1996. - V. 77. - №. 16. - P. 3451.

7. -Ruiz M., Lopeandía A. F., Pi F., Givord D., Bourgeois O., Rodriguez Viejo J.. Evidence of finite-size effect on the Néel temperature in ultrathin layers of CoO nanograins //Physical Review B. - 2011. - V. 83. - №. 14. - P. 140407.

8. Willis R. F., Bramfeld T. S., Podolak K. R. Finite-size nanoscaling of the critical temperature of ferromagnets with variable range of spin interactions //Journal of applied physics. - 2007. - V. 101. - №. 9.

9. Nikiforov V. N. Ignatenko A.N., Ivanov A.V., Irkhin V. Yu. Laser spectroscopy of finite size and covering effects in magnetite nanoparticles //Laser Physics Letters.

- 2015. - V. 13. - №. 2. - P. 025601.

10. Nepijko S. A., Wiesendanger R. Size dependence of the curie temperature of separate nickel particles studied by interference electron microscopy //Europhysics Letters. - 1995. - V. 31. - №. 9. - P. 567.

11. Rong C. B., Li, D., Nandwana, V., Poudyal, N., Ding, Y, Wang, Z. L., Zeng H., Liu, J. P.. Size-dependent chemical and magnetic ordering in L10-FePt nanoparticles //Advanced Materials. - 2006. - V. 18. - №. 22. - P. 2984-2988.

12. Kundu S., Nath T. K. Critical behavior and magnetic relaxation dynamics of Nd0. 4Sr0. 6MnO3 nanoparticles //Philosophical Magazine. - 2013. - V. 93. - №. 19. -P. 2527-2548.

13. Sarkar, T., Raychaudhuri, A. K., Bera, A. K., Yusuf, S. M.. Effect of size reduction on the ferromagnetism of the manganite La1- xCaxMnO3 (x= 0.33) //New Journal of Physics. - 2010. - V. 12. - №. 12. - P. 123026.

14. Wang J. Wu, W., Zhao, F., Zhao, G. M.. Finite-size scaling behavior and intrinsic critical exponents of nickel: Comparison with the three-dimensional Heisenberg model //Physical Review B. - 2011. - V. 84. - №. 17. - P. 174440.

15. Regulacio M. D. Bussmann, K., Lewis, B., Stoll, S. L.. Magnetic properties of lanthanide chalcogenide semiconducting nanoparticles //Journal of the American Chemical Society. - 2006. - V. 128. - №. 34. - P. 11173-11179.

16. Regulacio M. D., Kar, S., Zuniga, E., Wang, G., Dollahon, N. R., Yee, G. T., Stoll, S. L. Size-dependent magnetism of EuS nanoparticles //Chemistry of Materials. -2008. - V. 20. - №. 10. - P. 3368-3376.

17. Wang C. H., Baker S. N., Lumsden M. D., Nagler S. E., Heller W. T., Baker G. A., Deen P. D, Cranswick L. M. D., Su Y., Christianson A. D. Antiferromagnetic order in MnO spherical nanoparticles //Physical Review B. - 2011. - V. 83. - №. 21. -P. 214418.

18. Tang Z. X., Sorensen C. M., Klabunde K. J. Size-dependent Curie temperature in nanoscale MnFe 2 O 4 particles //Physical Review Letters. - 1991. - V. 67. - №. 25. - P. 3602.

19. Ambrose T., Chien C. L. Finite-size effects and uncompensated magnetization in thin antiferromagnetic CoO layers //Physical review letters. - 1996. - V. 76. - №. 10. - P. 1743.

20. Elmers H. J., Hauschild J. Magnetism and growth in pseudomorphic Fe films on W (100) //Surface science. - 1994. - V. 320. - №. 1-2. - P. 134-144.

21. Mohan C. V., Kronmüller H. Critical phenomena in amorphous thin-and ultrathin-film multilayers //Journal of magnetism and magnetic materials. - 1998. - V. 182.

- №. 3. - P. 287-296.

22. Bramfeld T. S., Willis R. F. Temperature-dependent crossover of dimensionality in ultrathin nickel films //Journal of Applied Physics. - 2008. - V. 103. - №. 7.

23.Poulopoulos P., Baberschke K. Magnetism in thin films //Journal of Physics: Condensed Matter. - 1999. - V. 11. - №. 48. - P. 9495.

