Управление с прогнозированием нелинейными дискретными системами со случайными параметрами при ограничениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, доктор наук Пашинская Татьяна Юрьевна

• Пашинская Татьяна Юрьевна
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Пашинская Татьяна Юрьевна

Введение

1 Управление с прогнозированием нелинейными системами со случайными коррелированными параметрами при ограничениях

1.1 Управление классом систем с сериально коррелированными параметрами и

мультипликативными и аддитивными шумами

1.1.1 Постановка задачи управления системами с коррелированными параметрами и мультипликативными и аддитивными шумами

1.1.2 Синтез стратегий управления системами с коррелированными параметрами и мультипликативными и аддитивными шумами

1.1.3 Обобщение результатов на случай неявных ограничений на приращения управляющих воздействий

1.2 Управление нелинейными системами с сериально коррелированными

параметрами

1.2.1 Постановка задачи управления для класса нелинейных систем с сериально коррелированными параметрами

1.2.2 Разработка стратегий управления для класса нелинейных систем с сериально коррелированными параметрами

1.3 Выводы по главе

2 Управление с прогнозированием нелинейными системами с марковскими скачками при ограничениях

2.1 Управление классом систем с марковскими скачками и мультипликативными

шумами

2.1.1 Постановка задачи управления системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами

2.1.2 Синтез стратегий управления системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами

2.2 Управление с прогнозированием для класса нелинейных систем

2.2.1 Постановка задачи управления для класса нелинейных систем с марковскими скачками

2.2.2 Разработка стратегий управления с прогнозированием для класса нелинейных систем с марковскими скачками

2.2.3 Обобщение результатов на случай переменных с запаздыванием

2.3 Управление распределенными стохастическими гибридными системами с мультипликативными шумами

2.3.1 Постановка задачи управления распределенными системами

2.3.2 Синтез стратегий управления с прогнозированием распределенными гибридными системами

2.4 Управление стохастическими системами с марковскими скачками и сериально коррелированными параметрами

2.4.1 Постановка задачи управления системами с марковскими скачками и сериально коррелированными параметрами

2.4.2 Оптимизация стратегий прогнозирующего управления системами с марковскими скачками и коррелированными параметрами

2.5 Управление системами с марковскими скачками в условиях скрытой цепи Маркова

2.5.1 ЕМ-алгоритм для оценки модели со скрытой цепью Маркова

2.5.2 Синтез стратегий управления в условиях скрытой цепи Маркова

2.5.3 Адаптивный ЕМ-алгоритм фильтрации марковской цепи

2.6 Выводы по главе

3 Управление с прогнозированием для класса билинейных стохастических систем с

марковскими скачками

3.1 Управление билинейными системами с марковскими скачками и мультипликативным шумом, описываемым MSAH VAR моделью

3.1.1 Постановка задачи управления билинейными системами с MSAH VAR моделью

3.1.2 Разработка стратегий прогнозирующего управления билинейными системами с MSAH VAR моделью

3.2 Управление билинейными системами с марковскими скачками и мультипликативным шумом, описываемым MSIAH VAR моделью

3.2.1 Постановка задачи управления билинейными системами с MSIAH VAR моделью

3.2.2 Синтез стратегий прогнозирующего управления билинейными системами с MSIAH VAR моделью

3.3 Прогнозирующее управление системами с марковскими скачками и параметрами, описываемыми многомерной регрессионной моделью

3.3.1 Постановка задачи управления системами с марковскими скачками и параметрами, описываемыми многомерной моделью регрессии

3.3.2 Синтез стратегий управления системами с марковскими скачками и параметрами, описываемыми многомерной моделью регрессии

3.4 Стратегии управления билинейными системами в условиях скрытой цепи Маркова

3.4.1 Алгоритм оценки скрытой цепи Маркова для класса билинейных систем с марковскими скачками

3.4.2 Синтез стратегий управления в условиях скрытой цепи Маркова

3.5 Выводы по главе

4 Применение метода управления с прогнозированием к оптимизации

инвестиционного портфеля. Численное моделирование

4.1 Управление инвестиционным портфелем на рынке с коррелированными доходностями с учетом влияния объема сделки на цены активов

4.1.1 Модель портфеля на рынке с коррелированными доходностями

4.1.2 Численное моделирование стратегии управления портфелем на рынке с коррелированными доходностями

4.2 Управление инвестиционным портфелем на финансовом рынке с

переключающимися режимами с учетом «проскальзывания цен»

4.2.1 Модель портфеля на рынке с переключающимися режимами с учетом

«проскальзывания цен»

4.2.2 Численное моделирование стратегии управления портфелем на рынке с переключением режимов для случая наблюдаемой цепи Маркова

4.2.3 Численное моделирование стратегии управления портфелем на рынке с переключением режимов для случая скрытой цепи Маркова

4.3 Управление взаимосвязанными инвестиционными портфелями на рынке с переключением режимов при ограничениях

4.3.1 Описание модели многокомпонентнго инвестиционного портфеля

4.3.2 Численное моделирование стратегии управления взаимосвязанными портфелями

4.4 Управление инвестиционным портфелем с доходностями, описываемыми векторными авторегрессионными моделями с переключением режимов

4.4.1 Численное моделирование для случая наблюдаемой цепи Маркова

4.4.2 Численное моделирование для случая скрытой цепи Маркова

4.5 Управление инвестиционным портфелем на рынке с переключением режимов с учетом явных транзакционных издержек и ограничений

4.5.1 Многомерная модель портфеля и постановка задач управления

4.5.2 Численное моделирование стратегии управления многомерным портфелем

4.6 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А Акт о внедрении

293

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление с прогнозированием нелинейными дискретными системами со случайными параметрами при ограничениях»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования

Модели систем со случайными параметрами широко используются во многих реальных приложениях, таких как робототехника, экономика, вычислительные сети, сети связи (communication networks), отказоустойчивое управление (fault-tolerant control), системы управления полетом (flight systems), процессы иммунологии и эволюции популяций, автономные движущиеся экипажи (automotive systems), химические процессы (chemical processes), солнечные тепловые приемники (solar thermal receivers), управление цепями поставок (supply chain management), большие гибкие конструкции для космических станций (large flexible structures for space stations), атомные энергетические установки; летательные аппараты с изменяемыми режимами полета; системы наведения на объект, уклоняющийся от встречи; процессы теплопереноса (heat transfer) и многих других [31-34, 83, 180].

В связи с этим в настоящее время активно развивается направление, рассматривающее проблемы управления системами со случайными параметрами (структурой). Как правило, выделяют два класса таких систем:

1. Системы, параметры которых меняются непрерывно и представляют собой некоторый случайный процесс или последовательность.

Модели таких систем описывают многие реальные инженерно-технические процессы. Это обусловлено тем, что реальные системы часто подвержены воздействию так называемых экзогенных возмущений (стохастических шумов, случайных параметров), вызванных определенными типами случайных процессов.

Для многих реальных объектов, таких как радар с синтезированной апертурой, медицинские ультразвуковые или оптические когерентные томографы, случайные шумы входят в динамику системы мультипликативно по переменным состояния и входа. Такие системы называются стохастическими системами с мультипликативными шумами. В частности, для линейных систем наличие

мультипликативных шумов приводит к классу стохастических билинейных систем [220]. В отличие от систем с аддитивными возмущениями, анализ и синтез стратегий управления для систем с мультипликативными шумами значительно сложнее [143, 168, 229].

Важной областью применения систем со случайными параметрами является финансовая инженерия, где такие системы используются для описания эволюции инвестиционного портфеля (ИП) [8, 80, 147, 225].

2. Системы, динамика которых описывается разностными (в дискретном времени) или дифференциальными (в непрерывном времени) уравнениями, в то время как структура системы (параметры) изменяется в соответствии с эволюцией переменных, принимающих дискретный набор значений из некоторого множества - так называемые, гибридные системы, или системы непрерывно-дискретной природы. Обычно в моделях таких систем предполагается, что они состоят из конечного набора подсистем (состояний), при этом переключение между подсистемами (смена структуры) происходит в соответствии с эволюцией наблюдаемой или скрытой цепи Маркова с конечным пространством состояний.

Модели с марковскими переключениями представляют специальный класс адаптивных систем, которые широко используются в технологиях автоматического распознавания речи, распознавания подписей, машинного зрения, компьютерной и сетевой безопасности, оптического распознавания символов, при анализе ДНК и белковых соединений в биологии и биоинформатике [45, 83, 180]. Теоретические и эмпирические исследования показывают, что такие модели способны описывать поведение сложных нелинейных нестационарных реальных процессов. Важной областью приложения является финансовая инженерия, где модели с марковскими скачками и/или мультипликативными шумами используются для описания эволюции ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами, когда параметры рисковых активов (доходности и волатильности) изменяются в соответствии со сменой режимов рынка [49, 88, 129, 172].

Системы с непрерывными стохастическими параметрами и/или мультипликативными и аддитивными шумами рассматриваются в работах [8, 9, 28, 31, 39, 41, 42, 50, 76, 118, 130, 168, 169, 177]. Для решения задач управления используются методы множителей Лагранжа, динамического программирования, теоретико-игровой подход, матричный принцип максимума.

Линейно-квадратичные регуляторы для линейных систем с мультипликативными шумами и неопределенными (вырожденными) весовыми матрицами при управлениях в непрерывном времени рассматривались в [76]. В работах [41, 169, 177] линейно-квадратичные задачи управления сводятся к решению обобщенных дифференциальных уравнений Риккати; в работах [42, 130] - к решению системы линейных матричных неравенств. Оптимальный закон управления в дискретном времени для линейно-квадратичной задачи управления был получен в [50], где рассматриваются системы с шумами, зависящими только от управления.

