Суперкомпьютерная оптимизация современных стеллараторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, доктор физико-математических наук Исаев, Максим Юрьевич

• Исаев, Максим Юрьевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Исаев, Максим Юрьевич

Список основных обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Суперкомпьютерные расчеты равновесия и устойчивости плазмы в квазисимметричных стеллараторах.

1.1. Равновесие и устойчивость квазисимметричных конфигураций в параксиальном приближении.

1.2. VMEC и TERPSICHORE - численные коды для расчета идеального МГД равновесия и устойчивости в трехмерных конфигурациях.

1.3. Устойчивость плазмы в четырехпериодном стеллараторе с винтовой квазисимметрией типа Гелиак.

1.4. Оптимизация четырехпериодного стелларатора с полоидальной квазисимметрией.

1.5. Оптимизация пятипериодного стелларатора с полоидальной квазисимметрией.

1.6. Краткие результаты главы 1.

ГЛАВА 2. Суперкомпьютерные расчеты равновесия, устойчивости и переносов в плазме стеллараторов с квази-аксиальной симметрией NCSX и CHS-qa.

2.1. Оптимизация стелларатора NCSX по переносам и псевдосимметрия.

2.2. Расчеты устойчивости стелларатора NCSX.

2.3. Минимизация токов Пфирша-Шлютера в стеллараторе CHS-qa

2.4. Краткие результаты главы 2.

ГЛАВА 3. Суперкомпьютерная оптимизация стеллараторов

Ливень-5 и LHD.

3.1. Расчеты равновесия, устойчивости и удержания альфа-частиц в стеллараторе Ливень-5 с обычными винтовыми катушками.

3.2. Возможности оптимизации стелларатора Ливень-5.

3.3. Влияние гексапольного и вертикального магнитных полей на удержание альфа-частиц в стеллараторе LHD.

3.4. Оптимизация LHD по удержанию альфа-частиц и новый класс квази-омнигенных конфигураций.

3.5. Краткие результаты главы 3.

ГЛАВА 4. Суперкомпьютерные расчеты переносов с помощью кодов

VENUS+5f, SPBSC и TERPSICHORE.

4.1. VENUS+5f- численный код для расчета неоклассических переносов в трехмерных конфигурациях.

4.2. Результаты расчетов неоклассических переносов кодом VENUS+8f в токамаке.

4.3. Расчеты бутстрэп-тока в стеллараторе W-7X.

4.4. Самосогласованное трехмерное равновесие с бутстрэп током в пределе Шейнга-Каллена.

4.5. Краткие результаты главы 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Суперкомпьютерная оптимизация современных стеллараторов»

Овладение термоядерным синтезом откроет перед человечеством практически безграничные возможности для экологически чистого и безопасного производства энергии. 2007 год можно назвать переломным годом в истории управляемого термоядерного синтеза (УТС) — именно в этом году в Кадараше (Франция) началось строительство первого международного термоядерного экспериментального реактора (ИТЭР). Проект ИТЭР [1] является результатом многолетних исследований ученых многих стран мира. На установке ИТЭР специалисты в различных областях знаний, включая физику плазмы, получат возможность проверить правильность своих теорий и расчетов в новом масштабе, сравнить токамак ИТЭР с ныне действующими токамаками и альтернативными токамаку системами.

В данной работе речь пойдет о принципиально стационарных, в отличие от токамаков, замкнутых тороидальных системах — о стеллараторах. Параметры плазмы, удерживаемой в современных стеллараторах, все более приближаются к параметрам самых больших токамаков, а в ряде случаев и превышают их. В частности, разряд длительностью более получаса и суммарная вложенная энергия в 1 ГДж на японском стеллараторе LHD являются рекордными за всю историю УТС.

Основным отличием стеллараторов от токамаков является наличие трехмерного магнитного поля со сложной винтовой структурой, в котором плазма может быть удержана длительное время за счет так называемого вакуумного вращательного преобразования. Вакуумное вращательное преобразование силовых линий магнитного поля создается с помощью внешних винтовых проводников или модульных катушек без генерации тока в плазме. Идея стелларатора принадлежит JI. Спицеру [2,3], который предложил в 1951 году конфигурацию с магнитной осью в форме восьмерки. Позже было показано [4], что вакуумное вращательное преобразование можно создать и в системах с плоской круговой осью с помощью внешних винтовых обмоток. Сложная структура магнитного поля стеллараторов долгое время была непреодолимой преградой для поиска оптимальной по равновесию, устойчивости и переносам системы.

Новые возможности перед стеллараторами открылись в конце восьмидесятых годов благодаря применению мощных трехмерных численных кодов для расчета равновесия, устойчивости и переносов в плазме. Большое число компонент спектра магнитного поля, сложные радиальные профили основных параметров плазмы удалось поместить в огромную память высокопроизводительных вычислительных машин. С помощью таких суперкомпьютеров удалось получить результаты, чрезвычайно важные для дальнейшего развития стеллараторов. В частности, в 1988 году Нюренберг и Цилле [5] в результате длительных численных расчетов на суперкомпьютере CRAY обнаружили, что стеллараторы могут обладать уникальным свойством так называемой квазисимметрии. Квазисимметричные стеллараторы благодаря особой двумерной структуре магнитного поля способны долго удерживать заряженные частицы. Теоретически потери заряженных частиц в квазисимметричном стеллараторе снижаются до уровня токамаков. Впоследствии с помощью трехмерной суперкомпьютерной оптимизации был получен целый ряд новых квазисимметричных конфигураций. На основе данных расчетов в настоящее время уже сооружаются установки в США и Европе, которые в принципе могут конкурировать по ряду параметров с самым большим токамаком ИТЭР.

Данная диссертация посвящена суперкомпьютерным расчетам равновесия, устойчивости и переносов в стеллараторной плазме, которые были проведены в течение последнего десятилетия. Следует добавить, что и в токамачных задачах учет винтовых возмущений и разнообразных трехмерных эффектов становится все более актуальным. Таким образом, суперкомпьютерные коды для расчета параметров трехмерных конфигураций важны как для стеллараторов, так и для токамаков.

Остановимся кратко на истории решения основных задач в теории стеллараторов.

Как уже было сказано, возникновение самой идеи стеллараторов относится к пятидесятым годам. В шестидесятые годы уже проводились опыты на небольших стеллараторах в СССР, ФРГ, Японии, Англии, США с холодной плазмой. Были получены свидетельства возможности удержания плазмы в стеллараторах, проводились теоретические исследования вакуумных конфигураций, создавалась неоклассическая теория переносов. На опасность быстрой потери частиц, траектории которых отклоняются от магнитных поверхностей, указал Спицер [6], Град [7] искал возможности совпадения поверхности постоянства модуля напряженности магнитного поля B=const с-магнитными поверхностями vj/=const.

В шестидесятые годы появились идеи по созданию систем с симметрией, в частности, концепция изодинамического равновесия Палумбо [8] и других авторов [9-15]. Изодинамическое равновесие определяется такой формой магнитных поверхностей, при которой линии дрейфа ведущего центра орбиты заряженной частицы лежат на магнитной поверхности. С точки зрения переносов такую магнитную конфигурацию можно назвать идеальной. Магнитное поле в изодинамических конфигурациях зависит только от одной переменной - функции магнитной поверхности. Однако равновесие в таких системах возможно только при нулевом модуле магнитного поля на оси системы, следовательно, такая конфигурация неустойчива по критерию Мерсье [16]. Данный пример демонстрирует одну из основных проблем теории замкнутых систем — необходимость выполнения одновременно нескольких, часто противоречивых, условий. Другими словами, перед исследователями стоит задача найти магнитную конфигурацию, оптимальную с точки зрения равновесия, устойчивости, переносов, других физических и технических параметров системы.

Малыми неоклассическими потерями и достаточной устойчивостью характеризуются симметричные двумерные магнитные конфигурации: токамаки, обладающие осевой симметрией, и прямые незамкнутые стеллараторы, обладающие винтовой симметрией. Поле в этих конфигурациях зависит только от двух переменных. Как было показано разными способами [15, 17-20], дрейфовое движение частиц в таких симметричных системах имеет интеграл. Перенос запертых частиц в подобных конфигурациях мал по сравнению с несимметричными трехмерными системами. Долгое время казалось, что не существует замкнутых стеллараторных конфигураций, движение частиц в которых тем не менее, обладает дополнительным инвариантом движения.

Кроме больших неоклассических потерь, действующие в 70е годы стеллараторные установки отличались низкими значениями предельно

•у допустимого по равновесию параметра Р (Р~2<р>/В - отношение среднего давления плазмы к давлению магнитного поля), которые не превышали одного процента. Большие усилия были направлены на увеличение допустимого по равновесию значения р. В частности, было показано [21], что предел по равновесию связан с вторичным током, или током Пфирша-Шлютера, который является результатом дрейфового разделения зарядов в неоднородном магнитном поле. Оказалось, что путем уменьшения этих токов можно получить высокие значения предельного по равновесию р. Минимизировать токи Пфирша-Шлютера с стеллараторах с малым широм (в которых вращательное преобразование слабо меняется при удалении от оси) удалось за счет уменьшения вариации модуля магнитного поля в направлении специальной полоидальной переменной [22]. Снижение вторичного тока одновременно приводит к уменьшению неоклассических потерь. На основе этой идеи был сконструирован стелларатор Вандельштейн - 7AS, (W-7AS, [23])первый в мире стелларатор с модульными катушками, в основе которого лежали идеи оптимизации по равновесию и переносам, а также была испытана революционная технология производства отдельных магнитных проводников со сложной формой. Именно в разработке проекта Ванделыптейн - 7AS впервые большую роль сыграли мощные коды для расчета равновесия, переносов, устойчивости.

