Асиптотический анализ колебаний вращающихся оболочек вращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ландман, Ирина Марковна

• Ландман, Ирина Марковна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ландман, Ирина Марковна

Введение.о

1 Постановка задачи и основные уравнения колебаний вращающихся оболочек вращения

1.1 Геометрия оболочки.

1.2 Уравнения колебаний вращающихся оболочек вращения с произвольным потенциалом.

1.3 Потенциал П для теории оболочек Новожилова.

1.4 Начальные напряжения.

1.5 Форма решения

1.6 Система уравнений колебаний произвольных вращающихся оболочек вращения.

1.7 Системы уравнений колебаний для вращающихся цилиндрических и конических оболочек.

1.8 Различные формы уравнений колебаний вращающихся оболочек

2 Интегралы уравнений колебаний тонких цилиндрических оболочек. Интегралы уравнений осесимметричных колебаний тонких конических оболочек.

2.1 Введение

2.2 Метод исследования и упрощения характеристических уравнений

2.3 Осесимметричные колебания невращающихся цилиндрических оболочек.

2.3.1 Выпуклая оболочка; укороченные уравнения для области II

2.3.2 Выпуклая оболочка и укороченные уравнения для критической точки к = 0.

2.3.3 Выпуклая оболочка; укороченные уравнения для области I

2.4 Неосесимметричные колебания невращающихся цилиндрических оболочек

2.4.1 Критические точки.

2.4.2 Критические сегменты.

2.4.3 Укороченные уравнения в критических областях.

2.4.4 Укороченные уравнения в критических сегментах

2.4.5 Укороченные уравнения в критической точке (к, т) = (0,1)

2.5 Неосесимметричные колебания вращающихся цилиндрических оболочек: особый и основной случаи.

2.5.1 Критические точки.

2.5.2 Критические многоугольники и сегменты

2.5.3 Критические многоугольники для области 0 < е < 1 и

О < к < 2.

2.5.4 Укороченные уравнения в критических областях.

2.5.5 Укороченные уравнения в критических многоугольниках

2.6 Осесимметричные колебания конических оболочек

3 Решение краевых задач

3.1 Анализ осесимметричных колебаний вращающихся тонких цилиндрических оболочек.

3.1.1 Задача нахождения низких частот для жесткого закрепления и шарнирного опирания краев

3.1.2 Задача нахождения высоких частот для жесткого и шарнирного закрепления краев.

3.1.3 Задача нахождения частот, близких к точке сгущения для жесткого закрепления краев.

3.1.4 Пример нахождения низких частот осесимметричных колебаний конических оболочек для жесткого закрепления и шарнирного опирания краев.

3.1.5 Численное интегрирование уравнений колебаний цилиндрических оболочек.

3.2 Анализ неосесимметричных колебаний вращающихся тонких цилиндрических оболочек

3.2.1 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критической области к — 2 — 2т.

3.2.2 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критической области е = к + т.

3.2.3 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критического сегмента к = 0 на плоскости е =

3.2.4 Задача нахождения частот для шарнирного опирания краев для критического сегмента е = к на плоскости т =

3.2.5 Задача нахождения частот, близких к точке сгущения для различных видов закрепления краев.

3.2.6 Пример нахождения частот при наличии кратных корней для области (VI).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асиптотический анализ колебаний вращающихся оболочек вращения»

Данная диссертация посвящена исследованию колебаний вращающихся тонких оболочек вращения. Теория тонких оболочек является в настоящее время одним из наиболее актуальных разделов теории упругости, которому уделяется большое внимание. Это внимание вызвано тем, что образованные из тонких оболочек конструкции сочетают в себе легкость с высокой прочностью, что обеспечивает оболочкам широкое применение в самых разных отраслях промышленности, таких как авиастроение и ракетная техника, судостроение, турбипостроение, а также при конструировании железобетонных перекрытий. Этим объясняется повышенный интерес к теории оболочек в течение последних пятидесяти лет [15], [16], [29], [31], [37]. За эти годы теория оболочек выделилась в отдельную науку, успешно сочетающую в себе результаты математического анализа, теории функций комплексных переменных, дифференциальной геометрии, теории упругости и ряда других направлений. На сегодняшний день теория тонких оболочек является хорошо разработанным разделом механики деформируемого твердого тела. Значительный вклад в фундаментальные исследования в этой области был внесен С. А. Амбарпумяном [1], В. 3. Власовым [6], [7], А. С. Вольмиром [9], [10], A. JI. Гольденвейзером [15], Э. И. Григолюком [17], [18], [19], Л. И. Лурье [28], X. М. Муштари [29], В. В. Новожиловым [31], П. Е. Товстиком [16], [38], К. Ф. Черныхом [40] и другими учеными, создавшими собственные научные школы. Благодаря успехам этих и многих других ученых, к настоящему моменту теория оболочек располагает большим количеством точных и приближенных методов расчета оболочек. Задача динамики вращающейся оболочки вращения, а именно, вращающейся цилиндрической оболочки, была впервые поставлена больше века назад. G. Н. Bryan [45] исследовал вращающуюся, цилиндрическую оболочку и нашел форму ее колебаний. Некоторое время ученые не занимались данной задачей, и можно считать, что первой работой, относящаяся непосредственно к математической постановке задачи о колебаниях вращающихся оболочек является работа R. A. DiTaranto, М. Lessen [50]. В этой работе были впервые выведены уравнения колебания вращающегося кругового цилиндра и показана важность учета ускорения Кориолиса при нахождении собственных чисел колебаний. Затем, задачи, связанные с цилиндрической оболочкой, были рассмотрены А. V. Srinivasan, G. F. Lauterbach [93]. Эти авторы в своих исследованиях учитывали начальные напряжения. В то же время A. Zohar и J. Aboudi [96] использовали теорию оболочек Доннелла для вывода уравнений колебания вращающейся цилиндрической оболочки, в которых учтены все основные эффекты, связанные с вращением. Для решения этих уравнений авторы разработали специальный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений. Sh. Wang и Yu Chen в [95J исследовали влияние вращения на собственные значения изгибных колебаний цилиндрической оболочки с шарнирно опертыми краями.

