Топологические солитоны в трехмерной калибровочной модели Скирма тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Эдвин Бенавенте Рамирес

• Эдвин Бенавенте Рамирес
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эдвин Бенавенте Рамирес

Введение.

Глава 1. Аксиально-симметричные конфигурации полей в калибровочной модели Скирма.

1.1. Калибровочная 5'С/(2) модель Скирма.

1.2. Метод решения задачи.

1.3. Оценка топологического заряда.

Глава 2. Структура гамильтониана аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма.

Глава 3. Струнное приближение и аксиально-симметричные решения.

Выводы.

Список источников.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические солитоны в трехмерной калибровочной модели Скирма»

В современной теоретической физике, при попытках построения последовательной полевой теории элементарных частиц, выясняется, что проистекают они главным образом из-за неумения сохранить в релятивистской квантовой теории образ протяжённой частицы. Разделяя мнение некоторых учёных о том, что последовательная квантовая теория должна опираться на хорошую классическую теорию, мы обращаемся к описанию протяженных частиц в рамках классической нелинейной теории поля.

На возможности нелинейной теории поля в описании протяжённых частиц указывали В. Гейзенберг, Д. Д. Иваненко [1], Я. П. Терлецкий [2] и другие авторы. Особенно отметим направление, восходящее к Г. Ми [3] и А. Эйнштейну [4, 5], в основе которого лежит представление о частицах как сгустках некоторого материального поля, полевых образованиях с повышенной по сравнению с другими частями пространства концентрацией энергии.

Представления о частице как о локализованном в малой области пространства регулярном физическом поле с конечной энергией и другими характеристиками встречались в литературе под разными именами: части-цеподобные решения (Particle-like Solutions) у Н. Розена, Р. Финкелыптейна и Я. П. Терлецкого; «Горбы» (le champ a bosse) у JI. деБройля; «кинки» (kinks) у Р. Финкелыптейна, «комки» (lumps) у С. Коулмена и др. Концепция многомерного солитона с нетривиальной топологической структурой возникла в конце 30-х годов XX века [6-8].

С этой точки зрения, частицы должны описываться регулярными решениями, т.е. не имеющими особенностей локализованными решениями некоторых нелинейных уравнений поля, исчезающими на пространственной бесконечности, которым приписываются конечные энергия, импульс, спин и другие динамические характеристики. Такие решения называются солитонами. Солитоны характеризуются следующими свойствами: а) это локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды, которые б) распространяются без деформации, переносят энергию, импульс, момент импульса, в) сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими подобными образованиями, г) могут образовывать связанные состояния.

Среди множества решений нелинейных уравнений выделяются классы солитонных решений, которые обладают свойством локализованности и устойчивости, т.е. солитоны сохраняют свою форму в результате взаимодействия. Свойство локализованности присуще не только солитонам, но и более широким классам решений нелинейных уравнений, которые известны как уединённые волны [9]: «Все солитоны являются уединёнными волнами, но обратное неверно, т. к. уединённые волны могут быть неустойчивыми». В общем случае решения нелинейных уравнений, моделирующих некоторое физическое явление, необязательно должны быть локализованными. Это связано с тем, что в системе могут существовать различные локальные области равновесных (или вакуумных) состояний, иначе говоря, равновесное состояние может быть вырожденным [10]. Более строгое определение можно найти в книгах [11-14].

Солитоноподобные решения нелинейных уравнений находят широкое применение в различных областях физики. Они обнаруживаются как при исследовании макроскопических явлений в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, механике сплошных сред и теории гравитации, так и в микроскопической области: в биофизике, в биологии и.т.д. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры протяжённых частиц [15,16].

Д. Финкельштейн, Ч. Мизнер [17] и независимо от них Т. Скирм [68] в конце 50-х годов XX века впервые ввели в физику топологическую классификацию решений уравнений поля и новый тип законов сохранения, получивших название топологических.

Топологические солитоны обладают свойствами локализованности и устойчивости. В теории поля распространено представление об элементарных частицах как локализованных и устойчивых возбуждениях с конечной энергией. Исследованию устойчивости солитонов по отношению к начальным возмущениям были посвящены основополагающие работы Т. Б. Бенджамина [18], Дж. Шатаха [19-21], В.Е. Захарова [22,23], Е. А. Кузнецова [24,25], В. Г. Маханькова [26] и др. [27-29]. Это позволяет найти соответствие между солитонными решениями и состояниями, описывающими протяжённые частицы в квантовой теории.

