Топологические солитоны в киральных моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Халдер, Амал Кришна

• Халдер, Амал Кришна
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Халдер, Амал Кришна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Структура киральных моделей с топологическими зарядами

§ I. Необходимые сведения из дифференциальной топологии

§ 2. Явный вид топологических зарядов различной природы.

§ 3. Построение реалистических моделей нелинейной теории поля.

ГЛАВА II. Исследование солитонных решений с нетривиальным индексом Хопфа в S2 нелинейной

С -модели

§ 4. Нелинейная сг-модель. Геометрическое исследование модели. Доказательство оценки гамильтониана снизу через инвариант Хопфа.

§ 5. Построение группы инвариантности полей с нетривиальным индексом Хопфаjих структура.

§ 6. Вычисление инварианта Хопфа отображения S3—> S* . Структура солитонных решений с Qh= 1.

§ 7. О соответствии S3 и S2 нелинейных

6* -моделей.

ГЛАВА III.Струнные решения в S2 нелинейной С-модели с абелевым калибровочным полем

§ 8. Построение модели.Доказательство существования оценки для гамильтониана снизу через индекс Хопфа

§ 9. Структура цилиндрически-симметричных инвариантных полей с индексом Хопфа.

§ 10. Доказательство существования слабых решений ,реализующих inJ-H .Регулярность решений. нелинейной 6-модели с калибровочными полями Янга-Миллса.

§ II. Описание модели. Доказательство оценки для гамильтониана снизу через топологический заряд.

§ 12. Структура инвариантных полей в неабелевой калибровочно обобщенной нелинейной

С -модели.

§ 13. Гамильтониан модели в случае цилиндрически-симметричных полей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические солитоны в киральных моделях»

Хорошо известны успехи современной физики элементарных частиц в описании и предсказании частиц и их характеристик. В то же время в релятивистической квантовой теории поля, лежащей в основе современной теории элементарных частиц, имеется ряд существенных трудностей принципального характера, не преодоленных до сих пор. В основе этих трудностей лежит необходимость введения на том или ином этапе бесструктурных элементов (кварки, глюоны и.т.д.), что приводит к бессмысленным расходящимся выражениям. Всё возрастающее количество частиц сделало актуальной задачу построения теории описывающей большую группу частиц сравнительно небольшим числом фундаментальных полей. Ещё в начале нашего века Г.Ми; А.Эйнштейном / I / были сделаны попытки описать структуру элементарных частиц в рамках единой теории поля. Основные идеи, выдвинутые ими, были следующие:

1. Частица является своеобразным сгустком материального поля, структуру и динамику которого можно описать с помощью регулярных решений уравнений поля (,частицеподобные решения) .

2. Поля имеют геометрическое происхождение.

Поскольку линейная теория не имеет всюду регулярных решений, то полевая теория, способная описать структуру частиц, должна быть нелинейной. Современная теория поля располагает примерами существования локализованных решений нелинейных классических уравнений поля (солитоны) . Таким образом, появилась возможность описания структуры протяжённых частиц в рамках теории солитонов, в связи с чем в последние годы заметно возрос интерес к изучению локализованных решений классической теории поля / 2—56 /.

В результате этих исследований были обнаружены замечательные свойства солитонных решений нелинейных уравнений : солитоны сохраняют неизменными свою форму и размеры как угодно долго и не меняются в результате взаимодействий с другими солитонами. Такие решения были впервые найдены в прошлом веке для уравнений гидродинамики / 4 /. Примерами волновых уравнений, допускающих решения в виде солитонов, являются уравнение синус-Гордона, уравнение Кортевега-де-Фриза, уравнение Буссинеска, уравнение Тоды, нелинейное уравнение Шредингера и.т.д. Не вдаваясь в подробности описания солитонных решений в перечисленных моделях ( см. например / 2/ ) , отметим, что в физике элементарных частиц под "солитонами" понимаются образования, описываемые локализованными решениями уравнений поля, имеющими конечную энергию и другие физические характеристики. В диссертации принято именно такое понятие солитона.

