Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Красниченко, Любовь Сергеевна

• Красниченко, Любовь Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Красниченко, Любовь Сергеевна

Введение.

Глава 1 Задачи оптимизации с граничными управлениями (обзор исследований).

1.1 Краевые задачи теплового процесса с нелинейными граничными условиями.

1.2 Краткий обзор по исследованиям задач оптимизации тепловых и волновых процессов с граничными управлениями.

Вывод.

Глава 2 Приближенное решение задач нелинейной оптимизации с граничным управлением.

2.1 Слабо обобщенное решение краевой задачи управляемого процесса

2.2 Задача оптимального управления и условия оптимальности.

2.3 Нелинейное интегральное уравнение оптимального управления.

2.4 Построение решения задачи нелинейной оптимизации и сходимость приближенных решений.

2.5 Пример.

Вывод.

Глава 3 Приближенное решение задач нелинейной оптимизации с векторным граничным управлением.

3.1 Слабо обобщенное решение краевой задачи управляемого процесса

3.2 Задача оптимального управления и условия оптимальности.

3.3 Система нелинейных интегральных уравнений оптимального управления.

3.4 Решение задачи нелинейной оптимизации и сходимость приближенных решений.

3.5 Пример.

Вывод.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении»

Актуальность темы. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, основы, которой были заложены в 60-е годы прошлого столетия в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова и др., в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений. Теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И.Плотникова, Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей.

На практике встречаются множество задач прикладного характера, где действие функции внешнего воздействия сосредоточено в одной точке, которая может быть как фиксированной, так и подвижной. В случаях, когда точка приложения внешних воздействий сосредоточена на границе появляется задача оптимизации с граничными управлениями. Примеры подобного рода задач для тепловых процессов приведены в монографиях [14,15]. В природе реальные процессы обычно протекают нелинейно. Поэтому многие задачи прикладного характера, в частности задачи оптимизации, по своей сущности являются нелинейными. Однако нелинейные задачи оптимизации из-за сложности их исследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. В диссертации основное внимание уделено исследованию задачи нелинейной оптимизации, где граничное управление является нелинейной функцией от управляющих параметров. Задачи с нелинейными граничными условиями часто встречаются в приложениях, например, задача оптимального нагрева стержня при тепловом лучистом обмене на концах стержня, происходящего по закону Стефана-Больцмана, приводит к задаче с нелинейным граничным управлением.

Исследование разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.

Научная новизна работы. Впервые, на примере управления тепловыми процессами, происходящими в стержне конечной длины, разработан алгоритм построения приближенного решения нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов в случае,

1) когда функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления (управление с одного конца);

2) когда функции граничных воздействий (тепловых потоков) нелинейно зависят от векторной функции управления (векторное управление с двух концов).

Полученные результаты являются новыми в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности,

- установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения и удовлетворяет дополнительному условию в виде неравенства;

-найдено достаточное условие разрешимости задачи нелинейной оптимизации с нелинейным граничным управлением и результаты обобщены на векторный случай;

- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации (как в случае скалярного, так и в случае векторного управлений) и доказана их сходимость к точному решению.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации при нелинейных граничных управлений может быть использован на практике в прикладных задачах связанных с управлением тепловых процессов. Полученные теоретические выводы представляют интерес в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, ибо они могут быть использованы для развития методов исследования и при разработке конструктивных методов решения нелинейных задач оптимизации.

При изложении материала были использованы следующие обозначения:

1. (О, 1)- интервал оси ох\

2. (О, Т) - интервал оси о/;

3. 0 = (0,1) х (О, Г) - область плоскости охг;

4. У/^,х),Ух^,х) - частная производная первого порядка функции по временной переменной /■ и по координатной переменной х;

5. Кх(?>х) ~ частная производная второго порядка функции по координатной переменной х;

6. Н{П) - гильбертово пространство функций, определенных на множестве О;

7. |С|| - норма элемента гильбертова пространства Н;

8. Н2 = Н(О,Г) х Н(О,Г) - декартово произведение пространств;

9. (',')- скалярное произведение.

В первой главе приведены примеры задач оптимизации с граничными управлениями для тепловых процессов, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации, и изложено краткое содержание диссертации.

Во второй главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда управление нелинейно входит в граничное условие и минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению и дополнительному условию в виде неравенства. Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации.