В 1980 году А.Бузер обратил внимание [24] на то, что наличие у дрейфовых уравнений интеграла движения связано с симметрией только одной величины - модуля напряженности магнитного поля В. Интеграл существует, если В постоянен вдоль некоторого определенного направления на магнитной поверхности, совпадающего с направлением базисного вектора так называемых магнитных координат (координат Бузера - (aВ теории плазмы разнообразные специализированные потоковые координаты сыграли важную роль [25-32]. Фундаментальным при введении потоковых координат является предположение о существовании системы вложенных магнитных поверхностей. Использование потоковых координат, привязанных к магнитным поверхностям, позволяет максимально упростить выражения для векторов магнитного поля, плотности тока, а также ряда дифференциальных операторов. Бузеровские координаты оказались наиболее удобны в теории переносов и устойчивости плазмы. Вектор магнитного поля В и вектор [BVa] в случае отсутствия суммарного продольного тока имеют в бузеровских координатах лишь по две компоненты.

Остановимся кратко на аналитических методах, использующих разнообразные приближенные методы. Метод Мерсье - метод параксиального или приосевого разложения - основан на представлении функции магнитного потока в аналитической форме в виде разложения по степеням расстояния от магнитной оси [16, 33-34]. Этот метод является асимтотически точным и позволяет описывать приосевую область любой конфигурации, в том числе обычного стелларатора и стелларатора с пространственной осью. Его применение позволило выявить ряд характерных свойств стеллараторных систем с малым широм, произвольной эллиптичностью и треугольностью сечений магнитных поверхностей [34, 35, 21]. В данной диссертации в главе первой приводятся результаты, полученные в параксиальном приближении для квазисимметричных систем.

В другом аналитическом методе - в стеллараторном приближении -используется разложение по малым параметрам, сводящее трехмерные уравнения, описывающие тороидальные стеллараторы с винтовыми полями, к двумерным. Предложенный Грином и Джонсоном в 1958 году, данный метод был развит и успешно использован для исследования стеллараторов с большим широм [36-41]. Основным эффектом, связанным с кривизной оси стелларатора, как и в токамаках, является смещение магнитных поверхностей наружу от центра кривизны. Это смещение получило особое название в физике плазмы — смещение Шафранова - в честь В.Д.Шафранова, который посвятил данному смещению ряд работ [34, 42].

В стеллараторном приближении В.Пустовитовым и другими (см. обзор [34]) получены важные теоретические результаты, в частности, рассчитаны основные параметры самого большого действующего стелларатора LHD. Был обнаружен эффект улучшения устойчивости плазмы при смещении магнитных поверхностей наружу [39]. Именно благодаря этому эффекту в LHD получены высокие значения р. Относительно простая десятипериодная магнитная конфигурация LHD состоит из двухзаходных винтовых проводников и ряда дополнительных кольцевых проводников, управляющих вертикальным магнитным полем. С помощью мощного нагрева и подбора оптимального положения магнитной оси на LHD достигнуты рекордные параметры плазмы - Р на уровне 4-х процентов, время импульса 31 минута [43]. Расчеты равновесия, устойчивости и переносов в LHD с использованием различных кодов продолжаются. Некоторые результаты данных расчетов будут приведены в главе 3 данной диссертации.

Перейдем к основным результатам теории стеллараторов, полученным с помощью трехмерных численных кодов.

В настоящее время в г. Грайфсвальд (Германия) сооружается крупнейший стелларатор в мире - Wendelstein-7X (Ванделыптейн-7Х, W-7X). Проект данного стелларатора был подготовлен в конце 8Ох годов на основе ряда новаторских идей и успешной суперкомпьютерной оптимизации по равновесию, устойчивости и переносам [44]. Как уже было сказано, в бесшировом стеллараторе W7-AS среднего размера (предшественник W-7X) удалось минимизировать токи Пфирша-Шлютера, неоклассические потери и получить высокие значения параметра [3 на уровне 3-х процентов [45]. Для стелларатора W-7X с большим радиусом плазмы 5 метров была проведена дополнительная суперкомпьютерная оптимизация с целью уменьшения неоклассических потерь, в том числе бутстрэп тока, и повышения предела по равновесию и устойчивости до [3=5% [46]. В настоящее время на установке W-7X сооружаются сверхпроводящие модульные катушки, повышающее длительность и экономичность разряда.

Оптимизация стелларатора W-7X проводилась на основе мощных кодов, к более подробному описанию которых мы и приступим ниже.

Основой расчета стеллараторов является расчет равновесия плазмы со сложной трехмерной границей плазмы. Главным средством для данного расчета вот уже в течение более 20 лет остается код VMEC [47], созданный С.Хиршманом (ORNL, США) с помощниками. Поиск равновесной конфигурации производится путем минимизации функционала энергии, при условии вложенности магнитных поверхностей с разложением функций в ряды Фурье по двум угловым переменным и с использованием метода градиентного спуска. При этом задается форма граничной поверхности плазмы в цилиндрических координатах. Существование положительно определенного функционала энергии гарантирует монотонную сходимость итерационной схемы к равновесному решению в случае отсутствия магнитных островов. В процессе итераций определяются поправки к полоидальному углу, обеспечивающие быструю сходимость рядов Фурье. Полоидальный угол выбирается с условием выпрямленности силовых линий в потоковых координатах.

Численный код VMEC находит равновесное решение для конфигураций с любым аспектным отношением (отношением большого и малого радиусов плазмы) без особых ограничений на малый радиус плазмы, форму магнитной оси, наличие или отсутствие шира. В качестве входных параметров VMEC может использовать профиль давления плазмы, профиль тороидального тока или вращательного преобразования. Для описания равновесия в токамаке и простых стеллараторов достаточно малого числа компонент Фурье граничной поверхности, подобные расчеты не требуют больших вычислительных ресурсов. Для описания равновесия в стеллараторах со сложной формой граничной поверхности требуется значительное (до 200) число компонент Фурье границы, и, соответственно, более мощные компьютеры. За прошедшие годы код VMEC был значительно переработан, была улучшена сходимость для различных магнитных конфигураций [48]. В результате равновесие практически всех современных и будущих стеллараторов рассчитывается с помощью данного кода.

Более сложной задачей является расчет самосогласованного равновесия со сложной островной структурой магнитных поверхностей. В данный момент используются два кода для подобных расчетов - PIES (Райман [49], PPPL, США) и HINT (Хаяши [50], NIFS, Япония). В них сделана попытка учета известного эффекта расщепления магнитных поверхностей вблизи рациональных значений вращательного преобразования. Стационарное равновесие с островами получается в результате сходимости сложной итерационной схемы Пикара, которое достигается далеко не во всех случаях. Время расчета подобного равновесия примерно на порядок превышает время расчета равновесия VMEC с вложенными магнитными поверхностями. В частности, в стеллараторе LHD с большим широм для ряда экспериментальных разрядов до сих пор не получена сходимость равновесия с островами. Работа по поиску равновесия с островами для стелларатора W-7X с малым широм требует значительных компьютерных ресурсов и также продолжается до сих пор.

Следующим шагом в расчетах стеллараторных конфигураций является получение спектра равновесной магнитной конфигурации в магнитных (бузеровских) координатах и расчет устойчивости. Для решения этих задач были созданы ряд численных кодов с похожими свойствами - JMC (Ю. Нюренберг, Р. Цилле [51]) и TERPSICHORE (Э. Купер с соавторами [52, 53]). В данных кодах проводится преобразование потоковых координат VMEC в координаты Бузера с помощью значительного расширения спектра угловых переменных, решения соответствующих уравнений для угловых поправок и реконструкции уравнения равновесия в координатах Бузера. Для точного описания данного равновесия и выполнения условий, накладываемых на угловые бузеровские переменные, для стеллараторов обычно требуется уже несколько сот компонент спектра Фурье для каждой магнитной поверхности. Таким образом, коды JMC и TERSICHORE могут работать только на суперкомпьютерах со значительной оперативной памятью (порядка 1 Gb). Полученное численное описание бузеровского равновесия подставляется в критерий устойчивости мод Мерсье. Данный критерий используется для анализа неустойчивостей, зависящих только от радиуса магнитной поверхности.

Расчеты других неустойчивостей плазмы в стеллараторах, например, баллонных и глобальных мод (зависящих уже не только от радиуса магнитной поверхностей, но и от угловой координаты на выбранной поверхности) - требует дополнительных усилий и еще больших вычислительных ресурсов. Для этого были разработаны коды CAS3D (К.Шваб [54]), TERPSICHORE-VVBAL&GLOBAL (Э. Купер с соавторами), COBRA (Р. Санчес [55]). Данные коды используются для анализа неустойчивостей плазмы в различных конфигурациях, включая действующий стелларатор LHD, стелларатор W7AS, строящийся стелларатор NCSX и др. Важным этапом в отладке каждого кода является его проверка на известных аналитических результатах и сравнение с результатами расчетов других кодов (так называемый бенчмарк). Расчету неустойчивостей с помощью вышеуказанных трехмерных кодов будет посвящен ряд разделов данной диссертации.

