Эластомерные оболочки при больших деформациях: теория и эксперимент тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Мальцева, Любовь Сергеевна

• Мальцева, Любовь Сергеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Мальцева, Любовь Сергеевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Механические свойства эластомеров

§ 1.1 Структура и свойства линейных макромолекул

§ 1.2 Упругие потенциалы

§ 1.3 Одноосное и двуосное растяжение эластомеров

Глава 2. Изгиб пластин и криволинейных стержней

§ 2.1 Основные соотношения

§ 2.2 Сжатие пластин и стержней

§ 2.3 Сжатие колец

Глава 3. Безмоментные мембраны и оболочки

§ 3.1 Основные соотношения

§ 3.2 Балка-полоска

§ 3.3 Сжатие балки-полоски и цилиндрической оболочки, находящихся под давлением

§ 3.4 Динамическое поведение балки-полоски при растяжении давлением

§ 3.5 Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением

§ 3.6 Круглая плоская мембрана при больших деформациях

Глава 4. Осесимметричные деформации оболочки вращения

§ 4.1 Основные соотношения

§ 4.2 Растяжение круглой мембраны нормальным давлением

§ 4.3 Растяжение нормальным давлением плоской кольцевой мембраны

§ 4.4 Круглая мембрана с жестким центром

§ 4.5 Контактная задача для круглой мембраны

§ 4.6 Сферическая оболочка под внутренним давлением

§ 4.7 Контактные задачи для сферической оболочки

§ 4.8 Растяжение сферической оболочки, имеющей отверстие

§ 4.9 Численные методы решения нелинейных краевых задач

Глава 5. Прямоугольная мембрана

§ 5.1 Растяжение прямоугольной мембраны в плоскости

§ 5.2 Однородное растяжение мембраны

§ 5.3 Мембрана с жестким круглым включением

§ 5.4 Одноосное растяжение мембраны. Нелинейное решение

§ 5.5 Экспериментальные исследования

§ 5.6 Искажения однородного напряженно-деформированного состояния

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эластомерные оболочки при больших деформациях: теория и эксперимент»

ВВЕДЕНИЕ

Начиная с 50-х годов XX века интенсивное освоение и широкое применение в практической деятельности получили изделия из эластомеров. Эти материалы используются при изготовлении пневматических сооружений, антенн, амортизаторов, различного рода мембран и оболочек, уплотнителей. Постоянно создаются новые высоко эластичные материалы. Эти материалы обладают специфическими механическими свойствами — они могут испытывать большие обратимые деформации. Наиболее широко в промышленности и в быту нашли свое применение различные марки резин, изготовленные из каучуков, искусственных и натуральных.

Эксплуатация изделий из полимерных материалов происходит, как правило, в условиях воздействия механических нагрузок. Поэтому специалистам, занимающимся расчетом и эксплуатацией резинотехнических изделий, важно знать не только специфические механические свойства эластомеров, но и основные закономерности, определяющие влияние структуры и различных технологических факторов на эти свойства.

Для определения механических свойств эластомеров используются различные методики, основанные, как правило, на одноосном и двуосном близким к однородному растяжении эластомерных образцов. Более сложные напряженные состояния, как правило, не реализуются, поскольку трудно сопоставить экспериментальные результаты с теоретическими. Это связано с трудностями, возникающими при решении соответствующих математических задач. Основы методики проведения экспериментов по двуосному растяжению эластомеров были заложены в 1940-е годы L. R. G. Treloar (далее Трелоар) [121]. Одно из направлений его работы: исследования однородно-напряженного состояния образцов при больших деформациях, построение зависимости «напряжения — деформация». В 70-е годы XX века эксперименты на образцах типа «крест» проводил В. П. Никифоров. Аналогичная методика была использована в 1980-е годы в [100]. R. Rivlin [115] (далее Ривлин) и Saunders, Alexander H. проводили исследования, аналогичные исследованиям Трелоара. Экспериментаторы проводили исследования на разнородных материалах, при этом испытывали их в разных режимах нагружения. В связи с этим, были предложены различные варианты упругих потенциалов для описания зависимостей между нагрузкой и деформацией. Экспериментальные и теоретические работы по исследованию напряженно-деформированного состояния резиновых образцов с разрезами и вырезами немногочисленны [7, 28].

Различные исследователи проводили эксперименты по двуосному симметричному растяжению изделий из эластомеров. Первым из них был Трелоар, который растягивал круглую мембрану нормальным давлением, затем этот эксперимент повторил Hart-Smith [94] в 1967 г. Г. М. Бартенев [11] также проводил этот эксперимент, при этом предложив вариант упругого потенциала. Эксперимент по растяжению квадратной мембраны нормальным давлением проводил Е. П. Колпак [39, 40]. Gent [93] раздувал резиновую трубку, экспериментальные исследования по растяжению тороидальной оболочки проводили Л. М. Зубов и А. М. Колесников. В последние годы эксперименты по круглой мембране проводили A.P.S Selvadurai [118], Albrecht и Ravi-Chandar [81], а также K.Y.Volokh и K. Balakhovsky [84]. I. Muller [109,110] проводил симметричное и несимметричное нагружение квадратной мембраны, а также проводил эксперименты по раздуванию двух резиновых баллонов.

В связи с тем, что многие конструкции из эластомеров могут испытывать большие деформации, возникает необходимость использовать теории, учитывающие геометрическую и физическую нелинейность задач. Основы нелинейной теории упругости были заложены в начале XX века. Одним из первых был английский математик А. Ляв в 30-е годы XX века. В России первыми были В. В. Новожилов [66, 112] и его ученик К. Ф. Черных [77]. Различные варианты нелинейной теории оболочек предлагались у С. А. Алексеева, А. С. Григорьева и К. Ф. Черныха. Значительный вклад в развитие этой теории внесли И. А. Бригаднов [16, 17], К. З. Галимов [19], П. А. Жилин, Л. М. Зубов [30, 33], А. И. Лурье [45], В. Н. Паймушин [67-71], П. Е. Товстик [62], К. Ф. Черных[78-79], S. S. Antman, A. E. Green, W. T. Koiter, A. Libai, J. G. Simmonds и другие исследователи [6, 8, 14].

На основании разработанных методов в России были решены следующие задачи. М. А. Колтунов и И. Е. Трояновский [41] решали задачу о сжатии пластины из резиноподобных элементов, С. А. Кабриц [34-36] и В. Ф. Терентьев [97] занимались задачами о сильном изгибе оболочек. Задачи по растяжению резиновых мембран гидростатическим давлением решены у Л. М. Зубова и А. М. Колесникова [101], сферической оболочке —у И. И. Воровича, В. И. Феодосьева, А. М. Колесникова [38], цилиндрической оболочке — у А. М. Колесникова.