Следующий шаг в исследованиях в данном направлении сделал J. Pado-van [75], [76], [77|, [78], [79], [80]; [81]. В своей работе [75] он привел наиболее полное исследование вращающихся цилиндрических оболочек. В работах- [77] и [78] он получил уравнения колебаний произвольной оболочки вращения, содержащие члены, связанные с начальными напряжениями, а в [76[ исследовал свойства форм вращающихся оболочек и нашел условие их ортогональности. В [79] J. Padovan описал эффект расщепление собственных значений вращающихся оболочек, который является следствием действия сил Кориолиса.

Вышеприведенные результаты были учтены A. JI. Смирновым [34] и П. Е. Товстиком, которые с помощью асимптотических методов вывели уравнения колебаний вращающихся оболочек вращения произвольной геометрии в рамках теории оболочек Новожилова. В работах A. JI. Смирнова [35], П. Е. Тов-стика и A. JI. Смирнова [36] и В. В. Лидского и П. Е. Товстика [27] проведено исследование влияния вращения на различные тины колебаний оболочек. В этих статьях было показано, что для низших.частот, которые являются частотами типа колебаний Рэлея, эффект вращения очень важен.' Также была получена аналитическая формула для оболочек постоянной кривизны, описывающая эффект расщепления и сдвига частот. В работах Ю. С. Воробьева и С. И. Детистова [11], [12] изучалось влияние вращения на-частоты круговых конических оболочек.

Вышеупомянутые работы касаются изучения, влияния вращения на собственные частоты и формы колебаний. Позже С. Н. Fox и D. J. W. Hardie [52] рассматривали вращающуюся цилиндрическую оболочку под действием приложенной гармонической (точечной) силы, a S. С. Huang и W. Soedel [61], [62], [73] разработали новый гметод решения-задач вынужденных колебаний вращаг ющихся дисков и цилиндрических оболочек. В. Ф. Журавлев и A. JI. Климов [21], Н. Е. Егармин [20] и В. Г. Вилке [4] рассматривали задачи колебаний враг щающихся куполообразных оболочек и получили приближенную формулу для их собственных частот. В работе [20] получены приближения более высоких порядков для вычисления собственных частот вращающихся цилиндрических оболочек. Распространениеволн во вращающихся цилиндрических оболочках, влияние движущейся нагрузки и подкрепления на колебания таких оболочек, колебания вращающихся композитных цилиндрических оболочек изучались в работах [55], [56], [57], [58], [59], [82]. Работы, в которых рассматриваются колебания вращающихся нецилиндрических оболочек не столь многочисленны. Отметим статьи, посвященные колебаниям вращающихся оболочек вращения [46], [49], вращающихся сферических оболочек [48], вращающихся конических оболочек [91] и вращающихся параболоидов [90].

В некоторых случаях, колебания оболочек похожи на колебания тел [54] (например, колебания диска, кольца и пластины). Это свойство исиользовал М. Endo и др. в [51]. Авторы сравнили результаты для круговых колец и цилиндров с различными граничными условиями. Было показано, что колебания вращающегося кольца являются хорошим приближением колебаний длинной вращающейся цилиндрической оболочки, а экспериментальные исследования продемонстрировали, что аналитические и численные результаты хорошо согласованы.

Несмотря на большое количество публикаций, посвященных решению задач статики и динамики оболочек вращения, запросы практики во многом еще не удовлетворены. Это связано с использованием в современных конструкциях новых материалов и усложнением самих конструкций, а также с необходимостью учета все более разнообразных воздействий на них.