В §2.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса

Ус = Ухх+Г(!,х1 &х)е(1, (1)

1/(0, х) =</>(*), же (ОД), (2)

Ух&, 0) = 0, Ух(ы) + аУ(Ь,1) = 0<кт, (3) где заданная функция, гг(£)] £ #(0, Т) описывает изменения граничного теплового потока, нелинейно зависит от функции управления гг(£) £ Н(0, Г) ; начальная функция 1р(х) £ Я (ОД) ; Т фиксированный момент времени; Н - пространство Гильберта.

Аналогично [56] дано определение слабо обобщенного решения.

Определение 2.1. Слабо обобщенным решением краевой задачи (1)-(3) называется любая функция !/(£:, х) £ Н(ф) , которая удовлетворяет интегральному тождеству 1

1(У(1,х)Ф^,х))[ух = о

С21

При произвольных моментах времени // И /2 (0 < ^ < £ < < Г) и для любой функции Ф(£, х) £ С1,2[(?], а также начальному условию (2) в слабом смысле, т.е. соотношение

1.

Дт I [У^,х) - хр(х)]Ф0(х) (1х — 0 о выполняется для любой функции Ф0(Х) £ Н(ОД).

Построено слабо обобщенное решение краевой задачи (1) -(3) в виде

СО I е-^1рп + I е-лп^(/п(т) + гп(1)р[т,и(т)])с1т п=1 О

4) где [гп(х)} - полная ортонормированная система собственных функций краевой задачи

1\х) + Л2г(х) = 0, £'(0) = 0, 7 '(1) + аг{ 1) = 0, т.е. zn(x) = yncosAnx, n = 1,2,3,.,

Yn

Л1

2(4 + a2)

2 + а2 + а a {Яп} - собственные значения, которые определяются как решение трансцендентного уравнения tgX = - и обладают следующими свойствами: я тс lim Хп — со, Лп < Лп+1, (п + 1)л < Лп < — (2п - 1), п - 1,2,3,.

->оо 2

В §2.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется найти управление u°(t) 6 //(О, Г) , которое вместе с соответствующим ему решением V°(t, х) краевой задачи (1-3) минимизирует интегральный квадратичный функционал 1 г l[u(t)] = J [V(T, X) - ((х)]2 dx + ßj и2 (t)dt, ß > О, о о где <f(x) е Я (ОД) заданная функция.

Согласно принципа максимума для систем с распределенными параметрами [14, 17, 22] получены условия оптимальности П„0, и) = Pu(t, u)a)(t, 1) - 2ßu = О, П„ub) = Puu(t,uMt, 1) - 2ß < О, где cü(t, х) — решение краевой задачи (¿t + Mxx = Q. (t,x)EQ, о)(Т,х) + 2[V(T,x) - S(x)} =0, х е (ОД), ü)x(t, 0) = 0, о>x(t, 1) + aa)(t, 1) = 0, 0 < t <Т, сопряженной (1)-(3).

Решение сопряженной краевой задачи найдено по формуле оо t a)(t,х) = —2 ^ + I e-A"(t"T)(/n(T) + zn(l)p[T,u(T)])dTn=l о

-ш e-Wr-t)Zn(x)

В §2.3 согласно условиям оптимальности установлено что, оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению с» Г оо

ВДрйЧ^мСО] + ^Г вп (С, 1) I Сп(т, 1)р[т,и(т)]с1т = ^ вп (Х, 1)кп (5) п=1 о П~1 и дополнительному условию

6) т.е. оптимальное управление определяется как решение задачи (5)-(6) при известной функции р[£,

Далее рассматривается вопрос однозначной разрешимости интегрального уравнения (5). Согласно методике, разработанной проф. Керимбековым А., положим

МОрЛ^СО] = 0(0- (7)

Отсюда, согласно (6), функция определяется однозначно т.е. существует функция <£>(■) такая, что и(0 = <рМ(0,/?]. (8)

Относительно новой неизвестной функции нелинейное интегральное уравнение (5) приводится к виду оо т со

6(0 + ^ Сп 1) | сп(т, 1) р[т, <р[т, б(т),/?]]е*т = ^ (<:, 1)^. (9) п=1 о п=1

Далее это уравнение исследуется в операторной форме в = 6(0), (9') где оператор в(9) действует по формуле С(0) = ^ Сп {г, 1) /гп - I Сп(т, 1) р[т,<р[т, в{т),р]]йт = ВД + С(0). п=1 V о /

