Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Желтикова, Ольга Олеговна

• Желтикова, Ольга Олеговна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Желтикова, Ольга Олеговна

Оглавление

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Основные сведения из теории с.д.у

1.1.1 Случай линейных пространств

1.1.2 Случай римановых многообразий

1.2 Многозначные отображения

1.3 Классические производные в среднем

1.3.1 Производные в среднем в!"

1.3.2 Производные в среднем на многообразии

1.4 Уравнения с производными в среднем справа

2 Нестохастическое управление

2.1 Допустимые множества

2.2 Индекс разрешимости для вариационных неравенств на римановых многообразиях относительно допустимых множеств

2.2.1 Задачи вариационного неравенства с допустимыми многозначными векторными полями

2.2.2 Индекс разрешимости для задач вариационного неравенства

2.2.3 Примеры допустимых многозначных векторных полей

на допустимых множествах и теорем существования

3 Стохастическое оптимальное управление для включений с

производными в среднем в евклидовом пространстве

3.1 Существование оптимального решения

3.2 Стохастический аналог леммы Филиппова

4 Задачи стохастического управления для включений типа геометрического броуновского движения

5 Вопросы стохастической оптимизации на многообразиях

5.1 Случай компактных многообразий

5.2 Теория на некомпактных многообразиях

5.3 Допустимые множества

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях»

Введение

Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном (см. [44], [45], [46]) в 60-х годах XX века для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Позже было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описываются и другие задачи математической физики, экономики и др. (см., например, работы Ф.Гуэрры, Л.М. Морато, Д. Дорн [24, 25, 34, 35], Т. Заставняка [50, 51] Ю.Е. Гликлиха [28, 30, 31], С .Фаринелли [27], Ю.Хе [36] и др.). В работах Ю.Е. Гликлиха [7, 8] (см. также [31]) уравнения с производными в среднем начали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений.

Нужно отметить, что классические производные в среднем по Нельсону дают информацию только о сносе стохастического процесса. Решения таких уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом. Затем в работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха [1], [21] была построена другая производная в среднем, связанная с коэффициентом диффузии и являющаяся модификацией классических производных по Нельсону. Это позволило корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.

Начиная с работ Э.Д. Конвея [23], П. Кри [39], Ж.П. Обена и Дж. Да Прато [20] и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи

M. Киселевича [37], M. Михты и Е. Мотыля [43] и др.). Дифференциальные включения с производными в среднем, которые были описаны в работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха [21], являются более широким классом включений. Они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.

В работах К.Д. Элворти [26], Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого [13] и др. изучались стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях. Стохастические дифференциальные уравнения и включения в терминах производных в среднем на многообразиях исследовались в работах C.B. Азариной и Ю.Е. Гликлиха [9, 22].

Вопросы оптимального стохастического управления рассматривались в основном в векторных пространствах (см., например, работы Н.В. Крылова [40], П.Е. Клоедена и Е. Платена [38]). Оптимальное управление системами, заданными в терминах производных в среднем, а также заданными посредством дифференциальных включений с производными в среднем, ранее не рассматривалось ни в векторных пространствах, ни на многообразиях.

Отметим работы (см., например, работы С.З. Немета [47], К. Удриште [49], Д.Ванга и Б.Мордуховича [41], Ч. Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского и Дж. Яо [42] и др.), в которых задачи нестохастической оптимизации рассматривались на гладких многообразиях, однако из-за наличия технических трудностей, только на так называемых адамаровых римановых многообразиях - некомпактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Напомним, что из теорем Топоногова следует, что все такие многообразия гомеоморфны векторным пространствам. Это обстоятельство резко сужает общность построенных теорий.

Таким образом, встал вопрос об исследовании более широкого класса задач оптимального управления на многообразиях.

Цель работы. Целью данной работы является исследование задач нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях, нахождение условий существования оптимальных решений включений с производными в среднем как в линейных пространствах, так и на многообразиях (в частности, с использованием построенного аппарата для нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях), и изучение стохастических управляемых систем с обратной связью с использованием включений с производными в среднем.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Введена концепция допустимых множеств, с помощью которой удается исследовать некоторые задачи нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях.

2. Введено понятие совершенного решения для дифференциальных включений с производными в среднем. Доказана теорема существования оптимального решения на линейных пространствах, т.е. решения, которое минимизирует некоторый функционал качества. Получены обобщения этих утверждений на случай дифференциальных включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.

3. В терминах производных в среднем справа описаны управляемые системы с обратной связью. Доказана теорема о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

4. Описаны и исследованы дифференциальные включения типа геометрического броуновского движения с производными в среднем. Для данных включений получены теоремы существования решения, которое минимизирует некоторый функционал качества.

