Устойчивость и низкочастотные колебания цилиндрической панели со слабозакрепленным прямолинейным краем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ершова, Зинаида Георгиевна

• Ершова, Зинаида Георгиевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ершова, Зинаида Георгиевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ПАНЕЛЕЙ

1.1. Уравнения равновесия цилиндрических оболочек. Граничные условия

1.2. Влияние свободного и слабо закрепленного прямолинейного края

1.3. Устойчивость цилиндрических панелей для других вариантов закрепления криволинейных краев

1.4. Влияние закреплений второго прямолинейного края и размеров оболочки

1.5. Случай узкой полоски

1.6. Случай широкой полоски

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ПАНЕЛИ, СОПРЯЖЕННОЙ СО СТЕРЖНЕМ

2.1. Постановка задачи и определяющие уравнения

2.2. Качественный анализ граничных условий

2.3. Достаточно подкрепляющий стержень

Глава 3. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ

3.1. Кодебания цилиндрической панели со свободным и слабо закрепленным прямолинейным краем

3.2. Влияние граничных условий на криволинейных краях

3.3. Уточненные уравнения колебаний

3.4. Асимптотическое интегрирование системы (3.3.1)

3.5. Решение краевой задачи в первом приближении

3.6. Шарнирно опертые криволинейные края

3.7. Случаи, когда переменные не разделяются

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и низкочастотные колебания цилиндрической панели со слабозакрепленным прямолинейным краем»

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Железнодорожная цистерна, резервуары для жидкостей и газообразных продуктов, трубопроводы - можно очень долго перечислять конструктивные решения, в основу которых положены оболочки. Области их применения чрезвычайно широки: машиностроение, авиация, ракетостроение, строительство, атомная энергетика, химические технологии, судостроение. Обол очечные системы играют важную роль и в обеспечении жизнедеятельности живых организмов.

Такие конструкции могут находиться в различных условиях, в частности, под воздействием динамических нагрузок. Поэтому актуальным является расчет частот и определение форм собственных колебаний оболочек, так как знание этих характеристик позволит избежать явления резонанса, который может привести к разрушению конструкций.

Кроме того, одним из важнейших элементов расчета при проектировании тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники является расчет на устойчивость, поскольку потеря устойчивости конструкции также ведет к ее разрушению [79, 80].

Вопросам теории оболочек посвящено очень много научных трудов. Первыми работами, в которых описана потеря устойчивости цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевого сжатия, являются работы В.Е.Лилли [94] и А.Маллока [96], причем Лилли экспериментально изучал осесимметричную форму потери устойчивости, а Маллок - неосесимметричную.

Первые аналитические результаты по устойчивости цилиндрических оболочек, находящихся под действием осевого сжатия, были получены в начале XX века Р.Лоренцем [95] и

С.П.Тимошенко [68]. В работах этих авторов изучались идеально упругие, геометрически совершенные цилиндры. Исходное состояние считалось безмоментным, то есть оболочка в этом случае должна была иметь возможность расширяться радиально до тех пор, пока нагрузка не достигнет критического значения. При этом рассматривалась осесимметричная форма потери устойчивости. Для определения критической нагрузки, так называемого классического критического усилия сжатияу применялся статический критерий Л.Эйлера [85]> согласно которому критическая нагрузка определяется как наименьшая нагрузка, при которой наряду с исходной формой равновесия оказывается статически возможной смежная, бесконечно близкая к ней форма равновесия.

С математической точки зрения в этом методе задача заключается в нахождении собственных чисел и соответствующих им собственных векторов линейных краевых задач. Собственные числа определяют критические нагрузки, а собственные векторы — формы потери устойчивости. Найденная при атом нагрузка определяет момент разветвления форм равновесия и. называется верхней критической нагрузкой.

Однако первые эксперименты, выполненные Робертсоном, Флюгге, Вильсоном и Ньюмарком, Лундкуистом, Доннеллом не подтвердили результатов классического- решения (см. обзоры [26, 27, 78, 87] и др.) . Наблюдаемые критические нагрузки были значительно ниже классических. Все дальнейшее развитие теории устойчивости было направлено на выявление причин этого расхождения.

ДониеЛ'л [29] впервые отметил важность учета нелинейных членов в геометрических соотношениях, а основы геометрически нелинейной теории были заложены в работе Маргерра [97]. В 1939-1941 гг. Т.Карман и С'.Цзян [92], используя его уравнения, рассмотрели задачу об устойчивости цилиндрической оболочки в нелинейной постановке. Это исследование позволило выявить явление снижения несущей способности оболочки с ростом за-критических деформаций- После, этой работы появилось много аналогичных исследований, отличающихся видом выражения, аппроксимирующего радиальный прогиб оболочки. Полученные при этом величины нижних критических нагрузок, определяемые уровнем средних напряжений в оболочке, ниже которого- не могут существовать другие формы равновесия, приближались к экспериментальным данным, поэтому возникло предложение в качестве критерия устойчивости принимать- нижнюю критическую нагрузку.

