Математическое моделирование мезоскопических сверхпроводящих электромагнитных подвесов с использованием конечно-элементного анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Батаронова, Маргарита Игоревна

• Батаронова, Маргарита Игоревна
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Батаронова, Маргарита Игоревна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОДВЕСОВ

1.1. Устойчивость диамагнитного и динамического магнитного

подвесов

1.2. Основные типы сверхпроводящих электромагнитных Подвесов

1.3. Методы расчёта и компьютерного моделирования сверхпрово-

дящих подвесов

1.4. Основные физико-математические модели магнитостатики то-

конесущих сверхпроводящих систем

1.5. Компьютерные системы конечно-элементного анализа

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ СИСТЕМЫ МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ ТОКОНЕСУЩИХ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ МНОГОСВЯЗНЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Формулировка математической модели распределения плотности тока в сверхпроводящих телах

2.2. Дискретизация интегральных уравнений, описывающих распределение плотности токов в сверхпроводящих телах

2.3. Исследование дискретной модели в случае конечной глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник

2.4. Исследование дискретной модели в случае идеального диамагнетизма

ГЛАВА 3. УЧЁТ ПОСТОЯНСТВА ПОТЕНЦИАЛА И ПОТОКА ЕГО ГРАДИЕНТА НА ВНУТРЕННИХ ГРАНИЦАХ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

КОМПЛЕКСОМ ПРОГРАММ FEMPDESOLVER 2.2

3.1. Вариационная формулировка условия постоянства потенциала и потока его градиента на внутренних границах области решения краевой задачи

3.2. Конечно-элементная схема учёта постоянства потенциала и по-

тока его градиента на внутренней границе области решения

3.3. Особенности учета условия постоянства потенциала на внутрен-

них границах трёхмерных областей

3.4. Тестирование комплекса программ FEMPDESolver 2.2

ГЛАВА 4. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ ТИПОВ МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОДВЕСОВ

4.1. Левитация мезоскопической сверхпроводящей сферы в неодно-

родном магнитном поле сверхпроводящего кольца с током

4.2. Трехмерный конечно-элементный анализ энергии взаимодействия

двух токонесущих сверхпроводящих колец

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование мезоскопических сверхпроводящих электромагнитных подвесов с использованием конечно-элементного анализа»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Для расчета электромеханических характеристик мезоскопических сверхпроводящих электромагнитных подвесов (МСЭМП), на основе которых могут быть созданы сверхвысокочувствительные миниатюрные криогенные гравиинерциальные измерители, требуется знать распределение магнитных полей и токов в их конструктивных элементах, размеры которых сравнимы с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Для этого необходимо найти численное решение связанной системы уравнений Лондонов и стационарных уравнений Максвелла в трёхмерных областях сложной формы с заданными граничными условиями. Для этой цели наилучшим образом подходит метод конечных элементов (МЕСЭ) как наиболее универсальный метод с минимальными ограничениями. МКЭ успешно применяется при решении задач в различных областях науки и техники. На его основе разработаны универсальные компьютерные системы инженерного анализа технических объектов, такие, как ANSYS, NISA, Cosmos/M, Maxwell, Elcut и др. Однако математические модели, используемые в этих системах, не включают уравнения электродинамики мезоскопических сверхпроводников, в силу чего их использование для моделирования МСЭМП невозможно. Требуется разработка дополнительных модулей к ним, либо применение специализированных систем конечно-элементного анализа. Для этих целей перспективно использовать наиболее мощную адаптируемую систему конечно-элементного мультифизического анализа COMSOL Multiphysics, а также разрабатываемый в Воронежском государственном техническом университете на кафедре высшей математики и физико-математического моделирования комплекс программ FEMPDESolver, предназначенный для численного решения скалярных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) второго порядка методом конечных элементов с дополнительными условиями, учитывающими специфику электродинамики макроскопических сверхпроводников. С его помощью можно

решать двух- и трехмерные задачи моделирования электрических и магнитных полей в многосвязных областях сложной формы в присутствии сверхпроводящих токонесущих элементов и рассчитывать электромеханические характеристики СЭМП. Для компьютерного моделирования МСЭМП требуется дальнейшее его развитие и расширение физико-математических моделей лежащих в его основе.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР: Б5/07 «Моделирование топохимических и магнитомеханических процессов в многосвязных системах» (2007-2008 гг., № госрегистрации 01200707633), Б14/09 «Физико-математическое моделирование и исследование перспективных материалов, конструкций на основе титановых сплавов для авиационной и космической техники» (2009-2010 гг., № госрегистрации 01200952212), проводимых по заданию Федерального агентства по образованию в рамках тематического плана «Фундаментальные исследования», а также ГБ 2007.14 «Компьютерное моделирование криогенных магнитогравиинер-циальных устройств», ГБ 2010.14 «Физико-математическое моделирование криогенных магнитогравиинерциальных устройств», и соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - «Наукоемкие технологии в машиностроении, авиастроении и ракетно-космической технике».

Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег позволяющая численно решать двухмерное уравнение Лондонов и учитывать условие постоянства потенциала на внутренних границах многосвязных двухмерных и трёхмерных областей, а также построение и исследование математических моделей основных типов МСЭМП и вычислительный эксперимент над ними.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: 1. Рассмотреть основные типы СЭМП, методы их математического моделирования и возможности существующих универсальных систем мульти-

физического конечно-элементного анализа. Адаптировать комплекс программ РЕМРОЕ8оЬ/ег для решения двухмерного уравнения Лондонов.

