Исследование устойчивости стержней при продольном и поперечном нагружении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.03, кандидат технических наук Белоусов, Владимир Павлович

• Белоусов, Владимир Павлович
• кандидат технических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат технических наук Белоусов, Владимир Павлович

Введение

Глава I. Устойчивость стержней постоянного поперечного сечения при продольном и поперечном нагружении.

1.1. Устойчивость стержней при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса.

1.2. Устойчивость вращающихся стержней при действии осевых сжимающих сил.

1.3. Устойчивость вращающихся стержней с учетом собственного веса.

1.4. Устойчивость гибкого вращающегося стержня в жесткой трубе при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса

1.5. 0 решении интегро-дифференциальных уравнений изогнутой оси стержня

Глава П. Устойчивость стержней переменного поперечного сечения при продольном нагружении

ПЛ. Устойчивость консольных стержней при учете собственного веса.

П.2. Устойчивость консольных стержней при особом изменении размеров поперечных сечений с учетом собственного веса

11.3. Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости стержней переменного поперечного сечения

П.4. Устойчивость дымовых тру<3.

Глава Ш. Устойчивость плоской форны изгиба полос при поперечном нагружении

Ш.1. Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном нагружении

Ш.2. Дифференциальное уравнение устойчивости плоской формы изгиба полос переменного поперечного сечения

Ш.З. Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном закреплении и сложном нагружении.

Ш.4. Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости плоской формы изгиба полос постоянного поперечного сечения. 126 Ш.5. 0 решении дифференциальных уравнений устойчивости плоской формы изгиба полос постоянного поперечного сечения

Ш.6. Устойчивость полос переменного поперечного сечения.

Ш.7. Пределы применимости полученных формул для исследования устойчивости плоской формы изгиба полос переменного поперечного сечения. 141 Ш.8. Замечание к исследованию устойчивости полос за пределами упругости.

Глава ГУ, Устойчивость полос при продольно-поперечном нагружении.

1У.1. Дифференциальное уравнение устойчивости полос при продольно-поперечном нагружении 4 - Стр. 4.2. Устойчивость полос постоянного поперечного сечения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости стержней при продольном и поперечном нагружении»

Область распространения металлических и композитных конструкций из тонкостенных элементов постоянно расширяется в связи с появлением новых, лёгких и высокопрочных материалов. Несущая способность таких конструкций определяется, как правило, устойчивостью их упругого (иногда и упруго-пластического) равновесия. Необходимость дальнейшего повышения эффективности расчётов на устойчивость тонких стершей и полос, применяемых в гражданском и промышленном строительстве, в авиации и транспортном машиностроении вытекает из мателиалов ХХУ1 съезда КПСС и постановлений ЦК КПСС и Совета Министров СССР II декабря 1959 г., 3 января 1977 г. и 29 июля 1978 г.

Основы теории устойчивости и продольного изгиба были заложены Л. Эйлером [165, 288, 289]. Согласно концепции Эйлера потеря устойчивости выражается в переходе системы к новым формам равновесия, сколь угодно близким к исходной. При этом принимается, что влияние начальных отклонений от номинала несущественно. Возмущения, которые налагаются на систему, являются сколь угодно малыми. Перемещения предполагаются происходящими настолько медленно, что инерционные эффекты, связанные с наличием масс, являются несущественными. Появление смежных равновесных форм называют бифуркацией или разветвлением форм равновесия. Такой подход к решению задач устойчивости называют статическим [50, 173, 247].

Эта классическая схема не является универсальной. Можно отметить ещё четыре случая потери устойчивости: появление несмежных форм равновесия, исчезновение устойчивых форм равновесия, полное исчезновение любых форм равновесия, потеря устойчивости при ползучести материала [l82] .

Если жесткости поперечных сечений стержня в главных плоскостях инерции значительно отличаются друг от друга, то при поперечном нагружении стержень также не устойчив. В данном случае при нагрузке, большей критической, плоская форма изгиба становится неустойчивой, появляются дополнительный изгиб в плоскости наименьшей жесткости и кручение.

Основы теории устойчивости плоской формы изгиба были заложены Л.Прандтлем [323] .

Если стержни достоточно тонкие и напряжения в них даже при значительном искривлении не превосходят предела пропорциональности, то они носят название гибких стержней. Поведение таких систем в закритичной области может быть исследовано лишь при помощи уравнений, описывающих большие перемещения [53, 108, 307, 309, 131, 266, 273, 279, 289, 290, 310, 322, 326] , но для определения критических сил достаточно воспользоваться обычными линейными уравнениями, составленными для малых прогибов [53, 232, 245, 261, 289, 309, ЗЮ] .

При расчете инженерных конструкций в большинстве случаев критическая нагрузка принимается за предельную, по которой и назначается запас устойчивости [247] .

Определению критических нагрузок стержней при сложном продольном и поперечном нагружении и посвящена данная работа. В работе рассматриваются однородные прямолинейные стержни как постоянного, так и переменного поперечного сечения. Предполагается, что для стержней, испытывающих поперечное нагружение, высота поперечного сечения значительно больше длины основания. Стержень с таким соотношением размеров называют полосой.

Нагружение и закрепление стержней рассматривается такое, что для анализа устойчивости достаточно использование статического критерия.

Методом решения почти всех рассматриваемых задач является непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений изогнутой оси для отклоненного положения при помощи ЭЦВМ с использованием методики В.И.Феодосьева [24б] .

Гибкость стержней предполагается такой, что критическую нагрузку можно определить, решая линейные уравнения для малых прогибов, так как в данном случае при силах, даже ничтожно превышающих критическое значение, дополнительные напряжения изгиба достигают весьма больших значений и непосредственно угрожают прочности конструкции [182] .

Во о первой главе проводится исследование устойчивости стержней постоянного поперечного сечения. Устойчивость стержней при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса исследуется в первом параграфе.

Первые исследования сопротивления сжатых стоек принадлежат Леонардо да Винчи (1487-1490). Он ошибочно считал, что это сопротивление обратно пропорционально отношению высоты колонны к стороне квадратного сечения.

П.ЭДуешенбрук [263] в 1729 г.доказал, что сопротивление сжатых стоек одинакового сечения пропорционально квадратам их длин.

Основы теории устойчивости стержней заложил Л.Эйлер. Он получил формулу для определения критической силы шарнирно закрепленного стержня [288, 289] . Исследуя устойчивость шарнирно опертого стержня, испытывающего одновременное действие осевой силы и собственного веса, Эйлер не учитывает возникающие в опорах горизонтальные реакции [16б1 . В этой работе Л.Эйлер построил график, соответствующий консольному стержню, для которого и определяется критический собственный вес. Этот результат Эйлера повторили Ж.Лагранж [309, 310*] , М.Хейм ¡16(0 t А.Гринхилл [299] , Ф.С.Ясинский [261-263*] и Г.Эйнгельгардт [287] .

Р.Клебш [279] , С.Хальфен [ЗОО] , Е.Коллиньон [280] получили совпадения результатов решения приближенного уравнения изогнутой оси с результатами решения точного уравнения при малых прогибах. Такое совпадение обусловлено математическими свойствами точного и приближенного исходных дифференциальных уравнений.

М.Бресс [2701, Ф.Грасгоф [198] , А.Ляв [131] при определении критической силы внесли поправку на сжатие, В результате этого величина критической силы возросла меньше, чем на одну десятую процента [53] .

С.П.Тимошенко составил дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня с учетом поперечной силы. Поправка к величине критической силы является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения ширины основания поперечного сечения балки к ее длине. Очевидно, что влияние поперечной силы для сплошных стержней не имеет практического значения.

В 1846 г.М.Ламарль [зп] впервые указал пределы применимости формулы Эйлера.

Точное решение для поперечного изгиба(Д.Мичелл [314] , А.Ляв |31] , Я.М.Хлытчева [252]) показывает, что выражение для кривизны определяется двумя членами. Первый пропорционален изгибающему моменту, а второй - постоянный член, возникающий при учете касательных напряжений и нормальных напряжений, действующих по площадкам, параллельным оси балки. Этот постоянный член, представляющий поправку к гипотезе Бернулли-Эйлера, является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения высоты поперечного сечения балки к ее длине. В случае тонких призматических стержней этой поправкой можно пренебречь.

А.Гринхилл ¡299]дифференциальное уравнение изогнутой оси консольного стержня с учетом его собственного веса привел к уравнению Бесселя и определил величину критического веса, полученную Л.Эйлером. Ф.Е.Максименко [132] определил погрешность, возникающую при использовании приближенного дифференциального уравнения вместо точного при некоторых малых прогибах.

Ф.С.Ясинский 61-263] рассматривал двенадцать случаев закрепления и нагружения и для каждого случая определил величину критической силы. Для четырех случаев закрепления стержня, которые в настоящее время называют классическими, получена обобщенная формула для определения критической силы.

В 1909 г.Б.Б.Галеркин [53, 55] рассмотрел восемь случаев закрепления и нагружения стержней при расчете многоэтажных стоек. При помощи приближенного метода исследована устойчивость консольного стержня при действии осевой сжимающей силы и с учетом его собственного веса.

В 1912 г.А.Н.Динник [67] , используя методику решения А.Гринхилла, определил критическую длину стержней при учете сил собственного веса и различных закреплениях концов. Исследована устойчивость консольного стержня при действии осевой силы и с учетом собственного веса. Полученная формула совпадает с формулой Галеркина [55]. К.С.Завриев [93]исследовал продольно-поперечный изгиб. С.П.Тимошенко [233 , 32^ и Н.П.Гришкова [651 приближенным методом исследовали устойчивость консольного стержня и стержня с шарнирно закрепленными концами при действии осевой силы и с учетом сил собственного веса.

Исследования поведения стержней в закритической области проведены в работах Б.П.Ветчинкина и Н.Г.Ченцова [44] , А.Н.Крылова [108, ПО] , Е.Н.Тихомирова [237-239] , М.Э.Бермана [32-34] , М.М.Мосткова [l5l] , В.М.Мучникова [159] и Н.И.Долгова [88] .

