Некоторые задачи оптимизации форм тонких механических пластин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Эйниев, Эльчин Те Юб оглы

• Эйниев, Эльчин Те Юб оглы
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эйниев, Эльчин Те Юб оглы

Введение

Глава I. Вопросы существования оптимальных форм.

§1. О пластинах с тонким краем

§2. Об оптимальной матрице коэффициентов управления в задаче Лионса

§3. Задача со свободной границей для диагональной эллиптической системы.

§4. О граничных функционалах

§5. Об управлении коэффициентом бигармонического уравнения

§6. Задачи со свободными границами

Глава II. Применение численных методов для определения оптимальной формы пластины

§7. Численный метод решения бигармонического уравнения

§8. Численный алгоритм определения толщины пластины.

Примеры расчетов

§9. Численный алгоритм определения формы границы пластины.

Примеры расчетов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые задачи оптимизации форм тонких механических пластин»

Бурное развитие авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения значительно усилило интерес к исследованием в области оптимального проектирования. На основе оптимального проектирования достигается значительное снижение веса летательных аппаратов, улучшение механических характеристик конструкций. Проблемы оптимизации возникают также при проектировании строительных сооружений. Таким образом, исследования в этой области весьма актуальны и имеют несомненное прикладное значение.

Следует заметить, что наравне с прикладным значением задачи оптимального проектирования имеют и теоретическое значение. Представляет интерес выделение и исследование новых классов математических задач в этой области, учет при оптимальном проектировании различных физических факторов, разработка эффективных методов оптимизации, существенно использующих специфику рассматриваемых задач. Нередко отыскание оптимальных форм и структуры упругих тел наталкивается на серьезные математические трудности. Так, в ряде случаев оптимальное проектирование сводится к решению вариационных задач с неизвестными границами и задач управления коэффициентами уравнений, для которых, как правило, отсутствуют регулярные методы исследования. Известные трудности связаны также с тем, что задачи оптимизации упругих тел относятся к числу нелинейных задач механики, что обусловлено нелинейностью условий оптимальности.

Отметим, что приблизительно до середины 60-х годов исследования в этой, связанной с темой диссертации, области концентрировалось вокруг небольшого числа одномерных задач. В связи с развитием математических методов оптимизации (методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др.) и появлением мощной электронно-вычислительной техники, стало возможно проведение достаточно общих исследований.

Первая глава диссертации посвящена теоретическим аспектам проблем оптимизации форм упругих тел. Не претендуя на полноту обзора работ по оптимизации упругих конструкций, отметим только некоторые классические исследования и результаты, непосредственно касающиеся вопросов, рассматриваемых в данной работе.

Г. Галилей в 1638 г. ввел понятие равнопрочности и определил форму равнопрочной балки. Позднее было установлено, что равнопрочная консольная балка в тоже время является балкой минимального веса. Исследования Ж. Лагранжем задачи отыскания формы сжатого стержня (колонны), обладающего минимальным весом и выдерживающего без потери устойчивости заданную нагрузку, существенным образом повлияли на развитие теории оптимального проектирования.

Начало теории упругости были заложены французской школой в 20-30-х годах XIX века главным образом в трудах А. Навье, О. Коши, Д. Пуассона, Г. Ламе, Э. Клайперона, а, несколько позже, А. Сен-Венана. Самостоятельную область теории упругости составляют плоские ее задачи, общие методы исследования которых с помощью аналитических функций были развиты в конце XIX - начале XX века. Первые исследования изгиба и колебания пластин были предприняты еще в XVIII веке Л. Эйлером и Я. Бернулли; более общие исследования на основе уравнений упругости Д. Пуассоном, А. Навье и О. Коши. Подробная история этих исследований изложена в [1].