24.Fong D.D., Stephenson G.B., Streiffer S.K., Eastman J.A., Auciello O., Fuoss P.H., Thompson C. Ferroelectricity in ultrathin perovskite films //Science. - 2004. - V. 304. - №. 5677. - P. 1650-1653.

25.Stachow-Wójcik A., Story A., Dobrowolski T., Arciszewska W., Galazka M., Kreijveld R. R., Sipatov, A. Y. Ferromagnetic transition in EuS-PbS multilayers //Physical Review B. - 1999. - V. 60. - №. 22. - P. 15220.

26. Das R. K., Misra R., Tongay S., Rairigh R., Hebard A.F. Finite size effects with variable range exchange coupling in thin-film Pd/Fe/Pd trilayers //Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2010. - V. 322. - №. 17. - P. 2618-2621.

27.Allan G. A. T. Critical temperatures of Ising lattice films //Physical Review B. -1970. - V. 1. - №. 1. - P. 352.

28.Fisher M. E., Barber M. N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region //Physical Review Letters. - 1972. - V. 28. - №. 23. - P. 1516.

29.López-Ruiz R., Magén C., Luis F., Bartolomé J. High temperature finite-size effects in the magnetic properties of Ni nanowires //Journal of Applied Physics. -2012. - V. 112. - №. 7.

30. Sun L., Searson P. C., Chien C. L. Finite-size effects in nickel nanowire arrays //Physical Review B. - 2000. - V. 61. - №. 10. - P. R6463.

31.Thamri, S., Ouadhour, M., Jlassi, M., Hajji, M., Ezzaouia, H. The effects of the Nio and SiOA sub 2A sub thin films on the porous silicon optical and chemical stability //International Journal of Materials Engineering and Technology. - 2016.

- V. 15. - №. 2/3. - P. 171.

32.Vaz C. A. F., Bland J. A. C., Lauhoff G. Magnetism in ultrathin film structures //Reports on Progress in Physics. - 2008. - V. 71. - №. 5. - P. 056501.

33. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Menshikova M.A., Piskunova N.I. Dimensionality crossover in critical behaviour of ultrathin ferromagnetic films //Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2015. - V. 387. - P. 77-82.

34. Lin D. L., Che, H., Lai, W., George, T. F. Critical temperature of Ising films with cubic lattices //Physical Review E. - 1994. - V. 49. - №. 3. - С. 2155.

35.Capehart T. W., Fisher M. E. Susceptibility scaling functions for ferromagnetic Ising films //Physical Review B. - 1976. - V. 13. - №. 11. - P. 5021.

36.O'Connor D., Stephens C. R. Effective critical exponents for dimensional crossover and quantum systems from an environmentally friendly renormalization group //Physical review letters. - 1994. - V. 72. - №. 4. - P. 506.

37.Ou J. T., Wang F., Lin D. L. Critical behavior of magnetic films in the Ising model //Physical Review E. - 1997. - V. 56. - №. 3. - P. 2805.

38. Song, Y, Chen, Y., Luo, J., Xian, D. An analytical treatment of critical temperature of (d+ 1)-dimensional Ising layers //Physics Letters A. - 1996. - V. 221. - №. 1-2. - P. 124-133.

39.Laosiritaworn Y, Poulter J., Staunton J. B. Magnetic properties of Ising thin films with cubic lattices //Physical Review B. - 2004. - V. 70. - №. 10. - P. 104413.

40.Marques M. I., Gonzalo J. A. Thickness dependence of effective critical exponents in three-dimensional Ising plates //Acta Physica Polonica A. - 2000. - V. 97. - №. 6. - P. 1033-1037.

41.Marques M. I., Gonzalo J. A. Scaling relationship between effective critical exponents throughout the crossover region in thin Ising films //The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Systems. - 2000. - V. 14. -№. 2. - P. 317-321.

42.Прудников П. В., Прудников В. В., Медведева М. А. Размерные эффекты в ультратонких магнитных пленках //Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2014. - Т. 100. - №. 7. - С. 501-505.

43. Прудников В. В., Прудников П. В., Мамонова М. В. Особенности неравновесного критического поведения модельных статистических систем и методы их описания //Успехи физических наук. - 2017. - Т. 187. - №. 8. -С. 817-855.

44.Wesselinowa J. M., Apostolov A. T. Size-dependent properties of Eu chalcogenide nanoparticles //Journal of magnetism and magnetic materials. - 2012. - V. 324. -№. 1. - P. 23-25.

