Усовершенствованные версии k-ω SST модели турбулентности для расчета аэродинамических характеристик крыльев и турбинных лопаток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Матюшенко Алексей Алексеевич

• Матюшенко Алексей Алексеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Матюшенко Алексей Алексеевич

Введение

Глава 1. Анализ и пути повышения точности полуэмпирических моделей турбулентности при расчете крыловых профилей и турбинных лопаток

1.1 Численное моделирование в рамках уравнений Рейнольдса

1.2 Учет ламинарно-турбулентного перехода

1.3 Модели для расчета обтекания аэродинамических профилей при режимах, характеризующихся отрывом на стороне разрежения

1.4 Нелинейные поправки к моделям турбулентности

Глава 2. Версия модели SST для учета ламинарно-турбулентного перехода, основанная на алгебраическом выражении для коэффициента перемежаемости (SST-yaig)

2.1 Формулировка модели SST-yaig

2.2 Метод расчета и используемые вычислительные коды

2.3 Постановки задач, использовавшихся при калибровке и верификации модели

2.3.1 Пограничные слои на плоской пластине

2.3.2 Обтекание турбинной лопатки Pak-B

2.3.3 Обтекание крыловых профилей

2.3.4 Обтекание тандема крыловых профилей NACA

2.4 Методические расчеты

2.4.1 Калибровка эмпирических констант

2.4.2 Чувствительность решения к начальному приближению

2.4.3 Верификация имплементации модели

2.5 Тестирование предложенной модификации

2.5.1 Пограничные слои на плоской пластине

2.5.2 Обтекание турбинной лопатки Pak-B

2.5.3 Обтекание крыловых профилей

2.5.4 Обтекание тандема крыловых профилей NACA

Глава 3. Версия SST модели для расчета обтекания прямых крыльев при режимах, характеризующихся отрывом на стороне разрежения (SST-HL)

3.1 Формулировка модели SST-HL

3.2 Постановка задач обтекания крыльев постоянного сечения

3.3 Методические расчеты

3.3.1 Калибровка константы аыь

3.3.2 Верификация имплементации модели

3.3.3 Проверка точности расчета присоединенного пограничного слоя

3.4 Тестирование модели SST-ЫL

3.5 Тестирование модели SST-HL-yalg

Глава 4. Нелинейная версия SST модели для расчета течений со вторичными токами (88Т-Ж)

4.1 Формулировка нелинейной модели 88Т-ЫЪ

4.2 Постановки задач, использовавшихся при калибровке и верификации модели

4.2.1 Развитое течение в канале квадратного сечения

4.2.2 Течения в диффузорах прямоугольного сечения

4.2.3 Обтекание модели самолета DLR-F6

4.3 Методические расчеты

4.3.1 Калибровка константы Ст

4.3.2 Верификация имплементации модели

4.3.3 Проверка влияния модификации на точность расчета присоединенных и отрывных пристеночных течений

4.4 Тестирование модели 88Т-ЫЪ и демонстрация ее возможностей

4.4.1 Течения в диффузорах прямоугольного сечения

4.4.2 Обтекание модели самолета DLR-F6

Заключение

Список литературы

Приложение А. Формулировка модели 88Т-а^-у

Приложение Б. Формулировка модели 88Т-ЫЬ

Приложение В. Формулировка модели

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Численное моделирование течений жидкости и газа давно и успешно применяется для разработки новых и оптимизации уже существующих устройств во многих отраслях промышленности. Это позволяет существенно снизить стоимость проектирования за счет сокращения более сложных и дорогих экспериментальных исследований, данные которых, в идеале, должны использоваться исключительно для настройки вычислительных моделей и для валидации результатов расчетов. Требования, предъявляемые к точности результатов численного моделирования, зависят от области применения разрабатываемых конструкций и устройств. В частности, очень высокая точность расчета требуется при решении ряда задач, связанных с авиацией и энергетическими установками. Эти задачи, существенным элементом которых является обтекание крыльев и лопаток турбин, имеют много схожих черт и, как следствие, общие причины снижения точности при их численном моделировании.

Так, при проектировании планера самолета одной из важнейших задач, напрямую связанной с обеспечением авиационной безопасности при эксплуатации воздушных судов, является определение аэродинамических сил и моментов, действующих на крыло планера или на элементы его хвостового оперения в процессе полета. В зависимости от скорости полета и размера обтекаемого крыла в пограничном слое, формирующемся на его поверхности, присутствуют как ламинарные, так и турбулентные участки, что существенно усложняет моделирование всего течения.

При моделировании лопаток паровых и газовых турбин, повышение коэффициента полезного действия (КПД) которых является одной из наиболее важных задач энергетики, возникает схожая проблема: на части поверхности пограничный слой является ламинарным, а на части - турбулентным. Кроме того, для повышения эффективности парогазовые турбины зачастую конструируются таким образом, чтобы при обтекании их лопаток углы атаки были близки к критическим, что приводит к появлению отрывных зон и заметно усложняет задачу численного моделирования. Описанные проблемы характерны также для моделирования течения в окрестности лопастей турбин ветрогенераторов, обтекание которых осуществляется при режимах, близких к срыву потока.

Кроме того, задача моделирования обтекания крыльев планера и турбинных лопаток существенно усложняется в окрестности их сочленения с другими элементами конструкций, такими как фюзеляж самолета и пилон двигателя, или вал турбины и ее кожух. Погрешность в описании взаимодействия потока с несколькими поверхностями при наличии продольных градиентов давления может приводить к искажению структуры течения и к существенной ошибке в предсказании искомых характеристик.

Как уже отмечалось, поток в таких задачах является в той или иной мере турбулентным, поэтому обеспечение высокой точности его моделирования невозможно без применения эффективных подходов к моделированию турбулентности. Принято считать (см, например, [1]), что наиболее надежными методами для предсказания характеристик турбулентных течений являются вихреразрешающие подходы, такие как прямое численное моделирование (Direct Numerical Simulation - DNS), метод моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation - LES) или гибридные методы, объединяющие в себе наиболее сильные стороны RANS и LES подходов (Hybrid RANS-LES Methods - HRLM). К сожалению, в силу чрезвычайно больших вычислительных затрат, требуемых для получения решения с использованием этих методов, их использование в инженерной практике пока ограничено, а основная доля расчетов выполняется с использованием более дешевых, но менее точных методов.

Одним из основных подходов, используемых при проектировании аэродинамических профилей и турбинных лопаток, является решение уравнений Рейнольдса (Reynolds Averaged Navier-Stokes - RANS), замкнутых при помощи той или иной полуэмпирической модели турбулентности. Эти уравнения формулируются относительно осредненных по времени газодинамических величин, а влияние турбулентности на эти характеристики полностью моделируется. Можно сказать, что именно модель турбулентности «отвечает» за точность описания влияния турбулентности на поток и, следовательно, за точность результатов моделирования в целом.

К сожалению, «универсальные» полуэмпирические модели, обеспечивающие необходимую для практики точность расчета широкого круга течений, в настоящий момент отсутствуют. Более того, в последние три десятилетия общепринятой стала точка зрения, согласно которой построение подобной модели в принципе невозможно (см.,

например, [2], [3], [4]). В этой связи основные усилия по развитию метода RANS в последнее время были направлены на разработку модифицированных версий наиболее успешных из существующих моделей турбулентности, которые направлены на повышение точности расчета конкретных типов течений.

Признано (см., например, [5], [6]), что одной из лучших (а, возможно, и лучшей) среди полуэмпирических моделей турбулентности является модель сдвиговых напряжений SST. Об этом, в частности, свидетельствует то, что в базе данных Scopus количество цитирований работы [7], в которой была предложена модель SST, составляет около 15000 статей, что в несколько раз больше количества ссылок на любую другую статью, в которой предлагается модель турбулентности. Эта модель успешно применяется для расчета различных течений, в том числе и для моделирования обтекания аэродинамических профилей и турбинных лопаток (см., например, отчеты европейских проектов по тестированию моделей турбулентности [8], [9], [10] и др.), однако в ряде случаев даже при ее использовании точность расчетов оказывается недостаточно высокой [11].

Первое, уже упомянутое, обстоятельство, которое может приводить к снижению точности расчета, состоит в том, что на поверхности аэродинамических профилей и турбинных лопаток сначала развивается ламинарный пограничный слой, потом в нем происходит ламинарно-турбулентный переход (ЛТП) и лишь потом он становится турбулентным. Игнорирование этого обстоятельства не только приводит к ошибке в расчете трения и, соответственно, сопротивления, но и к погрешности в предсказании профиля скорости, что может приводить к смещению положения отрыва от гладкой поверхности. Учет того, что часть пограничного слоя на поверхности является ламинарной, невозможен без использования моделей ЛТП, которые, как правило, построены на базе известных полуэмпирических моделей турбулентности и могут рассматриваться как их модификации, расширяющие область применимости на течения с ЛТП.

На базе модели SST было разработано несколько таких модификаций, из которых наиболее успешными являются две, SST-y-Ree [12] и SST-y [13], ламинарно-турбулентный переход в которых управляется величиной коэффициента перемежаемости у. Для определения этой величины в модели [12] и [13] к исходной

системе уравнений модели SST добавляется, как минимум одно, дополнительное дифференциальное уравнение переноса у, опирающееся на эмпирические корреляции. Использование этих моделей позволяет в целом ряде случаев заметно повысить точность расчета, однако, к сожалению, сопровождается существенным ростом вычислительных затрат. Это связано, в первую очередь, с заметным ухудшением сходимости итерационных алгоритмов (в ряде случаев сходимости вовсе не удается добиться), вызванным существенной нелинейностью дополнительных уравнений для у и других характеристик, определяющих положение ЛТП. Одним из возможных путей решения этой проблемы, активно развиваемым в последние годы, является использование алгебраических соотношений для вычисления коэффициента перемежаемости у.

Однако, даже при использовании моделей турбулентности, учитывающих ЛТП, точность расчета крыловых профилей при режимах, характеризующихся отрывом на стороне разрежения, оказывается неудовлетворительной: расчеты предсказывают существенное завышение коэффициента подъемной силы по сравнению с измеренными в экспериментах значениями (ошибка может достигать 25% [11]). Эта погрешность носит систематический характер, не зависит от степени турбулентности набегающего потока и наблюдается при различных числах Маха и Рейнольдса. Ряд работ [14], [15] посвященный анализу этого явления, показал, что наблюдаемое рассогласование вызвано, в первую очередь, недостатками существующих моделей турбулентности, в том числе модели SST.

