Локализованные состояния в нелинейных сигма-моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Аби Фарраж Наджиб

• Аби Фарраж Наджиб
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Аби Фарраж Наджиб

Оглавление

Введение

1 Спинорная реализация 5£/(2) киральной модели Скирма

1.1 311(2) киральная модель Скирма

1.2 Введение спинорного поля

1.3 Билинейные спинорные тождества для 8-спинора в представлении Ж. Лошака

1.4 Оценка энергии снизу через топологический заряд

1.5 Краткие выводы

2 8-спинорная полевая модель с учётом нелинейной электродинамики Ми

2.1 8-спинорная полевая модель

2.2 Струнное приближение

2.3 Решение при малых х: х —> 0

2.4 Оценки наблюдаемых характеристик солитона

2.5 Краткие выводы

3 Новые возможности 8-спинорной модели

3.1 Общие характеристики классификации частиц лептонного

сектора

3.2 Классификация частиц лептонного сектора в рамках разных многообразий

3.3 Классификация частиц лептонного сектора в рамках одного многообразия

3.4 Проблема универсальности вакуума

3.5 Краткие выводы

Заключение

Приложение А: Вычисление спинорной связности

Приложение Б: Вычисление лагранжевой плотности в струнном приближении

Приложение В: Струнное приближение в тороидальных координатах

Приложение Г: Вычисление римановых инвариантов для случаев струнных решений

Приложение Д: Решения уравнений поля на больших и малых расстояниях

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локализованные состояния в нелинейных сигма-моделях»

Введение

Изучение широкого класса физических явлений приводит к необходимости изучения нелинейных волновых уравнений, главной отличительной особенностью которых является существование особого рода решений, получивших название солитонных и описывающих локализованные долгожи-вущие возбуждения нелинейных систем. Эти локализованные структуры стали объектом пристального внимания физиков и математиков в последней четверти XX века, что привело впоследствии к формированию новой области математической физики - теории солитонов. При этом выяснилась фундаментальная роль солитонов в существенно нелинейных процессах, отвечающих сильным возбуждениям.

К одному из классов моделей, описывающих нелинейные процессы, относятся так называемые нелинейные сигма-модели, допускающие существование солитоноподобных локализованных состояний.

Локализованные состояния — это состояния, обладающие конечными значениями энергии, импульса, заряда и т.д.

Нелинейные сигма-модели — это модели, допускающие спонтанное нарушение симметрии. Последнее соответствует тому, что лагранжиан и вакуумные состояния допускают разные группы симметрии.

Солитоноподобные возбуждения возникают в нелинейных динамических системах при достаточно сильном воздействии на них сторонних сил, а также в результате нелинейных эффектов самодействия, причем возникаю-

щие локализованные структуры обладают рядом необычных для линейной физики свойств, в частности, удивительной устойчивостью.

Солитоноподобные объекты обнаруживаются как при исследовании макроскопических явлений в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, так и в микроскопической области. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры и основных динамических характеристик бари-онов как протяженных частиц.

В настоящей работе используется идея Эйнштейна [1] об описании частиц в виде сгустков некоторого материального поля или, иными словами, солитонная концепция Эйнштейна-де Бройля. Эта идея получила широкое распространение при построении разных моделей, ставящих своей целью описание структуры элементарных частиц.

В рамках таких моделей, следуя концепции Эйнштейна, можно получить такие характеристики, как массы частиц, их спины, магнитные моменты и т.д., как наблюдаемые параметры локализованной полевой конфигурации, наделённой нетривиальным топологическим зарядом, т. е. топологическим солитоном.

Напомним, что топологическими солитонами принято называть регулярные решения полевых уравнений с конечными динамическими характеристиками, которые выделены среди множества солитонных решений нелинейных уравнений тем, что наделены топологической характеристикой типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т.д. Под солитонами обычно понимают локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды, которые

1. распространяются без деформаций, перенося энергию, импульс, момент импульса;

2. сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими солитонами;

3. могут образовывать связанные состояния и ансамбли (т. е. ЛГ-солитонные состояния).

Однако такими свойствами, в основном, обладают только одномерные солитоны. Распространение этих представлений на реальный трёхмерный случай было предпринято английским физиком-ядерщиком Скирмом в 1954 г., которому принадлежит замечательная идея рассматривать барио-ны как топологические солитоны. В настоящее время наибольшую известность получили две модели, в которых были рассмотрены, соответственно, протяжённые топологические структуры: тяжёлые (барионы) и легкие (лептоны) частицы.

• В первой модели (Скирм, 1954 г.) [2, 3] топологический заряд =

—)• 5*3) интерпретировался как барионное число В и играл роль генератора гомотопической группы 7т3(53) = Т.

