Особенности моделирования турбулентных отрывных течений на произвольных неструктурированных сетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Уткина Анна Александровна

• Уткина Анна Александровна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Уткина Анна Александровна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ТУРБУЛЕНТНЫХ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

1.1. Введение

1.2. Основные уравнения и способы их решения

1.3. Исследование применения полуэмпирических моделей для течений с сильной анизотропией

1.4. Вихреразрешающие модели турбулентности

1.5. Модель DES на основе модели SSG/LRR-ш RSM

1.6 Верификация модели SSG/LRR-q/EDES

1.7. Выводы

ГЛАВА 2. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНЫХ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НИЗКО-ДИССИПАТИВНЫХ СХЕМ

2.1. Введение

2.2. Оценка диссипативности схем расчета конвективных потоков

2.3. Схема расчета конвективных потоков с гибридной диссипацией

2.4. Верификация схемы расчета конвективных потоков с гибридной диссипацией

2.5. Анализ размера ламинарного пузыря в зависимости от критического числа Рейнольдса

2.6. Выводы

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРЫВНЫХ РЕЖИМОВ ОБТЕКАНИЯ ИЗДЕЛИЙ АВИАЦИОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

3.1. Введение

3.2. Алгоритм построения сеточной модели для моделирования отрывных течений

3.3. Расчет нестационарных АДХ маневренного ЛА на больших углах атаки

3.4. Расчет границы устойчивости работы воздухозаборника

3.5. Расчет нестационарных АДХ маневренного ЛА на крейсерских режимах с учетом работы

силовой установки

3.6. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы и степень ее разработанности

В настоящее время при решении большей части практических задач аэродинамики используются RANS модели турбулентности и их модификации [Гарбарук и др., 2016; Волков&Емельянов, 2010; Белов&Исаев, 2001]. Широкое распространение получили однопараметрическая модель Спаларта-Аллмараса SA [Spalart&Allmaras, 1992] и двухпараметрическая модель Ментера SST [Menter, 1993]. Эти модели хорошо зарекомендовали себя при решении практических задач [Menter et al., 2003; Козелков и др., 2014]. Их успешное использование на практике обуславливается разумным компромиссом между устойчивостью, вычислительной стоимостью и точностью решения для широкого класса турбулентных течений [Волков&Емельянов, 2010].

При моделировании нестационарных отрывных течений существует возможность точного описания поведения потока, разрешая все вихревые структуры путем измельчения расчетной сетки, т.е. с использованием прямого численного моделирования (DNS) [Mozer et al., 1999]. С увеличением числа Рейнольдса масштаб мелких вихревых структур уменьшается и становится чрезвычайно маленьким, так что для их моделирования требуется сетка высокого разрешения. Например, при обтекании самолета масштаб вихрей может достигать меньше 0.25 мм вблизи его поверхности [Button, 2015]. Расчетная сетка может содержать миллиарды ячеек, в каждой из которых необходимо вычислять скорость, плотность, температуру и другие расчетные параметры. По причине ограниченности необходимых вычислительных ресурсов прямое численное моделирование турбулентности будет проблематично использовать для моделирования обтекания реальных летательных аппаратов еще в течение долгого времени [Spalart, 2000; Spalart et al., 1997].

Требования к вычислительным ресурсам могут быть снижены за счет использования метода крупных вихрей (LES) [Garnier et al., 2009; Oran&Boris, 2001]. В данном случае наименьшие масштабы турбулентности моделируются, а крупные масштабы разрешаются с помощью расчетной сетки. Однако, как и в случае с DNS подходом, размер вихревых структур в присоединенных пограничных слоях определен толщиной пограничного слоя. Этот размер может стать очень маленьким, что тоже приведет к высокой вычислительной нагрузке. Вычислительная дороговизна подходов DNS и LES не позволяет их использовать в широком спектре промышленных задач [Spalart, 2000] и в настоящее время эти подходы, как правило, используются при моделировании в относительно небольших расчетных областях [Волков&Емельянов, 2008; Piomelli, 1999].

Альтернативой подходу LES являются гибридные RANS/LES методы [Spalart et al., 1997], вбирающие плюсы LES и RANS подходов. RANS/LES методы обеспечивают

3

приемлемую точность предсказания параметров осредненного течения в LES области и эффективно моделируют пограничные слои. Известные модели этого подхода - метод отсоединенных вихрей DES и его модификации DDES, IDDES [Spalart et al., 1997; Strelets, 2001; Spalart et al., 2006; Garbaruk et al., 2014; Travin et al., 2002; Probst et al., 2011]. С помощью DES подхода удалось существенно увеличить точность расчета аэродинамических течений с обширными отрывными зонами, возникающими, например, при обтекании различных препятствий и тел сложной формы под большими углами атаки [Spalart et al., 2006; Travin et al., 2002; Schmidt&Thiele, 2003; Стрелец и др., 2004]. Однако именно RANS, как составляющая DES, в случае обтекания на закритических углах атаки дает недостаточно корректное определение точки отрыва из-за неблагоприятного градиента давления [Wokoeck et al., 2006].

Ключевым недостатком RANS составляющей в гибридных моделях является то, что они базируются на гипотезе Буссинеска [Wilcox, 1988]. Применение гипотезы Буссинеска дает хорошие результаты, когда есть доминирование одной из компонент тензора рейнольдсовых напряжений, в противном случае получение корректных результатов может быть весьма затруднительным. Разрешить эту трудность позволяют модели турбулентности семейства RSM (Reynolds stress model) [Cecora et al., 2012; Jakirlic&Hanjalic, 2002], которые непосредственно моделируют анизотропию рейнольдсовых напряжений и неравновесные эффекты. Применение моделей RSM позволило улучшить качество моделирования течений с сильной кривизной линий тока [Cecora et al., 2012] и течений около двугранных углов [Menter et al., 2012].

Однако, даже не смотря на улучшение результатов, модели RSM также не способны в полной мере корректно описать нестационарные отрывные течения, которые содержат вихревые структуры различных масштабов [Probst et al., 2011]. Перспективным направлением является объединение модели RSM с вихреразрешающей моделью турбулентности, то есть построение DES модели на базе RSM, а не на базе линейных RANS, как в классической формулировке DES. Попытки объединить модели семейства RSM и отсоединенных вихрей уже предпринимались для низкорейнольдсовой модели sh-RSM [Probst et al., 2010; Probst et al., 2011]. Наиболее популярной дифференциальной моделью рейнольдсовых напряжений является модель SSG/LRR-ш [Cecora et al., 2012], позволяющая лучше предсказать точку отрыва потока, что является важной составляющей для моделирования отрывных течений. Разработка вихреразрешающей модели турбулентности на базе SSG/LRR-ш должна, ожидаемо, повысить точность описания отрывных течений.

Одним из ключевых этапов применения моделей отрывных течений является генерация дискретных моделей (расчетных сеток) для объектов со сложной геометрической формой.

4

Исторически, численное моделирование задач газодинамики осуществлялось на блочно-структурированных сетках [Саху&Дэнберг, 1987; Шенг&Шерр, 1987; Coakley, 1987]. Современная практика применения DES подхода в большей своей части сводится к расчетам на многоблочных структурированных сетках с применением схем высокого порядка точности вплоть до седьмого [Chase&Carrica, 2013; Uzun&Hussaini, 2012; Xia et al., 2010]. Использование сеток такого класса накладывает определенные сложности при моделировании течений в промышленных конструкциях сложной конфигурации [Козелков и др., 2016], где построение блочно-структурированной сетки возможно, но это неоправданно дорого и крайне неэффективно. Для моделирования отрывных турбулентных течений в областях сложной геометрической формы наиболее перспективным представляется подход, основанный на выделении структурированных областей в общей неструктурированной расчетной сетке [CB1]. Типичными представителями таких сеток являются сетки, состоящие из усеченных шестигранников, для которых возможно выделение локальных структурированных областей, с преобладающими отрывными течениями, для моделирования которых необходимо использовать численные схемы высокого порядка точности. Поэтому возникает необходимость в выработке методики расчета отрывных течений на сетках, состоящих из усеченных шестигранников.

