Условия МГД равновесия винтовых конфигураций с магнитными островами и МГД неустойчивости плазменного шнура с током тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Богомолов, Леонид Михайлович

• Богомолов, Леонид Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Богомолов, Леонид Михайлович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I, Линейные условия появления близкого винтового равновесия.

§ 1.1. Метод близкого равновесия.

§ 1.2. Принцип наслоения тока и условия устойчивости винтовых и тиринг-мод.

ГЛАВА 2. Многосвязные Бинтовые равновесия и квазилинейная теория тиринг-моды

§ 2.1. Многосвязные винтовые конфигурации

§ 2.2. Примеры распределений тока в квазилинейном равновесии.

§ 2.3. О формулах для квазилинейного насыщения тиринг-моды связь с ранее известными результатами).

§ 2.4. Стационарные винтовые внешние поля и винтовые квазилинейные равновесия.

ГЛАВА 3. Конфигурации с островами типа /п -1.

§ 3.1. Точное нелинейное решение уравнения равновесия.

§ 3.2. Условия равновесия винтовой конфигурации с островом по ~ 1.

§ 3.3. Критерий устойчивости внутренней винтовой моды в тороидальном шнуре при немонотонном профиле тока.

ГЛАВА 4. Влияние давления на условия равновесия многосвязных винтовых конфигураций и устойчивость плазменного шнура.

§ 4.1, Близкие винтовые квазилинейные равновесия, обусловленные градиентом давления

§ 4.2. Одномерная модель уплощения профиля давления.

§ 4.3. Взаимосвязь эффектов, обусловленных током и давлением

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия МГД равновесия винтовых конфигураций с магнитными островами и МГД неустойчивости плазменного шнура с током»

Осуществление управляемого термоядерного синтеза является важной научно-технической проблемой, решение которой сделало бы доступными для практического использования огромные энергетические ресурсы.

Замкнутые магнитные системы для удержания плазмы типа тока-мак являются наиболее перспективными для построения на их основе энергетического термоядерного реактора. В результате многолетних исследований в экспериментах на токамаках были достигнуты высокие значения температуры, плотности и энергетического времени жизни, вплотную подходящие к величинам, необходимым для работы реактора. Были также разработаны важнейшие основы теории удержания плазмы в токамаке, включающей теорию МГД равновесия и теорию М1Д устойчивости плазменного шнура. - На выводах последней об условиях устойчивого удержания плазмы опирается, во многом, концепция токамака.

Хотя к настоящему времени по вопросам МГД равновесия и устойчивости токамаков уже накоплена обширная информация Л»2/, однако дальнейшая разработка этих вопросов и, в частности, более подробный анализ условий равновесия и геометрии магнитных поверхностей плазменного шнура в токамаке сохраняют свою актуальность. Это обусловлено, с одной стороны, общим характером современной стадии исследований на токамаках - при переходе к крупным демонстрационным установкам (например, сооружаемый в СССР токамак TI5) желательна повышенная надежность теоретических предсказаний. С другой стороны, в сложившейся, в целом, картине проявлений МГД неустойчивостей, требует дополнительного исследования ряд существенных вопросов.

Как известно, при эволюции параметров плазменного шнура может происходить бифуркация его равновесия, т.е. переход из одно-связного квазицилиндрического равновесия в равновесие с многосвязной магнитной структурой (магнитными островами). Такие процессы изменения топологии магнитной конфигурации связывают с развитием тиринг-мод /3,4/. Ваяно, что время перехода в новое равновесие с магнитными островами обычно значительно меньше энергетического времени жизни. Равновесные конфигурации, получающиеся по окончании сравнительно быстрых переходных процессов могут быть стационарными подобно конфигурациям с вложенными нерасщеп-ленными магнитными поверхностями.

Данная работа посвящена, в основном, теоретическому исследованию винтовых конфигураций с островами, лежащими внутри токового канала. В условиях токамака, когда наличие продольного тока обусловлено внешней цепью, а его распределение зависит от^магнитной структуры и, в свою очередь, влияет на нее, многосвязные магнитные конфигурации описываются самосогласованными уравнениями. Из-за этого обстоятельства анализ многосвязных конфигураций оказывается более сложным, чем плазменных конфигураций с простой топологией.

Рассматриваемый в настоящей работе вопрос об условиях существования равновесных винтовых конфигураций с островами, узкими по сравнению с малым радиусом шнура, или, кратко, близких винтовых равновесий с островами, тесно связан с проявлениями МГД не-устойчивостей типа тиринг-моды, а также гравитационно диссипа-тивной моды ( ^-мода). Выяснение этого вопроса представляет интерес, поскольку поведение и свойства разряда в токамаке определяется, во многом, развитием тиринг-моды /4-7/. Ниже будет показано, что анализ условий существования близких равновесий с островами позволяет упорядочить и уточнить следующие вопросы: I) об условиях перехода из исходного равновесия с односвязной магнитной структурой в равновесие с островами; 2) об условиях нелинейной стабилизации винтовых возмущений (например, тиринг-моды), вызывающих перестройку конфигурации; 3) об особенности структуры винтового возмущения с т = I; 4) о влиянии винтовых возмущений, созданных внешними мультипольными полями; 5) о мелкомасштабном расщеплении резонансных поверхностей, обусловленном давлением плазмы.

Поскольку многие из упомянутых вопросов (либо смежные с ними) уже поднимались в литературе, остановимся кратко на полученных к настоящему времени результатах. При этом основное внимание уделим тем работам, положения которых наиболее важны для вопросов,рассматриваемых в диссертации.

Исследование винтовых конфигураций с островами было начато в /8/, где рассматривался простейший случай магнитных ловушек в отсутствие плазмы. В работах /9,10/ были описаны общие свойства замкнутых магнитных конфигураций, в том числе и имеющих многосвязную структуру. Параллельно, в работах /11-13/ проводилось исследование осесимметричных конфигураций, которые рассматривались как наиболее важные с точки зрения их реализации в эксперименте.

В 1973 г. в /14/ были цредложены уравнения, получившие название уравнений Кадомцева-Погуце. Эти уравнения указали на наличие внутренней связи между теорией винтовых равновесий и поведением винтовых возмущений типа ^ = \ (р)со$(ты-( ^ ь>} I - цилиндрические координаты, /п - полоидальное, п -тороидальное волновые числа). Это усилило интерес к винтовым конфигурациям, и они рассматривались во многих работах по идеальным нелинейным винтовым возмущениям /Е5-19/.

Ко времени появления этих работ в линейной теории устойчивости плазменного шнура с током уже были получены принципиальные результаты. Обратимся к ним, а затем перейдем к работам, посвященным нелинейному развитию неустойчивости с винтовой структурой возмущения.

