Резонансы поверхностных волн в упругих телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Вильде, Мария Владимировна

• Вильде, Мария Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Вильде, Мария Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Изгибный краевой резонанс в тонкой упругой пластине.

1.1. Постановка задачи. Изгибная волна "рэлеевского" типа.

1.2. Случай шарнирно опертых краев: аналитическое решение.

1.3. Изгибные моды бесконечной тонкой пластины-полосы.

1.4. Случаи свободных и жестко закрепленных боковых сторон: приближенное решение.

1.5. Случай свободных боковых сторон: численное решение и результаты . 54 ^ 1.6. Случай жестко закрепленных боковых сторон: численное решение и результаты.

1.7. Краевой резонанс при антисимметричных изгибных колебаниях пластины.

1.8. Колебания прямоугольной пластины.

ГЛАВА И. Резонансы волны Рэлея в полуполосе.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Случай перекрестных граничных условий на боковых сторонах: аналитическое решение.

2.3. Случаи свободных и жестко защемленных сторон: приближенное решение.

2.4. Случай свободных боковых сторон: численное решение и результаты.

2.5. Случай жестко защемленных боковых сторон: численное решение и результаты.

2.6. Антисимметричные краевые резонансы.

ГЛАВА III. Явление краевого резонанса в полубесконечном упругом цилиндре.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Трехмерная поверхностная волна и моды кругового цилиндра.

3.3. Приближенные формулы для частот краевых резонансов.

3.4. Численное решение и результаты.

ГЛАВА IV. Кромочные волны в полубесконечной плите.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Антисимметричная кромочная волна.

4.3. Симметричная кромочная волна.

ГЛАВА V. Резонансы поверхностных волн в оболочках.

5.1. Постановка задачи о колебаниях полубесконечной круговой цилиндрической оболочки.

5.2. Поверхностные волны, распространяющиеся вдоль торца полубесконечной цилиндрической оболочки.

5.3. Асимптотический анализ и получение приближенных дисперсионных соотношений для трех типов поверхностных волн в оболочке.

5.4. Асимптотический анализ резонансов поверхностных волн в круговой цилиндрической оболочке.

5.5. Постановка задачи о колебаниях продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки.

5.6. Асимптотический анализ волн типа Стоунли в круговой цилиндрической оболочке и получение приближенных уравнений для частот граничных резонансов.

5.7. Явления краевого и граничного резонансов в оболочках вращения.

ГЛАВА VI. Приближенное описание резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния для полого упругого цилиндра.

6.1. Постановка задачи о рассеянии плоской акустической волны полым упругим цилиндром и ее точное решение.

6.2. Модель типа шепчущей галереи.

6.3. Модель типа плоского слоя.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансы поверхностных волн в упругих телах»

Актуальность изучения колебательных процессов в оболочечных и пластинчатых конструкциях, в том числе толстостенных, связана с их широким применением в авиастроении, судостроении, приборостроении, строительстве. Необходимость в высокой надежности работы машин и механизмов и, в то же время, в снижении материалоемкости производства предъявляет высокие требования к методам расчета и оптимизации динамических параметров конструкций, прежде всего таких важных характеристик, как резонансные частоты.

В связи с интенсивным развитием вычислительной техники в настоящее время появилась возможность рассчитать и оптимизировать динамические параметры элементов конструкций в достаточно широком частотном диапазоне. В таких расчетах возникает проблема интерпретации полученных результатов, поскольку колебания упругого тела на высоких частотах имеют весьма сложный характер. Вследствие этого большое значение приобретает разработка методов, позволяющих проанализировать рассматриваемую задачу с качественной стороны. Основой таких методов служит понимание причины возникновения явления резонанса. Если тело можно рассматривать как отрезок некоторого волновода, то для интерпретации резонансных явлений в нем, как правило, используется понятие нормальных волн, называемых также модами. В этом случае явление резонанса связывается с накоплением энергии распространяющихся мод. В большинстве случаев такого понимания резонанса достаточно для получения представления о характере динамического поведения рассматриваемого объекта. Однако этот подход оказался неприменим к явлению краевого резонанса, впервые обнаруженному в 1956 г. Е. Shaw [158] при экспериментальных исследованиях колебаний круглого диска. Появление термина "краевой резонанс" было обусловлено локализацией области интенсивных движений около края диска. Также в работе [158] было установлено, что в окрестности частоты краевого резонанса в спектре диска существуют почти горизонтальные участки - плато. С ними связано необычное явление в распределенных колебательных системах - при существенном изменении одного из размеров тела одна из его собственных частот практически не меняется, причем это имеет место в области частот ниже частоты толщинного резонанса. Аналогичные экспериментальные работы проведены для конечных цилиндров [129,148,152,166] и прямоугольных пластин [66], при этом также обнаружено явление краевого резонанса. Результаты этих работ согласуются с результатами численного решения задач о вынужденных колебаниях прямоугольника [49,67,68,71] и конечного цилиндра [49,69,136,150], в которых были найдены резонансные частоты с локализованными около края формами и плато в спектре частот.

Слабая зависимость частот краевого резонанса от размеров тела вызвала интерес к изучению этого явления в полуполосе и полубесконечном цилиндре. Краевые резонансы в полуполосе изучались в работах П. Торвика и других авторов [126,133,135,160,161], В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко с соавторами [64,65,68,70], Jle Хань Чау [90]. Явлению краевого резонанса в полубесконечном цилиндре посвящены работы В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [72,94]. Также этот резонанс был обнаружен в работах [149,166]. В большинстве работ, касающихся краевого резонанса в полубесконечных телах отмечается, что амплитуда колебаний на резонансной частоте остается конечной. Это является следствием радиационного демпфирования краевого резонанса распространяющейся модой. Исключение составляет случай равного нулю значения коэффициента Пуассона, рассмотренный в работе В.Т. Гринченко и В.В. Мелешко [70]. В этом случае, как показано в работе

70], распространяющаяся мода не связана с нераспространяющимися, и демпфирование краевого резонанса отсутствует. В работе [156] представлено математическое доказательство существования действительного собственного значения.

В большинстве упомянутых работ для получения численного решения используется метод разложения по модам, называемый также методом однородных решений. При решении задач для полубесконечной полосы этот метод является наиболее удобным, поскольку позволяет автоматически удовлетворить граничным условиям на полубесконечных боковых сторонах.

Начало исследования мод положено работами Рэлея [154] и Лэмба [146], а также работами Похгаммера [153] и Кри [130], в которых изучались моды плоского слоя и кругового цилиндра, соответственно. Подробный численный анализ уравнений Похгаммера-Кри и Рэлея-Лэмба был осуществлен только в середине двадцатого столетия. Обзор исследований этих уравнений для случая однородного изотропного материала имеется в монографии [71]. Было обнаружено, что эти уравнения на любой частоте имеют конечное число чисто действительных или чисто мнимых корней, и бесконечное множество комплексных корней. Представляя решение в виде линейной комбинации мод и определяя неизвестные коэффициенты таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям на сечении волновода, можно получить решение задачи. Для построения разрешающих систем для неизвестных постоянных применяются различные методы: метод коллокаций [166], вариационные методы [161,162], соотношения обобщенной ортогональности [15]. Возможность представления точного решения задачи бесконечной суммой мод исследовалась в работах И.И. Воровича [42,43], И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [45,46], Ю.А.Устинова и В.И. Юдовича [123], П.Ф. Папковича [99] и других авторов [63,100 и др.]. В монографии И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [47] подробно изложен метод однородных решений в применении к нерегулярным твердым волноводам, предложен универсальный способ построения алгебраических систем для коэффициентов разложения по модам. Отдельного рассмотрения требуют случаи, когда дисперсионное уравнение имеет кратные корни [47,124]. Моды изгибных колебаний полосы в рамках теории Кирхгофа исследовались в работах [16,18,87].