Однако позднее [58] с помощью ЭВМ было обнаружено, что величина нижней критической нагрузки уменьшается при увеличении числа членов, удерживаемых в разложении прогибов, а в некоторых случаях даже принимает отрицательные значения. Поэтому возникает новое направление, в котором в качестве критерия устойчивости предлагалось принимать верхнюю критическую нагрузку, но учитывать при ее нахождении различные факторы: влияние граничных условий, моментности докри-тического состояния, начальных несовершенств оболочки. Так в работах Г.Фишера [82] и Б.Олмроса [59] путем численного интегрирования уравнений методом конечных разностей изучалось влияние граничных условий и моментности исходного состояния. В случае осевого- сжатия круговых цилиндрических оболочек с защемленными торцами получено, снижение критической нагрузки на 10%, в случае шарнирного закрепления оболочек снижение составляло 15-20%.

В работе Доннелла и Вана [28] была развита нелинейная теория несовершенных оболочек. Совокупность всех возмущений оценивалась-эквивалентным начальным прогибом, подоб-н-ым ожидаемой. форме потери, устойчивости.

Неоценимый вклад в развитие теории оболочек внесли ученые нашей страны. Фундаментальными в этой области являются монографии А.Л.Гольденвейзера [15], [16], В.В.Новожилова [53], В.3.Власова [8], А.И.Лурье [47], А.С.Вольмира [11], Х.М.Муш-тари. и КЗЛГалимова, [51}г ГЬЕЛовстика. [77].г К.Ф.Черныха [8.4] и. др. Развитию теории оболочек в нашей стране посвящены очерки В.В.Новожилова [54] к А. Л.Гольденвейзера [17].

Вопросы теории колебаний оболочек рассмотрены в- монографиях А.Л.Гольденвейзера, В-.Б.Лидского, П.Е.Товстика [18], П-М „Огибал ова и М „А „Кол ту нова [57} г 0„Д„0ни.аш.вили [60].

Теория устойчивости изложена в работах Э.И.Григолюка, В.В.Кабанова [26], [27], П.Е.Товстика [77], А.С.Вольмира [12], А.Лява [48] и др.

Вопросам устойчивости тонкостенных упругих систем при статических нагрузках посвящена книга Н.А.Алфутова [1].

А.К.Перцев и Э.Г.Платонов [61] рассматривают задачи прочности, устойчивости, колебаний пластин и оболочек — элементов судовых конструкций при нестационарных динамических нагрузксьх.

В" книге А.С.Вольмира [13] исследуются модели оболочек типа Тимошенко с применением гипотез Кирхгофа-Лява.

В работе А.П.Филина [81] изучаются колебания и устойчивость- оболочек на основе технической теории- тонких оболочек.

Расчету тонкостенных конструкций, используемых в строительстве, посвящены работы Н. В. Колку нова [40] и И.Е.Милей-ковского и С.И.Трушина [50]. В первой из них, помимо вывода основных уравнений теории упругих оболочек и изучения некоторых специальных вопросов, рассмотрены также методы конечных элементов и дискретной ортогонализацииг а во второй — численные методы.

В статье А.Л.Гольденвейзера [25] отмечено, что в общей теории пластин и оболочек сложились три направления исследований: два из них — усовершенствование теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейсснераг третье — асимптотический подход к той же проблеме. Первое направление характеризуется введением в теорию оболочек некоторых геометрических и физических гипотез, второе предполагает минимальное количество допущений и включает в себя обоснование исходных уравнений и анализ их применимости [8, 9, 15, 16, 20, 47, 53, 55].

Следует отметить, что в последнее время появилось много работ, посвященных оценке погрешности различных теорий тонких оболочек и пластин [7, 14, 22, 23, 25, 41]. В статье А.С.Гольденвейзера, Ю.Д.Каплунова, Е.В.Нольде [22] обсуждается. вопрос о. погрешности в задачах статики, и динамики линейных теорий типа Тимошенко-Рейсснера (см. также [18]), учитывающих деформацию поперечного сдвига и инерцию вращения. Здесь же отмечается, что асимптотический метод построения дифференциальных уравнений общей теории- оболочек приводит при использовании физически очевидного, свойства напряженно-деформированного состояния (НДС), упругих оболочек — разделения общего НДС на внутреннее и краевое, к построению двух итерационных процессов интегрирования дифференциальных уравнений для случая узкой области интегрирования. Первый из этих процессов позволяет строить с заданной асимптотической точностью- внутренние, медленно- меняющиеся интегралы, второй — быстро меняющиеся краевые интегралы, локализованные вблизи линий искажения общего НДС.

Методы исследования, используемые для анализа колебаний и: устойчивости оболочек, можно, в свою очередь, разделить на численные и аналитические. Среди численных методов следует отметить методы ортогональной прогонки, используемые для осесимметрично и циклически симметрично нагруженных оболочек, и вариационные методы, особенно, метод конечных элементов, для случаев, не допускающих разделение переменных.