Целью диссертации является решение некоторых задач оптимизации форм тонких пластин, уравнение равновесия которых, как известно, имеют вид

A(D(x, у)Аи) = q(x, у), О, у) е П С R2, (1) где А - двумерный оператор Лапласа, А = д2/дх2 + д2/ду2> q(x,y) -плотность нагрузки, и(х, у) - уравнение прогиба пластины, область П - основание пластины и у) = h(x, у), где h(x,y) - распределение толщины пластины. Для определенности мы будем рассматривать случай свободного закрепления пластины, когда на ее границе <9П заданы условия и\ж= (2)

Уравнение (1) с граничными условиями (2) естественно называть уравнением L состояния пластины (оно представляет собой эллиптический оператор четвертого порядка). Таким образом, мы имеем два класса управляющих параметров: класс К - коэффициентов уравнения (1) (толщин пластин) и класс С плоских областей О (оснований пластин), которые были впервые подробно рассмотрены Ж.-Л. Ли-онсом в обзорной статье [2].

Заметим, что уравнение состояния (L) можно свести к системе эллиптических граничных задач второго порядка: если v = D(x)Au, то получим систему

Au=J)i (3)

A v = q, (4)

0 (5)

Уравнение (4) является частным случаем уравения равновесия закрепленной упругой пленки div (k(x,y)Vu) = q, (x,y)eQ, (6)

1*1= 0, (7) где функция к(х,у), называемая коэффициентом натяжения, принадлежит классу К. Оптимизационные задачи для уравнения состояния (6), (7) не только имеют прикладное значение в механике [3]—[5], гидродинамике [6], физике [7] и других областях [8], но и важное теоретическое значение. Исследование их дало мощный импульс для развития теории оптимизации в уравнениях с частными производными.

Приведем сначала оптимизационные постановки, ставшие классическими. Пусть множество управлений коэффициентами К для уравнения состояния (6), (7) состоит из измеримых в Q функциях к(х,у), удовлетворяющих почти всюду в О неравенствам

К = Щх,у) :0<к0< к(х,у) <h<D] (х,у) £ О}. (8)

Хорошо известно, что для любой функции q(x,y) £ существует обобщенное решение задачи (6), (7) из соболевского пространства

Пусть z(x,y) - некоторая функция из соболевского пространства Wlity- Задача Лионса управления коэффициентом к £ К, заключается в решении вопроса о существовании функции к £ К, минимизирующей функционал Лионса

F0[k] = \\4-z\\2L2m, (9) где и - решение уравнения состояния (6), (7). Почти сразу после постановки этой задачи М. Мюрат [9] и Д. Корсакова [10] показали, что задача Лионса не имеет решения в классе К. С другой стороны в 1981 году М. Губель [11] решил задачу Лионса в классе К для функционала

Fi[k] = J q(x,y)udxdy = J q(x,y)\Vu\2dxdy, (10) fi п воспользовавшись выпуклостью этого функционала (метод К. Губеля не зависит от размерности пространства).

Одной из основных задач диссертации является установление связи между уравнением состояния L, классом управления К (или С) и интегральным функционалом F, при которых оптимизационная задача имеет решение (соответствующие теоремы доказаны в главе I) [12].

Первые продвижения в развитии теории управления коэффициентами были связаны с расширением класса управлений и соответствующим усложнением понятия сходимости минимизирующих функционал последовательностей в этом классе. Класс скалярных управлений был заменен классом А симметрических положительно определенных матриц А, квадратичные формы которых удовлетворяют неравенствам а|£|2 < (А$,£) < /3|£|2, f € R2(Rn), где а < /3 заданные положительные числа. Исследование сходимости минимизирующих последовательностей привело С. Спаньело и Е. Де-Джорджа к понятию (^-сходимости и замыкания, [13]—[15]. Итак, уравнение (6) было заменено на уравнение div (AVu) = q, х = (хи ., хп) Е П С Rn, (11) а множество управляющих матриц А до его G-замыкания. В 1975 году Люк Тартар [16] показал, что оптимальными являются те матрицы из А, собственные числа которых Ai(®) < \2(х) < • • • < Ап(ж) удовлетворяют соотношениям а< Ах< А2 = А3 = --- = АП = Ь, °f = Ад,. (12) а + (3 - Хп

Дальнейшее развитие эти исследования получили в большом цикле работ У.Е. Рейтума (1979-1985), достаточно полная библиография которых содержится в [17], [18].