Некоторые детали турбин и двигателей, компрессоров и насосов представляют собой вращающиеся пустотелые или заполненные тонкостенные конструкции — «стаканы». Важнейшими задачами являются исследование критических скоростей вращения таких конструкций и условий возникновения резонанса при воздействии внешних периодических сил. В обоих случаях необходимо знание спектра частот и форм собственных колебаний, конструкций. Указанные задачи стимулировали развитие исследований собственных частот колебаний вращающихся тонкостенных оболочек различной геометрии при различных условиях.

В данной диссертации используется линейная теория оболочек, в которой справедливы гипотезы Кирхгофа - Лява. Они заключаются в следующем: нормальный элемент к недеформированной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности, а нормальные напряжения £т33 = 0 пренебрежимо малы. Также сделаны следующие, достаточно общие для теории оболочек, предположения: материал оболочки изотропен и подчиняется обобщенному закону Гука, а деформации, перемещения и углы поворота настолько малы, что вторыми степенями этих величин можно пренебречь. Колебания и устойчивость упругих конструкций описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных. Методы решения таких задач можно разделить на две группы: аналитические и численные.

В начале XX века построение точных аналитических решений занимало главное место среди всех используемых методов. Поскольку лишь немногие задачи могут быть решены точно аналитически, стали развиваться приближенные методы исследований: числениые и аналитические.

Среди последних выделяются асимптотические методы [33], [3], [39], основанные на разложениях решений в ряд по степеням малого параметра. Систематическое применение асимптотических методов в теории тонких оболочек началось с работ А. И. Лурье [28] и A. J1. Гольденвейзера [14]. В наши дни большинство задач может быть решено с использованием численных методов. Это. изменение связано с научно-техническим прогрессом, повлекшим за собой создание новых мощных компьютеров и разработку численных методов, в частности, метода конечных элементов, позволяющих достигать нужной точности для большого класса задач. В результате методы нахождения приближенных аналитических (асимптотических) решений остались недооцененными. Тем не менее, асимптотический метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, а также наиболее просто анализировать влияние различных параметров на поведение тонкостенной, конструкции [30].

К недостаткам асимптотических методов можно отнести следующие: во-первых, решение можно построить только для «простых» с точки зрения геометрии задач; и, во-вторых, точность решения снижается при увеличении толщины оболочки. Несмотря на это, достоинством этого класса методов является возможность получения конечной аналитической формулы для, например, собственных частот и собственных векторов. Причем точность решения увеличивается при стремлении одного из параметров (например, относительной толщины оболочки) к нулю. Важно также, что полученные с помощью асимптотических методов формулы позволяют понять физический смысл изучаемых явлений.

Численные методы, в свою очередь, дают результаты с хорошей точностью для данного набора параметров, но требуют большого количества вычислительного времени. Указанный недостаток, а также сложность дальнейшего анализа полученных результатов, большое время подготовки начальных данных, требования больших вычислительных мощностей делают численные методы неупиверсальными. Кроме того, применение вычислительных методов затруднено при анализе систем, в которые входят очень большие или очень маленькие величины.

Система уравнений теории оболочек является довольно громоздкой системой уравнений в частных производных. Она содержит естественный малый параметр, связанный с относительной толщиной оболочки. При численном анализе оказывается, что матрица жесткости содержит члены пропорциональные малому параметру. При обращении матрица жесткости становится плохо обусловленной и, как следствие, точность вычислений уменьшается. Поэтому в данной задаче асимптотическое представление решений является необходимым элементом качественного анализа и может дать существенное упрощение при построении приближенных численных решений и сэкономить машинное время. Ясное осознание асимптотической природы упрощений позволяет определить область их применимости, а в случае необходимости — уточнять приближенные решения. Таким образом, асимптотические и численные методы являются взаимно дополняющими. Данная диссертация наглядно иллюстрирует совместное применение численных и асимптотических методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания вращающихся оболочек.

Основной целью диссертации является получение асимптотических формул для главных членов собственных частот колебаний вращающихся оболочеч-ных конструкций с учетом влияния на них вращения оболочки и вызванных им начальных напряжений. В диссертационной работе разработано математическое обеспечение, позволяющее алгоритмизировать проведение асимптотического анализа, в частности, получение аналитического выражения для собственных частот и форм колебаний топких оболочек в разных областях пространств параметров.