• Во второй модели (Фаддеев, 1972 г.) [4, 5] инвариант Хопфа интерпретировался как лептонное число Ь и играл роль генератора гомотопической ГруППЫ 7Гз(52) = 2.

При этом топологический заряд возникает как геометрическая характеристика полевого многообразия модели. Это характерно для киральных

моделей, для которых поле принимает значения в некоторой группе, сфере или однородном пространстве.

Существуют два различных типа топологических солитонов: кираль-ные солитоны, характерные для физических полей, исчезающих на бесконечности, и Хиггсовские солитоны, характерные для полей с нетривиальными и различными асимптотиками на бесконечности и вырожденным классическим вакуумом [6].

Имеется ещё одна возможность — использовать нетривиальную топологию самого пространства-времени, но в данной работе она не рассматривается.

Известны модели, допускающие существование топологических солитонов, наблюдаемых на практике. Например, это вихри в сверхпроводниках [7]. Скирмионы представляют собой топологические солитоны в модели Скирма, которые могут описать форму и характеристики лёгких ядер.

Киральные солитонные модели, предложенные Скирмом в 1961 году, дают возможность относительно простого описания барионных систем с различными свойствами, основанного на малом количестве исходных принципов. В рамках модели Скирма удаётся сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметричные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом, интерпретируемым как барионное число. В рамках моделей с топологическим зарядом,

в которых энергия оценивается снизу через топологический заряд, могут существовать абсолютно устойчивые солитонные решения, реализующие нижнюю грань функционала энергии.

В 1973 г. Фаддеев предположил, что в рамках сигма-модели на 0(3), модифицированной добавочным членом типа Скирма, должны существовать замкнутые струно-подобные топологические солитоны, наделённые целочисленным индексом Хопфа.

За последние годы было предпринято несколько попыток получить точные солитонные решения в ряде моделей с масштабной симметрией [8]. В модели Фаддеева топологически нетривиальные конфигурации могут обладать, самое большее, аксиальной симметрией [9]. Таким образом, ситуация отличается от модели Скирма с целевым пространством 5'3, где (ф = 1) солитон сферически-симметричен. В схеме Фаддеева солитон с минимальной энергией при С^н = 1 имеет тороидальную форму (замкнутая закрученная струна).

В этих двух моделях нет возможности получить полуцелый спин частицы. В модели Скирма пионное поле является изоскалярным, а в модели Фаддеева и поле является векторным. Одним из возможных путей для обеспечения существования полуцелого спина в построенных моделях является введение спинорного поля. Такая попытка была предпринята Рыбаковым Ю.П. в работах [10, 11].

В данной работе предлагаются два варианта спиноризации. Первый вариант — это спинорная реализация киральной модели Скирма (Глава 1). В этой главе получены два важных результата:

1. Получено условие сферы 53 естественным образом, а именно,

<р§ + <^ = Я§, а = 1,2,3;

2. Оценена энергия снизу через топологический заряд.

Во втором варианте (Глава 2) предлагается способ построения модели, объединяющей оба вышеперечисленных подхода (Скирма-Фаддеева) на основе обобщённой нелинейной электродинамики Ми [12] в рамках эффективной 8-спинорной полевой модели.

Для спинорной реализации всех возможных моделей кирального типа используется геометрическое тождество Бриоски, согласно которому [13]:

V - V" = 52 + р2 + V2 + а2, (1)

где билинейные спинорные комбинации в, р, V, а, и представлены в следующем виде:

5 = фф; р = гФ75Ф; V = ФтФ;

а = гФ7мтФ; = = Ф7/У5Ф;

ф == Ф+7о — дираковски сопряжённый 8-спинор,

т — матрицы Паули во внутреннем изотопическом пространстве,

7М — матрицы Дирака в представлении Вейля, 75 = 7^.

Если записать 8-спинор в виде столбца Ф = 001(^1,^2); ^г = со1(уг5 Хг)>

г = 1, 2, где Хг суть 2-спиноры, тогда, с помощью (1) нетрудно доказать,

что

2 V* = з2 + р2 + V2 + а2 + Д2, (2)

где Д2 = 8[(^1X^2) + (Х|Х1)(Х2+Х2) - |Х?Х2|2 - Ыч>2?] > 0.

Структура тождества (2) приводит к тому, что потенциал Хиггса, приводящий к спонтанному нарушению симметрии, в 8-спинорной модели

естественным образом можно представить как функцию от З^З1':

2

У = - *

8

где (7 и хо — два параметра потенциала Хиггса.

Для получения локализованной солитоноподобной конфигурации необходимо задать естественное граничное условие на бесконечности:

Из условия (4) и известных свойств гомотопических групп для сферы

следует, что ттз(Зп) = 0 для п ^ 4и существуют только две возможности получить состояния с нетривиальным топологическим зарядом для п < 4:

1. 7Гз(53) = 7. (модель Скирма),

2. 7Гз(52) = Ж (модель Фаддеева).

