Математические модели и методы исследования локальной оптимальности нелинейных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кузнецов, Алексей Викторович

• Кузнецов, Алексей Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов, Алексей Викторович

Оглавление

Введение

Глава 1 ЛОКАЛЬНАЯ ОПТИМАЛЬНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ

1.1 Построение моделей для некоторых реальных процессов

1.2 Постановка математической проблемы и её решение

1.3 Необходимые и достаточные условия локальной оптимальности

1.4 Различные случаи формы управления в системе

1.5 Случай нефиксированных моментов переключения управления

1.6 Поиск оптимального управления градиентным методом

Глава 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

2.1 Условия знакоопределенности форм высшего порядка

2.2 Знакоположительность форм высшего порядка двух переменных 50 Глава 3 УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Существование постоянного управления

3.2 Существование кусочно-постоянного управления

3.3 Разрешимость задачи управления при различных условиях

4.1 Моделирование условий существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решении системы дифференциальных уравнений

4.2 Применения теории знакоположительных форм

4.3 Моделирование управляемых систем в различных условиях свободы

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы исследования локальной оптимальности нелинейных систем управления»

Введение

Актуальность темы. В представленной работе изучаются математические и прикладные аспекты нелинейных моделей, приводящих к управляемым системам дифференциальных уравнений. Правая часть получаемых систем предполагается непрерывной по фазовым переменным и управлению.

Необходимость решения подобных задач возникает при математическом моделировании управляемых процессов физического, химического, биологического, экономического и других типов и подтверждается динамичными научными исследованиями

[12,18,20,45,46,48,53,55,69,80,81,96]1, в виду наличия в модели процесса того или иного набора управляющих параметров, варьируя которые требуется получить наилучший результат по определенному критерию. Так, в модели реактивного движения подобными параметрами могут быть направление тяги и ее величина, а возможным критерием качества - расход топлива необходимый для определенного маневра, в моделях химических реакций этими параметрами могут являться массы реагентов и катализатора, температура, а критерием - концентрация или масса тех или иных соединений полученных в ходе химических реакций, в биологии модель «хищник-жертва» допускает управление численностью различных популяций или изменение условий среды обитания с целью поддержания баланса численностей данных видов, а в экономике такими управляющими параметрами являются размеры инвестиций в различные отрасли, налоги и т.п., а целевой функцией - максимизация прибыли, минимизация штрафа или другой экономический показатель.

Теория управления, а также ее раздел теория оптимального управления прошла огромный путь от «простых» задач поставленных еще Бернулли, Эйлером и другими классиками науки до современных глобальных проблем анализа сложных систем [26,36,65,74], в которых особенностью

1 Список литературы в конце работы приведен в алфавитном порядке.

3

исследований, как и настоящей работы, является многомерность фазового пространства и пространства управляющих переменных в соответствующих моделях, и что особенно важно - нелинейность исследуемых моделей.

Актуальность исследования заключается и в том, что на качество управления накладываются определенные ограничения, отражающие ограниченность возможностей приборов управления объектом или системой.

Так при создании приборов, управляющих какими-либо детерминированными процессами, в силу их технических характеристик приходится ограничивать тип управляющих воздействий. Например, запуск и отключение ракетного реактивного двигателя не могут производиться слишком часто. Сила тяги двигателя тоже не всегда может быть изменена. В электропоездах и тепловозах тоже имеются ограничения по варьированию тяги. В связи с этим возникает актуальная задача нахождения оптимального (в смысле некоторого критерия) управления из класса управлений, удовлетворяющих принятым ограничениям.

Большинство результатов по данной теме относятся к решению задач в достаточно широких классах управлений, таких как ограниченные, кусочно-непрерывные или измеримые вектор - функции [52]. Эти классы возникают по существу в математической теории управляемых систем при доказательстве существования решения в том или ином классе функций. В прикладных задачах подобные решения могут быть реализованы только приблеженно или с определенной погрешностью. Это связано также и с тем, что в реальных задачах решение не может быть получено в аналитическом виде или его вид не допускает простой реализации. Тогда решение приходится получать численным методом.

Это влечет за собой погрешности вычислений, погрешности вычислительных схем и т.п. При решении на ЭВМ рассматриваемых задач даже в классе непрерывных функций эти погрешности приводят к тому, что условие оптимальности полученных управлений выполняется только приближенно. Как было замечено [см. напр. 66, 89], в прикладных задачах

управления, при определенных допусках, могут быть выбраны из класса кусочно-постоянных функций. А в экстремальных задачах сами точные решения, как правило, принадлежат данному классу. Это подтверждает полезность и осмысленность решения указанных выше задач в классе кусочно-постоянных функций.

