Топологические многомерные солитоны: Методы исслед. тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Санюк, Валерий Иванович

• Санюк, Валерий Иванович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Санюк, Валерий Иванович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ

В КАЛИБРОВОЧНЫХ И КИРАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ

§ 1.1. Кинки в (1 + 1)-мерных моделях

§ 1.2. Лэмпы, вихри, анионы в (2 + 1)-мерных

моделях

§ 1.3. Монополи, инстантоны, скирмионы, тороны

в 4-мерных моделях

ГЛАВА И. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ солитонов

§ 2.1. Топологические заряды киральных и хиггсовских

солитонов

§ 2.2. Топологическая устойчивость солитонов

§ 2.3. Устойчивость солитонов в сг-модели

с параметром обрезания

ГЛАВА III. МЕТОДЫ РЕДУКЦИИ G -ИНВАРИАНТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И СТРУКТУРА МИНИМИЗАТОРОВ ЭНЕРГИИ

§ 3.1. Принцип Коулмена-Пале и критические

точки инвариантных функционалов

§3.2. Методы прямой минимизации и абсолютный

минимум энергии в модели Скирма

§3.3. Абсолютный минимизатор энергии в

калибровочной модели Скирма

§ 3.4. Структура минимизаторов энергии

в высших гомотопических классах

§ 3.5. Структура минимизаторов энергии

в модели Фаддеева

ГЛАВА IV. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ КИРАЛЬНЫХ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ

§ 4.1. Прямые методы вариационного исчисления

(краткая сводка)

§ 4.2. Существование G\ - инвариантных конфигураций

в модели Скирма

§ 4.3. Существование G<i - инвариантных конфигураций

в моделях Скирма и Фаддеева

ГЛАВА V. ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ В МОДЕЛИ СКИРМА

§ 5.1. Геометрия многообразия решений для

ОДУ 2-го порядка по Картану

§ 5.2. Инварианты Трессе-Лиувилля для

уравнения скирмиона

§ 5.3. Инварианты Трессе-Лиувилля для

модифицированного уравнения скирмиона

ГЛАВА VI. ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ

§ 6.1. Пенлеве-анализ уравнения скирмиона

§ 6.2. Пенлеве-анализ уравнений Скирма-Мантона

§ 6.3. Пенлеве-анализ уравнений топологических

магнетиков

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Латинские индексы г, к,

элементы объема в х 6 ЫА Ф — "полевое" многообразие,

И — пространство вырождения, вакуумное многообразие, <рх) — полевые функции, t = ж0, х) и(£, ж) — киральные поля, и Е 5П, (2,

= и~гдци, = £/_1Вм£/ — левоинвариантные киральные токи, гм = 0^11 = Б^С7"-?/-1 — правоинвариантные киральные токи,

.. = дц

— пространство Лебега функций и(х) в с нормой

\ 1 /р

4х\ и(х) I ,

\¥р(ТЛ(1) — пространство Соболева функций и(х) в К/* с нормой

II«К = (¿11€

\г'=0

где Уги — производная порядка г, || и || = || и ||2 — норма в ¿2(^)5

|| и ||' = || Угг || + || и || — норма в пространстве Соболева И/21(Ксг) = Н1,

(...-...)- скалярное произведение элементов из

(

М-к~ пространство модулей размерности к.

С} — топологический заряд, степень отображения,

С^н — инвариант (индекс) Хопфа,

Ъ — множество (абелева группа по сложению) целых чисел.

и

1

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические многомерные солитоны: Методы исслед.»

ВВЕДЕНИЕ

Современное состояние проблемы описания локализованных структур, возникающих как долгоживущие возбуждения нелинейных систем в физике элементарных частиц и конденсированных сред, в гидродинамике и ядерной физике, в астрофизике и космологии, нельзя признать удовлетворительным. Многочисленные исследования показали, что объекты такого рода в принципе не могут быть описаны как точечно-подобные, а, следовательно, не могут быть изучены традиционными методами анализа, теории возмущений и т.п. Поиски альтернативного описания таких структур как существенно-протяженных объектов привели, в частности, к созданию теории солитонов, основные достижения которой пока ограничиваются одномерными моделями (точнее, описанием структур с одним пространственным и одним временным измерениями: (1 + 1)-мерные модели) [1, 28, 38, 91, 100, 130, 218]. По понятным причинам значительная часть реальных солитоноподобных объектов (вихрей, текстур, дефектов и т.д.), возникающих, как правило, при сильных возбуждениях в нелинейных средах, не укладывается в рамки одномерных моделей. Поэтому развитие возможностей солитонного подхода на многомерные, в частности, на (3 + 1)-мерные модели представляется одним из важных направлений в современной нелинейной физике.

С одной стороны, развитие солитонной тематики на многомерную ситуацию происходило путем обобщения методов, эффективно работающих в (1 + 1)-мерных моделях, и установления критериев интегрируемости для многомерных динамических систем в работах М. Абловица [1, 145], Б.А. Дубровина, И.М. Кричевера и С.П. Новикова [30, 54, 87 - 90], В.Е. Захарова и C.B. Манакова и А.Б. Шабата [36-38, 40, 70, 71, 221], А.Н. Лезнова с сотр. [60 - 64], В.Г. Маханькова [72, 218], А. Ньюэлла [91, 191], Л.Д. Фаддеева с сотр. [130, 136, 184, 185] и многих других. С другой стороны, проводился поиск моделей теории поля, допускающих многомерные солитоны (в несколько

расширенном смысле) в качестве регулярных решений полевых уравнений. На этом пути были обнаружены вихри Нильсена - Олисена [229], вихри Белавина - Полякова [9], монополи т'Хоофта - Полякова [94, 198], инстантоны Белавина - Полякова - Тюпкина - Шварца [158] и другие объекты, обладающие целым рядом необычных свойств. В частности выяснилось, что эти объекты наделены нетривиальными топологическими характеристиками (зарядами), принимающими целочисленные значения и обеспечивающими устойчивость солитонов как на классическом, так и на квантовом уровне. Именно такие объекты -топологические солитоны, представляют интерес для физиков, прежде всего, широкими возможностями моделирования на их основе вихревых и струно-подобных локализованных структур в низкоэнергетической хромодинамике и ферромагнетиках, в жидких кристаллах и квантовых жидкостях, в астрофизике, биофизике и т.д.

Как правило, многомерные топологические солитоны присущи неин-тегрируемым полевым теориям, а такие киральные модели, как модель Скирма [256 - 258] и модель Фаддеева [133, 135, 183, 185], не допускают и самодуальных упрощений (предел Богомольного - Прасада - Соммер-филда [11, 238]), позволяющих в отдельных случаях выписывать явный вид солитонных решений. В таких моделях, обладающих практически важным спектром приложений в ядерной физике, в физике частиц и конденсированных сред, на первый план выходят вопросы существования и устойчивости регулярных решений, изучения аналитических и симметрийных свойств солитонных решений, выяснения структуры ми-нимизаторов функционалов энергии при заданном значении топологической характеристики и др. Без выяснения этих вопросов не представляется возможным обосновать и правильно поставить численные эксперименты, по результатам которых и делаются выводы о пригодности рассматриваемых моделей.

Наибольшие сложности в исследовании многомерных топологических солитонов возникают при описании iV-солитонных состояний. В частности, описание самодуальных iV-инстантонных и iV-монопольных конфигураций в калибровочных моделях оказалось возможным лишь на основе средств алгебраической топологии и вариационного исчисления в целом, развитых за последнее время (см. [6, 79]). Тем не менее, именно эта проблема является ключевой в исследовании неинтегриру-

емых солитонных моделей, поскольку она, по сути, эквивалентна проблеме описания взаимодействия солитонов. Таким образом, представляется актуальной разработка методов и средств исследования структуры топологических солитонных конфигураций, позволяющих изучать вопросы существования, регулярности, аналитические и симметрийные свойства солитонных решений в (3 + 1)-мерных моделях.

Целью данной диссертационной работы является разработка эффективных методов исследования многомерных топологических солитонов, описываемых как критические точки функционалов для широкого класса физических систем. При этом ставится задача выяснения симме-трийных и аналитических свойств, а также структуры минимизаторов энергии в киральных (3 -+- 1)-мерных моделях при различных значениях топологических зарядов.

Для решения поставленных задач в случае (^-инвариантных существенно - нелинейных функционалов (3 + 1)-мерных полевых моделей предлагается последовательный алгоритм, позволяющий определять структуру конфигураций с минимальной энергией (анзацев), выяснять вопросы существования, регулярности и устойчивости соответствующих солитонных решений. Составляющими алгоритма являются:

• Схема симметрийной редукции функционалов, основанная на отыскании группы симметрии (? функционала, позволяющая выявлять структуру инвариантных полевых конфигураций (анзацев), на которых в силу теоремы Коулмена-Пале [59, 73, 74, 103, 136, 170, 219, 232, 253, 267] и реализуется минимум функционала. Это, как правило, приводит к существенному упрощению исходной задачи без потери общности утверждений.

• Методы прямой минимизации функционалов, в основе которых обобщенный "метод оврагов" Гельфанда-Цетлина (минимизация функционалов в расширенном пространстве) [23, 44, 45, 73, 76, 219, 243 - 245, 251] и метод сферической перестройки, восходящий к методу симметризации Штейнера [93, 171, 207, 216, 219, 226, 243 - 245]. Совместное применение этих методов позволяет установить критерии наличия абсолютного минимума для Ст-инвариантных функционалов.

• Прямые методы вариационного исчисления, применяемые для доказательства существования регулярных решений [7, 8, 14, 15, 22, 45, 58, 73, 101, 111, 112, 127, 132, 137, 165, 181, 182, 211, 219, 243], описывающих G-инвариантные солитонные конфигурации.

• Топологические критерии устойчивости солитонных конфигураций, основанные на представлении топологических зарядов в терминах полевых переменных модели, применении соответствующих неравенств для оценки энергии модели снизу через топологический заряд, с последующей проверкой достижимости полученной оценки на С-инвариантных солитонных конфигурациях [2, 5, 11, 16, 21, 31, 55, 56, 67, 73 - 75, 78, 103 - 105, 108 - 113, 120, 121, 136, 138, 142, 153, 157, 159, 179, 184, 185, 186, 194, 196, 202, 209 - 211, 219, 227, 232, 233, 243 - 247, 262, 268].

• Пенлеве-анализ редуцированных уравнений, применяемый для выявления аналитических свойств солитонных решений и выяснения вопросов интегрируемости полученных уравнений [24, 29, 66, 96, 98, 145, 172, 173, 180, 187, 188, 191, 200, 240, 253].

• Анализ геометрии многообразия решений, основанный на вычислении алгебраических инвариантов Трессе - Лиувилля, установлении метрики и кривизны пространства статических решений [4, 10, 25, 29, 32, 46, 69, 77, 87 - 90, 98, 200, 214, 215, 223, 253, 254, 264]. Классическая динамика солитонов моделируется при этом движением по геодезическим пространства решений [6, 77, 126, 195, 222, 255, 263].

