Об ограниченности интегральных операторов в общих пространствах типа Морри тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сенуси Марьям Абделькадеровна

• Сенуси Марьям Абделькадеровна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Сенуси Марьям Абделькадеровна

Введение

Глава 1. Ограниченность обобщенного потенциала Рисса, действующего из одного общего локального пространства типа Морри в другое

1.1 Определение и базовые свойства пространств Морри

1.2 Определение и базовые свойства общих локальных пространств типа Морри

1.3 Условия обеспечивающие ограниченность классического потенциала Рисса из одного общего локального пространства типа Морри в другое

1.4 Обобщенный потенциал Рисса

1.5 Lp и WLp - оценки обобщенного потенциала Рисса

1.6 Некоторые примеры ядер обобщенного потенциала Рисса

1.7 Обобщенный потенциал Рисса и оператор Харди

1.8 Неравенство Харди на конусе монотонных функций

1.9 Условия, обеспечивающие ограниченность обобщенного потенциала Рисса из одного общего локального пространства типа Морри в другое

1.10 Обобщенный потенциал Рисса с ядром р(£) = ¿а-те(1 + 11п¿|)в

Глава 2. Точные оценки норм обобщенных операторов Римана-Лиувилля, действующих из одного пространства типа Морри в другое

2.1 Ограниченность одномерного оператора Римана-Лиувилля в

пространствах Морри

Стр.

2.2 Ограниченность многомерного оператора Римана-Лиувилля в

пространствах Морри

2.3 Ограниченность обобщенного оператора Римана-Лиувиддя в локальных пространствах Морри

2.4 Ограниченность обобщенного оператора Римана-Лиувилля в анизотропных локальных пространствах типа Морри

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Данная диссертационная работа посвящена исследованиям по современному активно разрабатываемому в последние десятилетия направлению в гармоническом и функциональном анализе и теории функциональных пространств: теории операторов в общих пространствах типа Морри.

Она посвящена изучению условий на функциональные параметры, характеризующие общие локальные пространства типа Морри, обеспечивающие ограниченность обобщенных потенциалов Рисса из одного общего локального пространства типа Морри в другое, а также изучению условий, обеспечивающих ограниченность обобщенных многомерных операторов Ри-мана-Лиувилля из одного пространства типа Морри на параллелепипеде в другое и получению точных оценок норм этих операторов в зависимости от размеров параллелепипеда.

Теория пространств типа Морри и теория операторов в пространствах типа Морри активно развивается. Этой тематике посвящены многочисленные работы математиков из многих стран мира (см., например, обзорные статьи [6], [7], [26], [33], [38], [43], [44]).

Цель диссертационной работы состоит в исследовании ограниченности перечисленных выше многомерных интегральных операторов в пространствах типа Морри. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) свести задачу об ограниченности обобщенных потенциалов Рисса из одного общего локального пространства типа Морри в другое к задаче об ограниченности оператора Хард и из одного весового пространства Лебега в другое на конусе неотрицательных невозрастающих функций,

2) для любых допустимых значений числовых параметров получить достаточные условия на функциональные параметры, характеризующие общие локальные пространства типа Морри, при которых обобщенные потенциалы Рисса ограниченно действуют из одного локального пространства типа Морри в другое, которые для некоторого диапазона числовых параметров совпадают с необходимыми условиями,

3) для многомерного оператора Римана-Лиувилля и многомерного обобщенного оператора Римана-Лиувилля получить точные оценки условия их ограниченности из одного изотропного или анизотропного пространства типа Морри на конечном параллелепипеде в другое.

4) получить точные оценки норм этих операторов в зависимости от размеров параллелепипеда.

Научная новизна.

В данной работе

1) получены новые результаты об ограниченности обобщенного потенциала Рисса из одного общего локального пространства типа Морри в другое, обобщающие известные ранее результаты в ограниченности классического потенциала Рисса из одного общего локального пространства типа Морри в другое, которые были получены В. И. Буренковым, А. Гогатишвили,

В. Гулиевым и Р. Мустафаевым [4],

2) получены новые результаты об ограниченности обобщенного многомерного оператора Римана-Лиувилля из одного пространства Морри на конечном параллелепипеде в другое, а также получены новые точные оценки норм таких операторов в зависимости от размеров параллелепипеда; в одномерном случае ограниченность оператора Римана-Лиувилля установлена

г. Б\1, Л. ТгирПо И д. \¥и в [23].

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты работы носят теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории классических операторов теории

функций в пространствах типа Морри, а также в задачах теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Методология и методы исследования.

Исследования основываются на общих методах функционального анализа и на методах, используемых в теории операторов в пространствах типа Морри. Эти методы надлежащим образом модифицируются и развиваются так, чтобы их можно было применить к рассматриваемым в диссертационной работе интегральным операторам и различным вариантам рассматриваемых в работе пространств типа Морри.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об ограниченности интегральных операторов в общих пространствах типа Морри»

Апробация работы.

Результаты, полученные в рамках работы над диссертацией, неоднократно излагались на научном семинаре Математического института РУДН по функциональному анализу и его приложениям под руководством профессоров В. И. Буренкова и М.Л. Гольдмана, на научном семинаре Математического института РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скуба-чевского, на научном семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (семинар Никольского, руководитель член-корреспондент РАН О.В. Бесов), на научном семинаре по функциональному анализу и его приложениям в Ярославском государственном университете имени П. Демидова и на научном семинаре по функциональному анализу в Евразийском национальном университете имени Л.Н. Гумилева (Астана, Казахстан).

Полученные результаты представлялись и обсуждались на следующих научных конференциях:

Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2021» и «Ломоносов-2022» (Москва),

Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2021),

Конференция Ecole doctorale (Алжир, 2021),

Третья международная конференция конференции «3rd International Conference on Research in Applied Mathematics and Computer Science. ICRAMCS (2021, Casablanca, Morocco),

Международная конференция "Теория функций, теория операторов и квантовая теория нформации"(Уфа, 2021 и 2022)

Научная школа молодых ученых «Математические методы механики» (Москва, 2021).

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 4 печатных изданиях (2 - в соавторстве с научным руководителем, 2 - без соавторов), которые опубликованы в журналах, индексируемых в базах данных Скопус и РИНЦ и в тезисах конференций. Результаты совместных работ, включённые в диссертацию, получены автором лично.

Статьи.

1. М.А. Senouci, Boundedness of Riemann-Liouville fractional integral operator in Morrey spaces, Eurasian Math. J., 12 (2021), no. 1, 82-91.

2. V.I. Burenkov, M.A. Senouci. Boundedness of the generalized Riesz potential in local Morrey type spaces, Eurasian Math. J., 12 (2021), no. 4, 92-98.

3. V.I. Burenkov, M.A. Senouci. On boundedness of the generalized Riesz potential in local Morre type spaces. Journal of Mathematical Sciences, 266 (2023), 765-793.

4. M.A. Senouci, Boundedness of the generalized Riemann-Liouville operator in local Morrey type spaces. Eurasian Math. J., 14 (2023), no. 4, 63-68.

Тезисы докладов.

1. M.A. Senouci, Boundedness of the multi-dimensional Riemann-Liouville fractional integral operator in weighted Morrey spaces. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2020»,

Москва. Ноябрь 2020. Материалы XXVII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2020». Второе издание. М.: МАКС Пресс, 2020.