В 70-х годах ряд исследователей предприняли попытку построить I+I-мерную модель элементарных частиц на основе уравнения синус-Гордона / 6,7 /. Эта модель описывает самодействие так называемого кирального поля у.(х) ill С*)} ассоциированного с группой U(l). В работах / 7,8 / при помощи метода обратной задачи рассеяния было дано полное решение уравнения движения. Было показано, что локализованным классическим решениям соответствуют частицы в квантовой теории поля, и разработана последовательная схема квантования, основанная на модифицированной теории возмущений. Найден спектр масс солитонов и их связанных состояний, построена матрица рассеяния. При этом выяснилось, что в теории слабо- взаимодействующих фундаментальных полей солитоны имеют большие массы и сильно взаимодействуют. Кроме того, они обладают квантованным топологическим зарядом, ассоциированным с тривиально сохраняющимся током

3/. = Ъ

Б связи с этим в последние годы значительно возрос интерес к моделям нелинейной теории поля, допускающим солитон-ные решения, наделенные топологическим зарядом. Топологический заряд обладает тем замечательным свойством, что он сохраняется независимо от уравнения движения поля. Другими словами, топологический заряд возникает не за счет какой-либо симметрии рассматриваемой системы, а благодаря нетривиальности топологии полевого многообразия (или за счет граничных условий) . Это свойство топологического заряда даёт возможность по-новому описывать барионный и лептонный заряды - как топологические отражая факт их независимости от динамических свойств частиц.

Топологический заряд обладает ещё одним привлекательным свойством. Он принимает целочисленные значения (при правиль-г ной нормировке) . Таким образом, заряд квантуется уже на классическом уровне. Топологический заряд можно использовать для разбиения физических полей на гомотопические классы, соответствующие определенным значениям заряда. Это означает, что поля, принадлежащие разным гомотопическим классам, нельзя свести друг к другу с помощью непрерывной деформации.

В рамках моделей с топологическим зарядом, в которых энергия оценивается снизу через топологический заряд, могут существовать абсолютно устойчивые солитонные решения, реализующие нижнюю грань функционала энергии. Такие решения можно было бы сопоставить с реальными стабильными частицами типа протона.

Топологические заряды могут появиться в теории поля либо из-за нетривиальности граничных условии на пространственной бесконечности (вырожденный вакуум), либо из-за нетривиальности топологии самого поля / 9,10 /. Первый случай реализуется в моделях типа монополя т?.Хофта-Полякова, а второй-в киральных моделях. В настоящей работе нас будет интересовать только последний случай.

Киральные модели представляют собой модели теории поля, в которых взаимодействие вводится не путём добавления к лагранжиану свободного поля лагранжиана взаимодействия, а чисто геометрическим путём. Именно, лагранжиан в таких моделях остается тем же, что и в случае свободного поля, но на само поле накладывается связь, так что теперь поле Ср принимает значения уже в некотором нелинейном многообразии ф . В простейшим варианте (Г-модели на три вещественных поля, образующие вектор rt , накладывается условие Ft2 = I, так что многообразие ф становится двумерной сферой в трехмерном пространстве. При этом предполагается, что физические компоненты поля Cp(i, х) : RXR3—>ф параметризуют компактное многообразие ф и исчезают при |х1 -> со (t,oo) « 0 . (I)

С учетом (I) можно компактифицировать R3 , отождествив бесконечно удаленные точки и превратив R3 в . Тогда все физические поля разбиваются на гомотопические классы, которые удобно описывать с помощью третьей гомотопической группы ЗТз(Ф) , сопоставив каждому классу своё целое число -значение топологического заряда.

Можно представить две простейшие возможности выбора многообразия ф : <p=S3ti ф = S2. В первом случае топологический заряд есть степень отображения S3—> , а во втором случае - индекс Хопфа отображения £>3—> £2 . Из числа моделей с топологическим зарядом типа степени наиболее изучена модель Скирме / 12,13 /, для которой, в частности, доказаны существование и устойчивость сферически-симметричных топологических солитонов / 14,16 /. При этом устойчивость солитонов реализуется благодаря тому, что гамильтониан Н в модели Скирме оценивается снизу через топологический заряд Q. :

Н > coast |&/ .