Теорема 2.1 Пусть функция p[t, u(t)] удовлетворяет условиям dp[t,u(t) ] г п

1) FL WJ Ф о, Vte[0,T], du

2) || p[t,u(t)] - p[t,ü(0]IIh ^ PoIMO -ü{t)\\H, p0 > 0, а функция (p[t, 0(0,/?] - условию

3)|| <p[t,6(tlß] - <p[tMtlß]\\H<(p0(ß)\\e(t)-m\\Hl (p0iß)>0, тогда при выполнении условия

У = MiPoVoiß) + ^ операторное уравнение (9') в пространстве Н(0,Т) имеет единственное решение 0(t) е//(0,7).

Это решение найдено методом последовательных приближений по схеме

0n(O = G[0n-i(OL п = 1,2,3.

0(0 = lim 0П(О,

П-» СО где 0о(О произвольный элемент пространства Н(0,Т), и удовлетворяет оценке

71 р(0 - 0„(O||W ^ Y^1№о(0] - o0(t)\\H (10)

Найденное решение, 0(0 подставляя в формулу (8) находим решение нелинейного интегрального уравнения (5) u°(0 = <p[t,e(t),ß].

Управление u°(t) может претендовать на «оптимальность» лишь тогда, когда на этом управлении выполняется второе условие оптимальности (6). Это обстоятельство может повлиять на существование оптимального управления, т.е. если найденное управление и°(0 не удовлетворяет условию (6), то решение задачи нелинейной оптимизации может не существовать. Однако можно указать класс функций {p[t,u(0],0 < t < 7} , для которых условие (6) выполняется для любых функций и(О, в частности и для функций и0 (О

В §2.4 построено решение задачи нелинейной оптимизации виде тройки ( и0 (О, х), /[и°(0] ), где гг°(0 - оптимальное управление, оптимальный процесс, /[и°(0] — минимальное значение функционала.

Поскольку на практике найти точное решение нелинейного интегрального уравнения (9) не всегда удается, то строится приближенное решение, удовлетворяющее желаемой точности. Дальнейшие выводы получены при условии, что 0о(О — В этом случае оценка (10) приводится к виду к

И) т-вк(г)\\н<^\\с[в0т\н.

Оптимальное управление, его приближение определяются формулами и0СО = «Рв6(0.0], ^(0 = и удовлетворяют оценке

1|И°(0 - и*(011н < <Ро(Р)\\Ш - 0к(О||н- (12)

Оптимальный процесс, его приближение определяются формулами

00 I

1/°(^х) = ^ рп + I е-^-^гп(1)р[т,и°(т)]с1т п= 1 п

Уг ии

-Я^,/. I I Р-А„(С-т) п=1 и удовлетворяют оценке О е п*-фп + J е о гп(1)р[т, и^тДОт

72

Ро1|и°(0-%(011н- (13)

Минимальное значение функционала, его приближение определяются формулами

1 I и°(0] = 1[У(Т,х)-$(х)]2с1х + (] 1(и0Ю)2сН, /? > О, о о

1 т

1ЫМ] = |[К(7\х) - (О)]2 с1х + (3 I и2к /? > о, о о и удовлетворяют оценке и(0] - /К(0]| < С||и°(0 - ^(011/-/ (14)

С = {(2\\У(Т,х)\\н + 2\\ах)\\н) гм4Л

У2

Ро+2р\Ш\\нУ

В §2.5 рассчитан модельный пример, подтверждающий теоретические результаты.

В третьей главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации в случае двухстороннего управления процессом распространения тепла по стержню, причем функции граничного управления нелинейно зависят от векторного управления. Установлено, что оптимальное векторное управление удовлетворяет системе нелинейных интегральных уравнений и дополнительным условиям в виде системы неравенств. Разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость к точному решению по управлению, по оптимальному процессу и по функционалу.

В §3.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса в случае векторного нелинейного граничного управления = Ис* +/(*, *), (15)

У(0,х)=ф{х1 х 6 (ОД), (16)

1^0:, 0) = рЛ^-ВД], О < С < т,

Ух(1,1) + аУ(С, 1) = р2вй(0], о < I < Т, (17) где = {1*1 (0,1*2(0)' й(0 £ Я2(0,Г) - вектор - функция управления, £ Н(0,Т) функции нелинейно зависящие от вектор - функции управления , Н2 = Н х Н - декартово произведение пространств Н, остальные параметры имеют те же характеристики, и в краевой задача (1)-(3).