В работах в [8, 9] получены уравнения синтеза оптимальных линейных регуляторов по квадратичному критерию для систем со случайными непрерывными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами. В [118] рассматривается задача квадратичного управления для линейных систем с вероятностной неопределенностью по параметрам, для решения которой используется обобщенная полиномиальная теория хаоса.

В большинстве работ, посвященных синтезу стратегий управления системами с непрерывно меняющимися параметрами, предполагается, что случайные параметры представляют собой совокупность независимых случайных величин, в противном случае задача существенно усложняется. Однако на практике предположение о независимости случайных параметров часто не выполняется.

Второму классу систем посвящены работы [2, 3, 28, 32, 33, 37, 60, 63, 64, 81, 83, 86, 87, 88, 89, 110, 113, 114, 145, 146, 165, 166, 167, 229]. Предполагается, что смена структуры системы происходит в соответствии с эволюцией наблюдаемой или скрытой марковской цепи с конечным пространством состояний.

Значительное количество работ посвящено разработке стратегий управления линейными системами с марковским переключением режимов (Markovian Jump Linear Systems - MJLS) без учета ограничений [27, 37, 38, 60, 80, 84, 87, 88, 110, 146].

В [60] рассматривается задача управления с обратной связью полностью наблюдаемыми дискретными линейными системами с марковскими скачками, для решения которой используется метод динамического программирования. Работы [27, 28, 32, 33, 34, 37, 38, 64, 80, 84, 86, 87, 88, 89, 110, 145, 146, 165, 166, 167] посвящены управлению дискретными линейными системами с аддитивными и/или мультипликативными шумами и марковскими скачками без ограничений.

В частности, в [27, 37, 38] рассматривается алгоритм синтеза следящих систем управления с обратной связью для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями. В [165, 166, 167] авторы рассматривают задачу линейно-квадратичного управления на конечном и бесконечном горизонтах для линейных систем с марковскими скачками и мультипликативными шумами в непрерывном времени. Аналогичная задача управления в динамической постановке рассматривалась на бесконечном горизонте в [110]. Для дискретного случая задача была решена в работах [86, 88, 89, 145, 146] по квадратичному критерию на конечном и бесконечном горизонтах управления. В этих работах для решения задач используется метод динамического программирования Беллмана [1].

В [81] построены линейные регуляторы на бесконечном горизонте управления для полностью наблюдаемых систем со скачкообразно меняющимися параметрами. Для решения задачи используется итерационный подход, основанный на имитационном моделировании методом Монте-Карло.

В работе [87] рассматривается управление линейными системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами по критерию «mean-variance» («среднее-вариация»), представляющему собой соотношение между ожидаемым значением выхода системы и вариацией выхода, которая является мерой риска. Получены условия существования оптимальной стратегии

управления с обратной связью. Решение задачи синтеза регулятора сводится к решению системы взаимосвязанных обобщенных дифференциальных уравнений Риккати. Отметим, что критерий «mean-variance» широко используется в финансовых приложениях при оптимизации структуры ИП [44, 57, 74, 85, 86, 87, 126, 134, 137, 162, 170].

В работе [230] предложен метод оптимального управления без ограничений для класса дискретных нелинейных систем с марковскими скачками при неизвестной динамике системы. Задача решается методом адаптивного динамического программирования и сводится к решению уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. Для определения приближенного закона управления используется методология нейронных сетей.

В большинстве работ, посвященных синтезу стратегий управления для систем с марковскими скачками, предполагается, что цепь Маркова наблюдается. Однако на практике это предположение не всегда выполнено, и в этом случае необходимо использовать дополнительные алгоритмы для оценки состояний цепи, предложенные, например, в [3, 112, 113, 114, 122, 123, 124, 125, 152, 156, 207].

В вышеупомянутых работах рассматриваются задачи управления, в которых не учитываются явные ограничения на переменные состояния и управления. Основной метод синтеза стратегий управления - это применение метода динамического программирования Беллмана [1], матричного принципа максимума Понтрягина [43], либо сведение задачи к решению системы линейных матричных неравенств [42].

Однако в большинстве практических задач, таких как управление летательными аппаратами, управление технологическими процессами, в задачах логистики, управление инвестициями и множестве других необходимо учитывать ограничения на переменные состояния и управления. Решение задачи управления с учетом явных ограничений, используя традиционные подходы, приводит к значительным аналитическим и вычислительным трудностям (так называемому

«проклятию размерности» [1]) и, как следствие, к практически нереализуемым стратегиям управления.

Управлению линейными системами со случайными параметрами при ограничениях посвящены работы [47, 82, 141, 147, 215, 226]. В [82] рассматривается задача квадратичного управления дискретными линейными системами с марковскими скачками при ограничениях на нормы векторов состояния и управления в предположении, что матрица переходных вероятностей и начальное состояние системы принадлежат выпуклому множеству. Получено приближенное решение оптимизационной задачи. В работе [215] ограничения наложены на вторые моменты состояния системы и вектора управлений. В [147] решена задача стохастического линейно-квадратичного управления для непрерывных одномерных систем со случайными параметрами при конических ограничениях на управления. Эти работы ориентированы на разработку законов управления с обратной связью, используя техники линейных матричных неравенств [82, 215], или стохастические уравнения Риккати, зависящие от случайных параметров [147].

В работе [47] рассматривается задача управления дискретными линейными системами с марковскими переключениями режимов и мультипликативными шумами, в которой максимизируется ожидаемый выход системы на конечном горизонте при ограничениях на сумму вариаций выхода, взятых с весами. В работе [141] предложен метод надежного управления (reliable control) линейными дискретными системами с марковскими скачками при ограничениях. В работе [226] рассматривается задача робастной стабилизации для неопределенных неоднородных систем с марковскими скачками и насыщением входа (input saturation), где предполагается что норма вектора нелинейного слагаемого ограничена, а переходные вероятности неизвестны.

Эффективным подходом к решению динамических задач управления при ограничениях на переменные состояния и/или управления, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление

с прогнозированием, управление со скользящим горизонтом, Model Predictive Control - MPC, Receding Horizon Control - RHC) [6, 7, 35, 51, 53, 54, 55, 56, 59, 73, 90, 133, 142, 150, 154, 155, 157, 182, 187, 191, 199, 200, 202, 206]. В настоящее время управление с прогнозирующей моделью является подходом, по существу, не имеющим альтернатив при управлении сложными стохастическими системами при ограничениях. Трудно назвать практическую область, где бы не применялись методы управлением с прогнозированием [93, 121, 181, 201].

Основная идея метода состоит в том, что на каждом шаге решается задача оптимизация с разомкнутой обратной связью по управлению при ограничениях, определяется последовательность прогнозирующих управлений и для управления используется только первый элемент последовательности. Данная процедура применяется для всех моментов времени.

Этот подход позволяет достаточно просто учитывать явные ограничения на переменные состояния и управления, в то время как классические методы, такие как динамическое программирование, сталкиваются с хорошо известной проблемой «проклятья размерности». Обзор литературы, посвященный методу управления с прогнозирующей моделью и его приложениям, приведен в [51, 55, 116, 131, 155, 181, 182, 202]. Синтез стратегий управления сводится к решению задач квадратичного [90, 150] или линейного программирования [35, 53], для решения которых существуют эффективные методы.

Различают робастный (или детерминированный) метод управления с прогнозированием (Robust MPC) и стохастический метод прогнозирующего управления (Stochastic MPC). Робастный метод направлен на синтез стратегий управления детерминированными системами, в то время как стохастический метод посвящен управлению системами со случайными параметрами и/или структурой.

В то время как детерминированные и робастные версии метода прогнозирующего управления в значительной степени стандартизованы и хорошо изучены (см., например, обзор в [204]), стохастические версии все еще не имеют всеобъемлющего, унифицированного и систематического подхода [184]. Это

обусловлено тем, что технические аспекты, связанные с прогнозирующим управлением стохастическими системами, значительно сложнее, чем при управлении детерминированными системами [206]. Например, для установления устойчивости по Ляпунову для дискретных детерминированных динамических систем необходимо удовлетворение достаточно стандартных условий, в то время как технические аспекты и условия устойчивости стохастических систем до сих пор не получены и являются активной областью исследования [173]. Кроме того, в теории управления стохастическими системами существует множество понятий, связанных с производительностью и качеством управления, которые не определены в детерминированных или робастных случаях.

Управлению с прогнозированием линейными системами со случайными непрерывными параметрами посвящены работы [6, 7, 54, 56, 71, 73, 150, 157, 161, 173, 174, 185, 195, 197, 199, 200, 206].

В частности, в работах [139, 173, 185, 195] рассматриваются стохастические системы с аддитивными шумами. В [173] решается задача управления с прогнозированием на бесконечном горизонте дискретными стохастическими системами с аддитивными шумами, явными ограничениями на управления и вероятностными ограничениями на состояния. Работа [185] посвящена задаче сетевого управления с прогнозированием для устойчивых по Ляпунову линейных систем со стохастическими аддитивными шумами, ограниченными входами и потерями данных в канале управления. В работе [218] приводятся методы «быстрого» прогнозирующего управления (fast MPC) с адаптивной оптимизацией для линейных систем с аддитивными шумами при ограничениях. В [139] метод управления с прогнозированием использован для решения задачи управления при ограничениях стохастическими линейными системами с аддитивными шумами и случайными ошибками наблюдения.

В [150] решается задача управления по квадратичному критерию системами с аддитивными шумами и неизвестными параметрами, принадлежащими ограниченному множеству.

Управлению с прогнозированием дискретными линейными системами со случайными параметрами и/или мультипликативными шумами посвящены работы [6, 7, 54, 56, 71, 73, 157, 197, 199, 200, 206]. В частности, в [157] рассматривается задача управления стационарными системами с независимыми одинаково распределенными параметрами при ограничениях.