Направление построения схем повышенного порядка точности на неструктурированных сетках развито достаточно хорошо, однако их использование в прикладных приложениях сильно ограничено. Практического применения достигли конечно-объемные методы, построенные на тетраэдральных сетках [Абалкин&Козубская, 2007; Бахвалов&Козубская, 2017] и на базе конечно-элементного метода Галеркина [Peraire, 2011; Bosnyakov et al., 2017; Plata et al., 2018]. Обзоры существующих методов, построения схем повышенного порядка точности могут быть найдены, например, в [Li, 2014; Deville et al., 2002; Vincent&Jameson, 2011; Wang, 2007]. Существует несколько удачных примеров применения методов на базе разрывного метода Галеркина для решения задач аэроакустики [Peraire, 2011; Bosnyakov et al., 2017; Plata et al., 2018]. Основной минус применения данных методов - высокая вычислительная нагрузка. Также перспективным представляется подход, основанный на схемах типа ENO/WENO, математический аппарат которых, к настоящему времени хорошо развит [Dumbser et al., 2007; Titarev et al., 2010; Liu et al., 2013]. Наилучшим образом данные методы показывают себя на структурированных и неструктурированных сетках с почти равномерным распределением размеров и форм соседних ячеек. Однако при построении расчетной сетки для промышленной задачи выполнить это требование затруднительно. Расширение же методов ENO/WENO на неструктурированные сетки в трёхмерном случае является достаточно сложным и затратным с вычислительной точки зрения [Barth&Deconinck,

1999; Titarev et al., 2011]. Также отметим, что привлекательным выглядит применение схемы JST [Jameson et al., 1981; Dwight, 2006] и ее аналогов [СВ4], которая позволяет получить приемлемую точность на неструктурированных сетках при невысоких вычислительных затратах. Таким образом, возникает необходимость в изучении свойств существующих схем и их адаптации на случай расчетов на неструктурированных сетках, состоящих из усеченных шестигранников.

Разработка методик расчета, алгоритмов и численных схем, а также исследование применимости современных вихреразрешающих моделей турбулентности для расчета отрывных трехмерных нестационарных турбулентных течений на произвольных неструктурированных сетках, состоящих из многогранников произвольной формы, является нетривиальной наукоемкой задачей. Это касается как построения и применения низко-диссипативных схем, так и адекватного выбора модели турбулентности. Существенное увеличение мощностей современных суперкомпьютеров вкупе с проработанностью данного направления позволит вывести моделирование отрывных нестационарных турбулентных течений в решении индустриальных задач на качественно новый уровень в точности моделирования нестационарного обтекания различных тел.

Таким образом, исходя из вышесказанного, в данной диссертации приводятся исследования, посвященные актуальным проблемам в области моделирования отрывных нестационарных турбулентных течений.

Цели диссертационной работы

Основными целями настоящей работы являются исследование особенностей расчета турбулентных отрывных течений на произвольных неструктурированных сетках, включая закритические углы атаки, и последующая модификация моделей турбулентности, разработка численных схем и алгоритмов для повышения точности результатов.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Исследовать применимость полуэмпирических и вихреразрешающих моделей турбулентности для расчета отрывных течений с сильной анизотропией течения на произвольных неструктурированных сетках.

2. Разработать модель отсоединенных вихрей на основе дифференциальной модели рейнольдсовых напряжений SSG/LRR-ш для моделирования отрывных турбулентных течений. Провести калибровку коэффициентов модели для моделирования турбулентных течений на неструктурированных сетках. Провести верификацию и валидацию разработанной модели.

3. Исследовать свойства диссипативности схем расчета конвективных потоков с целью выявления наилучшей схемы для моделирования турбулентных отрывных течений.

4. Разработать схему расчета конвективных потоков с гибридной диссипацией с целью повышения точности расчетов на неструктурированных сетках.

5. Проанализировать положение и размер ламинарного пузыря в зависимости от критического числа Рейнольдса для аэродинамического профиля и исследовать зависимости коэффициента подъемной силы крыла от критического числа Рейнольдса при отрыве потока от передней кромки.

6. Внедрить разработанные алгоритмы и методы для решения промышленно-ориентированных задач в ПК ЛОГОС. Выработать рекомендации расчета отрывных течений на неструктурированных сетках.

Методы исследования и степень достоверности результатов

Методы исследования, используемые в диссертации, основываются на численном моделировании. Для численного эксперимента используются следующие численные подходы: метод конечных объемов при решении системы уравнений Навье-Стокса, осреднённых по Рейнольдсу, гипотеза Буссинеска, а также вихреразрешающие подходы к моделированию отрывных турбулентных течений.

Достоверность положений диссертационной работы доказана результатами моделирования на ЭВМ характерных тестовых задач и сопоставления получаемых численных решений с уже известными в литературе, а также экспериментальными данными.

Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными результатами:

1. Модель отсоединенных вихрей на основе дифференциальной модели рейнольдсовых напряжений SSG/LRR-ш. Применимость полуэмпирических (SA, SST и RSM) и вихреразрешающих моделей турбулентности для моделирования турбулентных отрывных течений с сильной анизотропией течения.

2. Схема расчета конвективных потоков с гибридной диссипацией c противопоточной составляющей в виде схемы AUSMPW с функциональным параметром, зависящим от градиента давления.

3. Зависимость коэффициента подъемной силы при отрыве потока от передней кромки аэродинамического профиля от критического числа Рейнольдса и анализ положения ламинарного отрывного пузыря, полученные на основе численного моделирования.

Основные положения, выносимые на защиту

Положения, выносимые на защиту, которые подтверждены серией вычислительных экспериментов:

1. Применимость полуэмпирических (SA, SST и RSM) и вихреразрешающих моделей турбулентности для моделирования турбулентных отрывных течений с сильной анизотропией течения. Модель отсоединенных вихрей на основе дифференциальной модели рейнольдсовых напряжений SSG/LRR-ш. Числовые значения коэффициентов модели для моделирования турбулентных отрывных течений на неструктурированных сетках.

2. Сопоставление диссипативных свойств противопоточных схем Роу и AUSMPW с оценкой высокочастотной части спектра для моделирования отрывных турбулентных течений.

3. Схема расчета конвективных потоков с гибридной диссипацией c противопоточной составляющей в виде схемы AUSMPW с функциональным параметром, зависящим от градиента давления. Верификация разработанной схемы на примере решения задач обтекания аэродинамических профилей RAE2822, 30P30N и NACA0021, имеющих статус международных тестов (benchmark).

4. Зависимость коэффициента подъемной силы при отрыве потока от передней кромки аэродинамического профиля HGR01 от критического числа Рейнольдса и анализ положения и размера ламинарного отрывного пузыря, полученные на основе численного моделирования.

5. Результаты численного моделирования с использованием разработанных моделей и схем в пакет программ ЛОГОС для решения промышленно-ориентированных задач. Рекомендации расчета отрывных течений на произвольных неструктурированных сетках для объектов сложной геометрической формы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Получены теоретические и практические результаты по исследованию вихреразрешающих моделей турбулентности для расчета отрывных турбулентных течений на околокритических и закритических углах атаки. Предложенная методика позволяет использовать вихреразрешающие модели турбулентности при решении задач моделирования нестационарного обтекания реальных объектов.

Все разработки, выполненные в рамках настоящей работы, реализованы на базе пакета программ ЛОГОС - отечественном программном обеспечении для инженерного анализа [СВ1-СВ6, ТК1-ТК11, СР1-СР6]. C 2014 года, в состав пакета ЛОГОС входят алгоритмы, схемы и решения, представленные в диссертации, которые используются для решения

промышленных задач авиастроения [СВ1-СВ6]. Уже в настоящее время пакет программ ЛОГОС прошел апробацию более чем на 40 предприятиях России.

Полученные результаты в диссертации использовались в следующих российских исследовательских проектах:

• ГК 14.514.12.0002 с Министерством образования РФ: «Численное исследование нестационарных отрывных турбулентных течений и генерируемых ими акустических полей для нужд авиационной промышленности»;

• Проект «Развитие суперкомпьютеров и грид-технологий» (2010-2012 гг.), одобренный на заседании Комиссии при Президенте Российской Федерации по модернизации и технологическому развитию экономики;

• Проект «Разработка отечественного программного обеспечения», утвержденный постановлением Правительства Российской Федерации №993 от 30.09.2016;

• РФФИ проект офи_м, № 15-01-06224 «Разработка и исследование эффективных методов подавления «карбункул»-неустойчивости в схемах типа Годунова»;

• РФФИ проект офи_м, № 13-0712079 «Исследование потенциала суперкомпьютеров для масштабируемого численного моделирования задач газо- и гидродинамики в индустриальных приложениях»;

• Грант Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ НШ-70.2022.1.5 «Нелинейные гидрофизические процессы прибрежной зоны: фундаментальные аспекты, инструментальные наблюдения, вычислительные эксперименты и практические приложения»;

• Научно-исследовательская работа в рамках государственного задания в сфере научной деятельности (задание № FSWE-2020-0007 «Волновой климат стратифицированного морского шельфа: нелинейные динамические процессы и их влияние на прибрежную зону и гидротехнические сооружения»).

Данные проекты выполнялись при активном участии диссертанта.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности моделирования турбулентных отрывных течений на произвольных неструктурированных сетках»

Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на всероссийских и международных конференциях, таких как всероссийская конференция «Вычислительный эксперимент в аэроакустике» (г. Светлогорск, 2016г.), международная конференция «Супервычисления и математическое моделирование» (г. Саров, 2016 г.), всероссийская конференция по аэроакустике (г. Звенигород, 2013г, 2017г.), всероссийский семинар с международным участием по струйным, отрывным и нестационарным течениям (г. Санкт-Петербург, 2018г.), научно-техническая конференция «Молодежь в науке» (г. Саров, 2017 г.).