5. Получены утверждения о существовании оптимальных решений для включений с производными в среднем на допустимых множествах в многообразиях.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, теории многозначных отображений и дифференциальных включений, современного глобального анализа, стохастического анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты важны для исследования задач оптимизации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (Воронеж, 2012 г.), в Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XXIV": "Современные методы теории краевых задач" (2013 г.), на Крымской международной математической конференции КММК-2013, на семинарах и научных сессиях ВГУ.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах [52] - [61]. Работы [55] - [57] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [52], [52] - [61] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 11 параграфов (некоторые из них разбиты на под-параграфы), и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объём работы составляет 106 страниц текста.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава работы носит вспомогательный характер и содержит необходимые сведения из теории дифференциальных включений, стохастического и глобального анализа. В частности, даются определение классической производной в среднем по Нельсону.

Рассмотрим случайный процесс £(£) со значениями в Кп, заданный на вероятностном пространстве (О, Т, Р). Обозначим через Е% условное математическое ожидание относительно сг-подалгебры сг-алгебры Т, порожденной прообразами борелевских множеств при отображении £(£) : П —> Мп.

Определение 1.17 Производная в среднем справа £)£(£) процесса £(£) в момент времени 4 есть Ь\-случайная величина вида

где предел предполагается существующим в 1а(Г2, Т, Р) и А£ I 0 означает, что Д£ стремится к 0 и At > 0.

Определение 1.19 Квадратичной производной в среднем справа И2<£(£) процесса £(£) в момент времени Ь назовем Ьх(П, Р)-случайную величину вида

где (£(£ + А£) — £(£)) рассматривается как вектор-столбец в Мп; (£(£ + А£) — £(£))* - сопряженный вектор-строка, предел предполагается существующим в ^(П,^, Р) и At 4- 0 означает, что А£ стремится кО и А* > 0.

Для процессов на многообразиях производная в среднем справа оказывается корректно определенной только с использованием связностей и зависит от выбора связности. Производную в среднем, построенную по связности Л, мы обозначаем Пп. Квадратичная производная корректно определена без использования связностей.

В первом параграфе второй главы вводится концепция допустимых множеств:

Определение 2.2 Множество А С М называется допустимым, если оно линейно связно и не пересекает множество раздела ехрд. дЫх любой точки х е А.

В §2.2 рассматриваются вариационные неравенства на неадамаровых многообразиях.

Пусть А С М - замкнутое локально выпуклое множество, а, и С А -ограниченное открытое подмножество.

Рассмотрим следующую задачу на полном римановом многообразии (М,д): Найти х* ей и V* € Ф(ж*), такие что

<гЛ-Ь*у(0))р > 0 для всех у Е А,-ух.у 6 (2.1)

где - множество геодезических {7^)} целиком лежащих в А, таких что 7(0) = х и 7(1) — у.

Использование концепции допустимого множества дает нам возможность доказать вариант теоремы существования решения для данной задачи на допустимых множествах, основанной на использовании индекса разрешимости, введенного в работе Ч.Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского и Дж.Яо.

Теорема 2.24 Пусть задано допустимое многозначное векторное поле 5 на замкнутом локально выпуклом допустимом множестве А и пусть и С А является открытым стягиваемым подмножеством, таким что 811 ПБо1(Е, 0) = 0. Пусть к тому же задано непрерывное векторное поле У(х) на 811, такое что оно направлено вовнутрь и во всех точках 811, и для всех X > 0 в каждой точке х € д11 выполняется соотношение —ХУ(х) П Н(ж) = 0. Тогда существует решение задачи вариационного исчисления (2.1) внутри и.

В третьей главе рассматриваются включения с производными в среднем справа в линейных пространствах и доказываются теоремы о суще-

ствовании решения, которое минимизирует некоторый функционал качества и о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

Рассмотрим многозначные отображения а(£, х) и а^,х) из [О;Т] х Еп в К" и в ¿>+(п) (где ¿>+(п) - множество всех положительно определенных симметрических квадратных матриц порядка п), соответственно.

Определение 3.1 Дифференциальным включением с производными в среднем справа будем называть систему вида

Определение 3.1 Будем говорить, что (3.1) имеет решение на [О;Т] с начальным условием £(0) = гго, если существует вероятностное пространство (П, Т, Р) и заданный на нем процесс £(£) со значениями в такой, что Р-п.н. и для почти всех £ € [0;Т] выполняется (3.1).