Из моделей с индексом Хопфа, наибольшую известность получила модель Фаддеева / 18,19 /. Лагранжиан модели строится, исходя из 0(3) -инвариантности полевого многообразия. Соответствующий гамильтониан допускает оценку снизу через топологический заряд :

Н > const l&l3^ .

Исследованием этой модели начали заниматься недавно, и здесь ещё нет ощутимого прогресса.

Следует отметить, что кроме указанных типов солитонных решений нелинейных уравнений поля существуют ещё так называемые инстантонные решения, т.е. решения, локализованные в малой области пространства-времени / 54-56 /. Инстантоны можно интерпретировать не как частицы, а как конфигурации, описывающие квантомеханические переходы между различными состояниями вакуума. Существование инстантонов, так же как и солитонов, обусловлено в первую очередь топологическими причинами.

Топологические солитоны, кроме указанных случаев, нашли применение также и в других областях физики, например,в теории упругости /2 /, в теории ферромагнетизма / 71 /, в теории дефектов в кристаллах / 60 /, в магнитной гидродинамике / 72 / и.т.д. Количество работ, посвященных топологическим моделям растет очень быстро, что свидетельствует об актуальности и важности исследования в этой области.

На основе успехов, достигнутых в одномерной модели кираль-ного поля, Л.Д.Фаддеевым была сформулирована программа построения реалистических полевых моделей для описания элементарных частиц. Модель теории поля, обладающая всеми необходимыми свойствами, должна содержать лишь несколько фундаментальных полей, таких как поля лептонов ( спинорные) и векторные калибровочные поля, переносящие взаимодействие между лептон-ами. Б таком случае наблюдаемые частицы должны описываться солитонными решениями - частицеподобными возбуждениями фундаментальных полей, а также их связанными состояниями. Солитоны должны быть устойчивыми, что достигается, например, за счет существования оценок энергии через топологический заряд, который равен нулю для слабых полей. Простейшая ситуация, в которой осуществляются эти ограничения,возникает, если в число фундаментальных полей входит киральное поле, связанные, например, с группой SU(2) щщ однородным пространством SU(2f)/U(l) (изоморфным сфере 52 ) . В настоящей диссертации в рамках требований вышеуказанной программы, предложенной Л.Д.Фаддеевым, исследуется классическая полевая модель на двумерной сфере S2 .

Подчеркнем, что в связи с большими успехами калибровочной теории поля (единая теория электро-слабого взаимодействия Вайнберга-Салама, квантовая хромодинамика ) поиск и изучение солитонных решений в калибровочных полевых моделях представляют большой интерес. Поэтому мы будем рассматривать также калибровочные обобщения модели Фаддеева.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Халдер, Амал Кришна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог, приведём краткую формулировку полученных нами результатов :

1. Изучены структура и условия существования солитонных решений с нетривиальным индексом Хопфа в модели Фаддеева для

П/ -поля.

2. Для модели Фаддеева с учетом абелева калибровочного поля доказано существование регулярных струнных решений.

3. Изучена структура цилиндрически-симметричных инвариантных полей в модели Фаддеева с неабелевым калибровочным полем.

4. Для гамильтониана в неабелевой калибровочной модели Фаддеева с нарушенной калибровочной симметрией (с добавочными членами вида ^ /у^ + [ АД ) доказано существование оценки снизу через некоторую функцию от инварианта Хопфа.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителью доценту Ю.П.Рыбакову за постановку задач и постоянное внимание и большую помощь, оказанную при выполнении настоящей работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Халдер, Амал Кришна, 1984 год

1. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. -М.:ИЛ., 1955. -с.118, 146.

2. Буллаф Р.,Вадати М.,Гиббс X. и др. Солитоны: Пер. с англ. -М.: Мир, 1983. 408с.

3. Ребби К. Солитоны. -Усп.физ.наук, 1980, 130,вып.2, с. 329 356.