В [6] предложен метод синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для нестационарных дискретных систем с аддитивными и мультипликативными шумами и параметрами, представляющими собой последовательность независимых случайных величин, с учетом явных («жестких») ограничений на переменные управления. В [7] аналогичная задача управления решается для дискретных систем с зависимыми параметрами, динамика которых описывается многомерным уравнением авторегрессии.

Метод управления с прогнозированием для линейных систем со случайными параметрами, основанный на генерации сценариев, рассматривается в [54, 56, 71]. В [54] рассматривается управление с прогнозирующей моделью дискретными гибридными стохастическими автоматами. В работе [187] для синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью используется стохастическое программирование.

В вышеупомянутых работах рассматриваются «жесткие» ограничения. Однако в некоторых задачах не обязательно строгое выполнение ограничений, а достаточно их выполнения в некотором вероятностном смысле. Такие ограничения называются «мягкими» (soft constraints). Как правило, выделяют два класса «мягких» ограничений: ограничения на математические ожидания (expectation constrains) и вероятностные ограничения (probabilistic constraints, chance constraints).

В [73] решается задача управления системами с мультипликативными шумами с учетом «мягких» ограничений на математическое ожидание выхода системы. В работах [197, 199, 200] рассматриваются задачи управления с прогнозирующей моделью стационарными системами с мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, при ограничениях на

ожидаемые значения переменных состояния и управления. В работе [174] рассматривается MPC для линейных стохастических систем с мультипликативными и аддитивными шумами с учетом совместных вероятностных ограничений (joint chance constraints) на состояния и управления.

Обзор литературы показывает, что большинство работ посвящено управлению линейными системами, в то время как многие реальные процессы описываются уравнениями, содержащими нелинейные компоненты [133].

Метод прогнозирующего управления с генерацией сценариев для стохастических нелинейных систем с независимыми параметрами рассматривается в [151]. В работе [223] синтезированы стратегии управления со скользящим горизонтом для класса стохастических систем с аддитивной нелинейностью без учета ограничений. При этом предполагается, что нелинейная составляющая системы зависит от состояний, управлений и вектора шумов [149]. В [7] рассматривается задача прогнозирующего управления для этого класса нелинейных систем при ограничениях на управляющие переменные. В работе [196] рассматривается задача управления при явных ограничениях на переменные управления и вероятностных ограничениях на переменные состояния непрерывными нелинейными системами со стохастическими возмущениями и случайными параметрами, для которых известен закон распределения вероятностей. Предлагается аппроксимация исходной системы с использованием полиномиальной теории хаоса. Задача оптимизации квадратичного критерия решается в конечной точке.

В [138, 139] решается задача прогнозирующего управления с активным обучением при ограничениях нелинейными системами со стохастическими возмущениями, ошибками наблюдения и случайными параметрами, для которых известен закон распределения вероятностей. В работе [184] приводится обзор литературы, посвященный двойственному прогнозирующему управлению (dual MPC) с активным обучением дискретными неопределенными нелинейными системами со стохастическими возмущениями и случайными ошибками измерения при ограничениях. В [65] предложен робастный метод управления с

прогнозированием для нелинейных дискретных систем с неопределенностью по параметрам в присутствии явных ограничений на переменные состояния и управления, основанный на представлении приближенных допустимых множеств системы.

Управлению с прогнозированием дискретными линейными системами с марковскими скачками посвящены работы [59, 77, 140, 176, 191, 203, 212, 219]. Метод управления со скользящим горизонтом для MJLS без ограничений был разработан в работах [94, 192]. Случай с политопными неопределенностями и случай с шумом и ненаблюдаемым режимом были рассмотрены в работах [191] и [216], соответственно.

В работе [191] получен робастный одношаговый алгоритм управления дискретными стохастическими линейными системами при условии, что переходные вероятности принадлежат выпуклым множествам. В работе [95] предложено решение задачи управления со скользящим горизонтом для дискретных линейных систем с марковскими скачками по квадратичному критерию. Авторы ограничиваются рассмотрением класса линейных стратегий управления с замкнутой обратной связью без ограничений.

В работе [67] предложен робастный метод управления с прогнозированием на бесконечном горизонте дискретными линейными системами с марковскими скачками и нарушением режима работы без учета ограничений. Динамика подсистем в каждом состоянии цепи предполагается детерминированной. Полученные результаты были далее усовершенствованы в работе [194], где для MJLS с ограничениями предложен алгоритм для явного вычисления закона управления с прогнозированием в автономном режиме, который сочетает метод динамического программирования с параметрической кусочно-квадратичной оптимизацией.

В работе [140, 141] предложен метод управления с прогнозированием линейными системами с марковским переключением режимов при ограничениях на переменные состояния и управления, когда одновременно рассматривается несколько скользящих горизонтов разной длины. В работе [175] рассматривается

задача прогнозирующего управления неопределенными дискретными системами с марковскими скачками и «жесткими» ограничениями на переменные управления по квадратичному критерию. Динамика подсистем в каждом состоянии является детерминированной. В работе [174] решается задача прогнозирующего управления на бесконечном горизонте дискретными линейными системами с марковскими скачками и аддитивными шумами при явных ограничениях.

Линейные системы с марковскими скачками и «мягкими» ограничениями рассматривались в работах [59, 77, 176, 214]. Для MJLS с вероятностными ограничениями в [59] предлагается метод синтеза стратегий управления, основанный на аппроксимации распределений, используя выборки наблюдений, и сведении задачи к детерминированной задаче смешанного целочисленного линейного программирования (Mixed Integer Linear Programming). В работе [77] авторы разработали одношаговый MPC для MJLS с гауссовым случайным возмущением с учетом вероятностных ограничений на переменные состояния.

В работе [214] приводится расширение результатов работы [216] для MJLS с ограничениями на первые два момента переменных состояния и управления. В работе [212] рассматривается метод управления с прогнозированием для линейных систем с марковскими скачками и аддитивными шумами, где последовательность прогнозирующих управлений на глубину горизонта прогноза определяется посредством минимизации функционала от ожидаемых состояний системы.

Как отмечено в работе [181], ввиду сложности управления нелинейными стохастическими системами, большинство работ посвящены управлению линейными системами с марковскими скачками. Однако на практике многие реальные процессы описываются нелинейными стохастическими системами с ограничениями. На сегодняшний день лишь ограниченное число результатов получено в области управления нелинейными системами с марковскими скачками при ограничениях.

Метод управления с прогнозированием, основанный на генерации сценариев, для нелинейных марковских систем, состоящих из совокупности

подсистем, где каждая из подсистем предполагаются нелинейной, детерминированной и не зависящей от времени, рассматривается в работе [194]. Авторы предполагают, что явные ограничения на состояния и управления должны быть выполнены одновременно по всем допустимым последовательностям состояний цепи. Управление с прогнозированием, основанное на генерации сценариев, для нелинейных систем рассматривается также в работе [151]. Отметим, что сценарный подход требует значительных вычислительных затрат и предполагает знание вероятностных распределений случайных параметров модели. В работе [208] рассматривается задача управления с прогнозированием для нелинейных систем с марковскими скачками по критерию неприятия риска («risk-averse» критерий).

В упомянутых работах рассматриваются системы, которые являются детерминированными в каждом состоянии цепи и матрицы входа и управления не зависят от времени.

Многие современные системы управления, как правило, представляют собой сложные иерархические системы, состоящие из взаимодействующих подсистем неоднородной непрерывно-дискретной природы. В частности, инвестиционный портфель представляет собой сложную стохастическую нестационарную систему и может содержать рисковые активы разных классов, динамика доходностей которых меняется скачкообразно в соответствии с эволюцией состояний взаимосвязанных марковских цепей, характеризующих, например, состояние различных секторов экономики или различных финансовых рынков [58]. Такие системы относятся к классу распределенных гибридных систем [181].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Пашинская Татьяна Юрьевна, 2021 год

Список литературы

1. Беллман Р. Динамическое программирование и современная теория управления / Р. Беллман, Р. Калаба. - М. : Наука, 1969. - 120 с.

2. Борисов А. В. Скрытые марковские модели, порождаемые специальными скачкообразными процессами // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2005. - № 1. - С. 48-62.

3. Борисов А. В. Оптимальная фильтрация состояний специальных управляемых систем случайной структуры / А. В. Борисов, А. И. Стефанович // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2007. - № 3. - С. 16-26.

4. Гальперин В. А. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами / В. А. Гальперин, В. В. Домбровский, Е. Н. Федосов // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 5. - С. 175-189.

5. Герасимов Е. С. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при квадратичной функции риска / Е. С. Герасимов, В. В. Домбровский // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 2. - С. 119-128.

6. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля / В. В. Домбровский, Д. В. Домбровский, Е. А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 4. - С. 84-97.

7. Домбровский В. В. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля / В. В. Домбровский, Д. В. Домбровский, Е. А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 12. - С. 71-85.

8. Домбровский В. В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью / В. В. Домбровский, Е. А. Ляшенко // Автоматика и вычислительная техника. - 2003. -№ 5. - С. 12-21.

9. Домбровский В. В. Линейно-квадратичное управление дискретными

системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля / В. В. Домбровский, Е. А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 10. - С. 50-65.

10. Домбровский В. В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием. Томск, 05-08 октября 2010 г. - Томск, 2010. - С. 118-119.

11. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами / В.В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы восьмой конференции с международным участием. Томск, 05-08 октября 2010 г. - Томск, 2010. - С. 73.

12. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками и мультипликативными шумами при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2010. - № 3 (12). - С. 5-11.

13. Домбровский В. В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2010. - № 4 (13). - С. 5-14.

14. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием системами с марковскими скачками при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 5. - С. 96-112.

15. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием взаимосвязанными системами с марковскими скачками при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы докладов Девятой Российской конференции с

международным участием. Томск, 04-08 июня 2012 г. - Томск, 2012. - С. 112.

16. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием взаимосвязанными гибридными системами с марковскими скачками при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2012. - № 3 (20).

- С. 5-12.

17. Домбровский В. В. Управление с прогнозирующей моделью системами с марковскими скачками по критерию «mean-variance» при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2012. - № 4 (21).

- С. 5-13.

18. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием нелинейными стохастическими системами с марковскими скачками при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко, М. В. Самородова // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ.

- 2015. - № 3 (32). - С. 14-22.

19. Домбровский В. В. Прогнозирующее управление с замкнутой обратной связью дискретными системами со случайными коррелированными параметрами / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко, М. В. Самородова // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2017. - № 39. - С. 11-16.

20. Домбровский В.В. Управление с прогнозирующей моделью стохастическими системами с марковскими скачками и сериально коррелированными параметрами при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Объедко // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2017. - № 40. - С. 4-11.

21. Домбровский В. В. Прогнозирующее управление стохастическими нелинейными системами с сериально коррелированными параметрами при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Пашинская // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2018. - № 42. - С. 4-11.

22. Домбровский В. В. Прогнозирующее управление системами с марковскими скачками и авторегрессионным мультипликативным шумом с марковским переключением режимов / В. В. Домбровский, Т. Ю. Пашинская // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2018. - № 44. - С. 4-9.

23. Домбровский В. В. Управление с прогнозированием распределенными

стохастическими гибридными системами с мультипликативными шумами при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Пашинская // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2018. - № 45. - С. 4-12.

24. Домбровский В. В. Синтез прогнозирующих стратегий управления динамическими системами с коррелированными параметрами и мультипликативными и аддитивными шумами при ограничениях / В. В. Домбровский, Т. Ю. Пашинская // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2019. - № 47.

- С. 4-11.

25. Домбровский В. В. Оптимальные стратегии прогнозирующего управления системами со случайными параметрами, описываемыми многомерной регрессионной моделью с марковским переключением режимов / В. В. Домбровский, Т. Ю. Пашинская // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ. - 2019. - № 48.

- С. 4-12.

26. Домбровский В. В. Стратегии прогнозирующего управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со скрытым переключением режимов / В. В. Домбровский, Т. Ю. Пашинская // Вестн. Том. гос. ун-та. УВТиИ.

- 2020. - № 50. - С. 4-13.

27. Ломакина С. С. Следящие системы управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями, зависящими от состояния и управления / С. С. Ломакина, В. И. Смагин // Вестн. Том. гос. ун-та. - 2004. - № 284. - С. 155-159.

28. Малышев В. В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления. (обзор). Ч.11. / В. В. Малышев, П. В. Пакшин // Известия АНСССР. Техническая кибернетика. - 1990. - № 2. - С. 97119.

29. Объедко Т.Ю. Модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях // Сборник материалов V Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 17-20 мая 2010 г. - Томск, 2010. - С. 223-225.

30. Объедко Т. Ю. Управление с прогнозирующей моделью системами со

случайными нелинейными параметрами при ограничениях / Т. Ю. Объедко // Наука. Технологии. Инновации (НТИ - 2011) : материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 04-06 декабря 2011 г. -Новосибирск, 2011. - С. 14-17.

31. Пакшин П. В. Оценивание состояния и синтез управления дискретных линейных систем с аддитивными и мультипликативными шумами // Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 4. - а 75-85.

32. Пакшин П. В. Оптимальное линейное управление дискретными объектами при случайном скачкообразном изменении их параметров // Проблемы управления и теории информации. - 1982. - Т. 11, № 3. - С. 179-193.

33. Пакшин П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой / П. В. Пакшин. - М. : Физматлит, 1994. - 304 с.

34. Пакшин П. В. Робастная стабилизация систем случайной структуры с переключаемой статической обратной связью по выходу / П. В. Пакшин, Д. М. Ретинский // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 7. - С. 135-147.

35. Пропой А. И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. -1963. - № 7. - С. 912-920.

36. Самородова М. В. Управление с прогнозирующей моделью нелинейными системами с марковскими скачками / М. В. Самородова, Т. Ю. Пашинская // Перспективы развития фундаментальных наук: сборник научных трудов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск, 25-28 апреля 2017 г. - Томск, 2017. - С. 86-88.

37. Смагин В. И. Робастные следящие регуляторы для непрерывных систем со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями / В. И. Смагин, С. С. Ломакина // Автоматика и вычислительная техника. - 2004. - № 4. - С. 31-43.

38. Смагин В. И. Синтез следящих систем управления для объектов со случайными скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями / В. И. Смагин, Е. В. Поползухина // Вестн. Том. гос. ун-та. - 2000.

- № 271. - С. 171-175.

39. Черноусько Ф. Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях / Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановский. - М. : Наука, 1978. - 352 c.

40. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. Т. 2. Теория / А. Н. Ширяев. - М. : ФАЗИС, 1998. - 1056 c.

41. Ait Rami M. Discrete-time Indefinite LQ Control with State and Control Dependent Noise / M. Ait Rami, X. Chen, X. Y. Zhou // Journal of Global Optimization. - 2003. - Vol. 23. - P. 1249-1250.

42. Ait Rami M. Linear Matrix Inequalities, Riccati Equations, and Indefinite Linear Quadratic Controls / M. Ait Rami, X. Y. Zhou // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2000. - № 45. - P. 1131-1143.

43. Athans M. The Matrix Minimum Principle // Inf. Control. - 1968. - Vol. 11.

- P. 592-606.

44. Bajeux-Besnainou I. Dynamic Asset Allocation in a Mean-Variance Framework / I. Bajeux-Besnainou, R. Portait // Management Science. - 1998. - Vol. 44, № 11 (2). - P. S79-S95.

45. Baldi P. Smooth On-line Learning Algorithms for Hidden Markov Models / P. Baldi, Y. Chauvin // Neural Computation. - 1994. - Vol. 6, № 2. - P. 307-318.

46. Balvers R. J. Autocorrelated Returns and Optimal Intertemporal Portfolio Choice / R. J. Balvers, D. W. Mitchell // Management Science. - 1997. - Vol. 43, № 11.

- P. 1537-1551.

47. Barbieri F. Optimal Control with Constrained Total Variance for Markov Jump Linear Systems with Multiplicative Noises / F. Barbieri, O. L. V. Costa // International Journal of Systems Science. - 2018. - Vol. 49, № 6. - P. 1178-1187.

48. Barmish B. R. On Trading of Equities: A Robust Control Paradigm / B. R. Barmish // Proceedings of the 17th World Congress of The International Federation of Automatic Control. - Seoul, Korea, 2008. - P. 1621-1626.

49. Bauerle N. Portfolio Optimization with Markov-Modulated Stock Prices and Interest Rates / N. Bauerle, U. Rieder // IEEE Trans. Aut. Control. - 2004. - Vol. 49, № 3. - p. 442-447.

50. Beghi A. Discrete-Time Optimal Control with Control-Dependent Noise and Generalized Riccati Difference Equations / A. Beghi, D. D'Alessandro // Automatica. -1998. - № 34. - P. 1031-1034.

51. Bemporad A. Model-based predictive control design: New trends and tools / A. Bemporad // Proc. 45th IEEE Conference on Decision and Control. - San Diego, CA, USA, 2006. - P. 6678-6683.

52. Bemporad A. Dynamic Option Hedging via Stochastic Model Predictive Control Based on Scenario Simulation / A. Bemporad, L. Bellucci, T. Gabbriellini // Quantitative Finance. - 2012. - P. 1-13.

53. Bemporad A. Model Predictive Control Based on Linear Programming - The Explicit Solution / A. Bemporad, F. Borrelli, M. Morari // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, № 12. - P. 1974-1985.

54. Bemporad A. Model-Predictive Control of Discrete Hybrid Stochastic Automata / A. Bemporad, S. Di Cairano // IEEE Transactions on Automatic Control. -2011. - Vol. 56, № 6. - P. 1307-1321.

55. Bemporad A. Robust model predictive control: A survey / A. Bemporad, M. Morari // Robustness in Identification and Control. - 1999. - Vol. 245. - P. 207-226.

56. Bernardini D. Scenario-based model predictive control of stochastic constrained linear systems / D. Bernardini, A. Bemporad // Proceedings of the 48th IEEE Conference on Decision and Control. Shanghai, China, December 15-18, 2009. -Shanghai, P.R. China, 2009. - P. 6333-6338.

57. Bielecki T. Continuous-Time Mean-Variance Portfolio Selection with Bankruptcy Prohibition / T. Bielecki [et. al.] // Mathematical Finance. - 2003. - Vol. 15 (2). - P. 213-244.

58. Billio M. Value-at-Risk: a Multivariate Switching Regime Approach / M. Billio, L. Pelizzon // Journal of Empirical Finance. - 2000. - № 7. - P. 531-554.

59. Blackmore L. Robust optimal predictive control of jump Markov linear systems using particles / L. Blackmore [et. al.] // Hybrid systems: Comput. and Control. - 2007. - Vol. 4416. - P. 104-117.

60. Blair W. P. Jr. Feedback Control of a Class of Linear Systems with Jump

Parameters and Quadratic Cost Criteria / W. P. Jr. Blair, D. D. Sworder // International Journal of Control. - 1975. - Vol. 21, № 5. - P. 883-841.

61. Bloemen H. H. J. An Interpolation Strategy for Discrete-Time Bilinear MPC Problems / H. H. J. Bloemen, M. Cannon, B. Kouvaritakis // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, № 5. - P. 775-778.

62. Bloemen H. H. J. An optimization algorithm dedicated to a MPC problem for discrete time bilinear models / H. H. J. Bloemen, T. J. J. van den Boom, H. B. Verbruggen // In Proc. American Control Conference. - Arlington, VA, USA, 2001. -P. 2376-2381.