Предложенный алгоритм применен в диссертации для исследования свойств топологических солитонов в киральных моделях Скирма и Фад-деева, а также в некоторых топологических моделях магнетиков. Структура диссертации предполагается следующей.

В Главе I "Топологические солитоны в калибровочных и киральных полевых моделях" [117 - 120, 252] систематизируются сведения о топологических солитонах, приводятся определения основных понятий, используемых в последующих главах. При этом рассматриваются лишь наиболее характерные модели и методы их исследования, в основном, в рамках классической теории. Акцентируются проблемы и сложности, возникающие при описании N - солитонных состояний в таких моделях.

В § 1.1 дается определение топологического солитона, и на примере простейших (1+1)-мерных моделей (sin - Гордон и ф4 - модель) кратко перечисляются свойства 1 - мерных топологических солитонов - кинков. При этом удается выделить два существенно различных типа топологических солитонов:

1. киральные солитоны, характерные для физических полей, принимающих значения на многообразиях сфер групп Ли G, однородных пространств G/H и подчиненных тривиальным граничным условиям на бесконечности (sin - Гордон модель);

2. хиггсовские солитоны, характерные для полей с нетривиальными и различными асимптотиками на бесконечности и вырожденным классическим вакуумом R (ф4 - модель).

Подчеркиваются различия в определении топологических зарядов и гомотопической классификации для солитонных решений указанных выше типов, выявляются простые критерии существования N - солитонных конфигураций.

В § 1.2 рассматриваются солитоны, возникающие в абелевой калибровочной модели Хиггса (вихри Нильсена - Олисена) и в нелинейной 0(3)— модели п— поля (вихри Белавина - Полякова), как наиболее характерные (2 + 1) - мерные топологические солитоны, соответственно, хиггсовского и кирального типа. Несмотря на то, что обе модели относятся к теориям поля типа Богомольного, т.е. допускают сведение полевых уравнений к уравнениям 1-го порядка (самодуальное упрощение), явные выражения для N - вихревых конфигураций в первой из моделей до сих пор не найдены. Помимо этого кратко описываются топологические солитоны в иных (2 + 1)-мерных сг-моделях, в том числе и анионы - топологические солитоны с дробнозначным спином, возникающих при добавлении в функционал действия сг-модели члена Чженя -Саймонса [117, 120, 169].

В § 1.3 дано схематичное описание наиболее известных (3 + 1) -мерных топологических солитонов, к числу которых отнесены монополи т'Хоофта - Полякова, обнаруженные в неабелевой калибровочной модели Хиггса, скирмионы в киральной модели Скирма и тороидальные солитоны (тороны) в модели Фаддеева. Все перечисленные модели являются неинтегрируемыми и поэтому основное внимание уделено вопросам существования и регулярности решений, а также проблемам t

приближенного описания N - солитонных конфигураций, например, путем построения соответствующих пространств модулей [6, 222, 263]. Ключ к такого рода построениям был найден при исследовании еще одной разновидности топологических солитонов - инстантонов, обнаруженных в евклидовом варианте Янг-Миллсовской теории. В отличие от ранее упоминавшихся солитонов, инстантоны локализованы не только в пространстве, но и во времени, в силу чего они могут осуществлять переходы между полями из разных гомотопических классов. Для N -инстантонных конфигураций известен алгоритм Атьи - Дринфельда -Хитчина - Манина построения точных решений, а при N = 2, 3 эти решения удается записать в явном (формульном) виде [52]. На этом основано одно из наиболее заметных математических достижений в калибровочных теориях - классификация Дональдсона - Нама N - монопольных конфигураций [79, 176,177]. С другой стороны, предложенная в работе [150] возможность аппроксимации киральных полей голономи-ями полей Янга-Миллса, позволяет существенно продвинуться в изучении не только геометрии N - солитонных конфигураций, но и, что существеннее с физической точки зрения, в исследовании процессов взаимодействия топологических солитонов [151, 205, 206, 212, 222, 255].

В Главе II "Топологические заряды и устойчивость солитонов" [55, 56, 73 - 75, 120, 156, 211, 219, 220, 243, 248, 249, 252] излагаются способы построения основных видов топологических зарядов в киральных и калибровочных моделях, а также критерии топологической устойчивости многомерных солитонов.

В § 2.1 приведены определения топологических инвариантов, используемых в качестве топологических зарядов в физических моделях. К числу таких инвариантов относятся степень отображения, индекс Кронекера, индекс Хопфа и др. Для каждого из инвариантов приведены способы их выражения в явном виде через полевые переменные соответствующей физической модели, в том числе, и в случае калибровочных обобщений таких моделей. Указаны различия в определении и свойствах топологических зарядов в киральных и хиггсовских моделях.

В § 2.2 явные выражения для топологических зарядов используются для вывода оценки функционалов энергии Е полевых моделей снизу через топологический заряд Q типа

E>f(\Q\),

где / - некоторая монотонно растущая функция. При наличии такой оценки, решения уравнений поля с заданным значением Q, реализующие нижнюю грань энергии - Inf Е, оказываются устойчивыми по Ляпунову. В таких случаях говорят о топологической устойчивости со-литонов. Для топологических солитонов хиггсовского типа в пределе Богомольного - Прасада - Соммерфилда приведенная оценка, как правило, точна, т.е. Infi? = f(\ Q |), что приводит к понижению порядка вариационных уравнений на единицу и сведению поиска экстремалей функционала Е к решению уравнений 1-го порядка - уравнений Богомольного [11]. Для функционалов энергии в киральных моделях типа Скирма и Фаддеева указанная оценка выполняется лишь в виде строгого неравенства, и поэтому для выяснения устойчивости киральных солитонов необходимо исследовать достижимость Inf Е в каждом из гомотопических классов [49, 110, 219, 243, 252]. Помимо этого, приводятся необходимые критерии устойчивости многомерных солитонов в отношении масштабных преобразований, основанные на вириальных теоремах Хобарта - Деррика [175, 196]. Обсуждается физический смысл членов 4-го порядка по производным от полей (члены Скирма) в киральных лагранжианах и их роль в обеспечении топологической устойчивости солитонов.

В § 2.3 изучается одна из альтернативных возможностей стабилизации солитонов. По замыслу Скирма, барионы могут рассматриваться

Li LL «.» ___*)*) и

как вихри в модели пионнои жидкости с нетривиальной завихренностью (членом Скирма). При этом существенным параметром оказывается радиус б кора (сердцевины) такого вихря. Выбирая е в качестве параметра обрезания, удается доказать [156] наличие стабильных классических решений в киральной модели Вайнберга - Гюрши (стандартной о - модели без скирмовского члена) [168]. Рассматривая е как динамическую переменную и применяя стандартную процедуру квазиклассического квантования, удается воспроизвести практически те же результаты для расщепления спектра масс барионов, что и в оригинальной модели Скирма [147]. Обсуждается связь предложенной модели с представлениями о структуре нуклонов в модели "кирального мешка" [242].

Глава III "Методы редукции G - инвариантных функционалов и структура минимизаторов энергии" [55, 56, 73, 74, 115, 117, 219,

243 - 246, 251 - 254] содержит изложение схемы исследования О-инвариантных существенно - нелинейных функционалов в (3 + 1)-мерных полевых моделях, позволяющей выявлять структуру конфигураций (критических точек), на которых достижима нижняя грань функционала.

В § 3.1 дается определение С—инвариантных функционалов, где (2

- некоторая компактная группа Ли. В частности, такие функционалы характерны для киральных моделей, где поля ф принимают значения в некотором компактном (полевом) многообразии Ф, в качестве которого обычно выбирается сфера 5П-1, компактная группа О или однородное пространство 0/1?. Заданием естественных граничных условий ф(х) —► ф0о при х —> оо, где фоо ~ выделенная точка на полевом многообразии Ф, обеспечивается как конечность энергии состояний, так и эффективная компактификация координатного пространства К3 в 53 = К3 и {оо}. Собственно это и дает возможность классифицировать полевые конфигурации модели, рассматриваемые как отображения ф : 53 —Ф, посредством третьей гомотопической группы 7Гз (Ф).

В модели Скирма [73, 74, 118, 146, 153, 184, 197, 219, 231, 252, 256 -258, 274] полевым многообразием является Ф = 53 ~ (517(2)), соответственно 7Гз(5!7(2)) = 7г3(53) = Ъ (здесь и далее Ъ - абелева группа целых чисел) и топологический заряд ф, интерпретируемый как барион-ное число, реализуется в виде степени отображения = (53 —> 53). Через левоинвариантные киральные токи 1г = , где II Е 5^7(2)

- киральное поле, гамильтониан модели Скирма записывается в виде

я = - У ¿»а {¿ЭрО? +) + ^Эр (ро, I,]2 + и])2) }

и, без учета трансляций, инвариантен относительно группы

в = 50(3)5 0 50(3)/, (1)

где индексы 5 и / соответствуют пространственным и изотопическим поворотам. Аналогичное утверждение справедливо и в отношении гамильтониана Би(2) - калибровочной модели Скирма.

Это позволяет провести симметрийную (или размерную) редукцию функционалов, сводящуюся к отделению угловых переменных в уравнениях движения. Действительно, согласно принципу Коулмена - Пале

[59, 136, 170, 232], поиск экстремалей (7 —инвариантных функционалов достаточно проводить среди так называемых <7 — инвариантных (экви-вариантных или ковариантно постоянных) полей {фо(х)}, определяемых условием

фо(х) = Тдф0(д~1х), деС, (2)

где Тд — оператор представления группы О, поскольку экстремали, найденные в инвариантном классе являются истинными экстремалями С? —инвариантных функционалов.

Задавая киральное поле и Е 811(2) в виде и = ехр(г(пт)<9), где т — триплет матриц Паули, п — единичный вектор, <9(ж, I) — киральный угол, обнаруживаем, что полей С/, инвариантных относительно группы (1), не существует, и поэтому имеет смысл ограничиться её подгруппами

= [50(3)5<8)50(3)/], = [50(2)5® 50(2)/],

где diag означает совпадение параметров перемножаемых групп или их пропорциональность, а группы 50(2)5 и 50(2)/ отвечают поворотам вокруг третьей оси соответствующих пространств.

Разрешая условие (2) для С\ —инвариантных (или сферически -симметричных) полей имеем п = г/г, © = О (г), что соответствует "ежовому" анзацу Скирма, а структура —инвариантных (или аксиально - симметричных) полей получается в сферических координатах г, а в виде:

в = 6>(г, 0); (3 = р(г, 0); у = ка- к еЪ,

где /3, 7 полярные координаты вектора п.

