Электронные свойства длинного джозефсоновского перехода в неоднородном магнитном поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Оганнисян Размик

• Оганнисян Размик
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Оганнисян Размик

Введение

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Введение

1.2. Квантование магнитного потока

1.3. Эффект Джозефсона

1.4. Джозефсоновский контакт в магнитных полях: Джозефсоновские вихри

1.5. Максимальный бездиссипативный ток через джозефсоновский контакт

1.6. Сверхпроводники второго рода, вихри Абрикосова, критический

ток

1.7. Система сверхпроводник-нормальный метал

1.8. Система сверхпроводник-ферромагнетик

1.9. Экспериментальные и теоретические исследования JJ в неоднородном магнитном поле

Глава 2. Технологические и экспериментальные методы

2.1. Введение

2.2. Изготовление планарного джозефсоновского SNS контакта на основе ХЬ Си ХЬ методами плазмохимического травления

2.3. Изготовление планарного джозефсоновского SNS контакта на основе ХЬ XiCu(Cu.Xb') ХЬ методами галлиевого ионного микроскопа (Focused Ion Beam)

2.4. Изготовление джозефсоновского SIsFS контакта типа сендвич на основе Nb/AlO^/Nb/PdFe/Nb методами плазмохимического травления

2.5. Изготовление джозефсоновского 8X8 контакта типа сендвич на основе ХЬ .\~iPf ХЬ методами гелиевого ионного микроскопа

2.6. Проведение низкотемпературных электронно-транспортных измерений

2.7. Криогенный магнитный силовой микроскоп

Глава 3. Исследование свойств длинного планарного джозефсоновского перехода находящегося в неоднородном поле магнитного кантилевера

3.1. Введение

3.2. Эксперимент: электронно-транспортные свойства ЛЛ в неоднородном магнитном поле кантилевера

3.3. Теоретическая модель

3.4. Заключение

Глава 4. Исследование планарных джозефсоновских контактов в неоднородном поле вихря Абрикосова: джозефсоновский фазовращатель

4.1. Введение

4.2. Исследование планарного джозефсоновского контакта с одной вихревой ловушкой

4.3. Исследование джозефсоновского фазовращателя

4.4. Обсуждение результатов

4.5. Заключение

Глава 5. Исследование вЬЕв джозефсоновских контактов в неоднородном поле ферромагнетика

5.1. Введение

5.2. Принцип работы сверхпроводящей памяти на основе ЭкРЭ джозефсоновского перехода

5.3. Экспериментальная верификация работы магнитного элемента памяти

5.4. Теоретическое исследование джозефсоновского переходы в неоднородном поле методами микромагнитного моделирования

5.5. Заключение

Глава 6. Точное определение критического тока Джозефсона с помощью Lock-In измерений

6.1. Введение

6.2. Теоретический анализ отклика Lock-In в рамках RSJ модели

6.3. Экспериментальная верификация

6.4. Реконструкция модуляции магнитного поля 1С(Н)

6.5. Заключение

Заключение

Список литературы

Приложение А. Микромагнетизм

А.1. Уравнение движения Линдиу-Л ифшици-Гильберти^ТО)

Приложение Б. Численные методы расчета критического тока 133 Б.1. Критический ток короткого ДП в неоднородном поле доменной

структуры ферромагнетика

Б.2. Численное решение уравнения Синуса-Гардона в однородном магнитном поле

Б.З. Численное решение уравнения Синуса-Гардона в неоднородном

магнитном поле

Б.4. Численное решение динамического уравнения Синус-Гордона

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронные свойства длинного джозефсоновского перехода в неоднородном магнитном поле»

Введение

Актуальность темы исследования. Джозефсоновский контакт (.1.1) 11 5] является уникальным объектом, проявляющим квантовые свойства на макроскопическом масштабе, что вызывает большой интерес как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения. Уже на протяжении нескольких десятилетий ЛЛ является ключевым элементом в таких развивающихся направлениях, как сверхпроводящая цифровая [6] и квантовая электроника [7; 8].

Как известно, эффект Джозефсона возникает в результате квантово-меха-нической интерференции волновых функций [5]. Наиболее ярким свидетельством такой интерференции является дифракционная модуляция джозефсо-новского критического тока в зависимости от приложенного магнитного поля

Ш).

Влияние однородного магнитного поля на ЛЛ хорошо известно и описано во многих работах [3; 4; 9; 10]. Однако влияние неоднородного магнитного поля на квантовую интерференцию сверхпроводящих волновых функций было исследовано мало [11—14]. Так, в [11] было предсказано поведение ЛЛ в неоднородном поле и возможность применения ЛЛ в качестве детектора магнитного поля. В работах [11—14] были сделаны выводы о сильном влиянии неоднородного магнитного поля на форму зависимости 1С(Н). Таким образом, очевидно, что зависимость 1С(Н) хранит в себе информацию о характере внешнего возмущения, которое можно реконструировать. Была также предложена возможность использования неоднородного магнитного поля для создания настраиваемого ^-ЛЛ (в дальнейшем в тексте такое устройство будет называться джо-зефсоновским фазовращателем), где ^-джозефсоновская разность фаз. В 2019 году вышла работа, показывающая возможность использования абрикосовско-го вихря (АУ) как носителя информации [15]. Данная работа основана на экспериментальных результатах, в которых "запись" (захват вихря вблизи ЛЛ) и "стирание" (вывод вихря из захваченного состояния) АУ производится с помо-

щью импульсов тока. Неоднородные поля кванта потока при этом изменяют форму зависимости 1С{Н)7 что позволяет определить состояние "1" и "О" для применения в цифровой электронике.

Существует много способов реализации неоднородного магнитного поля внутри слабой связи ЛЛ. Важно отметить три наиболее используемых:

1. Использование рассеянных полей, созданных некоторым локальным источником магнитного поля. Таким источником магнитного поля может выступить маленькая магнитная частица, помещенная непосредственно вблизи джо-зефсоновского перехода, или кантилевер Магнитно-Силового Микроскопа (МРМ) М КМ является удобным инструментом для исследования планарных джозеф-соновских переходов в неоднородных полях, т.к. позволяет управлять позицией иглы (локального источника магнитного поля) в реальном пространстве с нано-метровой точностью. Кроме этого, МБМ дает возможность исследования таких параметров сверхпроводников, как лондоновская глубина проникновения [16; 17], распределение вихрей Абрикосова [18—20] или доменные структуры в ферромагнитных сверхпроводниках [21—23]. Недавнее развитие методов на основе МБМ позволило изучить эффекты проскальзывания сверхпроводящей фазы [24—26], а также детектировать вихри Джозефсона и управлять их пространственной локализацией [27].

2. В качестве локальных источников неоднородного магнитного поля могут выступать АУ, каждый из которых несет квант магнитного потока. Использование абрикосовкого вихря как источника локального неоднородного магнитного поля было продемонстрировано в ряде работ [13; 14; 28]. В работе [13] было впервые показано, что АУ, захваченный центром пиннинга вблизи джозефсо-новского перехода, создает фазовый сдвиг Л Л. Хотя в данной работе не разъяснялись причины такого сдвига, в дальнейшем стало ясно, что существуют два возможных механизма сдвига фазы [14]. Первый из них соответствует случаю, когда расстояние между АУ и Л Л больше, чем характерная глубина проникновения магнитного поля внутрь сверхпроводника. При этом основной причиной,

создающей искажение зависимости 1С(Н), является неоднородное поле рассеяния, созданное АУ. Второй механизм реализуется, когда расстояние между АУ и ЛЛ меньше, чем характерная глубина проникновения магнитного поля внутрь сверхпроводника. В этом случае преобладает сдвиг фаз, создаваемый циркулирующими сверхпроводящими токами вокруг нормальной сердцевины АУ. Этот способ управления сверхпроводящим устройством был ранее предложен в работе [29].

3. В настоящее время широко используемыми являются Л Л с магнитной прослойкой (сверхпроводник/ферромагнетик/сверхпроводник - ЯРЯ). Изготовление таких структур производится методом послойной сборки, в несколько этапов [30]. Отличительной чертой БРЯ ЛЛ является осцилляция амплитуды сверхпроводящей волновой функции внутри слабой связи в результате взаимодействия куперовских пар с обменным полем ферромагнетика [31]. Кроме того, ненулевой поток, созданный ферромагнитным слоем из-за гистерезисной зависимости его намагниченности, приводит к сдвигу 1С(Н), а также к изменению его формы [32]. Данные изменения, а также остаточная намагниченность ферромагнетика, дают возможность использовать БРЯ ЛЛ в качестве элементов низкотемпературной памяти [33—35]. Важно отметить, что в большинстве работ в качестве элементов памяти исследовались Л Л с квадратным сечением. В работе [33] было показано, что в структурах данного типа сложно производить дальнейшую миниатюризацию в силу технологических сложностей (минимальные латеральные размеры порядка одного квадратного микрометра), а также изменения свойств Р-слоя. Недавно в работе [36] было предложено использовать ЛЛ с прямоугольным сечением в плоскости контакта в качестве элементов низкотемпературной памяти, что дает возможность уменьшать размер Л Л в одном направлении. В той же работе был разработан метод исследования кластерных ферромагнетиков на основе микромагнитного моделирования. Особенностью данной модели является тот факт, что кластерная природа Р-слоя учитывается с помощью случайно распределенной одноосной анизотропии.

Несмотря на всевозможные известные методы создания локального неоднородного поля внутри JJ, до сих пор не было экспериментальных работ, где детально изучалось влияние неоднородного магнитного поля на JJ (кроме JJ типа SFS). Как утверждалось в работе [11], не существовало даже формализма, позволяющего теоретически описать такое влияние. В ряде работ предлагалось создание джозефсоновских фазовращателей, элементов памяти, а также многих других устройств на основе JJ с использованием неоднородного магнитного поля, однако экспериментальных работ в данном направлении мало. Исследования, лежащие в основе данной диссертации, фокусируются на детальном экспериментальном изучении влияния неоднородного магнитного поля на электронно-транспортные свойства JJ, в частности, пространственного распределения фазы и зависимости 1С(Н).