Таким образом, упрощение типа управления по-прежнему является актуальной задачей.

Следуя такому подходу, в данной работе класс управлений изначально предполагается состоящим из ограниченных, кусочно-постоянных вектор-функций. Вид подобных управлений упрощает практическое применение результатов в технических системах.

Не менее важной задачей является поиск самих решений задачи управления при краевых условиях, т.е. разрешимость задачи управления, так как на основе ее мы можем пытаться улучшать имеющиеся решения. В свете вышесказанного разрешимость понимается также в классе кусочно-постоянных функций. Данная задача ранее решалась в работе [32].

В отличие от указанной работы, где для нахождения кусочно-постоянного управления используется фундаментальная система решений, автором применен метод сжимающего оператора для доказательства разрешимости в классе кусочно-постоянных функций, нахождение фундаментальной системы решений не требуется и рассмотрены возможные варианты размерности вектора управления.

Таким образом, тема заявленного исследования по отысканию условий оптимальности управлений из класса кусочно-постоянных вектор-функций для нелинейных моделей управляемых процессов, а также разрешимость краевой задачи в указанном классе для линейных нестационарных моделей, является весьма актуальной.

Степень разработанности темы исследования. Математическая теория управления, и в частности, теория оптимального управления, возникшая из потребностей развития техники, ныне успешно развивается,

находя новые области применения результатов и совершенствуя методы исследований в областях, уже традиционно относящихся к ее приложениям [2,7, 9, 11, 12, 26, 34, 35, 41, 46, 51, 55, 60, 76, 78, 89,102].

Теория необходимых условий в классическом вариационном исчислении и в теории оптимального управления получила исчерпывающее решение в работах [11,20,33,46] , а также в работах, ныне ставших классическими [28,29,37,54,73]. В теории достаточных условий важные результаты получены в работах [11,20,26,27,33,46]. Но эта часть теории управления пока не столь завершенная, в отличие от теории необходимых условий [36].

Максимальным, в определенном смысле, классом управлений и(7), с учетом возможных операций над управлениями из этого класса, является класс ограниченных, измеримых вектор-функций [61]. В силу его обширности в приложениях обычно рассматриваются подмножества рассматриваемого класса, такие как класс непрерывных или кусочно-непрерывных, ограниченных функций. Поскольку возможна аппроксимация с приемлемой точностью функций из этих классов кусочно-постоянными Нгунктшями кпясс допустимых уппавлений может быть сужен ло класса

1 ' --У - Г 1 ^ * X *

ограниченных, кусочно-постоянных вектор - функций. При таком сведении задачи оптимального управления к конечномерной задаче возникает проблема определения знакоположительности форм многих переменных высшего порядка. Полное исследование подобных форм к настоящему времени имеются лишь для форм второго порядка от произвольного количества переменных.

Структуре однородных форм четвертого порядка посвящена работа Мамонова С.С. [57].

Важной задачей, относящейся к математической теории управления, является поиск условий разрешимости краевой задачи или (в другой терминологии) задача управляемости системы. Эта задача имеет принципиальное значение в связи с тем, что большинство теорем

существования оптимальных управлений использует факт наличия допустимого управления, разрешающего краевую задачу, то есть непустоты класса допустимых управлений [33, 87].

Общая задача управления для нелинейной системы рассматривалась многими авторами [5,31,32,44,59,60,85,86,92,101], но не получила полного решения в силу её колоссальной сложности. Решения получены лишь в некоторых частных случаях.

В работе [82] получены условия управляемости для линейных систем в классе управлений с переключениями. Дано геометрическое описание множеств достижимости.

Управляемость для линейных и квазилинейных систем изучалась в работе [44], в которой для линейной системы вида х = A(t)x + B(t)u + w(t) , x(tа) = ха, x(tр) = хр задача управления рассматривалась как проблема

моментов. Получены необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, определена зависимость решения от краевых условий. Решается задача управления для квазилинейной системы х = f(t,x) + g(t, х)и, x(ta ) = ха, x{tp) = 0 в окрестности нулевого

решения. Одним из предположений относительно данной системы является полная управляемость системы линейного приближения на отрезке [ta,tp].