Например, если вакуумное состояние Фо характеризуется значением з(Фо) Ф 0> тогда киральный инвариант в2 + а2 определяет сферу 53 как полевое многообразие, что соответствует модели Скирма. С другой стороны, если только г'з(Фо) Ф 0, тогда инвариант V2 определяет в2 как полевое многообразие, что соответствует модели Фаддеева. Цель настоящей работы:

1. Построить 8-спинорную нелинейную полевую модель, учитывающую взаимодействие спинорного поля с электромагнитным полем, для которой модели Скирма и Фаддеева возникают как частные случаи;

2. Построить солитоноподобные решения в 8-спинорной модели с нетривиальным топологическим зарядом типа индекса Хопфа;

Ит 3^3^ = Хд.

[г|—»+оо

(4)

3. Оценить такие характеристики топологических локализованных конфигураций, как спин, масса и магнитный момент.

Настоящая диссертация состоит из введения, трёх глав, пяти приложений, заключения, списка литературы.

В первой главе предлагается простейший вариант спиноризации модели Скирма при использовании 8-спинора в представлении Лошака. В результате получен ряд билинейных спинорных тождеств, и энергия оценивается снизу через топологический заряд.

Вторая глава посвящена анализу структуры солитонов в струнном приближении на больших расстояниях (х —>■ 0) и анализу структуры солитонов на малых расстояниях (х -» +оо). Предлагается ряд пробных функций, через которые можно найти численные характеристики солитонов (массу, спин, магнитный момент) для индекса Хопфа С^н = 2.

В третьей главе приводится описание разных конфигураций (топологических) в результате объединения двух моделей (Скирма и Фаддеева) в рамках 8-спинорной полевой модели.

Основные результаты диссертации перечислены в заключении.

В диссертации имеется несколько приложений, где приводятся основные вычисления, которые понадобились в ходе подготовки работы.

1. Спинорная реализация 5С/(2) киральной модели

Скирма

1.1. 5£/(2) киральная модель Скирма

Более тридцати лет назад Т.Х.Р. Скирм предложил оригинальную модель сильных взаимодействий, в которой барионы выступали как стабильные протяжённые объекты — топологические солитоны [14]. При обосновании своей модели Скирм исходил из глубокой физической идеи о спонтанном нарушении киральной симметрии в её нелинейной реализации [15]. При этом поле принимало значения в нелинейном многообразии — трёхмерной сфере 53, т. е. задавалось евклидовым 4-вектором фа, а = 1, 2, 3, 4, подчинённым связи

4

$>°)2 = 1- (1-1)

п—1

Группой внутренней симметрии модели Скирма является 0(4), группа вращений сферы (1.1). При этом киральные преобразования соответствуют поворотам, затрагивающим ф4, а граничное условие

ф\г = оо) = 1 (1.2)

является выражением спонтанного нарушения киральной симметрии. Благодаря условию сферы (1.1) и граничному условию (1.2) в теории существует тождественно сохраняющийся топологический заряд С^, совпадающий со

степенью отображения 53 —» 53:

^ = тк2£'°к£аЬЫ /ё3 хд^а Ф* с1-3)

и интерпретируемый как барионное число. Соответствующий барионный ток имеет вид

= дафь дтфсфл, (1.4)

где принято £0123 = £1234 = 1 и греческие индексы /л, и, а, т = 0, 1, 2, 3 относятся к пространству-времени Минковского.

Лагранжиан модели Скирма, имеющий (в универсальных единицах Н = с = 1) вид:

ь3 = ^2д»фад»фа - ^ [(дмфадуа)2 - (д,фад"фа)(ду%фь)], (1.5)

строился так, чтобы энергия Е оценивалась снизу через барионный заряд (1.3):

Е > 67Г2\/2^|(5|, (1.6)

Л

где е, А — параметры модели.

Благодаря оценке (1.6) состояние, реализующее минимум энергии при заданном заряде оказывается устойчивым. Последнее согласуется, в частности, с представлением о стабильном нуклоне как солитоне с топологическим зарядом = I, реализующем абсолютный минимум энергии в первом гомотопическом классе.

Отмеченная привлекательная черта модели Скирма омрачается, однако, явной искусственностью связи (1.1). Хотелось бы, чтобы это условие возникало в теории естественным путём. С другой стороны, в модели Скирма физическое поле является изоскалярным. Такое поле могло только

описывать гидродинамическую систему. Поэтому Скирму пришлось рассматривать вращающиеся конфигурации и осуществлять квазиклассическое квантование найденных полей для того, чтобы получить нужные физические характеристики элементарных частиц. При этом возникла проблема квантования, которую не всегда удаётся решить. Одним из возможных путей, с помощью которого можно избежать появления такой проблемы, является введение спинорного поля, с помощью которого можно получить необходимые динамические характеристики, такие как спин, магнитный момент и другие.

