Весовые оценки одного класса интегральных операторов дробного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Мохаммади Фарсани Соруш

• Мохаммади Фарсани Соруш
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мохаммади Фарсани Соруш

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 1.1. Линейный регулярный интегральный оператор

§ 1.2. Интегральные операторы Риманна-Лиувилля

§ 1.3. Интегральные операторы с ядрами Ойнарова

Глава 2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

§ 2.1. Ограниченность

§ 2.2. Компактность

§ 2.3. Двойственные варианты

Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

§ 3.1. Ограниченность

§ 3.2. Компактность

Глава 4. ПРОБЛЕМА НАСЫЩАЕМОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

§ 4.1. Введение

§ 4.2. Основные результаты

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовые оценки одного класса интегральных операторов дробного типа»

ВВЕДЕНИЕ

Историю дробного исчисления следует, по видимому, вести с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля. В работе Н. Абеля [27] в связи с задачей о таутохроне решено интегральное уравнение

/ = х>а>Ъ<а<1. (0.0.1)

Решение дано для произвольного а Е (0,1), хотя задача о таутохроне приводит к случаю а = В 1832—1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля [46], [47], [48], [49], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродиффе-ренцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в работе [46], 1832 г., основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям /(ж), представимым в виде ряда

оо к=О

Для них, по определению Ж. Лиувилля,

оо

Ва!{х) = ^кОакеак\ (0.0.2)

к=О

при любом (комплексном) а. Ограничительность этого определения, очевидно, связана со сходимостью ряда. Исходя из определения (0.0.2), Ж. Лиувилль получает в работе [46, с. 7] формулу дифференцирования степенной функции. Более того, в этой же работе на с. 8, Ж. Лиувилль выводит (не совсем строго с современной точки зрения) формулу

о~а1{х) = Уо ф + -СХ) < Ж < оо, а > о,

0 (0.0.3)

называемую теперь (без множителя (—1)°) лиувиллевской формой дробного интегрирования.

Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана [67], и X. Хольмгрена [38]. Работа Б. Римана, выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована только в 1876 г.— спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования

1Мх) = тщ1 (х ж>0, а>0' (ао"4)

служащей с тех пор наряду с конструкцией (0.0.3) Ж. Лнувилля одной из основных форм дробного интегрирования. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в [65] и в капитальной монографии [16], где, в частности, выражение (0.0.4) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувилля.

Для 0 < р < оо обозначим через Ь9 := 1^(М+) множество всех измеримых на М+ = [0, оо) функций таких, что

\\Пр := ^ \Ях)\Чху < оо.

При р = оо,

||/||р := еэвэир]/(ж)| = т£ {а > 0 : тез({а: е М+ : |/(ж)| > а}) = 0}

ж>0

(истинный или существенный супремум).

Первой из всего круга задач, связанных с дробным интегродиффе-ренцированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида

\(ии)(х)у(х)\Чх^ " < С 1/(^)1^ " , (0.0.5)

где 0 < р, д < оо, р > 1, и(х) и у(х)— локально суммируемые весовые функции.

Данная задача восходит к работам Г.Г. Харди и Д.Е. Литтлвуда (см. [26, теоремы 329, 383, 402]), в которых найдены критерии выполнения (0.0.5) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / н-)- у1а(и/) в пространствах Лебега.

Активное развитие выделенной области началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти [80], Д. Томаселли [81], Б. Му-кенхаупта [60], Дж. Брэдли [32], А.Л. Розина и В.Г. Мазьи [56], [57], [9], В.М. Кокилашвили [5], С.Д. Рименшнайдера [68] и других авторов был полностью изучен случай а = 1. В конце 80-х в работах В.Д. Степанова [17], [18], [19], [20], [22], были найдены критерии ограниченности и компактности операторов 1а при а > 1. Далее, в 90-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнарова [10], [И], X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера [55], С. Блума и Р. Кермана [30], [31] а также В.Д. Степанова и его учеников [50], [51], [62], [63], [7], [8], [52], [61].

