Асимптотическая теория МГД равновесия и устойчивости плазмы большого давления в несимметричном торе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, доктор физико-математических наук Щепетов, Сергей Викторович

• Щепетов, Сергей Викторович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Щепетов, Сергей Викторович

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ

§1. Актуальность проблемы и обзор литературы

§2. Общая характеристика работы

ГЛАВА 1. УСРЕДНЕННЫЕ МГД УРАВНЕНИЯ

§1.1. Метод усреднения

§1.2. Усредненные уравнения МГД равновесия

§1.3. Усредненные уравнения идеальной МГД

§1.4. Усредненный закон Ома

§1.5. Укороченные усредненные МГД уравнения

§1.6. Некоторые примеры '

1.6.1. Неоклассическая диффузия в стеллараторе в МГД-приближении

1.6.2. Об измерении давления плазмы по диамагнитному сигналу

1.6.3. Уравнение малых колебаний в прямом стеллараторе

1.6.4. Токово-винтовые моды в стеллараторе

ГЛАВА 2. УСРЕДНЕННОЕ ОПИСАНИЕ РАВНОВЕСИЯ

ПЛАЗМЫ В СТЕЛЛАРАТОРЕ

§2.1. Исходные уравнения

§2.2. Топология магнитных поверхностей при большом давлении плазмы

§2.3. Система координат с выпрямленными силовыми линиями

§2.4. Уравнение для смещения магнитных поверхностей

§2.5. Особенности равновесия плазмы в системах с большим магнитным бугром

§2.6. Равновесие плазмы со стационарным течением

2.6.1. Усредненные скалярные уравнения

2.6.2. О смещении магнитных поверхностей 95 2.6.1. О топологии линий уровня равной плотности

стр

ГЛАВА 3. РАВНОВЕСНЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ МАГНИТНЫЕ

ПОЛЯ И ТОКИ В НЕСИММЕТРИЧНОМ ТОРЕ

§3.1. Система скалярных трехмерных уравнений

§3.2. Структура внешних магнитных полей 101 §3.3. О влиянии плазменных магнитных полей

на величину гофров |В|

§3.4. Разрушение внешних магнитных поверхностей в стеллараторах

§3.5. Об управлении равновесием плазмы в стеллараторе

ГЛАВА 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ

В НЕСИММЕТРИЧНОМ ТОРЕ

§4.1. Уравнение малых колебаний

§4.2. Критерий Мереже в рамках усредненных уравнений

§4.3. Самостабилизация плазмы в стеллараторе с широм

§4.4. О возможности существования двух зон устойчивости

§4.5. Устойчивость плазмы в гофрированном магнитном поле

§4.6. Устойчивость диссипативных желобковых мод в стеллараторе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА ~

4

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая теория МГД равновесия и устойчивости плазмы большого давления в несимметричном торе»

ВВЕДЕНИЕ

§1. Актуальность проблемы и обзор литературы

В последние годы достигнуты значительные успехи в области исследований, ставящих своей конечной целью осуществление управляемой термоядерной реакции в рамках магнитного удержания. При этом основное внимание уделяется токамакам, где получены наиболее впечатляющие экспериментальные результаты и достигнуто наилучшее понимание физических закономерностей, лежащих в основе явлений, происходящих в плазме. Тем не менее не исключено, что окончательный успех может обеспечить иной подход к решению задачи управляемого термоядерного синтеза. В одном из таких подходов предполагается использовать стелларатор - замкнутую магнитную ловушку, в которой удержание плазмы осуществляется с помощью полей, создаваемых токами, текущими по внешним проводникам. Основное преимущество стелларатора заключается в том, что для его работы нет необходимости возбуждать токи в плазме и он может работать в стационарном режиме.

За последние годы стеллараторная программа заметно продвинулась вперед. Успехи ее как в экспериментальной, так и в теоретической областях оказались столь значительными, что стеллараторные системы уже вполне серьезно можно рассматривать как один из вариантов термоядерного реактора. Стеллараторы являются принципиально трехмерными магнитными ловушками. Необходимо также отметить, что и считающиеся аксиально симметричными токамаки, строго говоря, таковыми не являются. В частности, небольшая трехмерная составляющая магнитного поля возникает из-за дискретности катушек соленоида, создающего продольное магнитное поле. Именно такие конфигурации и будут исследованы ниже, причем основное внимание будет уделено классическим стеллараторам с плоской геометрической осью.

Одной из важнейших и актуальных проблем, без решения которых невозможно осуществление управляемого термоядерного синтеза, является вопрос о величине предельно допустимого давления плазмы. Ниже будут рассмотрены ограничения на величину давления плазмы, накладываемые совместно условиями равновесия и устойчивости, Важность этого вопроса диктуется в частности тем, что экономиче-

ски выгодный термоядерных! реактор на основе системы с магнитным удержанием возможен лишь при достаточно большом давлении плазмы ( параметр ¡3- отношение давления плазмы к давлению магнитного поля должен быть не меньше 5%). Очевидно также, что без детальной информации о равновесии и устойчивости плазмы невозможно ни интерпретировать экспериментальные данные, получаемые на действующих установках, ни осуществлять проектирование новых установок.

При теоретическом исследовании любой проблемы возможны три основных направления деятельности. Одним из них является нахождение точных (не асимптотических) аналитических решений. К сожалению, для задач равновесия и устойчивости тороидальной трехмерной плазмы такие решения если и существуют, то не найдены ни автором данной работы, ни другими исследователями. Второй подход заключается в исследовании проблемы с помощью асимптотических методов, что естественным образом предполагает как использование уже известных методов, так и создание новых. Наконец, можно решить задачу численно. Здесь необходимо отметить, что в последние годы прогресс в области вычислительной техники сделал возможным проведение прямых трехмерных численных расчетов. В то же время, проведение прямых численных расчетов во многих случаях, представляющих практический интерес, остается весьма тонкой и сложной задачей, лежащей на грани (а иногда и гранью) -возможностей современных компьютеров. Естественно, что при выборе способа решения поставленных в данной работе задач не могли не сказаться как личные пристрастия автора, так и чисто внешние обстоятельства как, например, доступность необходимой вычислительной техники. При этом был выбран способ решения задач, предполагающий использование асимптотических методов. Необходимо отметить,, что развитие новых методов и усовершенствование уже имеющихся, представляется весьма важным и актуальным, поскольку асимптотические методы дают, как мы увидим ниже, не только качественно, но и количественно корректные результаты, и при этом позволяют глубже проникнуть в суть исследуемой проблемы. Большинство включенных в данную работу результатов было получено аналитически. В тех же редких случаях, когда математические выкладки неоправданно сложны или невозможны, упрощенные уравнения анализировались численно.

Представление метода исследования и результатов физических исследований естественно предварить описанием объекта исследования.

Впервые магнитная ловушка стеллараторного типа была предложена в 1951г. Спитцером [1], показавшим, что при свертывании тороидального соленоида в восьмерку реализуется магнитная конфигурация, имеющая вид вложенных друг в друга

5

магнитных поверхностей с отличным от нуля вращательным преобразованием (что обеспечивает компенсацию в среднем дрейфа частиц из-за неоднородности магнитного поля). В [2] был предложен еще один способ создания вакуумного вращательного преобразования. В ловушках такого типа (которые мы в дальнейшем будем условно называть классическим стелларатором) продольное магнитное поле создается соленоидальной обмоткой, а вращательное преобразование током, текущим в I (число I > 1 носит название "заходность") парах винтовых проводников, -намотанных на поверхность тора, причем в соседних проводниках токи равны по величине и противоположны по знаку (см. рис. 1).

Заметим, структура магнитных поверхностей, характерная для классического стелларатора, может быть создана и в ловушках, получивших название торсатрон [3,4], более простых с инженерной точки зрения. В торсатронах магнитные поверхности получают с помощью I винтовых проводников с одинаковым направлением текущего по ним тока, заменяющих как соленоидальную обмотку, создающую продольное магнитное поле, так и 2/ винтовых проводников, создающих вращательное преобразование в традиционной схеме стелларатора. Однонаправленные токи в тороидальной геометрии приводят к появлению магнитного поля, перпендикулярного плоскости тора, которое компенсируют обычно системой кольцевых проводников. Еще один способ компенсации заключается в специальном выборе закона намотки токонесущих шин на поверхность тора [5,6], при котором на оси системы вертикальное магнитное поле автоматически обращается в ноль. Такую систему авторы назвали ultimate torsatron, имея в виду предельное упрощение токовой системы.

Выше мы рассмотрели ряд магнитных ловушек, в которых вакуумные поверхности получают с помощью винтовых токов. Существует, однако, несколько других возможностей создания аналогичных конфигураций, в частности, с помощью дискретных магнитных катушек специальной формы. Впервые такая идея была высказана в работе [7], где для создания винтовых полей предлагалось использовать соленоид, витки которого проворачивались при продвижении вдоль оси системы и имели форму близкую к форме требуемых магнитных поверхностей (+для создания двухзаходного поля необходимы катушки эллиптической формы, трехза-ходного - треугольной и т.д.). Поскольку эффективность создания угла вращательного преобразования в такой системе оказывалась невелика, в. [7,8] было предложено использовать для увеличения угла вращательного преобразования соленоидальную обмотку, уменьшающую продольное магнитное поле.

6

Катушки, создающие продольное поле

•Винтодые лрододши

Рис. 1. Схематическое изображение стелларатора с плоской геометрической осью.

Рис. 2. Изменение величины магнитного поля при движении вдоль силовой линии в аксиально симметричном тороидальном токовом шнуре (а) и стеллараторе или токамаке при учете гофрировки (б).

Более эффективным с точки зрения получения оптимальной магнитной конфигурации, оказывается использование вместо плоских проводников пространственных токовых колец [9]. Профилированные токовые катушки позволяют конструировать широкий спектр магнитных конфигураций. Существует мнение, что для будущих реакторов более выгодными являются системы, состоящие из отдельных катушек, что позволяет производить замену неисправных частей не разбирая всю магнитную ловушку.

Итак, мы кратко перечислили основные способы создания вакуумных магнитных поверхностей при помощи внешних токовых проводников. Подробный анализ имеющихся возможностей можно найти, например, в обзорах [10-19]. Наиболее полный библиографический обзор по данной тематике содержится в монографии [20].

В настоящей работе исследуется равновесие и устойчивость плазмы в системах с плоской кольцевой осью, безотносительно к конфигурации внешних токов, используемой для создания вакуумной конфигурации.

Стеллараторы являются трехмерными магнитными ловушками. Как известно, отклонения в магнитной конфигурации от винтовой симметрии существенно усложняют структуру вакуумных магнитных поверхностей. В частности, резонансные магнитные поля малой амплитуды могут приводить к образованию островных структур, возникающих на месте магнитных поверхностей с рациональными значениями угла вращательного преобразования [21-27]. Увеличение амплитуды возмущающего магнитного поля может приводить к перекрытию островов и образованию стохастических зон [28]. Различные возмущения (в том числе и тороидальность) приводят к расщеплению сепаратрисы и уменьшению полезного объема плазмы [29-31]. Необходимо отметить, что отсутствие должного контроля за качеством магнитных поверхностей привело в свое время к катастрофе и на долгие годы затормозило исследования по стеллараторной программе, как экспериментальные, так и теоретические. Речь идет о стеллараторе С (США), где экспериментально наблюдались удивительно быстрые потери частиц и энергии. Это привело значительную часть исследователей к выводу, что стеллараторы не имеют перспектив дальнейшего развития. Ситуация разъяснилась лишь перед закрытием установки. Проведенные измерения показали, что магнитные поверхности были практически разрушены [32,33], т.е. стелларатор С, строго говоря, и не являлся системой для магнитного удержания. В дальнейшем возможность осуществления конфигураций с хорошим качеством магнитных поверхностей была доказана как теоретически, так и экспериментально. При этом существует лишь два основных способа создания топологически устойчивой магнит-

8

ной конфигурации. В рамках первого из них реализуется магнитная конфигурация, в которой угол вращательного преобразования практически не меняется по сечению плазменного шнура, причем его значение выбирается таким образом, чтобы условие резонанса не выполнялось для наиболее вероятных возмущений. Такой принцип используется, например, в действующей \У-7А8(Германия) [10], входящей в строй TJ-II (Испания) [34] и строящейся W-7X (Германия) [35] установках.

Иная идея лежит в основе систем с достаточно большим широм ( термин "шир" обозначает перекрещенность силовых линий, при наличии которой угол наклона силовой линии меняется при переходе от одной поверхности к другой). Хотя при этом число возможных резонансов велико, однако, размеры получающихся магнитных островов можно сделать достаточно малыми. Этот принцип используется, например, в установках JI-2 (Россия) [13], CHS (Япония) [36] и строящейся установке LHD (Япония) [37].

Успеху стеллараторной программы в настоящее время в значительной мере способствует то обстоятельство, что все крупные современные установки используют сильно отличающиеся друг от друга магнитные конфигурации. Подобный подход позволяет рассмотреть большее число вариантов и выяснить основные физические закономерности поведения плазмы, удерживаемой в ловушках с различными свойствами.

Необходимость исследовать равновесие и устойчивость плазмы, удерживаемой в трехмерных (в пространстве) магнитных полях, привело к созданию ряда специфических методов. Исторически первым асимптотическим методом, предложенным для исследования равновесия и устойчивости плазмы в стеллараторе, был метод так называемого стеллараторного приближения, развитый группой теоретиков из Принстонского университета (США) [38-43]. В основе его лежит разложение по набору малых параметров, которыми являются: отношение винтовых компонент вакуумного магнитного поля к его тороидальной компоненте t =| Bs* | /Вт', l/~t/N ( ¡л - полный угол вращательного преобразования, 1/N- отношение заходности к полному числу периодов винтового поля); 5 = ар/Rq - тороидальное отношение (отношение среднего радиуса границы плазмы-к большому радиусу тора); BJ / Вт -отношение магнитного поля, создаваемого токами, протекающими по плазме, к по-дольному магнитному полю, а также величина /3,- отношение газокинетического давления плазмы к магнитному. При этом использовалась процедура весьма сходная с методом усреднения. В цикле работ [38-43] был получен ряд замечательных результатов, в частности, выведен критерий устойчивости плазмы по отношению к

9

желобковым модам в пренебрежении тороидальностью [38,39], выведено двумерное уравнение равновесия [40] аналог известного уравнения Грэда-Шафранова для то-камака [44-46], рассмотрен вопрос об управлении плазменным шнуром при помощи внешнего вертикального поля[41]. К сожалению, общее падение интереса к данной тематике привело к тому, что эти результаты остались практически незамеченными современниками. Однако, эксперименты проводимые на небольшом числе уцелевших стеллараторов, и успехи, достигнутые на них по удержанию плазмы [47-49], в том числе и бестоковой [48,49], оказались столь значительными, что к началу 80-х годов вопросы связанные с теоретическим изучением равновесия и устойчивости плазмы стали вновь весьма актуальны. С одной стороны это привело к возрождения метода стеллараторного приближения [50-53] (хотя, следует отметить, что работы этого времени посвящены главным образом адоптации стеллараторного приближения к имеющимся численным методам), с другой стороны стимулировало создание новых методов. В частности, набор малых параметров, сходный со стеллараторным приближением, использовался также в [54-59], где продольная координата в ряде задач равновесия и устойчивости исключалась с помощью специальной замены переменной в потоковой системе координат.