Разработанный алгоритм основан на методе асимптотического интегрирования уравнений колебаний тонких оболочек. Особенностью решения рассматриваемых в диссертации, задач является создание и использование алгоритмов вычислительной геометрии для разработки метода нахождения корней характеристических и частотных уравнений. Он также может быть использован и в других задачах, связанных с интегрированием дифференциальных уравнений, содержащих малые или большие параметры.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе приведен подробный вывод системы уравнений» колебаний вращающихся оболочек вращения. Общая система выведена в криволинейных координатах с помощью принципа Гамильтона. Решения ищутся в виде «бегущих волн». При этом используются соотношения, характерные для теорий типа Кирхгофа-Лява, и соотношения упругости. Новожилова-Балабуха [32]. Для определения плотности энергии деформации необходимо пайти начальные напряжения. Этому посвящен раздел 1.4. Для вывода системы в компактной форме используется операторный подход. Полученная система рассматривается как обобщение системы, приведенной в работах [23], [24], [25]. [26], [67], [68], [69], [70], [71], [72]. В первой главе проведен подробный анализ литературы, включающий в себя основные публикации, начиная с первой, выполненной^. Н. Bryan в 1890 году [45].

Во второй главе строится асимптотическое решение уравнений колебаний вращающейся цилиндрической оболочки в виде разложения в ряд по малому параметру относительной толщины. При этом для определения экспоненциальных показателей следует решить характеристическое уравнение. Анализу таких характеристических уравнений посвящена большая часть диссертации. В этой главе описывается применение геометрического подхода для решения характеристического уравнения, описывающего колебания вращающейся тонкой цилиндрической оболочки. Этот подход представляет собой обобщение метода диаграммы Ньютона для большего числа измерений и состоит в построении выпуклой оболочки в пространстве степеней параметров, входящих в характеристическое уравнение. Таким образом, нахождение укороченных характеристических уравнений для случая осесимметричных колебаний невращающихся тонких оболочек сводится к построению двумерной, для случая> неосесиммет-ричных колебаний — к трехмерной, а для неосесимметричных колебаний вращающейся оболочки — к четырехмерной выпуклой оболочке. Завершается вторая глава описанием методов упрощения характеристического уравнения.

В третьей главе результаты первой и второй глав используются для построения формального асимптотического решения в задачах о колебаниях вращающихся тонких цилиндрических и конических оболочек. Третья глава состоит из двух частей, первая из которых касается осесимметричных колебаний оболочек, а вторая — неосесимметричных. В первой части главы найдены частоты осесимметричных колебаний цилиндрических вращающихся оболочек для трех типов закрепления краев: жесткой заделки, шарнирного и особого опирания. Исследование частот, близких к точке сгущения А ~ 1, начато с анализа осесимметричных колебаний невращающихся цилиндрических оболочек с жестко закрепленными краями и для особого случая закрепления краев. Для,конических оболочек рассмотрена задача нахождения низких частот осесимметричных колебаний оболочек с жесткими и шарнирно опертыми краями. Первую часть третьей главы завершает параграф, в котором методом ортогональной прогонки интегрируются уравнения колебаний цилиндрических оболочек с жестко закрепленными краями. Для неосесимметричных колебаний цилиндрических оболочек решены несколько характерных задач, асимптотические портреты которых найдены в главе 2. Во второй части третьей главы продолжено исследование поведения решения в окрестности А ~ 1 для неосесимметричных колебаний вращающейся оболочки. Найдено выражение для собственных частот неосесимметричных колебаний невращающейся. оболочки с жестко закрепленными краями. Заканчивается глава 3 построением решения в области, где характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Заключительная глава содержит выводы и основные результаты диссертации.

В приложении 1 представлены методы и алгоритмы построения выпуклой оболочки, используемые для изучения характеристического уравнения: стандартный алгоритм построения выпуклой оболочки в трехмерном пространстве, основанный на принципе «сканирования Graham» [53], алгоритм, разработанный автором диссертации, в основу которого положен принцип «заворачивания подарка» для двумерного и трехмерного случаев; а также алгоритм «быстрого поиска»[43], на основе которого написана программа Qhull, используемая в диссертации для построения выпуклой оболочки в пространстве четырех и более параметров.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту:

• Предложен алгоритм, основанный на построении выпуклой оболочки точечного множества (многогранник Ньютона), позволяющий находить решения характеристических уравнений, содержащих большие и малые параметры.

• Разработан алгоритм нахождения асимптотического решения уравнений колебаний вращающихся тонких оболочек, позволяющий, в частности, построить асимптотический портрет, то есть разбиение пространства параметров системы дифференциальных уравнений, в каждой из областей которого асимптотические решения имеют одинаковое представление. Такие асимптотические портреты были построены для осесимметричных и неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек; осесимметричных колебаний вращающихся конических оболочек.

• Получены приближенные асимптотические формулы для собственных частот колебаний вращающихся оболочек для разных областей параметров и для разных граничных условий, хорошо согласующиеся с результатами численных расчетов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и 10 страниц библиографии, содержащей 96 наименований. Общий объем диссертации составляет 136 страниц, включая 34 рисунка, 15 таблиц. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23], [24], [25]. [26], [67], [68], [69], [70], [71], [72].