Случай а. Е (0,1), за исключением одного результата К. Андерсена и Э. Сойера [29], оставался мало исследован. В 1994 г. в рамках изучения поведения й-чисел одновесового оператора / н-> у(1а/) в 1? в работе И. Ньюмена и М. Соломяка [64] был указан критерий ограниченности и компактности при а > Этот результат послужил отправной точкой для исследований в работе Д.В. Прохорова [66], где получены критерии выполнения (0.0.5) при и = 1,0 < р, д < оо,р > тах(1, и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров ряд аналогичные результаты независимо получены А. Месхи [58]. Кроме этого, во второй главе диссертации мы обобщаем эти результаты при условии монотонности одной из весовых функций для

оператора

ТІЛ*) := «(*) Г

Л {х-УГ

с локально суммируемыми весовыми функциями и(х) и у(х), при условии, что и монотонно убывает на Также даны двойственные варианты этого результата.

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий ЬР —> Ья—ограниченности и компактности интегрального оператора вида

где и(х) и у(х)—неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на М+.

Такая задача является новой, потому что ядро оператора не является ни дробным, ни класса Ойнарова, а произведением ядер этих типов.

В четвертой главе для семейств операторов Римана-Лиувилля рассматриваются проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы. Параграфы, теоремы, леммы и определения занумерованы двойным индексом; первая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа или теоремы, леммы и определения в данной главе. Нумерация формул наследует нумерацию параграфов, добавляя свой порядковый внутри параграфа номер. Так, например, теорема 1.3 означает третью теорему в первой главе, а формула (2.4.1) означает первую формулу параграфа § 2.4, то есть четвертого параграфа второй главы.

Первая глава "Интегральные операторы."

Первая глава содержит обзор известных результатов и описание некоторых особенностей интегральных операторов.

Вторая глава "Ограниченность и компактность дробных операторов Римана-Лиувилля."

Пусть Ш+ класс всех измеримых функций /: [0, оо) —» [0,+оо]. Данная глава содержит следующие основные результаты. Рассмотрен дробный оператор Римана-Лиувилля вида

с локально суммируемыми весовыми функциями и и и. В первом параграфе найдены критерии I/ —» 1/?—ограниченности оператора Та, когда 0 < р, д < оо,р > 1/а, при условии, что и монотонно убывает на М+. В первом параграфе найдены критерии —>• Ьд—ограниченности оператора Та.

Теорема 1. Пусть а; € (0,1), ^ < р < д < оо, г> е Ш+ и и £ монотонно убывает на [0,оо). Тогда неравенство

/ 6 (0.0.6)

выполнено, если и только если, Ло + А\ < оо, где

Ао := вирАо^) = эир

<>о

а

(1

и А1:= виргде

Ак := вир Ак(г) ге(2к,2к+1}

ье{2к,2к+1} Более того, С ~ Ад + А\.

вир 2к{-а~1)

Теорема 2. Пусть а е (0,1), р > 0 < д < р < оо, ± := ± - ±, г» € 9РТ+ и и £ 5РТ+ монотонно убывает на [0,оо). Тогда неравенство (0.0.6) выполнено, если и только если, Во + В\ < оо, где

Д) :=

00 1,4

vq(s)ds\ р

S(i-Qk J

( f2k+1 \k€Z

<2k

UP\t)dt

P Vq{t)dt t(l-a)q

vq{t)dt

x( up'{t)dtY ds) =:

4*:€Z

Более того, С ^ Bq + B\.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Та.

Теорема 3. Пусть a G (0,1), ¿ < р < q < оо, v G ШТ+ и и £ монотонно убывает на [0, оо). Для компактности оператора Та из LP в Lq, необходимо и достаточно, чтобы Aq + А\ < оо и

lim AqU) = lim Ao(t) = 0,

t-¥ о t-> oo

lim Ak = lim Ak = 0.

k—>—oo k-^+oo

Теорема 4. Пусть а E (0,1), p > 0 < q < p < oo, £ := ± -Рассмотрим v € 9JÍ+; и G монотонно убывает на [0, оо). Тогда оператор Та : LP —>■ Lq компактен, если и только если Bq + В\ < оо.

В последнем параграфе приведены результаты об ограниченности и компактности двойственного оператора вида

при условии, что и монотонно возрастает на := [0, оо).

Теорема 5. Пусть а Є (0,1), ^ < р < д < оо, у Є и и Є монотонно возрастает на [0,оо). Тогда неравенство

(.Г4{ГПх)(іх)Р'1 є9и+' (о'о,т)

выполнено, если и только если А^ + А\ < оо, где

и := вир^Л^, где А\ := зир

іе(2к,2к+Ч

вир 2к^ ( ( Ґ ир'^з ] .

