К обратимости линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Тюрин, Василий Михайлович

• Тюрин, Василий Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 1995

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тюрин, Василий Михайлович

ПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВЕДЕНИЕ.II

ЛАВА I. РАВНОМЕРНАЯ ШЬЕКГИБНОСТЬ И ОБРАТИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДШФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИО-НАЛЬНО-ДИФФЕРЕШЩЛЬНЫХ ШЕРАТОРОВ.

§ 1.1. Линейные дифференциальные операторы е не

•граниченными операторными коэффициентами, (¡/с ператоры.

§ 1.2. Свойства эквивалентности равномерной инъек

•ивности и обратимости для с1/с - операторов.

§ 1.3. Функционально-дифференциальные операторы в

С , /Пр, 1Р

§ 1.4. Обратимость и равномерная инъективность лиейных дифференциальных операторов с неограниченными оэффициентами в пространствах

§ 1.5. Двойственные операторы.

§ 1.6. Равномерная инъективность функциональнояфференциальных операторов в пространствах ЬС , Ъ¥

ЛАМ 2. НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ ОБРАТИМОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ

ИНЪЕКГИБНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§ 2.1. Локальная сходимость, периодическая аппроксимация и обратимость функционально-дифференциальных ператоров

§ 2.2. Функционально-дифференциальные операторы с очти периодическими коэффициентами .^.

§ 2.3. Обратимость дифференциальных операторов с постоянными и периодическими коэффициентами.

§ 2.4. Операторы с замкнутой областью значений.

- операторы

§ 2.5. Дифференциальные операторы с малым параметром

ГЛАВА. 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДШФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАДЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ПРОИЗВОДНОЙ.?

§ 3.1. Обратимость операторных коэффициентов при производной

§ 3.2. Равномерная инъективность и обратимость функционально-дифференциальных операторов с коэффициентами при производной.

§ 3.3. Предельные операторы

§ 3.4. Метод замораживания.

§ 3.5. Частичная равномерная инъективность линейных дифференциальных операторов.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (ВОПРОСЫ ОБРАТИМОСТИ И ИНЪЕКГИВНОС-ТИ, КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ)

§ 4.1. Равномерная инъективность и обратимость дифференциальных операторов в пространствах IV (/Л) л/тар).;.

§ 4.2. £ - коэрцитивность дифференциальных операторов

§ 4.3. £ - коэрцитивность дифференциальных операторов в пространствах с*

§ 4.4. Коэрцитивные £ - операторы.

§ 4.5. Коэрцитивность дифференциальных операторов относительно полунормы

§ 4.6. Неравенство Шаудера.

§ 4.7. Эллиптичность дифференциальных операторов

§4.8. Равномерная инъективность дифференциальных юраторов относительно пар { С**, С )

§ 4.9. Дифференциальные Ф + -операторы в (Цп .322 ШСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ л - п - мерное (вещественное) эвклидово пространство. X = ( Х-/,., Хп) - вектор (переменные) в

- А'./. Хц ^п - скалярное произведение векторов х / Л .V - эвклидова норма вектора ^

А/ - множество натуральных чисел.

- множество целых чисел. ° - множество целых неотрицательных чисел. /Р ~ - множество вещественных чисел (числовая прямая). <э6 - . , сСп ) , где об/-' в 2 + (у = ^ . , /Т. ^ -мультииндекс. означает, что У3у ^ ¿Су Для > ^ ^ » / мультииндексы).

Ш = эб/ . + я - длина мультииндекса.

Х<Е 1КП , оС мультииндекс.

1 dL^ мультииндекс, открытый шар

-а /<- ¡г в

КА,, ( х ) - открытый куб в ¿К " с центром в точке X , ребра которого параллельны осям координат и имеют длину равную М »

К(х) = к, Гх)

- мера Лебега измеримого множества S2— /А?

А?. - объем единичного шар'а в Щ а . А' - банахово пространство. ЦХИ - норма элемента X £. X. ■ * \/ А на элементе X <ь А

X - сопряженное пространство к X * - элемент из X

ИХ // - норма элемента X * с Л (X, - значение функционала X Ноп'1{х X)- пространство линейных ограниченных операторов, действующих в X , наделенное равномерной топологией.

А * - сопряженный оператор к оператору Л . ¿(А) - спектр оператора А I - тождественный оператор в X

- пространство всех сильно измеримых функций ^ [Р —*Х » интегрируемых по Бохнеру на каждом конечном интервале, с топологией сходимости в среднем. ¡-,Р(И\ ,Х) - пространство Лебега измеримых функций

Г- .X < « ос-).

- пространства измеримых функций соответственно нормами со степановскими

11и1^р(Шп X) -- Х-ар хе К(х) пр(М,х)

С (Ш у X) - пространство непрерывных ограниченных функций ¡Яа ~—> .Л С Х(Ю - нормой. с(@.х) -сст'.Х).

- пространство бесконечно дифференцируемых во финитных гладких функций). п - г / /т>п хг\ /''/ ,т>п \/ ^ л/1 РС :~Г)п

А - г (/л , Ау - одно из пространств С ; /X , Л)> /М ил. , Я/,

С/?'1, X).

Ии Ир - норма элемента с /- . \л/т ( Р) - пространство функций а .X , принадлежащих р вместе с производными 2) ^ 6.' до порядка /72. включительно (пъ е л/°(Г)= Р . Сп= Мт(С\ и и Ни™ (Г) ~~ И^иИ г

- подпространство в с ш,х) , состоящее из почти периодических функций Бора.

5 Г /) - спектр показателей Фурье функции /О. С Л °

С д - подпространство в С , состоящее из функций, для которых модуль показателей Фурье /тюс{ ( /) ^ а /А?

ВС - пространство непрерывных ограниченных функций с бого-любской нормой

Ни и ВС = $4° II! и (з; ¿¿в // (t1 г е Л?) ЪУ=ЪУ(111Х) ~ винеровское пространство функцдй ; гатх)-¡{в ¡^шх)!^ ир

У г - оо J < Ь ^

НиНр/П'Г = НиЦ^т + <и><г,т ( ПЬ & Ж+). т +Г-У ( аа р \

17 - нормированное пространство, состоящее из

I . Л и \ и е причем,

НиН-^ * й(/лР) = Ни //]Л/^(МР) +<<^>Г,<пУ т ¿'.Г нормированное пространство с нормой и И £ пг гог - Пи ¡¡с т + <(1>°^гп < ^^

Ру - нормированное пространство с конечной нормой

11и11с;;гч1иИст + <и>г;ту № * (Г", ■ л Р, т ) - нормированное пространство с конечной нормой нормированное пространство, имеющее норму аН^гтР) - 11иИ1^(1Р)^<иИГт<оо \\ify Ю<Г (ир) - нормированное пространство с нормой иСс V;

Ггц-С'?. р. г\ ) - нормированное пространство, в котором

Ни = Ш Си%ту < «■

- область определения линейного (функционально-дифференциального) оператора , принадлежащая пространству/"'. ' /£)(<%) Г) —* Р - линейный (функционально-дифференциальный) оператор.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «К обратимости линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов»