Среди зарубежных исследователей из США, Канады, Великобритании, Ирландии, Франции, Германии, Польши, Турции, Италии, Израиля, Индии, Китая, Южной Кореи также отмечается интерес к различным задачам. Нелинейными колебаниями оболочек занимались F. Alijany и M. Amabili. Большими колебаниями изделий из эластомеров занимались С. Feng, L.Yu, W. Zhang. Вопросы колебания гиперэластичных мембран рассматривали X. Yuan, Z. Zhu, R. Zhang. Задачи по растяжению эластомерной трубки решали H. A. Erbay и V. H. Tuzel. Задачу о деформации изделий из неогуковского материала исследовали G. Saccomandi [117] и Lecce, а

также A. Wineman [122], а задачи о деформации изделий из материала типа Огдена рассмотрены у Z-Q. Feng, F. Peyraut и Q.C. He [89]. Задачу о длинной круглой трубе из неогуковского материала решали J.B.Suh, A.N. Gent, S.G. Kelly [119]. A. N. Gent вместе с O. H. Yeoh [93] также занимались и задачей о нагруженном на одном конце круглом цилиндре. R. C. Batra и A. Bahrami [86] рассматривали осесимметричные деформации цилиндра из материала Муни-Ривлина. Вопросами поведения эластомерных мембран в электрическом поле занимались D. Tommasi, G. Puglisi, G. Zurlo. Вопрос разрушения гиперэластичных мембран рассматривали L. Lanzoni, A. M. Tarantino. Поведение тонкой гиперэластичной трубы под внешней нагрузкой изучали Y. B. Fu, S. P. Pearce, K.K. Liu. DasGupta вместе с N. Kumar решали контактную задачу о сжатии сферической мембраны двумя плоскостями, а вместе с G. Tamadapy — задачу о тороидальной оболочке под внутренним давлением. Задачи упругой устойчивости сферических и цилиндрических оболочек из резиноподобного материала решали L. M. Kanner, C.O. Horgan [99]. Вопрос упругой устойчивости в резине рассматривал A. N. Gent [92]. Он же рассматривал задачу о сжатии длинного резинового стержня. Вопрос выбора упругого потенциала для резины был затронут в публикации C. Nah, C. B. Lee, J. Y. Lim, SenGupta, A.N. Gent [111]. Потенциалы типа Огдена для нематических эластомеров рассматривали V. Agostiniani и A. DeSimone [82]. Также вопрос упругих потенциалов рассматривался у A. S. Lectez, E. Verron, B. Huneau [102].

Исследования устойчивости положения равновесия в нелинейной постановке проводилось Л. М. Зубовым, Haughton, Нудельманом, А. Н. Гузем [26]. Случай сферической оболочки был рассмотрен W. W. Fung, Н. А. Кудряшов и Д. И. Синельщиков также занимались нелинейными колебаниями в вязкоэластичной трубе.

Целью работы является проведение экспериментальных исследований по деформированию различных пластин и оболочек для определения свойств материалов в различных конструкциях; разработка численных методов решения нелинейных задач, имеющих неединственное решение; построение аналитических и численных решений нелинейных краевых задач для криволинейных стержней и безмоментных оболочек; сопоставление теоретических результатов с экспериментальными.

Методы исследования. Используются теоретические методы исследования напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с применением аппарата нелинейной теории упругости. Экспериментальные методы исследования основываются на методиках, описанных в литературных источниках и на авторских методиках. При обработке теоретических и экспериментальных результатов применяются современные компьютерные технологии. Основная масса расчетов производилась в среде программирования математического пакета MATLAB.

Новизна работы. Решены нелинейные задачи по сжатию резиновых криволинейных стержней сосредоточенными силами и плоскостями и дано сопоставление теоретических результатов с экспериментальными; решена задача о больших колебаниях плоской мембраны, нагруженной нормальным давлением; построены решения для эластомерных мембран, растягиваемых поверхностными и краевыми нагрузками, в закритической области; решены контактные задачи по растяжению нормальным давлением сферической и цилиндрической оболочек. Поставлены эксперименты под эти теоретические результаты и проведено сравнение с данными, полученными в результате натурных экспериментов. Полученное в работе решение задачи о больших деформациях прямоугольной мембраны представлено в виде суперпозиции функций комплексной переменной.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи, сопоставлением результатов с результатами других авторов и с данными, полученными в ходе поставленных в работе физических экспериментов. Достоверность экспериментальных данных обеспечивается точностью измерений и сопоставлением с результатами других исследователей.

Практическая значимость. Разработан метод построения решения нелинейных краевых задач по растяжению оболочек в закритической области. Дана оценка критических деформаций, при которых может произойти потеря устойчивости криволинейных стержней при сжатии и безмоментных оболочек при растяжении. На защиту выносятся:

1. Теоретические и экспериментальные результаты по сжатию криволинейных стержней.

2. Теоретические и экспериментальные результаты по растяжению плоских мембран нормальным давлением.

3. Теоретические и экспериментальные результаты по решению контактных задач по растяжению нормальным давлением сферической и цилиндрической оболочек.

4. Численный метод решения задач о нелинейных колебаниях плоской мембраны. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав,

заключения и списка литературы, общим объемом 132 страницы. Общее количество рисунков —80; таблиц — 2. Список литературы насчитывает 124 источника. Содержание работы.

В первой главе дано краткое описание механических свойств эластомеров и приведены наиболее часто встречающиеся упругие потенциалы. Описаны методика проведения экспериментов по растяжению мембран и экспериментальная установка. Приведены экспериментальные данные по одноосному растяжению резиновых образцов.

Глава 2 посвящена большим деформациям пластин и стержней. В § 2.1 с позиций нелинейной моментной теории тонких оболочек решается задача поиска критической нагрузки для стержня из физически нелинейного упругого материала, поставлены и решены задачи о сжатии толстой резиновой пластины и длинного резинового стержня. Получено условие сохранения прямолинейного положения равновесия для пластины. Поставлены эксперименты по сжатию пластин и стержней, проведено сопоставление экспериментальных данных с результатами решений, полученных численными методами. § 2.2 посвящен вопросу сжатия круговых колец. Поставлены и решены задачи сжатия круговых колец сосредоточенными силами и плоскостями. Рассмотрена деформация кругового кольца под действием сжимающих плоскостей. Решения задач для обоих случаев получены в квадратурах. Проведены и описаны эксперименты по сжатию резиновых колец кругового сечения сосредоточенными силами и плоскостями, проведено сопоставление экспериментальных результатов с теоретическими. Отмечено, что зависимость зоны контакта и поперечного размера от осадки в задаче сжатия кольца плоскостями близка к линейной. Поставлен эксперимент по сжатию плоскостями цилиндрической трубы.