Целью настоящей работы как раз и является построение такого рода модели, полевой переменной в которой является релятивистский спинор ф, преобразующийся по фундаментальному представлению внутренней (изотопической) группы 5/7(2). При этом, как выяснится, связь (1.1) оказывается следствием одного из биквадратных спинорных тождеств [16, 17].

1.2. Введение спинорного поля

Для получения спинорных тождеств в работах [16, 17] была разработана эффективная методика, которая, однако, лишена физической наглядности. Более удачен, на наш взгляд, групповой метод, применённый в работе [18], в основе которого лежит представление спинора ф в виде групповой матрицы, действующей на фиксированный 8-спинор имеющий только две нетривиальные составляющие £1, £5 € С. (В этом подходе был доказан ряд билинейных тождеств для 4-спинора. Такой результат упрощает вычисления матричных элементов в квантовой механике.)

Такой спинор можно представить в виде-

ф — ехр(г75(/?/2) ехр(г75^/2) ехр(го)/2)Л£, (1 7)

где обозначено О = (От), & = (^¿z), Z — матрицы Паули. Л — матрица Лоренца, 75 = г7°717273, — матрицы Дирака Составляя вещественные билинейные комбинации'

5 = (фф), р = г(фъФ), V = (фтф), а = г(фъгф), (1 8) Э» = (ФЪ'Ф)> Jfx = {ФъъФ), У-р, = (Ф^Уцтф), а^ = (ф!рътф)- (19) где ф = ф+7°, мы и получим для них ряд соотношений.

1.3. Билинейные спинорные тождества для 8-спинора в представлении Ж. Лошака

На основе выше предложенного метода, используя представление (1 7) и учитывая, что

е-г(тШ)/2тег(тШ)/2 = C0SUT _ gin ^ [¿r] + 2 SÍn2 .

где тш = ит, и — —, и и

е-г[тш)/2 ехр(гЪтО)ег{тш)/2 =

— cos 0 + г75 sin 0 (От cos uj — sinu;(#[ú>T]) + 2 sin2 — (и§)тш^ ,

e«75Ч> — COg (p _J_ gjn ф ^

можно получить следующие результаты. S = фф = COS (f cos — sin (/? sin 0 • p,

p = гфуъф = i sin (/? cos #(££) + г cos ip sin 0 ■ p,

0

v = фтф = — sin (p sin 0 • #(££) + cos if • p — 2 cos (p sin2 - • 0 ■ p,

¿J

0

a = гфт^у5ф = —г cos <p sin 0 • — г sin • /х + 2г sin y? sin2 - ■ 0 ■ p,

где

p = §.ljl = eos - sin u; + 2(0) • 0) sin2 ,

¡.i = eos- sin + 2cj sin2 ) ,

= (г[п^]) = n • [Cjt] . В итоге можно получить ряд билинейных тождеств для ограниченного представления (1.7) в следующем виде:

52 + а2 = р2 + v2 = = -j~f,

sp - (va) = = {a^) = 0,

2(s2 + P2) - = = -(«/). (L1°)

sv + pa = a^ =

[m] = iiiQÍ1 = j,^-Первое тождество в (1.10) позволяет записать условие сферы (1.1), если принять гипотезу Скирма о спонтанном нарушении киральной симметрии. В самом деле, последнее эквивалентно граничному условию типа (1.2), выделяющему вакуумное состояние фва,к = Фоо■ Если считать, следуя [19], что вакуум характеризуется нетривиальным значением величины

W = Smin = (ФооФоо) = #0 = const > 0, (1.11)

то из (1.10) и (1.11) следует уравнение «сферы»

V2a = bPOaif;)2=j,f = R2 (1.12)

с переменным радиусом i?, для которого получается естественное ограничение

R = (ЗиЛ-1/2 ^ N > sBaK = R0: (1.13)

где использованы обозначения

<,Ра = {фОаф), 02=%1ътг 04 = 1 (1.14)

и принято граничное условие, обобщающее (1.2):

<¿>4 (г = со) = Яо, <р(г = оо) = 0. (1-15)

1.4. Оценка энергии снизу через топологический заряд

С учётом условий (1.12), (1.13) и (1.15) можно записать выражения (1.3) и (1.4) для топологического заряда и тока Прежде всего путём интегрирования по частям нетрудно привести выражение (1.3) к виду

Q = -,^keabc J d3 хдгфа д3фь(дкфс Ф4 - зад4 фс)

