Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Минаева, Надежда Витальевна

• Минаева, Надежда Витальевна
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Минаева, Надежда Витальевна

Введение.

Глава I. Анализ качественных и количественных оценок решений задач, соответствующих некоторым математическим моделям исследуемых тел.

1.1. Условия непрерывной зависимости от исходных данных решений задач, соответствующих некоторым математическим моделям систем с распределенными параметрами.

1.2. Метод возмущений.

1.3. Цели и задачи исследования.

Глава II. Исследование квазистационарного состояния упругопластического тела на основе математической модели в виде обыкновенного дифференциального уравнения.

2.1. Критерий непрерывной зависимости решения обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, от исходных данных

2.2. Продольно-поперечный изгиб упругих стержней при комбинированном нагружении.

2.3. Выводы.

Глава III. Исследование квазистационарного состояния упругопластического тела на основе математической модели в виде дифференциального уравнения в частных производных.

3.1. Критерий непрерывной зависимости решения уравнения в частных производных от исходных данных.

3.2. Анализ математических моделей, описывающих поведение деформируемых твердых тел, в которых граничные условия заданы на подвижной границе.

3.3. Построение математической модели линеаризованных граничных условий, заданных на подвижной границе, в декартовой системе координат.

3.4. Построение математической модели линеаризованных граничных условий, заданных на подвижной границе, в полярной системе координат.

3.5. Нахождения области непрерывной зависимости от исходных данных решения задачи, описывающего изгиб упругой пластины.

3.6. Выводы.

Глава IV. Исследование квазистационарного состояния упругопластического тела на основе математической модели в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида.

4.1. Критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала, зависящего от функции одного переменного

4.2. Построение области непрерывной зависимости от исходных данных решения задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб упругого стержня.

4.3. Критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала, зависящего от функции нескольких переменных.

4.4. Исследование решения задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб прямоугольной пластины

4.5. Выводы.

Глава V. Нахождение решения обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего квазистационарное состояние упругопластического тела, методом возмущений с оценкой погрешности.

5.1. Критерий аналитичности по малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения.

5.2. Применение метода малых параметров при решении задач, описывающих изгиб стержней при комбинированном нагружении.

5.3. Выводы.

Глава VI. Нахождение решения дифференциального уравнения в частных производных, описывающего квазистационарное состояние упругопластического тела, методом возмущений с оценкой погрешности.

6.1. Критерий аналитичности по малым параметрам решения уравнения в частных производных.

6.2. Разложение в ряд по малым параметрам граничных условий, заданных на подвижной границе, в декартовой системе координат.

6.3. Исследование поведения упругой полосы при сжатии.

6.4. Разложение в ряд по малым параметрам граничных условий, заданных на подвижной границе, в полярной системе координат.

6.5. Напряженно-деформированное состояние упруго-пластической толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений.

6.6. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел»

Актуальность темы. При изучении поведения рассматриваемого объекта, находящегося под заданным внешним воздействием, обычно выбирают некоторые характеристики (величины, функции), описывающие это воздействие и поведение самого объекта. Осуществление исследований возможно проводить двумя путями: экспериментально и на основе некоторой математической модели. При этом предполагается, что полученное решение с удовлетворяющей практику точностью описывает поведение реального объекта, т.е. тем самым предполагается непрерывная зависимость решения от исходных данных. Под исходными данными будем понимать характеристики самого объекта или внешнего воздействия на него.

Необходимость выполнения этого требования отмечается во многих работах как технического, так и теоретического характера [15, 16, 24, 155, 172, 189 и др.]:

Идеализированная конструкция, проектируемая инженером, отличается от осуществляемой затем по этому проекту реальной конструкции. Это отличие обусловлено многочисленными более или менее мелкими отклонениями, дефектами и несовершенствами. Инженеру необходима уверенность в том, что конструкция будет работать примерно так, как и соответствующая ей идеализированная конструкция» [16].

Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не может описывать изучаемое явление» [189].

В связи с этим очевидна актуальность изучения непрерывной зависимости решения полученной математической задачи от геометрических и физических характеристик реального объекта.

К работам по этому направлению можно отнести известные труды A.M. Ляпунова [91], А. ГТуанкаре[154], Э. Шмидт, А.И. Некрасова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, О.Перрона, И.Г. Малкина [93], К.П. Персидского, Н.Г. Четаева и др., в которых рассматривается математическая модель в виде дифференциальных уравнений и анализируется устойчивость по Ляпунову решения дифференциального уравнения, т.е. непрерывная зависимость решения от исходных данных на бесконечном интервале.

Условия, при которых решение, определенное на ограниченной области, будет непрерывно зависеть от исходных данных, сформулированы в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа [74]. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов, приведенные в классической литературе, в которых исходными данными являются параметры [72, 85, 149, 179, 189 и др.]. Сложность практической применимости теорем в задачах, описывающих квазистационарное состояние упругопластических тел, не позволила широко проводить изучение проблемы непрерывной зависимости решения от исходных данных. В связи с этим работ по этому направлению немного. К ним можно отнести труды на основе статических критериев, в которых анализируется поведение функции, характеризующей равновесное состояние системы [24, 35, 44, 62, 141]. А также работы по теории катастроф, например, [29, 32], в которых исследование непрерывной зависимости от исходных данных проводится для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции, и работы по математической теории управления [62, 89, 149], в которых используются методы математической теории устойчивости, теории катастроф.

Из анализа работ следует, что при рассмотрении стационарных состояний механических систем вопрос о непрерывной зависимости решения от исходных данных, являющихся непрерывными функциями, рассматривался лишь в некоторых частных случаях.

В связи с этим дальнейшее развитие методов исследования непрерывной зависимости от исходных данных решений математических задач, описывающих квазистационарное состояние систем с распределенными параметрами, является актуальной проблемой.