В диссертации изучается ряд задач, связанных с обратимостью и равномерной [^-равномерной)инъективностью линейных функционально - дифференциальных и дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах, элементами которых являются векторные функции, определенные на всей оси или на всем пространстве IИп . Актуальность этих задач определяется тем, что к ним приводят исследования по теории устойчивости, теории усреднения, спектральной теории, ветвлению решений, управлению, качественной теории дифференциальных уравнений и т.д. При этом возникает необходимость вывести обратимость дифференциальных операторов, например, в пространстве ограниченных функций на оси из более простых свойств дифференциальных операторов таких, как корректность, равномерная инъектив-ность, допустимость, слабая регулярность, условие Фавора, коэр-цитивность и т.п. [9,34,35,37-39,42,43,63-71,75,78,89-94Д04-113,150,1513 . Сюда же примыкают работы по ограниченным на оси и почти периодическим решениям дифференциальных уравнений [ 7, 8,10,11,19,53,55,103,115,122,155,156,160,163,137,167,169,187, 192 3 • Далее, с точки зрения обратимости линейный дифференциальный оператор часто удобнее рассматривать в различных функциональных пространствах. При таком подходе ставится задача об эквивалентности свойств обратимости дифференциальных операторов в рассматриваемых пространствах. Это напрямую связано с проблемой выбора области определения для дифференциального оператора. Удачный выбор области определения дифференциального оператора во многом определяет успех его изучения. Заметим также, что для

12 решения многих задач достаточно существования у линейного дифференциального оператора непрерывного обратйого.; определенного на области значений линейного дифференциального оператора, т.е. равномерной инъективности последнего.

В теории линейных дифференциальных уравнений значительное место занимают вопросы поведения решений однородных уравнений, в частности, экспоненциальной дихотомии и устойчивости [ 13,29, 31,58,59,85,143] . Наличие экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения тесно связано с обратимостью.соответствующего дифференциального оператора в некоторых функциональных пространствах. 0.Перрон [1831 , по существу, первым доказал, I что в конечномерном случае обратимость линейного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами в пространстве ! I ограниченных на оси функций эквивалентна экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения (см. также [ 60,72,80,83, 159,173,184,191] . Обобщение результата 0.Перрона на системы запаздывающего типа имеются в работах [44,52,98,141,144] и других.

Проблеме допустимости (обратимости) и экспоненциальной дихотомии в банаховом пространстве при довольно общих предположениях относительно коэффициентов линейного дифференциального оператора (значения коэффициентов .есть линейные ограниченные операторы) посвящена серия работ Х.Массера и Х.Шеффера/Д77-180./ (см.дополнительно [22,51,162,1747). Ими же доказано утверждение об эквивалентности обратимости дифференциального оператора и экспоненциальной дихотомии в предположении некоторого "условия замкнутости". Как показал В.Жиков [35] "условие замкнутости" является излишним, при этом коэффициенты линейного дифференциального оператора могут быть неограниченными оператораш.

Основными объектами изучения в диссертации являются линейные функционально-дифференциальные операторы вида е - ¿/¿а-л

X = &Ф сЦс11 'Л и линейные дифференциальные операторы в частных производных

Р = X А ¿МП*

М ¡^/тг где линейный оператор Лг' & (А ¿ Г)-* Г обладает определенными свойствами, непрерывные ограниченные операторные функции. Операторы X охватывают обыкновенные дифференциальные операторы с ограниченными и неограниченными коэффициентами, операторы, определяемые дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, некоторые классы интегральных операторов и другие функционально-дифференциальные операторы. Дифференциальные операторы ¿6 и Р исследуются с точки зрения обратимости и эквивалентности этих свойств в различных функциональных пространствах Р , а также решаются другие качественные вопросы для рассматриваемых операторов об и Р . При этом находят широкое применение методы теории линейных операторов в банаховом пространстве, качественного анализа дифференциальных операторов и уравнений, метод локальных равномерных неравенств и другие методы и техника. Добавим также, что многие рассмотрения в работе происходят в пространствах Соболева.

Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Их новизна заключается как в выборе объекта исследования, так и в методах исследования. Коротко основные моменты работы можно охарактеризовать следующим образом.

I. В банаховом пространстве установлен ряд теорем для широкого круга функционально-дифференциальных операторов об эквивалентности свойств обратимости и равномерной инъективности в некоторых функциональных прост rnnOUOftlDpY

Ю J. J>< ax.

2. Получены критерии обратимости функционально-дифференциальных операторов в функциональных пространствах.

3. Приведены необходимые условия равномерной инъективности и обратимости, а также коэрцитивноети функционально-дифференциальных операторов.

4. Разработана техника локальных равномерных неравенств для изучения функционально-дифференциальных операторов.

5. Рассмотрены различные коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов в частных производных и их эквивалентность в различных пространствах.

6. Исследованы в некоторые классы дифференциальных -операторов с частными производными.

Полученные в работе результаты позволяют решить многие вопросы обратимости, равномерной инъективности, коэрцитивноети широкого класса функционально-дифференциальных операторов, в частности, операторов с частными производными, в некоторых функциональных пространствах, и могут быть использованы при изучении различных прикладных задач.

Рассмотрим теперь более подробно содержание диссертации, состоящей из четырех глав. В первом параграфе первой главы для дифференциального оператора об =cL!cLt - hit) , где Ait) -неограниченный линейный оператор в банаховом пространстве X , определяются У -условия, которые заключаются в следующем. При любом Ц(1о)вХ уравнение Ци ~ 0 единственным образом разрешимо вправо it ^ to ) . Разрешающий (эволюционный) оператор гm.to) (t * и) ограничен, сильно непрерывен по переменным

15

Ь :Z■tо и удовлетворяет экспоненциальной оценке роста. Решение неоднородного ^и - / дается формулой Дюамеля. На основе -У - условий задается область определения £>(¿6, О оператора

КР V О т^ ^ТГТТЧ|-ТГТТАТ1П ТГТ ГТ Л*Л ГТ"Г\ГЛ О ГТ1- ТЛО Т7 Г* О! Т}0 Г

Г) ад ппдиипа^1Х1Г1иш ирчу^ х исл.гю а а->С ■ .

Далее вводится понятие линейного - оператора п

У' "Х) ( Р) ^ Р —^ ' , который характеризуется следующим образом. Область определения $ Р) инвариантна относительно умножения её элементов на гладкие финитные функции

У7-'/^—^> (Р . Имеет место локальная оценка разности о^^ц-^Уи (коммутатора). Носитель Шр'р (^^Рц-У^ба) расположен в окрестности носителя 3<ир'Р У7 .

Приводятся примеры с1к - операторов. Таковыми будут дифференциальные операторы ов , удовлетворяющие $ - условиям, а также разностные операторы и другие.

Одним из центральных определений диссертации является определение равномерной инъективности оператора. Линейный оператор называется равномерно инъективным, если существует такая постоянная К >0 , что выполняется неравенство

Ни Иг ^ К НУ а Иг (иеЯ(ХЛ) .

4 S * i 1

Равномерная инъективность оператора тесно связана с непре-f рывным левым обратным оператором [ 119] .нижней нормой оператора! 67J , минимумом модуля оператора L 171 ] , корректностью г 1 . Н оператора L 78 j . Термин "равномерная инъективность оператора";, более удобен и универсален при изучении функционально-дифферен-|? циальных операторов. 1

В § 1.2 рассматриваются свойства эквивалентности обратимости и равномерной инъективности для cht- - операторов. Показано (теорема 1.2Л), что если dtt - операторы •

16 р < связаны определенным С1р - условием и некоторым свойством локальности, то они равномерно инъективны одновременно.