В третьей главе были поставлены и решены следующие задачи безмоментной теории оболочек. В § 3.1 рассмотрены основные соотношения безмоментной теории оболочек в общем виде. В § 3.3 решены задачи о действии сосредоточенной силы и сжимающих плоскостей на растянутые равномерным давлением балку-полоску и цилиндрическую оболочку. Для случая сжимающих плоскостей задачи решены на двух зонах. В § 3.4 рассмотрена динамическая задача о растяжении нормальным давлением балки-полоски. § 3.5 посвящен задаче о круговой цилиндрической оболочке под внутренним давлением. В § 3.6 решена задача о растяжении в плоскости круглой мембраны. Решение представлено в квадратурах. Для случая потенциала Черныха получено аналитическое решение.

Глава 4 посвящена осесимметричным деформациям оболочек вращения, описаны проведенные автором эксперименты и дано сравнение экспериментальных результатов с теоретическими. В § 4.1 приведены основные соотношения осесимметричной деформации оболочки вращения. В § 4.2 сформулирована и решена задача о растяжении круглой мембраны нормальным давлением. Описана собранная автором экспериментальная установка и методика проведения эксперимента, приведены экспериментальные зависимости и дано их сопоставление с теоретическими результатами. § 4.3 посвящен растяжению нормальным давлением плоской кольцевой мембраны, также описан проведенный эксперимент. В § 4.4 поставлена и численно решена задача о растяжении нормальным давлением круглой мембраны с жестким центром. В § 4.5 рассмотрена и решена контактная задача для круглой мембраны, описана

экспериментальная установка, позволяющая продемонстрировать процесс растяжения круглой мембраны без давления посредством сосредоточенной силы. Проведено сравнение экспериментальных результатов с теоретическими. В § 4.6 поставлена и решена задача для сферической оболочки под внутренним давлением. Описаны поставленные автором эксперименты по растяжению эллипсоида вращения. Отмечена трудность в подборе физически обоснованного потенциала для этой задачи. В § 4.7 поставлена контактная задача сжатия сферической оболочки двумя плоскостями. Поставлен соответствующий эксперимент и проведено сравнение экспериментальных результатов с теоретическими. § 4.7 также посвящен контактной задаче о сферической оболочке, раздуваемой в цилиндрической трубке. Описан эксперимент по растяжению сферической оболочки нормальным давлением в стеклянной трубке, полученные экспериментальные данные сопоставляются с теоретическими. В § 4.8 описана методика проведения эксперимента по растяжению сферической оболочки с отверстием нормальным давлением, решена соответствующая задача и проведено сопоставление теоретических результатов с экспериментальными. В § 4.9 приведены численные методы, используемые в работе, а также указаны некоторые особенности численного решения нелинейных краевых задач.

Глава 5 посвящена прямоугольной мембране, растягиваемой в плоскости краевыми нагрузками. Решается задача наложения малых деформаций на большие в предположении, что основное напряженное состояние является однородным. Проведены серии экспериментов по растяжению прямоугольных мембран с отверстиями.

В заключении указаны полученные результаты.

Апробация работы. Основные положения научной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАБ" г. Санкт-Петербург, 2007.

2. Международная научная конференция «Процессы управления и устойчивость», г. Санкт -Петербург, 2008.

3. Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 2012.

4. Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», г. Воронеж, 2012.

5. Международная научно-практическая конференция «Теория и практика актуальных исследований», г. Краснодар, 2012.

6. Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 2013.

7. Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», г. Воронеж, 2013.

8. Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 2014.

9. Международная конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 85-летию со дня рождения проф., член-корр. РАН В.И. Зубова, г. Санкт-Петербург, 2015.

10. Международная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий», г. Воронеж, 2016 .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [49-60], [104107]. Статьи [105], [106], [107] опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК. В работах [55, 56, 58-60], [105], [106], [107] соавторам принадлежат постановка задачи и проверка правильности полученных автором диссертационной работы результатов посредством решения задач другими численными методами. Работа [57] написана в соавторстве с А. В. Крицкой, которой принадлежит постановка задачи и ее теоретическое исследование, автору диссертационной работы принадлежит численное решение задачи.

ГЛАВА 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛАСТОМЕРОВ

§ 1.1 Структура и свойства линейных макромолекул

Эластомеры при растяжении могут испытывать большие обратимые деформации без разрушения. Это объясняется тем, что их структура представляет собой длинную гибкую цепь (до нескольких тысяч элементов), образованную из молекул, как правило, углерода. Звенья цепи могут вращаться относительно друг друга, связи С—С при этом играют роль осей вращения. В следствие большой длины макромолекулы способны изгибаться. Под действием нагрузки макромолекула способна менять форму, из свернутого в клубок состояния под действием нагрузки она расправляется. При прекращении действия нагрузки макромолекула возвращается в исходное состояние, делая деформацию обратимой. Этим объясняется высокая эластичность полимеров.

Попытка связать упругость образца с упругостью составляющих его молекул была предпринята в 1934-1936 гг. независимо друг от друга V. Kuhn и H. F. Mark с E. Guth. Впоследствии этим занимались V. Kuhn, P. J. Flory, М. Mooney [108]. В основе их теоретических исследований лежали статистические методы. Однако рассматривать статистически отдельную молекулу довольно трудно. Чтобы попытаться предсказать свойства реальной молекулы ее пытаются воспроизвести с помощью математической абстракции, в которой с целью упрощения пренебрегают некоторыми важными с физической точки зрения соотношениями. Например, макромолекула представляется как совокупность свободно сочлененных звеньев, которые вращаются вокруг связей С—С. Тогда макромолекула может располагаться в пространстве неизмеримо большим количеством разнообразных свернутых конфигураций

Одним из таких упрощений является представление о макромолекуле как о совокупности свободно сочлененных звеньев, т.е. свободно вращающихся вокруг телесного угла, определяемого величиной валентного угла.

Основные механические свойства эластомеров были кратко сформулированы К. Ф. Черныхом в [77]:

1. Высокоэластичная деформация, достигающая сотен процентов, носит сдвиговый характер. Модуль сдвига в зависимости от степени наполнения эластомера меняется примерно в пределах 0,1 - 15 МПа. Эластомеры относятся к низкомодульным материалам.

2. При деформации эластомеры проявляют вязкие свойства: ползучесть, релаксация напряжений, которые связаны с разрушением связей и надмолекулярных образований, деформацией наполнителя.