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ландман, Ирина Марковна

Заключение

В данной работе проводится асимптотический анализ собственных колебаний вращающихся оболочек вращения.

Основными результатами, выносимыми на защиту, являются:

Предложен алгоритм, основанный на построении выпуклой оболочки точечного множества (многогранник Ньютона), позволяющий находить решения характеристических уравнений, содержащих большие и малые параметры.

Разработан алгоритм нахождения асимптотического решения уравнений колебаний вращающихся тонких оболочек, позволяющий, в частности, построить асимптотический портрет, то есть разбиение пространства параметров системы дифференциальных уравнений, в каждой из областей которого асимптотические решения имеют одинаковое представление. Такие асимптотические портреты были построены для

• осесимметричных и неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек;

• осесимметричных колебаний вращающихся конических оболочек.

Получены приближенные асимптотические формулы для собственных частот колебаний вращающихся оболочек для разных областей параметров и для разных граничных условий, хорошо согласующиеся с результатами численных расчетов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ландман, Ирина Марковна, 2007 год

1. Амбарцумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек / С. А. Амбарцу-мян. — М.: Наука, 1974.— 446 с.

2. Асланян, А. Г. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек / А. Г. Асланян, В. Б. Лидский. — М.: Наука, 1974. —156 с.

3. Бауэр, С. М. Асимптотические методы в примерах и задачах /С. М. Бауэр, А. Л. Смирнов, П. Е. Товстик, С. Б. Филиппов. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. — 276 с.

4. Вильке, В. Г. Об инерциальных свойствах собственных форм осесиммет-ричного упругого тела / В. Г. Вильке. // Вестник Моск. ун-та. — 1986. — Сер. 2., Вып.2. С. 66-72.

5. Вишик, М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // Успехи мат. паук. — 1957. — Т. 12, Вып. 5. — С. 3-122.

6. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике / В. 3. Власов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 784 с.

7. Власов, В. 3. Тонкостенные пространственные системы / В. 3. Власов. — М.: Госстройиздаг, 1958. — 502 с.

8. Волевич, Л. Р. Метод многогранника Ньютона в теории дифференциальных уравнений в частных производных / Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. 309 с.

9. Волгшир, А. С. Устойчивость упругих систем / А. С. Вольмир. — М.: Физ-матгиз, 1963. — 880 с.

10. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем/ А. С. Вольмир. — М.: Наука, 1967. 984 с.

11. Воробьев 10. С. К выводу уравнений колебапий вращающейся ортотроп-ной конической оболочки / Ю. С. Воробьев, С. И. Детистов //Проблемы машиностроения. — 1981. — Т. 13. — С. 12-17.

12. Воробьев, Ю. С. О влиянии центробежных сил на собственные частоты круговых конических оболочек / Ю. С. Воробьев, С. И. Детистов //Проблемы машиностроения. — 1981. — Т. 14. — С. 27-27.

13. Годунов, С. К. О численном решении краевых задач для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С. К. Годунов // Успехи мат. наук. — 1961. — Вып. 3. — С. 171-174.

14. Гольденвейзер, А. Л. Асимптотический метод в теории оболочек /

15. A. JI. Гольденвейзер // Успехи механики. — 1982. — Т. 5, Вып. 1/2. — С. 137182.

16. Гольденвейзер, А. Л. Теория упругих тонких оболочек / A. JI. Гольденвейзер. — М.: Гостехиздат, 1953. — 544 с.

17. Гольденвейзер, А. Л. Свободные колебания тонких упругих оболочек / A. J1. Гольденвейзер, В. В. Лидский, П. Е. Товстик. — М.: Наука, 1979.- 384 с.

18. Григолюк, Э. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций /Э. И. Григолюк, В. И. Мамай. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 272 с.

19. Григолюк, Э. И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек / Э. И. Григолюк, П. П. Чулков. — М.: Машиностроение, 1973. — 170 с.

20. Григолюк, Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов.- М.: Наука, 1978. 360 с.

21. Егармин, Н. Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осесим-метричной оболочки / Н. Е. Егармин // Механика твердого тела. — 1986.- Вып. 1. С. 142-148.

22. Журавлев, В. Ф. О прецессии собственной формы колебаний сферической оболочки при ее вращении / В. Ф. Журавлев, А. Л. Климов // Проблемы машиностроения. — 1981. — Вып. 14. — С. 147-151.-ч,- .j

23. Квасников, Б. Н. Укороченные уравнения и асимптотический портрет в теории тонких оболочек / Б. Н. Квасников // Сб.: Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. — СПб.: Изд-во ВВМ, 2006. — С. 36-59.

24. Ландман, И. М. Анализ характеристических уравнений с помощью обобщенного метода Ньютона / И. М. Ландман, А. Л. Смирнов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — Т. 12, вып. 2, 2005.— С. 419420.