Результаты диссертации докладывались на семинарах Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева, Института теоретической и математической физики ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», рабочих совещаниях и семинарах со специалистами ПАО «Компания Сухой» и ФГБОУ ВО «МАИ».

Публикации

Основные положения диссертации представлены в 6 публикациях, включенных в список ВАК и/или входящих в мировые индексы цитирования (SCOPUS, Web of Science), в 11 работах в трудах конференций. Получено 6 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Личный вклад автора

Научным руководителем сформулированы задачи и цели диссертационного исследования. Автором диссертационной работы реализованы дифференциальная модель турбулентности SSG/LRR-ш и вихреразрешающая модель турбулентности на основе модели SSG/LRR-ш RSM. Лично проведена калибровка и верификация моделей. При определяющем участии диссертантом разработана гибридная схема расчета конвективных потоков. Лично диссертантом исследованы свойства диссипативности реализованной схемы и выполнен оптимальный подбор параметров для корректной передачи турбулентной энергии от крупных вихрей к мелким вихрям. Лично диссертантом проведен анализ положения и размера ламинарного пузыря в зависимости от критического числа Рейнольдса и детально исследована зависимость коэффициента подъемной силы от критического числа Рейнольдса. С соавторами проведена верификация и адаптация к промышленным задачам.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, Козелкову Андрею Сергеевичу. Особую благодарность автор выражает своему техническому руководителю - кандидату технических наук, Жучкову Роману Николаевичу за ценные замечания и помощь. Автору приятно поблагодарить всех соавторов, а также коллег кафедры Прикладная математика ФГБОУ ВО НГТУ им. Р.Е. Алексеева и отдела 0813 ИТМФ ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» за сотрудничество и помощь.

ГЛАВА 1. ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ТУРБУЛЕНТНЫХ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

1.1. Введение

В настоящее время моделирование большинства практических задач внешней аэродинамики основано на численном решении уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу - т.е. используются RANS модели турбулентности [Гарбарук и др., 2016; Белов&Исаев, 2001]. Применение RANS моделей турбулентности сталкивается с серьезными трудностями при моделировании отрывных течений на околокритических и закритических углах атаки [Cecora et al., 2012]. Выходом здесь является применение DES моделей [Гарбарук и др., 2016], однако их RANS составляющая, также может приводить к существенной погрешности. Построение DES модели на базе моделей RSM, в которых напрямую вычисляется тензор рейнольдсовых напряжений, поможет улучшить точность моделирования отрывных аэродинамических течений.

В данной главе диссертации представлено описание сравнения различных подходов к моделированию нестационарных отрывных турбулентных течений. Сравниваются RANS и DES подходы и делается вывод об их применимости для моделирования отрывных течений. Для модели DES выбрана наиболее лучшая ее модификация - EDES. Для RSM модели рассматривается модель SSG/LRR-ш [Cecora et al., 2012], позволяющая лучше предсказать точку отрыва потока, что является важной составляющей для моделирования отрывных течений. Далее на основе моделей EDES и RSM приводится описание новой модификации модели DES.

В параграфе 1.2 представлено описание основных уравнений (системы уравнений Навье-Стокса) и способа их дискретизации в рамках пакета программ ЛОГОС с ориентацией на произвольные неструктурированные сетки. В параграфе 1.3 представлено описание моделей SA, SST и RSM, а также приведены результаты их применения для моделирования турбулентных течений на закритических углах атаки.

В параграфе 1.4 приведено описание лучшей модификации семейства DES - EDES модели. Данная модель легла в основу разработанной гибридной DES модели на основе дифференциальной модели рейнольдсовых напряжений SSG/LRR-ш. В параграфе 1.5 представлены результаты калибровки коэффициентов разработанной модели, а в параграфе 1.6 представлены результаты верификации разработанной модели на задачах обтекания каверны М219, истечения холодной струи из осесимметричного сопла SMC000 и обтекании тандема цилиндров. В заключении суммированы результаты исследований данной главы.

1.2. Основные уравнения и способы их решения

Нестационарные трехмерные турбулентные течения вязкого теплопроводного газа описываются системой уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу [Флетчер, 1991; Ландау&Лифшиц, 1988; Лойцянский, 1979; Козелков и др., 2013], которая в консервативной форме, в декартовых координатах, имеет вид (знаки осреднения опущены):

ы ^ '

а(рМ)+У(рмм) = -У/> + У(тц+т,), (1.2.1)

Ы

В системе уравнений (1.2.1) используются общепринятые обозначения: р - плотность; й - вектор скорости течения с компонентами и, V, р - давление; Е — СТ + 0.5 {и2 + V2 + м2 ) -

полная энергия газа; к — СрТ + 0.5{и2 + V2 + м2) - полная энтальпия газа; и т, -молекулярная и турбулентная составляющие тензора касательных напряжений соответственно; # и qt - молекулярная и турбулентная составляющие плотности теплового потока соответственно; Т- температура; Су ~{СрТ - Я / т) - удельная теплоемкость при

постоянном объеме; С - удельная теплоемкость при постоянном давлении; Я - универсальная

газовая постоянная; т - молярная масса газа. Математическая модель сформулирована для идеального газа.

Величины молекулярной составляющей тензора касательных напряжений ньютоновской среды удовлетворяют реологическому закону Ньютона, удовлетворяющему связи между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформаций, а компоненты вектора плотности теплового потока связаны с локальным градиентом температуры законом Фурье [Ландау&Лифшиц, 1988; Оран&Борис, 1990; Лойцянский, 1979]:

т^ = Я = ^{Уи + [Уи]'), ^ = ЦТ)УТ.

Коэффициент динамической вязкости ц(Т) и коэффициент теплопроводности Х(Т) в зависимости от температуры потока определяются по формуле Сазерленда [Лойцянский, 1979; Шлихтинг, 1974]:

( т Т Т7 (

Т Т

V Т0

Т +Т

Т_, л=лс

Т + Т

Т Т

Т +Т

0_5_

Т + Т '

5"

0.

где и а0 соответственно динамическая вязкость и коэффициент теплопроводности при температуре т0, т - константа Сазерленда.

Система уравнений (1.2.1) является не замкнутой из-за неизвестной связи одних из основных переменных этой системы %t и qt с осредненными параметрами течения. Эта связь

может быть установлена с помощью дополнительных соотношений, которые в общем случае называются моделями турбулентности. Линейные дифференциальные модели турбулентности используют эмпирические соотношения для коэффициента турбулентнбой вязкости цг.

Система уравнения Навье-Стокса должна быть дополнена граничными условиями различных типов, описание которых можно найти в [Ferziger&Peric, 2002].

Для численного решения системы уравнений Навье-Стокса в основном используют три подхода: метод конечных разностей (МКР), конечных объемов (МКО) и конечных элементов (МКЭ) [Волков и др., 2013; Ferziger&Peric, 2002; Быстров и др., 2005; Leveque, 2002; Strikwerda, 2004; Zienkiewicz et al., 2005; Смирнов&Зайцев, 2004].

В методе конечных разностей слагаемые, входящие в уравнения, достаточно просто и наглядно заменяются их дискретными аналогами. В методе конечных элементов решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций и интерпретируется как интерполяция по отношению к локальному решению в узловой точке. Многочленное представление решения удовлетворяет вариационной системе основных уравнений в пределах каждого элемента. Метод конечных объемов использует интегральную формулировку основных законов сохранения, а дискретные аналоги слагаемых записываются для контрольного объема путем суммирования по граням. Метод конечных объемов обладает хорошими консервативными свойствами и допускает дискретизацию сложных вычислительных областей в более простой форме, поэтому этот метод достаточно популярен в вычислительной гидро-, аэродинамике.

Именно данный метод и используется для построения численных методов и схем в пакете программ ЛОГОС [Козелков и др., 2014; Betelin et al., 2014; Deryugin et al., 2017; Галанов&Жучков, 2018; Deryugin et al., 2019], ориентированном на решении промышленно-ориентированных на произвольных неструктурированных сетках. Дальнейшее описание моделей, численных схем и алгоритмов будет рассматриваться в рамках такой концепции (основываясь на подходах пакета программ ЛОГОС).

Метод конечных объемов основан на интегрировании исходных дифференциальных уравнений по контрольному объему. Контрольные объемы (ячейки сетки) являются произвольными многогранниками, покрывающие расчетную область без зазоров и наложений.

Каждый многогранник ограничен произвольным числом граней. Вершинами граней являются узлы сетки. Общий вид ячейки показан на рисунке 1.2.1.