В диссертации на основе другого подхода, [19], дано явное описание оптимальной двумерной матрицы в задаче Лионса для выпуклого дифференцируемого функционала. В ней также исследован случай скалярного расширения класса iT, [20], что более естественно для задач оптимизации формы, поскольку коэффициент h(x) или к(х) имеют явный механический смысл (толщина пластины или коэффициент упругости).

Суть этого подхода допущение lim h(x) — 0, где Го - часть границы пластины (то есть к рассмотрению допускаются пластины с острыми краями). Сходимость минимизирующих последовательностей основана, как и в работах JI.A. Муравья (см., например, [21]), на получении априорных оценок решений эллиптических краевых задач в весовых соболевских пространствах и доказательстве специальных теорем вложения [22].

Перейдем теперь к задачам оптимизации, связанным с изменением области, в которой рассматривается уравнение состояния. В этом случае часть 7 границы dQ, как правило, фиксирована и называется закрепленной, а другая часть Г, называемая свободной, может меняться в некотором классе С. Естественно, что задачи такого рода возникли задолго до Ж.-Л. Лионса. Поэтому мы приведем достаточно известный пример (пример оптимального теплоизолятора), на котором легко увидеть основные трудности, связанные с этой проблематикой.

Рассмотрим поперечное сечение трубопровода с тепловым потоком, температура которого постоянна и, например, равна единице, и(х,у) = 1 и поперечное сечение теплоизолятора О с площадью, равной Р; можно считать, что вне теплоизолятора температура равна нулю, и(х,у) = 0. Распределение температуры в области О удовлетворяет уравнению Лапласа

Аи = ихх + иуу = 0, (ж, у) £ О, (13) при этом выполнены следующие граничные условия и(х,у) = 1, (х,у) е 7, (14) и(х,у)= 0, {х,у)ет. (15)

Потеря тепла в рассматриваемом Q случае равна as) где v - единичная нормаль к 7, внешняя относительно Q. Заметим, что используя уравнение состояния (13)—(15), для Q получим представление в виде интегрального функционала (интеграла Дирихле)

F[Q]=Q = J \Vu\2dx. (17) n

Таким образом, мы имеем задачу минимизации интеграла Дирихле на решениях граничной эллиптической задачи (13)—(15) за счет изменения свободной границы Г (формы области) так, чтобы площадь О оставалась постоянной mes Q = Р. (18)

В другой интерпретации и(х,у) обозначает потенциал электростатического поля плоского конденсатора О, a F - энергию конденсатора, которая вычисляется по формуле F = — иг) = где с - емкость конденсатора. При такой интерпретации мы имеем задачу нахождения конденсатора минимальной емкости среди плоских конденсаторов с одинаковой площадью между их обкладками. Если форма обеих обкладок свободна, Т. Карлеман [23] доказал, что оптимальным является круговое кольцо. Статья Т. Карлемана положила начало многим исследованиям задач со свободными границами для плоских областей с использованием аналитических функций. В частности, А. Берлинг [24] установил, что если область Q в примере об оптимальном изоляторе - оптимальна, то на свободной границе Г выполняется дополнительное граничное условие (необходимое условие оптимальности) ди = A (const), (19) где А находится из изопериметрического условия (18). Далее Д. Теп-пер доказал однозначную разрешимость переопределенной изопери-метрической эллиптической задачи (13)—(15), (18), (19) в случае, когда закрепленная граница 7 является звездной (относительно начала координат) или выпуклой. Наконец, А. Акер, [26], показал, что только в случае выпуклой закрепленной границы 7, функционал достигает минимума.

