Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Колпак, Евгений Петрович

• Колпак, Евгений Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Колпак, Евгений Петрович

Введение

Глава 1. Основные соотношения нелинейной теории упругости

1.1. Основные зависимости

1.2. Плоское напряженное состояние

1.3. Вариационное начало Лагранжа

1.4. Возмущение равновесной конфигурации

1.5. Устойчивость изотропного материала

1.6. Законы упругости и упругие потенциалы для изотропных материалов

Глава 2. Безмоментная теория оболочек

2.1. Основные зависимости безмоментной теории оболочек

2.2. Возмущение равновесной конфигурации

2.3. Устойчивость равновесия.

2.4. Ортогональные координаты.

2.5. Численные методы решения.

Глава 3. Прямоугольная мембрана

3.1. Плоская мембрана под действием краевых нагрузок

3.2. Однородные деформации прямоугольной мембраны.

3.3. Чистый сдвиг

3.4. Одноосное растяжение мембраны

3.5. Прямоугольныя мембрана с разрезом

3.6. Балка-полоска - основные зависимости

3.7. Равномерное давление

3.8. Наложение малых деформаций на большие

3.9. Гидростатическое давление

3.10. Плоские мембраны под нормальным давлением

Глава 4. Оболочка вращения

4.1. Оболочка вращения с жестким центром.

4.2. Растяжение круглой мембраны нормальным давлением

4.3. Растяжение круглой мембраны в плоскости

4.4. Сферическая оболочка .20

4.5. Длинная цилиндрическая оболочка

4.6. Цилиндрическая оболочка конечной длины

4.7. Неосесимметричное решение

Глава 5. Цилиндр из несжимаемого материала

5.1. Основные соотношения.

5.2. Внутреннее давление.

5.3. Выворачивание полого цилиндра.

5.4. Продольный сдвиг.

5.5. Поперечный сдвиг

5.6. Кручение.

Глава 6. Экспериментальные исследования

6.1. Одноосное растяжение

6.2. Растяжение мембран и оболочек нормальным давлением.

Основные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях»

Тонкие оболочки широко применяются в качестве элементов конструкций в судостроении, авиа- и ракетостроении, ядерной энергетике и химической промышленности. В последнее время наряду с металлами в качестве материалов, из которых изготавливаются оболочки, широко используются стеклопластики, ткани, резина, различные полимерные материалы. С помощью новых полимерных материалов удается решить ряд технических задач, практически неразрешимых на базе традиционных материалов.

Воздухоопорные оболочки используются при производстве аэростатов, метеозондов, выставочных павильонов, промышленных комплексов [64,190]. Различные мягкие емкости, переборки и разделительные стенки, пневматические кранцы, понтоны, надувные лодки используются в судостроении [118,129]. Всевозможного рода замкнутые эластичные оболочки, заполненные жидкостью и газом, применяются в горнодобывающей, химической, металлургической промышленности [174], на транспорте [27,165]. В космической технике применяют мягкие оболочки в шлюзовых устройствах, в скафандрах космонавтов, в качестве надувных спутников [190]. Существенным является то, что в большинстве изделий используется свойство высокой эластичности материала. При этом конструкции типа оболочек в процессе эксплуатации могут претерпевать существенное изменение формы и размеров.

Задача определения напряженного состояния, формы и несущей способности имеет здесь свою специфику. Последнее связано с тем, что смещения несущей поверхности могут иметь порядок начальных размеров тела, а относительные деформации могут оказаться значительно большими в сравнении с единицей.

К задачам такого рода приходят также в науке об обработке металлов давлением, в вопросах геофизики, биомеханики и т.д.

В настоящее время теория оболочек при больших деформациях получила существенное развитие. Особенно это относится к безмоментным оболочкам и оболочкам вращения. Существенный вклад в развитие нелинейной теории внесли отечественные ученые С.А.Алексеев [2-7], Н.В.Валишвили [32], Э.И.Григолюк [53], А.С.Григорьев [54-G2], Б.И.Друзь [78-80], Л.М.Зубов [24,87, 88], Крысько В.А. [115], Лурье А.И. [125], В.Э.Магула [129], Е.И.Михайловский [137,138], В.В.Новожилов [140,147],

В.А.Пальмов [155,156] И.Г.Терегулов [175], П.Е.Товстик [176,177], В.А.Троценко [179-183], В.И.Усюкин [124,186], К.Ф.Черных [195204], Л.А.Шаповалов [205]. Среди зарубежных исследователей следует отметить Budiansky В. [215], Libai А., Simmoncls J. [237], Haughton D., Ogden R. [225-228].

Наиболее важное в практическом приложении нелинейной теории - это определение нес}оцей способности тонких оболочек [48]. Как показывают теоретические и экспериментальные исследования [8,9,33,34,37,38,65,70,87-90,130,131,136,142,144,178,242,243,246, 254] при больших деформациях растяжения оболочки из различных материалов, находящиеся в двухеном напряженном состоянии, могут иметь ограниченную несущую способность по нагрузке. Т.е. при положительных главных напряжениях кривая зависимости параметра нагрузки от параметра максимальной деформации в оболочке может иметь максимум. Точка максимума в этой зависимости называется критической [20,61,106], а соответствующее ей значение нагрузки - критической нагрузкой при растяжении.

За критической точкой в ряде экспериментов наблюдается локализация деформаций, наиболее простым примером которой является образование "шейки" при одноосном растяжении металлических и полимерных стержней [1,8,12,70,76,77,121,122,142, 143,178,191], при растяжении в плоскости металлических мембран, полимерных и резиновых пленок [70,74,98-102,144]. При растяжении нормальным давлением металлических, полимерных и резиновых мембран [65,70,72, 130,131,136,187,190,214,238] могут образовываться как местные утонения типа "шейки", так и местные вздутия в какой-то части мембраны в виде "пузыря". Экспериментально наблюдаемая локализация деформаций в растянутых тонкостенных конструкциях в виде всевозможных утонений, вздутий, перетяжек определяется многочислеными факторами: геометрическими характеристиками, свойствами материала, видом нагрузки. В теоретическом отношении различным видам локализации деформаций должны, в принципе, соответствовать различные количественные оценки момента их начала.

Для определения начала процесса локализации деформаций были предложены различные постулаты [81,192,229] и критерии [70,245,249]. Согласно критериям начало локализации деформаций сопоставляется, как правило, с критической точкой. Вместе с тем, как показывают различные эксперименты над полимерными нитями и резиновыми мембранами, условие максимума нагрузки не является ни необходимым, ни достаточным условием начала процесса локализации деформаций [1,8,122,143,148,158,159, 210,224,241,251]. Предложенный Драккером постулат устойчивости материала для упругого материала для малых деформаций явно не связан с максимумом нагрузки. Его же обобщение на случай больших деформаций приводит к пяти постулатам устойчивости материала [194,197,229] , ни один из которых на сегодняшний день не исследован.

Применяемая в рамках теории безмоментных оболочек статическая гипотеза (сг33 = 0) Кирхгофа не учитывает возникающую в области "шейки" неоднородность напряжений. Гипотезы плоских сечений", использз^емой в качестве геометрической гипотезы Кирхгофа, также недостаточно для описания поля деформаций в этой области. И для описания напряженного состояния в закритической области (в которой возникают локализованные в виде местных утонений деформации) следует уже обратиться к уравнениям нелинейной теории упругости. В количественном отношении условие начала такой локализации деформаций должно определять границу применимости теории оболочек, обусловленную физической нелинейностью.

В нелинейной теории закон упругости, определяющий связь между напряжениями и деформациями, формулируется с помощью упругого потенциала. Последний при малых деформациях должен обеспечить переход закона упругости в закон Гука, а при больших деформациях - рост потенциальной энергии деформации с увеличением деформаций. Теоретическое построение упругого потенциала на основе знания внутренней структуры материала на сегодняшний день является практически неразрешимой задачей [16]. И здесь, как правило, используется феноменологический подход [202]. В рамках деформационной теории пластичности [58,142] связь между напряжениями и деформациями, обычно, задается "соотношениями" Дэвиса-Надаи, а связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций в расчетах задается соотношениями Людвика. Па основе различных экспериментов по одноосному и двухосному растяжению плоских образцов для резиноподобных материалов предложено большое число разнообразных упругих потенциалов [166,202], претендующих на описание поведения высокоэластичных материалов при больших деформациях. Теоретическое сопоставление большинства из них проводилось лишь в единичных случаях [148], а основная масса задач решена в рамках закона Муни-Ривлина. И, фактически, не исследовалось влияние физической нелинейности на напряженно-деформированное состояние мебран и оболочек не только в закритической области, но и в докритической.

