Вариационный метод в магнитоэлектродинамике хорошо проводящих сплошных сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Самедова Зарифа Алышан кызы

• Самедова Зарифа Алышан кызы
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Самедова Зарифа Алышан кызы

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1 Использование вариационных методов для решения физических задач

1.2 Эффект Мейснера и двухжидкостная модель Гортера-Казимира

1.3 Развитие теории Лондонов

1.4 Результаты анализа литературы

Глава 2. Применение вариационного принципа Гиббса к задачам магнитоэлектростатики

2.1 Вычисление вариации энергии электростатического поля

2.2 Общие условия равновесия для хорошо проводящих сред

2.3 Энергия магнитного поля и ее вариация

2.4 Необходимые и достаточные условия равновесия для двухсвязной структуры

Глава 3. Вариационные методы решения задач

электромагнетизма

3.1 Основные положения теории электромагнетизма

3.2 Граничные условия в электродинамиках Максвелла и Лондонов

3.3 Принцип минимума энергии поверхностных токов в сверхпроводнике

3.4 Применение двухкомпонентной теории Ланжевена Гортера-Казимира к поверхностным токам сверхпроводящего шара

Глава 4. Приближение модели поверхностных токов при решении задач электромагнитостатики хорошо проводящих тел

4.1 Приближение модели поверхностных токов в случае бесконечно плоскопараллельной пластины

4.2 Приближение модели поверхностных токов в случае цилиндра во

внешнем магнитном поле

4.3 Распределение тока в цилиндрическом проводнике с вставкой из сверхпроводника

4.4 Минимум магнитной энергии сверхпроводящего шара

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационный метод в магнитоэлектродинамике хорошо проводящих сплошных сред»

Введение

Теоретическое изучение и математическая формулировка закономерностей физических явлений, происходящих в сплошных средах, а также прогнозирование изменения их физических свойств в зависимости от внешних условий постоянно находятся в поле зрения научных работников и является предметом исследования теоретической физики. При формулировке списка особо важных и интересных проблем в разделе «макрофизика» непременно указывается важность исследования направлений

«сверхпроводимость» и «физика поверхности». Именно, с этими двумя явлениями связаны основа настоящей работы, а также соответствующие публикации.

Согласно сложившейся терминологии, идеально проводящие проводники определяются как структуры с бесконечно малым сопротивлением, в которых поддерживается постоянный ток и которые подчиняются законам классического электромагнетизма.

При этом у сверхпроводников также подразумевается наличие слабого сопротивления, но они при этом подчиняются законам квантовой механики. В настоящей работе структура и природа среды не являются главенствующими.

Поэтому основными объектами предлагаемых к рассмотрению для исследования явились хорошо проводящие (в том числе-сверхпроводящие) сплошные среды, как правило, в твердом состоянии, и описание физических законов, сопровождающих протеканию постоянных токов в них. Основным фактором, влияющим на результат работы и необходимым условием при этом, является постоянство тока. Заметим, что в случае идеальных проводников требуемое необходимое условие может быть реализовано с помощью регулируемого источника постоянного тока.

Отметим еще одно важное обстоятельство, которое также явилось стимулом при постановке рассматриваемых задач. При рассмотрении актуальных физических задач неизменно в их число включают изучение свойств поверхностей твердых тел и жидкостей. И это не случайно.

При всей своей распространенности и общепринятости, понятие поверхности остается открытым даже в своем определении. И что характерно, -хотя понятие поверхности достаточно строго определяется в геометрии и топологии, то с точки зрения физической такой ясности нет.

Обычное рассмотрение явлений на поверхности в электромагнитодинамке происходит с привлечением искусственно введенных понятий поверхностного заряда и поверхностных токов. Вся физическая несуразность этих величин становится ясной, когда при этом приходится иметь дело с очень большими градиентами физических величин на непонятно какой малой толщине слоя. В любом случае есть минимальная ограничение ее размеров хотя бы порядка размеров носителей зарядов, а если учитывать и межмолекулярное взаимодействие (как в пленках) то и гораздо больше. Однако приближение поверхностной плотности заряда и поверхностной плотности тока довольно давно вошли в описание соответствующих процессов в связи с широким применением их в технической электротехнике. Кроме того эти понятия помогают получить представление о некоторых аспектах электромагнетизма на начальном этапе изучения физики. Дальнейшее развитие рассматриваемого вопроса выглядит следующим образом. Видимо, было бы логичным под поверхностью в электродинамике сплошного проводящего твердого тела понимать поверхностный слой конечной (пусть и малой величины), вдоль которой плавно меняются электрические и магнитные величины. Такой подход кажется достаточно обоснованным хотя бы потому, что классическая теория Лондонов, посвященная описанию сверхпроводимости, оперирует таким понятием как глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводящую структуру.

В связи с наличием в теории характерной толщины (лондоновской глубины проникновения магнитного поля) в работе особое уделяется обсуждению понятия границы раздела cред и, соответственно, - граничным условиям.