1 £г1кЕаЬс [ д?хд,фад,фьдкфсф\

37Г2" " ' " ^

или после подстановки фа = ipa/R:

g=ib£tjk£0bcd f У^дг1ра djipb dkipC (Ll6)

Тождественно сохраняющийся барионный заряд (1 16) соответствует следующей структуре барионного тока:

= 1^&£liVaT£abCdd^a дт<рс </ (1.17)

С другой стороны, если подставить (1.14) в (1.17), то найдём

х [(фОсдтф) + 3{дтфОсф)]}(фОс1ф). (1.18)

где R4 = (¿J'")2-

Структура топологического тока (1.18) подсказывает следующее обобщение лагранжевой плотности (1.5):

1 1,-г^о ,м2 В

2

ь3 = [фОад,ф)\' - ^\{фОадЬгф)(фОьд1/]ф)\2, (1.19)

где во втором слагаемом осуществлена антисимметризация по индексам ¡1 и и. Можно показать, что в модели (1.19) также выполняется оценка типа (1.6) для энергии Е. В самом деле, согласно (1.18), для плотности топологического заряда справедлива оценка

\А ^ (фосдкф)(фоаф)£аШ\2+

+ е2д2(П)\^к(фОЩгф)(фО%]ф)\\

где введены произвольные положительные функции /(Д) и д(Я), удовлетворяющие ограничению

¡тыщ = (1.20)

Замечая, что согласно (1.12) и (1.18) справедливы соотношения:

I(ФО^МФО^Е^2 = 2[И2\(фОсдкф)\2 - \(фОсдкф)(фОсф)\2]2.

| ^(фощмфо'д^2 = 2\(ф0ад[гф)(ф0ьдяф)\2,

для плотности Т® энергии в модели (1.19) с учётом (1.20) можно получить следующую оценку:

2

т0° ^ ±\(фосдкф)\2 + £-\(фощгф)(фо%ф)\2 >

_1 3£7Г2

^ \^\[2Я/(Я)д(Я)]-1 = где выбрано /~2 = / Х)тх2 Яъ, д = Я/.

Наконец, если учесть (1.13), то можно найти для энергии оценку вида

Е = J^êx^-^mi (1-21)

отличающуюся от (1.6) только значением постоянного множителя перед \Q\. Важно подчеркнуть, что этот множитель помимо динамических постоянных г и Л содержит также вакуумное значение Rq радиуса «сферы» (1.12). Нетрудно видеть, что от ограничения (1.13), приведшего к неравенству (1.21), можно отказаться, и тогда в (1.21) вместо Rq войдёт некоторое среднее значение радиуса (R) ~ Rq. Таким образом, в любом случае гамильтониан модели (1.19) линейно оценивается снизу через топологический заряд, что обеспечивает устойчивость минимизаторов энергии в каждом гомотопическом классе.

Возвращаясь к лагранжиану (1.19), отметим, что по своей структуре он согласуется с лагранжианом, предложенным в [19]. В частности, для обеспечения условия (1.11) полный лагранжиан модели, как и в работе [19], может быть представлен в виде

M2 -

L = Ls - —2(фф - i?o)2, (1-22)

где M и о — новые параметры. Как видно, в (1.22) добавлен аналог потенциала Хиггса, играющий роль обобщённого массивного члена.

1.5. Краткие выводы

Таким образом, в первой главе получены следующие результаты:

1. Построена 8-спинорная реализация SU(2) модели Скирма, в которой эффективное мезонное поле представляется в виде билинейной по спинору конструкции.

2. Доказана оценка для энергии сиинорной модели снизу через топологический заряд типа степени отображения.

2. 8-спинорная полевая модель с учётом нелинейной

электродинамики Ми

2.1. 8-спинорная полевая модель

2.1.1. Постановка задачи

По аналогии с моделями Скирма и Фаддеева [14, 4] и с учётом нелинейной электродинамики Ми [12] вводится лагранжева плотность в следующем виде:

£ = ¿Я^'^ФЛ +

+ (2.1)

Первое слагаемое — обобщение а-модельного слагаемого и содержит проектор Р = 7°7г/^ на состояния с положительной энергией.

Второе слагаемое содержит = Ф7а.О[мФ Д,]Ф7аФ — антисимметричный тензор Скирма-Фаддеева. В модели (2.1) А, е и но — параметры модели,

Вц = дц — геоГеАд — — удлинённая производная,

Ге = |(Аз — 1) — генератор электрического заряда,

= \ {[дцПи,1'/] ~ г^[7рЛ1) — спинорная связность, 2

V = — — ><о)2 ~ потенциал Хиггса, 8

G — гравитационная константа Ньютона,

1 1

т _ о туриаХ т _ _р т>циа\\т

— инварианты Римана

Fpi/ — д^Ау — диАц — электромагнитная напряжённость,

G(I) и Н(1) — функции, зависящие от инварианта Ми / = А/МА1Х.