Методом последовательных приближений доказывается существование управления релейного типа, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального управления на величину второго порядка малости по \ха |.

В работах [4, 5] изучались управляемые системы квазилинейного типа х = A(t)x + b(t)u +¡jf(t,x) , x(ta) = ха,x(tp) = 0, где предполагалась полная

управляемость системы первого приближения. Для данного класса систем указан итерационный метод построения оптимального управления.

Проблеме синтеза управлений, разрешающих задачу перехода из одного фазового состояния в другое, большое внимание уделялось в работах

[32, 33, 38]. Для линейных и квазилинейных систем, в ряде случаев, авторами найдена конструкция управления в синтезированной форме.

В работах [61, 62] исследуются системы вида х = /(х) + Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, формулируются необходимые и достаточные условия управляемости нелинейной системы в малом.

В работе [86] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы.

Устойчивость управления по параметру исследуется в работах [83, 85].

Поиск управлений методом вариации промежуточной точки предлагается в работе Терехина М.Т. [84].

В работах Мамонова С.С. [55, 56] решается задача существования предельных циклов 2-го рода в дифференциальных системах.

Метод приращений на траекториях применен в монографии [20].

Теория приближенных методов решения оптимизационных задач начала бурно развиваться в связи с применение вычислительной техники, так как этот тип задач является чрезвычайно трудоемким. Подобные исследования проводились в колоссальном объеме, что было связано с насущными потребностями техники, военной отрасли, космонавтики, атомной энергетики, а также многих других отраслей [9, 13, 15, 22, 25, 30, 34, 35, 43, 48, 51, 64, 67, 69, 75, 76, 77]. Были также проведены исследования теоретического обоснования применяемых численных методов [1, 14, 47, 63, 66, 89], но в этой области еще пока нет полностью исчерпывающих проблему результатов, хотя подобные попытки неоднократно проводились [47, 66, 71, 94]. Наряду с универсальностью метода решения задач оптимизации, например методом штрафов, свойства функций существенно ухудшаются, что приводит либо к чрезмерным вычислительным затратам либо нарушает сходимость метода вообще.

В данной работе для определенного типа управляемых систем задача численного поиска оптимального управления из класса кусочно-постоянных функций решалась методом сопряженных градиентов с проекцией на множество допустимых управлений. Для исключения эффекта зацикливания применена коррекция шага метода.

Сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [8,10, 72, 90, 93, 98, 103], по качественной теории и управлению - из [6, 68, 95, 97, 100,105], по функциональному анализу - [24, 39, 40, 57,79,88,91], по линейной алгебре - из [21, 23, 49, 50], по механике и космической технике -из [3,7, 13, 15,16, 17, 30, 54, 56, 58, 77, 99], по численным методам - из [19, 42, 104].

Цель работы. Целью диссертационной работы является повышение качества управления реальными объектами за счет сужения класса управлений, которое, в свою очередь, приводит к упрощению алгоритмов, уменьшению объемов программных комплексов, сокращению времени программной реализации и, в конечном счете, к экономической выгоде.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие оригинальные результаты:

- предложен метод исследования системы на оптимальность сведением задачи к алгебраической задаче исследования однородных форм высшего порядка;

- построена модификация алгоритма численного поиска оптимального управления на основе точных формул для дифференциала критерия качества траектории динамической системы;

- разработаны методы преобразования управления, позволяющие удовлетворить требованиям на размерность пространства управляющих функций;

- для разрешимости краевой задачи приведены условия достаточного типа, не использующие, в отличие от традиционного подхода,

фундаментальную систему решений, а использующие только свойства коэффициентов исходной системы.

Теоретическая и практическая значимость работы. Значимость проведенной работы состоит в том, что она позволяет:

- повысить эффективность исследования на оптимальность систем, получаемых при математическом моделировании различных конкретных детерминированных процессов в технике, космической практике, прикладной физике, производственной химии;

- упростить исследование на разрешимость краевой задачи для линейной нестационарной системы в классе кусочно-постоянных управлений;

- получить численные решения задачи оптимального управления с некоторым достаточно малым приближением.