Результаты, полученные в диссертационной работе, подтверждают, что корректное совместное решение уравнений Лондонов (внутри сверхпроводящей структуры) и Максвелла (снаружи нее) при поиске уравнений, описывающих граничные условия в электродинамках Максвелла и Лондонов, поверхностные токи необходимо рассматривать как объемные, протекающие в тонком слое конечной толщины. Глубина такого слоя совпадает с порядком лондоновской глубины проникновения магнитного поля. На основе результатов решения задачи о сверхпроводящем шаре, находящемся в потоке электронов, представлены идеи точного эксперимента, проверяющего результаты эксперимента Мейснера-Оксенфельда и углового распределения фотоэлектронов на сверхпроводнике, а также установлено что при внешнем воздействии, в виде потока электронов, внутри сверхпроводящего шара появляется отличная от нуля составляющая тока, которую можно трактовать как обычную составляющую (кроме куперовских пар) идеи двухкомпонентной жидкости Гортера-Казимира (Ланжевена) применительно к сверхпроводникам. Помимо этого, в диссертационной работе исследовалась термодинамическая гипотеза Гиббса, использованный при этом магнитный принцип виртуальных работ позволил определить общие условия теплового, механического и электрического равновесия. В рамках диссертационного исследования было получено распределение токов в классической постановке задач о плоскопараллельной пластине и цилиндрическом проводнике со вставкой из сверхпроводника, при этом, особое внимание уделялось вопросу возможности измерения объемной плотности тока в толще твердого тела путём прямого эксперимента.

Целью работы является теоретический анализ и разработка методов исследования свойств хорошо проводящей (в частности, сверхпроводящей) сплошной среды под влиянием внешних воздействий (электрических и магнитных полей, потоков электронов).

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе рассматривалось решение следующих задач:

1. Разработка нового метода вычисления вариации энергии электростатического и магнитостатического полей и исследование с их помощью общих условий равновесия при применении вариационного принципа Гиббса и метода множителей Лагранжа.

2. Проведение теоретического анализа базовых законов электродинамики жидкости сверхпроводящих электронов (уравнения Лондонов и модель Гортера -Казимира) используя понятия флуксоида и сверхпотенциала.

3. Разработка уточненной методики граничных условий в электродинамиках Максвелла и Лондонов.

4. Сравнение разработанного метода, примененного к поверхностным и объемным токам хорошо проводящих сред, с двухкомпонентной теорией электронов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Доказано, что для нахождения термомагнитного равновесия двухсвязной среды необходимо введение дополнительных условий постоянства: или тока через поперечное сечение, или потока магнитной индукции, проходящего через исследуемый объект.

2. Установлено, что внутри сверхпроводящего шара, при натекании на него потока электронов, образуется отличный от нуля ток.

3. Установлено, что основным условием выталкивания токов на поверхность является их постоянство, причем свойства исследуемой среды не влияют на полученный результат.

Теоретическая значимость результатов диссертационного исследования заключается в том, что выводы, следующие из полученных результатов, конкретизируют представления о процессах происходящих внутри сплошных, хорошо проводящих структур при внешних воздействиях (электрические и магнитные поля и внешние потоки электронов).

Практическая значимость работы: результаты диссертационной работы могут быть использованы для моделирования явлений, возникающих в сплошных средах, находящихся под внешним воздействием электромагнитных

полей. Установленные закономерности, полученные в ходе решения задач магнитоэлектродинамики, могут быть использованы в учебных целях.

Методология и методы исследования. При исследовании использовались вариационный метод Гиббса, метод множителей Лагранжа и техника вычислений вариационного исчисления. Положения, выносимые на защиту:

1. Модель поверхностных токов сверхпроводника (хорошо проводящей среды), которые можно описывать как объемные токи, распределенные в некотором тонком слое конечной толщины, ассоциируемый в случае сверхпроводимости с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

2. Внутри сверхпроводящего шара, помещенного в поток электронов, возникает постоянная составляющая тока.

3. Схема двух возможных экспериментальных методов для точного описания распределения токов в сверхпроводящих средах, основанных на фотоэффекте сверхпроводников и измерении сопротивления исследуемых образцов.

4. Детальный анализ граничных условий магнитостатики для описания векторов магнитных индукции и напряженности в хорошо проводящих и сверхпроводящих средах.

Степень достоверности результатов исследований обеспечивается использованием хорошо апробированных методов классической электродинамики, вариационного исчисления и математической физики, а также соответствием полученных результатов с известными результатами в предельных случаях, исследование которых проводилось раннее другими авторами.

Апробация работы. Материалы работы докладывались на следующих конференциях:

1. VIII Всероссийская научно-техническая конференции «Необратимые процессы в природе и технике». 2015 г.

2. IX Всероссийская научно-техническая конференции «Необратимые процессы в природе и технике». 2017 г.

3. Выступление на «International Scientific Conference Physical Interpretations of Relativity Theory». 2017г.

4. X Всероссийская научно-техническая конференции «Необратимые процессы в природе и технике». 2019 г.

5. XXVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов». 2019г.

6. XI Всероссийская научно-техническая конференции «Необратимые процессы в природе и технике». 2021 г.

а также на научных семинарах кафедры физики МГТУ им. Баумана, кафедры теоретической физики МГОУ, кафедры наноэлектроники МИРЭА.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 6 научных работах, из которых 5 в журналах, индексируемых базой данных Scopus и 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК РФ по специальности «Теоретическая физика». По теме диссертации опубликованы 5 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ, не включающих специальность «Теоретическая физика», а также 2 работы в сборнике трудов конференций Journal of Physics: Conference Series.

Личный вклад автора состоит в разработке и поиске оптимальных методов решения поставленных в диссертационной работе задач, а также в написании статей по итогам исследования. Основные результаты диссертационного исследования получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 103 наименований. Диссертация изложена на 152 страницах, содержит 19 рисунков.

Глава 1. Литературный обзор

В данной главе приведен литературный обзор работ, посвященных исследованию основных задач магнитоэлектродинамики. Описаны особенности поведения хорошо проводящих и сверхпроводящих сред и практические проблемы разработки вариационных методов для решения задач сплошных сред с высокой проводимостью. Рассмотрено историческое развитие поставленной проблемы, определены основные направления, теоретические подходы и методы исследования диссертационной работы.