Суть проблемы заключается в том, что если на закрепленной границе имеются участки с отрицательной кривизной, то в области О, могут возникать "дыры", т.е. двусвязная область не является оптимальной. Отметим, что А. Акер [27] рассматривал только плоские задачи, используя комплексный анализ, и контрпримеры построил, анализируя работы И. Данилюка [28], который пытался расширить класс допустимых свободных границ до ограниченных спрямляемых границ.

Таким образом, задача определения класса допустимых свободных границ, определения их вариации, тем более в многомерном случае для уравнений с переменными коэффициентами, оставалась открытой. Оба этих исследования были начаты Ж. Сеа [29], при этом класс С областей со свободным равномерно липшицевыми границами был введен и изучен Д. Шенне [30], а техника дифференцирования вдоль векторных полей, позволяющая получать необходимые условия оптимальности для гладких границ в случае уравнений второго порядка разработана Ж. Золезио [31]. Отметим, что наиболее полные результаты по технике дифференцирования вдоль векторных полей были получены А. Григоленисом [32], [33], а идеи вариации границы области вдоль векторных полей были использованы А. Каримовым [34] для исследования локальных минимумов в задачах со свободными границами.

В 1984 году JI.A. Муравьем [21] было доказано существование области в классе С, минимизирующей интегральный функционал

F[Q]= J f(x,u,Vu)dx, (20) n определенный на решениях задачи div (A(x)Vu) =q, х £ fi € Rn (21) и\п=р, и\т=0 (22) при естественных (и в определенном смысле предельных) услових на функцию / и матрицу А. В этом же 1984 году Ю.А. Осиповым и А.П. Суэтовым [35], аналогичная задача была решена при более жестких условиях на функционал F, но в более широком, чем С, классе областей Q. Аналитическую основу работ JI.A. Муравья составляли априорные оценки решений эллиптических граничных задач в весовых соболевских пространствах [36]. Ю.А. Осипов и А.П. Суэтов [37], развивали технику сходимости У. Моско [38].

В работах JI.A. Муравья (см., например, [36]) введен класс S областей, свободные границы которых удовлетворяют равномерному условию шара. Этот класс позволяет рассматривать в качестве функционалов интегральные граничные функционалы и в качестве уравнений состояния эллиптические уравнения высокого порядка.

В диссертации рассматривается задача минимизации потока тепла через фиксированную часть 70 закрепленной границы 7, т.е. интегральный граничный функционал вида

F[7o] = / (23)

То где и - решение граничной задачи (13)—(15) при изопериметрическом условии (18). Для того чтобы свести граничный интеграл (23) к интегралу по области, в диссертации предложен прием введения вспомогательной функции; при этом вспомогательная функция не принадлежит соболевскому пространству W^O), поэтому техника использования весовых пространств является в этом случае определяющей при доказательстве существования оптимальной области О, (см. [39]).

Заключительная часть 1-ой главы диссертации посвящена исследованию задачи минимизации функционала

F[h,Q] = Jf(x,u,Au)dx (24) п в классах К и S в случае уравнения состояния (1), (2), т.е. задача оптимизации формы тонкой пластины [40]. При естественных предположениях на /(ж, t, г), точнее непрерывности по t и т и монотонного неубывания по t и выпуклости по г доказано существование оптимальной области, т.е. оптимального распределения толщины h{x) Е К пластины и оптимальности основания О С S. Примером функционала, минимизируемого в К является функционал Лионса (9), а функционала, минимизируемого в S - функционал

F[Q] = J q(x,y)u(x,y)dxdy = J D(Au)2dxdy, (25) о характеризующий меру жесткости пластины.