Построено слабо обобщенное решения краевой задачи (15)-(17) в виде с» £

УЬ,Х) = + I е[—гп(0)р1 [т,й(т)] + гп(1)р2[т,й(т)] + п=1 О т)]йт] гп(х), где 1рп, /п(т) - коэффициенты Фурье соответственно функций ~ф{х) и

В §3.2 сформулирована задача оптимального управления, где требуется минимизировать квадратичный интегральный функционал 1 т и(0] = I\У(Т, х) - (О)]2 (IX + /? I(и1 (0 + /? > О, о о е Я (ОД) заданная функция, на множестве решений краевой задачи (15)

17).

Установлено, что компоненты вектор - функции и(£)определяются как решение системы нелинейных интегральных уравнений вида их,и2)\и2(г)) оо Т , .

1=1 о оо 1

71 — 1

0) 1),/1п

1П,

18) где (?„(*,0) = -еХ"{1''\п(0), Спа 1) = -е11{Т'1\п(1) ; Э

Уг.Уг дра ди2 др2 др2 О, 6 [О, Г], ди2 и удовлетворяет дополнительным условиям

Пп1и1(->и1>и2) <

19) щ,и2) Пи2г11(-, щ, и2) ихи2 (пи1и1(-,и1|и2)Пи2и;!(-,и1,и2) и2и2'

-(Пи^Мциг > О,

20) где П и

1иг

•,и1,и2) = идр2 др2\д2р1 / дрл др1\д2р2 + Щ -— „ 0 + [и щ дщ ' дщ) ди2 ' V"2 дщ 1 ди2) ди2

Рг.Р 2\ Ущ, и2)

-1; п и

1 и2

-Щ дрг+и др2\ д2рг | / дщ Пх ди2) дщди2 V 2 дрг дщ Пх дщ) дщ ди д2р2

1ии.2 О щ,и2) П и2иг

•,и2 ,щ) =

-щ др2 дщ щ др2\ д2Рг | / дР^\ д2Рг дщ) ди гди2 щ дщ ди2) дщдщ щ,щ) п и2иг и2,щ) =

-щ др дщ

2 +и др2\ д2рг 1 ди2) дщдщ

V2 дщ Пх дщ) дщди дРЛ д2Р2

Р1,Р2\

1,

Р1.Р2 щ,щ дрг др2 дрг др2 0. дщ ди2 ди2 дщ Далее система (34) приводится к виду

0(О = С[0 (0] + Л(0, где

20) и

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия:

1. р[£,ВД] £ Н2(0,Т), УВД е я2(о,г);

2. \/С Е [О, Г];

3. ||р[£,ЭД]- р[^й(0]||Н2 < р0||й(0 — й(0||Н2, Ро > 0; (22)

4. II №,0(0,/?] - №,0(О,Д ||н2 <^о(Ю||ВД-ВД||н2- (23) Тогда при выполнении условия

У = МгРо<Ро(Р)(д + \ операторное уравнение (20) имеет единственное решение 0(0 £ Я2(0,Г).

Далее построены решение задачи нелинейной оптимизации в виде тройки х),1 (й°(0)) и его приближения к(0, У/с / (#/с(0))- Установлены следующие оценки р(0 - бк(0||Н2 ^ ^||С[0О(О] - 0о(О||Н2.

ВД - йкШ\Н2 < - 0*(О||н2.

УЦ,х)-Ук{1,х)\\2Н2<2ТМ1 + ^

ВД] - /[й*(0]| < С||й(0 + г£ЛсоIIн*> из которых следует сходимость приближенного решения задачи нелинейной оптимизации к точному при к оо.

В конце главы приведены численные расчеты, подтверждающие теоретические выводы.

1, Мх > 0,

24)

Ь2 ||й(0-йк(011н"

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Красниченко, Любовь Сергеевна

Выводы

Во третьей главе получены следующие результаты:

1. исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации в случае двухстороннем векторном управлении; установлено, что оптимальное векторное управление удовлетворяет системе нелинейных интегральных уравнений и дополнительным условиям в виде неравенств;

2. разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации и доказана его сходимость к точному решению по управлению, по оптимальному процессу и по функционалу

3. На модельном примере показана численная реализация полученных результатов.

