Условия сохранения глобальной разрешимости и оптимизация нелинейных управляемых систем Гурса-Дарбу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Лисаченко, Ирина Владимировна

• Лисаченко, Ирина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лисаченко, Ирина Владимировна

Оглавление

Введение

Общая характеристика диссертации

Основное содержание диссертации

Обозначения, сокращения

1 Условия сохранения глобальной разрешимости

1.1 Равностепенная квазинильпотентность

1.2 Требования к системе в терминах оператора правой части

1.2.1 Постановка задачи. Условия сохранения глобальной разрешимости

1.2.2 Эквивалентное интегральное уравнение

1.2.3 Доказательства теорем единственности и существования

1.2.4 Свойства локальных решений. Продолжение решений

1.2.5 Доказательство теоремы устойчивости существования глобальных решений

1.2.6 Векторный случай

1.3 Требования к системе в терминах функции правой части

1.3.1 Постановка задачи. Основные теоремы

1.3.2 Эквивалентное интегральное уравнение

1.3.3 Доказательства теорем единственности и существования

1.3.4 Вспомогательные утверждения

1.3.5 Продолжение решений

1.3.6 Доказательства теоремы устойчивости существования глобальных решений и теоремы об оценке разности

решений

1.3.7 Векторный случай

1.4 Требования к системе с полным учетом свойств основного интегрального оператора

1.4.1 Постановка задачи. Основная теорема

1.4.2 Эквивалентное интегральное уравнение

1.4.3 Локальные решения

1.4.4 Линеаризация

1.4.5 Доказательство теоремы единственности

1.4.6 Доказательство локальной теоремы существования

1.4.7 Оценка разности решений, отвечающих разным управлениям

1.4.8 Продолжение решений

1.4.9 Доказательство основной теоремы

1.4.10 Иерархия условий сохранения глобальной разрешимости

2 Принцип максимума

2.1 Простейшая терминальная задача. Теорема о вариации

2.2 Эквивалентные формулировки

2.3 Вспомогательные утверждения

2.4 Начало доказательства теоремы о вариации. Линейное интегральное представление приращения функционала

2.5 Завершение доказательства теоремы о вариации

2.6 Терминальная задача общего вида

2.7 Зависимость характера сходимости сопряженных функций от свойств правой части управляемого уравнения

3 Особые управления

3.1 Оптимизационная задача

3.2 Принцип максимума

3.3 Особые управления

3.4 Сильное вырождение особых управлений

3.5 Необходимые условия оптимальности сильно вырожденных особых управлений

3.6 Эквивалентные формулировки

3.7 Вспомогательные утверждения

3.8 Доказательство принципа максимума

3.9 Доказательство необходимых условий оптимальности сильно вырожденных особых управлений

3.10 Общий случай вырождения

3.11 Некоторые замечания

3.12 Тензорные произведения

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия сохранения глобальной разрешимости и оптимизация нелинейных управляемых систем Гурса-Дарбу»

Введение

Общая характеристика диссертации

Предмет исследования. В диссертации изучаются нелинейные управляемые системы Гурса-Дарбу общего вида и задачи оптимизации таких систем.

Актуальность темы. Управляемая задача Гурса-Дарбу

Сt) = 9(t, x(t), x'tl (t),x't2 (t),u(t)),t = {t\ t2} e П = [0, l]2, (0.0.1)

x{t\0)=<p1{t1), x(0,t2) = cp2(t2), t1 e [0,1], t2 e [0,1], (0.0.2)

где g(t, lo, h,k, v) = g(t, l,v): П x R3n xRMRB(l = {l0, h, l2}) и iptf): [0,1] Rn, i = 1,2 заданы, u(t): П —» Rm — управление, — одна из тех управляемых систем, с обстоятельного изучения оптимизационных задач для которых начиналось в свое время создание математической теории оптимального управления распределенными системами (о начальном периоде исследований см., например, [16, с.442-450], [52, с.333-345, с.449-450]). И вот уже более сорока лет эта задача занимает особое место в теории оптимизации распределенных систем, являясь ее своего рода "пробным камнем". Самые различные вопросы теории оптимизации на примере управляемой задачи Гурса-Дарбу изучали С.С.Ахиев, К.Т.Ахмедов, Л.Т.Ащепков, О.В.Васильев, Ф.П.Васильев, В.А.Дыхта, А.И.Егоров, А.И.Короткий, К.А.Лурье, В.И.Максимов, К.Б.Мансимов, А.С.Матвеев, Т.К.Меликов, В.И.Плотников, М.М.Потапов, В.А.Срочко, В.И.Сумин, М.И.Сумин, А.А.Толстоногов, В.А.Якубович, D.Idc-zak, G.Pulvirenti, G.Santagati, M.B.Suryanarayana и многие другие (см., например, [8, с.591-595], краткие обзоры [70, с.5] и [5, с.5-6] и списки литературы в указанных монографиях).

В диссертации изучается нелинейная управляемая система Гурса-Дарбу общего вида (0.0.1)-(0.0.2) с каратеодориевской функцией правой части g(t,l,v). Рассматривается случай, когда решения задачи (0.0.1)-(0.0.2) необходимо искать в классе абсолютно непрерывных функций с суммируемыми в некоторой степени р < оо смешанной и первыми производными (такой класс будем обозначать АС™). В последние

годы к задачам оптимизации управляемых систем Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемыми в некоторой степени смешанной и первыми производными наблюдается устойчивый интерес (см., например, [67, 86, 89, 90]). Однако, случай систем Гурса-Дарбу общего вида (0.0.1)-(0.0.2) с каратеодориевской функцией правой части в математической теории оптимального управления изучен в этом смысле еще слабо. В частности, для этого случая еще недостаточно изучены такие важные вопросы теории оптимального управления, как условия сохранения глобальной разрешимости управляемой системы при возмущении управления, принцип максимума, особые управления принципа максимума. Именно эти вопросы и рассматриваются в диссертации. Поясним сказанное, предварительно заметив: при решении всех этих вопросов принципиальная техническая трудность, отличающая рассматриваемый в диссертации случай АСр от достаточно хорошо изученного случая ограниченных смешанной и первых производных, коротко говоря, состоит в том, что здесь при линеаризации эквивалентного задаче (0.0.1)-(0.0.2) функционально-интегрального уравнения главные операторы линеаризованного уравнения, вообще говоря, не имеют квазинильпо-тентных мажорант, обеспечивающих в случае ограниченных производных решающие дело равномерные оценки; указанная трудность преодолевается в диссертации привлечением введенного в [82] понятия равностепенно квазинильпотентного семейства операторов.

Об условиях сохранения глобальной разрешимости. В теории оптимального управления при выводе необходимых условий оптимальности, при обосновании численных методов, при изучении задач с приближенно известными исходными данными и в целом ряде других ситуаций часто бывает, что оптимизационная задача такова, что интерес представляют только глобальные решения управляемой системы (начально-краевой задачи). Важным становится вопрос (см., например, [74], [77, с.12-13]) о достаточных условиях, при которых те или иные возмущения (вариации) управления не выводят его из класса управлений, каждому из которых отвечает глобальное решение управляемой системы, то есть вопрос об условиях сохранения глобальной разрешимости управляемой системы или, иначе говоря, вопрос о достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений (УСГР) по возмущению управления. Так, например, в теории необходимых условий оптимальности недостаток информации об УСГР управляемой начально-краевой задачи по возмущению управления часто вынуждает считать начально-краевую задачу сингулярной в смыс-

ле Ж.Л.Лионса [24] и переходить от классического случая "управление —у состояние" к рассмотрению оптимизационных задач в классе пар "управление, состояние", когда "управление" и "состояние" равноправны. При этом теоретические построения в сингулярном случае могут быть существенно более сложными, чем аналогичные построения в несингулярном случае (см., например, вывод необходимых условий оптимальности в сингулярных и несингулярных модельных задачах оптимизации в главах 1, 2 [24]).