Наконец, еще одним характерным недостатком результатов решения уравнений Рейнольдса, полученных с использованием различных полуэмпирических моделей турбулентности (включая модель SST), является завышение величины углового отрыва в окрестности сопряжения крыла с фюзеляжем самолета (Side Of Body Separation или SOB). В качестве примера на Рисунке 1 приведено сравнение линий тока на поверхности модели планера DLR-F6, рассчитанных с использованием модели SST [7], с экспериментальными данными [16], из которого видно существенное завышение размера отрывной зоны в окрестности сочленения крыла и фюзеляжа в расчете. Неоднократно было показано (см., например, [17], [18]), что возникновение раннего углового отрыва под влиянием положительного градиента давления связано с использованием обобщенной гипотезы Буссинеска, постулирующей линейную связь между тензором напряжений Рейнольдса Tij и тензором скоростей деформаций . Указанная проблема решается путем применения

нелинейных моделей турбулентности (не использующих гипотезу Буссинеска), которые предсказывают наличие вторичных токов, направленных к углу (см., например, [19]), прижимающих поток и предотвращающих угловой отрыв.

Рисунок 1 - Сравнение визуализации линий тока на поверхности модели самолета БЬЯ-Еб, полученных в эксперименте [16] и в ЯА^ расчете с использованием модели 88Т (из [19]).

Таким образом, можно констатировать, что для расчета аэродинамических профилей и турбинных лопаток одной из лучших (а, возможно, и лучшей) среди существующих на сегодняшний день моделей турбулентности является модель переноса сдвиговых напряжений SST. Тем не менее, в ряде случаев даже она не обеспечивает достаточной точности результатов, однако ее эффективность может быть повышена путем введения специальных модификаций, направленных на устранение выявленных недостатков, что и определило направление настоящей работы.

Цель и задачи работы

Основная цель работы состоит в повышении точности расчета обтекания крыльев и турбинных лопаток в рамках уравнений Рейнольдса путем соответствующих усовершенствований модели переноса сдвиговых напряжений SST.

Конкретные задачи, решенные в диссертации для достижения этой цели, состоят в разработке следующих усовершенствованных версий модели SST:

• конкурентоспособной с точки зрения точности и вычислительно экономичной версии для описания ламинарно-турбулентного перехода;

• версии, обеспечивающей существенное повышение точности расчета обтекания крыльев и лопаток турбин под большими (приводящими к отрыву потока на стороне разрежения) углами атаки, при которых имеет место максимум подъемной силы;

и и и и

• нелинейной версии, обеспечивающем более точное описание течении в области корня крыла/ лопатки.

Еще одна задача работы состоит во всестороннем тестировании разработанных

моделей с целью демонстрации их преимуществ над оригинальной моделью.

Научная новизна

Предложено три новые версии модели переноса сдвиговых напряжений SST,

являющейся в настоящее время одной из наиболее широко используемых

полуэмпирических моделей

• алгебраическая (не использующая дополнительных дифференциальных уравнений) версия для описания ЛТП;

• версия, обеспечивающая повышение точности расчета обтекания крыла/лопатки под большими углами атаки, т.е. при режимах, позволяющих достичь максимума подъемной силы;

• нелинейная версия для более точного расчета течения в области «двухгранных углов» (окрестность корня крыла/лопатки).

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит в:

• расширении возможностей моделирования переходных и турбулентных аэродинамических течений в рамках полуэмпирических моделей турбулентности;

• изучении с помощью разработанных моделей особенностей возникновения и развития трехмерных вихревых структур при расчете обтекания крыльев при режимах с умеренным отрывом пограничного слоя на стороне разрежения.

Практическая значимость работы состоит:

• все предложенные усовершенствованные версии 88Т модели найдут применение в различных СББ кодах, используемых для разработки и оптимизации крыльев и турбинных лопаток (одна из них, модель 88Т-ЫЪ, уже используются в ЦАГИ [20]);

• получены подробные расчетные данные по аэродинамическим характеристикам обтекания прямых крыльев, представляющие большой практический интерес.

Положения, выносимые на защиту

1. Новая алгебраическая версия модели переноса сдвиговых напряжений SST для учета ламинарно-турбулентного перехода.

2. Новая версия модели переноса сдвиговых напряжений SST, обеспечивающая значительное повышение точности расчета обтекания крыльев/турбинных лопаток при режимах, которые характеризуются отрывом потока на стороне разрежения.

3. Новая нелинейная версия модели переноса сдвиговых напряжений SST, обеспечивающая более точное описание течения в окрестности корня крыла/лопатки.

4. Детальные расчетные данные по аэродинамическим характеристикам обтекания прямых крыльев.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается:

• верификацией и валидацией математических моделей, реализованных в коде общего назначения ANSYS FLUENT, выполняемой многочисленными научными группами и организациями во всем мире на протяжении нескольких десятилетий;

• тщательной верификацией моделей, разработанных в диссертации, путем сравнения результатов, полученных с их помощью, с аналогичными результатами, полученными с использованием академического конечно-объемного CFD кода лаборатории «Вычислительная гидроаэроакустика и турбулентность» СПбПУ «Numerical Turbulence Simulation» (NTS код);

• валидацией разработанных моделей путем систематического сопоставления полученных с их помощью результатов с известными из литературы данными физического и численного эксперимента.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представлены на

следующих российских и международных конференциях и семинарах:

• российская национальная конференция по теплообмену РНКТ (Москва, Россия, 2014 и 2018);

• XX школе-семинар молодых ученых и специалистов под руководством акад. РАН А.И. Леонтьева (Звенигород, Россия, 2015);

• международная молодежная конференция ФизикА.СПб (Санкт-Петербург, Россия, 2015, 2018, 2020, 2022);

• International ERCOFTAC Symposium on Engineering Turbulence Modelling and Measurements ETMM (Родос, Греция, 2021).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Усовершенствованные версии k-ω SST модели турбулентности для расчета аэродинамических характеристик крыльев и турбинных лопаток»

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения

В Главе 1 на основе анализа существующих полуэмпирических моделей турбулентности и оценки их возможностей применительно к расчету аэродинамических профилей и турбинных лопаток (раздел 1.1) выбрана наиболее перспективная для рассматриваемого класса течений модель турбулентности £-ю SST и выявлены ее основные недостатки. Приведен обзор предложенных к настоящему времени путей устранения этих недостатков и показана их недостаточная эффективность (разделы 1.2-1.4).

В Главе 2 представлена новая версия модели £-ю SST для предсказания ламинарно-турбулентного перехода SST-yalg, основанная на алгебраической модели для определения коэффициента перемежаемости, и выполнено ее тестирование. Показано, что предложенная версия по точности не уступает существующим дифференциальным моделям ЛТП и при этом существенно превосходит их по вычислительной эффективности.

В Главе 3 описана новая версия модели £-ю SST, позволяющая повысить точность расчета обтекания прямых крыльев конечного размаха при режимах, характеризующихся отрывом потока на стороне разрежения (модель SST-HL), и приведены результаты ее тестирования.

В Главе 4 представлены формулировка и результаты тестирования нелинейной версии £-ю SST модели турбулентности (SST-NL), позволяющей избежать возникновения ложного отрыва при течении вдоль двугранного угла.

В Заключении кратко сформулированы основные новые результаты, полученные автором и выносимые им на защиту.

Глава 1. Анализ и пути повышения точности полуэмпирических моделей турбулентности при расчете крыловых профилей и турбинных лопаток

1.1 Численное моделирование в рамках уравнений Рейнольдса

Как же было сказано во Введении, задача расчета характеристик обтекания крыловых профилей и турбинных лопаток имеет большую практическую значимость, поэтому различные подходы к решению этой задачи стали развиваться с 30х годов XX века. С ростом возможностей вычислительной техники в 70е годы для решения этой задачи стали предприниматься попытки использования численного моделирования, основанного на решении уравнений Рейнольдса, для замыкания которых применялись различные полуэмпирические модели турбулентности.

К сожалению, точность первых результатов, полученных с использованием дифференциальных к-е моделей турбулентности, оказались неудовлетворительной. Причиной этого было затягивание отрыва от гладкой поверхности крыловых профилей, вызванное тем, что эти модели предсказывали слишком высокий уровень турбулентной вязкости в пограничных слоях при наличии положительного градиента давления. Это привело к тому, что вплоть до конца 80х годов расчет крыловых профилей в основном осуществлялся с использованием алгебраических моделей турбулентности, таких как модель Болдуина-Ломакса [21].

С начала 90х годов ситуация кардинально изменилась в силу целого ряда обстоятельств. Большую роль сыграло то, что возможности вычислительной техники достигли уровня, при котором проведение подобных расчетов стало доступно широкому кругу исследователей, что стимулировало появление новых эффективных и устойчивых вычислительных алгоритмов для решения уравнений гидрогазодинамики. Все это стало причиной бурного развития академических и коммерческих кодов, позволяющих решать двумерные и трехмерные уравнения движения. В рамках таких кодов имплементация и использование алгебраических моделей турбулентности (включая модель Болдуина-Ломакса), предназначенных для расчета параллельных течений, оказались весьма затруднительны.

Кроме того, в начале 90х годов был достигнут существенный успех в развитии полуэмпирических моделей турбулентности. Были предложены весьма эффективные дифференциальные модели Секундова vt — 92 [22] и Спаларта-Аллмареса SA [23], использующие одно уравнение для турбулентной вязкости, причем последняя была ориентирована на аэродинамические приложения. Для моделей типа к-г было найдено решение, позволяющее кардинально повысить точность описания пограничных слоев с неблагоприятным градиентом давления [24], что крайне важно для расчета обтекания крыловых профилей. Тогда же была предложена модель турбулентности SST, идея которой состояла в сочетании лучших качеств уже известных моделей: стандартной к-г модели [25], хорошо проявившей себя при расчете свободных течений, и к-ю модели Вилкокса [26], обеспечивающей точное описание пограничных слоев [27]. В частности, в этой модели исправлен основной недостаток к-ю модели Вилкокса [26], состоящий в высокой чувствительности результатов расчетов к значению удельной диссипации ю во внешнем потоке.