3. При всестороннем сжатии эластомер ведет себя как низкомолекулярное тело (твердое или жидкое). Модуль объемного сжатия эластомеров имеет порядок 100-1000 МПа. Модуль сдвига на два-три порядка меньше, чем модуль объемного сжатия. Эластомер значительно «охотнее» меняет форму, чем объем. Поэтому и используется предположение о несжимаемости эластомеров.

Эластомеры обладают нелинейными механическими свойствами и, соответственно, при расчете изделий из эластомеров нельзя использовать закон Гука. Связь между напряжениями и деформациями здесь задается с помощью упругого потенциала [20, 79, 80, 88, 113].

§ 1.2 Упругие потенциалы

Под упругим потенциалом понимается плотность запасённой энергии деформации при совершении над телом работы внешних сил. Запасённая энергия зависит от изменения относительного расстояния между частицами эластомера.

Введем упругий потенциал Ф, зависящий от значений инвариантов деформации

Ф = Ф(ЛДЛ), Л. — главные кратности удлинений. Выделим в деформируемом теле

элементарный объем, как показано на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1

Пусть длина каждого ребра до деформации ,сХ2 ,сХ3. Пусть параллелепипед растягивается в направлении координатных осей. На координатных площадках возникают напряжения ст{ . Длина ребер после деформации при таком растяжении будет , где Я

— кратности удлинения ребра в результате деформации. Дадим небольшие возможные приращения кратностям удлинений — 8Я. Тогда приложенные к элементарному объему силы совершат работу

8и = aikj\8kidxjdxkdxi, 1, у, к = 1,2,3 I Ф у Ф к.

Эта работа, в силу закона сохранения энергии, расходуется на изменение энергии деформации, поэтому

8и-8Ф =

дФ

с,ЛЛ--

г у к дЯ

8Л,<Зх = 0.

I ] к I

(1.1)

1 у

Отсюда, в силу произвольности 8Я, получаем для случая сжимаемого материала зависимость между напряжениями и деформацией, определяемую через упругий потенциал:

дФ

сЯЯ = —. 1 ^ дЯ

Для несжимаемого материала 8Я зависимы. Из условия несжимаемости

получаем

J = ЯЯЯ =1

ЯЯ8Я + ЯЯ8Я + ЯЯ.8Я = о

Отсюда находим 8Я и поставим полученное выражение в (1.1)

-Ф „ -Ф

<—< — Л--+Л---+ (Г1—(ТЪ— Л2--+Л-

-Ф „ -Ф

Л

Л

= 0.

-Л -Л) Л V -Л -Л

Оставшиеся в этом выражении вариации ¿л1 и независимы, поэтому справедливы следующие соотношения между напряжениями и упругим потенциалом

. -ф -ф -ф -ф

<г, —<= Л--Л —, < — < = Л--Л —.

еЛ еЛ еЛ еЛ

Эти выражения можно записать и в такой форме

еФ

<=Л-ф+р (. = из), (1.2)

где р — скалярная функция.

В теории оболочек используется статическая гипотеза Кирхгофа (сг3 <7,, сг,), полагаем

1 -Ф

<з =Л^Г + р = 0,

отсюда находится функция

0 -Ф

Р = —^,

тогда приходим к закону упругости для несжимаемого материала

,еФ ,еФ . , „ < =Л--Л- 1 = !,2. (13)

' '-Л ^ -Л

На сегодняшний день большинство предложенных в литературных источниках потенциалов строятся эмпирически на основе экспериментальных данных, а не на основе статистической теории [12, 77, 103, 116]. К числу таких потенциалов относятся потенциалы, которые и будут использоваться в работе при решении задач [79]:

степенной потенциал, предложенный К.Ф. Черныхом (типа Огдена):

ф=^ [(1+р) (л + лп +Лп —з)+(1—р)(л—п + ЛГя + Л~я — з)];

из которого следуют потенциалы Бартенева-Хазановича ( п = 1, р = 1), Муни-Ривлина (п = 2 ), неогуковский (п = 2, р = 1);

Джента — Томаса ( 0 <р< 1) [91]

Ф = |(р( I — 3) + 3(1 — р) 1п II/ 3);

Беккера —Трелоара

Ф = 2^ Я( 1п 4-1);

1=1

Присса (\\< 1)

(1 + р) ( I - 3) + 4 (1 - р) (V + V + Я3-1 - з)];

Ф=Ц 4

Волькенштейна ( р < 1)

Ф = 7[(1+Р)( I - 3) + 4 (1-р)(Я + Я + Яз - 3)]; Исихары, являющегося частным случаем потенциала Бидермана (\\ <1,к > 0 )

(1 + р)( I - 3) + (1 -р)( II - 3) + к( I - 3)2

Ф=Ц

2

Чоеглы (| \\ <1,к>0 )

Ф = Ц[Р)( I - 3) + (1-Р)( II - 3) + *( I - 3)( II - 3)]; Клоснера—Сегала (\р\ < 1, к > 0)

"(1 + Р)(I -3) + (1-Р)(II -3) + к(II -3)2

Ф = Ц

ф = * (ехр (II - 3) -1), ф = * (ехр (*I (12 - 3И)) -1),

2

В работе [74] для описания поведения мягких биологических тканей использовались следующие виды формы ф :

*; ф

ф = * (ехр (* (I - 3)) -1) + * (II - 3) + * (III - 3), ф = * [ехр (* (I - 3) + * (II - 3)) -1],

где * — постоянные материала. В этом случае также можно указанным ниже в этом параграфе

способом перейти к использованию степенного потенциала, имеющего более простой вид. Это позволит облегчить расчет напряженно-деформированного состояния стенок кровеносных сосудов при различных способах нагружения, а также может оказаться полезным при поиске новых материалов для искусственных аналогов сосудов в ситуации, когда эти сосуды повреждены травмой, атеросклерозом или инфекционным процессом [114].

Для всех этих потенциалов Ц — линейный модуль сдвига, п — безразмерный параметр,

а Р и к рассматриваются как материальные постоянные, I, II ,Ш ,— главные инварианты

деформации:

I = я2 + яя + яя, ii = я2 я^ + я^яя + яяяя, III = я2 яяяя

Для двухпараметрического семейства потенциалов вида

2j

ф = 2^(Ли +я +я -3),

(1.4)

=

— U"-я") i = 1,2 .

n v '

Распишем выражения для усилий для некоторых из указанных потенциалов.