Таким образом, в главе I приведены следующие теоретические исследования. В §1 установлено существование оптимальной формы пластины с острым краем. В §2 установлен вид оптимальной матрицы в задаче Лионса. В §3 исследована задача минимизации функционала на решениях эллиптической системы диагонального вида (см. [41]). В §4 установлено решение задачи минимизации граничного функционала в задаче об оптимальном теплоизоляторе. В §5 и §6 решены задачи об оптимальной форме тонкой пластины.

Недостатком приведенных исследований является то, что доказанные теоремы о существовании оптимального решения не дают алгоритма нахождения решения (за исключением случая пластины с острым краем).

Поэтому глава II была посвящена вопросам численного решения исследованных задач. В качестве типовых были выбраны две задачи. В §7 описан численный метод решения в прямоугольной области задачи (1), (2), при q = 1. Рассматриваемая область покрывается прямоугольной сеткой, и в каждой угловой точке исходная система уравнений с помощью шаблона "крест" заменяется конечно-разностными соотношениями. Полученная система линейных уравнений для сеточных функций решается одновременно с помощью итерационного метода верхней релаксации [42]. Приводятся примеры расчетов (см. рис. 1), подтверждающие что выбранный алгоритм быстро сходится и имеет высокую эффективность.

В §8 реализован численный метод решения задачи Лионса в двумерной прямоугольной области П, т.е. нахождения функций D(x,y) при ограничениях Dq < D(x,y) < Di, которая минимизирует функционал

F[D] = J j(u-zfdxdy, п где z(x,y) - известная функция (тогда график функции h(x,y) = у), (ж, у) Е П определяет форму оптимальной пластины). Для дополнительного контроля сходимости интеграла к минимуму проводились расчеты по методу локальных вариаций [43]. Приводятся примеры расчетов пластин разного размера для различных функций z(x,y) (см. рис. 2-21).

При проведении расчета формы пластины, у которой ди(х,у)/ду <С 1 толщина пластины в окрестности линии у — 0 стала неограниченно возрастать (см. рис. 17-19). Это подтвер-жает, что выбранная модель адекватно отражает хорошо известное физическое явление - "при шарнирном закреплении сохранение нулевого угла пластины возможно только при ее бесконечной толщине".

В §9 реализован численный метод решения следующей оптимизационной задачи со свободной границей. В качестве области Q взят прямоугольник со сторонами длиной А и В, параллельными координатным осям, внутри которого находится прямоугольное отверстие со сторонами а и Ь. Начало координат помещено в левый нижний угол пластины. Внутренние границы отверстия не меняются (закрепленная граница), а внешние - свободные границы могут изменяться так, чтобы сохранилось изопериметрическое условие (18), т.е. АВ = Р.

Требуется найти форму внешней пластины и(х,у) под действием распределенной нагрузки с равномерной плотностью q = 1, обеспечивающую минимальное значение функционалу (10), характеризующему меру жесткости пластины и при постоянной ее толщине h(x,y) = 1, имеющему вид

F[Q] = 11 udxdy = J J (Aufdxdy.

П П

При этом нулевое условие на внешней (свободной) границе прямоугольника заменяется условием гг|г = Н, которое можно трактовать как шарнирное крепление внешней границы на высоте Н относительно шарнирно закрепленной внутренней границы.

Численный метод близок реализованному в §7 и §8, однако при решении полученной системы линейных уравнений применяется итерационный метод нижней релаксации.

Численные алгоритмы §7 и §8 реализованы на языке Pascal с использованием компилятора Borland Pascal. Численный алгоритм §9 реализован на языке С++ с использованием компилятора Borland Turbo С++. Для графического представления полученных численных результатов использовались редакторы Grapher и Microsoft Excell.

В приложении к диссертации приводятся примеры расчетов различных пластин (см. рис. 1-26). Погрешность расчетов не превышала 0.4 %.

Таким образом в главе II предложены численные алгоритмы, позволяющие эффективно находить конкретный вид оптимальной формы пластин (распределение толщины и размеры основания).