Английский физик Тони Хилтон Роял Скирм оставил чрезвычайно яркий след в современной физике ядра и элементарных частиц. В конце 50-х годов XX века Скирмом был разработан оригинальный подход к физике частиц, опирающийся на глубокие топологические идеи. Первую попытку построения модели ядерной материи Скирм предпринял в начале 50-х годов, поставив перед собой задачу дать хотя бы качественное обьяснение известных к тому времени экспериментальных фактов о строении ядра.

Первоначально Скирм хотел получить ответ на вопрос: «Почему экспериментальные измерения радиуса ядра различными методами приводят к существенно разным результатам»? В экспериментах по ораспаду и по рассеянию тяжёлых ядер было установлено, что радиус ядра может быть выражен формулой Я = 1.5А^ х Ю-13 см, где А — число нуклонов в ядре. В то же время эксперименты по рассеянию быстрых электронов на ядрах приводили к существенно меньшему значению для радиусов ядер: И! = 1.2Аъ х Ю-13 см. Скирм предложил рассматривать ядро как некоторую несжимаемую электрически нейтральную пионную жидкость, заполняющую шарообразную область радиуса Я. В каждой точке пространства эту жидкость можно характеризовать некоторой скалярной плотностью и некоторым вектором в пространстве изоспина. В жидкость погружены нук-лонные источники, сильно взаимодействующие с пионами и занимающие область меньшего радиуса В!.

Поэтому в экспериментах первого типа, где существенным является взаимодействие с пионами, получается значение Я, а в экспериментах с электрически заряженными частицами, где фактически проявляется распределение электрического заряда в ядре — И!, т. е. среднеквадратичный зарядовый радиус.

В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом ф, интерпретируемым как барионное число.

Топологические солитоны — это регулярные решения полевых уравнений, наделенные топологическим зарядом, сохраняющимся тождественно, т.е. независимо от уравнений движения, не меняющимся при непрерывной деформации поля и принимающим целочисленные значения. Это топологические инварианты типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т. д. Солитонные решения привлекательные для построения моделей физики элементарных частиц, и в частности, могут рассматриваться как полезный инструмент на пути реализации идей Г. Ми, А. Эйнштейна, Л. деБройля и других об описании элементарных частиц как некоторых сгустков нелинейных полей.

Интерес к модели Скирма значительно возрос после появления работ Э. Виттена [30,31], в которых было установлено, что квантовая хромодина-мика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной мезонной теории, которая в низкоэнергетическом пределе аппроксимируется нелинейной сигма-моделью со спонтанно нарушенной киральной симметрией. Именно к таким моделям относится модель Скирма.

В простейшем 517(2) варианте модели Скирма, нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый ан-зац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения.

7Г-мезонная шуба определяет структуру нуклона тоько на больших расстояниях (юкавская асимптотика) порядка 1 ферми, а в области кора требуется учесть вклад более тяжёлых мезонов. Эту задачу решает калибровочная модель Скирма [32], в которой роль калибровочного поля играет векторное поле /> мезонов.

Основным объектом в модели Скирма является главное киральное поле 11, принимающее значение в группе ви(2) и параметризуемое при помощи изовекторного поля (ра, а = 1,2,3, следующим образом:

II = еы<тв, в = 9(х, ¿) — киральный угол, па — единичный вектор в изопространстве, та — матрицы Паули, р — изовектор, который описывает пионное поле,

Скирмионы с топологическими зарядом ф >> 1 находят широкое применение в астрофизике, где, безусловно необходим учёт гравитации.

Существенным препятствием для дальнейшего исследования возможностей киральной модели Скирма и для построения на её основе последовательной квантовой схемы является невозможность получения явных аналитических решений уравнений модели, хотя их существование было доказано [33-36].

Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурами сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [6, 33, 36-41], что при |<2| = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на ежовом анзаце, а при > 1 на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура). Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [42].

В диссертации изучается калибровочная модель Скирма, учитывающая вклад не только 7Г-пионов, но и векторных р-мезонов

Структура диссертации предполагается следующей.

Во Введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Эдвин Бенавенте Рамирес

Выводы

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

• Найдена структура инвариантных векторного и кирального полей в аксиально-симметричной калибровочной 57/(2)-модели Скирма.

• Выявлена дискретная симметрия гамильтониана в аксиально-симметричной ви(2)-модели Скирма.

• Исследованы топологические конфигурации тороидальной структуры.