В случаях, когда необходимо получить более точные решения, как правило, учитывают различного рода нелинейности изучаемого объекта. Найти точное решение такой задачи достаточно сложно, поэтому используются приближенные методы. Одним из них является метод возмущений, который нашел широкое применение в различных научных областях: прикладной математике, механике, гидродинамике, колебаниях, электрофизике, экономике и т.д. Для метода возмущений важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи [51,52, 59, 69, 152, 192,193].

Из анализа работ следует, что при решении задач МСС методом возмущений вопрос об оценке погрешности метода рассматривался только в некоторых частных случаях или путем сравнения с известными точными решениями, поэтому дальнейшее изучение этой проблемы является актуальным. Помимо этого слабо разработано применение разложения по нескольким независимым параметрам.

Цель работы. Развитие метода исследования математических моделей стационарных состояний упругопластических тел и метода возмущений. Построение математической модели и определение условий непрерывной зависимости решения от исходных данных для пространственных, плоских и осесимметричных начально-краевых задач. Применение полученных результатов в задачах моделирования квазистационарных состояний упруго-пластических тел при консервативных нагрузках.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

• построить новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел при комбинированном нагружен и и с учетом отклонений характеристик тела от осредненных значений;

• разработать условия непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенного дифференциального уравнения, дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, а также вариационной задачи для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;

• построить новую математическую модель линеаризованных граничных условий в напряжениях, заданных на подвижной границе;

• разработать критерии аналитичности по независимым малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных;

• применить полученные условия для исследования математических моделей напряженно-деформируемого состояния некоторых упругопластических тел при комбинированном внешнем воздействии;

• создать численные схемы решения задачи, описывающей состояние тела при плоской деформации.

Методы исследования. В данной работе для решения поставленных задач были использованы основные методы математического моделирования, функционального и математического анализов, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории упругости, пластичности и метод возмущений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

• построены математические модели квазистационарных состояний некоторых упругопластических тел, учитывающие отклонения характеристик тела от осредненных значений;

• получены новые условия непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, вариационной задачи для функционала интегрального вида от исходных данных, являющихся функциями;

• показано, что если в математическую модель, на основе которой предполагается проводить исследования непрерывной зависимости, входят граничные условия в напряжениях, то они должны быть заданы на деформированной границе;

• в пространстве описывающих параметров найдены области, за пределами которых анализируемое решение уже не будет описывать поведение упругопластического тела при комбинированном нагружении. В некоторых случаях они также будут и областями применимости рассматриваемой модели; и

• на основе критериев непрерывной зависимости получены критерии аналитичности по независимым малым параметрам решений обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных, позволяющие находить границу области сходимости метода возмущений;

• разработан метод построения аналитической функции, приближенно описывающей границу тела в деформированном состоянии в декартовой и полярной системах координат;

• создан комплекс программ для нахождения решения, описывающего поведение упругопластической трубы из несжимаемого материала при комбинированном нагружении;

• с точностью до величин первого порядка малости найдены решения задач, описывающих напряженно-деформированное состояние упругих идеально пластических твердых тел, с учетом начальных несовершенств.

Практическая значимость. Полученные новые критерии позволяют проводить качественный, а в некоторых случаях и количественный анализ найденного решения, описывающего квазистатическое состояние упруго-пластических тел при комбинированном нагружении. Достигнутые в работе результаты могут быть использованы заинтересованными учреждениями, предприятиями и научными коллективами соответствующих отраслей науки и производства в своей практической деятельности. Их можно рекомендовать распространить в НИИ авиационной, автомобильной, строительной отраслей промышленности, при рассмотрении стержневых и пластинчатых конструкций в машиностроении, при определении прочностных характеристик горных выработок и т.д.

На защиту выносятся:

• математическая модель квазистационарного состояния упругопластиче-ского тела при комбинированном нагружении, используемая для исследования непрерывной зависимости от исходных данных решения задач механики сплошных сред;

• условия непрерывной зависимости решений, определенных в ограниченной области, обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной;

• критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений, определенных на ограниченной области, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных;

• критерий аналитичности по малым параметрам решений дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;

• метод нахождения приближенных аналитических решений краевых задач с оценкой погрешности.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах-семинарах и симпозиумах:

53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999;

12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999;

Воронежской весенней математической школе, 1999;

7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000; международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» г. Воронеж, 2000, 2003; математической школе «Понтрягинские чтения-ХП», Воронеж, 2001,2007;

II международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов н/Д, 2002, 2006, 2008;

X международной конференции «Математика. Экономика. Образование». Пущино, 2003, 2005; международной научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке». С-Пб. 2003; всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 2003; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004, 2008; международной школе-семинаре по современным проблемам МСС. Воронеж, 2004, 2005, 2007, 2009; всероссийской научной конференции «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкции». Самара, 2007, 2008; международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, 2009; региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования в режим развития». Воронеж, 2007, 2008; ежегодных научно-технических конференциях ВГТА. Воронеж, 2001-2009;

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 48 работ. Основные результаты отражены в монографиях [95, 96] и 20 статьях [75,97-102, 104, 106-113, 116, 117, 119, 122, 161], изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Кратко остановимся на вопросах, рассматриваемых в диссертационной работе и ее структуре.

В первой главе анализируются необходимость проведения исследований непрерывной зависимости решения задачи, соответствующей выбранной математической модели, от исходных данных, а также условия для изучения этой проблемы. Сформулированы основные определения и представлены теоремы, используемые при решении данной проблемы. Рассматривается метод возмущений, как один из способов получения решения задачи, соответствующей математической модели, учитывающей отклонение характеристик изучаемого объекта от осредненных значений.

Во второй главе рассматривается математическая модель в виде обыкновенного дифференциального уравнения.

В первом параграфе на основе теоремы о неявных функциях получен критерий непрерывной зависимости решения от исходных данных обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, в виде требования существования только тривиального решения у вспомогательного линейного дифференциального уравнения.