2. В рамках метода интегральных уравнений построить дискретную модель распределения плотности токов в системе многих токонесущих сверхпроводящих тел и провести ее исследование на сходимость и обусловленность.

3. На основе вариационного подхода построить конечно-элементную модель учёта постоянства потенциала и заданных значений потоков его градиента на внутренних границах многосвязной области его определения, провести её алгоритмизацию и программную реализацию.

4. Провести конечно-элементный анализ подвеса мезоскопической сверхпроводящей сферы в неоднородном магнитном поле сверхпроводящего кольца с током и левитации сверхпроводящего кольца в магнитом поле другого кольца.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения электродинамики сверхпроводников, методы математической физики, метод конечных элементов, вычислительные методы линейной алгебры, методы структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п. 3 «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий» и п. 4 «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- дискретная математическая модель распределения плотности токов в системе токонесущих сверхпроводящих тел, построенная в рамках метода интегральных уравнений и учитывающая лондоновское проникновение магнитного поля в сверхпроводник;

- метод регуляризации дискретной модели распределения плотности токов в системе сверхпроводящих тел, отличающийся сохранением хорошей обусловленности модели при увеличении числа тел;

- дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условие постоянства потенциала и заданные потоки градиента потенциала на внутренних границах области его определения, отличающаяся эффективным алгоритмом ансамблирования конечных элементов.

- модифицированный комплекс программ ЕЕМРВЕ8о1уег 2.2, позволяющий численно решать ДУЧП эллиптического типа в многосвязных двухмерных и трёхмерных областях с заданными потоками градиентов потенциала и условием постоянства потенциала на внутренних границах, а также уравнение Лондонов в двухмерных областях;

- результаты вычислительных экспериментов, показавшие устойчивость подвеса мезоскопического сверхпроводящего кольца с постоянным магнитным потоком над (под) закреплённым мезоскопическим сверхпроводящим кольцом с постоянным магнитным потоком того же направления но другой величины;

Практическая значимость работы заключается в развитии системы компьютерного моделирования МСЭМП, учитывающей специфику электродинамики сверхпроводников и позволяющей проводить эффективное компьютерное моделирование их реальных конструкций. Данный пакет программ может найти применение при решении других задач технической сверхпроводимости.

Реализация и внедрение результатов работы. Процессор комплекса программ РЕ1УПЮЕ8о1уег 2.2 зарегистрирован в ФГУП ВНТИЦ и внедрен в учебный процесс подготовки студентов специальностей «Техника и физика низких температур» и «Техническая физика» Воронежского государственного

технического университета по дисциплине «Математические методы моделирования физических процессов».

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на И, IV-VIII Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2005, 2007-2011); на V Международном семинаре «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2007); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2011); IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011); научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2005-2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 научных работах, в том числе 6 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в автореферате, лично соискателю принадлежит: в [5,9,14,16] - модификация физико-математического, алгоритмического и программного обеспечения процессора комплекса программ FEMPDESolver; в [6] - аппроксимационные схемы и обобщение на трёхмерный случай; в [1-4,8,11-13] - проведение вычислительных экспериментов, участие в обсуждении результатов; в [15] - построение дискретных моделей и их численное исследование; [7,10,14]-анализ специализированных конечно-элементных программ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 185 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 153 страницах и содержит 42 рисунка и 25 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Батаронова, Маргарита Игоревна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В рамках метода интегральных уравнений сформулирована математическая модель распределения плотности токов в системе многих токонесущих сверхпроводящих лондоновских и мейснеровских тел, включающая унифицированную по всем телам систему уравнений из интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода с логарифмической сингулярностью ядра. По методу выделения особенности осуществлена дискретизация модели и исследованы ее свойства. Показано ограничение модели для лондоновских сверхпроводников по требуемым вычислительным ресурсам. Предложен метод исследования модели на основе ее обусловленности по числу тел, с помощью которого разработан метод регуляризации, заключающийся в ограничении числа точек дискретизации экрана или пробного тела и обеспечивающий медленный корневой рост числа обусловленности при увеличении числа тел системы.

2. Получена дискретная конечно-элементная модель учёта условия постоянства неизвестной функции и потока её градиента на внутренних границах многосвязных двухмерных и трёхмерных областей при численном решении краевой задачи для уравнений эллиптического типа методом конечных элементов.

3. Осуществлена модификация комплекса программ РЕМРБЕ8о1уег расширившая его функциональные возможности и позволившая с его помощью численно решать краевые задачи магнитостатики сверхпроводников (в том числе и для уравнения Лондонов) не только в формулировке скалярного магнитного потенциала, но и в формулировке векторного магнитного потенциала в плоском и осесимметричном случаях. Проведено его тестирование на устойчивость вычислительной процедуры, сходимость и точность путём численного эксперимента на модельных задачах, имеющих точное аналитическое решение.

4. Сформулированы краевые задачи и проведён конечно-элементный анализ трёхмерных и осесимметричных магнитных полей в мезоскопических сверхпроводящих левитационных системах: закреплённое сверхпроводящее кольцо с током и левитирующий над ним шар, закреплённое кольцо с заданным магнитным потоком и левитирующее над ним другое кольцо с заданным магнитным потоком. Рассчитаны силовые характеристики и путём вычислительного эксперимента обоснована устойчивость подвеса сверхпроводящего кольца с постоянным магнитным потоком над (под) закреплённым сверхпроводящим кольцом с постоянным магнитным потоком того же направления но другой величины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Батаронова, Маргарита Игоревна, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Батаронов Л.И. Моделирование осесимметричной системы сверхпроводящих многосвязных тел методом интегральных уравнений / Л.И. Батаронов, Т.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2006. - Ч. 1. - С. 3-34.