25. Ландман, И. М.Асимптотический анализ неосесимметричных колебаний вращающихся цилиндрических оболочек / И. М. Ландман // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды 2005-2006». — Санкт-Петербург: Изд. СПбГУ, 2006. — С. 20-39.

26. Ландман, И. М. Исследование колебаний вращающейся цилиндрической оболочки с частотами, близкими к точке сгущения / И. М. Ландман // Вестник С-Петерб. ун-та— 2007. — сер. 1, вып. 2. — С. 113-119.

27. Лидский, В. Б. Спектры в теории оболочек / В. Б. Лидский, П. Е. Товстик // Успехи механики. — 1984. — Т. 72, Вып. 2. — С. 25-54.

28. Лурье, А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек / А. И. Лурье. — М.-Л.: Гостехиздат, 1947. — 252 с.

29. Муштари, X. М. Нелинейная теория упругих оболочек / X. М. Муштари, К. 3. Галимов. — Казань: Таткнигоиздат, 1957. — 432 с.

30. Найфе, А. Введение в методы возмущений / А. Найфе. — М.:Мир, 1984. — 536 с.

31. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. — Л.: Суд-промгиз, 1962. 432 с.

32. Новожилов, В. В. Линейная теория тонких оболочек / В. В. Новожилов, К. Ф. Черных, Е. И. Михайловский. — Л.: Политехника, 1991. — 656 с.

33. Образцов, И. Ф. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций / И. Ф. Образцов, В. В. Нерубайло, И. В. Андрианов. — М.: Машиностроение, 1991. — 416 с.

34. Смирнов, А. Л. Колебания вращающихся оболочек вращения / А. Л. Смирнов // Сб. Прикладная механика, «Колебания и устойчивость механических систем». Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. — Т. 4. - С. 176-186.

35. Смирнов, А. Л. Интегралы уравнений колебаний вращающихся оболочек вращения / А. Л. Смирнов // Вестник ЛГУ. — 1981. — №13. — С. 114-117.

36. Смирнов, А. Л. Качественное исследование динамики вращающихся оболочек вращения/ А. Л. Смирнов, П. Е. Товстик // Современные проблемы механики и авиации. — 1984. — Ж13. — С. 280-290.

37. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Вой-новский-Кригер. — М.: Наука, 1966. — 635 с.

38. Товстик, П. Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические методы / П. Е. Товстик. — М.: Физматлит, 1995. — 320 с.

39. Товстик, П. Е. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций / П. Е. Товстик, С. М. Бауэр, А. Л. Смирнов, С. Б. Филиппов. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. — 184 с.

40. Черных, К. Ф. Линейная теория оболочек / К. Ф. Черных. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, Ч. 1, 1962. 274 е.; Ч. 2, 1964. — 395 с.

41. Шамровский, А. Д. Асимптотико-групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости / А. Д. Шамровский. — Запорожье: изд-во ЗГИА, 1997. 169 с.

42. Aggarwal, A. A Linear-Time Algorithm for Computing the Voronoi Diagram of a Convex Polygon / A. Aggarwal, L. J. Guibas, J. Saxe, P. W. Shor // Discrete and Computational Geometry. — 1989. — Vol. 4. — Pp. 591-604.

43. Barber, С В. The Quickhull Algorithm for Convex Hull / С. B. Barber, D. P. Dobkin, H. Huhdanpaa // ACM Transactions on Mathematical Software.- 1996. Vol. 22, No. 4. - Pp. 469-483.

44. Brown, K. Q. Voronoi Diagrams from Convex Hulls / K. Q. Brown // Information Processing Letters. — 1979. — Vol. 9, No. 5. — Pp. 223-228.

45. Bryan, G. H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — Vol. 7. — 1890. — Pp. 101-111.

46. Cat, X,- X. Free vibration of a thin rotating shell of revolution / X.- X. Cai // . Computers and Structures. — 1994. — Vol. 53, No. 1. — Pp. 155-160.

47. Chand, D. R. An Algorithm for Convex Polytopes / D. R. Chand, S. S. Kapur J/ J. Assoc. Comput. Mach. — 1970 — Vol. 17. — Pp. 78-86.

48. Chang, С. O. Modal precession of a rotating hemispheracal shell / С. O. Chang, J. J. Hwang, C. S. Chou // Int. J. Solids structures. 1996. — Vol. 33, No. 19.- Pp. 2739-2757.

49. Chen, Y. Vibrations of high speed rotating shells with calculations for cylindrical shells / Y. Chen, H. B. Zhao, Z. P. Shen, I. Grieger, В. H. Kroplin // Journal of Sound and Vibration. — 1993. — Vol. 160. No. 1. — Pp. 137-160.

50. DiTaranto, R. A. Coriolis acceleration effect on the vibration of a rotating thin-walled circular cylinder / R. A. DiTaranto, M. Lessen // Journal of Applied Mechanics. 1964. - Vol. 31, No. 12. - Pp. 700-701.

