Условия равновесного нагружения гибкой полосы в упругопластических процессах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Комолова, Елена Дмитриевна

• Комолова, Елена Дмитриевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Комолова, Елена Дмитриевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Кинематические характеристики

1.2. Сравнительный анализ представлений тензоров напряжений

1.3. Вариационная постановка задачи о равновесии полосы

1.3.1. Представление возможной работы внутренних сил

1.3.2. Представление возможной работы внешних сил

1.3.3. Вариационная постановка задачи о нелинейном изгибе

1.4. Дифференциальная постановка задачи о нелинейном изгибе

1.5. Различные стадии процесса деформирования полосы

1.5.1. Упругое деформирование с учетом осевого сжатия

1.5.2. Стадия одностороннего упругопластического деформирования

1.5.3. Стадия двухстороннего упругопластического деформирования

1.6. Выводы по главе 1:

Глава 2. Аналитическое описание упругой стадии деформирования гибкой полосы

2.1. Начальная стадия нагружения «мертвой» силой

2.1.1. Нагружение полосы сжимающей силой

2.1.2. Нагружение полосы сжимающей силой при шарнирном опирании

2.2. Начальная стадия нагружения «следящей» силой

2.3. Описание пошагово-итерационного метода на примере решения задачи нагружения полосы сжимающей силой

2.5. Выводы по главе 2

Глава 3. Дискретная постановка задачи упругопластического равновесного деформирования гибкой полосы

3.1. Вариационная постановка задачи при упругопластическом деформировании

3.2. Дискретизация исходной системы с помощью МКЭ

3.3. Дискретные скоростные условия сохраняющегося равновесия

3.4. Пошагово итерационный метод решения системы дискретных уравнений, моделирующих процесс упругопластического деформирования гибкой полосы

3.5. Выводы по главе 3

Глава 4 .Деформирования полосы при различных способах нагружения

4.1. Решение задачи об изгибе полосы для упругих деформаций

4.1.1. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии сжимающей силы

4.1.2. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии поперечной силы

4.2. Решение задачи об изгибе полосы с учетом пластических деформаций

4.2.1. Решение задачи о чистом изгибе при упругопластических деформациях

4.2.2. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии поперечной силы

4.2.3. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии сжимающей силы

4.2.4. Случай шарнирного закрепления торца полосы при действии сжимающей силы

4.2.5. Случай жесткого закрепления торца полосы при действии комбинированной нагрузки

4.3. Выводы по главе 4

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия равновесного нагружения гибкой полосы в упругопластических процессах»

Введение

Современные исследователи проявляют всё больший интерес к нелинейным моделям механики твёрдого деформированного тела. Расчёт возникающих деформаций и распределения напряжений усложняется тем, что используемые уравнения имеют ярко выраженную нелинейность. Поэтому возникает необходимость в разработке алгоритмов, дающих удовлетворительные результаты при сокращении общего объема вычислений, но учитывающих геометрическую и физическую нелинейности.

Исследование поведения гибких упругих стержней начато классиками механики Л. Эйлером и Ж. Лагранжем [79,88]. Были установлены точки бифуркации процесса осевого сжатия и получены решения, описывающие закритический изгиб в квадратурах через эллиптические интегралы. Дальнейшее развитие теория гибких стержней получила в работах Г. Кирхгоффа, А. Лява [45], С.П. Тимошенко [75], Е.П.Попова [53,64], В.А. Светлицкого [68], В.В. Новожилова [52], В.В. Болотина [10,11], В.И. Феодосьева [80,81], И.И. Гольденблата [21] и многих других учёных.

Е. Л. Николаи [51], Г. Ю. Джанелидзе [25], В. В. Болотиным [11], а также в работе [87] было показано, что деформирование гибких стержней существенно зависит от характера приложения внешней нагрузки. В частности, с помощью динамического подхода установлено, что равновесное деформирование при воздействии сжимающей силы, направленной по нормали к торцевому сечению («следящая» нагрузка), невозможно.

В случае действия «мёртвой» (неизменно ориентированной в пространстве наблюдателя) силы процесс протекает равновесно.