45.Apostolov A. T., Apostolova I. N., Wesselinowa J. M. Magnetic properties of rare earth doped SnO2, TiO2 and CeO2 nanoparticles //Physica status solidi (b). -2018. - V. 255. - №. 8. - P. 1800179.

46.Cui X. F., Zhao M., Jiang Q. Curie transition temperature of ferromagnetic low-dimensional metals //Thin Solid Films. - 2005. - V. 472. - №. 1-2. - P. 328-333.

47.Rausch R., Nolting W. The Curie temperature of thin ferromagnetic films //Journal of Physics: Condensed Matter. - 2009. - V. 21. - №. 37. - P. 376002.

48.Marques M. I., Gonzalo J. A. Thickness dependence of effective critical exponents in three-dimensional Ising plates //Acta Physica Polonica A. - 2000. - V. 97. - №. 6. - P. 1033-1037.

49.Laosiritaworn Y. Mean-field calculation of some magnetic properties of rising thin-film //Songklanakarin Journal of Science and Technology. - 2005. - V. 27. -P. 1273-1284.

50.Chandrasekhar S. Stochastic problems in physics and astronomy //Reviews of modern physics. - 1943. - V. 15. - №. 1. - P. 1.

51.Щербаков В.П. О функции распределения молекулярных полей в системах со случайно распределенными центрами взаимодействия // ФММ. - 1979. -Т. 48. - № 6. - С. 1134-1137.

52.Афремов Л. Л., Харитонский П. В. О магнитостатическом взаимодействии в ансамбле растущих однодоменных зерен //Известия АН СССР. Физика Земли. - 1988. - №. 2. - С. 101-105.

53.Белоконь В. И., Семкин С. В. Метод случайного поля в теории ферромагнетизма бинарных сплавов //Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1993. - Т. 104. - №. 5. - С. 3784-3791.

54.Белоконь В. И., Нефедев К. В., Савунов М. А. Спиновое стекло с конечным радиусом взаимодействия в модели Изинга //Физика твердого тела. - 2006. -Т. 48. - №. 9. - С. 1649.

55.Saber M., Tucker J. W. The site-diluted Ising ferromagnet in a transverse field //Journal of magnetism and magnetic materials. - 1992. - V. 114. - №. 1-2. - P. 11-17.

56.Saber, M., Ainane, A., Essaoudi, I., De Miguel, J. J.The critical properties of magnetic films //Journal of magnetism and magnetic materials. - 2010. - V. 322. - №. 8. - P. 1032-1036.

57.El Aouad N., Ainane A., Dujardin F., Kerouad M., Saber M., Stebe B. The phase diagrams of the site-diluted spin-12 ising model of an alternating magnetic superlattice //Journal of magnetism and magnetic materials. - 2000. - V. 210. - №2. 1-3. - P. 366-376.

58.Bouhou S., Essaoudi I., Ainane A., Saber M., Ahuja R., Dujardin F. Phase diagrams of diluted transverse Ising nanowire //Journal of magnetism and magnetic materials. - 2013. - V. 336. - P. 75-82.

59.Bouhou S., Essaoudi I., Ainane A., Dujardin F., Ahuja R., Saber M. Magnetic properties of diluted magnetic nanowire //Journal of superconductivity and novel magnetism. - 2013. - V. 26. - P. 201-211

60.Hamri M. E., Bouhou S., Essaoudi I., Ainane A., Ahyja R., Dujardin F. Phase diagrams of a transverse cubic nanowire with diluted surface shell //Applied Physics A. - 2016. - V. 122. - P. 1-10.

61.Hamri M. E., Bouhou S., Essaoudi I., Ainane A., Ahyja R., Dujardin F. Thermodynamic properties of the core/shell antiferromagnetic Ising nanocube //Journal of Superconductivity and Novel Magnetism. - 2015. - V. 28. - P. 31273133.

62.Bouhou S., Essaoudi I., Ainane A., Ahyja R. Investigation of a core/shell Ising nanoparticle: Thermal and magnetic properties //Physica B: Condensed Matter. -2016. - V. 481. - P. 124-132.

63.Коренблит И. Я., Шендер Е. Ф. Спиновые стекла и неэргодичность //Успехи физических наук. - 1989. - Т. 157. - №. 2. - С. 267-310.

64.Белоконь В. И., Нефедев К. В. Функция распределения случайных полей взаимодействия в неупорядоченных магнетиках. Спиновое и макроспиновое стекло //Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2001. - Т. 120. - №. 1. - С. 156-163.

65. Эфрос А. Л. Физика и геометрия беспорядка. - Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - С. 260.

