Управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Ляшенко, Елена Александровна

• Ляшенко, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ляшенко, Елена Александровна

i Введение

1 Линейно-квадратичное управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами

1.1 Синтез статического регулятора.

1.2 Синтез динамического регулятора.

1.3 Выводы.

2 Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами

2.1 Методология прогнозирующего управления.

2.2 Прогнозирующее управление с замкнутой обратной связью

2.3 Прогнозирующее управление разомкнутого типа.

2.4 Выводы.

3 Управление инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью 3.1 Модель инвестиционного портфеля со стохастической волатильностью

3.2 Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем

3.3 Активное управление

3.4 Численное моделирование.

3.5 Управление инвестиционным портфелем в условиях стохастической волатильности, линейно зависящей от случайных параметров.

3.5.1 Многомерная модель цен финансовых активов со стохастической волатильностью, линейно зависящей (щ от случайных параметров

3.5.2 Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем

3.5.3 Активное управление

3.5.4 Численное моделирование .'.

3.6 Выводы.

4 Применение метода управления с прогнозированием к оптимизации инвестиционного портфеля: учет трансак-ционных издержек и ограничений на объемы торговых операций

4.1 Динамическая модель инвестиционного портфеля с учетом трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

4.2 Управление инвестиционным портфелем

4.3 Активное управление

4.4 Численное моделирование.

4.5 Моделирование с использованием реальных данных

4.6 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля»

Широкий класс реальных систем, параметры которых точно неизвестны и меняются случайным образом, описывается линейными моделями со случайными параметрами. Примерами могут служить сложные производственно-технологические системы, склонные с отказам, энергетические и технические системы (ядерный реактор; летательный аппарат; система наведения на объект, уклоняющийся от встречи), экономические процессы (управление инвестиционным портфелем (ИП)). Проблема синтеза регуляторов для таких систем рассматривалась во многих работах, что обусловлено ее теоретической и практической важностью. Задаче управления линейными системами со случайными параметрами в непрерывном времени посвящены работы [4, 27, 28, 30, 32, 39, 43, 44, 72, 78, 100, 108, 113, 133]. Системы со случайными параметрами в дискретном времени рассматриваются в [22, 26, 27, 32, 37, 38, 63, 66, 71, 79, 128, 134].

Управление по критерию чувствительному к риску для систем со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи рассматривалось в [128].

В [71] авторы с помощью метода динамического программирования получили оптимальное управление с обратной связью по состоянию для полностью наблюдаемой линейной системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи с известной матрицей переходных вероятностей. В [79] рассматриваются полностью наблюдаемые линейные системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи с неизвестными переходными вероятностями. Для решения задачи построения линейного регулятора для таких систем на бесконечном горизонте предложен итерационный метод, основанный на имитационном моделировании методом Монте-Карло.

Системам с мультипликативными шумами и случайными параметрами посвящены работы [32, 38, 44, 100, 113], в которых предполагается, что случайные параметры принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи.

В [44] рассматривается алгоритм синтеза систем слежения по интегральному квадратичному критерию для непрерывных объектов с мультипликативными возмущениями и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний. Предполагается, что в канале наблюдения отсутствуют случайные параметры и шумы. С использованием принципа динамического программирования получено оптимальное управление в виде обратной связи по вектору измеряемого выхода. Полученный закон управления является линейным относительно выхода системы и зависит от текущего состояния цепи.

В [38] решается задача оптимальной стабилизации линейной дискретной системы с аддитивными и мультипликативными шумами и случайной структурой, меняющейся в соответствии с эволюцией стационарной марковской цепи с известной стохастической'матрицей. Предполагается, что вектор состояния доступен наблюдению. С использованием метода динамического программирования показано, что оптимальное управление с обратной связью по состоянию является линейным, причем матричный коэффициент усиления зависит от текущего состояния марковской цепи.

В [113] исследуется задача линейно-квадратичного управления на бесконечном горизонте для линейной стохастической системы со случайной структурой и мультипликативными шумами в непрерывном времени. Параметры системы принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи с известными постоянными переходными вероятностями. В работе рассматривается случай полной информации о векторе состояния системы. Оптимальное управление получается путем усреднения оптимальных управлений при всевозможных состояниях марковской цепи на текущем шаге. Для получения оптимального управления авторы используют подход, основанный на линейных матричных неравенствах.