В работах И.П. Гетмана и О.Н. Лисицкого [44] и И.П. Гетмана и Ю.А. Устинова [47] рассмотрено явление граничного резонанса при падении симметричной и антисимметричной волн Лэмба на границу раздела составной полосы. При этом отмечается, что понятие граничного резонанса может рассматриваться как естественное обобщение понятия краевого резонанса на случай двух граничащих между собой волноводов.

В настоящей работе явления краевого и граничного резонансов объясняется накоплением энергии поверхностной волны, распространяющейся вдоль торца либо линии стыка. Такое понимание природы упомянутых явлений позволило качественно показать наличие бесконечного спектра краевых или граничных резонансов в полуполосе в условиях плоской деформации, в полубесконечном цилиндре, в полуполосе в условиях изгиба.

История исследования поверхностных волн началась со статьи Рэлея [155]. В работе Стоунли [159] изучен аналог волны Рэлея для случая двух контактирующих полупространств с различными упругими свойствами. В настоящее время известно большое число поверхностных волн, аналогичных волнам Рэлея и Стоунли, и подробно изучены их свойства (см. работы [3,9,10,11,13,26,48,73-81,86,101] и обзоры [12,27].

В данной работе также рассматриваются явления краевого и граничного резонанса в тонких упругих оболочках.

Теория оболочек развита в монографиях В.З. Власова, А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова [41,60,92,98].

Сложность трехмерных уравнений теории упругости для оболочек не позволяет получить точные аналитические решения. Поэтому при исследовании колебаний оболочек используются различные приближенные подходы, основанные на приближении как исходных уравнений, так и искомых решений. Одним из таких подходов является использование двухмерных теорий.

Существует много путей построения уравнений двухмерных теорий оболочек и пластин. Среди прочих методов, согласно классификации [1,2], выделяются асимптотические методы. Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математически уравнения теории упругости для тонких оболочек относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной тонкостенности. Поэтому асимптотические методы играют важную роль как при построении приближенных уравнений теории оболочек, так и при получении решения этих уравнений. Это позволяет применять богатый асимптотический аппарат с физической интерпретацией решения на всех этапах его разработки.

Асимптотические методы в теории оболочек получили всестороннее развитие в работах А. Л. Гольденвейзера [51-62,134]. Введение фундаментального понятия показателя изменяемости НДС по пространственной координате и проведение операции растяжения масштаба в уравнениях теории упругости позволило построить для статических задач основной итерационный процесс, приводящий в первом приближении к двухмерным теориям оболочек, и дополнительный, приводящий к теориям принципиально нового типа - теории плоского и антиплоского погранслоя. Итерационный процесс позволил также взглянуть на погрешность двухмерных теорий оболочек и пластин с асимптотической точки зрения, определяя форму ее зависимости от значений показателя изменяемости НДС.

В работе Ю.Д. Каплунова, И.В. Кирилловой, Л.Ю. Коссовича [83] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двухмерные системы уравнений.

Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.Ю. Коссовичем, Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [137]. Приведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы (как стационарные, так и нестационарные) на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двухмерные теории высшего порядка для пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами.

При изучении колебаний тонких оболочек на основе двухмерных теорий асимптотические методы также очень эффективны. Большое значение имеют метод расчленения НДС и метод экспоненциальных представлений [95,125]. Применение этих методов к исследованию колебаний тонких оболочек рассмотрено в работах А.Л. Гольденвейзера [52,53,55,57,58], В.В. Болотина [21,22], П.Е. Товстика [105-122], А.Л. Гольденвейзера, В.Б. Лидского, П.Е. Товстика [62]. Математическое обоснование метода расчленения НДС приведено в статье [40].

В монографии [62] разработан метод расчленения НДС в применении к решению задач о свободных колебаниях оболочек. Показано, что для широкого класса задач напряженно-деформированное состояние колеблющейся оболочки можно представить в виде наложения главного и дополнительного напряженно-деформированных состояний. Приведена классификация видов колебаний оболочки. В зависимости от характера НДС и его изменяемости выделены: квазипоперечные колебания с малой изменяемостью, квазитангенциальные колебания, колебания рэлеевского типа, квазипоперечные колебания с большой изменяемостью.

Наиболее хорошо изучены колебания круговой цилиндрической оболочки. Важную роль при этом играет исследование корней характеристического уравнения. Асимптотический анализ характеристического уравнения для свободных колебаний круговой цилиндрической оболочки рассмотрен в [62,96,97].

Значительное число работ посвящено свободным колебаниям оболочек вращения [4,93,105-122], также такие колебания подробно рассмотрены в монографии [62]. Задача о свободных колебаниях оболочки вращения сводится к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Применение метода расчленения НДС и метода экспоненциальных представлений позволяет определить с необходимой точностью собственные частоты и собственные формы колебаний, а также плотность распределения собственных частот. Задачи о колебаниях оболочек вращения могут усложняться наличием точек поворота - точек, при переходе через которые изменяется характер поведения решения, например, экспоненциально затухающее решение сменяется осциллирующим. Для построения приближенных интегралов, описывающих переход через точку поворота, применяется хорошо разработанный метод эталонных уравнений [95,116,117,125,147].

Большое практическое значение имеет определение наинизшей собственной частоты колебаний оболочки. Для достаточно тонкой оболочки она будет находиться среди сверхнизких частот - частот, беспредельно убывающих с уменьшением толщины оболочки. Последние реализуются лишь тогда, когда колебания оболочки близки к исследованным Рэлеем [104] колебаниям без растяжений и сжатий, т.е. когда срединная поверхность оболочки испытывает деформации, близкие к тем, которые в теории поверхностей называются изгибаниями. Для определения собственных частот таких колебаний удобно использовать формулу Рэлея [104]. Сверхнизкочастотные колебания рассматривались в монографии [64] и в работах [88,91,ПЗД14Д18-120 и др.].

Важное место при изучении колебаний занимает исследование свойств решений дисперсионных уравнений. В работах В.Л. Березина, Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича [14,128] асимптотические приближенные теории применены к синтезу дисперсионных кривых для цилиндрической оболочки как трехмерного упругого тела. Теория Кирхгофа-Лява и теория высокочастотного длинноволнового приближения используются, соответственно, в окрестности нулевой частоты и частот толщинных резонансов. Теория высокочастотного коротковолнового приближения используется вне этих окрестностей. Доказано наличие областей перекрытия решений по приближенным теориям. Показано, в частности, что в своей области применения теория Кирхгофа-Лява достаточно хорошо аппроксимирует точные дисперсионные кривые.

Описанные выше асимптотические методы теории оболочек применяются в данной работе для вывода приближенных дисперсионных уравнений для поверхностных волн. И в этом случае представление краевого и граничного резонансов как резонансов поверхностных волн позволило приближенно описать резонансные частоты.