Для Сгг —инвариантных полей принцип Коулмена - Пале получает дальнейшую конкретизацию, поскольку справедлива [73, 74, 107, 110, 219]

Теорема. Пусть С{ — инвариантное поле ф0 реализует минимум

— инвариантного функционала Н[ф] в инвариантном классе. Тогда, если Н[ф] выпуклый по производным \7ф в точке фо функционал, то ф0 реализует истинный минимум функционала Н[ф].

Следовательно, после установления структуры — инвариантных анзацев, требуется проверить локальную выпуклость Сг — инвариантного функционала по производным.

В § 3.2 для проверки выпуклости функционалов применяются методы прямой минимизации, основанные на обобщенном "методе оврагов" Гельфанда-Цетлина [23, 73, 74, 243 - 245] (минимизация функционалов в расширенном пространстве, когда поля и их производные полагаются независимыми ) и на методе сферической перестройки, восходящем к симметризации Штейнера (см. [93]). Совместное применение этих методов позволяет, в частности, установить, что в первом гомотопическом классе абсолютный минимум энергии достигается на — инвариантных конфигурациях, т.е. на "ежовом" анзаце Скирма.

В § 3.3 прямая минимизация функционала энергии используется при исследовании 5£/(2) — калибровочного обобщения модели Скирма [55, 56, 184, 211] с лагранжевой плотностью

1 я-2 1

£ = - ш1^:^ + ТеЗр'[ь<" к? + ж

т1 / 2т\ . 2 <9

+ - у •

где введены калибровочные обобщения левых и правых киральных токов = С/-= • и~ковариантные производные = 8^11 — [Ам, Щ и тензор напряженности полей Янга-Миллса Ам = | таА^ в стандартном виде = д^А» - - [Ам, А„]. Показано, что абсолютный минимум энергии и в этом случае, при \ С}\ = I, реализуется на — инвариантных конфигурациях.

В § 3.4 изучается структура минимизаторов энергии для N - со-литонных состояний с топологическими зарядами = N > 1) в

модели Скирма. Минимизацией в расширенном пространстве, устанавливается, что в таких случаях допустимы как О^ —, так и (?2~ инвариантные конфигурации (нарушается единственность). Дальнейший анализ позволяет указать условия, при выполнении которых на аксиально-симметричных конфигурациях реализуется абсолютный минимум энергии во втором гомотопическом классе (при N = 2) и, по крайней мере, локальный минимум энергии при N > 2. Таким образом, налицо явление понижение симметрии минимизаторов энергии в модели Скирма с ростом значения топологического заряда.

Как выясняется в § 3.5, G2 — инвариантные конфигурации играют определяющую роль и при отыскании структуры минимизаторов энергии в модели Фаддеева, в которой киральное поля принимают значения на многообразии двумерной сферы S2 [133, 135, 185] т.е. задаются единичным 3-вектором па с естественным граничным условием па —»• 6$ при г —> оо, и, соответственно, классифицируются посредством гомотопической группы 7Гз(5'2) = Z. Эти поля характеризуются топологическим зарядом Qh ~ индексом Хопфа, определяемым как число зацеплений b —линий, сопоставляемых п —полю согласно соотношению

fik = £iksbs = 2 £аЬсдгПадкПЬПС.

При этом инвариант Хопфа записывается в виде

Qh = ~ (¿¡2 j' 6 = rot а-

Отсюда и из структуры лагранжиана модели Фаддеева

С = X2(dfxna)2 - jf2u, s, Х- const

следует оценка для энергии топологического солитона:

Е > ¡i\ Qh Г/4, = const.

Близкие по структуре модели используются в теории магнетиков [51] и в теории нематических жидких кристаллов [21, 35, 78].

Поиск структуры минимизаторов энергии при фиксированном Qh [55, 56, 111, 210, 246 - 248, 254] удобно проводить, переходя с помощью обратного отображения Хопфа (лифтинга) /г-1 : S2 —»• S3 к полям на сфере 53, т.к. имеет место изоморфизм 7Гз(52) = ^(б*3) = Z. При этом гамильтониан модели Фаддеева приобретает структуру гамильтониана модели Скирма, что позволяет использовать ранее изложенные приемы минимизации. В результате находим, что минимизаторы энергии в модели Фаддеева имеют тороидальную структуру (тороны), а для полярных компонент п —поля получаем аксиально - симметричный ан-зац:

/3 = (3(р, z)-, 7 = ma-\-v(p, z); m G Z,

где р, а, z — цилиндрические координаты.

Глава IV "Теоремы существования для киральных топологических солитонов" [55, 56, 73, 74, 112, 211, 219, 243 - 248] посвящена доказательству существования G\ —, и G2 — солитонных конфигураций как регулярных решений соответствующих уравнений движения на основе прямых вариационных методов, т.е., по сути, доказывается достижимость нижней грани соответствующего функционала энергии на множестве функций, подчиненных заданным граничным условиям.

С этой целью в § 4.1 дана краткая сводка основных определений и теорем прямых вариационных методов, используемых в последующих доказательствах.

В § 4.2 приведено доказательство существования регулярных, вещественно - аналитических (из класса С°°) сферически - симметричных ("ежовых") конфигураций в модели Скирма, при (| Q | = N). Для этого выясняется достижимость InfE для функционала энергии модели Скирма на сферически - симметричной конфигурации, в единицах Атте/Х и при г = еХх записываемого в виде

Е[0] = /

J0

°° V^ + 2sin2el+sin20+Sin40

dx

2 J х

2

на множестве Л4 функций (0(г)}, удовлетворяющих граничным условиям:

<9(0) = Nir, 0(оо) = 0.

Прямой вариационный метод, как известно, сводится к построению минимизирующей последовательности функций {Оп(х)} £ A4; к доказательству сходимости этой последовательности к некоторой предельной функции &о(х) £ М таким образом, что

Inf£[<9] = lim Е[Оп] = Е[во].

п—юо

Для реализации указанных этапов устанавливаются априорные оценки на предельную функцию &о(х) (которые важны и для правильного выбора пробных функций при проведении численных расчетов), используются известные теоремы вложения для доказательства полунепрерывности снизу функционала Е{0], а затем проверяется регулярность предельной функции 0о(х).

В § 4.3 изложено доказательство существования регулярных аксиально - симметричных конфигураций в модели Скирма при (| <5 | > 2), а также, в модели Фаддеева при произвольном значении С^н-

Глава V "Геометрия многообразия солитонных решений" [77, 98, 99, 114, 250, 253], в основном, посвящена изучению геометрии многообразия решений уравнения скирмиона, т.е. уравнения движения в модели Скирма, описывающего 6п — инвариантные конфигурации в первом гомотопическом классе, которое записывается в виде:

„ бш26> (л , 2ЗШ26>\ 2хв'

0 ~~1Г\1~Ю (3)

где 0 = 0(х) - киральный угол, х = г/гА, М = х2 + 4эт2 0, а е, А - параметры модели. Именно для этого уравнения доказано существование регулярных решений из класса С°° в § 4.2, однако их явный вид до сих пор удается записать лишь через формальные ряды [109], что затрудняет анализ их свойств.

С другой стороны, следуя Э. Картану [46], интегральные кривые ОДУ 2-го порядка вида у" — можно рассматривать как ге-

одезические на многообразии X2 элементов (х,у,у'), оснащенного соответствующей связностью. Такие многообразия в общем случае относятся к многообразиям проективной связности, т.е. обладают струк-

____Г)

турой вещественного проективного пространства К.Р в окрестности каждого своего элемента; бесконечно близким элементам из X2 отвечают

л

пространства ЯР , связанные между собой проективными преобразованиями. В нашем случае достаточно ограничиться многообразиями нормальной проективной связности размерности 2, с уравнениями геодезических в виде

у" + а1У'3 + 3 а2у'2 + За3у' + а4 = 0, (4)

где аг- = «¿(ж, у) - переменные коэффициенты, при определенном выборе которых имеем исходное уравнение (3).

В § 5.1 приведены основные факты из геометрии пространств нормальной проективной связности, а также формулы для нетривиальных компонент тензора кривизны Ь\ = — -^2 = в терминах ко-

торых вычисляется серия алгебраических инвариантов Трессе - Лиу-вилля многообразия решений ОДУ 2-го порядка (см. [29]). Ключевую роль при этом играет инвариант веса 5 - , который имеет вид

( dL2 дЬЛ ( дЬг дЬЛ

иъ =Ь2 Ьг—--L2—~ + Li[ Ь2-д--Li-

\ ox ox J \ оу оу J

— a\L\ + За2Ь\Ь2 — 3LiL2a,3 +

и тождественная тривиальность которого (j/5 = 0) является критерием погружаемости двумерного многообразия нормальной проективной связности X2 в трехмерное проективное пространство RP .

В § 5.2 вычислены инварианты Трессе - Лиувилля для уравнения (3) и получены основные геометрические характеристики солитонного многообразия: средняя и гауссова кривизны, символы Кристоффеля, метрика и т.д. Выясняется, что серия инвариантов Трессе - Лиувилля для уравнения (3) зануляется уже при относительно малых весах, что ограничивает возможности подхода в исследовании киральных моделей. Поскольку в этом случае 1/5 = 0, то делается вывод о погружаемости многообразия решений в трехмерное проективное пространство RP . Обсуждаются возможные пути использования полученных сведений о геометрии многообразия скирмионных решений.

Обсуждается связь предлагаемого подхода к исследованию свойств солитонных решений в неинтегрируемых моделях с известным приближенным подходом, основанном на построении пространства модулей [6, 222, 255, 263].

В § 5.3 аналогичным образом исследуется геометрия многообразия решений интегрируемой модификации уравнения (3), предложенной в работах [114, 250]. При этом обнаруживается, что значения инвариантов в основном определяются кинетическими членами исходных лагранжианов и не зависят от вида потенциалов в уравнениях.

В обоих рассмотренных случаях ^еОи согласно предположению B.C. Дрюмы [29], такие уравнения должны обладать свойством Пенлеве - отсутствие подвижных особых точек, кроме полюсов. Изучению справедливости этого предположения для уравнений в киральных моделях посвящена

Глава VI "Пенлеве-анализ уравнений топологических солитонов" [97 - 99, 115, 239, 240, 253], где изучаются аналитические свойства решений уравнения скирмиона (3), некоторых точно решаемых модификаций этой модели, а также уравнений в киральных моделях магнетиков [51].

В § 6.1 приведены основные элементы Пен леве - анализа на примере уравнения скирмиона (3), обсуждается роль этого анализа в установлении факта интегрируемости уравнений и прямыми вычислениями показано отсутствие свойства Пенлеве для уравнения (3). Отрицательный ответ получен и в случае расширения области определения кирального угла на всю числовую ось ("суперсимметричное" расширение).

В § 6.2 аналогичным образом исследуется модель Скирма-Мантона [224], где в качестве области определения киральных полей изначально выбирается сфера S3. Несмотря на наличие в такой модели известного точного решения, показано что и в этом случае уравнение движения не обладает свойством Пенлеве.