Модель SST базируется на модели BSL (baseline) [28], в которой модели к-г и к-ю взвешиваются при помощи эмпирической функции F1:

Fi = tanh(argt), ar9l = min [max ^

где ц - молекулярная динамическая вязкость, p - плотность, dw - расстояние от рассматриваемой точки потока до ближайшей стенки, перекрестный член (Cross-Diffusion - CDko) определяется выражением:

CDk^ = 2 о dXjdXj, (1.2)

а ß*, во2 - эмпирические константы.

Масштабы турбулентности к и ю определяются из решения дифференциальных уравнений их переноса:

dt dxj k K K dxj

K— + -pj~= Р — ßp"2 + p(1 — F1)CDk о +dXj

d Xj

(1.3)

где генерация кинетической энергии турбулентности и ее удельной диссипации рассчитывается с использованием следующих выражений:

Pk = mm(-pu[u;^i,10pp*fcw), (1.4)

ч

Р — а"Р р 1 (Л

= ^+0.001ц к (15)

Модель Б8Ь является линейной, т.е. для расчета напряжений Рейнольдса используется гипотеза Буссинеска:

puj'uj = 2^t (^ij -^^¡rSij) -2рк8ц, (1.6)

в которой турбулентная вязкость [it определяется выражением:

Mt = p-- (1.7)

Переход от к-ю ветки, используемой вблизи стенки, к к-г осуществляется путем «переключения» значений констант при помощи весовой функции :

Ok = Fl^kl + (1 -

0ш = FiO^i + (1 - fi)om2, P = FiPi + (1-Fi)P2,

a =1-£^к!

ш в* /в* '

(1.8)

Наконец, константы модели, входящие в (1.1) - (1.5) и (1.8) равны:

ак1 = 1.0, аш1 = 0.5, р1 = 0.075, ак2 = 1.0, аш2 = 0.856, р2 = 0.0828, (1.9)

к = 0.41, р* = 0.09.

К сожалению, проблема задержки отрыва пограничного слоя под влиянием неблагоприятного градиента давления, вызванной чрезмерно высоким значением турбулентной вязкости в этой области, которая характерна для к-г моделей, также в определенной степени «унаследована» моделью BSL. Этот недостаток исправлен в модели SST [7], [28], последняя версия которой была предложена в [29], за счет введения ограничителя в знаменатель выражения для расчета турбулентной вязкости (1.7):

Ц= Г1Р" V (1.10)

1 Слагаемое 0.001 ^ в знаменателе этого выражения отсутствует в опубликованной версии модели SST [29],

однако, оно используется в имплементации модели в ANSYS FLUENT и поэтому приведено в настоящей диссертации.

где S - инвариант тензора скоростей деформаций

2 \dxj dx\J 3 dxk

который определяется выражением

5 ife + ^-i^kj (1.11) ij ij

5 = (1.12)

а эмпирическая константа ai = 0.31. Функция F2, входящая в (1.10), определена следующим образом:

F2 = ^(аг^2), ar^2 = max (113)

Отметим, что в ходе калибровки модели SST величина константы ст^ = 1 была изменена на ст^ = 0.85.

Кроме уже упомянутых полуэмпирических моделей турбулентности, в первой половине 90х годов был разработан ряд моделей, не использующих гипотезу Буссинеска, в частности дифференциальная модель переноса напряжений Рейнольдса SSG [30] и явная алгебраическая модель WJ-EARSM [31].

Огромное количество работ, посвященных численному моделированию обтекания аэродинамических профилей и профилей лопаток парогазовых и ветряных турбин, не позволяет привести исчерпывающий их обзор, поэтому ниже приведены лишь основные тенденции, наблюдаемые в результатах этих расчетов.

Типичными примерами этих исследований являются работы [32], [33] в которых использовался двумерный RANS подход для расчетов обтекания аэродинамических профилей S805 и S809 в широком диапазоне углов атаки, при которых реализуется как полностью присоединенное течение, так и режим, характеризующиеся отрывом потока на стороне разрежения. Для режимов, при которых отсутствует отрыв на стороне разрежения (для этих режимов зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки практически линейна), в целом было получено приемлемое согласие между результатами расчета и экспериментальными данными, а при отрывном режиме обтекания результаты расчетов сильно зависели от используемой модели, причем модель Болдуина-Ломакса сильно уступала по точности дифференциальным моделям к-е и к-ю. Схожие выводы

2 Здесь и далее используется правило суммирования по повторяющемуся индексу (правило Эйнштейна).

делаются во многих других работах и для аэродинамических профилей (см., например, [34]), и для профилей, характерных для ветроэнергетики (см., например, [35]).

Сравнение результатов расчета обтекания аэродинамического профиля NACA 63-415 при Re = 1.6-106 [36], полученных с использованием широкого круга моделей турбулентности, с экспериментальными данными свидетельствует о том, что точность, обеспечиваемая моделями SA и SST, не только превышает точность модели RNG к-е [37], но также и точность модели RSM [38]. Сравнение результатов расчетов отрывных режимов обтекания крылового профиля A-Airfoil [39] с использованием моделей турбулентности SST и SA показало, что модель SST обеспечивает несколько лучшее согласие с экспериментом, но погрешность все еще остается достаточно высокой.

Следует отметить, что получение стационарного решения для задач обтекания крыловых профилей при наличии отрыва потока на стороне разряжения зачастую связано с вычислительными трудностями, вызванными неустойчивостью рассматриваемого течения. Это привело к необходимости разработки специальных алгоритмов, повышающих устойчивость и улучшающих сходимость численного метода [40].

Важность учета ламинарно-турбулентного перехода на поверхности крылового профиля иллюстрирует работа [41], в которой приведены результаты моделирования четырех аэродинамических профилей. Первый из них (RIS0-B1-18) проектировался так, чтобы положение ЛТП не влияло на его аэродинамические характеристики, а остальные три профиля (NACA 63-430, S809 и DU 93-W-210) имеют характерную для сечения лопаток ветряных энергетических установок форму. Результаты расчетов профиля RIS0-B1-18 (Рисунок 2а) с использованием модели SST в предположении о полностью турбулентном режиме обтекания согласуются с выводами работ [32], [33]: при безотрывном обтекании профиля (а <10°) наблюдается хорошее совпадение коэффициента подъемной силы, полученного в расчете, с экспериментальным значением, однако при возникновении отрыва этот коэффициент оказывается несколько завышен. Для остальных трех профилей (Рисунок 2б - Рисунок 2г) в расчете наблюдается заметное занижение коэффициента подъемной силы при углах атаки, соответствующих безотрывному обтеканию. Авторы статьи связывают такое расхождение с тем, что в расчете не учитывался ЛТП, имевший место в эксперименте. Это предположение подтверждается экспериментальными исследованиями [42], в которых показано, что

наличие ламинарного участка в пограничном слое на передней части профиля приводит к повышению коэффициента подъемной силы по сравнению с полностью турбулентным режимом обтекания.

RIS0-B1-18 (а)

NACA 63-430 (б)

S809 (в)

DU 93-W-210 (г)

Рисунок 2 - Сравнение расчетного и экспериментального коэффициента подъемной силы для различных крыловых профилей (из [41]).

Уже отмеченный рост производительности вычислительной техники привел к тому, что в 90е годы разные группы исследователей начали проводить трехмерные расчеты обтекания крыльев и турбинных лопаток. В некоторых из этих расчетов при возникновении отрыва на стороне разряжения в отрывной области наблюдалось появление трехмерных «грибообразных» структур, называемых в литературе «stall cells» или «lift cells» [43]. Размер, форма и количество таких структур зависят от множества факторов, таких как, угол атаки, форма и размах крыла, число Рейнольдса и т.д.

Эти структуры к тому времени уже были хорошо известны и наблюдались в экспериментах, проводившихся различными исследователями на различных установках. Впервые, по всей видимости, они были обнаружены в работе [44], где исследовалось обтекание прямого крыла Clark-Y постоянного сечения с различным удлинением

(от 3 до 12). «Грибообразные» структуры хорошо видны на фотографиях структуры поверхностных линий тока, полученных при помощи масляной пленки (Рисунок 3). Также видно, что количество этих структур увеличивается с ростом удлинения, при этом отношение их поперечного размера к длине хорды крыла остается приблизительно постоянным.

Рисунок 3 - Влияние удлинения крыла Оагк-У (AR) на структуру течения на стороне разрежения при а = 18.40 и Re = 3.85405 (из [44]).

Механизм возникновения трехмерных «грибообразных» структур при отрыве потока на стороне разрежения был предложен в работе [45]. Авторы утверждают, что происхождение этих структур связано с неустойчивостью «вихревых ядер», образующихся в слое смешения вдоль линии отрыва и в следе за крылом (Рисунок 4а). Эта неустойчивость «вихревых ядер» приводит к их «волнистости» (Рисунок 4б), а затем к формированию трехмерной вихревой картины течения (Рисунок 4в). Эта картина соответствует «грибообразным» структурам (Рисунок 4г), наблюдаемым при масляной визуализации течения в экспериментальных исследованиях.

Согласно результатам этой работы количество «грибообразных структур» на крыле Ысец5 может быть приближенно рассчитано по следующей формуле:

МсеИз = АК/(П.22 • к • Ьап(асГц)), (1.14)

где ЛЯ— удлинение крыла, к — относительное (за масштаб длины принимается величина хорды) расстояние между линией отрыва и фокусом вихря, асгх — угол атаки, при превышении которого возникает отрыв на стороне разрежения. По данным работы [45] эта формула обеспечивает хорошее согласование предсказываемого количества «грибообразных» структур с известными авторам экспериментальными данными.

VQ&ITt* CQRE5

Рисунок 4 - Схема вихревой неустойчивости и образующихся грибообразных структур при отрывном режиме обтекания прямых крыльев (из [45]).

Впоследствии «грибообразные структуры» были детально изучены в серии экспериментов, проведенных в Новосибирске на низкотурбулентной трубе Т-324 [46], [47] и [48]. В частности, было установлено, что существует предельный размер вихревой структуры и в том случае, когда размах крыла превышает этот размер, происходит распад одной трехмерной структуры на две или несколько. Также было показано, что размер получающихся структур зависит от угла атаки. Аналогичный результат был получен в работе [49].