2. Батаронов Л.И. Моделирование экранированной системы сверхпроводящих тел вращения методом интегральных уравнений / Л.И. Батаронов, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2006. - Ч. 1. - С. 57-77.

3. Батаронова М.И. Компьютерное моделирование левитации мезоско-пической сверхпроводящей сферы в неоднородном магнитном поле / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 4. - С. 52-53.

4. Батаронова М.И. Решение уравнения Лондонов с помощью пакета FEMPDESolver / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: материалы V междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2007.-С. 165-168.

5. Батаронова М.И. Компьютерное моделирование левитации мезоско-пической сверхпроводящей сферы в неоднородном магнитном поле / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы V междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2008 . -Ч. 2.-С. 220-223.

6. Батаронова М.И. Трехмерный конечно-элементный анализ энергии взаимодействия двух токонесущих колец / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы V междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2008. - Ч. 2. - С. 224-229.

7. Батаронова М.И. Конечно-элементный анализ сверхпроводящих электромагнитных подвесов // М.И. Батаронова, Г.Е. Шунин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2011. - С. 41-42.

8. Батаронова М.И. Структура системы компьютерного моделирования сверхпроводящих электромагнитных подвесов / М.И. Батаронова, Г.Е. Шунин // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: материалы IV Междунар. науч. конф. - Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2011. - С. 6-8.

9. Батаронова М.И. Численный анализ интегральных уравнений описывающих распределение плотности токов в мезоскопических сверхпроводящих подвесах / М.И. Батаронова Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы VIII междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2012. - Ч. 3. - С. 24-50.

10. Белозеров В.Н. Метод изображений в магнитостатике при сферической сверхпроводящей границе / В.Н. Белозеров, M.J1. Левин // ЖТФ. - 1966. -Т. 36. -№ 1.-С. 3-6.

11. Белозеров В.Н. Удержание сверхпроводящего шара системой круговых токов / В.Н. Белозеров // ЖТФ. - 1966. - Т. 36. - № 5.

12. Бухгольд Т. Сверхпроводящие гироскопы / Т. Бухгольд // Проблемы гироскопии; под ред. Г. Циплера. - М.: Мир, 1967. - С. 119-128.

13. Ван Дузер Т. Физические основы сверхпроводниковых устройств и цепей / Т. Ван Дузер, Ч.У. Тернер. - М.: Радио и связь, 1984. - 344 с.

14. Веряскин A.B. Гравиметр / A.B. Веряскин // Авторское свидетельство СССР. 1981. № 881643. Кл. G01V7/02. Опубликовано 15.11.81. Бюллетень № 42.

15. Веселитский И.В. Интегральное представление индуктивности системы сверхпроводящий шар - токовые катушки / И.В. Веселитский, Ю.М. Урман // ЖТФ. - 1979. - Т. 49. - № 8. - С. 1585-1587.

16. Вышков Ю.Д. Магнитные опоры в автоматике / Ю.Д. Вышков, В.И. Иванов. - М.: Энергия, 1978. - 160 с.

17. Гильберт В. О магните, магнитных телах и о большом магните Земле / В. Гильберт. - М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 411 с.

18. Жернаков O.A. Перспективы создания спутникового тензорного гравитационного градиентометра / O.A. Жернаков, Л.П. Старосельцев, М.И. Евстигнеев // Гироскопия и навигация. - 1996. - № 3. - С. 126.

19. Жернаков O.A. Современное состояние и перспективы развития зарубежной гравиизмерительной техники / O.A. Жернаков, Д.А. Егоров // Гироскопия и навигация. - 1998. - № 1(20). - С. 35-47.

20. Журавлев В.Ф. К анализу силовых характеристик подвеса криогенного гироскопа / В.Ф. Журавлев, В.М. Руденко // Механика твердого тела. -1983.-№ 1.-С. 9-15.

21. Журавлёв Ю.Н. Активные магнитные подшипники. Теория, расчёт, применение / Ю.Н. Журавлёв. - СПб.: Политехника, 2003. - 206 с.

22. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975.-541 с.

23. Зенкевич О. Метод конечных элементов и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

24. Иваса И. Высокоскоростной общественный транспорт на магнитной подушке / И. Иваса // Сверхпроводящие машины и устройства; под ред. С. Фонера, Б. Шварца. - М.: Мир, 1977. - С. 370-421.

25. Калиткин H.H. Численные методы / H.H. Калиткин. - М.: Наука, 1978.-512 с.

26. Кацнельсон О.Г. Автоматические измерительные приборы с магнитной подвеской / О.Г. Кацнельсон, A.C. Эделынтейн. - М.: Энергия, 1970. -216с.

27. Козорез В.В. О задаче двух магнитов / В.В. Козорез // Известия АН СССР. Серия Механика твердого тела. - 1974. - № 3. - С. 3-8.

28. Козорез B.B. Об устойчивости равновесия в системе двух идеальных токовых колец / В.В. Козорез, О.Г. Чеборин // Докл. АН УССР. Сер. А. -1977.-№ 1.-С. 80-81.

29. Козорез В.В. Динамические системы магнитно взаимодействующих свободных тел / В.В. Козорез. - Киев: Наукова Думка, 1981.- 140 с.

30. Компьютерное моделирование двух сверхпроводящих колец с постоянными магнитными потоками / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия АН. Серия Физическая. - 2008. - Т. 72. -№9.-С. 1271-1274.

