Задачи описания пространства, сопряженного к гильбертовым пространствам с воспроизводящим ядром, и некоторые приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Напалков Валерий Валентинович

• Напалков Валерий Валентинович
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Напалков Валерий Валентинович

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Описание сопряженного пространства к радиально весовому пространству Бергмана в терминах преобразования Фурье-Лапласа

1.1. Постановка задачи

1.2. Вспомогательные леммы и формулировка основной теоремы

1.3. Доказательство теоремы

1.4. Контрпример

Глава 2. Описание сопряженного пространства к пространству Бергмана в терминах преобразования Гильберта

2.1. Вспомогательные сведения и постановка задачи

2.2. Основные результаты

2.3. Пример из теории однолистных функций

Глава 3. Ортоподобные системы разложения

3.1. Ортоподобные системы разложения в гильбертовых пространствах с воспроизводящим ядром

3.2. Эквивалентность двух определений ортоподобной системы разложения

3.3. Ортоподобная система разложения полностью определяет гильбертово пространство с воспроизводящим ядром

Глава 4. Ортоподобные системы разложения в весовых про-

странствах Бергмана. Примеры ортоподобных систем разло-

жения

4.1. Весовые пространства Бергмана

4.2. Основные результаты

4.3. Пример

4.4. Ортоподобные системы разложения в пространстве Баргмана

- Фока и других гильбертовых пространствах целых функций

4.5. Пространство Баргмана - Фока и операторы умножения

4.6. Примеры ортоподобных систем разложения

Глава 5. Ортоподобные нормированные системы разложения

5.1. Постановка задачи

5.2. Формулировка основного результата и вспомогательные утверждения

5.3. Доказательство теоремы

Глава 6. Свойства гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, в которых есть заданные ортоподобные системы

6.1. Определения и вспомогательные результаты

6.2. Условия, при которых два гильбертовых пространства с воспроизводящим ядром совпадают

6.3. Условия эквивалентности двух гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром

6.4. Унитарные операторы в гильбертовых пространствах, имеющих ортоподобные системы разложения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи описания пространства, сопряженного к гильбертовым пространствам с воспроизводящим ядром, и некоторые приложения»

Введение

Актуальность работы. Для решения различных задач в пространствах аналитических функций (вопросы полноты систем аналитических функций, задача разложения функций в ряды экспонент и более общих систем функций, решения некоторых классов функциональных уравнений и др.) используется метод перехода в сопряженное пространство, где двойственная задача чаще решается проще. Чтобы использовать такой метод необходимо найти "удачное" описание пространства линейных непрерывных функционалов на данном пространстве аналитических функций. Например, задача о полноте, минимальности, и базисности системы экспонент в некотором пространстве функций Н, требует решения интерполяционной задачи в некотором гильбертовом пространстве целых функций Н*. Для решения этой задачи необходимо найти описание пространства Н*. А именно:

1) нужно знать "запас" целых функций, входящих в Н*,

2) иметь явные выражения для нормы, задающей топологию Н*.

Вопросу описания сопряженных пространств к различным пространствам

аналитических функций и применению этих описаний посвящены работы многих математиков. Этим занимались Б.Я. Левин, Ю.И. Любарский, Б.А. Державец, В.В. Напалков, О.В. Епифанов, Р.С.Юлмухаметов, G. Köthe, G. Polya ,A.P. Calderón, L. Branges, T.G. Gencev, S. Saitoh, B.A.Taylor и другие математики.

Одним из важных применений описания сопряженного пространства является задача представления аналитических функций рядами экспонент. Эта задача исследовалась А.Ф. Леонтьевым, Б.Я. Левиным, Ю.Ф. Коробейником, В.К Дзядыком, В.В. Напалковым, А.М. Седлецким, Ю.И. Любарским, Ю. И. Мельником, Р.С. Юлмухаметовым, А.С. Кривошеевым и другими математиками. Отметим, что с этой тематикой тесно связан вопрос о полноте,

минимальности, и базисности систем экспонент и других систем функций в различных пространствах. Эти вопросами занимались Б.Я. Левин, А. М. Седлецкий, Н.К. Никольский, Б.С. Павлов, С.В. Хрущев, В.П. Хавин, С.В. Кисляков, Н.А. Широков, K. Seip, Ю.И Любарский, Р.С. Юлмухаметов, Б. Н. Хабибуллин, Ю.С. Белов, А.Д. Баранов, А.А. Боричев и другие математики.

Анализ исследований по данной проблематике показывает, что указанные выше задачи наиболее сложно решаются в пространствах аналитических функций с "жесткой" топологией, например, в нормированных, или гильбертовых пространствах. По этой причине, в таких пространствах, указанные выше задачи не изучены так полно, как в пространствах аналитических функций, в которых топология задана счетным набором норм ("мягкая" топология), например, пространствах H (G). Сформулируем задачу, изучаемую в диссертации, в общем виде.

Пусть X - функциональное топологическое пространство аналитических функций в области G С C. Термин "функциональное" означает, что функционал öz : f ^ f (z), заданный на X, является линейным и непрерывным для любого z G G. Через X* обозначим совокупность линейных и непрерывных функционалов над X. Во многих задачах возникает необходимость иметь более полную информацию о X*. Эту информацию можно получить, изучая различные представления X*. Для представления X* можно использовать любую полную систему F = {fa}aGA, где А - множество индексов. Обозначим через Lf следующий оператор: каждому S G X* ставится в соответствие функция:

5(fa) : А ^ C.