Более того, С ~ Ад + А|.

Теорема 6. Пусть а Є (0,1), р > 0 < д < р < оо, ^ := ± - -и Є и и Є монотонно возрастает на [0,оо). Тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если + В{ < оо, где

и

( г2к+1 / /*в \г/р

:= уя(З)( уЩсИ]

\ к

х Ц2 ^ =: •

Более того, С « -Вд +

Теорема 7. Пусть а Є (0,1), ^ < р < д < оо, у Є и и Є ШТ+ монотонно возрастает на [0, оо). Длл компактности оператора Т*

из LP в Lq, необходимо и достаточно, чтобы А*0 + А\ < оо и

Теорема 8. Пусть а е (0,1), р > 0 < д < р < оо, £ := 1 — и € Ш+ и и £ монотонно возрастает на [0, оо). Тогда оператор Т* : Ц3 —>• Ьд компактен, если и только если В^ + В\ < оо.

Третья глава "Ограниченность и компактность одного интегрального оператора."

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий —> ^—ограниченности и компактности интегрального оператора вида

где и(х) и v{х)—неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на М+.

В первом параграфе найдены критерии LP —» L9—ограниченности оператора Laß.

Теорема 9. Пусть а > О, max(^, 1) < р < q < оо, ß > 1. Пусть v е ШТ+ и и £ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + ß > 2, то неравенство

lim A*0(t) = lim A*0(t) = О,

t-* оо

lim A*k = lim A*k — 0.

/ e 9Л+, (0.0.8)

выполнено, если и только если А + В < со, где

Л , as Л US I

А0(а,р) := supAo(i) = sup ' ' w w '

t>о i>0 \Jt x

i

•i \ ?

(1 -a)q

x ^ / up (y)dy Ai(a,/3) := sup Ai(t) = sup

о

f00 vq(x)dx\i

t>о i>o ЧЛ ж

(l-a)g

l

.1 / Ч \ i7

2 , / t

P

9

xU '

Л := A0{a,p) + A1(a,p),

B0(a,/3) := sup B0(t) = sup sup ([ vq(x)(x - s){a+p^qdx t>о i>o \Л ,

v ( Г^ШуУ

[J, yV-w) '

Bi(a, P) := sup-Bi(i) = sup sup ( / vq(x)dx t>0 i>0 а6[|)4] ЧЛ У

В := BQ(a,P) + B1(a,P). Более того, С « Л + В.

II) Если 1 < a + Р < 2 тео неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если А + D < оо, где

D := supDfc = sup sup Dk{t)

кеZ fceZ fe(2fc,2fc+1]

"2fc+1 \ e / rt -

= sup sup / vq{s)ds / uv\s)ds

keZ te{2fc,2fc+1] 4Ji у ЧЛ*"1

Более того, С ~ Л + .D.

р

Теорема 10. Пусть а > 0, ¡3 > 1, р > шах(^, 1),0<(/<£><оои £ := ^ — Пусть V Е 9Л+ и и Е 9Л+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + (3 > 2 то неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если А + В < оо, где

г/Я

I / / ?;ТтП 1п - -^г/.-г \

Ао(<*,0) :=

'о

х(1-а)д

( ,1 \ *ы Л 1/г

х П ир\у)йу\ ир>(г)(И

А^/3) :=

ОО / г ОО д

уд(х)с1х\г^р

Х(1 -а)д )

г/р'

1/г

X ( ^

-г*1 / е1Ь \ г/д

/ п2к \ ^ ^ 1/г

х ( I у?Шу\

г \ г/р

1к

г/р' л 1!Т

X

I /*2к+1 / /,2'г+1 Р) := / /

/г« \ 1 1/г

х П Шу) г/(*)<Й

г/?

{ 2fc+! / 2k+l J^ f jf

/ rt y/P' ї1/г

x П {t-y)^+ß-2^upl{y)dy) vq(t)dt

l/r

£ (Bj;i0(a, ß) + Bj^a, /3) + B^2(a, ß) + B^3(a, /3)) 1 Более того, С « А + В.

II) Если 1 < а + ß < 2 то неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если А + В < оо; где

( ( г2к+> \г/р

D := \У22к{а~1)Г J v4(s)yJ v<!^dt

Более того, С ~ А + Ю>.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Laiß.