Основной результат по стабилизации винтовой неустойчивости р Р> сильным продольным полем (критерий Крускала-Шафранова а

У к оы

1 /20, 21/) был получен еще в середине 50-х годов, а в 1970 г. в работе /22/ была практически завершена линейная теория винтовой неустойчивости. В качестве модели для этой неустойчивости, модами которой являются крупномасштабные винтовые возмущения с данными волновыми числами п , рассматривался идеально проводящий плазменный шнур, окруженный вакуумной непроводящей областью. Результат /22/ принято представлять в виде диаграммы устойчивости (Шафранова). Она показывает, что винтовые моды неустойчивы лишь в ограниченной зоне коэффициентов запаса на границе шнура

Л?*Р ^ П^грК ™ (I) где <2>Кр# зависит от распределения тока и граничных условий вне токового канала. Важно, что в случае т > Ъ неустойчивая зона может отсутствовать, если распределение тока достаточно крутое. Наличие неустойчивых зон было качественно подтверждено и экспериментом /23/.

Когда резонансная поверхность находится внутри горячей токонесущей плазмы при идеальной проводимости винтовая мода с IV >у% всегда устойчива, однако в этом случае может быть неустойчивым ее диссипативный аналог - тиринг-мода /6, 24/. Если же , то даже в случае, когда резонансная поверхность с

4 находится в идеально проводящей плазме, возможна неустойчивость нелокальной внутренней винтовой моды, которая связана как с продольным током, так и с давлением плазмы. Критерий устойчивости внутренней винтовой моды в цилиндрическом шнуре был также получен в классической работе /22/, а в тороидальном шнуре - в /25-27/. При конечной проводимости имеется также и ти-ринг-мода с П1 =1 .

Винтовые и тиринг-неустойчивости являются крупномасштабными и охватывают большую часть плазменного шнура /24, 28/. Кроме них, согласно /22, 29/ в плазменном шнуре вблизи резонансных поверхностей могут развиваться локальные неустойчивости, связанные с давлением. Эти неустойчивости, в отличие от винтовых и тиринг-мод, чувствительны к кривизне магнитной оси, но нечувствительны к внешним граничным условиям (наличие либо отсутствие кожуха и т.п.). Локализованным неустойчивостям посвящено большое количество работ (см.обзор /2/), обсуждение которых, однако, не входит в цели диссертации.

Линейная теория тиринг-неустойчивости была развита в /24/, где рассматривались резистивные неустойчивости плоского плазменного образования в сильном продольном магнитном поле. В /24/ была разработана модель для исследования МЕД устойчивости плазмы с высокой, но конечной проводимостью. В этой модели конечность проводимости плазмы учитывается лишь в тонком резистивном слое вблизи резонансной поверхности, ширина которого зависит от отношения гидромагнитного и скинового времени и очень мала для плазмы токамака. Из полученного в /24/ дисперсионного уравнения как частные случаи были выделены три ветви неустойчивости, соответствующие тиринг-моде, ^-моде (гравитационно-диссипатив-ной) и токово-конвективной (ришшнг) моде. (Отметим, что некоторые результаты, касающиеся этих частных случаев, были получены в предшествовавших работах /30, 31/).

Интересным результатом /24/ является то, что критерии устойчивости тиринг-мод и ^-ыод определяются соответственно распределениями продольного тока и давления, но не проводимостью в резистивном слое. Это обстоятельство позволило авторам /32/ указать энергетический принцип, пригодный как для винтовых, так и для тиринг-мод. В работах /32, 33/ были проведены численные расчеты величины Д' , определяющей свободную энергию ти-ринг-моды и дающей критерий ее устойчивости А' <0 . Согласно /32/ при монотонно спадающих профилях тока неустойчивыми являются лишь моды с небольшими по . Важным свойством величины А1 является то, что А'-О дает одну из форм уравнения для левой границы устойчивости на диаграмме Шафранова. Это, а также наличие общего энергетического принципа подчеркивает аналогию между идеальной винтовой модой типа поверхностной волны и тиринг-модой. Непрерывный переход между этими модами по их инкрементам был прослежен в /34/.

С помощью предложенной в /24/ и ставшей общепринятой модели в цикле работ /34-38/ исследовалось влияние на условия устойчивости и инкременты дрейфовых эффектов, а в работах /39-42/ - кинетических эффектов, определяющих проводимость. Оказалось, однако, что при изотропном давлении плазмы (это соответствует пренебрежению ларморовским радиусом и эффектами, связанными с вязкостью) критерий устойчивости тиринг-моды в цилиндрическом шнуре совпадает с классическим условием Д'<0 , а различными являются инкременты.

Понимание тесной связи между теориями винтовых равновесий и винтовых неустойчивостей плазменного шнура с током значительно

- ю углубилось, благодаря работе /43/, где были проанализированы силы, баланс которых определяет наличие либо отсутствие винтовых равновесий, а также развитие винтовых неустойчивостей. В /43/ было подчеркнуто, что граница устойчивости винтовых мод, даваемая левой граничной точкой на диаграмме Шафранова, определяется только условиями равновесия возмущенной конфигурации и инвариантны по отношению к модели проводимости плазмы. В этой работе было также указано на отсутствие нелинейных односвязных винтовых равновесий без поверхностных токов и внешних винтовых полей, создаваемых токами в кожухе, системой обратной связи и т.п. Это означает фактическое отсутствие нелинейного насыщения у винтовых мод.

Влияние кожуха на нелинейное развитие неустойчивых винтовых возмущений рассматривалось в уже упомянутых работах Д5, 16/. В /15/ было найдено, что развитие околопороговых винтовых тиринг-мод с т > 2 останавливается на нелинейной стадии, и система переходит в новое состояние равновесия, поддерживаемое за счет токов в кожухе. Чем ближе кожух к границе плазмы, тем меньше винтовое смещение, соответствующее насыщению. В работе Д8/ рассматривались нелинейные свойства 'т - 1 внутренней винтовой моды. Для этого случая, в котором граница шнура неподвижна, в /18/ была найдена бифуркация исходного неустойчивого равновесия, что соответствует наличию равновесной структуры с поверхностными токами вблизи резонансной поверхности с пс^ - 1 .

В середине 70-х годов остро стояла проблема объяснения и предотвращения неустойчивости срыва, ограничивающей плотность тока в токамаках /44, 45/. Это стимулировало теоретическое исследование нелинейного поведения винтовых и тиринг-неустойчивостей. В численных расчетах, проведенных в /46/, была обнаружена нелинейная стабилизация винтовых мод с т ^ % » 410 (совместно с результатами Л 5/) создало в то время впечатление об их неопасности. При этом срывы связывались с одной либо несколькими ти-ринг-модами /47-49/.