Н.К.Снитко при помощи метода начальных параметров определял критическую нагрузку сжатых и сжато-изогнутых стержней [215-22^ .

В 1935 г.А.П.Коробов [l02) предложил приближенный метод расчета стержней на устойчивость, а Н.М.Митропольский [l47j на базе этого метода создал графо-аналитический метод. Графо-анали-тический метод упрощает вычисления и позволяет расширить круг решаемых задач [179, 25ÍJ .

A.Р.Ржаницын [18б] излагает графический метод определения критических сил при продольном изгибе, а в работах [187, 189] рассматривал составные стержни.

B.М.Макушин исследовал устойчивость стержней при действии равномерно распределенных продольных сил [133-138] .

А.Ф.Смирнов исследовал устойчивость упругих систем при помощи метода малых возмущений [208 - 211] .

Исследование проблем устойчивости проводили В.В.Болотин [39] , И.И.Гольденблат и Б.Л.Баженов [58, 59] , Л.С.Турищев [240] .

Для произвольно искривленного стержня П.Филзак [33Í] построил общую линейную теорию устойчивости стержней.

Итак, устойчивость стержней при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса точными методами не исследована. Эта задача была решена диссертантом при помощи точного метода [l9, 2б].

Во втором параграфе первой главы исследуется устойчивость равномерно вращающихся стержней при действии осевых сжимающих сил.

Случай вращающихся валов, сжатых осевой силой, был рассмотрен в 1907 г.С.П.Тимошенко [230] . Для шарнирно закрепленного стержня была получена формула для определения критической силы и, как частный случай, формула для определения критической угловой скорости. Вывод форщлы этого частного случая повторяется А.Н.Крыловым [107-110].

В 1922 г.Л.С.Лейбензон [117] рассмотрел равномерное вращение консольного стержня при действии осевой растягивающей силы и с учетом растягивающих сил собственного веса. При помощи приближенного метода определена критическая угловая скорость. При помощи точного метода С.И.Шшценко и Р.И.Шищенко [257] получили формулу для определения критической угловой скорости без учета собственного веса. Рассмотрен также случай сжимающих сил и получена формула Тимошенко [£30] .

А.Н.Динник ¡74, 75] исследовал влияние равномерного вращения стержня на величину критического крутящего момента при помощи приближенного метода.

В 1932 г.А.Линевский [122] при помощи приближенного метода получил формулу для определения критической угловой скорости колонны при осевом сжатии и при учете ее собственного веса.

Л.Е.Симонянц [20б] при помощи приближенного метода исследовал уравнение упругой линии вертикально расположенного вращающегося стержня при различных формах равновесия.

Я.Г.Пановко, исследуя вращение консольного стержня, получил формулу для определения критической угловой скорости [173] . Эта задача решена и для вращающейся колонны бурильных труб [130] .

Итак, устойчивость вращающихся стержней при действии сжимающих осевых сил исследована недостаточно. Эта задача исследована диссертантом в работе [19] .

В третьем параграфе первой главы исследуется устойчивость равномерно вращающихся стержней с учетом их собственного веса.

Исследование на устойчивость таких стержней при помощи приближенных методов частично описано в [74, 75, 117, 122] . Эта задача была решена диссертантом при помощи точного метода[19,2б].

В четвертом параграфе первой главы исследуется устойчивость гибкого равномерно вращающегося стержня в жесткой трубе при действии осевых сжимающих сил и с учетом его собственного веса.

Исследованию работы бурильных труб при вращательном бурении посвящены многие работы [258, 259, 197] .

Г.М.Саркисов [197] , рассматривая плоскую со свободными концами полуволну без учета стенок скважины, при помощи энергетического метода получил формулы для определения длины этой полуволны и нормальных напряжений изгиба.

С.М.Кулиев экспериментально исследовал устойчивость бурильных труб [пб] .

Поведение длинного упругого стержня с шарнирно закрепленными и защемленными концами, находящегося в жесткой трубе и испытывающего действие осевых сжимающих сил, рассмотрено В.И.Фео-досьевым [24б] , В.С.Федоровым и Л.Е.Симонянцем [249], А.Е.Сарояном [200] , Д.Ю.Мочернюком и др. [152] , Е.И.Ишемгужиным и Б.З.Султановым [941 » М.М.Александровым [2, з! , М.Б.Тусупбае-вым [241] и К.С.Кишауовым [99] , Р.А.Расуловым и др. [183, 38, п] •

Растяжение и сжатие бурильных труб при вращении без учета собственного веса, давление полуволны на стенку скважины, длина этой полуволны с учетом стенок скважины, характер вращения бурильной колонны и нормальные напряжения изгиба исследованы в работах [5-7] .

Итак, поведение вращающегося гибкого стержня в жесткой трубе при действии осевых сжимающих сил и с учетом собственного веса исследовано недостаточно. Основные результаты этой задачи получены М.М.Александровым. Давление полуволны на стенки скважины определено без учета собственного веса и при средней интенсивности центробежных сил, а трансцендентные уравнения, из которых можно определить длину полуволны с учетом стенок скважины, не совсем удобны для практических расчетов.

Следует также отметить, что формулы [II, 38] , по которым можно определить давление полуволны на стенки скважины, требуют уточнения. Эта задача исследована в диссертации [21] .

В пятом параграфе первой главы излагается метод решения ин-тегро-дифференциальных уравнений изогнутой оси стержня.

Если при исследовании устойчивости стержней получается ин-тегро-дифференциальное уравнение, то, его, как правило, дифференцируют [19, 25, 26, 67, 230, 299] и рассматривают уже дифференциальное уравнение третьего или четвертого порядка.

В теоретическом плане определенный интерес представляет решение самого интегро-дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В такой постановке задача была решена диссертантом [17] .

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости стержней переменного поперечного сечения.

Первые исследования устойчивости стержней переменного сечения принадлежат Л.Эйлеру [289] . Он получил формулы для определения критической силы шарнирно опертых стержней.

Ж.Лагранж [309, ЗЮ] занимался исследованием устойчивости стержней переменного поперечного сечения. Решена задача для стержней, ограниченных какой угодно поверхностью вращения второго порядка. Ж.Лагранж поставил задачу о наивыгоднейшем очертании консольного стержня при действии осевой сжимающей силы. Решение этой задачи получено Т.Клаузеном [278] и дополнено Е.Л.Николаи [164] . Различные условия и подходы к решению задач об оптимальном очертании стержней изложены в работах Х.Блазиуса [269], Н.Г.Ченцова [254] , Ж.Ратцерсдрфера [50] , Л.Н.Воробьева [5l] , А.Ф.Смирнова [210] , И.Тоджбахша и ДЛСеллера [226] , А.И.Лурье [129] , Д.Тейлора [227] , Д.Тейлора и К.Лю[228] , В.Прагера и Д.Тейлора [l80] , З.Г.Антоновой и П.А.Лукаша[13] , В.Б.Гринева и А.П.Филипова [63, 64] , П.А.Лукаша [124] .

Устойчивость консольных стержней переменного поперечного сечения была исследована А.Гринхиллом [299] . И в этом случае дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня при помощи замены переменной приводится к уравнению Бесселя. Критических нагрузок А.Гринхилл почти не вычислял, так как не было таблиц функций Бесселя дробного порядка, которые нужны в данном случае.

Исследованием устойчивости стержней переменного поперечного сечения при действии осевых сжимающих сил занимались А.Франке [293, 294] , С.П.Тимошенко [231] и А.Н.Динник [70-72, 76-79] .

Точные решения плоской задачи изгиба Л.Филона [292] и И.Левина [IIб]показывают, что дифференциальное уравнение изогнутой оси призматических стержней применимо к стержням переменного поперечного сечения. В работе [83] отмечено полное совпадение теоретических и экспериментальных результатов проверки устойчивости стержней переменного сечения.

Исследования устойчивости консольных стержней при действии распределенной нагрузки, начатые А.Гринхиллом [299] , были закончены А.Н.Динником [б9, 87] . Для всех возможных случаев изменения поперечного сечения и распределенной нагрузки вычислены значения критических нагрузок.

- 15

Устойчивость консольных стержней, моменты инерции которых изменяются по закону дробно-линейных функций, исследована Н.К.Снитко [214, 216, 219, 221] .

А.Р.Ржаницын [188] исследовал устойчивость клина и конуса при учете собственного веса.

А.Ф.Смирнов [2II]рассматривал устойчивость усеченной прямоугольной пирамиды. Е.П.Крюков [III, 112] показал возможность распространения известных решений для консольных стержней на задачи для аналогичных стержней, но с другими характеристиками.

Исследованием устойчивости стержней переменного поперечного сечения занимались С.Д.Лейтес,{120] , А.П.Мартьянов [144^^, Ж.Даннел и В.Киссинг [282] , А.И.Ананьин [12] , М.Брунет и др. [175], М.Х.Муллагулов [154, 155, 157], И.А.Бахтин и В.К.Лубашев-ский [15] и др. [140, 193-196].

Итак, в данном случае дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня переменного сечения можно привести к интегральному уравнению Вольтерра.

Отсутствуют исследования по определению рациональной формы поперечного сечения консольных стержней. Кроме того, устойчивость консольных стержней при особом изменении размеров поперечного сечения нельзя исследовать по способу Гринхилла [299] .

Эти вопросы были исследованы в диссертации [16, 18] .

В первом параграфе.второй главы излагается метод решения дифференциальных уравнений изогнутой оси и проводится анализ рациональности форм поперечных сечений.

Во втором параграфе излагается новый подход к использованию энергетического метода и исследуется устойчивость стержней, которую нельзя проанализировать при помощи классического метода

299] .

В третьем параграфе второй главы определяются пределы применимости формул для исследования устойчивости, стержней переменного поперечного сечения.