4. Проведено исследование зависимости сходимости приближенных решений интегрального уравнения , оптимального управления, оптимального процесса и значения функционала от коэффициента /3

Заключение

В диссертации исследована задача нелинейной оптимизации тепловых процессов в случаях нелинейных граничных управлений и получены следующие результаты:

- найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и управления с одного конца;

- найдены достаточные условия разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне, в случае минимизации квадратичного функционала и векторного управления с двух концов;

- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных скалярных и векторных управлений и доказана его сходимость;

- теоретические выводы подтверждены численными расчетами которые проводились на модельных задачах управления тепловыми процессами.

- Проведено исследование зависимости сходимости приближенных решений интегрального уравнения , оптимального управления, оптимального процесса и значения функционала от коэффициента . Обнаружено, что изменение значения постоянной влияет на скорость сходимости приближенных решений задач нелинейной оптимизации, при уменьшении значения /?, скорость сходимости замедляется.

Отметим, что полученные результаты могут быть использованы в приложениях, а так же при разработке новых конструктивных методов решения задач нелинейной оптимизации систем с распределенными параметрами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Красниченко, Любовь Сергеевна, 2012 год

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев: УМК ВО, 1989. 244 с.

2. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса при смешанных краевых условий // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 2007. № 1. С. 66-80.

3. Алиферов, В.В. О приближенном решении задачи с точечными и граничными управлениями. / В.В. Алиферов, Ы. Каимкулов. //Математические методы оптимизации систем с распределенными параметрами. -Фрунзе: Илим, 1975. -С. 32-48.

4. Аргучинцев А. В. К поиску оптимальных граничных управлений в двумерных полулинейных гиперболических уравнениях // Модели и методы исследования операций. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — С. 50

5. Аргучинцев А. В. Оптимизация гиперболических систем с интегральными ограничениями на граничные управления // Изв. вузов. Математика. — 2004. № 1. - С. 10-17.

6. Аргучинцев А. В. Решение задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболической системы на основе точных формул приращения // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 12. — С. 23-29.

7. Аргучинцев А. В., Крутикова О. А. Оптимизация полулинейных гиперболических систем с гладкими граничными управлениями // Изв. вузов. Математика. 2001. - №2. - С. 3-12.

8. Аргучинцев A.B. Оптимальное управление начально-краевыми условиями гиперболических систем первого порядка // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 5. — С. 42-48.

9. Аргучинцев A.B. Оптимизация гиперболических систем с управляемыми начально-краевыми условиями в виде дифференциальных связей// Журнал вычислительной математики и математической физики. -2004. № 2. С. 287-296.

10. Асанова, Ж.К. Нелинейное точечное оптимальное управление процессом теплопередачи при минимизации кусочно-линейного функционала//Вестник. КГУ им. И.Арабаева. Сер. Естественные науки. -Бишкек, 2008. -Вып.11. -С. 18-22.

11. Асанова, Ж.К. Точечное подвижное нелинейное оптимальное управление тепловыми процессами при минимизации кусочно-линейного функционала. //Вестник. КГУ им. И.Арабаева. Сер. Естественные науки. -Бишкек, 2008. -Вып. 11. -С.23-27.

12. Бабат Г.И. Индукционный нагрев металлов и его промышленное применение. 2-е изд. М.; Л.: Энергия, 1965. 552 с.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с.

14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

15. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1979. №11. С. 16-65.

16. Васильев О. В. Принцип максимума JI.C. Понгрягина в теории оптимальных систем с распределенными параметрами // Прикладная математика. — Новосибирск, 1978. — С. 109-138.

17. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 552 с.

18. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-512 с.

19. Гантмахср Ф.Р. Теория матриц. М.: Госуд. изд-во техн.-теоретич. лит., 1957. 491 с.

20. Дженалиев М.Т., Сматов К.С. Последовательные приближения в задачах оптимизации параболическими уравнениями // Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 1999.С. 102-108.

21. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

22. Егоров А.И. Оптимальное управление линейными системами. Киев: Выща школа, Головное изд-во, 1988. 278 с.

23. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.504 с.

24. Егоров А.И., Знаменская J1.H. Управление колебаниями связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами// Журнал вычислительной математики и математической физики,- 2005. № 10.-С. 1766-1784.

25. Ильин В.А. Независимость оптимальных граничных управлений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий//Доклады AIT.-2008., Т420. №1.-С18-.

26. Ильин В.А. Теоремы о единственности обобщенных решений четырех смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями//Доклады АН. -2008., Т420. №2.-С162-.

27. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничного управления упругой силой на двух концах струны//Доклады АН.-2005., Т402. №2.-С163-169.

28. Квитко А.Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. № 7. - С. 1241-1250.

29. Керимбеков А. Нелинейное оптимальное управление тепловыми процессами //Наука и новые технологии. 2000. Бишкек. №2. С. 30-35.

30. Керимбеков А. О разрешимости задачи нелинейного оптимального управления процессом теплопередачи. //Тезисы докладов II-международной научной конференции «Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике». Бишкек, 2006. С. 72.

31. Керимбеков А. О разрешимости одной нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов //Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 2000. С. 151-158.

32. Керимбеков А. Приближенное решение нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов // Проблемы автоматики и управления. Бишкек: Илим, 2001. С. 58-65.

33. Керимбеков А., Джээнбаева Г., Шаршенова И. О разрешимости нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КГНУ, серия 3. Естественно-технические науки. Бишкек, 2001. Вып. 7. С. 30-34.

34. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. О разрешимости нелинейной задачи оптимального управления процессами, описываемыми полулинейными параболическими уравнениями //Вестник КРСУ. Бишкек. 2010. Т.Ю. №9. С.47-52.

35. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Оптимальное управление процессом теплопередачи, описываемое уравнениями с разрывными коэффициентами. // Исследования по интегрально-дифференциальным уравнениям. Выпуск 40. Бишкек: Илим, 2009. 302 с.

36. Керимбеков А., Урывская Т.Ю. Слабо-обобщенное решение уравнения теплопередачи с разрывными коэффициентами. //Вестник КРСУ. Бишкек, 2010. Т.Ю. №5. С.140-142.

37. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. О разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике. Бишкек, 2011. С.76-79.

38. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С.183-186.

39. Керимбеков, А. Нелинейное оптимальное управление линейными системами с распределенными параметрами: Дисс. докт. физ.-мат. наук. Институт математики НАН КР. /А.Керимбеков -Бишкек, 2003. -224 с.

40. Керимбеков, А. Асанова, Ж Нелинейное оптимальное управление тепловыми процесссами при точечных подвижных источников. //Поиск. Научное приложение международного журнала «Высшая школа Казахстана»

41. Министерства образования и науки Республики Казахстан. Сер. Естественных и технических наук. -Алмата, 2009. -Вып.№1. -С.201- 205.

42. Керимбеков, А. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации процессов теплопередачи при подвижных точечных источниках //Исследования по интегро дифференциальным уравнениям. -Бишкек: Илим, 2008. -Вып. 39. -С. 113-117.

43. Красниченко JI.C. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при векторном граничном управлении // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С.179-182.

44. Краснов М.В. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 303 с.

45. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.400 с.

46. Ладыженская O.A. Краевые задачи математический физики. М.:Наука, 1973. 408 с.

47. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.

48. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.520 с.

49. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипагивных структур. М.: Наука, 1987. 352 с.

50. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. 2-е изд., перераб. и доп. М: Наука, 1983. 424 с.

51. Плотников В.И. Энергетические неравенство и свойства переопределенности системы собственных функций // Изв. АН СССР, сериямат. 1968. Т. 32. №4. С. 743-755.

52. Потапов М.М. Приближенное решение задач граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня // Журнал вычислительной математики и математической физики,- 2005. № 6. -С. 1015-1032.

53. Пузырев В.А. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. 1975. №7. С. 38-57.

54. Садовничий В.А. Теория операторов. 2-е изд-е. М.: Изд-во МГУ, 1986. 368 с.

55. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. 497 с.

56. Смышляев П.П., Лыкосов В.М., Осипков Л.П. Управление технологическими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 284 с.

57. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I //— 2002. — Т. 38, № 3. — С.393-403.

58. Тихомиров В. В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II // Дифференциальные уравнения.— 2002. — Т. 38, №4. — С. 529-537.

59. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

60. Урывская Т. 10. О разрешимости одной задачи оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала // Вестник КРСУ. Бишкек: 2010. Т.10. №9. С.52-56.

61. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

62. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 376 с.

63. Kerimbekov A., Asanova Zh. Dot Active Nonlinear Optimal Control Thermal Processes at Minimation Piecewise-Linear Functional. //Actual Problems of Control Theory, Topoloqy and Operator Equations.-Aachen: Shaker Verlaq, 2009.-P. 133- 138.