1.1 Использование вариационных методов для решения физических

задач

Анализ литературных источников, посвященных проблеме внедрения вариационных принципов для расчёта задач магнитоэлектростатики привел к формулировке цели настоящего диссертационного исследования и подтвердил актуальность разработанных в работе методов. В научной и учебной литературе под основной проблемой магнетизма и электричества проводящих сред принято считать задачу об отыскании функции распределения электронов и как следствие определения величины плотности тока возникающего при этом. В реальных электрических и магнитных системах задачу моделирования и измерения электромагнитных полей для расчёта необходимых параметров невозможно решить без использования методов теоретической физики.

Расчёт основных характеристик электромагнитных полей для систем, включающих в себя диэлектрики, сверхпроводники и проводники представляет практическую значимость для таких областей науки как радиоэлектроника, электротехника, электрофизика и даже биомедицина. Развитие данных

областей науки требует не только высокой точности используемых расчётных методов, но и учитывает их доступность для широкого круга специалистов. Помимо этого, необходимо учитывать экономичность выбранного для расчёта подхода. Предложенные в работе методы базируются на хорошо известных идеях теорий Максвелла, Лондонов, Гиббса и многих других.

Данная диссертационная работа объединяет теоретические

закономерности физических явлений с вариационными принципами, которые сыграли одну из важнейших ролей при развитии и становлении различных областей науки. Преимущество вариационных методов заключается в том, что они позволяют получить наиболее полное описание процессов, протекающих в сложных физических системах. Использование вариационного подхода даёт возможность получения приближенного решения задачи вне зависимости от выбора системы координат, как это было показано в ходе решения ряда задач, предложенных в работе. В настоящее время в связи с активным развитием быстродействия вычислительных машин, вариационные методы могут использоваться для расчёта сложных электродинамических задач. Все эти преимущества стали предпосылкой к использованию вариационных методов при решении задач магнитоэлектростатики.

Описание физической системы с помощью вариационных методов базируется на основах вариационного исчисления. Основными понятиями данного математического раздела являются метрика, функция, вариация и функционал. Методы вариационного исчисления сводятся к тому, что интеграл, характеризующий физический процесс, принимает либо минимальное либо максимальное значение при определенном значении функции, входящей в подынтегральное выражение, то есть при использовании данных методов решение поставленной задачи представляется возможным лишь при отыскании функции, которая реализует стационарные значения некоторого функционала.

Поэтому такой подход подтверждает удобство использования вариационных принципов для поиска приближенного значения какого-либо характерного параметра исследуемой системы [1] .

Современная прикладная электродинамика, как было показано в настоящей работе, приводит к существенным трудностям математического, а точнее, вычислительного характера, причем, причиной одной из подобных трудностей выступает геометрическая сложность соответствующих задач для уравнений Максвелла. Исходя из анализа литературных источников [2-3] очень немногие простые задачи электромагнитостатики имеют решения, представимые в замкнутой форме, именно эта проблема решалась в рамках настоящего диссертационного исследования с рассмотрением хорошо проводящих сплошных сред. Отличие хорошо проводящих сред от сверхпроводящих в рамках предлагаемой работы непринципиально, ввиду того что вне зависимости от свойств структуры рассматриваемого объекта, условие постоянства токов оказывается достаточным для того, чтобы эти токи в той или иной среде текли по поверхности, а магнитное поле выталкивалось из толщи образца, то есть хорошо проводящие и сверхпроводящие среды являются по наблюдаемым поведением неразличимыми. Именно поэтому предлагается считать под идеальным (хорошо проводящим или сверхпроводящим) проводником не идеализированную структуру с близким к нулю сопротивлением, а проводник с текущим в нём постоянным током.

Необходимо отметить, что впервые термин «идеального проводника» или хорошо проводящей среды был употреблен в 2011 году в работе [4] коллективом исследователей. В данной работе рассматриваются токи и магнитное поле внутри идеальных проводников или хорошо проводящих сред. Теорема Томпсона утверждает, что плотность электрического заряда неподвижных проводников при статическом равновесии распределяется по их поверхности таким образом, что электрическое поле внутри такого проводника становится равным нулю, а составляющая электрического поля снаружи проводника оказывается направленной по нормали к поверхности рассматриваемой среды. Когда У. Томсон вывел свою теорему для электрического поля в 1848 году [5], её аналог для магнитного поля не вызывал никакого интереса, поскольку проводники с нулевым удельным

сопротивлением к тому времени еще не были открыты. Однако с момента открытия сверхпроводимости в 1911 году ситуация кардинально изменилась. Как показал анализ литературных источников [6-7], аналог теоремы Томсона для магнитного поля в научных трудах отсутствует. Теорема Томсона для магнитного поля справедлива как для сверхпроводящих так и хорошо проводящих сред, так как является следствием классического электромагнетизма, когда нулевое сопротивление просто предполагается.

В работе доказывается теорема о минимуме магнитной энергии в системе идеальных проводников, она аналогична теореме Томсона о равновесном электрическом поле и распределении заряда в системе проводников. Теорема доказывается с помощью вариационного принципа. Решение подобной задачи демонстрирует, что минимум магнитной энергии достигается при ситуации распределения токов по поверхности хорошо проводящей среды, при этом внутри такого проводника поле равно нулю, то есть идеальные проводники являются идеальными диамагнетиками. Благодаря использованию теоремы Томсона в диссертационном исследовании удается решить задачу о нахождении вариации электрического и магнитного поля с последующим распространением данного метода на проблему поиска теплового, механического и электрического равновесия для твердых и жидких тел.