Следующим важным средством для расчета свойств стеллараторов являются численные коды для анализа дрейфовых траекторий заряженных частиц в трехмерных равновесных магнитных полях. Поскольку в бузеровских координатах магнитное поле имеет простой вид, уравнения дрейфового движения для стеллараторов записываются именно этих координатах. Соответственно, для расчетов такого движения в качестве опорных используют обычно бузеровские координаты, полученные с помощью кодов JMC или TERPSICHORE. Стеллараторное магнитное поле представляется в виде спектра Фурье с большим числом полоидальных и тороидальных компонент. Для расчета длинной траектории требуется интегрирование уравнения движения с помощью численных схем высокой точности, например, с помощью метода Рунге-Кутта 4 порядка. Большое число расчетов траекторий частиц в стеллараторах сделано с помощью кодов МСТ (Фаулер, Ром, Лайон [56]) и VENUS (Фишер с соавторами [57]).

Необходимо упомянуть численный код, используемый для расчета современных модульных стеллараторов - NESCOIL (П. Меркель [58]). Данный код рассчитывает сложную трехмерную форму отдельных замкнутых проводников с током для получения заданной граничной поверхности, удерживаемой внутри плазмы. Код NESCOIL решает обратную задачу в теории стеллараторов — для полученной оптимальной границы плазмы находит необходимый набор модульных проводников. Именно с помощью данного кода были спроектированы модульные катушки стелларатора W-7X. На основе аналогичной идеи был создан численный код COILOPT (С.Хиршман с соавторами, [59]) для проектирования ряда новых модульных стеллараторов в США.

Мощным численным средством, объединяющим сразу несколько численных кодов для расчета стелларатора, является оптимайзер [60, 61]. Действительно, как мы уже говорили, современный стелларатор должен удовлетворять одновременно целому ряду требований и условий, например, иметь высокие предельно допустимые по равновесию и устойчивости значения параметра Р, низкие неоклассические потери, определенное число периодов и аспектное отношение, определенный диапазон вращательного преобразования (для уменьшения роли магнитных островов), ограниченную вытянутость и кривизну магнитных поверхностей и т.д. Данные условия можно задать в численной форме в виде функций или перевести в численные параметры и величины, затем сложить эти величины в суммарную целевую функцию с определенными весами (функционал) для каждого отдельного условия. Затем, варьируя оставшиеся свободные параметры (компоненты Фурье граничной, магнитной поверхности, профили давления и тока), можно найти минимум функционала и, таким образом, решить задачу оптимизации стелларатора.

Такие оптимайзеры на основе минимизации функции методом градиентного спуска библиотеки NAG [61] и на основе алгоритма Левенберга-Маркарта [60] служат основным средством оптимизации стеллараторов последнего времени. С помощью подобного оптимайзера можно численно найти сложную трехмерную границу стеллараторной конфигурации, обладающую необходимым набором заданных параметров. Время расчета на суперкомьютерах оценивается в месяцы и зависит от сложности целевых функций. Подобный расчет должен включать, по меньшей мере, получение равновесной конфигурации с помощью кода VMEC и бузеровских компонент равновесного магнитного поля для численного анализа устойчивости. На современных суперкомпьютерах одна итерация оптимайзера, вычисляющая равновесие и устойчивость для одной граничной поверхности, занимает несколько минут.

Одной их самых больших проблем в теории стеллараторов остается проблема расчета переносов в плазме и уменьшение неоклассических потерь. Аналитическая теория неоклассических переносов была создана в 70-е годы Галеевым, Сагдеевым, Коврижных и другими авторами [62-65].

Для расчетов переносов с учетом столкновений в плазме стеллараторов использовались различные коды. В частности, в коде GC3 (Миник, [66]) и в ряде других кодов [67,68] применялся метод Монте-Карло для конфигураций с ограниченным спектром магнитного поля. Для моделирования столкновений использовался эквивалент Монте-Карло оператора столкновений Лоренца [68,69], моноэнергетический спектр заряженных частиц, питч угол (отношение параллельной к магнитному полю компоненты скорости к ее модулю) которых менялся на каждом шаге с использованием генератора случайных чисел.

Большие численные работы для расчета переносов в стеллараторах были проведены с помощью кода DKES (С.Хиршман, В.ван Ридж [70]). В данном коде численно решается линеаризованное уравнение Фоккера-Планка в приближении так называемых тонких орбит - для которых отклонение от исходной стартовой магнитной поверхности пренебрежимо мало по сравнению с длиной полной траектории. Для подобных задач удобно ограничиться рассмотрением моноэнергетического ансамбля частиц. Таким образом, уравнение Фоккера -Планка сводится к уравнениям для трех независимых переменных -полоидального и тороидального угла вдоль траектории частицы и для питч угла частицы. Искомая функция распределения раскладывается по полиномам Фурье-Лежандра относительно данных трех переменных, для решения уравнения используется вариационный принцип. Численное решение для коэффициентов переноса (диффузии, бутстрэп тока, теплопроводности) зависит от радиального электрического поля, частоты соударений и энергии частиц.

Для решения упрощенных кинетических уравнений в асимптотическом 1/v режиме (где v - частота столкновений) разработан код NEO (Немов с соавторами [71]), использующий метод интегрирования вдоль силовой линии в произвольной трехмерной конфигурации. С помощью данного кода рассчитывается удобная характеристика магнитной конфигурации — так называемые эффективные риплы. Данную величину можно получить из спектра равновесного магнитного поля данной поверхности. Эффективные риплы, рассчитываемые кодом NEO, являются удобным средством для оптимизации стеллараторов по переносам.

В настоящее время значительные усилия прикладываются для создания международной базы по неоклассическим переносам в стеллараторах. В ряде работ [72,73] проведено сравнение результатов расчетов коэффициентов диффузии и бутстрэп тока в различных конфигурациях, в различных столкновительных режимах с помощью различных численных кодов. Одним из таких кодов является VENUS+5f, которому посвящена глава 4 данной диссертации.

Итак, в последние годы создан и испытан мощный арсенал разнообразных численных средств для расчета транспортных явлений в стеллараторах. Все эти численные средства, как и аналитические работы, указывают на опасность больших потерь в стеллараторах в так называемом супербанановом режиме, или режиме 1/v. Эти потери связаны с быстрым дрейфом из плазмы в слабостолкновительном режиме частиц, запертых на винтовых неоднородностях стеллараторного поля. К счастью, как уже было сказано, возможность приближенного выполнения условия квазисимметрии в стеллараторах, доказанная численно в 1988 году [5], открыла перед исследователями целый ряд новых направлений оптимизации.

Остановимся на разнообразных вариантах стеллараторах с квазисимметрией, которые были инициированы открытием Нюренберга.

Уже 1992 году в университете Висконсин-Мэдисон (США) был подготовлен проект небольшого (большой радиус плазмы 1.2 м) стелларатора HSX с винтовой квазисимметрией [74]. Условие квазисимметрии в HSX выполнено с высокой точностью — отношение винтовой симметричной компоненты магнитного поля 1,1 к максимальной несимметричной компоненте поля равно 15. Время бесстолкновительного удержания альфа-частиц приближается к одной секунде, что на несколько порядков больше, чем в обычном стеллараторе. Одновременно с малыми неоклассическими потерями, в стеллараторе HSX минимизируются токи Пфирша-Шлютера, которые в пять раз меньше, чем в обычном стеллараторе ATF [75], соответственно, предел по равновесию в HSX достигается при очень высоких Р порядка 30%. Большой проблемой для HSX оказалась устойчивость. Даже при Р порядка 1% внешняя половина радиуса плазмы неустойчива по критерию Мерсье. Начавшееся недавно на HSX эксперименты подтвердили значительное уменьшение неоклассических потерь и высокую эффективность нагрева плазмы [76].

Другим вариантом квазисимметрии, наиболее близким к токамаку, является квази-аксиальная симметрия, при которой в спектре магнитного поля основной является полоидальные компоненты. В настоящее время в Принстоне (США) сооружается первый стелларатор NCSX с квази-аксиальной симметрией магнитного поля, проект которого был подготовлен в 2001 году [77, 78]. Данный стелларатор обладает рядом особенностей. Это, во-первых, его компактность -при большом радиусе плазмы в 1.4 метра аспектное отношение (отношение большого радиуса к среднему радиусу плазмы) равно 4.4. Во-вторых, -квазисимметрия магнитного поля, т.е. малые неоклассические потери по сравнению с обычным стелларатором. В третьих - наличие большого бутстрэп тока, за счет которого создается половина вращательного преобразования. В этом смысле NCSX является гибридом токамака и стелларатора. В четвертых -полная оптимизация граничной поверхности плазмы, позволившая получить предельное по равновесию и устойчивости значение параметра Р на уровне 4%. И, наконец, последнее - модульные катушки, создающие данную сложную оптимизированную границу плазмы. Расчетам стелларатора NCSX посвящен раздел 2 данной диссертации. Несмотря на небольшой размер данной установки, исследователи надеются проверить в экспериментах на NCSX новые важные идеи теории стеллараторов.

Практически одновременно с NCSX в Японии разрабатывался аналогичный проект с квази-аксиальной симметрией под названием CHS-qa [79]. В отличие от NCSX с тремя периодами системы, CHS-qa имеет всего два периода и еще более компактный (аспектное отношение 3.6, большой радиус 1.5 метра). При этом в CHS-qa удалось получить предельное по равновесию и устойчивости значение параметра Р на уровне 2% с малым значением бутстрэп тока. Для удержания альфа частиц проводилась длительная оптимизация системы, однако оказалось, что данный вид квазисимметрии чрезвычайно чувствителен к несимметричным компонентам магнитного поля - учет даже малых дополнительных несимметричных компонент значительно ухудшает удержание альфа-частиц. Результаты оптимизации токов Пфирша-Шлютера в стеллараторе CHS-qa приводятся в разделе 2 данной диссертации. Несмотря на большую проделанную работы по численной оптимизации CHS-qa и его модульных катушек, работы над данным проектом в настоящее время в Японии, к сожалению, приостановлены.

