Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Азарина, Светлана Владимировна

• Азарина, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Азарина, Светлана Владимировна

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Основныеедения из теориид.у.

1.1.1 Случай линейных пространств.

1.1.2 Случай римановых многообразий.

1.2 Описание уравнений Ланжевена.

1.3 Многозначные отображения.

1.4 Многообразие соболевских петель.

1.5 Классические производные в среднем.

1.5.1 Производные в среднем в!".

1.5.2 Производные в среднем на многообразии.

2 Уравнения и включения с производными в среднем в евклидовом пространстве

2.1 Квадратичная производная в среднем.

2.2 Уравнения с производными в среднем справа.

2.3 Включения с производными в среднем справа.

2.4 Уравнения и включения с текущими скоростями.

3 Уравнения и включения с производными в среднем на римановом многообразии

3.1 Уравнения с производными в среднем справа.

3.2 Включения с производными в среднем справа.

4 Включения Ланжевена

4.1 Описание включения Ланжевена в терминах ковариантных производных в среднем.

4.2 Теорема существования решения включения Ланжевена с многозначным диффузионным членом.

5 Уравнения на многообразии петель

5.1 Существование решения уравнения Ито.

5.2 Уравнение с производными в среднем справа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем»

Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном (см. [1], [2], [3]) для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Затем было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описывается движение вязкой несжимаемой жидкости (см., например, [4, 5, б]), а также вихри в ней (см., например, [7]). В работах Ю.Е. Гликлиха [8, 9] (см. также [6]) было начато изучение уравнений с производными в среднем как отдельного класса стохастических дифференциальных уравнений.

Во всех указанных выше случаях решения уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом, так как классические производные в среднем по Нельсону описывают только снос диффузионного процесса. Поэтому возникает задача построения иной производной в среднем, связанной с коэффициентом диффузии, что позволило бы корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.

Начиная с работ Э.Д. Конвея [10], Ж.П. Обена и Дж. Да Прато [11] и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи М. Киселевича, М. Михты и Е. Мотыля и литературу в них в специальном выпуске журнала Dynamic Systems and Applications 2007 г., [12, 13]). Однако ранее не рассматривались дифференциальные включения с производными в среднем, несмотря на то, что они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.

В связи с заданием сложных физических процессов уравнениями и включениями с производными в среднем, отметим уравнение и включение Ланжевена на римановых многообразиях, которые описывают движение механической системы на нелинейном конфигурационном пространстве в случае, когда силовое поле системы подвержено случайным возмущениям (в случае включений - сила существенно разрывна или содержит управляющий параметр). В работах [14, 15, 16] эти уравнения и включения были описаны в интегральной форме, поскольку не был известен дифференциальный вариант этих уравнений и включений, основанный на производных в среднем. Во многом по этой причине в работе [16] была доказана теорема существования слабого решения включения Ланжевена только в предположении, что диффузионный член этого включения однозначен и непрерывен. Так что возникла задача об описании этого включения в терминах производных в среднем и о разрешимости указанного включения в случае многозначной диффузии.

Укажем также, что в современных струнных теориях квантовой физики активно используются бесконечномерные многообразия петель. Поэтому важной задачей является исследование уравнений с производными в среднем на указанных многообразиях, что дало бы возможность применения в струнных теориях аппарата стохастической механики Нельсона.

Цель работы. Модификация теории производных в среднем таким образом, чтобы по заданным производным можно было бы найти соответствующий случайный процесс. Описание уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем) как в линейных пространствах, так и на многообразиях, в том числе на бесконечном многообразии петель соболевского класса Я1, и доказательство существования их решений; применении описанных методов исследования к задачам математической физики, в частности, исследование дифференциальных включений Ланжевена с многозначной диффузией на римановом многообразии.

Методика исследований состоит в использовании идей и методов функционального анализа, современного глобального анализа, стохастического анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными из них являются следующие:

1. На основе модификации одной идеи Э. Нельсона построена новая производная в среднем (названная квадратичной), которая для диффузионного процесса описывает его коэффициент диффузии. С использованием этой производной и классических производных в среднем по Нельсону описаны и исследованы дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем).

2. Доказаны теоремы существования решений для дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями в конечномерных линейных пространствах (для включений - с различными типами непрерывности правых частей, имеющих выпуклые значения). Получены обобщения этих утверждений на случай дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.

3. В терминах ковариантных производным в среднем описаны дифференциальные включения второго порядка типа Ланжевена на рима-новых многообразиях и получена теорема существования слабых решений для таких включений с многозначными сносом и диффузией.