Из полноты системы F и теоремы Банаха следует инъективность отображения Lf : X* ^ CA, где C^ - множество комплекснозначных функций от переменного a G А. Для эффективного использования такого представления

линейных и непрерывных функционалов на X необходимо решить две задачи:

1. Определить образ .

2. Описать топологию в образе, наведенную сильной топологией сопряженного к X.

В качестве примеров можно рассмотреть:

1. В качестве У возьмем , ^ £ С\С}. Как правило полнота этой системы имеет место. В этом случае Ьу - преобразование Коши. Очень просто выясняется, что ^Ьу лежит в Н0(С\С). Более детальные результаты получены в [1], [2],[3],[4], [5].

2. С - выпуклая ограниченная область, система У = {ехр(А^), Л £ полна в X. Ьу в этом случае называется преобразованием Фурье-Лапласа функционала из X*. В этом случае С Н(С). Для пространства X = Н(С) эта задача исследовалась Полиа (см., например, [6]). Для пространств аналитических в С функций, имеющих определенный рост вблизи границы см. работы [7],[8],[9].

3. С = {г £ С : \г| < 1}, У = {гп,п £ М}. В этом случае пространство последовательностей.

Классическая теорема Пэли - Винера является примером решения задачи описания сопряженного пространства для пространства Ь2(-1,1) в терминах преобразования Фурье-Лапласа. Эта теорема нашла применение во многих областях математики. Это как вопросы комплексного вещественного и функционального анализа, так и прикладные вопросы математики: теория передачи информации, анализ сигналов, вейвлет анализ. Как показывают исследования, для решения многих задач комлексного анализа (задачи интерполяции, проблемы уравнений свертки и др.), необходимо решить задачу об

описании сопряженного пространства для других гильбертовых пространств аналитических функций.

Цель диссертационной работы. Найти метод решения задачи описания пространства, сопряженного к гильбертову пространству аналитических функций. Решить эту задачу для некоторых конкретных гильбертовых пространств аналитических функций. Найти применение полученных результатов.

Научная новизна. В первой главе диссертации приведены результаты из кандидатской диссертации автора "Ряды экспонент в пространстве Бергмана", защищенной в 1995 году. А именно, разработан общий метод решения задачи об описании сильно сопряженного пространства к радиально весовому пространству Бергмана в терминах преобразования Фурье - Лапласа. Получен критерий, когда такое описание возможно, и построен пример радиально весового пространства Бергмана, для которого в пространстве преобразований Фурье - Лапласа нельзя ввести эквивалентную интегральную норму.

В первой главе докторской диссертации изложено более подробное доказательство этих результатов и приведены пояснительные рисунки. В этом состоит новизна материала первой главы. Включение в текст докторской диссертации результатов из кандидатской диссертации того же автора было необходимо для полноты изложения материала докторской диссертации. Например, результаты первой главы используются в главе 4 раздел 4.6 для построения примера весового пространства Бергмана, в котором не существует определенного класса ортоподобных систем разложения. Также, для полноты изложения материала, в тексте диссертации сделаны ссылки на более ранние работы автора.

Поэтому, следуя правилам, автор не выносит на защиту результаты первой главы. Основные результаты диссертации, приведенные в остальных главах, являются новыми, и опубликованы в рецензируемых печатных изданиях

после защиты кандидатской диссертации. Выносимые на защиту основные положения диссертации состоят в следующем:

1. Решена задача об образе пространства Бергмана В2(С) в плоской области С С С при двумерном преобразовании Гильберта. Дан критерий, когда этот образ совпадает с пространством Бергмана В2(С\С). Для решения этой задачи применены результаты из теории квазиконформных отображений.Тем самым, дано еще одно определение квазикруга.

2. Для решения задачи об описании пространства, сопряженного к гильбертову пространству аналитических функций, применена теория систем разложения подобных ортогональным, разработанная Т.П. Лукашенко. Задача об описании сопряженного пространства, сведена к вопросу существования в данном пространстве специальной ортоподобной системы разложения. Метод проиллюстрирован на примере весового пространства Бергмана и преобразования Гильберта.

3. Изучены ортоподобные системы разложения для гильбертова пространства с воспроизводящим ядром. Получена формула, по которой можно выписать воспроизводящее ядро пространства, зная ортоподобную систему разложения. Приведено эквивалентное исходному определение ор-топодобной системы для гильбертова пространства с воспроизводящим ядром.

4. Изучена задача об описании пространства, сопряженного к гильбертову пространству с воспроизводящим ядром, в терминах преобразования относительно некоторой специальной системы функций. Получен результат, связывающий эту задачу с теорией ортоподобных систем разложения.

5. Получен критерий, когда в данном гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром, норма имеет интегральный вид.

6. Изучены нормированные ортоподобные системы в весовых пространствах Бергмана. При определенных условиях найден явный вид интегральной нормы в образе весового пространства Бергмана при двумерном преобразовании Гильберта.

7. Построены примеры ортоподобных систем разложения в различных гильбертовых пространствах аналитических функций.

8. Для определенного класса весовых гильбертовых пространств целых функций изучен вопрос, когда пространство преобразований линейных непрерывных функционалов совпадает с исходным пространством. Тем самым, для весового пространства целых функций, получен аналог известной теоремы Баргмана. Изучены операторы умножения на независимые переменные в весовом гильбертовом пространстве целых функций, заданных на Сп, и найден явный вид сопряженных операторов.

9. Получен критерий, когда два гильбертовых пространства с воспроизводящим ядром, состоящие из функций, с одной и той же областью определения, совпадают или эквивалентны1.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы как для решения задач комплексного анализа: интерполяция целых функций, проблемы уравнений свертки, спектрального синтеза, теории квазиконформных отображений, так и в прикладных вопросах: теория передачи информации, анализ сигналов, "теория струн".