Более общую задачу решили авторы работ [60-64], где* была выведена система усредненных уравнений, сводящая задачу к исследованию осесимметричного случая (что подразумевает автоматическое использование всего арсенала методов, развитых ранее для исследования токамаков, см., например, обзоры [65-74]) и пригодную для решения различных задач, таких как, например, равновесие, устойчивость, нелинейные процессы и т.д. Преимущество данного метода перед другими асимптотическими методами, собственно говоря, и определяется тем, что для исследования различных физических проблем используется уже готовая универсальная система МГД уравнений, что существенно сокращает время, необходимое для решения каждой конкретной задачи. Необходимо при этом отметить, что, хотя, методика получения результатов с помощью усредненных уравнений строится на основе методов исследования плазмы в токамаке, и, за исключением, некоторых частных деталей с ней совпадает, физические процессы, описываемые с помощью схожих методов, часто оказываются, как мы увидим ниже, различными. Отметим, что для токамаков разработан целый ряд методов для численного решения задач в рамках магнитной гидродинамики. Поскольку, как правило, задачи такого класса весьма трудоемки и требуют для их реализации много машинного времени, то обычно используется

не полная система векторных уравнений, а более простая система скалярных урав-

10

нений, которая конструируется с помощью набора малых параметров. В качестве основного параметра используется отношение поперечных компонент магнитного поля к продольному магнитному полю. Впервые система укороченных нелинейных уравнений была использована для описания цилиндрического плазменного шнура в работе [75]. Учету эффектов конечного давления и тороидальности также посвящен ряд работ (см. например, [76-79] и содержащуюся в них библиографию).

Упрощенная система усредненных МГД уравнений, удобная для проведения численных расчетов при описании плазмы, удерживаемой в стеллараторе, и справедливая в пределе малого давления и малой тороидальности была выведена в [80,81]. Впоследствии была выведена система упрощенных усредненных уравнений, пригодная для анализа плазмы большого давления [82,83]. Методика получения векторной системы усредненных МГД уравнений и скалярных упрощенных уравнений будет подробно описана в диссертации.

Наконец укажем, что усредненные уравнения, также как и уравнения стел-лараторного приближения, заново выводились в более поздних работах [84,85], где и была проведена их независимая проверка.

Поскольку метод усреднения [86] будет достаточно широко использоваться в дальнейшем, поясним его суть применительно к данному случаю. Стелларатор и токамак с учетом гофрировки представляют собой магнитные ловушки, где для удержания плазмы используется большое аксиально симметричное и малое быстро-переменное (в пространстве) магнитное поле. Тогда естественно ожидать, что все величины, характеризующие плазму, можно представить в виде двух частей, например, X =< X > +Х, где X - произвольная величина, определяемая из уравнений магнитной гидродинамики, причем < X >= 0, а угловые скобки означают среднее по тороидальной переменной, вдоль которой система периодична (см. рис. 2). Отметим, что при выводе усредненных уравнений используется приближение сильного магнитного поля (е2 -С 1), что делает эквивалентным результат усреднения по периоду быстропеременного поля вдоль оси и вдоль силовой линии [60]. Производя подобную замену искомых функций, мы в результате приходим к тому, что число урав-^ нений удваивается, однако при этом оказывается, что осциллирующие члены могут быть вычислены путем прямого интегрирования по быстроменяющейся пространственной переменной. Средние же величины находятся из системы уравнений, в которой учтены члены, получающиеся при учете четных степеней осциллирующих величин. Представим теперь иерархическую лестницу малых параметров. Основными являются малость винтовых компонент магнитного поля, что позволяет полу-

11

чить стройную систему уравнений, и параметр /л1/М, малость которого позволяет применять процедуру усреднения. Остальные параметры являются вспомогательными. Малость полей, создавемых токами, протекающими по плазме, по отношению к продольному полю позволяет упростить получающиеся уравнения. Отметим также, что процедура усреднения не требует малости тороидального отношения.

Хорошо известно, что в системе, обладающей винтовой симметрией, имеется лишь два типа магнитных поверхностей, одни из которых замыкаются вокруг магнитной оси, другие вокруг винтовых проводников. Разграничивающая эти две семейства поверхность носит название сепаратрисы. При этом на магнитной оси находится эллиптическая особая точка; кроме того имеется / точек гиперболического типа, которые образуют I винтовых осей - ребер сепаратрисы, лежащих против винтовых проводников, по которым течет ток в направлении противоположном направлению продольного магнитного поля. При этом на сепаратрисе ¡л — N/1 и, соответственно, метод усреднения здесь не применим. Следует отметить, однако, что в практически интересных случаях из-за эффектов тороидальности винтовая симметрия нарушается, что в свою очередь приводит к расщеплению сепаратрисы [28-31, 87]. Внешняя ветвь сепаратрисы ограничивает область магнитных поверхно-

'V

стей, замкнутых вокруг проводников с током. Между этими ветвями лежит подсемейство магнитных поверхностей, образовавшееся на месте прежней сепаратрисы, охватывающих как винтовые токи, так и магнитную ось и создающих тем самым естественный диверторный слой (см. рис.3). Внутренняя ветвь сепаратрисы ограничивает область поверхностей, замкнутых вокруг магнитной оси, при этом оказывается, что вращательное преобразование на внутренней ветви сепаратрисы /л <С N¡1 и, следовательно, для описания фактически всей структуры замкнутых магнитных поверхностей вплоть до сепаратрисы можно использовать метод усреднения.

Все рассмотренные выше подходы использовали разложение по квадрату амплитуды винтового поля. Существует еще один метод, впервые предложенный Мерсье [88,89], и, использовавшийся в ряде работ [90 - 94], в основе которого лежит разложение по степеням а - расстояния от магнитной оси. Благодаря такой процедуре удается разделить переменные в получающейся системе дифференциальных уравнений. При исследовании плазмы в тороидальном стеллараторе возникает фактически два независимых параметра разложения а/Я0 и Иа/(второй параметр разложения не связан с кривизной и обусловлен лишь периодом винтового поля.

Рис. 3. Расщепление сепаратрисы при снятии винтовой симметрии из-за конечной тороидальности [87]. I - магнитные поверхности, замкнутые вокруг магнитной оси системы; II - переходная область; III - магнитные поверхности, охватывающие проводники с током.

1.3

При этом ряды, связанные со вторым параметром оказываются хорошо сходящимися, что позволяет использовать процедуру даже при Na/R0 > 1 (формально это связано с тем, что приходится разлагать члены ~ Ii(Na/R0), где Ii(na/R0) модифицированная функция Бесселя. Например, точность порядка 1% достигается при аппроксимации функции Бесселя h{x) при х = 2 лишь тремя первыми членами ряда). Определенные трудности при применении данного метода возникают из-за необходимости точно знать форму магнитной оси, которая зависит от структуры вакуумных магнитных полей, давления плазмы, граничных условий и априори неизвестна. Заметим, что недостаточно корректный учет последнего обстоятельства иногда приводит .к неправильным физическим результатам. В частности, в [91] был сделан о том, что устойчивое равновесие плазмы в двухзаходном стеллараторе возможно лишь при /? <С 1%, независимо от его параметров. Данный метод оказывается также мало пригодным, если приходится исследовать равновесие во всем объеме занимаемом плазмой. В частности, в [93,94] пришлось учитывать слагаемые вплоть до шестого порядка малости включительно. Получившиеся при этом правильные результаты оказались весьма сложны в интерпретации и применении.

Итак, мы завершили обсуждение методов, пригодных для аналитического исследования равновесия и устойчивости плазмы в стеллараторе. Выше декларировалось, что большинство представленных в данной работе результатов будет получено аналитически. Действительно это так, к небольшому числу задач, исследованных численно, относится вопрос о разрушении приграничных магнитных поверхностей из-за эффектов, связанных с конечным давлением плазмы. Задача в практически интересных случаях не может быть решена аналитически, хотя, как мы увидим ниже, без учета этих прюцессов невозможно решить ни вопрос о предельно допустимом давлении плазмы в стеллараторе, ни вопрос об оптимизации магнитной ловушки или управлении плазменным шнуром. Поэтому ниже мы кратко обсудим имеющиеся способы численного анализа равновесия трехмерной плазмы.

Существует ряд численных кодов, успешно используемых при анализе равновесия и устойчивости плазмы, удерживаемой в трехмерных магнитных ловушках. Например, BETA [95] , VMEC [96, 97] и POLAR 3D [98] используют потоковые переменные, что существенно облегчает проведение численных расчетов. Ряд численных кодов, например, Chodura-SchKlter [99] и NEAR [100] используют эйлеровы переменные, однако, как правило, с их помощью исследуют равновесия с вложенной структурой магнитных поверхностей. В тоже время наличие магнитных островов и стохастических зон в трехмерной плазме является скорее правилом, нежели исключением.

14

Реальная возможность исследовать равновесия с магнитными островами и стохастическими зонами имеется при использовании кодов PIES [101] и HINT [102 - 105]. В тоже время, несмотря на возрастающую мощь современных компьюторов, проведение подобных трехмерных численных расчетов остается весьма сложной и тонкой задачей, лежащей на грани возможностей современной вычислительной техники. Поэтому серийные расчеты, т.е. исследование различных процессов при варьировании профилей плазмы, управляющих полей и т.п., оказываются в настоящее время практически невозможными. Необходимо также отметить, что в [106 , 107] выведена система скалярных трехмерных уравнений и оценена эффективность их использования в качестве основы численного метода для решения задачи равновесия плазмы с магнитными островами. По всей видимости, предложенный метод может существенно упростить анализ равновесий с магнитными островами, по крайней мере в тех случаях, когда априори можно установить набор топологий магнитных поверхностей, характерных для данной задачи. К сожалению, эта методика не привела пока к созданию численного кода.

Заметим, что разрушение внешних магнитных поверхностей, в принципе, можно исследовать с помощью гораздо более быстрого кода, использующего потоковые переменные внутри плазменного шнура, если считать размер плазмы свободным параметром, и для его определения проводить трассировку силовых линий магнитного поля (разумеется при этом необходимо тщательно проверять, чтобы получающееся равновесие не имело внутренних магнитных островов). В [108 - 110] была разработана численная процедура, основанная на этом принципе, причем магнитные поля, создаваемые токами, протекающими по плазме, как аксиально симметричные, так и трехмерные, рассчитывались с помощью асимптотической процедуры базирующейся на методе усреднения. Именно эта процедура и будет использована в диссертации для решения задачи о разрушении приграничных магнитных поверхностей. Отметим также, что смешаннй код, также базирующийся на этой идее, и использующий VMEC для решения внутренней задачи и трассировку силовых линий магнитного поля для определения границы плазмы, описан в недавней работе [111].

Обзор работ, посвященных исследованию равновесия плазмы, начнем с описания наиболее простого случая, а именно, равновесия плазмы в рамках классического метода усреднения. При этом задача существенно упрощается, поскольку объектом исследования является не трехмерная структура магнитных поверхностей, а их двумерный аналог (см. рис. 4).

са)

(5)

Рис 4. Трехмерные магнитные поверхности (а) и их усредненный аналог (б).

При этом, однако, физические процессы могут существенно отличаться от случая токамака. Например, в [112] , где исследовалось смещение магнитных поверхностей в линейном приближении, в результате численного счета было показано, что при стремлении давления плазмы /3 к некоторому критическому значению /Зсг равновесие нарушается и смещение магнитных поверхностей £ стремится к бесконечности. Подобное поведение смещения магнитных поверхностей связывалось с наличием у системы магнитного горба. Этот же результат был подтвержден в [54], при этом на основании подобного поведения решения линейного уравнения для смещения центров магнитных поверхностей был сделан вырод о том, что магнитный горб стел-ларатора существенно уменьшает предельно достижимое давление плазмы в стел-лараторе. Действительно, при (3 —> (Зсг £ оо и действие диамагнитных токов уже невозможно скомпенсировать, вводя, например, внешнее вертикальное корректирующее поле. В [61] было показано, что вывод работ [54,112] не является достаточно обоснованным, и для корректного учета влияния магнитного горба в стеллараторе необходимо исследовать равновесие плазмы в более высоком, нежели линейное по приближении. Подобная задача могла быть решена разложением выражения для усредненной магнитной поверхности по полоидальному азимуту и сведением уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитудч разных гармоник. В данном конкретном случае достаточно было ограничиться двумя наибольшими гармониками [62], т.е. описывать изменения в форме магнитных поверхностей, вызываемые действием плазменных токов, при помощи двух функций, а именно, смещения центров магнитных поверхностей £(а) и их эллиптичности а(а). При этом параметры, характеризующие смещение и искажение магнитных поверхностей (£', а') и ар/Я о - параметр, характеризующий тороидальность, являются, вообще говоря, независимыми, поскольку кроме торо-идальности первые определяются давлением плазмы и величиной протекающих по плазме токов. При этом следует учитывать, что даже в отсутствии плазмы центры усредненных магнитных поверхностей могут быть смещены относительно геометрической оси тора. Величина смещения при этом будет определяться эффектами торо-идальности, законом намотки токонесущих шин на поверхность тора, величиной вертикального внешнего магнитного поля и т.д. Реальным же параметром, характеризующим искажение магнитных поверхностей из-за эффектов конечного давления, является параметр ■ув = ^¡¡л25, причем по порядку величины ~ 70 , а' ~ 7^. Проведенный анализ показал [62], что учет нелинейных членов приводит к тому,

что указанная сингулярность при (3 —> (Зсг исчезает и £ оказывается возрастающей,

17

но ограниченной функцией давления; для эллиптичности также получается ограниченное гладкое решение.' Этому обстоятельству можно дать простое физическое объяснение. Как было установлено, обращение решения линейного уравнения для смещения магнитных поверхностей в бесконечность происходит, когда магнитная конфигурация обладает магнитным горбом или максимумом "среднего В". Однако, как мы увидим ниже, смещение центров магнитных поверхностей из-за конечного /3 приводит к уменьшению магнитного горба и даже к образованию магнитной ямы. При этом было бы удивительно, если бы £ обращалось в бесконечность, поскольку при этом плазменный шнур проходил бы положение устойчивого равновесия с минимумом "среднего В" . В практически интересных случаях наличие у системы магнитного горба лишь незначительно увеличивает величину Заметим, что позднее система уравнений для смещения и эллиптичности, практически совпадающая с приведенной в [62], была выведена другим способом в [56], причем в [56] отсутствовали небольшие слагаемые, обеспечивающие предельный переход в токамак при е —» О, а также слагаемые, описывающие структуру вакуумных магнитных поверхностей. Необходимо отметить, что при выводе уравнения для £ и а в [62,64] в качестве исходной использовалась система уравнений в потоковых координатах, справедливая при

гп

произвольном тороидальном отношении. Лороидальность в качестве малого параметра не использовалась также в [113], где было получено обобщение усредненного уравнения Грина-Джонсона на случай произвольной тороидальности.