В большинстве опубликованных работ основное внимание уделено оболочкам вращения, поиску критических нагрузок и деформаций, построению диаграммы "нагрузка-максимальная деформация" [59]. Выявлению взаимосвязи между различными локальными явлениями и исследованию закритического поведения оболочек уделено очень мало внимания. Не получила должного развития в исследовании напряженного состояния эластомерных оболочек и теория наложения малых деформаций на большие.

Теоретическое решение конкретных задач упирается в практически неразрешимую проблему построения аналитического решения из-за нелинейности разрешающих уравнений. Поэтому для решения последних, обычно, используются различные численные методы, применение которых не дает возможности выявить то общее и особенное, что присуще физическим, а что геометрическим характеристикам конструкции. Численные алгоритмы, используемые при решении нелинейных уравнений, имеют, как правило, ограниченную область применения. Для без-моментных оболочек трудности при построении численного решения могут возникать как в области малых деформаций (в силу плохой обусловленности разрешающих уравнений), так и в области больших деформаций поскольку здесь возможны напряженные состояния с локализованными в виде местного "выпучивания" деформациями срединной поверхности.

В работе основное внимание уделено безмоментным оболочкам из несжимаемых изотропных материалов, нагруженных нормальным давлением. Толщина недеформированной оболочки считается постоянной. Исследуется напряженно-деформирован ное состояние балки-полоски, оболочки вращения, цилиндрической оболочки, плоских мембран (круглой, прямоугольной, ромбической, эллиптической) при больших деформациях (при перемещениях срединной поверхности, сравнимых с первоначальным характерным размером оболочки). Используются аналитические и численные методы решения нелинейных задач. В качестве определяющих соотношений между напряжениями и деформациями используются законы упругости для резиноподобных материалов. Большая часть результатов получена для упругих потенциалов достаточно общего вида и может быть использована при исследовании напряженно-деформированного состояния оболочек из несжимаемых материалов, отличных от эластомеров.

Рассматриваются задачи, в которых мембраны и оболочки растягиваются краевыми нагрузками и нормальным давлением. При этом напряженное состояние характеризуется положительными значениями главных напряжений. Под жесткостной характеристикой понимается зависимость между растягивающей нагрузкой и удлинением образца для случая одноосного растяжения и зависимость между давлением и максимальным прогибом для случая растяжения мембран нормальным давлением.

Целью настоящей работы является:

- поиск условий для нелинейных уравнений теории упругости, обеспечивающих устойчивое положения равновесия тела в условиях растяжения;

- поиск условий для уравнений безмоментной теории тонких оболочек, обеспечивающих устойчивое положение равновесия оболочки в условиях растяжения;

- формулировка обобщенного постулата устойчивости материала Драккера для безмоментной теории оболочек;

- определение границы применимости безмоментной теории оболочек;

- исследование напряженно-деформированного состояния арки-полоски, круглой, эллиптической и прямоугольной мембран, оболочки вращения с полюсом и цилиндрической оболочки из нелинейно-упругого изотропного несжимаемого материала при больших деформациях с использованием численных и аналитических методов решения основных уравнений, а также исследование влияния некоторых упругих потенциалов на напряженное состояние этих оболочек, нагруженных нормальным давлением;

- исследование напряженно-деформированного состояния полого цилиндра из несжимаемого материала при различных способах нагружения;

- разработка численных алгоритмов решения безмоментных уравнений теории оболочек.

Научная новизна работы:

- в рамках нелинейной теории упругости получено условие, обеспечивающее устойчивость положения равновесия при растяжении;

- сформулировано условие, обеспечивающее устойчивость без-моментного напряженного состояния растянутой тонкой оболочки;

- в рамках теории безмоментных оболочек сформулирован постулат устойчивости материала, являющийся обобщением постулата Драккера устойчивости материала на случай больших деформаций;

- определена одна из возможных границ применимости теории тонких оболочек, определяемая физической нелинейностью материала;

- разработан алгоритм численного решения нелинейных уравнений безмоментной теории оболочек, который можно использовать как при больших, так и при малых деформациях;

- для цилиндрической оболочки конечной длины из нелинейно-упругого материала, нагруженной нормальным давлением и осевой нагрузкой, для осесимметричных уравнений построено аналитическое решение и исследованы свойства этого решения; для круглой мембраны, растягиваемой краевой нагрузкой, для случая потенциала Черныха построено аналитической решение с особенностью в виде локальных утонений;

- исследовано напряженно-деформированное состояние эллиптической, круглой ромбической и прямоугольной мембран, нагруженных нормальным давлением при больших деформациях для различных упругих потенциалов.

Практическая ценность результатов работы заключается:

- в разработке методов приближенного расчета жесткостных характеристик круглой и прямоугольной мембран, нагруженных нормальным давлением;

- в построении аналитического решения для осесимметричной деформации цилиндрической оболочки конечной длины, нагруженной нормальным давлением и осевой нагрузкой;

- в построении аналитического решения для плоской круглой мембраны, растягиваемой в плоскости, для потенциала Черныха;

- в исследовании влияния ряда упругих потенциалов на напряженно-деформированное состояние круглой, эллиптической и прямоугольной мембран при больших деформациях;

- в оценке границ применимости нелинейной теории тонких оболочек, определяемых нелинейными свойствами материала.

На защиту выносятся:

- численное решение нелинейных задач о растяжении нормальным давлением круглой, эллиптической и прямоугольной мембран;

- аналитическое решение нелинейных задач о растяжении нормальным давлением балки-полоски и цилиндрической оболочки конечной длины;

- аналитическое решение нелинейной задачи о растяжении в плоскости круглой мембраны;

- формулировка условий, обеспечивающих устойчивость положения равновесия безмоментной.оболочки;

- формулировка постулата Драккера з^стойчивости материала для безмоментных оболочек.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановки задачи, сравнением с экспериментальными и теоретическими исследованиями, опубликованными в литературе.

Диссертационная работа состоит из 246 страниц машинописного текста, 16 таблиц, 90 рисунков и графиков. Библиография включает 263 наименования. По результатам работы опубликованы статьи [95-97,104-113,254,257-263].

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Колпак, Евгений Петрович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В проведенных исследованиях анализируется разрешающая система уравнений нелинейной безмоментной теории тонких оболочек из нелинейно-упругого изотропного материала. Вместе с тем некоторые из полученных результатов являются достаточно общими и могут быть использованы для исследования оболочек из тех материалов, для которых функциональная зависимость "напряжение-деформация" сводится к соотношениям (2.1.6). Как показано выше, это относится и к некоторым вариантам деформационной теории пластичности (активное нагружение), которая, как отмечал В.В.Новожилов [146], фактически является одним из вариантов нелинейной теории упругости. И естественным является сопоставление полученных в работе результатов с исследованиями, проведенными на основе материалов, отличных от эластомеров.

Второе направление возможного распространения полученных результатов - плоское напряженное состояние в нелинейной теории упругости. Здесь, как следует из сделанного выше сопоставления соответствующих разрешающих систем уравнений, в плоском напряженном состоянии должны проявиться все "обо-лочечные" эффекты, связаные с устойчивостью материала.

При исследовании напряженного состояния мембран и оболочек с применением численных и аналитических методов решения разрешающих уравнений в работе был затронут ряд фундаментальных понятий, используемых в теории упругости. Соответствуют этим понятиям явления, наблюдаемые в экспериментах над различного рода тонкостенными конструкциями из различных материалов (металлы, пластмассы, полимеры, резина, материалы биологического происхождения и т.д.), способных испытывать большие деформации.

1. Постулат устойчивости материала.

Обобщение постулата Лраккера устойчивости материала на случай больших деформаций приводит к пяти различным постулатам, содержание которых определяется выбором энергетически сопряженной пары тензоров. Для случая изотропного упругого сжимаемого материала постулат устойчивости выполняется для локально выпуклых потенциалов (как функции энергетических деформаций). Это в свою очередь позволяет сделать априорную оценку области устойчивости материала в пространстве энергетических деформаций. Для случая несжимаемого материала устойчивость материала, как показано в работе, можно сопоставить с выпуклостю потенциала лишь для некоторых видов напряженного состояния.

Исследование возмущенного положения равновесия в окрестности невозмущенного (в рамках уравнений нелинейной теории упругости) показывает, что для консервативной нагрузки в условиях растяжения выполнение постулата устойчивости для энергетический сопряженной пары тензоров "тензор напряжений Пиала-Кирхгофа-тензор деформации Коши" обеспечивает единственность решения уравнений для возмущений и, соответственно, устойчивость решения.

Аналогичный результат получен и в рамках безмоментной теории оболочек. В дополнение к этому здесь показано, что одним из условий единственности решения уравнений для возмущений является требование выпуклости потенциала как функции двух кратностей удлинений. Последнее, в свою очередь, обеспечивает удовлетворение постулата устойчивости, если в качестве энергетически сопряженной пары тензоров берутся симметричс-ный тензор Био и тензор кратностей удлинения.