51. Endo, M. Flexural vibration of a thin rotating ring / M. Endo, K. Hatamura, M. Sakata, O. Taniguchi // Journal of Sound and Vibration. — 1984. — Vol. 92, No. 2. Pp. 261-272.

52. Fox, С. H. Harmonic response of rotating cylindrical shells / С. H. Fox, D. J. W. Hardie // Journal of Sound and Vibration. — 1985. — Vol. 101, No. 4.- Pp. 495-510.

53. Graham, R. L. An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set / R. L. Graham // Inform. Process. Lett. — 1972. — Vol. 1, No. 4. Pp. 132-133.

54. Gupta, К. К. Free vibration analysis of spinning structural systems /

55. К. K. Gupta // Int. Journal For Numerical Methods in Engineering. — 1973. — Vol.5. Pp. 395-418.

56. Haughton, D. M. Wave speeds in rotating elastic cylinders at finite deformation / D. M. Haughton / /J. Mech. and Appl. Math. — 1982. Vol. XXXV, Pt. 1. — Pp. 125-139.

57. Haughton, D. M. The vibration of rotating elastic membrane cylinders/ D. M. Haughton //Int. J. Engng Sci. 1982. — Vol. 20, No. 7. — Pp. 835844.

58. Huang, S. C. Vibration of a spinning cylindrical shell with internal/external ring stiffeners / S. C. Huang, L. H. Chen // Journal of vibration and Acoustics. 1996. - Vol. 118. - Pp. 227-236.

59. Huang, S. C. Resonant phenomena of a rotating cylindrical shell subjected to a harmonic moving load / S. C. Huang, B. S. Hsu // Journal of Sound and Vibration. 1990. - Vol. 136, No. 2. - Pp. 215-228.

60. Huang, S. G. Modal analysis of a spinning cylindrical shell with interior point or circular line supports / S. C. Huang, B. S. Hsu // Journal of Vibration and Acoustics. 1993. - Vol. 115. - Pp. 535-543.

61. Huang, S. C. Effects of Coriolis acceleration on the forced vibration of rotating cylindrical shells / S. C. Huang, W. Soedel // Journal of Applied Mechanics. — 1988. Vol. 55. — Pp. 231-233.

62. Huang, S. C. Response of Rotating Rings to Harmonic and Periodic Loading and Comparison with the Inverted Problem / S. C. Huang, W. Soedel // Journal of Sound and Vibration. — 1987. — Vol. 118, No. 2. — Pp. 255-270.

63. Huang, S. C. Effects of Coriolis Acceleration on the Free and Forced In-Line Vibration of Rotating Rings on Elastic Foundation / S. C. Huang, W. Soedel // Journal of Sound and Vibration. — 1987. — Vol. 115, No. 2. — Pp. 253-274.

64. Huseyin, K. On the basic properties of stability regions and boundaries of rotating flexible shafts / K. Huseyin // Berlin:Springer-Verlaq, 1982. — Pp. 232243.

65. Klee, V. On the Complexity of d-dimensional Voronoi Diagrams / V. Klee // Archiv der Mathematik. — 1980. — Vol. 34. — Pp. 75-80.

66. Lam, K. Y. Free vibrations of a rotating multi-layered cylindrical shell / K. Y. Lam, С. T. Loy // Int. J. Solids Structures. — 1995. — Vol. 32, No. 5. — Pp. 647-663.

67. Lam, K. Y. Analysis of rotating laminated cylindrical shells by different thin shell theories / K. Y. Lam, С. T. Loy // Journal of Sound and Vibration. — 1995. — Vol. 186, No. 1. Pp. 23-35.

68. Landman, I. M. Asymptotic integration of thin shell equations by means of computer algebra methods / I. M. Landman, A. L. Smirnov, E. M. Haseganu // Proceedings of the 17th Canadian Congress on Applied Mechanics. — Hamilton (Canada): 1999. — Pp.37-38.

69. Landman, I. M. Asymptotic analysis of vibrations of thin cylindrical shells / I. M. Landman // Books of Abstracts for 20th Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics and Student Paper competition. — Alabama (USA): 2000. — Pp.19-20.

70. Landman, I. M. Analysis of characteristic equations by generalized Newton's methods / I. M. Landman // Compilation of Abstracts for the 3rd MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics. — Cambridge (USA): 2005. P.217.

71. Landman, I. M. Asymptotic integration of free vibration equations of cylindrical shells by symbolic computation / E. M. Haseganu, I. M. Landman,

72. A. L. Smirnov // Advances in Mechanics of Solids: in memory of Prof. E. M. Ha-seganu. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006. — Pp. 85-104.

73. Lin, J. L. On general in-plane vibrations of rotating thick and thin rings / J. L. Lin, W. Soedel // Journal of Sounds and Vibration. — 1988. — Vol. 122, No. 3. Pp. 547-570.