Система уравнений теории оболочек содержит естественный малый параметр, связанный с относительной толщиной оболочки, поэтому асимптотические методы позволяют проводить расчеты на устойчивость, колебания, дать качественный анализ этих явлений, существенно упростить построение приближенных численных решений. Основные асимптотические методы, используемые в задачах теории оболочек, изложены в работах А.Л.Гольденвейзера [15, 16].

Следует отметить однако, что при различных изменяемостях НДС [16,17, 18, 77] приходится использовать различные приближенные соотношения. Условия реализации НДС типа основное напряженное состояние, полубез-моментное, простой и обобщенный краевой эффект обсуждаются,- в работах [2Г 21.г 36г 37г 53] и ДР

Дальнейшее развитие асимптотических методов в применении к задачам свободных колебаний оболочек содержится в работах А.Л.Гольденвейзера, В-.Б-.Лидского, П.Б.Товстика [18], ВЛэ.Лидского и Г1,Е.Товстикз, [46], П.Е/Говстика [73]. В работе [18] приведена полная классификация упрощенных краевых задач линейной динамики упругих тонких цилиндрических оболочек, полученная в результате асимптотического анализа. В работах [18, 46, 73] рассмотрены также сложные вопросы асимптотического анализа, связанные с наличием точек поворота и переходных линий на поверхности оболочки.

Асимптотический анализ нестационарных динамических задач, особенно в окрестностях фронтов волн, проведен в работах [35, 41, 42, 91]. Получены приближенные математические модели, пригодные для описания НДС в окрестностях фронтов волн в различных пространственно-временных интервалах.

Влиянию граничных условий на величину критической нагрузки в задачах устойчивости цилиндрических оболочек и панелей, находящихся под действием осевого сжатия, посвящено очень много работ, обзор которых дан, например, в книгах Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [26, 27]. Формула Лоренца-Тимошенко критического усилия сжатия круговой цилиндрической оболочки

ЕЙ? , .

Т? =--. 0.1}

1 Яу/Ъ{1 - V2) 1 получена для классических граничных условий шарнирного опи-рания и; — М\ = у — Тг = 0. (0.2)

В 1942 году Н.А.Кильчевский [38] рассмотрел граничные условия, соответствующие свободным кромкам, и получил для критической нагрузки значение, составляющее 0.37 классического. В 1961 году Н.Охира [98] с помощью ЭВМ исследовал полубесконечную оболочку с незакрепленным в окружном направлении краем. Оказалось, что критическая нагрузка в этом случае будет вдвое меньше классической.

В дальнейшем влияние граничных условий на критическую нагрузку при осевом сжатии цилиндрической оболочки в предположении безмоментности исходного состояния подробно рассмотрено в работах В.И.Кожевникова [39], Альмрота [86] и др. Было изучено десять вариантов граничных условий [27] и подтверждены результаты Кильчевского и Охиры: снижение критического напряжения наблюдается при некоторых специальных граничных условиях, не реализующихся в чистом виде на практике.

В соответствии с работой [27] при осесимметричной форме потери устойчивости снижение критических напряжений за счет влияния изгиба в докритическом состоянии не наблюдается. Не-осесимметричной формой потери устойчивости с учетом момент-ности исходного состояния занимались Х.М.Муштари [51], Фишер [82], причем Фишер рассмотрел два варианта граничных условий — V = ии = М\ — От Тх^у^ио — ^{1 — Он широкий диапазон изменения параметров Ь/II.

Альмрот [86] рассмотрел уже десять вариантов граничных условий, меняя те же параметры. Оказалось, что только для двух вариантов граничных условий Т\ — 3 = ги: = М± = 0 и и = V = и) = ^ = 0 критическая нагрузка не снижалась. Максимальное же снижение нагрузки достигало двадцати процентов.

В дальнейшем [26, 27, 77, 87] при исследовании влияния граничных условий на потерю устойчивости цилиндрических панелей на каждом из краев традиционно рассматривают шестнадцать вариантов граничных условий, приравнивая в каждом случае нулю обобщенные перемещения или усилия.

В работах П.Е.Товстика [76, 77] рассмотрена потеря устойчивости начального безмоментного напряженного состояния тонкой цилиндрической оболочки^ обусловленная слабым закреплением одного из ее краев, при осевом сжатии. Построены формы потери устойчивости, локализованные в окрестности этого края. Следует отметить, что впервые о подобной локализации сказано в работе А.Ю.Ишлинского [45]. В случае слабо закрепленного криволинейного края (для замкнутой в окружном направлении оболочки или панели с шарнирно опертыми прямолинейными краями) найдено восемь вариантов граничных условий, допускающих подобную локализацию при одновременном снижении критической нагрузки. В случае слабо закрепленного прямолинейного края для полубесконечной в окружном направлении оболочки (криволинейные края при этом шарнирно оперты) выявлено семь подобных вариантов граничных условий.