Для задачи Коши этот критерий принимает вид ограничений на начальные условия. В качестве иллюстративного примера рассмотрена задача Коши, решение которой описывает изгиб упругого консольного стержня, нагруженного сосредоточенными моментами. Такие стержни используются, например, как элементы ферм в мостах, покрытиях, эстакадных конструкциях и т.д. В результате проведенного исследования получено, что решение будет непрерывно зависеть от двух функций, описывающих форму оси в ненагруженном состоянии и изменение жесткости в стержне, при любом значении параметров, характеризующих нагрузки.

В качестве иллюстрационного примера рассмотрены линейные неоднородные уравнения второго порядка, решение которых описывает ось изогнутого консольного стержня под действием двух сосредоточенных сил в линейной постановке. Подобные стержни используются, например, как элементы опор мостов, покрытий, купольных конструкций. В результате проведенных исследований получено, что решение непрерывно зависит от функции, описывающей начальный прогиб стержня, если значения параметров удовлетворяют найденным условиям. Граница области в пространстве параметров, полученная на основе этих условий, будет и границей применимости самой модели.

Далее рассмотрено линейное уравнение четвертого порядка с неоднородными граничными условиями. Его решение может описывать, например, продольно-поперечный изгиб стержня на упругом основании в линейной постановке. Стержни на упругом основании широко применяются при моделировании понтонных мостов, фундаментов высотных зданий (ленточный фундамент), сооружений в сейсмически опасных зонах и т.п. В пространстве параметров, характеризующих величину продольной нагрузки и жесткости основания, найдена граница области непрерывной зависимости решения рассматриваемой задачи от функции, описывающей начальное отклонение оси стержня от прямолинейной. И в этом случае эта граница является также границей применимости рассматриваемой математической модели.

В третьей главе рассматривается математическая модель квазистационарного состояния упруго пластического тела в виде уравнения в частных производных.

В первом параграфе критерий непрерывной зависимости решения краевой задачи от исходных данных получен в виде требования существования только тривиального решения у вспомогательной линейной однородной краевой задачи.

Во втором параграфе третьей главы проведен анализ различных математических моделей, описывающих поведение деформируемых твердых тел. Показано, что при построении математической модели, на основе которой планируется проводить исследования непрерывной зависимости, граничные условия в напряжениях должны ставиться на подвижной границе.

В третьем параграфе проведено построение математической модели линеаризованных краевых условий для вспомогательной задачи. Рассмотрен случай, когда краевые условия заданы в напряжениях и в интегральном виде на подвижной границе в декартовой системе координат.

В качестве иллюстрационного примера рассмотрена система дифференциальных уравнений первого порядка, которая описывает напряженно-деформированное состояние упруго подкрепленной полосы при сжатии. Полосы такого рода используются, например, в опорных ребрах с металлическими балками, ребрах жесткости и т.д. Показано, что решение, соответствующее однородному напряженно-деформированному состоянию, имеет физический смысл, если параметры внешнего воздействия и жесткости основания таковы, что соответствующая им точка принадлежит найденной области непрерывной зависимости. Близость формы поперечного сечения полосы к прямоугольнику в этом случае сохраняется и в процессе деформирования.

В четвертом параграфе проведено построение математической модели линеаризованных граничных условий в полярной системе координат для вспомогательной задачи. Рассмотрен случай, когда краевые условия заданы на границе тела в деформированном состоянии.

В качестве примера приведен частный случай математической модели, состоящей из системы линейных дифференциальных уравнений. Решение этой задачи описывает поведение упругой толстостенной трубы, находящейся под воздействием внутреннего и внешнего давлений. Подобные трубы находят применение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов, в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок и т.д. На плоскости параметров, соответствующим внешним воздействиям, найдена граница области непрерывной зависимости решения от функции, описывающей форму сечения трубы. В ее пределах напряженно-деформированное состояние трубы будет близко осесимметричному. За пределами этой границы следует исследовать другое решение исходной геометрически нелинейной задачи, соответствующее уже неосесиммет-ричному состоянию.

В пятом параграфе проанализированы два частных случая математических моделей, на основе которых проводятся исследования продольно-поперечного изгиба прямоугольной упругой пластины в линейной и нелинейной постановке соответственно. Пластины входят в состав многих конструкций, например, крыльев, корпусов самолетов, ракет, днищ, палуб, бортовых стенок кораблей, стенок цельнометаллических вагонов, орто-тропных плит, используемых для укрепления конструкций, и т.д. В результате анализа найдена граница области непрерывной зависимости решения в пространстве параметров, характеризующих внешнее воздействие, в пределах которой решение первой задачи имеет физический смысл. Эта граница является также границей области практической пригодности самой математической модели. Далее было получено, что граница области непрерывной зависимости решения второй, нелинейной задачи, в пределах которой тривиальное решение практически пригодно (форма пластины остается близкой к плоской), совпадает с границей, полученной в предыдущем случае.

В четвертой главе рассматривается математическая модель в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида.

В первом параграфе получен критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала, зависящего от функции одного переменного, в виде условия существования только тривиального решения у вариационной задачи для вспомогательного квадратичного функционала.

В качестве иллюстративного примера во втором параграфе приведена вариационная задача для частного случая функционала интегрального вида с тривиальными граничными условиями. Ее решение описывает продольно-поперечного изгиб упругого стержня. Такой стержень можно рассматривать, например, как элемент фермы покрытия, моста при комбинированном нагружении. Найдено условие непрерывной зависимости решения от двух функций в виде ограничения на параметр продольной нагрузки. Одна из функций характеризует жесткость стержня, а другая — интенсивность распределенной нагрузки.

В третьем параграфе рассматривается математическая модель в виде вариационной задачи для функционала, зависящего от функции нескольких переменных.