2. М.А. Senouci. Boundedness of the generalized Riemann-Liouville fractional integral operatorin weighted Morrey spaces. Воронежская зимняя математическая школа «Современные методытеории функций и смежные проблемы», Воронеж, Материалы Международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа" (28 января - 2 февраля 2021 г.) Издательскийдом ВГУ 2021, стр. 327-328.

3. М.А. Senouci. Bornetude de l'operateur fractionnaire de Riemann-Liouville dans les espaces de Morrey. ICRAMCS 2021ю International Conference on Research in Applied Mathematics andComputer Science, March 26-27, 2021, Casablanca, Morocco. Book of proceeding, p. 212. Proceedings ISSN : 2605-7700

4. M.A. Senouci, Boundedness of generalized Riemann-Liouville fractional integral operator in weighted Morrey spaces, Международная конференция "Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации". Сборник тезисов Международной конференции (г. Уфа, 4-7 октября 2021 г.), УФА АЭТЕРНА 2021, стр. 41.

5. М.А. Сенуси, On boundedness of the generalized Riesz gjntytial in ocal Morrey type spaces. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2022», Москва. Апрель 2022. Материалы XXIX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов». М.: МАКС Пресс, 2022.

6. V.I. Burenkov, М.А. Senouci, On boundedness of the generalized Riesz potential in local Morrey type spaces. Международная конференция "Теория функций, теория операторов и квантовая теория информации Уфа. 21 октября 2022 г., г. Уфа.

Степень достоверности результатов, полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, выступлениями

на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в рецензируемых изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, 2 глав и заключения.

Полный объем диссертации составляет 100 страниц.

Список литературы содержит 46 наименований.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится краткий обзор наиболее важных публикаций, связанных с темой исследования, и изложение основных результатов диссертации.

Основные определения и результаты.

Глава 1.

Определение 1. Обобщенный потенциал Рисса /р(\) определяется равенством

(V)/) (*)= / р(|я - Уl)f е

Jшn

где р - неотрицательная измеримая по Лебегу функция па (0,то), ядро обобщенного потенциала Рисса.

Если 0 < а <п,Ь> 0 р(^) = ¿а-п, то получим классический потенциал Рисса, который обозначается через 1а.

Определение 2. Пусть 0 < р,в ^ то и пусть функция е М+((0,то)) не эквивалентна 0. Через обозначим локальное пространство ти-

па Морри, а именно, пространство всех функций / е М(КП) с конечной

квази-нормой

II/\\lMpQM) = II/ ||lMp0i№(.)(R») = \w(r)\f \\Lp(B(0,r))\\Le(0,œ).

Если w(r) = 0 и ||/\\ьр(в(0,г)) = œ, то будем считать, что w{r)\\f \\ьр(В(0,г)) = 0

Если в этом определении квази-норма ||/\\ьр(в(0,г)) в лебеговом пространстве заменена на квази-норму ||/\\wLp(B(0,r)) в слабом лебеговом пространстве, то получающееся при этом слабое локальное пространство типа Морри обозначается через WLMpq^w(.).

Определение 3. Пусть 0 < 6 ^ œ, обозначает множество всех функций w G M+(0,œ), таких, что

\w\L0(tœ) < œ.

для некоторого t > 0.

Лемма [11], [13], [18]. Пусть 0 < р, 6 ^ œ и w неотрицательная, измеримая по Лебегу функция (0, œ), не эквивалентная 0.

Тогда пространство LMpe,w(.) не тривиально, тогда и только тогда когда w G Qe.

Определение 4. Пусть п G N. Мы будем говорить, что р G Sn, если р G M+((0,œ)) и

1) /0 p(t)tn-1dt < œ для всех г > 0,

2) для некоторых с\,с2 > 0,

cip(t) < p(s) < C2p(t)

для всех s,t > 0, удовлетворяющих неравенству | ^ s ^ 2t. Определение 5. Для р G Sn к f G M(Rn)

~îp(-),rf (x) = / р(|ж - y\)f (y)dy

JcB(x,r)

и

I р(> = / р(к - у|)/(у ^

«/ В(х,г)

Пусть А с В с : Л х В —> [0,то]. Всюду в этой рабо-

те будем говорить, что С доминирует над Г на В равномерно по ж € А и писать Г < С равномерно по ж € А, если для любого у € В существует с(у) > 0 такое, что

^(х,у) ^ с(у)С(х,у) для любых х € А.

Также, говорить что Г эквивалентно С и писать

^ « С равномерно по ж € А

если Г доминирует над С на В равномерно по ж € А и С доминирует над ^ на В равномерно по х € А.

Определение 6. Пусть 1 ^ р1 < то, 0 < р2 ^ то. Тогда р € ЗЩРъР2 р € М+(0,то) и существует положительная невозрастающая непрерывно дифференцируемая функция р : (0,то) ^ (0,то) такая, что

1) р^) « р(^) равномерно по t > 0,

2) Нш р(£) = 0,

3) р € Бп,

1 _п__1 00 _п__1

4) / р(£)£р1 (И = то, § р(£)£р1 (И < то, 0 1

5) |р > р(^) равномерно по £ > 0,

0 < р2 ^ р1 н 1 ^ р1 < то, то

рг

/ р(;£)Г-1^ < р(г)гп 0

равномерно по г > 0

7) 6СЛИ 1 ^ р1 < р2 < ТО, ТО фуНКЦИЯ фП;р;рьр2 (£) = р(Р2 почти не убывает на (0,то).

Более того, если рх = 1 и 1 < р2 < то, то р Е ¿^д^ если существует положительная невозрастающая непрерывно дифференцируемая функция р : (0,то) ^ (0,то) такая, что выполняются условия 1) - 3) и 5), 4) и условия 6) выполняются для рх = 1 и вместо условия 7) выполняется следующее условие 8)

I I п—1 II п

\\Р(^ И \\ьР2 (0,г) ^р(т)т Р2

равномерно по г > 0.

Целью первой главы является обобщение результатов работы [8] об условиях ограниченности классического потенциала Рисса на случай обобщенного потенциала Рисса с ядрами р Е Зп,Р1 Р2.

Основными результатами первой главы являются теоремы 1-3.

Теорема 1 Пусть 1 ^ рх < то, 0 < р2 ^ то, 0 < е2 ^ то, Е ^е2, р -

положительная непрерывная функция на (0,то) и

——1 Гто рШ(И

Цп,р ,Р1 (г) = Л р( ) —1 , г > 0, (1)

Лто р(^сИ

п

У2(г) = (Ц-1 М) (Ц--& м)И 1(^1 (0)' I 4 , Г > 0, (2)

9щр ,Р1 (г) = 11/11^1 (В(оЦ-р%(Ы), г > 0.

1. Если 1 < рх < р2 < то или 1 ^ рх < той 0 < р2 ^ рх,и р Е Зп,Р1,Р2, то

II7 P(•)f II ЬМр2е2Ш2( .) ^ цНдп,р ,Р1 |Ье21^2( .}(0,то)

равномерно по / Е М(Кп).