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Эйниев, Эльчин Те Юб оглы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе выполнен теоретический анализ задач оптимизации форм тонких пластин, установлены классы существования оптимальных форм в практически интересных случаях.

2. Предложен алгоритм, позволяющий эффективно находить конкретный вид оптимальной формы пластины (распределение толщины и размеры основания).

3. Проведены многочисленные численные расчеты оптимальных форм, находящихся в соответствии с экспериментальными данными, позволяющие численно подтвердить теоретические исследования и выявить ряд физических эффектов, которые могут быть использованы в оптимальном проектировании.

В заключение я хочу принести искреннюю благодарность моему научному руководителю профессору Муравью Леониду Андреевичу за постоянное внимание к моей работе и жизни.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эйниев, Эльчин Те Юб оглы, 2000 год

1. История механики (с конца XV1.I до середины XX века), под редакцией А.Т. Григорьяна и И.Б. Погребысского, М.: Наука, 1972.

2. Задачи управления для систем с распределенными параметрами, Лионе Ж.-Л. УМН, т. 28, вып. 4, с. 15-16, 1973.

3. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980.

4. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике, М.: Наука, 1987.

5. Арман Ж.-М.П. Приложения теории оптимального управления системами, М.: Мир, 1977.

6. Монахов В.А. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. СОАН, Новосибирск, 1977.

7. Lurie К., Cherkaev A., Fedorov A., On the Existance of Solution to Some Problem of Optimal Design for Bars and Plated, Journ. of Optimization Theory and Appl., vol. 42, N 2, p. 247-284, 1984.

8. Lions J.-L., Remark on the Relationship Between Free Surfurces and Optimal Control of Distributed Systems. Optimization Techniques. Part 1. Lectures Notes in Control and Information Science. Springer-Verlag, N 6, p. 28-40, 1978.

9. Murat M.F., Un Contr-example Pour de Problem du Control dans les Coefficient, CRAS, ser. A. Paris, 273, p. 708-711, 1971.

10. Корсакова Л.В. Пример несуществования решения задачи Лионса об оптимальном управлении. Пробл. мат. анализа. ЛГУ, вып. 6, с. 60-76, 1977.

11. Goebel М., Optimal Control of Coefficient dans les Equations aux Derives Partielles. Mat. Operations Gorsch. and Statistics. Ser. Optimiz. 12, N 4, p. 525-533, 1981.

12. Исмаилов И., Муравей Л.А., Эйниев Э. Некоторые задачи оптимизации конструкций. Труды международной конференции "Интеллектуальные системы", Санкт-Петербург, Т. 1, с. 221-226, 1996.

13. Spagnolo S., Sulla Converganza di Solutioni di Equazioni Paraboliche ed Ellittiche, Ann. Schola Norm. Sup., Pisa, 22, p. 571-597, 1968.

14. De Giorgi E. Spagnolo S., Sulla Convergenza degli Integrali dell' Energia per Operator Ellittci del Secondo Ordine, Ball. Un. Math. Itel. (4), 8, p. 391-411, 1973.

15. De Giorgi E., Г-converganza e' G-convergenza, Ballettino Un. Math. Itel., 14-A, p. 213-220, 1977.

16. Tartar Luc, Problems de Controle des Coefficients dans des Equations aux Derivees Partielles, Maitre de Conference Universite Paris IX, p. 420-426, 1975.

17. Райтум У.Е. К непрерывности зависимости от параметров почти линейных эллиптических уравнений. Латвийский матем. ежегодник, вып. 27 (Рига), с. 100-115, 1983.

18. Райтум У.Е. Вопросы существования решения в задачах оптимального управления старшими коэффициентами линейных эллиптических уравнений. Диф. ур-я, том XIX, N 6 (Минск), с. 1039-1048, 1983.