Методология и методы исследования. Методы достижения заявленной цели относятся к разделам алгебры, дифференциальных уравнений, функционального анализа и оптимального управления. Первая задача в рамках теории дифференциальных уравнений решается путем сведения к конечномерной задаче, и последующему вычислению экстремума полученной функции нескольких переменных. Вторая задача решается в рамках теории управления с помощью конструктивного построения последовательности кусочно-постоянных вектор-функций, сходящейся по определенной мере к управлению с требуемыми свойствами. Решение третьей задачи достигается математическим и компьютерным моделированием функционирования реальных систем. При доказательстве теорем, обосновывающих выбранную методику, используются известные результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, алгебры, а также собственные результаты.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Математические модели конкретных технических систем с управлением и методика их построения.

2. Обоснование применения кусочно-постоянного управления системами.

3. Математический аппарат исследования моделей на оптимальность управления. Необходимые и достаточные условия оптимальности рассматриваемого кусочно-постоянного управления. Сведение задачи исследования на оптимальность управления к исследованию форм высшего порядка на знакоопределенность. Достаточные условия разрешимости краевой задачи для линейной нестационарной системы в классе кусочно-постоянных управлений.

4. Численные методы решения задач. Программная реализация поиска оптимального управления для моделей рассматриваемых технических систем и объектов.

Апробация диссертации. Основные результаты работы многократно докладывались на научном семинаре в Рязанском государственном радиотехническом университете под руководством д.ф.-м.н., профессора Миронова В.В., на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете под руководством д.ф.-м.н., профессора Терехина М.Т., на X Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Пущино, на VII и XVI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании», на заседаниях Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы», на III Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Тула.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [106-116].

Внедрение результатов работы. Исследования по тематике диссертации проводились в рамках общего научного направления,

реализуемого на кафедре Высшей математики РГРТУ в лаборатории системного анализа под руководством проф. Миронова В.В.

Результаты исследований, подтвержденные соответствующими актами, внедрены:

- в филиале ФГУП ЦСКБ-Прогресс (г. Самара) - Особом конструкторском бюро «Спектр» (г. Рязань);

- на Государственном Рязанском приборном заводе (г. Рязань). Степень достоверности результатов. Достоверность научных

результатов, вынесенных на защиту, подтверждена

- квалифицированным рецензированием публикаций;

- апробацией предложенной методики на конкретных моделях, результаты которой согласуются с экспериментальными данными;

- разработкой действующих программных средств;

- наличием актов внедрения исследований в производство.

Глава 1 ЛОКАЛЬНАЯ ОПТИМАЛЬНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ

1.1 Построение моделей для некоторых реальных процессов

В данной главе получены необходимые и достаточные условия оптимальности управлений из некоторого их класса. Приведен ряд конкретных задач для моделей экономического, биологического и химического типов. Содержится постановка обобщающей математической проблемы, вводятся основные определения, доказываются необходимые утверждения. Доказаны различные теоремы о необходимых и достаточных условиях локальной оптимальности управлений из определенного их класса. Рассмотрен специальный класс управляемых систем, для которых доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях локальной оптимальности управления. Случай с нефиксированными моментами времени переключения управления сводится к случаю фиксированных моментов времени переключения управления.

А. Модель движения космического летательного аппарата.

Рассматривается модель летательного аппарата (ЛА) с учетом гравитационной силы, сопротивления воздуха, реактивной тяги двигателя, подъемной силы и аэродинамического момента [70]:

Пусть движение происходит в экваториальной плоскости за счет тяги создаваемой реактивным двигателем при выгорании топлива, гравитационную силу рассматриваем как mg , влияние атмосферы учитывается в виде лобового сопротивления X , подъемной силы Y и аэродинамического момента Mz. Тогда соответствующие зависимости могут быть заданы в виде системы дифференциальных уравнений:

Р X

V = а>1 г sin 3 + — cos а---g{r) sin 3,

т т

С03.9 ,

г = v бш 3, т = -щ .

В этой системе г = г3 + к , где гг - радиус Земли, к - высота полета; Я -долгота; <р - угол тангажа (угол между горизонтом и продольной осью ЛА); у - скорость центра масс ЛА относительно Земли; а>г - угловая скорость вращения Земли; 3 - траекторный угол (между горизонтом и вектором скорости центра масс); <р = а + 3, где а - угол атаки; - момент инерции ЛА; g - гравитационное ускорение; их - скорость выгорания топлива; Р = -ум, , где V - относительная скорость истечения газов из сопла двигателя (предполагается постоянной).

В рассмотренной системе первые шесть уравнений описывают движение ЛА с тремя степенями свободы, а последнее уравнение - работу двигателя.