2. Если рх = 1 и 0 < р2 < то, и р Е Зп,1,Р2, то

^р(^) /||ЬМР2е2,Ш2(.} ~ 11Ндп,р,111 ¿е2,^2( ■ }(0,то)

равномерно по всем функциям / € М+(КП).

3. Есл и р1 = 1 и 1 < р2 < оо, и р € Зщ1,Р2, то

11^ (•}/ \\wLMt2 02 ,^2 (') равномерно по всем функциям / € М+(КП).

Теорема 2 Предположим, что 1 ^ р1 < о, 0 < р2 ^ о, 0 < 91? 62 ^ о, w1 € ^е1? гш2 € ^е2, |п,Р,Р1 определяется формулой (1),

^ (г) = пл м) | (^-р1^и) I01, г > °

и у2 определяется фор мулой (2).

1. Пуст Ь 1 < р1 < р2 < О ИЛИ 1 ^ р1 < о И 0 < р2 ^ Р1, и Р € Если оператор Н ограничен из Ь0ь^(^(0,о) в Ь02,У2(^}(0,о) па конусе А, то есть

равномерно по д € А т0 итератор /р (^ограничен из ЬМР1е1>Ш1{} в ЬМР202^2(}.

2. Пусть р1 = 10 < р2 < о и р € Зп,1,Р2. Тогда оператор /р (•} ограничен из ЬМ1е1^1^.} в ЬМр2е2^2(•} тогда и только тогда, когда оператор Н ограничен из Ь01 ,^}(0, о) в Ье2^.}(0, о) на конусе А.

3. Пусть р1 = 11 < р2 < о и р € Тогда оператор /р(•} ограничен из ЬМР1 еь№1(-} в ЖЬМр^,^} тогда и только тогда, когда оператор Н ограничен из £еь^}(0, о) в Ье2^2^}(0, о) на конусе А.

Теорема 3 Предположим, что 0 < 01,02 ^ <о,'ш1 € Qеl,п)2 € ^е2.

1. Пуст ь 1 < р1 < р2 < о или 1 ^ р1 < о и 0 < р2 ^ о, и р € ЗЩРиР2. Тогда оператор /р(.} ограничен из ЬМР1,еът1^} в ЬМР2ее2>Ш1о, если выполняются следующие условия:

(а) если 1 < е1 ^ 02 < о, то

Вп ™02п>р2^2 (/ (х)1 < о

п

где w2,n,p2(x) — w2(x)xр2. и

B12 :=

sup

t>0

W

e2

2,п,р2

( х) х

)

1 e2

e

V (x)^nWl(х)

lt цоХ1 OWl'

dx

<,

( 6) если о < e1 ^ l, e1 ^ e2 < о, то

B2 :=

^00

sup I I w1

t>0 VJt

l l \- ei / e „ \ e2

we (x)dxj I J w^(x) min{^„,p,pl(t),

<,

(с) если l < e1 < о, о < e2 < e1 < о, то

B31 :—

о ü we?n,p2(x)Mep,^(x)dx\ 1 e

ft° w1 (x)dx

wms? p,p1 (t)dt 1 < °

и

B32 :=

we?n,P2 (x)dx

о e

^n1p,pl (tW (t)

e

u»/ (u

( и) и

PJJf^ 1 - 1 1

e2 Ii '

(<i) если 0 < e2 < 11 ^ l, то B41 :— B31 < о и

B42 :—

sup ^-n,p,p1 ( % y<z<œ 0 " z

w1 (s)ds

^2?n,p2(x)dX) W2?n,P2 (y)dV I < °

Г el

e2

( e) если 0 < e1 ^ l,e2 — о, то

el

B5 := sup I I w6^(x)dx I esssupW2?n,p2(x) min^p^ (t), (x)} < о,

t>0 W / ж>0

( f) если l < e1 < о,22 — о, то

e

t

e

B6 : —

(д) если 61 = го, 0 < 62 < го, то

(К) если 61 = 62 = го, то

(К) если 61 = 62 = го, то

2. Пусть р1 = 1, 0 < р2 < го и р Е 3П17Р2. Тогда оператор 1р(.) ограничен из ЬМ161^1 (.) в ЬМр26ъм.) тогда и только тогда, когда выполняются условия (а) - (К) с р1 = 1.

3. Пусть р1 = 1,1 < р2 < гои р Е Зп,1,Р2. Тогда оператор 1р(.) ограничен из ЬМ161:ы1(.) в ШЬМр^б^^) тогда и только тогда, когда выполняются условия (а) - (К) при р1 = 1.

3

ловых параметров 61,62,р1,р2 и функций п)1 ,п)2. Пусть, кроме того в < 0,

Тогда для обобщенного потенциала Рисса 1р(.) справедливы все утверждения теоремы 3, в которых функция |п,р,р1 (г) заменена на функцию

Замечание. По сравнению со статьей [8] рассмотрен существенно более широкий класс обобщенных потенциалов Рисса, содержащий, в частности, случай, когда р(£) = 1а-п(1 + 11пЦ)в. При этом, как и в [8], полученные достаточные условия ограниченности обобщенных потенциалов Рисса для определенного диапазона числовых параметров совпадают с необходимыми.

Теоремы 1, 2, 3 опубликованы в [16], [17].

р(г) = га-п(1 + 11п ¿|)в.

Глава 2.

Определение 7. Левосторонний многомерный дробный интегральный оператор Римана-Лиувилля порядка а = (а1г..,ап), 0 < а < 1, г = 1,...,п,а = (а1? а2,...,ап) Е определяется следующим образом:

/ n \ ./, - w1)

(.1я м = г(а^ ... / (П^ - «О"--11 /

для всех х = (ж1,...,жп) таких, что > а^ г = 1,..,п, где Г - гамма-функция Эйлера.

Определение 8. Пусть / Е Ьр(0), где 0 < р ^ го к = (к1,...,кп), Ъ, ^ 0, % = 1,...,п. Обобщенный дробный интегральный оператор Римана-Лиувилля 1а,к/ порядка а = (а1г..,ап), 0 < а < 1, г = 1,...,п, п Е М, определяется следующим образом

/) м

f i ы

= П{к" + I'1'" I" -I" П l"^1 - ^гл*! í(íi,...,tn)díi...dí,

.=1 Г( а) i/a„ Ja i -=1 L J

Определение 9. Пусть 0 < р ^ го Л > 0, если Р < ГО если Р = ГО Л ^ 0? ж0 G Rn, П С Rn измеримое по Лебегу множество. Говорят, что функция f принадлежит локальному пространству Морри LMp (П), есл и f измерима по Лебегу на П и

II/IUm* 0(П) = supГ-А||/||¿p(fiг|В(жо,г)) < го

0 г>0

Мы будем часто пользоваться определением, когда х0 = 0. Будем для краткости обозначать lm*Xq (П) через LMp (П).

Определение 10. Пусть р = (p1r..,pn), 6 = (61r..,6n), Л = (Л1г..,Лп), а = (a1r..,an), b = (b1,...,bn), 0 < p¡ ^ го 0 < 6¿ ^ го 0 < Л^ < го ¿ = 1,...,п, Q(a,b) = {ж G Rn,a¡ < x¡ < b¡,i = l,...,n}.