В § 6.3 предположение B.C. Дрюмы проверяется для уравнений топологических магнетиков, приведенных в [51]. Для одного из таких уравнений (уравнение Гросса - Питаевского) удается доказать наличие свойства Пенлеве и на этом основании привести его к трансцендентным уравнениям из списка Пенлеве - Гамбье. Указаны преобразования, сводящие уравнение Гросса - Питаевского к уравнениям PIII и PV из данного списка, а также способ выражения его решений (до этого получаемых лишь численно) через известные решения синус - Гордон уравнения.

В Заключении перечислены основные результаты полученные в диссертации:

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Санюк, Валерий Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Доказаны существование и вещественная аналитичность сферически - симметричного солитонного решения с единичным топологическим зарядом (скирмиона), реализующего абсолютный минимум энергии Би(2) киральной модели Скирма.

2. Доказано, что абсолютный минимум энергии 811(2) калибровочной модели Скирма (т.е. при наличии неабелева калибровочного поля) реализуется на сферически - симметричных полевых конфигурациях с единичным топологическим зарядом, в то время как в модели Фаддеева минимизаторы энергии имеют тороидальную структуру, а абсолютный минимум реализуется на состояниях с единичным инвариантом Хопфа фя• На основе отображения Хопфа установлена связь между моделями Скирма и Фаддеева.

3. Установлено понижение симметрии критических точек модели Скирма в высших гомотопических классах > 1: сферически - симметричные состояния отвечают седловым критическим точкам и неустойчивы, а минимальными оказываются аксиально - симметричные конфигурации. Приведено доказательство существования таких конфигураций.

4. Показано, что известные результаты для расщепления спектра масс барионов в стандартной модели Скирма, могут быть воспроизведены и в рамках более простой киральной модели Вайнберга -Гюрши, путем введения параметра обрезания, равного радиусу е кора (сердцевины) "вихря" в "пионной жидкости", моделирующего барион. Доказано существование стабильных классических решений в рамках предложенной упрощенной модели.

5. Исследованы аналитические свойства решений редуцированного уравнения Эйлера-Лагранжа в модели Скирма - нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего скирми-онные конфигурации (уравнение скирмиона). Показано, что уравнение не обладает свойством Пенлеве. Аналогичные результаты получены и для точно решаемого уравнения модифицированной модели Скирма-Мантона.

6. Проведен Пенлеве-анализ уравнений топологических магнетиков. Доказано, что все они относятся к уравнениям Р - типа. Для одного из таких уравнений (уравнение Гросса - Питаевского) на этом основании указаны преобразования, сводящие уравнения Гросса -Питаевского к уравнениям PIII и PV из данного списка, а также способ выражения его решений (до этого получаемых лишь численно) через известные решения синус - Гордон уравнения.

7. Исследована геометрия многообразия решений уравнения скирмиона путем вычисления алгебраических инвариантов Трессе-Лиуви-лля. На этой основе найдены основные характеристики многообразия решений (гауссова и средняя кривизны, связность и т.д.).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Санюк, Валерий Иванович, 1997 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир, 1987.- 479 С.

2. Альбер С.И. Топология функциональных многообразий и вариационное исчисление в целом//Усп. мат. наук.- 1970.- Т. 25, N 4.-С. 57 - 123.

3. Андрианов A.A., Андрианов В.А., Новожилов В.Ю., Новожилов Ю.В. Ассиметрия спектра кварков и эффективный лагранжиан для массивных псевдоскалярных мезонов//Теор. и мат. физ.-1987.- Т. 70, N 1- С. 63 - 75.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978.- 304 С.

5. Арнольд В.И. Асимптотический инвариант Хопфа и его приложения// Материалы Всесоюзной школы по дифференциальным уравнениям с бесконечным числом независимых переменных и по динамическим системам с бесконечным числом степеней свободы, Ди-лижан, 1973. - Ереван: АН Арм. ССР, 1974. - С. 229-256

6. Атья М., Хитчин Н. Геометрия и динамика магнитных монополей.-М.: Мир, 1991.- 150 С.

7. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. - М.: ГИТТЛ, 1955.- 247 С.

8. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Наука, 1966.- 544 С.

9. Белавин A.A., Поляков A.M. Метастабильные состояния двухмерного изотропного ферромагнетика//Письма в ЖЭТФ.- 1975.- Т. 22, N 10.- С. 503 - 506.

10. Бернштейн С.Н. О поверхностях, определяемых посредством их средней или полной кривизны//Собр.соч.- Т.З.- М: Изд-во АН СССР, I960.- С.251 - 258

11. Богомольный Е.Б. Устойчивость классических решений//Ядер, физ - 1976.- Т. 24, N 5.- С. 861 - 872.

12. Богомольный Е.Б., Фатеев В.А. Асимптотическое вычисление масс солитонов//Ядер. физ.- 1983.- Т. 37, N 1- С. 228 - 241.

13. Бурланков Д.Е., Дутышев В.Н. "Инстантоны" высших поряд-ков//ЖЭТФ - 1977.- Т. 73, N 2.- С. 377 - 381.

14. Буслаев B.C. Вариационное исчисление.-JI.: Изд-во Ленингр. унта, 1980.- 288 С.

15. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1972.- 416 С.

16. Вакуленко А.Ф., Капитанский Л.В. Устойчивость солитонов в S2 нелинейной сг -модели//Докл. АН СССР - 1979.- Т. 246, N 4.- С. 840 - 842.

17. Волков Д.В. Феноменологические лагранжианы //Физ. элем, частиц и атомн. ядра- 1973.- Т. 4, вып. 1.- С. 3-41.

18. Волков М.К. Феноменологический киральный лагранжиан с учетом глюонных аномалий //Физ. элем, частиц и атомн. ядра- 1982.-Т. 13, вып. 5.- С. 1070 - 1093.

19. Волков М.К., Первушин В.Н. Существенно нелинейные квантовые теории, динамические симметрии и физика мезонов. - М.: Ато-миздат, 1978.- 240 С.

20. Воловик Г.Е., Минеев В.П. Исследование особенностей в сверхтекучем Не3 методами гомотопической топологии//ЖЭТФ.- 1977.Т. 72, вып. 6.- С. 2256 - 2274.

21. Воловик Г.Е., Минеев В.П. Физика и топология. Новое в жизни, науке, технике. Сер. "Физика", N 6 - М.: Знание, 1980.- 64 С.

22. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление.- М.: ГИФМЛ, 1961.- 228 С.

23. Гельфанд И.М., Цетлин М.Л. Принцип нелокального поиска в системах автоматической оптимизации //Докл. АН СССР.- 1961.Т. 137, N 2.- С. 295 - 298.

24. Громак В.И., Лукашевич Н.А. Аналитические свойства уравнений Пенлеве.- Минск: Вышэйшая школа, 1990.- 158 С.

25. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато - М.: Наука, 1987 - 312 С.

26. Дзялошинский И.Е. Локализованные топологические солитоны в ферромагнетике//Письма в ЖЭТФ - 1977.- Т. 25, вып. 2- С. 110 - 113.

27. Дзялошинский И.Е., Иванов Б.А. Локализованные топологические солитоны в ферромагнетике//Письма в ЖЭТФ.- 1979.- Т. 29, вып. 9.- С. 592 - 595.

28. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения.- М.: Мир, 1988.- 694 С.

29. Дрюма B.C. Геометрическая теория нелинейных динамических систем/ Препринт Института АН Молд. ССР. - Кишинев: Инст. математики, 1986.- 54 С.

30. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы. I. //Итоги науки и техники. Сер."Современные проблемы математики. Фундаментальные направления." Т.4. - М.: ВИНИТИ, 1985.- С. 179-284.

31. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения.- М.: Наука, 1979.- 760 С.

32. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы теории гомологии.- М.: Наука, 1984.- 344 С.

33. Дьяконов Д.И., Петров В.Ю. Барион как солитон/ Препринт ЛИЯФ - 84 - 967. - Л.: ЛИЯФ, 1984.- 59 С.

34. Дьяконов Д.И., Эйдес М.И. Киральный лагранжиан из функционального интеграла по кваркам //Письма в ЖЭТФ.- 1983.- Т. 38, вып. 7.- С. 358 - 360.

35. Жен де П. Физика жидких кристаллов.- М.: Мир, 1977.- 400 С.

36. Захаров В.Е., Манаков C.B. Об обобщении метода обратной задачи рассеяния//Теор. и мат. физ.- 1976 - Т. 27, N 3.- С. 283 - 287.

37. Захаров В.Е., Манаков C.B. Многомерные нелинейные интегрируемые системы и методы построения их решений// Зап. науч. сем. ЛОМИ.- 1984.- Т. 133, вып. 16.- С. 71 - 91.

38. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи.- М.: Наука, 1980.320 С.

39. Захаров В.Е., Тахтаджан Л.А., Фаддеев Л.Д. Полное описание решений "sine-Gordon" уравнения//Докл.АН СССР - 1974.- Т. 219, N 6.- С, 1334 - 1337.

40. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рас-

сеяния//Функц. анализ и прилож. I. — 1974.- Т. 8, N 3.- С. 43 -53.; И. - - 1979.- Т. 13, N 3.- С. 13 - 22.

41. Зейферт Т., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом.-М.: Изд-во иностр. лит., 1947.- 344 С.

42. Зенкин C.B., Копелиович В.Б., Штерн Б.Е. Взаимодействие соли-тонов в модели Скирма//Ядерн. физ.- 1987.- Т. 45, N 1.- С. 165 -168.

43. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике.- М.: Наука, 1983.- 280 С.

44. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Расширение вариационных за-дач//Тр. Моск. мат. о-ва.- 1968.- Т.18.- С.187 - 246.

45. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974.- 480 С.

46. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. - Казань: Изд-во Казанск. университета, 1962.- 210 С.

47. Карчев Н.И., Славнов A.A. Эффективный киральный лагранжиан из SU(oo) квантовой хромодинамики//Теор. и мат. физ.- 1985.Т. 65, N 2.- С. 192 - 201.

48. Качевский Д.Н. О первых интегралах системы дифференциальных уравнений//Дифф. уравн. - 1984.- Т. 20, N 10.- С. 1819 - 1821.

49. Кожевников И.Р., Рыбаков Ю.П., Фомин М.Б. Структура топологических солитонов в модели Скирма//Теор. и мат. физ.- 1988.Т. 75, N 3.- С. 353 - 360.

50. Копелиович В.Б., Штерн Б.Е. Экзотические скирмионы//Письма в ЖЭТФ.- 1987.- Т. 45, вып. 4.- С. 165 - 168.

51. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев A.C. Нелинейные волны намагниченности: Динамические и топологические солитоны.- Киев: Наукова думка, 1983.- 190 С.