В [32] рассматриваются системы с мультипликативными шумами и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний, как в дискретном, так и в непрерывном времени. Решены задача линейно-квадратичного управления в случае, когда вектор состояния системы доступен наблюдению, и задача построения динамического регулятора в случае, когда канал наблюдений также имеет случайную структуру, меняющуюся в соответствии с эволюцией марковской цепи.

Необходимо отметить, что в работах [32, 38, 44] оптимальное управление зависит от текущего состояния марковской цепи, которое на практике часто недоступно наблюдению, следовательно необходимы дополнительные алгоритмы для оценивания состояния марковской цепи.

В работах [1, 29, 34 - 36, 45, 64, 65, 80, 118, 123, 124, 137, 138] рассматривается управление системами с мультипликативными шумами и неслучайными известными параметрами. Для получения оптимального управления используются метод динамического программирования, матричный принцип минимума, метод множителей Лагранжа, теоретико-игровой подход.

В вышеупомянутых работах рассматриваются задачи управления без учета явных ограничений на переменные управления и состояния системы. Однако на практике к системам часто предъявляются требования связанные как с непосредственными издержками, такими как энергетические затраты, так и с экологическими нормами и требованиями безопасности. Такие требования обычно носят форму ограничений, предъявляемых к системе. Различают два вида ограничений: на переменные управления (максимальная скорость потока в гидравлических системах определяется диаметром трубы, клапаны имеют ограниченный диапазон регулировки, затраты энергии ограничены мощностью установки) и на выход системы (требования к качеству производимой продукции, экологические нормы, требования безопасности). Известно, что применение традиционных подходов к синтезу управления с обратной связью при ограничениях, например, с использованием метода динамического программирования, приводит к проблеме, названной Беллманом "проклятие размерности" [3], которая в конечном итоге не позволяет решить поставленную задачу численно. В связи с этим были разработаны различные подходы к учету ограничений в динамических моделях, такие как добавление в критерий качества штрафов за невыполнение ограничений [54], схема "anti-windup" [62, 96], учитывающая эффект насыщения системы.

Одним из эффективных подходов к синтезу систем управления при ограничениях, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление с прогнозированием)^, 50, 57 - 61, 81, 103, 106, 109, 116, 125, 126, 129]. Преимуществом этого метода является возможность достаточно просто учитывать явные ограничения на переменные состояния и управления, при этом получается стратегия управления с обратной связью. При учете ограничений синтез стратегий управления с прогнозированием обычно сводится (в зависимости от выбора критерия) к решению задач линейного [42, 57] или квадратичного [129] программирования, для решения которых существуют эффективные методы [8].

Проблеме управления динамическими системами с использованием метода управления с прогнозированием посвящены многие работы, обзор которых приведен в [125]. В большинстве работ рассматриваются детерминированные системы [57- 59, 61, 106, 126, 129]. В [126,129] синтезируется управление стационарными полностью наблюдаемыми системами. В [129] линейные ограничения накладываются только на переменные управления. В [126] наложены ограничения общего вида как на переменные управления, так и на состояние системы. В [57 - 59, 61] рассматривается задача управления стационарными неполностью наблюдаемыми системами при ограничениях на управляющие воздействия и выход системы. В [106] - управление нестационарными неполностью наблюдаемыми системами при линейных ограничениях на переменные управления и выход системы. В работах [59, 61, 106, 126, 129] синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования, а в работах [57, 58] - линейного программирования.

Управление с прогнозированием для стохастических систем рассматривается в [49, 50, 60, 81, 103, 109, 116]. Управление неполностью наблюдаемыми системами, возмущенными аддитивными шумами, представлено в [49, 50]. Предполагается, что амплитуды шумов ограничены, а ограничения на вектор управления и состояния системы должны выполняться для любых значений шумов. Решается задача управления по минимаксному критерию (максимум ищется по всевозможным значениям шумов, а минимум по допустимым управлениям). В каждый момент времени для нахождения оптимального управления решается задача квадратичного программирования. В [103] решается задача управления для систем с аддитивными белыми гауссовскими шумами и неизвестными параметрами. Предполагается, что параметры принадлежат ограниченному множеству. Также как и в [81, 109] проводится минимизация квадратичного критерия, в котором переменные состояния системы заменены на их прогнозы. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. Проведенный анализ литературы позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время отсутствуют работы, посвященные задачам управления с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами.

Важной областью приложений теории управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, является финансовая инженерия, где подобные модели используются для описания эволюции ИП [6, 12, 13, 17, 18, 20, 55, 77, 89, 90, 122, 127, 139]. Проблема управления ИП является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [46]. Можно выделить два основных подхода к ее решению. Классический подход, предложенный в [117, 135], и последующие его модификации [92, 95, 117, 135, 140], исходят из предположения о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизировать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке.

