Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Обуховский, Андрей Валерьевич

• Обуховский, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Обуховский, Андрей Валерьевич

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Многозначные отображения.

1.2. Элементы стохастического анализа.

1.3. Элементы теории римановых многообразий.

1.4. Интегральные операторы с параллельным переносом

2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римановом многообразии.

2.1. Дифференциальные включения с правой частью типа Каратеодори.

2.2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью

2.3. Двухточечная краевая задача для механических систем с отражением.

2.4. Случай систем со связями.

3. Стохастические дифференциальные включения на римановых многообразиях

3.1. Стохастические дифференциальные включения Лан-жевена

3.2. Включения типа Ито.

3.3. Дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях»

Дифференциальные включения (иными словами - дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) естественным образом возникают в различных прикладных и теоретических разделах математики и в настоящее время активно изучаются. Укажем, например, что при описании дифференциальных уравнений с управлением используется естественный переход к дифференциальному включению - в этом случае в правой части уравнения рассматривают множество значений скорости или силы при всех допустимых значениях управляющего параметра. Другой широко известный случай возникновения дифференциальных включений -когда включениями заменяют дифференциальные уравнения, у которых правая часть существенным образом разрывна. Для этого разработан уже ставший стандартным прием, предложенный А.Ф. Филипповым. В связи с большим прикладным и теоретическим значением дифференциальных включений с 50-х годов прошлого века началось бурное развитие этой теории. Укажем, например, современное монографическое изложение различных ее аспектов, принадлежащее J.P. Aubin и A. Cellina, К. Deimling, А.А. Толсто-ногову, А.Ф. Филиппову и др.

Задачи с управлением и с разрывными правыми частями на гладких многообразиях также исследовались методами теории дифференциальных включений (M.L.J. Hautus, G. Stefani и P. Zecca, Б.Д. Гельман и Ю.Е. Гликлих, G. Grammel и др., [37], [45], [7], [36], [15], [35]). Они описывают системы на нелинейных конфигурационных и фазовых пространствах, и их исследование существенно использует геометрические идеи. Однако из-за значительно более сложного аппарата включения на многообразиях были изучены в меньшей степени, чем в линейных пространствах.

В последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работ E.D. Conway [28], J.P. Aubin и G. Da Prato [25] активно развивается теория стохастических дифференциальных включений, (см. также, например, [8], [41], [29], [44]). Заметную роль здесь играют представители польской школы (М. Киселевич, Е. Мотыль, М. Михта и др.). Наиболее часто в приложениях стохастические дифференциальные включения возникают из стохастических дифференциальных уравнений аналогично нестохастическому случаю.

Изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях было начато работой Ито 1950 г. и к настоящему времени получило большое развитие (имеется монографическое изложение в книгах K.D. Elworthy [31], Ю.Л. Далецкого и Я.И. Бело-польской [1], Ю.Е. Гликлиха [15], М. Emery [32], Е. P. Hsu [38] и др.). Отметим, что даже изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях является существенно более сложной задачей, чем в линейных пространствах, и требует значительно более сложной техники, основанной на современной геометрии многообразий. Поэтому стохастические дифференциальные включения на многообразиях ранее практически не исследовались несмотря на то, что они естественно возникают во многих задачах.

Одним из наиболее важных для приложений классов дифференциальных включений являются дифференциальные включения второго порядка, которые имеют физический смысл механических систем с многозначной силой. В терминах подобных включений описываются системы с управляющей силой или с разрывными силами (движение в сложных средах, в присутствии сухого трения и т.д.). Подобные системы на многообразиях позволяют включить в рассмотрение случай нелинейных конфигурационных пространств. В работе Б.Д. Гельмана и Ю.Е. Гликлиха 1980 г. [7] были разработаны новые геометрические методы и получены важные результаты о качественном поведении решений подобных включений, учитывающие геометрические и топологические свойства конфигурационного пространства. Однако в этой работе рассматри вались только полунепрерывные сверху многозначные силы с выпуклыми образами. Для других типов многозначных сил, также встречающихся в приложениях, подобное исследование не проводилось.

Отметим, что качественное поведение решений дифференциальных уравнений и включений на многообразиях может существенно отличаться от их аналогов в линейных пространствах. Имеются Л примеры (см. [15], [35]) дифференциальных уравнений второго порядка на компактных римановых многообразиях с гладкой ограниченной правой частью, в которых некоторые пары точек нельзя соединить решением (двухточечная краевая задача не разрешима ни на каком отрезке времени). В связи с этим важным является изучение двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений второго порядка на многообразиях и использование полученных условий разрешимости, в частности, в задаче об управляемости для механических систем. Ранее подобные исследования были проведены только для достаточно простого случая многозначных полунепрерывных сверху сил на многообразиях без края.