Одним из главных результатов настоящей работы является получение закономерностей, описывающих влияние электромагнитного поля на хорошо проводящие (или сверхпроводящие) образцы путём применения классических методов. Научная новизна данного результата не вызывает сомнений, так как до сегодняшнего дня было принято считать, что сверхпроводящие структуры описываются квантовой теорией, обращение к которой принципиально отсутствует в рамках данного исследования. Достоверность же полученных результатов подтверждается совпадением полученных данных с известными уравнениями, выведенными с применением других методов.

1.2 Эффект Мейснера и двухжидкостная модель Гортера-Казимира

Ряд задач, связанных с выдавливанием магнитного поля из толщи хорошо проводящих сред, базируется на эффекте Мейснера [8]. В базовой публикации Мейснера и Оксенфельда 1933 г. о новом к тому времени явлении, содержатся сведения, которые стали предпосылкой к созданию третьей главы настоящей диссертационной работы. Согласно данной статье, рассматривался цилиндрический сверхпроводник (изготовленный из свинца или олова) с температурой выше его точки перехода, помещенный в перпендикулярное к его оси однородное магнитное поле. При заданных условиях силовые линии, как показал опыт, почти беспрепятственно проходят сквозь олово или свинец в связи с достаточно низкой восприимчивостью данных образцов. Из проведенных Мейснером и Оксенфельдом описания экчспериментов следовало два противоречия: с одной стороны, при понижении температуры ниже критической наблюдалось изменение распределения силовых линий вокруг сверхпроводящего объекта, такое распределение становится близким к тому, что можно было бы ожидать в случае нулевой магнитной проницаемости сверхпроводника, однако с другой стороны, при достижении температуры ниже критической точки, внутри длинной свинцовой трубки, магнитное поле остается постоянным, несмотря на изменения внешней среды, описанные ранее. Описание опытов в статье сводилось к следующему: было проведено два различных эксперимента, в одном из которых рассматривались два параллельных цилиндрических сверхпроводника около 140 мм в длину и 3 мм в толщину, которые находились на расстоянии 1,5 мм друг от друга. Между данными сверхпроводниками параллельно их осям помещалась катушка (длиной 10 мм), которая соединялась с баллистическим гальванометром. При постановке второго опыта использовалась цилиндрическая свинцовая трубка длинной 130 мм, наружный диаметр трубки составлял 3 мм, а внутренний - 2 мм. Катушка, соединенная с гальванометром, снова располагалась параллельно

осям трубок, при этом также сохранялась возможность её вращения. При понижении температуры до значения ниже критического, магнитный поток, проходящий через катушку снижался на 5%. Напряженность была такой же как и в первом опыте. Из-за того, что катушка занимала практически все пространство между свинцовыми трубками, вопрос однородности поля оставался открытым, однако, несмотря на это, внешнее поле свинцовой трубки было таким, как если бы она имела магнитную проницаемость равную нулю.

Изменение силовых линий вокруг объекта соответствовало вновь нулевой магнитной проницаемости сверхпроводника. Исходя из описанного в статье Мейснера эксперимента, следует, что все измерения происходили снаружи проводника, а не внутри, ввиду этого в работе полагается, что технически невозможно измерить объемную плотность тока в толще сплошного твердого тела, используя методы прямого эксперимента. Это предположение подтверждается несколькими фактами. Во-первых, ситуация осложнена тем, что экспериментальная проверка полученных результатов о поверхностном характере электростатики проводников и магнитостатики постоянных токов представляет некоторые сложности. Например, если измерять магнитное поле вне тела, а затем, определять распределение токов по обратной задаче Био-Савара-Лапласса, как это было показано в работе [8], то полученный результат не всегда может быть корректен. Данный факт связан с тем, что при одном и том же значении определенного интеграла подынтегральная функция может принимать совершенно разный вид. И, хотя обратные задачи постоянно находятся в поле зрения математиков [9], аналитического решения (а также условия единственности) для определения характера источников по значению поля не существует. Дело в том, что задачи подобного типа относятся к так называемым некорректным задачам и даже в достаточно солидных источниках [10] этот вопрос, как правило, остается вне поля зрения исследователей. Видимо, это принципиально, как и определение наличия зарядов и объемных постоянных токов внутри твердого тела. Как известно, в лучшем случае исследуются характеристики поля, зарегистрированные в дальней зоне - по

сути, определяются асимптотические приближения, что очевидно далеко от точного решения [11].

Вероятно, что причиной игнорирования вариационных принципов электростатики послужило то обстоятельство, что их реализация при решении конкретных задач требует, как это видно из примеров данных Рэлеем [12] и приведенных Максвеллом [13], развития соответствующего, зачастую довольно сложного математического аппарата. Таким образом, справедливо предположить, что развивать вариационные методы электростатики физикам мешали математические трудности, а математикам - недостаточно ясное понимание физической стороны проблемы.

Анализируя результаты, полученные в ряде работ, необходимо вернуться к формулировке физического смысла вектора индукции и напряженности магнитного поля. Какую из этих физических величин следует считать истинным магнитным полем намагниченного образца? Ответы на данный вопрос можно найти в современной физической литературе. Например, согласно гипотезе Ампера [14], намагниченность образца есть не что иное, как проявление имеющихся внутримолекулярных и внутриатомных электрических токов, поэтому справедливо считать, что магнитный момент единицы объёма вещества, в конечном счете, связан с магнетизмом токов. Именно поэтому вектор индукции характеризует истинное магнитное поле, оно имеет реальный физический смысл, в то время как магнитное поле внутри образца, выражаемое через вектор напряженности, физического смысла не имеет, а является лишь формальным математическим полем. Однако необходимо учесть тот факт, что атомная физика доказывает существование не только магнетизма внутримолекулярных и внутриатомных электрических токов, а также и магнетизма, связанного со спиновыми магнитными дипольными моментами электронов и атомных ядер. В связи со всем вышеизложенным, решение вопроса связанного с тем, каким вектором следует описывать истинное магнитное поле внутри намагничивающегося образца, сводится к детальному изучению конкретной ситуации микроскопической атомно-молекулярной

физической природы вектора намагничивания и отказу от феноменологического подхода.