Рис. 1.2.1 - Общий вид ячейки сетки

Для численного решения методом конечных объемов выпишем систему уравнений Навье-Стокса для трехмерного течения теплопроводного вязкого газа в векторной форме:

а

(12.2)

ЬУ

ЬУ

где вектор Ж - вектор консервативных переменных, Е и G - вектора конвективных и диффузионных потоков, Н - источниковый член,

Ж =

р^ Рип Л ( 0 )

ри Рии„ + Р„х т „X

ру , р = ршп + Р„у , о = т „у

р^и„ + Р„ т „

рЕ ) рНи„+Ри„ ути + q у

где ы„ - нормальная составляющая скорости, q - тепловой поток, ту - компоненты тензора вязких напряжений.

При интегрировании будем использовать теорему о среднем. В качестве среднего значения по объему принимается значение в центре ячейки, а в качестве среднего значения на грани - значение в центре грани. Тогда уравнение (1.2.2) запишется следующим образом:

дЖ дх

„

ЬУр + X\р(Ж)-°(Ж,УЖ)] ^ - (Н (Ж,УЖ))р ЬУР = 0

(1.2.3)

р - /=1 или в операторной форме

(дW Л , ч

- V + L (W ) = 0, (1.2.4)

V д У р

где

п

Ь(Ж) = £[Р(W)-G(W,VW)] Л^-(Я(W,VW)) ЛКР. (1.2.5)

/=1 7 р

Разностный оператор Ь (Ж) включает аппроксимацию конвективных и диффузионных потоков и источника. Построение разностного оператора Ь(Ж) основано на неявных

аппроксимациях конвективных и диффузионных потоков. Для аппроксимации конвективных потоков, как правило, используются односторонние разности. Поэтому порядок аппроксимации дифференциального оператора разностным оператором является первым по пространственной переменной. Поскольку уравнения являются нелинейными, то для определения решения на новом временном слое могут использоваться итерации по нелинейности. Обозначим индексом у параметры, найденные на предыдущей итерации. Тогда, представим значение оператора (1.2.5) в виде:

Ь(ж1+1 ) = Ь(Ж1+1)-Ь(Жу) + Ь(Жу) = Ль (Ж 1+1 ,Жу) + ь2 (Жу), (1.2.6)

где

n

L2 {Ж1 ) = Z[f(Wy)-G(WY, VWY)] AS,-(Я(WY, VWY)) AVP, (1.2.7)

/=1 f P

AL (WY+1,WY) = % — (wy+1 - WY) ASf- — (Wy+1 - WY) . (1.2.8)

1V ' %|_dw dw\fy '/ f dWpy 'P

В результате получим дельта - форму разностных уравнений:

дЯ

AVp ^

—awP

т /=1

dF dG

дЯ

AWfASf--AWPAVP = R (W). (1.2.9)

У dWp

дЖ дЖ

Правая часть уравнений является невязкой уравнений баланса:

у п

Ж — Ж п т

К (Ж) = — Жр Жр ЛУР — £ [Р — G] Л^ + ярЛУр. (1.2.10)

т /=1 7

Для вычисления конвективных потоков используются две наиболее известные схемы: схема Роу [Roe, 1986] и схема AUSMPW [Kim et al., 2001]. В этих схемах сначала проводится реконструкция (восстановление) решения, в результате чего вычисляются примитивные параметры потока слева и справа от грани ячейки. Для вычисления диффузионных потоков по

15

явной схеме используются параметры и производные, определенные на внутренних гранях интерполяцией по их значениям в ячейках. Диссертантом была выполнена реализация, отладка и тестирование схемы расчета конвективных потоков методом Роу в пакете программ ЛОГОС.

Данный численный метод реализован в пакете программ инженерного анализа ЛОГОС в модуле Логос.Аэродинамика при активном участии диссертанта. Данный метод будет использован для всех дальнейших расчетов, приведенных в диссертации.

1.3. Исследование применения полуэмпирических моделей для течений с сильной анизотропией

Система уравнений Навье-Стокса, позволяет моделировать турбулентные течения DNS подходом путем измельчения расчетной сетки. В силу дороговизны данного метода для большинства практических задач, как правило, используется система уравнений Навье-Стокса, осредненных по Рейнольдсу. Для замыкания осредненной системы уравнений применяют модели турбулентности. Широкое распространение получили однопараметрическая модель Спаларта-Аллмараса (SA) [Spalart&Allmaras, 1992] и двухпараметрическая модель Ментера (SST) [Menter, 1993]. Первая из них основана на уравнении переноса модифицированной турбулентной вязкости, вторая - на уравнениях переноса турбулентной кинетической энергии и удельной диссипации. Данные модели были опубликованы в первоисточниках [Spalart&Allmaras, 1992], [Menter, 1993], также полное описание моделей можно найти в [Гарбарук и др., 2016].

Эти модели хорошо зарекомендовали себя при решении задач с малыми углами атаки [Cecora et al., 2012; Стрелец и др., 1997], в которых рассматривается стационарные течения. Модели Спаларта-Аллмараса и SST позволяют получать результаты с удовлетворительной точностью в тех случаях, когда в течениях преобладает одна компонента тензора рейнольдсовых напряжений, например, течения в пограничном слое. Однако, например, для течений с сильной кривизной линий тока и течений, в которых существенным образом проявляется анизотропия рейнольдсовых напряжений, результаты, полученные с использованием этих моделей, неудовлетворительно согласуется с экспериментальными данными [Cecora et al., 2012; СВ3].

Для улучшения результатов моделирования таких течений появилось ряд модификаций известных моделей турбулентности RANS. Так, например, для модели SA была предложена поправка на кривизну линий тока и вращение (модель SARC) [Spalart&Shur, 1997; Shur et al.,

2000]; аналогичная поправка была внесена в модель к-ш SST (SST-RC) [Smirnov&Menter, 2009].

Гипотеза Буссинеска, основанная на введении коэффициента линейной вязкости, и приводит к потере точности в пограничных слоях, подвергнутых сильному градиенту давления или отрыву потока, которое происходит на закритических углах атаки.

В последнее время становятся популярными модели, свободные от гипотезы Буссинеска. Таким моделями являются, например, модели рейнольдсовых напряжений RSM [Cecora et al., 2012; Гарбарук и др., 2016]. Дифференциальные модели RSM содержат уравнения переноса трех нормальных и трех касательных компонент тензора рейнольдсовых напряжений. В качестве замыкающего соотношения используется уравнение переноса либо скорости диссипации турбулентной энергии (s) [Speziale et al., 1991; Shih&Lumley, 1985; Cecora et al., 2012; Jakirlic&Hanjalic, 2002], либо скорости удельной диссипации турбулентной энергии (ш) [Launder et al., 1975; Cecora et al., 2012; Probst&Radespiel, 2008; Probst et al., 2010]. Разработанные в последнее время модели семейства RSM, такие как низкорейнольдсовая модель sh-RSM, показали [Probst et al., 2010], что результаты моделирования нестационарного обтекания различных аэродинамических профилей при больших углах атаки хорошо согласуются с экспериментальными данными. Несмотря на то, что модификации SA и SST моделей турбулентности позволили улучшить результат при решении некоторых задач [Roy et al., 2017], это, тем не менее, не гарантирует, что и других задачах данные модификации улучшат результаты. В этом случае модель RSM является более универсальной. Однако недостатком данной модели на текущий момент времени является сложность программной реализации и сохранение устойчивости итерационного процесса.

Одним из примеров таких моделей является дифференциальная модель рейнольдсовых напряжений (Reynolds stress model - RSM) SSG/LRR-ш (Speziale-Sarkar-Gatski/Launder-Reece-Rodi), созданная в рамках Европейского проекта FLOMANIA [Haase et al., 2006]. Данная модель является комбинацией моделей SSG-s [Speziale et al. 1991; Shih&Lumley, 1985] и LRR-ш [Launder et al., 1975]. В новой модели, подобно подходу, примененному в модели SST, в основном потоке работает модель SSG-s, а вблизи стенки - модель LRR-ш. Данная модель продемонстрировала преимущество перед другими полуэмпирическими моделями с точки зрения точности решения при описании течений с сильной кривизной линий тока, а также в пограничных слоях, в которых присутствует сильный градиент давления (например, при обтекании крыльев на закритических углах атаки).

Модель RSM содержит уравнения переноса рейнольдсовых напряжений Rj и уравнение

переноса удельной диссипации ш. В силу симметричности тензора рейнольдсовых

напряжений интегрируются дифференциальные уравнения переноса для трех нормальных и трех касательных компонент этого тензора [Cecora et al., 2012].

В настоящее время все эти модели турбулентности широко применяются для расчета аэродинамических характеристик (АДХ) на структурированных сетках. На неструктурированных сетках в основном применяются модели SA и SST; дифференциальные модели RSM применяются реже в силу большой чувствительности к способу дискретизации уравнений моделей турбулентности на различных типах расчетных сеток [Levy et al., 2013; Roy et al., 2017]. Поэтому для каждого МКО необходимо проводить исследование на неструктурированных сетках.