Еще одно интересное свойство систем с большим магнитным горбом заключается в возможности минимизации токов Пфирша-Шлютера (т.е. дипольных диамагнитных токов, устраняющих разделение зарядов, вызванных тороидальным дрейфом частиц). Впервые этот эффект был обнаружен при проведении численных расчетов [40], где было показано, что при большом отрицательном вертикальном магнитном поле, смещающем магнитную ось внутрь, получается конфигурация, слабо зависящая от величины давления плазмы. Уже из анализа линейного уравнения [112] следует, что величина смещения магнитных поверхностей, вызванного плазменными токами, при неизменном среднем давлении будет уменьшаться, если наложить вертикальное магнитное поле, смещающее магнитную ось. внутрь ( в направлении главной оси тора). Как было показано в [55], в бесшировой системе в этом же приближении токи Пфирша-Шлютера могут быть уменьшены до нуля во всем объеме занимаемым плазмой. Необходимо отметить, что ведущую роль в формировании магнитного горба/ямы играют так называемые сателлитные гармоники, т.е. гармоники вакуумного винтового поля, имеющие тороидальное волновое число такое

18

же как у основной гармоники, и полоидальные волновые числа, отличающиеся от полоидального волнового числа основной гармоники на единицу [63,64]. Более того, выбирая эти гармоники специальным образом, можно добиться того, чтобы токи Пфирша-Шлютера уменьшились до нуля (разумеется в некотором приближении). Для конфигурации классического стелларатора впервые такая попытка была сделана в [64,82] . Однако, столь радикальный метод подавления токов был по мнению авторов [64,82] малопродуктивен, поскольку минимизация токов Пфирша-Шлютера сопровождалась ухудшением условий устойчивости. Последующие работы, где был проведен более тщательный анализ этой проблемы [114,115], так же показали, что метод существенного подавления токов Пфирша-Шлютера при помощи сателлит-ных гармоник в классических стеллараторах вряд ли представляет практический интерес. В то же время, необходимо отметить, что для систем с пространственной осью были найдены конфигурации, в которых минимизация плазменных токов и неоклассического переноса не сопровождалась значительным ухудшением условий устойчивости [116, 117].

Задачи, связанные с равновесием плазмы в системах с большим магнитным горбом, вновь привлекли внимание исследователей в связи с недавними экспериментами на установке Hellotron-E (Япония) [IIS, где было показано, чтсг nffe смещении плазменного щнура внутрь при помощи внешнего вертикального поля при неизменной величине среднего давления плазмы, дипольная компонента магнитного поля плазмы существенно уменьшалась. Этот эффект не мог найти своего объяснения в рамках простой аналитической модели, которая была использована в [118, 119], поскольку для этого потребовалось бы, чтобы профиль давления чрезвычайно сильно зависел от положения магнитной оси. Вопросы связанные с возможностью подавления токов Пфирша-Шлютера при помощи вертикального корректирующего внешнего поля были рассмотрены в недавних работах [120-122]. В [120,122] было использовано аналитическое решение, полученное в наинизшем неизчезающем приближении. Более подробный анализ был проведен в [121], причем было показано, что данный процесс представляет собой достаточно сложное физическое явление, требующее нелинейного описания и тщательного учета особенностей структуры вакуумных магнитных поверхностей. Подробно этот вопрос будет обсужден в диссертации.

Весьма важным вопросом, и, собственно говоря, определяющим, может ли

магнитная ловушка представлять практический интерес как возможный прототип

термоядерного реактора, является вопрос о предельно допустимом давлении. В на-

19

стоящее время считается общепринятым, что магнитная ловушка стеллараторного типа может рассматриваться как серьезный претендент на роль термоядерного реактора, если в ней возможно устойчивое удержание достаточно плотной плазмы с величиной ¡3 ~ 5%. Нахождение предельного по равновесию значения (Зеч как правило основано на определении (заметим, несколько произвольном), что предельное давление это такое давление, при котором изменения, вносимые плазмой в магнитную конфигурацию, становятся недопустимыми, например, теряется разумно допустимая часть рабочего объема плазмы [123]. При этом, как показывают расчеты [124, 125], уменьшение поперечного размера плазмы, и, соответственно, уменьшение энергетического времени жизни, приводит к значительному снижению эффективности стелларатора-реактора. Иногда под предельным значением ¡Зеч понимается такое значение /3, при котором смещение магнитной оси становится больше некоторой наперед заданной величины [126], например, £(0) < ар/2, или же нарушается выбранная численная процедура нахождения решения. При использовании потоковых переменных подобное нарушение может быть связано с возникновением внутренней сепаратрисы (или магнитных островов) или внешней сепаратрисы. Поясним это" с помощью конкретного примера. При увеличении давления суммарное полой даль-ное поле уменьшается'на внутренней стороне тора и увеличивается на внешней. При достаточно большом давлении плазмы 70 ~ 1 магнитное поле, создавемое диамагнитными токами, может сравниться по величине с полоидальной компонентой удерживающего магнитного поля, что в свою очередь, ведет к тому, что в окрестности нулевой точки полоидального поля появляется дополнительная ось и образуются магнитные острова. Необходимо отметить, что их форма сильно зависит от вида функций 1л(а) и профиля давления (см. рис.5). В стеллараторах с большим широм (5 = дЫ^/дЫ а=ар ~ 1) появление внутри сепаратрисы, обусловленной винтовыми полями, подобной внутренней подструктуры магнитных островов, вообще говоря, может не приводить к катастрофическому ухудшению удержания плазмы.

Гипотеза о возможности образования топологической структуры изображенной на рис. 56, была выдвинута в [83]. Более подробный анализ этой проблемы был проведен в [127-129] , где исследовались топологические структуры, образующиеся в плазме большого давления, и был получен ряд точных аналитических решений уравнений, описывающих усредненное равновесие плазмы в стеллараторе. В частности, были определены условия, при которых такая структура может образовываться.

Рис 5. Качественные эффекты изменения структуры магнитных поверхностей при (3 ~ ¡л25 в токамаке с ц'/¡х < 0 (а) и двухзаходном стеллараторе

с арц'/ц\а=ар ~ 1 (б).

4

Была доказана также теорема, показывающая, что в случйё, когда ток, текущий через сечение каждой магнитной поверхности, равен нулю, подобная трехосевая структура магнитных поверхностей образоваться не может. Заметим, что точные аналитические решения не только позволяют глубже проникнуть в суть исследуемой проблемы, но и дают возможность проверить точность проводимых численных расчетов. Например, появление запрещенной структуры в численных расчетах [130] однозначно указывает на их недостаточную точность.

Корректно проведенные оценки величины предельно допустимого давления как численные, использующие предположение о вложенности магнитных поверхностей, так и аналитические, дают одинаковый порядок величины для систем с круглыми в среднем вакуумными магнитными поверхностями, а именно, /Зед = Сц2{ар)ар/Я0, где С ~ 1, и зависит главным образом от того, что же понимается под предельным давлением (о возможном произволе в этом определении мы говорили выше). Например, если использовать в определении смещение магнитной оси, то С зависит от профиля давления и значения угла вращательного преобразования на оси, если использовать смещение приграничных поверхностей, то эта зависимость практически отсутствует. Оценки, проводимые в рамках усредненных уравнений или при помощи трехмерного моделирования, но в приближении, использующем вложенность магнитных поверхностей, находятся в хорошем соответствии и свидетельствуют, что предельно допустимое значение /3 ~ 5% по равновесию, вполне возможно в обычных стеллараторах с плоской кольцевой осью. Заметим, что если с помощью системы обратных связей скомпенсировать перпендикулярное поле создаваемое диамагнитными токами, то предельное давление по равновесию формально можно увеличить в 3-4 раза [123]. Необходимо, однако помнить, что полное компенсация приводит к ухудшению условий устойчивости (см. ниже) и вряд ли рациональна, поскольку при этом предельное давление, допускаемое условиями устойчивости, становится меньше

Одним из наиболее естественных способов увеличения величины предельно допустимого давления плазмы по равновесию в тороидальной ловушке является создание конфигурации с вытянутыми в среднем в вертикальной плоскости (эллиптическими) магнитными поверхностями. "При разумном выборе параметров системы вертикальная вытянутость магнитных поверхностей приводит к уменьшению коэффициентов переноса за счет меньших отклонений от них дрейфовых орбит частиц, что в свою очередь приводит к снижению равновесных токов. Предел давления по равновесию также увеличивается за счет возрастания полоидальной компоненты

22

магнитного поля в медианной плоскости при фиксированном угле вращательного преобразования. Платой за перечисленные выгоды являтся ослабление топологической устойчивости эллиптической конфигурации в центральной части плазменного шнура и в направлении главной оси тора. Идея об использовании вытянутых по вертикали конфигураций была впервые выдвинута для токамаков [131]. Выяснилось, что подобные конфигурации обладают не только определенными преимуществами по равновесию, но и при определенной оптимизации ( например, при создании небольшой треугольности магнитных поверхностей) являются весьма привлекательными системами для получения устойчивой плазмы с достаточно большим /5 [132-134].

Впервые магнитная ловушка стреллараторного типа с эллиптическими (в среднем) магнитными поверхностями была предложена в [135,136]. "Стеллатрон" (так была названа новая ловушка) существенно отличалась от традиционных представлений о классическом стеллараторе и соответствовала пределу экстремально большой эллиптичности ( и, соответственно, заходности) с отношением полуосей Ъ/а порядка 8~1. Позднее, магнитные конфигурации создаваемые токами, протекающими по винтовым проводникам, уложенным на поверхность тора эллиптического сечения, была рассмотрены в [137], причем рассматривались поля с традиционной заходностью I = 2,3. Анализ широкого спектра конфигураций, получающихся при использовании квадрупольного поля, был проведен в [138]. В настоящее время стало ясно, что в практическом плане достаточно иметь конфигурацию с отношением полуосей Ь/а ~ 1.5 — 2, т.е. таким же, как и в современных токамаках. Магнитная конфигурация подобного типа может быть реализована при помощи системы винтовых проводников, навитых на тор эллиптического сечения. Анализ равновесия и устойчивости показал [139], что повышение предела по равновесию в такой системе в 1.5-2 раза не сопровождается существенным ухудшением условий устойчивости.

Другой способ создания эллиптических магнитных поверхностей в обычных стеллараторах с круглыми в среднем магнитными поверхностями состоит в использовании внешнего квадрупольного магнитного поля. Интерес к подобного рода исследованиям был инициирован работой [140], где было показано, что при помощи комбинации внешних вертикального и квадрупольного полей можно эффективно управлять углом вращательного преобразования, и, в частности, восстанавливать его профиль при больших ¡3. Анализ влияния приложенного извне квадрупольного магнитного поля на структуру усредненных вакуумных магнитных поверхностей и усредненное равновесие плазмы проводился в [122,141-143]. Выводы этих работ были весьма оптимистическими и декларировали возможность заметного повыше-

23

ни я величины предельно допустимого давления плазмы по равновесию. В частности, было показано, что создание эллиптических магнитных поверхностей с вытянуто-сью 1.5-2 (т.е. такой, какая обычно используется в токамаках) в обычных стеллара-торах с круглыми в среднем, при отсутствии квадрупольного поля, проверхностями вполне возможно. Следовательно, таким образом предельное давление по равновесию может быть повышено по крайней в два раза. Использование квадрупольного магнитного поля может быть полезно для систем, где размеры плазмы ограничены материальным лимитером, и существует широкий слой внешних регулярных магнитных поверхностей. В то же время не вызывает сомнения, что подобный способ повышения предела достижимого давления по равновесию вряд ли является универсальным. Квадрупольное поле является весьма сильнодействующим лекарством для магнитной конфигурации и зачастую приводит к разрушению внешних магнитных поверхностей. Это явление не может быть изучено лишь в рамках усредненных уравнений. Фактор разрушения внешних магнитных поверхностей под действием квадрупольного поля особенно силен для систем, обладающих при отсутствии квадрупольного поля естественным дивертором. При этом, как правило, оказывается, что разрушение внешних магнитных поверхностей является столь значительным, что положительный эффект увеличения предела по равновесию из-за эллиптичности магнитных поверхностей полностью нивелируется за счет разрушения внешних поверхностей и уменьшения аппертуры плазменного шнура. Подробно этот вопрос рассмотрен в главе, где обсуждается разрушение внешних магнитных поверхностей.

Завершая представление работ, связанных с описанием равновесия плазмы в рамках усредненных уравнений, обсудим вопрос о влиянии на равновесие плазмы стационарных течений. Вращение плазмы может появляться при использовании нейтральных пучков высокоэнергичных атомов (широко используемых при нагреве плазмы), и становится весьма заметным, если пучки оказываются несбалансированными. При этом стационарные течения плазмы (связанные с тороидальным и полоидальным вращением) влияют на структуру магнитных поверхностей, меняя тем самым условия устойчивости.

Вопрос о влиянии стационарных течений на равновесие плазмы, удерживаемой в аксиально симметричных магнитных полях, достаточно хорошо изучен и представлен в десятках публикаций. Ниже мы представим лишь некоторые из этих работ, а именно те, результаты которых будут использованы в дальнейшем. В частности, в [144] были выведены скалярные уравнения, описывающие равновесие плазмы при наличии стационарных течений в токамаке, в [145] было получено уравнение

24

для смещения центров магнитных поверхностей, вызываемого этим течением. Несколько случаев, допускающих точное аналитическое решение было найдено в [146]. В [147-149] равновесия плазмы в токамаке при наличии стационарного течения анализировались численно. Следует отметить, что для систем, обладающих винтовой симметрией равновесие плазмы со стационарным потоком рассматривалось в [150]. Тороидальный стелларатор не обладает винтовой симметрией, однако равновесие может быть исследовано в рамках усредненных МГД уравнений [60], что позволяет, базируясь на уже известных методах, применяющихся для токамаков, существенно ускорить процесс изучения каждого конкретного явления. Подобный анализ был проведен в [151,152], где был исследован широкий круг задач, связанных с изучением равновесия плазмы в стеллараторах. В частности, были выведены система скалярных усредненных уравнений, описывающая равновесие плазмы со стационарным течением в стеллараторах с плоской кольцевой осью, линейные уравнения для смещения центров магнитных поверхностей и поверхностей равной плотности, найден ряд точных аналитических решений, и, наконец исследована топология магнитных поверхностей и поверхностей равной плотности. Показано также, что в случае как токамака, так и стелларатора, при наличии вращения плазмы, топология линий уровня равной плотности может меняться при неизменной топологии магнитных поверхностей. В частности, показано, что топологическая структура с тремя особыми точками, наблюдавшаяся на токамаке ASDEX [153], легко получается в рамках магнитной гидродинамики при учете торидального вращения. Все эти вопросы подробно обсуждаются в диссертации.

Магнитные поля, создаваемые токами, протекающими по плазме, можно разделить на две группы: аксиально симметричных (или двумерных) и трехмерных. Аксиально симметричные магнитные поля создаются классическими токами Пфирша-Шлютера, причиной возникновения которых является двумерная (тороидальная) кривизна магнитного поля, а также однонаправленными токами (например, током омического нагрева или бутстреп-током). Изучение аксиально симметричных компонент магнитных полей составляет предмет теории равновесия, базирующейся на усредненных уравнениях. Трехмерные магнитные поля создаются трехмерными токами Пфирша-Шлютера, причиной возникновения которых является локальная неоднородность магнитного поля. Кроме того, двумерные "в среднем" плазменные токи, протекая через магнитные поверхности, не обладающие аксиальной симметрией, приобретают трехмерные составляющие и так же участвуют в создании трехмерных плазменных полей. Попробуем определить, исходя из простых физических со-

25

ображений, круг явлений, где учет трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами, может быть важен. Интуитивно ясно, что трехмерные магнитные поля, создаваемые токами, протекающими по плазме, вряд ли играют существенную роль при формировании границы плазменного шнура. Действительно, компоненты этих полей значительно изменяются при продвижении вдоль силовой линии, а быстрое чередование участков с разным направлением магнитного поля приводит к тому, что результирующее отклонение силовой линии оказывается малым.