Переход от упругого деформирования к пластическому и дальнейшее рассмотрение эволюции зон пластичности приводят к существенному усложнению постановки и решения задач даже без учёта геометрической нелинейности. Подобного типа задачи рассматривались в работах

A.A. Гвоздева [20], A.C. Вольмира [16,17], Ю.Н. Работнова [65], а также в работах [26,29,63,64, 66,67,85] в рамках концепции пластического шарнира. При этом пластическая область ограничивалась локальной зоной. Существенный прогресс в постановке и решении упругопластических задач достигнут благодаря работам А. А. Ильюшина [30,31]. Предложенная им теория малых упругопластических деформаций, а также метод упругих решений позволяют успешно ставить и решать задачи о нагружении стержней, пластин и оболочек в геометрически линейном приближении. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах И.И.Воровича и Ю.П. Красовского [18], Б.Е. Победри, C.B. Шешенина [61], Д.Л. Быкова[12].

Для решения задач механики деформируемого твердого тела с учетом физической и геометрической нелинейностей используются пошаговые и итерационные методы [2,6,78,79]. Метод последовательных нагружений использует схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Основные положения этого метода изложены в работах

B.З. Власова [14,15] и В.В. Петрова [55-57], в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки. Основной недостаток данного метода - низкая сходимость, в силу чего необходимо использовать различные способы для уточнения полученных результатов.

Н.М. Матченко и A.A. Трещев в работе [49] предложили варианты комбинированного пошагово-итерационного метода, сочетающего

процедуру пошаговых изменений внешней нагрузки с промежуточными итерациями.

В работе М.С. Агапова [1] на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эйлерового описания сплошной среды разработана методика статического деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформаций и получены разрешающие уравнения с учетом физической нелинейности. Предложенный алгоритм решения задач разработан на основе метода конечных разностей.

На основе модифицированных методов пошагового нагружения либо метода упругих решений были рассмотрены задачи об изгибе пластин в упругопластической стадии. В работах A.A. Покровского [62] была рассмотрена расчетная схема смешанной формы МКЭ для исследования запредельной стадии стержневых систем. В работе H.H. Столярова [74] разработан алгоритм решения начально-краевых двумерных задач на основе метода A.A. Ильюшина, описана методика расчета пластин и оболочек при сложном нагружении, предложены и реализованы алгоритмы решения задач упругопластической устойчивости пластин и оболочек при поперечном, продольном и комбинированном нагружениях с использованием различных теорий пластичности.

Следует отметить, что все указанные выше задачи и методики получены в рамках геометрических соотношений Т. Кармана, поэтому углы поворота поперечных сечений ограничены малыми и конечными значениями и не могут быть произвольными. В настоящей работе это предположение не учитывалось, что позволило рассматривать большие углы поворота.

Число работ, в которых упругопластическое деформирование гибкой полосы рассматривается за рамками приближения Кармана при произвольных углах поворота поперечных сечений, весьма ограничено. В работах Б.П. Макарова [46], С.Д. Лейтеса [38-42], Г.И. Гречухо [23], Ю.Н. Алешанского [4], К. Ежека [87] рассматривается внецентренное

сжатие гибкой полосы с учётом осевых сжимающих сил, однако процедура описания эволюции зон пластичности не приведена. Использование метода последовательных нагружений ограничивает процесс достижением сжимающей силой максимального значения. Используемый метод не позволяет рассмотреть поведение полосы в неустойчивом режиме, когда нагрузка убывает с ростом прогиба.

В настоящей работе была предложена постановка и разработана методика численного решения задачи о нелинейном изгибе полосы при нагружении торцевой силой на разных стадиях процесса деформирования.

Используемый метод исследования процессов равновесного упругопластического деформирования основан на сочетании условия равновесия текущего состояния и условия равновесности, представленного через «скорости» характеристик напряженно-деформированного состояния. Предложенный пошаговый итерационный метод внешнего кинематического воздействия позволяет находить изменения характеристик напряженно-деформированного состояния гибкой полосы в процессе равновесного деформирования. При этом определяются эволюция упругих и пластических зон, а также величина «мертвой» силы, действующей на торец полосы. Для начальной стадии упругого деформирования получены аналитические решения. Используемый метод позволяет рассмотреть поведение полосы в неустойчивом режиме, когда нагрузка убывает с ростом прогиба.