Однако, как указано в /43/, стабилизация винтовых мод, обнаруженная в /46/, обусловлена поверхностными токами, которые возбузадаются при движении плазмы. Поскольку эти токи не являются стационарными, они фактически лишь приостанавливают развитие неустойчивости и в реальной плазме ее насыщение является фиктивным. Согласно /43/, силы, вызвавшие винтовую неустойчивость приводят (если речь идет о наиболее опасной моде пл = 1,п = 1 ) к малому либо большому срыву.

Перейдем к обсуждению группы работ /50-55, 63-68/, посвященных нелинейным эффектам для тиринг-мод. Сначала остановимся на случае m^Z , а затем m = 1 .В работах /52-55/ выделено несколько характерных стадий, которые проходит тиринг-мода в своем развитии. Стадия экспоненциального роста возмущения описывается линейной теорией, развитой в /24/. При увеличении размеров островов эта стадия сменяется, как показано в /50/, стадией более медленного степенного роста возмущения.

В работе /51/ рассмотрено развитие тиринг-моды на стадии, когда ширина образовавшихся островов существенно превышает ширину резистивного слоя. При этом фактически имеет место эволюция равновесных конфигураций с магнитными островами. Авторами /51/ было получено следующее уравнение, описывающее квазилинейное насыщение тиринг-моды

А'{w)~ А W=0 (2)

До появления теоретической работы /51/ насыщение тиринг-мод с по ^ 2 отмечалось в численных расчетах /54, 55/.

При выводе условия насыщения (2) в /51/ был разработан и применен метод решения уравнения равновесия, приспособленный прежде всего для интерпретации численных расчетов /54, 55/. Этот метод однако оказался неудобным для исследования того, какие же факторы обеспечивают квазилинейное насыщение тиринг-моды. Возможно, поэтому в оригинальной работе /51/ не анализировалось, достигается ли насыщение благодаря факторам, обусловленным самой структурой получающейся конфигурации с островами или же за счет поверхностных токов, (Последнее означало бы, что тиринг-мода не может приводить к стационарной равновесной конфигурации), В последовавших за /51/ работах /56, 57/ в квазилинейном приближении разбиралось влияние сравнительно тонких эффектов дрейфового вращения шнура, конвективных потоков и т.п. Было показано, что эти эффекты не еказываются на условии квазилинейного насыщения. Однако и в /56, 57/ не проводилось разграничения динамических и квазистационарных квазилинейных эффектов.

В итоге сложилась ситуация, когда, с одной стороны, результат /51/, т.е. уравнение для расчета квазилинейной ширины островов получил широкое распространение и используется во многих работах (например /58, 59/) по вопросам влияние тиринг-мод на удержание плазмы в токамаках, а с другой - не вполне ясен смысл этого результата, т.е. свойства стоящих за ним равновесных конфигураций.

Недавно, в 1981 г., была предпринята попытка аналитического расчета размеров островов методом теории возмущений /60/, допускающем более детальное исследование роли распределений объемных и поверхностных токов в резонансном слое. Но постановка задачи в работе /60/ (плоская геометрия; фиксированная координатная зависимость проводимости, несовместимая с высокой продольной теплопроводностью электронов) не позволяют перенести в количественной форме ее результаты на случай плазмы токамака.

В связи с вышеизложенным важным является проверить, не становится ли фиктивным (подобно случаю винтовых мод) обнаруженное в /51/ квазилинейное насыщение, когда речь идет о характерных временах, на которых успевают затухнуть поверхностные токи. Отметим, что такие времена не охватываются пока трехмерными численными расчетами. Кроме того, дополнительного анализа требует случай, ко1да резонансная поверхность находится вблизи границы токового канала, поскольку для него в разных работах приведены не согласующиеся друг с другом результаты /43, 51, 61/.

Теперь остановимся на работах по теории внутреннего срыва, который связывается с развитием тиринг-моды с т = 1 . Внутренние срывы происходят периодически при релаксационных колебаниях электронной температуры и плотности тока, обнаруженных в работе - /62/.

Качественное объяснение явления внутреннего срыва было дано в /63/, где было указано, что из-за затухания поверхностных то/ ков, останавливающих при идеальной проводимости винтовое возмущение с т-А , происходит пере замыкание магнитных линий, в результате чего образуется конфигурация с островом с П1 = 1 . Размеры острова растут вплоть до полного перезамыкания центральной области с ^ < 1 . После этого величина ^ в центральной области становится равной I, т.е. плотность тока в ней несколько уменьшается. Далее происходит разогревание приосевой области, плотность тока в ней возрастает и процесс повторяется. Такая картина была подтверждена численными расчетами /64-67/.

Полукачественная теория внутреннего срыва /63, 68/ не указывает радиус резонансной поверхности, соответствующий моменту начала перезамыканий, т.е. она не является самосогласованной.

Дальнейшее развитие теория релаксационных колебаний и, в частности теория тирияг-моды получили в работах /69

73/, где на основе положений /63, 68/ проводилось более деталь» » ное описание различных стадий релаксационных колебаний и всего процесса в целом. Центральным вопросом /69-73/ являлось улучшение соответствия временных и энергетических характеристик (период колебаний, время перемешивания, диссипируемая за цикл энергия и т.д.)» предсказываемых теорией, с экспериментальными данными. Наиболее полно этот вопрос был освещен в /71, 72/, авторам которых удалось показать наличие соответствия мевд теорией и экспериментом. (Это относится, в большей степени, к полному периоду и размаху колебаний электронной температуры, и, в меньшей степени, ко времени перезамыкания полей).

В работе /71/ была также предпринята попытка связать момент начала внутреннего срыва с параметрами плазменного шнура и объяснить, почему неустойчивая т ~ 1 тиринг-мода сразу же при появлении резонансной поверхности с = 4 не приводит к перемешиванию плазмы. Согласно /71/ это обусловлено, с одной стороны, быстрым разогревом приосевой области шнура (иногда говорят даже о перегревной неустойчивости) и малым инкрементом тиринг-моды при малом шире, т.е. когда резонансная поверхность находится вблизи оси, и, с другой стороны, тем, что при увеличении шира скорость нарастания пп= 1 тиринг-моды резко увеличивается и она приобретает взрывной характер. В эксперименте это проявляется как запуск процесса перезамыканий; На нелинейной стадии рост магнитного острова с щ = -1 вновь замедляется и происходит по степенному закону /64, 69/.