Нетрудно доказать, что лагранжева плотность (2.1) инвариантна относительно дискретной группы симметрии ipi о Хг> откуда следует допустимое соотношение ipi = Хг- Последнее соотношение определяет лептон-ный сектор.

Цель настоящей главы: доказать существование аксиально-симметричных солитонных конфигураций с нетривиальными топологическими зарядами (индексами Хопфа) в виде замкнутых закрученных струн, найти оценки для массы, спина и магнитного момента солитона. Наиболее подходящими координатами для описания таких конфигураций являются тороидальные координаты, так как они облегчают вычисления индекса Хопфа и соответствуют форме самих конфигураций.

Для этого вводится метрика в тороидальных координатах

1 л q

X= X , X — у , X — ф,

(2.2)

ds2 == di2 - a2(e2adx2 + e2/V + e2^2) ,

a 1 ^ sh x

где e' = ep = —-, e7 = —-, 0 ^ x ^ oo, — 7Г ^ у ^ ж.

ch x — cos у ch x — cos у

Для нахождения аксиально-симметричных конфигураций необходимо определить непрерывную группу симметрии, позволяющую отделить

угловые переменные. Например, это достигается в так называемом «спи-норном приближении», когда основной вклад вносит область больших значений х. Чтобы найти инвариантные поля в рамках выбранной непрерывной группы предлагается использовать теорему Коулмена-Пале, о которой будет идти речь в следующем разделе.

2.1.2. Теорема Коулмена-Пале

Пусть ц) — некоторое поле и — функционал энергии (или

действие), инвариантный относительно действия некоторой непрерывной группы С:

= деС.

Пусть Фо = {<Эо} ~ множество инвариантных полей (точнее, эквива-риантных) для которых дфо = фо. Тогда верна следующая теорема.

Теорема. Если инвариантное поле ^ро £ Фо является экстремалью функционала ^(</?) на инвариантном многообразии Фо, то одновременно (/?о является истинной экстремалью и по отношению к неинвариантным вариациям, при условии, что многообразие Фо и его аннулятор имеют пустое пересечение.

2.1.3. Группы симметрии

Дискретная группа

С целью описания лептонного сектора используется дискретная группа симметрии (рг Хг-, Хг поскольку лагранжева плотность (2.1) допускает такую группу и одновременно сокращает число функций в модели.

Непрерывная группа

Каждая физическая система имеет свою симметрию. Обычно группа симметрии, допускаемая моделью или системой, облегчает вычисление и позволяет отделить угловые переменные, что приводит к получению более простых уравнений движения.

В качестве непрерывной группы в случае струнного приближения (.х —> оо) предлагается следующая группа симметрии:

G = diag[Gi <g> G2] <S> diag[Gi <g> G3], (2.3)

Gi : ф ег6аф , дф = г5аф,

G2 : ф ф + , ф , # = г J3 W ,

где J3 = —гдф + i<T3, С3 : г/ у + ду , ф ->• е1ру5уф , = ,

где ру = -гду ,

где а — фазовый угол, ф — угол вращения вокруг оси z, у — угол вращения вокруг тороида.

Пусть Ф = C0l(</?1,<^2), где Щ = Со1(<^ц. Фп), Ч>2 = Со1(02Ь022). Тогда условия инвариантности, вытекающие из выбора (2.3) непрерывной группы симметрии и граничных условий задачи j2(x —» 0,?/ —» 0) = Хд, j2(x —>■ оо) = const, записываются в следующем виде:

= \ч>\, г/ci^i = ^((73 - l)ipi, fci = — ,

2 2 щ (2.4)

1 1 1

h4>2 = —^Pi: ^2^2=0(^3 + 1)^2, к2 = — ,

z Z 77.2

где щ, n2 G Z.

В качестве решения этих уравнений ф представляется в следующем

виде:

ф = со\(иъу1е^ф-щу\у2е-г{ф-П2У\и2у (2.5)

2.1.4. Топологический заряд (индекс Хопфа)

Разъясним смысл индекса Хопфа. Каждая точка на S2 эквивалентна замкнутой кривой в [R3. Если взять две точки, то эквивалентные им кривые могут зацепляться. Число таких зацеплений и есть индекс Хопфа. Это число сохраняется при любых непрерывных деформациях.