Теорема 11. Пусть а > 0, ß > 1, max(^, 1) < р < q < оо. Пусть v Є ШТ+ и и Є ШТ+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + ß > 2, то оператор Laß из LP в Lq компактен, если и только если А + В < оо и

lim Ai(t) = lim AAt) = 0, i = 0,1,

t->0 t—>oo

lim BAt) = lim BAt) = 0, і = 0,1.

i->-0 t-> oo

II) Если 1 < а + ß < 2, то оператор Laß из L9 в Lq компактен, если и только если А + D < оо и

lim Ai{t) = lim AAt) =0, і = 0,1,

i-»0 i—»oо

lim Dk = lim Dk = 0.

к->—оо k—>+oo

Теорема 12. Пусть а > 0, ß > 1, p > < q < p < оо и \ Пусть v £ Ш+ и и £ ШТ+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + ß > 2, то оператор Laß : U —» Lq компактен, если и только если А + В < оо.

II) Если 1 < а + ß < 2, то оператор Ьаф : IP —Lq компактен, если и только если А + В < оо.

Четвертая глава "Проблема насыщаемости для операторов Римана-Лиу вилля."

Данная глава содержит следующие основные результаты. Пусть А > 0 и 9 := {</?д(у)}—семейство положительных функций, неубывающих по у таких, что ip\ £ Ll(I) для любого интервала I С М+ и

г 4>\{их) lim = 0,

А-юо фд(ж)

для всех X и и £ (0,1), где

Фх(х):=[ (х -у)у<рх(у)(1у, ж > 0,7 > 0, Л > 0. J о

Рассмотрим оператор Римана-Лиувилля вида

1 Г

АvJ{x) := -—7-т / {х - уУМу)1Шу> А > 0, 7 > 0, ж > 0, ^aW JО

Глава посвящена доказательству сходимости

lim Alßxf(x) = f(x),

а—>00

почти всюду (п.в.) и аналогичной проблеме сходимости по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

Теорема 13. Предположим, что {(р\(y)}£$s. Пусть /—локально интегрируемая функция на М+. Тогда в любой точке Лебега х £ R+ функции f имеем

Hm -i- Г(х - уУ<рх(у) \f(y) - f(x)\dy = 0. а-юо ФА (я) Jо

Пример 1. Пусть /—измеримая функция наМ+. Пусть существует Ло > 0 такое, что yx°f(y) Е Ll{I) для каждого ограниченного подин-тервала I С R+. Если х Е R+ является точкой Лебега функции /, тогда

lim Тлf(x) = /(ж),

А—юо

ГДе

Таf(x) = ^ Г(х - y)Vf(y)dy, ®\{х) J о

и еА(х) = J'*(x - y)7yxdy.

Замечание 1. При j — Л имеем

ФА(ж) := [ {х- y)xip\(y)dy. Jo

Пусть х > О, Л > 0 и положим ф\(х) := хх. Тогда Ф\(х) = с\х2Х+1 где

Из формулы Стирлинга для приближённого вычисления факториала и гамма функции следует что

п\ « V'2-кп J , п Е N, п —>■ +оо,

Г(А +1) и >/2тгА0^ ,

Г(2А + 2) « x/242ATT)^ е Таким образом, когда Л -» оо получим

и

2Л + 1\2Л+1

1 / Л \2А 1 са « — i -

VAV2A + 1/ \/Л4а Замечание 2. Пусть 0 < ö < |. Тогда

fX — 6

1 f 1 J := liminf——- / (ж - y)Vdy > ö-a->oo Фд(а;) Jо 2

Определение 1. Пусть 0 < оо(х)—измеримая функция. Для 0 < р < оо обозначим 1%(Е) множество всех измеримых функций на Е С таких, что

\aw-={JJu(x)\f(x)\Y>dx) <00.

Теорема 14. Если f Є Ц.7,0 < р < оо, 7 > 0, то

lim ||f(ix)-f(x)\\^=0.

Теорема 15. Пусть а > 0 и {<£>а(ї/)} Є Предположим, что существует Ф\(и) такое, что для всех и є (0,1) неравенство

ФлМ - Ai

выполнено для всех х Є (0, а). Такэюе предположим, что

limsup ЦФлІкчод) = С < оо,

Л—>оо

и для всех а>0и0<в<1

lim ||u-e*A(iO|Ui(0fio = 0.

Л—>00

Тогда для f Є Lpxl{0, а), 1 < р < оо, 7 > О, 1

lim

л—>оо

Фд (ж) Л

= 0.