Получен критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала интегрального вида в виде требования существования только тривиального решения у вариационной задачи для вспомогательного квадратичного функционала.

В качестве примера рассмотрен частный случай функционала интегрального вида с тривиальными граничными условиями. Эта задача описывает продольно-поперечный изгиб прямоугольной упругой пластины. На плоскости параметров, соответствующих внешнему воздействию и линейным размерам пластины, получена граница области непрерывной зависимости решения от двух функций, характеризующих интенсивность распределенной нагрузки и жесткость материала пластины. Эта же граница является и границей области, в пределах которой выбранная модель практически пригодна.

В пятой главе рассматривается применение метода возмущений к нахождению решения обыкновенного дифференциального уравнения.

В первом параграфе этой главы получен критерий аналитичности решения обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, по малым параметрам в окрестности нуля в виде условий критерия из первой главы и требования аналитичности формулировки самой задачи.

Во втором параграфе пятой главы при помощи метода возмущений найдено решение дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами с точностью до величин первого порядка малости. Оно может, описывать продольный изгиб консольного стержня с начальным несовершенством, к которому приложена продольная нагрузка с эксцентриситетом по отношению к оси стержня. Такие стержни используются как элементы ферм мостов, покрытий, опорных столбах купольных покрытий и т.д.

Здесь же получено решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с одним малым параметром в виде степенного ряда по этому параметру с точностью до величин первого порядка малости. Оно может описывать продольно-поперечный изгиб неоднородного упругого стержня в линейной постановке. Подобная стержневая модель используется, например, в фермах мостов, покрытий, эстакадных конструкциях. Решение найдено для параметра, характеризующего продольную нагрузку, не выходящего за границу области непрерывной зависимости, и конкретного вида функции, характеризующей неоднородность стержня.

В шестой главе рассматривается применение метода возмущений для нахождения решения уравнения в частных производных.

В первом параграфе этой главы получен критерий аналитичности решения краевой задачи для уравнения в частных производных по малым параметрам в окрестности нуля в виде условий из второй главы и требования аналитичности формулировки самой задачи.

Далее рассмотрена проблема разложения в ряд по малому параметру граничных условий в декартовой системе координат. Для плоской задачи найдено разложение функции, описывающей подвижную границу, в степенной ряд по малому параметру и разложение самих граничных условий до второго приближения.

В третьем параграфе шестой главы, используя результаты предыдущего параграфа, получено решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в виде степенного ряда по малому параметру с точностью до величин первого порядка малости. Оно описывает напряженно-деформированное состояние упругой полосы, поперечное сечение которой близко к прямоугольнику. Полосы такого рода используются в опорных ребрах с металлическими балками, ребрах жесткости. Решение было найдено при значении параметра, характеризующего внешнее воздействие, не выходящего за границу области непрерывной зависимости, и для конкретного вида функции, характеризующей отклонение поперечного сечения полосы от прямоугольного.

В четвертом параграфе рассмотрено разложение граничных условий в ряд по малым параметрам в полярной системе координат. Для плоской задачи найдено разложение функции, описывающей подвижную границу тела, в степенной ряд по малым параметрам, а также проведено разложение граничных условий до второго приближения.

В пятом параграфе шестой главы найдены решения систем уравнений в виде степенных рядов по двум малым параметрам с точностью до величин первого порядка. Они описывают напряженно-деформированное состояние упругопластической толстостенной трубы, поперечное сечение которой близко к круговому кольцу, находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений. Подобные трубы находят применение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов, в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок. Малые параметры характеризуют величины отклонений внутреннего и внешнего контуров поперечного сечений трубы от окружностей. Решения были получены для значений параметров, характеризующих внешнее и внутреннее давления, не выходящих за границу области непрерывной зависимости, и конкретных видов функций, описывающих искажение контуров поперечного сечения трубы. Для нахождения приближений использовался комплекс программ, созданный на основе пакета Мар1е.

В приложении приведена реализация алгоритма для нахождения решения в виде сходящихся степенных рядов по двум малым параметрам рассмотренной выше задачи в условиях, когда параметры задачи удовлетворяют критерию аналитичности.

I. АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ И КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОЦЕНОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕКОТОРЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ ИССЛЕДУЕМЫХ ТЕЛ

Выбранные характеристики, описывающие поведение исследуемого объекта, обозначим через и, а характеристики, описывающие сам объект -через X.

Т.к. исследование поведения изучаемого объекта, т.е. нахождение значения характеристики и для некоторого значения характеристики X, экспериментальным путем часто бывает весьма затруднительным, а то и невозможным, то возникает необходимость построения математической модели. В результате получается математическая задача, которую запишем в следующей операторной форме: 0. (1.1)

Поскольку значения характеристик объекта X берут из экспериментов, то исследование производится для объекта со среднестатистическими характеристиками Х=Х0.

Исходя из того, что значение характеристики X для реального (конкретного) объекта мало отличается от Х0, то обычно считают, что полученное решение задачи (1.1) при Х=Хо приближенно (с достаточной точностью) описывает поведение изучаемого (реального) объекта.

Следовательно, для того чтобы решение задачи (1.1) щ, полученное при Х=Хо, приближенно описывало бы поведение изучаемого (реального) объекта, необходимо, чтобы решение этой задачи (1.1) непрерывно зависело от X при Х=Х(). О необходимости проведения анализа непрерывной зависимости решения задачи (1.1) от исходных данных утверждается во многих работах [7,23,24,30, 34,40,52,85-92,134-138,145,146,163,170,173,188,190].

Изучению этой проблемы посвящена первая часть данной работы.