Диссертантом самостоятельно было проведено исследование применения полуэмпирических моделей для течений с сильной кривизной линии тока в ПК ЛОГОС. Ниже приводятся результаты расчетов характерных для авиационной промышленности задач обтекания крыла ONERA M6 и самолета DPW5 на неструктурированных сетках с целью демонстрации отличий в результатах расчетов, полученных с моделями SA, SST и RSM.

Расчет аэродинамических характеристик крыла ONERA M6

Трансзвуковое обтекание крыла ONERA M6 [Schmitt&Charpin, 1979] является стандартной задачей при тестировании моделей турбулентности на задачах внешней аэродинамики. В отличие от двумерных профилей при обтекании крыла в области кромки крыла возникают сильно трехмерные течения. Данная анизотропия течения непосредственно влияет на АДХ крыла, что позволяет оценить возможности моделей турбулентности применительно к течениям с сильной кривизной линии тока. Ниже показано, что SA и SST модели турбулентности не описывают данную анизотропию течения, в то время как RSM дает более корректную картину течения.

Для сравнения результатов, полученных с помощью полуэмпирических моделей турбулентности, была проведена оценка распределения коэффициента давления на поверхности крыла в различных сечениях и сравнение результатов с экспериментальными данными [Schmitt&Charpin, 1979].

Для решения задачи использовалась неструктурированная сетка, состоящая из усеченных шестигранников и содержащая 3.1 млн. ячеек (Рисунок 1.3.1). Сетка имеет сгущение к стенкам крыла с целью выполнения критерия y+<1 для первой пристеночной ячейки. В качестве начальных условий задавался однородный поток вязкого газа с числом Маха м^о.84 при значении числа Рейнольдса Re=11.72*107 под углом атаки а = 4.08° .

Рис. 1.3.1 - Геометрия расчетной области вблизи крыла: вид сбоку (а) и вид сверху (б)

Для численного эксперимента использовались RANS модели: SA, SST и SSG/LRR-ш RSM. Для аппроксимации конвективных потоков применялась схема AUSMPW [Kim et al., 2001 ] со вторым порядком точности дискретизации по пространству.

Ниже рисунке 1.3.2 приведены распределения коэффициента давления в различных сечениях.

Рис. 1.3.2 - Распределение коэффициента давления в сечении г=0.8 (слева) и г=0.95 (справа):

а) - БА, б) - ББТ, в) - ББО/ЬЯК-ш

Из рисунков видно, что в сечении г=0.8 в расчетах с различными моделями турбулентности получено примерно одинаковое положение скачка уплотнения. В сечении г=0.95, близком к кромке крыла, положение скачка сильно отличается. Ниже приведено

распределение коэффициента давления Ср в различных сечениях крыла в сравнении с экспериментальными данными (Рисунок 1.3.3).

0,0 Oil 0,2 0.3 at 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 Х/С ао 0,1 0,2 0,3 0,4 as 0,6 0.1 0,8 0,9 х/с

Рис. 1.3.3 - Распределение коэффициента давления в сечениях z=0.8 (слева) и z=0.95 (справа): 1 - экспериментальные данные [Schmitt&Charpin,1979], 2 - SA, 3 - SST, 4 - SSG/LRR-ш

Можно видеть, что результаты расчета с использованием SSG/LRR-ш модели турбулентности наиболее близки к эксперименту, чем результаты, полученные с использованием SA и SST моделей.

Более детальный анализ структуры течения можно получить из распределения коэффициента давления и линий тока на поверхности крыла, которое приведено на рисунке 1.3.4.

Рис. 1.3.4 - Распределение коэффициента давления и линии тока на поверхности крыла ONERA M6: а) - SA, б) - SST, в) - SSG/LRR-ш

Поведение потока около крыла, полученное с помощью SA и SST моделей турбулентности, имеет схожую структуру. В то время как в расчетах с SSG/LRR-ш моделью турбулентности, наблюдается значительное отличие от других моделей. Наиболее ярко это прослеживается у кромки крыла, где сильнее всего выражена анизотропия тензора рейнольдсовых напряжений.

Расчет аэродинамических характеристик модели самолета DPW-5

Данная задача предназначена для численного моделирования аэродинамических характеристик на промышленных конфигурациях летательного аппарата. В качестве базовой расчетной модели используется модель самолета NASA Common Research Model (CRM) конфигурации wing-body, состоящей из фюзеляжа, крыла и обтекателя места крепления крыла к фюзеляжу. Особенностью данной модели является то, что в области стыковки фюзеляжа самолета и крыла возникает анизотропное течение, которое влияет на определение АДХ самолета. Данная задача, широко обсуждаемая в рамках регулярно организуемых воркшопов [Levy et al., 2013], позволяет провести оценки применимости моделей турбулентности для моделирования течений в области двугранных углов.

Проведено трансзвуковое обтекание модели самолета DPW-5 при различных углах атаки (а = 1.0°, 2.0°, 2.5°, 2.75°, 3.0°, 3.25°, 3.5°, 3.75°, 4.0°, 4.2°, 4.6°). Линейные модели RANS показывают, что в области стыка фюзеляжа самолета и крыла формируется вихревая зона, вызванная сильной кривизной линии тока. Однако модели RANS, основанные на гипотезе Буссинеска, демонстрируют раннюю точку отрыва потока, в отличие от модели RSM. Для анализа правильности результатов оценивались аэродинамические характеристики самолета. Экспериментальные данные широко обсуждаются в работе [Levy et al., 2013].

Для решения задачи использовалась блочно-структурированная сетка, содержащая 5.2 млн. ячеек. Расчетная модель представлена на рисунке 1.3.5. Для данной задачи также были проведены расчеты на неструктурированной сетке, состоящей из усеченных шестигранников, и получены сравнимые результаты.

В качестве начальных условий задавался однородный поток вязкого газа с числом Маха м„=0.85 при значении числа Рейнольдса Re=5*106.

Рис. 1.3.5 - Геометрия расчетной области

Для численного эксперимента использовались RANS модели: SA, SST и SSG/LRR-ш RSM. Для аппроксимации конвективных потоков применялась схема AUSMPW [Kim et al., 2001 ] со вторым порядком точности дискретизации по пространству.

Ниже на рисунке 1.3.6 приведены распределения коэффициента давления на поверхности самолета.

Рис. 1.3.6 - Распределение коэффициента давления на поверхности самолета на наветренной

(слева) и подветренной (справа) стороне: а) - SA, б) - SST, в) - SSG/LRR-ш

Видно, что качественная картина течения с использованием различных моделей турбулентности совпадает. Для количественных оценок расчетов на рисунке 1.3.7 приведено распределение коэффициента давления Ср в сечении крыла.

Рис. 1.3.7 - Распределение коэффициента давления в сечении z=14.76: 1, 2 -экспериментальные данные NFT Test Run 44 а=3.9° и а=4.15° [Levy et al., 2013], 3 - SA, 4 - SST, 5 - SSG/LRR-ш, 6 - результаты из работы на блочно-структурированной

сетке [Levy et al., 2013]

Из графика распределения давления сложно выделить модель турбулентности, которая лучше описывает течение. Положения скачка уплотнения, полученные в расчетах с различными моделями турбулентности, достаточно далеки от положения скачка, полученного в эксперименте.

Преимущество SSG/LRR-ш можно проследить на графике зависимости подъемной силы от угла атаки (Рисунок 1.3.8). На графиках приведены результаты расчетов с использованием разных моделей турбулентности, а также экспериментальные данные [Levy et al., 2013].

■ 1

a

съ

а 2

a

з Hi *

а.

A

л Л I DB _i V

&

cm

А 5

1/,

J

— < ►

• о < > '

д d i , О

о

Ф

* •

■

а

■ 1

Д о

2 3 4

Рис. 1.3.8 - Распределение коэффициента подъемной силы от угла атаки: 1, 2 - экспериментальные данные [Levy et al., 2013], 3 - SA, 4 - SST, 5 - SSG/LRR-ш

Можно видеть, что в расчетах при угле атаки а>3° с использованием модели турбулентности SA и SST наблюдается резкое снижение значений коэффициента подъемной силы, в то время как с применением модели SSG/LRR-ш продолжает сохранять линейный характер и лучше согласуется с экспериментальными данными. Такое поведение графика обусловлено тем, что в расчетах с моделями SA и SST при угле атаки а>3° в области стыковки фюзеляжа и крыла формируется вихрь, который приводит к срыву потока (Рисунок 1.3.9). В расчете с использованием SSG/LRR-ш модели турбулентности подобный вихрь не образуется и, следовательно, не приводит к падению значений коэффициента.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Уткина Анна Александровна, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абалкин И.В., Козубская Т.К. Многопараметрическое семейство схем повышенной точности для линейного уравнения переноса // Математическое моделирование. - 2007. -Т. 19, №7. - С.56-66.

2. Аксенов А.А. FlowVision: индустриальная вычислительная гидродинамика // Компьютерные исследования и моделирование. - 2017. - Т. 9, №1. - С.5-20.