Пример 2. Как и в примере 1, для / Е 1^7(0,а), 1 < р < 00,7 > 0 имеем

Иш ||(Тд - /)/||^(о,а) = 0.

Теорема 16. Пусть {</?д(у)}ЕЭ. Пусть существует Фл(и), такая, что монотонно возрастает и для всех 0,1),

ж7+1у?д(иж)

Фа(х)

< Фа И,

для всех жб(0,а); и

Нш ФдЫ = 0.

Тогда для любой равномерно непрерывной функции / на (0,а); 0<а<оо,

Всюду в работе произведения вида 0 • оо полагаются равными нулю. Соотношения А <С В означает А < сВ с константой с, зависящей только от р, д, а, (3 и могут быть различны в разных местах. Если А <С В и А В, то мы пишем А « В. Z обозначает множество всех целых чисел, ~ характеристическую функцию множества Е.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН профессору В. Д. Степанову за постановку задач, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности.

имеем

(*Х

/ (Х-УУч>хшШУ-№ =о

Уо

■х

Иш эир , /

А->оо0<ж<а Фа (ж) Уо

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мохаммади Фарсани Соруш, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Банах С. Курс функционального анализу. // Киев. 1948.

2. Батуев Э. Н., Степанов В. Д. Весовые неравенства типа Харди. // Препринт. ВЦ ДВНЦ АН СССР. 1987. 22с.

3. Батуев Э. Н., Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Харди. // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 1. С. 13-22.

4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. // Наука, М.: 1984.

5. Кокилашвили В.М. О неравенствах Харди в весовых пространствах. // Сообщ. АН ГССР. 1979. Т. 96. № 1. С. 37-40.

6. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. // М.: Наука. 1966.

7. Ломакина E.H., Степанов В.Д. Об операторах типа Харди в банаховых функциональных пространствах на полуоси. // Доклады АН. 1998. Т. 359. № 1. С. 21-23.

8. Ломакина E.H., Степанов В.Д. Об асиптотическом поведении аппроксимативных чисел и оценках норм Шаттена-фон Неймана для интегрального оператора Харди. // Доклады АН. 1999. Т. 367. № 5. С. 594-596.

9. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. // Л.: ЛГУ 1985.

10. Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов. // Доклады АН СССР. 1992. Т. 44. С. 291-293.

11. Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. МИАН. 1993. Т. 204. С. 240-250.

12. Ойнаров Р. Ограниченность и компактность интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в весовых пространствах Лебега. // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52. № 6. С. 13131328.

13. Прохоров Д.В. Об операторах Римана-Лиувилля с переменными пределами. // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. №- 1. С. 156-175.

14. Прохоров Д.В., Степанов В. Д. Весовые оценки операторов Ри-мана- Лиувилля и приложения.// Труды МИАН. 2003. Т. 248. С. 289-312.

15. Раутиан H.A. Об ограниченности одного класса интегральных операторов дробного типа.// Матем. сб. 2009. Т. 200. № 12. С. 81-106.

16. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. // Минск: Наука и техника. 1987.

17. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля

I. // Препринт. ВЦ ДВО АН СССР. Владивосток. 1988.

18. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля

II. // Препринт. ВЦ ДВО АН СССР. Владивосток. 1988.

19. Степанов В.Д. Весовые неравенства типа Харди для производных высших порядков и их приложения. // Доклады АН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С. 1059-1062.

20. Степанов В.Д. О весовых неравенствах типа Харди для производных высших порядков. // Труды МИАН. СССР. 1989. Т. 187. № 5. С. 178-190.

21. Степанов В Д. Об ограниченности и компактности одного класса интегральных операторов. // ДАН СССР. 1990. Т. 302. № 3. С. 544-545.

22. Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувил-ля. // Известия АН, сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. С. 645-656.

23. Степанов В.Д., Ушакова Е.П. Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования. // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 298-317.

24. Степанов В.Д., Ушакова Е.П. Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования. // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. С. 264-288.

25. Треногин В.А. Функциональный анализ. // М.: Физматлит. 2007.

26. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. // ИЛ. М.: 1948

27. Abel N. Н. Solution de quelques problemes a Г aide d'integrales definites. // Oeuvres Completes.Grondahl, Christiania, Norway, 1881. V. 1. P. 16-18.