В четвертом параграфе этой же главы исследуется устойчивость дымовых труб.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости плоской формы изгиба полос. А.Прандтль [323]рассмотрел устойчивость плоской формы изгиба полос и составил линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Он исследовал восемь случаев закрепления и нагружения. Для консольного стержня рассмотрено влияние повышения точек приложения силы. Для этого же закрепления рассмотрено одновременное действие осевой и равномерно распределенных сил, а также силы, сохраняющей свое первоначальное направление.

С.П.Тимошенко [229] исследовал устойчивость плоской формы изгиба двутавровых балок, где, как частный случай, рассматриваются и прямоугольные балки. При помощи энергетического метода он определил критическую нагрузку для некоторых случаев закрепления и нагружения, изменение точек приложения сил от центра тяжести по оси поперечного сечения в вертикальной плоскости (232]

Подробное исследование влияния повышения и понижения точек приложения сил для различных случаев закрепления проведено А.П.Коробовым [100, 101]. Приближенный метод расчета балок на устойчивость плоской формы изгиба изложен в [юз] .

А.Н.Динник [68] уравнение Прандтля [323] при помощи замены переменной привел к уравнению Бесселя и повторил почти все результаты, полученные раньше.

К.Федерхофер [290] составил и решил точные дифференциальные уравнения, а затем при малых деформациях получил результаты, совпадающие с результатами решения приближенного уравнения Прандт-ля [32(Д . В статье [291] учитываются изменения начальной; кривизны оси стержня.

В.З.Власов [46-49] предложил новый метод расчета призматических балок из тонкостенных профилей при совместном действии осевой силы, изгиба и кручения. Из общей теории устойчивости плоской формы тонкостенных стержней и балок задача Тимошенко [229] и задача Прандтля 1323] вытекают как частные случаи.

А.Ф.Смирнов [211"] исследовал устойчивость плоской фюрмы изгиба балок при помощи метода малых возмущений. А.В.Дятлов [90] указал, что учет кривизны при бифуркации повышает критическую нагрузку, если изгиб происходит в плоскости наибольшей жесткости.

В справочнике [182] для большинства случаев закрепления и нагружения балок критическая нагрузка определена приближенным способом.

К.Н.Гопак [бо] определяет оптимальные размеры консольной

V О О V ^ балки из условия устойчивости плоской дрормы изгиба.

Приближенным методом исследуется устойчивость прямоугольных балок переменного поперечного сечения в статье [318] . Прямой матричный метод определения критических сил излагается в статье [163] , а в [308] - метод последовательных приближений.

Устойчивость плоской формы изгиба прямоугольных и двутавровых балок исследуется в работах [I, 42, 69, 126, 158, 225, 275, 281, 295, 312, 297, 319, 332, 333] .

Анализ показывает, что дифференциальные уравнения устойчивости плоской формы изгиба полос можно привести к интегральному уравнению Вольтерра. Отсутствуют исследования устойчивости полос, испытывающих одновременное действие двух силовых факторов.

Хотя у Л.Прандтля [323] рассмотрен консольный стержень, но область устойчивости для осевой силы и равномерно распределенной нагрузки не определена. Отсутствует также дифференциальное уравнение для полосы постоянного поперечного сечения с полузащемленными или защемленными концами. Нет дифференциального уравнения и для полос переменного поперечного сечения.

Вопросы теории устойчивости плоской формы изгиба полос исследованы в этой части диссертации [20, 22-24} .

В первом параграфе третьей главы исследуется устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном нагружении.

Во втором параграфе третьей главы составляется дифференциальное уравнение устойчивости плоской формы изгиба полос переменного поперечного сечения, из которого получаются все необходимые уравнения для полос постоянного поперечного сечения.

Устойчивость полос постоянного поперечного сечения при сложном закреплении и сложном нагружении исследуется в третьем параграфе.

В четвертом параграфе третьей главы определяются пределы применимости формул для исследования устойчивости плоской формы изгиба полос постоянного поперечного сечения.

В пятом параграфе третьей главы излагается метод решения дифференциальных уравнений устойчивости плоской формы изгиба полос.

Устойчивость полос переменного поперечного сечения исследуется в шестом параграфе.

В четвертой главе исследуется устойчивость полос при продольно-поперечном нагружении.

Л.Прандтль [323*] рассмотрел консольный стержень, испытывающий действие силы под углом, которая вызывает сжатие и изгиб в в плоскости наибольшей жесткости. Вычислены таблицы зависимости критических нагрузок от величины угла наклона силы. Устойчивость балок, испытывающих сжатие и изгиб в плоскости наибольшей жесткости, при свободных концах исследовали А.Мичелл [3131 и С.П.Тимошенко [229]. . Этот случай нагружения при помощи энергетического метода рассмотрен в [232] . Л.М.Пархомовский [177] рассмотрел одновременное действие на балки продольных и поперечных нагрузок. Показано, что при поперечной нагрузке, вызывающей опрокидывание, сжимающие силы всегда меньше эйлеровых. Следовательно, критерием устойчивости является не продольный изгиб, а потеря устойчивости плоской формы изгиба. Критические нагрузки определяются при помощи метода Галеркина.

Устойчивость стержней при действии поперечных и продольных нагрузок исследована в работах [49, 96, 125, 182] .

В работе [135] применяется уточненный энергетический метод [16]] к исследованию устойчивости плоской формы изгиба балок при совместном действии продольной и поперечной нагрузки.

Очевидно, что нет дифференциального уравнения для исследования устойчивости полос при продольно-поперечном нагружении. Недостаточно исследована устойчивость полос постоянного и переменного поперечного сечения точными методами. о первом параграфе четвертой главы диссертации составляется дифференциальное уравнение полос, испытывающих продольно-поперечное нагружение.

Во втором параграфе этой главы исследуется устойчивость полос постоянного поперечного сечения.

Работа изложена на 212 страницах машинописного текста, содержит 58 рисунков, 3 программы ЭЦВМ, 21 таблицу. Список литературы включает 333 работы на русском и иностранных языках.

Результаты исследований устойчивости стержней при продольном и поперечном нагружении используются в Казахском научно-исследовательском институте минерального сырья.

Выписка из заседания технической секции совета института и акт об использовании методов расчета прилагаются.

Основная часть материала диссертации принята в качестве спецкурса на тему "Устойчивость стержней при продольном и поперечном нагружении" на кафедре "Механика сплошной среды" факультета механики и прикладной математики Казахского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им.С.М.Кирова. Выписки из заседания кафедры и совета факультета прилагаются.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Белоусов, Владимир Павлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены уравнения устойчивости стержней и полос постоянного И переменного поперечного сечения при сложном продольном и поперечном нагружении. Разработаны методики решения полученных уравнений с применением ЭВМ.

В результате этого определена область устойчивости стержней и полос при одновременном действии двух силовых факторов. Получены расчетные формулы. Определены пределы применимости этих формул.

2. Исследована плоская форма устойчивости вращающейся бурильной колонны с учетом ее взаимодействия со стенками вертикальной скважины.

Получены формулы для определения длины полуволны, прижимающих сил и нормальных напряжений изгиба. Наибольшие нормальные напряжения изгиба, определяемые по формулам автора, получаются в два раза меньше таких же напряжений, определяемых по известной методике Г.М.Саркисова.

3. При исследовании устойчивости консольных стержней переменного поперечного сечения найден новый подход к использованию энергетического метода. В данном случае уравнение изогнутой оси задается в виде полинома, включающего не только неопределенные коэффициенты, но и неопределенные показатели степеней.

Энергетический метод в данном случае позволил определить точные значения критической нагрузки при особом изменении поперечного сечения стержня и с учетом его собственного веса. Исследована устойчивость дымовых труб. Получены расчетные формулы. Определены пределы применимости этих формул.

- 159

4. Предложено три аналитических метода решения уравнений устойчивости стержней и полос постоянного и переменного поперечного сечения при продольном и поперечном нагружении. Указанные уравнения приводятся к линейным неоднородным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, решения которых хорошо известны.

Разработанные методы намного проще классических методов решения уравнений такого типа и могут быть использованы в других областях механики.

5. Получено выражение расчетной жесткости при изгибе и кручении для области упруго-пластического деформирования полос.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Белоусов, Владимир Павлович, 1983 год

1. Абу Мансур М.Т.А.,Бейлин Е.А. Нелинейный анализ задачи о стержне, подверженном совместному действию изгиба и кручения.- В кн.¡Механика стержневых систем и сплошных сред.М.,1976,вып.9.с.19-24.

2. Александров М.М. К вопросу об учете упругости бурильных труб. Изв.вузов. Нефть и газ, 1965, № 12, с.23-28.

3. Александров М.М. Определение сил сопротивления при бурении скважин. М.: Недра, 1965. - 176 с.

4. Александров М.М. Об учете упругости труб в пределах сжатой части бурильной колонны. Изв.вузов. Нефть и газ, 1967, № 5, с.35-40.

5. Александров М.М. О силе прижатия вращающихся труб к стенкам вертикальной скважины. Изв.вузов. Нефть и газ, № 9, с.25-30.

6. Александров М.М. О характере вращения бурильной колонны. -Изв.вузов. Нефть и газ, 1968, & 4, с.33-36.

7. Александров М.М. К вопросу о напряжении изгиба при вращении бурильной колонны.-Изв.вузов.Нефть и газ, 1970, № 6, с.24-28.

8. Александров М.М. Силы сопротивления при движении труб в скважине. М.: Недра, 1978. - 209 с.

9. Алексеев П.И. Решение некоторых задач устойчивости сжатых стержней и плоской формы изгиба балок: Автореф.Дис. . канд. техн.наук. Одесса, 1961. - 20 с.

10. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем.-М. .-Машиностроение, 1978. 311 с.

11. Аналитическое определение силы, с которой бурильная колонна действует на стенки скважины./ Е.Л.Лиманов, Ф.А.Бобылев,- 161

12. И.Н.Страбыкин и др. Изв.вузов. Горн.журнал, 1967, & 8, с.72-76.