Расчеты /71, 72/, однако, не объясняют важных закономерностей во взаимном влиянии винтовых возмущений с т - 1 и т = Х » обнаруженных на токамаке /74/, Кроме того, как было отмечено в /43, 75/, имеющиеся работы не объясняют несоответствие между выводом теории перезамыканий /63, 68/ относительно распределения плотности тока и величины с^ в приосевой части шнура и условиями устойчивости винтовой моды /п - 2 , 1 •

Интересные результаты были получены в недавно вышедших работах /76, 77/, где рассматривалось нелинейное развитие винтовых возмущений при высоких ЯР > 1 .В численных расчетах /76/ в случае Лр>Олв была найдена нелинейная стабилизация этих возмущений при относительной ширине острова около 10%. Анализируя уравнения двухжидкостной гидродинамики, Бискамп в работе /77/ получил примерно такую же ширину островов у равновесных конфигураций, особенностями которых являются сильная неоднородность плотности плазмы и наличие конвективных течений. Значение этих работ пока оценить трудно, так как в одном случае /76/ не указана физическая природа результата численных расчетов, а в другом /77/ - не пояснен переход к обычной одножидкостной гидродинамике, уже в рамках которой должно проявиться наличие силового багажа в найденной в /77/ нестационарной конфигурации.

Завершая описания имеющихся результатов по устойчивости винтовых возмущений и некоторым их проявлениям (полный обзор дан в /2, 3/), отметим роль локальных мод, связанных с давлением. В отличие от крупномасштабных мод они лишь косвенно влияют на удержание плазмы, увеличивая поперечную теплопроводность. В литературе указано несколько механизмов увеличения теплопроводности, Так, к примеру, одним из таких механизмов, который принципиален для цилиндрического шнура бесконечной длины, т.е. в случае непрерывного спектра продольных волновых чисел является образование квазимод со сравнительно широкой областью локализации по радиусу f , но ограниченных по длине 2 /78, 79/. Другим механизмом, с которым в /80/ связывают аномальность электронной теплопроводности в токамаках, является образование небольших магнитных островков, обусловленных локальными дисси-пативными модами. Наличие таких островков, согласно /81/, важно также для диффузии примесей. Однако, в целом влияние эффектов, связанных с локальными модами пока исследовано слабо.

Анализ работ по тиринг-модам /50-53, 71/ свидетельствует о сделанном в них преимущественном упоре на описании временного развития неустойчивости. Между тем, из-за наличия у тиринг-мод с т - % механизма квазилинейной стабилизации наиболее важной является заключительная стадия развития этих мод - стадия насыщения. Именно ей определяется влияние тиринг-мод на удержание плазмы. В этом состоит принципиальное отличие тиринг-мод от винтовых мод, для которых в условиях реальной плазмы отсутствует насыщение и наиболее важными оказываются условия устойчивости, даваемые линейной теорией /43, 75/. Отметим, что для тиринг-моды с т = 1 на важность анализа возможности стадии насыщения указывают результаты работ /76, 77/.

Традиционное описание временного развития тиринг-моды основано на полной системе уравнений магнитной гидродинамики, упрощенных с учетом малости отношений В^/ В г и / ^й

Несомненным достоинством этого подхода является то, что он позволяет примерно оценить время перехода из исходного неустойчивого равновесия в состояние, соответствующее насыщению. Однако, как неоднократно отмечалось в работах по эволюции равновесных конфигураций Д, 82/, в настоящее время пока не установлено достаточно надежной формы поперечного закона Ома, связывающего скорость плазмы с эволщией магнитной конфигурации токамака, Из-за этого описание временного развития тиринг-моды в токамаке носит модельный характер и менее надежно в количественном отношении, чем положения, основанные на условиях ШД равновесия.

Описание стадии насыщения, в которой уже закончены быстрые переходные процессы основано, по существу, лишь на двух надежных уравнениях: уравнении равновесия и продольном законе Ома. При этом, как будет показано ниже, в практически важном случае равновесий, близких к цилиндрически симметричным по распределению тока и геометрии магнитных поверхностей вне резонансного слоя можно обойтись только уравнением равновесия и некоторыми общими соображениями. Хотя исследование стадии насыщения тиринг-моды по используемому аппарату является более простой задачей по сравнению с анализом их развития во времени, но, как уже отмечено выше, и для нее пока не выяснены существенные вопросы. Эта задача, в частности, решается в данной работе.

Рассмотрение винтовых конфигураций с островами и условий их устойчивости представляет интерес также со следующей точки зрения, Процесс формирования тока в устойчивой односвязной конфигурации идет со скиновыми временами, т.е. значительно медленнее, чем переход из неустойчивого равновесного состояния в устойчивое. Поэтому естественно считать, что по достижении границы устойчивости для тиринг-моды на резонансной поверхности сразу же появляются магнитные острова, размеры которых определяются условиями равновесия и устойчивости новой многосвязной конфигурации. После этого происходит эволюция многосвязной конфигурации. При таком подходе практически отпадает проблема описания быстрых переходных процессов. Однако подобные эволюционные конфигурации несколько отличаются по распределению тока от конфигураций, которые рассматривались в /51, 52/ при традиционной постановке задачи о насыщении тиринг-моды, стартующей в неустойчивом равновесии при заметном удалении от границы устойчивости. Для этих эволюционных конфигураций, характерных при нетрадиционном подходе, применимость имеющихся методов расчета ширины островов не является очевидной.

Одной из основных целей данной диссертации является разработка общего метода описания геометрии магнитных островов в равновесной конфигурации, пригодного как при традиционной постановке задачи, так и при анализе эволюции многосвязных равновесий. Другой целью является выделение соотношений и формул, описывающих винтовые конфигурации с островами, которые не зависят от конкретного вида транспортных уравнений (либо слабо чувствительны к ним).

Перейдем к изложению содержания основной части диссертации.

В главе I на примере цилиндрического плазменного шнура анализируются линейные условия появления близких винтовых равновесий.

В § I указаны величины, которые в линейном приближении остаются неизменными при переходе из исходного неустойчивого в новое винтовое равновесие и являются специфическими инвариантами перехода. Наличие этих инвариантов, связывающих распределение тока и давления в исходной и в возмущенной конфигурации, предопределяет совпадение условий появления близких равновесий с границами устойчивости МГД-мод в плазме с изотропным давлением.

Показана применимость метода близкого равновесия, который ранее использовался лишь в случае идеально проводящей плазмы, для анализа устойчивости диссипативной плазмы, которая описывается уравнением МГД равновесия с изотропным давлением. Попутно с точки зрения близкого равновесия пояснен явный смысл различия между неустойчивоетями плазмы с идеальной и конечной проводимостью: границы устойчивости диссипативных мод определяются условиями появления близкого равновесия, в котором отсутствуют поверхностные токи, а объемная плотность тока непрерывна на сепаратрисе, а границы устойчивости по отношению к идеальным модам означают наличие близкого равновесия с виртуально малым островком, в котором объемная плотность тока повышена и составляет

Атг 1п 4 ,, /ОЛ а по границе островка протекает отрицательный поверхностный ток.