Целью данной работы было экспериментальное исследование электронных свойств длинных джозефсоновских контактов, изготовленных на основе нормального металла или ферромагнетика, в присутствии внешних неоднородных магнитных полей, а также теоретическое описание полученных результатов с использованием численных методов.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

• На базе низкотемпературного атомно-силового микроскопа отлажена методика криогенных измерений, позволяющая перемещать источник неоднородного магнитного поля над пли парным джозефсоновским переходом, одновременно измеряя его вольт-амперные характеристики. В качестве источника неоднородного магнитного поля использовался стандартный кремниевый кантилевер марки Bruker Mesp V2, покрытый магнитной пленкой, состоящей из Co/Cr.

• Экспериментально получены зависимости 1С(Н) как функции положения источника неоднородного магнитного поля над пли парным джозефсонов-

ским контактом.

• Отлажена программа, основанная на решении уравнения синус-Гордона, позволяющая численно воспроизвести изменение формы зависимости, 1С(Н) в неоднородных полях планарных джозефсоновских контактов.

• Изучены электронные свойства планарного JJ, находящегося в неоднородном поле одиночного AV, захваченного в специальную ловушку. Методами магнитно-силовой микроскопии продемонстрировано наличие AV в ловушке, находящейся в непосредственной близости от JJ.

• На основе микромагнитного моделирования разработана программа численного решения уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта, описывающая процесс перемагничивания кластерного ферромагнетика. С использованием программы были описаны изменения формы IC(H) SIsFS JJ в зависимости от структуры намагниченности F-слоя.

• Проанализирована возможность уменьшения размера JJ в плоскости перехода до субмикронного. Была показана возможность использования J J субмикронных размеров в качестве элементов сверхпроводящей памяти

• Продемонстрирована возможность определения критического тока JJ методами синхронного детектирования (методом Lock-In измерений). Изучены электронно-транспортные свойства JJ методами измерений на переменном токе (АС - измерений, АС - "Alternating current").

Научная новизна и практическая ценность работы. В ходе исследований для управления неоднородным магнитным полем в непосредственной близости от планарного JJ впервые был использован низкотемпературный атомно-силовой микроскоп. Благодаря этому было детально изучено влияние неоднородного магнитного поля на критический ток планарного JJ и построена численная модель, хорошо описывающая эксперимент.

Также в ходе работы, впервые экспериментально было показано, что, используя неоднородное поле, созданное захваченным в ловушку одиночным AV в непосредственной близости JJ, можно реализовать новый тип фазовращателя. Предложенная концепция является перспективной для реализации базовых элементов сверхпроводящей электроники.

Впервые с использованием методов микромагнитного моделирования распределения намагниченности магнитного слоя SIsFS JJ были определены минимальные размеры ячейки памяти, а также восстановлены зависимости 1С(Н).

В результате исследований электронно-транспортных свойств JJ методами Lock-In измерений, была продемонстрирована новая методика определения критического тока.

Выносимые на защиту результаты диссертационной работы получены впервые лично автором. Они были представлены и обсуждались на российских и международных конференциях и симпозиумах.

Положения, выносимые на защиту:

• На основе низкотемпературного магнитно-силового микроскопа разработана методика, позволяющая управлять неоднородным магнитным полем в непосредственной близости от планарного JJ. Благодаря этому было детально изучено влияние неоднородного магнитного поля на критический ток планарного J J и построена численная модель, хорошо описывающая эксперимент.

• Экспериментально продемонстрировано, что одиночный квант потокаФо, захваченный в ловушку в непосредственной близости от JJ (в искусственный центр пиннинга), может быть использован для управления его локальными свойствами. При помощи комбинированного электронно-транспортного измерения с магнитно-силовой микроскопией исследовано два

Фо

чаям зависимости 1С(Н). Эксперимент показал четкую связь между нали-

чием или отсутствием вихря в ловушке и модификациями в зависимостях 1С(Н). При помощи электронно-транспортных измерений была продемонстрирована возможность создания настраиваемого джозефсоновского фазовращателя в диапазоне от —3^ до 3^, в JJ с четырьмя ловушками для Фо-

• На основе микромагнитного моделирования разработана численная модель, описывающая процесс перемагничивания тонкопленочных кластерных ферромагнетиков. Исследовано влияние неоднородной намагниченности на зависимости 1С(Н) в SIsFS JJ типа "сэндвич". Проведены оценки возможности уменьшения размера J J до субмикронного, сохраняя возможность использования их в качестве элементов сверхпроводящей памяти.

• Разработан метод Lock-In измерений для определения критического тока JJ. Применимость и точность метода продемонстрирована на эксперименте, на примере исследования JJ субмикронного размера.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XVII International Workshop on Vortex Matter in Superconductors, Антверпен, Бельгия, (2019). XXVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов - 2019 Москва (2019); XXVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Ломоносов - 2020 Москва (2020); XXIV Международный симпозиум «Нанофизика и Наноэлектроника», Нижний Новгород (2020); XXV Международный симпозиум «Нанофизика и Наноэлектроника», Нижний Новгород (2021). Публикации:

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах [Al, А2, A3, А4] в международных физических журналах, входящих в перечень ВАК и индексируемых международными базами данных Web of Science и Scopus: Nature Communications, Nano Letters, Nanomaterials, Journal of Applied Physics,

Al. V.V. Dremov, S.Yu. Grebenchuk, A.G. Shishkin, D.S. Baranov, R.A. Hovhannisyan, O.V. Skryabina, N. Lebedev, I.A. Golovchanskiy, V.I. Chichkov, C. Brun, T. Cren, V.M. Krasnov, A.A. Golubov, D. Roditchev and V. S. Stolyarov. Local Josephson vortex generation and manipulation with a Magnetic Force Microscope. Nature Communications. 10, 1, 1-9 (2019).

A2. T. Golod, R.A. Hovhannisyan, O.M. Kapran, V.V. Dremov, V.S. Stolyarov, and V.M. Krasnov. Reconfigurable Josephson Phase Shifter. Nano Letters. 21, 12, 5240-5246 (2021).

A3. L. N. Karelina, R. A. Hovhannisyan, I. A. Golovchanskiy, V. I. Chichkov, A. Ben Hamida, V. S. Stolyarov, L. S. Uspenskaya, Sh. A. Erkenov, V. V. Bolginov, and V. V. Ryazanov. Scalable memory elements based on rectangular SIsFS junctions Journal of Applied Physics - 130, 17, 173901, (2021).

A4. R.A. Hovhannisyan, O.M. Kapran, T. Golod, and V.M. Krasnov. Accurate Determination of the Josephson Critical Current by Lock-In Measurements. Nano-materials. 11, 8, 2058 (2021).

Личный вклад автора. Основные результаты, изложенные в данной диссертации, получены лично автором. Соискатель принимал участие в постановке задачи, проводил низкотемпературные магнитно-силовые и электронно-трииспорти ые измерения на различных криогенных системах, обрабатывал результаты, принимал активное участие в численном моделировании и занимался подготовкой публикаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации 138 страниц, из них 120 страницы текста, включая 45 рисунков. Библиография включает 172 наименований на 17 страницах.

Глава 1 Литературный обзор

1.1. Введение

Одним из основополагающих принципов квантовой механики является тот факт, что физические величины, такие как энергия, импульс или проекция момента импульса при определенных условиях квантуются. Другими словами, они могут иметь только дискретные значения. Долгое время считалось, что квантование актуально только для микроскопических объектов, таких как ядра атомов, атомы или молекулы. Оказалось, что если рассматривать поведение макроскопических объектов, состоящих из большого числа атомов, то эффекты квантования не могут наблюдаться, хотя каждый отдельный атом подчиняется законам квантовой механики. Это связано с тем, что тепловое движение маскирует квантовые закономерности. Было обнаружено, что для ряда явлений (в частности сверхпроводимости) можно наблюдать макроскопическое квантование. Это означает, что может наблюдаться квантование параметров, которые характеризуют макроскопические объекты (например, поток через сверхпроводящее кольцо макроскопического размера) на много порядков больше, чем у микроскопических объектов, таких как атомы. Как было показано, это вызвано тем фактом, что электронная система в сверхпроводнике сильно коррелирована из-за эффектов когерентности.

Сверхпроводимость была открыта еще в 1911 году ученым из Дании Хейке Камерлинг-Оннесом [37]. Явление, наблюдаемое им при изучении зависимости электропроводности ртути от температуры, заключалось в резком пропадании сопротивления при критической температуре Тс. Несмотря па данное открытие, потребовалось много десятилетий, прежде чем была разработана современная концепция сверхпроводящего состояния. Вех на пути к более глубокому пони-

манию сверхпроводимости было много, мы остановимся на более значимых из них.

Одним из первых открытий в области сверхпроводимости стала наблюдение эффекта Мейснера-Оксенфельда [38], сделанное Вальтером Мейснером и Робертом Оксенфельдом. Они наблюдали что, в отличие от "обычного" материала с высокой проводимостью, при охлаждении в магнитном поле сверхпроводник выталкивает его из себя. Такое явление не могло быть объяснено простыми свойствами отсутствия проводимости у сверхпроводников, так как в этом случае при охлаждении ниже критической температурыТс "захваченный" поток не изменился бы. Выталкивание поля из материала при этом происходит с помощью бездиссипативных токов, текущих по поверхности сверхпроводника. В последствии данные токи получили название Мейснеровские в честь их первооткрывателя. Несмотря на давнее открытие данного феномена, прямая визуализации Мейснеровских токов произошла сравнительно недавно [39].