28. Ando T. On compactness of integral operators. // Nederl. Akad. Wetensh. Proc. ser. A-65. № 2 - Indag. Math. 1962. V. 24. №2.

29. Andersen K.F., Sawyer E.T. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators. // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 308. № 2. P. 547-558.

30. Bloom S., Keiman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 113. P. 135-141.

31. Bloom S., Kerman R. Weighted integral inequalities for operators of Hardy type. // Preprint.

32. Bradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms. // Canad. Math. Bull. 1978. V. 21. № 4. P. 405-408.

33. Booton B., Sagher Y. Asymptotic behavior of Hardy operators. // J. Math. Ineq. 2011. V. 5. № 3. P. 383-400.

34. Chen T., Sinnamon G. Generalized Hardy operators and normalizing measures . //J. Ineq. Appl. 2002. V. 7. P. 829-866.

35. Edmunds D. E., Stepanov V. D. On the singular numbers of certain Volterra integral operators. // J. Funct. Anal. 1995. V. 134. P. 222246.

36. Gogatishvili A., Lang J. The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces. // J. Ineq. Appl. 1999. V. 4. P. 1-16.

37. Gurka P. Generalized Hardy's inequality. // Cas. Pest. Mat. 1984. V. 109. P. 194-203.

38. Holmgren H. Om differentialkalkylen med indices af havd na.tur som heist. // Kongliga Svenska Ventenkaps-Akademiens Handlingar. 1866. V. 5. № 11. P. 1-83.

39. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals

I. // Math. Zeit. 1928. V. 27. P. 565-606.

40. Heinig H. Weighted norm inequalities for certain integral operators

II. // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. V. 95. P. 387-395.

41. Heinig H.P., Sinnamon G. Mapping properties of integral averaging operators. // Studia Math. 1998. V. 129. P. 157-177.

42. Kokilashvili V., Meskhi A. Criteria for the boundedness and compactness of operators with power-logarithmic kernels. // Anal. Math. 2001. V. 27. P. 173-185.

43. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type. // River Edge: Word Sei. Publ. Co. Inc., 2003.

44. Kufner A., Triebel H. Generalizations of Hardy's inequality.//Conf. Sem. Mat. Univ. Bari. 1978. № 156. P. 1-21.

45. Lai Q. Weighted modular inequalities for Hardy type operators. // Proc. London Math. Soc. (3) 1999. V. 79. № 3. P. 649-672.

46. Liouville J. Memoire sur quelques Questions de Geometrie et de Mecanique, et sur un nouveau genre de Calcul pour résoudre ces Questions. // J. Ecole Polytech., 1832. T. 13. Sec. 21. P. 1-69.

47. Liouville J. Memoire sur le Calcul des different idles a indices quelconques. // J. Ecole Polytech., 1832. T. 13. Sec. 21. P. 71-162.

48. Liouville J. Memoire sur le changement de la variable indépendante dans le calcul des différentielles a indices quelconques. // J. Ecole Polytech, 1835. T. 15. Sec. 24. P. 17-54.

49. Liouville J. Memoire sur l'intégration des equations différentielles a indices fractionnaires. // J. Ecole Polytech, 1837. V. 15. № 55. P. 58-84.

50. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On the compactness and approximation numbers of Hardy-type operators in Lorenz spaces. // J. London Math. Soc. 1996. V. 53. P. 369-382.

51. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces. // Publ. Mat. 1998. V. 42. P. 165-194.

52. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On asymptotic behavior of the approximation numbers and estimates of Schatten-von Neumann norms of the Hardy-type integral operators. // Function spaces and application. Narosa Publishing House. New Dehli. 2000. P. 153-187.

53. Lomakina E.N. The boundedness and compactness of generalized Hardy operator with variable limits of integration. //Preprint. CC FEB RAS. Khabarovsk. 2000. № 46.

54. Lorente M. A characterization of two weight norm inequalities for one-sided operators of fractional type. // Canad. J. Math. 1997. V. 49. № 5. P. 1010-1033.

55. Martin-Reyes J.F., Sawyer E.T. Weighted inequalities for Riemann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. P. 727-733.

56. Maz'ya W. Einbettungssätze für Sobolewsche Räume. Teil 1. // Teubner-Texte zur Mathematik, Leipzig. 1979.

57. Maz'ya W. Einbettungssätze für Sobolewsche Räume. Teil 2. // Teubner-Texte zur Mathematik, Leipzig. 1980.

58. Meskhi A. Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators . // Georgian Math. J. 1998. V. 5. P. 564-574.

59. Meskhi A. Criteria for the boundedness and compactness of integral transforms with positive kernels. // Proc. Edinburgh Math. Soc. 2001. V. 44. P. 267-284.