19. Эйниев Э.Т. Об оптимальной форме тонкой пластины. Тезисы международной молодежной научной конференции "XXVI Гага-ринские чтения", Том I, Москва, с. 315, 2000.

20. Эйниев Э.Т. О математическом моделировании оптимальных форм пластин с тонкими краями. Тезисы международной молодежной научной конференции "XXI Гагаринские чтения", Часть 5, Москва, с. 103, 1995.

21. Муравей Д.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами, ДАН. Сер. математика, Т. 278, N 3, с. 541-544, 1984.

22. Эйниев Э.Т. Метод параметрической оптимизации для задачи Дирихле, Известия вузов, секц. "Приборостроение", N 7-8, с. 4751, 1994.

23. Carleman Т., Uber ein Minimal-problem der Mathematischen Physic, Math. Zeitsehrift, p. 208-212, 1918.

24. Beurling A., On Free Boundary Problems for Laplace Equation, Seminar of Anvanced Study. Princeton, N 4, p. 248-263, 1958.

25. Tepper D.E., Free Boundary Problem. SIAM Journ. of Math. Anal., 5, N 5, p.844-846, 1974.

26. Acker A., A Free Boundary Optimization Problem, SIAM Journ. of Math. Anal., N 9, p. 1179-1191, 1978.

27. Acker A., Concerning Daniljuk's Existance Theorem for Free Boundary Value Problem with Bernolli Condition, Amer. Math. Soc., 80, N 3, p. 450-454, 1980.

28. Данилюк И.И. Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования. Труды МИАНим. В.А. Стеклова, т. 118, 1972.

29. Сеа J., Identification de Domains, Lectures Notes in Computer Science, Springer-Verlag, 3, p. 91-102, 1973.

30. Chenaise D., On the Existance of a Solution for Free Boundary Value Problem. Journ. of Math. Anal, and Appl., 52, p. 189-219, 1975.

31. Zolezio J., Domain Variation Formulas for Free Boundary Problem. Optimization of Distributer Parameter System, NijhofF, the Nagae, II, p. 1152-1194.

32. Григяленис А.С. О необходимых условиях существования минимума в одной задаче со свободными границами. Тезисы докладов XXVI конференции литовского математического общества (Вильнюс), с. 75-78, 1985.

33. Григяленис А.С. О необходимых условиях экстремума в задачах со свободной границей. Кандидатская диссертация. МИАН им. В.А. Стеклова, 1987.

34. Керимов А.К. Задачи оптимизации со свободными границами. ДАН, 266, Т 3, с. 545-548, 1982.

35. Осипов Ю.А., Суэтов А.П. Об одной задаче Ж.-JI. Лионса, ДАН, 276, Т 2, с. 288-291, 1984.

36. Муравей Л.А. Задача управления границей для эллиптических уравнений. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15. Вычислит, матем. и ки-берн., 3, с. 3-13, 1998.

37. Осипов Ю.А., Суэтов А.П. Существование оптимальных форм эллиптических систем. Препринт Уральского отд. АН. Свердловск, 1990.

38. Mosco U. Convergence of Convex Sets and of Solutions of Variational Inequalities. Advances in Math., 3, p. 510-585, 1969.

39. Эйниев Э.Т. Об одной задаче оптимального теплоизолятора. Тезисы докладов молодежной научной конференции "XXII Гагарин-ские чтения", Москва, Часть 4, с. 18, 1996.

40. Эйниев Э.Т. Об одной обратной задаче для бигармонического уравнения. Сборник докладов международной конференции "Распределенные системы", Екатеринбург, с. 247-248, 2000.

41. Эйниев Э.Т. Об одной задаче оптимизации формы области со свободной границе. Сборник научных трудов "В мире науки". Системный анализ, информатика и оптимизация. МАИ, Москва, с. 111-120, 1997.

42. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы, М.: Наука, 1989.

43. Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук. Вариационные задачи механики управления. М.: Наука, 1973.