Инвариант Хопфа Q# классифицирует отображения n : IR3 —> S2,

причём многообразие S2 задаётся единичным вектором п = —где век-

||v||

тор V = ФтФ. Как известно, инвариант Хопфа выступает генератором гомотопической группы 7Гз(52) и может быть представлен интегралом Уайт-хеда [20]

= d3x(crotc), (2.6)

где вектор с определяется условием

diCk - dkCi = 2£аЬсдгПадкпьпс. (2.7)

Хопф предложил вычислять интеграл (2.6) с помощью обратного отображения S2 —> S3. Для этого вводится вспомогательный 2-спинор

X = col (cos А + ism A cos В, sin A sin ВегС) , (2.8)

где А, В и С — угловые координаты на S3. Тогда справедливо следующее соотношение:

rote = -2i[Vx+Vx]; c = Im(x+Vx), n = • (2-9)

Подставляя эти выражения в (2.6), можно представить инвариант Хопфа в виде

QH = -L у dlrsin2 AsmB([VAVB]VC) , (2.10)

причём последняя формула выражает тождественность гомотопических групп тг3(53) = 7Гз(52) = Z.

Если ввести новые переменные ¡3 и р, полагая sin A sin В = sin(/?/2) и tg A cos В = tg р, то можно получить индекс Хопфа в таком виде

Qh = j d3£ sin/3([V/?Vp] VC) .

В данном случае вектор v имеет следующие компоненты

vi = 4Re(<p+<p2), = 4Im(<p+<p2), v3 = 2(Ы2 - |<p2|2) • (2.11)

Если ввести единичный вектор n(ni, n2l щ) в следующем виде:

пi = sin ¡3 cos 7, n2 = sin ¡3 sin 7 , щ = cos (3 ,

тогда

где

Тогда

(ч>1<Р2) = <PÍi<P2i + ^12^22 = е у) ,

G(x, у) = w>2em2y + у{и2егщу

vi = 4[cos ф Re G + sin ф Im G], V2 = 4[cos ф 1ш G — sin ф Re G], vz = 2(\ul\2 + \vl\2-\u2\2-\v2\2)> eos(3 = .

V1 l+tgyUtg0

Im G

где tg/i = и 7 = p - ф.

Учитывая всё вышесказанное, индекс Хопфа можно представить в

виде:

Qh = ¿У d3ssin/3([V/?, Vp], V0) . (2.13)

Если переписать последнюю формулу в цилиндрических координатах и интегрировать по углу то тогда

ОО 00

Qh = ^ J dp J dz[(cosp)zpp- (cosp)ppz}. (2.14)

О -оо

Надо отметить, что тороидальный угол у(р, z) имеет скачок 2тт на диске {z = 0, а}. Поэтому т/г = 2ird(z).

С другой стороны, гомотопическая группа 7Гз(52) = Z является аддитивной, т. е. индекс Хопфа Qh порождается двумя независимыми источниками, входящими в функцию G: V\e%nxV и v2em2y. Тогда для первого источника:

¡л = ту+ ¡1 i(x) , (2.15)

Im (v*u2)

где tg рг

Re (vlu2)'

Поэтому p,z = 2ixrii5(z) и, следовательно, Q^ = щ, так как справедливы граничные условия:

cos ¡3(р = а) = — 1; cos (5(р = 0) = 1.

Аналогично, для второго источника:

р = п2у + р2(х), ' (2.16)

Im (uit>2) тт , (2)

где tgр2 = ^ . „—г. И, таким образом, Qw = п2. Re (wjv2)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Аби Фарраж Наджиб

Заключение

В заключение перечислим основные положения, выносимые на защи-

1. Найден ряд билинейных спинорных тождеств для ограниченного выбора 8-спинорного поля.

2. Найдены асимптотические решения в тороидальных координатах как для х —>■ +оо, так и для х —> 0.

3. Получены оценки для массы, спина и магнитного момента в случае конфигурации с топологическим зарядом (5 я = 2.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аби Фарраж Наджиб, 2013 год

Литература

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 2. — М., 1966.

2. Skyrme T.H.R. Nonlinear theory of strong interactions // Proc. Roy. Soc. London, 1958.

3. Skyrme T.H.R. A nonlinear field theory // Proc. Roy. Soc. London A 260. - 1961. - P. 127.

4. Faddeev L.D. Gauge-invariant model of electromagnetic and weak interactions of leptons // Reports of Acad, of Sci. USSR. — 1973. — Vol. 210, No 4. - P. 807-810.

5. Faddeev L.D. Quantization of solitons. Preprint IAS print -7SQS70, 1975.

6. Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Многомерные солитоны. — М.: РУДЫ, 2001.