1 Термин "гильбертовы пространства с воспроизводящим ядром эквивалентны" означает, что эти пространства состоят из одних и тех же функций, и нормы этих пространств эквивалентны.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах:

1. Санкт-Петербургский городской семинар по теории операторов и теории функций, ПОМИ РАН, город Санкт-Петербург, руководитель профессор В.П. Хавин и академик РАН С.В. Кисляков.

2. Семинар Отдела математической физики Математического Института РАН им. В.А. Стеклова, город Москва, руководитель академик РАН В.С. Владимиров.

3. Семинар кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ, город Москва, руководитель профессор Т.П. Лукашенко.

4. Семинар по теории функций и комплексному анализу, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, город Уфа, руководитель член - корр. РАН В.В. Напалков.

5. Городской семинар по теории функций, Башкирский государственный университет, город Уфа, руководитель член - корр. РАН В.В. Напалков.

6. Объединенный семинар Отдела теории приближения функций и Отдела аппроксимации и приложений, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, город Екатеринбург, руководители член -корр. РАН Ю.Н. Субботин и профессор Н.И. Черных.

7. Семинар по геометрической теории функций комплексного переменного, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, механико-математический факультет, город Саратов, руководитель профессор Д.В. Прохоров.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Международная конференция «Спектральная теория операторов и ее приложения», Уфа, 13-15 июня, 2011 г.

2. VI Уфимская международная конференция «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», Уфа, 03-07 октября, 2011 г.

3. Третья международная конференция «Математическая физика и её приложения», Самара, 27 августа-01 сентября, 2012 г.

4. Международная конференция «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», Нижний Новгород, 01-05 июля, 2013 г.

5. Международная конференция «Комплексный анализ и смежные вопросы», Санкт-Петербург, 14-18 апреля , 2014 г.

6. Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения», Самара, 25 августа-01 сентября, 2014 г.

7. Уфимская международная математическая конференция, Уфа, 27-30 сентября, 2016 г.

8. Международная конференция по теории функций, г. Уфа,24-27 мая, 2017 г.

9. XXVI St.Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis June 25-30, 2017 St. Petersburg, Russia.

Публикации. Всего по материалу диссертации автором (некоторые работы с соавторами) опубликовано 19 печатных работ, из них 13 статей в рецензируемых журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий

ВАК [5, 10-21], 1 статья в рецензируемом журнале, не входящем в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК [22], 3 статьи в сборниках трудов конференций [23-25], и 2 тезиса докладов на конференциях [26, 27].

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, опубликованы в 10 рецензируемых печатных изданиях, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий ВАК [12-21].

Личный вклад автора. Результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. Часть результатов диссертации, выносимых на защиту ([12, 13, 17, 21]), опубликованы в совместных работах. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. В диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 6 глав и библиографии. Общий объем диссертации 212 страниц, из них 200 страниц текста, включая 6 рисунков. Библиография включает 85 наименований на 8 страницах.

Обзор литературы

Хорошо известна следующая теорема Пэли-Винера, (см., например, [28])

Теорема 0.1 (Пэли - Винер) Целая функция д(г), г € С представляется в виде

9(г) = {егх,1 (ж))ь2(_1,1)

еггх/(х) Ах, (1)

1

где /(х) - некоторая функция из пространства Ь2(_1,1), тогда и только тогда, когда

1. д(г) есть целая функция экспоненциального типа

2. д(г) на вещественной оси принадлежит классу Ь2(Ж), т.е.

1д(х)\2 Ах < ж.

Теорема 0.1 дает ответ на вопрос: можно ли описать пространство, сопряженное к пространству Ь2(_1,1) в терминах преобразования Фурье? А именно, в теореме Пэли - Винера найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых целая функция имеет вид (1). Теорема Пэли -Винера также находит применение в задачах интерполяции целых функций. Например, с ее помощью доказывается следующая известная теорема Котель-никова-Шеннона (см. [29], также [30]. стр. 47), которая используется в теории передачи информации. Пусть $ > 0 положительное число.

Теорема 0.2 (В.А.Котельников) Любая целая функция д(г), удовлетворяющая условиям

1д(х)\2 ¿х < ж,

и

\д( *)\ < Се^1тг\, ^ С, где С > 0 - постоянная, представляется в виде:

00

/ ч ^.вткШ-х — кк)) _

9(_) = £9 (*• I) , ^^ ))- г е К.

к=1

Для изучения различных вопросов, возникающих в комплексном анализе, например, вопросы интерполяции, задачи связанные с уравнениями свертки, необходимо решить задачу об описании сопряженного пространства для различных гильбертовых пространств. Другими словами, нужно получить обобщения теоремы Пэли-Винера на другие, отличные от Ь2(-1,1), гильбертовы пространства. Обобщение теоремы Пэли- Винера на случай пространства Ь2(И), где И - ограниченная выпуклая область в Яп было дано Планшерелем и Пойа в работе [31] (см. также [32], стр 275-282).

Пусть И - ограниченная выпуклая область в Кп, £ = (£ 1,..., £п) е И и (И) - пространство, состоящее из функций класса Ь/0С(О), для которых конечна норма

\П\ь2(в) =

Обозначим

п

\

1/2

2

, * = _ + щ, сп = ®¿к;;

к=1

Следуя Планшерелю и Пойа [31], введем следующую характеристику роста целой функции д(г),г е Сп по различным направлениям пространства переменных У1,..., уп. Пусть а^ - угол, образованный выбранным направлением с координатной осью Оу^, ] = (1,... ,п). Положим

Нд (а,_)= Нш {г 11п \ д(_1 + гг соб а1,... ,_п + ¿г ео8ап)\}.