После выхода в свет статьи Мейснера и Оксенфельда [15] об открытии эффекта, связанным с выдавливанием магнитного поля из толщи сверхпроводника, К. Гортер [16] внес некоторые замечания в свои ранее опубликованные исследования. Так, относительно эффекта Мейснера в журнале Nature 1933 года, К. Гортер отметил: «...несколько недель назад Мейснер и Оксенфельд опубликовали серию очень интересных наблюдений об установлении сверхпроводимости в постоянном внешнем поле. Их результаты, кажется, указывают на то, что в сверхпроводнике магнитное поле всегда равно нулю. Это последнее утверждение открывает новый взгляд на ранее полученные результаты. Похоже, что условие равенства нулю магнитного поля, вытекающее из термодинамических соображений, не вызывает потери общности, поскольку сверхпроводящее состояние с ненулевым магнитным полем существовать не может». Еще один замечательный факт, по мнению, К. Гортера, заключается в том, что в эксперименте Мейснера внутри полой свинцовой трубки не выполняется условие равенства нулю магнитного поля, что может быть связано с результатом ранее опубликованных работ. Кажется весьма вероятным, что части трубки не являлись сверхпроводящими, что позволило пройти линиям индукции магнитного поля вглубь исследуемого образца. Данные предположения Гортера сыграли очень важную роль в формировании феноменологической теории сверхпроводников и соответствующей ей двухжидкостной модели Гортера-Казимира [17].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Самедова Зарифа Алышан кызы, 2022 год

Список литературы

1. Шляхтич, Е. Н. Комплексный анализ н вариационные принципы в электростатике / Е. Н. Шляхтич //Физика в системе современного образования (ФССО-07): материалы Девятой Международной конференции г. Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. - Санкт-Петербург. -2007. -С. 170.

2. Казанцев, В. П. Шляхтич, Е. Н. Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики / Е. Н. Шляхтич , В. П. Казанцев// Вестник Красноярского гос . ун-та . -2006. - №9. - С. 16-20.

3. Aliev, I. N. Samedova, Z. A. About magnetism (review) / I. N. Aliev, Z. A. Samedova// Journal of Physics: Conference Series. -2017. -№ 0120. -pp.1-6.

4. Fiolhais, M. C. N. Essen, H. Providencia, C. Nordmark, A. B. Magnetic field and current are zero inside ideal conductors/ M. C. N. Fiolhais, H. Essen, C. Providencia , A. B. Nordmark //Progress in Electromagnetics Research B. -2011. - Vol. 27. - рр. 187-212.

5. Thomson, W. On an Absolute Thermometric Scale founded on Carnot's Theory of the Motive Power of Heat, and calculated from Regnault's observations / W. Thomson//Math. and Phys. Papers.-1848. -Vol. 1. - Рр. 100-106.

6. Thomson, W. Popular Lectures and Addresses, Vol. I / W. Thomson// London: MacMillan. -1891. - Р. 80.

7. Gooding, D. Faraday, Thomson, and the concept of the magnetic field / D. Gooding// British Journal for the History of Science. - 1980.-№13. - Рр.91-120.

8. Meissner, W. Ochsenfeld, R. Ein neurer effekt bei eintritt der Supraleitfähigkeit / W. Meissner, R. Ochsenfeld // Naturwissenschaften. - 1933. - V. 21. -

№ 44. - P. 787-788.

9. Обратные и некорректные задачи математической физики: тезисы докладов. -Международная конференция. - Новосибирск : Сиб. научн. изд-во, 2012. -480 с.

10. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач/ А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин//М.:Наука. - 1979. - 284 с.

11. Дмитриев, В. И. Обратные задачи электродинамики /В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров, А.С. Ильинский, А. Г. Свешников//Некорректные задачи естествознания. - 1987. -303 с.

12. J.Strutt.//Phil.Trans.V.CLXLp.77.1870(1871). Sclent. Раздел «О теории резонанса» из Рэлей Д.В. Теория звука. Т.2. ГИТТЛ.М. 1953.Т.2.504с.

13. Максвелл, Д. К. Трактат об электричестве и магнетизме/ Д. К. Максвелл. -Т.1. -Наука,1989. -416 с.

14. Ампер, А. М. Электродинамика/ А. М. Ампер. -Изд. АН СССР, 1954. -420 с.

15.Hirsch, J. E. Происхождение эффекта Мейснера в новых и старых сверхпроводниках / J. E. Hirsch //Physica Scripta. -2012. -№ 85 (3).-Р. 035704.2012.

16.Gorter, C. J. Theory of Supraconductivity / C. J. Gorter // Nature. -1933. -V.132. -p. 931.

17. Левин, А. Без всякого сопротивления/А. Левин//Популярная механика. -2011. -№8. -с. 47.

18.Gorter, C. J. Casimir H. On supracondactivity/ C. J. Gorter, H. Casimir// Physica. -1934. -Vol.1. -pp. 306-320.

19. Квасников, В. З. Сверхпроводимость и сверхтекучесть/ В. З. Квасников. М.:Просвещение, 1968. -152 с.