3. Бахвалов П.А., Козубская Т.К. Схема EBR-WENO для решения задач газовой динамики с разрывами на неструктурированных сетках: Препринт № 23. - М.: ИПМ им. М.В.Келдыша, 2017. - 32 с.

4. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений: учебное пособие. - СПб: Балт.гос.тех.ун-т., 2001. - 108 с.

5. Бойко А.В., Нечепуренко Ю.М., Жучков Р.В., Козелков А.С. Блок расчета положения ламинарно-турбулентного перехода для пакета ЛОГОС // Теплофизика и аэродинамика. -2014. - Т. 21, № 2. - С.201-220.

6. Быстров Ю.А., Исаев С.А., Кудрявцев Н.А., Леонтьев А.И. Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в пакетах труб. - СПб.: Судостроение, 2005. - 392 с.

7. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 368 с.

8. Волков К.Н., Емельянов В.Н., Карпенко А.Г., Смирнов П.Г., Тетерина И.В. Реализация метода конечных объемов и расчет течений вязкого сжимаемого газа на графических процессорах // журнал «Выч. мет. программирование». - 2013. - Т. 14, №1. - С. 183-194.

9. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Течения и теплообмен в каналах и вращающихся полостях. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 488 с.

10. Галанов Н. Г., Жучков Р. Н. Моделирование теплокомфорта человека средствами программного комплекса ЛОГОС // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 2018. - Вып. 2. - С. 62-71.

11.Гарбарук А.В., Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л. Современные подходы к моделированию турбулентности. - СПб: Изд-во Политех. ун-та, 2016. - 234 с.

12.Дмитриев С.М., Крутякова О.Л., Козелков А.С., Куркин А.А., Курулин В.В., Уткин Д.А. Применение полуэмпирических моделей турбулентности для моделирования турбулентной конвекции // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2019. - Вып. 125, № 2. - C. 18-33.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. -М.: Наука, 1988. - 736 с.

14.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1979. - 904 с.

15.Козелков А.С. Дерюгин Ю.Н., Зеленский Д.К., Полищук С.Н., Лашкин С.В., Жучков Р.Н., Глазунов В.А., Яцевич С.В., Курулин В.В. Многофункциональный пакет программ ЛОГОС: Физико-математические модели расчета задач аэро-, гидродинамики и теплообмена: Препринт №111. - Саров: РФЯЦ-ФНИИЭФ, 2013. - 67 с.

16.Козелков А.С. Дерюгин Ю.Н., Циберева Ю.А., Корнев А.В., Денисова О.В., Стрелец Д.Ю., Куркин А.А., Курулин В.В., Шарипова И.Л., Рубцова Д.П., Легчанов М.А., Тятюшкина Е.С., Лашкин С.В., Ялозо А.В., Яцевич С.В., Тарасова Н.В., Гинниятуллин Р.Р., Сизова М.А., Крутякова О. Л. Минимальный базис задач для валидации методов численного моделирования турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. -2014. - Т. 4, №106. - С. 21-69.

17.Козелков А.С., Корнев А.В., Стрелец Д.Ю., Танненберг И.А., Останко Д.А. Расчетные исследования аэродинамических характеристик сверхзвукового самолета на крейсерских режимах полета // Полет. Общероссийский научно-технический журнал. - 2017. - №6. - C. 17-21.

18.Козелков А. С., Курулин В. В., Лашкин С. В., Шагалиев Р. М., Ялозо А. В. Исследование потенциала суперкомпьютеров для масштабируемого численного моделирования задач гидродинамики в индустриальных приложениях // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 8. - С. 1524-1535.

19.Козелков А.С., Курулин В.В., Тятюшкина Е.С., Крутякова О.Л. Применение численных схем с выделением пограничного слоя для расчета турбулентных течений с использованием вихреразрешающих подходов на неструктурированных расчетных сетках // Журнал вычислительная математика и математическая физика. - 2017. - Т. 56, №6, - С. 1048-1060.

20.Описание архитектуры Ansys Fluent/CFX. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ansys.com/

21. Описание архитектуры CORBA. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.omg.org/spec/CORBA

22. Описание архитектуры Flow Vision. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://flowvision.ru/

23. Описание архитектуры Numeca. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://numeca.com/

24. Описание архитектуры Star-CD/CCM+. [Электронный ресурс]. Режим доступа: Ьцр://её-adapco.com/

25.Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. - М.: Мир, 1990. -664 с.

26.Погосян М.А., Савельевских Е.П., Стрелец Д.Ю., Корнев А.В., Шагалиев Р.М., Козелков А.С. Использование отечественных суперкомпьютерных технологий при проектировании новых образцов авиационной техники // Авиационная промышленность. - 2013. - №3. - С. 3-7.

27. Родионов А.В. Применение искусственной вязкости для борьбы с численной неустойчивостью типа «Карбункул»: Препринт №115. - Саров: РФЯЦ-ФНИИЭФ, 2017. -53 с.

28.Саху Дж., Дэнберг Дж.Э. Расчеты трансзвуковых течений на основе уравнений Навье-Стокса и дифференциальной двухпараметрической модели турбулентности // Аэрокосмич. техн. - 1987. - № 7. - С. 3-12.

29. Смирнов Е.М., Зайцев Д.К. Метод конечных объемов в приложении к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии // Научно-технические ведомости. - 2004. - № 2. - С. 1-22.

30.Смолкина Д.Н., Борисенко О.Н., Черенкова М.В., Гиниятуллина А.Г., Кузьменко М.В., Чухманов Н.В, Потехина Е.В., Попова Н.В., Турусов М.Р. Автоматический генератор неструктурированных многогранных сеток в препроцессоре пакета программ «ЛОГОС» // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 2018. - Вып.2. - С. 25-39.

31.Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л. и Спаларт Ф.Р. Метод моделирования отсоединенных вихрей для расчета отрывных турбулентных течений: предпосылки, основная идея и примеры применения // Научно-технические ведомости «Проблемы турбулентности и вычислительная гидродинамика (к 70-летиюкафедры «Гидроаэродинамика»)». - 2004. - 2.

32. Стрелец М.Х., Травин А.К., Шур М.Л. Сравнение возможностей дифференциальных моделей турбулентности с одним и двумя уравнениями при расчете течений с отрывом и присоединением. Трансзвуковое обтекание профиля // Теплофизика высоких температур. - 1997. - Т. 35, № 2. - С. 301-313.

33.Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. В 2 т. - М.: Мир, 1991. - 552 с.

34.Шенг Дж., Шерр Дж. Расчет обтекания полной компоновки космического самолета на основе уравнений Навье-Стокса // Аэрокосмич. техн. - 1987. - № 7. - С. 13-21.

35.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 712 с.

36.Abgrall R. On essentially non-oscillatory schemes on unstructured meshes: analysis and implementation // J Comput Phys. - 1994. - Vol. 144. - Pp. 45-58.

37.Barth T.J., Deconinck H. High-order methods for computational physics. - Berlin, Heidelberg: Springer Science & Business Media, 1999. - 587 p.

38.Barth T. J., Frederickson P. O. Higher order solution of the Euler equations on unstructured grids using quadratic reconstruction // AIAA Paper. - 1990. - No. 13. - Pp. 1-8

39.Benderskiy L.A., Lyubimov D.A. Investigation of flow parameters and noise of subsonic and supersonic jets using RANS/ILES high resolution method // Proceedings of 29th congress of the International Council of the Aeronautical Sciences. Sept. 7-12, St. Petersburg, Russ., 2014.

40.Betelin V.B., Shagaliev R.M., Aksenov S.V., Belyakov I.M., Deryuguin Yu.N., Kozelkov A.S., Korchazhkin D.A., Nikitin V.F., Sarazov A.V., Zelenskiy D.K. Mathematical simulation of hydrogen-oxygen combustion in rocket engines using LOGOS code // Acta Astronautica. - 2014.

- Vol. 96. - Pp.53-64.

41.Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications. - New York: Elsevier, 2001. - 496 p

42.Bosnyakov I., Mikhaylov S., Troshin A., Vlasenko V. and Wolkov A. Application of high-order Discontinuous Galerkin methods to LES/DES test cases using computers with high number of cores // AIAA Paper. - 2017. - No. 3943. - Pp. 1-13.

43.Bres G.A., Freed D., Wessels M., Noeltiing S. and Perot F. Flow and noise predictions for the tandem cylinder aeroacoustic benchmark // Journal Physics of Fluids. - 2012. - Vol. 24(3), No. 036101. - Pp. 1-25.

44.Bridges J., Brown C.A. Parametric Testing of Chevrons on Single Flow Hot Jets // AIAA Paper.

- 2004. - No. 2824.

45.Bridges J., Wernet M. Establishing Consensus Turbulence Statistics for Hot Subsonic Jets // AIAA Paper. - 2010. - No. 3751. - Pp. 1-41.