Именно для задачи Гурса-Дарбу в [63, 64] были найдены первые достаточно общие условия УСГР по возмущению управления распределенных нелинейных систем (историю вопроса см. в [83]). В [63, 64] рассматривались абсолютно непрерывные решения задачи Гурса-Дарбу с ограниченными смешанной и первыми частными производными (более общие условия УСГР в этом случае были затем доказаны в [73, 75],[77, с.68-70]). В первой главе диссертации получены разнообразные достаточные условия УСГР задачи Гурса-Дарбу общего вида (0.0.1)-(0.0.2) с каратеодориев-ской функцией правой части в классах АС™, р < оо (глава написана по материалам статей [25, 30, 31, 39, 40, 46], видимо, первых работ в указанном направлении).

О принципе максимума. Для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу А.И. Егоровым (см., например, [17]) была получена одна из первых в классе распределенных систем достаточно общих формулировок необходимых условий оптимальности типа принципа максимума (историю вопроса см. в [16, с.442-450], [52, с.333-345, с.449-450]). Впоследствии вопросы вывода и анализа принципа максимума для различных задач оптимального управления системой Гурса-Дарбу изучали С.С. Ахиев, К.Т. Ахмедов, JT.T. Ащепков, О.В. Васильев, Ф.П. Васильев, В.А.Дыхта, А.И.Егоров, К.А. Лурье, К.Б.Мансимов, A.C. Матвеев, Т.К. Меликов, В.И. Плотников, В.А. Срочко, В.И. Сумин, М.И. Сумин, В.А. Якубович, M.B.Suryanarayana и многие другие (см., например, краткие обзоры [5, с.5-6], [70, с.5], [92], а также работы [11, 57, 63, 66, 85, 91]). Рассматривались самые разные, связанные с принципом максимума, проблемы: вычисление вариаций функционалов, формы записи сопряженной системы (дифференциальная, интегральная, операторная), способы учета разного рода ограничений оптимизационной задачи при выводе принципа максимума и др.. Однако, все эти рассмотрения касались прежде всего либо случая решений задачи Гурса-Дарбу с ограниченной смешанной производной (см., например, [11, 57, 63, 66, 91]), либо, в случае решений класса АСр < оо ситуации, когда функция правой части g(t,l,v) непре-

рывна по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по переменным I (см., например, [57]). Для нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной правой частью, удовлетворяющей условиям типа Каратеодори, в случае решений с суммируемой смешанной производной принцип максимума, видимо, еще не достаточно исследован. Именно в такой ситуации во второй главе диссертации, посвященной принципу максимума и написанной по материалам статей [47, 48], рассматривается терминальная задача оптимизации системы Гурса-Дарбу с ограничениями типа равенства и неравенства, классический объект внимания теории оптимального управления распределенными системами.

Об особых управлениях. Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума, на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях (см., например, [6, 9, 18, 19, 59]). Вопросы получения необходимых условий оптимальности особых управлений распределенных систем в основном рассматривались для управляемых систем Гурса-Дарбу и близких к ним (Л.Т.Ащепков, А.Н.Бурдуковский, О.В.Васильев, К.Б.Мансимов, Т.К.Меликов, В.А.Срочко и др.; см., например, [2, 4, 6, 7, 10, 53, 54, 55, 58, 70, 71]). В случае системы Гурса-Дарбу за допустимые брались обычно кусочно-непрерывные управления. Предполагалось, как правило, что каждому допустимому управлению отвечает единственное глобальное решение краевой задачи из класса абсолютно-непрерывных функций с ограниченными смешанной и первыми частными производными (заметим, что принципиально важно изучение более широкого класса управлений — измеримых (см., например, [18, 19], [59, с. 291]), причем без указанного ограничительного условия на разрешимость управляемой краевой задачи). В случае, когда необходимо рассматривать решения задачи Гурса-Дарбу с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, особые управления поточечного принципа максимума систематически никем, видимо, не изучались. В диссертации изучаются измеримые особые управления поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с каратеодориевской правой частью уравнения при достаточно общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в степени р > 1 смешанной производной (см. главу 3, написанную по материалам статьи [51]).

Цель работы. Получение достаточных условий сохранения глобальной разрешимости нелинейных управляемых систем Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью общего вида в классах функций с суммируемой смешанной производной, необходимых условий оптимальности типа принципа максимума для терминальных задач оптимизации таких систем, условий вырождения принципа максимума и условий оптимальности соответствующих особых управлений.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории оптимального управления, дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа и теории функций действительного переменного.

Научная новизна. Получены следующие новые для математической теории оптимального управления результаты, выносимые на защиту:

• Достаточные условия сохранения глобальной разрешимости в классах функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу общего вида с полной каратеодориевской правой частью уравнения при различных условиях на правую часть.

• Необходимые условия оптимальности в виде поточечного принципа максимума для общей терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу общего вида (с полной каратеодориевской правой частью уравнения), рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной.

• Условия сильного вырождения особых управлений принципа максимума в терминальной задаче оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу (с каратеодориевской правой частью уравнения), рассматриваемой в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной, и конструктивные необходимые условия оптимальности сильно вырожденных особых управлений.

Степень обоснованности результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы и сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и развитая в ней техника могут быть применены в различных разделах математической теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории функционально-операторных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на XII Нижегородской сессии молодых ученых - математические науки (Семенов, 2007); на XVIII, XIX, XX, XXI весенних воронежских математических школах "Понтрягин-ские чтения" (Воронеж, 2007, 2008, 2009, 2010); на VII и VIII Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 2005, 2008); на Международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2006); на итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" в Нижегородском государственном университете (Н.Новгород, 2007); на Международных конференциях "Кол-могоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2007), "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения" (Тамбов, 2009, 2011); на XVI Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Н.Новгород, 2011); на семинаре "Математическая теория оптимального управления" в Нижегородском государственном университете (рук. проф. Сумин В.И. и проф. Сумин М.И.) в 2008-2012 г.г.; на семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (2012); на расширенном семинаре кафедры математической физики Нижегородского государственного университета (2012).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех основных разделов (глав) и списка литературы. Основные разделы (главы) разбиты на подразделы (параграфы). Нумерация подразделов двойная: первая цифра — номер основного раздела (главы), вторая — номер подраздела (параграфа). Нумерация формул, теорем и лемм тройная: первая цифра — номер основного раздела (главы), вторая — номер подраздела (параграфа), третья — номер утверждения в текущем подразделе (параграфе). Содержание изложено на 140 страницах, включая список литературы из 92 наименований. Основными утверждениями диссертации являются

теоремы 1.2.1, 1.3.3, 1.3.4, 1.4.1, 3.4.1, 3.10.1, 3.10.2.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в двадцати семи работах [25] — [51], наиболее значимые из которых [25, 26, 30, 31, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51], из них [25, 30, 31, 46, 47, 48, 50] — статьи в журналах, входящих в список ВАК изданий, рекомендуемых для публикации результатов диссертаций. Общее научное руководство исследованиями в течение всего времени работы над диссертацией осуществлялось проф. В.И.Суминым. В совместных с В.И.Суминым работах автора диссертации В.И.Сумину принадлежат постановки задач и общая схема исследования; доказательства основных положений проведены автором диссертации самостоятельно.

Основные публикации автора по теме диссертации (в квадратных скобках указаны номера публикаций по списку литературы в конце диссертации) Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. [25] Лисаченко, И.В. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. Серия Математика. — 2005. — Вып. 1(3). - С.88-101.

2. [30] Лисаченко, И.В. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. II/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. Серия Математика. — 2006. — Вып. 1(4). - С.65-80.

3. [31] Лисаченко, И.В. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. — 2006. —- Вып.2(31). — С.64-81.

4. [46] Лисаченко, И.В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Дифференц. уравнения. - 2011. - Т.47, № 6. - С. 858-870.

5. [47] Лисаченко, И.В. Необходимые условия оптимальности для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского. - 2011. - Л/"= 3(2). - С.115-120.

6. [48] Лисаченко, И.В. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — Вып.2. — С.52-67.

7. [50] Лисаченко, И.В. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2011. — Т. 16, Вып. 4. - С. 1116-1118.