74. Mehlhorn, K. LEDA: A Platform for Combinatorial and Geometric Com-putating / K. Mehlhorn, S. Naher. — New York: Cambridge University Press, 1999. — 1034 p.

75. Padovan, J. Natural frequencies of rotating prestressed cylinders / J. Padovan 11 Journal of Sound and Vibration. — 1973. — Vol. 31, No. 4. — Pp. 469-482.

76. Padovan, J. Orthogonality principle for the vibration modes of anisotropic composite domain problems / J. Padovan // Transaction of the ASME Ser. E. J. AppLMech. 1974. - Vol. 41, No. 3. - Pp. 832-834.

77. Padovan, J. Numerical analysis of asymmetric frequency and buckling eigenvalues of prestressed rotating anisotropic shells of revolution / J. Padovan // Computers and structures. — 1975. — Vol. 5. — Pp. 145-154.

78. Padovan, J. Traveling waves vibrations and buckling of rotating anisotropic shells of revolution by finite elements / J. Padovan // Int. J. Solids Structures. 1975. - Vol. 11. - Pp. 1367-1380.

79. Padovan, J. On gyroscopic problems in elasticity / J. Padovan // Internat.J. Engrg Sci. 1978.- Vol. 16. - Pp. 1061-1073.

80. Padovan, J. On the development of traveling load finite elements / J. Padovan, I. Zeid // Computers and structures. — 1980. — Vol. 12. — Pp. 77-83.

81. Padovan, J. Finite element analysis of steady and transiently moving/rolling nonlinear viscoelastic structure / J. Padovan // I.Theory, Computers and Structures. 1987. - Vol. 27, No. 2. - Pp. 249-257.

82. Rand, 0. Response and eigenfrequencies of rotating composite cylindrical shells / O. Rand, Y. Stavsky /// Journal of Sound and Vibration. — 1996. — Vol. 192, No. 1. Pp. 65-77.

83. Preparata, F. P. Computational Geometry: An Introduction / F. P. Preparata, M. I. Shamos. — New York: Springer-Verlag, 1985. — 420 p.

84. Preparata, F. P. Convex Hulls of Finite Sets of Points in Two and Three Dimensions / F. P. Preparata, S. J. Hong // Commun. ACM. — 1977. — Vol. 20.- Pp. 87-93.

85. O'Rourke, J. Computational Geometry in С / J. O'Rourke. — New York: Cambridge University Press, 1998. — 376 p.

86. Shamos, M. I. Computational Geometry: PhD thesis: UMI №7819047. — Yale University, New Haven, 1978.

87. Saito T. Vibration of finite length rotating cylindrical shells / T. Saito, M. Endo // Journal of Sound and Vibration. — 1986. Vol. 107, No. 1, Pp. 17-28

88. Saito, T. Vibration analysis of rotating cylindrical shells based on the Timo-shenko beam theory / T. Saito, M. Endo // Bulletin of JSME. — 1986. — Vol. 29, No. 250. Pp. 1239-1245.

89. Saito, T. Vibration of rotating prestressed cylindrical shells / T. Saito, Y. Tsukahara, M. Endo 11 Bulletin of JSME. -1986. Vol. 29, No. 1251. — Pp. 1572-1578.

90. Shoemaker, W. L. On the free vibrations of spinning paraboloids / W. L. Shoemaker, S. Utku // Journal of Sounds and Vibration. — 1986. — Vol. Ill, No. 2.- Pp. 279-296.

91. Sivadas K. R. Vibration analysis of pre-stressed rotating thick circular conical shell / K. R. Sivadas // Journal of Sound and Vibration. — 1995. — Vol. 186, No. 1. Pp. 99-109.

92. Smirnov, A. L. Free vibrations of the rotating shells of revolution / A. L. Smir-nov 11 Journal of Applied Mechanics. — 1989. — Vol. 56, No. 2. — Pp. 423-429

93. Srinivasan, A. V. Traveling waves in rotating cylindrical shells / A. V. Sriniva-san, G. F. Lauterbach // Journal of Engineering for Industry. — 1971. — Vol. 93.- Pp. 1229-1232.

94. Suzuki, К. Vibrations of rotating circular cylindrical shells with varying thickness / K. Suzuki, Kosawada, Shikanai, K. Hayashi // Journal of Sound and Vibration. — 1993. Vol. 166, No. 2. — Pp. 267-282.

95. Wang, S. Effects of rotation on vibrations of circular cylindrical shells / S. Wang, Y. Chen // J.Acoust.Soc.Am. 1974. - Vol.55, No. 6. - Pp. 13401342.

96. Zohar, A. The free vibrations of thin circular finite rotating cylinder / A. Zohar, J. Aboudi // J. mech.Sci. — 1973. Vol. 15. — Pp. 269-278.