Еще один квази-симметричный стелларатор QPS - с квази-полоидальной симметрией - разработан недавно в Ок-Ридже (США) [80]. В данном виде симметрии основными являются тороидальные компоненты магнитного поля. Модульный двухпериодный QPS имеет очень низкое аспектное отношение 2.7 при большом радиуса плазмы 0.9 метров, по эффективным риплам находится на уровне стелларатора W7X с очень низкими неоклассическими потерями, предельное по равновесию и устойчивости значение параметра Р находится на уровне 2%. Оптимизация QPS проводилась с помощью оптимайзера STELLOPT. Данный проект является самым компактным из всех известных в настоящее время, а симметрия его магнитного поля сближает его по свойствам с W-7X, где также имеется большая полоидальная компонента магнитного поля [44]. Вопрос о строительстве данной установки находится в стадии обсуждения.

Итак, на основе очень привлекательной идеи квазисимметрии и большой численной оптимизации были разработаны сразу несколько стеллараторов в разных странах.

Среди работающих стеллараторов предыдущего поколения необходимо назвать стеллараторы с винтовой осью TJ-II (Испания, [81]), Н-1 (Австралия [82]) и обычные стеллараторы Ураган-2М (Украина, [83]) и Ливень-2М (Москва, [84]). Данные стеллараторы характеризуются достаточно большими неоклассическими потерями и относительно низкими по равновесию и устойчивости значениями параметра (3 (до одного процента). Изменением токов в дополнительных кольцевых полоидальных проводниках в данных системах можно менять магнитную конфигурацию систем. Полученные на них экспериментальные и теоретические результаты являются тем трамплином, от которого смогли оттолкнуться и продвинуться вперед исследователи новых оптимизированных стеллараторов с симметрией.

В частности, в последние годы большие численные усилия были приложены для поиска идеального стелларатора будущего. В результате в работах Михайлова с соавторами [85, 86] были открыты новые квази-изодинамичные стеллараторы, которые имеют замкнутые линии уровня дополнительного адиабатического инварианта движения частиц. Таким образом, заряженная частица, двигаясь вдоль линии инварианта, всегда остается внутри плазмы. Данным свойством могут обладать частично или в большой мере многие стеллараторы, включая действующий стелларатор LHD и строящийся W7X. Однако Михайлову в результате длительной численной оптимизации удалось найти конфигурацию, в которой свойство изодинамичности выполнены полностью с одновременным достижением высоких значений предельно допустимого по равновесию и устойчивости параметра (3.

Для расчета свойств изодинамичности достаточно иметь бузеровский спектр магнитного поля, что позволяет определить функциональные зависимости второго адиабатического инварианта и использовать их как удобное средство оптимизации. Данная оптимизация была проведена для ряда конфигураций, включая стеллараторы W-7X [46], LHD [87] и для нового, проектируемого в России стелларатора Ливень-5 [88]. Этому проекту будет посвящена глава 3 данной диссертации.

Стелларатор JI-5 проектируется как компактный шестипериодный двухзаходный торсатрон в малым аспектным отношением 3.7, большим радиусом плазмы 1.1 м [89]. В качестве вдохновляющего примера для таких обычных стеллараторов используется японский стелларатор LHD, большой успех которого связан с относительно простой немодульной магнитной системой и большой мощностью нагрева плазмы [43]. Конфигурация имеет большой шир и достаточно малое вращательное преобразование на магнитной оси. Как показали трехмерные расчеты, предел по равновесию в JI-5 достигается при р порядка 3-4%, предел по устойчивости Мерсье - гораздо раньше, на уровне 1-2% в зависимости от конфигурации системы. Неоклассические потери в JI-5 велики, как и в стеллараторе LHD. При данном аспектном отношении возможна небольшая оптимизация в сторону уменьшения неоклассических потерь. Однако в рамках данной магнитной винтовой системы без модульных катушек рассчитывать на достижение какой-либо квазисимметрии без модульных катушек не приходится.

Таким образом, в данном кратком введении приведены цели, методы и основные результаты численной оптимизации современных стеллараторов.

Перейдем теперь к краткому описанию содержания диссертации.

В первой главе диссертации рассматриваются квазисимметричные системы с винтовой и полоидальной симметрией. Основные положения данной главы содержатся в работах [90-94, 96-98, 131, 132].

В п. 1.1 первой главы приводятся основные соотношения и уравнения, полученные для параметров квазисимметричных конфигураций в первом и втором порядке параксиального приближения [92]. Форма магнитных поверхностей описывается набором зависящих от продольной координаты параметров. В нулевом порядке параксиального приближения условие квазисимметрии сводится к требованию постоянства модуля магнитного поля на магнитной оси. В первом порядке параксиального приближения получены два нелинейных уравнения, связывающие кривизну, кручение магнитной оси с эллиптичностью сечения и углом 5 между осью эллипса и главной нормалью к оси. В качестве параметров в уравнения входят начальные значения (значения в точке начала отсчета тороидальной координаты) эллиптичности и угла 5.

Оценить влияние квазисимметрии на равновесие и устойчивость можно, рассмотрев второй порядок разложения по степеням расстояния от магнитной оси, в котором D-образная форма смещенных относительно магнитной оси сечений магнитных поверхностей описана с помощью двух функций треугольности и двух смещений (по двум осям). Учет условия квазисимметрии во втором порядке приводит к линейной зависимости смещений от треугольностей. Подставляя эти зависимости в уравнения равновесия, мы получаем два дифференциальных уравнения первого порядка для двух треугольностей в зависимости от давления плазмы и от других параметров. Полученные уравнения равновесия квазисимметричных систем можно решать численно с учетом условий периодичности. Полученные соотношения между квазисимметричными параметрами первого и второго порядком параксиального приближения позволяют значительно упростить критерий устойчивости Мерсье и определить численно предельно допустимое по устойчивости значение |3 [90].

В параграфе описывается следующий алгоритм для численной оптимизация по равновесию и устойчивости, основанный на уравнениях для квазисимметричных систем в параксиальном приближении:

1. Первый порядок: выбирая форму магнитной оси, начальные вытянутость и угол 5, вычисляем вращательное преобразование, функции 5 и эллиптичность.

2. Второй порядок: выбирая начальные значения треугольностей, смещений и аспектное отношение, рассчитываем функции смещений и треугольностей на периоде в зависимости от давления плазмы, вычисляем предельное по устойчивости р. Исходными параметрами являются: кривизна, кручение магнитной оси (ось должна быть замкнутой), значения в точке начала отсчета тороидальной координаты вытянутости, угла 5, двух треугольностей и двух смещений, аспектное отношение, давление плазмы.

Оптимальные квазисимметричные конфигурации для случаев магнитной оси в виде винтовой линии на круглом и сплющенном опорном торе представлены в данном параграфе [93]. Изучены зависимости предельно допустимого (3 от числа периодов системы, начальной эллиптичности и параметров магнитной оси [94].

В конце параграфа 1.1 обсуждаются ограничения параксиального приближения и необходимость более точных трехмерных расчетов [94]. Данный вопрос оказывается особенно важным для задач оптимизации, поскольку предельно допустимое значение |3 по равновесию в параксиальном приближении пропорционально радиусу плазмы. Таким образом, наиболее интересные для оптимизации области плазменного шнура находятся там, где параксиальное приближение становится неприменимым, либо требует учета громоздких членов более высокого порядка малости по расстоянию от оси. Сравниваются четырехпериодные системы с различными типами квазисимметрии, различными значениями максимальной вытянутости сечения магнитной поверхностей, рассчитанными с помощью параксиального приближения и с помощью более точных трехмерных кодов.

В параграфе 1.2 описывается численный код VMEC [95], используемый для расчета идеального МГД равновесия в трехмерных конфигурациях. В данном коде делается попытка найти решение задачи о равновесии плазмы с вложенными магнитными поверхностями не только вблизи магнитной оси, но и на больших расстояниях вплоть до границы плазменного шнура. Форма магнитной поверхности задается в виде разложения в конечный ряд Фурье по полоидальным и тороидальным гармоникам. Для обеспечения высокой точности описания сложных трехмерных конфигураций с произвольным аспектным отношением код VMEC использует большое число компонент спектра магнитных поверхностей (порядка сотни) и большое число точек по радиусу (тоже около сотни), что требует значительных вычислительных мощностей. В параграфе приводятся основные уравнения и описание численной схемы, используемой в коде VMEC. Численные расчеты равновесия и других свойств плазмы, основанные на подходе, развитом в коде VMEC (без параксиального и стеллараторного приближения), мы будем называть для краткости трехмерными расчетами.

Параграф 1.2 посвящен также другому мощному коду - TERPSICHORE [52], созданному для точного расчета идеальной МГД устойчивости в трехмерных конфигурациях. Данный код использует на входе систему вложенных равновесных поверхностей, полученных кодом VMEC. Затем, для удобства расчета устойчивости, вычисляются компоненты спектра магнитного поля и других трехмерных функций в бузеровских координатах. Для точного описания равновесия в бузеровских координатах обычно требуется еще большее, чем в коде VMEC, число компонент спектра. Соответственно, для быстрой работы код TERPSICHORE требует суперкомпьютерных ресурсов по памяти (до 15 GB памяти) и быстродействию (несколько GFLOPS).