60. Muekenhoupt B. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31-38.

61. Nasyrova M.G. Overdetermined weighted Hardy inequalities on semi-axis. // Proceedings of the International Conference on Function Spaces and Applications to the Partial Differential Equations. Narosa Publishing Hous. New Dehli. 2000. P. 201-231.

62. Nasyrova M.G., Stepanov V.D. On weighted Hardy inequalities on semiaxis for functions vanishing at the endpoints. // J. of Inequal. and Appl. Th. 1997. V. 1. P. 223-238.

63. Nasyrova M.G., Stepanov V.D. On maximal overdetermined Hardy's inequality of second order on a finite interval. // Math. Bohemica. 1999. V. 124. № 2-3. P. 293-302.

64. Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis. // Integr. Equat. Operl. Th. 1994. V. 20. P. 335-349.

65. Oldhan K.B., Spanier J. The fractional calculus. // Academic Press. New York and London. 1974.

66. Prokhorov D. V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators. // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. P. 617-628.

67. Riemann B. Versuch einer Auffassung der Integration und Differentiation. // Gesammelte Werke. Leipzig: Teubner, 1876. P. 331-344.

68. Riemenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators. // Tohoku Math. J. 1974. V. 26. P. 385-387.

69. Roy den H.L. Real analysis. // Macmillan. 2nd ed. Co. London. 1988.

70. Rudin W. Real and complex analysis. // Mc Graw-Hill Book. 2nd ed. Co. New York. 1974.

71. Sinnamon G. Weighted Hardy and Opial-type inequalities. //J. Math. Anal. Appl. 1991. V. 160. № 2. P. 434-445.

72. Sinnamon G., Stepanov V.D. The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p = 1. // J. London Math. Soc. (2) 1996. V. 54. № 1. P. 89-101.

73. Solomyak M. Estimates for the approximation numbers of the weighted Riemann-Liouville operator in the spaces Lp // Operator Theory. Advances and Applications. 2000. V. 113. P. 371-383.

74. Stepanov V.D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators. //J. London Math. Soc. 1994. V. 50. № 2. P. 105-120.

75. Stepanov V.D. Weighted norm inequalities for integral operators and related topics. // Nonlinear analysis, function spaces and applications. Prague. 1994. V. 5. P. 139-175.

76. Stepanov V.D. On the lower bounds for Schatten-von Neuman of certain Volterra integral operators. //J. London. Math. Soc. 2000. V. 61. P. 905-922.

77. Stepanov V.D., UshakovaE.P. Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications. // Math. Ineq. Appl. 2010. V. 13. № 3. P. 449-510.

78. Stepanov V.D., Ushakova E.P. Hardy operator with variable limits on monotone functions. //J. Funct. Spaces Appl. 2003. V. 1. № 1. P. 1-15.

79. Stepanov V.D., Ushakova E.P. On boundedness of a certain class of Hardy-Steklov type operators in Lebesgue spaces. // Banach J. Math. Anal. 2010. V. 4. P. 28-52.

80. Talenti G. Osservasioni sopra una classe di disuguaglianze. // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1969. V. 39. P. 171-185.

81. Tomaselli G.A. A class of inequalities. // Boll. Un. Mat. Ital. (4) 1969. V. 2. P. 622-631.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

82. Farsani S.M. On saturation problems for Riemann-Liouville operators. // Bull. PFUR. Ser. Math. Inf. Sci. phys. 2011. № 4. P. 16-22.

83. Фарсани C.M. Об ограниченности и компактности дробных операторов Римана-Лиувилля. // Сибирский матем. журнал. 2013. Т. 54. № 2. С. 468-479.

84. Farsani S.M. On the boundedness and compactness of a certain integral operator. // Banach J. Math. Anal. 2013. V. 7. № 2. P. 86102.

85. Farsani S.M. On the asymptotic behavior of certain operator. // The 8th congress of the international society for analysis, its applications, and computation. Moscow. 2011. P. 203.

86. Farsani S.M. Weighted estimates for a certain integral operator. // The 4th international conference function spaces, differential operators, general topology and problems of mathematical education. Moscow. 2013. P. 45.