Особо следует упомянуть системы с неголономными связями, для которых корректно поставлена задача о возможности выпустить из заданной точки такое решение, которое достигает заданного подмногообразия конфигурационного пространства (обычная двухточечная краевая задача для них некорректна, см. например [14], [15], [35]). Отметим, что ранее рассматривались только диф-♦ ференциальные включения с неголономными связями, у которых правая часть полунепрерывна сверху и имеет выпуклые образы [14], [15], [35].

Учет случайных возмущений силы или скорости в задачах, описываемых дифференциальными включениями второго порядка на многообразиях, т.е. переход к стохастическим дифференциальным включениям второго порядка на многообразиях и их исследование, ранее не были осуществлены. Более того, для ряда важных физических задач, приводящих к подобным включениям, даже не была создана адекватная математическая формализация.

Целью работы является изучение дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях (как детерминированных, так и стохастических), возникающих в математической физике при описании движения с разрывными силами или скоростями или в системах с управлением; изучение качественного поведения решений детерминированных включений указанного типа, в частности, вопроса о разрешимости двухточечной краевой задачи (вариант задачи об управляемости); создание адекватного математического описания на языке стохастических дифференциальных включений второго порядка на римановых многообразиях для некоторых физических задач, исследование вопроса о существовании решений (сильных и слабых) для различных классов указанных стохастических дифференциальных включений.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа и стохастического анализа на многообразиях, в частности, разработанный Ю.Е. Гликлихом метод интегральных операторов с римановым параллельным переносом и годографов скорости.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. На полных римановых многообразиях найдены геометрические условия разрешимости двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений второго порядка, удовлетворяющих верхним условиям Каратеодори

2. На полных римановых многообразиях исследованы дифференциальные включения с полунепрерывной снизу правой частью и получена теорема существования решения для двухточечной краевой задачи. Рассмотрены приложения данной теоремы в задаче об управляемости при экстремальных значениях управляющей силы.

3. На языке дифференциальных включений описана механическая система на римановом многообразии с отражением на границе некоторой области; получена теорема существования решения двухточечной краевой задачи для таких систем в области с гладкой границей.

4. Изучены дифференциальные включения второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью на римановых многообразиях, подчиненные неголономным связям; найдены некоторые условия существования решений, соединяющих заданную точку с заданным подмногообразием.

5. Введены стохастические дифференциальные включения типа Ланжевена на римановых многообразиях, для которых доказаны теоремы существования слабых и сильных решений.

6. Изучены стохастические дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости в евклидовом пространстве и получена теорема существования их ослабленного решения.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также с силовыми полями, содержащими случайную (стохастическую) составляющую.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Сиенна, Италия, 2000), на международных научных конференциях по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2000, 2002, 2004 гг.), на международной научной конференции Stochastic Analysis and Related Topics (Санкт - Петербург 2001), на международной научной конференции International Gnedenko Conference(KneB, 2002), на международной научной конференции Kolmogorov and Contemporary Mathematics (Москва, 2003), на международной научной конференции Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений (Воронеж, 2003), на Воронежских зимних математических школах 2002 и 2004 гг., на семинаре по стохастическим методам в финансовой математики кафедры дифференциальных уравнений МГУ (апрель, 2004), на научных сессиях института математики и математического факультета ВГУ (2000 - 2004 гг.).

Основные результаты опубликованы в работах [47] - [62]. Из совместных работ [47, 48, 51, 52, 53, 55, 56, 59] в диссертацию вошли только принадлежащие А.В. Обуховскому результаты.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на одиннадцать параграфов и списка литературы

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Обуховский, Андрей Валерьевич, 2004 год

1. Белопольская Я.И. Стохастические дифференциальные уравнения и дифференциальная геометрия/Я.И. Белопольская, Ю.Л. Далецкий. -Киев, 1989.

2. Бишоп Р. Геометрия многообразий/ Р. Бишоп, Р. Криттенден. -Москва: Мир, 1967.- С. 335.

3. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отобра-жений/Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А .Д. Мышкис, В.В Обуховский.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 104 с.

4. Борисович Ю.Г. О числе Лефшеца для одного класса многозначных отображений/ Ю.Г. Борисович, Ю.Е. Гликлих// Седьмая летняя математическая школа, Киев: ИМ АН УССР, 1970.- С. 283-294.