2. Границы применимости теории оболочек.

В рассматриваемом варианте безмоментной теории тонких оболочек используются статическая (<733 = 0) и кинематическая ("гипотеза плоской нормали") гипотезы Кирхгофа. Для системы разрешающих уравнений построены аналитические решения в задаче о растяжении цилиндрической оболочки нормальным давлением и осевой нагрузкой (для произвольного нелинейно-упругого материала) и в задаче о растяжении в плоскости круглой мембраны (для потенциала Черныха). В обоих случаях в точке нарушения постулата устойчивости материала на решениях нелинейных уравнений толщина деформированной мембраны обращается в ноль при конечных поперечных размерах оболочки и мембраны и конечных значениях нагрузки. Такой результат, по-видимому, говорит о возможном развитии локализованных деформаций в области неустойчивости материала. Однако, для описания таких деформаций простейших ("оболочечных") гипотез недостаточно. Поэтому границу раздела между областями устойчивости и неустойчивости материала, определяемую постулатом устойчивости, естественно рассматривать как границу области применимости теории тонких оболочек (гипотез Кирхгофа), определяемую физической нелинейностью.

3. Несущая способность оболочек, нагруженных нормальным давлением.

При больших деформациях растяжения у оболочек при положительных главных напряжениях кривая зависимости параметра нагрузки от параметра деформации может иметь точку максимума (критическая точка). В этом случае говорят об ограниченной несущей способности по нагрузке [20,48,61,76]. Это явление установлено в теоретичечских исследованиях ([19,20,4345,52,56, 103,116,159,180,189,218,244]) и наблюдается экспериментально ([65,116,130,148,158,190,210,221,224,234,247]).

При теоретическом построении зависимости "давление-максимальная деформация" в качестве параметра деформации обычо но используют А™ = (/г/ Ъ)тт - минимальное относительное утонение. В некоторых исследованиях строится зависимость "нагрузка-максимальный прогиб" - д = д(гптах). В экспериме-тальных исследованиях измеряемыми величинами являются давление и прогиб, в то время как утонение является расчетной величиной. Как следует из дифференцирования сложной функции йд йд с1у}тах с/Ад1 (1и)тах (1\™ и зависимости д — д(\™) и д = д(и]тах) не обязаны одновременно принимать экстремальное значение. Это необходимо учитывать при проведении экспериментальных исследований.

Как показывают теоретические исследования, обе эти ситуации возможны и им в закритической области должны соответствовать, вообще говоря, различные качественно отличные друг от друга напряженные состояния. При наличии точки максимума в зависимости "нагрузка-прогиб" за критической точкой одновременное увеличение максимальных деформаций и максимального прогиба сопровождается уменьшением давления. Такое состояние можно реализовать за счет соответствующего выбора способа нагружения облочки. Это неоднократно осуществлялось и в экспериментах ([190,224,234,250]). При наличии точки максимума в зависимости "прогиб-максимальная деформация" реализация закритического участка вызовет значительные технические трудности, поскольку за точкой максимума уменьшение минимальной толщины должно сопровождаться одновременным уменьшением прогиба и давления. Рассмотренные два типа исчерпания несущей способности следует, по-видимому, рассматривать как "независящие" друг от друга.

4. Локализация деформаций.

Локализованные в виде местных утонений (сужений) деформации наблюдаются в экспериментах при осевом растяжении стержней, узких полос, цилиндрических трубок, пластин ([1,8,12, 70,98-102,121,122,143,144,178,191]). Как правило, моменту начала таких деформаций соответствует появление точки максимума в зависимости "нагрузка-максимальное удлинение". В рассмотренных выше примерах растяжения мембран и оболочек возможное существование в деформированном состоянии различного рода местных сужений и утонений типа "шейка" связывается с нарушением постулата устойчивости материала (2.4.3).

Неравенства (2.4.3) не связаны с конкретной геометрией оболочки и видом и величиной нагрузки, а являются условиями, накладываемыми только на упругий потенциал (требование выпуклости). И, соответственно, в теоретическом отношении точку максимума в зависимости "нагрузка-деформация" в рамках статического подхода нельзя, вероятно, рассматривать ни как необходимое, ни как достаточное условие начала процесса локализации деформаций в виде местных утонений. Это подтверждается как теоретическим расчетом (пример одноосного растяжения мембраны), так и физическим экспериментом [1,9,122,241].

При растяжении мембран и оболочек поверхностной нагрузкой локализация деформаций в виде местного "выпучивания" малой части поверхности может быть обусловлена как исчерпанием несущей способности оболочки (как конструкции), так и потерей устойчивости материала. Из проведенного выше анализа следует, что в первом случае можно реализовать равновесные формы в закритической области, выбрав соответствующий способ нагружения оболочки. Во втором же случае реализация закритических равновесных форм, если даже они и существуют (имеется ввиду в рамках рассматриваемых в работе моделей), может вызвать значительные трудности в отличие от одноосного растяжения.

Необходимо также отметить, что локализация деформаций в виде местных утонений в работе не исследуется. Это, по-видимому, навряд ли можно сделать, ограничиваясь рамками гипотез Кирхгофа, используемых в теории тонких оболочек. И хотя некоторые из полученных результатов говорят о возможном развитии местных утонений , тем не менее "шейкообразование", о котором идет речь в работе, следует рассматривать лишь как одно из возможных направлений развития деформаций.

5. Критические нагрузки и устойчивость конструкции.

Проблеме упругой устойчивости посвящено большое число работ, среди которых следует выделить работу В.В.Новожилова [146], в которой ясно изложены концепция упругой бифуркационной устойчивости и подходы к отысканию критических нагрузок. Один из подходов заключается в линеаризации нелинейной краевой задачи в окрестности основного напряженного состояния и исследовании на устойчивость получаемой при этом линейной краевой задачи. В соответствии с этим, в рамках используемого в работе динамического подхода конфигурация считается неустойчивой, если сколь угодно малые возмущения могут вызвать •немалые отклонения от положения равновесия [198]. Наряду с этим подходом определения критических нагрузок в условиях растяжения используются и критерии, основывающиеся на экстремальности нагрузки, такие как, например, критерий Дорна [70] и критерий Свифта [249].

Потеря устойчивости за точкой максимума нагрузки в ряде случаев зависит от способа нагружения. В частности, при на-гружении оболочек давлением, величина которого превышает критическое значение, должна происходить потеря устойчивости в "большом". При нагружении оболочек постепенным нагнетанием небольших порций массы газа в замкнутый оболочкой объем (как, например, это осуществляется в воздушном шаре) положение равновесия за точкой максимума нагрузки может быть и устойчивым (как это и было зафиксировано в некоторых экспериментах [190,224,234,250], в том числе и авторских).

Как показывают теоретические и экспериментальные исследования, по растяжению нормальным давлением прямоугольной мембраны, за точкой максимума давления могут существовать несколько равновесных форм с локализованными в виде местного "выпучивания" деформациями. Т.е. точка максимума нагрузки в этом случае является точкой бифуркационной потери устойчивости. Аналогичные результаты для цилиндрической трубки говорят о том, что за точкой максимума нагрузки может существовать и единственное решение с локализованными в виде местного "вздутия" деформациями.

За точкой максимума нагрузки возможна и потеря устойчивости, не связанная с "выпучиванием" срединной поверхности и с образованием местных сужений типа "шейка". Это относится к сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением, у которой за точкой максимума давления возможны несферические равновесные формы.

Как следует из рассмотренных в работе примеров наличие нетривиального решения у уравнений для возмущенного состояния не связано в самом общем случае с наличием точки максимума в зависимости "нагрузка-деформация". Это относится как к растяжению мембран в плоскости, так и к растяжению оболочек нормальным давлением. В частности, нетривиальные решения могут существовать за точкой максимума нагрузки, до точки максимума нагрузки, при нарушении постулата устойчивости материала (2.4.3). Таким образом, точку максимума в зависимости "нагрузка-максимальная деформация" в некоторых слугнетанием небольших порций массы газа в замкнутый оболочкой объем (как, например, это осуществляется в воздушном шаре) положение равновесия за точкой максимума нагрузки может быть и устойчивым (как это и было зафиксировано в некоторых экспериментах [190,224,234,250], в том числе и авторских).

Как показывают теоретические и экспериментальные исследования, по растяжению нормальным давлением прямоугольной мембраны, за точкой максимума давления могут существовать несколько равновесных форм с локализованными в виде местного "выпучивания" деформациями. Т.е. точка максимума нагрузки в этом случае является точкой бифуркационной потери устойчивости. Аналогичные результаты для цилиндрической трубки говорят о том, что за точкой максимума нагрузки может существовать и единственное решение с локализованными в виде местного "вздутия" деформациями.