Доступ к суперкомпьютерным кодам VMEC и TERPSICHORE для российских теоретиков стал возможен в середине 90-х годов. Первым расчетам точного равновесия и устойчивости с помощью данных кодов в стеллараторах типа Гелиак с винтовой квазисимметрией [96] посвящен параграф 1.3. В качестве исходной используется граница магнитной конфигурации с малым числом параметров, полученная с помощью параксиального приближения. Данная исходная конфигурация обладала слабой винтовой квазисимметрией и низким значением предельного по равновесию и устойчивости параметра |3. Однако затем, варьируя компоненты спектра граничной поверхности, удалось получить новую конфигурацию с более точной квазивинтовой симметрией, предельным значением параметра (3 по равновесию, равным 9%. Предел по устойчивости оказался значительно ниже - 4% по критерию Мерсье и 1% по баллонным модам.

Данная работа открыла новый путь для отечественной теории стеллараторов — путь численной оптимизации магнитной конфигурации с помощью точных трехмерных кодов без ограничений и аппроксимаций, используемых в параксиальном и стеллараторном приближениях.

Исследованию и оптимизации стеллараторов типа Гелиак с квази-полоидальной симметрией посвящен параграф 1.4. В системах Гелиак с сильновинтовой осью сечение магнитной поверхности вращается одновременно с главной нормалью к магнитной оси. Среди известных действующих Гелиаков можно назвать четырехпериодный испанский стелларатор TJ-II и трехпериодный австралийский стелларатор Н-1. В результате оптимизации в работе [97] была найдена четырехпериодная система Гелиак, обладающая, однако, свойствами полоидальной квазисимметрии, т.е. с пониженными неоклассическими потерями. Одновременно в указанном квази-полоидальном Гелиаке были достигнуты высокие значения предельно допустимых параметров (3 по Мерсье - 4% и по баллонным модам - 3%. Таким образом, была проведена оптимизация по устойчивости, в результате которой предел по баллонным модам был увеличен в три раза по сравнению пределом в квази-винтовой системе.

Важным параметром стеллараторной конфигурации является число периодов системы. Обычно оптимизацию проводят, зафиксировав именно это число. Затем полученные оптимальные системы сравнивают с аналогичными конфигурациями, имеющими такое же число периодов. В заключительном параграфе второй главы, параграфе 1.5, приводятся результаты оптимизации двух пятипериодных квазисимметричных систем [98]. Напомним, что крупнейший строящийся пятипериодный стелларатор W7X имеет предел по устойчивости на уровне 5%. Полученный в данном параграфе Гелиак с квазиполоидальной симметрией является устойчивым по отношению к модам Мерсье вплоть до (3 = 6.15%, по отношению к баллонным модам - вплоть до 5.9%, что немного выше, чем в W7X.

Точность выполнения условия квазисимметрии может быть описана отношением X между основной симметричной компонентой Фурье спектра модуля магнитного поля и максимальной несимметричной компонентой Фурье на границе плазмы [5]. Во всех вышеуказанных системах условие квазисимметрии было выполнено приближенно, значение X равно 2-4, достижение больших значений параметра X обычно приводило к ухудшению равновесия и устойчивости плазмы. Расширить класс систем с пониженными неоклассическими потерями позволило введение М.Михайловым понятия так называемой псевдосимметрии [99]. Псевдосимметрия характеризуется отсутствием замкнутых линий B^const на магнитной поверхности. Число локально запертых частиц в таких системах становится минимальным, следовательно, неоклассические потери уменьшаются.

Вторая глава диссертации посвящена численной оптимизации систем с квази-аксиальной симметрией. В оптимизации таких систем была испытана идея псевдосимметрии. Одновременно для расчета компактных стеллараторов была проведена модернизация кодов VMEC, TERPSICHORE и соответствующая настройка оптимайзера.

Параграф 2.1. посвящен возможным путям минимизации неоклассических потерь в стеллараторе NCSX. Данный компактный стелларатор, сооружаемый в настоящее время в Принстоне, обладает симметрией квази-аксиального типа, близкой к двумерной симметрии поля токамаку. Для достижения точной квазисимметрии необходимо уменьшить несимметричные гармоники бузеровского спектра магнитного поля. Полная минимизация несимметричных гармоник во всем плазменном объеме невозможна. В данном параграфе изучаются возможности приближения к псевдосимметрии (менее строгой, чем квазисимметрия) с помощью трех целевых функций - X, HLLL и WATER [100].

С помощью данных целевых функций были получены несколько конфигураций NCSX — шах2, тахЗ, тах5, тахб с различными свойствами. Оказалось, что конфигурации с высоким значением X = 20 (отношение симметричной и максимальной несимметричной компоненты спектра модуля магнитного поля) могут иметь много малых несимметричных компонент спектра магнитного поля, вследствие чего увеличиваются флуктуации магнитного поля вдоль силовой линии (так называемые эффективные риплы), увеличивается число запертых частиц и неоклассические потери. Другая целевая функция, используемая при оптимизации NCSX - HILL - вычисляет относительную высоту модуля максимального магнитного поля на магнитной поверхности. Оптимизация с помощью данной целевой функции привела к уменьшению основной несимметричной компоненты модуля магнитного поля, однако, при этом появилось больше мелких неоднородностей, и, следовательно, больше' запертых частиц.

Наилучшие результаты были получены с помощью целевой функции. WATER, суммирующей площадь локальных минимумов вдоль силовой линии. Отсутствие таких локальных минимумов означает выполнение условия псевдосимметрии, или отсутствие локально запертых частиц. Минимизация данной целевой функции в десять раз позволила в пять раз уменьшить неоклассическую диффузию в NCSX. Расчет неоклассической диффузии в оптимизированной псевдосимметричной конфигурации NCSX выполнен с помощью кода GC3, основанного на методе Монте-Карло [66]. Данный расчет занимает примерно один час на суперкомпьютере С90, т.е. слишком большое время, чтобы включить его в оптимайзер. В отличие от полного расчета диффузии, вычисление целевой функции WATER занимает мало машинного времени и очень удобно для оптимизации системы по переносам. Данная целевая функция включена в оптимайзер STELLOPT, который используется в различных задачах оптимизации стеллараторов.

В параграфе 2.2 приводятся основные результаты суперкомпьютерных расчетов устойчивости стелларатора с квази-аксиальной симметрией NCSX и стелларатора с квази-полоидальной симметрией QPS [101]. Акцент в данном случае делается на компактность и, соответственно, на низкую цену этих установок - их аспектное отношение А=3.4 (NCSX) и 3.5 (QPS). Для подобных систем с низким аспектным отношением и большим числом компонент Фурье граничной магнитной поверхности потребовалась модификация численного кода VMEC, в частности, введение новых схем дифференцирования. Новая версия кода VMEC - VMEC2000, была отлажена и запущена именно в процессе разработки проекта NCSX.

Кроме модификаций кода VMEC, при расчете стелларатора NCSX были найдены и устранены причины так называемых нефизических баллонных мод, возникающих в коде TERPSICHORE. Данные численные баллонные моды возникали вследствие нарушения положительности коэффициента баллонного уравнения, связанного с неточным бузеровским равновесием на некоторых магнитных поверхностях. Для проверки проведено детальное сравнение расчетов (бенчмарк) устойчивости NCSX, выполненных с помощью модифицированного кода TERPSICHORE и нового кода COBRA. В частности, были выполнены расчеты сходимости решения для баллонных мод в зависимости от длины интервала интегрирования, числа точек на нем и т.д. В результате была найдена небольшая зона неустойчивости вблизи границы плазмы стелларатора NCSX при [3=3.25% и определены зоны неустойчивостей стелларатора QPS в зависимости от значений параметра $=1%, 2%, 2.5% и 3% [102].

В параграфе 2.3 рассматривается оптимизация другого стелларатора с квази-аксиальной симметрией - CHS-qa. Двухпериодный квазисимметричный стелларатор CHS-qa с малым аспектным отношением 3.2-3.9 разрабатывается в настоящее время в Национальном институте термоядерных наук (NIFS, Япония). В последние годы были предложены несколько конфигураций CHS-qa с различными свойствами. Мы рассматриваем в данном параграфе влияние минимизации токов Пфирша-Шлютера на устойчивость плазмы и на удержание альфа-частиц. В результате проведенной оптимизации токи Пфирша-Шлютера были уменьшены в четыре раза, предел по равновесию поднялся выше уровня (3=20%, предел устойчивости по критерию Мерсье достигается при (3=8.5%, предел по баллонным модам - при (3=2%> [103]. Полученный вариант стелларатора CHS-qa, однако, имеет очень сильную вытянутость сечения магнитной поверхности в точке начала периода системы, что может осложнить поиск модульных катушек для данного варианта. Дополнительные исследования необходимы также для переносов в плазме CHS-qa.

Третья глава диссертации посвящена проекту стелларатора Ливень-5 и некоторым возможностям оптимизации обычных стеллараторов, включая крупнейший действующий стелларатор LHD. Как было указано, для большинства новых квазисимметричных систем сложную оптимизированную границу плазмы можно создать только с использованием модульных катушек. В данной главе рассматривается вопрос - можно ли в поле обычных винтовых проводников и дополнительных полоидальных катушек создать плазменную магнитную конфигурацию с низкими неоклассическими переносами и большими (3 по равновесию и устойчивости?