4. Описаны и исследованы дифференциальные уравнения с производными в среднем на бесконечномерном многообразии петель и доказаны теоремы существования их решений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты важны для исследования задач математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004, 2006); международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005); Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна 2006; на семинаре "Modelling Cellular Systems with Applications to Tumour Growth" (Бедлево, Польша, 2006); на международной школе "IX Diffiety School" (Санто Стефано дел Соле, Италия, 2006); на международном семинаре "Stochastic Analysis, Stochastic Differential Geometry and Applications" (Свонзи, Уэльс, 2007) и на научных сессиях Воронежского государственного университета 2004-2007 годов.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [17]-[29]. Из совместных работ [17, 22, 25, 27, 28] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы. Общий объём работы - 114 страниц. Библиография содержит 54 наименования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Азарина, Светлана Владимировна, 2007 год

1. Nelson, Е. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews. - 1966.- Vol. 150. - №4.- P. 1079-1085.

2. Nelson, E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson. -Princeton: Princeton University Press. 1967.- 142 p.

3. Nelson, E. Quantum fluctuations / E. Nelson. Princeton: Princeton University Press, - 1985.- 147 p.

4. Гликлих, Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю.Е. Гликлих.- М.: Комкнига, 2005.416 с.

5. Gliklikh, Yu.E. Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. Dordrecht: Kluwer. - 1996.- 205 p.

6. Gliklikh, Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods / Yu.E. Gliklikh. New York: Springer-Verlag, 1997.- 229 p.

7. He, X. A probabilistic method for Navier-Stokes vorticies / X. He // J. Appl. Probab. 2001. - P. 1059-1066.

8. Гликлих, Ю.Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. I / Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия МММИУ.- 1997.- Т. 1, №4.- С. 26-52.

9. Гликлих, Ю.Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. II / Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия МММИУ.- 2000.- Т. 4, №4.- С. 17-36.

10. Conway, E.D. Stochastic equations with discontinuous drift / E.D. Conway // Trans. Amer. Math. Soc.- 1971.- vol. 157, №1.- P. 235-245.

11. Aubin J.P. Stochastic viability and invariance /J.P. Aubin, G. Da Prato // Annali Scuola Normale Superiore di Pisa. 1990.- Vol. 17.-P. 595-613.

12. Kisielewicz, M.L. (Backward Stochastic Differential Inclusions / M.L. Kisielewicz // Dynamic Systems and Applications. 2007. -Vol.16.- №1.- P. 121-139.

13. Michta, M. Set Valued Stratonovich Integral and Stratonovich Type Stochastic Inclusion / M. Michta, J. Motyl // Dynamic Systems and Applications. 2007. - Vol.16.- №1.- P. 141-154.

14. Гликлих, Ю.Е. О геометризации одного класса механических систем со случайными возмущениями силы / Ю.Е. Гликлих, И.В. Федоренко. Воронеж: Воронежск. гос. ун-т, 1980. - Деп. в ВИНИТИ 21.10.80, №4481.- 10 с.

15. Гликлих, Ю.Е. Об уравнениях геометрической механики со случайными силовыми полями / Ю.Е. Гликлих, И.В. Федоренко //Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1981. - С. 64-72.

16. Gliklikh, Yu.E. Stochastic differential inclusions of Langevin type on Riemannian manifolds / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization.- 2001.- V. 21, №2.- P. 173-190.

17. Азарина, С.В. Об уравнениях Ито на многообразии петель / С.В. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2004. - №8. - С. 25-39.

18. Азарина, С.В. Об уравнениях Ито на многообразии соболевских петель / С.В. Азарина // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004.- С.3-11.

19. Азарина, С.В. Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на многообразии петель / С.В. Азарина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу.-Воронеж: ВГУ, 2005.-Вып.1.-С.З-11.

20. Азарина, С.В. О дифференциальных уравнениях второго порядка на многообразии петель / С.В. Азарина // Материалы международной научной конференции Топологические и вариационные методы нелинейного анализа.- Воронеж: ВГУ, 2005.- С. 13-14.

21. Азарина, С.В. О дифференциальных включениях в производных в среднем / С.В. Азарина // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2006.- Воронеж: ВГУ, 2006.- С.4. .

22. Азарина, С.В. Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа в Rn / С.В. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Вестник ВГУ. Серия Физика, Математика.- 2006.- №2.- С. 138146.

23. Азарина, С.В. Исследование дифференциальных включений с производынми в среднем / С.В. Азарина // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2006.-С.213-215.