63. Boukas E. K. Stochastic switching systems: analysis and design / E. K. BoukasTHK - Boston : Birkhauser, 2005. - 405 p.

64. Boukas E. K. Robust LQ Regulator for Jump Linear Systems with Uncertain Parameters / E. K. Boukas, H. Yang // Dynamics and Control. - 1999. - № 9. - P. 125134.

65. Bravo J. M. Robust MPC of Constrained Discrete-Time Nonlinear Systems Based on Approximated Reachable Sets / J.M. Bravo, T. Alamo, E. F. Camacho // Automatica. - 2006. - Vol. 42, № 10. - P. 1745-1751.

66. Bruni C. Bilinear Systems: An Appealing Class of "Nearly Linear" Systems in Theory and Applications / C. Bruni, G. DiPillo, G. Koch // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1974. - Vol. 19, № 4. - P. 334-348.

67. Cai H. Robust Model Predictive Control for a Class of Discrete-Time Markovian Jump Linear Systems with Operation Mode Disordering / H. Cai [et. al.] // IEEE Access. - 2019. - Vol. 7. - P. 10415-10427.

68. Cakmak U. Portfolio Optimization in Stochastic Markets / U. Cakmak, S. Ozeckici // Mathematical Methods of Operation Research. - 2006. - № 63. - P. 151168.

69. Calafiore G. C. Multi-Period Portfolio Optimization with Linear Control Policies // Automatica. - 2008. - № 44. - P. 2463-2473.

70. Calafiore G. C. An Affine Control Method for Optimal Dynamic Asset Allocation with Transaction Costs // SIAM Journal of Control and Optimization. -

2009. - Vol. 48, № 4. - P. 2254-2274.

71. Calafiore G. C. Stochastic Model Predictive Control of LPV Systems via Scenario Optimization / G. C. Calafiore, L. Fagiano // Automatica. - 2013. - Vol. 49. -P. 1861-1866.

72. Canakoglu E. Portfolio Selection in Stochastic Markets with HARA Utility Functions / E. Canakoglu, S. Ozeckici // European Journal of Operation Research. -

2010. - № 21. - P. 520-536.

73. Cannon M. Model Predictive Control for Systems with Stochastic Multiplicative Uncertainty and Probabilistic Constrains / M. Cannon, B. Kouvaritakis, X. Wu // Automatica. - 2009. - Vol. 45, № 1. - P. 167-172.

74. Celikyurt U. Multiperiod Portfolio Optimization Models in Stochastic Markets Using the Mean-Variance Approach / U. Celikyurt, S. Ozeckici // European Journal of Operation Research. - 2007. - № 179. - P. 186-202.

75. Cerny A. Hedging by sequential regressions revisited / A. Cerny, J. Kallsen // Mathematical Finance. - 2009. - Vol. 19, № 4. - P. 591-617.

76. Chen S. Stochastic Linear Quadratic Optimal Control Problems / S. Chen, J. Yong // Applied Mathematics and Optimization. - 2001. - Vol. 43. - P. 21-45.

77. Chitraganti S. On control of discrete-time state-dependent jump linear systems with probabilistic constraints: A receding horizon approach / S. Chitraganti [et. al.] // Systems & Control Letters. - 2014. - Vol. 74. - P. 81-89.

78. Clempner J. B. Sparse Mean-Variance Customer Markowitz Portfolio Optimization for Markov Chains: a Tikhonov's Regularization Penalty Approach / J. B. Clempner, A. S. Poznyak // Optimization and Engineering. - 2018. - Vol.19, № 2. - P. 383-417.

79. Cont R. Empirical Properties of Asset Returns: Stylized Facts and Statistical Issues // Quantitative Finance. - 2001. - Vol. 1. - P. 223-236.

80. Costa O. L. V. A Generalized Multi-Period Portfolio Optimization with Markov Switching Parameters / O. L. V. Costa, M. V. Araujo // Automatica. - 2008. -Vol. 44, № 10. - P. 2487-2497.

81. Costa O. L. V. Monte Carlo TD(X)-Methods for the Optimal Control of

Discrete-Time Markovian Jump Linear Systems / O. L. V. Costa, J. C. C. Aya // Automatica. - 2002. - Vol. 38. - P. 217-225.

82. Costa O. L. V. Constrained Quadratic State Feedback Control of Discrete-Time Markovian Jump Linear Systems / O. L. V. Costa, E. O. A. Filho, E. K. Boukas, R. P. Marques // Automatica. - 1999. - Vol. 35, № 4. - P. 617-626.

83. Costa O. L. V. Discrete-time Markov Jump Linear Systems / O. L. V. Costa, M. D. Fragoso, R. P. Marques. - Springer-Verlag : New York, 2005. - 286 p.

84. Costa O. L. V. Quadratic and Hro Switching Control for Discrete-Time Linear Systems with Multiplicative Noises / O. L. V. Costa, C. A. C. Gonzaga // Int. J. of Control. - 2014. - Vol. 87, № 11. - P. 2312-2326.

85. Costa O. L. V. Multiperiod Mean-Variance Optimization with Intertemporal Restrictions / O. L. V. Costa, R. Nabholds // J. Optimiz. Theory and Applic. - 2007. -Vol. 134, № 2. - P. 257-274.

86. Costa O. L. V. Discrete-Time Mean-Variance Optimal Control of Linear Systems with Markovian Jumps and Multiplicative Noise / O. L. V. Costa, R. T. Okimura // International Journal of Control. - 2009. - Vol. 82, № 2. - P. 256-267.

87. Costa O. L. V. Optimal Mean-Variance Control for Discrete-Time Linear Systems with Markovian Jumps and Multiplicative Noises / O. L. V. Costa, A. Oliveira // Automatica. - 2012. - Vol. 48, № 2. - P. 304-315.

88. Costa O. L. V. Indefinite Quadratic with Linear Costs Optimal Control of Markovian Jump with Multiplicative Noise Systems / O. L. V. Costa, W. L. Paulo // Automatica. - 2007. - Vol. 43, № 4. - P. 587-597.

89. Costa O. L. V. Generalized Coupled Algebraic Riccati Equations for Discrete-time Markov Jump with Multiplicative Noise Systems / O. L. V. Costa, W. L. Paulo // European Journal of Control. - 2008. - № 5. - P. 391-408.

90. Cuzzola A. F. An Improved Approach for Constrained Robust Model Predictive Control / A. F. Cuzzola, J. C. Geromel, M. Morari // Automatica. - 2002. -Vol. 38, № 7. - P. 1183-1189.

91. Dai L. Distributed Stochastic MPC for Systems with Parameter Uncertainty and Disturbances / L. Dai [et. al.] // Int J Robust Nonlinear Control. - 2018. - Vol. 28. -

P. 2424-2441.

92. Dantzig G. Multi-stage Stochastic Linear Programs for Portfolio Optimization / G. Dantzig, G. Infanger // Ann. Oper. Research. - 1993. - Vol. 45, № 1. - P. 59-76.

93. Di Cairano S. An Industry Perspective on MPC in Large Volumes Applications: Potential Benefits and Open Challenges / S. Di Cairano // 4th IFAC Nonlinear Model Predictive Control Conference International Federation of Automatic Control. - Noordwijkerhout, 2012. - P. 52-59.

94. do Val J. B. R. Receding horizon control of Markov jump linear systems / J. B. R. do Val, T. Basar // Proceedings of the 1997 American Control Conference. Albuquerque, New Mexico, USA. - 1997. - P. 3195-3199.

95. do Val J. B. R. Receding horizon control of jump linear systems and a macroeconomic policy problem / J. B. R. do Val, T. Ba§ar // Journal of Economic Dynamics & Control. - 1999. - Vol. 23. - P. 1099-1131.

96. Dokuchaev N. Discrete time market with serial correlations and optimal myopic strategies // European Journal of Operational Research. - 2007. - Vol. 177, № 2. - P. 1090-1104.

97. Dokuchaev N. Optimality of myopic strategies for multi-stock discrete time market with management costs // European Journal of Operational Research. - 2012. -Vol. 200. - P. 551-556.

98. Dombrovskii V. V. Investment portfolio optimization with transaction costs and constraints using model predictive control / V. V. Dombrovskii, D. V. Dombrovskii, E. A. Lyashenko // Proceedings of the 8th Russian-Korean International Symposium on Science and Technology. Tomsk, June 26 - July 03, 2004. - Tomsk, 2004. - Vol. 3. - P. 202-205.

99. Dombrovsky V. V. Robust Control of Linear Systems with Random Parameters and Multiplicative Disturbances with Application to the Investment Portfolio Management / V. V. Dombrovsky, E. A. Lyashenko // Proceedings of SICE Annual Conference in Fukui. Fukui, Japan. - 2003. - P. 1109-1114.

100. Dombrovskii V. V. Model predictive control of constrained with non linear stochastic parameters systems / V. V. Dombrovskii, T. U. Obyedko // Вестн. Том. гос.

ун-та. УВТиИ. - 2011. - № 3 (16). - С. 5-12.

101. Dombrovskij V. V. Portfolio optimization in the financial market with serially dependent returns under constraints / V. V. Dombrovskij, T. Yu. Obyedko // Вестник ТГУ. УВТиИ. - 2012. - № 2 (19). - C. 5-13.

102. Dombrovskii V. Portfolio Optimization in the Financial Market with Regime Switching under Constraints, Transaction Costs and Different Rates for Borrowing and Lending [Электронный ресурс] / V. Dombrovskii, T. Obedko // SSRN, 2014. - URL: http://ssrn.com/abstract=2504962 (дата обращения: 22.12.2020).