Как уже было упомянуто, «грибообразные структуры» могут быть предсказаны в расчетах, выполненных в рамках трехмерных уравнений Рейнольдса. Так, например, в работе [50] было исследовано обтекание крыла постоянного сечения с профилем NACA 0012 и размахом Lz = 10С (С - хорда профиля) при числе Рейнольдса Rе = 106 с использованием модели турбулентности SST. Трехмерные «грибообразные»

структуры наблюдались в узком диапазоне углов атаки 17 < а < 20o, которые

соответствуют отрыву потока от гладкой поверхности на стороне разряжения (см. Рисунок 5). Наличие трехмерных структур приводит к существенному различию секционного коэффициента давления в сечениях, соответствующих центру «гриба» и его границе

(Рисунок 6а). Хотя при углах атаки 16 < а < 18o учет трехмерных эффектов позволяет повысить точность расчета коэффициента подъемной силы, различие с экспериментом остается весьма существенным (Рисунок 6б). Схожие результаты были получены для крыла постоянного сечения NACA 4412 c использованием модели турбулентности SA в работе [51] и для крыльев RIS0-B1-18, NACA 63-430, S809 и DU 83-W-210 с использованием модели SST в уже процитированной работе [41]. Детальный анализ, выполненный при участии автора в работах [11], [52], показал, что рассогласование расчета и эксперимента нельзя объяснить только неправильным моделированием трехмерных структур, поэтому основным источником ошибок в расчете является несовершенство полуэмпирических моделей турбулентности.

Рисунок 5 - Осредненные по времени поверхностные линии тока на стороне разрежения крыла NACA-0012 при различных углах атаки. Синим цветом показана область отрыва (из [50]).

(а) (б) -1-1-'-1- 1.8 |-

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

х/С а°

Рисунок 6 - Распределение коэффициента давления на поверхности крыла NACA 0012 в различных поперечных сечениях для угла атаки а = 17.5o (а) и распределение коэффициента подъемной силы при различных углах атаки при двумерном и трехмерном численном моделировании и в эксперименте (б) (из [50]).

С начала 2000х возможности вычислительной техники позволили проводить трехмерные расчеты обтекания весьма сложных конфигураций, таких как планер самолета с мотогондолой или ступени турбинных лопаток. Характерным элементом таких задач является течение внутри «двухгранного угла», образованного сочленением крыла самолета с фюзеляжем или пилоном двигателя, или сочленением турбинной лопатки с валом. Неоднократно было показано (см., например, [17], [18]), что характерной проблемой при расчете таких течений является слишком ранний отрыв пограничного слоя под влиянием неблагоприятного градиента давления в окрестности угла и, как следствие, завышение размера отрывной зоны. «Раздутая» отрывная зона в расчете может приводить к искажению структуры течения в целом и к существенным ошибкам в определении важных с практической точки характеристик.

Характерный пример завышения размера зоны отрыва в окрестности сочленения крыла с пилоном двигателя при расчете планера самолета (см. Рисунок 7) приведен в работе [53], выполненной в рамках рабочего семинара «Second AIAA CFD Drag Prediction Workshop» [16]. Кроме того, в этой работе было показано, что завышение величины углового отрыва в окрестности сочленения крыла с фюзеляжем затрудняет получение сошедшегося решения из-за неустойчивости этого отрыва.

Рисунок 7 - Область сочленения крыла с пилоном двигателя для модели самолета DLR-F6. Слева - эксперимент, справа - расчет SST (из [53]).

Завышение величины углового отрыва, также имеющее место при расчете лопаток турбин (см., например, [54]), приводит к существенной ошибке в предсказании коэффициента потерь давления - одной из наиболее важных с практической точки зрения величин. В качестве примера на Рисунке 8 и Рисунке 9 приведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными из работы [55] из которых видно, что завышение размера отрывной зоны (Рисунок 8) приводит к существенным погрешностям в предсказании коэффициента потерь полного давления (Рисунок 9).

Рисунок 8 - Контуры потерь полного давления на выходе из каскада на расстоянии 50% длины хорды (из [55]). Слева - эксперимент, справа - SST RANS.

Fraction of Span

Рисунок 9 - Распределение коэффициента потерь полного давления (из [55]).

Таким образом, накопленный к настоящему времени огромный опыт расчетов обтекания крыльев и турбинных лопаток свидетельствует о том, что при безотрывных режимах обтекания результаты решения уравнений Рейнольдса в сочетании с современными моделями турбулентности, такими как SST и SA, хорошо согласуется с экспериментальными данными. При этом необходимо учитывать, что при отсутствии искусственной турбулизации потока пограничный слой на обтекаемой поверхности частично является ламинарным, поэтому при решении подобных задач необходимо использовать модели ЛТП. В этой связи предпочтительной моделью турбулентности является к-ю модель переноса сдвиговых напряжений SST, поскольку модели с двумя дифференциальными уравнениями предоставляют локальную информацию об уровне турбулентности потока, необходимую для моделирования ЛТП. Краткий обзор модификаций модели SST, позволяющих учесть положение ЛТП, приведен в разделе 1.2.

При возникновении отрыва на стороне разрежения точность предсказания характеристик обтекания существенно снижается: в расчете величина коэффициента подъемной силы Ci завышена, причем различие с данными экспериментальных измерений может быть более 25%. Расчеты в трехмерной постановке позволяют предсказать трехмерные «грибообразные» структуры, однако это лишь отчасти повышает точность расчета и различие результатов расчета с экспериментом остается существенным. Иными словами, единственным путем повышения точности расчета обтекания крыльев при режимах, характеризующихся отрывом потока на стороне разрежения, в рамках уравнений Рейнольдса является разработка специализированных модификаций моделей турбулентности. Обзор таких моделей приведен в разделе 1.3.

Наконец, еще одной причиной снижения точности расчета крыльев и турбинных лопаток является завышение размера углового отрыва. Как было показано во многих

работах (см., например, [17], [18]), это вызвано применением линейных моделей турбулентности, использующих обобщенную гипотезу Буссинеска (1.6), в то время как точность нелинейных моделей при расчете течений данного класса зачастую вполне удовлетворительна. Таким образом, одним из путей повышения точности линейных моделей является использование их нелинейных версий, обзор которых приведен в разделе 1.4.

1.2 Учет ламинарно-турбулентного перехода

Хотя предсказание положения ЛТП представляет интерес для широкого спектра приложений, таких как дизайн гоночных автомобилей и беспилотных летательных аппаратов, компоновка антенн и другие промышленные задачи, большая часть исследований в этой области проводилась применительно к задачам внешней аэродинамики и турбомашиностроения. В последние годы эта область моделирования активно развивается, появляется множество новых публикаций, а само моделирование ЛТП было определено в качестве одного из основных пунктов в концепции NASA's CFD 2030 [56].

С феноменологической точки зрения возникновение перехода определяется конкуренцией нескольких основных механизмов, называемых сценариями перехода, а именно естественным переходом, байпасным или вынужденным переходом, а также переходом, вызванным ламинарным отрывом - так называемый «пузырьковый переход», в котором после перехода в оторвавшемся ламинарном пограничном слое происходит присоединение турбулентного потока. Физический механизм этих процессов весьма различен, но на практике реализуется тот из них, который первым обеспечивает достаточную для турбулизации амплитуду возмущений в пограничном слое, при этом различные механизмы могут взаимодействовать друг с другом и создавать смешанные сценарии перехода. Ситуацию осложняет то, что дополнительные эффекты, такие как шероховатость стенки, пространственное изменение плотности, кривизна стенки и некоторые другие факторы, существенным образом влияют на развитие возмущений в рамках основных сценариев. Описание такого многообразия физических явлений ставит перед разработчиками моделей ЛТП весьма нетривиальную задачу, которая осложняется тем, что эти модели должны вписываться в общую структуру современных промышленных CFD-кодов.

Последнее обстоятельство заметно усложняет (см., например, [57], [58]) использование методов, основанных на анализе устойчивости ламинарных пограничных слоев, таких как методы семейства eN [59], [60]. Поэтому в последние годы растет популярность подходов, основанных на расширении возможностей современных полуэмпирических моделей турбулентности за счет внесения в них модификаций, позволяющих учесть положение ЛТП. Обзор моделей ЛТП можно найти в целом ряде работ (см., например, в [61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68]), однако в контексте настоящей диссертации интерес представляют только модели, базирующиеся на к-ю модели переноса сдвиговых напряжений SST.

В этих моделях, называемых Local Correlation Transition Models (LCTM) и первоначально передоложенных Ментером [69, 70, 71, 12], положение перехода контролируется так называемым коэффициентом перемежаемости у (0 < у < 1), являющимся множителем генерационного члена в уравнении для кинетической энергии турбулентности. Переход в пограничном слое начинается в том месте, где величина у отклоняется от нуля настолько, чтобы генерация к стала превосходить диссипацию. Расчет этого параметра базируется на использовании экспериментальных корреляций зависимости положения перехода от таких факторов как уровень турбулентности набегающего потока и продольный градиент давления (см., например, [72], [73], [74]). Непосредственное использование этих корреляций в кодах общего назначения затруднено тем, что они используют нелокальную информацию, которую весьма трудно извлечь. Поэтому в подходе LCTM корреляции вычисляются локально и определяют критическое число Рейнольдса толщины импульса ReQc, которое затем сравнивается с характеристиками фактического состояния пограничного слоя, определяемыми локальным числом Рейнольдса завихренности ReV.

В первой версии LCTM [69] для расчета коэффициента перемежаемости использовалось дифференциальное уравнение переноса. Следует отметить, что эта модель была весьма несовершенна, поскольку не учитывала влияние локального уровня турбулентности и градиента давления на положение перехода. Эти недостатки были исправлены в модели SST-y-Ree [70, 71, 12], содержащей по сравнению с моделью SST два дополнительных уравнения переноса для коэффициента перемежаемости и числа Рейнольдса начала перехода. Эта модель и в настоящее время считается наиболее точной

среди моделей перехода. Позже была разработана упрощенная модель 88Т-у с одним уравнением для у [13], в которой величина #ее определяется из алгебраического соотношения. Впоследствии были предложены многочисленные модификации LCTM и ее расширения на случай более сложных течений. Так, в работах [75, 76, 77, 78, 79] были предложены другие корреляции для зависимости критического числа Рейнольдса от уровня турбулентности и градиента давления, в работах [80, 81, 82, 83, 84] модель была адаптирована для применения совместно с моделью SA, также были предложены поправки, учитывающие неустойчивость поперечного течения [85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93] и влияние шероховатости стенки [94, 95, 96, 97].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Матюшенко Алексей Алексеевич, 2023 год

Список литературы

1. Гарбарук А.В., Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л. Современные подходы к моделированию турбулентности : учеб. пособие. СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2016.