46.Bui T.T. A Parallel, Finite-Volume Algorithm for Large-Eddy Simulation of Turbulent Flows // NASA. Tech.Memorandum. - 1999. - No. 206570. - Pp. 1-20.

47.Button K. More focus on CFD // Aerospace America. - 2015. - No. 1. - Pp. 22-27

48.Cecora R.-D., Eisfeld, B., Probst A., Crippa S., and Radespiel R. Differential Reynolds stress modeling for aeronautics // AIAA Paper. - 2012. - No. 0465. - Pp. 1-18.

49.Chase N., Carrica P.M. Submarine propeller computations and application to self-propulsion of DARPA Sub off // Ocean Engineering. - 2013. - Vol. 60, No.1. - Pp. 68-80.

50.Coakley T.J. Turbulence modeling method for the compressible Navie-Stokes equations // AIAA Paper. - 1983. - No. 1693. - Pp. 1-13.

51.Cockburn B, Shu CW. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection dominated problems // J Sci Comput- 2011. - Vol. 16, No. 3, - Pp. 173-261.

52.Comte-Bellot G. and Corrsin S. Simple Eulerian time correlation of full- and narrow-band velocity signals in grid generated, isotropic turbulence // Journal of Fluid Mechanics. - 1971. -Vol. 48, No. 2. - Pp. 273-337.

53.Cook P. H., McDonald, M. A., Firmin, M. C. P. Aerofoil RAE 2822 - Pressure Distributions, and Boundary Layer and Wake Measurements // Experimental Data Base for Computer Program Assessment / In: J. Barche (Ed.). AGARD-AR-138, Chapter A6, 1979.

54.Delanaye M., Liu. Y. Quadratic reconstruction finite volume schemes on 3D arbitrary unstructured polyhedral grids // AIAA Paper. - 1999. - No. 3259. - Pp. 80-90.

55.Deryugin Yu.N., Sarazov A.V., Zhuchkov R.N. Specific features of the chimera calculation methodology implemented for unstructured grids // Mathematical Model and Computer Simulations. - 2017. - Vol. 9, Issue 5. - Pp.587-597.

56.Deryugin Yu. N., Zelensky D.K., Zhuchkov R.N., Yemelyanova Y.V., Pavlov G.A., Smirnov A.L. On flow field of the system of supersonic jets in the Mars atmosphere // International Journal of Heat and Mass Transfer. - 2019. - Vol. 134. - Pp.1084-1090.

57.Deville M.O., Fischer P.F., Mund E.H. High-order methods for incompressible fluid flow. -Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - 499 p.

58.Dumbser M., Kaeser M., Titarev V. A. Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. -2007. - Vol. 226. - Pp. 204-243.

59.Dwight R., Brezillon J. Vollmer D. Efficient algorithms for solution of the adjoint compressible Navie-Stokes equations with applications / ONERA-DLR Aerospace symposium (ODAS), Toulous, 2006.

60.Ferziger J. H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. Third edition. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2002. - 423 p.

61. Friedrich O. Weighted essentially non-oscillatory schemes for the interpolation of mean values on unstructured grids // J. Comput. Phys. - 1998. - Vol. 144, No. 1, - Pp. 194-212.

62.Fu W.-S., Li C.-C., Lin W.-F., Chen Y.-H. Roe Scheme with Preconditioning Method for Large Eddy Simulation of Compressible Turbulent Channel Flow // Int. J. Numerical Meth. in Fluids. -2009. - Vol.61. - Pp. 888-910.

63.Garbaruk A., Shur M., Spalart P.R., Strelets M. Jet noise computation based on enhanced DES formulations accelerating RANS-TO-LES transition in free shear layers/Proceedings of the Third International Workshop "Computational Experiment in Aeroacoustics" Sept. 24-27, 2014, Svetlogorsk, Russia, - Pp. 123-127.

64.Garnier E., Adams N., Sagaut P. Large eddy simulation for compressible flow. - Netherlands: Springer Science & Business Media. - 2009. - 276 p.

65.Haase W., Aupoix B., Bunge U., Schwamborn D. FLOMANIA - a European initiative on flow physics modeling. In: Notes on numerical fluid mechanics and multidisciplinary design. Vol. 94.

- Berlin, Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2006. - 435 p.

66.Haase W., Braza M., Revell A. DESider - A European Effort on Hybrid RANSLES Modelling. Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design. Vol. 103. - Berlin, Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2009. - 456 p.

67.Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S. R. Uniformly high order accurate essentially non-oscillatory schemes // J. Comput. Phys. - 1987. - Vol. 72, No. 2, - Pp. 231- 303.

68.Henshaw M. J. de C. M219 cavity case: Tech. Rep. RTO-TR-26, AC/323(AVT) TP/19 / Verification and validation data for computational unsteady aerodynamics, QinetiQ, UK, Pp. 453472, 2002.

69.Hutcheson F. V. and Brooks T. F. Noise radiation from single and multiple rod configurations // AIAA Paper. - 2006. - No. 2629. - Pp. 1-24.

70.Jakirlic S. and Hanjalic K. A new approach to modeling near - wall turbulence energy and stress dissipation // Journal of fluid mechanics. - 2002. - Vol. 459. - Pp. 139-166.

71.Jameson A., Schmidt W., Turkel E. Numerical Solutions of the Euler Equations by Finite Volume Methods Using Runge-Kutta Time-Stepping Schemes // AIAA Paper. - 1981. - No. 1259,

- Pp. 1 - 14.

72.Jenkins L. N., Khorrami M. R., Choudhari M. M. and McGinley C. B. Characterization of unsteady flow structures around tandem cylinders for component interaction studies in airframe noise // AIAA Paper. - 2005. - No. 2812. - Pp. 1-16.

73.Jenkins L. N., Neuhart D.H., McGinley C. B. and Khorrami M. R. Measurements of unsteady wake interference between tandem cylinders // AIAA Paper. - 2006. - No. 3202.

74.Kim K.H., Kim Ch. and Rho O.-H. Methods for the accurate computations of hypersonic flows. I AUSMPW+ scheme // J. Comput. Phys. - 2001. - Vol. 174. - Pp. 38-80.

75.Langtry R.B., Menter F.R. Correlation-Based Transition Modeling for Unstructured Parallelized Computational Fluid Dynamics Codes // AIAA Journal. - 2009. - Vol. 47, No. 12. - Pp. 28942906.

76.Langtry R.B., Menter F.R. Transition Modeling for General CFD Applications in Aeronautics// AIAA Paper. - 2005. - No. 522. - Pp. 1-14.

77.Launder B. E., Reece G. J. and Rodi W. Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulent Closure // Journal of Fluid Mechanics. - 1975. - Vol. 68, No. 3. - Pp. 537-566.

78.Launder B.E., Spalding D.B. The numerical computation of turbulent flow // Computer Method in Applied Mechanics and Engineering. - 1974. - No. 3(2). - Pp. 269-289.

79.Leveque R. J. Finite volume methods for hyperbolic problems. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - 558 p.

80.Levy D.W., Laflin K. R., Tinoco E. N., Vassberg J. C., Mani M., Rider B., Rumsey Ch. L., Wahls R.A., Morrison J.H., Brodersen O.P., Crippa S., Mavriplis D.J., Murayama M. Summary of data from the Fifth Computational Fluid Dynamics Drag Prediction Workshop // AIAA Paper. - 2013. - No. 0046. - Pp. 1-31.

81.Li W. Efficient implementation of high-order accurate numerical methods on unstructured grid: Theses Recognizing Outstanding Ph.D.Research. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2014. - 148 p.

82.Liou M.-S. A Sequel to AUSM: AUSM+ // J. Comput. Phys. - 1996. - Vol. 129. - Pp. 364- 382.

83.Liu J., Kailasanath K., Munday D., Nick H., Gutmark E. Large-Eddy Simulations of a supersonic heated jet // AIAA Paper. - 2011. - No. 2884.

84.Lin San-Yih, Yu-Fene Chen, Sheng-Chang Shih. Numerical Study of MUSCL Schemes for Computational Aeroacoustics // AIAA Paper. - 1997. - No. 0023. - Pp. 1-8.

85.Liu X. D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes // J. Comput. Phys. -1994. - Vol. 115, No. 1. - Pp.200-212.

86.Liu Y., Zhang Y.-T. A Robust Reconstruction for Unstructured WENO Schemes // Journal of Scientific Computing. - 2013. - Vol. 54. - Pp. 603-621.

87.Lockard D.P., Choudhari MM. and Buning P.G. Grid Sensitivity Study for Slat Noise Simulations // AIAA Paper. - 2014. - No. 2627. - Pp. 1-21.

88.Lockard D. P. Summary of the tandem cylinder solutions from the benchmark problem for airframe noise computations-I workshop // AIAA Paper. - 2011. - No. 353. - Pp. 1-22.

89.Lyubimov D.A. Development and applications of the efficient hybrid RANS/ILES approach for the calculation of complex turbulent jets // High Temperature. - 2008. - Vol. 46, No. 2. - Pp. 243253.