Параграф 3.1 посвящен трехмерным расчетам равновесия, устойчивости и удержания плазмы в стеллараторе Ливень-5. Краткое физическое обоснование проекта создано в Институте общей физики (ИОФАН, Москва) в 2001 году. Шестипериодная магнитная конфигурация с большим радиусом плазмы 1.1 м и аспектным отношением 3.3 создается обычными двухзаходными винтовыми проводниками. Четыре пары осесимметричных компенсационных витков позволяют варьировать форму граничной магнитной поверхности. Дополнительные винтовые проводники дают возможность контролировать модуляцию магнитного поля.

В параграфе 3.1. рассмотрены свойства равновесия, устойчивости и удержания плазмы в двух вариантах граничной магнитной поверхности JI-5 - TQ (с магнитной ямой, магнитная ось смещена наружу) и TUD (с магнитным бугром, магнитная ось смещена внутрь) [88]. Как и в стеллараторе LHD, в обычном стеллараторе JI-5 наблюдается известный эффект вертикального поля. При смещении оси наружу (вариант TQ) улучшается устойчивость плазмы (по отношению к модам Мерсье до р =3.67%), но ухудшается удержание плазмы. И наоборот, при смещении оси внутрь (вариант TUD) ухудшается устойчивость плазмы (предельное по Мерсье значение Р до 1%), зато на порядок улучшается удержание плазмы. Вакуумное вращательное преобразование на оси для данных двух вариантов равно 0.2, что приводит к довольно низкому пределу по равновесию (р=2-3%).

Суперкомпьютерная оптимизация стелларатора JI-5 рассмотрена в параграфе 3.2 [88]. В качестве основной целевой функции использовалось условие постоянства второго адиабатического инварианта на магнитной поверхности (условие так называемой квази-омнигенности [61]), а значение вакуумного вращательного преобразования на оси, выбиралось равным 0.3-0.4. В результате оптимизации были получены две магнитной конфигурации - JI-5-MI10 и Л-5-М114, в которых за счет выполнения условия квази-омнигенности удержание альфа-частиц улучшено на несколько порядков. Одновременно предельное по равновесию значение параметра Р удалось повысить до 5-10%. Дополнительная оптимизация по устойчивости не проводилась. Полученные конфигурации с улучшенным переносом предлагается рассматривать в качестве вариантов стелларатора JI-5 с модульными катушками, расчет которых еще предстоит провести.

В параграфе 3.3 приведены результаты расчетов влияния гексапольного и вертикального магнитных полей на удержание альфа-частиц и устойчивость плазмы стелларатора LHD [105]. В данном случае изучались различные магнитные конфигурации, которые можно получить в реальной установке.

Обнаружено, что удержание альфа-частиц можно улучшить при смещении магнитной оси внутрь вертикальным полем. В противоположность вертикальному, сильные гексапольные поля как положительные, так и отрицательные, не приводят к улучшению удержания и не улучшают устойчивость по отношению к идеальным модам Мерсье. Таким образом, возможности оптимизации в обычных стеллараторах подобно LHD ограничены системой имеющихся проводников. В отличии от гексапольных, вертикальные поля оказывают существенное влияние на устойчивость и перенос в LHD, однако с помощью данных полей одновременно получить низкие переносы и высокие значения предельного по устойчивости Р до сих пор не удалось.

Параграф 3.4. посвящен новому классу квази-омнигенных конфигураций, открытых в результате численной оптимизации обычного стелларатора LHD [87]. Квази-омнигенная конфигурация характеризуется постоянством второго магнитного инварианта на магнитной поверхности, это постоянство удалось получить с высокой точностью. В полученной конфигурации высокоэнергетичные альфа-частицы удерживаются в течение почти 10 секунд, что намного дольше, чем во всех имеющихся в настоящее время стеллараторных конфигурациях. Предел по равновесию находится на уровне Р=10%. Конфигурация имеет магнитный бугор и требует дополнительной работы по улучшению устойчивости. Таким образом, даже в обычных стеллараторах путем численной оптимизации в направлении выполнения условия квази-омнигенности возможно уменьшение неоклассических потерь. Однако, вопрос об одновременном улучшении как переносов, так и устойчивости для подобных магнитных систем еще требует дополнительного рассмотрения.

Четвертая глава посвящена суперкомпьютерным расчетам переносов с помощью нового кода VENUS+5f и самосогласованному равновесию с бутстрэп током. Как уже было сказано, расчеты переносов являются ключевой задачей теории стеллараторов как при оптимизации новых систем, так и при анализе экспериментальных данных. Описанные выше известные численные коды для расчета бесстокновительного удержания частиц и переносов (DICES [70], МСТ [56], GC3 [66], NEO [71]) обладают рядом достоинств и ограничений. Новый трехмерный код VENUS+5f является наиболее мощным средством расчета неоклассических переносов без дополнительных ограничений, имеющихся в вышеприведенных численных кодах.

В параграфе 4.1 приводятся уравнения дрейфового движения заряженной частицы в электромагнитном поле. Данные уравнения, имеющие наиболее простой вид в бузеровских координатах, являются основой для расчета траекторий движения частиц в плазме в коде VENUS [106]. В качестве входных данных код использует точную информацию о трехмерных магнитных равновесных полях, полученную из кода TERPSICHORE. В частности, спектр магнитного поля может содержать сотни гармоник разложения Фурье по полоидальным и тороидальным бузеровским углам. Для улучшения гладкости радиальных и угловых функции VENUS проводит дополнительную интерполяцию всех величин на трехмерной сетке. Затем численное вычисление траектории производится методом интегрирования дифференциальных уравнений Рунге-Кутта второго либо четвертого порядка.

Для адекватного воспроизведения оператора столкновений Лоренца в коде VENUS используется изменение питч-угла частицы на каждом шаге траектории в соответствии с формулой, предложенной в работе [107]. В данную формулу входят значения частоты столкновений, исходного питч угла, временного шага и значения генератора случайных чисел. Точное представление оператора Лоренца обеспечивается только после нескольких соударений частицы. Для расчета неоклассической диффузии и бутстрэп тока в код VENUS введен расчет так называемого веса 5f каждой частицы, который меняется вдоль траектории частицы пропорционально радиальному смещению и градиентам плотности плазмы [108]. Основываясь на данном методе 8f - линейном приближении уравнения Фоккера-Планка, можно получить соответствующие выражения для суммарных потоков и токов частиц, т.е. диффузии и бутстрэп-тока [109-111].

Расчеты неоклассической диффузии и бутстрэп тока для токамака кодом VENUS+5f приведены в разделе 4.2. Здесь же приводятся сравнения численных расчетов с известными аналитическими результатами, полученными в параксиальном приближении для двух предельных случаев - режима Пфирша-Шлютера и режима банановой диффузии [109]. Приводятся результаты расчетов, показывающих уменьшение флуктуаций стационарного решения с ростом числа частиц, связанных с использованием статистически точного метода Монте-Карло.

Расчеты бутстрэп-тока для стелларатора W-7X приводятся в параграфе 4.3. В случае строящегося стелларатора W-7X проводилось сравнение расчетов, полученных кодом VENUS+5f, с результатами расчетов кода DKES [72] и полуаналитическим пределом Шейнга-Каллена [112,113], верным в бесстолкновительном режиме (в пределе редких соударений). Как известно, в данном режиме для бутстрэп-тока стелларатора W-7X существует разница в 2.5 раза между результатами расчетов, полученных кодом DKES и полу аналитическим пределом [72]. В этом пределе код DKES имеет очень большую погрешность расчетов или не имеет сходимости. С помощью нового кода VENUS+5f численно удалось найти решения в зоне перехода между решениями DKES и полуаналитическим пределом Шейнга-Каллена.

Расчетам самосогласованного равновесия с бутстрэп-током в токамаке JT-60 [114] и стеллараторах W-7X и LHD посвящен последний параграф диссертации, 4.4. На основе полуаналитического подхода был разработан код SPBSC [115], позволяющий найти самосогласованное равновесие с бутстрэп-током в пределе редких соударений. Аналогичный подход был использован и проверен для LHD и ряда других конфигураций в коде TERPSICHORE-BOOTSP [116]. Как показали расчеты, бутстрэп-ток изменяет вращательное преобразование LHD и тем самым оказывает влияние на устойчивость плазмы. В отличие от LHD, стелларатор W-7X имеет малый бутстрэп-ток, однако, в некоторых случаях он может быть значительным и также сильно влиять на равновесие и устойчивость магнитной конфигурации [117,118].

В экспериментах на LHD были проведены измерения бутстрэп-тока, подтверждающие его основные зависимости от положения магнитной оси, рассчитанные в полуаналитическом пределе кодом SPBSC и VENUS+5f [119]. На основе более точного кода VENUS+5f для всех столкновительных режимов и для различных стеллараторных конфигурации в рамках IAEA создается база данных по неоклассическим переносам, которая послужит дальнейшим расчетам, экспериментам и поиску новых оптимальных токамачных и стеллараторных систем.

Диссертация оканчивается Заключением, Благодарностями и Списком литературы.