ж

/i

Пусть ЬМр^ а((^(а, Ь)), а((((а, Ь)) - это пространства всех измери-

мых по Лебегу функций на Оа, &), для которых

...у/(Х1,...,Хп)\\шЛ1 ((аиЪЛ)...

< оо

ьм.

Рп,вп,ап,хп

((а„,Ьп))

И

р оМоМ

... \\¡(Х1,...,Хп)\\ш^вп^хп((ап,ип

((ап,Ьп)) ...

ЬмЦуъаъХ1 ((а1,Ь1))

< ОО

соответственно.

Целью второй главы является развитие результата работы [23], об условиях ограниченности одномерного оператора Римана- Лиувилля из одного пространства Морри в другое: рассмотрение многомерного случая, расширение диапазона числовых параметров, рассмотрение обобщенных операторов Римана-Лиувилля, получение точных оценок квази-норм операторов в зависимости от размеров параллелепипеда.

"п

Основными результатами второй главы являются теоремы 4-7.

Теорема 4 Пусть 1 < р < го, 0 < д < го, 0 < Л < ^ 0 < ^ < ^ ^ < а < 1, г = 1,...,п. Тогда существует С1 > 0 такое, что

\\ \м^(д(а,Ь))^ С1 \ Ь-а И\ / \\мА(Q(а,b)), (3)

где

П П ,л\

V = Л + а + ... + ап---1---щ (4)

для всех конечных параллелепипедов ((а,Ь) и для всех / Е МЛ((((а,Ь)). Показатель степени V не может быть заменен никаким другим. Замечание. По сравнению с работой [23], рассмотрен многомерный случай. Кроме того, в отличие от [23], установлена точная зависимость точной постоянной в неравенстве (3) от диаметра параллелепипеда. Этот результат опубликован в статье [42].

Теорема 5 Пусть 1 < р < <§ < го 0 < д < в, ^ — 1 <а^< 1,г = 1,...,п, 0 < Л <

0 < < п р(п — а1... — ап)

^ ^ д р + з(р — 1) тогда существует С2 > 0 такое, что

1К?\\ М?(<(а,Ъ)) < 1 Ь — а ГН ? \\Щ(Q(a,Ъ)),

где V > 0 определяется по формуле (4) для всех конечных параллелепипедов Q(a,b) и для всех / МЛ^(а,Ь)).

Показатель V не может быть заменен никаким другим. Замечание. Кроме того, что рассмотрен многомерный случай, рассмотрен более широкий диапазон числовых параметров. Как и в теореме 4, получены точные оценки нормы многомерного оператора Римана-Лиувилля в зависимости от диаметра параллелепипеда.

Теорема 6 Пусть 1 < р < го 0 < д < го 0 < Л < 0 < V <

а = (аь...,ап), ^ < а < 1, к = (к1,...,кп), кг ^ 0 « = 1,...,п.

Тогда существует С3 > 0 такое, что

II \\ьМ?^(а,Ъ))< Сз 1 Ь И| / \\ьМ£(<3(а,Ъ)),

где

п

П П

V = Л +-----Ъ> (кг + 1)а — V,

я р

для всех конечных параллелепипедов Q(a,b) и для всех / Е ЬМр ^(а,Ь)).

Показатель V не может быть заменен никаким другим. Замечание. Теорема 6 является аналогом теоремы 4 для обобщенных операторов Римана-Лиувилля. Этот результат опубликован в статье [43]. Лемма (Обобщенное неравенство Минковского для локальных пространств типа Морри) Пусть —го < а < Ь < го —го < с < (I < го 0 < тах{р,6} <

тш{д,а} < го 0 < Л, V < го.

Тогда

\/(х,У )1

<

ьм^,с,у (сА)

У)\

(5)

Теорема 7Пусть а = (аь...,ап), к = (кь...,кп),р = (р:,...,рп), д = (41,..., дп), Л = (Л:,..., Лп), р = (рь..., Рп), 0 = ( 01,..., 0 „), а = (ъ,..., &п),

1 < Рг ^ 0 < 0 { ^ ж,к{ ^ 0, — < а < 1, Лг, р^ > 0, г = 1,...,п;

Рг

тах{^,0¡} ^ пи п{, а}, г = 1,...,п — 1 и ^ = % + 1,...,п. Тогда существует С4 > 0, такое, что

та,к г

1 0+ I

П(Ьг — а^* ||/|

¡=1

Щ ёЮ(а,Ъ))

где

уг = Л, + — + Ог( кг + 1) — — — рг,{ = 1,...,п Яг Рг

(6)

для всех конечных параллелепиппедов ((а, Ь) и всех / Е Ь)).

Каждое г = 1,...;п, не может быть заменено на никакое другое. Замечание. Теорема 7 - это анизотропный вариант теоремы 6. В этом случае установлена точная зависимость точной постоянной в неравенстве (6) от длин ребер параллелепипеда. В доказательстве существенно использовалось неравенство (5).

Глава 1. Ограниченность обобщенного потенциала Рисса, действующего из одного общего локального пространства типа

Морри в другое

1.1 Определение и базовые свойства пространств Морри

В этом параграфе будут представлены общие свойства пространств Морри, построенных на базе лебеговых пространств.

Определение 1.1.1. Пусть Q С R- измеримое по Лебегу множество, 0 < р ^ го, говорят, что измеримая на Q функция f £ LP(Q), если ||/\\ьр(п) < го, где

Н/ \\ lp(п) = ^ J \f(x)\pdx^ , 0 <р< го, если р < го, и, если р = го7 то

\\/Wlto( п) = ess sup \f (ж)\.

хеП

Определение 1.1.2. Пусть Q С R- измеримое по Лебегу мно жество, 0 < р ^ го 0 ^ Л ^ р. Пространство Морри М^(^) - это пространство всех функций f измеримых по Лебегу на Q, для которых

\\f \\м*(П) = suP r-X\\f \\Lp(B(x,r) П О) < го. (1.1)

хе£1,г>0

Отметим ряд известных свойств пространств M^(^). Л=0

МР0(П) = Lp(Q). (1.2)

Если Л = -, то

п

Mp (Q ) = Ьго(П). (1.3)

Если Л < 0 или Л > то пространство ) состоит только из функций

/ эквивалентных 0 на О.

Таким образом, допустимый диапазон параметров

п

0 <р < го и 0 < Л < -. (1.4)

Р

(Если р = го, то неравенство для Л выполняется только в том случае, если

л = 0 и мго = ¿с*.)

В случае, когда О = мы будем считать, что = М^Л(Ш.п). Пример 1. Если а Е К, 0 < Л < 1 < р < го, то

МаХВ(од)М Е К ^ а ^ Л — -

р

и

Ыахг (х) Е МЛ ^ а < Л — -,

1 1 ЬВ(0,1) 4 у Л р

гт

Ыа Е МЛ ^ а = Л — -, Л р

п

Здесь х с - характеристическая функция множества С С а С - дополнение множества С. Этот пример, в частности, показывает, что при 0 < Л < ^

МЛ С ьр.

Пример 2. Если а, в Е К, 0 < Л < 1 < р < го, то

. Ыа если 1x1 < 1, ил*) = { Е МЛ

1х\в если |ж| > 1

тогда и только тогда, когда

п „ ^ п

в < а и - + в < Л < - + а. р р

Пространство М^(О) является банаховым для 1 < р < го и квази-бана-ховым для 0 < р < 1.