В первой главе рассматриваются равновесные условия протекания процесса деформирования в вариационной и дифференциальной формах. При этом определяются внутренние осевые усилия, возникающие при деформировании полосы. Вариационное уравнение и выражение для обобщенной силы позволяют ставить и решать задачи о нелинейном изгибе полосы при нагружении торцевой силой и моментом с учетом деформации срединной плоскости для различных видов закрепления. Условия равновесного нагружения не зависят от свойств материала полосы, и их

можно применять как на упругой, так и на упругопластической стадиях деформирования.

Были рассмотрены три стадии деформирования полосы — упругое, одностороннее упругопластическое и двухстороннее упругопластическое. Для каждого этапа определены распределение напряжений, выражения для моментов внутренних сил с учетом понижения изгибной жесткости полосы при пластических деформациях. На упругопластической стадии характеристики получены в зависимости от границы зоны упругих и пластических деформаций.

Во второй главе изучается начальная стадия деформирования полосы при различных условиях нагружения и закрепления. В частности, рассматривается нагружение «мертвой» и «следящей» нагрузкой. Дифференциальное уравнение изгиба используется в совокупности с уравнением сохраняющегося равновесия в скоростях. В качестве параметра «скорости» выбран угол поворота сечения на торце полосы. На основании такого подхода для задач об изгибе полосы, нагруженной сжимающей силой, было получено условие бифуркации и, как следствие, спектр значений критической силы. Для задач о нагружении «следящей» силой проанализировано условие равновесия в скоростях и установлено, что равновесных состояний полосы, близких к прямолинейному, не существует.

В третьей главе осуществляется переход от нелинейного вариационного уравнения к дискретной системе нелинейных уравнений равновесия на основе метода конечных элементов. При этом постановка дополняется системой уравнений сохраняющегося равновесия, которая является линейной относительно скоростей искомых характеристик. Разработан алгоритм решения задачи по определению напряженно-деформированного состояния полосы с учетом распространения пластических деформаций в сечении полосы. Получение значений искомых характеристик основано на совокупном использовании «скоростей» распределений, полученных на

предыдущем шаге вычислений, для искомых величин при помощи изменения некоторого кинематического воздействия. В качестве такого параметра изменения выбран угол поворота сечения на свободном торце полосы. При этом необходимо отметить, что полученные решения в первом приближении уточняются методом итераций, который продолжается, пока относительное изменение силы не достигнет заданной погрешности е

В четвертой главе проводится тестирование разработанного метода на примере задач об изгибе упругой полосы, имеющих известное решение в эллиптических интегралах. В упругопластической области тестирование проведено на примере задачи о чистом изгибе и задачи об упругопластическом изгибе полосы под действием поперечной силы, аналитические решения которых также были получены в данной главе. Тестовые расчеты показали, что предложенные соотношения модели и их численная реализация позволяют получить результаты, удовлетворительно согласующиеся с решениями известных задач.

Проведен анализ распределения внутренних усилий по длине полосы для упругих деформаций.

Рассмотрены задачи об изгибе полосы под действием сжимающей и комбинированной нагрузки, которые ранее не были решены в данной постановке. Проанализированы зависимости действующей силы от ширины границы зон упругих и пластических деформаций. Исследованы процесс и характер распространения пластических деформаций при различном способе нагружения полосы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Комолова, Елена Дмитриевна

4.2.4 Выводы по Главе 4

1. На примере сравнения решений задач о нагружении гибкой полосы в упругой области с известными решениями через эллиптические интегралы показана достоверность используемого метода.

2. В случае чистого изгиба получена аналитическая зависимость момента от координаты границы между упругой и пластической зонами. Сравнение полученной зависимости с дискретным решением показало достоверность метода кинематического воздействия на упругопластической стадии деформирования.

3. Из решения задачи изгиба полосы поперечной силой в геометрически линейном приближении получено аналитическое представление формы границы между упругой и пластической областями. Сравнение с этим результатом подтверждает достоверность описания границ между зонами методом кинематического воздействия.