2. Spalart P.R. Strategies for turbulence modeling and simulations // Int. J. Heat Fluid Flow, Vol. 21, 2000. pp. 252-263.

3. Spalart P.R. Trends in turbulence treatments // AIAA Paper 2000-2306, 2000.

4. Leschziner M.A., Drikakis D. Turbulence modelling and turbulent-flow computation in aeronautics // Aeronautical Journal, Vol. 106, No. 1061, 2002. pp. 349-384.

5. Roy C.J., Blottner F.G. Review and assessment of turbulence models for hypersonic flows // Progress in Aerospace Sciences, Vol. 42, No. 7-8, 2006. pp. 469-530.

6. Leschziner,M.A. Modelling turbulent separated flow in the context of aerodynamic applications // Fluid Dynamics Research, Vol. 38, No. 2-3, 2006. pp. 174-210.

7. Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA Journal, Vol. 32, No. 8, 1994. pp. 1598-1605.

8. Haase W., Chaput E., Elsholz E., Leschziner M.A., Müller U.R. "ECARP - European Computational Aerodynamics Research Project: Validation of CFD Codes and Assessment of Turbulence Models", Notes on Numerical Fluid Mechanics, v. 58. 1997.

9. Haase W., Aupoix B., Bunge U., Schwamborn D. "FLOMANIA - A European Initiative on Flow Physics Modelling", Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design, 2006, v. 94 (http://cfd.mace.manchester.ac.uk/flomania/). 2006.

10. "ATAAC - Advanced Turbulence Simulation for Aerodynamic Application Challenges" [Электронный ресурс] URL: http://cfd.mace.manchester.ac.uk/twiki/bin/view/ATAAC

11. Матюшенко А.А., Котов Е.В., Гарбарук А.В. Анализ причин снижения точности при расчете обтекания крыловых профилей в рамках двумерных уравнений Рейнольдса // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки, Т. 10, № 1, 2017. С. 20-30.

12. Langtry R.B., Menter F.R.. Correlation-Based Transition Modeling for Unstructured Parallelized Computational Fluid Dynamics Codes // AIAA J, Vol. 47, No. 12, 2009. pp. 2894-2906.

13. Menter F.R., Smirnov P., Liu T. at al. A One-Equation Local Correlation-Based Transition Model // Flow, Turbulence and Combustion, Vol. 95, No. 4, 2015. pp. 583-619.

14. Брутян М.А., Владимирова Н.А., Потапчик А.В. Влияние волнистости формы профиля на его аэродинамические характеристики при малых дозвуковых скоростях // Ученые Записки ЦАГИ, Vol. XLIV, No. 5, 2013. pp. 39-44.

15. Баранов П.А., Гувернюк С.В., Исаев С.А., Судаков А.Г., Усачов А.Е. Моделирование периодических вихревых структур в следе за профилем // ученые Записки ЦАГИ, Vol. XLV, No. 2, 2014. pp. 63-77.

16. Laflin K.R., Wahls R.A., Morrison J.H., Tinoco E.N., Vassberg J.C., Brodersen O., Godard J.L. Summary of Data from the Second AIAA CFD Drag Prediction Workshop // 42nd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno, Nevada. 2004.

17. Garbaruk A.V., Shur M.L., Strelets M.K., Spalart P.R. Numerical study of wind-tunnel walls effects on transonic airfoil flow // AIAA Journal, Vol. 41, No. 6, 2003. pp. 1046-1054.

18. Garbaruk A.V., Magidov D., Shur M.L., Strelets M.K., Travin A.K. Contribution by SPTU: Support of Partners' Efforts Directed to Implementation of DES Technology // In: FLOMANIA— A European Initiative on Flow Physics Modelling, D.S.W.Haase, B.Aupoix, U.Bunge (Ed.). Springer, 2006. pp. 101-108.

19. Menter F.R., Garbaruk A.V., Egorov Y. Explicit Algebraic Reynolds Stress Models for Anisotropic Wall-Bounded Flows // Progress in Flight Physics, Vol. 3, 2012. pp. 89-104.

20. Жаворонкин А.О., Курсаков И.А., Матяш Е.С., Савельев А.А., Трошин А.И. Применение нелинейной модели турбулентности SST-NL к расчётам течений с выраженной анизотропией напряжений Рейнольдса // CEAA. Светлогорск. 2022.

21. Baldwin B.S., Lomax H. Thin layer approximation and algebraic model // 16th Aerospace Sciences Meeting. Huntsville,AL,U.S.A. 1978. pp. 78-257.

22. Гуляев А.Н., Козлов В.Е., Секундов А.Н. К созданию универсальной однопараметрической модели для турбулентной вязкости // Изв. АН СССР, МЖГ, № 4, 1993. С. 69-81.

23. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // AIAA Paper 1992-0439, 1992.

24. Yap C.J. Turbulent Heat and Momentum Transfer in Recirculating and Impinging Flows. PhD Thesis ed. United Kingdom: University of Manchester, 1987.

25. Launder B.E., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flows // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 3, No. 2, 1974. pp. 269-289.

26. Wilcox D.C. Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models // AIAA Journal, Vol. 26, No. 11, 1988. pp. 1299-1310.

27. Wilcox D.C. A two-equation turbulence model for wall-bounded and free-shear flows // AIAA Paper 1993-2905, 1993.

28. Menter F.R. Zonal two-equation k-ю turbulence models for aerodynamic flows // AIAA-Paper 1993-2906, 1993.

29. Menter F.R., Kuntz M., Langtry, R. Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model // In: Turbulence, Heat and Mass Transfer 4 (ed: K. Hanjalic, Y. Nagano, M. Tummers). 2003. pp. 625 - 632.

30. Speziale C. G., Sarkar S., Gatski T. Modelling the pressure-strain correlation of turbulence: an invariant dynamical systems approach // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 227, 1991. pp. 245-272.

31. Johansson A., Wallin S. A new explicit algebraic Reynolds stress model // 6th European Turbulence Conference. Lausanne, Switzerland. 1996.

32. Yang S.L., Chang Y.L., Arici O. Incompressible Navier-Stokes Computation of the NREL Airfoils Using a Symmetric Total Variational Diminishing Scheme // Journal of Solar Energy Engineering, Vol. 116, 1994. pp. 174-182.

33. Chang Y.L., Yang S.L., Arici O. Flow Field Computation of the NREL S809 Airfoil Using Various Turbulence Models // ASME, Energy Week-96. 1996. Vol. Book VIII, Vol. I-Wind Energy. pp. 172-178.

34. Nived M.R., Mukesh B.S., Athkuri S.S.C., Eswaran V. On the performance of RANS turbulence models in predicting static stall over airfoils at high Reynolds numbers // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow, Vol. 32, No. 4, 2021.

35. Mereu R., Passoni S., Inzoli F. Scale-resolving CFD modeling of a thick wind turbine airfoil with application of vortex generators: Validation and sensitivity analyses // Energy, Vol. 187, 2019. pp. https://doi .org/10.1016/j. energy.2019.115969.

36. Villalpando F., Reggio M., Ilinca A. Assessment of Turbulence Models for Flow Simulation around a Wind Turbine Airfoil // Modelling and Simulation in Engineering, Vol. 2011, No. ID 714146, 2011.

37. Orszag S.A., Yakhot V., Flannery W.S., at al. Renormalization Group Modeling and Turbulence Simulations // In International Conference on Near-Wall Turbulent Flows. Tempe, Arizona. 1993.

38. Launder B.E., Reece G.J. and Rodi W. Progress in the development of a reynolds-stress turbulence closure. // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 8, No. 3, 1975. pp. 537-566.

39. Kotapati-Apparao R.B., Squires K.D., Forsythe J.R. Prediction of the Flow over an Airfoil at Maximum Lift // 42nd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno, Nevada. 2004. Vol. 2004-259.

40. Richez F., Leguille M., Marquet O. Selective frequency damping method for steady RANS solutions of turbulent separated flows around an airfoil at stall // Computers and Fluids, Vol. 132, No. 51-61. https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2016.03.027, 2016.

41. Bertagnolio F., S0rensen N.N., Johansen J. Profile Catalogue for Airfoil Sections Based on 3D Computations, Ris0 National Laboratory, Ris0 Technical Report Ris0-R-1581 2006.

42. Pires O., Munduate X., Ceyhan O., Jacobs M., Snel H. Analysis of high Reynolds numbers effects on a wind turbine airfoil using 2D wind tunnel test data // Journal of Physics: Conference Series, Vol. 753, No. 2, 2016. pp. https://doi.org/10.1088/1742-6596/753/2/022047.

43. Spalart P.R. Prediction of Lift Cells for Stalling Wings by Lifting-Line Theory // AIAA Journal, Vol. 52, No. 8, 2014. pp. 1817-1821.

44. Winkelmann A.E., Barlow J.B. A flowfield model for a rectangular planform wing beyond stall // AIAA Journal, Vol. 18, No. 8, 1980. pp. 1006-1008.

45. Weihs D., Katz J. Cellular patterns in poststall flow over unswept wings. // AIAA Journal, Vol. 21, No. 12, 1983. pp. 1757-1759.

46. Занин Б. Ю., Козлов В. В. Вихревые структуры в дозвуковых отрывных течениях, Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, Учеб. пособие 116 с, 2011.

47. Бойко А.В., Довгаль А.В., Занин Б.Ю., Козлов В.В. О пространственной структуре отрывных течений на крыловых профилях // Тепло-физика и аэромеханика, Vol. 3, No. 1, 1996. pp. 1-14.

48. Занин Б.Ю., Козлов В.В., Проскрянов В.Г. Структура турбулентного отрыва на прямом крыле при различных условиях обтекания // Учен. Записки ЦАГИ, Vol. 30, No. 1-2, 1999. pp. 77-83.

49. Winkelmann A.E. The effects of aspect ratio on the stall of a finite wing // AIAA Paper 19890570, 1989.

50. Manni L., Nishino T., Delafin P.L. Numerical study of airfoil stall cells using a very wide computational domain // Comput. Fluids, Vol. 140, 2016. pp. 260-269.

51. Plante F., Dandois J., Laurendeau É. Similitude between 3D cellular patterns in transonic buffet and subsonic stall // AIAA Paper 2019-0300, 2019.

52. Матюшенко А.А., Гарбарук А.В. Численное исследование влияния трехмерных «грибообразных» структур на характеристики обтекания крыловых профилей // Тепловые Процессы в Технике, № 1, 2016. С. 31-36.