• Если предположить, что радиус а замыкания тора весьма большой, то весьма большим будет и топологический заряд С} {п к). При таком допущении удаётся найти явные выражения для кирального и калибровочного полей внутри замкнутой струны (вихря). С помощью этих выражений находится радиус замыкания и энергия вихря как функции от топологического числа п, которое определяет число закруток кирального угла (р = п9 вокруг продольной оси вихря. Интересно, что энергия вихря при п 1 пропорциональна п9/4, как это следует из формулы (3.17), и не зависит от параметров векторного поля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эдвин Бенавенте Рамирес, 2007 год

1. Нелинейная квантовая теория поля // Сб. переводов под ред. Иваненко Д. Д. М.: И.Л., 1959. - С. 464.

2. Исследование частицеподобных решений нелинейного уравнения скалярного поля / В. Б. Гласко, Ф. Лерюст, Я. П. Терлецкий, С. Ф. Шу-шурин // ЖЭТФ. Т. 35, вып. 2. - 1958. - С. 452-457.

3. Mie G. Gründlagen einer Theorie der Materie // Ann. der. Phys. — Vol. 37. 1912. - P. 511.

4. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1966. — Т. 2, 879 с.

5. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1967. — Т. 4, 600 с.

6. Skyrme Т. Н. R. A Unified Field Theory of Mesons and Baryons // Nucl. Phys. Vol. 31, No 4. - 1962. - Pp. 556-569.

7. Skyrme Т. H. R. Nonlinear Theory of Strong Interactions // Proc. Roy. Soc. London, ser. A. Vol. 247. - 1958. - Pp. 260-278.

8. Skyrme Т. H. R. Nonlinear Field Theory // Proc. Roy. Soc. London, ser. A. Vol. 260. - 1961. - Pp. 127-138.

9. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.: Мир, 1985. 414 с.

10. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. — М.: Наука, 1989. — 398 с.

11. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. 480 с.

12. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Д. Эйлбек, Д. Гиббон, X. Моррис. М.: Мир, 1988. - 694 с.

13. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1986. - 528 с.

14. Makhankov V. G. Soliton Phenomenology. — Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1990. 452 c.

15. Zahed I., Brown G. E. The Skyrme Model // Phys. Reports, ser. C. — Vol. 142, No 1-2. 1986. - Pp. 1-102.

16. Adkins G. 5., Nappi C. R., Witten E. Static Properties of Nucleons in the Skyrme Model // Nucl. Phys., ser. B. Vol. 228, No 4. - 1983. -Pp. 552-566.

17. Finkelstein D., Misner C. Some New Conservation Laws // Ann. Phys.(USA). Vol. 6, No 2. - 1959. - Pp. 230-243.

18. Benjamin Т. B. The Stability of Solitary Waves // Proc. Roy. Soc., ser. A. — Vol. 328. 1972. - Pp. 153-183.

19. Shatah J. Stable Standing Waves of Nonlinear Klein-Gordon Equations // Comm. Math. Phys. Vol. 91, No 3. - 1983. - P. 313.

20. Shatah J. Unstable Ground State of Nonlinear Klein-Gordon Equations // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 290, No 2. - 1985. - Pp. 701-710.

21. Shatah J., Strauss W. Instability of Nonlinear States // Comm. Math. Phys. Vol. 100, No 2. - 1985. - Pp. 173-190.

22. Захаров В. E. О неустойчивости самофокусировки света // ЖЭТФ. — Т. 53, вып. 5. 1967. - С. 1735-1743.

23. Захаров В. Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. — Т. 62, вып. 5. 1972. - С. 1743-1759.

24. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ. — Т. 66, вып. 5. 1974. - С. 594-597.

25. Zakharov V. Е. and К. Е. A., Rubenchik А. М. Soliton Stability. — Novosibirsk, 1983. — 62 p. — Preprint Inst. Automatics к Electrometry. Siberian Branch of USSR Acad. Sci, №199.

26. Makhankov V. G. Dynamics of Classical Solitons (in Non-Integrable Systems) // Phys. Reports, ser. C. Vol. 35, No 1. - 1978. - Pp. 1-128.

27. Жидков E. П., Кирчев К. П. Устойчивость решений вида уединенных волн некоторых нелинейных уравнений математической физики // Физ. элем, частиц и атом. ядра. — Т. 16, вып. 3. — 1985. — С. 597-648.

28. Holm D. D., Marsden J. E. Ratiu Т., Weinstein A. Nonlinear Stability of Fluid and Plasma Equilibria // Phys. Reports. — Vol. 123, No 1-2. —1985. Pp. 1-116.

29. Kuznetsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E. Soliton Stability in Plasma and Hydrodynamics // Phys. Reports, ser. C. — Vol. 142, No 3. —1986. Pp. 103-165.