4. Показано, что внешняя сжимающая сила в процессе деформации полосы возрастает в упругой области, а с развитием пластической зоны сила стабилизируется, а затем убывает. Подобный характер поведения силы справедлив как для случая защемления, так и для шарнирного опирания полосы. Различие состоит в более интенсивном характере убывания силы в случае шарнирного опирания.

5. В случае нагружения поперечной силой показано, что ее величина силы возрастает в упругой области, а с развитием пластической зоны ее рост уменьшается и происходит стабилизация значений силы.

6. При комбинированном нагружении с ростом поперечной составляющей силы происходит снижение максимального значения модуля силы. Во всех представленных случаях модуль силы убывает после выхода в пластическую зону.

122

Заключение.

Приведем основные выводы и результаты, полученные в диссертации:

1. Использование принципа возможных перемещений Лагранжа позволило получить аналитическую и дискретную системы условий равновесия и равновесности в «скоростях», описывающие процесс деформирования гибкой полосы, относительно узловых поворотов, внутренних осевых сил и их «скоростей».

2. Разработан метод решения задач равновесного деформирования гибкой полосы, основанный на сочетании условия равновесия текущего состояния и условия равновесности процесса деформирования в скоростях. Особенностью метода является кинематическое задание внешнего воздействия. При этом равновесные изменения внешних нагрузок определяются как реакция на заданное воздействие.

3. С использованием метода кинематического воздействия решены задачи устойчивости и единственности начальной стадии упругого деформирования полосы. Получена зависимость, описывающая степень устойчивости сжимаемой полосы относительно воздействия боковой силой. Установлены точки Эйлеровой бифуркации, совпадающие с точками потери устойчивости относительно бокового воздействия. Показана невозможность равновесного деформирования защемленной полосы при воздействии следящей торцевой силой.

4. Предложен пошагово-итерационный алгоритм решения задач о равновесном развитии процесса деформирования полосы при произвольных углах поворота поперечных сечений на упругой и упругопластической стадиях.

5. Достоверность метода кинематического воздействия проверена сравнением полученных результатов с известными решениями в эллиптических интегралах.

6. Из решения задачи изгиба полосы поперечной силой в геометрически линейном приближении получено аналитическое представление формы границы между упругой и пластической областями. Сравнение с этим результатом подтверждает достоверность описания границ между зонами методом кинематического воздействия.

7. Решены новые задачи об изгибе полосы в процессе упругопластического деформирования. Установлен характер распространения границ зон упругих и пластических деформаций, а также получены значения действующей силы в зависимости от угла поворота сечения на торце полосы.

8. Показано, что внешняя сжимающая сила в процессе деформации полосы возрастает в упругой области, а с развитием пластической зоны сила стабилизируется, а затем убывает. Подобный характер поведения силы имеет место как для случая защемления, так и для шарнирного опирания полосы. Различие состоит в более интенсивном характере убывания силы в случае шарнирного опирания.

9. При комбинированном нагружении защемленной полосы с ростом поперечной составляющей силы происходит снижение максимального значения модуля силы. Во всех представленных случаях модуль силы убывает после выхода в пластическую зону.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Комолова, Елена Дмитриевна, 2012 год

Список использованных источников:

1. Агапов М.С. Использование метода продолжения по параметру при численном решении задач, моделирующих сильное нелинейное деформирование в координатах Эйлера: дис ... канд. физ.-мат. наук. - М., 2009.- 112с.

2. Адамов В.И., Маркин А.А. Моделирование процессов обработки давлением осесимметрич ных изделий // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 1989.- № 12.-С. 104.

3. Александров, А. В., Потапов В. Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов - М : Высш. шк., 1995. - 560 с.

4. Алешинский Ю.Н. Об учете больших перемещений в задаче об устойчивости упругопластического внецентренно сжатого стержня.//Инженерный журнал. 1962 . Т. 2, Вып. 1.

5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989. - 408 с.

6. Астапов И. С. Приближенные формулы для прогибов сжатых гибких стержней // ПМТФ. - 1996. - Т. 37,- №4.- С. 200-203.

7. Бате К, Вшсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М: Стройиздат. - 1982. - 384с.