31. Компьютерное моделирование сверхпроводящих систем методом конечных элементов / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2007. - Т. 3. - № 8. - С. 25-27.

32. Компьютерное моделирование сферического сверхпроводящего подвеса / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 2006. - Т. 70. - № 8. - С. 11381140.

33. Конечно-элементный комплекс программ FEMPDESolver / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин, М.И. Батаронова и др. // Системы управления и информационные технологии. - 2010. - № 4(42). - С. 52-57.

34. Костин A.B. Расчёт магнитного подвеса сверхпроводящего шара над сверхпроводящим тором с захваченным потоком / A.B. Костин // Изв. вузов. Электромеханика. - 1988. - № 7. - С. 5-8.

35. Кострюков С.А. Компьютерное моделирование магнитомеханиче-ских процессов в сверхпроводниковых устройствах / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 1996. -Т. 60.-№9.-С. 186-189.

36. Кострюков С.А. Компьютерное моделирование физических процессов в сверхпроводниковых устройствах / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // ГосФАП № 50960000050, М., 1996.

37. Кострюков С.А. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании сверхпроводниковых экранов и подвесов / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 1997. -Т. 61. -№ 5. - С. 985-989.

38. Кострюков С.А. Конечно-элементная формулировка дополнительных условий в задачах электро- и магнитостатики сверхпроводников / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 2004. - Т. 68. - № 7. - С. 1053-1057.

39. Крючков Е.И. Линейный сверхпроводящий подвес для гравиинер-циального прибора / Е.И. Крючков // ПТЭ. - 2008. - № 3. - С. 124-128.

40. Кузнецов С.И. Исследование возможности левитации сверхпроводящего тела в поле N магнитов / С.И. Кузнецов, Ю.М. Урман // ЖТФ. - 2006. -Т. 76. -№ 3. - С. 7-15.

41. Кузнецов С.И. Влияние периодических изменений формы сверхпроводящего тела на его динамику в неконтактном магнитном подвесе / С.И. Кузнецов, А.О. Мальханов, Ю.М. Урман // ЖТФ. - 2008. - Т. 78. - № 12. - С. 1-6.

42. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: «Наука», 1982. - 620 с.

43. Левин Л.А. Физические основы, элементы и устройство криогенного гироскопа / Л.А. Левин, A.A. Жидков, М.И. Малтинский. - Л.: ЦНИИ «Румб», 1979. - 126 с.

44. Линьков Р.В. Силовое воздействие на проводящий шар, движущейся в магнитном поле / Р.В. Линьков, Ю.М. Урман // ЖТФ. - 1977. - Т. 47. -№ 4. - С.716-723.

45. Льоцци М. История физики / М. Льоцци. - М.: Мир, 1970. - 464 с.

46. «Магнитная потенциальная яма» - эффект стабилизации динамических систем / B.C. Михалевич, В.В. Козорез, В.М. Рашкован и др. - Киев: Наукова Думка, 1991. - 336 с.

47. Макаров H.H. Криогенные акселерометры и гравиметры / H.H. Макаров, А.И. Черноморский, К.Б. Яковлев. - Д.: ЦНИИ «Румб», 1979. - 64 с.

48. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме / Дж.К. Максвелл. -М.: Наука, 1989. Т. 1.-415 е..

49. Мартыненко Ю.Г. Движение твёрдого тела в электрических и магнитных полях / Ю.Г. Мартыненко. - М.: Наука, 1988. - 368 с.

50. Мартыненко Ю.Г. О проблемах левитации тел в силовых полях / Ю.Г. Мартыненко // Соросовский образовательный журнал. - 1996. - № 3. -С. 82-86.

51. Мезоскопический сверхпроводящий шар в однородном поле / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: материалы V Междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2007.-С. 160-164.

52. Метлин В.Б. Магнитные и магнитогидродинамические опоры / В.Б. Метлин. -М.: Энергия, 1968. - 191 с.

53. Миткевич В.Ф. Магнитный поток и его преобразования / В.Ф. Мит-кевич. -М.-Л.: АН СССР, 1946. - 358 с.

54. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. - М.: Мир, 1981. - 216 с.

55. Моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциальных датчиках / С.А. Кострюков, М.В. Матвеева, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 2000. -Т. 64. -№ 9. - С. 1705-1711.

56. Описание программы Creo [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.ptc.com/product/creo/

57. Описание программы CATIA [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.3ds.com/products/catia/welcome/

58. Описание программы NX [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.plm.automation.siemens.com/ru_m/products/nx/

59. Описание программы ANSYS [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.ansys.com

60. Описание программы NISA [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.nisasoftware.com

61. Описание программы Cosmos/M [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.cosmosm.com

62. Описание программы COMSOL Multiphysics [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.comsol.com/products/multiphysics/

63. Описание программы FlexPDE [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.pdesolutions.com

64. Описание программы Diffpack [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.diffpack.com

65. Описание программы FreeFEM [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.freefem.org

66. Описание программы Elmer [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.csc.fi/english/pages/elmer

67. Описание программы Maple [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.maplesoft.com/products/Maple/index.aspx

68. Описание программы Mathematica [Электронный ресурс]. - Электрон. дан. Режим доступа: http://www.wolfram.com/mathematica/

69. Описание программы Matlab [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.mathworks.com/products/matlab/

70. Описание программы Maxima [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://maxima.sourceforge.net/

71. Описание программы Scilab [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www.scilab.org

72. Описание программы Triangle [Электронный ресурс]. - Электрон, дан. Режим доступа: http://www. cs.cmu.edu/~quake/triangle.html

73. О потенциальной яме магнитного взаимодействия идеальных токовых контуров / В.В. Козорез, И.Д. Колодеев, М.И. Крюков и др. // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1976. - № 3. - С. 248-249.