Черныха:

71 = j

Т2 = juh

(1 + ß)

1 --

1

Я^Я

+

(1 -ß)

1

я2

+ я

(1+ß)

(

1-

У V

^ г 1

+ (1 -ß) —тт + я

Бартенева — Хазановича:

Муни — Ривлина:

7 = 2jh

V 'Ч'"2 У \

V

я22

1 --

7 = J 1 2

т2 = J 2 2

я1 2

(

7 = 2jh

1 -

яя2

1

(1

f

(1 + ß) я -

1

я12 я23

(1 -ß)я1 (я2 -1) f(1 -ß)Ä2 (я-1)

Неогуковский:

Джента — Томаса:

0( 1 7 =Uh Л --Г-2

V я1 Я У

7 = juh

я -

ЯЯ

u 0 7 = j h

1 2

Т2 =J h 2

^(я12-я2)+з (1 -ß)-

я1

-яз2) + 3 (1 -ß)-

ЯЯ2 -

я1з

II

я1я -

я23 У

II

Беккера — Трелоара:

7 = 2jh

Т2 = 2jh

ln я +1 + ln я +1 -

1

я1 я2 1

я1 я2

(1 - ln яз) 2 (1 - ln яз)

Присса:

7 =Л,

1 4

Г2 j 4

(1+ß) 2 (я2-яз2)+4 (1 -ß)^-я1-2) (1+ß)-2(я-яз2)+4(1 -ß)^ я^-2)

0

У

V

У

0

0

Волькенштейна:

т; = £ и

1 4

г2 = ^0

4

(1+ р) 2) + 4 (1 -р)

(1 + Р)2 ) + 4(1 -Р)

Л[2Л2

1-

Я. Л

Такое разнообразие предлагаемых потенциалов затрудняет выбор потенциала при расчете конкретных изделий, поскольку определение физических характеристик основывается на одноосном растяжении образцов. При малых деформациях все перечисленные выше потенциалы определяют линейную связь между нагрузкой и деформацией. В теоретическом отношении эту зависимость для всех рассмотренных потенциалов вплоть до 250% деформаций можно описать степенным потенциалом с точностью до 10% за счет выбора в нем параметров п,р. Так, например, приведем некоторые значения параметров, полученные для выше указанных потенциалов, при которых искомые зависимости максимально точно можно описать с помощью степенного потенциала. Для потенциала Джента - Томаса — Р = 1, п = 2

соответствующие константы для степенного потенциала р = 0.5, п = 1.2; для описания потенциала Беккера — Трелоара в степенном потенциале наиболее подходящим оказывается значение п = 3.5; для потенциала Присса подходящими будут следующие пары:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мальцева, Любовь Сергеевна, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГОСТ 21905-76. Мембраны резиновые. Термины и определения. Введ. 01.01 1977. — М.: Издательство стандартов, 1976. — 10 с.

2. ГОСТ 269-66. Резина. Общие требования к проведению физико-механических испытаний. Введ. 01.07 1966. —М.: Издательство стандартов, 2001. — 9 с.

3. ГОСТ 270-75. Резина. Метод определения упругопрочностных свойств при растяжении. Введ. 01.01 1978. —М.: Издательство стандартов, 2003. — 11 с.

4. ГОСТ 28810-90. Резина. Определение модуля сдвига. Метод сдвига четырехэлементного образца. Введ. 01.01.1992. — М.: Издательство стандартов, 2004. — 5 с.

5. ГОСТ 6467-79. Шнуры резиновые круглого и прямоугольного сечений. Введ. 01.01.1980. — М.: Стандартинформ, 2005. — 14 с.

6. Айнола, Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек / Л. Я. Айнола // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. наук. —1965 — Т.14. — №3. — С. 337-344.

7. Албаут, Г. Н. Основы методов нелинейной фотоупругости и их применение в инженерном проектировании конструкций. / Г. Н. Албаут, В. Н. Барышников // Новосибирск — 1997 —107 с.

8. Амбрацурмян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек. / С. А. Амбрацурмян. — М.: Наука, 1974. — 446 с.

9. Асланян, А. Г., Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. / А. Г. Асланян, В. Б. Лидский — М.: Наука, 1974. — 156 с.

10. Баженов В.Г., Исследование больших упругопластических деформаций и предельных состояний оболочек вращения при статических и динамических сложных нагружениях. / В. Г. Баженов, А. А Артемьева, Д. В Жегалов, А.И.Кибец. —Сборник докладов XI Всероссийский съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики сборник докладов. —Казань — 2015. — С. 283-285.

11. Бартенев, Г. М., Курс физики полимеров. / Г. М. Бартенев, Ю. В. Зеленов — Л.: Химия, 1976. — 288 с.

12. Белов, В. В., Статистическая модель растяжения эластомеров. / В. В. Белов, В. Б. Немцов // Инженерно-физический журнал. — 2009. — Т. 82. — № 5. — С. 999-1003.

13. Болотин, В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек / В. В. Болотин // Прикл. мат. и мех. — 1963 — Т.27. — Вып. 2. — С. 362-364.

14. Бондарь, В. Д. Об одном представлении тензорной функции / В. Д. Бондарь // Докл. АН СССР —1961 —Т.141. — №1. — С. 16-18.

15. Бондарь, Л. М., Подведение некоторых итогов работы промышленности каучуков России в 2014 году. Основные изменения в потреблении. / Л. М. Бондарь, А. А. Фомина // Каучук и резина. — 2015. —№2. — С. 4-6.

16. Бригаднов, И. А., Оценка снизу несущей способности твердых тел. / И. А. Бригаднов, И. В. Бугаев. // Материалы XIX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС, Алушта,2015), М. — 2015— С. 227-229.

17. Бригаднов И. А., Математическая корректность и методы решения краевых задач нелинейной упругости. / И. А. Бригаднов, В. М. Бухштабер, И. А. Антонова, Е. Г. Соколова, С. А. Шаров — отчет о НИР № 96-01-00054 (Российский фонд фундаментальных исследований) — 1996.

18. Вольмир, А. С., Устойчивость деформируемых систем. / А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1967. — 984 с.

19. Галимов К. З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. / К. З. Галимов. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, —1975. — 326 с.

20. Гамлицкий, Ю. А. Упругий потенциал несжимаемого тела, сохраняющего изотропность в деформированном состоянии при конечных деформациях. / Ю. А. Гамлицкий // Каучук и резина — 2014. — № 6. — С. 48-51

21. Гасратова, Н. А. Об одном подходе к решению осесимметричных задач линейной теории упругости. / Н. А. Гасратова, В. А. Шамина // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2007. — № 2. — С. 101— 106.

22. Годунов, С. К. Разностные схемы (введение в теорию) / С. К. Годунов, В. С. Рябенький / М., 1973 — 400 с.

23. Голованов, А. И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. IV. Конечноэлементная реализация. Примеры решения задач. / А. И. Голованов, Ю. Г. Коноплев, Л. У. Султанов // Ученая записка Казанского университета. — Т. 152. — Кн. 4. — С. 115-126.