66.Stauffer D., Aharony A. Introduction to percolation theory. - CRC press, 2018.

67.Щербаков В. П., Щербакова В. В. О магнитостатическом взаимодействии в системе однодоменных зерен //Изв. АН ССР. Сер. Физика Земли. - 1975. -№. 9. - С. 101.

68. Паркинсон, У Введение в геомагнетизм / У Паркинсон. - М.: Мир, 1986. -С. 527.

69. Sadeh B., Doi M., Shimizu T., Matsui M. Dependence of the Curie temperature on the diameter of Fe 3O 4 ultra-fne particles // J., Magn. Soc.Jap. - 2000. - V. 24 (4 Pt2) - P. 511.

70. Afremov, L. L., Kirienko, Y. V., Petrov, A. A., Chepak, A. K. Size Effect's Influence on the Magnetic Phase Transitions in the Nanosized Magnets //Journal of Superconductivity and Novel Magnetism. - 2023. - V. 36. - №. 2. - P. 587-600.

71.Ballentine C. A., Fink R. L., Araya-Pochet J., Erskine J. L. Exploring magnetic properties of ultrathin epitaxial magnetic structures using magneto-optical techniques //Applied Physics A. - 1989. - V. 49. - P. 459-466.

72.Ballentine C. A., Fink R. L., Araya-Pochet J., Erskine J. L. Magnetic phase transition in a two-dimensional system: p (1x 1)-Ni on Cu (111) //Physical Review B. - 1990. - V. 41. - №. 4. - P. 2631.

73.Li Y., Baberschke K. Dimensional crossover in ultrathin Ni (111) films on W (110) //Physical review letters. - 1992. - V. 68. - №. 8. - P. 1208.

74.Li Y., Farle M., Baberschke K. Critical spin fluctuations and curie temperatures of ultrathin Ni (111)/W (110): a magnetic-resonance study in ultrahigh vacuum //Physical Review B. - 1990. - V. 41. - №. 13. - P. 9596.

75.Schulz B., Schwarzwald R., Baberschke K. Magnetic properties of ultrathin Ni/Cu (100) films determined by a UHV-FMR study //Surface science. - 1994. - V. 307.

- P. 1102-1108.

76. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Critical exponents for the n-vector model in three dimensions from field theory //Physical Review Letters. - 1977. - V. 39. - №. 2.

- P. 95.

77. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory //Physical Review B. - 1980. - V. 21. - №. 9. - P. 3976.

78. Belokon V., Dyachenko O. Random interaction fields method: Magnetic phase transitions in the thin films //Journal of Magnetism and Magnetic Materials. -2015. - V. 374. - P. 92-95.

79. Lorenz C. D., Ziff R. M. Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices //Physical Review E. - 1998. - V. 57. - №. 1. - P. 230.

80. Ambrose T., Chien C. L. Finite-size scaling in thin antiferromagnetic CoO layers //Journal of Applied Physics. - 1996. - V. 79. - №. 8. - P. 5920-5922.

81.Ferrenberg A. M., Landau D. P. Critical behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study //Physical Review B. - 1991. - V. 44.

- №. 10. - P. 5081.

82.Chen K., Ferrenberg A. M., Landau D. P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study //Physical Review B. - 1993. - V. 48. - №. 5. - P. 3249.

83. Yang J. S., Chang C. R. The influence of interfacial exchange on the coercivity of acicular coated particle //Journal of applied physics. - 1991. - V. 69. - №. 11. - P. 7756-7761.

84. Platow W. Bovensiepen, U., Poulopoulos, P., Farle, M., Baberschke, K., Hammer, L., Heinz, K.. Structure of ultrathin Ni/Cu (001) films as a function of film thickness, temperature, and magnetic order //Physical Review B. - 1999. - T. 59. - №. 19. - C. 12641.

85. Weissmüller, J., Michels, A., Barker, J. G., Wiedenmann, A., Erb, U., Shull, R. D. Analysis of the small-angle neutron scattering of nanocrystalline ferromagnets using a micromagnetics model //Physical Review B. - 2001. - V. 63. - №. 21. - P. 214414.

86. Rinaldi-Montes, N., Gorria, P., Martínez-Blanco, D., Fuertes, A. B., Barquín, L. F., Puente-Orench, I., Blanco, J. A. Bridging exchange bias effect in NiO and Ni (core)@ NiO (shell) nanoparticles //Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2016. - V. 400. - P. 236-241.