74. О силовом взаимодействии сверхпроводящих катушек / С.Д. Гришин, В.А. Завадский, С.Н. Огородников, Р.В. Орлов // ЖТФ. - 1987. - Т. 57. -№ 11. - С.2235-2238.

75. Основные алгоритмы комплекса программ FEMPDESolver. 7. Решение нестационарных нелинейных уравнений / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин, М.И. Батаронова // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2010. - Ч. 4. -С. 49-54.

76. Пакет программ FEMPDESolver 2.0 для конечно-элементного анализа сверхпроводящих токонесущих систем / Г.Е. Шунин, С.А. Кострюков, В.В. Пешков и др. // Известия Академии наук. Серия физическая. - 2004. -Т. 68.-№7.-С. 1038-1044.

77. Пакет программ FEMPDESolver 2.0 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка / С.А. Кострюков, Д.В. Каталиков, В.В. Пешков и др. // ГосФАП № 50200200497, М., 2002.

78. Пакет программ FEMPDESolver 2.1 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков и др. // ФГУП ВНТИЦ № 50200601185, М., 2006.

79.Пивень Л.З. Устойчивость равновесия магнитного подвеса постоянного тока / Л.З. Пивень // Труды всесоюзной научной конференции по элек-

троприводам постоянного тока. - Киев: Наукова думка, 1976. - Ч. 2. - С. 122127.

80. Понизовский В.М. Диамагнитная подвеска и её приложения / В.М. Понизовский // ПТЭ. - 1981. - Т. 4. - С. 7-10.

81. Препроцессор комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег / М.И. Батаро-нова, С.А. Кострюков, М.В. Мощёнский и др. // Физико-математическое моделирование систем: материалы VII междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2011. -Ч. 3. - С. 104-108.

82. Программа. Процессор пакета программ РЕМРБЕ8о1уег 2.2 / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин. М.: ФГУП ВНТИЦ, 2010. № 50201001684.

83. Рябов А.Б. К расчету сферических сверхпроводящих подвесов / А.Б. Рябов // Электричество. - 1969. - № 4. - С. 71-73.

84. Рябов А.Б. Расчёт силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа / А.Б. Рябов // Системы ориентации и наведения летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1968. - Ч. 2. - С.120-142.

85. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР / Ж.-К. Са-боннадьер, Ж.-Л. Кулон. - М.: Мир, 1989. - 190 с.

86. Сбитнев Я.В. Компьютерные системы конечно-элементного муль-тифизического анализа / Я.В. Сбитнев, Г.Е. Шунин // Энергия - 21 век. -2006.-№3.-С. 65-72.

87. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегер-линд. - М.: Мир, 1979. - 312 с.

88. Сермонс Г.Я. Динамика твёрдых тел в электромагнитном поле / Г.Я. Сермонс. - Рига: Зинатне, 1974.-248 с.

89. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радио-инженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестер, Р. Феррари. - М.: Мир, 1986. - 229 с.

90. Спицин А.И. Сверхпроводящий сферический подвес в поле соленоида с током / А.И. Спицин, Е.А. Личман // ЖТФ. - 1989. - Т. 59. - № 2. - С. 193-196.

91. Спицин И.А. Взаимодействие двух соосных идеально-диамагнитных одинаковых колец с током на близком расстоянии / И.А. Спицин//ЖТФ. - 1993.-Т. 63.-№ 12. - С. 1-11.

92. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

93. Теория и применение электромагнитных подвесов / Ю.А. Осокин, В.Н. Герди, H.A. Майков, H.H. Станкевич. - М.: Машиностроение, 1980. -294 с.

94. Трехмерный анализ взаимодействия двух токонесущих сверхпроводящих колец / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 3.2. - С. 212-214.

95. Трубицын A.B. Сверхпроводящие гравиметры / A.B. Трубицын, Ф.Ф. Менде, П.Л. Адамович // Прикладная геофизика. - 1984. - № 108. - С. 77-88.

96. Урман Ю.М. К расчету силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа / Ю.М. Урман // Изв. вузов. Приборостроение. - 1973. - № 8. - С. 72-74.

97. Урман Ю.М. Расчет силовых характеристик многокатушечного подвеса сверхпроводящего шара / Ю.М. Урман // ЖТФ. - 1997. - Т. 67. - № 1. -С. 10-16.

98. Урман Ю.М. Теория расчета силовых характеристик электромагнитного подвеса сверхпроводящего тела / Ю.М. Урман // ЖТФ. - 1997. -Т. 67. - № 1.-С.З-9.

99. Учет постоянства неизвестной функции на заданной поверхности в методе конечных элементов / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пеш-

ков, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы VI междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2010. - Ч. 3. - С. 105-126.

100. Учет условия постоянства неизвестной функции в конечно-элементном комплексе программ FEMPDESolver / М.И. Батаронова, С.А. Ко-стрюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2010. - Т. 6. - № 11. - С. 227-230.

101. Физико-математические модели комплекса программ FEMPDESolver / М.И. Батаронова, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы IV междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2007. - Ч. 2. - С. 110-118.

102. Хапаев М.М. Вычисление индуктивностей многослойных сверхпроводниковых структур конечной толщины / М.М. Хапаев // Математическое моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 3. - С. 61-74.