В § 2 рассмотрен принцип наслоения тока, впервые предложенный в /75/ для анализа условий устойчивости тиринг- и винтовых мод в токамаке. В основе этого принципа, интерпретирующего произвольное распределение тока как результат последовательного наслоения однородных токов, лежат условия появления близкого винтового равновесия, и следствия его инвариантны по отношению к модели описаний диссипативных процессов, С помощью принципа наслоения тока получены необходимые условия неустойчивости винтовых мод при наличии кожуха, дополняющие многочисленные расчеты диаграмм устойчивости /2, 83/. Применительно к тиринг-модам из этого принципа следует, что токи в близкой окрестности резонансной поверхности являются стабилизирующими, а дестабилизирующие эффекты для тиринг-моды связаны с токами во внешних по отношению к резонансному слою областях.

В главе 2 рассматриваются свойства винтовых конфигураций с островами, проявляющиеся в длинноволновом приближении эе^ О и их связь с теорией квазилинейного насыщения тиринг-моды с гг\>,Х

В § I введены удобные обозначения, описывающие форму сепаратрисы. С их помощью в предположении малости остроеов относительно найдены приближенные решения уравнения равновесия в каждой из топологически односвязных областей. Из полученных решений в случае отсутствия поверхностных токов и внешних винтовых полей следует общее условие существования многосвязного винтового равновесия, близкого к цилиндрически симметричному по ч распределению тока вне резонансного слоя. Оно связывает геометрию островов и параметры распределения тока.

При применении этого условия для конфигураций, получающихся в результате насыщения тиринг-моды, в распределении тока в двумерном слое с островами появляется некоторая неоднозначность. (Ее можно было бы устранить в рамках более сложной задачи, привлекающей закон Ома и уравнения переноса). Однако наиболее важная черта распределения тока в резонансном слое, а именно его уплощение по сравнению с обычным спадающим профилем, определяется самой магнитной структурой, а роль неоднозначности в сравнительно тонких деталях распределения тока не является принципиальной.

В § 2 рассмотрены характерные примеры распределения тока в резонансном слое. Получены явные формулы для геометрии островов, которые показывают, что размеры островов, соответствующих разным распределениям тока возле сепаратрисы, но одной и той же величине ^ Л' , отличаются друг от друга менее чем вдвое. Наибольшая (при данному А' ) ширина насыщенных островов определяется форму

В § 2 обсуждается также эволюция конфигураций с островами лой 2 I-1- с вг/и'; с при наращивании тока в стадии формирования разряда. Указано, в частности, что при появлении вблизи магнитной оси резонансной поверхности с = 2 размеры островов относительно невелики.

В § 3 обсуждается соответствие результатов, полученных в §§ I, 2 и результатов работ /51, 52/. В том случае, когда в /51/ было обнаружено насыщение, определяемая (4) ширина островов согласуется с рассчитанной в /51/. Различие между результатами состоит в том, что полученные в § 2 выражения вида (4) в значительно меньшей степени чем (2) чувствительны к распределению тока и проводимости внутри островов. Это различие объяснится тем, что в /51/ был не вполне точно вычислен коэффициент А , входящий в (2), из-за чего роль неоднородности тока и проводимости в острове оказалась там преувеличенной.

В § 3 проведена также оценка квазилинейной ширины островов на основе одномерной модели, в которой наличие островов описывается как уплощение профиля тока вблизи резонансной поверхности, а условием насыщения является ^ Д'=0 для модифицированного тока. Полученные из модельных соображений геометрические параметры согласуются с результатом квазилинейного двумерного расчета и поясняют его физический смысл.

В § 4 рассматривается влияние на геометрию островов внешних стационарных мультипольных винтовых полей, малых по сравнению с £>со • Показано, что роль этих полей различна при к!>0 и А'<0 .

Если А1 <0 , т.е. тиринг-мода устойчива в цилиндрически симметричной конфигурации, то ширина острова, обусловленного радиальным внешним полем 8р ~ пропорциональна | Уех* У а квазилинейные эффекты перераспределения тока несущественны. В случае же неустойчивой тиринг-моды ( Д;> О ) ширина островов у устойчивого равновесия превышает уровень насыщения, причем при слабых внешних полях V,« «8 ^ V/ ' и/^а ^ | УС^| • В этом случае квазилинейные эффекты принципиальны, а влияние стационарных внешних полей менее существенно.

В главе 3 рассматриваются конфигурации с островами типа Л1= = \ . Особенностью случая /п = 1 является то, что в длинноволновом приближении внутренняя винтовая мода является нейтрально устойчивой, а для т = 1 тиринг-моды - 00

В § I указано, что в длинноволновом приближении имеются равновесные конфигурации с островами типа т = 1 , отличающиеся от квазилинейных равновесий с т > Ъ распределением тока внутри островов. В случае т-1 у равновесных конфигураций плотность тока внутри острова составляет ^ -(^'в определено в (2)) и выше, чем сразу за сепаратрисой. Особенностью этих конфигураций является то, что внутри острова все силовые линии замкнуты и имеет место точный фазовый резонанс В^ —

С помощью этих равновесных конфигураций удается проанализировать эффект развития тиринг-моды. В § I отмечено, в частности, что предельный характер распределения тока в обнаруженных конфигурациях практически означает отсутствие насыщения т-1 тиринг-моды, для которой А1- 00 .

В § 2 в случае цилиндрической геометрии рассмотрено влияние на условия равновесия винтовых конфигураций с островами эффектов порядка эе ^ ~ № , определяющих устойчивость внутренней винтовой моды. Найдено условие существования равновесных конфигураций, у которых в островах имеет место резонанс между полем и возмущением с № = 1 . Это условие по форме совпадает с границей устойчивости внутренней винтовой моды. Обсуждается также возможность существования равновесий с отличным от

2) распределением тока в островах. Показано, что в отсутствие поверхностных токов для наличия равновесий, у которых в островах плотность тока меньше /е и может быть непрерывной, необходимо выполнение условия устойчивости внутренней винтовой моды.

Пример прямого цилиндра показал, что при анализе близких равновесий с островами оказываются важными условия устойчивости идеальной внутренней винтовой моды.

В § 3 рассмотрены условия устойчивости внутренней винтовой моды в тороидальном шнуре при немонотонном профиле тока с двумя резонансными поверхностями ( psi) = ^ ( j>sz) ^ 1 ( Я = Получен критерий устойчивости внутренней винтовой моды при немонотонном профиле тока. Этот критерий дополняет найденные ранее в работах /25-27/ условия устойчивости внутренней моды при монотонном токе. Показано, что внутренняя часть плазменного шнура неустойчива при малом $>р . Отмечено, что в вырожденном случае ри= Psz-0 » когда профиль с^ лишь касается I, внутренняя часть шнура также неустойчива, но неустойчивость не может привести к перезамыканию полей и перестройке конфигурации.

В главе 4 проводится анализ эффектов, связанных с распределением давления в близких бинтоеых равновесиях с островами.