Функцию

hg (а) = sup hg (а, x)

xe r"

мы назовем Р-индикатором функции д(х). Легко видеть, что семейство функций

{е 'г>, I € Р}гесп принадлежит пространству Ь2(Р).

Теорема 0.3 (Планшерель - Пойа, [31]) Целая функция многих комплексных переменных д(г), ^ = (г1,..., гп) представляется в виде

g(z) = (e<t,z>, f (t))L2{D]

e<f>z>f (t),dt,

D

где /(^ - некоторая функция из пространства Ь2(Р), тогда и только тогда, когда

1. сужение функции д(г), ^ = х + гу, на вещественное подпространство Щ принадлежит классу Ь2(Щ) т.е.

1д(х)\2 (1х < ж.

2. Для любого а = (а1}... ,ап) справедливо неравенство Hp(а) > hf (а), где

Hß(а) = sup(«i^i + • • • + апхп)

xeD

- опорная функция области D.

В работе В. И. Луценко и Р.С. Юлмухаметова [33] теорема Пэли -Винера была обобщена на случай весового пространства L2(I,W). Пусть

L2(I,W) =

f е L<2?c

\f \\l2(I,W ) 15

def

\f (i)i

2 1 W (t)

dt < ж

где I ограниченный интервал вещественной оси и 1/ W(t) -измеримая функция на I.

Теорема 0.4 (В.И. Луценко, Р.С. Юлмухаметов, [33]) Пусть функцияW(t) выпуклая функция, ограничена снизу положительной постоянной и ограничена сверху на каждом компактном подмножестве I. Положим

h(x)=sup(xt - ln a/W(t)), x G R tel

- сопряженная по Юнгу к функции ln \/W(t), и определим p^(x) из условия

x+pTi(x)

\h'(x) - h'(t)\dt = 1.

x~Ph(x)

Тогда в пространстве L(I, W) можно ввести эквивалентную норму вида

\9\\i =

\

\g(x + iy)l2e 2h(x)p~(x)dh'(x)dy.

В работе В.И. Луценко [34] получено обобщение этой теоремы на случай пространства L2(I, W), где I неограниченный интервал. В работах T.G. Genchev, [35], и S. Saitoh, [36], [37] получено обобщение теоремы Пэли- Винера на случай трубчатых областей в Cn. Пусть G -область в Rn и Tq = Rn + iG С Cn - трубчатая область над G.

Пусть Г С R открытый выпуклый конус с вершиной в начале координат и Г* сопряженный конус, определяемый следующим образом:

п

Г* = {¿е Кп, ^гкУк > 0, Ууе Г}. к=1

Рассмотрим пространство Бергмана В2(Тс), состоящее из функций голоморфных в области Тс и таких что

\/(г)\2^(х) < ГС,

Та

где v(z) - плоская мера Лебега. Пусть

W (t, G) =

е 2<t,x> dx

G

В работе [35] доказан следующий результат

Теорема 0.5 (Т.О. ОепеЬеу) Следующие условия эквивалентны: 1. Функция / принадлежит пространству В2(ТГ).

2. Существует измеримая на Г* функция д, удовлетворяющая условию

\g(t)\2W(t, Г) dt < то,

такая, что

f (z ) =

ei<z,t>g(f) dt, Z e TT.

S. Saitoh в работах [36], [37] рассмотрел случай пространства Бергмана в произвольных трубчатых областях в Cn и весового преобразования Фурье-Лапласа. Приведем его результат. Пусть G область в Rn, Tq - трубчатая область над в Cn, и пусть

Dg = {t e Rn; W(t,G) < то}.

Теорема 0.6 (S. Saitoh) Следующие условия эквивалентны.

1. Функция f представляется в виде:

f (г) =

g(t)e

i<z,t>

W (t,G)

dt, z e G,

D r

где g некоторая функция такая, что

\9 (t)f

1

W (t,G)

dt < то.

(2)

1

2. Функция f принадлежит пространству B2(Tq), т.е. голоморфна на TG и

\f

12

\B2(TG)

\f(z)|2dv(z) < TO.

TG

При этом весовое преобразование Фурье - Лапласа (2) устанавливает изо-метрию между пространством

L2(Dg, l/W(t)) = [g :

\g(t)\

i

W (t,G)

dt < to}

D с

и пространством B2(Tq). Имеет место равенство

\f

2

\B2(TG)

№ У

\g(t)f

W (t,G)

dt.

D r

Пусть И - область в W(Ъ) - положительная выпуклая функция заданная на И. Пространство Ь2(0,Ш) состоит из всех функций / Е Ь10С(И), для которых норма

1/2

I -FW def

\J \\L2(D,W) —

\f rn

l

\D

W (t)

dt

конечна. В работе [38] получен аналог теоремы Пэли - Винера на случай весового пространства L2(D,W). Эта теорема является обобщением известной теоремы Планшереля - Пойа [31].

Теорема 0.7 (В.И. Луценко, Р.С. Юлмухаметов, [38]) Пусть

\ def

9(z) —

g(t)e

<t,z>

D

W (t)

dt.

Следующие условия эквивалентны.

1. Существует неотрицательная борелевская мера ц, на Сп такая, что для любых д Е Ь2(0^) выполнено соотношение

\g(t)\

l

D

W (t)

dt <

\g(z)\2 dß(z) < С 18

\9(t)f

l

D

dt

W (t) '

(3)

l

l

l

с

где с,С > 0 - некоторые константы.