24. Гончарова, А. Б. О напряженном состоянии резиновой мембраны с вырезом. / А. Б. Гончарова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. 2007. — № 1. — С. 104-110.

25. Грачев, В. А. Сплошные среды из тонких пластин. / В. А. Грачев, Ю. С. Найштут. // Компьютерные исследования и моделирование. 2014.— Т. 6. — № 5. —С. 655-670.

26. Гузь, А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. / А. Н. Гузь. — Киев

— 1973 — 272с.

27. Гуль, В. Е. Структура и механические свойства полимеров. / В. Е. Гуль, В. Н. Кулезнёв.

— М.: Высшая школа, 1972, — 320с.

28. Даль, Ю. М. Сосредоточенные силы и моменты у границы упругой полуплоскости. / Ю. М Даль, Ю. Г. Пронина // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела.

— 1998. — № 5. — С. 78.

29. Димитриенко, Ю. И. Разработка метода конечных элементов для расчета конструкций из несжимаемых материалов с большими деформациями. / Ю. И. Димитриенко, С. М. Царев, А. В. Веретенников // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. — 2007. — № 3. — С. 69-83.

30. Еремеев, В. А., Механика упругих уболочек. / В. А. Еремеев, Л. М. Зубов — М: Наука, 2008 — 288 с.

31. Ермолов, В.В. Пневматические строительные конструкции. / В. В. Ермолов —М.: Стройиздат, 1983.— 439 с.

32. Жигалов, М. В. Методы линеаризации дифференциальных уравнений механики деформированного твердого тела (обзор) / М. В. Жигалов, Т. В. Бабенкова // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. — Т. 2. —№ 1. —С. 24-38.

33. Зубов, Л. М. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов. / Л. М. Зубов, А. Н. Рудев // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 1994. — № 6. — С. 21.

34. Кабриц, С.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. / К. Ф. Черных, С. А. Кабриц

— С-Пб.: Издательство СПбГУ, 2002 — 388с.

35. Кабриц, С. А. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига. / С. А. Кабриц, К. Ф. Черных // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 1996. — № 1. — С. 124-136.

36. Кабриц, С. А. Изгиб оболочки вращения поперечной силой и моментом. / В. А. Шамина, С. А. Кабриц // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2014. — № 2. — С. 261-270.

37. Козуб, Ю. Г. Долговечность элементов конструкций из слабосжимаемых эластомеров. / Ю. Г. Козуб // М.: Каучук и резина - 2013. — № 5 — с 32-35.

38. Колесников, А. М. Большие деформации высокоэластичных оболочек: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Колесников Алексей Михайлович. - Ростов-на-Дону, 2006. - 26 с.

39. Колпак, Е.П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях. /Е. П. Колпак — Санкт-Петербург 2000, — 248с.

40. Колпак Е.П. Устойчивость и закритические состояния безмоментных оболочек при больших деформациях : дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04 / Колпак Евгений Петрович , Санкт-Петербург, 2000. — 334 с.

41. Колтунов, М. А. Устойчивость толстых упругих пластин с учетом больших деформаций. / М. А. Колтунов, И. Е. Трояновский, Н. А. Шевелев // Механика эластомеров. — 1978. — Т. 2. — С. 52-55.

42. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. / Г. Корн, Корн Т. — М.: Наука, 1968. —720 с.

43. Луковский, И.А. Взаимодействие тонкостенных упругих элементов с жидкостью в подвижных полостях. — И. А Луковский, В. А. Троценко, В. И. Усюкин. — Киев, 1989, — 240 с.

44. Лунев, В. П. Нагрузочные характеристики муфты с торообразной упругой оболочкой / В. П. Лунев // Каучук и резина. — 2012. — № 6. — С. 28-30.

45. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости. / А. И. Лурье — М.: Наука., 1980, — 512с.

46. Магула, В. Э. Судовые эластичные конструкции. / В. Э. Магула — Л.: Судостроение, 1978. —262 с.

47. Мальков, В. М. Нелинейная задача Фламана для материала Бартенева-Хазановича / В. М. Мальков, Ю. В. Малькова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2005. — № 1-2. — С. 49-55.

48. Мальков, В. М. Нелинейная задача Фламана для несжимаемого материала. / В. М. Мальков, Ю. В. Малькова // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. — 2004. — № 4. — С. 73-82.

49. Мальцева, Л. С. Математическая модель эластичной мембраны. / Л. С. Мальцева. // Материалы Х1Х-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». — Дубна, —2012.

50. Мальцева, Л. С. Резиновые мембраны при больших деформациях. / Л. С. Мальцева. // Материалы V международной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования». — Воронеж. — 2012. —С. 184-185.

51. Мальцева, Л. С. О несущей способности резиновой мембраны. / Л. С. Мальцева. // Материалы II международной научно-практической конференции «Теория и практика актуальных исследований». Краснодар — 2012 — Т.2 — С.152-154.

52. Мальцева, Л. С. Резиновое кольцо при больших деформациях. / Л. С. Мальцева. // Материалы ХХ-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино —2013 — С. 183.

53. Мальцева, Л. С. Растяжение кольцевой мембраны: теория и эксперимент. / Л. С. Мальцева. // Материалы VI международной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования». Воронеж — 2013 — С.142-144.

54. Мальцева, Л. С. Растяжение кольцевой мембраны нормальным давлением. / Л. С. Мальцева. // Материалы 21 -й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». — Дубна. — 2014.

55. Мальцева, Л. С. Круглая плоская мембрана при больших деформациях. / Е. П. Колпак, Л. С. Мальцева. // Приволжский Научный Вестник. — №11(39) — 2014 — С.5-10.

56. Мальцева, Л. С. Большие деформации резиновых мембран. / Е. П. Колпак, Л. С. Мальцева. // Молодой учёный — №16(75) — 2014 — С 78-84.

57. Мальцева, Л. С. Математическая модель популяции, подверженной промыслу. / Л. С. Мальцева, А. В. Крицкая. // Молодой учёный. — №17(76) — 2014 — С.3-10.

58. Мальцева, Л. С. Об устойчивости сжатых пластин. / Е. П. Колпак, Л. С. Мальцева. // Молодой учёный — №14(94) — 2015 — С. 1-8.

59. Мальцева, Л. С. Нелинейные колебания резиновой мембраны. / Л. С. Мальцева, Е. П. Колпак, С. Е. Иванов // Молодой ученый. — 2016. — №8. — С. 11-21.

60. Мальцева, Л. С. Нелинейные колебания эластомерной балки-полоски. / Л. С. Мальцева, Е. П. Колпак. //Материалы международной научной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий», Воронеж. — 2016. — С.228-231.