Очевидно, что решение щ описывает поведение реального объекта с некоторой погрешностью. На практике часто возникают необходимость получения более точного решения, учитывающего отклонения X от Х0, т.е. решения более сложных задач. Для решения таких задач созданы различные приближенные методы. Одним из них является метод возмущений. При решении задач этим методом возникает математическая проблема аналитичности зависимости решения задачи (1.1) от малых параметров. Изучения применения метода возмущений при решении некоторых задач посвящена вторая часть данной работы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Минаева, Надежда Витальевна

6.6. Выводы

В шестой главе получены следующие основные результаты:

1. Сформулирован критерий аналитичности решения уравнения в частных производных по малым параметрам.

2. Разработан метод нахождения функции в виде ряда по малым параметрам, приближенно описывающей границу твердого тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат.

3. Проведено разложение в ряд по малым параметрам граничных условий в напряжениях, заданных на границе тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат, а также в интегральной форме в декартовой системе.

4. Для заданной функции, характеризующей отклонение верхней и нижней кромок полосы от прямых линий, найдено решение с точностью до величин первого порядка малости, которое описывает напряженно-деформированное состояние полосы при параметре внешнего воздействия, удовлетворяющем условию аналитичности.

5. С точностью до величин первого порядка малости получено решение, описывающее напряженно-деформированное состояние упругопласти-ческой трубы при характеристиках внешних воздействий, удовлетворяющих условию аналитичности, при осесимметричном нулевом приближении и данной функции, характеризующей отклонение поперечного сечения трубы от кругового кольца.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с проведенными исследованиями получены следующие основные результаты:

1. Построены новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел с учетом их физических и геометрических неоднородностей, использование которых возможно при проведении исследования непрерывной зависимости решений от исходных данных. Показано, что если рассматриваются граничные условия в напряжениях, то их нужно задавать только на границе тела в деформированном состоянии.

2. На основе теоремы о неявных функциях получены критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной. Показано, что для задачи Коши эти условия принимают вид требования разрешимости начальных условий относительно производных, входящих в них.

3. Используя условия для дифференциальных уравнений, доказаны критерии, позволяющие исследовать непрерывную зависимость решений вариационных задач для функционалов интегрального вида, зависящих от функции одной и нескольких переменных.

4. Разработан метод нахождения функции, приближенно описывающей границу твердого тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат.

5. Проведено исследование непрерывной зависимости решений, описывающих поведение одно- и двумерных тел при комбинированном внешнем воздействии, от функций, задающих их геометрические формы и физические свойства. Определены области, за пределами которых анализируемые решения, а в некоторых случаях и сама математическая модель, уже не будут приближенно описывать напряженно-деформированное состояние рассматриваемых тел.

6. Получен критерий аналитичности по независимым малым параметрам решений дифференциальных уравнений, позволяющий находить решения с требуемой погрешностью. Используя эти условия, решения поставленных задач можно искать в виде степенных рядов по любому количеству независимых малых параметров с необходимой точностью, т.к. оценка погрешности совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора.

7. Созданы численные схемы решения задачи, описывающей состояние упругопластической тела, форма сечения которого близка к канонической.

8. Найдены решения с точностью до величин первого порядка малости, описывающие напряженно-деформированное состояние идеально уп-ругопластических тел при комбинированном нагружении.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Минаева, Надежда Витальевна, 2010 год

1. Абгарян К. А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973. 431 с.

2. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 542 с.

3. Алимжанов М. Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики // Успехи механики. 1990. Т. 13. №3. С. 21-57.

4. Алимжанов М. Т., Саньков В. FC. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внешнего давления // Диф. ур. и их при л. 1981. С. 16-26.

5. Анин БД. Упругопластическое распределение напряжений в пластине с отверстием близким к круговому // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №1.С. 4547.

6. Анин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. 238 с.

7. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

8. Артемов М.А., Баулин И.В., Минаева Н.В. Об исследовании поведения упругой пластины на основе решения вариационной задачи / Сб. «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике». Минск, 2001. С. 31-33.

9. Барченкова H.A., Минаева Н.В. Анализ состояний консольного стержня, описываемого линейной моделью / Сб.: Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Воронеж : ВГА-СА, 2000. Вып.5. С.42-47.

10. Баулин И.В., Минаева Н.В. О напряженно-деформированном состоянии сжатой полосы, близком к однородному // Мат. междунар. шк.-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж, 2000. 4.1. С. 12-20.

11. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высш. школа, 1961. 244 с.

12. Бицено К.Б., Граммелъ Р. Техническая динамика. Л.: Гостехиздат, 1950. 256 с.13 .Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.: Физматгиз, 1959. 544 с.

13. Блехман Н.И. Метод малого параметра // Механика. 1957. №2(42).

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: ГИФМЛ, 1961. 339 с.

15. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Изд-во «Литература по строительству», 1965. 279 с.

16. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Двумерная задача нагружения упругопла-стической плоскости, ослабленной отверстием // ПММ. 1987. Т. 51. №5. С. 314-322.

17. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений к теории кручения упругопластических стержней // ПММ. 1961. Т. 45. №5. С. 932939.

18. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.527 с.

19. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

20. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.

21. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

22. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 376 с.

23. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнений Пуассона в прямоугольнике // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147. № 2. С. 13-16.

24. Волъмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

25. Вулъман С.А. Приближенные решения упругопластической задачи для полых тел, поверхность которых близка к сферической // Изв. АНСССР. МТТ. 1971. №3. С. 119-122.

26. Галин JI.A. Плоская упругопластическая задача // ПММ. 1946. Т. 6. Вып.З. С. 367-386.

27. Галин JT.A. Упругопластические задачи. М.: Наука, 1984.

28. Геккелер И.В. Статика упругого тела. М.: Гостехтеориздат, 1934. 287 с.

29. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. Т. 1,2. 635 с.

30. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 284 с.

31. Горбенко О.Д., Минаева Н.В. О состояниях системы с распределенными параметрами / М.: Деп. в ВИНИТИ 08.12.99, № 3638-В99. 1999. 8с.

32. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

33. Гузъ А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Нау-кова думка, 1971. 276 с.

34. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения границы в механике сплошной среды (обзор) // Приклад, механика. 1978. Т.23. №9. С. 3-29.

35. Ъб.Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. Киев: Выща школа, 1989. 352 с.

36. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Выща школа, 1982. 352 с.

37. Гузъ, А.Н., Чернышенко И. С., Шнеренко К.Л. Сферические днища, ослабленные отверстиями. Киев: Наукова думка, 1970.

38. Горькое Ю.П., Емельянов К.В. Дифференциальные уравнения с малым параметром: сб. статей. Свердловск: У1ГЦ АН СССР, 1984. 184 с.

39. Джеффрис Г., Сеирлс Б. Методы математической физики. М.: Мир, 1970. 256 с.

40. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Изв. АНСССР, ОТН. 1960. №6.

41. Ермаков С.М., Михайлов А.П. Статистическое моделирование. М. : Наука, 1982. 296 с.

42. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука. 1978.

43. Ершов Л.В. Приближенное решение осесимметричных упругопластиче-ских задач // Изв. АНСССР, Механика и машиностроение. 1959. №3.

44. Ершов Л.В., Ивлев ДД. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Изв. АНСССР, ОТН. 1957. №8. С. 149-152.

45. Ершов Л.В., Ивлев ДД. Об устойчивости полосы при сжатии // ДАН СССР. 1961. Т.138. № 5. С. 1047-1049.

46. AI. Ершов Л.В., Калужин A.A. Об устойчивости полосы при сжатии // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 4. С. 104-110.

47. Жалнин, В.А. К теории нелинейных вязкоупругих сред // Изв. АНСССР, Механика. 1965. №4.

48. Зачепа В.Р., Сапронов Ю.И. Локальный анализ фредгольмовых уравнений. Воронеж: Изд-во Воронежск. госунивер., 2002. 185 с.

49. Зебриков В.П. Напряженное состояние концентрической трубы при упру-гопластическом деформировании под действием давления // ПМТФ. 1983. №3. С. 152-59.

50. Зельдович Я.Б., Мыилкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973. 351 с.

51. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М. : ИЛ, 1948. 264 с.

52. Ибрагимов В.А., Нифачин В.А. О сходимости метода разложения по параметру нагружения в задаче об упругопластическом изгибе кольцевой пластины // Минск : Белорус, политехи, ин-т. Деп. в ВИНИТИ 02.06.87, №3880-В87. 1987. 20 с.

53. Ибрагимов В.А. Сходимости метода разложений по параметру нагружения в задачах упругопластического деформирования стержней // Минск : Теор. и прикл. механика. 1988. №15. С. 50-58.

54. ИвлевД. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

55. Ивлев Д. Д. Приближённое решение задач теории малых упругопласти-ческих деформаций // Докл. АН СССР. 1957. т.113. № 3.

56. Ивлев Д. Д. Выпучивание эксцентричной трубы // Изв. АН СССР, ОТН. 1956. № 10. С. 121-124.

57. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. М. : Физматлит, 2001. Т. 1,2. 448 с.

58. Ивлев Д. Д. Приближённое решение задач теории идеальной пластичности//Докл. АН СССР. 1957. т.113. №2.

59. Ивлев Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности. Воронеж: Вор. гос. ун-т, 2005. 357 с.

60. Ивлев Д. Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций. М. : Наука, 1978. 208 с.

61. Ильин А.И. Согласованные асимптотические разложения решений краевых задач. М. : Наука, 1989. 336 с.

62. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

63. Игилинский А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. журнал. 1954. Т. 6. №2. С. 140-146.

64. Игилинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.

65. Каменков Г.В. Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова // Труды ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. 1966. Т. XII. С. 3-35.

66. Каудерер Г. Нелинейная механика М.: ИЛ, 1961.

67. Качанов Л.М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра// ПММ. 1948. Т. 12. Вып. 4.

68. Качанов Л.М. Ползучесть овальных и равностенных труб // Изв. АНСССР, ОТН. 1956. №9.

69. Каюк Я.Ф. Некоторые вопросы разложения по параметру. Киев: Наукова думка, 1980.

70. Х.Келдыш М.В., Франклъ Ф.И. Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе // Изв. АНСССР. 1934.

71. Коддшгтон Э.А,. Левынсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 476 с.

72. Койтер В. Общие теоремы в теории упругопластических сред. М.: ИЛ, 1961.

73. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976. 542 с.

74. Костин В. А., Минаева Н. В. О необходимом условии адекватности математических моделей механических систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 2. С. 5-8.

75. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с.

76. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. школа, 1970. 392 с.

77. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

78. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: изд-во МГУ, 1983. 264 с.

79. Кузнецов В.В. Об определении деформированного состояния упругопла-стической плиты с эллиптическим отверстием // Прикладная механика. 1973. Т.9. №9. С. 133-137.

80. Кузьмина Р.П. Метод малого параметра в регулярно возмущенной задаче Коши. М.: МГУ, 1991.

81. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 292 с.

82. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиз-дат, 1951. Т. 1,2. 644 с.

83. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. 408 с.

84. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. М.: Изд-во «Радио и связь», 1989. 223 с.

85. Лейбензон Л.С. О применении гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Собрание трудов. Изд-во АН СССР, 1951. Т. 1. 468 с.

86. Линдстедт А. Мемуары С-Петербургской академии наук 1883. Т. XXXI. №4.

87. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

88. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

89. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. 1892.

90. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1938. 674 с.

91. Малкнн КГ. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1949.

92. Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра // ПММ. 1978. Т. 12. №2. С. 126-130.

93. Минаева Н. В. Метод возмущений в механике деформируемых тел. М. : Научная книга, 2002. 156 с.

94. Минаева Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. М. : Научная книга, 2006. 236 с.

95. Минаева Н. В., Барченкова Н. А. О существовании состояния упругого консольного стержня, соответствующего решению дифференциального уравнения // Изв. РАН МТТ. 2000. № 5. С. 175-178.