Теорема 1.2.1 имеет принципиальное значение, поскольку многие результаты получены с её помощью. В доказательстве существенную роль играют локальные равномерные неравенства в Мр и ир для операторов Хг и Хз • На основе теоремы 1.2.1 получена также важная теорема 1.2.2 об одновременной обратимости сЬъ - операторов от которых дополнительно требуется локальная замкнутость оператора и некоторая импликация для функций из

Уд, №Iя) . Как следствие найдено, что спектры с!л- - операторов совпадают.

Реализация теорем 1.2.1, 1.2.2 на конкретных Фъ - операторах дает следующие утверждения (теоремы 1.2.3, 1.2.4). Если дифференциальный оператор X ~ (£!(№- удовлетворяет

3 -условиям, то операторы ,МР)—? А/\Р и ¿6 > равномерно инъективны или обратимы одновременно. Аналогичные утверждения (теоремы 1.2.5, 1.2.6) получены о дифференциально-разностных операторах вида У? - У о + @ , где для дифференциального оператора обо выполнены У - условия, а разностный оператор.

Параграф 1.3 посвящен изучению равномерной инъективности и обратимости функционально-дифференциальных операторов сЦсИ - А где в пространствах с Но ранее в теоремах 1.3.1, 1.3.2 установлено, что при определенных условиях из равномерной инъективности линейного оператора (не обязательно функционально-дифференциального) вытекает равномерная инъективность опера

17 торов & 1Г) — Приведем основные теоремы.

ТЕОРЕМА 1.3.3. Пусть с1г - операторы Л • I, Ь , ■ ^ , р< оо^ ограничены и выполняется для них некоторое свойство локальности. Тогда равномерная инъективность одного из операторов ЖЬв, Ц**) —9 , влечет равномерную инъективность двух других.

ТЕОРЕМА 1.3.4. Если ¿/с - операторы -А- ГГ ограничены и для них имеет место некоторое свойство локальности, то операторы * ^,

V , £ М?) 1Р (;<р<оо) равномерно инъективны одновременно.

ТЕОРЕМА 1.3.6. Пусть оператор Я -'Л I* непрерывен и для него выполняются условия теоремы 1.3.4. Тогда свойство непрерывной обратимости для операторов Ьв'- & ( С) —► С ,

ГЛР , я.яое, Xр ( схэ) эквивалентны.

Показано также, что операторы ¿6: С

С , равномерно инъективны (обратимы) одновременно. В следствиях установлено, что равномерная инъективность (обратимость) оператора Ж :

4) или оператора £б(ов Р ^ при одном р влечет их равномерную инъективность (обратимость) при всех р . А спектры операторов

Я 1Рсовпадают.

В четвертом параграфе изучается линейный дифференциальный оператор удовлетворяющий 7 - условиям.

На него удается распространить основные утверждения предыдущего

параграфа. Напомним, что A (i) есть^ вообще говоря, неограниченный оператор в X . Схема исследования оператора J6 состоит в следующем. Сначала получается результат для разностного

ЛГТЛ-ПОШЛЛО Р У Í п ) — У / л -¿-У) — А//-?-) у / п 1 uno ра i upa ^ ^ . , у ' ^ л i '

А / п ^

I 'ty лпглогттглгт ный оператор в X , П е .

ТЕОРЕМ 1.4.1. Оператор R : £<>о * равномерно ияъекти-вен тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор

R tp lp .

Затем по оператору о£ строится специальный разностный оператор Rx(n) - Х(п+4)~ , п) X (n)t обратимость которого в пространствах ioo , £р тесно связана с обратимостью оператора X в пространствах С , Lp (теорема 1.4.2). После этого установлены

ТЕОРЕМА. 1.4.3. Оператор £: %(¿С, Ь^^¿Гравномерно инъективен, если и только если равномерно инъективен оператор

С .

ТЕОРЕМА 1.4.4. Оператор $ • 50 (С) С равномерно инъективен тогда и только тогда, когда оператор ^ равномерно инъективен относительно пары ( С } /Ир )в

ТЕОРЕМА 1.4.5. Для операторов ¿g : fi (% С) С , Ж свойства равномерной инъективности эквивалентны. И последняя в этом ряду

ТЕОРЕМА 1.4.6. Операторы ¿С' , : £) обратимы одновременно.

Приведены различные следствия об обратимости и инъективности оператора <£ в пространствах Lp , о спектре дифференциальных операторов и равномерной инъективности оператора R в пространствах 1р . Отметим, что теорема 1.4.4. дает положитель 5 i; í

19 ное решение одной задачи В.Жикова [ 30] .

Приложения некоторых неравенств и теорем демонстрируется на оценке одного интеграла и доказательстве простейших теорем вложения в /Л? .

Хорошо известно, какую важную роль играют сопряженные операторы в анализе и теории линейных операторов. Наховдение сопряженного оператора к дифференциальному оператору - далеко не простая задача. Однако некоторые вопросы можно решить с помощью двойственных (формально сопряженных) операторов. С рассмотрением таких операторов и связан пятый параграф.

Пусть оператор удовлетворяет J - условиям. Оператор где h*(t) - сопряженный оператор к A (t ) , называется двойственным оператором к ¿6 . Оператор подчиняется так называемым С/® - условиям. С помощью результатов четвертого параграфа получены

ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть операторы ¿6 • ¿0 ( С) С и

С®) -> С® равномерно инъективны. Тогда оба они непрерывно обратимы.

ТЕОРЕМА 1.5.2. Оператор СО (¿вС непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратим двойственный оператор X® : С ®) — С

ТЕОРЕМА 1.5"!з. Операторы : С ®, ' •' Lр®) —> L^® (Мр < равномерно инъективны непрерывно обратимы) одновременно.

Пусть пространство X рефлективно или сепарабельно, а операторы Ad) имеют общую плотную область определения в X . ТЕОРЕМА 1.5.4. Пара (Lp0 Lp) (J<p<°o) допустима для оператор; # тогда и только тогда, когда равномерно инъективен оператор

20

Оказывается, теорему 1.5.1 можно распространить на функционально-дифференциальные операторы ~ &1сИ . Оператор и пространство л. удовлетворяют вышеприведенным условиям, а оператор Л - условиям теоремы 1.3.6.

ТЕОРЕМА 1.5.5. Если операторы ' С и равномерно инъективны, то оба они непрерывно обратимы.

Одним из примеров оператора г может служить дифференциально-разностный оператор оо а = с/и/сСЬ ~А({) и (Ь- ^^ И) аИ" I и

Для него отдельно формулируется теорема I.5.6аналогичная теореме 1.5.5.

С позиций равномерной инъективности и обратимости в шестом параграфе рассматривается функционально-дифференциальный оператор $ = сЦсИ' & (оператор Ж такой же, как в теореме 1.3.6) в пространствах С , ЬС , 1лУ .

ТЕОРЕМА 1.6.1. Для того, чтобы оператор $: С был равномерно инъективен, необходимо и достаточно, чтобы оператор был также равномерно инъективен.

Отсюда сразу следует

ТЕОРЕМА 1.6.2. Свойства непрерывной обратимости для операторов £ (£, С) ~* С и ов: ВСУ*5С эквивалентны.