Интуиция также подсказывает, что влияние трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами, на величину локальных гофров магнитного поля, также может оказаться достаточно слабым (напомним, что в токамаке гофрировка вызывается дискретностью токовых колец, создающих продольное поле). Действительно, грубые оценки показывают, что индуцированные плазмой трехмерные магнитные поля оказываются по порядку величины ~ ¡3 и ~ BJ/Вт по отношению к трехмерным вакуумным магнитным полям. При этом более значительные изменения величины трехмерных гофров на заданной магнитной поверхности могут быть связаны со сдвигом самой поверхности под действием аксиально симметричных токов Пфирша-Шлютера или однонаправленного тока.

Казалось бы это мнение было опровергнуто в работе [154], где было проведено прямое численное интегрирование трехмерной задачи о равновесии плазмы в гофрированном магнитном поле, и было показано, что именно трехмерные поля, создаваемые токами, протекающими по плазме (а не сдвиг магнитных поверхностей),

—*

существенным образом модифицируют величину локальных горбов \В\ на магнитной поверхности при увеличении давления плазмы. При этом был сделан вывод о необходимости модифицировать результаты теории переноса [155-157], учитывая вновь открытое обстоятельство. Несовпадение выводов, базирующихся на оценках и результатах тонкого и сложного трехмерного расчета, свидетельствует о необходимости проведения дополнительной проверки.

Наконец, достаточно очевидно, что использование трехмерных магнитных полей, индуцированых плазменными токами, может существенно улучшить точность определения равновесия плазмы по результатам магнитных измерений. В [158] было показано, что нет недостатка в компонентах аксиально симметричного поля, которые можно использовать для определения профиля давления. Идентификация же профиля небольшого однонаправленного тока (например, бутстреп-тока, ожидаемого в прогнозируемых экспериментах) затруднена, поскольку вклад тока в величину аксиально симметричных компонент магнитного поля невелик на фоне вклада

26

токов Пфирша-Шлютера, вызываемых тороидальной неоднородностью. Поскольку по порядку величины магнитное поле, создаваемое локальными (трехмерными) токами Пфирша-Шлютера, меньше, чем аксиально симметричные поле, создаваемое нелокальными токами Пфирша-Шлютера, то может оказаться, что на его фоне вклад однонаправленного плазменного тока будет различим лучше.

Два последних обстоятельства, собственно говоря, и сделали изучение трехмерных магнитных полей создаваемых токами, протекающими по плазме, весьма актуальной задачей. Как мы уже отмечали, для аналитического решения данной проблемы весьма подходит метод усреднения [86], который позволяет вычислять осциллирующие члены путем прямого интегрирования получающихся уравнений по быстроменяющейся независимой переменной. Впервые метод изучения трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами в стеллараторе, был разработан в рамках классического стеллараторного приближения в [159], причем информация о трехмерных (в лабораторной ситеме координат) магнитных полях содержится как в решении усредненного (в ваккуумных потоковых переменных) нелинейного уравнения, так и дополнительного трехмерного линейного уравнения. Поскольку усреднение проводились в системе вакуумных потоковых переменных, этот метод нельзя использовать в случае гофрированного магнитного поля, где вакуумные магнитные .поверхности отсутствуют. В рамках используемого в работе формализма усредненных МГД уравнений усреднение проводится в лабораторной системе координат и двумерное уравнение предназначено для нахождения аксиально симметричных компонент магнитного поля. Трехмерные компоненты находятся при решении трехмерного линейного уравнения. Уравнение, справедливое как для стелларатора, так и для токамака при наличии гофрировки, было получено в [160161]. Анализ этого уравнения показал, что, действительно, измерение трехмерных магнитных полей в стеллараторах может использоваться для повышения точности идентификации равновесия, и, в частности, для определения распределения плотности однонаправленного тока [162]. Было также показано, что для широкого круга представляющих практический интерес конфигураций токамаков, доминирующим эффектом, влияющим на величину локальных горбов \В\ на заданной магнитной поверхности, является весьма грубый эффект, а именно сдвиг этой поверхности из-за токов, протекающих по плазме.

Оказалось также, что трехмерное линейное уравнение для магнитных полей, создаваемых токами, протекающими по плазме, легко решается при помощи стандартных численных алгоритмов, если известно численное решение задачи усреднен-

27

ного (аксиально симметричного) равновесия. Таким образом, метод усреднения позволяет самосогласованно решить задачу о нахождении всех индуцированных плазмой магнитных полей, как аксиально симметричных, так и трехмерных, что в свою очередь дает возможность исследовать вопрос о разрушении приграничных магнитных поверхностей, используя метод трассировки силовых линий. Анализ этой проблемы показал [108-110], что разрушение приграничных магнитных поверхностей является во многих случаях весьма важным фактором, снижающим величину предела давления плазмы по равновесию. Трассировка силовых линий магнитного поля использовалась также в [109,110] для исследования влияния на равновесие плазмы приложенного извне квадрупольного магнитного поля. Проведенный анализ продемонстрировал, что управление профилем вращательного преобразования (т.е. восстановление профиля вращательного преобразования в плазме большого давления при помощи комбинации квадрупольного и вертикального полей), как правило, не приводит к существенному уменьшению среднего радиуса плазмы и, тем самым, вполне оправданно. Что же касается идеи о повышении предела по равновесию, основанном на подавлении токов Пфирша-Шлютера из-за придания магнитным поверхностям эллиптической формы под действием квадрупольного поля, то для систем с естественным дивертором она малопродуктивна, поскольку приводит, из-за разрушения внешних магнитных поверхностей, к неоправданному уменьшению ап-пертуры плазменного шнура.

Перейдем теперь к обсуждению вопроса об устойчивости плазмы. Наибольшую опасность представляют два типа неустойчивостей. Источником энергии первого типа неустойчивостей является энергия магнитного поля, порождаемого подольным током, применяющимся для создания и нагрева плазмы. Поскольку, однако, удерживающие свойства стелларатора сохраняются (и, как правило, улучшаются в отсутствии тока омического нагрева), в настоящее время большинство экспериментов направлено на изучение бестоковой плазмы, где собственно и может проявиться преимущество стелларатора как принципиально стационарной системы. В этом случае наиболее опасны так называемые баллонные или перестановочные моды, источником энергии которых служит тепловая энергия плазмы. Именно эти неустойчивости могут ограничивать предельно допустимые значения величины /3 в стеллараторах. В настоящей работе основным объектом исследования будут неустойчивости бестоковой плазмы. Тем не менее, для полноты картины, мы коснемся вопроса об устойчивости токово-винтовых мод, кратко обсудив их характерные особенности и лишь перечислим случаи сходства с токамаком, где существует обширная литература по

28

данному вопросу.

В токамаке плазма оказывается неустойчивой по отношению к токово- винтовым модам только в том случае, если где-либо оказывается выполненным условие u(as) — ¡л(а3) — п/т = 0, здесь п,т тороидальное и полоидальное волновое число, соответственно. При этом, если условие v(as) — 0 выполняется внутри плазменного шнура, то моды называются внутренними, соотвественно, если условие w(as) = О выполняется вне плазменного шнура, то моды называются внешними. Если условие v(as) — 0 выполняется внутри плазменного шнура, однако условие устойчивости идеальных МГД мод оказывается выполненным, то необходимо провести дополнительный анализ устойчивости, учитывая конечную проводимость. При этом возможно развитие более медленной диссипативной неустойчивости (так называемой тиринг-моды), приводящей к расщеплению резонансных магнитных поверхностей и образованию магнитных островов. Фактически тиринг-неустойчивость и неустойчивость плазмы со свободной границей представляют собой два предельных случая одной и той же неустойчивости [164]. Если в первом случае магнитные острова возникают внутри плазмы, то во втором острова образуются в вакуумной области и приводят к деформации поверхности плазменного шнура.

В случае стелларатора резонансное условие также имеет вид v{as) = /i(as) — n/m — 0, однако, здесь угол вращательного преобразования представляет собой сумму вакуумного угла вращательного преобразования /л' и ¡j,j, угла вращательного преобразования, создаваемого продольным током. В бесшировых стеллараторах, т.е. при ¡л"" = const токово-винтовые неустойчивости (как идеальные, так и тиринг) аналогичны токово-винтовым неустойчивостям токамака [165,166]. Существенные различия проявляются лишь в стеллараторах с большим магнитным широм S ~ 1. Так поведение внутренних мод существенно различается для случаев и(а < as) > О (эта мода аналогична внутренним винтовым модам в токамаке) и и [а > as) > 0. В последнем случае условия устойчивости даже наиболее опасной моды с т — 1 сильно зависят от распределения плотности тока по сечению плазменного шнура и граничных условий [165]. Напомним, что при и {а < as) > 0 плазма как в токамаке, так и в стеллараторе оказывается неустойчивой по отношению к моде т = 1. Наряду с описанными выше возможна ситуация, когда идеальная токово-винтовая неустойчивость может развиваться, если особая точка в плазме отсутствует. При ц* -С ЦJ такие моды аналогичны винтовым модам со свободной границей в токамаке. Однако в стеллараторе с большим широм идеальные МГД-моды, не имеющие особых точек, могут быть неустойчивы даже в том случае, если на границе плазменного

29

шнура расположен идеально проводящий кожух [167].

В системах с большим широм при пикированных профилях тока возможен еще один тип токово-винтовых неустойчивостей. При этом внутри плазменного шнура имеются две резонансных магнитных поверхности, удовлетворяющих условию и{а = а8\,а32) = 0. Подобная ситуация имеет место в токамаках лишь при скинированных профилях тока, причем развитие именно этой неустойчивости позволяет току омического нагрева проникнуть во внутренние области плазменного шнура за времена много меньшие неоклассического скинового времени. Расчеты показывают, что в стеллараторе с пикированным током наличие двух резонансных поверхностей не гарантирует развития неустойчивости, которая возникает лишь при достаточном сближении этих поверхностей [168].

Перейдем теперь к рассмотрению неустойчивостей, порождаемых конечным давлением плазмы. Ниже мы рассмотрим основные причины, из-за которых возникают ограничения на предельно допустимое давление плазмы, а также способы его повышения. Как правило, при анализе устойчивости плазмы в тороидальных магнитных ловушках разделяют крупномасштабные моды и моды локализованные в окрестности рациональных магнитных поверхностей. Нелокальные крупномасштабные моды существенным образом зависят от распределения параметров по объему плазмы, и для их изучения обычно привлекают численные методы. Локальные моды можно исследовать аналитически, получая критерии устойчивости, выраженные через характеристики равновесного состояния на заданной магнитной поверхности.

Условие устойчивости прямого цилиндрического плазменного шнура по отношению к возмущениям с п » 1 было получено в работе Сайдема [169]. При этом оказалось, что неустойчивость мод желобкового типа обусловлена кривизной силовых линий, которые в круглом цилиндре с протекающим по оси током являются винтовыми линиями. Стабилизация неустойчивости может быть достигнута только за счет шира. Критерий устойчивости мод с п » 1 в прямом (т.е. в пренебрежении тороидальностью) стеллараторе был получен в [39]. Оказалось, что полученное условие устойчивости при условии N/1 ¡л оказалось значительно более жесткими, чем критерий Сайдема, поскольку для прямого стелларатора характерен максимум "среднего В". При этом даже в стеллараторах с большим магнитным широм, предельно допустимое давление, при котором плазма еще оказывается устойчивой, следующее из этого критерия, весьма мало и, как правило, величина /Зтах не превосходит 1%.

Исследование плазмы в замкнутых магнитных ловушках осложняется тем, что равновесные величины зависят в общем случае от полоидального азимута 9 и тороидального азимута 9?. При этом, в отличие от прямого цилиндрического плазменного шнура, возмущения с разными тип уже не являются независимыми. Однако, если параметр, характеризующий связь гармоник, мал, то задачу можно решить методом последовательных приближений, ограничиваясь рассмотрением конечного числа гармоник. Для аксиально симметричного токамака таким параметром является 7$. Аналитические расчеты устойчивости плазмы, удерживамой в токамаке с круглыми магнитными поверхностями, по отношению к возмущениям с т 1 при условии 70 <С 1 проводились в работе [170], где наряду с основной гармоникой с т 1 учитывались две соседние с то ± 1. При этом оказалось, что баллонный эффект, связанный с тем, что возмущение на внешнем обводе тора больше, чем на внутреннем, и дающий квадратичный по ¡3 вклад в критерий устойчивости, полностью компенсируется углублением магнитной ямы из-за смещения магнитных поверхностей под действием полей, создаваемых диамагнитными токами. При этом плазма, удерживаемая в токамаке с круглыми магнитными поверхностями, оказывается устойчивой и при нулевом шире, если выполнено единственное условие ц < 1. Другой важный результат, полученный в [170], заключается в том, что эквивалентные критерии устойчивости получаются как из уравнения малых колебаний, так и критерия Мерсье [171], т.е. условия устойчивости тороидального плазменного шнура произвольного сечения относительно мелкомасштабных желобковых возмущений.

Начало исследованию устойчивости плазмы большого давления положили работы [172-175]. В частности, в [173-175], при-исследовании плазмы в магнитных ловушках, обладающих аксиальной или винтовой симметрией, был обнаружен новый эффект самостабилизации плазмы, т.е. оказалось, что если учесть в критерии устойчивости желобковых мод слагаемые ~ /?3, то углубление магнитной ямы не только компенсирует баллонный эффект, но и превосходит его.

В принципе, для получения условия устойчивости в тороидальном стеллара-торе можно было бы воспользоваться общегеометрическим критерием Мерсье, что потребовало бы рассмотрения трехмерного равновесия. Существует, однако обстоятельство, позволяющее упростить анализ. В [176] было показано, что для трехмерной тороидальной системы, помимо зацепления гармоник по малому азимуту 9 с параметром 7е, существует зацепление гармоник по большому азимуту <р с параметром 7^ = 10/N6. При N ^ ¡¡л, 7е 7У, и, следовательно, в практически важном случае /3 < ¡128 баллонный эффект на локальных гофрах винтового магнитного поля можно

31

не учитывать (что связано с многократным чередованием участков с благоприятной и неблагоприятной кривизной, суммарный вклад которых в критерий устойчивости пренебрежимо мал). Заметим, что в более поздней работе [177] был также получен критерий устойчивости плазмы в стеллараторе, где учитывалась лишь локальная кривизна силовых линий, и сделан весьма опрометчивый вывод о том, что ограничения на величину предельного давления плазмы в стеллараторах могут быть заведомо более мягкими, чем в токамаках. На самом же деле, условие 70 озна-

чает лишь то, что наиболее опасные МГД неустойчивости плазмы в стеллараторе обусловлены средней кривизной силовых линий. Таким образом для получения критерия устойчивости плазмы в стеллараторе можно использовать систему усредненных уравнений и применить для ее исследования в слегка модифицированном виде методику, развитую ранее для токамака. Уже при первом использовании усредненных уравнений для анализа устойчивости плазмы в тороидальном стеллараторе [178] был обнаружен новый эффект - линейная по смещению магнитных поверхностей самостабилизация плазмы в системах с большим широм. Механизм подобной само стабилизации можно пояснить следующим образом. Смещение магнитных поверхностей под действием полей, создаваемых диамагнитными токами, происходит в направлении увеличения большого радиуса. При этом в системах с возрастающим с увеличением радиуса углом вращательного преобразования силовая линия быстрее проходит участок с неблагоприятной кривизной на внешнем обводе тора и задерживается на внутреннем обводе. Более того, оказалось, что при достаточно малой величине Nji'5 критерий устойчивости желобковых мод не дает ограничения на величину предельно допустимого давления плазмы в стеллараторе [63, 179]. Там же было проанализировано влияние на устойчивость плазмы особенностей структуры вакуумных поверхностей и было показано, что небольшая модуляция закона намотки токонесущих шин на поверхность тора может существенно изменить условия устойчивости плазмы при неизменных грубых параметрах N и / [60-62]. Следует отметить, что критерий устойчивости плазмы в стеллараторе [60] был получен в линейном приближении по смещению магнитных поверхностей £ и был справедлив, вообще говоря, при (3 -С /л25. Поэтому в [64, 82, 83] был проведен анализ условий устойчивости с точностью до (£')3 включительно, и было показано, что нелинейные слагаемые приводят к дополнительной стабилизации, и что особенно важно, на краю плазменного шнура, где максимален магнитный горб системы. Результаты работ [60-63] , где показывалось, что при определенном выборе параметров магнитной системы предел по устойчивости отсутствует, привлекли внимание исследователей,

32

вследствие чего эффект самостабилизации в системах с широм был подтвержден в более поздних работах как численных, так и аналитических [55, 100, 180-184]. Идея о самостабилизации в системах с широм стала краеугольным камнем при проектировании торсатрона ATF (США) и прошла там дополнительную экспериментальную проверку [185-187]. Необходимо отметить, что в [53, 188] проводилось сравнение результатов расчетов, полученных в рамках усредненного описания плазмы и прямого трехмерного численного моделирования. Их хорошее совпадение является дополнительным свидетельством высокой надежности формализма усредненных МГД уравнений.