2. Существует неотрицательная борелевская мера V на Кп такая, что справедливо соотношение

Константы с, С в соотношениях (3), (4) одинаковы, и ¿ц(х + гу) = йи(х) 0 (1у.

Заметим, что если в этой теореме взять п = 1, И = [-1,1], W(£) = 1 а в качестве меры (1и взять дельта функцию £(0) с единичной массой в нуле, то мы получим классическую теорему Пэли - Винера.

В работе [39] введены геометрические характеристики для выпуклых функций, и приведены оценки для интегралов. Используя эти результаты, последняя теорема формулируется в другом, "более удобном"для приложений виде.

Также были получены аналоги теоремы Пэли - Винера для пространств аналитических функций. По видимому, первые такого рода обобщения были рассмотрены Б.Я. Левиным в книге [40] и В.Э. Кацнельсоном в работе [41] Ими была доказана следующая теорема. Пусть С - выпуклый многоугольник в комплексной плоскости, и дС - его граница. Рассмотрим пространство Смирнова Е2(С), которое есть класс аналитических в С функций, являющихся пределом комплексных полиномов относительно нормы

cW(¿) < е2<>х> с1~1У(Х) < СW(¿).

(4)

1\\е2(с)

\ f(z)\2ds (г),

где д^в - элемент длины дуги границы. Пусть

Нс(в) = 8ир{Ле(Легв), X еС}, ве [0, 2тГ)

опорная функция выпуклой области С.

Теорема 0.8 ([40],[41]) Целая функция д($) представляется в виде

9(0 = ( ,/( г))Ыдс) = | ¿'Шав(г),

дС

где /(г) е Е2(С), тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: Пусть — 91,..., — в^,..., — вп, ] = 1,... ,п есть направления нормалей к сторонам многоугольника С. Тогда для любого ] = 1,... ,п справедливо соотношение

оо

\ д(г ег )\2 е-2г м ) (1г < гс, ] = 1,...,п.

Каждый линейный непрерывный функционал Б на Е2(С) порождается по теореме Рисса-Фишера некоторым элементом д е Е2(С) по правилу:

Б (/) = (/, 9)е2(с), У/еЕ2(С).

Заметим, что система экспонент {, г е С}^ес полна в пространстве Е2(С) (см. [42]). Пусть

Ж) = (^,д)ыс), с е с.

Для пространства Е2(С) рассмотрим пространство

Е2(С) = {д : деЕ2(С)}.

В пространстве Е2 (С) рассматривается наведенная структура гильбертова пространства

(91 ^^(с) = ^ 91)е2(с) 1 9ъ 92 е Е2(С),

ш\ е 2(С) = ъ\\е2(с). (5)

Теорему 0.8 можно сформулировать так:

Теорема 0.9 ([40],[41]) Пусть область С - выпуклый многоугольник в С. В пространстве Е2(С) можно ввести эквивалентную исходной норму вида

i/lli =

\

00

k=1

У^ Ц(г егОк )\2e-2rhG (вк) ¿г,

(6)

т.е. существуют постоянные С1,С2 > 0 такие, что выполнены неравенства:

СЛ 1\\Ё2(С) < |ли < С2У 1\\Ё2V/ Е ща).

М.К. Лихт в работе [43] рассмотрел случай, когда область С является кругом. Он доказал теорему

Теорема 0.10 ([43]) Пусть область С является кругом. Тогда в пространстве Е2(С) можно ввести эквивалентную исходной норму вида

i/ii i =

\

27Г (X

| f(re'$)\2е-2rha(e) \frdrd0,

(7)

0 0

т.е. существуют постоянные С1,С2 > 0 такие, что выполнены неравенства:

СЛ/II\(О < \\/II1 < С2\\\{С),Vf Е ща).

Как мы видим, условие (7) существенно отличается от условия (6). Используя модификацию метода М.К. Лихта, В.Э Кацнельсон получил для случая, когда область С круг, равенство Парсеваля. А именно он доказал

Теорема 0.11 ([41]) Пусть область С круг с центром в нуле и радиусом Я. Тогда в пространстве Е2(С) можно ввести норму вида

i/ll i =

27Г (X

\ f(rе'")\2e-2Rr p(R • r)drde,

(8)

которая равна исходной:

Здесь

\f\\l - IIf\\E2(G).

оо

р(г) d— 2г

,-2t г

dt.

л/2Ъ + Г2 о

Ю. И. Любарский в работе [2] получил аналог теоремы Пэли - Винера для пространства Е2(С), где С - ограниченная выпуклая область в С, с границей класса С2, кривизна которой отделена от нуля и бесконечности. Он доказал теорему

Теорема 0.12. Пусть С - ограниченная выпуклая область в С, с границей класса С2, кривизна которой отделена от нуля и бесконечности. Тогда в пространстве Е2(С) можно ввести эквивалентную исходной норму вида

l/iii -

\

2и <х

|, f(r е° )|2 e-"lr ''«^Vrdrdß,

(9)

0 0

т.е. существуют постоянные С1,С2 > 0 такие, что выполнены неравенства:

СЛ/Hg,[g) < I/Iii < С||(С), V/ e e2(G).

Как видно, в этом случае, эквавалентная интегральная норма (равенство 9) выглядит также, как и в случае круга (равенство 7).

В работе [1] В.И. Луценко и Р.С. Юлмухаметовым было получено описание пространства, сопряженного к пространству Е2(G), в случае когда G С C произвольная ограниченная выпуклая область. Ключевую роль в доказательстве играет теорема 0.4. Пусть Е(G) пространство Смирнова, состоящее из аналитических в области G функций, являющихся пределом комплексных полиномой относительно нормы

1/\\Е(G) -

\

I f(z)l2ds (z),

е2 (G) 22

где (з - элемент длины дуги границы. Пусть

Е2(С) = {Е : Ш = (е4",д(г))Е2(О), 9 Е Е^(С)}.