53. Langtry R., Menter F., Kuntz M. Drag prediction of Engine-Airframe Interference Effects with CFX5 // 2nd AIAA CFD Drag Prediction Workshop, June 21-22. Orlando, FL. 2003.

54. Gbadebo S.A., Cumpsty N.A., Hynes T.P. Three-Dimensional Separations in Axial Compressors. // Journal of Turbomachinery, Vol. 127, 2005. pp. 331-339. https://doi.org/10.1115/1.1811093.

55. Yan H., Liu Y., Li Q., Lu L. Turbulence characteristics in corner separation in a highly loaded linear compressor cascade // Aerospace Science and Technology, Vol. 75, 2018. pp. 139-154. https://doi.org/10.1016/j.ast.2018.01.015.

56. Slotnick, J., Khodadoust, A., Alonso, J., Darmofal, D., Gropp, W., Lurie, E., Mavriplis, D. CFD Vision 2030 Study: A Path to Revolutionary Computational Aerosciences, NASA/CR-2014-0218178 2014.

57. Krumbein A. Automatic Transition Prediction and Application to High-Lift Multi-Element Configurations // Journal of Aircraft, Vol. 42, 2005. pp. 1150-1164. https://doi.org/10.2514/L10329.

58. Shi Y., Gross R., Mader C.A., Martins J.R.R.A. Transition Prediction in a RANS Solver based on Linear Stability Theory for Complex Three-Dimensional Configurations // 2018 AIAA Aerospace Sciences Meeting. American Institute of Aeronautics and Astronautics. 2018.

59. Smith A.M.O., Gamberoni N. Transition, pressure gradient, and stability theory, Douglas aircraft co, Report no. es. 26388, 1956.

60. van Ingen J.L. A Suggested Semi-empirical Method for the Calculation of the Boundary Layer Transition Region, Delft University, Report No VTH-71 and 74 1956.

61. Krumbein A., François D.G., Krimmelbein N. Transport-based Transition Prediction for the Common Research Model Natural Laminar Flow Configuration // In: AIAA SCITECH 2022 Forum. American Institute of Aeronautics and Astronautics. San Diego. 2022.

62. Kaynak U., Bas O., Cakmakcioglu S.C., Tuncer I.H. Transition Modeling for Low to High Speed Boundary Layer Flows with CFD Applications // IntechOpen. 2019.

63. Durbin P.A. Perspectives on the Phenomenology and Modeling of Boundary Layer Transition // Flow Turbulence Combust, Vol. 99, 2017. pp. 1-23. https://doi.org/10.1007/s10494-017-9819-9.

64. Dick E., Kubacki S. Transition Models for Turbomachinery Boundary Layer Flows: A Review // IJTPP, Vol. 2, No. 4, 2017.

65. Durbin P.A. Some Recent Developments in Turbulence Closure Modeling // Fluid Mech, Vol. 50, 2018. pp. 77-103.

66. Lopes, R., Eça, L., Vaz, G. On the Numerical Behavior of RANS-Based Transition Models // Journal of Fluids Engineering, Vol. 142, 2020.

67. Fu S., Wang L. RANS modeling of high-speed aerodynamic flow transition with consideration of stability theory // Progress in Aerospace Sciences, Vol. 58, 2013. pp. 36-59.

68. Juntasaro E., Ngiamsoongnirn K., Thawornsathit P., Durbin P. Development of an intermittency transport equation for modeling bypass, natural and separation-induced transition // Journal of Turbulence, 2021. pp. 1-34.

69. Menter F.R., Esch T., Kubacki S. Transition Modeling for Local Variables // Engineering Turbulence Modelling and Experiments 5, 2002. pp. 555-564.

70. Langtry R.B., Menter F.R., Likki S.R., Suzen Y.B., Huang P.G., Völker S. A Correlation-Based Transition Model Using Local Variables—Part II: Test Cases and Industrial Applications // Journal of Turbomachinery, Vol. 128, No. 423-434, 2004.

71. Menter, F.R., Langtry, R., Völker, S. Transition Modelling for General Purpose CFD Codes // Flow Turbulence Combust, Vol. 77, 2006. pp. 277-303.

72. Abu-Ghannam B.J., Shaw R. atural Transition of Boundary Layers—The Effects of Turbulence, Pressure Gradient, and Flow History // Journal of Mechanical Engineering Science, Vol. 22, 1980. pp. 213-228. https://doi.org/10.1243/JMES_J0UR_1980_022_043_02.

73. Mayle R.E., Schulz A. The Path to Predicting Bypass Transition. In: Volume 1: Turbomachinery // American Society of Mechanical Engineers. Birmingham, UK. 1996. P. V001T01A065.

74. Drela M., Giles M.B. Viscous-inviscid analysis of transonic and low Reynolds number airfoils // AIAA Journal, Vol. 25, 1987. pp. 1347-1355. https://doi.org/10.2514Z3.9789.

75. Suluksna K., Dechaumphai P., Juntasaro E. Correlations for modeling transitional boundary layers under influences of freestream turbulence and pressure gradient // International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 30, 2009.

76. Malan P., Suluksna K., Juntasaro E. Calibrating the y - Re9t Transition Model for Commercial CFD // 47th AIAA Aerospace Sciences Meeting including The New Horizons Forum and Aerospace Exposition. Orlando, Florida. 2009.

77. Erfort G., von Backström T.W., Venter G. Numerically Determined Empirical Relationships for a Transitional Turbulence Model // JAFM, Vol. 12, 2019. pp. 2031-2038. https://doi.org/10.29252/jafm.12.06.29789.

78. Mauro S., Lanzafame R., Messina M., Pirrello D. Transition turbulence model calibration for wind turbine airfoil characterization through the use of a Micro-Genetic Algorithm // Int J Energy Environ Eng, Vol. 8, 2017. pp. 359-374. https://doi.org/10.1007/s40095-017-0248-2.

79. Barrouillet B., Laurendeau E., Yang H. On the calibration of the transitional k-ro-y-Re0t turbulence model // AIAA Scitech 2021 Forum. American Institute of Aeronautics and Astronautics, virtual event. 2021.

80. Medida S., Baeder J.D. Application of the Correlation-based y - Re9t Transition Model to the Spalart-Allmaras Turbulence Model // 20th AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. Honolulu, Hawaii. 2011. P. 21.

81. Yao H. A local correlation-based transition model for Spalart-Allmaras turbulence model // https://ses.library.usyd.edu.au/handle/2123/17382. 2017.

82. D'Alessandro V., Garbuglia F., Montelpare S., Zoppi A. A Spalart-Allmaras local correlation-based transition model for Thermo-fuid dynamics // J. Phys.: Conf. Ser., Vol. 923, 2017. pp. https://doi.Org/10.1088/1742-6596/923/1/012029.

83. Piotrowski M.G.H., Zingg D.W. Smooth Local Correlation-Based Transition Model for the Spalart-Allmaras Turbulence Model // AIAA Journal, Vol. 59, 2021. pp. 474-492. https://doi.org/10.2514/1J059784.

84. Bouchard M., Marty J., Deck S., Costes M. Validation of correlations-based transition modeling strategies applied to the Spalart-Allmaras turbulence model for the computation of separation-induced transition // Aerospace Science and Technology, Vol. 119, No. 107045, 2021. pp. https://doi .org/10.1016/j.ast.2021.107045.

85. Menter F.R., Smirnov P.E. Development of a RANS-based model for predicting crossflow transition // 19th STAB/DGLR Symposium. Munich. 2014.

86. Langtry R.B., Sengupta K., Yeh, D.T., Dorgan A.J. Extending the y-Re0t Local Correlation based Transition Model for Crossflow Effects // 45th AIAA Fluid Dynamics Conference. Dallas, TX. 2015. P. 12.

87. Muller C., Herbst F. Modelling of crossflow-induced transition based on local variables // ECCOMAS. Barcelona. 2014. P. 13.

88. Grabe C., Krumbein A. Extension of the y-Re 9t Model for Prediction of Crossflow Transition // 52nd Aerospace Sciences Meeting. American Institute of Aeronautics and Astronautics. Maryland. 2014.

89. Medida S., Baeder J. A New Crossflow Transition Onset Criterion for RANS Turbulence Models // 21st AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. American Institute of Aeronautics and Astronautics. San Diego, CA. 2013.

90. Xu J.K., Bai J.Q., Qiao L., Zhang Y. Correlation-Based Transition Transport Modeling for Simulating Crossflow Instabilities // JAFM, Vol. 9, 2016. pp. 2435-2442. https://doi.org/10.18869/acadpub.jafm.68.236.25356.

91. Watanabe Y., Misaka, T., Obayashi S., Arima, T., Yamagichi Y. Application of Crossflow Transition Criteria to Local Correlation-Based Transition Model // 47th AIAA Aerospace Sciences Meeting including The New Horizons Forum and Aerospace Exposition. American Institute of Aeronautics and Astronautics. Orlando, Florida. 2009.

92. Choi J.H., Kwon O.J. Enhancement of a Correlation-Based Transition Turbulence Model for Simulating Crossflow Instability // AIAA journal, Vol. 53, 2015.

93. Xing-hao X., Hai-jie R., Yi-feng Z., Xian-xu Y., Jian-qiang C., Shu-sheng C. Transition prediction with hypersonic cross-flow model on HIFiRE-5 // J. Phys.: Conf. Ser., Vol. 1786, No. 012051, 2021. pp. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1786/1Z012051.

94. Dassler P., Kozulovic D. The 15th International Conference on Fluid Flow Technologies // Transport equation for roughness effects on laminar- turbulent transition. Budapest, Hungary. 2012. P. 8.

95. Dassler P., Kozulovic D., Fiala A. Modelling of roughness-induced transition using local variables // 5th European Conference on Computational Fluid Dynamics. 2010.

96. Elsner W., Warzecha P. Modeling of rough wall boundary layers with an intermittency transport model // TASK QUARTERLY, Vol. 14, 2010. pp. 271-282.

97. Langel C.M., Chow R.C., van Dam C.P., Maniaci D.C. A Transport Equation Approach to Modeling the Influence of Surface Roughness on Boundary Layer Transition, 2017.

98. Zafar M.I., Choudhari M.M., Paredes P., Xiao H. Recurrent neural network for end-to-end modeling of laminar-turbulent transition // DCE, Vol. 2, No. e17, 2021. pp. https://doi.org/10.1017/dce.2021.11.