Аналогичные предложения доказаны для пространств С и ¿с^ (теоремы 1.6.3, 1.6.4). В последней части параграфа в качестве приложений рассмотрены теоремы 1.6.5, 1.6.6 и следствия для функционально-дифференциальных операторов, зависящих от малого параметра £ > 0

Вторая глава содержит главным образом исследования, связан

21 ные с признаками обратимости и равномерной инъективности функционально-дифференциальных и дифференциальных операторов. Результаты первого параграфа получены на основе техники периодической аппроксимации и локальных равномерных неравенств. Не вдаваясь в подробности, приведем основные из них.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Для равномерной инъективности оператора (об,Р)—+Г достаточно, чтобы существовала последовательность равностепенно инъективных операторов ^ , /■ ) —* Г, сильно локально сходящаяся к с€: СЬ ( 7Г)—:* Р . Если оператор Жов% Р)~^Р равномерно инъективен, то при сильной двойной периодической аппроксимации оператора Р операторами • > / ) * Ь (J * оо^ необходимо, чтобы последнее семейство операторов было равностепенно инъективным.

ТЕОРЕМА. 2.1.2. Если при локальной аппроксимации операторы ¿ф / Г) * ./- непрерывно обратимы и SfAp.il ^ //р<оо? то оператор непрерывно обратим. Если оператор непрерывно обратим и пространство л рефлексивно или сепарабельно, то при сильной двойной периодической аппроксимации операторы ¿6; ' X) (об] , Р) ~> Р для достаточно больших ^ ^ непрерывно обратимы и 5<ир Н ^ Ир <

В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 оператор % - ¿¡(М* - Л , где А - функциональный оператор, действующий в Р . В случае, когда оператор является оператором умножения на операторную функцию кИ) справедливы

ТЕОРЕМА 2.1.3. Для того, чтобы оператор ^ был непрерывно обратим достаточно, чтобы при локальной аппроксимации его операторы • —^ ^ были непрерывно обратимы и 3<лр И^! Ир ^ (] е Ш) . Если оператор непрерывно обратим, то при двойной периодической аппроксимации операторы непрерывно обратимы, начиная с некоторого номера j0 , и ар ИХ, 'Иг < ^ Г у ^¡о)

С помощью указанной выше техники получен аналог теоремы Фавора - Мухамадиева (теорема 2.1.4) для разностного оператора.

В теореме 2.1.5 установлена обратимость оператора : : -X" (X С) 'МП) при условии допустимости некоторых функциональных пар. Рассмотрены следствия и ряд лемм.

Предметом изучения в § 2.2 служит функционально-дифференциальный оператор с1/'сИ ' , где оператор Л Г—5 Г удовлетворяет условиям теоремы 1.3.6, пространство почти периоС дических функций С инвариантно относительно оператора Ж и имеет место определенная оценка коммутатора гладкая функция).

ТЕОРЕМА 2.2.1. Если оператор Х- ЖХ, инъективен, то справедлива локальная оценка равномерно

Slip i/U(i)//$ Koi Slip HXu(t)/h liisT itt^'oT гКсн r

-4) их и n с

ТЕОРЕМ 2.2.2. Для равномерной инъективности оператора ^ •' /С (У ( необходимо и достаточно, чтобы оператор X '

• %) (X, С С был равномерно инъективен. Если для -Л выполняется неравенство

II

S'il И где Ь

S-r

ИЛ Нг и - и ас ^ £ Ни И с ,

- £ -период некоторой почти периодической функции, 'С - оператор сдвига, то справедлива

ТЕОРЕМА 2.2.3. Оператор X7• £ (X, С) • С обратим тогда и с ° только тогда, когда обратим оператор Х: 0(X, С)—* С .

Далее оператор Ж считается оператором умножения на почти периодическую операторную функцию. о

ТЕОРЕМА 2.2.4. Пусть пара ( С , С ) допустима для оператора X с почти периодическим коэффициентом А(^) и множество замкнуто. Тогда оператор X'■ ^>(ов,С)—* С обратим. Я

ТЪ'Л РН!1\/! Д 9 9 Ь Л г>гпгфтлт\лпг»фт, папи ( X. Г \ тг ттсх ппо^офппо

X при условии замкнутости многообразия Хос влечет обратимость оператора ¿С ■ Ю(Х, С)—? С,

ТЕОРЕМ 2.2.6. Пусть пространство ЗГ сепарабельно и рефлексивно и пара {С Х- ) допустима для X' . Тогда, если (э0 - , то оператор X ( ьб> С)-*С обратим.

В теореме 2.2.6. О о - так называемый спектр однородных задач /Г66, с. 143 7 . Обратимость оператора XX) (¿в7С)-*С в Условиях допустимости пары ( С , С ) и сепарабельности многообразия

Х^ос получена в теореме 2.2.7. В заключительной части параграфа рассмотрена обратимость возмущенного оператора / ~ с1/с11 ~ Ш-вФ при допустимости пары ( С , С ).

Отдельным параграфом рассмотрены операторы ¿X с постоянными и периодическими коэффициентами. Обратимость оператора Х:Ю(ХХ')-*£ в случае допустимости пары С , С ) для сепарабельного X решеX пона в I 28 ] .В развитие этой проблемы для произвольного лучена

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть пара банаховых функциональных пространств ( Ь , 6~ ) допустима для оператора . Если выполнено одно из условий: I) С1 и Е С ( 2) X-¿Л и

->о Р) с р Г ^ Г / J ^ ^ ^ ~ ^

О, X С и £ О, С ,4) оператор оС ■ ' ^ равномерно инъективен, то оператор X' ХХХХ-)' обратим.

В теоремах 2.3.2, 2.3.3 разбирается обратимость оператора X с периодическими коэффициентами.

В параграфе 2.4 изучаются операторы с замкнутой областью значений.

24

ТЕОРЕМ 2.4.1. Пусть область значений Хтр ^С оператора Z (at, Г) v ' замкнута и многообразие X о г также замкнуто в X . Тогда оператор равномерно инъективен.

Коэффициент Л1 (t) оператора в теореме 4.1 и ниже устойчивая по Пуассону функция. Из теоремы 2.4.1 выведены два следствия об обратимости оператора СО (Х,б) * X

ТЕОРЕМ 2.4.2. Оператор ¿С ■' Х!(Х Г) -^/"является Ф-+- - оператором тогда и только тогда, когда он равномерно инъективен. ТЕОРЕМА 2.4.3. Если один из операторов —* С ,

L^)- ГЛР % LP)->LP У - р < ос) является - оператором, то два других тоже есть Ф--*- - операторы .

Доказан аналог теоремы 2.4.1 для разностного оператора П Полученные результаты в § 2.5 применяются к исследованию дифференциальных операторов, коэффициенты которых содержат малый параметр ¿. > О (теоремы 5.1 - 5.3).

В главе 3 представлены функционально-дифференциальные операторы об r- Oil) Cijdt'Ji с коэффициентом b(~i) при производной. Параграф 3.1 начинается с рассмотрения определенных пространств б . В таких пространствах справедливо следующее предложение. JI е м м а 3.1.1. Если оператор равномерно инъективен, то операторы 3(1) :Х—* Х- равномерно инъективны, т.е. существует такая постоянная К с , что // х / / £ К. .'о'б. ' для всех t & [R и X € X •

Пусть 8 (1)6 С (Об, Нот (XX)), Ж® - двойственный к Л оператор, связанный с ним определенными соотношениями, Го -одно из пространств С , .