Следующие положения автор выносит на защиту:

1. Обнаружение в результате трехмерной суперкомпьютерной оптимизации новой четырехпериодной конфигурации типа Гелиак с квази-винтовой симметрией магнитного поля, имеющей предел по модам Мерсье Р=4%;

2. Получение путем трехмерной суперкомпьютерной оптимизации конфигураций типа Гелиак с квази-полоидальной симметрией магнитного поля с пределом по баллонным модам Р=3% для четырех периодов и Р=6% для пяти периодов;

3. Разработка целевой функции WATER для поиска псевдосимметричных конфигураций и введение ее в оптимайзер. Получение псевдосимметричной конфигурации стелларатора NCSX (США), в которой отсутствуют локально запертые частицы, что приводит к уменьшению в 5 раз коэффициента диффузии (по сравнению с исходной квази-аксиально-симметричной конфигурацией), и в которой сохранен оптимальный для устойчивости профилем вращательного преобразования;

4. Модификация кода TERPSICHORE для расчета устойчивости плазмы в компактных системах с малым числом периодов, анализ устойчивости наиболее опасных для стелларатора NCSX баллонных мод, в результате которого найден новый предел по равновесию и устойчивости (3=4.25%;

5. Выполнение суперкомпьютерной оптимизации двухпериодного стелларатора с квази-аксиальной симметрией CHS-qa (Япония) по вторичным токам, обеспечивающей расчетный предел по критерию Мерсье на уровне (3=8%;

6. Проведение суперкомпьютерных расчетов равновесия, устойчивости и удержания альфа-частиц в конфигурациях стелларатора JI-5 (ИОФАН). С помощью численной процедуры расчета угловых зависимостей второго адиабатического инварианта, встроенной в оптимайзер, получение квази-омнигенных конфигураций Л-5 с повышенным на три порядка по сравнению с обычным стелларатором временем удержания быстрых частиц и повышенным вращательным преобразованием. Анализ влияния гексапольных и вертикальных магнитных полей LHD на удержание альфа-частиц и устойчивость плазмы, приведший к определению оптимального для удержания частиц положения магнитной оси;

7. Обнаружение нового класса квази-омнигенных конфигураций с пониженными переносами;

8. Создание на основе кода VENUS для расчета дрейфовых траекторий заряженных частиц нового кода VENUS+8f для расчета на кластерах неоклассических переносов. Проведение расчетов бутстрэп тока в стеллараторах W-7X, LHD, NCSX, диффузии и бутстрэп тока в токамаке JT-60; с помощью модернизированного кода TERPSICHORE-BOOTSP получение самосогласованного численного равновесия с бутстрэп током для токамака JT-60, стеллараторов LHD и W-7X.

По теме диссертации опубликовано 20 статей, представлено 26 докладов на российских и международных конференциях.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Исаев, Максим Юрьевич

Основные результаты диссертации опубликованы в 20 статьях, в 26 докладах и препринтов на российских и международных конференциях, включая конференции МАГАТЭ и Европейского физического общества по физике плазмы и УТС, международные конференции по стеллараторам, представлены на семинарах в Курчатовском институте, Институте общей физики РАН, Институте физики плазмы Макса Планка (IPP, Германия), Национальном институте термоядерных наук (NIFS, Япония), Принстонской лаборатории по физике плазмы (PPPL, США), Исследовательском центре по физике плазмы (CRPP, Швейцария).

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарен родным, близким и друзьям, без поддержки которых данная диссертация не была бы написана.

Автор считает своим приятным долгом в данной диссертации поблагодарить своих учителей, соавторов и коллег по работе из Курчатовского Института - В.Д.Шафранова, М.И.Михайлова, А.А.Субботина,

B.И.Ильгисониса, Б.Б.Кадомцева, В.П.Смирнова, К.Н.Тарасяна, А.С.Кингсепа, А.А.Сковороду, С.В. Коновалова, В.В.Вихрева, Э.И.Юрченко, Ю.В.Готта, из Института Прикладной Математики им.Келдыша - С.Ю.Медведева, А.А.Мартынова, Ю.Ю.Пошехонова, А.А.Иванова, В.В. Дроздова, Л.М.Дегтярева, из Института Общей Физики РАН - Л.М.Коврижных, С.В.Щепетова,

C.Е.Гребенщикова, И.С.Данилкина, из Харьковского Физико-Технического Института - В.В.Немова, В.С.Войценю, из CRPP (Лозанна) - W.A.Cooper, L.Villard, F.Troyon, O.Fischer, S.Brunner, T.M.Tran, R.Pitts, R.Chavan, O.Sauter, K.Appert, T.Tran, из Института Физики Плазмы Макса Планка (Грайфсвальд)- C.&J.Nuehrenberg, R.Zille, S.Gori, M.Drevlak, H.Maassberg, C.Beidler, J.Geiger, A.Bergmann, E.Poli из NIFS (Япония) и Университета Киото - М. Wakatani, M.Yokoyama, K.Y.Watanabe, C.Namba, S.Okamura, O.Motojima, M. Fujiwara, K.Yamazaki, Y.Nakamura из PPPL и ORNL (Принстон, Ок-Ридж, США) - D.Monticello, A.Reiman, S.Hirshman, L.P.Ku, G.Fu, M.Zarnstorff, F.Perkins, J.Johnson, A.Boozer, H.Mynick, R.Sanchez.

Расчеты были выполнены в Швейцарском научном вычислительном центре (CSCS), Федеральном политехническом университете Лозанны (EPFL,

Швейцария), Институте физики плазмы Макса Планка (IPP, Грайфсвальд, Германия), в Объединенном вычислительном центре (RZG, Гархинг, Германия), в Национальном институте термоядерных наук (NIFS, Япония), в Национальном вычислительном научном центре энергетики (NERSC, US), Межведомственном суперкомпьютерном центре РАН (Москва).

Работа по данной диссертации была поддержана Управлением атомной науки и техники Федерального агентства по атомной энергии РФ, Российской федеральной программой поддержки ведущих научных школ, грантами и контрактами Российского фонда фундаментальных исследований, INTAS, Научным фондом Дж.Сороса, Министерством энергетики (DOE, США), Федеральным министерством образования и исследований (WTZ, Германия), Обществом Макса Планка (MPG, Германия), Федеральным политехническим университетом Лозанны (EPFL, Швейцария), ЕвроАтомом, Швейцарским национальным научным фондом, Министерством образования, науки, культуры, спорта и технологии (Японии), Национальным институтом естественных наук (Япония).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации с помощью расчетов на суперкомпьютерах решены несколько больших задач теории современных стеллараторов. С использованием модернизированных численных кодов рассмотрены вопросы, связанные с равновесием, устойчивостью плазмы и процессами переносов в плазме современных стеллараторных систем [102]. Развиты и дополнены методы суперкомпьютерной оптимизации трехмерных конфигураций [101]. Найдены несколько новых оптимизированных по различным параметрам конфигураций с рекордными параметрами удерживаемой в них плазмы. Получено несколько принципиально новых магнитных конфигураций, обладающих свойствами квазисимметрии [90-94, 96-98, 103], псевдосимметрии [100] и квази-омнигенности [87, 88]. Разработан новый трехмерный численный код [108] для расчета неоклассических переносов для любых столкновительных режимов и произвольной геометрии магнитного поля.

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертации.

1. Для получения предварительных супер компьютерным расчетам оценок в параксиальном приближении рассмотрено условие квазисимметрии. Получены уравнения взаимосвязи между параметрами квазисимметричных конфигураций -эллиптичности сечения магнитной поверхности, кривизны и кручения магнитной оси, функций треугольности и смещений магнитных поверхностей в зависимости от продольной координаты и давления плазмы. На основе полученных в первом и втором порядках параксиального приближения уравнений равновесия квазисимметричных конфигураций разработан быстрый численный код, позволяющий определять равновесие и устойчивость по критерию Мерсье квазисимметричных систем в зависимости от формы магнитной оси системы. Решена задача о равновесии и устойчивости квазисимметричных стеллараторов в параксиальном приближении с максимальным значением параметра р для различных форм магнитной оси с малым числом периодов системы. Четырехпериодный квазисимметричный гелиак с магнитной осью в форме винтовой линии на сплющенном опорном торе имеет максимальное значение параметра р на уровне 8%. 16-периодный квазисимметричный оптимизированный в параксиальном приближении гелиак имеет предел по равновесию и устойчивости Мерсье на уровне 15%. Анализ вторичных плазменных токов для полученных в параксиальном приближении квазисимметричных конфигурации подтвердил значительное уменьшение диффузии Пфирша-Шлютера в данных системах. Проведено исследование пределов применимости параксиального приближения с помощью выражений для вторичных токов, вычисленных вдоль магнитной силовой линии.

2. Проведены суперкомпьютерные расчеты равновесия и устойчивости плазмы в квазисимметричных стеллараторах с помощью трехмерных численных кодов VMEC и TERPSICHORE. Найдена новая стеллараторная конфигурация с винтовой квазисимметрией типа гелиак, оптимизированная по равновесию и устойчивости, предел по модам Мерсье в которой равен Р=4%, по баллонным модам - около р=Т%.

3. В результате оптимизации трехмерных систем с малым числом переменных, описывающих граничную магнитную поверхность, найдена компактная четырехпериодная конфигурация с полоидальной квазисимметрией с рекордными значениями предела по устойчивости на уровне Р=4% по отношению к модам Мерсье и на уровне р=3% по отношению к баллонным модам. Найдены две оптимизированные по критерию Мерсье и баллонным модам пятипериодных конфигурации с полоидальной квазисимметрией. В квазиполоидальном гелиаке предел по критерию Мерсье и баллонным модам находится на рекордном уровне Р=6%. В квазиполоидальном гелиасе данный предел находится на уровне Р=5%. Предложена соответствующая модернизация сечения магнитных поверхностей вдоль тороидальной координаты для уже существующих обычных гелиаков.