30. Witten E. Baryons in the ^ Expansion // Nucl. Phys, ser. B. — Vol. 160, No 1. 1979. - Pp. 57-115.

31. Witten E. Current Algebra, Baryons, and Quark Confinement // Nucl. Phys., ser. B. Vol. 223, No 2. - 1983. - Pp. 433-444.

32. Faddeev L. D. Some Comments on Many-Dimensional Solitons // Lett. Math. Phys. Vol. 1, No 4. - 1976. - Pp. 289-293.

33. Рыбаков Ю. П. Устойчивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации // Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. Гравитация и космология. — Т. 2. — 1991. — С. 56-111.

34. Рыбаков Ю. П. Скирмионы в высших гомотопических классах // Вестник Российского университета дружбы народов. Сер. Физика. — № 1. — 1993. С. 49-53.

35. Rybakov Y. P. Skyrmions in Higher Homotopic Classes // Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. Proc. of Intern. Conf. "NEEDS92". Dubna. - / Eds.: V. G. Makhankov, I. V. Puzynin, О. K. Pashaev-Singapore - Singapure: WS, 1993 - Pp. 166-169.

36. Рыбаков Ю. П. Структура минимизаторов энергии в S2 нелинейной сигма-модели // Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Математика». — № 2, вып. 2. — 1995. — С. 3-7.

37. Weyl Н. Raum, Zeit, Materie. Vorlesungen iiber Algemeine Relativitats Theorie. Berlin: Springer, 1918. - 234 p.

38. Нисиченко В. П. Исследование регулярных решений нелинейных уравнений для некоторых полевых моделей. Автореф. дисс. канд. физ-мат наук. — М.: Ун-т дружбы народов, 1981.

39. Богомольный Е. Б., Фатеев В. А. Асимптотическое вычисление масс солитонов // Ядер. физ. Т. 37, № 1. - 1983. - С. 228-241.

40. Копелиович В. Б., Штерн Б. Е. Экзотические скирмионы // Письма в ЖЭТФ. Т. 45, вып. 4. - 1987. - С. 165-168.

41. Рыбаков Ю. П. Об условной устойчивости регулярных решений в нелинейной теорий поля // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1979. - Вып. 10. - С. 194-202.

42. Dubovik V. М. Toroid Moments in Electrodynamics and Solid-State Physics I I Phys. Rep. Vol. 187, No 4. - 1990. - Pp. 145-202.

43. Coleman S. Classical Lumps and their Quantum Descendants. Lectures at the 1975 International School of Subnuclear Physics "Ettore Majorana"

44. Erice) "New Phenomena in Subnuclear Physics" / Ed. by A. Zichichi. — N.Y.: Plenum Press, 1977. Pp. 297-421.

45. Palais R. The Principle of Symmetric Criticality // Comm. Math. Phys. — Vol. 69, No 1. 1979. - Pp. 19-30.

46. Ладыженская О. А., Капитанский JI. В. О принципе Коулмена нахождения стационарных точек инвариантных функционалов // Зап. науч. сем. ЛОМИ. Т. 127, вып. 15. - 1983. - С. 84-102.

47. Waterhouse W. С. Do Symmetric Problems Have Symmetric Solutions I I Amer. Math. Monthly. Vol. 90, No 6. - 1983. - Pp. 378-387.

48. Смейл С. Топология и Механика // Усп. мат. наук. — Т. 27, № 2. — 1972. С. 77-133.

49. Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: ИЛ, 1954. — 184 с.

50. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. 280 с.

51. Лезнов А. Н., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. — М.: Наука, 1985. — 280 с.

52. Фаддеев Л. Д. В поисках многомерных солитонов // Нелокальные, нелинейные и неренормируемые теории поля. — Дубна: ОИЯИ, 1977. — С. 207-223.

53. Алъбер С. И. Топология функциональных многообразий и вариационное исчисление в целом // Усп. мат. наук. — Т. 25, № 4. — 1970. — С. 57-123.

54. Монастырский М. И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1995. - 478 с.

55. Ellis S., Lemaire L. A Report on Harmonic Maps // Bull. Lond. Math. Soc. Vol. 10, No 1. - 1978. - Pp. 1-98.

56. Кунду А., Рыбаков Ю. П., Сапюк В. И. О структуре топологических солитонов // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. — Вып. 11. 1980. - С. 14-22.

57. Makhankov V. G., Rybakov Y. Р., Sanyuk V. I. The Skyrme Model. Fundamentáis, Methods, Applications. — Berlín: Springer Verlag, 1993. — 260 p.

58. Нисиченко В. П., Рыбаков Ю. П. О регулярных решениях в модели Скирма с калибровочным полем // Изв. ВУЗОВ. Физика. — Т. 23, № 9. 1980. - С. 13-17.