7. Keterson J.В., Song S.N. Superconductivity. — Cambridge University Press, 1999.

8. Kundu A. // Phys. Lett. B. - 1986. - Vol. 171. - P. 67-70.

9. Kundu A., Rybakov Yu.P. Closed vortex type solitons with Hopf index // J/ Phys. A. - 1982. Vol. 15. - P. 269-275.

10. Кожевников И.P., Рыбаков Ю.П., Фомин М.Б. Структура топологических солитонов в модели Скирма // ТМФ. — 1988. — Т. 75, № 3. — С. 353-360.

11. Рыбаков Ю.П., Очоа Хименес Р. Ежовая конфигурация в спиноной реализации модели Скирма // Вестник РУДН. Серия «Физика». — 1999.

- Т. 7(1). - С. 19-22.

12. Mie G. Die Geometrie der Spinoren // Ann. der Physik. — 1933. — Vol. 17, No 5. - S. 465-500.

13. Cartan E. Leçons sur la theorie des spineurs. — Paris. — 1938.

14. Skyrme T.H.R. A unified field theory of mesons and baryons. // Nucl. Phys.

- 1962. - Vol. 31, No 4. - P. 556-569.

15. де Алъфаро В., Фубини С., Фурлан Г., Россетти К. Токи в физике адронов. — М.: Мир, 1976.

16. Case К.M. // Phys. Rev. - 1955. - Vol. 97. - P. 810.

17. Reijïer F., Morris R. // J/ Math. Phys. - 1986. - Vol. 27. - P. 2803.

18. Jakobi J., Lochak G. // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. — 1956. — Vol. 243. - P. 234.

19. Рыбаков Ю.П. // Итоги науки и техники. Классическая теория поля и теория гравитации. - М.: ВИНИТИ, 1991. - С. 56.

20. Whitehead J. H. С. An expression of Hopf's invariant as an integral // Proc. Roy. Irish. Acad. Sci. - 1947. - Vol. 33. - P. 117-123.

21. Умнияти Юнита Нелинейные топологические модели элементарных частиц. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. — М.: 2013. — С. 51.

22 Lin F , Yang Y Existence of energy mimmizers as stable knotted solitons m the Faddeev model I I Communications m Mathematical Physics — 2004 - Vol 249 - P 273-303

23 Рыбаков Ю П Структура частиц в нелинейной теории поля Учеб пособие - М УДН, 1985

24 de Vega Н J Closed voitices and the Hopf index m classical field theoiy // Phys Rev D - 1977 - Vol 18 - P 2945

25 Faddeev L D , Niemi A I Partially dual variables m SU(2) Yang-Mills theoiy // Phys Rev Lett - 1999 - Vol 82 - P 1624-1627

26 Нелинейная квантовая теория поля Сб переводов под ред Иваненко Д Д — М Иностр лит-ра, 1959

27 Шварц А С Квантовая теория поля и топология — М Наука, 1989

28 Faddeev L D Some comments on the many dimensional solitons // Lett Math Phys - 1976 - Vol 1 - P 289-293

29 Rybakov Yu P Problems of the theoiy of gravitation and elementary particles // Atomizdat - 1981 - Vol 12 - P 147

30 Rybakov Yu P Soliton configuiations m generalized Mie electiodynamics I I Phys of Nuclei - 2011 - Vol 74, No 7 - P 1102-1105

31 Rybakov Yu P Self-giavitating solitons and nonlmeai resonanse quantization mechanism // Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia Ser Physics - 1995 - Vol 3(1) - P 130-137

g)

32. Faddeev L.D., Niemi A.I. Toroidal configurations as stable solitons // arXiV. hep-th/970516VL. - 1997.

33. Makhankov V.G., Rybakov Yu.P., Sanyuk V.I. The Skyrme model fundamentals, methods, applications. — Berlin: Springer Verlag, 1993. — P. 260.

34. Rybakov Yu.P. 8-spinors and structure of solitons in generalized Mie electrodynamics // Physics of Atomic Nuclei. — 2013. — Vol. 76, No 2.

- P. 219-223.

35. Bahye E., Manton N.S., Satcliffe P.M., Wood S.W. Light nuclei of even mass number in the Skyrme model.

36. Braaton E., Townsend S., Carson L. Novel structure of static multisoliton solutions in the Skyrme model // Phys. Lett. Ser. B. — 1990. — Vol. 235.

- P. 147-152.

37. Zahed I., Brown G.E. The Skyrme model // Phys. Reports. - 1986. -Vol. 142, No 1-2. - P. 1-102.

38. Burinskii A. Some properties of the Kerr solution to low energy string theory // Phys. Rev. D. - 1995. - Vol. 2. - P.5826-5831.

39. Whitney H. Geometric interaction theory. — Princeton, New Jesey: Princeton University Press, 1957. — P. 534.

40. Mie G. // Ann. der Physik. - 1912. - Vol. 37. - S. 511; Vol. 39. - S. 1;

- 1913. - Vol. 40. - S. 1.