103. Черноморский А.И. Расчет магнитного поля около двухсвязного осесимметричного сверхпроводящего тела / А.И. Черноморский, В.Е. Плеханов // Изв. вузов. Электромеханика. - 1981. - № 4. - С. 360-362.

104. Шенберг Д. Сверхпроводимость / Д. Шенберг. - М.: ИЛ, 1955. -

288 с.

105. Шикина Н.И. О магнитных силах на поверхности сверхпроводника / Н.И. Шикина // ЖЭТФ. - Т. 61. - 1976. - № 5. - с. 1893-1904.

106. Шунин Г.Е. Возможности датчиков гравиинерциальных систем / Г.Е. Шунин, В.Н. Ястребков // Приборы и системы управления. - 1990. -№4.-С. 29-31.

107. Шунин Г.Е. Моделирование чувствительного элемента криогенного гравивариометра / Г.Е. Шунин, В.Н. Ястребков // Известия Академии наук. Серия Физическая. - 1997. - Т. 61. - № 5. - С. 886-892.

108. Шунин Г.Е. Свободно распространяемые программные средства для конечно-элементного анализа в сети Интернет / Г.Е. Шунин, Я.В. Сбит-

нев, М.И. Батаронова // Физико-математическое моделирование систем: материалы II междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2005. - Ч. 3. - С. 18-25.

109. Шунин Г.Е. Физико-математическое моделирование сверхпроводящих электромагнитных подвесов / Г.Е. Шунин, М.И. Батаронова // Физико-математическое моделирование систем: материалы V междунар. семинара. -Воронеж: ВГТУ, 2008. - Ч. 3. - С. 3-13.

110. Шунин Г.Е. Разработка и моделирование сверхпроводящих электромагнитных подвесов / Г.Е. Шунин, М.И. Батаронова // Физико-математическое моделирование систем: материалы VII междунар. семинара. - Воронеж: ВГТУ, 2011.-Ч. З.-С. 109-128.

111.Arkadjev V. Hovering of a magnet over a superconductor / V. Arkadjev // J. Phys. USSR. - 1945. - V. 9. - № 2. - P. 148.

112. Bathe K.J. Finite element procedure / K.J. Bathe. - New Jersey: Prentice Hall, 1996.- 1037 p.

113. Berry M.V. The levitron: an adiabatic trap for spins / M.V. Berry // Proc. R. Soc. London. - 1996. - V. A452. - P. 1207-1220.

114. Blair D.C. Superconducting accelerometer using niobium on sapphire rf resonator / D.C. Blair // Rev. Sei. Instrum. - 1979. - V. 50. - № 3. _ p. 286-291.

115. Bourke R.D. A theoretical and experimental study of a superconducting magnetically-suppoted spinning body / R.D. Bourke // NASA CR-108, 1964. - 127 P-

116. Brandt E.H. Levitation in Physics / E.H. Brandt // Science. - 1989. - V. 243. - № 4889. - P. 349-355.

117. Brandt E.H. Rigid levitation and suspension on high-temperature superconductor by magnets / E.H. Brandt // Am. J. Phys. - 1990. - V. 58. - № 1. - p. 4349.

118. Braunbeck W. Freisihwebende Körper in elektrishchen und magnetischen Feld / W. Braunbeck // Z. Phys. - 1939. - V. 112. - № 7/8, - P. 753763.

119. Braunbeck W. Freisweben diamagnetischer Körper in magnetfeld / W. Braunbeck // Z. Phys. - 1939. - V. 112. - № 9. - P. 764-769.

120. Buchold T.A. The magnetic forces on superconductors and their applications for magnetic bearings / T.A. Buchold // Cryogenics. - 1961. - V. 1. - № 4. -P. 203-211.

121. Buchold T.A. Superconductive accelerometer. US Patent 3.261.210. Patented 19.07.1966.

122. Canavan E.R. A superconducting six-axis accelerometer / E.R. Canavan, H.J. Paik, J.W. Parke // IEEE Trans. Magn. - 1991. - V. 27. - № 2. - P. 3253-3256.

123. Chapman P.K. Superconducting suspension for a sensitive accelerometer / P.K. Chapman, S. Ezekiel // Rev. Sei. Instrum. - 1965. - V. 44. - № 4. - P. 96.

124. Chang W.H. Numerical calculation of the inductances of a multisuperconducting transmission line system / W.H. Chang // IEEE Trans. Magn. - 1981. - V. 17. - № 1. - P. 764-766.

125. Coffey M.W. Levitation Force Between a Horizontally Oriented Point Magnetic Dipole and a Superconducting Sphere / M.W. Coffey // Journal of Superconductivity: Incorporating Novel Magnetism - 2002. - V. 15. № 4. P. 257-262.

126. Coffey M.W. Levitation Force Between a Point Magnetic Dipole and Superconducting Sphere / M.W. Coffey // Journal of Superconductivity: Incorporating Novel Magnetism. - 2000. - V. 13. - № 3. P. 382-388.

127. COMSOL Multiphysics user's guide. 2008 COMSOL 3.5a; 2011 COMSOL 4.2.

128. Culver W.H. An application of superconductivity on inertial navigation / W.H. Culver, M.H. Davis // RAND. - 1960. - R-363.

129. Daniels B. Superconducting bearing / B. Daniels, P. Matthews // Rev. Sei. Instrum. - 1966. -V. 37. -№ 6. - P. 750-753.