52. Корепин В.Е., Шоташвили C.JI. Трехинстантонноерешение//Изв. АН СССР, сер. Математическая- 1984.- Т. 48, N 2.- С. 331 - 346.

53. Коулмен С. Магнитный монополь пятьдесят лет спустя //Усп. физ. наук.- 1984.- Т. 144, N 2.- С. 277 - 340.

54. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений//Усп. мат. наук.- 1977.- Т. 32, N 6.- С. 183 -208.

55. Кунду А., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Топологические солитоны на многообразии 3-х мерной сферы//Деп. ВИНИТИ No. 190679.- 1979.- 22 С.

56. Кунду А., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. О структуре топологических солитонов//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц - Вып. 11.-М.: Атомиздат, 1980 - С. 14 - 22.

57. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. I-М - Л.: ГИТТЛ, 1951.- 476 С.

58. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.- М.: Наука, 1973 - 408 С.

59. Ладыженская O.A., Капитанский Л.В. О принципе Коулмэна нахождения стационарных точек инвариантных функционалов//Зап. науч. сем. ЛОМИ.- 1983.- Т. 127, вып. 15.- С. 84 - 102.

60. Лезнов А.Н. Об эквивалентности четырехмерных уравнений автодуальности континуальному аналогу задачи главного кирального поля//Теор. и мат. физ.- 1987.- Т. 73, N 2.- С. 302 - 307.

61. Лезнов А.Н., Манько В.И., Чумаков С.М. Симметрии и солитон-ные решения нелинейных уравнений//Теор. и мат. физ.- 1985.Т. 63, N 1- С. 50 - 63.

62. Лезнов А.Н., Манько В.И., Чумаков С.М. Динамические симметрии нелинейных уравнений//Тр. ФИАН.- 1986.- Т. 167 - С.232 -277.

63. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Точные цилиндрически - симметричные решения классических уравнений калибровочных теорий для произвольных компактных групп Ли//Физ. элем, частиц и атом, ядра.- 1980.- Т. 11, вып. 1- С. 40-91.

64. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем.- М.: Наука, 1985.- 280 С.

65. Лившиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Ч. 2. Теория конденсированного состояния. - М.: Наука, 1978.- 448 С.

66. Лукашевич H.A. К теории второго уравнения Пенлеве//Дифф. уравн. - 1978.- Т. 7, N 6.- С. 1124 - 1125.

67. Люстерник Л.А. Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом//Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. -1947.-Т.19.- С.1- 100.

68. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.- М.: Наука, 1965.- 520 С.

69. Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей//Усп. мат. наук.- 1947.- Т. 2, N 1.- С. 166 -217.

70. Манаков C.B. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения. //Усп. мат. наук - 1976.- Т. 31, вып. 5.-С. 245 - 246.

71. Манаков C.B. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п-мерного твердого тела//Функц. анализ и прилож. -1976.- Т. 10, N 4.- С. 93 - 94.

72. Маханьков В.Г. Солитоны и численный эксперимент //Физ. элем, частиц и атом, ядра.- 1983.- Т. 14, вып. 1.- С. 123 - 180.

73. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Модель Скирма и солитоны в физике адронов. Лекции для молодых ученых. Вып. 55. Р4-89-568.- Дубна: ОИЯИ, 1989.- 171 С.

74. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Модель Скирма и сильные взаимодействия: К 30-летию создания модели Ски-рма//Усп. физ. наук.- 1992.- Т. 162, N 2.- С. 1 - 61.

75. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Локализованные нетопологические структуры: построение решений и проблемы устой-чивости//Усп. физ. наук.- 1994.- Т. 164, N 2.- С. 121 - 148.

76. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения/Под ред. В.И.Гурмана и Г.Н.Константинова.- Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1990.- 190 С.

77. Мещерякова Е.М., Санюк В.И. К геометрии солитонных многообразий модели Скирма//Вестник РУДН, сер. Физика. - 1994.- N 2.-С. 79-93.

78. Монастырский М.И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. - М.: ПАИМС, 1995.- 478 С.

79. Монополи: Топологические и вариационные методы. Сб. статей 1983-1986 гг. Пер. с англ.- М.: Мир, 1989.- 584 С.

80. Морозов А.Ю. Аномалии в калибровочных теориях //Усп. физ. наук.- 1986.- Т. 150, N 3.- С. 337 - 416.

81. Николаев В.А. Модель Скирма: нуклоны, дибарионы, ядра//Физ. элем, частиц и атом, ядра.- 1989.- Т. 20, вып. 2.- С. 401 - 439.

82. Николаев В.А. Малобарионные системы в модели топологических солитонов кирального поля, Автореф. дисс....докт. физ.-мат. наук - Дубна: ОИЯИ, 1992.

83. Николаев В.А., Ткачев О.Г. Малобарионные системы в модели солитонов кирального поля//Физ. элем, частиц и атом, ядра.-1990.-Т. 21, вып. 6.- С. 1499 - 1538.

84. Николаева P.M., Николаев В.А., Ткачев О.Г. Ядерно-подобные состояния в SU(2) —модели Скирма//Физ. элем, частиц и атом, ядра.- 1992.- Т. 23, вып. 2.- С. 542 - 571.

85. Нисиченко В.П. Исследование регулярных решений нелинейных уравнений для некоторых полевых моделей. Автореф. дисс....канд. физ.-мат. наук.- М.: Ун-т дружбы народов, 1981.

86. Нисиченко В.П., Рыбаков Ю.П. О регулярных решениях в модели Скирме с калибровочным полем//Изв. ВУЗов. Физика.- 1980.- Т. 23, N 9.- С. 13 - 17.

87. Новиков С.П. Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса//Докл. АН СССР.- 1981.- Т. 260, N 1.- С. 31 - 34.

88. Новиков С.П. Вариационные методы и переодические решения уравнений типа Кирхгофа. II //Функц. анализ и прилож. - 1981.Т. 15, N 4.- С. 37 - 52.

89. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса//Усп. мат. наук.- 1982 - Т. 37, N 5.- С. 3 - 48.

90. Новиков С.П., Шмельцер И. Переодические решения уравнений Кирхгофа свободного движения твердого тела в идеальной жидкости и расширенная теория Люстерника - Шнирельмана - Морса.1 //Функц. анализ и прилож. - 1981- Т. 15, N 3.- С. 54 - 66.

91. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике.- М.: Мир, 1989. -326 С.

92. Переломов A.M. Решения типа инстантонов в киральных моде-лях//Усп. физ. наук.- 1981.- Т. 134, N 4.- С. 577 - 609.

93. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике - М.: ГИФМЛ, 1962.- 336 С.

94. Поляков A.M. Спектр частиц в квантовой теории поля//Письма в ЖЭТФ. - 1974.- Т. 20, N 6.- С. 430 - 433.

95. Поляков A.M. Изомерные состояния квантовых полей//ЖЭТФ. -1975.- Т. 68, N 6.- С. 1975 - 1990.

96. Птуха А.Р. Аналитическая и алгебраическая структура решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в киральных моделях. Автореф. дисс....канд. физ.-мат. наук.- М.: РУДН, 1993.

97. Птуха А.Р., Санюк В.И. Симметрийный подход в изучении модели Скирма/ Тезисы докладов П-ой Всесоюзной конференции "Вычислительная физика и математическое моделированиеВолгоград, 1989/ Ред. Е.П. Жидков.- М.: Изд-во УДН, 1990.- С. 59-60.

98. Птуха А.Р., Санюк В.И. Интегрируемость некоторых ОДУ в физике солитонов/ Дискуссионные вопросы квантовой физики. Памяти Василия Васильевича Курышкина./ Ред. Ю.И. Запарован-ный, В.И. Санюк.- М.: Изд-во РУДН, 1993.- С. 104-109.

99. Птуха А.Р., Санюк В.И. О групповом анализе некоторых ОДУ, имеющих солитонные решения/Проблемы квантовой и статистической физики./Ред. Ц.И. Гуцунаев.- М.: Изд-во РУДН, 1994.- С. 34-37

100. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. - М.: Мир, 1985. - 414 С.

101. Романов В.Н., Фролов И.В., Шварц A.C. О сферически-симметричных солитонах//Теор. и мат. физ.- 1978.- Т. 37, N 3.- С. 305 -319.

102. Рудин У. Функциональный анализ - М.: Мир, 1975.- 444 С.

103. Рыбаков Ю.П. Структура частиц в нелинейной теории поля.- М.: Изд-во УДН, 1985.- 80 С.

104. Рыбаков Ю.П. Об условной устойчивости регулярных решений в нелинейной теории поля//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.- Вып. 10.- М.: Атомиздат, 1979.- С. 194 - 202.

105. Рыбаков Ю.П. О солитонах с индексом Хопфа//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.- Вып. 12.- М.: Энергоиздат, 1981.- С. 147 - 154.

106. Рыбаков Ю.П. Связанное состояние двух скирмеонов//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.- Вып. 14.- М.: Энергоиздат, 1984.- С. 166 - 170.

107. Рыбаков Ю.П. Киральные солитоны в ядерной физике//Труды X Семинара "Проблемы физики высоких энергий и теории поля", Протвино, 6-12 июля 1987.- М.: Наука, 1988.- С. 349 - 355.

108. Рыбаков Ю.П. Устойчивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации//Итоги науки и техники. Класическая теория поля и теория гравитации. Т. 2. Гравитация и космология.-М.: ВИНИТИ, 1991.- С. 56 - 111.

109. Рыбаков Ю.П. Скирмионы в высших гомотопических классах// Вестник РУДН, сер. Физика.- 1993.- N 1.- С. 49 - 53.

110. Рыбаков Ю.П. Устойчивость многомерных солитонов, Автореф. дисс....докт. физ.-мат. наук.- Дубна: ОИЯИ, 1994.

111. Рыбаков Ю.П. Структура минимизаторов энергии в S2 нелинейной сигма-модели// Вестник РУДН, сер. Математика.- 1995.- N 2, вып.2.- С. 35-41.

112. Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. О существовании частицеподобных решений в модели Скирма/Проблемы квантовой физики./Ред. Ю.И. Запарованный. - М.: Изд-во УДН, 1977.- С. 19-22.

113. Рыбаков Ю.П., Халдер А.К. О струнных решениях в S2 нелинейной а — модели с калибровочным полем//Изв. ВУЗов. Физика.-1986.- Т. 29, N 5.- С. 79 - 83.

114. Санюк В.И. Об интегрируемых модификациях модели Скирма/ Проблемы статистической физики и теории поля. /Ред. Ю.И. Запарованный. - М.: Изд-во УДН, 1987.- С. 101-104.

115. Санюк В.И. О некоторых свойствах уравнений в модели Ски-рма//Труды XI Семинара "Проблемы физики высоких энергий и теории поля", Протвино, 5-9 июля 1988 - М.: Наука, 1989. - С. 240 - 244.