Второй подход основан на построении динамических моделей ИП и использовании для выбора оптимальной структуры портфеля методов теории стохастического управления [5 - 7,10, 23 - 25, 46, 51, 56, 66 - 70, 74, 75, 77, 87, 88, 98, 101, 102, 105, 110, 112, 114, 119, 120, 127, 132]. Классическая оптимизационная проблема в динамической постановке заключается в определении стратегии управления ИП, максимизирующей некоторую интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и конечного богатства. За исключением весьма ограниченного набора функций полезности, для которых решение можно получить аналитически [119], такой подход приводит к трудной проблеме численного решения уравнений динамического программирования Беллмана [110].

В работах [5, 6, 10, 23, 24, 88] задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую доходность. В работах [7, 25, 51, 56, 74, 87] рассматривается так называемая задача активного управления [46, 74], целью которой является превышение в среднем капитала некоторого индексного (базового) портфеля. Достаточно полный обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [127].

В большинстве работ по управлению ИП,предполагается, что транс

• акционные издержки несущественны, также в них не учитываются ограничения на доли вложений в отдельные виды финансовых активов. Это приводит к субоптимальному управлению, но позволяет использовать более простые алгоритмы при синтезе управляющих воздействий. Модели, учитывающие трансакционные издержки и ограничения на доли вложений в финансовые активы, более точно описывают ситуацию, сложившуюся на реальных финансовых рынках, но процедуры поиска оптимальных управлений в этом случае значительно усложняются. Обф зор работ, учитывающих трансакционные издержки для моделей ИП в непрерывном времени дан в [75]. В этих работах применяются методы ft классической теории стохастического управления, оптимальной остановки, стохастического импульсного управления и др. В большинстве работ задача решается только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив. При учете трансакционных издержек и ограничений на объемы инвестиций и торговых операций оптимизация ИП, содержащего несколько рисковых активов, приводит к сложным- алгоритмам управления в непрерывном времени.

В рамках проблемы оптимального управления ИП возникает вопрос о выборе адекватной модели динамики цен рисковых активов. В большинстве работ по управлению ИП в качестве модели эволюции цен рисковых активов принята классическая модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [119] с детерминированной вола-тильностью (изменчивостью) [5, 56, 67, 75, 76, 88, 91, 114, 115, 119, 127, 132] или ее дискретизованный вариант [5, 10, 76]. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся (случайной) волатильностью [47, 48, 73, 82, 93, 99, 107, 130, 131, 136]. Такие модели можно разбить на два класса [130]. Первый - это модели, управляемые данными - в этом случае волатильность зависит от прошлых значений временного ряда. К такому классу относятся авторегрессионные модели типа ARCH и ее обобщения, такие как GARCH, t-GARCH, log-GARCH, EGARCH, IGARCH, FIARGH и др. [48, 107, 130]. Второй класс составляют модели, управляемые параметрами, в которых волатильность зависит от некоторых ненаблюдаемых компонент (латентной структуры). Представителями этого класса являются так называемые SV-модели (модели стохастической волатильности, stochastic volatility models), которые достаточно хорошо отражают эффекты "самовозбуждения" волатильности (volatility clustering), наблюдаемые на реальных финансовых рынках [48,107,130,131]. Заметим, что исследование модели ИП в условиях стохастической волатильности цен рисковых финансовых активов приводит к необходимости рассмотрения систем с мультипликативными шумами и случайными параметрами.

Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения оптимального управления для систем со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение результатов для управления ИП. Это, в свою очередь, обуславливает актуальность настоящей диссертационной работы, целью которой является:

1) синтез регуляторов для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений;

2) синтез стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при явных ограничениях на управляющие переменные;

3) синтез стратегий управления ИП в условиях стохастической вола-тильности доходностей рисковых финансовых активов;

4) синтез стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории автоматического управления (метод динамического программирования, матричный принцип максимума), методология управления с прогнозированием, численные методы (метод квадратичного программирования) и методы имитационного моделирования.

Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие.

1) Уравнения синтеза линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.

2) Метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.

3) Уравнения синтеза стратегий управления ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов.

4) Динамические модели управления ИП в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования.

5) Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. В вырожденном случае (когда параметры системы не случайны) получаются известные формулы для систем с аддитивными и мультипликативными шумами.