Вопрос о влиянии слабого закрепления края на снижение частот колебаний рассмотрен в работах [5, 11, 18, 19, 51, 62, 65]. Граничные условия, допускающие изгибания срединной поверхности и дающие вследствие этого наибольшее снижение наинизшей частоты, рассматриваются в работах [18, 48].

В настоящей работе рассматриваются свободные низкочастотные колебания и устойчивость при осевом сжатии тонкой прямоугольной в плане цилиндрической панели. Работа посвящена исследованию влияния условий закрепления как прямолинейных, так и криволинейных краев панели на критическую нагрузку и на низшие частоты свободных колебаний.

Заметим, что для получения численных результатов при конкретных значениях параметров сформулированные задачи не представляют трудностей — для некоторых вариантов граничных условий известны точные аналитические решения, а в остальных случаях применение методов конечных элементов дает удовлетворительные по точности результаты. Целью работы является получение асимптотических формул, базирующихся на малости относительной толщины оболочки и учитывающих влияние условий закрепления на критическую нагрузку и на частоты колебаний.

Основное внимание уделено случаям, когда один из прямолинейных краев оболочки является слабо закрепленным. Эти случаи характерны тем, что форма колебаний или потери устойчивости локализуется в окрестности этого края, экспоненциально затухая при удалении от него.

Наряду с основным малым параметром — относительной толщиной оболочки = И/II, задача содержит еще два существенных параметра — относительную длину оболочки I = Ь/Я, и ширину панели . Рассмотрен широкий .диапазон изменения этих параметров. Как и следовало ожидать, для различных областей изменения этих параметров различными оказываются и асимптотические результаты.

Основным объектом исследования были т. наз. панели средней длины, для которых оба названных параметра имели порядок единицы (I ~ 1, <¿>0 ~ 1). При этом вдали от криволинейных краев НДС оболочки является полубезмоментным, собственная форма затухает при удалении от слабо закрепленного прямолинейного края и приближенно можно считать оболочку полубесконечной в окружном направлении, что позволяет существенно упростить конечные результаты. Подробно рассмотрены также узкие панели, для которых существенным является способ закрепления обоих прямолинейных краев.

Работа состоит из введения и трех глав.

Первая глава посвящена устойчивости цилиндрических оболочек и панелей, находящихся под действием осевого сжатия. В §1.1 приведены известные уравнения равновесия круговых цилиндрических оболочек, полученные с использованием гипотез Кирхгофа-Лява, а также соотношения упругости, кинематические соотношения и граничные условия. Кроме того, выписаны уравнения устойчивости безмоментного напряженного состояния цилиндрической оболочки, находящейся под действием осевого сжатия.

В §1.2 описана потеря устойчивости полубесконечной в окружном направлении цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями (см. граничные условия (0.2)) и свободным или слабо закрепленным прямолинейным краем. Приведены [77] семь вариантов слабого закрепления прямолинейного края, при которых имеет место снижение критической нагрузки по сравнению с классическим значением (0.1), а форма потери устойчивости локализуется в окрестности этого края.

В §1.3 исследована [31] потеря устойчивости цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краем, причем на криволинейных краях в отличие от §1.2 рассматриваются некоторые другие варианты граничных условий. Влияние закрепления второго прямолинейного края, как и в §1.2, не учитывается. Задача решается в нулевом приближении по отношению к малому параметру тонкостенности оболочки. Здесь уместно отметить, что 16 рассматриваемых вариантов граничных условий на криволинейных краях подразделяются на четыре группы: группу заделки, группу шарнирной опоры, группу слабого закрепления и группу свободного края [77]. Здесь рассмотрены закрепления криволинейных краев, принадлежащие группам заделки и шарнирной опоры. Интересно отметить, что в отличие от шарнирной опоры обоих криволинейных краев в рассматриваемом случае слабыми оказываются только четыре варианта закрепления прямолинейного края.

В отличие от§§1.2и1.3в§1.4 исследуется [30] влияние ширины панели на критическую нагрузку, а криволинейные края предполагаются шарнирно опертыми. В соответствии с результатами §1.2 в §1.4 на одном из прямолинейных краев цилиндрической панели рассматриваются по очереди шесть вариантов граничных условий слабого закрепления, а на втором краю остальные, не менее слабые, из оставшихся шестнадцати вариантов граничных условий. Исследуется также влияние как ширины панели, так и ее длины на снижение критической нагрузки. Для каждого из названных шести вариантов приведены графики значений параметра нагружения Л (р,«), где р — тг^/1 = '-Ро/^ — параметры, характеризующие длину и ширину панели.

Графики, приведенные в §1.4, показывают, что при « —У 0, т.е. с уменьшением ширины панели, кривые, соответствующие различным граничным условиям, сближаются, объединяясь в группы. Теоретическое объяснение этому дано в §1.5. В нем проведен асимптотический анализ устойчивости находящейся под действием осевого сжатия узкой цилиндрической панели. Для различных вариантов граничных условий на прямолинейных краях получены асимптотические разложения критических нагрузок и собственных функций по двум малым параметрам: ¡1 (параметр тонкостенности) и в (параметр ширины).