В § I рассматриваются винтовые конфигурации с мелкомасштабными магнитными островками. Расщепление резонансных магнитных поверхностей и образование таких островков с характерной шириной обусловлено фактором, вызывающим неустойчивость ^ -моды, т.е. градиентом давления. Подобно тому, как для квазилинейной теории тиринг-моды существенно навязываемых островной структурой уплощение профиля тока, для ^ -мод важным является перераспределение (уплощение) профиля давления при конечной величине островов. Отметим, что квазилинейные эффекты, связанные с давлением, ранее не рассматривались в литаратуре*

Вне резонансного слоя распределение давления р (У) определяется по профилю близкого цилиндрически симметричного равновесия, которое можно рассматривать как исходное. В двумерной области, вблизи резонансной поверхности зависимость рС^) определяется уравнением состояния плазмы и уравнением переносов (в то время как распределение продольного тока следует из закона Ома).

Однако, как и в длинноволновом приближении, с помощью модельных зависимостей р(Ч/) оказывается возможным проанализировать квазилинейные эффекты, не рассматривая транспортных уравнений.

В результате учета в уравнении равновесия поправок, связанных с давлением, получена следующая формула, определяющая ширину островов в равновесной конфигурации г 2* — - 87Г Р'^ (5)

Эту формулу можно рассматривать как результат квазилинейного насыщения <^-моды. Кроме того, она определяет эволюцию островов в винтовом равновесии, возникшем при переходе границы

В § 2 предложена одномерная модель для определения квазилинейной ширины островов, обусловленных ^ -модой. С точки зрения этой модели результат (5) допускает простую и наглядную интерпретацию. Указано также, каким образом условие существования близкого равновесия (5), выведенное для прямого цилиндра, можно, слегка видоизменяя I) , перенести на тороидальный случай.

Условие Х>>0 является достаточным для существования винтовых равновесий с расщепленными на островки резонансными поверхностями. При этом размеры островов в случае Д;<0 значительно меньше как квазилинейной ширины (4) при А '>0 , так и расстояния между резонансными поверхностями с одним и тем же п

В § 3 обращено внимание на другую сторону эффектов, связанных с давлением, а именно на влияние градиента давления на неустойчивые тиринг-моды. Показано, что при 2)< О ( ^-мода устойчива) развитие тиринг-моды в исходной цилиндрической конфигурации может начаться только с конечной амплитуды возмущения, т.е. для нее имеет место порог по амплитуде радиального поля. Наличием такого порога, возможно, объясняется наблюдаемое иногда в токамаках внезапное появление винтовых возмущений с т -1 .

На защиту выносятся следующие положения.

I. Близкие винтовые равновесия двух типов, условие появления которых соответствуют при изотропном давлении границам устойчивости идеальных и диссипативных мод.

2. Нелинейное решение уравнения равновесия, которое описывает равновесную конфигурацию с островом т - 1 и соответствует нейтральной устойчивости внутренней винтовой моды в длинноволновом приближении.

3. Необходимые условия неустойчивости винтовых мод при наличии кожуха, вытекающего из принципа наслоения тока. Следствия принципа наслоения для тиринг-мод.

4. Метод описания магнитных поверхностей в двумерной области и расчета параметров магнитных островов в зависимости от граничных условий и распределения тока и давления. Модельный метод оценки размеров насыщенных островов.

5. Явные формулы для геометрии островов, получающихся при насыщении тиринг-мод, а также ^ -мод. Факторы, приводящие к квазилинейной стабилизации тиринг-мод.

6. Критерий устойчивости внутренней винтовой моды при немонотонных профилях тока.

- 26 ~

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Богомолов, Леонид Михайлович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кратко сформулируем основные результаты работы.

1. В работе показано на примере цилиндрического шнура, что в основе условий устойчивости и идеальных, и диссипатиЕНЫх МГД-мод лежат условия МГД равновесия. Отмечена нечувствительность условий устойчивости диссипативных мод (тиринг- и ^ -моды) в плазме с изотропным давлением к модели диссипации плазмы.

2. С помощью принципа наслоения тока проанализированы условия устойчивости для винтовых мод при наличии кожуха. Рассмотрены следствия принципа наслоения тока для тиринг-мод.

3. Разработан метод решения нелинейного уравнения равновесия еблизи резонансной поверхности. Выведены явные формулы для геометрии островов, определяющие эволюцию конфигурации при изменении распределений тока и давления. Проанализированы факторы, определяющие квазилинейное насыщение тиринг-моды, а также ^ -моды.

4. На основе одномерной модели предложен упрощенный метод оценки ширины насыщенных островов, обусловленных продольным током (случай тиринг-моды) и градиентом давления (случай^ -моды).

5. Показана необходимость возникновения тонкой структуры из множества магнитных островов с разной периодичностью при условии ]) >0 . Эффекты, связанные с наличием тонкой магнитной структуры должны, в частности, проявляться в токамаках в области шнура

6. Рассмотрено влияние эффектов градиента давления на характер возникновения тиринг-моды. Указан случай, когда у тиринг-мо-ды имеется порог по амплитуде возмущения магнитного поля.

7. Найдены нелинейные решения, описывающие равновесные вин-тоЕые конфигурации с островами п\ - Л

Автор признателен научному руководителю академику Б.Б.Кадомцеву за предоставленную возможность провести данное исследование и руководство работой. Автор также благодарен старшему научному сотруднику, кандидату физико-математических наук Л.Е.Захарову за постоянное внимание к работе, обсуждение результатов и ценные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Богомолов, Леонид Михайлович, 1984 год

1. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д, Равновесие плазмы с током в тороидальных системах.- В сб.: Вопросы теории плазмы, вып.II/ Под ред. Леонтовича М.А. и Кадомцева Б.Б.- М.: Энергоиздат, 1981, с. 118 235.

2. Wesson J.Á. Hydromagnetic Stability of Tokamak.- Nucí. Fusion, 1978, v. 18, II 1, p.87 130.

3. Муховатов B.C. Токамаки.- В сб.: Итоги науки и техники, серия Физика плазмы, т. I/ Под ред. Шафранова В.Д. М.: ВИНИТИ, 1980, с. 50 - 67.

4. Мирнов C.B. Физические процессы в плазме токамака.- М.: Энергоатомиздат, 1983, с. 95.

5. Вайт Р.Б. Резистивные неустойчивости и пересоединение магнитных силовых линий.- В кн.: Основы физики плазмы/ Под общ. ред. Сагдеева Р.З. и Розенблюта М.Н.- М.: Энергоатомиздат, 1983, с. 525 589.

6. Бейтмен Г. МГД неустойчивости.: Пер с англ. Захарова Л.Е.и Путвинского C.B./ Под ред. Шафранова В.Д.- М.: Энергоиздат, 1982, с. 169 179.

7. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме.- М.: Наука, 1969, 239 с.

8. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Геометрия магнитного поля.- В сб: Вопросы теории плазмы, вып. 2/ Под ред. Леонтовича М.А.

9. М.: Госатомиздат, 1963, с. 3-90.

10. Арцимович Л.А. Замкнутые плазменные конфигурации.- М.: Наука, 1969, с. 160.

11. Соловьев Л.С., Шафранов В.Д. Замкнутые магнитные конфигурации для удержания плазмы.- В сб.: Вопросы теории плазмы, вып. 5 Под ред. Леонтовича М.А.- М.: Атомиздат, 1967, с. 3 208.

12. Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле.- Там же, вып. 2.- М.: Госатомиздат, 1963, с. 92 130.

13. Mukhovatov V.S., Shafranov 7.D. Plasma equilibrium in a tokamak .- Nucl. Fusion, 1971, v.11, N 6, p.605 633.

14. Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Нелинейные винтовые возмущения плазмы в токамаке.- ЖЭТ<£, 1973, т. 65, № 2 (8), с. 575 589.

15. Rutherford Р.Н., Furth Н.Р., Rosenbluth M.N. Nonlinear Kink and Tearing-mode Effects in Tokamaks.- In: Plasma Phys. and Contr. Mud. Fusion Res. (Proc. 3th Int. Conf., Madison,1970), v.2.- IAEA, Vienna,1971, p.553 570.

16. Strauss H.R., Monticello D.A., Rosenbluth M.N. Nonlinear helical perturbations of a tokamak.- Phys. Fluids, 1977, v.20, N 3, P. 390 395.

17. Днестровский Ю.Н., Захаров Л.Е., Костомаров Д.П. и др. Расчет образования 11 пузырей" в плазме.- Письма в КТ<£, 1975, т. I, № I, с. 45 48.

18. Dagasian R.Y., Rosenbluth M.N., Rutherford P.H. Nonlinear properties of the m=3 kink instability in the cylindrical tokamak.- Phys. Fluids, 1973, v.16, N 11, p.1894 1902.

19. Yeh T. Bifurcation and stability of long- wavelength helical hydromagnetic equilibrium.- Phys. Fluids, 1973, v.16, N 4, p.516 528.

20. Шафранов В.Д. Об устойчивости плазменного шнура с распределенным током.- В кн.: Шизика горячей плазмы и проблема управляемых ^термоядерных реакций, т. 1У.- М.: Изд-во АН СССР, 1958, с. 61 65.

21. Шафранов В.Д. Об устойчивости цилиндрического газового проводника в магнитном поле.- Атомная энергия, 1956, № 5, с.38-41.

22. Шафранов В.Д. К вопросу о гидромагнитной устойчивости плазменного шнура с током в сильном продольном поле.- НШ, 1970, т. 40,ff°.;2, с. 241 253.

23. Долгов-Савельев В.В., Муховатов B.C. и др. Исследование тороидального разряда в сильном магнитном поле.- ЖЭТФ, I960, т. 38, № 2, с. 394 409.

24. Furth Н.Р., Killeen J., Rosenbluth M.N. Finite Resistivity1.stabilities of a Sheet Pinch. Phys. Fluids, 1963, v.6, IT 4, p. 459 - 484.

25. Bussak M.1T. e.a. Internal kink modes in toroidal plasmas with circular cross sections.- Phys. Rev. Lett., 1975, v.35s IT 23, p. 1638 1641.

26. Захаров JI.E. 0 внутренней винтовой моде в токамаке.- Шизика плазмы, 1978, т. 4, № 4, с. 898 907.

27. Крымский A.M., Михайловский А.Б. Устойчивость внутренней винтовой моды в токамаке с плазмой высокого давления.- Там же, с. 888 897.

28. Михайловский А.Б. Неустойчивости плазмы в агнитных ловушках.- М.: Атомиздат, 1978, с. 142 163.

29. Кадомцев Б.Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы.- В сб.: Вопросы теории плазмы, вып. 2./ Под ред. Леонтовича М.А.- М.: Госатомиздат, 1963, с. 132 176.

30. Jukes J.D. Stability of the Sharp Pinch and Unpinch with

31. Finite Conductivity. Phys. Fluids, 1961, v. 4, IT 12, p. 1527 - 1533.

32. Данжи Дне. Космическая электродинамика.: Пер. с англ. Жулина И.А./ Под ред. Франк-Каменецкого Д.А.- М.: Госатом-издат, 1961.- 250 с.

33. Furth Н.Р., Rutherford Р.Н., Selberg Н. Tearing mode in the cylindrical tokamak. Phys. Fluids, 1973, v. 1 б, II 3, p. 1054 - 1063.

34. Захаров Л.Е. Расчет на ЭВМ величины Д' для тиринг-моды.-Препринт ин-та атомной энергии им. И.В.Курчатова: ИАЭ-3540, М., 1982. 16 с.

35. Погуце О.П., Юрченко Э.И. Винтовая неустойчивость неидеально проводящей плазмы.- Физика плазмы, 1977, т. 3, № 3, с.504-511.

36. Coppi В. Influence of Gyration Radius and Collisions on Hydromagnetic Stability. Phys. Fluids, 1964, v. 7, П 9, p. 1501 - 1511.

37. Coppi B. Current-driven instabilities in configurations with sheared magnetic field. Phys. Fluids, 1965, v.8, U 12, p. 2273 - 2280.

38. Drake J.F., Gladd T. e. a. Electron temperature gradient driven microtearing mode. Phys. Fluids, 1980, v. 23, li 6, p. 1182 - 1192.

39. Крымский A.M., Михайловский А.Б. Дрейфовые эффекты в теории МГД мод токамака.- Шизика плазмы, 1979, т. 5, № I, с. 136- 139.

40. Drake J.F., Lee Y. Kinetic theory of tearing instabilities.-Phys. Fluids, 1977, v.20, IT 8, p. 1341 1353.

41. Hazeltine R.D., Dobrott D., Wang T.C. Kinetic theory of tearing instability.- Phys. Fluids, 1975, v.21, IT 12, p.1778-1786

42. Drake J.F. Kinetic theory of m=1 internal instabilities.-Phys. Fluids, 1978, v. 21, N 10, p. 1777 1789.

43. Hazeltine R.D., Strauss H.R. Kinetic and finite beta effects on the m=1 tearing instability.- Phys. Fluids, 1978, v. 21, N 6, p. 1007 1012.

44. Захаров Д.Е. Винтовые равновесия и винтовые неустойчивости плазмы с током.- шизика плазмы, 1981, т. 7, № I, с. 18-40.

45. Горбунов Е.П., Разумова К.А. Влияние сильного магнитного поля на магнитогидродинамическую устойчивость и удержание заряженных частиц в установке "Токамак".- Атомная энергия, 1963, т. 12, № 5, с. 363 370.