Критерием качества управления можно считать минимум расхода

Б. Движение космического аппарата (КА) (плоское движение).

Зададим следующие показатели движения КА: х,, х2 - координаты положения центра масс, х3, х4 — проекции вектора скорости,

'о

и,

- величина тяги двигателя

и

величина угла наклона вектора тяги к направлению х,,

^(м,) - секундный расход массы в реактивном двигателе,

т - масса КА.

Уравнения динамики изменения этих переменных могут быть записаны в виде системы дифференциальных уравнений:

< х3 = —(<рх + их С08и2) , т

х4 = —{<р2 + Щ 51П Ы2 )

т

т = -F(м1)

где (рх,(р2 - суммарные силы сопротивления атмосферы, тяготения и т.п. (зависят от конструкции КА).

Критерием оптимальности служит минимум расхода топлива:

-» П11П .

'о

Для некоторых типов двигателей КА тяга существенно ограничена в изменении либо постоянна по величине. Изменение вектора тяги тоже может иметь ограничения (нежелательность частого изменения направления вектора тяги) так как это существенно сказывается на точности направления.

Таким образом, исходная задача ставится в предположении кусочно-постоянного векторного управления.

В. Управление движением электропоездов с релейно-контактным управлением и подвижным составом с дискретным регулированием силы тяги.

Уравнение движения состава может быть задано в виде дифференциального уравнения:

где / - сила тяги поезда, м>0 - основное сопротивление движению поезда, - дополнительное сопротивление движению поезда, Ъ - сила торможения тормозной системы поезда. Сила тяги поезда может меняться, но ограниченно. Основное сопротивление движению складывается из сопротивления воздуха, трения в колесных парах и т.п. Это силы, которые замедляют движение независимо от профиля полотна. Для практических задач вид основной силы сопротивления задается формулой:

где коэффициенты определяются экспериментально для конкретного типа поезда. Дополнительное сопротивление движению возникает при движении поезда на спусках, подъемах, поворотах, т.е. зависит от типа поезда и характеристик участка пути, здесь учитываются такие показатели пути как угол наклона (ската), кривизна пути. Также в нем учитывается сопротивление за счет ветра, низкой температуры и т.п.

Критерием оптимальности является минимальность энергозатрат на прохождение за фиксированное время данного участка пути:

Рассмотрим модель взаимодействия двух группировок. Объем первой обозначим величиной у(1:) , объем второй - . Если их численности

w0 (v) =k0+k{v + k2v2,

где ¡л - к.п.д. двигателя, fis) - сила тяги на участке пути 5.

Г. Взаимодействие двух противодействующих группировок.

достаточно велики, то к ним применима непрерывная модель, то есть, х(7), у{I) - непрерывные функции времени t е [О, Т] . Предполагаем, что прирост одной из групп пропорционален ее текущему объему, где коэффициент пропорциональности зависит от объема противодействующей группы. Также предполагается, что скорость роста другой группы пропорциональна объему рассматриваемой группы в текущий момент с коэффициентом пропорциональности зависящим от объема противодействующей группы. Помимо линейной части могут присутствовать нелинейные слагаемые в обоих случаях. Подобная система может быть смоделирована, с учетом сделанных замечаний о достаточной численности обеих групп, в виде системы дифференциальных уравнений:

скх

— = К(У)Х + 8\(Х>У)> М

~ = k2(x,y)y + g2(x,y). м

Ограничения на коэффициенты данной системы накладываются исходя из практических соображений. Для исследуемой системы определим характеристику вида:

т о

отражающую некоторые свойства системы проявляемые в течение всего процесса наблюдения. Аналогичная система с возможностью управления скоростью роста какой-либо из групп может быть записана в виде системы дифференциальных уравнений с управлением и(/):

сЬс

— = к1 (и, у)х + gl (х, у, и), м

= 0и, х, у)у + О, у, и).

Си

Ставится задача - исследовать на локальную оптимальность некоторое управление и{) (7) из определенного класса функций, по отношению к функционалу

1.2 Постановка математической задачи

Отвлечемся от конкретного содержания моделей предыдущего параграфа и рассмотрим общую для всех моделей математическую сущность этих процессов. А именно, рассмотрим управляемую систему как систему дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

^ = f(t,у,со), (1.1)

at

УМ = Уо> (1-2)

в которой f(t,y,co),y(t) - это непрерывная по совокупности всех аргументов п - мерная вектор-функция, определенная на множестве G = [i0, Г] х 91" х 9Г" , у - y(t) - неизвестная дифференцируемая вектор-

1 ____ Г j rj-f-j / 1

функция, определенная на ц0,1 j, ш — uj\l) — это т -мерная вектор-функция, определенная на [i0, Т].