5. Вершик A.M. Дифференциальная геометрия и Лагранжева механика со связями/А.М. Вершик, Л. Д. Фаддеев// Докл. АН СССР. 1972.- Т. 202, N3. - С.555-557.

6. Вершик A.M. Классическая и неклассическая механика со связями/А.М. Вершик// Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1984.- С. 23-48.

7. Гельман Б.Д. Двухточечная краевая задача в нелинейной механике с разрывными силами/Б.Д. Гельман, Ю.Е. Гликлих// Прикладная математика и механика 44 (1980), 565-569.

8. Гельман Б.Д. Многозначный интеграл Ито/Б.Д. Гельман, Ю.Е. Гликлих// Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложений. Куйбышев: КГУ, 1984. -С. 46-54.

9. Гихман И.И. Теория стохастических процессов/И.И. Гихман, А.В. Скороход. Москва: Наука, Т.1. 1975.

10. Гихман И.И. Теория стохастических процессов/И.И. Гихман, А.В. Скороход. Москва: Наука, Т.З. 1975.98

11. Гликлих Ю.Е. О геометризации одного класса механических систем со случайными возмущениями силы/ Ю.Е. Гликлих, И.В. Федоренко// Воронежск. гос. ун-т. Воронеж 1980. Деп. в ВИНИТИ 21.10.80. N 4481.

12. Гликлих Ю.Е. Об уравнениях геометрической механики со случайными силовыми полями/ Ю.Е. Гликлих, И.В. Федо-ренко//Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1981. -С. 64-72.

13. Гликлих Ю.Е. Интегральные операторы на многообразии /Ю.Е. Гликлих//Тр. мат. ф-та Воронежск. ун-та. Воронеж, 1971. Вып. 4.

14. Гликлих Ю.Е. Операторы интегрального типа и дифференциальные включения на многообразиях, подчиненные неинво-лютивным распределениям/Ю.Е. Гликлих // Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии.- Киев: Институт мат. АН УССР, 1988.- С.22-28.

15. Гликлих Ю.Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики/Ю.Е. Гликлих.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989.- 189 с.

16. Иосида К. Функциональный анализ/ К. Иосида. Москва: Мир,1967.

17. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функциональный анализ/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.- Москва: Наука,1968.

18. Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов/ Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев.- Москва: Наука, 1974.

19. Мышкис А.Д. Обобщение теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории/ А.Д. Мышкис// Мат. сборник. 1954, Т. 34, N 3. С. 525-540.

20. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве/ А.А. Толстоногов.- Новосибирск: Наука, 1986.296 с.

21. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов- М.: Наука, 1985.- 224 с.

22. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Ф. Хартман.- М.,1970.

23. Ширяев А.Н. Вероятность/ А.Н. Ширяев.- Москва: Наука, 1989.

24. Aubin J.P,, Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viabil-iti Theory/J.P. Aubin, A. Cellina. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1984. -342 p.

25. Aubin J.P. Stochastic viability and invariance/J.P. Aubin, G. Da Prato // Annali Scuola Normale Supriore di Pisa 17, 595-613 (1990).

26. Billingsley P. Convergence of Probability Measures. New York et al.: Wiley, 1969.

27. Bressan A. Extensions and selections of maps with decomposable values/ A. Bressan, G. Colombo// Studia Math.- 1988. -V. 90. -P. 69-86.

28. Conway E.D. Stochastic equations with discontinuous drift/ E.D. Conway // Trans. Amer. Math. Soc, 1971, vol. 157, N 1.- p. 235245.

29. DaPrato A.G. A stochastic Filippov theorem/ A.G. DaPrato, H. Francowska// Stoch. Anal. Appl. 12(4) (1994) 409-426.

30. Deimling K. Multivalued differential equations/K. Deimling.-Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992.

31. Elworthy K.D. Stochastic Differential Equations on Manifolds /K.D. Elworthy.- Cambridge University Press, 1982.-342 p.

32. Emery M. Stoxchastic Calculus in Manifolds /Michel Emery.-Berlin et al.: Springer-Verlag, 1989.- 161 p.

33. Gliklikh Yu.E. Riemannian parallel translation in non-linear mechanics /Yu.E. Gliklikh//Lect. Notes Math., 1984, v. 1108.- p. 128-151

34. Gliklikh Yu.E. Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics/Yu.E. Gliklikh.- Dordrecht: Kluwer, 1996.- xvi+189 p.