Также в работе развиваются методы качественного анализа резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, актуальность которой связана с широким использованием гидроупругих систем во многих отраслях современной техники. По теме рассеяния акустических волн опубликовано довольно много работ. Ссылки на основные из них могут быть найдены в монографии [25]. В задачах акустического рассеяния рассмотрение плоской гармонической волны считается основополагающим, так как, располагая таким решением, можно достаточно просто перейти к более общим постановкам. Резонансная теория рассеяния, распространенная на задачи гидроупругости X. Юбераллом [131], Г. Гаунардом [132], Н.Д. Векслером

25] и некоторыми другими исследователями, является весьма удобным аппаратом для систематического изучения основных параметров дифракционных процессов. Основным элементом этой теории является анализ резонансов парциальных мод. При этом явные приближенные формулы, описывающие поведение резонансных кривых, могут иметь большое значение для выявления общих закономерностей процесса рассеяния.

Асимптотические методы, развитые в теории оболочек, могут быть применены и в задаче рассеяния. В работе [127] получена асимптотическая модель, уточняющая теорию Кирхгофа-Лява и описывающая взаимодействие оболочки с жидкостью. Область применимости этой модели достаточно широка, но тем не менее на высоких частотах требуется построение иной асимптотики - коротковолновой. Также область применимости модели из работы [127] уменьшается с ростом толщины оболочки. Для очень толстостенных оболочек, которые лучше назвать полыми цилиндрами, также возможно построение только коротковолновой асимптотики. Такие асимптотики рассматриваются в данной работе, поскольку основное их назначение - описать резонансы поверхностных периферических волн.

Заметим, что явления краевого и граничного резонансов относятся к широкому классу резонансных явлений, связанных с локализацией колебаний, вызванной различными причинами. Это может быть локализация около различного вида неоднородностей (трещин, включений и т.п.). Такие явления подробно рассмотрены в работах В.А. Бабешко и И.И. Воровича с соавторами [5-7,42 и др.]. В пластинах переменной толщины возможно возникновение локализации колебаний в окрестности точки максимума (или минимума) толщины пластины и напоминающей форму типа "прыгающего мячика" в акустике [122,162]. Также можно возбудить резонансы с локализованной формой, присоединяя к телу массы или пружины со специально подобранными свойствами [19,89].

В данной работе рассматриваются только те резонансы с локализованной формой, которые могут быть связаны с поверхностными волнами.

Цель работы:

• Разработка методов качественного анализа резонансов поверхностных волн для широкого класса задач о колебаниях упругих пластин, оболочек и сплошных цилиндров.

• Аналитическое и численное исследование явлений краевого и граничного резонанса в различных объектах, в том числе при изгибных колебаниях полуполосы для разных способов закрепления краев; в полуполосе, находящейся в условиях плоской деформации, при различных вариантах граничных условий на боковых сторонах; в сплошном упругом цилиндре со свободной боковой поверхностью.

• Исследование поверхностных волн, распространяющихся вдоль кромки полубесконечной плиты со свободными лицевыми поверхностями, в трехмерной постановке. Сопоставление полученных результатов с соответствующими результатами классической теории Кирхгофа и теории обобщенного плоского напряженного состояния в случае плиты малой толщины.

• Асимптотический анализ явления краевого резонанса в цилиндрической оболочке открытого профиля, а также в замкнутой оболочке вращения.

• Построение асимптотических моделей для приближенного описания резонансов поверхностных волн в задаче рассеяния акустических волн полым цилиндром.

В первой главе рассмотрено явление краевого резонанса в полуполосе, находящейся в условиях деформации изгиба. Для описания изгибных колебаний применяется классическая теория Кирхгофа.

14

В п. 1.1 приводится постановка задачи и записывается решение однородной задачи об изгибных колебаниях полубесконечной пластины, соответствующее изгибной волне "рэлеевского" типа. На боковых сторонах пластины ставится один из следующих вариантов граничных условий: (I) шарнирно-опертые края; (II) свободные края; (III) жестко закрепленные края. На бесконечности ставится условие отсутствия источников энергии.

В п. 1.2 рассматривается случай I. Записывается дисперсионное уравнение, соответствующее граничным условиям шарнирного опирания. На основе метода однородных решений записывается точное решение задачи. При этом выясняется, что форма резонансных колебаний совпадает с формой изгибной волны "рэлеевского" типа.

В п.1.3 рассматриваются изгибные моды бесконечной полосы в случаях II и III. Свойства этих мод будут использованы в дальнейшем для исследования явления изгибного краевого резонанса. Записываются асимптотики в окрестности нулевой частоты, частот запирания. Для распространяющихся мод упомянутые асимптотики сращиваются с помощью метода Паде. В конце параграфа рассматриваются антисимметричные моды, для которых получены аналогичные результаты.

В п. 1.4 качественно исследуется явление изгибного краевого резонанса в случаях II и III. Результатами этого исследования являются приближенные формулы для резонансных частот и метод оценки амплитуды и ширины резонанса. В основу качественного исследования положено предположение (полностью подтвердившееся) о том, что, как и в п. 1.2, в рассматриваемых случаях явление краевого резонанса связано с изгибной волной "рэлеевского" типа. Основную трудность при обобщении результатов п. 1.2 на случаи II и III представляет тот факт, что моды в рассматриваемых случаях имеют две компоненты с различными законами изменения по поперечной координате, т.е. их линейная комбинация никогда не совпадет с формой изгибной волны "рэлеевского" типа. Эта трудность преодолевается

15 следующим образом: по аналогии со случаем шарнирного опирания предполагается, что существуют две нераспространяющиеся моды, скорости затухания которых приближенно совпадают со скоростями затухания составляющих изгибной волны "рэлеевского" типа. Тогда линейная комбинация таких мод позволяет приближенно удовлетворить граничным условиям на торце, следовательно, построить приближенную собственную форму. Частоты, на которых происходит упомянутое совпадение, можно принять за приближенные частоты краевого резонанса. Далее предложен метод оценки амплитуды и ширины резонанса, использующий разложение решения в окрестности приближенного значения резонансной частоты.

В п. 1.5 и 1.6 приближенные значения характеристик краевых резонансов, вычисленные по полученным выше формулам, сопоставляются с результатами численного решения, которое не содержит предположения о связи краевого резонанса с изгибной волной "рэлеевского" типа. В этих параграфах для получения численного решения также применяется метод однородных решений, но при определения коэффициентов ряда используется метод ко л локаций.

В п.1.7 рассматривается случай антисимметричных изгибных колебаний полуполосы.

В п. 1.8 изучается явление краевого резонанса в ограниченных телах. Рассматриваются изгибные колебания длинной прямоугольной пластины в окрестности частоты краевого резонанса. Численное решение задачи, также основанное на методе однородных решений, показало, что в окрестности частоты краевого резонанса кривые, отражающие зависимость резонансной частоты прямоугольника от его длины (спектральные линии), имеют характерное "плато". Если на частоте краевого резонанса существуют также распространяющиеся моды, то плато имеет разрывы. Кроме того, оно обладает некоторой степенью искажения по сравнению с кривой, которая получилась бы без учета распространяющихся мод. Для первого

16 демпфированного резонанса получена асимптотика спектральной линии в окрестности частоты краевого резонанса, которая показывает, что степень искажения плато определяется шириной краевого резонанса в случае полубесконечной полосы. Таким образом, оценка этой величины, полученная в п. 1.4, может быть использована и в задаче для ограниченного тела.

Во второй главе рассматривается явление краевого резонанса в полуполосе на основе динамических уравнений плоской задачи теории упругости.

В п.2.1 приводится постановка задачи. На боковых сторонах полуполосы ставится один из следующих вариантов граничных условий: (I) условия скользящей заделки, (II) свободные края, (III) жестко закрепленные края.