За точкой максимума нагрузки возможна и потеря устойчивости, не связанная с "выпучиванием" срединной поверхности и с образованием местных сужений типа "шейка". Это относится к сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением, у которой за точкой максимума давления возможны несферические равновесные формы.

Как следует из рассмотренных в работе примеров наличие нетривиального решения у уравнений для возмущенного состояния не связано в самом общем случае с наличием точки максимума в зависимости "нагрузка-деформация". Это относится как к растяжению мембран в плоскости, так и к растяжению оболочек нормальным давлением. В частности, нетривиальные решения могут существовать за точкой максимума нагрузки, до точки максимума нагрузки, при нарушении постулата устойчивости материала (2.4.3). Таким образом, точку максимума в зависимости "нагрузка-максимальная деформация" в некоторых случаях можно рассматривать как точку (бифуркационной) потери устойчивости. Вместе с этим, в самом общем случае наличие этой точки не является ни необходимым, ни достаточным условием потери устойчивости конструкции.

6. Законы упругости и большие деформации резиновых мембран.

В настоящее время предложено достаточно много разнообразных по своей структуре потенциалов для эластомеров, которые получены, как правило, путем обобщения экспериментальных данных (обычно по одноосному растяжению). Проведенные различные экспериментальные исследования по двухосному несимметричному растяжению (на круглых мембранах) не всегда являются достаточно полными для того, чтобы выявить структуру упругого потенциала.

При экспериментальном исследовании напряженного состояния круглой мембраны, нагруженной нормальным давлением, в качестве основной характеристики выступает зависимость "давление-прогиб в полюсе". Расчет напряжений в полюсе основывается на знании либо расстояния между нанесенными на поверхность мембраны до деформирования кольцевыми метками [14,2-50,251]), либо максимального поперечного размера мембраны [39,171], либо площади поверхности мембраны [25-27,145]. С помощью этих геометрических характеристик (и эмпирических формул) рассчитываются кратность удлинения и радиус кривизны в полюсе, а с помощью формулы Лапласа - напряжение. Знание напряжения позволяет с помощью соотношений (1.6.1) изучить (или предложить) аналитическую зависимость упругого потенциала от инвариантов деформации.

Как следует из полученных в работе результатов, при заданном (фиксированном) значении прогиба круглой мембраны в центре кратности удлинения, и возникающие в полюсе напряжения могут существенно зависеть от вида упругого потенциала. С другой стороны и жесткостные характеристики мембран для различных потенциалов могут быть близкими друг другу. Поэтому задача построения упругого потенциала только по известным перемещениям характерных точек мембраны и силовой характеристике, по-видимому, не всегда разрешима.

При относительных деформациях до 40% (применительно к круглой мембране это соответствует прогибам порядка 0,5 радиуса опорного контура) жесткостные характеристики одинаковых (по своим геометрическим характеристикам) в недеформирован-ном состоянии мембран и оболочек для различных потенциалов мало отличаются друг от друга. При прогибах не превышающих радиус опорного контура жесткостные характеристики могут заметно отличаться друг от друга. Однако, погрешность определения модуля сдвига, недостаточно качественная сборка, по-видимому, не позволят с достаточной точностью отличить один упругий потенциал от другого при этом уровне деформаций.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Колпак, Евгений Петрович, 2000 год

1. Аверкин Б.А., Анцупов Ю.А., Володин В.П., Кувшинский Е.В. Холодная вытяжка кристаллических полиолефинов. Влияние скорости растяжения и температуры.- Механика полимеров, 1969, N3, с.404-409.

2. Алексеев С.А. К теории мягких оболочек.- 4-я Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин. Баку, 1966, М.,Наука,1966, с.945-947.

3. Алексеев С.А. К теории мягких оболочек вращения.- Расчет пространственных конструкций. 1955, вып.З, с.309-322.

4. Алексеев С.А. Кольцеобразная упругая мембрана под действием поперечной силы, приложенной к центрально расположенному диску.- Инженерный сборник, 1951, т.10, с.13-19.

5. Алексеев С.А. Круглая плоская мембрана при равномерной поперечной нагрузке.- Инженерный сборник, 1953, т.14, с.196-198.

6. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек,- Расчет пространственных конструкций, 1965, вып.10, с.5-37.

7. Алексеев С.А. Расчет круглой мембраны под равномерной нагрузкой. Инженерный сборник, 1959, т.25, с.64-80.

8. Андреев Л.С. О неустойчивости пластического деформирования при двухосном растяжении.- Изв.Вузов, Машиностроение. 1965, N1,с.51-57.

9. Анцупов Ю.А., Володин В.П., Кувшинский Е.В. Анализ холодной вытяжки полиолефенов с помощью диаграммы растяжения.- Механика полимеров, 1968, N3, с.509-514.

10. Баренблатт Г.И. Изотермическое распространение шейки в полимерах.- Изв.АН СССР, Механика твердого тела, 1972,N6,с.96-104.

11. Баренблатт Г.И. О распространении шейки при растяжении полимерных образцов.- Прикладная метематика и механика, 1964, т.28,с.1048-1060.

12. Баренблатт Г.И., Володченков В.А., Павлов Д.Я. Изотермическое распространение шейки в полимерах. Экспериментальное исследование.- Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1973, N4, с.172-177.

13. Бартенев Г.М. К теории двумерного растяжения резины.-Коллоидный журнал, 1955,т.17,N1, с.18-23.

14. Бартенев Г.М., Догадкин Б.А., Новиков Н.М. Механические свойства вулканизованного бутадиен-стирольного каучука при двумерной деформации.- Журнал технической физики, 1948, т. 18,N10,с. 1282-1289.

15. Бартенев Г.М., Никифоров В.П. Исследование деформации каучуко-подобного сеточного полимера СКН-40 при различных видах напряженного состояния.- Механика полимеров, 1971, N5, с.840-845.

16. Бартенев Г.М., Никифоров В.П., Аврущенко Б.К., Кусов В.П. О выборе уравнения деформации для высокоэластичных материалов.- Каучук и резина, 1970, N8, с.33-36.

17. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров.- Высокомолекулярные соединения, 1960, т.2, N1, с.20-26.

18. Белянкин Ф.П., Забашта В.Ф. О распространении шейки при растяжении полиамидных образцов с различными скоростями.-Прикладная механика, 1968, t.4,N3, с.55-58.

19. Берт С. Пластическая неустойчивость при растяжении оболочек вращения под давлением.- Прикладная механика, 1965, т.32,N2, с.222-224.

20. Берт С., Миллс Е., Хайлер В. Влияние изменения коэффициента Пуассона на потерю устойчивости при пластическом растяжении.- Теоретические основы инженерных расчетов, 1967, т.89, N1, с.43-49.

21. Бидерман B.JI. Вопросы расчета резиновых деталей.- Расчеты на прочность, ГНТИ, 1958, вып.З, с.58.

22. Боярченко С.И., Зубов JI.M. К теории складкообразования на поверхности неоднородного полупространства. Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы, 1980, N4, с.30-33.

23. Боярченко С.И., Зубов JI.M. Поверхностная неустойчивость упругого неоднородного полупространства.- Известия АН СССР, Физика Земли, 1984, N1, с.11-19.

24. Бригаднов И.А. Теоремы существования для краевых задач гиперупругости. Математический сборник, 1996, 187,N1,с.3-16.

25. Бригаднов И.А. О существовании предельной нагрузки в некоторых задачах гиперупругости.- МТТ, 1993, N5,с.46-51.

26. Бураков В.А. Применение гибких оболочек на транспорте. М., Транспорт, 1974.

27. Вакорина М.В. Исследование некоторых факторов, определяющих работоспособность резиновых диафрагм.- Каучук и резина, 1966, N12, с.31-32.

28. Вакорина М.В. К вопросу о деформационных характеристиках плоских резиновых мембран.- Каучук и резина, 1968, N5, с.42-43.

29. Вакорина М.В., Бартенев Г.М., Ерченков А.И. О деформационных характеристиках плоских резиновых мембран.- Каучук и резина, 1968, N5, с.42-43.

30. Вакорина М.В., Ерченков А.И. Об использовании уравнений абсолютно гибких оболочек к определению прогиба плоских резиновых мембран.- Исследования в области химии и физики каучука и резины. JL, 1972, с.157-159.

31. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭВМ. М.,Машиностроение, 1976, 280с.

32. Васин P.A., Еникеев Р.А.,Мазурский М.И. О материалах с падающей диаграммой.- МТТ, 1995,N2, 181-182.

33. Васин P.A., Илюшин A.A., Мосаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и тонкостенных трубчатых образцах.- МТТ, 1994, N 2,с.177-184.

34. Вейл H.A., Салмон М.А., Костантино С.И. Приближенный предел прочности тонкостенных цилиндров с полусферическими днищами.- Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, N9, с.95-100.

35. Вильсон Р., С лик Е. Конечная деформация мембранной полосы под действием давления.- Прикладная механика, 1965, т.32, N2, с.224-226.