Для доказательства дальнейших результатов в §3.1 вводится определение совершенного решения:

Определение 3.2 Совершенным решением включения (3.1) назовем стохастический процесс с непрерывными выборочными траекториями, такой что он является решением в смысле Определения 3.1, и соответствующая ему на пространстве непрерывных кривых мера является слабым пределом мер, образованным решениями последовательности уравнений Ито диффузионного типа с непрерывными коэффициентами.

Теорема 3.4 Пусть х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Т] х Мп е с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяющее оценке

Пусть а(£, а;) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] х К" в 5+(п) и

€а(£, <£(£)),

(3.1)

Ыг,х)\\2<к(1 + \\х\\2).

(3.2)

(3.3)

для некоторого К > 0.

Тогда для любой последовательности £{ —» 0, £1 > 0, любая пара последовательностей а^,х) и ег-аппроксимаций многозначных отображений а(^,ж) и соответственно, порождает совершенное решение включения (3.1) с начальным условием

Пусть / является непрерывной ограниченной функцией с вещественными значениями на К х К". Рассмотрим функционал качества вида

Теорема 3.8 Среди совершенных решений (3.1), построенных в доказательстве теоремы 3.4, существует решение £(£), на котором значение функционала качества 7 минимально.

В §3.2. рассматриваются управляемые системы с обратной связью с производными в среднем справа. Доказана теорема о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

Будем рассматривать управляемую систему с обратной связью вида

Здесь а:[0,Т]хГхГ->Гиа: [0, Т]хГх1т^ 5+(п) - измеримые по Борелю отображения; Кта - пространство управляющих параметров; ¿Л, II<2 : [0,Т] х Еп —> К(Шт) - мультифункции обратной связи.

(3.12)

<

из(и(«)) € смиКО-

(3.13)

\

и

Решением управляемой системы (3.13) назовём пару {£(£), (^1,^2)}? которая состоит из процесса £(/;) и управления (иь?^)- Здесь £(£) : [О, Т] —» Кга - процесс диффузионного типа, такой что Р-п.н. удовлетворяет (3.13) почти всюду на [О, Т], а 1*1,142 : [О, Т] х1п-> Мт - измеримые по Борелю функции, удовлетворяющие включениям из (3.13) всюду на [О, Т].

Введём многозначные отображения а(1.,х) = а(£, х, и^, х)) и а^,х) = х, х)). От управляемой системы перейдём к ассоциированному с ней дифференциальному включению типа (3.1).

Очевидно, что каждая траектория системы (3.13) является решением включения (3.1). Установим и обратную зависимость (аналог леммы Филиппова).

Теорема 3.9 Пусть а(£, х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Т] х 1п б с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяющее оценке

Пусть а(£, ж) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] хЕ" б (п) и для каждого а(Ь, х) € с*(£, х) выполняется оценка

для некоторого К > 0.

Мультиотображения Ui(t, х), х) : [0, Т] К(Rm) - полуне-

прерывны сверху и выполняется включение 3.1 при почти всех tel.

Тогда существует такие измеримые сечения щ е S^ и щ е Su2, что выполняется система (3.13) при почти всех t € [0, Т] .

Четвертая глава посвящена исследованию включений типа геометрического броуновского движения, введенных C.B. Азариной и Ю.Е. Гли-клихом. Мы также даем некоторую модификацию конструкции подобных включений.

||а(*,*)||2<7ф-НМ|2).

(3.2)

|tra(t,ar)| < К( 1+ |М|2)

(3.3)

Рассмотрим следующее обобщение так называемого геометрического броуновского движения: пусть S(t) - процесс, удовлетворяющий системе стохастических дифференциальных уравнений

dS\t) = SVfoS^t),... ,Sn{t))dt + ..., Sn(t))dw\ (4.1)

где wi - независимые винеровские процессы в Я1, которые вместе порождают винеровский процесс в Rn, a(t, х) - векторное поле на Rn, A(t, х) -отображение из [О,Т] хЯпв пространство линейных операторов L(Rn, Rn) и через (Aj) обозначена матрица оператора А.

Предположим, что координаты S1 решения уравнения (4.1) положительны для всех t. По формуле Ито процесс £(i) — log/S^i) = {log Sx(t),..., log ¿>п(£)} удовлетворяет уравнению:

d?(t) = (а< - \(A^kAi))(t,mdt + AJ(t,«t))Mf), (4-2)

поскольку dwl • du>i = 5l^dt (здесь - символ Кронекера: 6гг — 1. S1^ = О при i ф j).

Введем следующие обозначения: симметрическую неотрицательно определенную матрицу АА* (где А* - оператор, сопряженный к оператору А) обозначим В; вектор, составленный из диагональных элементов симметрической матрицы В, обозначим diagB.