8. Бахвалов Н. С. Численные методы -. М.: Наука, 1975. - 631с.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. - М.: Физматгиз, 1967. -320с.

10.Болотин В.В. О понятиях устойчивости в строительной механике // Проблемы устойчивости в строительной механике —М.:1965. - С.6-27.

11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 340с.

12. Быков Д.Л., Шачнев В. А. Об одном обобщении метода упругих решений //Прикладная математика и механика. — 1969. - Т. 33. - № 2. - С. 290.

13. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. - 542с.

14. Власов В.З. Общая теория оболочек. — М.: Гостехиздат, 1949. - 784с.

15. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. — М.: Физматгиз, 1959. 568с.

16. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1976.-416с.

17. Вольмир, А. С. Устойчивость упругих систем -. М. : Физматгиз, 1963. - 879с.

18. Ворович И.Й., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Доклады АН СССР. — 1959. — Т. 126, № 4. — С. 740-743.

19. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы: пер. с англ. - М.:

Мир, 1984.-428 с.

20. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия -.М: Стройиздат, 1949. — 280с.

21. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. - М., Физматгиз, 1969. - 336с.

22.Градштейн КС., Рыжик K.M. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. -М.:Физматгиз, 1962.

23. Гречухо КГ. Сжато-изогнутый стержень в упругопластической стадии // Строительная механика и расчет сооружений. 1960. - №6. - С. 2328.

24.Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. - М., 1967 г. - 368с.

25. Джанелидзе Г.Ю. Об устойчивости стержня при действии следящей силы. //Тр. Ленингр. политехи, ин-та. - 1958. - № 192 - С. 21-27.

26. Ерхов М.И. Теория идеально-пластических тел и конструкций. — М.: Наука, 1978.-352с.

27. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986.-318с.

28. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. - М.: Недра, 1974. - 239с.

29. Ивлев Д.Д., Ишлинский. А.Ю. Статически определимые соотношения теории пластичности и предельное состояние и разрушение тел // Изв. РАН. МТТ. - 2003. - С. 84-89.

30. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник - 3-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-310с.

31. Ильюшин А.А. Пластичность. - М. - Л.: Гостехиздат, 1948. - 376с.

32. Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978 г. - 512с.

33. КомоловаЕД. Модель нелинейного изгиба полосы для различных мер напряжений. Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып 2. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2009. С. 105-117.

34. Комолова ЕД. Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия. Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып 2. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2011. С. 152-160.

35. Комолова ЕД., Маркин А.А. Начальная стадия равновесного деформирования упругого стержня. Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып 2. Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2011. С. 161-168.

36. Комолова ЕД, Христич Д.В., Екатериничев АЛ. Определение напряженно-деформированного состояния в изгибаемых телах // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 98-111.

37. ЗЗЛандау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - М.Наука, 1987. -248с.

38.34JIeumec С. Д. Анализ устойчивости внецентренно-сжатых упругопластических стержней с помощью ЭЦВМ // Строительная механика. -1966,- С. 68-76.

39. Лейтес С.Д. Исследование работы внецентренно-сжатых стержней из нелинейно-упругих материалов // Проблемы устойчивости в строительной механике / под ред. В.В. Болотина, И.М. Рабиновича, А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1965.- С. 415-426.

40. Лейтес С Д. Теория и расчет сжатых и сжато-изогнутых стержней в металлических конструкциях: дисс.... канд.техн.наук. - М., 1964. — 960с.

41 .Лейтес С Д. Устойчивость сжатых стержней. - М.: Госстройиздат, 1954.- 308с.

42. Лейтес С.Д, Раздолъский А.Г. Исследование устойчивости внецентренно-сжатых упругопластических стержней // Строительная механика и расчет сооружений. - 1967. - № 1. - С.2-5.

A3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512с.

44. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. -940с.

45. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.:Наука, 1975. - 576с.

46. Макаров Б.П. О поведении сжато-изогнутых стержней в упругопластической стадии // Строительная механика и расчет сооружений. - 1965.- №4.- с. 35-37.