Первыми кто смог успешно сформулировать феноменологическую теорию электродинамических свойств сверхпроводников, стали братья Фриц и Хайнц Лондоны [40]. Данная теория хорошо описывала все свойства сверхпроводников с помощью двух уравнений, определяющих электрические и магнитные поля:

д

Е = ш (ЛЛв) (1.1)

H + ALrot х rot х H = 0 (1.2)

где величины

Л 2 тс А2 =

2

4пп3е2 м 3\

т ^ ' ' Л = -2

являются феноменологическими параметрами.

Как можно заметить, уравнение 1.2 означает падение магнитного поля в сверхпроводнике с экспоненциальной скоростью на глубине Л. По этой причине

величина Л получила название "Лондоновская глубина проникновения магнитного поля".

Несмотря на то, что большая часть наших знаний о сверхпроводимости может быть получена из данной феноменологической модели, т.е. для согласования с фундаментальными наблюдениями, а именно с идеальной проводимостью, эффектом Мейснера-Оксенфельда и термодинамической природой сверхпрово-дягцего перехода; оно не дает объяснение тому, как эти явления связаны друг с другом. Исторически сложилось так, что теоретические предсказания и экспериментальное наблюдение когерентных явлений в сверхпроводниках, таких как квантование потока Фо, оказались ключевыми для окончательной формулировки макроскопической квантовой концепции сверхпроводимости. Еще в 1935 году Фриц Лондон осознал, что явление сверхпроводимости не может быть понято в терминах классических представлений. К 1948 году он смог вывести уравнения Лондона из более фундаментальных идеи рассмотрения суперэлектронной жидкости как квантово-механического объекта. Лондон развил эту теорию, так как понимал, что сверхпроводимость - это по своей сути квантовое явление, проявляющееся в макроскопическом масштабе.

Первой макроскопической теорией, которая учла квантовые эффекты сверхпроводимости, стала теория В.Л. Гинзбурга и Л.Д. Ландау (ГЛ) [41] о фазовых переходах второго рода. Как уже было сказано, теория Лондонов не учитывала, что сверхпроводящее состояние-это более упорядоченная система по сравнению с нормальным состоянием, и что переход из одного состояния в другое (как выяснилось позже, в отсутствие магнитного поля)-это фазовый переход второго рода. Из теории ГЛ следовало, что в сверхпроводнике существует величина, называющейся "параметр порядка", которая ровна 0 при температурах выше критической Т > Тс и отличается от пуля при Т < Тс. Важнейшим фактором в создании данной теории служило необычайное "чутье" и удачливость в введении данной величины. В.Л. Гинзбург и Л.Д. Ландау решили рассмотреть в качестве параметра порядка волновую функцию сверхпроводящих электронов

Ф(г). Физическим смыслом данного параметра, а точнее его модуля, является плотность п3 сверхпроводящих носителей т.е.

|Ф(г)|2 = | (1.4)

Данная теория привела к двум важнейшим уравнениям 1.5-1.6, которые, несмотря на появления микроскопической теории до, сих пор имеют широкое применение [42; 431:

£2(iV + Фа) ф - ф + ф1ф\2 = 0 (1.5)

Фо Ш2

rot х rot х а = -г—0^(ip*Vip - фVф*) - ^А (1.6)

Л2 Л2

Как можно заметить, в данных формулах появился ряд неопределенных до сих пор величин. Величина Л в формулах имеет тот же физический смысл что, и в уравнениях Ландонов, а именно является глубиной проникновения слабого магнитного поля. Данное утверждение легко проверить при условии вещественности волновой функции. В этом случае уравнение 1.6 превращается в уравне-

смысл длины когерентности волновой функции сверхпроводящих электронов или расстояния между электронами в куперовских парах.

Исторически правильное объяснение появлению сверхпроводящих электронов было дано позже при создании теории ГЛ. На данный момент микроскопическая теория основана на идее, что в сверхпроводящих металлах существует сила притяжения между электронами вблизи уровня Ферми. При температурах ниже критической Тс эта сила притяжения создает новое квантовое состояние, отличное от уровня Ферми нормального металла. Другими словами, небольшая часть электронов, близких к уровню Ферми, связана куперовскими парами [44]. В простейшем случае внутреннее движение пар не имеет орбитального углового момента (симметричное состояние), и, следовательно, принцип Паули требует, чтобы два спина находились в синглетном (антисимметричном) спиновом состо-

янии. В отличии от связывания двух атомов с молекулой, орбитальное состояние пары имеет гораздо больший радиус, как правило, между 10 нм и 1 дм, так что отдельные пары сильно перекрываются в пространстве и, следовательно, связывание становится кооперативным. В частности, энергия связи любой пары зависит от того, сколько других пар сконденсировалось, и, кроме того, движение центра масс пар настолько сильно коррелировано, что каждая пара находится в одном и том же состоянии с одним и тем же движением центра масс. Это возможно, поскольку куперовские пары являются бозонами, и по этой причине при охлаждении они претерпевают бозе-эйнштейновскую конденсацию, то есть многие пары конденсируются в одном и том же квантовом состоянии, как при конденсации, которая происходит по статистическим причинам в идеальном Бозе-газе. Именно это состояние и описывается макроскопической волновой функцией и придает системе ее сверхпроводящие свойства.

Надо отметить так же, что макроскопическая квантовая модель может быть применена не только к заряженным сверхтекучим жидкостям, но также и к незаряженным сверхтекучим жидкостям, таким как сверхтекучие 4Не [45] и 3Не [46].

Развитие квантовой макроскопической теории сверхпроводимости привело к более интригующим результатам и явлением, о которых пойдет речь в этой главе, но прежде чем приступить, отметим некоторые важные работы по данной тематике, а именно: создание микроскопической теории БКШ Дж. Бардином, Л.Н. Купер и Дж.Р. Шриффер [44] с дополнениями H.H. Боголюбова [47] и Л.П. Горькова [48].

1.2. Квантование магнитного потока

Исторически первым примером квантовых свойств сверхпроводящих систем стало квантование флюксоидов [3] в многосвязных сверхпроводниках. Рассмотрим сверхпроводящее кольцо и создадим в кольце сверхток. Поскольку

сверхпроводник имеет нулевое сопротивление при приложении постоянного тока, этот сверхток должен быть устойчивым, то есть рассматриваемая система находится в стационарном состоянии. Следуя классическому подходу, следовало бы ожидать, что таким образом можно было бы генерировать произвольные сверхтоки в кольце. Квантово-механическое рассмотрение микроскопических систем говорит о том, что стационарные состояния определяются специфическими квантовыми условиями. В рамках модели Бора для атомов стационарные состояния электронов определяются условием квантования углового момента. Это эквивалентно требованию, что длина электронной волны должна быть кратной орбитальному радиусу и должна образовываться стоячая волна. Точно такие же квантовые свойства должны быть присущи волновым функциям ансамбля сверхпроводящих электронов (рис. 1.1). Впервые это предположил

Рис. 1.1. Стоячая волна макроскопической волновой функции, представляющая сверхпроводящее состояние в цилиндре, приводящая к квантованию потока

Фриц Лондон [49]. Он пришел к выводу, что магнитный поток, заключенный

в сверхпроводящее кольцо, может иметь только дискретные значения, кратные \Ь

кванту потока Фд. При оценке данной величины он получил значение

ф£ =

- - 4 • 10

е

-15

Вб

(1.7)

Лондон получил значение, которое отличается от кванта потока в два раза Ф0 — 2 • 10-15 Вб. Это было связано с тем, что в его предположении носителями сверхтока являлись электроны. То, что сверхток переносят куперовские пары, стало ясно только после развития теории БКШ в 1957 году [44].

В 1961 году квантование потока в сверхпроводящих цилиндрах было экспериментально доказано двумя группами: Р. Доллем и М. Нэбауэром в Институте Вальтера-Мейснера в Мюнхене и Б. С. Дивером и В. М. Фэйрбенком в Стэн-форде [50; 51]. Эти выдающиеся эксперименты не только продемонстрировали квантование магнитного потока в сверхпроводящем цилиндре, но также впервые доказали существование куперовских пар с зарядом д = 2 е, тем самым подтверждая предсказание микроскопической теории БКШ.

1.3. Эффект Джозефсона

В предыдущем разделе было обсуждено квантование флюксоидов в многосвязных сверхпроводниках как первое следствие макроскопической квантовой природы сверхпроводимости. Стало очевидным, что этот феномен является прямым проявлением макроскопической квантовой когерентности сверхпроводящего состояния. В этом разделе будет обсужден эффект Джозефсона как второе когерентное явление. Эффект Джозефсона был предсказан Брайаном Д. Джозефсоном в 1962 году и столь же важен для сверхпроводимости, как и квантование потока [1]. Сегодня эффект Джозефсона используется во многих приложениях сверхпроводимости в электронике, датчиках и высокочастотных устройствах. Эффект Джозефсона наблюдается, в слабом контакте между двух сверхпроводниками. Слабый контакт можно установить разными способами. Яркими примерами являются туннельные барьеры, точечные контакты или нормально проводящие слои, соединяющие два сверхпроводящих электрода. В дальнейшем мы будем называть такой контакт джозефсоновским переходом. Первые теоретические работы Джозефсона рассматривали только

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Оганнисян Размик, 2022 год

Список литературы

1. Josephs on В. D. Possible new effects in superconductive tunnelling / / Physics letters. - 1962. - Т. 1, № 7. - C. 251 253.

2. Anderson P. W., Rowell J. M. Probable observation of the Josephson tunneling effect // Physical Review Letters. - 1963. - T. 10, № 6. - C. 230.

3. Bo,rone A., Paterno G. Physics and applications of the Josephson effect. — 1982.

4. Tinkham M. Introduction to Superconductivity ed. by McGraw-Hill. — 1996.

5. Шлтдт В. Введение в физику сверхпроводников // М.: МЦНМО. — 2000. - Т. 9.

6. Holmes D. S., Ripple A. L., Manheimer М. A. Energy-efficient superconducting computing — Power budgets and requirements // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. - 2013. - T. 23, № 3. - C. 1701610-1701610.

7. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor / F. Arute [и др.] // Nature. - 2019. - Т. 574, № 7779. - С. 505 510.

8. Error mitigation extends the computational reach of a noisy quantum processor / A. Kandala [и др.] // Nature. - 2019. - Т. 567, № 7749. - С. 491 495.

9. Langenberg D., Scalapino D., Taylor B. Josephson-type superconducting tunnel junctions as generators of microwave and submillimeter wave radiation // Proceedings of the IEEE. - 1966. - T. 54, № 4. - C. 560-575.

10. Owen C., Scalapino D. Vortex structure and critical currents in Josephson junctions // Physical Review. - 1967. - T. 164, № 2. - C. 538.

11. Krasnov V. M. Josephson junctions in a local inhomogeneous magnetic field // Physical Review B. - 2020. - T. 101, № 14. - C. 144507.

12. Properties of Josephson junctions in the nonuniform field of ferromagnetic particles. / A. Samokhvalov [и др.] // JETP letters. - 2012. - T. 95, № 2.

13. Golod T., Rydh A., Krasnov V. Detection of the phase shift from a single Abrikosov vortex // Physical review letters. — 2010. — T. 104, № 22. — C. 227003.

14. Golod T., Pagliero A., Krasnov V. M. Two mechanisms of Josephson phase shift generation by an Abrikosov vortex // Physical Review B. — 2019. — T. 100, № 17. - C. 174511.

15. Golod T., Iovan A., Krasnov V. M. Single Abrikosov vortices as quantized information bits // Nature communications. — 2015. — T. 6, № 1. — C. 1—5.

16. Xu J., Miller Jr J., Ting C. Magnetic levitation force and penetration depth in type-II superconductors // Physical Review B. — 1995. — T. 51, № 1. — C. 424.

17. Local measurement of the penetration depth in the pnictide superconductor Ba (Fe 0.95 Co 0.05) 2 As 2 / L. Luan [h pp.] // Physical Review B. - 2010. -T. 81, № 10. - C. 100501.

18. Berthe R., Hartmann U., Heiden C. Scanning tunneling microscopy of the Abrikosov flux lattice with ferromagnetic probes // Applied physics letters. — 1990. - T. 57, № 22. - C. 2351-2353.

19. Observation of single vortices condensed into a vortex-glass phase by magnetic force microscopy / A. Moser [h ,np.] // Physical review letters. — 1995. — T. 74, № 10. - C. 1847.

20. Vortex images in thin films of YBa2Cu307- x and Bi2Sr2CalCu208+ x obtained by low-temperature magnetic force microscopy / C. Yuan [h ,np.] // Journal of Vacuum Science & Technology B: Microelectronics and Nanometer Structures Processing, Measurement, and Phenomena. — 1996. — T. 14, № 2. - C. 1210-1213.

21. Magnetic domain structure in ultrathin films / G. Bochi [h ,np.] // Physical review letters. - 1995. - T. 75, № 9. - C. 1839.

22. Perpendicular magnetic anisotropy and magnetic domain structure in sputtered epitaxial FePt (001) LI 0 films / J.-U. Thiele [h ,np.] // Journal of Applied Physics. - 1998. - T. 84, № 10. - C. 5686-5692.

23. The magnetic anisotropy and domain structure of permalloy antidot arrays / C. Yu [h pp.] // Journal of Applied Physics. - 2000. - T. 87, № 9. - C. 63226324.

24. Polshyn H., Naibert T. R., Budakian R. Imaging phase slip dynamics in micron-size superc- onducting rings // Physical Review B. — 2018. — T. 97, ..V" 18. - C. 184501.

25. $0-Magnetic Force Microscopy for Imaging and Control of Vortex Dynamics / T. Naibert [h ,np.] // arXiv preprint arXiv:1705.08956. — 2017.

26. Polshyn H., Naibert T., Budakian R. Manipulating multivortex states in superconducting structures // Nano letters. — 2019. — T. 19, № 8. — C. 5476 5482.

27. Observation of interacting Josephson vortex chains by magnetic force microscopy / S. Y. Grebenchuk [h ,np.] // Physical Review Research. — 2020. — T. 2, №

2. - C. 023105.

28. Anomalous magneto-resistance of Ni-nanowire/Nb hybrid system / O. Skryabina |n ;ip.| // Scientific reports. - 2019. - T. 9, № 1. - C. 1-7.

29. Direct observation of Josephson vortex cores / D. Roditchev [h ,np.] // Nature Physics. - 2015. - T. 11, № 4. - C. 332-337.

30. Coupling of two superconductors through a ferromagnet: Evidence for a w junction / V. Ryazanov [h ,np.] // Physical review letters. — 2001. — T. 86, ..V" 11. - C. 2427.

31. Demler E. A., Arnold G., Beasley M. Superconducting proximity effects in magnetic metals // Physical Review B. - 1997. - T. 55, № 22. - C. 15174.

32. Buzdin A. /., Bulaevskii L.7 Panyukov S. Critical-current oscillations as a function of the exchange field and thickness of the ferromagnetic metal (F) in an SFS Josephson junction // JETP lett. - 1982. - T. 35, № 4. - C. 178 180.

33. Magnetic switches based on Nb-PdFe-Nb Josephson junctions with a magnetically soft ferro- magnetic interlayer / V. Bol'ginov [h ßp.] // JETP letters. — 2012. - T. 95, № 7. - C. 366-371.

34. Ferromagnetic Josephson switching device with high characteristic voltage / T. I. Larkin [h ^p.] // Applied Physics Letters. - 2012. - T. 100, № 22. -C. 222601.

35. Theoretical model of superconducting spintronic SIsFS devices / S. Bakurskiy [h Ap.] // Applied physics letters. - 2013. - T. 102, № 19. - C. 192603.

36. Micromagnetic modeling of critical current oscillations in magnetic Josephson junctions / I. Golovchanskiy [h ßp.] // Physical Review B. — 2016. — T. 94, ..V" 21. - C. 214514.

37. Onnes H. K. Leiden Comm // Vols. 122b and 124c. - 1911. - C. 787.

38. Meissner W., Ochsenfeld R. Ein neuer effekt bei eintritt der Supraleitfähigkeit // Naturwissenschaften. - 1933. - T. 21, № 44. - C. 787-788.

39. Domain Meissner state and spontaneous vortex-antivortex generation in the ferromagnetic superconductor EuFe2 (AsO. 79P0. 21) 2 / V. S. Stolyarov [h ;ip.| // Science advances. — 2018. — T. 4, № 7. — eaatl061.

40. London F., London H. The electromagnetic equations of the supraconductor // Proceedings of the Royal Society of London. Series A-Mathematical and Physical Sciences. - 1935. - T. 149, № 866. - C. 71-88.

41. Ginzburg V., Landau L. Zh. Eksp. Teor. Fiz. // SSSR 20. - 1950. - T. 1063.

42. Extended Ginzburg-Landau formalism for two-band superconductors / A. Shanenko [h ßp.] // Physical review letters. — 2011. — T. 106, № 4. — C. 047005.

43. Ginzburg-Landau theory for multiband superconductors: microscopic derivation / N. Orlova |n ;ip.| // Physical Review B. - 2013. - T. 87, № 13. - C. 134510.

44. Bardeen J., Cooper L. N., Schrieffer J. R. Theory of superconductivity // Physical review. - 1957. - T. 108, № 5. - C. 1175.

45. Verlag S. A. Heidelberg/Berlin // New York. — 2000.

46. Einzel D. Superfluids // Encyclopedia of Mathematical Physics. — 2005.

47. Bogolyubov N. On a new method in the theory of superconductivity. I; III // Zh. Eksp. Teor. Fiz. - 1958. - T. 34, № 1. - C. 58-65.

48. Abrikosov A. LP Gorkov et IE Dzyaloshinski // Methods of Quantum Field. — 1965.

49. London F. Superfluids New York. — 1950.

50. Doll R., Nähauer M. Experimental proof of magnetic flux quantization in a superconducting ring // Physical Review Letters. — 1961. — T. 7, № 2. — C. 51.

51. Deaver Jr B. S., Fairbank W. M. Experimental evidence for quantized flux in superconducting cylinders // Physical Review Letters. — 1961. — T. 7, ..V" 2. - C. 43.

52. Josephson current mediated by ballistic topological states in Bi 2 Te 2.3 Se 0.7 single nanocrystals / V. S. Stolyarov [h ßp.] // Communications Materials. — 2020. T. 1. ..V" 1. C. 1-11.

53. Ferrell R. A., Prange R. E. Self-field limiting of Josephson tunneling of superconducting electron pairs // Physical Review Letters. — 1963. — T. 10, ..V" 11. - C. 479.

54. Gross R.7 Marx A., Deppe F. Applied superconductivity: Josephson effect and superconducting electronics. — 2016.

55. Rubinstein J. Sine-Gordon Equation // Journal of Mathematical Physics. — 1970. - T. 11, № 1. - C. 258-266.

56. Calculations of the Josephson current distribution in two-dimensional tunnel junctions / J. Mannhart [h ,np.] // Physics Letters A. — 1987. — T. 121, № 5. - C. 241-244.

57. Spatial distribution of the maximum Josephson current in superconducting tunnel junctions / J. Mannhart [h ,np.] // Journal of low temperature physics. -1988. - T. 70, № 5. - C. 459-484.

58. Abrikosov A. A. On the magnetic properties of superconductors of the second group // Sov. Phys. JETP. - 1957. — T. 5. — C. 1174-1182.

59. Essmann U., Trauble H. The direct observation of individual flux lines in type II superconductors // Physics letters A. - 1967. - T. 24, № 10. - C. 526527.

60. JIapKun A. M. >K. 58 1466 (1970); Larkin AI // Sov. Phys. JETP. - 1970. -T. 31. - C. 784.

61. Larkin A. Ovchinnikov Yu. N // J. Low Temp. Phys. - 1979. - T. 34, № 3/ 4. - C. 409.

62. Mixed pinning landscape in nanoparticle-introduced YGdBa 2 Cu 3 O y films grown by metal organic deposition / M. Miura [h ,np.] // Physical Review B. - 2011. - T. 83, № 18. - C. 184519.