Если процесс удовлетворяет (4.2), он также удовлетворяет следующему уравнению с производными в среднем

D£(t) + \diagD£(t) = a(t, £(*)),

D2at) = B(t,m)-

Рассмотрим многозначные отображения а(t,x) : [О, Т] х 1" I" и B(t, х) : [О, Т] xRM §+(п) и следующее включение

Dm + \diagD2m € a(U(t)), (4 g)

которое назовём включением типа геометрического броуновского движения с производными в среднем справа.

Основным результатом главы является следующая теорема существования совершенных решений включения (4.6)

Теорема 4.3 Определим начальное значение £о € Пусть а(£, ж) -полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0;Т] хГ еГ с замкнутыми выпуклыми образами и пусть для всех а Е а(£, х) выполнена оценка

Пусть В(£, х) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] х!п б 3+(п) и для каждого В^^х) € В(£, х) выполняется оценка

для некоторого К > 0.

Тогда для любой последовательности —» 0, ^ > 0, любая пара последовательностей аг(/,х) и £{-аппроксимаций многозначных отображений а(£,а:) и В(£, х), соответственно, порождает совершенное решение включения (4.6) с начальным условием

В Теореме 4.8 показывается, что среди совершенных решений, полученных в доказательстве Теоремы 4.3 существует решение, которое минимизирует некоторый функционал качества.

В пятой главе рассматриваются включения с производными в среднем справа на римановых многообразиях. В §5.1 описываются понятие включения с производными в среднем справа для случая многообразий и доказывается теорема о существовании совершенных решений данных включений на компактных многообразиях.

Пусть М - риманово многообразие размерности п. Для заданных многозначного векторного поля а(£, га) и многозначного симметрического неот-

№,х)е<к(1+\\х\\2).

(4.7)

(4.8)

рицательно определенного (2,0)-тензорного поля a(t,m) на M рассматривается включение вида:

2?"«t)€ a(t,«t)), (51)

D2at)ea(t,m),

которое называется дифференциальным включением с производными в среднем на многообразии.

Теорема 5.4 Пусть a(t,m), Oi(t:m) являются многозначными полунепрерывными сверху, равномерно ограниченными относительно нормы, симметрическим полуположительно определённым (2,0)-тепзорным полем и векторным полем на M, соответственно, с замкнутыми выпуклыми значениями.

Тогда для любой последовательности eq —» 0, eq > 0, каждая пара последовательностей aq(t,m) и ag(t,m) sq - аппроксимаций a(t,m) и ac(t,m), соответственно, порождает совершенное решение (5.1) с начальным условием £(0) = то.

В Теореме 5.5 показано, что существует решение, которое минимизирует некоторый функционал качества. Далее описывается управляемая система с обратной связью типа (3.13), в которой использована производная в среднем относительно связности. Доказана Теорема 5.6 о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

В §5.2 предыдущие результаты обобщены на случай некомпактных конечномерных многообразий. Главным результатом параграфа является следующая

Теорема 5.14 Пусть а(£, m), a(t, m) являются многозначными полунепрерывными сверху, симметрическим неотрицательно определённым (2,0)-тензорным полем и векторным полем на M, соответственно, с замкнутыми выпуклыми значениями. Пусть к тому же для любого компакта К С M множества а([0, Т],К) и а([0,Т],К) являются компакт-

ными, и кроме того в каждой точке (¿, т) генератор из некоторой окрестности V графика «Да« (/,т) удовлетворяет (5.17) с одной и той же собственной функцией ф.

Тогда для любой последовательности £ч —> 0, еч > О, каждая пара последовательностей ая{1,т) и ая(1,т) - аппроксимаций и соответственно, порождает совершенное решение (5.1) с на-

чальным условием £(0) = тоВ §5.3 изучаются оптимальные решения включений с производными в среднем на допустимых множествах в многообразиях. Отличием этой задачи от предыдущих является то, что в ней возникают иные условия существования оптимальных решений.

Рассмотрим дифференциальное включения вида (5.1) на полном рима-новом многообразии М. Рассмотрим допустимое множество А и произвольную точку т в нем. Пусть £(0) = т, является произвольным начальным значением. Взяв отображение ехр-1, обратное к экспоненциальному, переведём дифференциальное включение в в область в касательном пространстве ТтМ. Получим новое дифференциальное включение вида

В№ € а(*, т) + ^гГш(А, А),

где 1гГт(А, А) является объектом с координатами Г^-о^, а а и а перенесены из а и а с помощью отображения ехр-1.

Пусть £(£) - решение дифференциального включения (5.27), а тш - момент 1-ого выхода выборочной траектории на границу допустимого множества. Рассмотрим процесс £(тш Л£), т.е. решение, остановленное на границе допустимого множества (напомним, что тш Л £ = шп(тш,1)).