47. Маркин А. А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды: учеб.пособие / А. А. Маркин, К. Ю. Сотников. - Тула: ТулГУ. 2003. - 132с.

48. Маркин A.A., ХристичДВ. Нелинейная теория упругости: учеб.пособие: 2-е изд., доп. /A.A. Маркин, Д.В. Христич - Тула: ТулГУ, 2007 - 92с.

49. Матченко Н.М., Трещев A.A. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки. - Тула: Изд-воТулГУ, 2005. - 186с.

50. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708с.

51. Николаи Е. Л. Труды по механике. - М.: Гостехиздат, 1955. - 584с.

52. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. — М.:Гостехиздат, 1948.- 211с.

53. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

54. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. - М.: Наука, 1979. - 384с.

55. Петров В.В. Метод последовательного нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек: дисс. ... д-ра техн. наук. - 1969. - 119с.

56. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 118с.

57. Петров В.В., Овчшиков И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976.- 133 с.

58. Победря Б. Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела// Проблемы механики. - 2003. - С. 635-657.

59. Победря Б. Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. - М.: Эдиториал УРСС. 1999. - 208 с.

60. Победря Б. Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. -М.: Физматлит. 2006. - 272 с.

61. Победря Б.Е., Шешенин С.В. Методы упругих решений // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1987.- №5.- 59с.

62. Покровский A.A. Геометрические соотношения конечного элемента и их применение к расчету гибких стержней и стержневых систем // Прикладная механика. Т. XIV. - №7.- 1978.- С. 104-107.

63. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л. - М.: ОГИЗ, 1948.-170с.

64. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. - М.: Наука, 1986.-296с.

65. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

66. Ржаницын А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. -М.: Госстройиздат, 1954. - 287 с.

67. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. - М.:Стройиздат. - 1978. - 239 с.

68. Светлицкий В. А. Механика стержней. Т. 1, 2. - М.: Высшая школа, -М., 1987.

69. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.-392 с.

70. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. - М.: Физматгиз, 1962.-284 с.

71. Седов Л.И. Механика сплошной среды: учебник для студентов университетов и высших технических учебных заведений, Т.1. - М.: Наука, 1973.-536 с.

72. Сикорский Ю.С. Элементы теории эллиптических функций. - М. -Л.: ОНТИ, 1936,-358с.

73. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. - М.:Наука.

74. Столяров H.H. Упругопластическое деформирование и оптимизация гибких оболочек и пластин переменной жесткости // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физ.-мат. науки, Выв. 4. 1996 -С.63-78.

75. Тимошенко С.П., Гудъер Дж. Теория Упругости. - М.: Наука, 1975. -576с.

76. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. -М.:Высш.школа, 1979.-318с.

77. Толоконников JI.A. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теорий упругости//Прикладная математика и механика - 1956. -Т. 20.

78. Толоконников Л.А., Маркин A.A. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвузов, сб. трудов. — Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С. 49-57.

79. Толоконников О.Л., Маркин A.A., Астапов В.Ф. Исследование процесса формоизменения с учетом конечности деформаций // Прикладная механика. - 1983. - № 10. - С. 122.

80. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов (3-е издание). - JL: Наука, 1967.

81. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука 1985. - 587 с.

82. Черных К Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. - JL: Машиностроение. 1986г. - 336 с.

83. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. - М.: ГТТИ, 1934 - 600с.

84. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. - М.:Наука, 1968. -322 с.

85. Bowden, Р. В. А criterion for inhomogeneous plastic deformation // Phil. Mag. 1970. - Vol. 22. -№ 177. -P. 455-462

86. Elishakoff, I. Controversy Associated With the So-Called "Follower Forces": Critical Overview // Applied Mechanics Review. - 2005. March, -Vol.58.-P. 117-142.

87. Jezek K. Die Festigkeit von Druckstaben aus Stahl//Verlag von J.Springer. Wien, 1937.

88.Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau. Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. -Bd IV. - Mechanik, - Teilband 4, -Hft 3, - Art 27,. -Punkt 8. Ebene Platten. -Leipzig: B.G. Teubner, 1910. S. 311 385.

89.Nadai A. Der bildsame Zustand der Werkstoffe. - Berlin, 1927.- 171s.