В пространстве Е2 (С) рассматривается наведенная структура гильбертова пространства (см. 5). Пусть (см.[40])

А(в) = Ы(в) +

Н(ф)(1(р, 9 Е [0, 2тт).

Определим функцию

К(X) = \\еХг(О) = [еШе(Хги8(г), X Е С.

О

Теорема 0.13 ([44]) Пусть С - произвольная ограниченная выпуклая область на комплексной плоскости. В пространстве Е2(С) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида:

I Е

1Л\1 =

\

2тх а

| Е(г ^ )|2

1

0 0

К (г ё' е)

(1г (А(в),

(10)

т.е. существуют постоянные С1,С2 > 0 такие, что выполнены неравенства:

С1\\ПЕ(О) < \\/\\1 < С2\Е\ЕОУvЕЕ ЩО).

Пусть область С - многоугольник, и — д1,..., — вп - направления нормалей к сторонам многоугольника, тогда функция А(в) имеет скачки в точках , ] = 1,... ,п ([40], стр. 251.) В этом случае интеграл в равенстве (10) превращается в сумму интегралов по лучам

ге1в*, г > 0] = 1,... ,п,

и на этих лучах функция К(гг°) асимптотически эквивалентна функции e2rh(e\ Поэтому в этом случае нормы (10) и (6) эквивалентны. Если выпуклая ограниченная область G имеет границу класса С2, кривизна которой отделена от нуля и бесконечности, то

А! (в) e С[0, 2тт], 0 < А'(в) < гс,

и функция К (г ег°) при г ^ гс равномерно по в асимтотически эквивалентна функции е 2rh(ßS)/у/г. Таким образом, в этом случае нормы (10) и (9) эквивалентны. В работе К. П. Исаева и Р.С. Юлмухаметова [44] получен аналогичный результат для пространства Бергмана B2(G), G - произвольная ограниченная область в комплексной плоскости.

Теорема 0.14. Пусть G - произвольная ограниченная выпуклая область

на комплексной плоскости, и

К (X) = || eXz ||ß2 (g) =

|f(z)l2dv(z), X e C,

g

где у(г) - плоская мера Лебега. В пространстве В2(С) можно ввести эквивалентную интегральную норму вида:

I 7и def

Ши =

\

2и гс

I¿(т)12 щ^)drdA{e)' (11)

0 0

т.е. существуют постоянные С1,С2 > 0 такие, что выполнены неравен-

ства:

СЛ/IIв,{0) <1 /111 — С2\По, 1Су V/ &ЫС)-

В литературе также рассматривались обобщения теоремы Пэли - Винера для пространств аналитических функций в Сп. В.В. Напалковым в работе [45] получен аналог теоремы Пэли -Винера для пространства Бергмана В(Вп),

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Напалков Валерий Валентинович, 2019 год

Литература

1. В.И. Луценко, Р.С. Юлмухаметов. Обобщение теоремы Винера-Пэли на функционалы в пространствах Смирнова // Труды Математического института АН СССР им. Стеклова. Т. 200. 1991. С. 245-254.

2. Ю. И. Любарский. Теорема Винера-Пэли для выпуклых множеств // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1988. Т. 23, № 2. С. 162-172.

3. G. Kothe G. Dualität in der Funktionen theorie // J. Reine und angew. Math. 1953. Vol. 191, no. 1/2. P. 30-49.

4. Б. А. Державец. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях Cn и имеющих заданное поведение вблизи границы // Доклады АН СССР. 1984. Т. 276, № 6. С. 1297-1300.

5. В. В. Напалков (мл.), Р.С. Юлмухаметов. О преобразовании Коши функционалов на пространстве Бергмана // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 7. С. 77-86.

6. Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. Москва: Мир, 1968. С. 279.

7. Р. С. Юлмухаметов. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Матем. заметки. 1982. Т. 32, № 1. С. 41-57.

8. В. В. Напалков. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР, сер.матем. 1987. Т. 51, № 2. С. 287-305.

9. O. В. Епифанов. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста // Доклады АН СССР. 1991. Т. 319, № 6. С. 1297-1300.

10. В. В. Напалков (мл.), Р. С. Юлмухаметов. Весовые преобразования Фурье-Лапласа аналитических функционалов в круге // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 11. С. 139-144.

11. В. В. Напалков (мл.). О преобразовании Бореля на пространстве Дирихле // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 1. С. 58-65.

12. V. V. Napalkov Jr., R.S. Yulmukhametov. Criterion of surjectivity of the Cauchy transform operator on a Bergman space // Lyubich, Yu. (ed.) et al., Entire functions in modern analysis. Boris Levin memorial conference. Proceedings of the conference, Tel-Aviv, Israel, December 14-19, 1997. Ra-mat-Gan: Bar-Ilan University, Gelbart Research Institute for Mathematical Sciences, Isr. Math. Conf. Proc. Vol. 15. 2001. P. 261-267.

13. В. В. Напалков (мл.), Р. С Юлмухаметов. О преобразовании Гильберта в пространстве Бергмана // Матем. заметки. 2001. Т. 70, № 1. С. 68-78.

14. В. В. Напалков (мл.). Различные представления пространства аналитических функций и задача описания сопряженного пространства // Доклады РАН. 2002. Т. 387, № 2. С. 164-167.