Прочие публикации:

8. [26] Лисаченко, И.В. Об условиях сохранения глобальной разрешимости управляемой задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Нелинейные колебания механических систем: VII Всероссийская научная конф. Труды. — Н. Новгород: 2005. — С. 147-149.

9. [27] Лисаченко, И.В. О задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения-XVI. Тезисы докл. — Воронеж: 2005. — С. 140.

10. [28] Лисаченко, И.В. О сохранении разрешимости в "в целом"задачи Гурса-Дарбу при возмущении управления/ И.В. Лисаченко// Казанское Математическое Общество. Лобачевские чтения-2005. Тезисы докл. — Казань: 2005. — С.89-91.

11. [29] Лисаченко, И.В. О задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// X Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2005. — С. 15.

12. [32] Лисаченко, И.В. О сохранении разрешимости "в целом"задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Потрянгинские чтения - XVII. Тезисы докладов. — Воронеж: 2006.

13. [33] Лисаченко, И.В. О вариационном принципе максимума для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Казанское Математическое Общество. Лобачевские чтения-2006. Тезисы докл. — Казань: 2006. — С. 154-156.

14. [34] Лисаченко, И.В. Управляемые нелинейные системы типа Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// XI Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2006. - С. 10-11.

15. [35] Лисаченко, И.В. О сохранении глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения-ХУШ. Тезисы докл.

- Воронеж: 2007. — С. 108-109.

16. [36] Лисаченко, И.В. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2007. — Т. 12, Вып. 4. - С. 477-479.

17. [37] Лисаченко, И.В. О принципе максимума для терминальной задачи оптимизации управляемой системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Труды научной конференции "Модели, методы и программные средства". — Н. Новгород: 2007. — С. 262-265.

18. [38] Лисаченко, И.В. К вопросу о сохранении разрешимости в "целом"задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// XII Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2007. — С. 8-9.

19. [39] Лисаченко, И.В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу с возмущаемыми правой частью и граничными функциями/ И.В. Лисаченко// Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. — 2008. — Вып.5. — С.107-112.

20. [40] Лисаченко, И.В. Условия сохранения глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу при возмущении управления/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 06.02.2008. ЛА= 85 - В2008.

21. [41] Лисаченко, И.В. О глобальных решениях задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко/ / Понтрягинские чтения-Х1Х. Тезисы докл. — Воронеж: 2008. — С. 129.

22. [42] Лисаченко, И.В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости при возмущении управления/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Труды VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем".- Т.1. — Н.Новгород: 2008. - С.221-226.

23. [43] Лисаченко, И.В. Управляемая задача Гурса-Дарбу: варианты условий сохранения разрешимости "в целом"/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения -XX. Тезисы докл. - Воронеж: 2009. — С. 108-109.

24. [44] Лисаченко, И.В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения разрешимости "в целом"/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2009. — Т. 14, Вып. 4.

- С. 736-738

25. [45] Лисаченко, И.В. Задача оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// Понтрягинские чтения-

XXI. Тезисы докл. — Воронеж: 2010.

26. [49] Лисаченко, И.В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости и их применения/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин/ / Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI Международной конференции (Н. Новгород, 20-25 июня 2011 г.) - Н.Новгород: 2011. - С. 268-272.

27. [51] Лисаченко, И.В. Об особых управлениях поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 13.03.2012 № 89 - В2012. 26 с.

Финансовая поддержка. Результаты диссертации явились составной частью результатов работы, выполнявшейся при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), Конкурсного центра фундаментального естествознания (КЦФЕ) Минобразования РФ при Санкт-Петербургском госуниверситете и Минобрнауки РФ:

2003-2004 г.г. - грант КЦФЕ (проект ДОЕ02-1.0-173, номер госрегистрации 01.2.003 11910), тема "Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи" (рук. проф. Сумин М.И.);

2004-2006 г.г. - грант РФФИ (проект №04-01-00460), тема "Субоптимальное управление распределенными системами: операторные ограничения, граничные управления, численные алгоритмы, регуляризация, обратные задачи" (рук. проф. Сумин М.И.);

2007-2009 г.г. - грант РФФИ (проект №07-01-00495), тема "Теория и алгоритмы оптимизации управляемых систем: субоптимизация, возмущения, двойственность, регуляризация, обратные задачи, вольтерровы уравнения" (рук. проф. Сумин В.И., проф. Сумин М.И.);

2009-2010 г.г. - грант Минобрнауки РФ (проект 2.1.1/3927, АЦВП "Развитие научного потенциала высшей школы11 (2009 - 2011 г.г.)), тема "Параметрические задачи оптимизации управляемых систем"(рук. проф. Сумин М.И.);

2009-2011 г.г. - грант Минобрнауки РФ (проект НК-13П-13, ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"(2009-2013 г.г.)), тема "Динамические системы, ассоциированые с ними алгебраические и геометрические структуры и проблемы оптимального управления"(рук. проф. Яковлев Е.И.);

2011 г. - грант Минобрнауки РФ (проект 2.1.1/13303, АЦВП "Развитие научного потенциала высшей школы"(2009 - 2011 г.г.)), тема "Параметрические задачи оптимизации управляемых систем"(рук. проф. Сумин М.И.);

2012 г. - грант Минобрнауки РФ (проект 1.1907.2011 в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведениями), тема "Аналитические и численные методы в оптимизации, алгебре и геометрии"(рук. проф. Сумин М.И.).

Основное содержание диссертации

В главе 1 диссертации подробно изучается проблема получения достаточных условий УСГР задачи Гурса-Дарбу (0.0.1)-(0.0.2) по возмущению управления в том случае, когда решение задачи имеет смысл искать в классе W удовлетворяющих условиям (0.0.2) функций пространства АС™. Предполагается, что: g(t,l,v) дифференцируема по I при каждом v для почти всех i, а вместе с g{(t, /, v) измерима по t при любых {I, и} и непрерывна по {/, v} для почти каждого t (то есть функция правой части д вместе со своей производной д[ удовлетворяет условиям типа Каратеодори); ip'i Е Lp([0,1]), cpi(0) = 0, г Е {1,2}; допустимы и(-) из некоторого D С L™(П). Все построения ведутся, как правило, не непосредственно для самой задачи Гурса-Дарбу (0.0.1)-(0.0.2), а для эквивалентного ей функционально-интегрального уравнения над пространством L™ = L™ (П)

z(t) - f(t,A[z}(t),u(t)), ten, z Е Lp, (0.0.3)

где

f{t, /, v) = f(t, /о, /ь к, v) = g{t, l0 + Mt1) + rf), к + V'li*1), h + <p'2(t2),v), (0.0.4)

A[z](t) — оператор (называемый ниже основным интегральным оператором), задаваемый формулами

A[z](t) = {А0№),АШ), A2[z](t)}, tETl, zELnp,

t1 i2 i2 i1 A0[z](t) = J AiMW = fz(t\0d£, A2[z](t) = Jz(Z,t2)dt, t E П.

0 0 о 0

Уравнение (0.0.3) эквивалентно задаче (0.0.1)-(0.0.2), поскольку между классами функций V/ и Ьр существует взаимно-однозначное соответствие, определенное формулой

где х е У/, г е Ь™.

Случай решений класса АС™, в отличие от преимущественно изучавшегося до недавнего времени для задачи Гурса-Дарбу (0.0.1)-(0.0.2) случая решений с ограниченными производными, многовариантен — он допускает различные естественные варианты условий на нелинейную управляемую систему, отличающиеся друг от друга используемой в них априорной информацией о предполагаемом решении. В диссертации требования к управляемой системе (0.0.1)-(0.0.2) предъявляются в виде условий либо на оператор правой части Р[г, и] (¿) = /(£, .А[2](£), и(£)), £ £ П, г € Ь™, либо непосредственно на функцию правой части /(£,/,«) уравнения (0.0.3).