В §1.6, наоборот, рассмотрена широкая панель. Для разных условий закрепления прямолинейных краев, один из которых слабо закреплен, найдено, при какой ширине панели с заданной погрешностью 5% ее можно считать полубесконечной (т.е. пренебрегать граничными условиями на другом краю).

Во второй главе рассмотрена потеря устойчивости цилиндрической панели, сопряженной со стержнем. Проведение этого исследования здесь связано с тем, что свободный прямолинейный край панели является причиной потери устойчивости (снижая критическую нагрузку при осевом сжатии в 9 раз) и подкрепление его стержнем является естественным. Рассмотрена задача о потере устойчивости системы оболочка-стержень под действием осевого сжатия. При этом предполагается, что криволинейный край оболочки, а также стержень шарнирно оперты. Предполагается, что стержень является достаточно тонким, вследствие чего форма потери устойчивости локализуется в окрестности стержня.

В §2.1 приводятся известные уравнения Кирхгофа-Клебша, описывающие равновесие тонкого нагруженного стержня. Кинематические и силовые условия сопряжения стержня и оболочки дают уравнение для определения критической нагрузки.

В §2.2 проведен асимптотический анализ условий сопряжения в предположении, что как оболочка, так и стержень являются тонкими. Сравниваются критические нагрузки оболочки и стержня, рассматриваемых отдельно. Обнаружено, что в некоторых случаях, наоборот, оболочка подкрепляет стержень.

В §2.3 численно решается задача об определении параметров стержня, при которых форма потери устойчивости уже не локализуется в окрестности края, подкрепленного стержнем.

Третья глава посвящена низкочастотным колебаниям цилиндрической панели, причем в §§3.1 и 3.2 рассмотрены задачи, аналогичные задачам, описанным в §§1.1 и 1.2 первой главы. В этих параграфах задача решается в нулевом приближении по отношению к малому параметру тонкостенности. Основные отличия от задачи устойчивости заключаются в следующем.

Во-первых, здесь для любых условий закрепления криволинейных краев в нулевом приближении оказывается возможным разделение переменных, что было отмечено в [18]. В результате для наинизшей частоты колебаний в случае слабого закрепления прямолинейного края получены явные формулы. В нулевом приближении для граничных условий на криволинейных краях, принадлежащих одной группе, получаем одну и ту же формулу для частоты колебаний.

Во-вторых, в задаче свободных колебаний интерес может представлять не только наинизшая частота, но и несколько других низких частот. В связи с этим проводится рассмотрение форм несколькими волнами в продольном направлении. В окружном же направлении локализованной является только одна форма колебаний. Исключение составляет случай свободного прямолинейного края, когда таких форм две.

Начиная с §3.3 в качестве уравнений равновесия взяты более точные, чем в теории пологих оболочек, уравнения, что позволяет помимо второстепенных членов в уравнениях равновесия учесть влияние различных граничных условий на частоту колебаний в пределах одной группы.

В §3.4 проводится асимптотическое интегрирование системы уравнений. Построены полубезмоментное (основное) решение и интегралы краевого эффекта в окрестности криволинейных краев.

В §3.5 путем решения краевой задачи в первом приближении получена формула для асимптотически главной поправки к частоте колебаний полубесконечной цилиндрической панели. При этом на прямолинейном крае рассматриваются шесть вариантов граничных условий, допускающих локализацию формы колебаний вблизи этого края, сопровождаемую снижением частоты, а на криволинейных краях рассмотрены все шестнадцать вариантов граничных условий. Приведены численные значения коэффициентов, входящих в эту формулу.

В §3.6 рассмотрен частный случай шарнирного закрепления криволинейных краев панели. В этом случае возможно точное разделение переменных и существенно упрощается численное решение. Проведено сопоставление полученных асимптотических результатов с результатами численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В §3.7 рассмотрен случай произвольного закрепления криволинейных краев. Для получения асимптотической формулы приходится проводить исключение интегралов краевого эффекта. Найденные в результате частоты сравниваются со значениями частот, полученными методом конечных элементов.

Итак, в работе рассматриваются свободные низкочастотные колебания и устойчивость при осевом сжатии тонкой прямоугольной в плане цилиндрической панели. Исследуется влияние условий закрепления как прямолинейных, так и криволинейных краев панели на критическую нагрузку и на низшие частоты свободных колебаний. Основное внимание уделено случаям, когда один из прямолинейных краев свободен или слабо закреплен, что влечет за собой локализацию собственной формы и снижение критической нагрузки и наинизшей частоты колебаний. Основные результаты получены в виде приближенных формул методами асимптотического интегрирования, использующих малый параметр тонкостенности панели.

Основные результаты, выносимые на защиту, сводятся к следующему:

1. Исследована зависимость критической нагрузки при осевом сжатии цилиндрической панели от граничных условий на всех ее краях и от размеров панели. Найдены условия применимости приближенных асимптотических формул для критической нагрузки, основанных на локализации формы потери устойчивости в окрестности слабо закрепленного прямолинейного края.