61. Матросов, А. В. Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций / А. В. Матросов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2010. — № 4. — С. 30-39.

62. Михасев, Г. И., Товстик П.Е., Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. Асимптотические методы. / Г. И. Михасев, П. Е Товстик — М.: Физматлит, 2010. - 292 с.

63. Мухин, О. Н. Расчет равновесной конфигурации диагональной пневматической шины. / О. Н. Мухин // Каучук и резина. - 2013. - № 1. - С. 26-31

64. Найштут, Ю. С. Решение краевых задач теории тонких упругих оболочек методом Неймана. / Ю. С. Найштут // Компьютерные исследования и моделирование. 2015.— Т. 7. № 6. —С. 1143-1153.

65. Никитин, Ю. Н. Современные подходы к решению проблемы усиления эластомеров. / Ю. Н. Никитин, С. Я. Ходакова, М. М. Гиренко, А. Е. Корнев // Каучук и резина.— 2008 — №1 — С.33.

66. Новожилов, В. В Основы нелинейной теории упругости. / В. В Новожилов. — М.-Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948, — 212с.

67. Паймушин, В. Н. О динамической неустойчивости закрытой по торцевым сечениям эластомерной цилиндрической оболочки при раздувании внутренним давлением. / В. Н. Паймушин, Р. Ш. Гимадиев В сборнике: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред материалы XXI международного симпозиума имени А.Г. Горшкова. Московский авиационный институт. М: , 2015. — С. 132-135.

68. Паймушин, В. Н. Математическое моделирование динамики раздува подкрепленной кольцами эластомерной цилиндрической оболочки. / В. Н. Паймушин, Р. Ш. Гимадиев, Т. З. Гимадиева. В сборнике: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред материалы XXI международного симпозиума имени А.Г. Горшкова. Московский авиационный институт. Москва, 2015. — С. 22-24.

69. Паймушин, В. Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и стержней с прямолинейной осью. / В. Н. Паймушин // Прикладная математика и механика. — 2007. — Т. 71. — № 5. — С. 855-893.

70. Паймушин, В. Н. Уточненные уравнения среднего изгиба трехслойных оболочек и сдвиговые формы потери устойчивости./ В. Н. Паймушин, В. И. Шалашилин // Доклады Академии наук. — 2003. — Т. 392. — № 2. — С. 195-200.

71. Паймушин, В. Н. Статические и динамические формы потери устойчивости сферической оболочки при действии внешнего давления. / В. Н. Паймушин // Известия высших учебных заведений. Математика. 2016. — № 4. — С. 46-56.

72. Поздняков, И. В. Анализ напряженно-деформированного состояния мембраны клапана переливного непрямого действия. / И. В. Поздняков, В.Н. Сызранцев, А. А. Двинин // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. 2011. — № 2. — С. 94-100.

73. Пронина, Ю. Г. Оценка устойчивости упругой трубы под давлением коррозионных сред. / Ю. Г. Пронина // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2006. — № 3. — С. 55-63.

74. Пуриня, Б. А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека. / Б. А. Пуриня, В. А. Касьянов — Рига: Знание — 1980 — 260 с.

75. Султанов, Л. У., Фахрутдинов Л. Р. Численное исследование гиперупругих материалов. / Л. У. Султанов, Л. Р. Фахрутдинов // Magazine of Civil Engineering. — 2013. — № 9. — С. 69-74.

76. Цысс, В.Г. Оценка состояния и обоснование возможности продления срока эксплуатации амортизаторов систем виброзащиты при длительном нагружении. / В. Г. Цысс, Е. С. Аникин, M. Ю. Сергаева // Каучук и резина, 2008 — N 3. — С. 17-20.

77. Черных, К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. / К. Ф. Черных — Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1986. — 336 с.

78. Черных, К. Ф. Теория больших упругих деформаций. / К. Ф. Черных, З. Н. Литвиненкова — Л., 1988. —256с.

79. Черных, К. Ф., Шубина И. М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. / К.Ф. Черных, И. М. Шубина // Механика эластомеров, Краснодар, 1977 — том 1 — с.54-64.

80. Шилько, С. В. Особенности деформирования и описание упругих свойств наполненных эластомеров при растяжении. / С. В. Шилько, Д.А. Черноус, С. Б. Анфиногенов // Каучук и резина, 2008 — №4 — С. 34-38.

81. Aaron B. Albrecht. High strain rate response of rubber membranes. /Aaron B. Albrecht, K. Ravi-Chandar // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2014 —64 — 377-395.

82. V. Agostiniani. Ogden-type energies for nematic elastomers. /V. Agostiniani, Antonio De Simone // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2012 — 47 — 402-412.

83. H. Alexander. Tensile instability of initially spherical balloons. / H. Alexander. // Int. J. Eng. Sci., 1971 — 9 — 151-162.

84. Balakhovsky K., K. Y. Volokh, Inflation and rupture of rubber membrane. / К. Balakhovsky, K. Y. Volokh // Int. J. Fract, 2012 —177 — 179-190.

85. Batra, R. C. Treloar's biaxial tests and Kearsley's bifurcation in rubber sheets. / R. C. Batra, I. Mueller, P. Strehlow // Mathematics and Mechanics of Solids, 2005 —10 —705-713.

86. Batra, R. C. Inflation and eversion of functionally graded non-linear elastic incompressible circular cylinders. / R.C. Batra, A. Bahrami // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2009 — 44 — 311-323

87. Bochkareva, N. L. On stability of arch damper. / N. L. Bochkareva, E. P. Kolpak // Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta. Ser 1. Matematika Mekhanika Astronomiya, 1993 — 4 — 49-53.

88. Faita, F. L. Characterization of natural rubber membranes using scaling laws analysis. / F. L. Faita, M. E. R. Dotto, L. G. Franca, F. C. Cabrera, A. E. Job, I. H. Bechtold // European Polymer Journal, 2014 — 50 — 249-254.

89. Feng, Z. Q. Finite deformations of Ogden's materials under impact loading. / Z. Q. Feng, F. Peyraut, Q. C. He // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2006 — 41 — 575-585.

90. Fu, Y. B. Post-bifurcation analysis of a thin-walled hyperelastic tube under inflation./ Y. B. Fu, S. P. Pearce, K. K. Liu // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2008 —43 — 697706.

91. Gent, A. N. Forms of the stored (stain) energy function for vulcanized rubber. / A. N. Gent, A. G. Thomas // J. Polymer Sci., 1958 — 28 — 625-628.

92. Gent, A. N. Elastic instabilities in rubber. / A. N. Gent // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2005 — 40 — 165 - 175.