63. Collective interaction-driven ratchet for transporting flux quanta / C. Olson |n ;ip.| // Physical review letters. - 2001. - T. 87, № 17. - C. 177002.

64. Controlled multiple reversals of a ratchet effect / C. C. de Souza Silva [h ;ip.| // Nature. - 2006. - T. 440, № 7084. - C. 651-654.

65. A superconducting reversible rectifier that controls the motion of magnetic flux quanta / J. Villegas [и др.] // science. - 2003. - Т. 302, № 5648. -С. 1188-1191.

66. Vortex-rectification effects in films with periodic asymmetric pinning / J. Van de Vondel [и др.] // Physical review letters. — 2005. — T. 94, № 5. -C. 057003.

67. Controllable step motors and rectifiers of magnetic flux quanta using periodic arrays of asymmetric pinning defects / B. Zhu [и др.] // Physical Review B. - 2003. - T. 68, № 1. - C. 014514.

68. Savel'Ev S., Nori F. Experimentally realizable devices for controlling the motion of magnetic flux quanta in anisotropic superconductors // Nature Materials. - 2002. - Т. 1, № 3. - C. 179-184.

69. Mkrtchyan G., Shmidt V. Interaction between a cavity and a vortex in a superconductor of the second kind // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 1972. - T. 34. - C. 195.

70. Andreev A. The thermal conductivity of the intermediate state in superconductors // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1964. — Т 40. ^ 5. - С. 1823-1828.

71. Magnetization dynamics in dilute Pdl-x Fe x thin films and patterned microstructures considered for superconducting electronics / I. Golovchanskiy [и др.] // Journal of Applied Physics. - 2016. - T. 120, № 16. - C. 163902.

72. Likharev K. Semenov V. K. RSFQ logic/memory family: A new Josephson-junction technology for sub-terahertz-clock-frequency digital systems // IEEE transactions on applied superconductivity. — 1991. — T. 1, № 1. — C. 3—28.

73. Deutscher G., De Gennes P. Proximity effects // Superconductivity. — 1969. — T. 2.

74. Andreev A. Electrodynamics of the Intermediate State // Soviet Physics .IKTP. - 1967. - T. 24, № 5.

75. Kulik I. Macroscopic quantization and the proximity effect in SNS junctions // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1969. — T. 30. — C. 944.

76. Krasnov V., Oboznov V., Pedersen N. F. Fluxon dynamics in long Josephson junctions in the presence of a temperature gradient or spatial nonuniformity // Physical Review B. - 1997. - T. 55, № 21. - C. 14486.

77. Benabdallah A., Caputo J., Scott A. C. Exponentially tapered Josephson flux-flow oscillator // Physical Review B. - 1996. - T. 54, № 22. - C. 16139.

78. Buzdin A., Koshelev A. Periodic alternating 0-and ^-junction structures as realization of ^-Josephson junctions // Physical Review B. — 2003. — T. 67, ..V" 22. - C. 220504.

79. Experimental evidence of a p Josephson junction / H. Sickinger [h ^p.] // Physical review letters. - 2012. - T. 109, № 10. - C. 107002.

80. Superconducting phase domains for memory applications / S. Bakurskiy [h Ap.] // Applied physics letters. - 2016. - T. 108, № 4. - C. 042602.

81. Weides M. Magnetic anisotropy in ferromagnetic Josephson junctions // Applied Physics Letters. - 2008. - T. 93, № 5. - C. 052502.

82. Iovan A., Golod T., Krasnov V. M. Controllable generation of a spin-triplet supercurrent in a Josephson spin valve // Physical Review B. — 2014. — T. 90, № 13. - C. 134514.

83. Nonideal artificial phase discontinuity in long Josephson 0- k, junctions / T. Gaber |n ;ip.| // Physical Review B. - 2005. - T. 72, № 5. - C. 054522.

84. Local current injection into mesoscopic superconductors for the manipulation of quantum states / M. Milosevic [h ^p.] // Physical review letters. — 2009. — T. 103, № 21. - C. 217003.

85. Ex situ elaborated proximity mesoscopic structures for ultrahigh vacuum scanning tunneling spectroscopy / V. Stolyarov [h ,np.] // Applied Physics Letters. - 2014. - T. 104, № 17. - C. 172604.

86. Magnetic Josephson junctions with superconducting interlayer for cryogenic memory / I. V. Vernik [h ,np.] // IEEE transactions on applied superconductivity. -2012. - T. 23, № 3. - C. 1701208-1701208.

87. Observation of the dominant spin-triplet supercurrent in Josephson spin valves with strong Ni ferromagnets / O. Kapran [h AP-] // Physical Review Research. — 2020. - T. 2, № 1. - C. 013167.

88. Crossover between short-and long-range proximity effects in superconductor/ ferromagnet/superconductor junctions with Ni-based ferromagnets / O. M. Kapran [h pp.] // Physical Review B. - 2021. - T. 103, № 9. - C. 094509.

89. Temperature-dependent magnetic force microscopy investigation of epitaxial MnAs films on GaAs (001) / T. Plake [h ,np.] // Applied physics letters. — 2003. - T. 82, № 14. - C. 2308-2310.

90. Observation of the Abrikosov vortex lattice in NbSe 2 with magnetic force microscopy / A. Volodin [h ,np.] // Applied physics letters. — 1998. — T. 73, ..V" 8. - C. 1134-1136.

91. Mironov V. L. Fundamentals of scanning probe microscopy // Nizhniy Novgorod. - 2004. - C. 5.

92. SPM Basics: 2.2 Magnetic Force Microscopy: Quantitative Results Treatment. —.

93. Likharev K. K. Superconductor digital electronics // Physica C: Superconductivity and its applications. — 2012. — T. 482. — C. 6—18.

94. Towards fault-tolerant quantum computing with trapped ions / J. Benhelm |n ;ip.| // Nature Physics. - 2008. - T. 4, № 6. - C. 463-466.

95. Bennemann Kn Ketterson J. Superconductivity: Conventional and Unconventional Superconductors, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. — 2008.

96. Scanning-tunneling-microscope observation of the Abrikosov flux lattice and the density of states near and inside a fluxoid / H. Hess [h ,np.] // Physical review letters. - 1989. - T. 62, № 2. - C. 214.

97. Remarkable effects of disorder on superconductivity of single atomic layers of lead on silicon / C. Brun |n ;ip.| // Nature Physics. — 2014. — T. 10, № 6. — C. 444-450.

98. Imaging Josephson Vortices on the Surface Superconductor Si (lll)-(7x 3)-In using a Scanning Tunneling Microscope / S. Yoshizawa [h ,np.] // Physical review letters. - 2014. - T. 113, № 24. - C. 247004.

99. Expansion of a superconducting vortex core into a diffusive metal / V. S. Stolyarov [h /i,p.] // Nature communications. — 2018. — T. 9, № 1. — C. 1—8.

100. Likharev K. Dynamics of Josephson Junctions and Circuits Gordon and Breach // New York. - 1986. - C. 92.

101. Buzdin A. I. Proximity effects in superconductor-ferromagnet heterostructures // Reviews of modern physics. — 2005. — T. 77, № 3. — C. 935.

102. Golubov A. A., Kupriyanov M. Y., IVIchev E. The current-phase relation in Josephson junctions // Reviews of modern physics. — 2004. — T. 76, № 2. — C. 411.

103. Microwave photon counter based on Josephson junctions / Y.-F. Chen [h ;ip.| // Physical review letters. - 2011. - T. 107, № 21. - C. 217401.

104. Russer P., Russer J. A. Nanoelectronic rf josephson devices // IEEE transactions on microwave theory and techniques. — 2011. — T. 59, № 10. — C. 2685—2701.

105. Takayanagi H., Akazaki T., Nitta J. Interference effects on the critical current in a clean-limit superconductor-normal-metal-superconductor junction // Physical Review B. - 1995. - T. 51, № 2. - C. 1374.

106. A ballistic graphene superconducting microwave circuit / F. E. Schmidt [h ;ip.| // Nature communications. — 2018. — T. 9, № 1. — C. 1—7.

107. 4^-periodic Andreev bound states in a Dirac semimetal / C. Li [h pp.] // Nature materials. - 2018. - T. 17, № 10. - C. 875-880.

108. Scanning tunneling spectroscopy study of the proximity effect in a disordered two-dimensional metal / L. Serrier-Garcia [h ^p.] // Physical review letters. — 2013. - T. 110, № 15. - C. 157003.

109. Proximity effect between two superconductors spatially resolved by scanning tunneling spectroscopy / V. Cherkez [h ^p.] // Physical Review X. — 2014. — T. 4, № 1. - C. 011033.

110. Visualization of geometric influences on proximity effects in heterogeneous superconductor thin films / J. Kim [h ^p.] // Nature Physics. — 2012. — T. 8, ..V" 6. - C. 464-469.

111. Veauvy C., Hasselbach K., Ma,My D. Scanning ^-superconduction quantum interference device force microscope // Review of scientific instruments. — 2002. - T. 73, № 11. - C. 3825-3830.

112. A scanning superconducting quantum interference device with single electron spin sensitivity / D. Vasyukov [h ^p.] // Nature nanotechnology. — 2013. — T. 8, № 9. - C. 639-644.

113. Golod T., Kapran 0. M.. Krasnov V. M. Planar superconductor-ferromagnet-superconductor Josephson junctions as scanning-probe sensors // Physical Review Applied. - 2019. - T. 11, № 1. - C. 014062.

114. Josephson junction in a thin film / V. Kogan [h ^p.] // Physical Review B. — 2001. - T. 63, № 14. - C. 144501.

115. Clem J. R. Josephson junctions in thin and narrow rectangular superconducting strips // Physical Review B. - 2010. - T. 81, № 14. - C. 144515.