15. В. В. Напалков (мл.). Интегральные преобразования весовых пространств Бергмана // Доклады РАН. 2004. Т. 397, № 1. С. 23-26.

16. V. V. Napalkov Jr. Analogue of the Fock Space //J. Integral transforms and special function. 2007. Vol. 18, no. 2. P. 133-138.

17. В. В. Напалков, В. В. Напалков (мл.). Сопряженные операторы в пространствах типа Фока // Доклады РАН. 2007. Т. 414, № 5. С. 591-593.

18. В. В. Напалков (мл.). Об ортоподобных системах разложения в простран-

стве аналитических функций и задаче описания сопряженного пространства // Уфимский матем. журнал. 2011. Т. 3, № 1. С. 31-42.

19. В. В. Напалков (мл.). Об эквивалентной интегральной норме в сопряженном пространстве // Уфимский матем. журнал. 2011. Т. 3, № 4. С. 122-132.

20. В. В. Напалков (мл.). Ортоподобные системы разложения в пространствах с воспроизводящим ядром // Уфимский матем. журн. 2013. Т. 5, № 4. С. 91-104.

21. В. В. Напалков, В. В. Напалков (мл.). Об изоморфизме гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром // Доклады РАН. 2017. Т. 474, № 6. С. 665-667.

22. В. В. Напалков (мл.). Изоморфизм гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром и пространство состояний квантовомеханической системы // Известия Уфимского научного центра РАН. 2017. № 1. С. 5-8.

23. В. В. Напалков (мл.). Сопряженные пространства к весовому пространству целых функций // Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН, Выпуск 1. Уфа: БашГУ, 2008. С. 185-191.

24. В. В. Напалков (мл.). О преобразовании Фурье - Лапласа аналитических функционалов // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании: межвуз. науч. сб., ISBN 5-86911-259-1. Уфа: Уфимский гос. авиационный технический университет, 1999.

25. В. В. Напалков (мл.). Преобразование Гильберта и ортоподобные системы разложения // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета, Сер.: Фундаментальная и прикладная математика, 9:3, (Теория функций) ISSN 1992-6502. 2007. Т. 387, № 2. С. 36-39.

26. В. В. Напалков (мл.). Необходимое условие сюръективности оператора преобразования Коши // Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященная памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева, Тезисы докладов. Н.Новгород: Нижегородский госуниверситет, 1997. С. 51-52.

27. В. В. Напалков (мл.). Об аналоге пространства Фока // Международная конференция Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ, посвященная столетию Сергея Михайловича Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.),Сборник тезисов. Москва: МИАН, 2005. С. 100.

28. Н. Винер, P. Пэли. Преобразование Фурье в комплексной области. Москва: Мир, 1964. С. 269.

29. В. А. Котельников. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи // В сб. Всесоюзный энергетический комитет. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. Т. 15. Москва: Управление связи РККА, 1933. С. 1-19.

30. И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. С. 464.

31. M. Plansherel, G. Polia. Fonctions entières et intégrales de Fourier multiples // Commentarii Mathematici Helvetici. 1936. Vol. 9, no. 1. P. 224-248.

32. Л. И. Ронкин. Введение в теорию функций многих комплексных переменных. Москва: Наука, 1971. С. 433.

33. В.И. Луценко, Р.С. Юлмухаметов. Обобщение теоремы Пэли - Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1965. Т. 48, № 5. С. 80-87.

34. В. И. Луценко. Теорема Пэли - Винера на неограниченном интервале // В сб. Исследования по теории приближений. Уфа: Институт математики с ВЦ Башкирского научного центра Уральского отделения АН СССР, 1989. С. 79-85.

35. T. G. Genchev. Paley-Wiener type theorems for functions in Bergman spaces over tube domain // J. Math. Anal. Appl. 1986. Vol. 118, no. 4. P. 496-501.

36. S. Saitoh. Generalizations of Paley - Wiener's theorem for entire functions of exponential type // Proc. of the American Mathematical Society. 1987. Vol. 99, no. 3. P. 465-471.

37. S. Saitoh. Furier-Laplace transform and Bergman space // Proc. of the AMS. 1988. Vol. 102, no. 4. P. 985-992.

38. R.S. Youlmukhametov, V. I. Lutsenko. Weighted Laplace transform // Kiihnau, R. (ed.) et al., Boundary value and initial value problems in complex analysis: studies in complex analysis and its applications to partial differential equations. 1. Papers from the 5th conference on complex analysis, held in Halle, Germany, in December 1988. Vol. 256. Harlow: Longman Scientific. Technical. Pitman Res. Notes Math. Ser., 1991. P. 232-240.

39. Р. А. Башмаков, А. А. Путинцева, Р. С. Юлмухаметов. О геометрических характеристиках выпуклых функций и интегралax Лапласа // Уфимский матем. журнал. 2010. Т. 2, № 1. С. 3-16.

40. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. Москва: ГИТТЛ, 1956. С. 632.

41. В.Э. Кацнельсон. Обобщение теоремы Винера - Палея о представлении целых функций конечной степени // Теория функций, функц. анализ и их прилож. 1965. № 1. С. 99-110.

42. Д. Гайер. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. Москва: Мир, 1986. С. 216.

43. М.К. Лихт. Замечание к теореме Палея и Винера о целых функциях конечной степени // Успехи матем. наук. 1964. Т. 19, № 1. С. 169-171.

44. К. П. Исаев, Р.С. Юлмухаметов. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. Т. 68, № 1. С. 5-42.

45. В. В. Напалков. Преобразование Лапласа и продолжение аналитических функций // В сб. Исследования по теории приближений. Уфа: Институт математики с ВЦ Башкирского научного центра Уральского отделения АН СССР, 1989. С. 86-91.