90.Menter F. R., Garbaruk A. V., Egorov Y. Explicit Algebraic Reynolds Stress Models for Anisotropic Wall-Bounded Flows // Journal of Computational Physics. - 2012. - Vol. 3. - Pp. 89104.

91.Menter F.R., Kuntz M., Langtry R. Ten years of industrial experience with SST turbulence model // Turbulence, Heat and Mass. - 2003. - No. 4. - Pp. 625-632.

92.Menter F. R. Zonal two - equation k - w turbulence models for aerodynamic flows // AIAA Paper.

- 1993. - No. 2906. - Pp. 1-21.

93.Mozer D., Kim J. & Mansour N. N. DNS of Turbulent Channel Flow // Phys. Fluids. - 1999. -Vol. 11. - Pp. 943-945.

94.Neuhart D.H. and Jenkins L. N., Choudhari M. M. and Khorrami M. R. Measurements of the flowfield interaction between tandem cylinders // AIAA Paper. - 2009. - No. 3275.

95.Oran E. S., Boris J. P. Numerical Simulation of reactive flow. - Cambridge: Cambridge University Press. - 2001. - 550 p.

96.Peraire J. High-order Discontinuous Galerkin methods for CFD // Adaptive High-Order Methods in Computational Fluid Dynamics. - 2011. - Pp. 119-152.

97.Piomelli U. Larde-eddy simulation: achievements and challenges // Progress in Aerospace Sciences. - 1999. - Vol. 35, No. 4. - Pp. 335-362.

98.Plata M., Couaillier V., Pape M.-C. On the use of a high-order Discontinuous Galerkin method for DNS and LES of wall-bounded turbulence // Computers and Fluids. - 2018. - Vol. 176. - PP. 320 - 337.

99.Probst A., Radespiel R. Implementation and Extension of a Near-Wall Reynolds-Stress Model for Application to Aerodynamic Flows on Unstructured Meshes // AIAA Paper. - 2008. - No. 0770. - Pp. 1-19.

100. Probst A., Radespiel R., Knopp T. Detached - eddy simulation of aerodynamic flow using a Reynolds - stress background model and algebraic RANS/LES sensor // AIAA Paper. - 2011. -No. 3206. - Pp. 1-20.

101. Probst A., Radespiel R., Wolf C., Knopp T., Schwamborn D. A Comparison of Detached-Eddy Simulation and Reynolds-Stress Modelling Applied to the Flow over a Backward-Facing Step and an Airfoil at Stall // AIAA Paper. - 2010. - No. 0920.

- Pp. 1-18.

102. Qin N., Hia H. Detached Eddy Simulation of a Synthetic Jet for Flow Control. // Proc. IMechE Part I. J. System and Control Engineering. Spec. Issue. - 2008. - Vol. 222. - Pp. 373-380.

103. Roy Ch. J., Tinoco E. N. Summary Data from the Sixth AIAA Computational Fluid Dynamics Drag Prediction Workshop: Cae 1 Code Verification // AIAA Paper. - 2017. - No. 1206. - Pp. 119.

104. Roe P. L. Characteristic Based Schemes for the Euler Equations // Annual Review of Fluid Mechanics. - 1986. - Vol. 18. - Pp. 337-365.

105. Schmidt S., Thiele F. Detached Eddy Simulation of Flow around A-Airfoil // Flow, Turbulence and Combustion. 2003. - Vol. 71, - Pp. 261-278.

106. Schmitt V., Charpin F. Pressure Distributions on the ONERA-M6-Wing at Transonic Mach Numbers // Experimental Data Base for Computer Program Assessment / In: J. Barche (Ed.). AGARD-AR-138, Chapter B1, 1979.

107. Sherwin S. J., Ainsworth M. Unsteady Navier-Stokes solvers using hybrid spectral/hp element methods // Appl. Numer. Math. - 2000. - Vol. 33, No. 1, - Pp. 357-364.

108. Shih T.H., Lumley J.L. Modeling of pressure correlation terms in Reynolds stress and scalar flux equations: Tech. Rept. FDA-85-3 / Sibley School of Mechanical and Aerospace Engineering, Cornell Univ, 1985.

109. Shur M., Spalart R., Strelets M. Kh. Noise Prediction for Increasingly Complex Jets. Part I: Methods and Tests // Intern. J. Aeroacousics. - 2005. - Vol. 4, No. 3-4. - Pp. 213- 246.

110. Shur M., Spalart P. R., Strelets M. Kh., Travin A.K. Towards the prediction of noise from jet engines // Int. J. Heat and Fluid Flow. - 2003. - Vol. 24. - Pp. 551-561.

111. Shur M., Strelets M., Travin A., Spalart P. R. Turbulence modeling in rotating and curved channels: assessment of the Spalart - Shur correction term // AIAA Journal. - 2000. - Vol. 38, No.5. - Pp. 784-792.

112. Smirnov P. E., Menter F. R. Sensitization of the SST turbulence model to rotation and curvature by applying the Spalart - Shur correction term // ASME Journal of turbomachinery. -2009. - Vol. 131. - Pp. 1-8.

113. Spalart P. R., Allmaras S. R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // AIAA Paper. - 1992, No. 0439. - Pp. 1-22.

114. Spalart P. R., Deck S., Shur M. L., Squires K. D., Strelets M. and Travin A. A new version of detached - eddy simulation, resistant to ambiguous grid densities // Theoretical and computational fluid dynamics. 2006. - Vol. 20. - No. 3. - Pp. 181-195.

115. Spalart P.R., Jou W.H., Strelets M., Allmaras S.R. Comments on the feaslibility of LES wor wings, and on a hybrid RANS/LES approach / Proceedings of first AFOSR international conference on DND/LES, 1997.

116. Spalart P. R., Shur M. L. On the sensitization of simple turbulence model to rotation and curvature// Aerosp. Sc. and Techn. - 1997. - Vol. 1, No. 5. - Pp. 297-302.

117. Spalart P.R. Strategies for turbulence modeling and simulations // Int. J. Heat Fluid Flow. -2000. - No. 21. - Pp. 252-263.

118. Speziale C.G., Sarkar S., Gatski T. Modelling the pressure-strain correlation of turbulence: an invariant dynamical systems approach // J. Fluid Mech. - 1991. - Vol. 227. - Pp. 245-272.

119. Strelets M. Detached eddy simulation of massively separated flow // AIAA Paper.

- 2001. - No. 0879.

120. Strikwerda J. C. Finite difference schemes and partial differential equations. Second edition,

- Philadelphia: SIAM, 2004. - 434 p.

121. Titarev V. A., Tsoutsanis P., Drikakis D. WENO schemes for mixed-element unstructured meshes // Journal of Computational Physics. - 2011. - Vol. 230.

- Pp. 1585-1601

122. Travin A., Shur M., Strelets M., Spalart P.R. Physical and numerical upgrades in the detached-eddy simulation of complex turbulent flows // Advances in LES of Complex Flows / Friedrich R., Rodi W. (editors). - Netherlands: Kluwer, 2002. - Pp. 239-245.

123. Uzun A., Hussaini M.Y. An application of delayed detached eddy simulation to tandem cylinder flow field prediction // Computers & Fluids. - 2012. - Vol. 60.

- Pp. 71-85.

124. Vincent P.E., Jameson A. Facilitating the adoption of unstructured high-order methods amongst a wider community of fluid dynamicists // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. - 2011. - Vol. 6, No. 3. - Pp. 97-140.

125. Wang Z.J. High-order methods for the Euler and Navier-Stokes equations on unstructured grids // Progress in Aerospace Sciences. - 2007. - Vol. 43, No. 1-3.

- Pp. 1 - 41.

126. Weiss J.M., Smith W.A. Preconditioning applied to variable and constant density flows // AIAA Journal. - 1995. - Vol. 33. No. 11. - Pp. 2050-2057.

127. Wilcox D.C. Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence model // AAIA Journal. - 1988. - No. 26 (11). - Pp. 1299-1310.

128. Wokoeck R., Krimmelbein N., Radespiel R., Ciobaca V., Krumbein A. RANS Simulation and Experiments on the Stall Behaviour of an Airfoil with Laminar Separation Bubbles // AIAA Paper.

- 2006. - No. 0244. - Pp. 1-10.

129. Xiao Z., Liu J., Fu S. Calculations of massive separation around landing-gear-like geometries // Journal of Hydrodynamics. - 2010. - Vol. 22, Issue 5. - Pp. 926-931.

130. Xiao Z., Liu J., Huang J., Fu S. Numerical Dissipation Effects on Massive Separation Around Tandem Cylinders // AIAA J. - 2012. - Vol. 50, No. 5. - Pp. 1119-1136.

131. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., and Zhu J. Z. The finite element method: Its basis and fundamentals.6th edition. - Oxford: Elsevier, 2005. - 752 p.