13. Ананьин А.И. Определение критического собственного веса стойки переменного сечения с учетом упругости опоры. В кн.¡Теорияи испытания сооружений. Воронеж, 1970, т.16, вып.З, с.44-49.

14. Антонова З.Г., Лукаш П.А. Определение оптимальной формы стержня постоянного объема, работающего на продольный изгиб, из условия, что он выдерживает наибольшую нагрузку. В кн.:Строит.конструкции и метериалы. Элиста, 1975, с.57-74.

15. Аристов В.П. Об одном методе определения Эйлерового усилия непризматического стержня. Тр.Николаев.кораблестроит.ин-та, 1969, вып.32, с.183-187.

16. Бахтин И.А., Лубашевский В.К. 0 продольном изгибе стержня переменной жесткости, шарнирно закрепленного на концах. Прикл. анализ. Воронеж, 1979, с.15-23.

17. Белоусов В.П.Продольный изгиб консольных стержней переменного поперечного сечения. Сб.по вопр.математики и: механики. Алма-Ата, 1973, вып.2, с.215-222.

18. Белоусов В.П. Продольный изгиб стержней постоянного поперечного сечения. Сб.по вопр.математики и механики. Алма-Ата, 1973, вып.4, с.250-256.

19. Белоусов В.П. Продольный изгиб стержней переменного поперечного сечения. Сб.по вопр.математики и механики. Алма-Ата, 1973, вып.4, с.257-262.

20. Белоусов В.П. Продольный изгиб стержней постоянного поперечного сечения при сложном нагружении. В кн.: Математика и механика: Тез.докл.5-й Казахст.межвуз.науч.конф. Алма-Ата, 1974, ч.2, с.112-113.

21. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней постоянного поперечного сечения. В кн.: Математика и механика:- 162

22. Тез.докл.5-й Казахст.межвуз.науч.конф. Алма-Ата, 1974, ч.2, с.113-114.

23. Белоусов В.П. Продольный изгиб гибкого стержня в жесткой трубе. Сб.по вопр.математики и механики. Алма-Ата, 1974, вып.6, с.147-154. •

24. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней переменного поперечного сечения. Сб.по вопр.математики и механики. Алма-Ата, 1974, вып.6, с.154-162.

25. Белоусов В.П. Дифференциальное уравнение устойчивости плоской формы изгиба стержней переменного поперечного сечения. Сб. по вопр.математики и механики. Алма-Ата, 1975, вып.7, с.268-273.

26. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней постоянного поперечного сечения при сложном нагружении. Сб.по вопр.математики и механики. Алма-Ата, 1975, вып.7, с.173-285.

27. Белоусов В.П. Устойчивость стержней постоянного поперечного сечения, испытывающих одновременное действие осевых сил и сил собственного веса. В кн.:Вопр.прикл.математики и механики. Алма-Ата, 1976, вып.З, с.17-26.

28. Белоусов В.П. Устойчивость консольного стержня от сил собственного веса, поперечное сечение которого изменяется по особому закону. Сб.по вопр.механики и прикл.математики. Алма-Ата, 1978, с.183-191.

29. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней постоянного поперечного сечения при сложном закреплении и сложномнагружении. Сб.по вопр.механики и прикл.математики. Алма-Ата, 1978, с.191-199.

30. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней при продольном и поперечном нагружении. В кн.:Тез.докл.межвуз. конф.по применению вычисл.техн.и мат.методов в науч.исследов. Алма-Ата, 1980, с.12.

31. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней переменного поперечного сечения. В кн.: Динамика твердого тела. Алма-Ата, 1982, с.17-25.

32. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней постоянного поперечного сечения при продольном и поперечном нагружении. В кн.: Динамика твердого тела. Алма-Ата, 1982, с.25-32.

33. Берман М.Э. К вопросу о продольном изгибе. Тр.каф.сопротивление материалов Моск.авиац.ин-та, 1935, с.21-26.

34. Берман М.Э. 0 продольной устойчивости стержней. Вест.инж. и техн., 1936, Л 6, с.360-363; 1 7, с.430-432.

35. Берман М.Э. 0 продольной устойчивости стержней. В кн.: Расчеты на прочность. М., 1955, вып.1, с.216-222.

36. Блейх Ф. Теория и расчеты железных мостов. М., Гостранс -издат, 1931.-637 с.

37. Блейх Ф. Стальные сооружения. Л., М.: Госстройиздат, 1938, т.1,-640 с.

38. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М., Физ-матгиз, 1959.-544 с.

39. Бобылев Ф.А., Саламатов М.А. Аналитическое определение мощности, необходимой для вращения колонны бурильных труб. -Тр.Свердл.горн.ин-та, 1969, вып.57, с.155-159.

40. Болотин В.В. 0 понятии устойчивости в строительной механике. В кн.:Пробл.в устойчивости строит.механики. М., 1965,с.6-27.

41. Броуде Б.М. Уточнение решения задачи Прандтля-Тимошенко . -В кн.: Расчет пространств.конструкций, 1959, вып.5, с.52-56.

42. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. М.1 Наука, 1965, чЛ, с.355-356.

43. Быков B.C. Оценка устойчивости плоской формы изгиба деревянных балок. В кн.: Исслед.работы клеен.деревян.конструкций. Хабаровск, 1975, с.67-69.

44. Василевская JI.A. Некоторые вопросы устойчивости плоской формы изгиба стержней. Дис. . канд.техн.наук. - Л., I947 -9ÖC.

45. Ветчннник В.П., Ченцов Н.Г. 0 продольном изгибе стоек при сжимающих силах больше критических. Техн.возд.флота, 1930, & 3, с.161-175.

46. Вишняков Г.Ф. Расчеты сжатых стержней на устойчивость графическим способом Вианелло. Изв.вузов. Стр-во и архит., 1978, № 12, с.22-29.

47. Власов В.З. Новый метод расчета призматических балок из тонкостенных профилей на совместное действие осевой силы, изгибаи кручения. Вестн.ВИА РККА им.В.В.Куйбышева, 1936, № 20, сб.2, с.86-135.

48. Власов В.З. Кручение и устойчивость тонкостенных открытых профилей. Строит.пром-сть, 1938, й 6, с.49-53.

49. Власов В.З. Кручение, устойчивость и колебания тонкостенных стержней. Прикл.математика и механика, 1939, т.З, вып.1, с. 3-30.

50. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959.-568 с.

51. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967 -984 с.- 165

52. Воробьев Л.Н. Некоторые случаи устойчивости колонн, объем которых минимум для заданной нагрузки. Изв.Новочерк.индустр. ин-та, 1935/1936, т.4 (18), с.81-100.

53. Воробьев Н.М. Устойчивость составных стержней при действии сосредоточенных и распределенных нагрузок. Тр.Новочерк.политехи.ин-та, 1972, вып.233, с.120-124.

54. Галеркин Б.Г. Теория продольного изгиба. Изв.С.-Петербург, политехи.ин-та, 1909, т.12, вып.1, с.167-241; вып.2, с.384-451.

55. Галеркин Б.Г. Изгиб и сжатие. Изв.С.-Петербург.политехи, ин-та, 1910, т.13, вып.З, с.733-775.

56. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки. Вестн.инж., 1915, т.1, № 19, с.897-908.

57. Галеркин Б.Г. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1952, т.1.-392 с.

58. Глушков Г.С. Инженерные методы расчета на прочность и жесткость. М.: Машгиз, 1949,-246 с.

59. Гольденблат И.И., Баженов Б.Л. Физические расчетные модели сооружений. Строит.механика и расчет еорружений, 1970, $ 2, с.23-27.

60. Гольденблат И.И., Баженов Б.Л. Модели в теории устойчивости Сопротивление материалов и теория сооружений. Респ.межвед.науч.-техн.сб., 1975, вып.25, с.186-193.

61. Гопак К.Н. Оптимальная балка из условий устойчивости плоской формы изгиба. Гидроаэромеханика и теория упругости. Научн. техн.сб., 1970, вып.II, с.113-120.

62. Горбунов Б.Н. Расчет устойчивости стержней и арок при помощи последовательных приближений. В кн.: Исслед.по теории сооружений. М.-Л., 1936, с.180-196.- 166

63. Гореев В.В. К вопросу об устойчивости продольно сжатых сквозных стержней. Изв.вузов. Стр-во и архит., 1980, Л 8, с.27-31.

64. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных очертаниях стержней в задачах устойчивости. Строит.механика и расчет сооружений, 1975, № 2, с.21-27.

65. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных стержнях в задачах об устойчивости под действием распределенных нагрузок. -Строит.механика и расчет сооружений, 1975, № 6, с.23-27.

66. Гришкова Н.П. Влияние собственного веса на продольный изгиб стержней. Вестн.инж., 1928, № 3, с.149 - 152.

67. Димитров Д., Дулевский Е. Еластично изкълчване на прав прът, натоварен с променяща се по квадратна парабола нормална сила. -Год.на высшия инж.-строителен инст. София, 1972/1974 (1976),т.25, св.З, с.23-32.

68. Динник А.Н. Продольный изгиб при действии собственного веса. Изв.Алексеев.Дон.политехи.ин-та, 1912, т.1, отд.2, с.19-46.

69. Динник А.Н. Об устойчивости плоской формы изгиба. Изв.Алексеев. Дон. политехи, ин-та, 1913, т.2, с.47-78.

70. Динник А.Н. Приложение функций Бесселя к задачам теории упругости. Изв.Алексеев.Дон.политехи.ин-та, 1913, т.2,с.219-366.

71. Динник А.Н. 0 продольном изгибе стержней переменного сечения. Изв.Алексеев.Дон.политехи.ин-та, 1913, т.2, отд.2,с.390-404.

72. Динник А.Н. 0 продольном изгибе стержней переменного сечения. Вестн.о-ва. технол., 1913, Л I, с.470-471.

73. Динник А.Н. Продольный изгиб стержней, жесткость которых меняется по биноминальному закону. Изв.Екатериносл.горн.ин-та, 1914, вып.2, с.3-23.- 167

74. Динник А.Н. Продольный изгиб стержней, жесткость которых меняется по показательному закону. Вестн.инж.,1916, т.2, № 6,с.243-245.