36. Виноградова A.M. Об образовании шейки при растяжении полых цилиндрических образцов.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1971, N6, с.150-157.

37. Виноградова A.M. Об устойчивости равновесия при растяжении." Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1973, N5, с.66-72.

38. Воеводский B.C., Майзелис Б.А., Черная В.В. К расчету напряжения и удлинения пленочных материалах в условияхдвумерной деформации.- Каучук и резина, 1969, N8,с.27-30.

39. By С. Эллипсоидальные деформации цилиндрической оболочки. Асимптотическое решение с пограничным слоем.-Прикладная механика, т.1973, N2, с.255-260.

40. Выдрин A.B., Колмогоров В. JI. Напряженно-деформированное состояние в шейке плоского образца при испытании на пластичность.- Известия вузов, Черная металлургия, 1984, N9,с.62-66.

41. Вышедкевич И.У. Большие деформации мембраны с жестким диском.- Известия вузов, Машиностроение, 1977, N12, с.8-12.

42. Гаврюшина Н.Т. Большие деформации цилиндрической оболочки в условиях сверхпластичности.- Известия вузов, Машиностроение, 1984, N10, с.10-14.

43. Гаврюшина Н.Т. Ползучесть круглой мембраны.- Известия вузов, Машиностроение, 1982, N3, с.29-33.

44. Гаврюшина Н.Т. Расчет на ползучесть круглой мембраны по теории упрочнения.- Известия вузов, Машиностроение,1985, N5, с.7-11.

45. Галиев Ж.У., Нечитайло Н.В. Влияние моментности на динамическое раздувание и прочность пластин.- Проблемы прочности, 1984, N2, с.59-63.

46. Гасяк Г. Несущая способность безмоментной оболочки начальной цилиндрической формы при больших деформациях.-Известия вузов, Машиностроение, 1977, N7, с.99-13.

47. Гвоздев A.A., Проценко A.M. Перспективы приложения теории предельного равновесия для оболочек.- Труды YII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М., Наука, 1970, с.736-748.

48. Голубовский B.C., Плюшкин С.А., Куликов Б.Р., Кириллов Л.Л. Расчет на прочность кольцевой резиновой диафрагмы жидкостного сепаратора с центробежной выгрузкой осадка.-Каучук и резина, 1971, N8, с.32-34.

49. Гольденберг Л.И. Исследование напряженно-деформированного состояния квадратной мембраны с начальным прогибом.-Новые конструктивные решения строительных металлических конструкций. М., 1983, с.175-181.

50. Гордеев Ю.М., Козьменкова JI.H., Ковалев Б.А., Белов В.А. Прибор для испытания полимерных пленок давлением газа.-Заводская лаборатория, 1980, т.46, N5, с.462-464.

51. Госпадариков А.Б., Терентьев В.Ф., Черных К.Ф. Численное исследование некоторых прикладных задач упругой статики осесимметричных мембран вращения.- Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1979, N4, с.6-10.

52. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М., Наука, 1978, 359с.

53. Григорьев A.C. Большие прогибы прямоугольных мембран.-Известия АН СССР, Механика и машиностроение, 1959, N3, с.105-113.

54. Григорьев A.C. Исследование работы круглой мембраны при больших прогибах за пределами упругости.- Инженерный сборник, 1951, т.9, с.99-105.

55. Григорьев A.C. Напряженное состояние безмоментных оболочек при больших деформациях.- Прикладная математика и механика, 1957, т.21, N6, с.827-832.

56. Григорьев A.C. О больших деформациях гибкой нити.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1967, N3, с.128-131.

57. Григорьев A.C. Об устойчивости безмоментных оболочек вращения в условиях растяжения.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1967, N1, с.170-172.

58. Григорьев A.C. О теории и задачах равновесия оболочек при больших деформацях.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1970, N1, с.163-168.

59. Григорьев A.C. Равновесие безмоментной оболочки вращения при больших деформацях,- Прикладная математика и механика, 1961, т.25, N6, с.1083-1090.

60. Григорьев A.C., Трушина В.М. Некоторые основные вопросы теории мягких оболочек.- Теория мягких оболочек и их использование в народном хозяйстве. Ростов, 1976, с.9-15.

61. Григорьев A.C., Шадрин В.А. О равновесии квадратной мембраны при больших прогибах.- Исследование по теории сооружений, 1980, N24, с.115-120.

62. Грин А., Адкинс Д. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., Мир, 1965, 455с.

63. Губенко А.Б., Зубарев Г.Н., Кулаковский А.Б. Пневматические строительные конструкции. М., Госстройиздат, 1963, 127с.

64. Гузь А.Н. О трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Внутренняя неустойчивость.- ПМ, 1985, XXI, N11, 3-17.

65. Гузь А.Н. Разрушение и устойчивость тонкостенных тел с вырезами при растяжении (обзор).- ПМД990, XXVI,N11, 3-24.

66. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев,Высш.школа,1986, 512с.

67. Гуляев Б.А., Максак В.И. Особенности разрушения трубчатых образцов при одноосном растяжении.- Проблемы прочности, 1974, N2, с.108-111.

68. Давиденков H.H., Спиридонова Н.И. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца.- Заводская лаборатория, 1945, т.11, N6, с.583-593.

69. Дель Г. Д. Технологическая механика. М., Машиностроение, 1978, 174с.

70. Дель Г.Д., Одинг С.С. Образование шейки при растяжении полосы в условиях плоской деформации.- Прикладная механика, 1981, t.17,N3, с.94-97.

71. Дель Г.Д., Одинг С.С. Потеря устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки при пластическом растяжениии.-Прикладная механика, 1977, т.8, N5, с.60-68.

72. Дель Г.Д., Одинг С.С. Устойчивость пластического деформирования тонкостенной трубы.- Известия вузов, Машиностроение, 1975, N12, с.30-35.

73. Дель Г.Д., Одинг С.С. Устойчивость двуосного пластического растяжения изотропного листа.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1976, N3, с.97-101.

74. Добрянский H.H., Кузьменко В.Д., Ткаченко Б.Н. К определению деформаций в мягких мембранах.- Прочность конструктивных элементов сельскохозяйственных мелиоративных систем. Кишенев, 1979, с.43-45.

75. Дружинин С.И. Зависимость между напряжениями и температурой в растягиваемом образце.- Журнал русского металлургического общества,1912, ч.1, N4, с.497-519.

76. Дружинин С.И. Термический метод определения предела упругости нормальных напряжений.- Журнал русского металлургического общества, 1913, ч.1, N2, с.230-242.

77. Друзь И.Б. Анализ работы круглой мембраны при поперечной нагрузке.- Исследование по судовым мягким и гибким конструкциям. Владивосток, 1981, с.71-79.

78. Друзь И.Б. Нелинейные уравнения осесимметричных задач мягких оболочек вращения.- Исследования по судовым мягким и гибким конструкциям. Владивосток, 1982, 1982, с.61-70.

79. Друзь И.Б., Друзь Б.И. Нетрадиционные расчетные схемы цилиндрических оболочек и пневмопанелей. Владивосток, ИНТЕРМОР, 1997,116 с.

80. Друккер Д. Определение устойчивости неупругого материал а.-Механика, 1964, N3, с.55-70.

81. Друккер Д. О постулате устойчивости материала в механике сплошной среды.- Механика,1960, N2,

82. Дунаев И.М. Обобщенный упругий потенциал для расчета конструкций из эластичных материалов.- Строительство и архитектура, 1975, N10, с.52-59.

83. Еремеев В.А., Зубов Л.М., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Образование полостей в нелинейно-упругих полостях с дислокациями и с дисклинациями.- Докл.РАН, 1992, т.326, N 6, с.968-971.

84. Жуков А.М. К вопросу возникновения шейки в образце при растяжении.- Инженерный сборник, 1949, т.5, N2, с.34-51.

85. Жилин П.А. Осесимметричный изгиб круглой пластины при больших перемещениях.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1985, N3, с.138-144.

86. Зубов Л.М., Руднев А.Н. О неустойчивости растянутого нелинейно-упругого бруса. ПММ, 1996, 60,N5, с.786-798.

87. Зубов Л.М., Руднев А.Н. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов.-МТТ,1994, N6, с.21-31.

88. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.,1990,368с.

89. Зубчанинов В.Г. Устойчивость. Тверь, Гос.тех.ун-т, 1995,199с.

90. Ивлев Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластиче-ского тела. М.,Наука,1978,208с.

91. Илюшин A.A. Деформация вязкопластического тела.- Ученые записки МГУ, 1940, N39, с.3-81.

92. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины.- Прикладная математика и механика, 1943, т.7, N 2, с.109-130.

93. Кабриц С.А. Об одном алгоритме упругопластического расчета перекатывающихся мембран.- Механика эластомеров, Краснодар, 1978, с.63-68.