130. Denisov G.G. On the lévitation of a charged body in electrostatic field / G.G. Denisov, V.V. Novikov, A.E. Fedorov // Mechanics of Solids. - 2007. - V. 42. - № 6. - P. 842-850.

131. Design and initial of the LDX facility / D.T. Gamier, A.K. Hansen, J. Kesner et al. // Fusion Engineering and Design. - 2006. - V. 81. - № 20-22. - P. 2371-2380.

132. Development of a second generation torsion balance based on a spherical superconducting suspension / G.D. Hammond, C.C. Speake, A.J. Matthews et al. // Rev. Sci. Instrum. - 2008. - V. 79. - P. 031301.1-11.

133. Diamagnetic lévitation with permanent magnets for contactless guiding and trapping of microdroplets and particles in air and liquids / H. Chetouani, C. Jeandey, V. Haguet et al. // IEEE Trans. Magn. - 2006. - V. 42. - № 10. - P. 3557-3559.

134. Earnshow S. On the nature of the molecular forces with regulate the constitution ob the luminiferous ether / S. Earnshow // Trans. Camb. Phil. Soc. -1842.-V. 7.-P. 97-12.

135. Goodkind J.M. The superconducting gravimeter / J.M. Goodkind // Rev. Sci. Instrum. - 1999. - V. 70. - № 11. - P. 4131 -4152.

136. Haley B.H. Quantized lévitation states of superconducting multiple-ring systems / B.H. Haley, H.J. Fink // Phys. Rev. B. - 1996. - V. 53. - № 6. -P. 3497-3505.

137. Haley B.H. Magnetic lévitation, suspension and superconductivity: Macroscopic and mesoscopic / B.H. Haley, H.J. Fink // Phys. Rev. B. - 1996. - V. 53.-№6. -P. 3506-3515.

138. Harding J.T. The cryogenic gyro / J.T. Harding, R.H. Tuffias // JPL Technical Release № 34-100. 1 Aug 1960.

139. Harding J.T. Force and torque on a superconducting ellipsoid in an axial symmetric field / J.T. Harding // JPL Technical Release № 32-242. 6 Feb 1961.

140. Harrigan R. US Patent 4.382.245. Patented 1983.

141. He C. Force characteristics analysis on a superconducting sphere suspended by spherical coils / C. He, Q. Wang // Cryogenics. - 2007. - V. 47. - P. 413-417.

142. Hebard A.F. A superconducting suspension with variable restoring force and low damping / A.F. Hebard // Rev. Sei. Instrum. - 1973. - V. 36. - P. 425-429.

143. Hildebrandt G. Inductance calculation for integrated superconducting structures by minimizing free energy / G. Hildebrandt, F.H. Uhlmann // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. - 1995. - V. 5. - № 2. - P. 27662769.

144. Hones E.W., Hones W.G. US Patent 5.404.062. Patented 04.04.1985.

145. Hull J.R. Superconducting bearings / J.R. Hull // Supercond. Sei. Technol. -2000. - V. 13.-P. 1-15.

146. Hutton D.V. Fundamentals of finite element analysis / D.V. Hutton. -The McGraw-Hill Companies, 2004. - 494 p.

147. Jayawant B.V. Electromagnetic suspension and levitation / B.V. Jayawant // Rep. Progr. Phys. - 1981. - V. 44. - P. 411-477.

148. Jayawant B.V. Electromagnetic suspension and levitation techniques / B.V. Jayawant//Proc. R. Sos. Lond. - 1988. -V. A416. -№ 1851. - P. 245-320.

149. Jones T.B. Simple theory for levitron / T.B. Jones, M. Washizu, R. Gans // J. Appl. Phys. - 1997. - V. 82. - № 2. - P. 883-887.

150. Karen P. Meissner effect torsion suspension / P. Karen, G. Cillies, R. Ritter//Rev. Sei. Instrum. - 1990. -V. 51. -№ 5. -P. 1494-1499.

151. Levin Y. Superconducting pipes and levitating magnets / Y. Levin, F.B. Rizzato // Phys. Rev. E - 2006. - V. 74. - P. 066605.

152. Levitation Force Between a Small Magnet and Superconducting Sphere / H.M. Al-Khateeb, M.K. Alqadi, F.Y. Alzoubi, N.Y. Ayoub // J. Supercond. Nov. Magn. -2008. -V. 21. P. 93-96.

153. Lin Qiong-Gui. Analytic solutions to Maxwell-London equations and lévitation force for a general magnetic source in the presence of a long type-II superconducting cylinder / Qiong-Gui Lin // Eur. Phys. J. B - 2006. - V. 54. - P. 2736.

154. Lin Qiong-Gui. Analytic solutions to Maxwell-London equations and lévitation force for a general magnetic source in the presence of a type-II superconducting sphere with a vortex line / Qiong-Gui Lin, An Zhao // Supercond. Sci. Technol. - 2009. - V. 22. - № 7. - P. 5021.

155. London F. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor / F. London, H. London // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1935. V. 149. № 866. P. 71-88.

156. Ma K.B. Superconductor and magnet lévitation devices / K.B. Ma, Y.V. Postrekhin, W.K. Chu // Rev. Sci. Instrum. - 2003. - V. 74. - № 12. - P. 4989-5017.

157. Mayhan J. Torque and force on a modified superconducting gyro design in an axially symmetric magnetic field / J. Mayhan, E. Mandel // IEEE Transactions. - 1965.-V. 12.-№2.-P. 148-166.

158. Moon F.C. Buckling of a superconducting ring in a toroidal magnetic field / F.C. Moon // J. Appl. Mech. - 1979. - V. 46. - № 1. - P. 151 -155.