116. Evidence for nonlocal electrodynamics in planar Josephson junctions / A. A. Boris [h Ap.] // Physical review letters. - 2013. - T. Ill, № 11. - C. 117002.

117. Krasnov V., Oboznov V., Pedersen N. F. Fluxon dynamics in long Josephson junctions in the presence of a temperature gradient or spatial nonuniformity // Physical Review B. - 1997. - T. 55, № 21. - C. 14486.

118. Blatter G., Geshkenbein V. B., Ioffe L. B. Design aspects of superconducting-phase quantum bits // Physical Review B. 2001. T. 63. A" 17. 0.174511.

119. Transformed dissipation in superconducting quantum circuits / M. Neeley [h ;ip.| // Physical Review B. - 2008. - T. 77, № 18. - C. 180508.

120. Superconducting nanocircuits for topologically protected qubits / S. Gladchenko |n ;ip.| // Nature Physics. - 2009. - T. 5, № 1. - C. 48-53.

121. Majer J., Butcher J., Mooij J. Simple phase bias for superconducting circuits // Applied Physics Letters. - 2002. - T. 80, № 19. - C. 3638-3640.

122. Wulf A/.. Ohki T. A., Feldman M. J. A simple circuit to supply constant flux biases for superconducting quantum computing // Journal of Physics: Conference Series. T. 43. - IOP Publishing. 2006. - C. 342.

123. Development and testing of a persistent flux bias for qubits / L. Longobardi [h ^p.] // IEEE transactions on applied superconductivity. — 2007. — T. 17, № 2. - C. 88-89.

124. Tuning the gap of a superconducting flux qubit / F. Paauw [h ^p.] // Physical review letters. - 2009. - T. 102, № 9. - C. 090501.

125. Coherent operation of a gap-tunable flux qubit / X. Zhu [h ^p.] // Applied Physics Letters. - 2010. - T. 97, № 10. - C. 102503.

126. Tuned transition from quantum to classical for macroscopic quantum states / A. Fedorov [h ^p.] // Physical review letters. — 2011. — T. 106, № 17. — C. 170404.

127. Gradiometric flux qubits with a tunable gap / M. Schwarz [h ^p.] // New Journal of Physics. - 2013. - T. 15, № 4. - C. 045001.

128. Working point adjustable dc-squid for the readout of gap tunable flux qubit / H. Deng [h /i,p.] // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. — 2015. - T. 25, № 3. - C. 1-4.

129. Fluxonium-based artificial molecule with a tunable magnetic moment / A. Kou |n ;ip.| // Physical Review X. - 2017. - T. 7, № 3. - C. 031037.

130. Flip-flopping fractional flux quanta / T. Ortlepp [h ,np.] // Science. — 2006. — T. 312, № 5779. - C. 1495-1497.

131. Implementation of superconductor/ferromagnet/superconductor ^-shifters in superconducting digital and quantum circuits / A. Feofanov [h ,np.] // Nature Physics. - 2010. - T. 6, № 8. - C. 593-597.

132. Passive phase shifter for superconducting Josephson circuits / D. Balashov [h /i,p.] // IEEE transactions on applied superconductivity. — 2007. — T. 17, ..V" 2. - C. 142-145.

133. Implementation of superconductive passive phase shifters in high-speed integrated RSFQ digital circuits / B. Dimov [h ,np.] // Superconductor Science and Technology. - 2008. - T. 21, № 4. - C. 045007.

134. Beyond Moore's technologies: operation principles of a superconductor alternative / I. I. Soloviev [h /i,p.] // Beilstein journal of nanotechnology. — 2017. — T. 8, № 1. - C. 2689-2710.

135. Hybrid superconducting-magnetic memory device using competing order parameters / B. Baek |n ;ip.| // Nature communications. — 2014. — T. 5, № 1. — C. 1-6.

136. Spin-valve Josephson junctions for cryogenic memory / B. M. Niedzielski [h ;ip.| // Physical Review B. - 2018. - T. 97, № 2. - C. 024517.

137. A Josephson phase battery / E. Strambini [h ,np.] // Nature Nanotechnology. — 2020. - T. 15, № 8. - C. 656-660.

138. Nonideal artificial phase discontinuity in long Josephson 0- n junctions / T. Gaber |n ;ip.| // Physical Review B. - 2005. - T. 72, № 5. - C. 054522.

139. Golod T., Pagliero A., Krasnov V. Mechanism of generation of a Josephson phase shift by an Abrikosov vortex // arXiv preprint arXiv:1908.10699. — 2019.

140. Magnetic field tunable vortex diode made of YBa2Cu307- 5 Josephson junction asymmetrical arrays / B. Chesca [h ^p.] // Applied Physics Letters. — 2017. — T. Ill, № 6. - C. 062602.

141. Josephson junction through a thin ferromagnetic layer: negative coupling / T. Kontos [h Ap.] // Physical review letters. - 2002. - T. 89, № 13. - C. 137007.

142. Half-integer Shapiro steps at the 0- w crossover of a ferromagnetic Josephson junction / H. Sellier [h ,np.] // Physical review letters. — 2004. — T. 92, № 25. - C. 257005.

143. Controllable 0^ Josephson junctions containing a ferromagnetic spin valve / E. Gingrich |n ;ip.| // Nature Physics. - 2016. - T. 12, № 6. - C. 564-567.

144. Kato T., Golubov A. A., Nakamura Y. Decoherence in a superconducting flux qubit with a ^-junction // Physical Review B. — 2007. — T. 76, № 17. — C. 172502.

145. Noise correlations in a flux qubit with tunable tunnel coupling / S. Gustavsson |n ;ip.| // Physical Review B. - 2011. - T. 84, № 1. - C. 014525.

146. Clem J. R. Effect of nearby Pearl vortices upon the I c versus B characteristics of planar Josephson junctions in thin and narrow superconducting strips // Physical Review B. - 2011. - T. 84, № 13. - C. 134502.

147. Sok J., Finnemore D. Thermal depinning of a single superconducting vortex in Nb // Physical Review B. - 1994. - T. 50, № 17. - C. 12770.

148. Optical manipulation of single flux quanta / I. S. Veshchunov [h ,np.] // Nature communications. — 2016. — T. 7, № 1. — C. 1—7.

149. Anomalous Josephson effect controlled by an Abrikosov vortex / S. Mironov |n ;ip.| // Physical Review B. - 2017. - T. 96, № 21. - C. 214515.

150. Krasnov V., Winkler D. Static and dynamic properties of stacked Josephson junctions: Analytic solution // Physical Review B. — 1997. — T. 56, № 14. — C. 9106.

151. Design of all-dc-powered high-speed single flux quantum random access memory based on a pipeline structure for memory cell arrays / S. Nagasawa [h ^p.] // Superconductor Science and Technology. — 2006. — T. 19, № 5. — S325.

152. Memory effect and triplet pairing generation in the superconducting exchange biased Co/CoOx/Cu41Ni59/Nb/Cu41Ni59 layered heterostructure / V. I. Zdravkov [h ^p.] // Applied Physics Letters. — 2013. — T. 103, № 6. — C. 062604.

153. Supercurrent-controlled kinetic inductance superconducting memory element / E. Ilin [h Ap.] // Applied Physics Letters. - 2021. - T. 118, № 11. -C. 112603.

154. Magnetic Josephson junction technology for digital and memory applications / V. V. Ryazanov |n ;ip.| // Physics Procedia. — 2012. — T. 36. — C. 35—41.

155. Josephson tunnel junctions with a strong ferromagnetic interlayer / A. Bannykh |n ;ip.| // Physical Review B. - 2009. - T. 79, № 5. - C. 054501.

156. Characterization of scalable Josephson memory element containing a strong ferromagnet / L. Parlato [h ^p.] // Journal of Applied Physics. — 2020. — T. 127, № 19. - C. 193901.

157. Martinis J. M.. Devoret M. H., Clarke J. Experimental tests for the quantum behavior of a macroscopic degree of freedom: The phase difference across a Josephson junction // Physical Review B. - 1987. - T. 35, № 10. - C. 4682.

158. Martinis J. M.. Grabert H. Thermal enhancement of macroscopic quantum tunneling: Derivation from noise theory // Physical Review B. — 1988. — T. 38, № 4. - C. 2371.

159. Kautz R. L., Martinis J. M. Noise-affected I-V curves in small hysteretic Josephson junctions // Physical Review B. - 1990. - T. 42, № 16. - C. 9903.

160. Anticorrelation between temperature and fluctuations of the switching current in moderately damped Josephson junctions / V. M. Krasnov [h ßp.] // Physical Review B. - 2007. - T. 76, № 22. - C. 224517.

161. Makhlin F., Schon G., Shnirman A. Statistics and noise in a quantum measurement process // Physical review letters. — 2000. — T. 85, № 21. — C. 4578.

162. Decoherence and 1/f noise in Josephson qubits / E. Paladino [h ßp.] // Physical Review Letters. - 2002. - T. 88, № 22. - C. 228304.

163. Faivre T., Golubev D., Pekola J. P. Josephson junction based thermometer and its application in bolometry // Journal of Applied Physics. — 2014. — T. 116, № 9. - C. 094302.

164. Low noise YBa2Cu307- Ö grain boundary junction de SQUIDs / R. Gross |n ;ip.| // Applied physics letters. - 1990. - T. 57, № 7. - C. 727-729.

165. High-transition-temperature superconducting quantum interference devices / D. Koelle [h ßp.] // Reviews of Modern Physics. — 1999. — T. 71, № 3. — C. 631.

166. Scanning SQUID susceptometers with sub-micron spatial resolution / J. R. Kirtley [h /i,p.] // Review of Scientific Instruments. — 2016. — T. 87, № 9. — C. 093702.