1.2 Определение и базовые свойства общих локальных

пространств типа Морри

Пусть О— измеримое по Лебегу множество О С Тогда М(0) обозначает пространство всех функций / : О —> С измеримых по Лебегу на 0 и М+(0) обозначает подмножество всех неотрицательных функций изМ(О).

Определение 1.2.1. Пусть 0 < р,0 ^ го и пусть функция и Е М+((0,го)) не эквивалент,на, 0. Через ЬМ^ц.) обозначим локальное пространство типа Морри, а именно, пространство всех функций / Е М(КП) с конечной квази-нормой

11 ¡1ЬМрвм. ) = 11 ¡1ЬМрвм. )(М») = |п(^)|/|Ьр(В(0,г))|Ье(0,го).

Если и(г) = 0 и Ц/Цьр(В(0,г)) = го7 то будем считать, что п(Г)У1ьр(В(07г)) =0-

Определение 1.2.2. Пусть 0 <0 ^ го, 0 0 обозначает множество всех функций и Е М+(0,го), таких, что

НИке^го) < го. (1.5)

для некоторого Ь > 0.

Лемма 1.2.1. [11], [13], [18]. Пусть 0 < р, 0 ^ го и пусть и неотрицателъ-

(0,го)

Тогда пространство ЬМрв ш(.) не тривиально (т.е. состоит не только из функций эквивалентных 0 на Ш") тогда и только тогда, когда и Е Од. Известно, что пространства ЬМ^ц.) банаховы, еели 1 ^ р, 0 ^ го и 0 < < 1 0 < < 1 0 < < 1 0 < < 1

Ознакомиться более подробно со свойствами пространств Морри, операторов в таких пространствах и приложениями можно в обзорных статьях [6], [7], [27], [34], [39], [44], [45].

Пусть п Е N, 0 < р ^ то, Q С Rn измеримое по Лебегу множество. Напомним, что слабое Лебегово пространство WLp(Q) - это простраптво всех измеримых по Лебегу функций f : Q ^ C для которых

Wf\\wLp(n) = SUpi 1{у Е Q : 1 f(y)l > t}l р < ТО. t>0

Определение 1.2.3. Пусть 0 < p,Q ^ ж и пусть функция w Е M+((0,то)) не эквивалентна 0. Через WLMpq,w(.) обозначим слабое локальное пространство типа Морри, а именно, пространство всех функций f Е M(Rn) с конечной квази-нормой

\\f\\wLM^M) = \\f \\wLM^M)(Rn) = \\wM\\ f\\шьр(в(0,г))\\ье (0,ж).

1.3 Условия обеспечивающие ограниченность классического потенциала Рисса из одного общего локального пространства типа

Морри в другое

В [8] была доказана следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Предположим,, что 0 < 01,02 ^ то,и)1 Е Е ^02.

1. Пусть 1 < р1 ^ то, 0 < Р2 < ж, или 1 = р1 < ж и 0 < Р2 < то, и п ^ 1 — ^ < а < п. Тогда опера тор 1а ограничен из ЬМР1,01,Ш1(.) в ЬМР2,е2,т2(.), если р1 = 1 тогда и только тогда, когда выполняются, следующие условия:

(а) если 1 < 01 ^ 02 < то, то

1 _ 1 1______I I „..02^.02(а—п(£—£А02 ( Г..^ 01

t>0 \ Jt

и

R1 (г eJa-n(-L - ±)) y2 ( г \Й У ^ ^

В{ := sup I / w22(r)r 2V пЧ (r)dr 1 I w0(r)dr 1 < то,

В ( Г 22 ( ) 22 - , \ Ъ ( [Ж (r)r21 (а- л \ 01 <

В :=suplj^w02(r)r 2P2drj \J / r^ _7 NQ/ dr I < то,

t>0 \Jo J \Jt (Г w21 (s)ds)21

( b) если О < б í ^ l, б í ^ б 4 < œ, mo B¡ < œ то

B44 :=

,a--

SUp t n

t>0

we 2 (r)r e2 p2dr

)

Qi

Qi

w 1( ) < œ,

(с) если l < б í < œ, О < б 4 < б í < œ, то

B3 :=

^ftœ we 2 (r)r a n( ^ p2 ^ (r)dr^j

e1

\ e1-e2

ftœ we 1 (r)dr

\

V

/

ч qi-q2 \ e1e2

w4 2( )

/

<

и

B3 :=

we 2 (r)r e2 p2dr

)

J_ e2

,œ w1 1 (r)rel

e ' (a-£)

e2-1 e2

< aœwe1 (e)ds)el

-dr

e1 e2 , s el—e2 „„ e^w el(a-£ )

w 1( )

a°°wf1 (sM1

d

e1 —e2 e1e2

(d) если l = б 4 < б í ^ œ, то B4í := B3í < œ и

эо

оо

t

U

B 4 :=

I

(г

a-n(J--\ \ el —1

t w4(r)r P2>dr \

el—1 \ el

ftœ we 1 (r)dr

\ V

/

w4(t)t

a-n( -1 - -1) VPl Р2/

d

<

/

B44 :=

(r

w4(r)ra pl та) + ta pl

a-n[ , л-^ rt

f)f P2 dv

)

Í°wI 1 (r)dr

\

\

Ii'-í \

/

/

,a- ^

.t pi

nt * \dt

w4(r)rp2dr J —

( е) если О < в 2 ^ в 1 = l, то

В\ :=

и

(

■>оо

ж в 2 (г)г в ^ а-п(^ - ^

t w22(r)r

1___1

PI P2

r)<ir

)

02

\ 1-02

/Г^в 1 (r)dr

\

\

w9 2 (t)t в2( а-п(+-±

pi P2 ))dt

/

1-02 02

/

B22 :=

u»" 2 (r)r в2 p2 dr

02

) 1-02 í i / v<

^00

inf spl j w9(p)dp

t<s<oo

)

02 02-1

.w9 2 (t)t02 £dt

(f) если О < в 2 < в 1 < l, mo Bf < ж и

)

1-02 02

<.

<,

t

В6 :=

01-02

ж „а-^ / nt \ 01-202 \ 0102

1 I Ш2 (I )I I .Ш2

S Р1 / в в^ \ 01-02 в в п_

sup -0— wв2(г)г 2p2dr .wв2(t)t 2p2dt < ж.

и

o ^8<ж (j°°w9 1 (p)dp)\jo

02 \ у102 .w9 2 (t)t02 %dt\

(g) если О < в 1 ^ l, в 2 = ж7 то

W2(t)t

п

Р2

В7 := ess sup —-- < ж.

o<t<;<ж а(w9 1 (r)dr) 0ll

(h) l < 1 < ж, 2 = ж,

[ж гв1(а-^) dr \ 01

Bs := ess sup / ж в^ , .в/ ^ < ж.

t>o \Л (jr w9 1 (s)ds)в1-1 г

)

1

(i) если в 1 = ж, О < в 2 < ж, то

г 00

п

sa- £-1^s \ в2

9 : o \ Л esssupy<s^ w^J .

w92 (t)t92(а-п(¿-¿2 < ж.