93. Gent, A. N. Non-linear stresses in a rubber cylinder sheared by pressure at one end./ A. N. Gent, O. H. Yeoh // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2009 — 44 — 797-800.

94. Hart-Smith. Large elastic deformation of thin rubber membranes. / Hart-Smith, J. D. Crisp // Int.. J. Eng. Sci., 1967 —5 —1-24.

95. Kabrits, S. A. Square membrane under large deformations. / S. A. Kabrits, E. P. Kolpak, K. F. Chernykh // Mechanics of Solids, 1986 — 21 — 182-186.

96. Kabrits, S. A. Small nonsymmetric oscillations of viscoelastic damper under massive body action. / S. A. Kabrits, L. V. Slepneva // Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta. Ser 1. Matematika Mekhanika Astronomiya, 1998 — 2 — 78- 85.

97. Kabrits, S. A. Numerical solution of one-dimensional nonlinear statics problems for elastic rods and shells in the presence of rigid constraits. / S. A. Kabrits, V. F. Terent'ev // Soviet Applied Mechanics, 1984 — V. 20 — pp. 672-675.

98. Kongtong, P. Singularities in bending behavior of plates with free corner supports. / P. Kongtong, Y. Sompornjaroensuk, D. Sukawat // Applied Mathematical Sciences, 2013 —V.7 — pp. 1213-1222.

99. Kanner, L. M. Elastic instabilities for strain-stiffening rubber-like spherical and cylindrical thin shells under inflation. / L. M. Kanner, C. O. Horgan // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 2007. — V. 42. — pp. 204-215.

100.Kawabata, S. Experimental survey of the strain energy density function of isoprene rubber vulkanizate. / S. Kawabata, M. Matsuda, K. Tei, H. Kawai // Macromolecules, 1981, — v 14, — N1. — pp. 154 - 162

101.Kolesnikov, A. M. Large bending deformations of a cylindrical membrane with internal pressure/ A. M Kolesnikov, L. M. Zubov // ZAMM Zeitschrifft fur Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2009. — V. 89. — № 4. — pp. 288-305.

102.Lectez, A.-S. How to identify a hyperelastic constitutive equation for rubber-like materials with multiaxial tension-torsion experiments. / A.-S. Lectez, E. Verron, B. Huneau // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014 — V. 65 — pp. 260-270.

103.Liu, M. A constitutive equation for filled rubber under cyclic loading. / M. Liu, M. S. Hoo Fatt // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011 — 46 —pp. 446-456.

104.Maltseva, L. S. Elastic membranes at large deformation. / L. S. Maltseva // Сборник тезисов конференции «Устойчивость и процессы управления». Изд. СПбГУ. — 2015. — С.362-363.

105.Maltseva, L. S. On the Stability of Compressed Plate. / E. P. Kolpak, .L. S. Maltseva, S. E. Ivanov. // Contemporary Engineering Sciences, 2015 —Vol. 8 — no. 20 — pp. 927 - 936.

106.Maltseva, L. S. Rubberlike membranes at inner pressure. / E. P. Kolpak, L. S. Maltseva. // Contemporary Engineering Sciences, 2015 — Vol. 8 — no. 36 — pp. 1731-1742.

107.Maltseva, L. S. Non-linear vibrations of rubber membrane. / E. P. Kolpak, L. S. Maltseva, S. E. Ivanov, S. A. Kabrits // Applied Mathematical Sciences, 2016 — Vol. 10 — no. 36 — pp. 17971810.

108.Mooney, M. A theory of large elastic deformation. / M. Mooney // Journal of Applied Physics, 1940 — 11(9) — pp. 582-592.

109.Muller, I. Two Instructive Instabilities in Non-Linear Elasticity: Biaxially Loaded Membrane, and Rubber Balloons / I. Müller // Meccanica, 1996 — 31 — pp. 387-395.

110.Muller, I. Rubber and Rubber Balloons, Paradigms of Thermodynamics / I. Müller, P. Strehlow //Lect. Notes Phys., 2004 — 637 — pp. 1-5.

111. Nah, C. Problems in determining the elastic strain energy function for rubber / C. Nah, G.B. Lee, J. Y. Lim, Y. H. Kim, R. SenGupta, A. N. Gent // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2010 — 45 — pp. 232-235.

112.Novozhiliv, V. V. On the forms of the stress-strain relation for initially isotropic nonelastic bodies (geometric aspect of the question) / V. V. Novozhilov // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1963 — 27 — pp. 1219-1243.

113.Ogden, R. W. Non-Linear Elastic Deformations. / R. W. Ogden ,Ellis Horwood, Chichester, UK, 1984 — 526 p.

114.Paetsch, C. Non-linear modeling of activebio hybrid materials / C. Paetsch, A. Dorfmann // International Journal of Non-LinearMechanics, 2013 — 56 — pp. 105-114.

115.Rivlin, R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. / R. S. Rivlin // Mathematical and Physical Sciences, 1948 — 241(835) — pp. 379-397.

116.Rivlin, R. S. The relation between the Valanis-Landel and classical strain-energy functions / R. S. Rivlin // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2006 — 41 — pp. 141-145.

117.Saccomandi, G. Some generalized pseudo-plane deformations for the neo-Hookean Material / G. Saccomandi // IMA Journal of Applied Mathematics, 2005 — 70 — pp. 550-563.

118.Selvadurai, A. P. S. Deflections of a rubber membrane / A. P. S. Selvadurai // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2006 — 54 — pp. 1093-1119.

119.Suh, J. B. Shear of rubber tube springs. / J. B. Suh, A. N. Gent, S. G. Kelly // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2007 — 42 — pp. 1116-1126.

120.Thongperm, Yoowattana. Accurate approximate and analytical methods for vibration and bending problems of plates: a literature survey / Thongperm Yoowattana, Patiphan Chantarawichit, Jakarin Vibooljak, Yos Sompornjaroensuk // Applied Mathematical Sciences, 2015 — 9 — pp. 1697-1719.

121.Treloar, L.R.G. Stress-strain data for vulcanized rubber under various of deformation. / L. R. G. Treloar // Rubber.Chem.Tech., 1944 — v.17 — N4 — pp. 817-825.

122.Wineman, A. Some results for generalized neo-Hookean elastic materials / A. Wineman // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2005 — 40 — pp. 271-279.

123.Wen, Y. Finite deformation of everted spherical shells composed of incompressible hyperelastic materials. / Yao Wen, Wei Zhao // Applied Mathematical Sciences, 2013 — 7 — pp. 3303-3308.

124.Yan Ju. On a class of differential equations of motion of hyperelastic spherical membranes / Yan Ju, Datian Niu // Applied Mathematical Sciences, 2012 — 6 — pp. 4133-4136.