Теоретическая и практическая ценность

Решена задача синтеза статического и динамического регуляторов по выходу для систем с аддитивными и мультипликативными шумами и со случайными параметрами, для которых известны только первые два момента распределения. Разработан метод синтеза оптимальных стратегий управления для таких систем с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Построены модели и предложен метод управления ИП в условиях стохастической волатильности с учетом трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов при решении задач оптимального управления широким классом объектов, динамика которых описывается системами со случайными параметрами и шумами, зависящими от состояния и управления, такими как, летательные аппараты, химические процессы, ИП в условиях стохастической волатильности.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (акт о внедрении прилагается).

Структура и объем работы

Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 48 рисунков. Список литературы включает 141 наименование. Общий объем работы - 130 страниц.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Ляшенко, Елена Александровна

4.6 Выводы

В данной главе предложена многомерная модель ИП в пространстве состояний, учитывающая трансакционные издержки и ограничения на объемы торговых операций. Цены рисковых финансовых активов подчиняются стохастическим разностным уравнениям со случайной волатильностью.

Получены уравнения синтеза прогнозирующих стратегий управления с обратной связью при явных ограничениях на управляющие переменные для двух задач управления ИП, целями которых являются:

- слежение за эталонным (гипотетическим) портфелем с желаемой доходностью, задаваемой инвестором,

- превышение капитала индексного портфеля, отражающего состояние рынка (активное управление).

Приведены результаты численного моделирования и моделирования с использованием реальных данных.

Заключение

В данной диссертационной работе рассматривается управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение полученных результатов к оптимизации ИП. Получены следующие основные результаты.

1) Уравнения синтеза линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.

2) Метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.

3) Уравнения синтеза стратегий управления ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов.

4) Динамические модели управления ИП" в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакционных издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования.

5) Уравнения синтеза стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ляшенко, Елена Александровна, 2005 год

1. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. - М.: Наука, 1971.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

3. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969.

4. Вонэм В.М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика: Сборник переводов. 1973. - Т. 17, № 5. - С. 82-114.

5. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратичной функции риска // Автоматика и телемеханика. 2002. '- № 2. - С. 119-128.

6. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов // Автоматика и телемеханика. 2003. - № 7. - С. 77-86.

7. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. -М.: Мир, 1985.

8. Домбровский В.В. Синтез оптимальных динамических регуляторов пониженного порядка для нестационарных линейных дискретных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1996. - № 4. - С. 79-86.

9. Домбровский В.В., Гальперин В.А. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем при квадратической функции риска // Вестник Томского государственного университета. 2000. - Январь. - № 269. - С. 73-75.

10. Домбровский В. В., Герасимов Е. С. Динамическая сетевая модель управления порфелем ценных бумаг в непрерывном времени при квадратичной функции риска // Вестник Томского государственного университета. 2000. - Январь. - № 269. - С. 70-73.

11. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А.

12. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. -2005. № 4. - С. 84-97.

13. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Прогнозирующее управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами // Вестник Томского государственного университета. 2004. - № 284 - С. 148-151.

14. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2003. -№ 10. - С. 50-65.

15. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью // Автоматика и вычислительная техника. 2003. - № 5. - С. 12-21.

16. Домбровский В.В., Смагин В.И. Робастные локально-оптимальные следящие системы управления // Известия Вузов. Физика. 1995. - № 9. - С. 96-99.

17. Домбровский В.В., Федосов Е.Н. Модель управления инвестиционным портфелем в пространстве состояний на нестационарном диффузионно-скачкообразном финансовом рынке // Автоматика и вычислительная техника. 2002. - № 6. - С. 13-24.

18. Домбровский В.В.,Чикунова Е.В. Синтез динамических регуляторов пониженного порядка для систем со случайными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. -№ 2. - С. 97-101.

19. Казаков И.Е. Стохастические системы со случайной сменой структуры. // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. -1989. - № 1. - С. 58-78.

20. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980.

21. Красовский Н.Н. О стабилизации систем, в которых помеха зависит от величины управляющего воздействия // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. 1965. - № 2. - С. 102-109.

22. Красовский Н.Н.,: Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. 1961. - № 9. - С. 1145-1150.

23. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. 1995. - Т. 31, N2 1. -С. 138-150.

24. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления, (обзор). Ч.Н. // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. 1990.- № 2. С. 97-119.

25. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

26. Пакшин П.В. Оптимальное управление дискретными объектами с шумами, зависящими от состояния и управления // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 3. - С. 43-54.