75. Динник А.Н. Об отклонении буровых скважин при алмазном бурении. Горн.журн., 1923, № 3/4, с.160-162.

76. Динник А.Н. Причины искривления буровых скважин при вращательном бурении. Горн.журн., 1925, ik 10, с.823-830.

77. Динник А.Н. Расчет стоек переменного сечения. Строит.про-сть, 1926, № I, с.37-39.

78. Динник А.Н. 0 расчете сжатых стоек переменного сечения. -Вестн.инж., 1927, J£ 8, с.333-335.

79. Динник А.Н. Продольный изгиб стержней, жесткость которых изменяется по кубическому закону. Изв.Днепропетр.горн.ин-та, 1928, т.15, с.115-123.

80. Динник А.Н. 0 расчете сжатых стоек переменного сечения. -Вестн.инж., 1929, & I, с.4-6; № 2, с.41-42.

81. Динник А.Н., Локшин A.C. Продольный изгиб стержней, ограниченных поверхностью 2-го порядка. Вестн.инж.и техн., 1930, J£ 7, с.261-263.

82. Динник А.Н. Продольный изгиб стержней синусоидального очертания и формулы Блейха. Вестн.инж.и техн., 1931, № 9,с.416-418.

83. Динник А.Н. Об устойчивости тонких прямолинейных и криволинейных стержней. Тр.1-й Всес.конф.по прочности авиаконструкций. М., 1935, вып.2, с.5-15.

84. Динник А.Н. Устойчивость упругих систем. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935, - 183 с.

85. Динник А.Н. Продольный изгиб. М.-Л.: ГОНТИ, 1939. - 238 с.

86. Динник А.Н. Избранные труды. Киев: Изд-во АН УССР, 1952, т.1. - 152 с.- 168

87. Динник А.Н. Избранные труды. Киев: Изд-во АНлУССР, 1955, т.2. - 224 с.

88. Динник А.Н. Избранные труды. Киев: Изд-во АН УССР, 1956, т.З. - 308 с.

89. Долгов И.И. О расчете на изгиб стержней малой жесткости. -В кн.: Расчеты на прочность, М., 1963, вып.9, с.56-81.

90. Дривинг А.Я. Анализ уравнений устойчивости плоской формы изгиба призматических стержней. В кн.: Исслед.по расчету строит, конструкций. Статика и динамика слож.мех.систем и строит.конструкций. Д., 1979, C.II9-I24.

91. Дятлов A.B. Устойчивость плоской формы изгиба криволинейных стержней с учетом изменения начальной кривизны оси.-В кн.:Исслед. по теории сооружений. М., 1964, вып.13, с.203-210.

92. Ермоленко В.А., Цвей И.Ю. К расчету на устойчивость стержней переменного сечения методом конечных разностей.-Тр.Моск.автомоб.-дор.ин-та, 1978, № 149, с.83-88.

93. Есипов A.A. 0 зависимости критической нагрузки при продольном сжатии стержня от длины. Изв.Сев.-Кавказ.науч.центра высш.школы. Естеств.науки, 1980, Л 3, с.35-36.

94. Завриев К.С. Сопротивление упругих стержней сложному продольному изгибу.-Сб.ин-та инж.путей сообщ., 1913, вып.82, с.1-81.

95. Ишемгужин Е.И., Султанов В.З. 0 взаимодействии сжатой нижней части бурильной колонны со стенкой скважины. Изв.вузов. Нефть и газ, 1969, № II, с.29-32.

96. Ишемгужин Е.И., Султанов В.З. Отклоняющая на долоте при продольном изгибе бурильной колонны. В кн.: Машины и механизмы для бурения и эксплуатации нефт.скважин, 1969, с.59-65.

97. Казакевич И.И. Устойчивость консольной полосы при продольно-поперечном изгибе. В кн.: Расчеты упругих элементов машин- 169 и приборов. №., 1952, с.ЮЗ-Ш.

98. Калужин А.А. Об устойчивости стержней равного объема. Воронеж, 1979. - 9 с. - Рукопись представлена Воронеж.ун-том. Деп.в ВИНИТИ 18 июня 1979, I 2178-79.

99. Кисенко И.Д. Инженерные методы расчета сжато-изогнутых стержней: Автореф.Дис. канд.техн.наук. М., 1952. - 9 с.

100. Кишауов К.С. Исследования несущей способности буровой штанги для назначения оптимальных режимов бурения: Автореф.Дис. . канд.техн.наук. Караганда, 1974. - 16 с.

101. Коробов А.П. Устойчивость плоской формы изгиба полосы. -Изв.Киев.политехи.ин-та, 1911, кн.4, с.247-264.

102. Коробов А.П. Устойчивость полосы. Изв.Киев.политехи.ин-та, 1913, кн.1, с.1-52.

103. Коробов А.П. Приближенный метод расчета стоек постоянногои переменного сечений. Тр.Ростов.н/Д., ин-та инж.ж.-д.трансп., 1935, вып.1/2, с.63-104.

104. Коробов А.П. Приближенный метод расчета балок на устойчивость плоской формы изгиба. Изв.Новочерк.индустр.ин-та, 1935/1936, т.4(18), с.101-122.

105. Коробов А.П. Расчет стоек ступенчатой формы, нагруженных на границах ступеней продольными и поперечными силами, а также сосредоточенными изгибающими моментами. В кн.:Исслед.по теории сооружений. М., 1954, вып.6, с.61-70.

106. Коротких Я.И., Локшин А.З., Сивере Н.Л. Изгиб и устойчивость стержневых систем. М.: Машгиз, 1953. - 519 с.

107. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 192 с.

108. Крылов А.Н. 0 некоторых дифференциальных уравнениях, имеющих применение в технических вопросах. Изв.Николаев.мор.акад.,1913, вып.2, с.67-69.

109. Крылов А.Н. О формах равновесия сжатых стоек при продольном изгибе. Изв.АН СССР, 1931, сер.7, Jé 7, с.963-1012.

110. Крылов А.Н. Об определении критических скоростей вращающегося вала. Л.: Изд-во АН СССР, 1932, с.3-6.

111. ПО. Крылов А.Н. Собрание трудов. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1937, т.5. 574 с.

112. Крюков Е.П. Преобразование задач продольно-поперечного и продольного изгиба прямых стержней. Строит.механика и расчет сооружений, i960, Л 4, с.8-12.

113. Крюков Е.П. О связи между характеристиками консольных стержней в задачах устойчивости. Строит.механика и расчет сооружений, 1970, № I, с.44-47.

114. Крюков Е.П. К вопросу об устойчивости консольных стержней при нагрузке, распределенной на части длины. Сб.тр.Всес.заоч. политехи.ин-та, 1973, вып.81, с.63-67.

115. Кузнецов А.Н. Об одной задаче статики тонких гибких стержней. Изв.вузов. Математика, 1969, Jé I, с.14-19.

116. Кулиев С.М. Об устойчивости бурильной колонны. Азерб.нефт. хоз-во, 1940, № 6(222), с.34-38.

117. Левин И. О влиянии Местных напряжений в балке, изгибаемой с сосредоточенным грузом. Вестн.инж.и техн., I9I5,t.I,Jé2,c.58-67.

118. Лейбензон Л.С. Неустойчивость направления вращательного бурения. Азерб.нефть.хоз-во, 1922, Jé 8(9), с.67-72.

119. Лейтес С.Д. О применении метода сил к исследованию устойчивости статически неопределимых систем.-^ В кн. : Исслед.по теориисооружений. М.-Л., 1949, вып.4, с.29-39.

120. Лейтес С.Д. Устойчивость сжатых стальных стержней. М.: Госстройиздат, 1954. - 308 с.- 171

121. Лейтес С.Д. Устойчивость сжатых стержней, жесткость которых изменяется по степенному закону. В кн.: Материалы по метал.конструкциям. М., 1962, вып.6, с.13-74.

122. Лизаров А.Д., Клепов В.И. Устойчивость стержней переменного сечения при действии собственного веса. Изв.вузов. Стр-во и архит., 1978, Jfe 6, с.37-41.

123. Линевский А. Роль направлений и удлинителей в проведении вертикальной скважины.-Азерб.нефт.хоз-во,1932, .№2(122), с.64-74.

124. Локшн А.П. К расчету на продольный изгиб брусьев переменного сечения. Вестн.инж.и техн., 1934, № 8, с.361-362.

125. Лукаш П.А. К продольному изгибу стержней переменного сечения. -В кн.-.Исслед.по теории сооружений, 1977,вып.23, с.126-132.

126. Луковников В.Ф. Устойчивость прямоугольной полосы и двутавровой балки при сложном поперечном и продольном нагружении: Автограф.Дис. . канд.техн.наук. Рига, 1955. - 10 с.

127. Лукьянов Ф.Н., Яицкий Л. Плоская и продольные формы потери устойчивости стержней от действия нагрузки вида ^азс1. Тр. Новочерк.инж.-мелиор.ин-та, 1974, т.15, 16 7, с.54-69.

128. Лунин B.C. Деформация прямолинейных стержней, находящихся под действием продольных и поперечных сил. Вестн.инж., 1929, № 11/12, с.366-367.

129. Лунин Б.С. Об устойчивости столбов. Вестн.инж.и техн., 1930, & I0/II, с.369-374.

130. Лурье А.И. Применение принципа максимума к простейшим задачам механики. Тр.Ленингр.политехн.ин-та, 1965, № 252, с.34-46.

131. Любовин Э.М., Морозов М.Н., Шишмаков В.Т. 0 критических скоростях вращения колонны бурильных труб. Изв.вузов. Геология и разведка, 1977, №2, с. 135-139.

132. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП1. СССР, 1935, с.399.

133. Максименко Ф. О погрешностях, являющихся при употреблении приблизительной формулы Е3 c/^/dx*. сб.ин-та инж.путей сообщ.,1886, вып.5, с.1-29.