116. Санюк В.И. О моделировании сильно взаимодействующих частиц/ Тезисы докладов Н-ой Всесоюзной конференции "Вычислительная физика и математическое моделированиеВолгоград, 1989/ Ред. Е.П. Жидков.- М.: Изд-во УДН, 1990.- С. 61-63.

117. Санюк В.И. Алгебры Курышкина и квантование "ребячьих" скир-мионов / Дискуссионные вопросы квантовой физики. Памяти Василия Васильевича Курышкина./ Ред. Запарованный Ю.И., Санюк В.И. - М.: Изд-во РУДН, 1993. - С. 90-103

118. Санюк В.И. Модель Скирма/Физическая Энциклопедия - Т. IV. -М.: Большая Российская энциклопедия. - 1994. - С. 543-544.

119. Санюк В.И. Топологические солитоны: классификация и N - соли-тонные конфигурации. I. Кинки, лэмпы, вихри и анионы //Вестник РУДН, сер. Физика. - 1995. - N 3, вып. 1. - С. 142-167.

120. Санюк В.И. Топологические солитоны /Физическая Энциклопедия. Т. V. - М.: Большая Российская энциклопедия. - 1997. - С. 134 - 142; Топологические заряды/ там же - С. 131 - 134.

121. Свешников К.А. Квантовая динамика протяженного объекта в групповых переменных H.H. Боголюбова//Теор. и мат.физ.-1988.- Т. 74, N 3.- С. 373 - 391.

122. Свешников К.А. Особенности теории возмущений в окрестности классического решения частицеподобного типа //Теор. и мат.физ.-1988.- Т. 76, N 3.- С. 350 - 361.

123. Симонов Ю.А. Многомерные стабильные релятивистские соли-тоны//Ядер, физ.- 1979.- Т. 30, N 5.- С. 1457 - 1472.

124. Славнов A.A. Квантовая хромодинамика и матричные модели в терминах синглетных переменнных 1/N разложения//Теор. и мат. физ.- 1982.- Т. 51, вып. 3.- С. 307 - 316.

125. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. Инвариантная теория возмущений для нелинейных киральных лагранжианов//Теор. и мат. физ.-1971.- Т. 8, вып. 3.- С. 297 - 307.

126. Смейл С. Топология и механика//Усп. мат. наук.- 1972.- Т. 27, N 2.- С. 77 - 133.

127. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.- 256 С.

128. Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовича и И.Стиган,- М.: Наука, 1979.- 830 С.

129. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Существенно - нелинейная одномерная модель классической теории поля //Теор. и мат. физ.-1974.- Т. 21, вып. 2.- С. 160 - 174.

130. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов - М.: Наука, 1986 - 528 С.

131. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения.- М.: Изд-во иностр. лит., 1962.- 352 С.

132. Тюпкин Ю.С., Фатеев В.А., Шварц А.С. Частицеподобные решения уравнений калибровочной теории поля//Теор. и мат. физ.-1978.- Т. 37, N 3.- С. 397 - 402.

133. Фаддеев Л.Д. Калибровочно-инвариантная модель электромагнитного и слабого взаимодействия лептонов//Докл. АН СССР.- 1973Т. 210, N 4.- С. 807 - 810.

134. Фаддеев Л.Д. Адроны из лептонов?//Письма в ЖЭТФ. - 1975.Т. 21, N 1- С. 141 - 144.

135. Фаддеев Л.Д. Дифференциально-геометрические структуры и квантовая теория поля//Труды МИАН им. В.А.Стеклова.- 1975.Т. 135.- С. 218 - 223.

136. Фаддеев Л.Д. В поисках многомерных солитонов//Нелокальные, нелинейные и неренормируемые теории поля.- Дубна: ОИЯИ, 1977.- Д2-9788.- С. 207 - 223.

137. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 40. Новейшие достижения. - М.: ВИНИТИ, 1992.- С. 3 - 178.

138. Фоменко А.Т. Многомерные вариационные методы в топологии экстрема лей//Усп. мат. наук.- 1981- Т. 36, N 6.- С. 105 - 135.

139. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы - М.: Изд-во МГУ, 1983 - 216 С.

140. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии.- М.: Наука, 1989 - 528 С.

141. Фрид Д., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные многообразия.-М.: Мир, 1988.- 271 С.

142. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства.- М.: Изд-во иностр. лит., 1948.- 456 С.

143. Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология.- М.: Наука, 1989.- 400 С.

144. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-М.: Мир, 1979.- 400 С.

145. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A Connection between Nonlinear Evolution Equations and Ordinary Differential Equations of P-type// J. Math. Phys. I.- - 1980.- V. 21, No 4.- P. 715 - 721.; II.- - 1980.- V. 21, No 6.- P. 1006 - 1015.

146. Adkins, G.S. Static Properties of Skyrmions/Chiral Solitons./ Ed. K.F. Liu.- Singapure: World Scientific, 1987.- P. 99-170

147. Adkins G.S., Nappi Ch.R., Witten E. Static Properties of Nucleons in the Skyrme Model//Nucl. Phys., ser. B.- 1983.- V. 228, No 4P. 552 - 566.

148. Andrianov A.A., Novozhilov Yu.V. Chiral Bosonization in Non-Abelian Gauge Theories//Phys. Lett., ser. B.- 1985.- V. 153, No 6.- P. 422 - 426.

149. Atiyah M., Hitchin N.J. Low-Energy Scattering of Non-Abelian Magnetic Monopoles//Phil. Trans. Roy. Soc. (London), ser. A. - 1985.-V. 315.- P. 459 - 469.

150. Atiyah M.F., Manton N.S. Skyrmions from Instantons//Phys. Lett., ser. B.- 1989.- V. 222, No 3,4.- P. 438 - 442.

151. Atiyah M.F., Manton N.S. Geometry and Kinematics of Two Skyrmions// Commun. Math. Phys. - 1993.- V. 152.- P. 391 - 422.

152. Atiyah M.F., Ward R. Instantons and Algebraic Geometry// Comm. Math. Phys. - 1977.- V. 55.- P. 117 -124.

153. Balachandran, A.P. Skyrmions/High Energy Physics 1985, Proc. of the Yale Theoretical Advanced Study Institute.- Vol. I./ Eds. M.J. Bowick, F. Giirsey. - Singapure: World Scientific, 1986.- P. 1-82

154. Balachandran A..P., Nair V.P., Rajeev S.G. Soliton States in the Quantum-Chromodynamic Effective Lagrangian//Phys. Rev., ser. D.- 1983.- V. 27, No 5.- P. 1153 - 1164.

155. Balachandran A..P., Lizzi F., Rodgers V.G.J, Stern A. Dibaryons as Chiral Solitons//Nucl. Phys., ser. B.- 1985.- V. 256, No 3.- P. 525 - 556.

156. Balakrishna B.S., Sanyuk V., Schechter J., Subbaraman A. Cutoff Quantization and the Skyrmion// Phys.Rev., ser. D. - 1992.- V. 45.-P. 344 - 351.

157. Barnes K.J., Ketley I.J., Nicole D.A., O'Donnel P.J. Nonlinear Chiral Models and Many Dimensional Solitons//Phys. Rev., ser. D.- 1977.-V. 16, No 2.- P. 511 - 516.

158. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwartz A.S., Tyupkin Yu.S. Pseu-doparticle Solutions of the Yang-Mills Equations//Phys. Lett., ser. B.- 1975.- V. 59, No 1.- P. 85 - 87.

159. Boya L.J., Carinena J.F., Mateos J. Homotopy and Solitons// Fortschr. Phys.- 1978.- V. 26, No 3.- P. 175 - 214.

160. Braaten E., Carson L. Deutron as a Soliton in the Skyrme Model// Phys. Rev. Lett.- 1986.- V. 56, No 18.- P. 1897 - 1900.

161. Braaten E., Carson L. Nuclei as Multiskyrmions/ Workshop on Nuclear Chromodynamics/ Eds. S. Brodsky, E. Moniz.- Singapore: World Scientific, 1986.- P. 454-462

162. Braaten E., Carson L. Nuclei in the Skyrme Model/ Relativistic Dynamics and Quark-Nuclear Physics./ Eds. M.B. Johnson, A. Picklesimer.- New York: Wiley, 1986 P. 854-861

163. Braaten E., Carson L. Deuteron as a Toroidal Skyrmion//Phys. Rev., ser. D.- 1988.- V. 38, No 12.- P. 3525 - 3539.

164. Braaten E., Townsend S., Carson L. Novel Structure of Static Multi-soliton Solutions in the Skyrme Model//Phys. Lett., ser. B.- 1990.-V. 235.- P. 147 - 152.

165. Burzlaff J., Moncrief V. The Global Existence of Time - Dependent Vortex Solutions// J. Math. Phys.- 1985.- V. 26, No 6.- P. 1368 -1372.

166. Callan C.G., Klebanov I. Bound-State Approach to Strangeness in the Skyrme Model//Nucl.Phys., ser. B.- 1985.- V. 262.- P. 365 -382

167. Castillejo, L., Jones, P.S.J., Jackson, A.D., Verbaarschot, J.J.M., Jackson, A. Dense Skyrmion Systems// Nucl.Phys., ser. A.- 1989.-V. 501.- P. 801 - 812

168. Chang P., Giirsey F. Unified Formulation of Effective Nonlinear Pion-Nucleon Lagrangians// Phys. Rev.- 1967.- V. 164.- P. 1752 - 1761

169. Chern S.S., Simons J. Some Cohomology Classes of Principal Fibre Bundles and their Application to Riemannian Geometry// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1971.- V. 68, No 4.- P. 792 - 794.

170. Coleman S. Classical Lumps and their Quantum Descendants. Lectures at the 1975 International School of Subnuclear Physics "Ettore Majorana"(Erice) "New Phenomena in Subnuclear Physics". Ed. A. Zichichi.- N.Y.: Plenum Press, 1977.- P. 297 - 421.

171. Coleman S., Glaser V., Martin A. Action Minima among Solutions of Euclidian Scalar Field Equations//Comm. Math. Phys.- 1978.-V. 58, No 2.- P. 211 - 221.

172. Conte R. The Test of Negative Integer Indices in Painlevé Analysis of NLPDE/ Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. Proc. of the Int. Conference "NEEDS-91", Gallipoli, 1991/Eds: M. Boiti, L. Martina, F. Pempinelli.- Singapore: World Scientific, 1992.-P. 95 - 99

173. Conte R. Unification of PDE and ODE Version of Painlevé Analysis into a Single Invariant Version// Painlevé Transcendents: Their Asymptotics and Physical Applications, NATO ASI series. Series B, Physics; Vol.278.- New York: Plenum Press, 1992.- P. 125 - 144.