В п.2.2 рассматривается случай граничных условий, допускающих разделение переменных, т.е. случай граничных условий (29) или (30). Показано, что в этом случае форма краевого резонанса точно совпадает с формой волны Рэлея.

В п.2.3 качественно анализируются случаи II и III. Получены приближенные формулы для резонансных частот, оценки для амплитуды и ширины резонанса по аналогии с тем, как это было сделано в главе I. При этом показано, что Эти графики показывают, что в рассматриваемой задаче существует не один краевой резонанс, а бесконечный комплекснозначный спектр краевых резонансов, резонансная форма которых близка к форме волны Рэлея. Ранее этот факт не отмечался.

В п.2.4 и 2.5 приводятся результаты численных расчетов, подсверждающих выводы из п.2.3.

В п.2.6 рассматривается случай антисимметричных колебаний, для которого получены аналогичные результаты.

В третьей главе исследуется явление краевого резонанса в полубесконечном цилиндре со свободной боковой поверхностью.

17

Аналогично предыдущему показано, что и в данной задаче существует бесконечный спектр краевых резонансов как при осесимметричных, так и при неосесимметричных колебаниях цилиндра. Свойства высших краевых резонансов в цилиндре аналогичны свойствам высших краевых в полуполосе со свободными боковыми сторонами, изученных в главе II. В частности, форма высших краевых резонансов близка к форме трехмерной поверхностной волны в цилиндрических координатах, что показывает связь явления краевого резонанса с поверхностной волной и в данном случае.

В четвертой главе изучаются кромочные волны в полубесконечной плите, на лицевых поверхностях и на кромке которой ставятся условия свободного края. Для описания колебаний плиты формулируется трехмерная задача, которая после отделения одной координаты сводится к двумерной задаче, аналогичной рассмотренной в главе II. Рассматривается первая волна при симметричных и антисимметричных колебаниях плиты. Показано, что если длина волны значительно превосходит толщину плиты, кромочные волны с достаточной точностью описываются двумерными теориями пластин. При этом, симметричному случаю соответствует планарная волна "рэлеевского" типа, антисимметричному - изгибная волна "рэлеевского" типа. С уменьшением длины волны фазовая скорость кромочных волн стремится к фазовой скорости угловой волны.

В пятой главе развитые в главах I и II методы обобщаются на случай оболочки.

В п.5.1—5.4 изучается явление краевого резонанса в полубесконечной круговой незамкнутой цилиндрической оболочке. С использованием асимптотических методов теории оболочек показано, что существует три типа рассматриваемых резонансов: изгибный краевой резонанс, тангенциальный краевой резонанс и сверхнизкочастотный краевой резонанс. Первые два являются аналогами резонансов, изученных в глава I и II соответственно. Третий тип резонансов характерен только для оболочек.

18

В пп.5.5, 5.6 рассматривается задача о колебаниях незамкнутой продольно-неоднородной бесконечной круговой цилиндрической оболочки, составленной из двух однородных полубесконечных оболочек с различными свойствами материала. По аналогии со случаем однородной полубесконечной оболочки изучается явление граничного резонанса в цилиндрической оболочке и также выделяются три типа резонансов.

В п.5.7 изучаются явления краевого и граничного резонансов в замкнутых оболочках вращения. Для случая большой изменяемости по окружной координате рассматривается два типа резонансов - изгибный и тангенциальный, являющиеся аналогами соответствующих резонансов в круговой цилиндрической оболочке.

Шестая глава посвящена приближенному описанию резонансов поверхностных волн в задаче акустического рассеяния для полого упругого цилиндра. Считается, что на цилиндр падает плоская волна, направление распространения которой перпендикулярно его поверхности, так что рассматриваемая задача является двумерной. Строятся асимптотические модели, позволяющие приближенно описать резонансы поверхностных волн, распространяющихся вдоль направляющей цилиндра и возбужденных акустическим воздействием. Первая модель предназначена для описания волн типа шепчущей галереи в толстостенных цилиндрах, вторая — для описания волн типа Лэмба в тонкостенных цилиндрах.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты и выводы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Исследование изгибных и планарных колебаний полосы при различных граничных условиях на боковых сторонах.

2. Распространение предлагаемой теории на случаи замкнутой и открытой цилиндрической оболочки и оболочки вращения с произвольным меридианом.

3. Анализ интерфейсных колебаний продольно-неоднородных полос и оболочек.

4. Обоснование связи краевых резонансов с поверхностными волнами Рэлея и интерфейсными волнами Стоун ли и их обобщениями.

5. Анализ и классификация локализованных периферических волн в задачах рассеяния для толстостенного цилиндра.

6. Вывод асимптотических формул для частот и форм резонансных колебаний в каждом из рассматриваемом случаев и их сопоставление с результатами численных расчетов.

Научная новизна.

В диссертации предложена методика исследования резонансов поверхностных волн для широкого класса задач со сложными граничными условиями.

Качественно и численно исследованы краевые резонансы в полуполосе в условиях плоской деформации. В частности, впервые показано существование бесконечного комплекснозначного спектра краевых резонансов.

Аналогичные результаты получены в случае изгиба полуполосы в рамках теории Кирхгофа.

Установлена связь явлений краевого и граничного резонансов с поверхностными волнами Рэлея и Стоунли в упругих телах различной конфигурации. Получены приближенные формулы для резонансных частот и оценки для амплитуды и ширйны резонансов.

Выполнен качественный анализ решения задач рассеяния акустических волн упругими цилиндрами.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается применением апробированных моделей и математически обоснованных методов, как численных, так и методов асимптотического анализа. Используемые численные методы тестируются на модельных задачах. Результаты расчетов сопоставляются с асимптотическими оценками, полученными аналитически. Хорошее совпадение асимптотических оценок и численных данных, а также убедительная физическая интерпретация служат свидетельством достоверности результатов и основанных на них выводов. Практическая значимость.

Разработанные методы качественного и количественного анализа резонансов поверхностных волн могут быть применены в работе конструкторских бюро при расчетах различных элементов конструкций, испытывающих краевые динамические воздействия. Эти методы допускают обобщение на родственные задачи для тел более сложной формы либо с более сложными механическими свойствами.

Предлагаемые в работе асимптотические модели, описывающие резонансы поверхностных волн в задаче акустического рассеяния, могут представлять интерес в геофизике и биомеханике. Развитые в диссертации идеи пригодны для совершенствования вычислительных алгоритмов и программ, применяющихся в инженерной практике.

Результаты диссертационной работы применяются при чтении спецкурсов по специальности "Механика" на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Апробация работы. Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались на:

• международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения", Москва, 1999;

• V Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике, Эдинбург, 1999;

• конференции мех.-мат. факультета "Актуальные проблемы математики и механики, Апрель-2000", Саратов, 2000;

• международном семинаре "Дни дифракции" (Санкт-Петербург, 2000, 2001,2002 г.);

• VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.);

• 5-ой международной конференции "Проблемы колебаний" (Москва, 2001 г.);

• международной конференции "Поверхностные волны в анизотропных и слоистых средах и обнаружение дефектов" (Москва, 2002);

• международном симпозиуме "Сингулярность, асимптотические методы и осреднение в механике" (Ливерпуль, Англия, 2002 г.);

• ЕВРОМЕХ коллоквиуме 439 "Математическое моделирование динамического поведения тонких упругих структур" (Саратов, 2002 г.).