167. Self-aligned nanoscale SQUID on a tip / A. Finkler [h ßp.] // Nano letters. — 2010. - T. 10, № 3. - C. 1046-1049.

168. Josephson coupling in the dissipative state of a thermally hysteretic^-SQUID / S. Biswas |n ;ip.| // Physical Review B. - 2018. - T. 98, № 17. - C. 174514.

170.

171.

172.

4 ^-periodic Josephson supercurrent in HgTe-based topological Josephson junctions / J. Wiedenmann [h ,np.] // Nature communications. — 2016. — T. 7, № 1. - C. 1-7.

Dominguez F., Hassler F., Platero G. Dynamical detection of Majorana fermions in current-biased nanowires // Physical Review B. — 2012. — T. 86, № 14. - C. 140503.

Phase-Sensitive Evidence for the Sign-Reversal s±Symmetry of the Order Parameter in an Iron-Pnictide Superconductor Using Nb/Ba 1- x Na x Fe 2 As 2 Josephson Junctions / A. A. Kalenyuk [h ,np.] // Physical review letters. - 2018. - T. 120, № 6. - C. 067001.

Newell A. J., Williams W., Dunlop D. J. A generalization of the demagnetizing tensor for nonuniform magnetization // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. - 1993. - T. 98, B6. - C. 9551-9555.

Приложение А Микромагнетизм

В микромагнетизме намагниченность представлена непрерывной функцией орентацпп магнитного мометпта. Каждый магнитный макро-спин представлен как М = М8т, где - намагниченность насыщения, а т - орентация макроспина. Цель метода-определить направления намагниченности повсюду в материале, когда присутствуют разные компоненты эффективного магнитного поля.

А.1. Уравнение движения

Ландау-Лифшица-Гильберта(ЬЬС)

В ферромагнетике состояние равновесия достигается, когда магнитный вектор М выравнивается вдоль эффективного поля Heff. Прецессия прекращается из-за диссипативных (затухающих) сил. Ландау и Лифшиц феноменологически выразил этот демпфирующий член как демпфирующий момент, ориентированный в направлении поля Не^, вынуждающий магнитный вектор М выравниваться с Н^. Полное уравнение движения становится суммой прецессионного члена и затухающего члена и записывается следующим образом:

М = -7(Т + ^М х Т) (А.1)

В выражении А.1 Л - частота релаксации, которая должна удовлетворять условию Л ^ 'уМд т. е. амплитуда демпфирования должна быть на много меньше, чем прецессия крутящего момента.

Векторы из уравнения А.1 изображены на рис. А.1, гдеТ1 = Т = МхН^, а Т2 = (Х/^М^)М х Т-член отвечающий за демпфирование. Для получения более простого уравнения перейдем к безразмерным величинам, нормируя ком-

Рис. А.1. Векторное представление уравнения движения ЬЬС

поненты уравнения А.1 на намагниченность насыщения:

М

т =

М.

(А.2)

Ь =

н

ж

Очевидно что в этом случи модуль вектора |т|2 величину

г = 7М8т

В таких единицах уравнение А.1 принимает вид

^т

(А.З)

1, а время меняется на

(А.4)

(И

= —т х Ь — ат х (т х Ь)

(А.5)

Дискретизированная форма для уравнения А.5 есть

Ат

= —т х Ь — ат х (т х Ь)

А t

(А.6)

Направление спинов в определенный момент времени может быть найдено из предыдущего состояния спина, на основании ЬЬС и теоремы Эйлера. В результате значительных итераций из начальной конфигурации, приведенной до начала расчета, ожидается, что численное моделирование достигнет метаста-бильного состояния, где полная энергия достигает точки локального минимума. Чтобы подтвердить, что расчет достигает метастабильного состояния, спины

должны удовлетворять уравнению: ориентации макроспинов должны удовлетворять магнитостатическому уравнению Брауна:

Таким образом, в этом динамическом методе требуется критерий сходимости для остановки этого цикла на основе этого уравнения. Этим критерием является проверка выполнения уравнения Брауна А.7 для каждого макроспина в каждой расчетной ячейке. Оно должен быть меньше предопределенного значения допуска по порядку. Другими словами, прямое интегрирование уравнения ЬЬС проводится до тех пор, пока момент вращения в каждой расчетной ячейке превышает 10-6 ми 10-7.Если это значение установить слишком большим то итерация может быть остановлена при неустойчивом состоянии.А если слишком маленьким, то время итераций может выйти за пределы разумного.

В этой работе параметром остановки было выбрано значение 10-7, что является оптимальным для вычислений данной работы.

АЛЛ. Компоненты эффективного магнитного поля

В уравнении А.1 локальное эффективное полеЬед- включает в себя компоненты поля обменного взаимодействия, поля анизотропии,магнтиостатическое поле и наконец внешнее поле.

В этой главе будут продемонстрированы метод расчета этих полей. Обменное поле

Главным свойством ферромагнетиков является его предпочтение параллельному выравниванию локальных магнитных моментов. Отклонения от этого идеального случая приводят к увеличению энергии на величину:

ШН = 0

(А.7)

Ь = Ьех + Ь ап + Ь ze + Ьаш

(А.8)

(А.9)

Рис, А,2, Ферромагнитное и антиферомагнитное состояние

где 81^ ^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^х спинов в разных положениях, а обменный интеграл. Положительный обменный интеграл характерен для ферромагнитных материалов, а такие материалы генерируют атомарные магнитные поля, выравнивая их параллельно. Отрицательный ^ характерен для антиферромагнитных материалов, которые состоят из мультиподрешеток с противоположными ориентациями (рис. А.2).

Плотность обменной энергии может быть вычислена по уравнению

I I9

Е.,., = Щ - (АЛО)

где А - обменная жесткость материала.

Из уравнения А. 10 можно получить эффективное поле обменного взаимодействия, дифференцируя энергию по моменту в точке

—2А-■

Ьех =--_ 13 _ (т1 — т;) (А.11)

ц0М231Щ - Щ Р 1 ; 1 ;

Поле анизотропии

Энергия ферромагнетика зависит от направления намагниченности относительно кристаллографических осей материала. Эта зависимость, которая в основном является результатом спин-орбитальных взаимодействий, описывается энергией анизотропии.

В программном обеспечении, используемом для микромагнитных расчетов в рамках этой диссертации, мы можем учитывать одноосные и кубические кри-

сталлические анизотропии или их комбинацию. Индуцированную анизотропию можно также принять во внимание как дополнительную одноосную анизотропию. Однако анизотропия формы рассматривается как часть энергии размагничивания.

Когда намагниченность М орентерована под полярным углом 9 отоси-тельно легкой оси, общий вид для плотности энергии можно записать в виде Uk = К sin2 в, где К - постоянная плотности энергии, представляющая величину плотности энергии анизотропии.

В декартовых координатах мы можем записать плотность энергии как

ик = К sin2 9 = К (1 - eos2 9) = К (1 - mz2) = К (1 - mzmz)

= К(1 - mzМ) = К - 1 М(—mz) = К^MHan

v z М/ 2 KMS ' 2

где

(А.12)

М

откуда

2К

Han = -ту mz = нк (mn)n (А. 13)

han = 772(А-14)

2К

Эта формула справедлива и для рандомной одноосной анизотропии. называ-

ется напряженностью локальной анизотропии,п является единичным вектором легкого направления.

Магнитостатическое поле

Одна из самых выдающихся черт этого вклада в эффективное поле состоит в том, что оно имеет очень большой диапазон. Этот диапазон заставляет его быть детерминированным шестикратным интегралом в трех измерениях, в отличие от анизотропии и обменных энергетических вкладов, которые определяются тремя (кратными интегралами). При численном вычислении для системы, содержащей п элементарных ячеек, длинный диапазон означает, что вклад магни-тостатической энергии включает в себя взаимодействие каждой ячейки со всеми остальными, таким образом, с участием п2 операций, в то время как для расчета

обмена и анизотропии требуется п операций. Поэтому при вычислении магни-тостатической энергии в типичном микромагнитном расчете требуется почти все компьютерное время. Размагничивающая энергия также является энергией с самым большим спросом на память компьютера. Он ограничивает размер выборки ниже микрометрической области, предполагая суперкомпьютер с 500 ОК1орн. Любая попытка заменить данную силу эквивалентным "коротким" приводит к неправильным результатам.

Силы размагничивания ответственны за образование доменов, т. е. за релаксацию в сторону размагниченного состояния. Только два вклада в эффективное поле (анизотропия и обменное взаимодействие) не приводят к формированию доменной структуры. Обменное взаимодействие благоприятствует параллельной намагниченности, направленной в любом направлении, в то время как анизотропия определяет предпочтительное кристаллографическое направление. Следовательно, эти два взаимодействия приводят к однодоменной структуре. Однако это состояние высокой энергии. Чтобы уменьшить энергию, магнитная структура распадается на множественную доменную конфигурацию, чтобы уменьшить поверхностные заряды или блуждающие поля.

Поле магнитостатического взаимодействия в данной работе дается формулой

Ьау = -Кт (А.15)

где Ыц является размагничивающим тензором и зависит от формы образца и зависит от взаимного положения двух спинов 1 и ].

Существует несколько методов оценки этого тензора, но наиболее точный был дан Андреем Нюелом [172] в 1993 г. В декартовых координатах тензор для ли пол ь-ди полыюго приближения определяется следующим образом

^^^X X Nху

N = Nух Куу Куг (А.16)

Ъх N.у N..