99. Daniele S., Dario B., Matteo D., Davide L., Vianney, Y. Modified Formulation of Laminar Kinetic Energy Transition Models by Means of Elastic-Net of a Big Experimental Database of Separated Flows // Flow Turbulence Combust, Vol. 105, 2020. pp. 671-69. https://doi.org/10.1007/s10494-020-00124-2.

100. Duraisamy K., Durbin P.A. Proceedings of the Summer Program // Transition modeling using data driven approaches. Center for Turbulence Research. 2014. P. 8.

101. Stabnikov A.S., Garbaruk A.V. Comparative analysis of transition models at different farfield turbulence intensities // Journal of Physics: Conference Series, Vol. 929, November 2017. P. 012101.

102. Stabnikov A.S., Garbaruk A.V. Analysis of the abilities of algebraic laminar-turbulent transition models // Journal of Physics: Conference Series, Vol. 1135, December 2018. P. 012104.

103. Стабников А.С., Гарбарук А.В. Алгебраическая модель ламинарно-турбулентного перехода для расчета турбулентных течений на основе метода моделирования отсоединенных вихрей // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки, Vol. 15, No. 1, 2022. pp. 16-29 DOI: https://doi.org/10.18721/ JPM.15102.

104. Kubacki S., Dick E. An algebraic model for bypass transition in turbomachinery boundary layer flows // International Journal of Heat and Fluid Flow, Vol. 58, April 2016. pp. 68-83.

105. Walters D.K., Cokljat D. A Three-Equation Eddy-Viscosity Model for Reynolds-Averaged Navier-Stokes Simulations of Transitional Flow // Journal of Fluids Engineering, Vol. 130, December 2008. P. 121401.

106. Chitsomboon T., Thamthae C. Adjustment of k - ю SST turbulence model for an improved prediction of stalls on wind turbine blades 2010. pp. 4114-4120.

107. Matyushenko A.A., Garbaruk A.V. Adjustment of the k- ю SST turbulence model for prediction of airfoil characteristics near stall // Journal of Physics: Conference Series, Vol. 769, 2016. P. 012082.

108. Bangga G., Kusumadewi T., Hutomo G., Sabila A., Syawitri T., Setiadi H., Kristiadi S. Improving a two-equation eddy-viscosity turbulence model to predict the aerodynamic performance of thick wind turbine airfoils // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series, Vol. 973, 2018. P. 012019.

109. Bosnyakov S.M., Bosnyakov I.S., Matyash S.V., Mikhailov S.V., Volkov A.V. Calculation of the Civil Aircraft Wing Characteristics in Critical Flight Modes // AIP Conference Proceedings, Vol. 2288, 2020. P. 030008.

110. Duraisamy K., Zhang Z. J., Singh A. P. New Approaches in Turbulence and Transition Modeling Using Data-driven Techniques // AIAA Paper 2015-1284, 2015.

111. Parish E.J., Duraisamy K.. A paradigm for data-driven predictive modeling using field inversion and machine learning // J. Comput. Phys., Vol. 305, 2016. pp. 758-774.

112. Singh A., Medida S., Duraisamy K.. Machine-Learning-Augmented Predictive Modeling of Turbulent Separated Flows over Airfoils // AIAA Journal, Vol. 55, No. 7, 2017. pp. 2215-2227.

113. Matyuhsenko A.A., Golubkov V.D., Garabruk A.V., Menter F.R. The use of machine learning approach for turbulence model improvement for flow around airfoil near stall conditions // НТВ СПбГПУ. Физико-математические науки, No. НТВ-ФМ/2023 #Physica.SPb, 2022.

114. Матюшенко А.А., Гарбарук А.В., Ментер Ф.Р., Смирнов П.Е. Усовершенствование k-ю SST модели турбулентности применительно к расчету обтекания прямых крыльев конечного размаха // Тепловые процессы в технике, Т. 11, № 7, 2019. С. 290-298.

115. Cecora R.D., Eisfeld, B.; Probst, A.; Crippa, S.; Radespiel, R. Differential Reynolds Stress Modeling for Aeronautics // AIAA Paper 2012-0465, 2012.

116. Pope S.B. A More General Effective-Viscosity Hypohesis // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 72, No. 2, 1975. pp. 331-340.

117. Gatski T.B., Speziale C.G. On explicit algebraic stress models for complex turbulent flows. // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 254, 1993. pp. 59-78.

118. Abid R., Rumsey C., Gatski T.B. Prediction of nonequilibrium turbulent flows with explicit algebraic stress models. // AIAA Journal, Vol. 33, No. 11, 1995. pp. 2026-2031.

119. Rodi W. A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses // Z. Angew. Math. Mech., Vol. 56, 1976. pp. 219-221.

120. Nisizima S. A numerical study of turbulent square-duct flow using an anisotropic k-epsilon model // Theoretical and Computational Fluid Dynamics, Vol. 24, No. 495, 1990. pp. 1377-1381.

121. Shih T., Zhu J., Lumley J.L. A Realizable Reynolds Stress Algebraic Equation Model, NASA TM 16596, 1993.

122. Girimaji S.S. A Galilean invariant explicit algebraic Reynolds stress model for turbulent curved flows. // Physics of Fluids, Vol. 9, No. 4, 1997. pp. 1067-1077.

123. Chen W., Lien F., Leschziner M. A. Non-linear eddy-viscosity modelling of transitional boundary layers pertinent to turbomachine aerodynamics. // International Journal of Heat and Fluid Flow, Vol. 19, 1998. pp. 297-306.

124. Wallin S., Johansson A.V. An explicit algebraic Reynolds stress model for incompressible and compressible turbulent flows // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 403, 2000. pp. 89-132.

125. Matyushenko A.A., Garbaruk A.V. Non-linear correction for the k-ю SST turbulence model // Journal of Physics: Conference Series, Vol. 929, 2017. P. 012102.

126. Menter F.R., Lechner R., Matyushenko A.A., Stabnikov A.S., Garbaruk A.V. An Algebraic LCTM Transition Model // Proceedings of the ERCOFTAC Symposium on Engineering Turbulence Modelling and Measurement (ETMM13). Rhodes. Greece. September 2021.

127. Murthy J.Y. Survey of Numerical Methods // In: Handbook of Numerical Heat Transfer. 2nd Edition / ed. W. J. Minkowycz, Sparrow E.M., Murthy. J.Y. 2006. pp. 1-984.

128. Mathur S.R., Murthy J.Y. A pressure-based method for unstructured meshes // Numerical Heat Transfer, Vol. 32, 1997. pp. 195-215.

129. Kim S.E., Mathur S., Murthy J., Choudhury D. A Reynolds-averaged Navier-Stokes solver using unstructured mesh-based finite-volume scheme // AIAA Paper 1998-231, 1998.

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

Rhie C.M., Chow W.L. Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation // AIAA Journal, Vol. 11, No. 1525-1532, 1983. P. 21.

Shur M L., Strelets M.L., Travin A.K. High-Order Implicit Multi-Block Navier-Stokes Code: Ten-Years Experience of Application to RANS/DES/LES/DNS of Turbulent Flows // Invited lecture. 7th Symposium on Overset Composite Grids and Solution Technology. Huntington Beach, USA. 2004.

Rogers S., Kwak D. An upwind differencing scheme for the time-accurate incompressible Navier-Stokes equations // 6th Applied Aerodynamics Conference. Williamsburg,VA,U.S.A. June 1988.

Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // Journal of Computational Physics, Vol. 43, No. 2, 1981. pp. 357-372, https://doi.org/10.1016/0021-9991(81)90128-5.

Schubauer G.B., Klebanoff P.S. Contributions on the mechanics of boundary-layer transition, 1995.

Savill A.M. Evaluating turbulence model predictions of transition: An ERCOFTAC Special Interest Group Project // Appl. Sci. Res., Vol. 51, No. 1-2, 1993. pp. 555-562.

Volino R.J., Hultgren L.S. Measurements in Separated and Transitional Boundary Layers Under Low-Pressure Turbine Airfoil Conditions // Journal of Turbomachinery, Vol. 123, 2001. pp. 189197. https://doi.org/10.1115/L1350408.

Esch T., Menter F.R. Heat transfer prediction based on two-equation turbulence models with advanced wall treatment // Turbulence Heat an Mass Transfer 4. 2003.

Menter F., Carregal Ferreira J., Esch T., Konno B. The SST Turbulence Model with Improved Wall Treatment for Heat Transfer Predictions in Gas Turbines // Proceedings of the International Gas Turbine Congress. Tokyo. 2003.

Huang J., Corke T., Thomas F. Plasma Actuators for Separation Control of Low Pressure Turbine Blades // In: 41st Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. American Institute of Aeronautics and Astronautics. 2003.

Lake J., King P., Rivir R. Low Reynolds number loss reduction on turbine blades with dimples and V-grooves // In: 38th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. American Institute of Aeronautics and Astronautics. Reno. 2000.

Somers D.M. Design and Experimental Results for a Natural-Laminar-Flow Airfoil for General Aviation Applications, Technical Memorandum (TM) June 1981. 104 pp.

McGhee R.J. Experimentral Results for a Flapped Natural-Laminar-Flow Airfoil with High Lift/Drag Ratio, NASA Technical Memorandum 1984.

Mcghee W., Betty S., Millard B.F. Experimental Results for the Eppler 387 airfoil at Low Reynolds Numbers in the Langley Low-Turbulence Pressure Tunnel, Technical Memorandum (TM) October 1988. 234 pp.

Somers D.M. Design and Experimental Results for the S809 Airfoil, National Renewable Energy Laboratory, Colorado, US, 1997.

Lee H., Kang S.H. Flow Characteristics of Transitional Boundary Layers on an Airfoil in Wakes // Journal of Fluids Engineering, Vol. 122, September 2000. pp. 522-532.

146. Langtry R.B., Menter F.R. Correlation-Based Transition Modeling for Unstructured Parallelized Computational Fluid Dynamics Codes // AIAA Journal, Vol. 47, December 2009. pp. 2894-2906.

147. Laurent C., Mary I., Gleize V., Lerat A., Arnal D. DNS Database of a Transitional Separation Bubble on a Flat Plate and Application to RANS Modeling Validation // Computers & Fluids, Vol. 61, May 2012. pp. 21-30.