Теоремы УСГР доказываются в диссертации методом продолжения локальных решений уравнения (0.0.3) с помощью специальной локальной теоремы существования. Принципиальное отличие этой процедуры от подобной, относящейся к случаю решений с ограниченными смешанной и первыми производными (см., например, [73],[77, с.68-70]), состоит в том, что здесь, вообще говоря, невозможно стандартное обоснование применения принципа сжимающих отображений нахождением квазинильпотентной мажоранты линейного оператора правой части линеаризованного уравнения (0.0.3). Вместо этого для такого обоснования используется введенное в [82] понятие равностепенно квазинильпотентного семейства операторов.

Понятию равностепенной квазинильпотентности, играющему, как было сказано выше, важную роль в диссертации, посвящен §1.1. Пусть В — банахово пространство, {^(тЖег С £(В,В) — семейство квазинильпотентных операторов, зависящих от параметра 7 из некоторого множества Г. Следуя [82], назовем это семейство равностепенно квазинильпотентным, если

(0.0.5)

о о

и — суперравностепенно квазинильпотентным, если

В диссертации систематически используется следующая лемма из [82], развивающая известные утверждения об эквивалентной норме из [23, гл.2, §2].

Лемма 1.1.2. Пусть норма || • || пространства В монотонна относительно полуупорядоченности В по некоторому конусу К, а семейство операторов {G(7)}7er, для каждого из которых конус К является инвариантным, равномерно ограничено и суперравностепенно квазинильпотентно. Тогда для любого е > 0 существует эквивалентная норме || • || норма || • ||(е) пространства В, монотонная относительно полуупорядоченности В по конусу К и такая, что для каждого 7 6 Г соответствующая норма оператора G(7) не превосходит г.

Лемма 1.1.2 позволяет, в частности, преодолеть указанную трудность с обоснованием применения принципа сжимающих отображений.

Сформулируем некоторые доказываемые в главе 1 теоремы УСГР. Функцию х Е W будем называть отвечающим управлению и е D глобальным решением задачи (0.0.1)-(0.0.2), если пара х, и обращает (0.0.1) в тождество почти всюду на П. В тех случаях, которые рассматриваются в диссертации, каждому и £ D может отвечать не более одного такого решения. Множество тех и £ D, каждому из которых отвечает глобальное решение х € W задачи (0.0.1)-(0.0.2), будем обозначать Í1. Везде ниже: щ — некоторый фиксированный элемет Г2, хо 6 W — глобальное решение (0.0.1)-(0.0.2), отвечающее и0; Avg(-) = g(-,xo{-),xq'ti(-),xQ't2(-),v))-g(-,xo(-),x¿tl(-),xq't2{-),u0(-)), v € Лт(аналогично понимается обозначение ¿\vg[(-)).

В §1.2 теорема УСГР (теорема 1.2.1) получена в предположениях, сформулированных в терминах оператора правой части уравнения (0.0.3). Примем обозначения:

ШГо = L1^, Шг = Lp, т = х 9Jíi х Ши

Oto = Lnpxn, = Ц£п, = Üt0 х 9ti X Olí

(элементы Ш? — Зп-вектор-функции, элементы — (п х Зп)-матрицы-функции).

Теорема 1.2.1. Пусть фиксированы некоторые и0 е Г2, do > 0 и выполняются условия:

К{) Формула F[z,u](t) = f(t,A[z](t),u(t)) определяет оператор

К2) Формула Ф[г,и](Ь) = //(¿, А[г](Ь), и(£)) определяет ограниченный оператор

Ф[-, •]: Щ х Б ОТ.

Тогда: 1) существует 8 > 0 такое, что если и е И, ||м—щ\\ь™ < <^о> \\^и9{хо)\\ь% < 8, то и £ Г2; 2) существует С > О такое, что если х £ Ш — отвечающее и Е П глобальное решение (0.0.1)-(0.0.2), причем \\и — щ\\ь™ < <1о, то

\\(х-хоу;н4Ьп<С\\Аид\\Ьп. (0.0.6)

В §1.3 теорема УСГР получена в предположениях, сформулированных в терминах функции правой части уравнения (0.0.3). При этом учитывается, что область значений основного интегрального оператора лежит в пространстве Ш. Определим на АСр оператор 3 формулой J [х] (£) = {х (¿) ,х\х (г) (¿)}, t е II, х е АС™. Очевидно, А € £ , </ АС£ С ШТ. Для и Е Б положим г(и,щ) = ||Л[Дир]||ая.

Теоремы 1.3.3 и 1.3.4. Пусть фиксированы некоторые щ Е Г2, до > 0 и выполняются условия:

К3) Формула ^у, и](Ь) = /(¿, у(^), «(¿)) определяет оператор £[•, •]: Ш х И —> I/™, Формула ^[у,«]^) = //(¿, ?/(£), м(£)) определяет ограниченный оператор

Тогда: 1) существует 8 > 0 такое, что если только и Е И, ||и — щЦь-т < с?о, г(и,щ) < 8, то и € О; 2) для любого М0 > 0 существует С > 0 такое, что если х Е У/ — отвечающее глобальное решение (0.0.1)-(0.0.2), причем || и — щ\\ь™ <

\\Jlx — хо]||от < М0, то ||J[x — жоШда < Сг(и,щ) и выполняется неравенство (0.0.6).

Укажем конкретное семейство вектор-функций / = {/1,-.-,/п}, для которого выполняются условия теорем 1.3.3 и 1.3.4, считая, что Б — класс управлений, принимающих значения из некоторого ограниченного множества V С Ыт :

I, V) = /*(*, /о, ь) + ^ ¿о, V) + /о,«), (о.о.7)

где вместе с производной по /о удовлетворяет условиям типа Каратеодори и ограничена на любом ограниченном множестве (г = 0,1,2), а Нп —> К — гладкая функция с линейным порядком роста и ограниченной производной = 1,2), к — 1,... ,п.

В §1.4 теорема УСГР получена в предположениях, сформулированных, как и в §1.3, в терминах функции правой части уравнения (0.0.3), но с более точным учетом свойств основного интегрального оператора — учитывается, что область значений этого оператора лежит в некотором прямом произведении лебеговых пространств со смешанной нормой, существенно более узком, чем пространство Ш (это, в определенном смысле, полная информация об основном интегральном операторе). Обозначим через лебегово пространство Ьд([0,1]) функций переменной Р, ] £ {1, 2}, д £ [1, сю], а через — банахово пространство функций г(1), I £ П

со смешанной нормой (см., например, [22, с.401]) ||^||90'),г(г),п = Цг^1,¿2)||.г, п

^г(г)

{%,] £ {1,2}, гф ]] д, г £ [1, оо]). В частности, -^оо(;),р(г)(П) — пространство с нормой

1 /Р

1И1<х>(Др(г)Д1 = ( / (' а оо(г)(П) — с нормой

уга^ир

V У'е[0,1]

(Ш

1к11рУ),оо(»),п = уга1вир ¿'€[0,1]

±

/ и*1,*2)

1 /р

№

Положим

= ¿&>(2),р(1)>

'оо(1),р(2)

, ш = т0 х Ш11 х ш2,

(элементы Ш? — Зп-вектор-функции, элементы ОТ — (пхЗп)-матрицы-функции). Очевидно, А € £ (1%, Ш) , 3 [АС£] С Ш. Для и £ В положим г (и, щ) = \\А[Аид]\\^.

Теорема 1.4.1. Пусть фиксированы некоторые щ £ П, йо > 0 и выполняются условия:

К5) Формула {[у, «](£) = /(¿, у (£),и{Ь)) определяет оператор ?[•, •]: 9Л х Б —> Ь™,

Кб) Формула ¥г[у,и\^) = определяет ограниченный оператор

?![-,•]: Ж х В -у т.

Тогда: 1) существует 6 > 0 такое, что если только и £ И, ||м — < <^о>

г(и, щ) < 5, то и е £1; 2) для любого М0 > 0 существует С > 0 такое, что если х £ IV — отвечающее и £ О глобальное решение (0.0.1)-(0.0.2), причем ||и — щ< ¿о, \\J\x — < М0, то \\J\x — < Сг(и,щ) и выполняется неравенство (0.0.6).