В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством д. ф.-м. н. профессора Л.Ю. Коссовича.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Вильде, Мария Владимировна

Результаты исследования корней характеристического уравнения с помощью диаграмм Ньютона и соответствующие им порядки перемещений обобщаются в следующем параграфе в виде асимптотик.

5.3. Асимптотический анализ и получение приближенных дисперсионных соотношений для трех типов поверхностных волн в оболочке

Асимптотики для трех выделенных типов поверхностных волн в оболочке имеют вид: Изгибная волна {а = 2ц-\, 1/2 < ц < 1)

Асимптотика 1.1:--г)"17, и~г\1, и~т|<?, ш~г1°,

Асимптотика 1.2:--г)-17, и~т\2~3с>, у~г}2~3с1, ги~г\°.

Тангенциальная волна {а = д, д > 0)

Асимптотика2.1:--и~г\~'}, ю~г\°, а 1 1 I I

О ----в „

Асимптотика2.2:--Ц 2 2 , и~ц2 2 , у~т\, ги~г\ .

Сверхнизкочастотная волна (а = 2д-1, 0 < д < 1/2)

8 -Асимптотика3.1:--г)2 , и~ц2, и~г\1, д ~~ 1

Асимптотика3.2:--г\2, и~г\2, у*!}1'4, д

Далее мы вернемся к уравнениям (5.1.12) и построим приближенные системы уравнений, решения которых обладают приведенными выше асимптотиками. После этого мы применим метод расчленения напряженно-деформируемого состояния [60,62]. В соответствии с этим методом, представим решение в виде иь($) + л4(0, = *„(£) + = ыь(Е>) + цки?а(Е>), где величины с индексом "Ь" (главное поле перемещений) обладают асимптотиками 1.1, 2.1 или 3.1, величины с индексом "а" (дополнительное поле перемещений) - асимптотиками 1.2, 2.2 или 3.2. Величина к определяется из граничных условий (5.2.4) так, чтобы был возможен итерационный процесс их удовлетворения.

Изгибная волна

Примем, что параметры q и а удовлетворяют соотношениям а = 2ц- \, 1/2 <9 <1 (случай 9 = 1/2 принципиальных отличий не имеет). Получим систему уравнений для определения величин иъ, уъ, гиъ. В соответствии с асимптотикой 1.1 положим и будем считать, что величины со звездочкой имеют одинаковый асимптотический порядок, и дифференцирование по переменной не меняет порядка этих величин. Подставляя (5.3.2) в систему (5.2.3) и оставляя только асимптотически главные члены, приходим к системе уравнений для функций , г;^, ти^. Запишем третье уравнение этой системы:

Формулы перехода к переменным со звездочкой в соответствии с асимптотикой 1.2 имеют вид $ = 0 = 114, со2=л2"4^, У = Л-£7У МЬ=ЛX. ъь=г\чу'ь, =Г10Ч>

5.3.2)

5.3.3) $ = е = СО2 = Г|24(7Х*, у = Г|<7у

2-3я * 2-Зя * 0 *

2-3^

О *

Система уравнений для определения функций г>а, гоа нам не понадобится.

Подставим в граничные условия (5.2.4) представления (5.2.2), (5.3.1) и перейдем к переменным со звездочкой по формулам (5.3.2) и (5.3.4). Подберем к таким образом, чтобы получившиеся соотношения разделились на две группы: два граничных условия для величин с индексом "Ь", и два граничных условия для величин с индексом "а", причем граничные условия для величин с индексом "Ь" должны быть однородными. Кроме того, должно выполнять условие к > 0, чтобы напряженное состояние, описываемое величинами с индексом "Ь", было главным. Этим требованиям удовлетворяет значение к = -2. Однородные граничные условия для системы (5.3.3) имеют вид

Среди величин иь, уь , гиь главной является величина гиь, для которой мы имеем краевую задачу (5.3.3), (5.3.5). Решая эту задачу и возвращаясь к исходным переменным, получим приближенное дисперсионное соотношение для изгибной поверхностной волны в оболочке где 0 определено формулой (1.1.13). Разрешая (5.3.6) относительно у, придем к соотношению (1.1.13), если положить

5.3.5) о = т11у20"2 ,

5.3.6)

Р = лУ СОТ| |1

5.3.7)

Приближенная форма поверхностной волны определяется соотношением (1.1.14).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны методы качественного анализа резонансов поверхностных волн для широкого класса задач о колебаниях упругих пластин, оболочек и сплошных цилиндров.

Выполнено аналитическое и численное исследование явлений краевого и граничного резонанса в различных объектах, в том числе при изгибных колебаниях полуполосы для разных способов закрепления краев; в полуполосе, находящейся в условиях плоской деформации, при различных вариантах граничных условий на боковых сторонах; в сплошном упругом цилиндре со свободной боковой поверхностью.

Исследованы поверхностные волны, распространяющиеся вдоль кромки полу бесконечной плиты со свободными лицевыми поверхностями, в трехмерной постановке. Полученные результаты сопоставлены с соответствующими результатами классической теории Кирхгофа и теории обобщенного плоского напряженного состояния в случае плиты малой толщины.

Осуществлен асимптотический анализ явления краевого резонанса в цилиндрической оболочке открытого профиля, а также в замкнутой оболочке вращения.

Построены асимптотические модели для приближенного описания резонансов поверхностных волн в задаче рассеяния акустических волн полым цилиндром.

Проведенное исследование задач о краевых и интерфейсных колебаниях упругих тел приводит к выводу о существовании бесконечного комплекснозначного резонансного спектра и его непосредственной связи с волнами Рэлея и Стоунли и их различными модификациями. Это подтверждается полученными асимптотическими оценками, их физической интерпретацией и сопоставлениями с численными результатами.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Вильде, Мария Владимировна, 2004 год

1. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек // Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1965. № 1. С.3-63.

2. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок // Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1972. С. 227-266.

3. Амбарцумян С.А., Белубекян М.В. К вопросу об изгибных волнах, локализованных вдоль кромки пластинки // Прикл. механика. 1994. Т. 30. №2. С. 61-68.

4. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Формула для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 8. С. 1355-1365.

5. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полу ограниченных телах с неоднородностями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 74-83.

6. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно упругих сред. М.: 1989. С. 344.

7. Бабешко В.А., Собисевич А.Л., Шошина С.Ю. К вопросу о возникновении резонансов на неоднородностях в неограниченной среде // Развитие методов и средств экспериментальной геофизики. 1993. № 1.С. 73-83.

8. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука. 1972. С. 456.

9. Багдасарян P.A., Белубекян М.В., Казарян К.Б. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой цилиндрической оболочке // Волновыезадачи механики. Под ред. А.И. Веснинского и В.И. Ерофеева. Нижний Новгород:. 1992. С. 87-93.

10. Белубекян М.В. Об условии существования волн Стоунли при скользящем контакте // Изв. АН Арм.ССР, Механика. 1990. Т. 43. № 4. С. 52-56.

11. Белубекян М.В. К задаче о поверхностных упругих волнах в толстой плите // Изв. НАН Армении. 1995. Т. 48. № 1. С. 9-15.

12. Белубекян М.В. Поверхностные волны в упругих средах // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Институт механики НАН Армении, Ереван. 1997.

13. Белубекян М.В., Гулгазарян Г.Р., Саакян А.В. Волны типа Рэлея в полубесконечной круговой замкнутой цилиндрической оболочке // Изв. НАН Армении, Механика. 1997. Т. 50, №3-4. С. 49-55.