27. Пакшин П.В. Оценивание состояния и синтез управления для дискретных линейных систем с аддитивными и мультипликативными шумами // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 4. - С. 75-85.

28. Пакшин П.В. Достаточные условия эргодичности и оптимальное стационарное управление для дискретных стохастических систем // Проблемы управления и теории информации. 1978. - Т. 7, № 4.- С. 277-294.

29. Пакшин П.В. Оптимальное линейное управление дискретными объектами при случайном скачкообразном изменении их параметров // Проблемы управления и теории информации. 1982. - Т. 11, № 3. - С. 179-193.

30. Пакшин П.В. Устойчивость дискретных систем со случайной структурой при постоянно действующих возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1983. - N2 6. - С. 75-85.

31. Параев Ю.И. Введение статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М: Сов. радио, 1976.

32. Первозванский А.А. Оптимальный "портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке // Экономика и математические методы. 1999. - Т. 35, № 3. - С. 63-68.

33. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: ИНФРА-М, 1994.

34. Пропой А.И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1963. - № 7. - С. 912-920.

35. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: ТГУ, 1996.

36. Смагин В.И., Поползухина Е.В. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. 2000. - Июнь. - N2 271. -С. 171-175.

37. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

38. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997.

39. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатильность // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1996. - Т. 3. - С. 764-826.

40. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. - Т. 2, № 4. - С. 527-555.

41. Alamo Т., Репа D.M., Camacho E.F. Min max МРС based on a graph problem // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 917-922.

42. Alamo Т., Репа D.M., Limon D., Camacho E.F.

43. Constrained min-max predictive control: a polynomial-time approach // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control.• 2003. P. 912-916.

44. Albeverio S., Lao L.J., Zhao X.L. On-line portfolio selection strategy with prediction in the presence ■ of transaction costs // Mathematical Methods of Operations Research. 2001. - № 54. - P. 133-161.

45. Albeverio S., Steblovskaya V. A Model of Financial Market with Several Interacting Assets. Complete Market Case // Finance and Stochastics. 2002. - № 6. - P. 383-396.

46. Athans M. The Matrix Minimum Principle // Inform. Control.1968. Vol. 11. - P. 592-606.

47. Batina I., Stoorvogel A. A., Weiland S. Optimal control of linear, stochastic systems with state and input constraints // Proceedings of the 41th IEEE Conference on Decision and Control. Las Vegas, Nevada, USA, 2002. P. 1564-1569.

48. Bauerle N., Rieder U. Portfolio Optimization With Markov-Modulated Stock Prices and Interest Rates // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. - V. 49, № 3. - P. 442-447.• 56. Baviera R. Transaction Costs: A New Point Of View // International

49. Journal of Theoretical and Applied Finance. 2001. - Vol. 4, № 2. -P. 335-354.

50. Bemporad A., Borrelli F., Morari M. Model Predictive Control Based on Linear Programming The Explicit Solution // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, № 12. - P. 19741985.

51. Bemporad A., Borrelli F., Morari M. The Explicit Solution of Constrained LP-Based Receding Horizon Control // Proceedings of the39.th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000 P. 632637.

52. Bemporad A., Filippi C. Suboptimal Explicit MPC via Approximate Multiparametric Quadratic Programming // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4851-4856.

53. Bemporad A., Morari M., Dua V., Pistikopoulos E.N.

54. The explicit linear quadratic regulator for constrained systems // Automatica. 2002. - № 38. - P. 3-20.

55. Bendotti P., Praly L., Rouchon P., Falinower C.-M.

56. Constrained Control for a Pressurized Water Reactor // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. 1998. P. 47084713.

57. Benjelloun K., Boukas E.K., Shi E.K. Robust Stochastic Stability Of Discrete-Time Linear Systems With Markovian Jumping Parameters // Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control. 1997. P. 559-564.

58. Bernstein D. S. Robust Static And Dynamic Output Feedback Stabilization: Deterministic And Stochastic Perspectives // IEEE Transactions on Automatic Control. 1987. - Vol. 32, № 12. - P. 10761084.

59. Bernstein D.S., Haddad W.M. Optimal projection equations for discrete-time fixed-order dynamic compensation of linear systems with multiplicative white noise // International Journal of Control 1987. - Vol. 46, № 1. - P.65-73.

60. Bielecki Т., Hernandez-Hernandez D., Pliska S.R. Risk sensitive control of finite state Markov chains in discrete time, with applications to portfolio management // Mathematical Methods of Operations Research. 1999. - № 50. - P. 167-188.