Напомним, что критерий Мерсье не является во всех случаях достаточным критерием устойчивости мод en > 1, Известно, что условие устойчивости желобковых мод; в токамаке является лишь необходимым условием [189,190], поскольку более опасными являются так называемые баллонные -моды, в критерий устойчивости которых входит дестабилизирующее слагаемое ~ S/32. Для стелларатора критерий устойчивости баллонных мод был получен в [55]. Необходимо указать, что условие устойчивости баллонных мод в стеллараторе, в отличие от токамака, является обычно менее жестким чем критерий Мерсье [55,83,191-193] . Действительно, для бестокового стеллараторе величина S как правило положительна, при больших /3 ее можно сделать положительной с помощью внешних полей, как это указано, например, в [140].

Выше мы в.основйом рассматривали устойчивость плазмы при нулевом продольном токе. Дело в том, что наличие продольного тока приводит к ухудшению устойчивости плазмы, что с связано с тем, что с уменьшением шира одновременно уменьшается глубина магнитной ямы [61].

Хорошо известно, что в том случае, когда плазма оказывается устойчивой в рамках идеальной магнитной гидродинамики, учет малого, но конечного сопротивления может привести к появлению новых видов неустойчивых колебаний [43, 194202]. Резистивные моды не стабилизируются широм, однако могут быть устойчивы, если глубина средней магнитной ямы превосходит, баллонный эффект. Аналитический критерий устойчивости резистивных желобковых мод в стеллараторе при учете тороидальности был получен в [61,64], при этом было показано, что эффект самостабилизации, связанной с широм, для диссипативных желобковых неустойчивостей имеет место лишь в центральной части плазменного шнура. Об этом свидетельствуют также результаты трехмерных численных расчетов [202]. Можно надееться, однако, что развитие резистивных мод в силу их мелкомасштабности не приведет

33

к ограничению на давление плазмы, хотя может сказаться на процессах переноса [203-205].

Выше мы обсудили устойчивость локальных мод. В принципе для стеллара-тора без тока омического нагрева может оказаться выполненным достаточный критерий устойчивости по отношению к произвольным возмущениям в рамках идеальной МГД (для токамака подобный критерий устойчивости не представляет интереса, поскольку может быть удовлетворен лишь при наличии проводника с током на оси системы). Достаточный критерий оказывается весьма жестким и сводится для бесшировых стеллараторов [90] к необходимости создания магнитной ямы во всей области, занятой плазмой (предельное давление при этом оказывается пропорциональным глубине магнитной ямы). Поскольку за счет самостабилизации, связанной с широм, магнитную яму можно создать лишь в центральной области плазменного шнура, а возможность создания вакуумной магнитной ямы в присепаратрисной области при 5" ~ 1 представляется весьма проблематичной, достаточному критерию устойчивости в стеллараторах с большим широм, как правило, не удается удовлетворить во всей области занимаемой плазмой, и он оказывается черезвычайно жестким. Действительно, как показывают численные расчеты [50,53] крупномасштабные неустойчивости стабилизируются в системах с широм при достаточно малой величине /V(л*5. Более того, как показали численные расчеты [206,207], предел давления по устойчивости нелокальных МГД мод практически совпадал с пределом по устойчивости, получаемом из критерия Мерсье. При этом критерий Мерсье являлся для рассмотренных случаев фактически достаточным критерием устойчивости. Разумеется, это не является строгим доказательством того, что критерий Мерсье является наиболее жестким критерием, однако показывает, что во многих представляющих практический интерес случаях, критерий Мерсье может использоваться для оценки величины предельно допустимого давления.

Может показаться, что ограничения, накладываемые совместно условиями устойчивости идеальных МГД-мод и условиями равновесия на величину предельного давления, оказываются весьма жесткими. Действительно, поскольку ц* ~ N ~ с точки зрения равновесия выгодны системы с малым тороидальным отношением, а с точки зрения устойчивости - наоборот, системы с не очень большими значениями N^'5, т.е. достаточно крутые торы.

К счастью, компромиссное решение ~ 5 — 10, N¡1 ~ 4 — 6,^*(ар) ~ 1) оказывается вполне удовлетворительным и позволяет получить в бестоковом стел-лараторе устойчивую плазму с (3 > 5%. Заметим, что это значение может быть

34

несколько увеличено с помощью внешнего поперечного поля, которое частично компенсировало бы смещение магнитных поверхностей из-за конечного ¡3, поддерживая при этом смещение плазмы на уровне, достаточном для создания в системе магнитной ямы, обеспечивающей выполнение условий устойчивости.

§2. Общая характеристика работы

Цели работы. Основной целью диссертации является теоретическое исследование магнитогидродинамического равновесия и устойчивости плазмы в стеллара-торах с плоской геометрической осью и токамаках при учете гофрированности магнитного поля. Разумеется, первоочередной задачей является разработка асимптотического метода исследования, который должен удовлетворять следующим требованиям: сводить по крайней мере часть задач к виду, допускающему рассмотрение аксиально симметричного случая (что подразумевает автоматическое использование всего арсенала методов, развитых ранее для исследования аксиально симметричной тороидальной плазмы), а также описывать в рамках единого подхода чисто трехмерные эффекты. После создания метода естественно начать с анализа простейшего случая, а именно усредненного равновесия плазмы, когда предметом исследования является не трехмерная структура магнитных поверхностей, а их усредненный образ. Затем, постепенно усложняя задачу, необходимо прейти к подробному анализу структуры трехмерных магнитных полей, создаваемых токами, протекающими по плазме. И, наконец, завершая исследование равновесия плазмы, необходимо подробно изучить вопрос о разрушении приграничных магнитных поверхностей под действием магнитных полей, создаваемых плазменными токами. Отметим, что одной из задач работы является исследование устойчивости плазмы по отношению к идеальным и диссипативным неустойчивостям. В рамках настоящей работы предполагается проанализировать и понять физический смысл ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы, определяемых как условиями равновесия, так и устойчивости, исследовать возможные пути оптимизации магнитных ловушек и способы управления плазменным шнуром.

Научная новизна. Наиболее существенные новые результаты диссертации сформулированы в заключении. Так, необходимость исследовать равновесие и устойчивость плазмы потребовала создания соответствующего математического аппарата. При этом, впервые метод усреднения был применен непосредственно к уравнениям

магнитной гидродинамики и выведена система векторных усредненных уравнений,

35

пригодная для решения различных задач, таких, например, как равновесие, устойчивость, нелинейные процессы. Выведена также система упрощенных скалярных усредненных уравнений, пригодная для анализа плазмы большого давления.

Впервые получено скалярное уравнение, справедливое при произвольной торо-идальности, позволяющее исследовать трехмерные магнитные поля, создаваемые плазменными токами, как в стеллараторе, так и токамаке при учете гофрированно-сти магнитного поля.

Построена теория усредненного равновесия плазмы в системах с большим магнитным бугром, рассмотрен широкий круг задач равновесия плазмы в стеллараторе при наличии стационарных течений.

Подробно исследована структура и физические механизмы формирования трехмерных магнитных полей. Определена степень их влияния на |В|, показано также, что измерения трехмерных магнитных, полей вне плазменного шнура могут существенным образом повысить точность определения равновесия плазмы в стеллараторе по результатам магнитных измерений.

Впервые проведен подробный анализ интересного физического явления - разрушения границы плазмы под действием магнитных полей, создаваемых плазменными токами, в зависимости от структуры вакуумных магнитных полей, профилей давления плазмы и плотности плазменного тока. Проанализированы физические механизмы, лежащие в основе ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы, а также эффективность различных способов его повышения.

При исследовании устойчивости плазмы получены аналитические критерии устойчивости как идеально проводящей плазмы, так и при учете конечной проводимости. В частности,- исследована устойчивость плазмы большого давления, когда существенен не только сдвиг магнитных поверхностей, но и искажение их формы. Проанализирована возможность создания второй зоны устойчивости. В ходе исследований обнаружены новые физические эффекты, в частности, самостабилизация плазмы, связанная с наличием положительного шира как в идеально проводящей, так и диссипативной плазме, возможность существования стабильных конфигураций с током при наличии двух резонансных магнитных поверхностей. Научная и практическая ценность. В диссертации построена теория равновесия и устойчивости плазмы в торе, не обладающем аксиальной симметрией. Ряд теоретических выводов нашел экспериментальное подтверждение, многие положения диссертации повторены в более поздних работах других исследователей, где, кстати, и прошли независимую проверку.

36

Решенные в диссертации задачи были изначально весьма сложны, что потребовало создание соответствующего математического аппарата для их анализа. Разработанный в диссертации формализм усредненных уравнений обладает тем преимуществом, что для исследования широкого спектра физических задач используется уже готовая универсальная система усредненных МГД уравнений, и что в свою очередь позволяет значительно упростить решение каждой конкретной проблемы. При этом многие трудоемкие задачи, которые требуют при их решении с помощью прямых численных методов значительных затрат машинного времени на современных суперкомпьютерах, оказывается возможным решить с достаточной точностью на рядовом персональном компьютере.

Исследование равновесия и устойчивости при предельных значениях давления плазмы имеет важное значение для решения проблемы управляемого термоядерного синтеза. Результаты исследований были использованы в ряде работ для оценки эффективности реактора на основе стелларатора.

Обнаруженные в диссертации зависимости структуры магнитных полей вне плазменного шнура от профиля давления плазмы и распределения плотности тока, послужили основой для разработки нового метода анализа результатов магнитных измерений в стеллараторах.

Обнаруженный й ходе исследований новый физический эффект - самостабилизация плазмы, связанная с положительным широм, был использован при проектировании стелларатора АТЕ (США) и прошел там экспериментальную проверку. Многие положения теории, связанные как с равновесием, так и устойчивостью плазмы, стимулировали развитие экспериментов на стеллараторе Л-2 (Россия), и были подтверждены в ходе этих экспериментов.

Проведенный анализ различных аспектов теории равновесия и устойчивости плазмы, а также различных способов управления плазменным шнуром и их эффективности, позволяет глубже понять физические закономерности, лежащие в основе ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы и указывают пути его повышения.

, Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Во введении дан обзор литературы, обосновывается актуальность проблемы и ее важность для проблемы УТС, излагаются цели и задачи работы, ее новизна, научная и практическая ценность.

Первая глава диссертации посвящена разработке математического метода ана-

37

лиза плазмы, удерживаемой в быстропеременном (в пространстве) магнитном поле. Так, подробно описывается процедура усреднения уравнений магнитной гидродинамики и вывода усредненных уравнений, которые используются для решения многих задач равновесия и устойчивости, рассмотренных в диссертации. Обсуждаются принципы выбора малых параметров, используемых при выводе уравнений, а также точность результатов, получаемых с помошью такой процедуры. Приведен ряд примеров, позволяющих лучше понять методику применения формализма усредненных уравнений к решению различных физических задач.

Во второй главе исследовано равновесие плазмы в стеллараторе при помощи усредненных уравнений. В рамках данного подхода исследуется, собственно говоря, не структура трехмерных магнитных поверхностей, а поведение их усредненного аналога. Разумеется ряд тонких эффектов при этом исследован быть не может (рассмотрению таких задач посвящена третья глава диссертации). Однако имется широкий круг принципиально важных для теории удержания высокотемпературной плазмы задач, которые наиболее просто и, главное достаточно точно, решаются именно в этом приближении. К такого рода задачам относится значительная часть задач об изменениях в магнитной конфигурации под действием магнитных полей, создаваемых токами Пфирша - Шлютера, причиной возникновения которых является средняя (тороидальная) кривизна продольного магнитного поля. Во второй главе выводятся скалярные уравнения, пригодные для исследования плазмы большого давления, изучаются их общие свойства и, в частности, обсуждаются возможные изменения в топологии магнитных поверхностей при увеличении давления; строится теория равновесия плазмы в системах с большим магнитным бугром; получаются аналитические выражения для смещения магнитных поверхностей и их эллиптичности, которые необходимы для последующего анализа устойчивости плазмы. Наконец, строится теория равновесия плазмы в стеллараторе при наличии стационарных течений.

Третья глава диссертации посвящена исследованию трехмерных магнитных полей, создаваемых плазменными токами, а также изменениям в структуре магнитных поверхностей при наличии плазмы большого давления. В данной главе выведена система уравнений, позволяющая исследовать трехмерные магнитные поля и токи, как в стеллараторе, так и токамаке с гофрированным полем, а также пронализированы свойства решений полученной системы уравнений. В частности, показано, что измерения трехмерных магнитных полей могут существенно повысить точность идентификации равновесия плазмы в стеллараторах по результатам магнитных измере-

38

ний. Кроме того, обсуждены механизмы влияния конечного давления и протекающих по плазме токов, на величину |В|. Наконец, рассмотрен вопрос о разрушении приграничных магнитных поверхностей в стеллараторах под действием магнитных полей, создаваемых плазменными токами. Анализируются физические ограничения на величину предельно допустимого давления и способы его повышения.

В четвертой главе рассмотрены неустойчивости плазмы конечного давления, обусловленные неблагоприятной кривизной силовых линий, т.е. именно те типы неустойчивостей, которые могут ограничить величину предельно допустимого давления. Выведено усредненное линейное уравнение, которое существенно упрощает исследование устойчивости плазмы как в стеллараторе, так и токамаке при учете гофрировки. Получены аналитические критерии устойчивости плазмы в стеллараторе, как в пределе идеальной магнитной гидродинамики, так при учете конечной проводимости. Рассмотрены основные причины, из-за которых возникают ограничения на предельно допустимое давление плазмы в стеллараторе, а также способы его повышения. Наконец, исследованы условия устойчивости плазмы в гофрированном магнитном поле.

В Заключении сформулированы выводы диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60-64, 82, 83, 108110, 121, 127, 129, 139, 151, 152, 160-162, 168, 201], приведенных в списке литературы.