Введем в рассмотрение следующие традиционные обозначения необходимые для дальнейшего анализа: ||v|| = max|v( | - чебышевская норма

вектора, ||М|| = sup|Mz| - чебышевская норма матрицы М, ||N(-)|| = sup ||N(0||

|z|<l <Фо,П

- норма матрицы N{t) , определенной и ограниченной на отрезке [i0, Т] , \R\ = sup ||i2(/, х,м)|| - норма матрицы R(t,x,u), определенной и ограниченной

xeW(r) ueU (г*)

на множестве [?0,Г]х W(r)xU(5*), ||м(-)|| = sup \u(t)\ - чебышевская норма

<Фо.П

вектор-функции, определенной и ограниченной на заданном отрезке [i0, Т],

W(r) = {jc e Rn : |x| < r} , U{8*) = \u e Rm : \u\ < 8*} , где 8* > 0 - некоторое число. Для сокращения записи примем ||w(-)|| = \и\.

Определение 1.1. Пусть co{t) - кусочно-непрерывная на [t0,T] вектор-функция. Пару {o)(t),y(t)} назовем допустимым управляемым процессом, решающим задачу (1.1), (1.2), если y{t) - непрерывная кусочно-дифференцируемая на [tQ, Т] вектор-функция, удовлетворяющая системе (1.1) в точках своей дифференцируемости при со = co{t), причем выполняется априори заданное начальное условие y(t0) = у0.п

Определение 1.2. Пусть hit, у, со) - непрерывная по совокупности всех своих аргументов функция, заданная на множестве G .Пусть \p{t),y{t~)} допустимый управляемый процесс, решающий задачу (1.1), (1.2).

Тогда вектор-функцию co(t) назовем локально оптимальным

управлением, доставляющим локальный минимум функционалу

т

АуМ = \h(t,y{t),ca{t))dt, (1.3)

'о

если существует такое число 8 > 0 , что для любого допустимого управляемого процесса {co(t),y(t)} , разрешающего задачу (1.1), (1.2),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов, Алексей Викторович, 2013 год

Список литературы

1. Акуленко JLД. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987.- 368 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.-432 с.

3. Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В. А. Маневрирование космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1970— 354 с.

4. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 3. С. 430-442.

5. Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. Синтез систем управления с минимальной энергией // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № Ю. С. 1611-1616.

6. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. 1987. — 157 с.

7. Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965.-340 с.

8. Барбашина Е.Е. Компактная формула третьей вариации и необходимые условия оптимальности // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. №3. С. 414-415.

9. Белецкий В.В. Очерки по механике космического полета. М.: Изд-во ЖИ, 2000,- 432 с.

10. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991.-303 с.

11. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.-408 с.

12. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972 - 544 с.

13. Бурдаков В.П., Зигель Ф.Ю. Физические основы космонавтики. М.: Атомиздат. 1975. - 618 с.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988 - 552 с.

15. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986 - 560 с.

16. Вершинский C.B., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. М.: Транспорт, 1991 - 359 с.

17. Воронин Е.А. Обеспечение надежности электрооборудования в сельском хозяйстве/ Диссертация докт. техн. наук. М.: МГАУ, 1996.

18. Воронин Е.А., Зимнов С.С.. Математическое обоснование алгоритма оптимального управления системами обеспечения микроклимата производственных помещений сельскохозяйственного назначения. // Вестник МГАУ 3(28), 2008. С. 14-17.

19. Воронин Е.А., Захаров Д.Н. Построение самообучающихся графов динамических систем с сосредоточенными параметрами //Международный технико-экономический журнал. 2013, № 1. С. 67-69.

20. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.-501 с.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : ГИТТЛ, 1953.- 492 с.

22. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986.- 152 с.

23. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., 1971. -

354 с.

24. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. -460 с.

25. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Л., Токарев В.В. Механика космического полета (Проблемы оптимизации). М.: Наука, 1975. -418с.

26. Громов Ю.Ю., Земской H.A., Лагутин A.B., Иванова О.Г., Тютюнник В.М. Специальные разделы теории управления. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2007. - 108 с.

27. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. М.: Наука, 1977.- 304 с.

28. Дубовицкий А .Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления. М.: Наука, 1971.- 120 с.

29. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журнал выч. мат. и мат. физ., 1965. т. 5. № 3. С. 395-453.

30. Елисеев A.C. Техника космических полетов. М.: Машиностроение, 1983. - 372 с.

31. Землякова Л.С. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С 64-71.

32. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975,

495 с.

33. Зубов В.И. Теория оптимального управления Л., 1966. -

378с.

34. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981 - 336 с.

35. Иванов Н.М., Лысенко Л.Н., Мартынов А.И. Методы теории систем в задачах управления космическим аппаратом. М.: Машиностроение, 1981. - 544 с.

36. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.-470 с.

37. Калман P.E. Об общей теории систем управления // Труды I Международного конгресса ИФАК, Т. 1, 2, М.: Изд-во АН СССР, 1961.

38. Канарев J1.E. О синтезе оптимального по быстродействию управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1962. № 2.

39. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.- 572 с.

40. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1982. - 543 с.

41. Корячко В.П., Курейчик В.М., Норенков И.П. Теоретические основы САПР М.: Энергоатомиздат, 1987. -400 с.

42. Корячко В.П., Таганов А.И., Таганов P.A. Методологические основы разработки и управления требованиями к программным системам. - М.: Горячая линия-Телеком, 2009. - 224 с.

43. Красовский H.H. Теория управления движением. М., 1968, - 476 с.

44. Красовский Н,Н= Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.-520 с.

45. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. - 448 с.

46. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Николаичев А.Н. Математические модели нелинейных динамических процессов в социологии // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. М.: Прогресс-Традиция. 2000. С. 437.

47. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.М.: ГИФМЛ,1963.^132 с.

48. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Мир, 1978. - 280 с.

49. Лебедев A.A., Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. - 200 с.

50. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968.- 192 с.

51. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.-360 с.

52. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972 - 576 с.

53. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.:Физматлит,1961. -

824 с.

54. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 510 с.

55. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.1 / С.С. Мамонов // Дифференци-альные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 5. - С. 637-646.

56. Мамонов С.С. Условия существования предельных циклов второго рода системы дифференциальных уравнений.П / С.С. Мамонов // Дифферен-циальные уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1075-1084.

57. Мамонов С.С. Структура однородных форм четвертого порядка / С.С. Мамонов // Известия Российской академии естественных наук. Диффе-ренциальные уравнения. - Рязань : Изд-во РГПУ, 2001. -№5.-С. 108-111.

58. Меньшиков В.А., Медведев A.A., Силантьев А.Ю. Стохастическое дифференциальное моделирование сложных технических систем. - М.: Наука, 1999 - 326с.

59. Минюк С.А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 3. С. 414^420.

60. Миронов В.В., Северцев H.A. Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением // ВЦ РАН. М.:-РУДН, 2002,- 165 с.

61. Митрохин Ю.С. Об управляемости в малом линейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Труды Рязанского радиотехн. ин-та. Рязань, 1976, Вып. 69. С. 25-30.

62. Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1985. С. 61-70.

63. Моисеев A.A. Оптимальное управление при дискретных управляющих воздействиях //Автоматика и телемеханика. 1991. №9. С. 123-132.

64. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.-410 с.

65. Моисеев H.H. Введение в теорию оптимальных систем. М.: Наука, 1975.-226 с.

66. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.-420 с.

67. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971 - 424 с.

68. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ТИТЛ, 1949 - 550 с.

69. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990.-445 с.

70. Парусников H.A., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982 — 376 с.

71. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.-374 с.

72. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965,- 332 с.

73. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1969.-384 с.

74. Приставко В.Т. Матричные модели управления. СПб: Изд-во НИИ химии СПбГУ. 2001.- 254 с.

75. Раушенбах Б.В., Токарь E.H. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974 - 598 с.

76. Ревкова Н.Д. Задача оптимального управления для одной модели из микробиологии // Научные труды мат. факультета Mill У. М.: Прометей, 2000. С. 141-143.

77. Ричарде П.Б. Современное состояние механики космического полета. М.: Наука, 1969 - 240 с.

78. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.-552 с.

79. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973- 470 с.

80. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавсккй Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984 - 304 с.

81. Седых Л.Г. Математическая модель процесса регулирования активности поверхностно-активных веществ // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. научн. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1985. С 61-70.

82. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.:Наука, 1975. - 280 с.

83. Терехин М.Т. Об устойчивости управления по параметру. // Известия высших учебных заведений. Математика. 2000. № 9 (460). С. 38-46.

84. Терехин М.Т., Землякова Л.С. Метод вариации промежуточной точки для исследования управляемости системы

дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1994. С. 116-124.

85. Терехин М.Т., Землякова JI.C. Об управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1995. С. 141-150.

86. Тонков E.JI. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38, вып. 4. С. 599-606.

87. Тонков E.JI. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 14. № 2. С. 269278.

88. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Высшая школа, 1980.- 495 с.

89. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. -М.: Наука, 1978. - 488 с.

90. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985 - 224 с.

91. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. I - 608 с.

92. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974 - 368 с.

93. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.- 720 с.

94. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968 - 400 с.

95. Цирлин A.M., Балакирев B.C., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов -М.: Наука, 1984.-440 с.

96. Черноруцкий Н.Г. Методы оптимизации в теории управления: учебное пособие. СПб: Питер, 2004. - 256 с.

97. Чудинов В.В., Морозкин Н.Д. Управляемость одной эволюционной системы // Вопросы мат. моделир. и мех. сплош. сред. 2000. № 5. С. 73-77.

98. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Качественная теория с приложениями). М.:Мир,1986. -246с.

99. Banach S. Mechanics. Warszawa, 1951. - 533s.

100. Barnett S. Introduction to mathematical control theory. Oxford University Press, Oxford, 1975 - 422s.

101. Halkin H. A new existence theorem in the class of piecewise continuous control functions. // Control Theory and the Calculus of Variations, Acad. Press, 1969 - 231s.

102. Kirk E.D. Optimal control theory. 1970. - 452s.

103. La Salle J.P., Lefschetz S. Nonlinear differential equations and nonlinear mechanics. Academic Press Inc., New York, 1963- 316s.

104. Moore, H. MATLAB for engineers, Prentice Hall, 3rd ed ; 201). -656s.

105. Sun Zhendong, Ge S.S., Lee Т.Н. Controllability and reachability criteria for switched linear systems //Automatica. 2002.38, № 5.

106. Кузнецов A.B. О некоторых достаточных условиях оптимальности управления // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. №6. С. 55-61.

107. Кузнецов А.В. Об одной задаче оптимального управления (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 7-й всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и

специалистов (Рязань, 24-26 апреля 2002 г.). Рязань: Изд-во РГРТА, 2002. С. 20-21.

108. Кузнецов A.B. Об одном методе исследования задачи оптимального управления (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции (Тула, 20-22 ноября 2002 г.). Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. С. 40-41.

109. Кузнецов A.B. Об одной оптимизационной задаче // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Отв. ред. И.П. Гиривенко Рязань: РГПУ, 2002. С. 72-74.

110. Кузнецов A.B. Об управляемости систем дифференциальных уравнений // Математические методы в научных исследованиях: Сб. научных трудов. Рязань: Изд-во РГРТА, 2004. С. 34-38.

111. Кузнецов A.B. Об одном алгоритме решения задачи оптимального управления (тезисы доклада) // Математика. Компьютер. Образование. (Пущино, 20-25 января 2003 г.) Тезисы докладов X международной конференции / под ред. Г.Ю. Ркзниченко. М., 2003. С. 127.

112. Кузнецов A.B. О методе сведения задачи оптимального управления к конечномерной задаче (тезисы доклада) // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 26 января-2 февраля 2003 г.). Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003. С. 138.

113. Кузнецов A.B. О достаточных признаках положительности форм высшего порядка многих переменных // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр. / Отв. ред. A.C. Шилин. Рязань: РГПУ, 2004. С. 48-53.

114. Кузнецов A.B. Управляемость в классе кусочно-постоянных вектор-функций для линейной нестационарной системы //

Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи» Вып. 1. Тула. 2004. С. 30-38.

115. Кузнецов A.B. Метод приращения целевого функционала в задаче оптимального управления // Тезисы доклада. XVI Всероссийская научно-техническая конференция «Новые информационные технологии в научных исследованиях» (НИТ-2011)

116. Кузнецов A.B. Условия локальной оптимальности для нелинейных управляемых систем в классе кусочно-постоянных управлений // Вестник РГРТУ - 2011. № 4 Вып. 38 С. 125-128.