Лемма 3.1.2. Если оператор <Х: W (Го)—» Го является сюръективным, то оператор ¿6 ®: W f(/б®) L равноц

25 мерно инъективен.

На основе ЛЕММ 3.1.2, 3.1.1 доказана

ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть оператор \л/ Ч^о) /и обратим

ТГ ттгг ТТС^-П/Л !)1.:гтл (гиаии 47" О 7ТГ\"ОТ/ СГ ТТОЛЛПЛ '< т т Ч 7 о т'ЛТГПО ЛПОТЛОФЛПи ПО! и ^иаи ^их^шп ^ ^хо ауну: • о. « а $ * * Х кул. Х ч^/^рьи и ьа,

-/ обратимы 5 причем^ $-С1р И & (^¡¡('¿Е В теореме 3,1.2 получен такой же результат для дифференциально - разностного оператора оо

I /У

Ь1ЬШа1 -¡ки

7 > уа в теореме 3.1.3 показано, что в конечномерном пространстве/ из равномерной инъективности оператора ^ '&(1) (¿¡М ~ А({) с устойчивыми по Пуассону коэффициентами в пространстве Р вытекает его обратимость.

Для оператора ¡е - 5 а/оИ-А с постоянными коэффициентами доказана

ТЕОРЕМА 3.1.4. Пусть оператор %>(№*) имеет непрерывный обратный. Тогда, если выполнено одно из условий:

I) оператор Д ограничен на Хо ; 2) оператор Ь замкнут и Фо плотно в X , то оператор /3 имеет непрерывный обратный 5 У; К > с.

Центральное место в § 3.2 занимает

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть коэффициент является равномерной непрерывной функцией на , область значений У/п 3 не зависит от t и для оператора Л выполнено некоторое неравенство. Тогда свойства равномерной инъективности для операторов %Х 7 С , \л/Ч?ар)~>Мр7 у.- (р >о), о£'- 1л/7 (^)—* эквивалентны.

С помощью теоремы 3.2.1 получаются

ТЕОРЕМА 3.2.2. Если оператор ¿6 - Ш, ~Л таков, I 4

Г I что для него выполняются условия теорем 3.1.1, 3.2.1, то функционально-дифференциальные операторы X С / —* С , .

I /.

Оирсидмы идпихзрсиюшчи /

ТЕОРЕМ 3.2.3. Пусть оператор X - ВЫ) сС/(Ц-Л удовлетворяет условиям теорем 3.1.1, 3.2.1, пространство У рефлексивно или сепарабельно. Если операторы £■ С —у С и У: С/с >(*" равномерно инъективны, то оба они обратимы одновременно.

Приведены следствия из доказанных теорем.

На основе локальных равномерных неравенств в § 3.3 обсуждаются условия обратимости и равномерной инъективности оператора - Ж/М- ~ А (I) в пространстве о через предельные операторы

ТЕОРЕМА 3.3.1. Два нижеследующих условия эквивалентны: I) оператор С С равномерно инъективен; 2) каждый оператор ¿в С —* С обладает некоторым свойством т*£ и уравнение Хи ~ 0 не имеет ненулевых решений в С / .

В теореме 3.3.2 изучается Ф^ - свойство возмущенного оператора. В параграфе приведены также следствия и ряд лемм.

Метод замораживания применен в § 3.4 для исследования равномерной инъективности и обратимости дифференциального оператора £ - ЬЫ) (£/М ~ Д Ы) .В доказательствах существенно используются полученные выше результаты и методы.

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть семейство операторов С / —С равностепенно инъективно, коэффициенты и

ВЫ) удовлетворяют условию Липшица с постоянной «Ь . Если Ь есть достаточно малая величина, то оператор С*—* С равномерно инъективен.

Лемма 3.4.1 касается оценки нормы оператора в и через норму оператора Г в С

27

Если /3 (Ь - непрерывная ограниченная функция на /Р операторы ■ С —> С равномерно обратимы и для А(~{) ,&(т) выполнены условия теоремы 3.4Л, то оператор С '—С обратим. Это предложение и есть теорема 4.2.

Далее в лемме 3.4.2 и теореме 3.4Л обсуждается обратимость и равномерная инъективность оператора Ж при условии малости некоторой величины Сир и равномерной обратимости и инъективности операторов оС -¿0 .

Частичная ( 5& - частичная) равномерная инъективность оператора относительно пространства Ь , о которой идет речь в § 3.5, определяется неравенством

Н&и Ир $ к //В ХаИс (//5а//г * К ИХиИР1

Получено несколько теорем о соотношениях частичной { $ & частичной) равномерной инъективности оператора в пространствах С , /М^ , (теоремы 3.5.1 - 3.5.4). В теореме

3.5.4 приведены условия частичной равномерной инъективности для оператора о£ с постоянным коэффициентом А

Перейдем к изложению результатов четвертой главы, посвященной линейным дифференциальным операторам с частными производными. Но прежде заметим, что всюду в этой главе Мр= ЛГС/У' X) , 1/ = 1~Р(1$п, X) .т.е. элементами названных пространств являются функции и многих переменных, а Г - одно из пространств С , А)^ , $ р< оо) . Для оператора Р: 1л/Твводится понятие равномерной инъективности относительно пары нормированных пространств ¿г 1л ' ( Г) и И ^ Г .

В первой теореме 4.1.1 § 4.1 установлены локальные равномерные неравенства для оператора / О !;!! I с помощью которых дока

28 заны важные теоремы о равномерной инъективности и обратимости.

ТЕОРЕМА 4.1.2. Равномерная инъективность оператора Р:

77 v м р

Лр относительно пары ([У (МР)РЛР )

Л \ г / эквива-, / Р лентна равномерной инъективности оператора Р: относительно пары ( !л/ ^ ( ^Р)/ ¿Р ); - /?? , /?? - /.

ТЕОРЕМА 4.1.3. Операторы А' Р'-Ы^Ш-'И обратимы одновременно.

Приведены примеры равномерно инъективных операторов с частными производными.

Оператор назовем С - коэрцитивным относительно данной полунормы ( ( <5 , ) - коэрцитивным) , если для любого с5 > О существует такая положительная постоянная Кр (£) , что имеет место неравенство

На И^п(Г)6 > +КрШ//Ри Ир .

В теореме 4.2.1 § 4.2 доказано локальное равномерное неравенство для оператора Р Ст—» С , содержащее гёльдеровскую полунорму X, т , а главный результат связан с некоторой полунормой \ • >+<Г, т У

Теорема 4.2.2. Если коэффициенты АоС оператора Р равномерно непрерывны на всем пространстве 1Еп , то операторы Р • г д \ пг ;

КО с и Р- (6, <•> эрцитивны одновременно.

Из теоремы 4.2.2 вытекают следующие утверждения. Следствие 4.2.1. Операторы РС т—> С и РтJ коэрцитивны одновременно,

Следствие 4.2.2. Пространства \л/'

-• гП + Г непрерывно вложены С

Следствие 4.2.3. Если оператор

С 6 - коэрциравномерно инъективен, то оператор Р С /П тивен относительно полунормы <"-> .