96. Минаева Н. В. О напряженно-деформированном состоянии толстостенной трубы, близком к осесимметричному // Изв. РАН МТТ. 2002. № 3. С.7277.

97. Минаева Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругопла-стической трубы, близком к осесимметричному // Изв. РАН МТТ. 2004. № 1.С. 167-173.

98. Минаева Н. В., Костырин Н. Б., Мяснянкин Ю. М. О напряженно-деформированном состоянии упругопластических тел, близких к однородным // Изв. РАН МТТ. 2004. № 5. С. 150-159.

99. Минаева Н. В. О напряженно-деформируемом состоянии полосы, близком к однородному // Изв. РАН МТТ. 2006. № 5. С. 61-67.

100. Минаева Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемых тел // Изв. РАН МТТ. 2008. № 1. С. 37-39.

101. Минаева И. В. Напряженно-деформированное состояние упругой неоднородной толстостенной трубы, близкое к осесимметричному // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 9. С. 17-20.

102. Минаева Н. В. О математической модели в виде вариационной задачи и продольно-поперечном изгибе упругой пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 1. С. 24-29.

103. Минаева H. В. О напряженно-деформированном состоянии неоднородной упругопластической трубы, близком к осесимметричному // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 4. С. 18-24.

104. Минаева Н. В. Продольный изгиб прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 7. С. 28-30.

105. Минаева Н. В. О формулировке граничных условий при изучении влияния учета несовершенств на напряженно-деформированное состояние твердых тел // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 5. С.31-34.

106. Минаева Н. В., Костырин Н. Б. О напряженно-деформированном состоянии упруго подкрепленной толстостенной трубы, близком к осесимметричному // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 4. С. 3-11.

107. Минаева Н. В., Костырин Н. Б. Об изгибе составного консольного упругого стержня // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 8. С. 74-77.

108. Минаева Н. В. Об исследовании продольно-поперечного изгиба упругого стержня на основе решения вариационной задачи // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 4. С. 11-16.

109. Минаева Н. В., Чернышов А. Д. О поперечном изгибе упругой пластины, форма которой близка к эллиптической // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 11. С. 13-16.

110. Минаева Н. В., Соколов С.А. Адекватность решения вариационной задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб упруго подкрепленной прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 3. С. 3-5.

111. ИЗ. Минаева Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемого твердого тела // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 8. С. 14-17.

112. Минаева Н. В. Об адекватности-математической модели в виде дифференциальных уравнений и продольно-поперечном изгибе балки на упругом основании // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2006. № 7. С. 19-24.

113. Минаева Н. В., Морозов Ю.Г. Исследование адекватности математической модели статики стержневой системы при действии следящей силы // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2006. № 4. С. 7-11.

114. Минаева Н. В. О критерии адекватности математических моделей консервативных и неконсервативных систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2006. № 1.С. 10-14.

115. Минаева Н. В., Морозов Ю.Г. Исследование напряженно-деформированного состояния упругой полосы при сжатии // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2007. № 7. С. 23-26.

116. Минаева Н. В., Морозов Ю.Г Исследование продольно-поперечного изгиба упругой прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2007. №5. С. 19-22.

117. Минаева Н. В., Шашкин А. И. О предельных состояниях упруго подкрепленной пластины при продольно-поперечном изгибе // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. № 5. С. 25-28.

118. Минаева Н. В., Шашкина С. А. Исследование адекватности математической модели консольной балки при продольном изгибе // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. №1. С. 13-15.

119. Минаева Н. В., Шашкин А. И., Гриценко A.B. Квазистатическое деформирование упругого стержня при продольном изгибе // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. №12. С. 21-25.

120. Минаева Н. В., Шашкин А. И., Гриценко A.B. Об исследовании квазистатического поведения деформируемых систем и адекватностирешений уравнений статики // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2009. №3. С.17-21.

121. Минаева Н. В. О существовании состояний // Изв. ИТА 4P. 1997. №1. С. 103-120.

122. Минаева Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругой толстостенной трубы, близком к осесимметричному //Изв. ИТА 4P. 2001. №1-4. С. 189-198.

123. Минаева Н. В. О границе применимости линейной модели при исследовании изгиба шарнирно закрепленного стержня / Вестник ф-та ПММ ВГУ. 2000. №2. С. 63-67.

124. Минаева Н. В. О линеаризации граничных условий, заданных на границе деформированного тела / Вестник ф-та ПММ ВГУ, Воронеж: ВГУ. 2002. №3. С. 153-160.

125. Минаева Н. В. О непрерывности зависимости решения задачи Коши от функции, входящей в уравнение / Труды молодых ученых ВГУ. 1999. Вып.1. С.46-47.

126. Минаева Н. В. Об исследовании напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы методом малого параметра М. 2000. Деп в ВИНИТИ 14.07.00, №1941-В00 9 с.

127. Минаева Н. В. Об исследовании поведения идеально пластических тел, близких к однородным / Сб. докладов Всероссийск. Школы-семинара по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 2003.

128. Минаева Н. В., А.Д. Чернышов О течении вязкой неоднородной жидкости в трубе треугольного сечения / Вестник ф-та ПММ ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2005. Вып. 5. С. 180-185.

129. Минаева Н. В., Мяснянкин Ю.М., Шашкин А. И. О напряженно-деформированном состоянии неоднородной упругой толстостенной трубы / Сб. трудов XXXI Уральского семинара «Механика и процессы управления». Екатеринбург. 2001. С. 115-120.

130. Минаева Н. В., Шашкин А. И. О проблеме сохранности деформируемым телом своей формы / Материалы междунар. школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. 2000. 4.2. С. 302-308.

131. Минаева Н. В. Математическое моделирование квазистатических процессов / Сб. тр. междунар. школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. 2005. 4.2. С. 52-54.