103. Dombrovskii V. Portfolio Optimization in the Financial Market with Correlated Returns under Constraints, Transaction Costs and Different Rates for Borrowing and Lending [Электронный ресурс] / V. Dombrovskii, T. Obedko // arXiv, 2014. - URL: https://arxiv.org/abs/1410.8042 (дата обращения: 22.12.2020).

104. Dombrovskii V. V. Model predictive control for constrained systems with serially correlated stochastic parameters and portfolio optimization / V. V. Dombrovskii, T. Yu. Obyedko // Automatica. - 2015. - Vol. 54. - P. 325-331.

105. Dombrovskii V. Portfolio optimization in the financial market with regime switching under constraints and transaction costs using model predictive control / V. Dombrovskii, T. Obedko // 2015 European Control Conference (ECC) : proceedings paper. Linz, Austria, July 15-17, 2015. - IEEE Xplore, 2015. - P. 3371-3376.

106. Dombrovskii V. Feedback predictive control strategies for investment in the financial market with serially correlated returns subject to constraints and trading costs / V. Dombrovskii, T. Obedko // Optimal Control Applications and Methods. - 2017. -Vol. 38, № 6. - P. 908-921.

107. Dombrovskii V. V. Model predictive control of constrained Markovian jump nonlinear stochastic systems and portfolio optimization under market frictions / V. V. Dombrovskii, T. Y. Obyedko, M. V. Samorodova // Automatica. - 2018. - Vol. 87. - P. 61-68.

108. Dombrovskii V. Design of model predictive control for constrained Markov jump linear systems with multiplicative noises and online portfolio selection / V. Dombrovskii, T. Pashinskaya // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2019. - Vol. 30 (3).

- P. 1-21.

109. Dombrovskii V. Model predictive control design for constrained Markov jump bilinear stochastic systems with an application in finance / V. Dombrovskii, T. Pashinskaya // International Journal of Systems Science. - 2020. - Vol. 51, is. 16. - P. 3269-3284.

110. Dragan V. The Linear Quadratic Optimization Problems for a Class of Linear Stochastic Systems with Multiplicative White Noise and Markovian Jumping / V. Dragan, T. Morozan // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2004. - Vol. 49, № 5. - P. 665-675.

111. Durtschi B. Portfolio Optimization as a Learning Platform for Control Education and Research / B. Durtschi, M. Skinner, S. Warnick // 2009 American Control Conference. Hyatt Regency Riverfront. St. Louis, MO, USA. - 2009. - P. 3781-3786.

112. Elliott R. J. Exact adaptive filters for Markov chains observed in Gaussian noise // Automatica. - 1994. - Vol. 30. - P. 1399-1408.

113. Elliott R. J. Hidden Markov Models: Estimation and Control / R. J. Elliott, L. Aggoun, J. B. Moore - Berlin : Springer-Verlag, 1995. - 302 p.

114. Elliott R. J. State and mode estimation for discrete-time jump Markov systems / R. J. Elliott, F. Dufour, W. P. Malcolm // SIAM journal on Control and Optimization. - 2005. - № 44. - P. 1081-1104.

115. Fama E. Permanent and temporary components of stock prices / E. Fama, K. French // Journal of Political economy. - 1988. - Vol. 96. - P. 246-273.

116. Farina M. Stochastic linear Model Predictive Control with chance constraints - A review / M. Farina, L. Giulioni, R. Scattolini // Journal of Process Control. - 2016. - Vol. 44. - P. 53-67.

117. Farina M. A hierarchical multi-rate MPC scheme for interconnected systems / M. Farina, X. Zhang, R. Scattolini // Automatica. - 2018. - Vol. 90. - P. 38-46.

118. Fisher J. Linear quadratic regulation of systems with stochastic parameter uncertainties / J. Fisher, R. Bhattacharya // Automatica. - 2009. - Vol. 45. - P. 28312841.

119. Fonseca R. J. International portfolio management with affine policies / R. J. Fonseca, B. Rustem // European Journal of Operational Research. - 2012. - Vol. 223. -P. 177-187.

120. Fontes A. B. An iterative algorithm for constrained MPC with stability of bilinear systems / A. B. Fontes, C. E. T. Dorea, M. R. da S. Garcia // 16th Mediterranean Conference on Control and Automation. - Ajaccio, France. - 2008. - P. 1526-1531.

121. Froisy J. B. Model predictive control—Building a bridge between theory and practice // Computers and Chemical Engineering. - 2006. - Vol. 30. - P. 14261435.

122. Hamilton J. D. Rational Expectations Econometric Analysis of Changes in Regime: An Investigation of the Term Structure of Interest Rates // Journal of Economic Dynamics and Control. - 1988. - Vol. 12. - P. 385-423.

123. Hamilton J. D. Analysis of Time Series Subject to Changes in Regime // Journal of Econometrics. - 1989. - Vol. 45. - P. 39-70.

124. Hamilton J. D. A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Business Cycle // Econometrica. - 1989. - Vol. 57. - P. 357-384.

125. Hamilton J. D. Macroeconomic Regimes and Regime Shifts // Handbook of Macroeconomics. - Cambridge, 2016. - Vol. 2. - P. 163-201.

126. Gao J. Time cardinality constrained mean-variance dynamic portfolio selection and market timing: a stochastic control approach / J. Gao [et. al.] // Automatica. - 2015. - Vol. 54. - P. 91-99.

127. Garleanu N. Dynamic trading with predictable returns and transaction costs / N. Garleanu, L. H. Pedersen // The Journal of Finance. - 2013. - Vol. LXVIII, № 6. -P. 2309-2340.

128. Gelfand A. E. Sampling-Based Approaches to Calculating Marginal Densities / A. E. Gelfand, A. F. M. Smith // Journal of the American Statistical Association. - 1990. - Vol. 85, № 410. - P. 398-409.

129. Gerasimov E. S. Dynamic-network model of managing investment portfolio under random stepwise changes in volatilities of financial assets / E. S. Gerasimov, V.

V. Dombrovskii // Automation and Remote Control. - 2003. - Vol. 64, № 7. - P. 10861099.

130. Ghaoui E. L. State-feedback control of systems with multiplicative noise via linear matrix inequalities // Syst. Control Letters. - 1995. - № 24. - P. 223-228.

131. Goodwin G. C. Predictive control: a historical perspective / G. C. Goodwin, D. S. Carrasco, M. M. Seron // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2012. - Vol. 22. - P. 1296-1313.

132. Graf Plessen M. Dynamic option hedging with transaction costs: A stochastic model predictive control approach / M. Graf Plessen [et. al.] // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2017. - P. 1-20.

133. Grüne L. Nonlinear Model Predictive Control. Theory and Algorithms. / L. Grüne, J. Pannek. - London : Springer-Verlag London Limited, 2011 - 359 p.

134. Gülpinar N. Worst-case robust decisions for multi-period mean-variance portfolio optimization / N. Gülpinar, B. Rustem // European Journal of Operational Research. - 2007. - Vol. 183, № 3. - P. 981-1000.

135. Gülpinar N. Multistage Stochastic Mean-Variance Portfolio Analysis with Transaction Costs / N. Gülpinar, B. Rustem, R. Settergren // Innovations in Financial and Economic Networks. - 2003. - Vol. 3. - P. 46-63.

136. Hakansson N. H. Optimal growth portfolios when yields are serially correlated / N. H. Hakansson, T. C. Liu // Review of Economics and Statistics. - 1970. - Vol. 52, № 4. - P. 385-394.

137. He J. Multi-period mean-variance portfolio optimization with high-order coupled asset dynamics / J. He [et. al.] // IEEE Trans. Autom. Control. - 2015. - Vol. 60, № 5. - P. 1320-1335.

138. Heirung T. A. N. Model Predictive Control with Active Learning under Model Uncertainty: Why, When, and How / T. A. N. Heirung [et. al.] // Wiley Online Library. - 2018. - Vol. 64, № 8. - P. 3071-3081.

139. Heirung T. A. N. Stochastic model predictive control — how does it work? / T. A. N. Heirung [et. al.] // Computers and Chemical Engineering. - 2018. - Vol. 114. -P. 158-170.

140. Hernandez-Medjias M.A. Multiple-Horizon predictive control for Markov-switched linear systems / M. A. Hernandez-Mejias [et. al.] // IFAC-PapersOnLine. -2015. - Vol. 48-23. - P. 230-235.

141. Hernandez-Mejias M. A. Reliable controllable sets for constrained Markov-Jump Linear Systems / M. A. Hernandez-Mejias [et. al.] // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2016. - Vol. 26. - P. 2075-2089.

142. Herzog F. Stochastic model predictive control and portfolio optimization / F. Herzog, G. Dondi, H. P. Geering // International Journal of Theoretical and Applied Finance. - 2007. - Vol. 10, № 2. - P. 203-233.

143. Hien L.V. Asynchronous control of discrete-time stochastic bilinear systems with Markovian switchings / L. V. Hien, N. T. Dzung // International Journal of Systems Science. - 2019. - Vol. 50, № 1. - P. 23-34.

144. Holst U. Recursive estimation in switching autoregressions with Markov regime / U. Holst [et. al.] // Journal of Time Series Analysis. - 1994. - Vol. 15, № 5. -P. 489-506.

145. Hopkins W. E. Optimal Stabilization of Families of Linear Differential Equations with Jump Coefficients and Multiplicative Noise // SIAM Journal of Control and Optimization. - 1987. - Vol. 25, № 6. - P. 1587-1600.

146. Hou T. Finite horizon H2/H-infinity control for discrete-time stochastic systems with Markovian jumps and multiplicative noise / T. Hou, W. Zhang, H. Ma // IEEE Trans. Automat. Control. - 2010. - Vol. 55, № 5. - P. 1185-1191.