94. Кабриц С.А., Колпак Е.П., Кылатчанов K.M., Прасникова С.С., Черных К.Ф. Нелинейная теория оболочек из эластомеров.- XIII Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983, ч.З, с.7-12.

95. Кабриц С.А., Колпак Е.П., Прасникова С.С., Черных К.Ф. Методы расчета тонкостенных резинотехнических изделий.-Труды Международной конференции по каучуку и резине. М., 1984, Препринт 2, секция В.

96. Кабриц С.А., Колпак Е.П., Черных К.Ф. Квадратная мембрана при больших деформациях.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1985, N1, с.175-179.

97. Каргин В.А., Соголова Т.И. Исследование механических свойств кристаллических полимеров. 1. Полиамиды.- Журнал физической химии, 1953, т.27, N7, с.1039-1049.

98. Каргин В.А., Соголова Т.И. Исследование механических свойств кристаллических полимеров. II. Полиэтилен.- Журнал физической химии, 1953, т.27, N8, с.1208-1212.

99. Каргин В.А., Соголова Т.И. Исследование механических свойств кристаллических полимеров. III. Сополимеры хлорвинила с хлорвинилиденом и гутаперча.- Журнал физической химии, 1953, т.27, N8, с.1208-1212.

100. Каргин В.А., Соголова Т.И. Исследование механических свойств кристаллических полимеров. IY. Кристаллический натуральный каучук.- Журнал физической химии, 1953, т.27, N9, с.1325-1329.

101. Каргин В.А., Соголова Т.И. О деформации кристаллических полимеров в широком интервале температур.- ДАН СССР, 1953, т.88,N5, с.867-876.

102. Князев A.A., Лежнева A.A., Старков В.М. Применение метода градиентной минимизации к задаче о раздувании плоской мембраны.- Прочностные и гидравлические характеристики машин и конструкций. Пермь, 1981, с.104-107.

103. Колпак Е.П. О поведении мембран при больших деформациях.-Всесоюзная конференция "Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов". Рига, РПИ, 1983, с.26-27.

104. Колпак Е.П. Об устойчивости оболочек из эластомеров при растяжении.- Деформация сплошных сред и управление движением. Л., ЛГУ, 1984, вып.6, с.26-36.

105. Колпак Е.П. Об устойчивости растянутых мембран и оболочек.-Второе Всесоюзное совещание "Динамика и прочность автомобиля". М., 1986, с.140-142.

106. Колпак Е.П., Пралич И.М. Длинная мембрана при больших деформациях.- Труды I Всесоюзного симпозиума "Нелинейная теория тонкостенных конструкций и биомеханика", Кутаиси-Ткибули, 22-24 мая 1985 г. Кутаиси, 1986, с.290-293.

107. Колпак Е.П. Цилиндрическая оболочка при больших деформациях.- Механика эластомеров. Краснодар, 1987, с.66-75.

108. Колпак Е.П. Полый цилиндр из несжимаемого материала при больших деформациях.- Нелинейные проблемы механики и физики твердого тела. СПб,1998, с.96-117.

109. Колпак Е.П., Пралич И.М. О динамическом поведении длинной мембраны из резиноподобного материала.-Статика и динамика гибгих систем. М.,1987,с.178-186.

110. Колпак Е.П.Кабриц С.А., Черных К.Ф. Прямоугольная мембрана.* Успехи маханики, 1983,т.6,вып. 1/2,с. 142-145.

111. Корхонен A.C. О теориях образования шейки и пределах формоизменения листового металла.- Теоретические основы инженерных расчетов, 1978, т.100, N3, с.86-93.

112. Крысько В.А., Мирумян A.A. К устойчивости пластин из нелинейно-упругого материала, лежащих на упругом основании.-Расчет напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек, Саратов, 1981, с.45-47.

113. Кузнецов В.И., Стрекозов Н.П. О равновесии квадратной мембраны при больших перемещениях и деформациях.- XII Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983, ч.З, с.107-112.

114. Кукуджанов В.H. Разностные методы решения задач механики деформируемого тела. М., 1992,123с.

115. Куперман A.M. Кранцевые устройства морских судов., Л., Судостроение, 1973, 128с.

116. Кузнецов В.В., Левяков C.B. Исследование нелинейного деформирования и устойчивость форм равновесия оболочек вращения при больших деформациях.- ДАН РФ, 1997, 3-57, N2,с.184-187.

117. Кылатчанов K.M., Черных К.Ф. О мягких упругих оболочках при больших деформациях.- Прикладная механика, 1986, т.49, N6, с.992-1000.

118. Лазуркин Ю.С., Фогельсон Р.Л. О природе больших деформаций высокомолекулярных веществ в стеклообразном состоянии.- Журнал технической физики, 1051, т.21, N3, с.267-286.

119. Лебедев Г.А., Кувшинский Е.В. Закономерности деформирования твердых аморфных полиметилкрилата и поливинил-ацетата при холодной вытяжке.- Физика твердого тела, 1960, т.2, N1, с.96-105.

120. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Круглая вязкая упругая мембрана под действием равномерного давления.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1967, N5, с.167-170.

121. Луковской И.А., Троценко В.А., Усюкин В.И. Взаимодействие тонкостенных упругих элементов с жидкостью.Киев, Наукова Думка,1989,240с.

122. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980, 512 с.

123. Людвик П. Основы технологической механики.- Расчеты на прочность. М., 1970, N15, с.130-166.

124. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935, 674с.

125. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр.соч. т.2, М., Изд-во АНСССР, 1956, 475с.

126. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. Л., Судостроение, 1978, 264 с.

127. M аксак В.И., Черноморенко В.И. Устойчивость при растяжении и испытании трубок на прочность.- Проблемы прочности, 1970, N5, с.26-27.

128. Малинин H.H., Петросян Д.JI. Большие пластические деформации круглой плоской мембраны, нагруженной равномерным давлением.- Известия вузов, Машиностроение, 1968, N10, с.30-37.

129. Малинин H.H., Романов К.И. Ползучесть и разрушение прямоугольных мембран в условиях горячего формоизменения.-Механика твердого деформируемого тела. Тула, 1983, с.170-175.

130. Манн-Нахбор П., Хоффман О., Яхсмен В. Пластическая неустойчивость цилиндрических сосудов давления конечной длины.- Ракетная техника и комонавтика, 1963, т.1. N7, с.136-145.

131. Матвеев А.Д. Локализация деформаций при растяжении и кручении стержня круглого сечения.- Известия вузов, Машиностроение, 1981, N1, с.3-7.

132. Миловидов A.C., Навроцкий Д.Б., Смирнов А.М. Особенности раскроя пневматических резинотканевых тел большого удлинения и тел составной формы.- Труды НИИРПа, 1978, N3(10), с. 49-54.

133. Мисевич Ю.М., Рудис М.А. Большие пластические деформации плоских круглых мембран при статических и динамических нагрузках.- Прикладная механика, 1981, т.17, N1, с. 86-89.

134. Михайловский Е.И. Бескоординатный способ получения сопряженных пар тензоров.- Вестник Сыктывкарского университета, 1996, сер.1, вып.2, с.159-168.

135. Михайловский Е.И., Торопов A.B. Математические модели теории упругости. Сыктывкарский университет. Сыктывкар,1995,251с.

136. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л., Л ГУ, 1978,182с.

137. Морозов A.C. Сжатие вдоль оси цилиндров из пористых и сплошных материалов при их кручении.- Механика полимеров, 1965,N1,146-147.

138. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.,АН СССР,1954,647с.

139. Надаи А.Н. Пластичность и разрушение твердых тел.М. 1954,647с.

140. Натов M.А., Васильева C.B., Христова X.В. Влияние размеров экспериметальных образцов и режима нагружения одноосным растяжением при шейкообразовании полиэтилена высокой плотности.- Механика полимеров, 1977, N5, с.936-938.

141. Негрони, Томсен. О критерии неустойчивости пластической деформации при растяжении.- Конструирование и технология машиностроения, 1969, т.91, N3, с.126-131.

142. Нисневич М.Э. Расчет равновесного состояния плоской резиновой мембраны под нормальной нагрузкой.- Каучук и резина, 1972, N2, с.35-36.

143. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Го-стехиздат, 1948, 212с.

144. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. JL, Судостроение, 1962, 344с.

145. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М., Мир, 1976, 464с.

146. Одинг С.С. Исследование процесса образования и развития шейки при растяжении цилиндрического образца.- Проблемы прочности, 1983, N10, с.103-106.

147. Одинг С.С. Напряженное состояние неравномерно растянутой полосы из жестко-пластического материала.- Прикладная механика, 1985, т.21, N6, с.121-124.

148. Одинг С.С. Устойчивость при пластическом растяжении цилиндрического образца.- Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Тула, 1975, вып.З, с.60-65.