Теорема 5.18 Пусть а(£, ж) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Т] х О в О с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяет оценке

||а(*,ж) + ±ЫГт(А,А)\\2 < К{ 1 + ||ж||2). (5.28)

Пусть а(£, х) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0; Т] х О в -5+(п) и для каждого Е х) выполняется оценка

для некоторого К > 0.

Тогда для любой последовательности е^ —> 0, £* > 0, любая пара последовательностей а^,х) и £1-аппроксимаций многозначных отображений а(£, ж) и а(£, х), соответственно, порождает совершенное решение Л ¿) включения (5.27) с начальным условием £о-

Пусть / является непрерывной ограниченной функцией с вещественными значениями на К х Для решений включения (5.27) рассмотрим функционал качества вида

Теорема 5.19 Среди совершенных решений включения (5.27), построенных в доказательстве теоремы 5.18, существует решение £(т.ц, Л1), на котором значение функционала качества J минимально.

(5.29)

(5.30)

Глава 1

Предварительные сведения

В этой главе, следуя [44, 45, 46, 28, 4, 19, 11], приводятся необходимые предварительные сведения из теории многозначных отображений и дифференциальных включений, стохастического анализа, глобального анализа. В частности, даются определения классических производных в среднем по Нельсону.

1.1 Основные сведения из теории с.д.у. 1.1.1 Случай линейных пространств

Рассмотрим стохастический процесс £(£) в Кп при t € [0;Т], определённый на некотором вероятностном пространстве (О, Т, Р) и такой, что £(£) является Ь1- случайной величиной для всех I. Известно, что каждый такой процесс определяет три семейства <7-подалгебр сг-алгебры

(I) "прошлое" - порожденное прообразами борелевских множеств в при всех отображениях £(й) : £1 —> Мп для 0 < в <

(II) "будущее" - порожденное аналогичным образом для £ < з < Т;

(III) "настоящее" - порожденное самим отображением £(£).

Все семейства мы считаем полными, то есть пополняем всеми множествами вероятности нуль.

Ради удобства мы обозначаем условное математическое ожидание

относительно "настоящего" Л// для £(£) через Пусть А : [0; Т] х О —» Ь(МП, Еп) - случайная операторная функция, -неубывающее семейство сг-подалгебр сг-алгебры Т. Напомним стандартное

Определение 1.1 Если Л(£) измеримо относительно а-алгебры В1 при каждом то говорят, что А({) не упреждает относительно В%.

Процессом Ито называется процесс £(£) вида

г г

= J + J А{в)(1уо{з),

о о

где а(Ь) - процесс в у которого выборочные траектории почти наверное имеют ограниченную вариацию; А(£) - процесс со значениями в пространстве п х п матриц такой, что для каждого элемента Аматрицы А{{) выполняется Р(ы| А^сИ < оо) = 1; ги(£) - винеровский процесс в Еп; первый интеграл - интеграл Лебега, второй - интеграл Ито.

Напомним, что для процесса Ито вектор-столбец а(£) называется коэффициентом сноса, а — А(г)А*(£) из ¿?+(п) (квадратная симметрическая неотрицательно определенная п х п матрица, а А*({) - матрица сопряженного оператора) - коэффициентом диффузии.

Определение 1.2 Процесс Ито £(£) называется процессом диффузионного типа, если а(£) и А{{) не упреждают относительно и винеровский процесс -ш(£) подчинен Если а(£) = а(£,£(£)) и Л(£) = Л(£, £(£)), где а(£,х) и - измеримые по Борелю отображения [0;Т] х Кп в К.п

и в пространство матриц 1/(Кп,Кп), соответственно, то процесс Ито называется диффузионным процессом.

Процессы диффузионного типа являются решениями так называемых уравнений диффузионного типа, которые задаются следующим образом.

Рассмотрим отображения

а : [0; Т] х С°([0; Т], Rn) —» Rn,

А : [0; Т] х С°([0; T],Rn) -> L(Rn,Rn),

где I/(Rn,Mn) - пространство п х п матриц. Будем предполагать, что a(t,x(-)) и A(t,x(-)) непрерывны по совокупности переменных и для всех t € [0;Т] отображения a(t, •), A(t, •) измеримы относительно <т-алгебры, порожденной цилиндрическими множествами с основаниями на [0; t].

Определение 1.3 Уравнение типа Ито

t t т = J a(U(-))dr + J A(t,a-))dw(r)

о 0

называется стохастическим дифференциальным уравнением диффузионного типа.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение, доказательство которого имеется в [11] (лемма III.2.1 и замечание после нее). Обозначим через Q банахово пространство С°([0;T],Rn) всех непрерывных кривых х : [0; Т] —> R71 с обычной равномерной нормой. Через F обозначим (Т-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами на О.