46. Мирнов С.В., Семенов И.Б. О природе крупномасштабных неус-тойчивостей в токамаке.- ЖЭТФ, 1971, т. 60, № б, с. 2I05-2II2

47. Rosenbluth M.N., Monticello D.A., Strauss H.R., White R.B. Numerical Studies of Nonlinear Evoiution of Kink Ivlodes in Tokamaks.- Phys. Fluids, 1976, v.19, N 11, p. 1987 1996.

48. Waddell B.Y. e.a. A mechanism for major disruptions of the tokamak.- Phys. Rev. Lett., 1978, v.41, H 20, p. 1386 1389.

49. Waddell B.V., Carreras В., Hicks H.R., Holmes J.A. Nonlinear Interaction of Tearing Modes in Highly Resistive Tokamak.-Phys. Fluids, 1979, v. 22, N 5, p. 895 890.

50. Callen J.D., Waddell B.Y. e.a. Magnetic "Islandography" in Tokamaks.- In: Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res. (Proc. 7th Int. Conf., Innsbruck, 1978), v.1 IAEA, Vienna, 1979, p. 415 - 431.

51. Rutherford P.H. Nonlinear growth of the tearing mode.-Phys. Fluids, 1973, v. 16, N 11, p. 1903 1908.

52. White R.B., Monticello D.A., Rosenbluth M.N., Waddell B.Y.Saturation of the tearing mode.Phys. Fluids,1977,v.20,N5,p?800-805.

53. Holmes J.A.,Carreras B. e.a. Stabilisation of tearing modes to supress major disruptions in tokamak.- Nucl. Fusion, 1979,v.19, IT 11, p. 1333 1342.

54. Carreras В. e.a. Poloidal Magnetic Field Fluctuations. -ITucl. Fusion, 1979, v.19, IT 12, p. 1423 1430.

55. White R.B., Monticello D.A. e.a. ITonlinear tearing modes in tokamaks.- In: Plasma Phys. and Contr. ITucl. Fusion Res. (Proc. 6th Int. Conf., Berchtesgaden, 1976), V. 1 IAEA, Vienna, 1977, p. 555 - 565.

56. Biskamp D., Welter H. numerical studies of the resistive instabilities.- Ibid., p. 579 580.

57. Monticello D.A., White R.B. Nonlinear drift tearing mode,-Phys. Fluids, 1980, v.23, H 2, p. 366 371.

58. Biskamp D. Nonlinear quenshing of diamagnetic and gyrovisco-us effects in tearing modes.- ITucl. Fusion, 1979, v. 19, IT 6 p. 777 783.

59. Turner M.F., Wesson J.A. Transport, instability and disruptions in tokamaks.- ITucl. Fusion, 1982, v. 22, IT 8, p. 1064- 1078.

60. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы.- М.: Наука, 1982, с. 210.

61. Thyagaraya A. Perturbations analysis of a simpl model of magnetic'island structures.- Phys. Fluids, 1981, v. 24, IT 9, p. 1716 1724.

62. Wesson J.A., Sykes A. Saturated Iiink and Tearing Instabilities in Tokamaks.- In: Plasma Phys. and Contr. ITucl. Fusion Res. (Proc. 8th Int. Conf., Brussels, 1980), v.1 IAEA, Vienna, 1981, p. 237 - 245.

63. Goeler S., Stodiek W., Sauthoff N. Studies of internal disruptions and m=1 oscillations in tokamak discharges with soft X-ray techniques.- Phys. Rev. Lett., 1974, v,33, IT 20, p. 1201 1203.

64. Кадомцев Б.Б. о неустойчивости срыва в токамаках.- Шизика плазмы, 1975, т. I, № 3, с. 710 715.

65. Waddell B;V. е.a. ITonlinear growth of the m=1 tearing mode.-Hucl. Fusion, 1976, v•16j II 3, p. 528 532.

66. Данилов А.Ф., Днестровский Ю.Н. и др. Нелинейные винтовые волны в плазме с учетом конечной проводимости.- Физика плазмы, 1976, т. 2, № I, с. 167 170.

67. Днестровский Ю.Н., Лысенко С.Е., Смит Р. Моделирование релаксационных колебаний внутренней моды в токамаке.- Физика плазмы, 1977, т. 3, № I, с. 18 24.

68. Sykes A., Wesson J.A. Relaxation Instability in Tokamaks.-Phys. Rev; Lett., 1976, v.37, Ii 3, p. 140 143.

69. Kadomtcev B.B. Reconnection of Field Lines and Disruptive Instability in Tokamaks.- In: Plasma Phys. and Contr. IIucl. Fusion Res. (Proc. 6th Int. Conf., Berchtesgaden, 1976), v.1, IAEA, Vienna, 1977, p. 555 - 565.

70. Dubois LI., Samain A. Evolutions of magnetic islands in toka-maks.- ITucl. Fusion, 1980, v.20, II 9, p.1101 1109.

71. Параил B.B., Переверзев Г.В. О внутреннем срыве в токамаке.-Физика плазмы, 1980, т. 6, № I с. 27 33.

72. Jahns G.L., Soler M., Waddell В.Y. e.a. Internal disruptions in tokamaks.- ITucl. Fusion, 1978, v. 18, If 5, p. 609 628.

73. Callen J.D., Jahns G.L. Experimental measurement electron heat diffusivity in a tokamak.- Phys. Rev. Lett., 1977, v.38, II 9, p. 491 494.

74. Park W., Monticello D.A., White R.B. Reconnection rates of magnetic field including the effect of viscosity.- Phys. Fluids, 1984, v. 27, II 1, p. 137 149.

75. Equipe IFR. Internal disruptions and current breakdown in TFR,1.: Plasma Phys.^and Contr. Nucl. Fusion Res. ( Proc. 6th Int. Conf., Berchtesgaden, 1976 ), v. 1, IAEA, Vienna, 1977, p. 46 - 68.

76. Захаров JI.E. К вопросу о внутреннем срыве в токамаке.

77. Физика плазмы, 1981, т. 7, 6, с. 1295 1300.

78. Кадомцев Б.Б. Об электронной теплопроводности в токамаках.-Физика плазмы, 1975, т. I, № 6, с. 938 943.

79. Иванов Н.В. Мелкомасштабная тиринг-мода в токамаке.- Физика плазмы, 1983, т. 9, № 4, с. 703 706.

80. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Задачи эволюции равновесия тороидальной плазмы.- Препринт ин-та атомной энергии им.И.В.Курчатова: ЖЭ -3075, М. ,1978, -46 с.

81. Блехер П.М., Зуева Н.М., Юрченко Э.И. Влияние профиля тока на винтовую неустойчивость плазменного шнура со свободной границей.- Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша, М., 1982, № 106.