149. Олыпак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. М., Мир, 1964, 243с.

150. Онат, Прагер. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца.- Механика, 1955, N4, с.93-97.

151. Оркиш Я. Равновесие безмоментных оболочек вращения из каучукоподобных материалов.- Известия АН СССР, Механика, 1965, N4, с.89-91.

152. Пальмов В.А. Реологические модели в нелинейнсэй механике деформируемых тел.- Успехи механики (Advances in Mech.).1985,1. Т.З, Вып.З, с.75-115.

153. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.,1976, 328с.

154. Пановко Я.Г., Губанов И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М., Наука, 1979, 384 е.

155. Парфеев В.М., Грушецкий И.В., Дробышев A.A., Гайдамаки-на Г.В. Механические свойства эластомеров для искусственных клапанов сердца лепесткового типа,- Механика композитных материалов, 1983, N1, с.110-117.

156. Петрик А.И., Троценко В.А. Большие упругие деформации безмоментной цилиндрической оболочки переменной толщины, находящейся под гидростатическим давлением.- Динамика и устойчивость сложных систем. Киев, 1981, с.24-34.

157. Покровский В.Н. К теории вынужденной выскоэластичной деформации полимерных материалов.- Механика полимеров, 1968, N2, с.255-262.

158. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.JI., Судостроение, 1977, 279с.

159. Присс Л.С. О причинах расхождения между кинетической теорией высокоэластичности и опытом.- ДАН СССР, 1957, т.116, N2, с.225-228.

160. Романов К.И. К вопросу иб исследовании устойчивости дву-осного пластического растяжения.- Известия вузов, Машиностроение, 1979, N10, с.18-20.

161. Романов Ю.М. Исследование устойчивости пластического деформирования тонкостенных труб при различных путях нагружения.- Прочность материалов и конструкций. Л.,Машиностроение, 1975, с.22-27.

162. Рудельсон В.Г. Пневматические гусеницы в зарубежной литературе.- Каучук и резина, 1964, N3, с.41-45.

163. Рыжанков В.Г. Упругие степенные потенциалы для ненапол-ненных эластомеров.- Вест.ЛГУ, сер.1, 1987,вып.4, с.102-104.

164. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравненеий. М., Наука, 1978, 592 с.

165. Сарбаев B.C. Расчет оболочек вращения с учетом физической нелинейности.- Известия вузов, Машиностроение, 1984, N6, с.20-23.

166. Семисалов A.C. Точное решение задачи о неупругом деформировании оболочек вращения равномерным давлением.-Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1985, N71, с.97-104.

167. Солодилов Ю.И. Большие деформации круглой мембраны, прикрепленной по контуру к деформируемому кольцу.- Инженерный журнал АН СССР, 1965, т.5, вып.2, с.337-381.

168. Стыцына В.К. Определение функции упругого потенциала латексных пленок.- Известия вузов, Машиностроение, 1972, N2, с.12-14.

169. Стыцына В.К., Терещенко В.А. Влияние способа нагружения на устойчивость резиновой оболочки.- Механика полимеров, 1978, N5, с.992-924.

170. Стэчив И.Д. Критическое давление для сферических акриловых иллюминаторов при кратковременном гидростатическом нагружении.- Конструирование и технология машиностроения, 1969, т.91, N3, с.46-58.

171. Теория мягких оболочек и их использование в народном хозяйстве. Ростов/Дону, 1976, 168с.

172. Терегулов И.Г. К построению соотношений напряжения-деформации для тонких нелинейно-упругих оболочек.- Механика деформируемого твердого тела. Тула, 1983, с. 122-129.

173. Товстик П.Е. Осесимметричные деформации тонких оболочек вращения из нелинейно упругого материала. ПММД997, т.61,N4, с.660-673.

174. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.,Наука, 1995,320с.

175. Томленов А. Д. Пластическое напряженное состояние и устойчивость процесса вытяжки.- Вопросы обработки металлов давлением. М., АН СССР, 1958, с.3-23.

176. Троценко В.А. К вопросу о границах применимости линеаризованных уравнений теории мягких оболочек.- Численно-аналитические методы исследования динамики и устойчивости сложных систем. Киев, 1984, с.41-47.

177. Троценко В.А. Конечные деформации куполообразных оболочек вращения из высокоэластичных материалов.- Аналитические методы исследования динамики и устойчивости сложных систем. Киев, 1982, с. 12-25.

178. Троценко В.А. Осесимметричные колебания деформированной равномерным давлением круговой мембраны.- Прикладная механика, 1981, т.17, N4, с.43-45.

179. Троценко В.А. Осесимметричная задача о равновесии круговой мембраны под гидростатическим давлением.- Физико-технические приложения краевых задач. Киев, Наукова думка, 1978, с.126-140.

180. Троценко В.А. Колебания и устойчивость деформированной поперечной нагрузкой круговой мембраны.-ПМ (Киев), 1991, т.27, N7, 95-103.

181. Трушина В.М. Большие деформации и несущая способность оболочки начальной цилиндрической формы.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1971, N5, с.193-199.

182. Трушина В.М. Большие деформации круглой мембраны из пластического неоднородного материала.- Труды 8-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ростов/Дону, 1971, с.189-194.

183. Усюкин В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1976, N1, с.70-75.

184. Фельгар Р.П. Пластический анализ нейстойчивости сосудов давления, подвергнутых действию внутреннего давления и осевой нагрузки.- Техническая механика, 1962, т.84, N2, с.89-99.

185. Феодосьев В.И. О формах равновесия резиновой сферической оболочки при внутреннем давлении.- Прикладная математика и механика, 1968, т.32, вып.32, с.339-344.

186. Фокин Ю.Ф. Устойчивость некоторых безмоментных оболочек при больших деформациях.- Прблемы устойчивости в строительной механике. М., Стройиздат, 1965, с.321-328.

187. Фрей Отто, Рудольф Тростель. Пневматические строительные конструкции. Конструирование и расчет сооружений из тросов, сеток, мембран. М., Стройиздат, 1967, 320с.

188. Харитонов Л.Г. Исследование процесса деформации образца при растяжении.- Труды Новосибирского ин-та инженеров водного транспорта, 1966, вып.23, с.3-35.

189. Цвелодуб И.Ю. Постулат устойчивости и его приложения в теории ползучести металлических материалов. Новосибирск, 1990,202с.

190. Черепанов Г.П. О закритичесмких деформациях.- Проблемы прочности, 1985, N8, с.3-8.

191. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость.М., Наука, 1988, 192с.

192. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. 4.2, Л.,ЛГУ, 1964, 395с.

193. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно-упругих оболочек.-Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1980, N2, с.148-159.

194. Черных К.Ф. О постулате устойчивости анизотропного материала.- Избранные проблемы прикладной механики. М., Наука, 1974, с.721-730.

195. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л., Машиностроение, 1986, 336с.

196. Черных К.Ф. О двойном тензоре напряжений в механике деформируемого тела.- Актуальные проблемы механики сплошных сред. Л., ЛГУ, 1980, вып.13, с.217-223.

197. Черных К.Ф. Основные зависимости нелинейной теории упругости.- Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред. Л., ЛГУ, 1977, с.52-67.

198. Черных К.Ф. Теория тонких оболочек из эластомеров (рези-ноподобных материалов).- Успехи механики (ПНР), 1983, т.6, вып. 1/2, с.111-147.

199. Черных К.Ф., Шубина И.М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. Феноменологический подход.-Механика эластомеров, Краснодар, 1977, с.54-647.

200. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л., ЛГУ, 1988, 256с.

201. Черных К.Ф. Плоская задача нелинейной анизотропной упругости.- МТТ, 1995,Ш, 47-55.

202. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек.- Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1968, N1, с.56-63.

203. Янг В.Ш. Концентрация напряжений в резиновом листе при растяжении.- Прикладная механика, 1967, т.34, N4, с.220-224.

204. Янг В., Лю С. Общие деформации мембран из неогуковского материал.- Прикладная механика, 1973, т.40, N1, с.7-13.

205. Янг В.Ш., Фэн В.В. Об осесимметричных перемещениях нелинейных безмоментных оболочек.- Прикладная механика, 1970, т.37, N4, с.108-115.

206. Янг С.Е., Сан И.С. Большие упругие деформации надувной мембранной оболочки вращения.- Ракетная техника и космонавтика, 1974, т.12, N6, с.31-38.

207. Alexander H. Tensile instability of initially shperical ballons.-Int.J.Eng.Sci., 1971,v.9, N1, p.151-162.

208. Ball J.M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity.- Arch.Rational Mech.Anal.,1977,v.63, pp.337-403.

209. Becker G.W. On the phenomenological discription of non-linear deformation behavior of rubberlike polymers.- J.Polymer science, 1967, pp.5-16,2893-2903.