46. M. C. Масленников. Описание пространства Бергмана интегрируемых по поликругу функций // В сб. Комплексный анализ, Дифференциальные уравнения, Численные методы, и приложения, Т. 2. Уфа: Институт математики с ВЦ Башкирского научного центра Уральского отделения АН СССР, 1996. С. 111-116.

47. С. В. Попенов. О преобразовании Лапласа функционалов в некоторых весовых пространствах в Cn // Сборник Комплексный анализ, Дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. Т. 2. Уфа:

1996. С. 125-132.

48. В. В. Напалков, С. В. Попенов. О преобразовании Лапласа функционалов в весовом пространстве Бергмана целых функций в Cn // Доклады РАН.

1997. Т. 352, № 5. С. 595-597.

49. A. P. Calderon. Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1977. Vol. 74, no. 4. P. 1324-1327.

50. S. A. Merenkov. On the Cauchy transform of the Bergman space // Математическая физика, анализ, геометрия. 2000. Т. 7, № 1. С. 119-127.

51. A. Grossman, J. Morlet. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal. 1984. Vol. 15. P. 723-736.

52. К. Блаттер. Вейвлет-анализ. Основы теории. Москва: Техносфера, 2004. С. 280.

53. Лукашенко Т. П. О свойствах систем разложения подобных ортогональным // Известия РАН, сер. матем. 1998. Т. 62, № 5. С. 187-206.

54. Лукашенко Т. П. О коэффициентах систем разложения, подобных ортогональным // Матем. сборник. 1997. Т. 188, № 12. С. 57-72.

55. Н. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы. Общая теория. Москва: ИЛ, 1962. Vol. 1. P. 896.

56. N. Aronszajn. Theory of reproducing kernels // Transactions of the AMS. 1950. Vol. 68, no. 3. P. 337-404.

57. V. Bargmann. On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform // Comm. Pure Appl. Math. 1961. Vol. 1, no. 14. P. 187-214.

58. H. Hedemalm, B. Korenblum, K. Zhu. Theory of Bergman spaces. New York: Springer-Verlag, 2000. P. 289.

59. Ando T. Reproducing kernel spaces and quadratic inequalies. Hokkaido University, Sapporo, Japan: Lecture Notes, 1987.

60. A. Berlinet, C. Thomas-Agnan. Reproducing kernel Hilbert spaces in probability and statistics. New York: Kluwer Academic Publishers, 2001. P. 355.

61. В. А. Зорич. Математический анализ, часть 1. Москва: МЦНМО, 2002. С. 658.

62. Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиа. Неравенства. Москва: Государственное издательство иностранной литературы, 1948. С. 456.

63. Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. Москва: Мир, 1973. С. 470.

64. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1976. С. 544.

65. R. R. Coifman, A. Mcintosh, Y. Meyer. L'intégrale de Cauchy définit un opérauter bourne sur L2 pour les courbes Lipschitziennes // Annals of Mathematics. 1982. Vol. 116, no. 2. P. 361-387.

66. Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Наука, 1969. С. 577.

67. И. Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. Москва: Мир, 1973. P. 342.

68. Белый В. И. Современные методы геометрической теории функций комплексного переменного в задачах аппроксимации // Алгебра и анализ. 1997. Т. 9, № 3. С. 3-40.

69. Макаров Н. Г. Вероятностные методы в теории конформных отображений // Алгебра и анализ. 1989. Т. 1, № 1. С. 3-59.

70. K. Иосида. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1967. С. 624.

71. Р. Курант. Геометрическая теория функций комплексной переменной. Ленинград, Москва: ОНТИ, ГТТИ, 1934. С. 372.

72. Г. М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Москва: Наука, 1966. Vol. 2. P. 628.

73. С.Л. Крушкаль, Р. Кюнау. Квазиконформные отображения - новые методы и приложения. Новосибирск: Наука, 1984. P. 216.

74. В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев. Конструктивная теория функций комплексного переменного. Москва, Ленинград: Наука, 1964. С. 441.

75. Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. Москва: Мир, 1979. P. 588.

76. Z. Nehari. The Schwarzian derivative and schlicht function // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. Vol. 55, no. 6. P. 545-551.

77. В. В. Напалков (мл.). О приближении функций в пространстве Бергмана экспонентами // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения, Т. 1 Комплексный анализ, Сборник статей. Уфа: Институт математики с ВЦ РАН, 1996. С. 81-90.

78. В.И. Луценко, В. В. Напалков (мл.). О базисах Рисса из экспонент в пространстве Бергмана // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения, Т. 1 Комплексный анализ, Сборник статей. Уфа: Институт математики с ВЦ РАН, 1996. С. 55-63.

79. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1984. С. 752.

80. D. J. Newman, H. S. Shapiro. Certain Hilbert spaces of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 72, no. 6. P. 971-977.

81. A. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. сб. 1951. Т. 29(71), № 3. С. 477-500.

82. Ю. Ф. Коробейник. Об операторах обобщенного дифференцирования,

применимых к любой аналитической функции // Известия АН СССР сер. матем. 1964. Т. 28, № 4. С. 833-854.

83. В. В. Напалков. О продолжаемости оператора обобщенного дифференцирования // Матем. сб. 1969. Т. 78(120), № 3. С. 397-407.

84. А. В. Домрин, А. Г. Сергеев. Лекции по комплексному анализу. Часть 1. Москва: МИАН, 2004. Р. 176.

85. Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, А. И. Оксак, И. Т. Тодоров. Общие принципы квантовой теории поля. Москва: Наука, 1977. С. 616.