174. Crowe J.A., Zweibel J.A., Rosenblum P.C. Rearrangements of Func-tions//J. Funct. Anal.- 1986.- V. 66, No 3.- P. 432 - 438.

175. Derrick G.H. Comments on Nonlinear Waves Equations as a Model for Elementary Particles//J. Math. Phys.- 1964.- V. 5, No 6 - P. 1252 - 1254.

176. Donaldson S.K. Instantons and Geometric Invariant Theory// Commun. Math. Phys. - 1984.- V. 93.- P. 453 - 460.

177. Donaldson S.K. Nahm's Equations and the Classification of Monopoles// Commun. Math. Phys. - 1984.- V. 96.- P. 387 - 407.

178. Ebert D., Volkov M.K. Composite-Meson Model with Vector Dominance Based on U(2) Invariant Four-Quark Interactions//Zeit. f. Physik, ser. C.- 1983.- V. 16, No 3.- P. 205 - 210.

179. Eells J., Lemaire L. A Report on Harmonic Maps //Bull. Lond. Math. Soc.- 1978.- V. 10, No 1.- P. 1 - 98.

180. Ercolani N., Siggia E.D. Painlevé Property and Integrability/ What is Integrability? Springer Series in Nonlinear Dynamics./ Ed. V.E. Zakharov.- Berlin, Heidelberg, New York: Springer - Verlag, 1991.-P. 63 - 72

181. Esteban M.J. A Direct Variational Approach to Skyrme's Model for Meson Fields //Commun. Math. Phys.- 1986 - V. 105, No 4 - P. 571 - 591.

182. Evans L.C., Giarusso E. An Elementry Direct Proof of Partial Regularity for Solutions of Certain Nonlinear Elliptic Systems//Ind. Univ. Math. J.- 1985.- V. 34, No 4.- P. 857 - 864.

183. Faddeev L.D. Vortex-like Solutions in a Unified Model of Electromagnetic and Weak Interactions of Leptons.- Munchen: Max-Planch Institute, 1974./ Preprint MPI-PAE/Pth 16.

184. Faddeev L.D. Some Comments on Many-Dimensional Solitons//Lett. Math. Phys.- 1976.- V. 1, No 4.- P. 289 - 293.

185. Faddeev L.D. Einstein and Several Contemporary Tendencies in the Theory of Elementary Particles/Relativity, Quanta, and Cosmology in the Development of Scientific Thoughts of Albert Einstein.- Vol. I./Ed. F. de Finis.-New York, London: Johnson Repr. Corp., 1979.-P. 247 - 266

186. Felsager B. Geometry, Particles and Fields. - Odense: Odense Univ. Press, 1981. - 643 P.

187. Ferreira E., Neto J.A. Movable Singularities in Sigma and Skyrme Models// J. Math. Phys. - 1992.- V. 33, No 3.- P. 1185 - 1199.

188. Ferreira E., Neto J.A. Singularities in the Solutions of the Massive Skyrme Models// J. Math. Phys. - 1992.- V. 33, No 7.- P. 2626 -2632.

189. Finkelstein D. Kinks//J. Math. Phys. - 1966. V. 7., No. 7. - P. 1218-1225.

190. Finkelstein D., Misner C. Some new Conservation Laws// Ann. Phys. (N.Y).- 1959.- V. 6, No. 2.- P. 230 - 243

191. Flashka H., Newell A.C., Tabor M. Integrability/What is Integrabil-ity? Springer Series in Nonlinear Dynamics./ Ed. V.E. Zakharov.-Berlin, Heidelberg, New York: Springer - Verlag, 1991.- P. 73-113

192. Forgâcs P., Horvâth Z., Palla L. Generating Multimonopoles by Soliton Theoretic Method// Acta Physica Austriaca, Suppl.- 1981.- V. XXIII - P. 613 - 625; Physicist's Techniques for Multiminopole Solutions. - Budapest, Central Research Institute for Physics, 1982. -35 P./ CRIP-report KFKI-1982-08.

193. Gipson J.M., Tze H.Ch. Possible Heavy Solitons in the Stongly Coupled Higgs Sector//Nucl. Phys., ser. B.- 1981.- V. 183, No 3.- P. 524 - 546.

194. Goddard P., Mansfield P. Topological Structures in Field Theory// Rep. Prog. Phys.- 1986.- V. 49.- P. 725-781.

195. Hitchin N.J. Monopoles and Geodesies// Commun. Math. Phys. -1982.- V. 83.- P. 579 - 602.

196. Hobart R.H. On the Instability of a Class of Unitary Field Mod-els//Proc. Phys. Soc.- 1963.- V. 82, part 2, No 526.- P. 201 -203.

197. Holzwarth G., Schlesinger B. Baryons in the Skyrme Model // Rep. Progr. Phys.- 1986.- V. 49.- P. 825 - 871.

198. 't Hooft G. Magnetic Monopoles in Unified Gauge Theories// Nucl. Phys. ser. B.- 1974.- V. 79.- P. 276 - 284.

199. Hurtubise J. SU(2) Monopoles of Charge 2// Commun. Math. Phys.- 1983.- V. 92.- P. 195 - 202.

200. Hurtubise J., Kamran N. Differential Invariants, Double Fibrations and Painleve Equations//Painleve Transcendents: Their Asymp-totics and Physical Applications, NATO ASI series. Series B, Physics; Vol.278.- New York: Plenum Press, 1992.- P. 271 - 298.

201. Igarashi Y., Johmura M., Kobayashi A., Otsu H., Sato T., Sawada S. Stabilization of Skyrmions via p — Mesons//Nucl. Phys., ser.. B-1985.- V. 259, No 4.- P. 721 - 729.

202. Isham C.J. Topological Currents for Arbitrary Chiral Groups in Three Space Dimensions// J. Phys., ser. A. - 1977.- V. 10, No 8.- P. 1397 - 1407.

203. Jackson A., Jackson A.D., Pasquier V. The Skyrmion - Skyrmion Interaction//Nucl. Phys., ser A.- 1985.- V. 432, No 3.- P. 567 -609.

204. Jafarizadeh M.A., Snyder M., Tze H.C. Quaternionic Multi-S4 Instantons in General Covariant SU(2) Yang - Mills and HP(n) a-models// Nucl. Phys., ser. B.- 1980.- V. 176.- P. 221 - 242.

205. Kalbermann G. The 2-Nucleon Problem in the Skyrme Model// Nucl. Phys., ser. A. - 1993.- V. 561, No 4.- P. 582 - 594.

206. Kalbermann G., Eisenberg J.M. 3-Nucleon Interactions in the Skyrme Model// Phys. Lett., ser. B. - 1993.- V. 304, No 1,2.- P. 35 - 38.

207. Kawohl B. On the Isoperimetric Nature of a Rearrangement Inequality and its Consequence for some Variational Problems//Archive Rat. Mech. Anal.- 1986.- V. 94, No 3.- P. 227 - 243.

208. Kundu A. On a Gauge-Generalization of a Nonlinear o —Model with Nonvanishing Hopf Invariant//Can. J. Phys - 1981.- V. 59, No 11-P. 1609 - 1613.

209. Kundu A. Hedgehog and Toroidal Solitons in the Skyrme Model// Phys. Lett., ser. B.- - 1986.- V. 171, No 1.- P. 67 - 70.

210. Kundu A., Rybakov Yu.P. Closed-Vortex-Type Solitons with Hopf Index//J. Phys., ser. A.: Math., Gen.- 1982.- V. 15, No 1.- P. 269 - 275.

211. Kundu A., Rybakov Yu.P., Sanyuk V.l. Topological Solitons in the Skyrme Gauge Model//Indian J. Pure Appl. Phys - 1979 - V. 17, No 10,- P. 673 - 677.

212. Leese R.A., Manton N.S. Stable Instanton - Generated Skyrme Fields with Baryon Numbers 3 and 4 // Nucl. Phys., ser. A. - 1994.- V. 572, No 3,4.- P. 575 - 599.

213. Lieb E.H. Sharp Constants in the Hardy - Littlewood - Sobolev and Related Inequalities//Ann. Math.- 1983.- V. 118, No 2.- P. 349 -374.

214. Liouville R. Equations Différentielles Nonlineaires// Journ. de l'Ecole Politechnique.- 1887.- Ch. 57.- P. 189 - 250

215. Liouville R. Sur les Invariants de Certaines Equations Différentielles// Journ. de l'Ecole Politechnique - 1889.- Ch. 59 - P. 7 -48.

216. Luttinger J.M. Generalized Isoperimetric Inequalities// J. Math. Phys. - 1973.- V. 14.- P. 586 - 593.

217. Makhankov V.G. Dynamics of Classical Solitons (in Non-Integrable Systems)// Phys. Reports, ser. C.- 1978.- V. 35, No 1- P. 1 - 128.

218. Makhankov V.G. Soliton Phenomenology.- Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1990.- 452 P.

219. Makhankov V.G., Rybakov Yu.P., Sanyuk V.l. The Skyrme Model. Fundamentals, Methods, Applications.- Springer Series in Nuclear and Particle Physics.- Berlin, Heidelberg, New York: Springer - Verlag, 1993.- 260 P.

220. Makhankov V.G., Rybakov Yu.P., Sanyuk V.l. Localized Non - Topological Structures: Construction of Solutions and Stability Problems/ LANL (CNLS) Preprint LA-UR-94-0767.- Los Alamos: LANL (CNLS), 1994. - 67 P.

221. Manakov S.V., Zakharov V.E. Three-Dimensional Model of Relativi-stic - Invariant Field Theory, Integrable by the Inverse Scattering Transform// Lett. Math. Phys. - 1981.- V. 5.- P. 247 - 253.

222. Manton N.S. A Remark on the Scattering of BPS Monopoles// Phys. Lett., ser. B. - 1982.- V. 110.- P. 54 - 56.

223. Manton N.S. Geometry of Skyrmions// Commun. Math. Phys.-1987.-V. 111.-P. 469 - 478.

224. Manton N.S., Ruback P.J. Skyrmions on Flat Space and Curved Space// Phys. Lett., ser. B. - 1986.- V. 181- P. 137 - 140.

225. Michel L., O'Raifeartaigh L., Wali K.C. Static Finite-Energy Solutions of Gauge Fields with Separated Radial Variable// Phys. Lett., ser. B.- 1977.- V. 67, No 2.~ P. 198 - 202.

226. Mitrinovic D.S., Pecaric J.E. A General Integral Inequality for the Derivative of an Equimeaserable Rearrangements//Compt. Rend. Rep. Acad. Sci. Can.- 1989.- T. 11, No 5.- P. 201 - 205.

227. Moffatt H.K. The Degree of Knotteddness of Tangled Vortex Lines// J. Fluid Mech.- 1969.- V. 35, part 1- P. 117 - 129.

228. Nicole D.A. Solitons with Non-Vanishing Hopf Index//J. Phys., ser. G: Nucl. Phys.- 1978.- V. 4, No 9.- P. 1363 - 1369.