Лемма 1.4 Для решения £(t) стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа

m = f(t,a-))dt+a(t,a-))dw(t)

в Rn при t G [0; Т] такого, что ||/(*,ж(-))|МК*,ж(0)И < <2(1 + 1М')11)> для всех целых р > 1, существует константа Ср > 0 такая, что выполнено неравенство Е( sup ||£(t)||p) < Ср, где Ср зависит только от р, Qui.

ts[0-,T]

Рассмотрим последовательность уравнений

d£k(t) = fk(t,a-))dt + ak(t,a-))dw(t),

удовлетворяющих условиям леммы 1.4 для одних и тех же <5 и I при всех к. Обозначим через слабые решения этих уравнений, а через - меры на (П, Т), соответствующие процессам Предположим, что рьк слабо сходятся к некоторой мере /1, т.е —> fdlл для любой непрерывной и ограниченной функции / : П —> М. Обозначим £ координатный процесс £(£, £(•)) = ж(£) на (О, Т, //). Зададим меры щ соотношениями

Лемма 1.5 Меры слабо сходятся к мере у, определенной равенством

Доказательство леммы 1.4 имеется в [32]. 1.1.2 Случай римановых многообразий

Пусть М - конечномерное риманово многообразие, на котором задана некоторая связность Н. На этом многообразии рассмотрим измеримые по Бо-релю векторное поле а(Ь,т) и поле линейных операторов га) : М* —> ТтМ (для достаточно большого /с), £ € [0;Т]. Обозначим через ехр экспоненциальное отображение связности И. на многообразии, а через ги(£) -винеровский процесс в М*1. Пара (а, А) называется векторным полем Ито на М (см., например, [28, 13]).

Определение 1.6 Стохастическим дифференциалом

порождённым векторным полем Ито (а, А) в точке т многообразия М, £ € [0;Т]7 называется класс случайных процессов ТтМ, который состоит из всех решений следующих дифференциальных уравнений

¿ук = (1 + ||я(-)||)Ф*.

<1и=(1 + \\х{-)\\)(1ц.

з

8

г

t

где w(t) винеровский процесс в â(t, х) - векторное поле на ТтМ, Â(t, х) - поле линейных операторов из в ТтМ. Отображения â и А липшице-вы, обращаются в нуль вне некоторой окрестности нуля в ТтМ и такие, что â(t, 0) = a(t, m), A(t, 0) = A(t, m).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Желтикова, Ольга Олеговна, 2013 год

Литература

[1] Азарина C.B. Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа в Rn / C.B. Азарина, Ю.Б. Гликлих // Вестник ВГУ. Серия Физика, Математика - 2006 - №2.- С.138 - 146.

[2] Азарина C.B. Включения с производными в среднем для процессов типа геометрического броуновского движения и их приложения /C.B. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. - Воронеж: ВГУ. - Вып.4. - С.З - 8.

[3] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли // М.: Физматлит. - 1977. - 351 с.

[4] Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, Обуховский B.B. //М.: КомКнига. - 2005. - 216 с.

[5] Борисович Ю.Г. О числе Лефшица для одного класса многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Ю.Е. Гликлих // Седьмая летняя математическая школа (Кацивели, 1969).- Киев: Изд Акад. наук украинской ССЗ. - 1970.- С. 283 - 294.

[6] Булинский A.B. Теория случайных процессов / A.B. Булинский, А.Н. Ширяев // Физматлит. - 2003. - 400 с.

[7] Гликлих Ю.Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. I / Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия ММ-МИУ. - 1997.- Т. 1. - N 4.- С. 26 - 52.

[8] Гликлих Ю.Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. II / Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия МММИУ.- 2000.- Т. 4. - N 4.- С. 17 - 36.

[9] Гликлих Ю.Е. Стохастические дифференциальные включения с производными в среднем на некомпактных многообразиях / Ю.Е. Гликлих // Семинар по глобальному и стохастическому анализу -Воронеж: ВГУ.-2008.-Вып.З.-С.12 - 30.

10] Гихман И. И. Теория случайных процессов / И.И. Гихман, A.B. Скороход,- М.: Наука. - 1975 - Т.1.- 496 с.

11] Гихман И.И. Теория случайных процессов / И.И. Гихман, A.B. Скороход // М.: Физматлит. - 1975. - Т. 3. - 496 с.

12] Громол Д. Риманова геометрия в целом / Д. Громол, В Клингенберг, W. В. Мейер // М: Мир. - 1971. - 343 с.

13] Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю.Л. Далецкий, Я.И. Белопольская. - Киев: Выща Школа. - 1989. - 296 с.