134. Макушин В.М., Малинин H.H. Применение функции Бесселя к задачам продольно-поперечного изгиба. Тр.Моск.ин-та инж.гразд. воздуш.флота им.К.Э.Циолковского, 1940, вып.5, с.1-115.

135. Макушин В.М. Устойчивость сжатых стоек, нагруженных продольными силами, распределенными по частям длины. Тр.каф.сопротивления материалов МВТУ им.Н.Э.Баумана, 1947, раздел 3. Колебания, устойчивость и равновесие упругих стержней, с.85-109.

136. Макушин В.М. Исследование устойчивости скрученного стержня с равными главными жесткостями при изгибе. В кн.: Расчеты на прочность. М., 1958, вып.2, с.252-283.

137. Макушин В.М. Эффективное применение энергетического метода исследования упругой устойчивости стержней и пластин. В кн.: Расчеты на прочность. М., 1962, вып.8, с.225-251.

138. Макушин В.М. Критическое значение равномерно распределенных стоек. В кн.: Расчеты на прочность. М., 1963, вып.9, с.253-267.

139. Макушин В.М. Приближенное исследование устойчивости стержней, сжатых распределенными продольными силами. В кн.:Расчеты на прочность. М., 1964, вып.10, с.173-210.

140. Макушин В.М., Савельев Н.Г., Нгуен Ван Хунг. Устойчивость плоской формы полос при совместном действии поперечной и продольной нагрузки.-В кн.:Расчеты на прочность.М.,1969, вып.14,с.268-289.

141. Мандичев Г., Салчев Л. Определяне на максималните напряжения в колонн с променливо напречно сечение 3(J)=Ö0^ » натова-рени на натиск и огъване. Год.на машинно-електротехн.инст.Со- 173 фия, 1964, т.16, KH.I, с.33-43.

142. Манжаловский В.П. Некоторые задачи по теории устойчивости.-Харьков: ОНТИ, 1938.-152 с.

143. Мартьянов А.П. К определению критических параметров стержней переменного сечения по длине при сложном нагружении. Тр.Моск. инж.-строит.ин-та, 1967, вып.54, с.115-118.

144. Материалы ХХЯ съезда КПСС. М.: Политиздат, I98I.-223 с.

145. Микеладзе Ш.Е. Решение краевых задач с помощью обобщенной формулы Маклорена.-Док.АН СССР, 1946, т.52, J& 9, с.759-761.

146. Микеладзе Ш.Е. Некоторые задачи строительной механики. -М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 267 с.

147. Микеладзе Ш.Е. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. - 292 с.

148. Митропольский Н.М. Приближенные расчеты прямых стержней на устойчивость от нагрузки, приложенной по длине стержня. Тр. Моск.ин-та инж.ж.-д.транс., 1950, вып.74, с.73-100.

149. Михайлов М., Глушков Л. Върху формудате за определяне на критична сила на прътове с променлив инерционен момент. Год. на висшите техн.учебни.заведения. Приложна механика. София, 1966(1968), т.2, кн.1, с.157-158.

150. Михелинакис Л.Н. К вопросу о продольном изгибе длинных балок. Техника, хроника, 1968, № 12, с.825-841.

151. Морозов A.A. Об одной задаче на устойчивость прямолинейного стержня. Сб.Днепропетр.метал.ин-та, 1958, вып.35, с.79-85.

152. Мостков М.М. Уточненные решения вопроса устойчивости. -Шнек; Гос.изд-во Белоруссии, 1936. 161 с.

153. Мочернюк Д.Ю., Довгун Я.С., Чернуха Ю.А. Продольный изгиб стержней с односторонними связями. Изв.вузов. Нефть и газ, 1974, В 10, с.23-26.- 174

154. Мулин С.M. Исследование устойчивости плоской формы изгиба: Автореф.Дис. . канд.техн.наук. М., 1951. - 12 с.

155. Муллагулов М.Х. О расчете прямых стержней ступенчато-пере- V менного сечения на устойчивость. Изв.вузов. Стр-во и архит., 1977, № 2, с.43-47.

156. Муллагулов М.Х. Приближенный расчет стержней постоянного и -J переменного сечений на устойчивость. В кн.: Прочность конструкций, 1977, Jfc 2, с.90-96.

157. Муллагулов М.Х., Нурматов И.Н. Расчет прямых стержней на устойчивость при сложном нагружении при помощи ЭЦВМ. Сб.науч. тр.Ташк.политехи.ин-та, 1978, Jê 235, с.67-79.

158. Муллагулов М.Х. Новый приближенный метод расчета прямых стержней постоянного и ступенчато-переменного сечений на устойчивость при сложной комбинации нагрузок. Прикл.механика, 1979,т.15, M II, с.108-113.

159. Муллагулов М.Х. Метод расчета на устойчивость плоской формы изгиба балок при действии системы сосредоточенных сил. Изв.вузов. Стр-во и архив., 1979, № 8, с.121-126.

160. Мучников В.М. Изгиб гибких стержней. М.:МИИТ,1935, - 83 с.

161. Науменко В.К. Решение задач устойчивости стержневых систем матричным методом. В кн.: Прочность и долговечность горн.машин. M., 1976, вып.4., с.220-224.

162. Нгуен Ван Хунг. Уточнение энергетического метода исследованиями устойчивости стержней, сжатых распределенными силами. Изв. вузов. Машиностроение, 1968, Jé I, с.35-39.

163. Нгуен Ван Хунг. Некоторые задачи устойчивости сжатых стержней и плоской формы изгиба полосы: Автореф.Дис. . канд.техн. наук, M., 1969. - 7 с.

164. Незальзов O.P. Прямой матричный метод определения критичес- 175 ких сил при потере устойчивости плоской формы изгиба.-Сопротивление материалов и теории сооружений. Респ.межвуз.науч.-техн. сб., 1972, й 16, с.182-184.

165. Николаи Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонн.-Изв.Петербург.политехи.ин-та, 1907,т.8,вып.I,с.255-288.

166. Николаи Е.Л. 0 работах Эйлера по теории продольного изгиба.-Учен.записки Ленингр.гос.ун-та, 1939, № 44, с.436-454.

167. Николаи Е.Л. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней.-М.-Л.: Гостехиздат, 1952, 428 с.

168. Николаи Е.Л. Труды по механике.-М.: Гостехиздат,1955,-583 с.

169. Нудельман Я.Л. Интегральные уравнения в теории продольного изгиба.-Прикл.математика и механика,1936,т.3, J£ I, с.23-30.

170. Нурматов И.Н., Муллагулов М.Х. Расчет стержней ступенчато-переменного сечения на устойчивость методом начальных параметров в матричной форме.-Сб.науч.тр.Ташк.политехи.ин-та,1977,вып.173, с.60-66.

171. Определяние на критичните сили на пръти м промедливи на преч-ни сечения при някой случаи на закрепване /Л.Салчев, В.Попов, Г.Мавдичев и др.-Год.висшите техн.учебн. заведения. Приложна механика , I973(I975),т.8,кн.I,с.I39-I50.

172. Оськин Б.И. Об устойчивости сжато-изогнутых стержней при различных схемах нагружения.-Строит.мех.и расчет сооружений,1970, № I,с.37-44.

173. Павлюк Н.П. Об устойчивости стержней и простых рамных систем. -Вестн.инж. и техн.,1934, № 5, с.208-212.

174. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем.-М.:Наука, 1964.-336 с.

175. Папкович П.Ф. Несколько общих теорем, относящихся к устойчивости упругих систем.-Тр.Ленингр.кораблестроит.ин-та,1937,вып.1, с.3-23.

176. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля.-Л.:Судпром-гиз, 1941,4.2.-960 с.

177. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. -Судпромгиз, 1963, т.4. 551 с.

178. Пархомовский Я.М. Об опрокидывании стержней при одновременном действии поперечных и продольных нагрузок. Техн.заметки ЦАГИ, 1939, № 196, с.1-38.

179. Писаренко Г.С. К устойчивости быстровращающихся сжатых стержней. Пробл.прочности, 1979, J6 8, с. 18-19.

180. Попов A.A. Новый способ графоаналитического определения критических сил при продольном изгибе.-В кн.: Расчеты на прочность, М., 1959, вып.4, с.243-269.

181. Прагер В., Тейлор Д. Задачи оптимального проектирования конструкций. Тр.Амер.о-ва инж.-мех., Прикл.механика, 1968, сер.Е, № 3, с.242-248.

182. Прокофьев И.П., Смирнов А.Ф. Теория сооружений. М.: Тра-нсжелдориздат, 1948, ч.З. - 244 с.

183. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3-х т. Под общ.ред.И.А.Биргера и Я.Г.Пановко. М.: Машиностроение, 1968, т.З. - 568 с.

184. Расулов P.A., Вердиев Т.М., Мусаев С.А. Вопросы устойчивости стержней с ограниченным изгибом. Учен.зап.Азерб.ин-та нефти и химии, 1975, сер.9., № 6, с.69-74.

185. Расчет буровых труб в геологоразведочном бурении /Е.Ф.Эпш-тейн, В.И.Мацейчик, И.И.Ивахнин и др. М.: Недра, 1979.- 161с.

186. Репман Ю.В. Об определении критических сил по уравнению устойчивости. -Тр.лаб.строит.механики ЦНИПС, 1941, с.5-39.

187. Ржаницын А.Р. Графический метод решения некоторых задач на- 177 продольный изгиб. Строит.пром-сть, 1938, № II, с.64-70.

188. Ржаницын А.Р. Теория составных стержней строительных конструкций. -М. : Стройиздат, 1948. 192 с.

189. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем.-М. : Гостехиздат, 1955. 475 с.

190. Ржаницын А.Р., Давыдова Э.Г. Устойчивость составного стержня при действии переменной по длине продольной силы. Прикл. механика, 1968, т.4, вып.1, с.75-80.

191. Рогицкий С.А. Расчет сжато-изогнутых стержневых систем. -Свердловск, 1959. 52 с.