61. Bielecki Т., Jin H., Pliska S.R., Zhou X.Y Continuous-Time Mean-Variance Portfolio Choice with No Bankruptcy Constraint // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 5945-5950.

62. Bielecki Т., Pliska S.R. Risk sensitive asset management with transaction costs // Finance and Stochastics. 2000. - № 4. - P. 1-33.

63. Bielecki Т., Pliska S.R. Risk-Sensitive Dynamic Asset Managment // Applied Mathematics and Optimization. 1999. - Vol. 39. - P. 337360.

64. Billio M., Pellizon L. Value-at-Risk: a multivariate switching regime approach // Journal of Empirical Finance. 2000. - № 7. - P. 531-554.

65. Blair W.P.Jr., Sworder D.D. Feedback Control of a Class of Linear Systems with Jump Parameters and Quadratic cost criteria // International Journal of Control 1975. - Vol. 21, № 5. - P. 833-841.

66. Boukas E.K., Yang H. Robust LQ Regulator for Jump Linear Systems with Uncertain Parameters // Dynamics and Control. 1999. - №. 9. - P. 125-134.

67. Brandt M.W., Sant-Clara P. Simulated likelihood estimation of diffusions with an application to exchange rate dynamics in incomplete markets // Journal of Financial Economics. 2002. - №. 63. - P. 161210.

68. Browne S. Risk-Constrained Dynamic Active Portfolio Management // Management Science. 2000. - Vol. 46, № 9. - P. 1188-1199.

69. Cadenillas A. Consumption-investment problems with transaction costs: Survey and open problems // Mathematical Methods of Operational Research. 2000. - № 51. - P. 43-68.

70. Cadenillas A., Pliska S.R. Optimal Stopping Theory For An Investment Problem With Taxes And Transaction Costs // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. 1998. P. 2680-2685.

71. Cajueiro D.O., Yoneyama T. Optimum Portfolio Choice for a Class of Jump Stochastic Models // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. Barcelona, 2002. -P. 1665-1670.

72. Chen S., Yong J. Stochastic Linear Quadratic Optimal Control Problems // Applied Mathematics and Optimization. 2001. - Vol. 43.- P. 21-45.

73. Costa O.L.V., Aya J.C.C. Monte Carlo TD(A)-methods for the optimal control of discrete-time Markovian jump linear systems // Automatica. 2002. - Vol. 38. - P. 217-225.

74. Costa O.L.V., Kubrusly C.S. State Feedback ^-Control for Discrete-Time Infinite-Dimensional Stochastic Bilinear Systems // Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control. 1996.- Vol. 6, № 2. P. 1-32.

75. Cuzzola A.F., Geromel J.C., Morari M. An improved approach for constrained robust model predictive control // Automatica. 2002.- Vol. 38. P. 1183-1189.

76. Cvitanic J., Liptser R., Rozovskii B. Tracking volatility // Proceedings of the 39-th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000 P. 1189-1193.

77. Cvitanic J., Wang H. On optimal terminal wealth under transaction costs // Journal of Mathematical Economics. 2001. - № 35. - P. 223231.

78. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A.1.vestment Portfolio Optimisation With Transaction Costs And

79. Constraints Using Model Predictive Control // Proceedings of the 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology. Tomsk: TPU, 2004. P. 202-205.

80. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A.

81. Dynamic Feedback Strategies Of Investment Management Under Transaction Costs And Portfolio Constraints // Proceedings of the International Conference "Mathematical Modelling of Social and Economical Dynamics. Moscow: RSSU, 2004. P. 105-107.

82. Dombrovsky V.V., Dombrovsky D.V., Lyashenko E.A.

83. Dynamic Asset Management With Stochastic Volatility Under Transaction Costs And Portfolio Constraints // Материалы Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций". Новосибирск: издательство института математики, 2004. С. 200.

84. Dombrovsky V.V., Fedosov E.N. Active portfolio selection under non-stationary jump-diffusion financial market // Actuarial and Financial Mathematics: Proceedings of the Second International Conference. Minsk, 2002. P. 104-109.

85. Dombrovsky V.V., Gerasimov E.S.- Dynamic network model of control investment portfolio in continuous time // Proceedings of the 5th Russian-Korean Symposium on Science and Technology. Tomsk, 2001. P. 304-308.

86. Dombrovsky V.V., Lashenko E.A. Dynamic Model of Active Portfolio Management with Stochastic Volatility in Incomplete Market // Proceedings of SICE Annual Conference in Fukui. Fukui: Fukui university, 2003. P. 636-641.