Следствие 4.2.4. Из равномерной инъективности оперсггира / г-, . г" !г> +

1-У / ---N

-> ЯПТТ1?ЛГТ1 О !1А»ЛЛ ГЛТ1ПГТ ТЛ1ТГГ П Т/ЧТИРГТ! Т Т ГЛ ШТ ГМГТО илсд) С/ J. pcixjii WiVicpiia/i nnooni njJauiyj.u vyüoратора p- W (Mp) - M

РГ

В параграфе 4.3 продолжается изучение 6 -коэрцитивных операторов Р1\ 'п (Г)—» Г . В теореме 4.3.1 £ -коэрци-тивность оператора Рт(относительно определенной иолупорш > ;>0 ' выводится из с -коэрцитивноети оператора Р- С/П С относительно полунормы у ^ у . Затем вводится полунорма С- -у . Оказывается, что по теореме

С -г т

Г) коэрцитивность оператора Р- WmtLp.

РI

4.3.2 (£,<'>ff влечет ^'^ßP y ) ~ коэрцитивность оператора р.'

Согласно теорем 4.3.3. оператор Р:С'п—* С является [ & Р'У- коэрцитивным, если все предельные урав- , нения рц =С не имеют ненулевых решений в С . !

Оператор называется коэрцитивным с -опера-: тором, если существуют такие постоянные С/ > 0 , >0 , что

Ни Н^ у (р) - С, И и // г + С г НРи/1 г ,

Результаты относительно дифференциальных Е - операторов содержатся в параграфе 4.4. Это теорема 4.4.1, определяющая Е -оператор через эквивалентное неравенство; теорема 4.2.2, согласно которой операторы Р- (л/(ЛAV и

Р- WmUS) Lp обладают свойством быть Е -оператором одновременно; теорема 4.4.3, дающая пример Е - оператора Р: W^(L2) * Е^ ; теорема <±.4.4., устанавливающая оценку нормы функции U в С при условии, что оператор тивный Ь -оператор.

-• т есть коэрцир

30

Три теоремы получены в § 4.5 о коэрцитивности оператора Р- 1л/' т {!' )/- относительно полунормы и >.

Г1 +1 а 7) П и // л."

Л//-т * /

ТЕОРЕМА 4.5.1. Оператор Р ■ [л/т(1Р>) коэрцитивен относительно полунормы <иУгп+ тогда и только тогда, когда оператор Р' \Л/ (Р\р) Р\р коэрцитивен относительно полунормы

М1 < и ' т+ /

ТЕОРЕМ 4.5.2. Для коэрцитивности оператора Р'-С

ГЛ с достаточно, а при постоян-Р и необходимо, чтобы относительно полунормы <" и / ных коэффициентах А<х оператора был коэрцитивным относительно полу и>, оператор нормы х - т, /

ТЕОРЕМ 4.5.3. Пусть коэффициенты А ж оператора Р постоянны. Тогда свойства коэрцитивности операторов

Р ■ Р т С р:

Р: и>"п'(Ър) ^¿Р ветствующих полунорм <сиУ— - хи/

77 + / ) ^ ' П) 1- / относительно соот и > V у / эквивалентны.

В § 4.6 изучается неравенство Шаудера для оператора Р : С

• т <г

Сд . Главный результат:

ЕМ 4.6.1. Если оператор Р: М/ обладает о с-. ЦРП свойством / оператора / О и существует такая область

ГШ * ¿Г с ство Шаудера, то для оператора Р: С неравенство шаудера. что для справедливо неравенг*

С- также выполнено Л р на и.

Аналогичное предложение получается при замене Рассмотрены примеры и равномерная инъективность оператора Р с т + у С Г

Перечислим теперь основные утверждения § 4.7, в котором обУ

31 суждается эллиптичность дифференциальных операторов Р .

TEOPEiviA 4.7.1. Если оператор Р: W г"(Р)-*р> обладает свойством с , то оператор Р равномерно эллиптичен.

1 / ! ' ! ^

TEOPEIviA 4.7.2. Пусть старшие коэффициенты t / " J оператора Р постоянны, а остальные коэффициенты А ж равномерно непрерывны по Гельдеру в равномерной топологии на всем пространстве ¡Р\П . Тогда из оценки Шаудера для оператора Р г т + $* . г 0 ;

L > L- следует равномерная эллиптичность оператора г. , j

ТЕОРЕМА 4.7.3. Пусть пространство X конечномерно, one- -f ратор Р' lv п'(Р)—* Р равномерно инъективен, его коэффициенты

Ад - почти периодические функции CC'Slst при Id / -nl), :lj которые равномерно непрерывны по Гёльдеру. Тогда оператор Р: .Q т ^—^ q имеет ограниченный обратный.

В теореме 4.7.4 дано необходимое и достаточное условие обратимости оператора с постоянными коэффициен- { тами. | Кроме того, в параграфе имеются другие утверждения и приме- j ры.

Равномерная инъективность оператора Р: С —> С относительно пар (С\ C')(jI в § 4.8 выводится из равномерной инъективности операторов Р' Wm(LP)^U\ Р - Wm(P\P) - ГЛР (теоремы 4.8.1-4.8.3).

В последнем § 4.9 изучаются так называемые Я^'-t - операторы Р •■ W^'iP)—* F в [Rn .

TEOPEIvlA 4.9.1. Для того, чтобы оператор

Р- W (W) - L' был Я-+ - оператором, необходимо, а при конечномерном X к достаточно, чтобы существовали такие постоянные к >0 и R >С , что ilullH m(Lp) * К 11 Ри 11 Lp * К llu J/Lp(0 Ю *

Теорема 4.9.2 дает необходимое и достаточное условие в конечномерном X того, чтобы оператор Р- Wт(Хэ) —•>X являлся + - оператором.

ТЕОРЕМА 4.9.3. Пусть - произвольное банахово прострак-ство. Для того, чтооы оператор / - и/ ( ^ ./ ¿ был -+- -оператором необходимо, чтобы оператор Р был равномерно эллиптическим.

Б теореме 4.9.4 получены достаточные условия, при которых оператор Р: W rri(L2) -^¿3 с гладкими коэффициентами Ad есть ч- - оператор.

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Куйбышевском госуниверситете , Воронежском госуниверситете, Пермском политехническом институте, Липецком техническом университете; на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987), на ХУ1 школе по теории операторов (Ульяновск, 1990), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994), на школах в Воронеже: "Понтрягинские чтения - 1У, У (1993; 1994), "Современные проблемы механики и математической физики" (1994), ХХУ1 зимняя математическая школа (1994).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43, 45, 121 - 142j .

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тюрин, Василий Михайлович, 1995 год

1. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора d /dt~Ä0 с неограниченным оператором А<? // Диффер.уравнения. 1991. - Т.27. Ä 12. - С. 2162-2164.

2. Баскаков А.Г., Чан Хыу Бонг. О почти периодичности решений линейных функциональных уравнений // ДАН. 1992.- Т.324, № I. С. 16-19.

3. Баскаков А.Г., Чан Хыу Бонг. Спектральные свойства ограниченных решений линейных дифференциально-функциональных уравнений // ДАН. 1992. - Т. 325, *,4. - С.647-651.

4. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов // ДАН. 1993.- Т.ЗЗЗ, № 3. С.282-284.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

6. Беллман Р., Беккенбах . Неравенства. М.: Мир, 1965.- 276 с.

7. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. -480 с.

8. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.- 410 с.

9. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Нау-кова думка, - 1969. - 244 с.