229. Nielsen H.B., Olesen P. Vortex-Line Models for Dual Strings// Nucl. Phys., ser. B. - 1973.- V. 61, No 1- P. 45 - 61.

230. Olive D., Cuito S., Crewther R.J. Instantons in Field Theory// Riv. Nuovo Cim. - 1979.- V. 8.- P. 1 - 117.

231. Pak N.K., Tze H.C. Chiral Solitons and Current Algebra// Ann. Phys. (N.Y.) - 1979.- V. 117.- P. 164 - 194.

232. Palais R. The Principle of Symmetric Criticality//Commun. Math. Phys.- 1979.- V. 69, No 1.- P. 19 - 30.

233. Patani A., Schlindwein M., Shafi Q. Topological Charges in Field Theories//J. Phys., ser. A: Math., Gen.- 1976.- V. 9, No 9.- P. 1513 - 1520.

234. Percacci R. Geometry of Nonlinear Field Theories.- Singapore: World Scientific, 1986.- 255 P.

235. Piette B., Zakrzewski W.J. Skyrmion Scattering in (2 + 1) Dimen-sions/Solitons and Chaos, Research Reports in Physics/ Eds. I. An-toniou, F.J. Lambert.- Heidelberg-Berlin-New York: Springer-Verlag, 1991.- P. 325 - 329.

236. Prasad M.K. Instantons and Monopoles in Yang-Mills Gauge Field Theories// Physica, ser. D.- 1980.- V. 1.- P. 167 - 191.

237. Prasad M.K., Rossi P. Construction of Exact Multimonopole Solutions// Phys. Rev., ser. D.- 1981.- V. 24, No 8.- P. 2182 - 2199.

238. Prasad M.K,, Sommerfield C.M. An Exact Classical Solutions for the't Hooft Monopole and the Julia-Zee Dyon// Phys. Rev. Lett.-1975.- V. 35.- P. 760 - 763.

239. Ptukha A.R., Sanyuk V.l. Symmetries and First Integrals of the Chi-ral Skyrme Model/Computer Algebra in Physical Research. Proc. of the IV Int. Workshop, Dubna, 1990/ Eds: V.M. Gerdt, D.V. Shirkov.- Dubna: JINR Publ., 1990.- P. 93.

240. Ptukha A.R., Sanyuk V.l. Painleve Property in (3 + 1)- Dimensional Chiral Models/ Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. Proc. of the Int. Conference "NEEDS-92", Dubna, 1992/ Eds: V.G. Makhankov, I.V. Puzynin, O.K.Pashaev.- Singapore: World Scientific, 1993.- P. 170-179.

241. Rawnsley J.H. Spherically Symmetric Monopoles are Smooth// J. Phys., ser. A.- 1977.- V. 10, No. 8.- P. L139 - L141.

242. Rho M. Cheshire Cat Hadrons// Phys. Reports, ser. C.- 1994.- V. 240, No. 1.- P. 1 - 142.

243. Rybakov Yu.P., Sanyuk V.l. Topological Skyrmeons.- Copenhagen: The Niels Bohr Institute, 1981.- 36 P./Preprint NBI-HE-81-49.

244. Rybakov Yu.P., Sanyuk V.l. Methods to Study (3+1) Localized Structures. 1. Skyrmion as Absolute Minimum of Energy/Syracuse Univ. Preprint, SU-4228-473. - Syracuse: Univ. Publ. 1991. - 37 P.

245. Rybakov Yu.P., Sanyuk V.l. Methods for Studying 3+1 Localized Structures: The Skyrmion as the Absolute Minimizer of Energy// Intern. J. Mod. Phys., ser. A.- 1992.- V. 7, No 14.- P. 3235 - 3264.

246. Rybakov Yu.P., Sanyuk V.l. Elements of Critical Points Theory for (3+l)-dimensional Topological Solitons: Structure of Torons in the Faddeev Model/ Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. Proc. of the Int. Conference "NEEDS-94", Los Alamos, 11 - 18 September 1994/Eds: V.G. Makhankov, A. Bishop, D. Holm.-Singapore: World Scientific, 1995.- P. 197 - 207.

247. Sanyuk V.l. Some Remarks on the Berry Phase for Skyrmions/ Topological Phases in Quantum Theory. Proc. of "Intern. Seminar on Geometrical Aspects of Quantum Theory", Dubna, JINR, 2 -4 September 1988/ Eds: B. Markovski, S.I. Vinitsky.- Singapore: World Scientific, 1989.- P. 316 - 332.

248. Sanyuk V.l. On the Vortex Nature of the Skyrmions/ Problems of High Energy Physics and Field Theory. Proc. of the XII Workshop, Protvino, 3 - 7 July 1989/ Ed. V.A. Petrov. - M.: Hayna, 1990. -C. 254-259.

249. Sanyuk V.l. Skyrme Model and Hadron Structure in QCD/Proc. of the IVth Intern. Workshop Solitons and Applications, 24 - 26 August 1989, Dubna, USSR. Dedicated to Academician N.N.Bogoliubov on the occasion of his 80th birthday./ Eds. V.G. Makhankov, V.K. Fedyanin, O.K.Pashaev. - Singapore: World Scientific, 1990.- P. 374 - 378.

250. Sanyuk V.l. On the Methods of Finding First Integrals in Application to the Skyrme Model/ Proc. of the IVth Intern. Workshop Solitons and Applications, 24 - 26 August 1989, Dubna, USSR. Dedicated to Academician N.N.Bogoliubov on the occasion of his 80th birthday/ Eds: V.G.Makhankov, V.K.Fedyanin, O.K.Pashaev. - Singapore: World Scientific, 1990.- P. 425 - 428.

251. Sanyuk V.l. On a Reduction Algorithm for Chiral Lagrangians// Computer Algebra in Physical Research, Eds: V.M. Gerdt, D.V. Shirkov. Proc. of the IV Int. Workshop, Dubna, 1990.- Dubna: JINR Publ., 1990.- P. 94-95.

252. Sanyuk V.l. Genesis and Evolution of the Skyrme Model from 1954 till the Present //Int. J. Mod. Phys., ser. A. - 1992.- V. 7, No 1-P. 1 - 40.; reprinted in Selected Papers, with Commentary, of Tony Hilton Royle Skyrme Ed. by G.E. Brown. World Scientific Series in 20th Century Physics.- Vol. 3. - Singapore: World Scientific, 1994.-P. 126-165.

253. Sanyuk V.l. Algebraic and Analytical Features of (3+l)-Dimensional Topological Solitons/ Symmetry Methods in Physics. Proc. of the Int. Workshop in memory of Professor Ya.A. Smorodinsky, Dubna, July 6 - 10, 1993.-Vol. II./ Eds: A.N. Sissakian, G.S. Pogosyan, S.I. Vinitsky.- Dubna: JINR Publ., 1994.- P. 443-449.

254. Sanyuk V.l. Giirsey Chiral Model and Its Modifications/ Strings and Symmetries. Proc. of the Giirsey Memorial Conference I, Bogazici Univ., Istanbul, Turkey, 1994/ Lect. Notes in Physics Vol. 447.-Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1995.- P. 326 - 331.

255. Schroers B.J. Dynamics of Moving and Spinning Skyrmions//Zeit. f. Physik, ser. C.- 1994.- V. 61, No 3.- P. 479 - 494.

256. Skyrme T.H.R. A Nonlinear Theory of Strong Interactions// Proc. Roy. Soc. London, ser. A. - 1958.- V. 247.- P. 260 - 278.

257. Skyrme T.H.R. A Nonlinear Field Theory// Proc. Roy. Soc. London, ser. A. - 1961.- V. 260.- P. 127 - 138.

258. Skyrme T.H.R. A Unified Field Theory of Mesons and Baryons// Nucl. Phys.- 1962.- V. 31, No 4.- P. 556 - 569.

259. Sorace E., Tarlini M. Some Stable Skyrme Configurations with B > 2//Phys. Lett., ser. B.- 1989.- V. 232, No 2.- P. 154 - 158.

260. Talenti G. Best Constants in Sobolev Inequality//Ann. Mat. Pura Appl.- 1976.- V. 110.- P. 353 - 372.

261. Taubes C.H. The Existence of Multimonopole Solutions to the Non-Abelian Yang-Mills Equations for Arbitrary Simple Groups// Commun. Math. Phys.- 1981.- V. 80.- P. 343 - 367.

262. Taubes C.H. Surface Integrals and Monopole Charges in Non-Abelian Gauge Theories// Commun. Math. Phys.- 1981- V. 81- P. 299 -311.

263. Taubes C.H. Path Connected Yang-Mills Moduli Spaces// J. Diff. Geom.- 1984.- V. 19.- P. 337 - 392.

264. Tresse A. Détermination des invariants ponctuels de l'équation différentielle ordinaire du second ordre v" = u(x,y,y')..- Leipzig: S. Hirzel, 1896. - 68 P.

265. Vega H. J. de. Closed Vortices and the Hopf Index in Classical Field Theory//Phys. Lett., ser. D.- 1978.- V. 188, No 8.- P. 2945 - 2951.

266. Verbaarshot J.J.M. Axial Symmetry of Bound Baryon-Number Two Soliton of the Skyrme Model//Phys. Lett., ser. B.- 1987 - V. 195, No 2.- P. 235 - 239.

267. Waterhouse W.C. Do Symmetric Problems Have Symmetric Solutions?//Amer. Math. Monthly - 1983.- V. 90, No 6.- P. 378 - 387.

268. Westenholz C. von. Topological and Noether - Conservation Laws// Ann. Inst. Henri Poincaré, ser. A. - 1979.- V. 30, No 4.- P. 353 -367.

269. Wilczek F., Zee A. Linking Numbers, Spin and Statistics of Soli-tons// Phys. Rev. Lett.- 1983.- V. 51, No 25.- P. 2250 - 2252.

270. Williams J.G. String-like Solitons in Toroidal Coordinates//Can. J. Phys.- 1979.- V. 57.- P. 590 - 592.

271. Witten E. Some Exact Multipseudoparticle Solutions of Classical Yang-Mills Theory// Phys. Rev. Lett.- 1977.- V. 38, No 3.- P. 121- 124.

272. Witten E. Baryons in the 1/JV Expansion//Nucl. Phys., ser. B-1979.- V. 160, No 1- P. 57 - 115.

273. Witten E. Current Algebra, Baryons, and Quark Confinement//Nucl. Phys., ser. B.- 1983.- V. 223, No 2.- P. 433 - 444.

274. Zahed I., Brown G.E. The Skyrme Model//Phys. Reports, ser. C-1986.- V. 142, No 1 k 2.- P. 1 - 102.

275. Zakrzewski W.J. Low Dimensional Sigma Models.- Bristol - Philadelphia: Adam Helger, 1989.- 240 P.