В работе [168] результаты теории применялись для интерпретации экспериментов с токовой плазмой на стеллараторе Л-2. Равновесие и устойчивость плазмы в установках Л-2, У-2М, Не11о1;гоп-Е, АТБ рссматривалось в качестве примеров в [61, 63, 62, 83, 108, 110, 121, 152].

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Щепетов, Сергей Викторович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наиболее значительные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем.

1. Разработан метод теоретического исследования плазмы, удерживаемой в быстропеременном (в пространстве) магнитном поле. Выведена система векторных усредненных МГД уравнений, сводящая задачу к исследованию аксиально симметричного случая и пригодная для решения широкого круга задач, таких, например, как равновесие, устойчивость, нелинейные процессы.

2. Получена система упрощенных скалярных усредненных МГД уравнений, пригодная для анализа плазмы большого давления. Система упрощенных усредненных уравнений содержит в себе как предельный случай хорошо известные МГД уравнения, применяющиеся для анализа плазмы в аксиально симметричном тока-маке. При этом любой численный код, разработанный для исследования равновесия и устойчивости плазмы в токамаке, может быть использован и для усредненного описания трехмерной плазмы без сколько-нибудь сложной переделки.

3. Выведена система обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений, описывающая изменения структуры равновесных усредненных магнитных поверхностей при наличии плазмы большого давления. Система уравнений используется также при анализе устойчивости плазмы. Подробно исследованы свойства решений этой системы, построена теория равновесия плазмы в системах с большим магнитным бугром.

4. Рассмотрено равновесие плазмы в стеллараторе при наличии стационарных течений. Выведена система двумерных усредненных уравнений, содержащая в себе как предельный случай хорошо известные уравнения для аксиально симметричного токамака. Исследовано влияние стационарных течений на величину смещения магнитных поверхностей и поверхностей равной плотности, рассмотрен вопрос о топологии магнитных поверхностей и поверхностей равной плотности.

5. Разработан асимптотический метод, позволяющий исследовать трехмерные магнитные поля, создаваемые плазменными токами, в несимметричном торе.

6. Подробно исследована структура и физические механизмы формирования трехмерных магнитных полей. Определена степень их влияния на ¡В|, показано также, что их измерения вне плазменного шнура могут существенным образом повысить точность определения равновесия плазмы в стеллараторе по результатам магнитных измерений.

7. Проведен подробный анализ разрушения границы плазмы под действием

142 магнитных полей, создаваемых плазменными токами, в зависимости от структуры вакуумных магнитных полей, профилей давления плазмы и распределений плотности плазменного тока. Проанализированы физические механизмы, лежащие в основе ограничений на величину предельно допустимого давления плазмы, а также эффективность различных способов его повышения.

8. При исследовании устойчивости плазмы получены аналитические критерии устойчивости как идеально проводящей плазмы, так и при учете конечной проводимости. В частности, исследована устойчивость плазмы большого давления, когда существенен не только сдвиг магнитных поверхностей, но и искажение их формы. Определены параметры конфигураций, где снимаются ограничения на величину предельно допустимого давления по устойчивости.

9. В ходе исследований обнаружены новые физические эффекты, в частности, самостабилизация плазмы, связанная с наличием положительного шира как в идеально проводящей, так и диссипативной плазме, возможность существования стабильных конфигураций в стеллараторе с током при наличии двух резонансных магнитных поверхностей.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Щепетов, Сергей Викторович, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Spitzer L., The Stellarator Concept. Phys. Fluids, 1958, 1, 253-264.

[2] Koenig H.R. Confining ionized plasma with helical magnetic field. 1956. (Rep. US Atomic Energy Comission; NY0-7310).

[3] Gourdon C., Marty D., Maschke E., Dumont J. Configurations du type stellarator avec puits moyen et cissaillement des lignes magnetiques. In Proc. 3rd Intern. Conf. on Plasma Physics and Contr. Nucl. Fusion Research, Novosibirsk, 1968. Vienna, 1969, 1, 847-861.

[4] Uo К., Itatani R., Mohri A. et al. Behavior of 'ohmically heated plasma in a heliotron magnetic field. In Proc. 3rd Intern. Conf. on Plasma Physics and Contr. Nucl. Fusion Research, Novosibirsk, 1968. Vienna, 1969, 1, 217-223.

[5] Gourdon С., Hybert P., Marty D. Ultime simplification's bobinages créant one configration magneteque du genre stellarator. C.R. Acad. Sci. Paris, 1970, 271, 84-3-845.

[6] Kruckewitt T., Shohet J.L. Magnetic properties of ultimate torsatrons. Nucl. Fusion, 1980, 20, 1375-1380.

[7] Попов С.П., Попрядухин А.П. Об одном способе создания винтового магнитного поля. ЖТФ, 1966, 36, 390-392.

[8] Ивановский М.А., Попов С.Н., Попрядухин А.П. Стелларатор Тор-2. Труды ФИАН СССР, 1973, 65 , 65-72.

[9] Rehker S., Wobig H. A stellarator field produced by twisted coils. In Proc. 6d Eur. Conf. on Contr. Fusion and Plasma Physics, Moscow, 1973, 1, 117-120.

[10] Grieger G., Renner H., Wobig H. Wendelstein stellarators. Nuclear Fusion, 1985, 25, 1231-1242.

[11] Uo K. Experimental Heliotron research. Nuclear Fusion, 1985, 25 1243-1248.

Lees D.J. Culhem stellarator program, 1965-1980. Nuclear Fusion, 1985, 25, 12591965.

[13] Kovrizhnykh L.M., Shpigel I.S. Stellarator investigations at the Plasma Physics Laboratory of the General Physics Institute of the Academy of Sciences of the USSR. Nuclear Fusion, 1985, 25, 1285-1288.

[14] Carreras B.A., Greiger G., Harris J.H. et al. Progress in stellarator/heliotron research: 1981-1986. Nuclear Fusion, 1988, 28, 1613-1694.

[15] Johnson J.L., Greiger G., Lees D.J. et al. The Stellarator Program. IEEE Transactions on Plasma Science, 1981, PS-9, 142-149.

[16] Рабинович M.C. Экспериментальные исследования на стеллараторах. В сб. Итоги науки и техники, сер. Физика плазмы, под. ред. Шафранова В.Д., М., ВИНИТИ, 1981, 2, 6-79.

[17] Шафранов В.Д. Тороидальные системы для управляемого термоядерного синтеза. В сб. Итоги науки и техники, сер. Физика плазмы, под. ред. Шафранова В.Д., М., ВИНИТИ, 1988, 8, 131-171.

[18] Miyamoto К. Recent stellarator research. Nuclear Fusion, 1978, 18, 243-284.

[19] Miyamoto K. Plasma Physics for Nuclear Fusion. MIT Press, Cambridge. MA, 1980.

[20] Волков Е.Д., Супруненко В.А., Шишкин А.А. Стелларатор. Киев, Наукова Думка, 1983.

[21] Коврижных Л.М. О влиянии возмущений на структуру винтового магнитного поля. ЖТФ, 1961, 31, 888-890.

[22] Коврижных Л.М. Влияние возмущений на структуру винтового магнитного поля. ЖТФ, 1962, 32, 526-535.

[23] Коврижных Л.М. Магнитные поверхности тороидального винтового поля. ЖТФ, 1963, 33, 377-381.

[24] Морозов А.И., Соловьев Л.С. Геометрия магнитного поля. В сб. Вопросы теории плазмы, под. ред. Леонтовича М.А. Вып.2, М., Госатомиздат, 1963, 3-91.

[25] Соловьев Л.С., Шафранов В.Д. Замкнутые магнитные конфигурации для удержания плазмы. В сб. Вопросы теории плазмы. Под ред. Леонтовича М.А. Вып.5, М., Атомиздат, 1967, 3-208.

[26] Кораблев Л.В., Морозов А.И., Соловьев' Л.С. О магнитных поверхностях. ЖТФ, 1961, 31, 1153-1163.

[27] Kerst D.W. The influence of errors on plasma confining magnetic field. Plasma Physics (Journal of Nuclear Energy, Part C), 1962, 4, 253-262.

[28] Rosenbluth M.N., Sa.gdeev R.Z., Tailor J.B., Zaslavski G.M. Destruction of magnetic surfaces by magnetic field irregularities. Nuclear Fusion, 1966, 6, 297-300.

[29] Мельников В.К. О силовых линиях магнитного поля. ДАН СССР, 1962, 144, 747-750.

[30] Мельников В.К. О силовых линиях магнитного поля винтовых токов, текущих по поверхности тора. ДАН СССР, 1963, 149, 1056-1059.

[31] Данилкин И.С., Карпенко И.К. Влияние тороидальности на магнитные поверхности стелларатора. ЖТФ, 1969, 39, 1959Л972.

[32] Yoshikawa S., Stix Т.Н. Experiments on the Model С stellarator. Nuclear Fusion, 1985, 25, 1275-1279.

[33] Young K.M. The C-stellarator - a review of containment. Plasma Phys., 1974, 16, 119-152.

[34] Alejaldre C., Gonzalo J.J.A., Perez J.В., et al. TJ-II project: a flexible heliac stellarator. Fusion Technology, 1990, IT, 131-1-39.

[35] Beidler C., Grieger G., Herrnegger F., et al. Physics and engineering design for Wendelstein VII-X. Fusion Technology, 1990, 17, 148-168.

[36] Yamada H., Matsuoka K., Okamura S., et al. Magnetic field study in a compact helical system. Rev. Sci. Instrum., 1990, 61, 686-682.

[37] liyoshi A., Fujiwara M., Motojima 0., et al. Design study for Large Helical Device. Fusion Technology, 1990, 17, 169-187.

[38] Project Matterhorn. The proposed model C-stellarator facility.(Princeton Univ,

Rept NYO-7899), Princeton, 1957, 497p.

146

[39] Johnson J.L., Oberman СЛ., Kulsrud R.M., Friemen E.A. Some stable hydromag-netic equilibria, Phys. Fluids, 1958, 1, 281-296.

[40] Greene J.M., Johnson J.L. Determination of hydromagnetic equilibria. Phys. Fluids, 1961, 4, 875-890.

[41] Greene J.M., Johnson J.L. Hydromagnetic stability with externally imposed rotational transform. Phys. Fluids, 1961, 4, 1417-1426.

[42] Johnson J.L., Greene J.M., Weimer K.E. Equilibrium and stability for systems with small curvature. Nuclear Fusion, 1962, 2, 16-22.

[43] Johnson J.L., Greene .J.M., Coppy B. Effect of resistivity on hydromagnetic instabilities in multipolar systems. Phys Fluids, 1963, 6, 1168-1183.

[44] Град Г., Рубин Г. Магнитогидродинамическое равновесие и бессиловые поля. В кн. Труды Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии, Женева, 1958. Избранные доклады иностранных ученых. М., Атомиздат, 1959, 1, 131-145.

[45] Шафранов В.Д. О равновесных магннтоги д ро динамических конфигурациях,

ЖЭТФ, 1957, 33, 710-722. \

[46] Liist R., Schlüter A. Axial symmetrische magnehydrodvnamische gleichgewichicht konfigurationen. Z. Naturforsch, 1957, 12a, 850-854.

[47] Akulina D.K., Andryukhina E.D., Berezhetskij M.S., et al. Ohmic plasma heating in L-2 stellarator. In Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Bertesgaden, 1976). IAEA, Vienna, 1977, 2, 115-126.

[48] Ilyoshi A., Sato M., Motojima 0., et al. Confinement of currentless plasma in Heliotron-E. Phys. Rev. Lett., 1982, 48, 745-748.

[49] Bartlett D.V., Cannici G., Cattani G., et al. Neutral injection in the Wendelstein VII-A stellarator with reduced ohmic heating. In Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Brussels, 1980). IAEA, Vienna, 1981, 1, 185-196.

[50] Rewoldt G., Johnson J.L. MHD kink-driven instabilities in net-current-free stellarators. Nuclear Fusion, 1984, 24, 733-738.

[51] Anania G., Johnson J.L. Application of stellarator expansion methods for MHD equilibrium and stability calculations. Phys. Fluids, 1983, 26, 3070-3078.

[52] Anania G., Johnson J.L., Weimer Iv.E. Application of stellarator expansion to investigate plasma equilibrium in stellarators. Phys. Fluids, 1983, 26, 2210-2218.

[53] Johnson J.L. MHD computations in stellarators. Computer Physics Reports, 1986, 4, 37-70.

[54] Михайлов М.И. Влияние "магнитного бугра" на равновесие плазмы в стеллара-торе. Физика плазмы, 1.980, 6, 45-54.

[55] Mikhailov M.I., Shafranov V.D. On the plasma pressure limit in stellarators. Plasma Phys., 1982, 24, 233-242.

[56] Пустовитов В.Д. О методе обращения переменных для описания плазмы в стел-лараторах. Физика плазмы, 1982, 8, 473-483.

[57] Михайлов VI.И., Пустовитов В.Д., Шафранов В.Д. Скалярное двумерное уравнение равновесия для стелларатора. Письма ЖЭТФ, 1982, 35, 152-154.

[58] Shafranov V.D. Magnetohydrodynamic theory of plasma equilibrium and stability in stellarators: survey of results. Phys. Fluids, 1983, 26, -357-364.

[59] Пустовитов В.Д., Шафранов В.Д.Равновесие и устойчивость плазмы в стел-лараторах. В сб. Вопросы теории плазмы. Под ред. Кадомцева Б.Б. М., Энерго-атомиздат, 1987, 15, 146-291.

[60] Коврижных Л.М/, Щепетов С.В. Описание плазмы в стеллараторе с помощью усредненных МГД уравнений. Физика плазмы, 1980, 6, 976-985.

[61] Коврижных Л.М., Щепетов С.В. "Самостабилизация" плазмы конечного давления в стеллараторе. Физика плазмы, 1981, 7, 419-426.

[62] Коврижных Л.М., Щепетов С.В. Критерий МГД-устойчивости в стеллараторе. Физика плазмы, 7, 958-962.

[63] Коврижных Л.М., Щепетов С.В. Существует ли предельное давление в стеллараторе? Письма ЖЭТФ, 1981, 33, 419-423.

[64] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. MHD equilibrium and stability of a stellarator

plasma. Nuclear Fusion, 1983, 23, 859-867. .

148

[65] Погуце О.П., Юрченко Э.И. Баллонные эффекты и устойчивость плазмы в то-камаке. В сб. Вопросы теории плазмы. Под ред. Леонтовича М.А. и Кадомцева Б.Б. М., Энергоиздат, 1982, 11, 56-117.

[66] Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах. В сб. Вопросы теории плазмы, под ред. Леонтовича М.А. и Кадомцева Б.Б. М., Энергоиздат, 1982, 11, 118-335.

[67] Михайловский А.Б. Развитие теории гидромагнитных неустойчивостей тока-маков. В сб. Вопросы теории плазмы, под ред. Леонтовича М.А. М., Атомиз-дат, 1982, 9, 3-58.

[68] Михайловский А.Б. Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках. М., Атом-издат,1978.

[69] Кадомцев Б.Б. Основы физики плазмы токамака. В сб. Итоги науки и техники, Физика плазмы. Под ред. Шафранова В.Д. М., ВИНИТИ. 1991, 10, ч.1, 5-147.

[70] Degtyarev L.M., Drozclov V.V. An inverse variable technique in the MHD equilibrium problem. Computer Phys. Reports, 1985, 2, 343-377.

[71] Дегтярев Л.М., Дроздов В.В., Медведев С.Ю. Численное моделирование тороидальной плазмы. М., ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1989.