Укажем конкретное семейство вектор-функций / = {/г,..., /п}, для которого выполняются условия теоремы 1.4.1, считая, что Б — класс управлений, принимающих значения из некоторого ограниченного множества V С 11то :

где — функция типа (0.0.7), К > II гладкая функция с линейным по-

рядком роста и ограниченной производной, аф вместе с производной по ¿о удовлетворяет условиям типа Каратеодори и ограничена на любом ограниченном множестве (1 < ЬЗ < п), к — 1,..., п.

В главе 1 наиболее сильными требованиями к управляемой системе являются требования §1.3 — требования и §1.2 и §1.4 слабее требований §1.3. Понятно, что ослабление требований дает возможность охватить более широкий круг задач. В то же время более сильные условия на правую часть позволяют на более узком классе управляемых систем доказать более тонкий признак УСГР. Признак УСГР из §1.2 очевидным образом более груб по сравнению с признаками из §1.3 и §1.4. Признак УСГР из §1.3, действующий на более узком классе систем, тоньше признака УСГР из §1.4, так как г (и, щ) < г (и, щ) для и € £>.

Последний пункт §1.4 посвящен иерархии условий УСГР типа теоремы 1.4.1. Дело в том, что в семействе С пространств вида Щ0 х х ¿д2у2)1Г2(г2) пространство

ШТ наименьшее по вложению из содержащих образ А[Ь™] (в этом смысле теорема 1.4.1 максимально полно учитывает априорную информацию о решении класса А задачи (0.0.1)-(0.0.2) и охватывает максимально широкий круг таких задач). Заменяя в теореме1.4.1 пространство 9Я некоторым более широким Ш £ С и соответствующим образом меняя пространство (при этом класс рассматриваемых задач (0.0.1)-(0.0.2) изменится), получаем другие достаточные условия УСГР. Пусть: Ш = 9Ло х х ШТг € £, причем Шг ограниченно вложено в Шг (г = 0,1,2); ОТ = х х Шг —

пространство вида Ьг£п х х 1/^2),Г2(г2), причем У1г ограниченно вложено

в ОТг и у(-)г(-) € Ьр при любых у(-) £ г(-) 6 ШТ; (г = 0,1,2). Очевидно, что А е </[АС£] С Ш. Для «ей положим г(и,и0) = ||Л[Дис/]||^.

Теорема 1.4.5. Пусть фиксированы некоторые щ е П, йо > 0 и выполняются условия:

К7) Формула ^у, и](£) = /(¿, у(Ь),и(Ь)) определяет оператор £[•, •]: Ш? х Б —> Ц

п

К8) Формула ^[г/, «](£) = //(¿, у(£), «(¿)) определяет ограниченный оператор

Тогда: 1) существует 6 > 0 такое, что если только и £ V, ||и — щ\\ь™ < <^о> г (и, щ) < 5, то и Е П; 2) для любого М0 > О существует С > О такое, что если х б У/ — отвечающее и £ О, глобальное решение (0.0.1)-(0.0.2), причем ||м — щ\\ь™ < Ф), \\J\x — ^ мо, то ||«/ [х — < Сг{и,ио) и выполняется неравенство (0.0.6).

Сравним теоремы 1.4.1 и 1.4.5. Так как Ш1 ограниченно вложено в 9Я, а ОТ — в ОТ, то условие К7) есть усиление условия К5) , условие К8) — усиление условия Кб), существует С > 0 такое, что г(и, щ) < Сг(и,щ), и е В. Таким образом, теорема 1.4.5 обслуживает более узкий, чем теорема 1.4.1, класс управляемых систем (0.0.1)-(0.0.2), но утверждение 1) теоремы 1.4.5 дает на этом более узком классе систем более сильное достаточное условие УСГР, чем утверждение 1) теоремы 1.4.1 (требование достаточной малости величины г (и, щ) слабее требования достаточной малости г(и,и0)). Аналогично можно сравнить между собой выводы теоремы 1.4.5 для разных пар пространств ШТ, 91, если только эти пары пространств соответствующим образом связаны отношением вложения. Для иллюстрации приведем конкретные примеры пар пространств Ш, ОТ, для каждой из которых справедлива теорема 1.4.5.

1. ШТ = Ь^хЬрХЬр, 01 = ЬГрУпхЦ£пхИменно этот случай рассматривается в §1.3, полученная там теорема УСГР — частный (предельный) случай теоремы 1.4.5.

2.ш = Цх ь;{1)М2) X Ц{2)М1), т = ц™ х ь%*Ы2) х где д, г е [Р, ос], д-1 + г= р~1. С ростом д пространство ЭДТ сужается, ОТ — расширяется. Условия УСГР теоремы 1.4.5, отвечающие разным д, сравнимы между собой в указанном смысле. Условия УСГР теоремы 1.4.5, отвечающие д = оо, сравнимы с условиями УСГР теоремы 1.4.5 примера 1.; при д < оо это уже не так.

Полученные в главе 1 теоремы УСГР существенным образом используются в следующих главах диссертации при вычислении вариаций функционалов.

Глава 2 диссертации посвящена выводу принципа максимума в терминальной задаче оптимизации управляемой системы Гурса-Дарбу (0.0.1)-(0.0.2) с полной ка-ратеодориевской правой частью уравнения при следующих требованиях к функции правой части (несколько более сильных, чем требования §1.3 ):

К3) Формула {[у,и]^) = ¡{1,у{Ь),и(Ь)) определяет ограниченный оператор [•, •]: х -О —> ¿р,

Формула ^[у,и](£) = //(£, и(£)) определяет ограниченный оператор Ъ[.,•]: Ш х Б т,

К9) Для любого и Е -О оператор [•, и]: Ш —непрерывен.

Класс В состоит из управлений и(-) Е принимающих значения из ограниченного множества V С Г1т. Рассматривается терминальная задача оптимизации системы (0.0.1)-(0.0.2) с ограничениями типа равенства и неравенства (классический объект теории оптимального управления)

[и] тах, и Е П. Л[м] > 0 (к = М), Л [и] = 0 (к = з + 1,г), (0.0.8)

где Зк[и) = Ок{хи{ 1,1)), И" > К непрерывно дифференцируемая функция (к = 0~г).

Для задачи (0.0.8) доказывается поточечный принцип максимума (ППМ). Для вывода ППМ применяется традиционное игольчатое варьирование и схема учета ограничений по В.И.Плотникову [65]. Центральный момент доказательства — вычисление вариаций функционалов, здесь существенно используется эквивалентная запись управляемой системы (0.0.1)-(0.0.2) в виде вольтеррова функционально-интегрального уравнения (0.0.3). Нетривиальное отличие этой процедуры от подобной, относящейся к случаю решений с ограниченными смешанной и первыми производными (см., например, [66, 84]) связано с тем, что здесь семейство линейных операторов правых частей линеаризованных функционально-интегральных уравнений, получающихся при разных параметрах варьирования, не обладает, вообще говоря, общей квазинильпотентной мажорантой. Поэтому при вычислении вариаций функционалов, как и при доказательстве теорем УСГР в главе 1, существенно используется понятие равностепенно квазинильпотентного семейства операторов.

В главе 3 диссертации изучаются измеримые особые управления (ОУ) ППМ для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу (0.0.1), (0.0.2) с каратеодориевской правой частью уравнения при достаточно общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе АС™, р < оо. Показано,

что, если правая часть уравнения (0.0.1) линейна по производным, то есть функция /, и) имеет вид

то обязательно происходит сильное вырождение ППМ (необходимого условия оптимальности (НУО) первого порядка при игольчатом варьировании управления), когда вместе с принципом максимума вырождаются и условия второго порядка. Выводятся содержательные НУО сильно вырожденных ОУ. Применяется общая схема [76, 78, 85] изучения ОУ, опирающаяся на возможность представления управляемой системы в форме вольтеррова функционально-операторного уравнения в лебеговом пространстве и использующая теорию тензорных произведений лебеговых пространств для вычисления старших вариаций функционалов.