35. Gliklikh Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods/Yu.E. Gliklikh.- New York: Springer-Verlag, 1997.- xv+213 p.

36. Grammel G. Controllability of differential inclusions/G. Gram-mel// Journal of Dynamical and Control Systems.- 1995.- Vol. 1.- No. 4.- P. 581-595.

37. Hautus M.L.J. Optimal control on manifolds/M.L.J. Hautus// Geometric methods in system theory (ed. by D.Q. Mayne, R.W. Brockett) Dodrech-Boston, Reidel, 1973.

38. Hsu E.P. Stochastic Analysis on Manifolds /Elton P. Hsu.- Providence R.I.: AMS, 2002.- 295 p.

39. Ito K. On stochastic differential equations on a differentiable manifold /К. Ito //Nagoya Math. Journal.- 1950.- V. 1.- No. 1.- P.35-47.

40. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces/M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca P.- Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

41. Kisielewicz M. Properties of solution sets of stochastic inclusions /М. Kisielewicz // Journal Appl. Math, and Stoch. Ananl.- 1993.-Vol. 6.- No. 3.- P. 217-236.

42. Kisielewicz M. Some remarks on boundary value problem for differential inclusion/M. Kisielewicz// Discussiones Mathematicae-Differential Inclusions 17 (1997), 43-50.

43. Kryszewski W. Homotopy properties of set-valued mappings/ W. Kryszewski. -Torun: Torun University, 1997.- 243 p.

44. Motyl J. On the Solution of Stochastic Differential Inclusion/J. Motyl// Journal of mathematical analysis and applications, 1995, v. 192.- p. 117-132.

45. Stefani G., Zecca P. Multivalued Differential Equations on manifolds with appliation to control theory/ Gianna Stefani, Pietro Zecca// Ilinois journal of mathematics. V. 24, No 4, Winter 1980.-P. 560-575.

46. Parthasarathy K.R. Introduction to Probability and Measure. New York: Springer-Verlag, 1978.

47. Obukhovskii A.V. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian Manifolds/Yu. E. Gliklikh, A. V. Obukhovskii// Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization.- 2001.- Vol. 21.- No. 2.- P. 173190.

48. Обуховскиий А.В. О теоремах существования решений для включений типа Ланжевена на римановых многообразиях /А.В. Обуховский// Труды математического факультета ВГУ.- 2001.- N 6,- С. 102-106.

49. Obukhovskii А. V. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian Manifolds/A.V. Obukhovskii// InternationalConference "Stochastic Analysis and Related Topics", St. Petersburg, Russia, June 4-10.- S.-Peterburg, 2001.- P. 57-59.

50. Обуховский А.В. Стохастические дифференциальные включения типа Ито на римановых многообразиях/Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский// Труды математического факультета ВГУ.-2002.- N 7.- С. 25-32.

51. Обуховский А.В. К теории стохастических дифференциальных включений на римановых многообразиях/ Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский // Воронежская зимняя математическая школа 2002.- Воронеж: ВГУ, 2002.- С. 17

52. Obukhovskii А. V. Stochastic Differential Inclusions of ltd type on Riemannian manifolds / Obukhovskii A. V. // International Gnedenko Conference (Kyiv, June 3-7, 2002). Abstracts.- Kyiv, 2002.- P. 169.

53. Обуховский А.В. Стохастические дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости / Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский// Вестник ВГУ Сер. Физика, Математика.- 2003.- N 1. -С. 93-96.

54. Обуховский А.В. Выживающие решения двухточечной краевой задачи для включения второго порядка на римановых многообразиях / Ю.Е. Гликлих, А.В. Обуховский // Вестник ВГУ Сер. Физика, математика.- 2003.- N 2. -С. 144-150.

55. Обуховский А.В. К задаче об управляемости для неголоном-ных механических систем на римановых многообразиях / А.В. Обуховский // Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж, 2003.- С. 94-102.

56. Obukhovskii A.V. On a two point boundary value problem for second-order differential inclusions on Riemannian manifolds / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Abstract and Applied Analysis. Vol 10. - 2003. - C.591-600.

57. Obukhovskii A. V. On second order stochastic differential inclusions on Riemannian manifolds / A.V. Obukhovskii // International conference Kolmogorov and contemporary mathematics , Moscow, June 16-21, 2003 (Abstracts).- C. 528-529.

58. Обуховский А.В. Неголономные механические системы с многозначной силой на римановых многообразиях / А.В. Обуховский // Воронежская зимняя математическая школа 2004. Тезисы докладов. -С. 85-86.