14] Крылов М.В. Уравляемые процессы диффузионного типа / М.В. Крылов // М.: Физматлит. - 1977. - 400 с.

15] Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики / Г.А. Медведев // Минск: Электронная книга БГУ. - 2003. - Т. 1- 287 е.; Т. 2.- 293 с.

16] Мышкис А.Д. Обобщение теоремы о стационарной точке динамический системы внутри замкнутой траектории /А.Д. Мышкис // Мат. сборник. - 1954. - Т.34/ - No 3. - С. 525 - 540.

17] Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати // М.: Мир. - 1988 - 343 с.

18] Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. - М.: Мир. - 1967-624с.

[19] Aubin J.-P. Differential Inclusions. Set-valued maps and viabiity theory / J.-P. Aubin, A. Cellina. - Berlin et al.: Springer-Verlag, 1984. - 350 p.

[20] Aubin J.P. Stochastic viability and invariance / J.P. Aubin, G. Da Prato // Annali Scuola Normale Superiore di Pisa. - 1990. Vol. 17 - P. 595 -613.

[21] Azarina S.V. Differential Inclusions with Mean Derivatives / S.V. Azarina, Yu.E. Gliklikh // Dynamic Systems and Applications.-2007.-Vol.16 - No. 1.- P. 49 - 72.

[22] Azarina S.V. On differential equations and inclusions with mean derivatives on a compact manifold / S.V. Azarina, Yu.E. Gliklikh // Discussiones Mathematicae. DICO - 2007 - Vol. 27 - No.2. P. 385-397.

[23] Conway E.D. Stochastic equations with discontinuous drift / E.D. Conway // Trans. Amer. Math. Soc- 1971- vol. 157. - N 1- P. 235 - 245.

[24] Dohrn D. Geodesic correction to stochastic parallel displacement of tensors / D. Dohrn, F. Guerra // Lecture Notes in Physics. - 1979. -Vol. 93. - P. 165 - 181.

[25] Dohrn D. Spinning particles and relativistic particles in framework of Nelson's stochastic mechanics / D. Dohrn, F. Guerra, P. Ruggiero // Lect. Notes Phys. - 1979. - Vol. 106. - P. 165 - 181.

[26] Elworthy K.D. Stochastic differential equations on manifolds. / K.D.Elworthy // Lect. Notes of London Math. Soc. 70. Cambridge University Press, Cambridge. - 1982. - 326 p.

[27] Farinelli S. Geometric Arbitrage Theory and Market Dynamics / S. Farinelli // AIMS' Journals (to appear)

[28] Gliklikh Yu.E. Global and Stochastic Analysis with Applications to Mathematical Physics/ Yu.E. Gliklikh // London: Springer-Verlag. -2011. - 416 p.

[29] Gliklikh Yu.E. Riemannian parallel translation in non-linear mechanics / Yu.E. Gliklikh // Lect. Notes Math. - 1984. - Vol. 1108 - P. 128 - 151.

[30] Gliklikh, Yu.E. Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh // Dordrecht: Kluwer. - 1996205 p.

[31] Gliklikh Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods / Yu.E. Gliklikh // New York: Springer-Verlag. -1997. - 229 p.

[32] Gliklikh Yu.E. Stochastic differential inclusions of Langevin type on Riemannian manifolds. / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Discussiones Mathematical DICO. - 2001. - Vol. 21. - P. 173 - 190

[33] Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings, 2nd edition (Topological Fixed Point Yheory and Its Applications 4) / L. Gorniewicz // Dordrecht: Springer-Verlag. - 2006. - 399 p.

[34] Guerra F. Quantization of dynamical systems and stochastic control theory / F. Guerra , L.M. Morato // Phys. Reviews. - 1983. - Ser. D.

- P. 1774 - 1786.

[35] Guerra F. A note on relativistic Markov processes / F. Guerra, P. Ruggiero // Lettere al Nuovo Cimento. - 1978. - Vol. 23 (16). P. 529

- 534.

[36] He X. A probabilistic method for Navier-Stokes vorticies / X. He // J. Appl. Probab. - 2001. - P. 1059 - 1066.

[37] Kisielewicz M.L. Backward Stochastic Differential Inclusions / M.L. Kisielewicz // Dynamic Systems and Applications-2007.-Vol. 16-No. 1.- P. 121 - 139.

[38] Kloeden P.E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations / P.E. Kloeden, E. Platen // Berlin Heidelberg: Springer-Verlag - 1992. -632 p.

[39] Kree P. Diffusion equation for multivalued stochastic differential equation/ P. Kree // J Func Anal. - 1982. Vol.49. - P. 73 - 90.