20.Josephson, B. D. Possible new effects in superconductive tunnelling/ B. D. Josephson // Physics Letters. -1962. -Vol. 1, iss. 7. -P. 251—253.

21.Cooper, Leon N. Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas / Leon N. Cooper // Physical Review : journal. -1956. -Vol. 104, no. 4. -P. 1189—1190.

22.Гинзбург, В. Л. Сверхпроводимость/В. Л. Гинзбург, Е. А. Андрюшин. М.: Альфа-М, 2006. -380 с.

23.London, F. The electromagnetic equations of the supracondactor/F. London // Proc. Roy. Soc. -1935. - Vol.149. - pp.71-88.

24.London, F. The General Theory of Molecular Forces/F. London // Transactions of the Faraday Society. -1937. -Vol. 33. -pp. 8-26.

25.McLennan, J.C. A discussion on supraconductivity and other low temperature phenomena/ J. C. McLennan, J. D. Cockcroft, D. Shoenberg, // Proc.Roy.Soc. -1935.- Vol.152. -pp.1-46.

26.London, F. Macroscopical interpretation of supracondactivity/F. London // Proc.Roy.Soc. -1935. -Vol.152. -p. 24-34 .

27.De Launay, J., Electrodynamics of a superconducting torus/ J. De Launay // Technical Report NRL-3441, Naval Research Lab, Washington DC,1949. -180 p.

28.Bondarev, B.V. New Theory of Superconductivity. Magnetic Field in Superconductor. Effect of Meissner and Ochsenfeld/ B.V. Bondarev //Open Access Library Journal. -2016. -№ 3. Article ID:1102418

29.Li,Y.Vortex-lattice pinning and critical current density in anisotropic high-temperature superconductors/ Y. Li, X. Li, G. Kang //Superconductor Science and Technology. -2016. -T. 29. - № 10. - C. 104009.

30.Cheng, P. Effects of critical current density on mechanical properties of cylindrical superconductors/ P. Cheng// Wuli Xuebao. -2019. -T. 68. - № 18.

- C. 187402.

31.Edwards, F. W. Classical Derivation of the London Equations/ F. W. Edward//Physical Review Letters. -1981. -Vol.47. -№ 26. -P.1863-1866 .

32.Taylor, J. B. A classical derivation of the Meissner effect/ J. B. Taylor //Nature. - 1982. - Vol.299. - 681-682p.

33.Hirsch, J. E. On the dynamics of the Meissner effect/ J. E. Hirsch //Phys Scr. -2016. -№ 91. -15p.

34.Sorbi, M., Marinozzi, V. Magnetization heat in superconductors and in eddy current problems: a classical thermodynamic approachie/ M. Sorbi, V. Marinozzi//Transactions on Applied Superconductivity. -2016. - T. 26. - № 6.

- C. 4901509.

35.Pinotti, E. Puppin. E. A variational method for calculating the magnetic flux propagation in long thin ferromagnetic samples/E. Pinotti. E. Puppin//Journal of Applied Physics. -2011.-109(7). -D01:10.1063/1.3561486

36.Казанцев , В. П. Шляхтич, Е. Н. Характеристические мультиполи однородных изотропных диэлектрических тел в плоских задачах электростатики /В. П. Казанцев , Е. Н. Шляхтич //Известия высших учебных заведений. Физика. -2015. -Т.58. - №7-2. - C.126-131.

37.Казанцев, В.П. Шляхтич, Е. Н. Примеры решения задач о проводящем эллипсе во внешних электрических полях/В. П. Казанцев , Е. Н. Шляхтич //Журнал Сибирского федерального университета. Серия: Математика и физика. -2011. - №4. - C.85-101.

38. Лунева, Л.А.О физическом содержании принципа наименьшего действия гамильтона в классической электродинамике /Макаров А. М. Макаров К. А. //Необратимые процессы в природе и технике. Труды Десятой Всероссийской конференции. В 3-х частях. - 2019. - С. 187-191.

39.Bondarev, B.V. Method of Eguilibrium Density Matrix/ B.V. Bondarev//Anisotropy and Superconductivity. - 2016. - Vol. 175. - P. 157178.

40.Алиев, И. Н. Оптико-механическая аналогия гравитационного поля/ Алиев И. Н. Фомин И. В. Самедова З. А.//Вестник Московского государственного областного университета. Серия: физика-математика. -2017. -№ 4. -С. 55 - 61.

41. Полак, Л. С. Вариационные принципы механики/ Л. С. Полак //Сб. статей классиков науки. Физматлит. -1959. - 930 с.

42.Гиббс, Дж. Термодинамические работы: Пер. с англ. / Дж. Гиббс. -Москва: Гостехиздат, 1950. - 492 с.

43. Алиев, И. Н. Применение метода множителей Лагранжа к вычислению магнитного поля постоянного тока/ И. Н. Алиев, И. С. Копылов// Динамика сложных систем. -2015. -№ 4.- С. 3-10.

44.Еркович, О.С. Расчет магнитных свойств однослойных углеродных нанотрубок в рамках метода функционалов плотности/О. С. Еркович, Ивлиев П. А. // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки. -2016. -№ 4(67). doi 10.186.98/1812-3368-2016-4-56-64.

45.Yurchenko, S. O. Interpolation method for pair correlations in classical crystals/S. O. Yurchenko, N. P. Kryuchkov , A.V. Ivlev // Journal of Physics. Condensed Matter. -2016. - №28. -P. 235401.7. doi 1088/09538984/28/23/235401.

46. Казанцев, В. П. Пример, демонстрирующий возможности и особенности вариационного подхода к задачам электростатики/В. П. Казанцев// Успехи физических наук. -2002. -Т. 172. -№ 3. -С. 357-362. doi:10.3367/UFNr.0172.200203g.0357.