Рассмотрим управляемую задачу Гурса-Дарбу (0.0.1), (0.0.2) при следующих условиях на функцию правой части вида (0.0.9):

9o(t, h,v) дважды дифференцируема по /0 при каждом v для почти всех t и вместе с g'oi0(t,lo,v), g'oi0iü(tJo,v) измерима по t при любых и непрерывна по

{¿о, v} для почти каждого t\ на любом ограниченном множестве элементов 10 функции до, g'oi0 и д'щ10 непрерывны по Iq равномерно относительно {t, г»} £ П х V; матрицы-функции gi(t, /0) и g2(t, /о) дважды дифференцируемы по /о для почти всех t и вместе с производными g'llQ, g"lolQ, g'2lo, g'2lol0 измеримы по t при любых /о и непрерывны по 1о для почти каждого t; на любом ограниченном множестве элементов /о функции д\, 92, д'ц0, 9ii0i0> 92i0> 92101о непрерывны по ¿о равномерно относительно t £ П; кроме того предполагается, что д% (соотв. непрерывна по tl (соотв. по t2) при любых {t2, v} (соотв. (t1,!)}).

Пусть класс D состоит из управлений и(-) £ L™, принимающих значения из ограниченного множества V С Rm. Рассмотрим задачу оптимизации: найти управление, дающее на Q, максимум функционалу

где С'(-): И/1 —> II — дважды непрерывно дифференцируемая функция, хи{-) — решение задачи (0.0.1)-(0.0.2), отвечающее управлению и £ О. Везде ниже: и0 — фиксированное решение задачи (0.0.10), хо(-) = хио(-), и — некоторый элемент Г2. Сформулируем для задачи (0.0.10) ППМ.

g(t,l,v) = gi(t,lQ)h +gi{t, lo)k + go(tJo,v)

(0.0.9)

Jo[it] = G(xu(l, 1)),

(0.0.10)

Пусть Хо = (G'(xо(1,1)))*. Рассматривая А как оператор класса £ (b™, ffll) , заметим, что сопряженный к нему оператор А* на подпространстве L™ х L™ х L™ пространства Т1* определяется формулой

A'{z] (t) = A^[z°] (t) + A\[zx\ (t) + A*2[z2] (t), ten, z= {z°, z\ z2} 6 L\ x Lnq x Lnq,

где

Al[z°}(t) = fj^ Al[^]{t) = jf^^O^HW = fa

Уравнение

Ф (t) - Л* [{^(¿.жо^мь^.ио)}* ф] (t) = te п,

имеет единственное в L^ решение Ф. Положим

7r(t,v) = (^(t),Avff(t))n, ten, veV,

где (•, -)п— скалярное произведение в Rn. Нам удобно записать для задачи (0.0.10) доказанный в главе 2 ППМ в следующем виде.

Теорема 3.2.1. Для каждого v е V при почти всех т е П выполняется неравенство 7г (г, v) < 0.

Сформулированный ППМ является НУО первого порядка относительно игольчатого варьирования, которое опишем следующим образом. Пусть: Е — совокупность всех наборов и = {г, г>}, в каждом из которых v — какой-то элемент V, т е П — некоторая правильная точка Лебега функции 7r(-, v)\% — семейство всех пар h = {а, е} , в каждой из которых а = {т, v} е Е, а е — такое положительное число, что множество П£(т) = т — е[0,1]2 принадлежит П. Каждому h = {а,е} £ % отвечает допустимое управление

uh(t) = {v, te П£(т); u0(t), te П \ П£(г)} ,

a каждому набору параметров варьирования а = {т, v} е Е — семейство функций {uh(.')}h={aе}ен > простейшая одноточечная игольчатая варианта управления щ.

Обозначим через М. множество {{£, г*} е П x V : ir(t, v) = 0} . При почти каждом t е П значение щ (t) оптимального управления щ принадлежит сечению

M{t) = {veV : {t,v}eM}

множества M.. Управление щ называется ОУ ППМ, если

mes {te П : M(t) ф {«o(i)}> > 0.

Говорят, что ППМ вырождается на ОУ и0, ОУ называют вырожденным управлением ППМ, а также вырожденным управлением для способа простейшего одноточечного игольчатого варьирования (ПОИВ). Множество П* ={£ £ П : Л4(¿) ф будем называть множеством вырождения ППМ на управлении щ■ Случай, когда теэП* = тевП и при почти всех ^ € П сечения множества М совпадают с

V, назовем случаем полного вырождения ППМ. Рассмотрим сначала именно этот случай.

Положим ДиЛ = Jo[и] — </о[ио], и £ Пусть и0 — ОУ для ППМ, причем имеет место случай полного вырождения. Предел 57_1^((т) = Нт£~7Ди/1 «70, если он существует при некотором 7 > 2, назовем вариацией порядка 7 — 1 функционала ./0 на варианте {«/»(•)}ь={а,е)ен > соответственно НУО вида ¿7_17о(а) < 0 (а € Е) назовем НУО порядка 7—1 управления и0 при ПОИВ. Назовем ОУ щ сильно вырожденным для ПОИВ, если тождественно зануляется вариация 2-го порядка: 52^(а) = 0, а € Справедлива следующая теорема о сильном вырождении полностью вырожденного

Теорема 3.4.1. Если выполняется условие (0.0.9), то всякое полностью вырожденное ОУ ППМ является сильно вырожденным для ПОИВ.

В общем случае вырождение ППМ на ОУ щ означает, что mes П* > 0, но П* уже может не совпадать с П и не обязательно Mit) = V для t € П*. Чтобы распространить на общий случай вырождения полученные выше в случае полного вырождения ППМ результаты, воспользуемся более общим способом одноточечного игольчатого варьирования, чем ПОИВ; назовем этот способ обобщенным одноточечным игольчатым варьированием (ООИВ).

Пусть щ — ОУ ППМ. Заметим, что n(t, v) : П х V —У R — функция Каратеодори и поэтому отображение Л4(-) : П -> 2У измеримо и имеет счетное аппроксимирующее его семейство измеримых сечений (см. [20, п.8.1.5]) JC =

Обозначим через П| ту часть множества По, каждая точка которой есть точка Лебега суперпозиции 7г(-,г^(-)) для любой функции v/¡(-) семейства JC. Очевидно,что mes n¿ = mes П.

Пусть: S — совокупность всех наборов г) = {г, Vk}, в каждом из которых v— какой-то элемент /С, г Е Пг; H — семейство всех пар h = {77, г} , в каждой из которых

ОУ

t € П0, mes П0 = mes П.

г] = {г, Ук} & X, а г — такое положительное число, что П£(т) С П. Каждому Ь = {?7,с} е Н отвечает допустимое управление

vh{t) = {vk{t), t G Пе(т); vQ(t), t G П \ П£(г)} ,

a каждому набору параметров варьирования г) = {г, v^} G S — семейство функций {■yh(')}h={J) £}ен > одноточечная игольчатая варианта управления vq. Для указанного способа варьирования первая вариация 6Jo(î/) = SJ0(r,Vk) = lim^o (z~2AVhJo) при любом г] = {r,Vk} G S существует и равна 7г(г, г^(т)). Так как /С аппроксимирует

отображение Л4(-), то для ОУ у0 имеем: = 0, 77 С X.

Следующее утверждение обобщает теорему 3.4.1.

Теорема 3.10.1. Если щ — ОУ для ППМ, то из НУО, полученных для щ с помощью ООИВ, вырождаются все условия до порядка 2 включительно и содержательными могут быть лишь НУО порядка, большего 2; таким образом, ОУ щ будет сильно вырожденным ОУ для ООИВ.

Сформулируем доказываемые в диссертации НУО сильно вырожденных ОУ. Пусть и 01(2,5) — (п х п)-матрицы, а ©2(£, з) - (пх Зп2)-матрица, определяемые формулами: 6о(£, в) = 2~1С{хо{1,1));

{1 1 1

I I Ноо (ОЯ + ЯО»1-*1) / ЗДв1,*2)^

тах-^1,«1} тах{^,52} тах{<2,«2}

1 1 +Я(з2 - г2) I Зю^УК1*^1-*1) /

тах{41,51} тах{(2,в2}

где

Д(-) — функция Хевисайда;

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лисаченко, Ирина Владимировна, 2012 год

Литература

[1] Алексеев, В.М. Оптимальное упраление/ В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. — М.: Наука, 1979. - 429 с.