[72] Degtyarev L.M., Meclvedev S.Yu. Methods for numerical simulation of ideal MHD stability of axisymmetric plasma. Computer Phys. Communications, 1986, 43, 2956.

[7-3] Бейтман М.Г. МГД-неустойчивости. M., Энергоиздат, 1982.

[74] Wesson J. Tokamaks. Claredon Press, Oxford, 1987.

[75] Кадомцев Б.Б., Погуце О.П. Нелинейные винтовые возмущения плазмы в то-камаке. ЖЭТФ, 1973, 6, 575-589.

[76] C'arreras В., Hickes H.R., Lee D.K. Effects of toroidal coupling on the stability of tearing modes. Phys. Fluids, 1981, 24, 66-78.

[77] Strauss H.R. Dynamics of high /3 tokamaks. Phys. Fluids, 1977, 20, 1354-1360.

[78] Schmalz R. High (3 and toroidal effects in three dimensions. Comput. Phys. Commun, 1981, 24, 421-425.

[79] Edery D., Pellat R., Soule J.L. A consistent threedimensional model for the evolution of the resistive tearing modes in toroidal plasmas. PEP. EUR-CEA-FC-1109. Fontenay-aux-Roses (France), 1981, 31p.

[80] Strauss H.R. Stellarator equations of motion. Plasma Phys., 1980, 22, 733-745.

[81] Strauss H.R., Monticello D.A. Limiting ¡3 of stellarator with no net current. Phys. Fluids, 24, 1148-1155.

[82] Коврижных JI.M., Щепетов С.В. МГД-аспекты удержания плазмы в стеллара-торе. Труды ФИАН СССР, 1985, 160, 58-92.

[83] Коврижных Л.М., Щепетов С.В. Современное состояние теории МГД равновесия и устойчивости плазмы в стеллараторе. УФН, 1986, 148, 637-670.

[84] Todoroki J. Averaging method for stadying magnetohydrodynamic equilibrium and stability of toroidal helical systems. Journ. of Physical Society of Japan, 1987, 56, 128-138.

[85] Todoroki J. Extension of stellarator approximation in magnetohydrodynamic equilibrium and stability of toroidal helical systems. Journ. of Physical Society of Japan, 1989, 58, 3979-3992.

[86] Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958.

[87] Данилкин И.С. Магнитная структура тороидального стелларатора вблизи сепаратрисы. Физика плазмы, 1985, 11, 34-38.

[88] Mercier С. Sur une represantion des surfaces-toroidales: applications aux equilibres magnetohydrodynamiques. Nuclear Fusion, 1963, 3, 89-98.

[89] Mercier C. Equilibre et stabilite d'un systeme toroidal magnetohydrodynamique au voisinage d'un axe magnetique. Nuclear Fusion, 1964, 4, 213-226.

[90] Shafranov V.D., Yurchenko E.I. Hydromagnetic stability of a plasma in stellarators. Nuclear Fusion, 1969, 9, 285-289.

[91] Lortz D., Nührenberg J. Equilibrium and stability of the I = 2 stellarator without longitudinal current. Nuclear Fusion, 1977, 17, 125-133.

[92] Lortz D., Nührenberg J. Field line integration for MHD equilibria near a closed magnetic field line. Nuclear Fusion, 1978, 18. 807-811.

[93] Fielding P.J., Hitchon W.N.G. Plasma equilibrium in toroidal I = 3 stellarator. Joum. Plasma Phys., 1980, 24, 453-478.

[94] Hitchon W.N.G., Fielding P.J. Plasma equilibrium in toroidal stellarators. Nuclear Fusion, 1981, 21, 775-781.

[95] Bauer F., Betancourt 0., Garabeclian P. Magnetohydrodynamic equilibrium and stability of stellarators. New York, Springer - Verlag, 1984.

[96] Hirshman S.P., van Rij W.J., Merkel P. Three-dimensional free-boundary calculations using a spectral Green's function method. Computer Physics Communications, 1986, 43, 143-155.

[97] Hirshman S.P., Meier H.K. Optimized Foureir representations for three-dimensional magnetic surfaces. Phys. Fluids, 1985, 28, 1387-1391.

[98] Дегтярев JI.M., Дроздов B.B., Пошехонов Ю.Ю. Новый конечно-разностный алгоритм расчета трехмерного МГД равновесия плазмы и некоторые результаты его применения. М., ИПМ, 1987 (Препринт ИПМ N 182).

[99] Chodura R., Schlüter А. 3D code for MHD equilibrium and stability. Journ. of Computational Physics, 1981, 41, 68-88.

[100] Hender T.C., Carreras B.A., Charlton L.A., et al. Torsatron equilibrium and stability studies. Nuclear Fusion, 1985, 25, 1463-1473."

[101] Greenside H.S., Reiman A.H., Salas A. Convergence properties of a nonvariational 3D equilibrium code. Journ. of Computational Physics, 1989, 81, 102-136.

[102] Harafuji K., Hayashi Т., Sato T. Computational study of three-dimensional magnetohydrodynamic equilibria in toroidal helical system. Journ. of Computational Physics, 1989, 81, 169-192.

[103] Hayashi Т., Sato Т., Takei A. Three-dimensional studies of helical equilibria and magnetic surface breaking due to finite beta effect. Phys. Fluids B, 1990, 2, 329-337.

[104] Hayashi Т., Takei A., Ohyabu N., Sato T. Suppression of magnetic surface breaking by extra coils in finite beta equilibria of helical systems. Nuclear Fusion, 1991, 31, 1767-1770.

[105] Hayashi Т., Takei A., Sato T. Magnetic surface breaking in three-dimensional 1=2 torsatron/heliotron equilibria. Phys. Fluids B, 1992, 4, 1539-1546.

[106] Грубер P., Дегтярев Л.М., Купер А. и др. Трехмерная модель равновесия плазмы с полоидальным представлением магнитного поля. Физика плазмы, 1996, 22, 204-213.

[107] Дегтярев Л.М., Дроздов В.В., Михайлов М.И. и др. Уравнения трехмерного равновесия плазмы в потоковых переменных. Физика плазмы, 1985, 11, 39-50.

[108] Кузнецов А.В., Сычугов Д.Ю., Щепетов С.В. Разрушение внешних магнитных поверхностей в стеллараторах из-за эффектов конечного давления. Вопросы атомной науки и техники, сер. Термоядерный синтез, вып. 1-2, 1993,. 65-70.

[109] Shchepetov S.V., Kuznetsov А.В., Sychugov D.Yu. Plasma equilibria with stochastic regions and magnetic islands. Transactions of Fusion Technology, 1995, 25, 455-458.

[110] Kuznetsov А.В., Shchepetov S.V., Sychugov D.Yu. Finite pressure induced destruction of the plasma boundary in stellarators. Nuclear Fusion, 1995, 35, 183-193.

[111] Striimberger E. SOL studies for W-7X based on island"divertor concept. Nuclear Fusion, 1996, 36, 891-900.

[112] Greene J.M., Johnson J.L., Weimer K.E. Critical pressure for equilibrium in a toroidal system. Plasma Phys., 1966, 8, 145-155.

[113] Pustovitov V.D. Plasma equilibrium equation for a stellarator for arbitrary aspect ratio. Nuclear Fusion, 1983, 23, 107.9-1088.

[114] Шишкин A.A. О возможности снижения равновесных плазменных токов в тор-сатронах. Вопросы атомной науки и техники, сер. Термоядерный синтез, вып. 2, 1987, 15-19.

[115] Pustovitov V.D. Effect of satellite helical harmonics on the stellarator configuration. Preprint NIFS-328, 1994, Nagoya, Japan.

[116] Nuhrenberg J., Zille R. Stable stellarators with medium (3 and aspect ratio. Phys Letters A, 1986, 114, 129-132.

[117] Niihrenberg J., Zille R. Quasi-symmetric toroidal stellarators. Phys. Letters A., 1988, 129, 113-117.

[118] Besshou S., Ogata K., Kondo K., et al. Detection of the free boundary plasma shift in a toroidal helical plasma on Heliotron-E. Nuclear "Fusion, 1995, 35, 173-182.

[119] Besshou S., Ogata K., Kondo K., et al. Magnetic detection of the free boundary plasma shift in a toroidal helical plasma on Heliotron-E. Transactions of Fusion Technology, 1995, 27, 219-222.

[120] Pustovitov V.D. Suppression of Pfirsh-Schluter current by vertical field in conventional stellarators. Nuclear Fusion, 1996, 38, 583 - 591.

[121] Shchepetov S. V., Kuznetsov A.B. Equilibrium magnetic fields and currents in a non-axisymmetric torus: external magnetic fields in stellarator. Nuclear Fusion, 1996, 36, 1097-1112.

[122] Pustovitov V.D. Suppression of Pfirsh-Schluter current by an external poloidal magnetic field in conventional stellarators. Nuclear Fusion, 1996, 36, 1281 - 1290.

[123] Danilkin I.S., Kovriznykh L.M., Shchepetov S.V. Equilibrium in a stellarator. The pressure limit. In Proc. 10 Eur. Conf. on Contr. Fusion and Plasma Physics, Moscow,

1, E-10.

[124] Комин А.В., Минеев А.Б, Данилкин И.О., Коврижных Л.М., Щепетов С.В. Об оценке профиля давления и энергетического времени жизни плазмы в реакторе-стеллараторе с большим широм. Вопросы атомной науки и техники, сер. Термоядерный синтез, вып. 3, 1987, 3 - 8.

[125], Данилкин И.С., Минеев А.Б., Редькова М.Г., Щепетов .С.В. О возможном соотношении ¡3 и те в токамаках и стеллараторах. Вопросы атомной науки и техники, сер. Термоядерный синтез, вып. 1, 1990, 29-33.

[126] Дроздов В.В., Пустовитов В.Д. Влияние профиля вращательного преобразования на величину предельно равновесного давления плазмы в стеллараторах. Вопросы .Атомной Науки и Техники, сер. Термоядерный синтез, вып.2, 1989, 16-19.

[127] Ivovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V., Kostomarov D.P. Sychugov D.Yu. High-/? equilibrium in a stellarator. In Proc. 14 Eur. Conf. on Contr. Fusion and Plasma Physics, Madrid, 1987, 11D, pt.l, 406-409.

[128] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V., Kostomarov D.P., Sychugov D.Yu. Magnetic islands in toroidal plasma. In. Proc. 7 Kiev Conf. on Plasma Phys. Kiev, 1987, 3, 46-49.

[129] Сычугов Д.Ю., Щепетов С.В. Равновесные плазменные конфигурации с магнитными островами при больших ,в. Физика плазмы, 1988, 14, 663-667.

[130] Shishkin A.A., Bykov V.E., Peletminskaya V.G., Khodyachikh A.V. Magjietic surface destruction due to equilibrium plasma currents in torsatron. In Proc. 15th Eur. Conf. on Contr. Fus. and Plasma Heating, Dubrovnic, 1988, 12B, pt.2, 502-505.

[131] Арцимович Л.А., Шафранов В.Д. Токамак с некруглым сечением плазменного шнура. Письма ЖЭТФ, 1972, 15, 72-76.

[132] Laval G., Pellat R., Soule J.S. Hydromagnetic stability of a current-carrying pinch with noncircular cross section. Phys. Fluids, 1974, 17, 835-845.

[133] Helton F.J., Greene J.M. Ideal MHD properties for proposed noncirculer tokamaks. Jorn. of Computational Physics, 1986, 66, 458-468.

[134] Погуце О.П., Чудин Н.В., Юрченко Э.И. Устойчивость баллонных мод в тока-маке с некруглым сечением. Физика плазмы, 1980, 6, 621-630.

[135] Данилкин И.С., Коврижных Л.М. Магнитная ловушка для удержания бестоковой плазмы с эллиптическими магнитными поверхностями - стеллатрон ("перстеньковый стелларатор"). Письма ЖЭТФ, 1974, 19, 193-197.

[136] Данилкин И. С., Коврижных Л.М. Стеллатрон - магнитная система для удержания бестоковой плазмы с улучшенным тороидальным равновесием. In Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. (Tokyo, 1974). IAEA, Vienna, 1975, 2, 163-175.

[137] Shohet J.L., Anderson D.T., Tataronis J.A. Non-circular cross-section stellarators. Nuclear Fusion, 1976, 16, 441-445.

[138] Wang T.S., Jensen Т.Н. Doblestar: a stellarator with three magnetic axes. Nuclear Fusion, 1978, 18, 1459-1465.

[139] Данилкин И.С., Щепетов С.В. Стелларатор с эллиптическим малым сечением. Физика плазмы, 1987, 13, 392-402.

[140] Can-eras В.A., Hicks H.R., Holmes J.A., et al. Zero-current high-beta stellarator equilibria with rotational transform profile control. Nuclear Fusion, 1984, 24, 13741355.

[141] Матвеева E.A., Пустовитов В.Д. Равновесие плазменного шнура с некруглым "в среднем" сечением в стеллараторах. Физика плазмы, 1988, 14, 151-160.

[142] Пустовитов В.Д. Управление конфигурацией стелларатора с помощью квадру-польных полей. Физика плазмы, 1988, 14, 101-104.

[143] Pustovitov V.D. Stellarators with doublet magnetic field configuration. Nuclear f usion, 1990, 30, 1079-1086.

[144] Zehrfekl H.P., Green B.J. Stationary toroidal equilibria at finite beta. Nucl Fusion, 1972, 12, 569 - 575.

[145] Green B.J., Zehrfekl H.P. The effect of plasma flow on the toroidal equilibrium shift. NuclFusion, 1973, 13, 750-752.

[146] Maschke E.K., Perrin H. Exact solutions of the stationary MHD equations for rotating toroidal plasma. Plasma Physics, 1980, 22, 579-594.

у

[147] Kerner W., Ja.ndl 0. Axisymmetric MHD equilibria with flow. Computer Phys. Communications, 1-984, 31, 269-285.

[148] Semenzato S., Gruber R., Iacono R., Troyon F., Zehrfeld H.P. Poloidal asymmetry of the density profile assosiated with flow in a tokamak. CRPP-EPFL Laboratory, Lausanne, 1985 (Rep. LRP 258/85).

[149] Semenzato S., Gruber R., Zehrfeld H.P. Computation,of symmetric MHD flow equilibria. Computer Physics Reports, 1984, 1, 389-426.

[150] Соловьев Л.С. Симметричные магнитогидродинамические течения и винтовые волны в круглом плазменном цилиндре. В сб. Вопросы теории плазмы. Под ред. Леонтовича М.А., М., Госатомиздат, 1963, 3, 245-289.

[151] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. Equilibrium of a plasma with a steady flow in the stellarator. In Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Nice, 1988). IAEA, Vienna, 1989, 2, 631-636.

[152] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. Stellarator equilibria with steady flow. Nuclear Fusion, 19S9, 29, 667-671.

[153] Smaulders P. Tomography of quasi-static deformations of constant- emission surfaces of high-beta-plasmas in ASDEX. Nuclear Fusion, 1986, 26, 267-274.

[154] Johnson J.L., Reiman A.H. Self-consistent three-dimensional equilibrium effects on tokamak magnetic ripple. Nuclear Fusion, 1988, 28, 1116-1120.

[155] Kovrizhnykh L.M. Neoclassical theory of transport processes in toroidal confinement systems, with emphasis on non- axisymmetric configurations. Nuclear Fusion, 1984, 24, 851-936.

[156] Гуревич А.В., Димант Я.С. Кинетическая теория конвективного переноса быстрых частиц в токамаках. В сб. Вопросы теории плазмы под ред. Кадомцева Б.Б. М., Энергоатомиздат, 1987, 16, 3-101.