10. Бор Г. Почти периодические функции. М.-Л.: ОГИЗ, 1934. - '- 129 с.

11. Более Басит Р., Жиков Б.Б. Почти периодические решенияинтегро-дифференциальных уравнений в пространстве Банаха // Вестн. Моск. ун-та. 1971. - № 2. - С. 29-^3.

12. Брёкер Т., Лаццер Л. Дифференцируеше ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977. - 208 с.

13. Бугров Я.С. Функциональные пространства с смешанной нормой // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1971. - Т.35, №5. - С. 1137-1158.

14. Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. О дихотомии решений функционально дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами // ДАН СССР. 1970. - Т. 195, & 6. - С. 12591262.

15. Буренков В.И. О приближении функций из пространстватого множества // Тр. МИАН СССР. 1974. - Т. 131. - С. 51-63.

16. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и её приложение к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1967. - 576 с.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. - 528 с.

18. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории не линейных колебательных. М.: Изд-во МГУ, 1971. - 507 с.

19. Гаевский X., Грёчер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения.- М.: Мир, 1978. 336 с.

20. Гиль М.И. Операторные функции, дифференциальные уравнения и динамика систем. М.: Наука, 1984. - 151 с.

21. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наукафинитными функциями для произвольного откры1970. 534 с341

22. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962. 896 с.

23. Демидович Б.М. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. - 472 с.

24. Егоров Ю.В. Лекции по уравнениям с частными производными. Дополнительные главы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. -168 с.

25. Жиков В.В. К проблеме существования почти периодических решений дифференциальных и операторных уравнений // Труды ВЕЛИ. Владимир, 1969. - & 8. - С.94-188. . ;

26. Жиков В.В. Почти периодические решения линейных и нелинейных уравнений в банаховом пространстве // ДАН СССР. -Т. II, №6. С. 278-281.

27. Жиков В.В. К теории допустимости пар функциональных пространств // ДАН СССР. 1972. - Т.13, Л 4. - С. I28I-I283.

28. Жиков В.В. Принцип усреднения для параболических уравнений с переменным главным членом // ДАН СССР. 1973. -Т.14, № I. - С. I06I-I064.

29. Жиков В.В. О разрешимости линейных уравнений в классах почти периодических функций Безиковича и Бора // Матем. заметки. 1975. - Т.18, Jfe 4. - С. 553-560.

30. Жиков В.В. Некоторые новые результаты в абстрактной теории Фавара // Матем. заметки. 1975. - Т.17. - С.33-40.

31. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. 1976. - Т.40, № 6.- С. 1380-1408.

32. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. О G сходимости параболических операторов // УМН. - 1981. - Т.36, Jfe I.- С. 11-58.342

33. Жиков B.B., Козлов С.М., Олейник (H.A., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и С- сходимость дифференциальных операторов // УМН. 1979. - Т.34, № 5. - С.65-133.

34. Жиков В.В., Левитан Ь.М. Теория Фавара // УМН. 1977. -Т.32, № 2. - С.123-171.

35. Жиков В.В., Тюрин В.М. Об обратимости оператора djdt +А i~t) в пространстве ограниченных функций // Матем. заметки. 1976. - Т.19, Jfc I. - С.99-Г-104.

36. Зверкин А.М. Связь между ограниченностью и устойчивостью решений линейных систем с бесконечным числом степеней свободы // Диффер.уравнения. 1968. - Т.4, № 2. - С.366-367.

37. Зубко Ю.И., Тюрин В.М. О свойстве обратимости линейных дифференциально-разностных операторов в некоторых пространствах функций на оси // Диффер.уравнения. 1989. -Т.2э У. 10. - С.I683-1687.

38. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир, - 1967.' - 624с.

39. Каменский Г.А., Мышкис А.Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими членами // Дифференц.уравнения. -1974. Т.10, №3. - С.409-418.

40. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

41. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -2-е издание, переработанное. М.:Наука, 1977.- 742 с.

42. Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.:Наука, 1979. - 384 с.

43. Колесов Ю.С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти периодических343уравнений с последствием // Вестник ЯГУ. 1973. - Вып.5. - С.28-62.

44. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

45. Коновалов Ю.П. Почти-периодические решения квазигармонических систем с запаздыванием времени // Изв. вузов, сер. Матем. 1969. - Т.89. - С. 62-69.

46. Коротков В.Б. К теоремам вложения С.Л.Соболева для абстрактных функций // ДАН СССР. 1961. - Т.141, № 2. - С. 308-311.

47. Кочубей А.Н. 0 почти периодических решениях функционально-операторных уравнений // Сиб.матем.журн. 1983. - Т. 24, № 3. - С.162-111.

48. Кравченко В.Г. Об одном функциональном уравнении со сдвигом в пространстве непрерывных функций // Матем.заметки.-1977. Т.22, № 2. - С.303-311.

49. Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нётера неограниченных операторов со сдвигом Карлемана // Мат.заметки. -1991. Т.49, № I. - С. 63-69.

50. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.:Наука, 1970. - 352 с.

51. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

52. Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости // УМН. 1949. - Т.З,3. С. 166-169.

53. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

54. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1971. 104 с.

55. Курбатов В.Г. Об обратимости дифференциально-разностных операторов в различных топологиях. Воронеж, 1983. -15 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 10.01.84., № 764-84 Деп.

56. Курабатов В.Г. Об обратимости почти периодических операторов // Функц.анализ и его приложения. 1985. - Т.19, #3. - С.71-72.

57. Курбатов В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений // Сиб.матем.журн. 1986. - Т.27, № I. - С.86-99.

58. Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной. Воронеж,1987. 34 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 12.12.86, Jfe I2-B87.

59. Курбатов В.Г. О функционально-дифференциальных уравнениях с непрерывными коэффициентами // Матем.заметки.1988. Т.44, № 6. - С.850-852.

60. Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной // Дифференц. уравнения. 1988. - Т.24, № 9. - C.I503-I509.

61. Курбатов В.Г. Об обратимости почти периодических операторов // Матем.сборник. 1989. - Т.180, № 7. - С.913-923.

62. Курбатов В.Г. Об обратном к С непрерывному оператору // Матем.заметки. - 1990. - Т.48, № 5. - С.68-71.

63. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов // Функц.анализ и его прилож. 1990. - Т.24,ЯЗ.- С.87-88.

64. Кучер Д.JI. О некоторых критериях ограниченности решений системы дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1949.- Т.69, № 5. С. 603-6G6.

65. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.:Наука, 1967. 736 с.

66. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. -576 с.

67. Лебедев A.B. Об обратимости операторов со сдвигом // Доклады АН БССР. 1983. - Т.27, № 9. - С. 773-775.

68. Левенштам В.Б. Усреднение квазилинейных параболических уравнений с быстро осциллирующей главной частью. Экспоненциальная дихотомия // Изв. РАН. Серия матем. 1992.- Т.56, № 4. С.813-851.

69. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.: Гостех-издат, 1953. - 396 с.

70. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 204 <

71. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. матем. ж. 1953. - Jfe 5. - С. I23-I5I.

72. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральс. политехи, ин-та. -1954. Т.5. - С.20-50.

73. Максимов В.П. Нётеровость общей краевой задачи для линей ного функционально-дифференциального уравнения // Диффер346уравнения. 1974. - Т.10, № 12. - С.2288-2291. ;

74. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972. - 246 с.