87. Dumas В., Luciano E. An Exact Solution to a Dynamic Portfolio Choice Problem under Transactions Costs // The Journal of Finance.- 1991,- Vol. 46, № 2. P. 577-595.

88. Dupakova J. Portfolio optimization via stochastic programming: Methods of output analysis // Mathematical Methods of Operations Research. 1999. - № 50. - P. 245-270.

89. Elliott R.J., Malcolm W.P., Tsoi A.H. Robust parameter estimation for asset price models with Markov modulated volatilities // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. - Vol. 27, № 8.- P. 1391-1409.

90. Framstad N.Ch., Oksendal В., Sulem A.- Optimal consumption and portfolio in a jump diffusion market with proportional transaction costs // Journal of Mathematical Economics. 2001. - №. 35. - P. 233257.

91. Golub В., Holmer M., McKendall R., Pohlman 1., Zenios S.A.

92. A Stochastic programming model for money managment // European Journal of Operational Research. 1995. - Vol. 85. - P. 282-296.

93. Grimm G., Hatfield J., Postlethwaite I., Teel A.R., Turner M.C., Zaccarian L. Experimental results in optimal linear anti-windup compensation // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 2657-2662.

94. Guasoni P. Risk minimization under transaction costs // Finance and Stochastics. 2002. - № 6. - P. 91-113.

95. Helmbold D.P., Schapire R.E., Singer Y., Warmuth M.K. OnLine Portfolio Selection Using Multiplicative Updates // Mathematical Finance. 1998. - № 8. - P. 325-347.

96. Herzel S. A Simple model for option pricing with jumping stochastic volatility // International Journal of Theoretical and Applied Finance.- 1998. Vol. 1, № 4. - P. 487-505.

97. Hopkins W.E. Optimal Stabilization of Families of Linear Differential Equations with Jump Coefficients and Multiplicative Noise // SIAM Journal of Control and Optimiz. 1987. - Vol. 25, № 6. - P. 1587-1600.

98. Jobst N.J., Horniman M.D., Lucas C.A., Mitra G.

99. Computational aspects of alternative portfolio selection models in the presence of discrete asset choice constraints // Quantitative Finance. 2001. - Vol. 1. - P. 1-13.

100. Jones C.K. Digital Portfolio Theory // Computational Economics. -2001. № 18. - P. 287-316.

101. Kanev S., Verhaegen M. Robust Output-Feedback Integral MPC: A Probabilistic Approach // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 1914-1919.

102. Kabanov Yu., Kliippelberg C. A geometric approach to portfolio optimization in models with transaction costs // Finance and Stochastics. Springer-Verlag. 2004. - № 8. - P. 207-227.

103. Kellerer H., Mansisni R., Speranza M.G. Selecting Portfolios with Fixed Costs and Minimum Transaction Lots // Annals of Operations Research. 2000. - Vol. 99. - P. 287-304.

104. Kim K.B. Implementation of Tracking Controls for Constrained Discrete Time-Varying Systems via Receding Horizon Strategy // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4883-4884.

105. Kim S., Shephard N., Chib S. Stochastic Volatility: Likelihood Inference and Comparison with ARCH Models // Review of Economic Studies. 1998. - Vol. 65. - P. 361-393.

106. De Koning W.L. Infinite Horizon Optimal Control of Linear Discrete-Time Systems with Stochastic Parameters // Automatica. 1982. -Vol. 18, № 4. - P. 503-514.

107. Kouvaritakis В., Rossiter J.A., Schuurmans J. Efficient robust predictive control // Proceedings of American Control Conference. San Diego, California, 1999. P. 4283-4287.

108. Kushner H.J. Consistency Issues for Numerical Methods for Variance Control with Applications to Optimization in Finance // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. - Vol. 44, № 12. - P. 22832296.

109. Levine W.S., Johnson T.L., Athans M. Optimal Limited State Variable Feedback Controllers for Linear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. - Vol. AC-16, № 6. -P. 785-793.

110. Li D., Ng W.-L. Optimal Dynamic Portfolio Selection: Multi-Period Mean-Variance Formulation // Mathematical Finance. 2000. - №10. - P. 387-406.

111. Li X., Zhou X., Rami M. Indefinite Stochastic LQ Control with Jumps // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 1693-1698.

112. Lim A.E.B., Zhou X.Y. Mean-variance portfolio selection via LQ optimal control // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 4553-4558.