[40] Kryszewski W. Homotopy properties of set-valued mappings / W. Kryszewski- Torun: Torun University. - 1997. - 243 p.

[41] Li, C., Mordukhovich, B.S., Wang, J.H., Yao, J.C.: Weak sharp minima on Riemannian manifolds. SIAM J. Optim. (to appear)

[42] Liou Y.-C. On Topological Index of Solutions for Variational Inequalities on Riemannian Manifolds /Y.-C. Liou, V. Obukhovskii, J.C. Yao// Set-Valued Var. Anal. 20. -2012 - no. 3. - 369H386

[43] Michta M. Set Valued Stratonovich Integral and Stratonovich Type Stochastic Inclusion / M. Michta, J. Motyl // Dynamic Systems and Applications-2007 - Vol.16.- No. 1.- R 141 - 154.

[44] Nelson E. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews - 1966 - Vol. 150 - No. 4 - P. 1079 - 1085.

[45] Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson. - Princeton: Princeton University Press - 1967 - 142 p.

[46] Nelson E. Quantum fluctuations / E. Nelson- Princeton: Princeton University Press - 1985 - 147 p.

[47] Nemeth S.Z. Variational inequalities on Hadamard manifolds / S.Z. Nemeth // Nonlinear Analysis, Series A: Theory, Methods &; Applications2003 - 2003.- Vol. 52 - P. 1491 - 1498

[48] Schwartz L. Semimartingales and their stochastic calculus on manifolds / L. Schwartz // Montreal: Montreal University Press. - 1984. - 187 p.

[49] Udriste C. Convex Functions and Optimization Methods on Riemannian Manifolds ( Mathematics and Its Applications 297) / C. Udriste // Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. - 1994. - 348 p.

[50] Zastawniak T. A relativistic version of Nelson's stochastic mechanics / T. Zastawniak // Europhys. Lett. - 1990. - Vol. 13. - P. 13 - 17.

[51] Zastawniak Т. Markov diffusion in relativistic stochastic mechanics / T. Zastawniak // Proceedings of Swansea Conference on Stochastic Mechanics, 1990. Singapore: World scientific. - 1992. - P. 280 - 297.

[52] Mezhova O.O. The concept of admissible sets in optimization problems on non-Hadamard Riemannian manifolds / Y.E. Gliklikh, O.O. Mezhova// Семинар по глобальному и стохастическому анализу. - Воронеж: ВГУ.

- 2010. - Вып.5 - С. 12 - 36.

[53] Желтикова О.О. Аналог леммы Филиппова для уравнений с производными в среднем с управлением/ Желтикова О.О.// Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: материалы V международной конференции.-Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. -2012. - С. 121

- 123.

[54] Желтикова О.О. Существование оптимального управления для систем с производными в среднем на компактном многообразии/ Желтикова О.О.// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской математической школы Понтрягинские чтения -XXIV". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. - 2013.

- С. 80 - 81.

[55] Zheltikova О.О. On existence of optimal solutions for stochastic differential inclusions with mean derivatives / Y.E. Gliklikh, O.O. Zheltikova// Applicable Analysis. - 2012. -DOI-.IO.1080/00036811.2012.753588. - P. 1 - 11.

[56] Желтикова O.O. Optimal solutions for inclusions of geometric brownian motion type with mean derivatives/ Ю.Е. Гликлих, O.O. Желтикова// Вестник ЮУрГУ. Серия Математическое моделирование и программирование - 2013. - Т.6. - №3 - С. 38 - 50.

[57] Zheltikova О.О. Stochastic Equations and Inclusions with Mean Derivatives and Some Applications/ Y.E. Gliklikh, O.O. Zheltikova//

Methology and Computing in Applied Probobility. - 2013. - DOI 10.1007/sll009-013-9373-4. - P. 1 - 15.

[58] Желтикова O.O. Аналог леммы Филиппова для стохастических дифференциальных включений с производными в среднем/ Желтикова 0.0.// Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. -2013. -Вып. 9, ч.1 - С. 121 - 128.

[59] Желтикова О.О. Управляемые системы и стохастические дифференциальные включения с производными в среднем справа на компактных многообразиях/ Желтикова 0.0.// Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. - 2013. -Вып. 9, ч.1 - С. 129 - 139.

[60] Желтикова 0.0. О некоторых вопросах управления для систем с производными в среднем на некомпактных многообразиях/ Желтикова 0.0.// Крымская Международная Математическая Конференция. Сборник тезисов. - 2013. - Т.З - С. 7 - 8.

[61] Желтикова О.О. Исследование вопросов управления для включений с производными в среднем на многообразиях/ Желтикова 0.0. // Препринт НИИ математики ВГУ. - 2013. - № 47. - 23 с