[2] Ащепков, Л.Т. Усиленное условие оптимальности особых управлений в системе Гурса-Дарбу/ Л.Т. Ащепков, О.В. Васильев, И.Л. Коваленок// Дифференц. уравнения. - 1980. - Т.16, № 6. - С.1054-1059.

[3] Березанский, Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов/ Ю.М. Березанский. — Киев, 1965. — 798 с.

[4] Бурдуковский, А.Н. Условия оптимальности особых управлений в задаче Гур-са-Дарбу/ А.Н. Бурдуковский// Управляемые системы. Новосибирск. — 1986.

- Вып.26. - С.16-24.

[5] Васильев, О. В. Методы оптимизации и их приложения. Часть 2. Оптимальное управление/ О.В. Васильев, В.А. Срочко, В.А. Терлецкий. — Новосибирск: Наука, 1990. -151 с.

[6] Васильев, О.В. Качественные и конструктивные методы оптимизации управляемых процессов с распределенными параметрами/ О.В. Васильев. — Автореф. докт. дисс. Л.: ЛГУ, 1984.

[7] Васильев, О.В. Об оптимальности особых управлений в системах с распределенными параметрами/ О.В. Васильев// Управляемые системы. - Новосибирск: 1972. - Вып.10. - С.27-34.

[8] Васильев, Ф.П. Методы оптимизации/ Ф.П. Васильев. — М.: Факториал, 2002.

- 824 с.

[9] Габасов, Р. Особые оптимальные управления/ Р. Габасов, Ф.М. Кириллова.—М.: Наука, 1973.

[10] Габасов, Р. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами/ Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, К.Б. Мансимов.

- Минск, 1982. - 32с. (Препринт/АН БССР. Ин-т математики, №-31)

[11] Гаврилов, B.C. Параметрическая оптимизация нелинейных систем Гурса-Дарбу с фазовыми ограничениями/ B.C. Гаврилов, М.И. Сумин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2004. - Т. 44, 6. - С. 1002 - 1022.

[12] Гельфанд, И.М. Лекции по линейной алгебре/ И.М. Гельфанд. — М.: Наука, 1971. - 272 с.

[13] Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. — 536 с.

[14] Данилова, O.A. Нетрадиционные условия существования оптимального управления для системы Гурса-Дарбу/ O.A. Данилова, A.C. Матвеев// Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1998. - Т. 62, 5. - С. 79 - 102.

[15] Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. - М.: ИЛ, 1962.-895 с.

[16] Егоров, А.И. Основы теории управления/ А.И. Егоров. — М.: Физматлит, 2004. — 504 с.

[17] Егоров, А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи теории инвариантности/ А.И. Егоров// Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1965. - Т. 29, ЛД 6. - С. 1205 - 1260.

[18] Зеликин, М.И. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений/ М.И. Зеликин, В.Ф. Борисов.// Итоги науки и техники. Серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 90. Оптимальное управление 4. М.: ВИНИТИ. 2001.

[19] Зеликин, М.И. Оптимальные режимы с учащающимися переключениями в задаче управления балкой Тимошенко/ М.И. Зеликин, Л.А. Манита// Прикл. матем. и мех. - 2006. - Т.70, ЛА 2. - С.295-304.

[20] Иоффе, А.Д. Теория экстремальных задач/ А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. — М.: Наука, 1974. - 480 с.

[21] Казимиров, В.И. Абстрактная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума/ В.И. Казимиров, В.И. Плотников, И.М. Старобинец// Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1985. - Т. 49, Л/"= 1. - С. 141-159.

[22] Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — М.: Наука, 1977.-742 с.

[23] Красносельский, М.А. Положительные решения операторных уравнений/ М.А. Красносельский—М.: ГИФМЛ, 1962—394 с.

[24] Лионе, Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами/ Ж.Л. Лионе—М.: Наука, 1987.-368 с.

[25] Лисаченко, И.В. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. Серия Математика. — 2005. — Вып. 1(3). - С.88-101.

[26] Лисаченко, И.В. Об условиях сохранения глобальной разрешимости управляемой задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Нелинейные колебания механических систем: VII Всероссийская научная конф. Труды. — Н. Новгород: 2005. — С.147-149.

[27] Лисаченко, И.В. О задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения-XVI. Тезисы докл. - Воронеж: 2005. - С. 140.

[28] Лисаченко, И.В. О сохранении разрешимости в "в целом" задачи Гурса-Дарбу при возмущении управления/ И.В. Лисаченко// Казанское Математическое Общество. Лобачевские чтения-2005. Тезисы докл. — Казань: 2005. — С.89-91.

[29] Лисаченко, И.В. О задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// X Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2005. — С. 15.

[30] Лисаченко, И.В. Управляемая задача Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной. II/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Ни-

жегородского университета им.Н.И.Лобачевского. Серия Математика. — 2006.

- Вып. 1(4). - С.65-80.

[31] Лисаченко, И.В. Об условиях устойчивости существования глобальных решений управляемой задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. — 2006. — Вып.2(31). — С.64-81.

[32] Лисаченко, И.В. О сохранении разрешимости "в целом" задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Потрянгинские чтения - XVII. Тезисы докладов.

— Воронеж: 2006.

[33] Лисаченко, И.В. О вариационном принципе максимума для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Казанское Математическое Общество. Лобачевские чтения-2006. Тезисы докл. — Казань: 2006. — С. 154-156.

[34] Лисаченко, И.В. Управляемые нелинейные системы типа Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко/ / XI Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2006. - С. 10-11.

[35] Лисаченко, И.В. О сохранении глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения-ХУШ. Тезисы докл. — Воронеж: 2007. - С. 108-109.

[36] Лисаченко, И.В. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2007. — Т. 12, Вып. 4. - С. 477-479.

[37] Лисаченко, И.В. О принципе максимума для терминальной задачи оптимизации управляемой системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Труды научной конференции "Модели, методы и программные средства". — Н. Новгород: 2007. — С. 262-265.

[38] Лисаченко, И.В. К вопросу о сохранении разрешимости в "целом" задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// XII Нижегородская сессия молодых ученых. Тезисы докл. — Н. Новгород: 2007. - С. 8-9.

[39] Лисаченко, И.В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу с возмущаемыми правой частью и граничными функциями/ И.В. Лисаченко// Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. — 2008. — Вып.5. — С.107-112.

[40] Лисаченко, И.В. Условия сохранения глобальной разрешимости задачи Гурса-Дарбу при возмущении управления/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 06.02.2008. Л/"= 85 - В2008.

[41] Лисаченко, И.В. О глобальных решениях задачи Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко// Понтрягинские чтения-XIX. Тезисы докл. — Воронеж: 2008. — С. 129.

[42] Лисаченко, И.В. Нелинейная задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости при возмущении управления/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Труды VIII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем".- Т.1. - Н.Новгород: 2008. — С.221-226.

[43] Лисаченко, И.В. Управляемая задача Гурса-Дарбу: варианты условий сохранения разрешимости "в целом"/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Понтрягинские чтения -XX. Тезисы докл. - Воронеж: 2009. — С. 108-109.

[44] Лисаченко, И.В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения разрешимости "в целом"/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2009. — Т. 14, Вып. 4. - С. 736-738

[45] Лисаченко, И.В. Задача оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// Понтрягинские чтения-XXI. Тезисы докл. — Воронеж: 2010.

[46] Лисаченко, И.В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Дифференц. уравнения. - 2011. - Т.47, Л/"= 6. - С. 858-870.

[47] Лисаченко, И.В. Необходимые условия оптимальности для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко// Вестник Нижегородского университета им.Н.И.Лобачевского. - 2011. -ЛД 3(2). - С.115-120.