(j) если 6 1 = 6 2 = го, то

roo а- — — 1

В10 := ras sup w2(t)tта -— <is < го.

t>0 Jt ess sup s <y<rowi{y)

2. Пусть р1 = 1,0 < p2 < го и п ^i — ^ < а < п. Тогда оператор !р(.) ограничен из LM1^01,Wlge WLMp2,e2,w2(.) 'тогда и только тогда, когда выполняются условия (а) - (h) при р1 = 1.

Целью первой главы является обобщение этой теоремы на случай обобщенного потенциала Рисса.

Излагаемые ниже полученные в этом направлении результаты результаты опубликованы в [16], [17].

1.4 Обобщенный потенциал Рисса

Определение 1.4.1. Обобщенный потенциал, Рисса, /р(\) определяется равенством

(V)/) (х) = / р(|х -уМШу, х е

Jшn

где р - неотрицательная измеримая по Лебег у функция на (0,го)7 ядро обобщенного потенциала Рисса.

Если 0 < а <п,Ь> 0 р(^) = £а-п, то получим классический потенциал Рисса, который обозначается через 1а.

Пусть А с В с Кт, Р,С : А х В —> [0,го]. Всюду в этой работе будем говорить, что С доминирует над Р на В равномерно по х е А и писать Р < С равномерно по х е А, если для люб ого у е В существует ( ) > 0

Р(х,у) ^ с(у)С(х,у) для любых х е А.

Также, говорить что Р эквивалентно С и писать

Р ~ С равномерно по х е А

если Р доминирует С на В равномерно по х е А и С доминирует над Р на В х е А

1.5 Ь„ и WLP - оценки обобщенного потенциала Рисса

Определение 1.5.1. Пусть п е N. Мы будем говорить, что р е Зп, если р е М+((0,го)) и

1) /0 р(£)< го для всех г > 0,

2) для некоторых С\, с2 > 07

с\р(г) < р(з) < С2р(^)

для, всех > 0, удовлетворяющих неравенству 2 ^ 5 ^ 2Ь.

Замечание 1.5.1. Пусть х е Кп7 г > 0 У е В(х,г), г е СВ(х,2г). Тогда

1у — ^ — х| + |х — ^ г + |х — ^ -|х — + |х — < 2|х —

2

и

1у — г1 ^ |х — 2;| — — х| ^ |х — —г ^ |х — г1 — 1 |х — = 1 |х — ¿ф

22

Пусть в = — и £ = |х — г|. из условия 2) определения, 1.5.1 мы имеем

3) Схр(|х — г|) < р(|у — х\) < С2р(|х — г|)

есеж х е Кп7 г > 0 У е В(х,г)7 ^ е СВ(х,2г).

Замечание 1.5.2. Если функции р1,р2 : (0,то) ^ (0,то) удовлетворяют условию 2) определения, сс11; с12 > 07 с21, °22 > 0, соответственно, то произведение р1р2 удовлетворяет условию 2) с с1 = с11с21 и с2 = с12с22. Для доказательства достаточно перемножить неравенства,

Си Ргй < Рг(-§) < Сг2 Рг(^) ,

где8)ь> 0 2 < 5 < 2г и% = 1,2.

Замечание 1.5.3. Если, функция р1 : (0,1] ^ (0,то) удовлетворяет условию 2) определения, с с11, с12 > 0 и функция р2 : (1,то) ^ (0,то) удовлетво-2) 21 22 > 0

Р( ) =

Р1(£), 0 <г < 1, р2(г), 1 <г < то

2) 1, 2 > 0

Действительно, пусть > 0 2 ^ 5 ^ 2£. Если £ ^ 2, то й ^ 1, р(й) = р1(й) р(£) = р1(^) и условие 2) определения выполняется с

с11, с12 > 0. Соответственно, если Ь > 2, тогда <§ > 1, р(<§) = р2($), р(£) = р2(£) и условие 2) определения выполняется с с21, с22 > 0. Пусть 1 < I ^ 2, тогда 1 < й ^ 4,

. ~117 4 ^ ^ ^ I с12, 4 < я ^ 1,

шт{Сц,С21} < < < р(з) ^ < < тах{сГ2,С22},

шт{Сц ,С21} <

сц, 4 < я < 1, с21, 1 < в < 4

сц, 2 <1 < 1, с21, 1 <г < 2

^ РЙ ^

С'2'2, 1 < 5 < 4

С12, 2 <1 < 1, С22, 1 < £ < 2

< тах{С12,С'2'2},

следовательно

шт{Сц,С21}(шах{С12,С22}) 1р(0 < р(-§) < шах{С12,С22}(шт{Сц,С21}) 1р(0

1

Значит, для 2 <Ь ^ 2, 2 2£, условие 2) определения выполняется с

С! = шт{сц,С21} тах{с^,С22}—1, С2 = тах{с^,С22} тт{сп,С21}—1.

в ^ 2t,

потому что с11 ^ 1 ^ с12, с21 ^ 1 ^ с22, следовательно с1 ^ с11.! ^ ^ с21, С12 < С2, С22 < С2.

Замечание 1.5.4. Если функция р : (0,го) ^ (0,го) удовлетворяет условию 2) определения , то для, любых у > 0 существуют с1у, с2у > 0 такие, что для, Ь > 0

С^рВД < р(у^) < С2тр(^).

Действительно, если 2 ^ у ^ 27 то это неравенство следует из условия, 2) с 8 = уЬ. Пустъ 2 ^ у < 4, тогда по условию 2) с £ = 2т т > 0 и 8 = ут и приведенное выше неравенство сЬ = т иу = 2

с2р(т) < ^р(2т) < р(ут) < с2р(2т) < с2р(т), т > 0,

потом,у что ^(2т) ^ ут ^ 2(2т).

Далее, пусть 4 ^ у < 8 по условию 2) с £ = 4т, т > 0, й = ут,

-(4т) < ут < 2(4т), 2

с?р(т) < с^р(2т) < ^р(4т) < р(ут) < с2р(4т) < с2р(2т) < с^р(т), т > 0.

Кроме того, если 2к 1 < у < 2к7 к е N к > 3 ^ к =

1п у

Ш~2

+ 1, то

ск р(т) ^ с к—1 р(2т) ^ ... ^ р(ут) ^ с2р(2т) ^ ... ^ ск р(т).

Рассуждение для случая 0 < у < 2 аналогично.

1.6 Некоторые примеры ядер обобщенного потенциала Рисса

Пример 3. Пусть р(£) = ¿а п,1 > 0,0 < а < п. Тогда р Е Зп потом,у что

1>Г

/ га—п+п~ 1(И < то доя всех 0 <г < то ^ а > 0

Л

и для любого > 0 для, которого | ^ й ^ 2Ь,

2а—пр(й) = 2а—п в а—п = (2 й)а—п

(о\ а—п

-) = 2П_ ай а—п = 2П_ ар( з). Пример 4. Пусть 0 < а < п, —то < във2 < то7

/ (1 + 11п¿|)в1, 0 <1 ^ 1,

^р1,р2 (Ч = < , п -

[ (1 + 11п¿|)р2, 1 <К то

и р(£) = ¿а—пФв1р2(¿)7 г > 0. Тогда р Е 8п.