47.Максвелл, Д. К. Трактат об электричестве и магнетизме/Д. К. Максвелл. М.: Наука. 1989, - 416 с.

48. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред/ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука. 1982, -620 с.

49.Зоммерфельд, А. Электродинамика /А. Зоммерфельд. М.: Изд-во иностранной литературы. 1958, - 501 с.

50.Алиев, И. Н. Об электродинамической модели Лондонов и теории Гортера-Казимира/ И. Н. Алиев, И. С. Копылов// Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. -2017. -№ 2. - С. 64. doi10.7868/S0207352816120040.

51.Казанцев, В. П. Вариационные принципы, электрические характеристические мультиполи и высшие поляризуемости в теории поля/Казанцев В. П. //Теоретическая и математическая физика. -Т.119. -№3. -С.441 -454.doi: http: //dx. doi. org/10.4213/tmf7 51

52. Алиев, И. Н. Использование формализма монополей Дирака в некоторых задачах магнетизма/ И. Н. Алиев, И. С. Копылов//Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки. -2015. -№6. -С.25-39.

53.Алиев, И.Н. О магнетизме и поверхностных токах сверхпроводящего шара/ И. Н. Алиев,Меликянц//Электромагнитные волны. -2016. -№9. -С.7-13

54. Алиев, И. Н. О намагничивании сверхпроводящего шара/И. Н. Алиев, Д. Г. Меликянц// Вестник МГТУ. Серия «Естественные науки». -2016. -№3(66). -С.82-92.

55.Алиев, И. Н. Минимум магнитной энергии сверхпроводящего шара/И. Н. Алиев, З. А. Самедова// Электромагнитные волны и электронные системы. - 2017. -Т.22-№5. -С.47-54.

56. Алиев, И. Н. Распределение тока в сверхпроводящем участке цилиндрического провода/И. Н. Алиев, З. А. Самедова// Вестник Московского областного государственного университета. Серия физика-математика. -2016. -№1. С.88-97.

57. Алиев, И. Н. О граничных условиях в электродинамиках Максвелла и Лондонов/И. Н. Алиев, З. А. Самедова//Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. -2017. -№11.- С. 99-105. DOI: 10.7868/S0207352817110130

58.Алиев, И. Н Принцип минимума энергии поверхностных сверхпроводящих токов/И. Н. Алиев, З. А. Самедова// Электромагнитные волны и электронные системы.-2017.-Т.22.-№1. -С.30-36.

59.Алиев, И. Н. О теоремах Пойнтинга и Абрагама в электродинамике сверхпроводников Лондонов/И. Н. Алиев, Д. Г. Меликянц// Вестник Московского областного государственного университета. Серия физика-математика. -2015. -№4. С.83-91.

60. Алиев, И. Н. О потенциалах в электродинамике Лондонов/И. Н. Алиев, Д. Г. Меликянц// Вестник МГТУ. Серия «Естественные науки». -2016. -№2(65). -С.42-51.

61.Aliev, I. N. Surface Current Approximation in Certain Problems of the Classical Theory of Superconductivity/I. N. Aliev, Z. A. Samedova//Russian Physics Journal. -2018. -61(44). DOI: 10.1007/s11182-018-1458-7.

62. Алиев, И. Н. Термодинамика системы невзаимодействующих свободных электронов/И. Н. Алиев, З. А. Самедова, М. Ю. Докукин// Вестник Московского областного государственного университета. Серия физика-математика. -2016. -№3. -С.57-71

63.Алиев, И. Н. Применение двойного квантования в диамагнетизме Ландау/И. Н. Алиев, З. А. Самедова, М. Ю. Докукин//Вестник МГТУ. Серия «Естественные науки». -2016. -№4(67). -С.14-27.

64.Максимов, Е. Г. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости/ Е. Г. Максимов//Современное состояние. УФН. -2000. -Т.170. -№10. -С.1033-1061

65.Ginzburg, V. L. On surface superconductivity/ V. L. Ginzburg// Phys. Lett. -1964. -Vol. 13. Р.101-104.

66. Кравченко, В. Ф. Электродинамика сверхпроводящих структур. Теория. Алгоритмы и методы вычислений/ В. Ф. Кравченко. М.:Физматлит,2006. -С. 280 .

67.Peierls, R. E. Quantum theory of solids / R. E. Peierls. Oxford:Clarendon press,1955. -Р. 240.

68.Кубо, Р .Термодинамика /Р. Кубо. М.:Мир. 1970. -С.304.

69.Тинкхам, М. Введение в сверхпроводимость/М. Тинкхам.Атомиздат.М.: 1980. -С. 310.

70.Шмидт, В. В. Введение в физику сверхпроводников/ В. В. Шмидт. М.:МЦНМО,2000. -С. 402.

71. Алиев, И. Н. Межфазное термодинамическое равновесие магнетиков/И. Н. Алиев, З. А. Самедова, М. Ю. Докукин // Динамика сложных систем -XXI век. - 2016. -Т. 10. -№ 4. -С. 3-9.

72. Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука,1967. -С. 459.

73.Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/Э. Камке М.:Наука, 1965. -С. 703.

74.Gorter, C. J. Casimir, H. On Supraconductivity / C. J. Gorter, H. Casimir //Physica. -1934. -Vol.1. -P.306-320.

75.Fiolhais, M. C. N. Magnetic field expulsion in perfect conductors.The Magnetic equivalent of Thomson's theorem/M. C. N. Fiolhais, H. Essen// Progress in electromagnetic research symposium proceedings. Stockholm (Sweden). -12-15 August 2013. -P. 1193.