132. Минаева Н. В., Шашкин А. И. Квазистатическое поведение консольного стержня с частично распределенными параметрами / Сб. тезисов Международной конференции по Математической теории управления и механике Суздаль. 2009. С. 164.

133. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. школа, 1977. 344 с.

134. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

135. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1968. 526 с.

136. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 526 с.

137. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

138. Немиш Ю.Н. Метод возмущений формы границы в пространственных задачах механики деформируемых сред // Изв. АНСССР, МТТ. 1975. №1. С. 17-26.

139. Николаи Е.А. Труды по механике М.: Гостехиздат, 1955. 536 с.

140. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958. 370 с.

141. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца / Механика. Сб. перев. и обзоров иностр. литературы. М: ИЛ. 1955. №4. с. 93-97.

142. ХАЪ.Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 384 с.

143. Перлнн П.И. Приближенный метод решения упругопластических задач / Инж. сб. 1960. Т. 28. С. 145-150.

144. AI. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. 244 с.

145. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высш. школа, 1964. 264 с.

146. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Наука, 1974. 332 с.

147. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.: ОГИЗ, 1948. 172 с.

148. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: ИЛ, 1956. 398 с.

149. Проскуряков А.П. Метод малого параметра Пуанкаре в теории нелинейных колебаний / Труды II Всесоюзн. съезда по теор. и приклад, механике. М.: Наука, 1965. Т.2.

150. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 256 с.

151. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды в 3-х томах. М.: Наука, 1971. Т.1. 772с.

152. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

153. Ревуженко А.Ф., Чанышев А.И., Шемякин Е.И. Математические модели упругопластических тел / Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск: Наука, 1985.

154. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

155. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888с.

156. Савин Г.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущений упругих свойств в механике твердых деформируемых тел // Докл. АН СССР. 1974. 216. №1. С. SS-SS.

157. Самарский A.A. Математическое моделирование Текст. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Наука, 1997. - 316 с.

158. Сафронов, В. С., Барченкова Н. А., Минаева Н. В. Об адекватности математических моделей механических систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 5. С. 17-23.

159. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981. 448 с.

160. Седов Л.И. Механика сплошных сред. Т. 1,2. М.: Наука, 1983. 680 с.

161. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АНСССР, Механика и машиностроение. 1963. №1. С. 17-21.

162. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 376 с.

163. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки // Докл. АНСССР. 1948. Т. 10. №1. С. 33-36.

164. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж, 1997. 360 с.

165. Сысоев В.В., Матвеев М.Г., Бугаев Ю.В., Ряжских В.И. Математическое моделирование детерминированных технологических и технических систем. Воронеж. Изд-во Ворон, технол. ин-та, 1994. 84 с.

166. Тарасъев Г.С., Толоконников Л.С. Конечные плоские деформации сжимаемого материала // ПММ. 1962. Т.2. №2. С. 1-13.

167. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. М: Гос-техтеориздат, 1957. 536 с.

168. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. 190 с.

169. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 476 с.

170. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979.

171. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикладная механика. 1969. Т.5. №8. С. 71-76.

172. Томпсон А. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике М. : ИЛ, 1975. 156 с.

173. Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1965. 256 с.

174. Феппелъ А., Феппель Л. Сила и деформация // М.: ОНТИ. 1936. Т. 2. 408с.

175. Фшоненко-Бородич М.М. Теория упругости М.: Физматгиз, 1959. 364 с.

176. Фихтенголъц Г.М. Основы математического анализа. М.: Изд-во техн.-теор. лит., 1956. Т. 1,2. 464 с.

177. Ходж Ф., Гудъер Д. Упругость и пластичность. М.: ИЛ, 1960.

178. Христиан о еич С. А., Михлин С.Г., Девинсон Б.Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. М.: Изд. АНСССР, 1938.

179. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. 192 с.

180. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техшка, 1976.

181. Цянь Сюэ-Сэнъ. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го // Проблемы механики. М. : ИЛ. 1959. Вып. II. С. 7-62.

182. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 428-436.

183. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М: Мир, 1965. 348 с.

184. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем // ПММ. 1954. Т. 18. Вып. 2.

185. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности // ПММ. 1957. Т.21. Вып. 2.

186. Элъсголъц Н.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М.: Наука, 1969. 424 с.

187. Эндрюс Дж., Мак-Лоун Р. Математическое моделирование. М.: Мир, 1979. 277 с.

188. Кио Y.O. On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at moderate Reynolds number // J. Math and Phys. 32. 1953. P. 83.

189. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid // Philos. Mag. 7. 40. 1949. P. 1179.

190. Lin C.C. On a perturbation theory based on the method of characteristics // J. Math, and Phys. 33. P. 117-134.

191. Olsak W., Rychlewski J. Geometric properties of stress fields in plastically non-homogeneous bodies under condition of plain strain // IUTAN Sym-pozium. Haifa. 1962.

192. Poincare H. Sur le problème des trois corps et les equations de la dynamiques. Acta Mathematica. t. 13 1890.

193. Poincare H. Sur methodes nouvelles de la mecanique celeste . Vol. I. ch. 3. Dover, New York. 1892.

194. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. I. Plane strain of non-homogeneity plastic solids // J. Mech. and Phys. Solid. 1962. Vol. 9. №4. P.279-278.

195. Spense, A.J.M. Perturbation method in plasticity. II. Plane strain of slightly irregular bodies // J. Mech. and Phys. Solid. 1962. Vol. 10. №1. P.17-26.

196. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. III. Plane strain solids with body forces // J. Mech. and Phys. Solid. 1962. Vol. 10. №1. P.165-177.

197. Van der Pol B. On relaxation oscillations // Philos. Mag. 7. 2. №11. 1926. P. 978-992.

198. Whitham G.B. The proportion of spherical blast // Proc. Roy. Soc. A. 2036. 1950. 571 p.