Поскольку функция, р непрерывна на (0,то)7 достаточно доказать условие Т) определения, для, г = 1. Напомним, что для, любого £ > 0 существует С£ ^ 1 такое, что

1 + 11п¿| < С£

— £

£1

для всех Ь Е (0,1].

Если в1 ^ 0, то

/ р(г)е~ 1(И= [ ¿а—1(1 +11п< / е—1(И< то. о о о

Если в1 > 0, то

[ р(^)Г" 1а =/ ¿а—1(1 +11пг\)в1(ъ ^ св1 [ е—£в1—1(И< то Jо /о ]о

если мы выберем £ > 0 таким образом, чтобы £^1 < а.

Что касается условия 2) определения, 1.5.1, то с помощью Замечания 1.5.2 и Прим,ера, 3 достаточно доказать, что функция^вив2 удовлетворяет этому условию.

Пусть > 0 и 2 ^ 5 ^ 2£ .Если, б> 1, следовательно Ь > 1, то 1 + 11пз| < 1 + 1п2£ = 1 + 1п2 + 1п£ < 2(1 + 11п¿|)

1 + 11пЦ < 1 +1п2 < 2(1 + 11пй|),

следовательно

1(1 + 11п¿|) < 1 + 11пй| < 2(1 + 11пЦ). 2

По аналогичным причинам это неравенство также выполняется, если в ^ 1, следователь но, Ь ^ 2. Следовательно, для, в ^ 1

2-|в11(1 + 11п¿|)р1 ^ (1 + 11пз|)р1 ^ 2'в 1'(1 + 11п¿|)р1. Если Ь ^ 1, это означает, что

2-|р1|ФрьР2(*) ^ Фр1,р2(5) ^ 21в11фР1,р2(*). Если 1 <Ь ^ 2, то

2-|р1 |- |р2 | ^ (1 + 11п*|)Р1 (1 + 11п^|)-р2 ^ 2 |р1 |+|р2 |,

поэтому

2-2|Р1|-|Р2|(1 + 11п¿|)Р2 ^ (1 + 11п5|)в1 ^ 22|р1|+|р2|(1 + 11п¿|)р2

что означает, что

2-2 в1 ' - ' |фР1,Р2 « < фР1.Р2 ( «) < 22|в1 |+| в2 |фв„в2 (().

Тогда, это неравенство справедливо для, всех з ^ 1 и всех Ь , удовлетворяющих неравенству 2 ^ 8 ^ 21.

По аналогичным причинам для всех з > 1 и всех Ь, удовлетворяющих неравенству | ^ й ^ 2Ь

2- в 1—2 1фМ2(о < ФР1,Р2( в) < 21 в'1+21 в2 1фр„р,(г).

Пример 5. Пусть 0 < а < п, —то < в < той

[ га—п, 0 <г < 1,

I ¿в, 1 <г < то.

Тогда, р Е Действительно, условие 1) очевидно выполняется. Что касается условия 2), оно также выполняется согласно замечанию 1.5.3, потому что р1(^) = 1а—п удовлетворяет условию 2) на (0,1] в примере 3 и р2(£) = удовлетворяет условию 2) для, (1,то) с помощью аргумента, аналогичного аргументу доказательства примера 3.

Отметим, что может быть заменена любой измеримой по Лебегу функцией удовлетворяющей на (1,то) условию 2) определения,

Определение 1.6.1. Для р Е Бп и / Е М(Ж)

/(ж) = / р( 1 ж — у1 ) !\у)(у

исв(х, г)

и

/(ж) = р( 1 ж — У1 ) 1(у)(у.

о В(х,г)

Замечание 1.6.1. Пусть 0 < р ^ то7 Щ Е Ж7 М > 0. Если, функция / : Щ ^ Ж эквивалентна М на Щ то

\\1\\\¥Ьр(П) = \\!\\ьр(П) = М| Щ|1 и если / ^ М почти всюду на Щ то

\\1\\шЬр(п) >М1 Щр.

Лемма 1.6.1. Пусть р е Бп, 0 <р < го, ж е Шп,г > 0, f е М(Кп). Тогда

II ^р(.)|/|У

)) 1р(.),2г И) (х) (1.6)

равномерно по (х,г,/) е Кп х (0,го] х М(Кп) равномерно по х е Кп7

г> 0 и / е М(Кп) .

Доказательство. По свойству 3) замечания для любого у е В(х,г)

^Жу) ^ / р(|у-^|)|Я*

исВ(х,2г)

> - / р(|ж -*|)|/(*,

и сВ(х,2г)

следовательно, по замечанию 1.6.1 мы получаем

11 /р(.)|/|У^ьр(в(х,г)) ^ с-1 (^пГп)р / р(|х -z|l)|¡^г

о сВ(х,2г)

1

1 _ —— I I / \

= С- ПрГр I р(.),2г Ш(х)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сенуси Марьям Абделькадеровна, 2024 год

Список литературы

[1] Akhulut A., Guliyev V.S, Muradova Sh.A. Boundedness of the anisotropic Riesz potential in anisotropic local Morrey-type spaces // Complex Variables and Elliptic Equations, 58 (2013), no. 2, 259-280. https://doi.org/10.1080/17476933.2011.575465

[2] Anastassiou G., Argyros I. The right multidimensional Riemann-Liouville fractional integral // Intelligent Numerical Methods II: Applications to Multivariate Fractional Calculus, 2016, 105-116.

[3] Anastassiou G., Argyros I. The left multidimensional Riemann-Liouville fractional integral // Intelligent Numerical Methods II: Applications to Multivariate Fractional Calculus, 2016, 93-103.

[4] Бахтигареева Э. Г., Гольдман M. Л., Забрейко П. П. Оптимальное восстановление обобщенного банахова функционального пространства по конусу неотрицательных функций // Вестник ТГУ. 2014. Т. 19, №2. С. 316-330.

[5] Bokayev N., Matin D., Akhazhanov Т., Adilkhanov A. Compactness of commutators for Riesz potential on generalized Morrey spaces // Mathematics 12(2024), 304. https://doi.org/10.3390/ mathl2020304

[6] Burenkov V. I. Recent progress in studying the boundedness of classical operators of real analysis in general Morrey-type spaces. I // Eurasian Math. J., 3 (2012), no. 3, 11-32.

[7] Burenkov V. I. Recent progress in studying the boundedness of classical operators of real analysis in general Morrey-type spaces. II // Eurasian Math. J., 4 (2013), no. 1, 21-45.

[8] Burenkov V.I., Gogatishvili A., Guliyev V.S., Mustafayev R.Ch. Boundedness of the Riesz potential in local Morrey-type spaces // Potential Analysis, 35 (2011), no. 1, 67-87.

[9] Burenkov V. I., Guliyev H. V. Necessary and sufficient conditions for boundedness of the maximal operator in local Morrey-type spaces // Studia Math, 163 (2004), no. 2, 157-176.

[10] Burenkov V.I., Guliev V.S. Necessary and sufficient conditions for the poundedness of the Riesz Potential in local Morrey-type spaces // April 2009. Potential Analysis 30(2009), no. 3, 211-249.