76.Hirsh, J. E. The origin of the Meissner effect in new and old superconductors/J. E. Hirsh //arXiv: 1201.0139.PhysicaSripta,85,035704(2013).

77.Langevin, P. Rapp et Disc. du 1er Conseil Solvay/P. Langevin. Brussels:1911. -P.311.

78. Тихонов, А. Н. Математические задачи компьютерной томографии/ А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, А. А.Тимонов. М.: Наука, 1987. - С.160.

79.Andersen, P.W. Hard Superconductivity: Theory of the Motion of Abrikosov Flux Lines / P.W. Andersen, Y. B. Kim //Rev.Mod.Phys. -1964. -№36. -Р. 39.

80.Bean, C. P. Surface Barrier in Type-II Superconductors/ J. D. Livingston, C. P. Bean// Phys.Rev.Lett. -1964. -№12. -Р.14.

81.Lynton, E. A. Type II Superconductors/ E. A. Lynton, W. L. McLean//Advanced Electronics and Electron Phys.-1967. -№23. -Р.1.

82.Кордюк, А. А. ARPES-эксперимент в фермиологии квазидвумерных металлов (Обзор) / А. А. Кордюк //Физика низких температур. -2014. -Т.40. -№4. -С.375-388.

83.Damascelli, А. Angle-resolved photoemission studies of the cuprate superconductors/ А. Damascelli, Z. Hussain//Rev.Mod.Phys. -2003. -№75. -С. 473.

84.Hufner. Photoelectron Spectroscopy: Principles and Applications / Hufner. Third Edition. -Berlin-Heidelberg: Springer, 2003. -Р. 662.

85.Ципенюк, Ю. М. Физические основы сверхпроводимости/Ю. М. Ципенюк. -М.:Изд-во МФТИ,1996. -С. 93.

86.Градштейн, И. С. Таблицы интегралов/И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. -М.: ГИФМЛ, 1963. -1099 с.

87.Янке, Е. Специальные функции/Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш.-М.: Наука,1964.-470с.

88.Cohen, M. L. Structural properties of nanoclusters/ M. L. Cohen//Rev.Mod.Phys. -1964. -№36. -240 р.

89.Hulm, J. K. Physics effects/ J. K. Hulm, M. Ashkin, D. W. Deis, C. K. Jones//Progr. Low Temp. Physics. ed.C.J.Gorter. -1970. -Vol.6. 42 p.

90.Glukhova, O. E. The effect of the occurrence of a magnetic field of a current loop in hybrid grapheme/ O. E. Glukhov, V. V. Mitrofanov, M. M.Slepchenkov //Письма о материалах. -2020. -Т. 10. -№ 4 (40). - 491-495 c.

91. Подоляк, Е. Р. О захвате магнитного потока поверхностной сверхпроводимостью/ Е. Р. Подоляк //Журнал экспериментальной и теоретической физики. -2018. -Т. 153. - № 3. - 466-474c.

92.Савенко, В. С. Исследование электронного парамагнитного резонанса в слабых магнитных полях/ В. С. Савенко, С. В. Петрушенко, Н. В. Степанеев //Вопросы науки и образования. -2018. -№ 3 (15). -С. 8-10.

93.Романко, В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления: учебное пособие / Романко В.К. 4-е издание. - Москва: Лаборатория знаний, 2015. - 347 с.

94.Романко, В.К. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению: задачник / Романко В.К. и др. 5-е издание. -Москва: Лаборатория знаний, 2015. - 222 с.

95.Толпегин, О. А. Математическое программирование. Вариационное исчисление: учебное пособие для вузов / О.А. Толпегин. - 2-е изд., испр. и доп. Москва: Издательство Юрайт, 2020. - 233 с.

96. Тракимус, Ю.В. Основы вариационного исчисления в примерах и задачах [Электронный ресурс]: учебное пособие / Ю.В. Тракимус. -

Электрон.текстовые данные.- Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2011. - 72 с.

97.Трухан, А.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения и методы их решения. Ряды. Элементы вариационного исчисления: учебное пособие /А.А. Трухан, Т.В. Огородникова. - Санкт-Петербург: Лань, 2020. - 268 с.

98. Хеннер, В.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, основы специальных функций и интегральных уравнений [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В.К. Хеннер, Т.С. Белозерова, М.В. Хеннер. - Электрон. дан. - С.-Петербург: Лань, 2017. -320 с.

99. Шехтер, Р.С. Вариационный метод в инженерных расчетах / Р.С.Шехтер. - М.: Изд-во «Мир», 1971. - 292 с.

100. Алиев, И.Н. Применение двухкомпонентной теории Ланжевена Гортера-Казимира к поверхностным токам сверхпроводников/ И. Н. Алиев, З. А. Самедова //Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования . -2019. -№12. - С.104-112.

101. Аникин, А.Е. Экспериментальные и теоретические истоки классической теории электромагнетизма / А.Е. Аникин //Вестник Коломенского государственного педагогического института. - 2008. -№ 1 (5). -С. 43-54.

102.Киселев, А.С. Об эффектах скаляризма в пятимерной геометрической теории гравитации и электромагнетизма / А.С. Киселев, В.Г. Кречет// Известия высших учебных заведений. Физика. - 2010. - Т. 53. - № 7. - С. 89-90.

103. Тихонов, А.И. Разработка метода численного моделирования магнитного поля на основе классических положений электромагнетизма/ А.И Тихонов, А.С. Шмелев, Е.Г. Розин //Вестник Ивановского государственного энергетического университета. - 2014. - № 4. - С. 4548.