148. Somers D.M. Design and Experimental Results for the S805 Airfoil, NREL/SR-440-6917, 1997.

149. Somers D.M. Design and Experimental Results for the S814 Airfoil, NREL/SR-440-6919, 1997.

150. Somers D.M. Design and Experimental Results for the S825 Airfoil, NREL/SR-500-36346, 2005.

151. Timmer W.A., R P J O M van Rooij. Summary of the Delft University Wind Turbine Dedicated Airfoils // AIAA Paper, Vol. 0352, 2003.

152. Gleyzes C., Capbern P. Experimental study of two AIRBUS/ONERA airfoils in near stall conditions. Part I: Boundary layers // Aerospace Science and Technology, Vol. 7, 2003. pp. 439449.

153. Wieghardt K. and Tillmann W. On the turbulent friction layer for rising pressure, NACA TM 1314, 1990.

154. Raiesi H., Piomelli U., Pollard A. Evaluation of Turbulence Models Using Direct Numerical and Large-Eddy Simulation Data // Journal of Fluids Engineering, Vol. 133, No. 2, 2011.

155. Klinner J., Schroll M., Morsbach C., Möller F., Willert C. Experimental and numerical investigation of 3-D corner separation in a channel flow with adverse pressure gradient // in 21st STAB/DGLR Symposium on New Results in Numerical and Experimental Fluid Mechanics, Vol. 12, No. 142, 2018. pp. 663-673.

156. Ohlsson J., Schlatter P., Fischer P.F., Henningson D.S. Direct numerical simulation of separated flow in a three-dimensional diffuser // Journal of Fluid Mechanics, Vol. 650, 2010. pp. 307-318.

157. Cherry E.M., Elkins C.J., Eaton J. K. Geometric sensitivity of three-dimensional separated flows // International Journal of Heat and Fluid Flow, Vol. 29, No. 3, 2008. pp. 803-811.

158. Cherry E.M., Elkins C.J., Eaton J.K. Pressure measurements in a three-dimensional separated diffuser // International Journal of Heat and Fluid Flow, Vol. 30, No. 1, 2009. pp. 1-2.

159. Gatlin G., Rivers M., Goodliff S., Rudnik R., Sitzmann M. Experimental Investigation of the DLR-F6 Transport Configuration in the National Transonic Facility // 26th AIAA Applied Aerodynamics Conference. Honolulu, Hawaii. 2008.

160. DPW. 2nd AIAA CFD Drag Prediction Workshop. Orlando, Florida: https://aiaa-dpw.larc.nasa.gov/W orkshop2ZFinal_Schedule_and_Results.htm, 2003.

161. Vogel J. and Eaton J.K. Combined heat transfer and fluid dynamic measurements downstream of a backward-facing step // Journal of Heat Transfer, Vol. 107, No. 922, 1985.

162. Savelyev A.A, Kursakov I.A., Matyash E.S., Streltsov E.V., Shtin R.A. Application of the Nonlinear SST Turbulence Model for Simulation of Anisotropic Flows // Supercomputing Frontiers and Innovations, Vol. 9, No. 4, 2022. pp. 38-48.

163. Bosnyakov S., Kursakov I., Lysenkov A., Matyash S., Mikhailov S., Vlasenko V., Quest J. Computational tools for supporting the testing of civil aircraft configurations in wind tunnels // Progress in Aerospace Sciences, Vol. 44, 2008. pp. 67-120.

Приложение А. Формулировка модели SST-alg-y

{ д(рк) д(рщк) дЬ дх;

= (У + УвиЬЬ1е)Рк -Уk + Dk

д(рш) д(ри^ш) дЬ дх;

= Рш-¥ш + Ош + р(1 - Р±)СОкШ

Рк = тт (-ри[и1^,РкИт ), Ук = в*ркш, Ок = -^

дх

дх\

= 10рв*кш

р = аыР п _ ЙП(Л2 - д

^+0.001ц

Рк, Уш = врш2, = —

дш

- ( 1 дик \ 2

-ри[и1 = 2^ц-з—8ц)-зрк8ц

2 3

СОкш = 2

ош2 дк дш

ш дХ) дХ)

^ =

а1рк

агд1 = тт

тах(а1ш,БР2)

= Р1°к1 + (1 - Р1)°к2.

= Р1^ш1 + (1 - Р1)°ш2

в = Р1в1 + (1 - Р1)в2

_ в °ыК2 *Ш = в*- ^

Р1 = Ьапк(агд4)

Vк 500^\ 4рош2к

тах

Р2 = Ьапк(агд2)

2^к 500^\

агд2 = тах

)

0.09шйш' рй^Ш; ак1 = 0.85, ош1 = 0.5, в1 = 0.075 ок2 = 1.0, ош2 = 0.856, в2 = 0.0828 к = 0.41, в* = 0.09, а1 = 0.31 у = Ьапк(РаЬ^е), = тах(ЯеЧ22, РеУМах)/Яе&с,

(А.1)

(А.2)

(А.3) (А.4) (А.5) (А.6)

(А.7)

(А.8)

(А.9)

(А.10)

(А.11) (А.12)

ReV22 —

ñpd

2.2ц ' П — max(S, П, 0.1м). ReQc — min(CTucritReCcl/Tu!^eCc2, ReCMax)FPG(XQl)

Тщ — min(

V2k/3

Md

,1)•100

w n

к

Zu 1

„Л

FPG —

(min[max(1 — CFPG • max(XQl,0),0.25),4] at Àel > О \min[max(1 — CAPG • min(XQl,0),0.25),4] at Àel < О

2 w

dn V

dVd„

XQl — -0.1111---w+ 0.1875

dV ^ - ^ — = V(n -V)-n dn

CTucrit — CTuHigh(1 — Frvi) + CTuLowF]

Frvi —

2RV1

■, RV1 — min

Re

V22

RVi

lswitch

)2

RV1

,1

1 + RV1

CFPG — CFPGHigh(1 — FRVI) + CFPC^FRVI CAPG — CAPGHigh(1 — Frvi) + CAPG^FRVI YBubble — mín(CbubbleC1 3^ .

Ф1 —

max (ц — ^ Ц^ 0)

0.2 ц + ^

Ф2 — min[(Rev22-n/300)2,1] ReV22-H — min(ReV22,1000) • min(S,n)/ñ Фз — min[max(RatRe — CbubbleC2,0^ 5]

-Щ-

_pdwJk Ry~ ü

Fl — max(Fl,SST, F3), F3 — e-(l2o) CTUftigh — 1.06. CTuLow — 2.25 CFPGHigh — 0.6. CFPGlow — 1.0. CAPG High — —0.5. CAPG^w — —0.5 ReCC1 — 210. ReCC2 — 1.0. ReCMax — 1000. ReVMax — 60 ^lswitch — 1000. CbubbleCl — ^bubbleC2 — 2.5

(A.13

(A.14 (A.15

(A.16

(A.17

(A.18

(A.19

(A.20 (A.21

(A.22

(A.23 (A.24 (A.25

(A.26

(A.27 (A.28 (A.29

(A.30

(A.31)

Приложение Б. Формулировка модели SST-HL

д(рк) д(ри)к)

дЬ

+

бХ;

= Рк-Ук + Ок

д(рш) д(ри^ш)

дЬ

+

бХ;

= Рш-Уш + Ош + р(1 - Р^СВ^ш

Рк = тт (-риЩ^'Ркит), Ук = в*ркш, Ок = -^

=

дх

аыР ^+0.001ц

дх;

РкПт = 10рв*кш Рк, = врш2, =£

дш

- ( 1 дик \ 2

-ри[и! = 2^ц-з—8ц)-зрк8ц

2 3

СОкш = 2

яш2 дк дш

ш дх) дх)

к =

АньРк

тах(Анъш, Р2Б) Анъ = а^з + анъ(1 - Р3)

Як = Р1°к1 + (1 - Р^^

Яш = Р1^ш1 + (1 - Р^Яш2

в = Р1в1 + (1 - Р1)в2

в ЯшК2

в* #*

Р1 = tanh(arg1), аг91 = тт \тах (-Щ— 'р0^) ^2 = ta.nKa.rg22), агд2 = тах {в2^'^ Ръ = ЪтКагдП агдз = тах

ок1 = 0.85, ош1 = 0.5, в1 = 0.075 ок2 = 1.0, ош2 = 0.856, в2 = 0.0828 к= 0.41, в* = 0.09, а1 = 0.31

[0.28' для модели ББТ - НЬ

для модели ББТ - НЬ2Е)

0.28' = [0.27,

(Б1)

(Б2) (Б.3) (Б4)

(Б.5)

(Б.6)

(Б.7) (Б8)

(Б.9)

(Б10) (Б .11) (Б12)

(Б. 13) (Б14)

Приложение В. Формулировка модели 88Т^Ь

д(рк) д(рщк)

дЬ

+

бХ;

д(рш) д(ри^)

дЬ

+

бХ;

Рк = тт (-ри[и1^,ркмт), = в*ркш, =

дх

=

ашр

- = .. ,.....;Рк, У- = врш2, Ош = —

= Рш-¥ш + Ош + р(1 - Р±)СОкш

дш

дх;

РКИШ = 10рв*кш

линеиное слагаемое

1 ди

нелинеиные слагаемые

-ри[и[ = -рк8ц ) - Сы Lкр(р 4там р в 6т6,ц)

3 дх1

гр _ г** О* О* С*

14\] = ^¡кПк] — П,кьк]

2

1 (ди, дт 2 дик \

¡] 2в*ш\3х] дх, 3 дхк ] 1 [ди, ди]

П* =

¡] 2в*ш\3х; дх,

9

Ы2 - 2Ц

Я

с-

2

аЛ1=1(2Ы2-2Па)

* * * * * * *

"Б ~ ■-'тп'-'пт' "О ~ "тп^пт» _ '^ш^'п^'кш

Ош2 дк дш

= 2

кш ш дХ] дХ]

^ =

а1рк

тах(а1ш, БР2)

Ок = Р1°к1 + (1- р1)°к2>

= р1°ш1 + (1 - Р1)°ш2

в = Р1в1 + (1 - Р1)в2 а- = в*-

(В.1)

(В.2) (В.3) (В.4)

(В.5)

(В.6)

(В.7)

(В.8)

(В.9) (В.10) (В.11)

(В.12)

(В.13)

у

arg1 = min

F1 = tanh(arg^)

/к 500^\ 4рош2к

max

ß*wdw ' pdWwJ ' CDk-d2

w

F2 = tanh(arg^)

arg2 = max

2/k 500^\

)