192. Рогицкий С.А. Новый метод расчета на прочность и устойчивость. М.-Свердловск: Машгиз, 1961. - 352 с.

193. Руднев В.И. 0 продольном изгибе сплошного цилиндрического стержня.-Тр.Моск.ин-та инж.трансп., 1929, вып.10, с.27-64.

194. Салчев Л.Г., Мандичев Г. Върху опреляне на максималните напряжения в колонн с променливо напречно сечение, натоварени на натиск и огъване. Год.на Машинно-електротехн.инст.София, 1963, т.13, кн.1, с.123-132.

195. Салчев Л.Г., Мандичев Г. Формулы Эйлера для стержней с переменными инерционными моментами шарнирно опертые в оба конца.-В кн.: Механика сплошных сред.: Материалы Междунар.конф.София, 1966(1968), с.439-446.

196. Салчев Л., Попов В., Мандичев Г. Върху определянето на кри-тичните сили на пръти с променливо сечение при няком случаи на закрепване.-Год.на Висшите техн.учебни заведения. Приложна механика, 1971, т.6, кн.I, с.67-77.

197. Салчев Л., Попов В., Мандичев Г. Върху определяните на кри-тичните сили на ставно подпрени пръти с променливи напречни сечения. -Теоретична и приложна механика. София, 1972, т.З, кн.1,с.33-41.

198. Саркисов Г.М. Бурильные трубы. Баку: Азгостоптехиздат, 1940. - 2,4 с.

199. Саркисов Г.М., Семагин К.Ф. О расчете на прочность бурильных колонн при роторном бурении с учетом переменных напряжений.-Нефт.хоз-во, 1968, & 6, с.9-12.

200. Саркисов Г.М. Расчет бурильных и обсадных колонн. М.: Недра, 1971. - 205 с.

201. Сароян А.Е. Проектирование бурильных колонн. М.: Недра, 1971. - 181 с.

202. Сароян А.Е. Основы расчета бурильных колонн. М.: Гостоп-техиздат, 1961. - 175 с.

203. Сароян А.Е. Бурильные колонны в глубоком бурении. М.: Недра, 1979. - 231 с.

204. Сегаль А.И. Об устойчивости рамных систем. Вестн.инж.и техн., 1936, № 7, с.426-430.

205. Сегаль А.И. Об устойчивости стенок трубчатой стойки. -Вестн.инж.и техн., 1936, № 10, с.575-576.

206. Сикорский Ю.С. Обобщение задачи о продольном изгибе конического стержня. Прикл.математика и механика, 1939, т.З, вып.4, с.173-180.

207. Симонянц Л.Е. Об упругой устойчивости вертикального вращающегося стержня. Тр.Грозн.нефт.ин-та, 1953, сб.II. Вопр.Геологии нефт.месторождений и бурения скважин, с.47-58.

208. Симонянц Л.Е., Картышев И.Е., Кеворков С.А. Об Эффективности роторного бурения на низких оборотах. Изв.вузов. Нефть и газ, 1970, № 2, с.21-25.

209. Смирнов А.Ф. Исследование устойчивости упругих систем по методу малых возмущений.-Тр.Моск.ин-та инж.ж.-д.трансп., 1946,- 179 вып.69. Строит.механика и мосты, с.21-65.

210. Смирнов А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. М.: Трансжеддориздат, 1947. - 308 с.

211. Смирнов А.Ф. Стержни и арки наименьшего веса при продольном изгибе. Тр.Моск.ин-та инж.ж.-д.трансп., 1950, вып.74. Строит, механика и мосты, с.73-100.

212. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжеддориздат, 1958. - 571 с.

213. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Гостехиздат, 1957, т.4, с.144-145.

214. Снитко Н.К. Новый метод нахоздения уравнения упругой линии бруса при помощи ряда Маклорена. Тр.Моск.ин-та инж.трансп., 1930, вып.15, с.375-399.

215. Снитко Н.К. Устойчивость стержней переменного сечения при действии различных продольных нагрузок. Строит.пром-сть, 1938, 16 8/9, с.89-94.

216. Снитко Н.К. Расчет сжато-изогнутых стержней. Проект и стандарт, 1938, № I, с.28-31.

217. Снитко Н.К. Устойчивость стержневых систем. М.: Госстрой-издат, 1952. - 267 с.

218. Снитко Н.К. Устойчивость сжатых и сжато-изогнутых стержневых систем. Л.-М.: Госстройиздат, 1956. - 207 с.

219. Снитко Н.К. Деформационные расчеты и устойчивость высоких башен. Изв.вузов. Стр-во и архит., 1966, Л 10, с.32-39.

220. Снитко Н.К. Устойчивость стержней переменного сечения. -Строит.механика и расчет сооружений, 1968, № I, с.34-35.

221. Снитко Н.К. Устойчивость конструкций. Л.: Изд-во Ленингр. кораблестроит.ин-та, 1973. - 93 с.- 180

222. Снитко Н.К. Жесткость и устойчивость стержней непрерывно-переменного сечения.-Изв.вузов.Машиностроение,1973,№8, с.9-10.

223. Снитко Н.К.К устойчивости стержней и рам с вертикальными стойками.-Строит.механика и расчет сооружений, 1975,Ш, с. 42-44.

224. Снитко Н.К, Устойчивость и деформационная прочность стержней и рам при действии распределенной сжимающей нагрузки.-Сопротивление материалов и теории сооружений.Рес.межвед.науч.-техн. сб.,1976, вып.29, с.72-77.

225. Снитко Н.К. Определение критических распределенных нагрузок для стержней и свободных рам методом начальных параметров. -Изв.вузов. Стр-во и архит., 1966, № 10, с.63-67.

226. Стоянов Л.Устойчивость на равнинного огъване на стоманени греди с ажурно стебло. Строителство,1976,т.23, Ш 12, с.6-9.

227. Келлер Д.Таджбахш И. Оптимальные стержни и изопериметри-ческие неравенства для собственных значений.-Тр.Амер.о-ва инж.-мех., 1962, сер.Е. Прикл.механика, № I, с.177-183.

228. Тейлор Д. Энергетический подход к задаче оптимальной стойке. -Тр. Амер. о-ва инж. -мех. , 1967, сер.Е. Прикл.механика, №2, с.257-259.

229. Тейлор. Д., Лю К. Оптимальное проектирование стоек.- Тр. Амер.об-ва аэронавтики и космонавтики, 1968, т.6, Ракетная техн. и космонавтика, № 6, с.70-76.

230. Тимошенко С.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости.-Изв.С.-Петербург.политехи.ин-та, 1905, т.4, вып.3/4, с.151-219, 1906, вып.1/2, с.3-34, т.5, вып.3/4, с. 263-292.

231. Тимошенко С.П. 0 продольном изгибе стержней в упругой среде. Изв.С.-Петербург.политехи.ин-та, 1907, т.7, вып.1,с.145-157.

232. Тимошенко С.П. К вопросу о продольном изгибе. Изв.Киев, политехи.ин-та, 1908, кн.2, с.181-212.

233. Тимошенко С.П. Об устойчивости упругих систем. Изв.Киев, политехи.ин-та, 1910, год 10, кн.4, с.375-560.

234. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Петроград, 1916, ч.2. - 416 с.

235. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостех-издат, 1955. - 568 с.

236. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965, с.38-40.

237. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек.-М.: Наука, 1971. 807 с.

238. Тихомиров Е.И. К точной и приближенной теориям продольного изгиба. Тр.каф.сопротивления материалов Моск.авиац.ин-та, 1935, с.3-21.

239. Тихомиров Е.И. Кривой брус малой жесткости. Вестн.инж. и техн., 1936, В 10, с.568-571.

240. Тихомиров Е.И. О точном уравнении продольного изгиба.- В кн.: Расчеты и прочность. М., 1971, вып.15, с.195-216.

241. Турищев Л.С. Об истоках несоответствия между понятиями устойчивости в строительной механике и концепцией разветвления форм равновесия. Сб.науч.-метод.статей по сопротивлению материалов, строит.механике и теории упругости, 1975, вып.2,с.46-49.

242. Тусупбаев М.Д. Исследование поведения буровой штанги, как упругого стержня, в процессе эксплуатации. Автореф.Дис. . канд.техн.наук. Алма-Ата, 1972. - 9 с.

243. Уваров О.Д. Поперечный и продольно-поперечный изгиб стержней с произвольным законом изменения жесткости. Сб.тр.Всес.заоч.политехи.ин-та, 1968, вып.51. Сопротивление материалов и строит.механика, с.137-143.

244. Фан-дер-Флит А. К вопросу о продольном изгибе не призматических стержней. Сб.ин-та инж.путей сообщ., 1900, вып.53,с.1-24.

245. Федянов A.M. Потеря устойчивости стержнями средней и малой гибкости при продольном изгибе: Автореф. Дис. канд.техн.наук. Одесса, 1955. 8 с.

246. Феодосьев Б.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1972.544 с.

247. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973. - 400 с.

248. Феодосьев В.И. Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1975. - 174 с.

249. Феодосьева Л.И. Устойчивость плоской формы изгиба гибких стержней. Изв.вузов. Машиностроение, 1975, I, с.14-18.

250. Федоров B.C., Симонянц JI.E. К вопросу о вертикальных перемещениях шарошечных долот при бурении. Тр.Грозн.нефт.ин-та, 1953, сб.II. Вопр.геологии нефт.месторождений и бурения скважин, с.37-44.

251. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966, т.2. - 800 с.

252. Хайду И. Графоаналитический метод расчета сжатых стержней на продольный изгиб. В кн.: Расчеты на прочность. М., 1962, вып.8, с.253-255.

253. Хлытчев Я.М. Об изгибе объемными силами цилиндра с эллиптическим основанием. Изв.Петрогр.политехи.ин-та, 1915, т.23, с. 441-448.

254. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.:1. Мир, 1971. 191 с.

255. Ченцов Н.Т. Стойка наименьшего веса. Тр.ЦАГИ, 1936, вып. 265, с.3-48.