[48] Лисаченко, И.В. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — Вып.2. — С.52-67.

[49] Лисаченко, И.В. Нелинейная управляемая задача Гурса-Дарбу: условия сохранения глобальной разрешимости и их применения/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVI Международной конференции (Н. Новгород, 20-25 июня 2011 г.) — Н.Новгород: 2011. - С. 268-272.

[50] Лисаченко, И.В. Об управляемой задаче Гурса-Дарбу в классах функций с суммируемой смешанной производной/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин// Вестник Тамбовского Университета. Естественные и технические науки. — 2011. — Т. 16, Вып. 4. - С. 1116-1118.

[51] Лисаченко, И.В. Об особых управлениях поточечного принципа максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу/ И.В. Лисаченко, В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 13.03.2012 М= 89 - В2012. 26 с.

[52] Лурье, К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики/ К.А. Лурье. - М.: Наука, 1975. - 478 с.

[53] Мансимов, К.Б. Оптимальность особых управлений в квазилинейных системах Гурса-Дарбу при наличии ограничений, I/ К.Б. Мансимов// Изв. АН Азерб. ССР. сер. физ.-техн. и мат. наук. - 1986. - 3. - С.129-134.

[54] Мансимов, К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче управления системами с распределенными параметрами/ К.Б. Мансимов// ДАН СССР. - 1988. - Т.301, Л/*=3. - С.546-550.

[55] Мансимов, К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления/ К.Б. Мансимов.—Автореф. докт. дисс. Баку: Бакинский гос. ун-т, 1994.

[56] Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/ М. Маркус, X. Минк. - М.: Наука, 1972. - с. 232.

[57] Матвеев, A.C. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами/ A.C. Матвеев, В.А. Якубович// Сибирский матем. журн. - 1978. - Т.19, 5. - С.1109 - 1140.

[58] Меликов, Т.К. Исследование особых процессов в некоторых оптимальных системах/ Т.К. Меликов. — Автореф. канд. дисс. Баку, 1976. — 17 с.

[59] Мордухович, Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления/ Б.Ш. Мордухович. — М.: Наука, 1988.

[60] Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной/ И.П. Натансон. — М.: ГИТЛ, 1957. - 552 с.

[61] Новоженов, М.М. Методы оптимального упраления системами математической физики/ М.М. Новоженов, В.И. Сумин, М.И. Сумин. — Учебное пособие/ Горький, издание ГГУ, 1986. — 87 с.

[62] Плотников, В. И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида / Плотников В.И.// Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 199, Л/"= 2. -С. 275-278.

[63] Плотников, В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу/ В.И. Плотников, В.И. Сумин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1972. - Т. 12, 1. - С. 61 - 77.

[64] Плотников, В.И. Проблемы устойчивости нелинейных систем Гурса - Дарбу/

B.И. Плотников, В.И. Сумин// Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, Л/"= 5. —

C. 845 - 856.

[65] Плотников, В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида/ В.И. Плотников// Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1972. - Т. 36, 3. -С. 652-679.

[66] Плотников, В.И. Оптимизация распределенных систем в лебеговом пространстве/ В.И. Плотников, В.И. Сумин// Сиб. матем. ж. — 1981. — Т.22, ЛА= 6. — С.142-161.

[67] Погодаев, Н.И. О решениях системы Гурса-Дарбу с граничными и распределенными управлениями/ Н.И. Погодаев// Дифференц. уравнения. — 2007. — Т.43, Л/"= 8. — С.1116 - 1126.

[68] Потапов, М.М. Разностная аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления системами Гурса-Дарбу/ М.М. Потапов// Вестник МГУ. Сер. вычислит. матем. и киберн. — 1978. — Я= 2. — С.17 - 26.

[69] Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Т.5./ В.И. Смирнов. — М.:ГИФМЛ, 1959. - 656 с.

[70] Срочко, В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления/ В.А. Срочко. — Иркутск: изд-во Иркутского ун-та, 1989. — 160 с.

[71] Срочко, В.А. Условия оптимальности для одного класса систем с распределенными параметрами/ В.А. Срочко// Сиб. математ. журн. — 1976. — Т.17, Л/*= 5.

- С.1108-1115.

[72] Сумин, В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами/ В.И. Сумин// Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 305, Л/"= 5. - С. 1056-1059.

[73] Сумин, В.И. О достаточных условиях устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач/ В.И. Сумин// Дифференц. уравнения. — 1990. - Т. 26, 12. - С. 2097 - 2109.

[74] Сумин, В.И. Об обосновании градиентных методов для распределенных задач оптимального управления/ В.И. Сумин// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1990. - Т. 30, № 1. - С. 3-21.

[75] Сумин В.И. Функционально-операторные уравнения Вольтерра и устойчивость существования глобальных решений краевых задач// Украинский матем. журн.

- 1991. - Т.43, № 4. - С. 555-561.

[76] Сумин, В.И. Сильное вырождение особых управлений в распределенных задачах оптимизации/ В.И. Сумин// ДАН СССР. - 1991. - Т.320, Л/"= 2. - С. 295-299.

[77] Сумин, В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи/ В.И. Сумин. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. - 110 с.

[78] Сумин, В.И. Сильное вырождение особых управлений в задачах оптимизации распределенных систем/ В.И. Сумин// Оптимизация. — Новосибирск: 1993. — М 52(69).- С.74-94.

[79] Сумин, В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами/ В.И. Сумин. — Дне. докт. физ.-мат. наук. Н. Новгород, 1998. — 346 с.

[80] Сумин, В.И. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность/ В.И. Сумин, А.В. Чернов// Дифференц. уравнения. - 1998. - Т.34, ЛГ= 10. С.1402 - 1411.

[81] Сумин, В.И. Об управляемых функциональных вольтерровых уравнениях в лебеговых пространствах/ В.И. Сумин/ Деп. в ВИНИТИ 03.09.98. ЛД 2742 - В98. 96 с.

[82] Сумин, В.И. Управляемые функциональные вольтерровы уравнения в лебеговых пространствах/ В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление.— 1998. — Вып. 2(19). - С. 138 - 151.

[83] Сумин, В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения/ В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета. Серия Математика. — 2003. — Вып. 1. - С. 91-108.

[84] Сумин, В.И. Вольтерровы функциональные уравнения и принцип максимума для распределенных оптимизационных задач/ В.И. Сумин// Вестник Нижегородского университета. Серия Математика. — 2004. — Вып.1(2). — С. 178-191.

[85] Сумин, В.И. Об особых управлениях поточечного принципа максимума в распределенных задачах оптимизации/ В.И. Сумин// Вестник Удмуртского государ-

ственного университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2010. - Вып. 3. - С. 70-80.

[86] Толстоногов, А.А. Теорема существования оптимального управления в задаче Гурса-Дарбу без предположения выпуклости/ А.А. Толстоногов// Изв. РАН. Сер. матем. - 2000. - Т.64, ЛД 4. - С.163 - 182.

[87] Условия экстремума и конструктивные методы решения в задачах оптимизации гиперболических систем / Под ред. О.В. Васильева. Новосибирск: Наука, 1993.

[88] Шефер, X. Топологические векторные пространства/ X. Шефер. — М.: Мир, 1971. - 360с.

[89] Idczak, D. Stability analysis of solutions to an optimal control problem associated with a Goursat-Darboux problem/ D. Idczak, M. Majewski, S. Walczak// Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. - 2003. - V.13, № 1. - P.29-44.

[90] Idczak, D. The bang-bang principle for the Goursat-Darboux problem/ D. Idczak// Int. J. Contr. - 2003. - V.76, № 11. - P.1089 - 1904.

[91] Suryanarayana, M.B. Necessary conditions for optimization problems with hyperbolic partial differential equations/ M.B. Suryanarayana// SIAM J. Control. — 1973. — У.11,Л/"= 1.

[92] Tuan, H.D. On solution sets of nonconvex Darboux problems and applications to optimal control with endpoint constraints/ H.D. Tuan// J. Austral. Math. Soc. Ser. B. - 1996. - 37. - P.354-391.