[157] Юшманов П.Н. Диффузионные транспортные процессы в токамаках, обусловленные гофрировкой. В сб. Вопросы теории плазмы. Под ред. Кадомцева Б.Б. М., Энергоатомиздат. 1987, 16, 102-208.

[158] Kuznetsov А.В., Shchepetov S.V., Sychugov D.Yu. Is it possible to extract information on the plasma pressure profile from the magnetic measurements? Nuclear Fusion, 1994, 34, 185-190.

[159] Hender T.C., Carreras B.A. Equilibrium calculations for helical axis stellarators. Phys. Fluids, 1984, 27, 2101-2109.

[160] Щепетов С.В. Равновесие и устойчивость плазмы в гофрированном магнитном поле. Труды ИОФАН, 1991, 31, 28-36.

[161] Shchepetov S.V. Magnetic fields and currents in a non-axisymmetric torus. Nuclear Fusion, 1994, 34, 369-374.

[162] Kuznetsov Yu.K., Shchepetov S.V. On the problem of magnetic measurements in stellarators. In Proc. 8th Stellarator Workshop (Kharkov, 1991). IAEA, Vienna, 1991, 421-424.

[163] Шафранов В.Д. К вопросу о гидромагнитной устойчивости плазменного шнура с током в сильном продольном поле. ЖТФ, 1970, 60, 241-253.

[164] Погуце О.П., Юрченко Э.И. Винтовал неустойчивость неидеально проводящей плазмы. Физика плазмы, 1977, 4, 504-511.

[165] Matsuoka К., Miyamoto К., Ohasha К., Wakatani M. Magnetohydrodynamic instabilities in a current-carrying stellarator. Nuclear Fusion, 1977, 17, 1123-1131.

[166] Matsuoka K-., Miyamoto K. Stabilization of MHD-instabilities in a current-carrying stellarator. Nuclear Fusion, 1979, 19, 837-841.

[167] Коврижных Л.M., Щепетов C.B. МГД неустойчивость в стеллараторе с током. М., ФИАН, 1.978. (Препринт ФИАН N 173).

[168] Гребенщиков С.Е., Коврижных Л.М., Корнев Б.И., Шпигель И.С., Щепетов C.B., Блехер П.М., Зуева Н.М. МГД колебания на периферии плазменного шнура в стеллараторе Л-2 при омическом нагреве. Физика плазмы, 1985, 11, 515-519.

[169] Сайдем Б.Р. Устойчивость самосжатого линейного разряда. В кн. Труды Второй международной конференции по мирному использованию атомной энергии, Женева, 1958. Избранные доклады иностранных ученых. М., Атом-издат,1959, 1, 89-93.

[170] Шафранов В.Д., Юрченко Э.И. Критерий желобковой неустойчивости плазмы в тороидальной геометрии. ЖЭТФ, 1967, 53, 1157-1967.

[171] Mercier С. Un critere de stabilité d'un systeme toroidal hydromagnetique en pression scalaire. Nuclear Fusion Supplement, 2, 81-88.

[172] Шафранов В.Д., Юрченко Э.И. Удержание плазмы в токамаке с j3j 1 при произвольном распределении тока. In Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. (Madison, 1971). IAEA, Vienna, 1972, 2, 519-524.

[173] Михайловский А.В., Шафранов В.Д. О гидромагнитной устойчивости стел-лараторов типа "восьмерки" Спитцера при высоком давлении плазмы. Письма ЖЭТФ, 1973, 18, 208-210.

[174] Михайловский А.Б., Шафранов В.Д. Эффект стабилизации плазмы высокого давления в тороидальных ловушках. ЖЭТФ, 1974, 66, 190-199.

[175] Mikhailovskij А.В. 'Tokamak stability at high pressures. Nuclear Fusion, 1974, 14, 483-492.

[176] Коврижных JI.M., Щепетов С.В. Критерий желобковой неустойчивости в стел-лараторе. М., ФИАН, 1980. (Препринт ФИАН N 47).

[177] Shohet J.L., Anderson D.T. The connection length in stellarator geometries. Comments on Plasma Physics and Controlled Fusion. 1982, 7, 103- 110.

[178] Коврижных Л.М., Щепетов С.В. Желобковая неустойчивость в стеллараторе с током. М., ФИАН, 1979. (Препринт ФИАН N 146).

[179] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. Does the MHD stability determine maximal plasma pressure in a stellarator? In Proc. 10 Eur. Conf. on Contr. Fusion and Plasma Physics, Moscow, 1, E-ll.

[180] Пустовитов В.Д. Основы МГД-теории стеллараторов. В сб. Итоги науки и техники, сер. Физика плазмы, под. ред. Шафранова В,Д., М., ВИНИТИ, 1993, 13, 13-84.

[181] Carreras В.A., Dominguez N., Garcia L., et al. Low-aspect-ratio torsatron configurations. Nuclear Fusion, 1988, 28, 1099-1104.

[182] Carreras B.A., Hicks H.R., Holmes J.A. et al. Equilibrium and stability properties of high-beta-torsatrons. Phys. Fluids, 1983, 26, 3569-3579.

[183] Nakamura Y., Wakatani M., Leboeuf J.N., et al. Equilibrium, stability, and deeply trapped particle confinement calculations for I = 2 torsatron/heliotron calculations. Fusion Technology, 1991, 19, 217-233.

[184] Pustovitov V.D., Shafranov V.D., Zakharov L.E., et al. Computation of plasma equilibrium and stability in stellarators on the basis of generalised two-dimensional equation. In Plasma Physics and Contr. Nuclear Fusion Research'(Baltimore, 1982). IAEA, Vienna. 1983, 2, 541-556.

[185] Murakami M., Aceto S.C., Anabitarte E., et al. Recent results from the ATF torsatron. Phys. Fluids B, 1991, 3, 2261-2269.

[186] Harris J.H., Murakami M., Carreras B.A. et al. Second stability in the ATF torsatron. Phys. Rev. Lett. 1989, 63, 1249-1252.

[187] Harris J.H., Anabitarte E., Bell G.L. et al. Second stability in the ATF torsatron -Experiment and theory. Phys. Fluids B, 1990, 2, 1353-1358.

[188] Hernegger F., Merkel P., Johnson J.L. Comperasion of two-dimensional and three-dimensional MHD equilibrium and stability codes. Journ. of Computational Physics. 1986, 66, 445-457.

[189] Connor J.W., Hastie R.J., Tailor J.B. Shear, periodity and plasma ballooning modes. Phys. Rev. Lett., 1978, 40, 396-399.

[190] Погуце О.П., Юрченко Э.И. Дестабилизирующее влияние шира и предельное давление плазмы в токамаке. Письма ЖЭТФ, 1978, 28, 344-347.

[191] Berk H.L., Rosenbluth M.N., Shohet J.L. Balloning mode calculations in stellarators. Phys. Fluids, 1983, 26, 2616-2621.

[192] Cooper W.A., Hender T.C. Ballooning modes in 3-D stellarators with shear. Plasma Physics and Controlled Fusion, 1984, 26, 931-930.

[193] Niihrenberg J., Merkel P., Schwab C. et al. MHD-theoretical aspects of stellarators. Plasma Physics and Controlled Fusion, 1993; 35, B115-B128.

[194] Johnson J.L., Greene J.M. Resistive interchanges and the negative V" criterion. Plasma Physics, 1967, 9, 611-629.

[195] Glasser A.H., Greene J.M., Johnson J.L. Resistive instabilities in general toroidal plasma configurations. Phys. Fluids, 1975, 18, 875 -888.

[196] Correa-Restrepo D. Resistive ballooning modes in three-dimensional configurations. Z. Naturforsh, 1982, 37a, 848-858.

[197] Dewar R.L., Glasser A.H. Ballooning mode spectrum in general toroidal systems. Phys. Fluids, 1983, 26, 3038-3049.

[198] Mikhailovskij A.B. The stability criterion of the g-mode in a toroidal plasma. Nuclear Fusion, 1975, 15, 95-107.

[199] Glasser A.H., Greene J.M., Johnson J.L. Resistive instabilities in a tokamak. Phys. Fluids, 1976, 19, 567-579.

[200] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. Theory of stellarator equilibrium and stability. In Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. (Brussels, 1980). Vienna, 1981, 1, 205-207.

[201] Kovrizhnykh L.M., Shchepetov S.V. Condition for the stability of dissipative modes in a stellarator. In Proc. 11 Eur. Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics. Aachen, 1983. 7D, 147-150.

[202] Charlton L.A., Leboeuf J.N., Lynch V.E. Resistive magnetohydrodynamic stability in stellarators with increasing plasma pressure. Phys. Fluids B, 1991, 3, 2028-2037.

[203] Shaing K.C., Carreras В.A. Nonlinear resistive g mode and electron heat conductivity in torsatron/heliotron plasmas. Phys. Fluids, 1985, 28, 2027-2029.

[204] Carreras В.A., Garcia L., Diamond P.H. Theory of resistive pressure-gradient-driven turbulence. Phys. Fluids, 1987, 30, 1388-1400.

[205] Carreras В.A., Newman D., Lynch V.E., Diamond P.H. A model realization of self-orgonized criticality for plasma confinement. Phys. Plasmas, 1996, 3, 2903-2911.

[206] Dominguez N., Leboeuf J.N., Carreras В.A., Lynch V.E. Ideal low-n and Mercier mode stability boundaries for 1=2 torsatrons. Nuclear Fusion, 1989, 29, 2079-2086.

[207] Garcia L., Carreras В.A., Dominguez N., Lebouef J.N., Lynch V.E. Low-n stability calculations for three-dimensional stellarator configurations. Phys. Fluids B, 1990, 2, 2162-2170. v

[208] Брагинский С.И. Лвления переноса в плазме В сб. Вопросы теории плазмы, под. ред. Леонтовича М.А. Вып.1, М., Госатомиздат, 1963, 182-272.

[209] Hinton F.B., Hazeltine R.D. Theory of plasma, transport in toroidal confinement systems. Rev. Mod. Phys., 1976, 48, 240-308.

[210] Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М., Наука, 1975.

[211] Dove W.F., Grieger G., Johnson J.L. et al. Stellarators: status and future directions. Joint-US EURATOM, Garching, 1981. (Rep. IPP 2/254).

[212] Андрюхина Э.Д., Федянин О.П. Особенность измерения энергосодержания плазмы в стеллараторе с током. Физика плазмы, 1977, 3, 792-798.

[213] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976.

[214] Newcomb W.A. Hydromagnetic stability of a diffuse linear pinch. Ann. Phys., I960, 10, 232-267.

[215] Lortz D., N-ührenberg J. Stellarator expansion at finite aspect ratio. Z. Naturforsh, 1982, 37a, 876-888.

[216] Михайлов М.И., Шафранов В.Д. Условия применимости двумерного подхода к описанию равновесия плазмы в стеллараторах. Физика плазмы, 1996, 22, 195-203.

[217] Дегтярев Л.М., Дроздов В.В., Медведев С.Ю. Численное моделирование равновесия и устойчивости тороидальной плазмы. В сб. Итоги науки и техники, Физика плазмы. Под ред. Шафранова В.Д. М., ВИНИТИ. 1985, б, 81-134.

[218] Дегтярев Л.М., Дроздов В.В. О возможном подходе к описанию трехмерного МГД равновесия скалярными уравнениями. М., ИПМ, 1984 (Препринт ИПМ N 32)

[219] Galkin S.A., Drozdov V.V, Martynov A.A. A variational approach to constructing of approximate models for MHD equilibrium and stability, M., Iveldysh Institute of

v

Applied Mathematics, 1991 (Preprint N 52)

[220] de Figuiriedo D.A. Positive solutions of semilinear elliptic problems. Lecture Notes in Mathematics, 1982, 957, 34-87.

[221] Шафранов В.Д. Равновесие плазменного шнура малой тороидальности с произвольным распределением тока по сечению. Nuclear Fusion, 1963, 3, 183-190.

[222] Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича и И.Стиган. М., Наука, 1979.

[223] Boozer А.Н., Gardner А.Н. The bootstrap current in stellarators. Phys. Fluids B, 1990, 2, 2406-2421.

[224] Kuznetsov A.B., Shchepetov S.V. Method of magnetic analysis for stellarator equilibria. Nuclear Fusion, 1997, 37, 371-380.

[225] Morris R.N., Glowienska J.C., Neilson G.N., Hirshman S.P., Merkel P. Finite-beta equilibrium magnetic field perturbations in stellarator plasmas. Nuclear Fusion, 1989, 29, 2115-2123.

[226] Gardner H..J. Modelling the behaviour of the magnetic field diagnostic coils on the W VII-AS stellarator using a three-dimensional equilibrium code. Nuclear Fusion, 1990, 30, 1417-1424.

[227] Pashnev V.K., Nemov V.V. Use of magnetic diagnostics in stellarators. Nuclear Fusion, 1993, 33, 435-447.

[228] Bykov V.E., Grekov D.L., Shishkin A.A. et al. Finite pressure equilibrium effects on helical ripple transport in torsatrons. Nuclear Fusion, 1988, 28, 871-880.

[229] Ichiguchi Iv., Nakajima N., Gardner H.P. Free-boundary studies for the Large Helical Device. Nuclear Fusion, 1996, 36, 1157-1166.

[230] Данилкин И.С., Коврижяых Л.М., Шпигель И.С. О стеллараторе с уменьшенным уровнем неоклассических потерь. Вопросы атомной науки и техники,, сер. Термоядерный синтез, вып.З, 1990, 31-38.

[231] Bykov V.E., Georgievskij A.V., Demchenko V.V., et al. Uragan-2M: a torsatron with an additional toroidal field. Fusion Technology, 1990, 17, 140-147.

v

[232] Кузнецов А.Б., Кузнецов Ю.К., Сычугов Д.Ю., Щепетов С.В. Равновесие плазмы со свободной границей в торсатр'оне У-2М. Вопросы атомной науки и техники, сер. Термоядерный синтез, вып. 3, 1991, 69-75.

[233] Пустовитов В.Д. Аналитическое описание вакуумной конфигурации тор-сатрона "Ураган-2М" и оценка ¡3eq. Препринт ИАЭ-5012/6, Москва, 1990.

[234] Pustovitov V.D. Plasma position and shape control in stellarators. Comments Plasma Phys. Controlled Fusion, 1992, 15, 121-127.

[235] Pustovitov V.D. Refined theory of diamagnetic effect in stellarators. Journ. of Plasma and Fusion Research, 1993, 69, 34-40.

[236] Cooper W.A., Hirshman S.P., Lee D.K. The beta limit in the advanced toroidal facility due to local MHD instabilities. Nuclear Fusion, 1989, 29, 617-625.

[237] Cheremnykh O.K, Podnebesny A.V., Pustovitov V.D. Mercier stability criterion for currentless toroidal systems. Nuclear Fusion,-1991, 31, 1747-1750.

[238] Wakatani M., Nakamura Y., Ichiguchi K. MHD instabilities in heliotron/torsatron.

Fusion Engeneering and Design, 1992, 15, 395-413.

162

[239] Hernegger F. Effect of vacuum magnetic well on magnethyclrody'namic stability in Heliotron-E like configuration with high shear. Z. Naturforsch, 1987, 42a, 10851094.

[240] Михайловский А.Б. МГД-устойчивость тороидальных систем с неоднородным вдоль оси магнитным полем. Физика плазмы, 1984, 10, 83-92.