2. Исследован вопрос о подкреплении стержнем прямолинейного края цилиндрической панели. Найдены параметры стержня, при которых подкрепляемый край уже не является слабо закрепленным (форма потери устойчивости не локализуется вблизи него).

3. В случае слабого закрепления одного из прямолинейных краев цилиндрической панели для построения спектра низкочастотных колебаний получена двучленная асимптотическая формула. Эта формула учитывает влияние как главных, так и дополнительных граничных условий на криволинейных краях.

Результаты диссертации опубликованы в работах [30-33, 89]. В работах [31-33,89], написанных совместно с научным руководителем проф. П.Е.Товстиком, ему принадлежит постановка задачи и обсуждение результатов.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ершова, Зинаида Георгиевна

Основные результаты диссертации сводятся к следующему:

1. Исследована устойчивость цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краем в случае, когда переменные не разделяются.

2. Найдены условия применимости приближенных асимптотических формул для критической нагрузки, основанных на локализации формы потери устойчивости в окрестности слабо закрепленного прямолинейного края.

3. Проведен асимптотический анализ устойчивости находящейся под действием осевого сжатия узкой цилиндрической панели. Дано теоретическое объяснение эффекту сближения частотных кривых, соответствующих различным граничным условиям.

4. Проведено качественное исследование устойчивости цилиндрической панели, сопряженной со стержнем. Найдены параметры стержня, при которых подкрепляемый край уже не является слабо закрепленным.

5. В нулевом и в первом приближении методами асимптотического интегрирования исследованы свободные низкочастотные колебания тонкой цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краемг в окрестности которого имеет место локализация формы колебаний.

6. Для вычисления частот получена двухчленная асимптотическая формула, учитывающая влияние как главных, так и дополнительных граничных условий на частоту колебаний.

7. Реализована процедура исключения интегралов краевого эффекта из граничных условий на криволинейных краях.

8. Проведено сравнение асимптотических результатов с численными результатами, полученными, методом прогонки и методом, конечных элементов.

Заключение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ершова, Зинаида Георгиевна, 1998 год

1. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение. 1978. 312 с.

2. Андрианов И.В., Пасечник А.Н. Асимптотические методы решения и исследования краевых задач теории цилиндрических оболочек. Днепропетровск. 1996. 195 с.

3. Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в примерах и задачах. СПб.: Изд-во С.Петерб. ун-та. 1997. 276 с.

4. Букашкина О.С., Товстик П.Е. Низкочастотные колебания удлиненных пластин и цилиндрических панелей //К 90-летию со дня рождения профессора Н.Н.Поляхова. Прикл. мех. Вып. 10. СПб.: Изд-во С.Петерб. ун-та. 1997. С. 141-148.

5. Вулыгин В.А. Об одном классе оболочек, меняющих знак гауссовой кривизны // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1979. Вып. 5. С. 97-105.

6. Булычев J1.A. Общее решение для замкнутой цилиндрической оболочки с произвольными граничными условиями // Изв. АН. СССР. Механика твердого тела. 1990. N 3. С. 141-145.

7. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. N 6. С. 139-145.

8. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М., Л.: Гостехиздат. 1949. 784 с.

9. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М., Л.: Гостехиздат. 1949. 432 с.

10. Возианов А.Н. Деформации ортотропной оболочки вращения в зоне простого краевого эффекта / / Изв. вузов. Машиностроение. 1976. N 7. С. 5-8.

11. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостеххим-издат. 1956.

12. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М. 1967. 784 с.

13. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. -М. 1972. 432 с.

14. Головешкин Ю.В. К построению математически корректной модели теории оболочек и пластин // Тр. 16-й Всееоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Нижний Новгород. Т. 2. 19-94. С. 71-76.

15. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек. -М., JL: Гостехиздат. 1953. 554 с.

16. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1976. 510 с.

17. Гольденвейзер A.JT. Развитие теории оболочек в СССР. -М. 1966.

18. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.В., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек,-М.: Наука. 1979. 383 с.

19. Гольденвейзер А. Л. Математическая жесткость поверхностей и физическая жесткость оболочек // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1979. Вып. 6. С. 65-77.

20. Гольденвейзер А.Л. Асимптотический метод в теории оболочек // Успехи механики. 1982. Т. 5. Вып. 1/2 с. 137-182.

21. Гольденвейзер А.Л. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек // Изв. АН. Механика твердого тела. 1990. N 5. С. 126-138.

22. Гольденвейзер А.Л., Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН. Механика твердого тела. 1990. N 6. С. 124-138.

23. Гольденвейзер А.Л. Алгоритм асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // Прикл. мат. и мех. 1994. Т. 58 N 6. С. 96-108.

24. Гольденвейзер А.Л, Об оценках погрешностей классической теории тонких упругих оболочек // Изв. АН. Механика твердого тела, 1996, N 4. С. 145-158,

25. Гольденвейзер А.Л. Замечания о статье В.В.Васильева "Об асимптотическом методе обоснования теории пластин" // Механика твердого тела. Изв. АН. 1997. N 4. С. 150-158.

26. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Итоги науки. Механика твердых деформируемых тел. 1967. М.: ВИНИТИ. 1968. 348 с.

27. Григолюк Э.Й., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука. 1978. 360 с.

28. Доннелл Л,. Ван К. Влияние неправильностей в форме на устойчивость стержней и тонкостенных цилиндров при осевом сжатии // Механика. Сб. перев. и обзоров иностр. период, лит-ры. 1951. N 4 (8). С. 91-107."

29. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М. 1982. 508 с.

30. Ершова З.Г. Устойчивость цилиндрических панелей со слабо закрепленным прямолинейным краем // Вестн. С.Петерб. унта. Сер. матем.,механ.,астрон. 1993. ЛГЗ. С. 78-81.

31. Ершова З.Г., Товстик П.Е. Колебания и устойчивость цилиндрических панелей со слабозакрепленным прямолинейным краем // Динамика и устойчивость механических систем. Прикл. мех. Вып. 9. СПб.: Изд-во С. Петерб. ун-та. 1995. С. 215-222.

32. Ершова З.Г., Товстик П.Е. Низкочастотные колебания цилиндрической панели со слабо закрепленным прямолинейным краем // "Актуальные проблемы механики оболочек". Сб. трудов междун. конф., (памяти проф. А.В.Саченкова). Казань. 1998.

33. Ершова З.Г., Товстик П.Е. К задаче о свободных колебаниях цилиндрической панели // Вестник С.Петерб. ун-та. 1998. N 4.

34. Ишлинский А.Ю. Об одном предельном переходе в теории устойчивости упругих прямоугольных пластин // Докл. АН СССР. 1954. Т. 95. N 3. С. 477-479.

35. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // Прикл. мат. и мех. 1993. Т. 57. С. 83-91.

36. Квасников Б.Н. Интегрирование уравнений тонких оболочек с быстро и медленноменяющимися коэффициентами // Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем. Прикл. мех. Вып. 8. СПб.: Нзд-во С. Петерб. ун-та. 1990. С. 163-172.

37. Квасников Б.Н. Об условиях существования полубезмомент-ного напряженного состояния // Труды Ленингр. ин-та инж. ж.-д. трансп. 1997. Вып. 407. С. 140-152.

38. Кильчевский H.A. Никулинская С.Н. Об осесимметричной форме потери круговой цилиндрической оболочки // Прикл. механика. 1965. Т. 1. N 11. С. 1-6.

39. Кожевников В.И. О величине критической силы при осевом сжатии цилиндрической оболочки (в линейной постановке) // Изв. АН СССР. Механ. и машиностр. 1964. N 3. С. 137-141.

40. Колку нов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа. 1987. 256 с.

41. Колос A.B. Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок // Прикл. мат. и мех. 1965. Т. 29. N 4. С. 771-781.

42. Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов.: Из-во Сарат. ун-та. 1986. 176 с.

43. Коссович Л.Ю. Исследование волнового процесса в оболочках вращения методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. N 5. С. 142-146.

44. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. ТТ. 1 и 2. Гостехиздат. 1951.

45. Лаврентьев В.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // Доклад АН СССР. 1949. Т. 64. N 6. С. 779-782.

46. Лидский В.В., Товстик П.Е. Спектры в теории оболочек // Успехи механики. 1984. Т. 7. N 2. С. 25-54.

47. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат. 1947. 252 с.

48. Ляв. А. Математическая теория упругости. М. 1935. 676 с.

49. Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н., Кармишин A.B. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение. 1975. 376 с.

50. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций. М.: Стройиздат. 1989. 200 с.

51. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань.: Из-во физ.-тех. ин. Казанского филиала АН СССР. 1957.

52. Новожилов В.В., Финкелынтейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // Прикл. мат. и мех. 1943. Т. 7. N 5. С. 331-340.

53. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз. 1962. 784 с.

54. Новожилов В.В. Краткий очерк развития теории оболочек в СССР // Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 6-7, Казань. 1970. С. 3-22.

55. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М.: Машиностроение. 1966. 392 с.

56. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В. О методах синтеза напряженного состояния в теории оболочек // Доклад АН СССР. 1983. Т. 269. N 1. С. 54-56.

57. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ. 1969. 695 с.

58. Олмрос Б. Поведение после потери устойчивости круговых цилиндров при осевом сжатии. // Ракетн. техн. и космонавтика. 1963. Т. 1. N 3. С. 109-113.

59. Олмрос Б. Влияние граничных условий на устойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Ракетн. техн. и космонавтика. 1966. Т.4. N 1. С. 171-179.

60. Ониашвили ОД. Некоторые динамические задачи теории оболочек. М.: Изд-во АН СССР. 1957. 195 с.

61. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин. -JL: Судостроение. 1987. 316 с.

62. Петров М.Б. Исследование потери устойчивости оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны по формам чистого изгиба //Прикл. мех. Л. 1979. Вып. 4. С. 211-224.

63. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. М.: Из-во /Машиностроение/. 1968.

64. Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П. и др. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций. Киев. 1989. 282 с.

65. Росс Е.В. Колебания тонких оболочек без растяжения // Прикл. мех. М.: Мир. 1981. N 4.

66. Светлицкий В.А. Механика стержней. Москва.: Высшая школа. 1987. Т. 1.

67. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Гос. из-во технико-теор. лит-ры. 1954. Т. 2. Издание 13. 627 с.

68. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания выпуклой оболочки вращения // Механика твердого тела. Изв. АН СССР. 1975. N 6. С. 110-116.

69. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты свободных колебаний тонкой оболочки // Асимптотические методы в теории систем. Иркутск. 1975. Вып. 8. С. 5-22.

70. Товстик П.Е. К вопросу о локальной потере устойчивости оболочек // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ., астрон.1982. АГ 3. С. 72-78.

71. Товстик П.Е. Двумерные задачи устойчивости и колебаний оболочек нулевой гауссовой кривизны // Доклад АН СССР.1983. Т. 271. N 1. С. 97-71.

72. Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Прикл. мат. и мех. 1983. Т. 47. N 5. С. 815-822.

73. Товстик П.Е. Локальная потеря устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., механ., астрон. 1984. N 1. С. 84-89.

74. Товстик П.Е. Полубезмоментные формы потери устойчивости цилиндрических и конических оболочек // Тр. 14-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. Тбилиси. 1987. С. 501-506.

75. Товстик П.Е. Влияние граничных условий на устойчивость цилиндрических оболочек // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. матем., йехан., астрон. 1989. N 3. С. 66-71.

76. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука. Физматгиз. 1995. 320 с.

77. Товстик П.Е., Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: Изд-во С.Петерб. ун-та. 1995. 188 с.

78. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир. 1985. 254 с.

79. Томпсон Дж. М.Т. и Хант Дж.У.(ред.) Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика. М.: Наука. 1991. 424 с.

80. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат. 1987. 384 с.

81. Фишер Г. Влияние граничных условий на устойчивость тонкостенных цилиндрических оболочек при осевом сжатии и внутреннем давлении // Ракетн. техн. и космонавтика. 1965. Т.3. N 4. С. 204-206.

82. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М.: Стройиздат. 1961. 306 с.

83. Черных К.Ф. Линейная теория оболочек. Л.: Изд-во ЛГУ.4. 1-2. 1962. 274 е., 1964. 395 с.

84. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума, или решения изопараметри-ческой задачи, взятой в самом широком смысле // Сер. "Классики естествознания" . Прилож. 1: Об упругих кривых. М., Л.: ОНТИ. 1934. С. 447-572.

85. Almroht В.О. Influence of edge coondition on the stability of axially compressed cylindrical shells // AIAA Journal. 1966. Vol. 4. N 1. P. 131-140.

86. Bushnell D. Buckling of Shell — Pifall for designers // AIAA Journal 1981. V. 19. N 9. P. 1183-1226.

87. Donnell L.H.A. New theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Trans. ASME, Ser. E. 1934. V. 56. P. 795-806.

88. Ershova Z.G., Tovstik P.E. On the localized modes of thin cylindrical panel vibrations // "Day on diffraction'98". Int.seminar. St.Petersburg. Abstracts. P. 47-48.

89. Fischer G. Uber den Einfluss der gelenkigen Lagerung auf Stabili-tat dunnwandiger Kreiszylinderschalen unter Axiallast und Innendruck // Z. Flugwiss. 1963. Bd 2. N 3. SS 111-119.

90. Kaplunow Ju.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London: Academic Press. 1998. 226 p.

91. Karman T.L. Tsien H.S. The buckling of thin cylindrical shells under axial compression //J. Aeronaut. Sei. 1941. V. 8. N 8. P. 303-312.

92. Koiter W.T.A consistent first approximation in the general theory of thin elastic shells // Proc. of the symposium on the theory of thin elastic shells. Amsterdam: North-Holland Publ. 1960. P. 12-33.

93. Lilly W.E. The design of struts // Engineering. 1908. V. 85. P. 37-40.

94. Lorenz R. Die nicht achsensymmetrische Knickung dünnwandiger Hohlzylinder // Physikal. Zeitschrift. 1911. Bd. 12. N 7. SS. 241-260.

95. Mallock A. Note on the instability of tubes subjected to end pressure and on the folds in a flexible material // Proc. Roy. Soc. 1908. V. 81. AT A-549. P. 388-393.

96. Marguerre K. Theorie der gekrümmten Platte grosser Formänderung // Jahrb. 1939 deutsch. Luftfahrforchung. Bd. 1. Berlin, Adlershof Bucherei. 1939. SS. 413-426.

97. Qhira H, Local buckling theory of axially compressed cylinders / / Proc. 11th Japan Nat. Congr. Appl. Mech., Osaka. 1961. Tokyo. 1962. P. 37-40;