4. Проведена оптимизация стелларатора с квазиаксиальной симметрией NCSX, который сооружается в настоящее время в Принстонской Лаборатории Физики Плазмы (США), по переносам с помощью условий псевдосимметрии. Для достижения псевдосимметрии, при которой в конфигурации значительно уменьшаются неоклассические переносы без дополнительных ограничений, накладываемых более строгими условиями квазисимметрии, были рассмотрены несколько целевых функций. Наиболее удачной оказалась так называемая WATER, пропорциональная объему локальных неоднородностей магнитного поля вдоль силовой линии. Расчет целевой функции WATER включен в международный код STELLOPT (оптимайзер), минимизирующий до 40 целевых функций, связанных с другими параметрами плазмы. С помощью данной целевой функции получена псевдосимметричная конфигурация стелларатора NCSX с уменьшенным в 5 раз коэффициентом диффузии и профилем вращательного преобразования, оптимальным для устойчивости плазмы.

5. При численном анализе равновесия и устойчивости компактного стелларатора NCSX обнаружены и устранены несколько численных проблем, характерных для систем с малым аспектным отношением. Найдена и устранена причина так называемых численных баллонных мод, связанных с неточностями в расчетах равновесия кода VMEC2000 и формулировках уравнения баллонных мод кода TERPSICHORE. Большая работа по сходимости решения уравнения привела к открытию зон неустойчивостей по отношению к баллонным модам на уровне (3=4%.

6. Проведена оптимизация стелларатора с квазиаксиальной симметрией -CHS-qa , проект которого в настоящее время разрабатывается в Национальном институте термоядерных наук (NIFS, Япония). В результате минимизации токов Пфирша-Шлютера предел по равновесию в оптимизированной конфигурации chs67 получен уровне 20%, предел по критерию Мерсье - на уровне 8.5%.

Расчеты удержания альфа-частиц, выполненные для конфигураций с квазиаксиальной симметрией, указывают на важность учета полного бузеровского спектра модуля магнитного поля и необходимость более глубокой оптимизации данной системы по переносам.

7. Выполнены трехмерные суперкомпьютерные расчеты равновесия, устойчивости и переносов для нового стеллараторного проекта JI-5, работа над которым продолжается в настоящее время в Институте общей физики (ИОФ РАН). Рассмотрены параметры двух предельных конфигураций с магнитным бугром и с магнитной ямой, получаемых в вакуумных магнитных полях, создаваемых планируемой системой проводников с током. Вследствие небольшого вращательного преобразования на магнитной оси предел по равновесию в рассматриваемых случаях находится на уровне р=2%. Найдено, что в системе со смещенной наружу магнитной осью предел по устойчивость Мерсье равен 2%, удержание альфа-частиц слабое. В системе со смещенной внутрь магнитной осью удержание альфа-частиц лучше примерно на порядок, однако зоны неустойчивости по Мерсье существуют даже при Р=0.7%.

8. В качестве двух других кандидатов для стелларатора JI-5 предложены две оптимизированные по переносам квази-омнигенные конфигурации с увеличенным до 0.3 вращательным преобразованием на магнитной оси и высоким пределом по равновесию (до 10%). Квази-омнигенные конфигурации были найдены с помощью суперкомпьютерной оптимизации функции второго адиабатического инварианта, для чего был разработан новый численный код JCONT. В новой стеллараторной системе с квази-омнигенной структурой магнитного поля, которую можно создать небольшим изменением граничной магнитной поверхности, удержание альфа-частиц сохраняется в течение секунды, что на несколько порядков превышает время удержания этих частиц в обычном стеллараторе. Новый класс найденных квази-омнигенных систем открывает дополнительные возможности для улучшения удержания в обычных стеллараторах с относительно простыми винтовыми проводниками. Для проверки возможностей магнитной системы действующего в настоящее время стелларатора LHD, был проведен численный анализ влияния гексапольного и вертикального магнитных полей на удержание альфа-частиц. Показано, что удержание альфа-частиц улучшается при смещении магнитной оси внутрь вертикальным полем.

10. Для расчета неоклассических переносов в трехмерных конфигурациях создан новый численный код VENUS+5f. В точных трехмерных равновесных полях в бузеровском представлении, проводится интегрирование дрейфовых уравнений движения заряженной частицы. Новый 5f метод учитывает изменение веса частицы вдоль траектории системы, пропорциональное градиенту давления и смещению частицы на каждом шаге вдоль траектории. Соударения между частицами моделируются с помощью метода Монте-Карло. Стационарное решение для коэффициентов переноса возникает после нескольких характерных времен соударений, флуктуации которого уменьшаются при увеличении числа частиц. Код VENUS+5f работает на многопроцессорных вычислительных машинах - кластерах, многократно увеличивающих число частиц и уменьшающих тем самым погрешность статистических результатов.

11. Проверка кода VENUS+5f была проведена на примере как известных аналитических результатов неоклассической теории для токамака, так и для случаев строящегося в настоящее время крупнейшего стелларатора в мире W-7X (Германия). Результаты, полученные с помощью кода VENUS+5f, позволяют найти новые решения в области редких соударений, в которой другие коды не имеют точных решений. Результаты VENUS+5f по расчетам неоклассической диффузии и бутстрэп тока для стеллараторов W-7X, LHD, NCSX вошли в международную базу по неоклассическим переносам в стеллараторах, создаваемую в рамках МАГАТЭ.

12. Самосогласованное равновесие с бутстрэп током, рассчитанное с помощью кодов SPBSC и TERPSICHORE в полуаналитическом пределе Шейнга

Каллена, получено для токамака и различных стеллараторных систем. Показано, что в оптимизированном стеллараторе W-7X самосогласованный бутстрэп ток в несколько раз меньше, чем в обычном стеллараторе. Быстрая сходимость самосогласованного равновесия с бутстрэп током получена с помощью метода настройки резонансных значений вращательного преобразования. Полученное самосогласованное равновесие позволило определить влияние бутстрэп тока на устойчивость плазмы в различных трехмерных конфигурациях.

В заключение необходимо отметить, что область поиска оптимального стелларатора будущего может зависеть от ряда факторов. В частности, сложным вопросом остается выбор типа магнитной системы (модульная или обычная винтовая), от которой зависят параметры удерживаемой в ней плазмы. Стеллараторы, созданные более 10-20 лет назад без большой суперкомпьютерной оптимизации, имеют в основном обычные двухзаходные винтовые проводники с током (LHD, Н-1, TJ-II, JI-2M, У-2М). Новые современные стеллараторы, разработанные на основе больших численных кодов, имеют уже более сложные трехмерные модульные катушки (W7-AS, W-7X, NCSX, HSX, CHS-qa, QPS).

Детальный расчет и суперкомпьютерная оптимизация нового стелларатора требует большой длительной работы. В настоящее время значительные ресурсы термоядерного сообщества направлены на строительство токамака ИТЭР во Франции, оптимизированного стелларатора W-7X (Германия), стелларатора с квазиаксиальной симметрией NCSX (США). В этой связи вопрос о начале разработки какого-либо нового большого стеллараторного проекта в мире остается открытым. Однако можно с уверенностью сказать, что новый стелларатор будет проектироваться на основе оптимизации с помощью мощных суперкомпьютерных кодов. Пути, методы, возможности и примеры оптимизированных систем и были изложены в данной диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Исаев, Максим Юрьевич, 2007 год

1. Shimada М. et al // Nucl. Fusion. - 2007. - V.47. - P.l-17.

2. SpitzerL.//AEC Report NH40-993 (PM-3-1). 1951.

3. Spitzer L.// AEC Report N H40-993 (PM-3-3). 1951.

4. Koenig H. // AEC Report N H40-7310 (PM-3-20). 1956.

5. Nuhrenberg J., Zille R. // Phys. Lett. A. 1988. - V.129. - P.113.

6. SpitzerL. // Phys. Fluids. 1958. - V.l. - P.253-264.

7. Grad H. // Proc. Conf. on Plasma Phys. and Contr. Nucl. Fusion Res., Culham. 1965. V.2. - P.161.

8. Palumbo D. //Nuovo Cimento XB. 1968. V.53. - P.507-511.

9. Bishop C., Taylor J. //Sherwood Theory Conf. 1985. - P.1C3.

10. Bernardin M., Moses R., Tataronis J. // Phys. Fluids. 1986. V.29. - P.2605-2611.

11. Catto P., Hazeltine R. // Phys. Fluids. 1981. - V.24. - P.1663-1675.

12. Hall L., McNamara B. // Phys. Fluids. 1975. - V.18. - P.552-565.

13. Rome J,PengY.//Nucl. Fusion. 1981,-V.19.-P.1193-1201.

14. Channel P. //Phys. Fluids. 1986.-V.29. - P.161-166.

15. Boozer A. // Phys. Fluids. 1983. - V.26. - P.496-499.

16. Mercier C. // Nucl. Fusion. 1963. - V.3. - P.89-95.

17. Соловьев Л.С., Шафранов В.Д. // Вопросы теории плазмы/ Под ред. М.А.Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1967. - Вып.5. - С.3-208.

18. Kadomtsev В.В., Pogutze О.Р. //Nucl. Fusion. 1971. - V.l 1. - C.67-83.

19. Коврижных Л.М. // ЖЭТФ. 1969. - T.56. - C.877-890.

20. Galeev A.A. et al // Phys. Rev. Letters. 1969. - V.22. - C.511.

21. Carreras B.A. et al //Nucl. Fusion. 1988. - V.9. - P. 1613.

22. Nuhrenberg J., Zille R. // Phys. Lett. A. 1986. - V.l 14. - P. 129-133.

23. BeidlerC. etal//Fusion Technology.- 1990.-V.l 7. P.148-168.24.