24. Azarina, S.V. Differential Inclusions with Mean Derivatives / S.V. Azarina, Yu.E. Gliklikh // Dynamic Systems and Applications.-2007.-Vol.16.- №1.- P. 49-72.

25. Азарина, С.В. Включения типа Ланжевена на римановом многообразии в терминах производных в среднем / С.В. Азарина,Ю.Б. Гликлих, А.В. Обуховский // Препринт НИИ Математики ВГУ.-2007.- №23,-16 с. .

26. Азарина, С.В. Ковариантные производные в среднем на римано-вых многообразиях и интегральные операторы с параллельным переносом / С.В. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Семинар по глобальному и стохастическому анализу.- Воронеж: ВГУ, 2007.- Вып.2-С. 4-10.

27. Азарина, С.В. Стохастические дифференциальные уравнения с производынми в среднем на многообразии петель / С.В. Азарина // Труды математического факультета ВГУ.- 2007.- №11.- С.3-9.

28. Brzezniak, Z. Stochastic differential equations on Banach manifolds / Z. Brzezniak, K.D. Elworthy // Methods of functional analysis and topology.-2000.- Vol. 6.- №1.- P. 43-84.

29. Гихман, И.И. Теория случайных процессов. В 3 т. T.III / И.И. Гих-ман, А.В. Скороход. М.: Физматлит, 1975. - 496 с.

30. Борисович, Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, Обуховский В.В.-М.: КомКнига, 2005.-216 с.

31. Клингенберг, В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клин-генберг. Пер. с англ. М.:Мир, 1982. - 416 с.

32. Далецкий, Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю.Л. Далецкий, Я.И. Белопольская. Киев: Выща Школа, 1989. - 296 с.

33. Gliklikh, Yu.E. Riemannian parallel translation in non-linear mechanics / Yu.E. Gliklikh // Lect. Notes Math. 1984. - Vol. 1108.-P. 128-151.

34. Бишоп, P.JI. Геометрия многообразий / Р.Л. Бишоп, Р.Дж. Криттенден.- М.: Мир, 1967.-336 с.

35. Партасарати, К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати.- М.: Мир, 1988.- 343 с.

36. Шутц, Б. Геометрические методы математической физики / Б. Шутц.- М.: Мир, 1984.- 303 с.

37. Желобенко, Д.П. Компактные группы Ли и их представления / Д.П. Желобенко. М.: Физматлит, 1970 - 554 с.

38. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Физматлит, 1967. - 575 с.

39. Островский, A.M. Решение уравнений и систем уравнений / A.M. Островский.- М.: Изд-во Иностранной литературы, 1963219 с.

40. Фрейдлин, М.И. О факторизации неотрицательно определенных матриц / М.И. Фрейдлин // Теория вероятностей и ее применения.- 1968.- Т. 13, №2.- С. 375-378.

41. Гельман, Б.Д. Непрерывные аппроксимации многозначных отображений и неподвижные точки / Б.Д. Гельман // Математические заметки. 2005. - Вып. 78. - №2.- С. 212-222.

42. Aubin, J.-P. Differential Inclusions. Set-valued maps and viabiity theory / J.-P. Aubin, A. Cellina. Berlin et al.: Springer-Verlag, 1984.- 350 p.

43. Крылов, M.B. Уравляемые процессы диффузионного типа / М.В. Крылов. М.: Физматлит, 1977. - 400 с.

44. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин.- М.: Наука, 1968 496с.

45. Гихман, И.И. Теория случайных процессов. В 3 т. T.I / И.И. Гих-ман, А.В. Скороход.- М.: Физматлит, 1971. 664 с.

46. Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. М.: Физматлит, 1989.- 640 с.

47. Pollard, D. Convergence of stochastic processes / D. Pollard.- Berlin ect.: Springer-Verlag, 1984.- 215 p.

48. Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин.- М.: Физматлит, 1980.- 495 с.

49. Канторович, JI.B. Функциональный анализ / JI.B. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Физматлит, 1977.- 744 с.

50. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли.- М.: Физматлит, 1977. 351 с.

51. Nash, J. The Imbedding Problem for Rimannian Manifolds / J. Nash // The Annals of Mathematics. 1956. - Vol.63. - №1. - P. 20-63.

52. Гликлих, Ю.Е. О стохастических дифференциальных уравнениях Ито на бесконечных произведениях римановых многообразий / Ю.Е. Гликлих, JI.A. Морозова // Известия РАЕН, 1998.- Т. 2.-№1.- С. 71-79.