147. Hu Y. Constrained stochastic LQ control with random coefficients, and application to portfolio selection / Y. Hu, X. Y. Zhou // SIAM J. Control Optim. - 2005. - Vol. 44, № 2. - P. 444-466.

148. Ishijima H. Log Mean-Variance Portfolio Selection under Regime Switching / H. Ishijima, M. Uchida // Asia-Pacific Financial Markets. - 2011. - Vol. 18, № 2. - P. 213-229.

149. Jacobson D. H. A general result in stochastic optimal control of nonlinear discrete-time systems with quadratic performance criteria // Journal of mathematical analysis and applications. - 1974. - Vol. 47, № 1. - P. 153-161.

150. Kanev S. Robust Output-Feedback Integral MPC: A Probabilistic Approach / S. Kanev, M. Verhaegen // Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. Maui, HI, USA. - 2003. - P. 1914-1919.

151. Kantas N. Sequential Monte Carlo for model predictive control / N. Kantas, J. M. Maciejowski, A. Lecchini-Visintini // Nonlinear model predictive control. - 2009. - P. 263-273.

152. Khreich W. A survey of techniques for incremental learning of HMM parameters / W. Khreich [et. al.] // Information Sciences. - 2012. - Vol. 197 - P. 105130.

153. Kolm P. N. 60 Years of portfolio optimization: Practical challenges and current trends / P. N. Kolm, R. Tutuncu, F. J. Fabozzi // European Journal of Operational Research. - 2014. - Vol. 234, № 2. - P. 356-371.

154. Kouvaritakis B. Model predictive control. Classical, robust and stochastic / B. Kouvaritakis, M. Cannon. - New York : Springer International Publishing, 2016. -384 p.

155. Kouvaritatakis B. Recent developments in stochastic MPC and sustainable development / B. Kouvaritatakis, M. Cannon, V. Tsachouridis // Annual Reviews in Control. - 2004. - № 28. - P. 23-35.

156. Krolzig H.-M. Markov Switching Vector Autoregressions. Modelling, Statistical Inference and Application to Business Cycle Analysis / H.-M. Krolzig. -Berlin : Springer, 1997. - 357 p.

157. Lee J. H. Optimal feedback control strategies for state-space systems with stochastic parameters / J. H. Lee, B. L. Cooly // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1998. - Vol. 43, № 10. - P. 1469-1475.

158. Leippold M. A geometric approach to multiperiod mean variance optimization of assets and liabilities / M. Leippold, F. Trojani, P. Vanini // Journal of Economic Dynamics and Control. - 2004. - Vol. 28, № 6. - P. 1079-1113.

159. Levy M. Portfolio selection in two-regime world / M. Levy, G. Kaplanski // European Journal of Operational Research. - 2015. - Vol. 241. - P. 514-524.

160. Li B. Online portfolio selection: a survey / B. Li, S. C. H. Hoi // ACM

Computing Survey (CSUR). - 2014. - Vol. 46, № 3. - P. 1-33.

161. Li J. Output-feedback model predictive control for stochastic systems with multiplicative and additive uncertainty / J. Li [et. al.] // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2018. - Vol. 28. - P. 86-102.

162. Li D. Optimal Dynamic Portfolio Selection: Multi-Period Mean-Variance Formulation / D. Li, W.-L. Ng // Mathematical Finance. - 2000. - № 10. - P. 387-406.

163. Li L.-W. Decentralized output feedback control of Markovian jump interconnected systems with unknown interconnections / L.-W. Li, G.-H. Yang // International Journal of Systems Science. - 2017. - Vol. 48, № 9. - P. 1856-1870.

164. Li L.-W. Decentralized stabilization of Markovian jump interconnected systems with unknown interconnections and measurement errors / L.-W. Li, G.-H. Yang // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2018. - P. 1-18.

165. Li X. Indefinite Stochastic LQ Control with Jumps / Li X., X. Y. Zhou, M. Ait Rami // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. -Orlando, Florida, USA. - 2001. - P. 1693-1698.

166. Li X. Indefinite stochastic LQ control with Markovian jumps in a finite time horizon / X. Li, X. Y. Zhou // Communications in Information and Systems. - 2002. -№ 2. - P. 265-282.

167. Li X. Indefinite stochastic linear quadratic control with Markovian jumps in infinite time horizon / X. Li, X. Y. Zhou, M. Ait Rami // Journal of Global Optimization. - 2003. - № 27. - P. 149-175.

168. Liang, X. Discrete-time LQG control with input delay and multiplicative noise / X. Liang, J. Xu, H. Zhang // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. - 2017. - Vol. 53, is. 6. - P. 3079-3090.

169. Lim A. Stochastic optimal control LQR control with integral quadratic constraints and indefinite control weights / A. Lim, X. Y. Zhou // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1999. - № 44. - P. 1359-1369.

170. Lim A. Mean-variance portfolio selection via LQ optimal control / A. Lim, X. Y. Zhou // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. Orlando, Florida, USA. - 2001. - P. 4553-4558.

171. Lim A. E. B. Dynamic portfolio selection with market impact costs / A. E. B. Lim, P. Wimonkittiwat // Operations Research Letters. - 2014. - Vol. 42, № 5. - P. 299-306.

172. Liu X. Stock market volatility and equity returns: Evidence from a two-state Markov-switching model with regressors / X. Liu, D. Margaritis, P. Wang // Journal of Empirical Finance. - 2012. - Vol. 19. - P. 483-496.

173. Lorenzen M. Constraint-Tightening and Stability in Stochastic Model Predictive Control / M. Lorenzen [et. al.] // IEEE Transactions on Automatic Control. -2017. - Vol. 62, № 7. - P. 3165-3177.

174. Lu J. Model predictive control synthesis for constrained Markovian jump linear system with bounded disturbance / J. Lu [et. al.] // IET Control Theory Appl. -2017. - Vol. 11, № 18. - P. 3288-3296.

175. Lu J. Constrained model predictive control synthesis for uncertain discrete-time Markovian jump linear systems / J. Lu, D. Li, Y. Xi // IET Control Theory Appl. -2013. - Vol. 7, № 5. - P. 707-719.

176. Lu J. Stochastic model predictive control for probabilistically constrained Markovian jump linear systems with additive Disturbance / J. Lu, Y. Xi, D. Li // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2017. - P. 1-15.

177. Luo C. Generalized differential Riccati equation and indefinite stochastic LQ control with cross term / C. Luo, E. Feng // Applied Mathematics and Computation. - 2004. - № 155. - P. 121-135.

178. Lutkepohl H. New introduction to multiple time series analyses / H. Lutkepohl. - Berlin : Springer, 2005. - 785 p.

179. Marcowitz H. M. Portfolio Selection // Journal of Finance. - 1952. - Vol. 7, № 1. - P. 77-91.

180. Mariton M. Jump linear systems in automatic control / M. Mariton. - New York : Marcel Dekker, 1990. - 320 p.

181. Mayne D. Q. Model predictive control: Recent developments and future promise // Automatica. - 2014. - Vol. 50, № 12. - P. 2967-2986.

182. Mayne D. Q. Constrained model predictive control: Stability and optimality

/ D. Q. Mayne [et. al.] // Automatica. - 2000. - Vol. 36, № 6. - P. 789-814.

183. McCulloch R. Bayesian analysis of autoregressive time series via the Gibbs sampler / R. McCulloch, R. S. Tsay // Journal of Time Series Analysis. - 1994. - Vol. 15, № 2. - P. 235-250.

184. Mesbah A. Stochastic model predictive control with active uncertainty learning: A Survey on dual control // Annual Reviews in Control. - 2018. - Vol. 45. -P. 107-117.

185. Mishra P. K. Sparse and constrained stochastic predictive control for networked systems / P. K. Mishra, D. Chatterjee, D. E. Quevedo // Automatica. - 2018.

- Vol. 87. - P. 40-51.

186. Moreno D. Is the predictability of emerging and developed stock markets really exploitable? / D. Moreno, I. Olmeda // European Journal of Operational Research.

- 2007. - Vol. 1, is. 182. - P. 436-454.

187. Munoz de la Pena Stochastic programming applied to model predictive control / Munoz de la Pena, A. Bemporad, T. Alamo // Proc. 44th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference. Sevilla, Spain. - 2005. - P. 1361-1366.

188. Nystrup P. Multi-period portfolio selection with drawdown control / P. Nystrup [et. al.] // Ann. Oper. Res. - 2018. - P. 1-27.

189. Nystrup P. Dynamic portfolio optimization across hidden market regimes / P. Nystrup, H. Madsen, E. Lindstrom // Quantitative Finance. - 2017. - Vol. 18, is. 1. -P. 83-95.

190. Pardalos P. M. Optimization and Control of Bilinear System. Theory, Algorithms, and Applications / P. M. Pardalos, V. Yatsenko. - New York : Springer, 2008. - 396 p.

191. Park B. G. Robust One-step Receding Horizon Control of Discrete-time Markovian Jump Uncertain Systems / B. G. Park, W. H. Known // Automatica. - 2002.

- Vol. 38, is. 9. - P. 1229-1235.

192. Park B. G. Receding horizon control for linear discrete systems with jump parameters / B. G. Park, J. W. Lee, W. H. Kwon / Proceedings of the 36th IEEE

Conference on Decision and Control. San Diego, California, USA. - 1997. - P. 39563957

193. Pasic-Duncan B. Stochastic Control Methods in Financial Engineering // Special issue of IEEE Transactions on Automatic and Control. - 2004. - P. 882-894.

194. Patrinos P. Stochastic model predictive control for constrained discrete-time Markovian switching systems / P. Patrinos [et. al.] // Automatica. - 2014. - Vol. 50, is. 10. - P. 2504-2514.

195. Paulson J. A. Stochastic model predictive control with joint chance constraints / J. A. Paulson [et. al.] // Int. J. Control. - 2017. - P. 126-139. - URL: https://doi.org/10.1080/00207179.2017.1323351 (дата обращения: 09.02.2021).