210. Blatz P.I. Application of finite elastic theory to the behavior of rubberlike material.- Rubb.Chem.Techm., 1963,v.3, N5, pp.14591496.

211. Boonstra B.B.S.T. Stress-stryin properties of natural rubber under biaxial strain.- J.Applied Physics, 1950, v.ll, pp.1098-1104.

212. Budiansky B. Notes on nonlinear shell theory.- Trans. ASME, 1968, v.E35, N2, pp.393-401.

213. Carothers W.H., Hill J.W. Studies of polymerization and ring formation.- XV. Artefical fibers from synthetic linear condensation superpolemers.- J.Amer.Chem.Cos.,1932,v.54,N4, pp.1579-1587.

214. Chen Yi-Chao, Healey Timethy. Bifurcation to pearshaped equilibration of pressurized sherical membranes.- Int. J.Non-Linear Mech., 1991,v. 26, N3-4,pp.279-291.

215. Chu C.C. Difurcation of elastic-plastic circular cylindrical shells under internal pressure.- Trans.ASME, 1979, V.E46, N4, pp.889894.

216. Considere M. Lemploi du fer et de lacier dans les constructions.-Annals, du pontes et chaussees, 1885, ser.6, v.9,pp.574-575.

217. Dicke R.A., Smith T.L. Ultimate tensile properties of elastomers. VI. Strength and extensibility of styrene-butadiene rubber vulcanizate in equal biaxial tension.- J.Polymer science, 1969, v.7, part A-2, N4,pp.687-707.

218. Feng W.W., Huang P. On the general contact problem of inflated nonlinear plane membrane.- Int.J.Solids and structures, 1975, v.ll, N4, pp.437-448.

219. Foster H.O. Very large deformations of axially symmetrical membranes made of neo-Hooken materials.- Int.J.Engne.Sci.,1967,v.5,N 1, pp.95-117.

220. Gent F.M., Thomas A.C. Forms of the stored (strain) energy function for vulcanized rubber.- J.Polymer Sci., 1958, v.28, pp.625628.

221. Hart-Smith, Crisp J.D. Large elastic deformations of thin rubber membranes. J.Eng.Sci., 1967, v.5, N1,pp.1-24.

222. Haughton D.M. Post-bifurcation of perfect and imperfect spherical elastic membranes.- Int.J.Solids and structures, 1980, v.16, N12, pp.1123-1133.

223. Haughton D.M., Ogden R.W. On the incremental equastions in non-linear elasticity. II.Bifurcation of pressurized shperical shells.-J.Mech. and Phys.Solids, 1978, v.26, N2, pp.111-138.

224. Haughton D.M., Ogden R.W. Bifurcation of inflated circular cylinders of elastic material under axial loading. I.Membrane theory for thin-walled tubes.- J.Mech. and Phys.Solids, 1979, v.27, N3, pp.179-212.

225. Haughton D.M. on the eversión of incompressible elastic cylinders.-Int.J.Non-Linear Mech.,1995,v.30,N2, pp.81-95.

226. Hill R. Stability of rigid-plastic solids.- J.Mech. and Phys.Solids, 1957, v.6, N1, pp.1-8.

227. Isihara A., Hashitsume M., Tatibana M. Statistical theory of rubberlike elasticity.- J.Chem.Phys., 1951, v.19, N12, pp.1508-1512.

228. Kawabata S., Matsuda M., Tei K., Kawai H. Experimental survey of the strain energy density function of isoprene rubber vulkanizate.-Macromolecules, 1981,v.14, N1. pp.154-162.

229. Kent R.E. A study of the inflation of a circular rubber sheet.- Eur. rubber J., 1978, v.160, N3,pp.29-32.

230. Huroshi K., Kitagawa H. Bifurcation analysis of thin-walled tube subjected to internal pressure and axial tension.- Bull.JSME, 1984, v.27, N227, pp.917-922.

231. Kliged W., Shild R. Some numerical investigations on empirical strain. Energy frenktions in the large axisymmetric of rubber membranes.- ZAMP,1964, v.15,N6, pp.608-629.

232. Klosner J.M., Segal A. Mechanical characteriation of a natural rubber.- PIBAL Rep. Poly tech. Inst, of Bruoklyn, 1969, No,pp.42-68.

233. Knayat R.E., Derdoni A. Inflation of hyper elastics cylindrical membranes as applied to blow moulding.-Int.J.Numer.Meth.Eng., 1994, v.73, N22, pp.3773-3791.

234. Libai A., Simonds J.G. The nonlinear theory of elastic shell. Academic Press, INC. London, 1988, 412 p.

235. Mellor P.B. The ultimate strength of thin-walled shells and circular diaphragms subgected to hydrostatic pressure.- Int.J. of Mech.Sci., 1960, v. 1, N2/3, pp.216-228.

236. Mooney M. Theory of large elastic deformation.- J.Appl.Phys., 1940, v.ll, pp.582-592.

237. Nachman A. Some results on the geometrically exact equations of pressurized axisymmetric membranes.- Acta mechanica, 1985, v.57, N3-4, pp.233-239.

238. Natta G., Crespi G., Valvassori A., Sartoti G. Polyolefin elastomers.-Rubbe.Chem.Tech., 1963, v.36, N5, pp.1583-1668.

239. Pink E., Kronthater A., Yaltingaier P. Double necking in polymer tensile deformation. J.Mater.Sci.,1989,v.24, N1, 183-186.

240. Sach G., Lubahn J.D. Failure of ductile metals in tension.- Trana.ASME, 1946, v.68, pp.271-276.

241. Salmon M.A. Plastic instability of cilindrical shells with rigid end closures.- Trans. ASME, 1963, v.E30, pp.92-101.

242. Schreyer H.L., Neilsen M.K. Analitical and Numerical tests for loss of material stability.-Int. J.Numerical Meth. for Eng., 1996,39,N10, pp.1721-1736.

243. Sharma M.G. Failure of polymeric materials uhder biaxial stress fields.- Polymer Eng.and Sci., 1966, v.6, N1, pp.30-35.

244. Smith T.L., Rinde J.A. Ultimate tensiale properties of elastomers. V. Rupture in constrained biaxial tensions.- J.Polymer Sci, 1969, v.7, Part A2, N4, pp.675-685.

245. Stringfellow R., Abeyarathe R. Cavitation in an Elastomer: Comparison of Theory with Experiment. Mater.Sci. and Eng. 1989, v. 112, pp.127-131.

246. Swift H.W. Plastic instability under plane stress.- J.Polym.Sci., 1952,v.l, N1, pp.1-18.

247. Treloar L.R.G. Strains in an inflated rubber sheet and the mechanism of bursting.- Rubber. Chem. Techn., 1944, v.17, N4, pp.957-867.

248. Treloar L.R.G. Stress-strain data for vulcanized rubber under various of deformation.- Rubber.Chem.Tech., 1944, v.17, N4, pp. 817-825.

249. Tcheoegl N.W. Constitutive equations for elastomers.- J. Polemer Sci., 1971, A-l, pp.1959-1970.

250. Vangerko H., Treloar L.R.G. The inflation and extension of rubber tube for biaxial strain for studies.- J.Phys.D: Appl.Physics, 1978, v.ll, N16, pp.1969-1978.

251. Лавров В.А.,Перлин Б.А.,Зак А.В.,Колпак Е.П. Исследование динамики полимеризационного ректора неидеального перемешивания. Известия АН СССР, ТОХТ, 1977, т.13, N4, с.611-613.

252. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.,ИЛ,1955.

253. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.,Наука,1984, 832с.

254. Бочкарева Н.Л.,Колпак Е.П., Об устойчивости арочного амортизатора.- Вестник СПбГУ,1993,сер.1,вып.4,с.49-53.

255. Колпак Е.П. Круглая мембрана при больших деформациях.-Нелинейные проблемы механики и физики твердого тела. С.Петербург, 2000, вып.2,с.

256. Колпак Е.П. Устойчивость оболочек в условиях растяжения. С.Петербург, 2000, 240с.

257. Колпак Е.П. О локализации деформаций в растянутых мембранах и оболочках.- Нелинейные проблемы механики и физики твердого тела. С.Петербург, 2000, вып.3,с.

258. Колпак Е.П. Некоторые вопросы нелинейной теории оболочек из эластомеров.- В сб."Теория оболочек и пластин", Казань,1980,с.49-50.

259. Черных К.Ф.,Кабриц С.А., Колпак Е.П. Анализ напряженно-деформированного состояния кровеносных сосудов и биологических мембран методами нелинейной теории оболочек.-Тез.долкл.З-й Всесоюзной конференции по проблемам биомеханики. Рига,1983,т.1,с.69-70.

260. Колпак Е.П.Практические аспекты устойчивости материала.-Новожиловские чтения.С.Петербург, 1998, с.77.