Расчет для каждого элемента в этой матрице разделен на две части. Первый шаг заключается в вычислении элемента на диагонали Nxx, Nyy, Nzz:

Nxx(X, Y, Z) = ~r^7[2F(X, Y, Z) - F(X + Ax, Y, Z) - F(X - Ax, У, Z)] (A.17)

4KV

где X, Y, Z - разность координат между двумя спинами; Дх, Ду, Az - длина стороны кубической ячейки в этой работе; V - объем ячейки, равное AxAyAz . F (X, Y, Z) дается рекурсивной формулой

F(X, Y, Z) = F\(X, Y+Ду, Z+Az)-Fi(X, Y, Z+Az)-Fi(X, Y+Ay, Z)+Fi(X, Y, Z)

(A.18)

где F1 дается формулой

F\(X, Y, Z) = F2(X, Y-Ay, Z-Az)-F2(X, Y, Z-Az)-F2(X, Y-Ay, Z)+F2(X, Y, Z)

(A.19)

где F2 дается формулой

F2(X, Y, Z) = [f (X, 0, 0) - f (X, 0, Z) - f (X, Y, 0) + f (X, Y, Z)] (A.20)

где f дается формулой

Y Y 7 7

f (x, y, z) = - (z2 - Y2)sinh-1( , 1 ) + - (Y2 - X2)sinh-1( , ^ ) J\ ту, ) 2V ; WX^+Z2 2K J \/Y2 + Z2;

Y 7 1

^xyz tan-1(--) + ~(2X2 - Y2 - Z2)R XK 6

(A.21)

где R = л/X2 + Y2 + Z2.Остальные диагональные члены можно найти простой перестановкой X,Y,Z.

Следующим шагом является расчёт недиагональных элементов.Начнем с

ХХу

Nxy(X, Y, Z) = -^-[G(X, Y, Z) - G(X - Ax, Y, Z) - G(X, Y + Ax, Z)

(A.22)

+G(X - Ax, Y + Ay,Z)]

где G дается формулой

G(X,Y,Z) = [Gi (X,Y - Ay,Z - Az) - G (X,Y,Z - Az) - G (X,Y - Ay,Z) +

G (X, Y, Z)] (A.23)

G

G(X,Y,Z) = [G2(X + Ax,Y,Z + Az) - G2(X,Y,Z + Az) - G2(X + Ax,Y,Z) +

G (X, Y, Z)] (A.24)

G2

G2(X, Y, Z) = g(X, Y, Z) - g(X, Y, 0) (A.25)

Z Y X

g(X, Y, Z) = (XYZ)sinh-1 ( , Z ) + Y(3Z2 - Y2)sinh-1( , X ) + У( , , ) ( ) ( ^x 2 + Y2) 6( ) (VY2 + Z2)

X(3Z2 - X2)sinh-1( , Y ) - — tan-1(XY) 6V ; VX 2 + Z 2 6 KZRJ

XY2 ZX2 _UYX XYR tan (^77)---— tan (^-77) -

2 2 КХЯ 3

(А.26)

Используя тот же метод перестановки, что и для диагональных элементов, мы можем вычислить все остальные пять недиагональных компонент.

Поле Зеемана

Зеемановское поле возникает из любого приложенного магнитного поля в системе. Поле Зеемана действует на каждый спин. Величина и направление приложенного поля задаются пользователями во время инициализирующей части программы. Безразмерное поле задается уравнением

н

ь* = ж, (А-27>

Приложение Б Численные методы расчета критического тока

В ходе работы в каждой из задач рассчитывался численными методами зависимость критического тока от внешнего магнитного поля. Данная глава посвящена разъяснению методов расчета критического тока в каждом из случаев.

Б.1. Критический ток короткого ДП в неоднородном поле доменной структуры ферромагнетика

После того, как точное значение М(Н) рассчитано, соответствующее значение 1С(Н) может быть восстановлено непосредственно с помощью ур. Б.1 (обозначения такие же как и в основном тексте). Поскольку такая реконструкция критического тока подразумевает расчет полного магнитного потока вдоль и поперек приложенного магнитного поля, такой подход называется флюксомет-рической реконструкцией зависимости /с(Н)(рис. Б.1 черпая кривая расчитана для МЛЛ с размером 3 х 10ц,т2 и с полем направленным вдоль длинной стороны контакта). Восстановленные флуксометрические данные/С(Н) демонстрируют хорошее совпадение с экспериментальными данными [36].

Ir =

sin(^x^o)

sin(^/Фо) жФу/Фо

(Б.1)

^Фх/Фо

Точная зависимость 1С(Н) для MJJ может быть получена с использованием распределения разности фаз у(х,у, Н) следующим образом:

а/2 Ъ/2

sin у(х,у, H)dxdy (Б-2)

/С(Н) = max

-а/2 -Ъ/2

где разность фаз определяется следующим распределением градиента:

Мх'y, H) = H def f + к (х, У, H) + К(х, у, H)]Madf, i ( dX H) (Б.З)

) = Hxdeff + [тх(х, у, H) + fcX(x, у, H)]MS^,

где Hx,y - компоненты приложенного магнитного поля, a HX'y(х,у, H) - компоненты локального размагничивающего поля. Флюксометрическая реконструкция [ур. Б.1] является лишь предельным случаем для точной зависимости/c(H) [Ур. Б.2,Б.З] прямоугольного MJJ в приближении однородного поля и распределения (т)(х,у, (H)). Основное значение микромагнитного моделирования пере-магничивания в F-слое - получение локальных магнитных моментов на каждом шаге поля m(x, у, H). Эти моменты могут быть использованы для определения распределения разности фаз с помощью ур. Б.З если выполняется предельное условие для размера микромагнитной ячейки £ < Ax < Aj, где £ - длина когерентности. Получение скалярного поля <fl(x, у, H) из известного распределения его градиента - хорошо известная задача Пуассона. В прикладной математике восстановление скалярного поля по его градиенту широко используется в фотометрической стереосистеме или в анализе формы на основе анализа затенения. Важно отметить, что современные численные подходы позволяют нам восстановить скалярное поле из неинтегрируемого градиента, который содержит шум, ненулевой ротор и в отсутствие граничных условий. Красная линия на рис. Б.1 показаны значения Ic(H) для того же случая что и черпая кривая, полученные из уравнения. Б.2 с использованием глобального алгоритма восстановления методом наименьших квадратов (GLS) для распределения разности фаз^(х, у, H)

c(H)

ментальными данными и флюксометрической реконструкцией. Если известны граничные условия для задачи Пуассона, восстановление разности фаз может быть выполнено с использованием алгоритма реконструкции GLS с граничными условиями (GLSD). Мы рассматриваем линеаризованные граничные условия, которые задают полный наклон поверхности разности фаз в соответствии

Рис. Б.1. Реконструкция критического тока в неоднородном поле ферромагнетика методами флаксометрии(черная), СЬЗ(красная), СЬЗБ(синяя))

с Фх (Н) и Фх (Н). Реконструированные с помощью СЬБО1С(Н) также показаны на рис. Б.1 синим кривым. Успешная СЬБО-реконструкция критического тока указывает на применимость линеаризованных граничных условий для задачи Пуассона.

Б.2. Численное решение уравнения Синуса-Гардона в однородном магнитном поле

Безразмерное уравнение Синуса-Гардона имеет форму:

<рхх - sin(^) = -I

(Б.4)

С граничными условиями

dp dx

x=0:x=L

2 ntb Фо

BP

(Б.5)

где tb = Ai + А2 + d это так называемая магнитная толщина and Вех внешнее

магнитное поле

Для численного решения этого уравнения можно применить метод конечных разностей Эйлера, для которого мы имеем

Ifn - фп-1

Vx =----(Б.6)

Vn-1 - + Vn+1 Vxx =--2-

где и =1,2,..N, li.X = L. Подставляя уравнения Б.4, Б.5 в Б.6, Б.7 получаем

Vn-1 - 2^п + Vn+1 . т

--sin vn = -1 (Ь.

h2

pi - ро 2ntъ

h Ф ех

Вех (Б.9)

2nt ъВх {вщ

h Фо еж

Для решения данного уравнения, мы рассматриваем = у>к-1 + Лср. Подставляя это выражение в уравнения Б.8, Б.9, Б.10 имеем

△ (рп-1 - Л(^п(2 + h2 cos pv) + Рп+1 . тРп-\ - 2рп + Рп+1

= sin р,п -1-—- (Ь.11)

h2 h2

△ - △ ро = ЪОъ в _ - ро

К Фо ех К 1 ' ]

△(N+1 - △ Рм 2пгь (N+1 - Рм ^ 10х

-к-= -Ф0^Вех--К— (Б'13)

где и = 1. X. Эту линейную систему уравнений можно переписать в матричном

виде

—ai 0 0 Ро 7о

«2 А «2 Pi i

«2 ^2 «2 Р2 = 2

«2 PN «2

0 0 — PN +1 1N +1

1 1

где = Т> «2 = h h2

27t ьВ PN+1 — Р

Фо еж h

2

' = - tf - œs(p

and 7n = sin pn — I

2nt ъ

Фо

В -

J-Sp/r.

Pi — Ро h

lN+i =

Pn—i — 2pn + pn+i h2

Это уравнение может быть решено с использованием трехдиагонального алгоритма Томаса с линейным начальным решением для 1 = 0.

п

Б.З. Численное решение уравнения Синуса-Гардона в неоднородном магнитном поле

Теперь рассмотрим случай уравнения с неоднородным полем магнитного наконечника H(х) = Нцр (х). Мы ищем решение уравнения Б .2 в виде varphi = f + th et a, где th et a является статическим вкладом поля иглы. Подставляя это выражение в уравнение Б.4, получаем

0ХХ + fxx — sin(6 + f) = — I (Б.14)

как известно го1И = 0 [11]. Это означает, что первый член уравнения Б. 14 равен 0. Таким образом, окончательное уравнение и граничные условия можно записать в виде.

/хх - в1п(0 + /) = -I (Б.15)

d(f + e)

х

Ф ех

27ltbBex (Б.16)

Далее численное решение становится таким же, как и в случае, описанном в предыдущем параграфе

Б.4. Численное решение динамического уравнения Синус-Гордона

Динамическое уравнение Синус-Гардона для НЗЛЛ модели имеет вид

<хх - Ри - ЦРг = в1п(р) - I (Б.17)

с граничными условиями

(р (1х

(Ъ ех

х=0:х=Ь Ф0