14. Березин В.Л., Каплунов Ю.Д., Коссович Л.Ю. Дисперсия упругих волн в тонкостенном цилиндре // ИПМ АН СССР. Препринт № 454. 1990. С. 40.

15. Бобровницкий Ю.И. Соотношение ортогональности для волн Лэмба // Акуст. журн. 1972. Т. 17. № 4. С. 513-515.

16. Бобровницкий Ю.И. Изгибные колебания шарнирно опертой полосы // Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 4. С. 503-510.

17. Бобровницкий Ю.И. Соотношения между характеристическими уравнениями для однородных элементов механических конструкций // Акуст. журн. 1978. Т. 24. № 4. С. 487-493.

18. Бобровницкий Ю.Д., Генкин М.Д. Колебания упругой полосы // Методы виброизоляции машин и присоединенных конструкций // М.: Наука. 1975. С. 12-42.

19. Бобровницкий Ю.И., Короткое М.П. Резонансы неоднородных волн в протяженных упругих структурах // Акуст. журн. 1991. Т. 37. Вып. 5. С. 872-878.

20. Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях пластинок//Инж. Сборник. Т. 31. М.: 1960.

21. Болотин В.В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 2. С. 362-364.

22. Болотин В.В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний // Прикл. механика. 1972. Т. 8. №4. С. 3-29.

23. Болотин В.В., Москаленко В.Н. Колебания оболочек // Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. М.: Машиностроение. 1968.

24. Ван Цзи-де. Прикладная теории упругости // М: Гос. изд-во физ.-мат. Литературы. 1959. С. 400.

25. Векслер Н.Д. Акустическая спектроскопия // Таллинн: Валгус. 1989. С. 323.

26. Викторов И.А. Волны типа Рэлея на цилиндрических поверхностях // Акуст. журн. 1958. Т. 4. № 2. С. 131-136.

27. Викторов И.А. Типы звуковых поверхностных волн в твердых телах (обзор) //Акуст. журн. 1979. Т. 25. № 1. С. 1-17.

28. Вильде М.В. Изгибный краевой резонанс в тонкой упругой пластине // Вестник ННГУ. Серия Механика. Вып. 1(6). 2004. С. 43-56.

29. Вильде М.В. Резонансы волны Рэлея в полуполосе // Проблемы прочности и пластичности. Изд-во ННГУ Вып. 66. 2004. С. 29-38.

30. Вильде М.В. Асимптотики изгибных мод бесконечной тонкой пластины-полосы // Известия Северо-Кавказского региона, Приложение №11. 2004. С. 36-51.

31. Вильде М.В. Низкочастотные изгибные колебания полубесконечной пластины-полосы со свободным от закрепления контуром // Механика деформируемых сред №15. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С. 17-25.

32. Вильде М.В. Применение метода однородных решений к задаче об изгибных колебаниях пластины // Проблемы прочности элементовконструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Саратов, изд-во СГТУ. 2003. С. 123-127.

33. Вильде М.В. Собственные колебания полубесконечной цилиндрической оболочки, локализованные вблизи торца // Международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения". Москва. 6-10 апреля 1999. Москва: 1999. Т.1. С. 206-207.

34. Вильде М.В. О связи собственных колебаний полубесконечной полосы со стоячими поверхностными волнами // Механика деформируемых сред. Вып. 13. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 1998. С. 8-11.

35. Вильде М.В., Гуляева И.М. Изгибный граничный резонанс в системе из двух состыкованных торцами полуполос // Математика. Механика. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С 174-176.

36. Вильде М.В., Залесная С.А. Резонансы планарной волны типа Стоунли в продольно-неоднородной полосе // Математика. Механика. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С. 176-278.

37. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д. Краевой резонанс в оболочках вращения // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. 23-29 августа 2001. Пермь. 2001. Аннотации докладов. С. 153.

38. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Приближенное описание резонансов волн типа шепчущей галереи в задаче рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами // Изв. РАН. МТТ. 2002. №4. С. 176-190

39. Вильде М.В., Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн цилиндрической оболочкой // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 3. С. 180-186

40. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 5 (77). С. 3-122.

41. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения к технике. М.-Л.: Гостехиздат. 1949. С. 784.

42. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

43. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245. № 4. С. 817-820.

44. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух состыкованных упругих полуполос // ПММ. 1988. Т. 52. № 6. С. 1044-1048.

45. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О распространении волн в упругом продольно-неоднородном цилиндре // ПММ. 1990. Т.54. № 1. С. 103108.

46. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О потоке энергии при резонансах полуограниченных тел // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310. № 2. С. 309-312.

47. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: изд-во Рост, ун-та. 1993. С. 144.

48. Гоголадзе В.Г. Отражение и преломление упругих волн. Общая теория граничных волн Рэлея // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. Т. 125. С. 1-43.

49. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга H.A., Гузь А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности // Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Наук. Думка. 1986. С. 288.

50. Гольденвейзер А.Л. К теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук. 1958. № 4. С. 102-109.

51. Гольденвейзер A.J1. Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки // ПММ. 1945. Т. 9. Вып. 6. С. 463-478.

52. Гольденвейзер A.J1. Качественный анализ свободных колебаний упругой тонкой оболочки // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 94-108.

53. Гольденвейзер A.JI. Классификация интегралов динамических уравнений линейной двумерной теории оболочек // ПММ. 1973. Т. 37. Вып. 4. С. 591-603.

54. Гольденвейзер A.J1. Некоторые вопросы общей линейной теории оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 5. С. 126-138.

55. Гольденвейзер A.JI. О вынужденных гармонических колебаниях оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 168-177.

56. Гольденвейзер A.JI. О краевом напряженно-деформированном состоянии тонких упругих оболочек // Изв. АН Эстонии. Физ. Матем. 1993. Вып. 42. № 1.С. 32-44.

57. Гольденвейзер А.Л. О плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 5. С. 952-956.

58. Гольденвейзер А.Л. Об ортогональности форм собственных колебаний тонкой упругой оболочки // Проблемы механики твердого деформированного тела. Л.: Судостроение. 1970. С. 121-128.

59. Гольденвейзер А.Л. Погранслой и его взаимодействие с внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки // ПММ. 1969. Т.ЗЗ. Вып. 6. С. 996-1028.

60. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1976. С. 512.

61. Гольденвейзер А.Л. Каплунов Ю.Д., Нольде Е.В. Асимптотический анализ и уточнение теорий пластин и оболочек типа Тимошенко-Рейсснера // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С. 124-138.

62. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука. 1979. С. 384.

63. Гринберг Г.А. О методе, предложенном П.Ф.Папковичем для решения плоской задачи изгиба прямоугольной тонкой плиты с двумя закрепленными кромками и о некоторых ее обобщениях // ПММ. 1953. Т.П. №2. С. 211-218.

64. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Отражение волны Рэлея от свободного торца волновода // Прикл. механика. 1984. Т. 20. № 9. С.12-16.

65. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Краевой резонанс при изгибных колебаниях полуполосы // Докл. АН УССР, Сер. А. 1985. № 4. С. 20-23.

66. Гринченко В.Т., Карлаш В.Л., Мелешко В.В., Улитко А.Ф. Исследование планарных колебаний прямоугольных пьезокерамических пластин // Прикл. механика. 1976. Т. 12. № 5. С.71-78.

67. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О краевом резонансе при планарных колебаниях прямоугольных пластин // Прикл. механика. 1975. Т. 11. № 10. С.52-58.

68. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Особенности распределения энергии в тонкой прямоугольной пластине при краевом резонансе // Докл. АН УССР.Сер. А. 1976. № 7. С.612-616.

69. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Осесимметричные колебания упругого цилиндра конечной длины // Акуст. ж. 1978. Т. 24. № 6. С.861-866.

70. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О резонансе в полубесконечной упругой полосе // Прикл. механика. 1980. Т. 16. № 2. С.58-63.

71. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук. Думка. 1981. С. 283.

72. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Особенности волнового поля в полубесконечном упругом цилиндре (краевой резонанс) // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 6. С. 81-89.

73. Гулгазарян Г.Р. Волны, локализованные у свободного края гофрированной пластинки // В. сб. Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем. Ереван: 1997. С. 143146.

74. Гулгазарян Г.Р. Волны, локализованные у свободного торца круговой замкнутой цилиндрической оболочки с малой кривизной // Изв. HAH Армении, Механика, в печ.

75. Гулгазарян Г.Р. Приближенные частоты собственных колебаний некруговой цилиндрической оболочки // Изв. HAH Армении, Механика. 1996. Т. 49. №1. С. 61-70.

76. Гулгазарян Г.Р., Гулгазарян Л.Г. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой цилиндрической оболочке с произвольной направляющей // Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем. Ереван: 1997. С. 147-150.

77. Гулгазарян Г.Р., Казарян К.Б. Волны типа Рэлея в полубесконечной замкнутой некруговой цилиндрической оболочке // Изв. HAH Армении, Механика. 1997. Т. 50. №1. С. 27-33.

78. Гуляева И.М., Вильде М.В. Изгибные волны типа Стоунли при шарнирном соединении и скользящем контакте полубесконечных пластин // Механика деформируемых сред №15. Саратов: изд-во Сарат. ун-та. 2004. С. 26-31.

79. Зильберглейт A.C. О поверхностных упругих волнах в толстой плите // Акуст. журн. 1980. Т. 26. Вып. 3. С. 416-421.

80. Зильберглейт A.C., Суслова И.Б. Контактные волны изгиба в тонких пластинках// Акуст. журн. 1983. Т. 29. С. 186-191.

81. Каплунов Ю.Д., Вильде М.В. Резонансы волн "рэлеевского" типа в упругой полубесконечной полосе // Акуст. журн. 2003. Т.49. Вып. 1. С. 38-42.

82. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек И ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 83-91

83. Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Приближенное описание резонансов волны Рэлея в задачах рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 4. С. 180-186

84. Ковалев В.А. О резонансе волны Рэлея при рассеянии акустических волн сплошным упругим цилиндром // Изв. Вузов Сев.-Кавк. региона. Естеств. науки. 2001. Спец. выпуск. С. 93-95.

85. Коненков Ю. К. Об изгибной волне "рэлеевского" типа // Акуст. журн. 1960. Т. 6. Вып.1. С. 124-126.

86. Коненков Ю.К. О нормальных волнах при изгибных колебаниях пластинки // Акуст. журн. 1960. Т. 6. № 1. С. 57-64.

87. Корнев В.М. К формулировке граничных условий упрощенных уравнений колебаний оболочек вращения // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 1. С. 84-94.

88. Короткое М.П. Резонансы неоднородных волн Лэмба // XI Всесоюзная акустическая конференция, Москва. 1991. Секция А. С.83-86.

89. Ле Хань Чау. О краевом резонансе в полубесконечной упругой полосе // Вест. МГУ. Мат. Мех. 1984. № 5. С. 57-60.

90. Лийва Т.В. О собственных неосесимметричных колебаниях оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1970. Сб .5. Сер. А. С. 47-60.

91. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: Гостехиздат 1947. С. 252.

92. Малкина Р.Л., Годзевич В.Г. Свободные колебания оболочек нулевой кривизны // Изв. вузов. Авиационная техника. 1963. Вып. 1. С. 48-57.

93. Мелешко В.В. О краевом резонансе при осесимметричных колебаниях полубесконечного упругого цилиндра // Докл. АН УССР. 1979. Вып. 11. С. 920-924.

94. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. 1981. С. 400.

95. Нигул У.К. Некоторые результаты исследования уравнений собственных колебаний упругой круглоцилиндрической оболочки // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1960. Сер. А. № 171. С. 1936.

96. Нигул У.К. Об общих формах колебаний круговой замкнутой цилиндрической оболочки // Тр. Таллинского политехнического ин-та. 1958. Сер. А. № 147. С. 65-83.

97. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз. 1962. С. 431.

98. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Докл. АН СССР. 1940. Т. 27. № 4. С. 335-339.

99. Пельц С.П., Шихман В.М. О сходмости метода однородных решений в динамической смешанной задаче для полуполосы // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. №4. С. 821-824.

100. Петрашень Г.И. Задача Рэлея для поверхностной волны в случае сферы // Докл. АН СССР. 1946. Т. 52. № 9. С. 763-768.

101. Петрашень Г.И. Основы математической теории распространения упругих волн // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.Ж Наука. 1978. Вып. 18. С.3-248.

102. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами // Под ред Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука. 1979. С. 832.

103. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей). Теория звука // Т.1. М.-Л.: Гостеиздат. 1940. С. 500.

104. Товстик П.Е. Высокочастотные осесимметричные колебания оболочки вращения//Прикл. механика. № 1. Л.: 1973. С. 100-109.

105. Товстик П.Е. Интегралы линейного уравнения с малым параметром при производных //Дифференц. уравнения. 1970. № 6. С. 989-999.

106. Товстик П.Е. Интегралы уравнений колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели при наличии кратной точки поворота // Исслед. по упругости и пластичности. № 10. Л.: 1973. С. 103-109.

107. Товстик П.Е. Интегралы уравнений неосесимметричных колебаний тонкой оболочки вращения // Исслед. по упругости и пластичности. № 5. Л.: 1966. С. 45-56.

108. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных колебаний купола // Исслед. по упругости и пластичности. № 4. Л.: 1965. С. 107116.

109. Товстик П.Е. Интегралы уравнений осесимметричных установившихся колебаний оболочки вращения // Исслед. по упругости и пластичности. № 4. Л.: 1965. С. 117-122.

110. Товстик П.Е. К задаче об осесимметричных колебаниях оболочки вращения в случае двойной точки поворота // Вестник Ленингр. ун-та. 1967. № 1.С. 118-124.

111. Товстик П.Е. Неосесимметричные колебания оболочек вращения с небольшим числом волн по параллели // Исслед. по упругости и пластичности. № 8. Л.: 1971. С. 131-140.

112. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания выпуклой оболочки вращения//Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 6. С. 110-116.

113. Товстик П.Е. Низкочастотные колебания тонких оболочек вращения // Прикл. механика. № 3. JL: 1977. С. 12-29.

114. Товстик П.Е. О плотности частот колебаний тонких оболочек вращения //ПММ. 1972. Т. 36. Вып. 2. С. 291-300.

115. Товстик П.Е. О спектре частот колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели в особом случае // Исслед. по упругости и пластичности. Ленинград: изд-во Ленингр. ун-та. № 5. 1966. С. 57-69.

116. Товстик П.Е. О спектре частот колебаний оболочки вращения с большим числом волн по параллели // Тр. VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука. 1966. С. 746-752.

117. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты колебаний выпуклой оболочки вращения // Вестник Ленингр. ун-та. 1970. № 13. С. 107-115.

118. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты колебаний конической оболочки вращения // Исслед. по упругости и пластичности. Ленинград: изд-во Ленингр. ун-та. № 6. 1967. С. 109-116.

119. Товстик П.Е. Об определении наименьшей частоты свободных колебаний тонкой оболочки // Асимптотические методы в теории систем. № 8. Иркутск. 1975. С. 5-22.

120. Товстик П.Е. Свободные осесимметричные колебания оболочки вращения // Инженерный журн. Мех. тверд, тела. 1967. № 4. С. 124-132.

121. Товстик П.Е. Свободные высокочастотные колебания пластин переменной толщины //МТТ. 1994. №4. С. 162-170.

122. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе // ПММ. 1973. Т. 37. №4. С. 706-714.

123. Устинов Ю.А. О критических модах неоднородной пластины // Доклады академии наук. 2000. Т. 370. № 4. С. 473-476.

124. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир. 1965.

125. Auld В.A., Tsao E.D. A variational analysis of edge resonance in a semiinfinite plate // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1977. V. 24, № 5. P. 317.

126. Belov A.V., Kaplunov J.D., Nolde E.V. A refined asymptotic model of fluid-structure interaction in scattering by elastic shells. Flow, Turbulence and Combustion. 1999. V. 61. P. 255-267.

127. Berezin V.L., Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu. Synthesis of the dispersion curves for a cylindrical shell on the basis of approximate theories // J. of Sound and Vibration. 1995.V. 186. № 1. P. 37-53.

128. Booker R.E., Sagar F.H. Velocity dispersion of the lowest-order longitudinal mode in finite rods of circular cross section // J. Acoust. Soc. Am. 1971. V. 49 № 5. Pt 2. P. 1491-1498.

129. Chree C. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates, their solutions and applications // Trans. Cambridge Phil. Soc. 1889. V. 14. P. 250-369.

130. Doolittle R.D., Überall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells. // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V. 39. № 2. P. 272-275.

131. Gaunard G. and Brill D. Acoustic spectrogram and complex-frequency poles of a resonantly excited elastic tube // J. Acoust. Soc. Am. 1984. V. 75. №6. P. 1680-1693.

132. Gazis D. C., Mindlin R. D. Extensional vibrations and waves in a circular disk and a semi-infinite plate // J. Appl. Mech. 1960. V. 27. P. 541-547.

133. Gol'denveizer A.L. Asymptotic method in the theory of shells // Proc. 15th Intern. Congr. Theory Appl. Mech. Toronto, Amsterdam et al, North-Holland. 1980. P. 91-104.

134. Gregory R.D., Gladwell I. The reflection of a symmetric Rayleigh-Lamb wave at the fixed or free edge of a plate // J. Elasticity. 1983. V.13. P. 185206.

135. Hutchinson J.R. Axisymmetric vibrations of free finite-length rod // J. Acoust. Soc. Am. 1972. V. 51. № 1. Pt 2. P. 233-240.

136. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. Academic Press, San Diego. 1998. P. 226.

137. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Wilde M.V. Free localized vibrations of a semi-infinite cylindrical shell // J. Acoust. Soc. Am. 2000. V. 107. № 3. P. 1383-1393.

138. Kaplunov J.D., Kovalev V.A., Wilde M.V. Matching of asymptotic models in scattering of a plane acoustic wave by an elastic cylindrical shell // Journal of Sound and Vibration. July 2003. V. 264 (3). P. 639-655.

139. Kaplunov J.D., Wilde M.V. «Free interfacial vibrations in cylindrical shells» // J. Acoust. Soc. Am. June 2002. V. 111 (6). P. 2692-2704.

140. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Edge and interfacial vibrations in elastic shells of revolution // J. Appl. Math. Phys. (ZAMP). 2000. V 51. P. 29-48.

141. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Free edge bending vibrations of a semi-strip with a traction free contour. 5-th International conference on vibrationproblems "ICOVP-2001". Moscow, 8-10 October 2001. Proceedings. Moscow: IMASH. 2002. P. 254-257.

142. Kaplunov J.D., Wilde M.V. Free localized vibrations of a semi-infinite shell of revolution // Day on diffraction 2000. International seminar. St. Petersburg. May 29-June 1, 2000. Abstracts. P.32.

143. Lamb H. On waves in elastic plate il Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1917. V. 93. №648. P. 114-128.

144. Langer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special reference to a turning point // Trans. Am. Math. Soc. 1949. V. 67. P. 461-490.

145. McMahon G.W. Experimental study of vibrations of solid, isotropic, elastic cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1964. V. 36. № 1. P. 87-94.

146. McNiven H.D. Extensional waves in a semi-infinite elastic rod // J. Acoust. Soc. Am. 1961. V. 33. № 1. P. 23-27.

147. McNiven H.D., Perry D.C. Axially symmetric waves in finite, elastic rods // J. Acoust. Soc. Am. 1962. V. 34. № 4. P. 433-437.

148. Mindlin R.D., Medick M.A. Extensional vibrations of elastic plates // J. Appl. Mech. 1959. V. 26. № 4. P. 541-569.

149. Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod by a wide-band, short-duration pulse technique // J. Acoust. Soc. Am. 1957. V. 29. № 2. P. 189194.

150. Pochhammer L. Über die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiszylinder // J. Reine Angew. Math. 1876. B. 81. S. 324-336.

151. Rayleigh J. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter // Proc. Lond. Math. Soc. 1888/1889. V. 20. № 357. P. 225-234.

152. Rayleigh J. On waves propagated along the surface of an elastic solid // Proc. Lond. Math. Soc. 1885. V. 17. № 253. P. 4-11.

153. Roitberg I., Vassiliev D., Weidl T. Edge resonance in an elastic semi-strip // Q. J1 Mech. Appl. Math. 1998.V. 51. P. 1-13.

154. Sanchez Hubert J., Sanchez Palencia E. Vibrations and Coupling of Continuous Systems. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

155. Shaw E. A. G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks // J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28. № 1. P. 38-50.

156. Stoneley R. The elastic waves at the interface of separation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1924. V. 106. № 732. P. 416-429.

157. Torvik P. J. Reflection of wave trains in semi-infinite plates // J. Acoust. Soc. Am. 1967. V. 41. P. 346-353.

158. Torvik P. J., McClatchey J. J. Response of an elastic plate to a cyclic longitudinal force // J. Acoust. Soc. Am. 1968. V. 44. P. 59-64.

159. Tovstik P.E. Free high-frequency vibrations of anisotropic plates of variable thickness // J. Appl. Maths Mechs 1992. V. 56. № 3. P. 390-395.

160. Wilde M.V. Free interfacial vibrations of a longitudinally ingomogeneous elastic shell // Advanced research workshop "Surface waves in anisotropic and laminated bodies and defects detection". Moscow. 7-9 February 2002. Abstracts. P. 17.

161. Wilde M.V. Rayleigh-type waves in cylindrical shells // EUROMECH Colloquium 439 "Mathematical Modeling of Dynamic Behavior of Thin Elastic Structures". Saratov. July 24-27. 2002. Abstracts. Saratov: "Nadezhda". 2002. P. 35.

162. Wilde M.V. Free interfacial vibrations of a shell in super low-frequency domain // Day on diffraction 2001. International seminar. St. Petersburg. May 29-31. 2001. Abstracts. P.58.

163. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1972. V. 51. № 1. Pt 2. P. 265-283.