159. Moon F.C. Superconducting lévitation. Application to bearing and magnetic transportation / F.C. Moon. - Wiley-VCH Verlag Gmbh & Co. KGaA, 1994.-295 p.

160. Nakazato T. Inductance Computation of Microscopic Superconducting Loop / T. Nakazato, Y. Okabe // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. - 1997. - V. 7. - № 2. - P. 3626-3629.

161. Novel torsion balance based on spherical superconducting suspension / G.D. Hammond, A. Pulido-Paton, C.C. Speake, C. Trenkel // Rev. Sci. Instrum. -2004. - V. 75. - № 4. - P. 955-961.

162. Operation of a levitated superconducting ring in a plasma experimental device / J. File, G.D. Martin, R.G. Mills, K.E. Wakefield // J. Appl. Phys. - 1971. -V. 42.-№ l.-P. 6-9.

163. Paik H.J. Superconducting accelerometry: its principles and applications / H.J. Paik // Class, and Quantum Grav. - 1994. - V. 11. - № 6A. - P. 133144.

164. Palaniappan D. Magnetic Interaction Force and a Couple on a Superconducting Sphere in an Arbitrary Dipole Field / D. Palaniappan // J. Supercond. Nov. Magn. - 2009. - V. 22. - P. 471-477.

165.Patitsas S.N. Stability analysis for axially-symmetric magnetic field levitation of a superconducting sphere / S.N. Patitsas // Physica C. - 2011. - V. 471. -P. 12-18.

166. Prinston floating multipole-superconducting ring progress / J. File, G.D. Martin, R.G. Mills, J.L. Ufham // J. Appl. Phys. - 1969. - V. 40. - № 5. - p. 2106-2108.

167. Prothero W.A. Superconducting gravimeter / W.A. Prothero, J.M. Goodkind // Rev. Sci. Instrum. - 1968. - V. 39. - № 2. - P. 1257.

168. Rebhan E. Equilibrium and stability of normal and superconducting current loops / E. Rebhan, A. Salat // Z. Naturforsch. - 1967. - V. A22. - P. 19201926.

169. Sass A.R. Self and Mutual Inductances of Superconducting Structures / A.R. Sass, W.C. Stewart // Journal of Applied Physics. - 1968. - V. 39. - № 4. -P. 1956-1963.

170. Schweitzer G. Magnetic bearings / G. Schweitzer, E.H. Maslen (eds). -Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

171. Sensitive tiltmeter utilizing a diamagnetic suspension /1. Simon, A.G. Emslie, P.F. Strong et.al. // Rev. Sci. Instrum. - 1968. - V. 39. - № 11. - P. 16661671.

172. Sezginer A. Image of a static current loop over a superconducting sphere / A. Sezginer, W.C.Chew // IEEE Transaction on Magnetics. - 1990. - V. 26. -№ 3. - P. 1137-1138.

173. Shiota F. Improvement of superconducting magnetic levitation system for an absolute determination of the magnetic flux quantum / F. Shiota, K. Hara, T. Hirata // Jpn. J. Appl. Phys. - 1984. - V. 23. - № 4. - P. 1227-1229.

174. Simon M.D. Diamagnetic levitation: Flying frogs and floating magnets (ivited) / M.D. Simon, A.K. Geim // J. Appl. Phys. - 2000. - V. 87. - № 9. - P. 6200-6204.

175. Simon I. Forces Acting on Superconductors in Magnetic Fields /1. Simon // J. Appl. Phys. - 1953. - V. 24. - № 1. - P. 19-24.

176. Slems S.O. Advances in design of superconducting magnetic bearings for static and dynamic applications / S.O. Slems, W.R. Canders // Supercond. Sci. Technol. - 2005. - V. 18. - P. S86-S89.

177. Stabilized, levitated superconducting rings / J. File, G.D. Martin, R.G. Mills, J.L. Ufham // J. Appl. Phys. - 1968. - V. 37. - № 6. - P. 2623-2626.

178. Tenney F.H. On the stability of rigid current loops in an axisymmetric field / F.H. Tenney // Plasma physics laboratory report. Princeton, 1969. № MATT-693.

179. Thomson W. Reprint of papers an electrostatics and magnetism / W. Thomson. -London.: McMillan, 1872. -V. 33. - P. 493-499; V. 34. - P. 514-515.

180. Thornton R.D. Design principles for magnetic levitation / R.D. Thornton // Proc. IEEE. - 1973. - V. 61. - № 5. - P. 586-598.

181. Tuman V.S. Terrestrial spectroscopy by a cryogenic gravity meter / V.S. Tuman//Nature. - 1971. -V. 229. - P. 618.

182. Tuttle M.H. Magnetic suspension and balance systems / M.H. Tuttle, D.L. Moore, R.A. Kilgore // NASA Technical Memorandum 4318. - 1991. - 61 p.

183. Weinberger B.R. Magnetic bearings using high-temperature superconductors: some practical considerations / B.R. Weinberger, L. Lynds, J.R. Hull // Supercond. Sci. Technol. - 1990. -V. 3. - P. 381-388.

184. Xu J.H. Magnetic lévitation force and penetration depth in type-11 superconductors / J.H. Xu, J.H. Miller, C.S. Ting // Physical Review B. - 1995. - V. 59.-№ l.-P. 424-434.

185. Zienkiewicz O.C. The finite element method. V.l: The basis / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - Oxford: Butterworth Heinemann, 2000. - 689 p.