256. Чешанков Б. Върху определянето на критичнате сила при изклчване. Год.на висшите техн.учебни,заведения. Приложна механика, 1966(1968), т.2, кн.1, с.65-78.

257. Чудновский Б.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости упругих систем. Киев; Изд-во АН УССР, 1952. - 416 с.

258. Шищенко С.И., Шищенко Р.И. О формах равновесия вращающихся стержней. Азерб.нефт.хоз-во, 1926, № 3(51), с.77-83.

259. Шищенко С.И., Саркисов Г.М. Бурильные трубы, математическая теория их работы и экспериментальное исследование их материалов. Тр.Азерб.нефт.исслед.ин-та. Баку, 1933, вып.19, с.10-25.

260. Шищенко С.И., Саркисов Г.М. Перспективы повышения числа оборотов ротора при вращательном бурении. Азерб.нефт.хоз-во, 1933, № 9(41), с.40-50.

261. Янтурин А.Ш. К исследованию упругой деформации направляющего участка бурильной колонны в искривленной скважине. Тр. Уфим.нефт.ин-та, 1976, вып.28, с.86-90.

262. Ясинский Ф.С. Опыты развития теории продольного изгиба. -С.-Петербург, 1893. 270 с.

263. Ясинский Ф.С. 0 сопротивлении продольному изгибу. -С.-Петербург, 1894. 129 с.

264. Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. М.-Л.: Гостехиздат, 1952. - 428 с.

265. Alblas I.B. Optimal strength of a compound column.-Intern. J.of Solids and Structures, 1977, Vol.13, N 4, p.307-320.

266. Beer H», Schulz G. Bases théoriques des courbes européennes de flambement.- Construction métallique,1970,t.7,^3, p.37-57»

267. Blasius H. Träger kleinster Durchbiegungen und Stäbe gröBter Knickfestigkeit bei gegebenem Materialverbrauch. Ztschr. für Math, und Phys., I9I3, Bd.62,H.2,S.182-197.

268. Bresse M. Cours de mécanique appliquée,profesé à l'Ecole impériale des ponts et chaussé'es. Paris,1859,pt.I, p.205-219. 271» Brock J. An Euler buckling eigensystem for a nonprismatic strut.-Trans.ASME.J.Appl.Mech.,1978,Vol.45,N2,p.439-440.

269. Clebsch R.P.A. Theorie der Elastizität fester Körper. Leipzig, 1862, S.218-222.

270. Gollignon E. Note sur la flexion des pieces droites comprimées. Annales de pont et chaussées, 1889,sér.6, t.17» p.98-124.

271. Conti P.A. Considerazioni sulla stabilità del binario nel piano verticale.-Ing.ferroviaria,1977,vol.32,p.27I-282.

272. Dannehl I., Kissing W. Zum poltreuen Knick von Stäben mit linear veränderlicher Biogesteifigkeit.-Wiss.Ztschr. der Techn. Hochsch.Magdeburg,I970,Bd.I4, N5/6, S.633-636.

273. Dimitrov N.Ermittlung konstanter Ersatz-Trägheitsmomente fUr Druckstäbe mit veränderlichen Querschnitten. Bauingenieur, 1953, Jg.28, H.6, S.208-211.

274. Dumonteil P. Note sur la représentation des courbes européennes de flambement. Construction métallique, 1979, t»I6, N4-, p.54-55.

275. Federhofer K. Berechnung der Auslenkung beim Kippen gerader Stäbe. Ztscbr. für angew.Math.und Mech.,1926,Bd.6,H.I,S.43-48.

276. Federhofer K. Neue Beitrag zur Berechnung der Kipplasten gerader Stabe .-S.-Ber.Akad.der Wiss. in Wien,I93I,Abt.IIa,Bd 140, H.I/2, S.237-270.

277. Francke A. Die Tragkraft der Säulen bei veränderlichem Querschnitt. Ztschr.für Math, und Phys.,I90I,Bd.46,H.4,S.4I9-434.

278. Francke A. Knicksicherheit bei Zunahme des Trägheitsmomentes.-Ztscbr.ïiir Archit. und Ingenieurwesen, 190?,Bd.53 (12), N5,1. S.472-482.

279. Georgescu D. Elastic lateral stability of beams.-Rev.roum. sei.techn.ser.mec.appl.,1976,t.2I, NI, p.31-38»

280. GlUsk J., Geliert M. Non-linear analysis of an elastic supported and lateral vestrained contilever. Proc.Inst. of

281. Civil Eng., I972,Vol.51, p.561-567.297« Goeben H.-E., Loos W.Diagramme zum Nachweis der Kippstabilität von I-Einfeldträgern mit und ohne Kragarm bei speziellen Bedingungen des Lastangriffs und der Lagerung.-IfL-Mitt.,1976, Jg.15,H.9, S.306-315.

282. Grashof P. Theorie der Elastizität und Festigkeit mit Bezug auf ihre Anwendungen in der Technik.-Berlin,I878,S.164.

283. Halphen C.H. Traite des fonctions elliptiques et de leurs applications. Paris, 1888, pt.2, p.192-236.

284. Hoening K. Beitrag zur Berechnung der Knicksicherheit von Stäben mit veränderlichem Querschnitt. Eisenbau, I9I5»Jg«6, N10, S.241-246.

285. Hu K.K., Kirmser Ph.G. A numerical solution of a nonlinear differential-integral equation for the optimal shape of the tallest column. Int.J.Eng.Sci., 1980, Vol.18, N 2,p.333-339.

286. Irie A. Das Knickproblem bei Druckstäben mit veränderlicher Normalkraft und veränderlicher Beigesteifigkeit. Eine Lösungin Matrizenschreibweise. Beton und Stahlbetonbau, 1976, Jg.71, H.II, S.279-282.

287. Kiessling F. Eine Methode zur Approximativen Berechnung einseitig eingespannter Druckstäbe mit veränderlichem Querschnitt.-Ztschr. für angew.Math. und Mech., 1930,Bd.10, H.6, S.594-599.

288. Kirchhof G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einesunedlich dünnen elastischen Stabes. J.für die reine und angew. Math., 1859, Bd.56, H.4, S.285-313.

289. Kreuzinger H. Methode der Schrittweisen Näherung zur Berechnung von Kipproblemen.-Bautechnik,I974,Jg.51,H.9,S.3II-3I4.

290. Lagrange I.L. Sur la figure des colonnes. Ouvres.Paris,1868, t.2,p.I25-I7O.

291. Lagrange I.L. Sur la force des ressorts plies. Ouvres. Paris, 1868, t.3,p.77-110.

292. Lamarle M.E. Mémoires sur la flexion du bois. Annales des trav.publ. de Belgique, 1846, t.4, p.5-36.

293. Meck H.R.Experimental evalution of lateral buckling loads.-J. of the Eng.Mech.Div.,Proc. of the Amer.Soc.of Civil Eng.,1977, Vol.103, HEM 2, p.ЗЗ1-ЗЗ7.

294. Michell A.G.M. On the elastic stability of long beams under transverse forces.-Philos.Mag.and J. of Sciences,I899,Ser.5, Vol.48, N 292, p.298-309.

295. Michell I.H. Some elementary distribution of stress in tree dimensions.-Proc. of the London Math.Soc., (1900)1901, Vol.32,1. P.23-35.

296. Mises R. Uber die Stabilitätsprobleme der Elastizitätstheorie. -Ztschr. für angew.Math. und Mech.,1923,Bd.3,H.6,S.406-422,

297. Mises R. Ausbiegung eines auf Knicken beanspruchten Stabes.-Ztschr. für angew.Math, und Mech., 1924,Bd.4,H.5,S.435-438.

298. Mladenov K. On the stability of a bar loaded by paraboli-cally distributed axial loading.-Stahlbau, 1979,Jg.48,H.3,S.78-81.

299. Mucha A. Kippen gabelgelagerter Träger von Linear veränderlicher Höhe.-Bautechnik, 1973, Jg.50,H.8, S.278-286.

300. Nethercot D.A.,Trahair N.S. Lateral buckling appriximations for elastic beams.-The Structural Eng. ,1976,Vol.54,N6,p.197-204.

301. Olhoff N.,Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped.-Intern,J.of Solids and Structures, 1977, Vol.13, N7, p.603-614.

302. Passer W. Beitrag zur Berechnung von Knickstäben mit veränderlichem Verschnitt.-Bautechnik, 1936,Jg.14,H.27,S.418-419.

303. Poisson S. Sur les lifnes elastiqes a double courbyre.-Gorresp. sur l'ecole polytechn., 1816, t.3> P«355.

304. Prandtl L. Kipperscheinungen.-Inaug.-Diss.der Univ. zu München, 1899.-73 S.

305. ReiBer H. Uber die Stabilität der Biegung.-S.-Ber. der Berliner math. Ges., 1904, Bd.3, S.53-36.

306. Schreier E. Fragen der Knickfestigkeit. Schweissen und Schneiden, 1969, Jg.21, H.I, S.26-36.

307. Southwell R.V. On the general theory of elastic stability.-Philos.Trans, of the Roy.Soc.of London, I9I3,Ser.A, Vol.213, N501, p.187-244.

308. Timoshenko S. Stabilitätsprobleme der Elastizität. Handb. der Phys. und techn.Mech., 1929, Bd.4, Lieferung.I, S.8I-I4-5.

309. Trefftz E. Allgemeine Theorie der Knickung aes geraden Stabes.-Ztschr.fur angew. Math, und Mech., I923,Bd.3,H.4,u.272-275.

310. Valbert G. Flambement simple des barres reelles.-Construction me talli que,1973,t.10,N3,p.41-48.

311. Vielsack P. On the difference between lateral buckling bybeading and by torsion.-Ztschr.angew.Math, and Meoh., I977,Bd.57, H.3,8.196-197.

312. Wang I.T.-S. A new look of the lateral buckling problems of beams.-Mech.Research Communications, 1976,vol.3,N4, p.313-318.