[11] Burenkov V.I., Guliyev H.V., Guliev V.S. Necessary and sufficient conditions for the boundedness of fractional maximal operators in local Morrey-type spaces // J. Comput. Appl. Math., 208 (2007), 280-301.

[12] Burenkov V.I., Guliyev H.V., Guliev V.S. Necessary and sufficient conditions for boundedness of the Riesz potential in the local Morrey-type spaces // Doklady Ross. Akad. Nauk. Matematika, 412, no. 5 (2007), 585 589 (in Russian). English transl. in A ad. S i. Dokl. Math., 76 (2007).

[13] Burenkov V. I., Guliev V. S., Tararykova T. V. Comparison of Morrey spaces and Nikol'skii spaces // Eurasian Math. J., 12 (2021), no. 1, 9-20.

[14] Burenkov V. I., Jain P., Tararykova T. V. On boundedness of the Hardy operator in Morrey-type spaces // Eurasian Math. J., 2 (2011), no. 1, 52-80.

[15] Burenkov V. I., Nursultanov E. D. Interpolation theorems for Urysohn integral operators // Eurasian Math. J. 11 (2020), no. 4, 88-94.

[16] Burenkov V. I., Senouci M. A. Boundedness of the generalized Riesz potential in local Morrey type spaces // Eurasian Math. J., 12 (2021), no. 4, 92-98.

[17] Burenkov V.I., Senouci M.A. On boundedness of the generalized Riesz potential in local Morrey-type spaces // Journal of Mathematical Sciences, 266 (2023), 765-793.

[18] Burenkov V.I., Tararykova T. V. Young's inequality for convolutions in Morrey-type spaces // Eurasian Math. J. 7 (2016), no. 2, 92-99.

[19] Burenkov V.I., Tararykova T. V. An analogue of Young's inequality for convolutions in general Morrey type spaces // Trudy MIRAN 293 (2016), 113-132 (in Russian). English transl. in Proceedings Steklov Inst. Math. 293 (2016), 107-126.

[20] Carro M.. Pick L., Soria J., Stepanov V. D. On embeddings between classical Lorentz spaces // Math. Ineq. Appl., 4 (2001), no. 3, 397-428.

[21] Carro M.. Gogatishvili A., Martin J., Pick L. Weighted inequalities involving two Hardy operators with applications to embeddings of function spaces // J. Oper. Theory, 59 (2008), no. 2, 309-332.

[22] Farsani S. M. On boundedness and compactness of Riemann-Liouville fractional operators // Siberian Mathematical Journal, 54 (2013), no. 2, 368-378.

[23] Fu Z., Trujillo J., Wu Q. Riemann-Liouville fractional calculus in Morrey spaces and applications // Comput Math Appl, 2016, http://doi.Org/10.1016/j.camwa.2016.04.013

[24] Galeano Delgado Juan, Napoles Valdes Juan, Reyes Edgardo. New integral inequalities involving generalized Riemann-Liouville fractional operators. Studia Universitatis Babes-Bolyai Matematica, 68 (2023), 481-487. 10.24193/subbmath.2023.3.02.

[25] Gogatishvili A., Stepanov V.D. Reduction theorems for weighted integral inequalities on the cone of monotone functions // Uspekhi Mat. Nauk

68 (2013), no. 4 (412), 3-68 (in Russian); English transl., Russian Math. Surveys 68 (2013), no. 4, 597-664. MR3154814

[26] Goldman M. L. Hardy type inequalities on the cone of quasimonotone functions // Research Report No: 98/31. Khabarovsk: Computer Center, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences, 1998, 1-69.

[27] Guliyev V. S. Generalized weighted Morrey spaces and higher order commutators of sublinear operators // Eurasian Math. J., 3 (2012), no. 3, 33-61.

[28] Guliyev V. S., Shukurov P. S. On the boundedness of the fractional maximal operator, Riesz potential and their commutators in generalized Morrey spaces // Advances in Harmonic Analysis and Operator Theory, Series: Operator Theory: Advances and Applications, 229 (2013), 175-194.

[29] Houas M.. Bezziou M. On some fractional integral inequalities involving generalized Riemann-Liouville fractional integral operator. Med. J. Model. Simul., 06 (2016), 059-066.

[30] Katugampola U.-N. Approach to a generalized fractional integral // Applied Mathematics and Computation. 218 (2011), no. 3, 860-865.

[31] Kilbas A. A., Srivastava H.M., Trujillo J. Theory and applications of fractional differential equations, vol. 204 of North-Holland Mathematics Studies, Elsevier Science B.V., Amsterdam, The Netherlands, 2006.

[32] Kucukaslan A. Two-type estimates for the boundedness of generalized Riesz potential operator in the generalized weighted local Morrey spaces // Article in Advanced Studies Euro-Tbilisi Mathematical Journal, december 2021.

[33] Lan K. Generalizations of Riemann-Liouville fractional integrals and applications // Mathematical Methods in the Applied Sciences, (2024), 1-38. https://doi.org/10.1002/mma.10183

[34] Lemarie-Rieusset P.-G. The role of Morrey spaces in the study of Navier-Stokes and Euler equations // Eurasian Math. J., 3 (2012), no. 3, 62-93.

[35] Liu, Liguang, Yang Dachun, Zhou Yuan. Boundedness of generalized Riesz potentials on spaces of homogeneous type // Mathematical Inequalities Applications. 13 (2010). 10.7153/mia-13-63.

[36] Metwali M. A. On some properties of Riemann-Liouville fractional operator in Orlicz spaces and applications to quadratic integral equations // Filomat 36 (2022), no. 17, 6009-6020 https://doi.org/10.2298/FIL2217009M

[37] Mohammed P. 0. New generalized Riemann—Liouville fractional integral inequalities for convex functions // Journal of Mathematical Inequalities 15 (2021), no. 2, 511-519.

[38] Morrey C. B. On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 43 (1938), 126-166.

[39] Ragusa M. A. Operators in Morrey type spaces and applications // Eurasian Math. J., 3 (2012), no. 3, 94-109.

[40] Ramadana Y. On The boundedness properties of the generalized fractional integrals on the generalized weighted Morrey spaces // Journal of Mathematics, Computations, and Statistics, 5 (2022), no. 2, 81-90.

[41] Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev 0.1. Fractional integrals and derivatives // Theory and Applications. Gordon and Breach, Amsterdam, 1993.

[42] Senouci M. A. Boundedness of Riemann-Liouville fractional integral operator in Morrey spaces // Eurasian Math. J., 12 (2021), no. 1, 82-91.

[43] Senouci M. A. Boundedness of the generalized Riemann-Liouville operator in local Morrey-type spaces // Eurasian Math. J., 2023, том 14, номер 4, 63-68.

[44] Sickel W. Smoothness spaces related to Morrey spaces — a survey. I // Eurasian Math. J., 3 (2012), no. 3, 110-149.

[45] Sickel W. Smoothness spaces related to Morrey spaces — a survey. II // Eurasian Math. J., 4 (2013), no. 1, 82-124.

[46] Syaifudin R.A, Karirn C., Marjono M.. Rahman H. The boundedness of generalized fractional integral operators on small Morrey spaces // CAUCHY Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi, 9 (2024), no. 1, 73-81.