196. Paulson J. A. An efficient method for stochastic optimal control with joint chance constraints for nonlinear systems / J. A. Paulson, A. Mesbah // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2019. - Vol. 29, is. 15. - P. 5017-5037.

197. Primbs J. A. A soft constraint approach to stochastic receding horizon control / J. A. Primbs // Proc. 46th IEEE Conference on Decision and Control. New Orleans, LA, USA. - 2007. - P. 4797-4802.

198. Primbs J. A. Dynamic Hedging of Basket Options under Proportional Transaction Costs Using Receding Horizon Control // Int. J. Control. - 2009. - Vol. 82, is. 10. - P. 1841-1855.

199. Primbs J. A. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative noise // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2009. - Vol. 54, is. 2. - P. 221-230.

200. Primbs J. A. Stochastic receding horizon control of constrained linear systems with state and control multiplicative noise / J. A. Primbs, C. H. Sung // IEEE Trans. Automat. Control. - 2009. - Vol. 54, is. 2. - P. 221-230.

201. Rakovic S. V. Handbook of Model Predictive Control / S. V. Rakovic, W. S. Levine. - Basel : Birkhâuser Basel, 2019. - 692 p.

202. Rawlings J. Tutorial: Model Predictive Control Technology / J. Rawlings // Proceedings of American Control Conference. San Diego, California, USA. - 1999. - P. 662-676.

203. Sala A. Stable receding-horizon scenario predictive control for Markov-jump linear systems / A. Sala, M. A. Henandez-Medjias, C. Arino // Automatica. -2017. - Vol. 86. - P. 121-128.

204. Saltik M. B. An outlook on robust model predictive control algorithms: Reflections on performance and computational aspects / M. B. Saltik [et. al.] // Journal of Process Control. - 2018. - Vol. 61. - P. 77-102.

205. Scattolini R. Architectures for distributed and hierarchical Model Predictive Control - A review // Journal of Process Control. - 2009. - Vol. 19. - P. 723-731.

206. Seron M. M. Stochastic model predictive control: Insights and performance comparisons for linear systems / M. M. Seron, G. C. Goodwin, D. S. Carrasco // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2019. - Vol. 29, is. 15. - P. 5038-5057.

207. Sims A. C. Methods for inference in large multiple-equation Markov-switching models / A. C. Sims, D. F. Waggoner, T. Zha // Journal of Econometrics. -2008. - Vol. 146. - P. 255-274.

208. Sopasakis P. Risk-averse model predictive control / P. Sopasakis [et. al.] // Automatica. - 2019. - Vol. 100. - P. 281-288.

209. Sotomayor L. R. Explicit Solutions of Consumption-investment Problems in Financial Markets with Regime-switching / L. R. Sotomayor, A. Cadenillas // Mathematical Finance. - 2009. - Vol. 19, is. 2. - P. 251-279.

210. Stenger B. Topology Free Hidden Markov Models: Application to Background Modeling / B. Stenger [et. al.] // Proceedings to the eighth IEEE international conference on computer vision. Vancouver, BC, Canada. - 2001. - P. 294-301.

211. Teel A. R. Stability analysis for stochastic hybrid systems: A survey / A. R. Teel, A. Subbaram, A. Sferlazza // Automatica. - 2014. - Vol. 50, is. 10. - P. 24352456.

212. Tonne J. Constrained Model Predictive Control of High Dimensional Jump Markov Linear Systems / J. Tonne, M. Jilg, O. Stursberg // American Control Conference. Chicago, IL, USA. - 2015. - P. 2993-2998.

213. Tsay R. S. Analysis of Financial Time Series / R. S. Tsay. - 3rd Edition. -

Hoboken : John Wiley & Sons, Inc., 2010. - 720 p.

214. Vargas A. N. Constrained model predictive control of jump linear systems with noise and non-observed Markov state / A. N. Vargas, W. Furloni, J. B. R. do Val // Proceedings of the 2006 American Control Conference. Minneapolis, Minnesota, USA.

- 2006. - P. 929-934.

215. Vargas A. N. Second moment constraints and the control problem of Markov jump linear systems / A. N. Vargas, W. Furlony, J. B. R. do Val // Numerical Linear Algebra with Appl. - 2013. - Vol. 20, is. 2. - P. 357-368.

216. Vargas A. N. Receding horizon control of Markov jump linear systems subject to noise and unobserved state chain / A. N. Vargas, J. B. R. do Val, E. F. Costa // Proceedings of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control. Nassau, Bahamas. - 2004. - P. 4381-4386.

217. Vatani M. Control design for discrete-time bilinear systems using the scalarized Schur complement / M. Vatani, M. Hovd, S. Olaru // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2017. - Vol. 27. - P. 4492-4506.

218. Wang Y. Fast Model Predictive Control Using Online Optimization / Y. Wang, S. Boyd // IEEE Transactions on Control Systems Technology. - 2010. - Vol. 18, is. 2. - P. 267-278.

219. Wen J. Receding horizon control for constrained Markovian jump linear systems with bounded disturbance / J. Wen, F. Liu // Journal of Dynamic Systems Measurement and Control. - 2011. - Vol. 133 (1). - P. 011005-1-011005-10.

220. Xu S. Robust Hro control for uncertain discrete-time stochastic bilinear systems with Markovian switching / S. Xu, T. Chen // Int. J. Robust Nonlinear Control.

- 2005. - Vol. 15. - P. 201-217.

221. Y. H. Dynamic portfolio selection based on serially correlated return -Dynamic mean-variance formulation / Y. H. Xu, Z. F. Li // System Engineering Theory and Practice. - 2008. - Vol. 28, is. 8. - P. 123-131.

222. Yamada Y. Model predictive control for optimal portfolios with cointegrated pairs of stocks / Y. Yamada, J. A. Primbs // Proceedings of the IEEE conference on decision and control. Maui, Hawaii, USA. - 2012. - P. 5705-5710.

223. Yaz E. A control scheme for a class of discrete nonlinear stochastic systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1987. - Vol. 32, is. 1. - P. 77-80.

224. Yaz E. Robust design of stochastic controllers for nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1989. - Vol. 34, is. 3. - P. 349-353.

225. Yin G. Markowitz's Mean-Variance Portfolio Selection with Regime Switching: From Discrete-time Models to their Continuous-time Limits / G. Yin, X. Y. Zhou // IEEE Transactions Automat. Control. - 2004. - Vol. 49, is. 3. - P. 349-360.

226. Yin Y. Constrained control of uncertain nonhomogeneous Markovian jump systems / Y. Yin, Z. Lin // Int. J. Robust Nonlinear Control. - 2017. - Vol. 27, is. 17. -P. 3937-3950.

227. Yiu K. F. C. Optimal portfolios with regime switching and value-at-risk constraint / K. F. C. Yiu [et. al.] // Automatica. - 2010. - Vol. 46. - P. 979-989.

228. Zhang L. Multi-Period Mean-Variance Portfolio Selection with Uncertain Time Horizon When Returns Are Serially Correlated / L. Zhang, Z. Li // Mathematical Problems in Engineering. - 2012. - Vol. 2012. - P. 1-17.

229. Zhang Y. Robust stochastic stability of uncertain discrete-time impulsive Markovian jump delay systems with multiplicative noises / Y. Zhang, C. Wang // International Journal of Systems Science. - 2015. - Vol. 46, is. 12. - P. 2210-2220.

230. Zhong X. Optimal Control for Unknown Discrete-Time Nonlinear Markov Jump Systems Using Adaptive Dynamic Programming / X. Zhong [et. al.] // IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. - 2014. - Vol. 25, is. 12. - P. 2141-2155.

231. Zhou X. Y. Continuous-time mean-variance portfolio selection: a stochastic LQ framework / X. Y. Zhou, D. Li // Applied Mathematics & Optimization. - 2000. -№ 42. - P. 19-33.

232. Zhou X. Y. Markowitz's mean-variance portfolio selection with regime-switching: a continuous-time model / X. Y. Zhou, G. Yin // SIAM Journal on Control and Optimization. - 2003. - Vol. 42, is. 4. - P. 1466-1482.

Приложение А

(справочное)

Акт о внедрении результатов исследования в учебный процесс

Национального исследовательского Томского государственного университета

УТВЕРЖДАЮ: Проректор по образ-оиахсльной деятельности

о внедрении результатов докторской диссертации Нашинской Т.Ю. Р уч&тмШ процесс НИ ТГУ

Настшщим и i одтосржшктсяц чт результата диссертации Пашмнсшй TJO. «Управление с прогнозированием нелинейными дискретными системами со случайными параметрами при ограничениях». иредствнясиной т соискание ученой степени доктора фитт-мштсыштмчестх наук m специальности 05Л 3.01 - Системный аналиж упршленне и обработка информации, иссюльэукггсэi в Инегитуге прикладной математики и шмтлащтмж тук ! 1ациокалкного тшмщ&ттвштт Томского государствснного уиивсрсктхпа (ИПМШ! ПИ ТГУ) i учебном процессе по дащшюншш «Теория оптимального ущтттвт -для бшшро! 3~го шла обучения. «Мшемаггипсекие метода финансового ттшшт - для бакалавров 2-га тода обучения, а также при выполнении курсовых и выпускных квалнфикиционinax работ бакалаврами, обучающимися по направлению «01.03.02 Приюатм адшметажа и информаткш^ ICVpC ОВЫ.Ч рШКГГ 1-Я магасрершш. дкедггаций мшишрми» абучшнцкмисл по направлению шщгшишш «<01,04.02 Прикладная тшштштт и информатика», и штшмттх диссертаций аспирантами* обучающимися но напршшш dO9.06.Ol Инфирмаггика и вычислительная