113. Liu H. Optimal Consumption and Investment with Transaction Costs and Multiple Risky Assets // Journal of Finance. 2004. - Vol. LIX, № 1. - P. 284-338.

114. Lu Y., Arkun Y. A Scheduling Quasi-MinMax MPC for LPV Systems // Proceedings of American Control Conference. San Diego, California, 1999. P. 2272-2276.

115. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. -Vol. 7, № 1. - P. 77-91.

116. McLane P.J. Optimal Stochastic Control of Linear Systems with State- and Control-Dependent Disturbances //■ IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. Vol. AC-16. - № 6. - P. 793-798.

117. Merton R.C. Continuous-time finance. Cambridge MA: Blackwell, 1990.

118. Nagai H. Risk-sensitive portfolio optimization with partial information // Proceedings of the 39-th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, Australia, 2000. P. 1206-1211.

119. Oksendal В., Sulem A. Optimal consumption and portfolio with both fixed and proportional transaction costs // SIAM Journal on Control and Optimization. 2002. - V. 40, № 6. - P. 1765-1790.

120. Pham H. Smooth Solutions to Optimal Investment Models with Stochastic Volatilities and Portfolio Constraints // Applied Mathematics and Optimization. 2002. - № 46. - P. 55-78.

121. Phillis Y.A. Estimation and Control of Systems with Unknown Covariance and Multiplicative Noise // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. - Vol. 34, № 10 - P. 1075-1078.

122. Rami M.A., Chen X., Zhou X.Y. Discrete-time Indefinite LQ Control with State and Control Dependent Noises // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA, 2001. P. 1249-1250.

123. Rawlings J. Tutorial: Model Predictive Control Technology // Proceedings of American Control Conference. San Diego, California, 1999. P. 662-676.

124. Rojas O.J., Seron M.M., Goodwin G.C. SVD based receding horizon control for constrained linear systems: stability results // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. 2003. P. 3695-3700.

125. Runggaldier W.J. On Stochastic Control in Finance // Mathematical Systems Theory in Biology, Communication,

126. Computation and Finance (D. Gilliam and J. Rosental, eds.) IMA Book Series (MINS-2002). Springer Verlag. 2002. - P. 1-28.

127. Runolfsson T. Risk-sensitive and Robust Control of Discrete Time Hybrid Systems // Proceedings of the 39th IEEE Conference Decision and Control. Sydney, 2000. P. 1055-1060.

128. Seron M.M., De Dona J.A., Goodwin G.C. Global Analitical Model Predictive Control with Input Constraints // Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000. -P. 154-159.

129. Shephard N. Statistical Aspects of ARCH and Stochastic Volatility. Time Series Models in Econometrics, Finance and Other Fields. -London: Chapman and Hall, 1996.

130. Simandl M., Kralovec J. Cramer-Rao Bound for Stochastic Volatility Model // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control. Barcelona, 2002. P. 996-1002.

131. Stettner L. Risk sensitive portfolio optimization // Mathematical Methods of Operations Research. 1999. - № 50. - P. 463-474.

132. Sworder D.D. Feedback Control of a Class of Linear Systems with Jump Parameters // IEEE Transactions on Automatic Control. 1969. - Vol. AC-14, № 1. - P. 9-14.

133. Takaba K. Robust Preview Tracking Control for Polytopic Uncertain Systems // Proceedings of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. 1998. P. 1765-1770.

134. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies. 1958. - Vol. 25, № 2. - P. 65-86.

135. Tsay R.S. Analysis of Financial Time Series. JOHN WILEY & SONS, INC, 2002.

136. Yaz E.E. Robust Design of Stochastic Controllers for Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. - Vol. 34, № 3. - P. 349-353.

137. Yaz E.E., Yaz Y.I. Optimal Control of Discrete-Time Nonlinear Stochastic Systems with General Criteria // Proceedings of the 39-th IEEE Conference on Decision and Control. Sydney, 2000 P. 28732874.

138. Yin G., Zhou X. Y. Markowitz's Mean-Variance Potfolio Selection With Regime Switching: From Discrete-time Models to Their Continuous-Time Limits // IEEE Transactions on Automatic Control.- 2004. V. 49, № 3. - P. 349-360.

139. Young M.R. A Minimax Portfolio Selection Rule with Linear Programming Solution // Management Science. 1998. - Vol. 44, № 5.- P. 673-683.

140. Zenios S.A. High-performance computing in finance: the last 10 years and the next. // Paraller Computing. 1999. - Vol. 25. - P. 2149-2175.