75. Малкин И.Г. Об устойчивости по первому приближению // Сб. научных трудов Казанского авиац.ин-та. 1935. - Т.З. -С. 7-17.

76. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. -М.:Наука, 1988. 311 с.

77. Массеры 1, Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. - 456 с.

78. Мизохата С. Теория уравнений с частными производивши. -М.: Мир, 1977. 504 с.

79. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. - 440 з.

80. Митропольский Ю.А., Самойленко А„М. К вопросу .об асимптотических разложениях в нелинейной механике. // Удф.матем. журн. 1979. - Т.31, # I. - С.42-53.

81. Мухамадиев Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций // ДАН СССР. 1971. - Т.196, Л I. - С.47-49.

82. Мухамадиев Э.М. Об обратимости дифференциальных операторов | в частных производных эллиптического типа // ДАН СССР. -1972. Т.205, № 6. - С. 1292-1295. ,

83. Мухамадиев Э.М. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // Матем.заметки. 1972. - Т.II, №3. - С. 296-274.

84. Мухамадиев Э.М. Условия фредгольмовости дифференциальныхIоператоров в пространстве непрерывных и ограниченных на !!оои функций // ДАН Тадж.ССР.- 1974.- Т.17, * С.13-16.347

85. Мухамадиев Э.М. О фредгольмовости скалярных обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // ДАН Тадж. СССР. 1974. - Т.17, Jt 5.С. 3-6.

86. Мухамадиев Э.М. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 1981. - Т.ЗО, А 3. - С.443-460.

87. Мухамадиев Э.М. О нетеровости обыкновенных дифференциальных дифференциальных операторов высшего порядка с ограниченными на оси коэффициентами // ДАН Тадж. 1981. - Т. 24, # 7. - С.405-409.

88. Мухамадиев Э.М. О нормальной разрешимости и нетеровостипэллиптических операторов на пространстве функций на К . Ч. I. Зап.научн.семинаров ЛОМИ (Краевые задачи математической физики, 13). - 1981. - Т.ПО. - С. 120-140.

89. Мухамадиев Э.М. О нормальной разрешимости и нетеровости эллиптических операторов в пространстве функций на (F* . Ч. П. Зап.научн.семинаров ЛОМИ. - 1982. - Т.138. - С. 108-126.

90. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 349 с.

91. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных итеоремы вложения. 2-е издание. - М.:Наука. - 1977. 455 с.

92. Островский М.Я.Дечурин С.Л. Стационарные модели систем автоматического управления. Л.: Энергоатомиздат, 1989. - 208 с.

93. Перов А.И., Та Куанг Хай, Тюрин В.М. О почти периодических решениях линейных дифференциальных уравнений // При348ближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1980. - № 6. -С. I04-II3.

94. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax(t) + $кФчЮ // Дифференц.уравнения. 1975. - T.II, 6. - С. 19962010.

95. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вшца школа, 1976. - 180 с.

96. Слюсарчук В.Е. Обратимость почти периодических операторов, порожденных дискретными системами // Укр. матем. журн. 1979. -T.3I, № 4. - С.460-463.

97. Слюсарчук В.Е. Обратимость функционально-дифференциальных операторов // ДАН УССР. 1980. - Сер. А, № 9. С. 29-32.

98. Слюсарчук В.Е. Обратимость разностных операторов // ДАН УССР. 1980. - Сер. А, № II. - С. 24-27.

99. Слюсарчук В.Е. Интегральное представление с непре- Sрывных операторов // ДАН УССР. 1981. - Сер. А, № 8. - ,С. 34-37. Î

100. Слюсарчук В.Е. Обратимость почти периодических с не- I прерывных - функциональных операторов // Матем. сборник.- J 1981. - Т.116(158), № 4(12). - С. 483-501. j

101. Слюсарчук B.E. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-дифференциальных операторов // Матем.заметки. 1987.-Т.42, Jé 2. - С. 262267.

102. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.5. М.: ФМ, 1959. - 656 с.

103. Соболев C.I. 0 почти периодичности решений волнового уравнения // ДАН СССР. 1945. - Т.49, № I. - С.12-14.

104. Соболев СЛ. Некоторые применения функционального анализа математической физике. 3-е издание, переработанное и дополненное. - М.: Наука, 1988. - 336 с.

105. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М. : Мир, 1985. - 472 с.

106. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов-Фурье. В 2-х томах. Ï.I. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир. 1984. - 360с.

107. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.496 с.

108. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.- 664 с.

109. Тюрин В.М. О регулярности линейных дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами // Функ350циональный анализ. Ульяновск. 1973. - Вып.1, - С.130-140.

110. Тюрин В.М. Допустимость некоторых функциональных пространств и дихотомия решений для уравнений с постоянными коэффициентами // Дифференц.уравнения. 1975. - Т. II, № 8. - С. 1526-1528.

111. Тюрин В.М. О регулярности линейных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами // Труды семинара по дифференциальным уравнениям. Куйбышев: КГУ, 1975 - № I. - С. 146-150.

112. Тюрин В.М. О возмущении регулярного дифференциального оператора с почти периодическими коэффициентами //Дифференц. уравнения и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1975.-№ 2. - С.133-136.

113. Тюрин В.М. Об обратимости линейных разностных операторов с почти периодическими коэффициентами в пространстве ограниченных последовательностей // Труды семинара по дифференциальным уравнениям. Куйбышев: КГУ, 1977.3 С. 115-118.

114. Тюрин В.М. Об обратимости оператора с(/с1Ь ~ А (Л ) в некоторых функциональных пространствах // Матем.заметки.- 1979. Т.25, № 4. - С. 585-590.

115. Тюрин В.М. К дихотомии решений линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Изв. АН Аз.ССР. Серия физ.-техн. и мат.наук. 1980. - № 6.с. 44-47.

116. Тюрин В.М. К обратимости линейных дифференциальных операторов с коэффициентами при производной // Тез.докл. Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (28-30 сентября). Ч.П. -Душанбе, 1987. С. 120. !I

117. Тюрин В.М. О Р корректности линейных дифференциальных операторов // Тез.докл. ХУ1 школы по теории операторов. - Ульяновск, - 1990. - 0.95

118. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах // Сиб. матем.журн. 1991. - Т.32, № 3. - С. 160-165.

119. Тюрин В.М. О К инъективности линейных дифференциальных операторов с частными производными в некоторых функциональных пространствах. - Липецк, 1992. - 37 с. - Рукопись представлена Липецк.политехи.ин-том. Деп. в ВИНИТИ 25.06.92, № 2084-В92.

120. Тюрин В.М. О В корректности линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах. -Липецк, 1992. - 10 с. - Рукопись представлена Липецк, политехи, ин-том. Деп. в ВИНИТИ 25.06.92, № 2085-В92.

121. Тюрин В.М. О некоторых свойствах линейных дифференциальных операторов // "Понтрягинские чтения 1У": Тез.докл. школы. - Воронеж: ВГУ, 1993.-- 0.187.

122. Тюрин 0 некоторых коэрцитивных неравенствах для дифференциальных операторов с частными производными // Современные проблемы механики и математической физики: Тез.докл. Воронеж: НГУ, 1994. - С. 96.

123. Тюрин В.М. О равномерной инъективности дифференциальных операторов с частными производными второго порядка // ХХУ1 Воронежская зимняя математическая школа:Сб.научн.тр.