4. Захаров В.Е.,Манаков С.В.,Новиков С.П.,Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. -М.:Наука, 1980.

5. Фаддеев Л.Д. В поисках многомерных солитонов. -В сб.: Нелокальные,нелинейные и неперенормируемые теории поля. -Дубна: ОИЯИ, 1977, с.207 223.

6. Фаддеев Л.Д. Адроны из лептонов ? Письма в ЖЭТФД975, 21, вып.2, с.141 - 144.

7. Тахтаддян Л.А.,Фаддеев Л.Д. Существенно-нелинейная одномерная модель классической теории поля. ТМФ, 1974, 21, Jfc 2, с.160 - 173.

8. Захаров В.Е.,Тахтаддян Л.А.,Фаддеев Л.Д. Полное описание решений " синуеГордон" уравнения. ДАН СССР, 1974, 219. с. 1934 - 1938.

9. Williams J.G. Topological analysis of a nonlinear fieM theory. -J.Math.Phys.,1970, II, No.8, pp.26ll 2616.

10. Ю. Patani A.,Schlindwein M.,Shafi Q. Topological charges in field theories.-J.Phys.,1976, A9,No.9, pp.1513 1520.1..Поляков А. Изомерное состояние квантовых полей. Письма в ЖЭТФ, 1974, 20, с.430 - 434.

11. Skyrme T.H.R. A unified field theory of mesons and bary-ons. Nucl.Phys.,1962, 31, No.4, pp.556 - 569.

12. Skyrme T.H.R. A nonlinear field theory. Proc.Roy.Soc., 1961, 260, pp.127 - 138.

13. Рыбаков Ю.П. Об условной устойчивости регулярных решений в нелинейной теории поля. В кн.: Прбблемы теории гравитации и элементарных частиц. - М.: Атомиздат. 1979, вып. 10, с. 194 - 202.

14. Adkins G.S.,Nappi С.R.,Witten E. Static properties of the nucleons in the Skyrme model. Nucl.Phys.,1983, В 288, No.3, pp.552 - 566.

15. Кунду А.,Рыбаков Ю.П.,Санюк В.И. 0 структуре топологических солитонов. -В кн.:Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат.,1980, вып. II, с. 14 - 22.

16. Faddeev L.D. Some comments on the many-dimensional soli-tons. Lett.Math.Phys.,1976, I, pp.289 - 293.

17. Фаддеев Л.Д. Калибровочно-инвариантная модель электромагнитного и слабого взаимодействия лептонов. ДАН СССР, 1973, 210, № 4, с. 807 - 810.

18. Рыбаков Ю.П. 0 солитонах с индексом Хопфа. -В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат. , 1981, вып. 12, с.147-154.

19. Isham C.J. Topological currents for arbitary groups in three space dimensions.-J.Phys.,1977, AI0,pp.I397-I402.

20. Paddeev L.D.,Takhtadjian L.A. Integratibility of quantum 0(3) nonlinear -model. Leningrad, 1983. - 19 p.

21. Kundu A.,Rybakov Yu.P. Closed-vortex-type solitons with Hopf index.-J.Phys.,1982, AI5, No.I, pp.268 275.

22. Dittrich J. Asymptotic behaviours of the classical scalar fields and topological charges. Comm.Math.Phys.,1981, 82, No.I, pp.29 - 39.

23. Deser S.,Duff M.J.,Isham C.J. Finite energy static solutions to chiral models in three space dimensions. Nucl. Phys.,1976, BII4, pp.29 - 44.

24. Jackson A.D.,Mannque Rho. Baryons as chiral solitons. -Phys.Rev.Lett.,1983, 51, No.9, pp.751 754.

25. Barnes K.J.,Kettey I.J.,Nicole D.A.,0'Donnell P.J. Nonlinear chiral models and many-dimensional solitons. -Phys.Rev.,1977, DI6, No.2, pp.511 516.

26. Рак N.K.,Tze H.C. Chiral solitons and current algebra. -Annals of Physics, 1979, 117, No.I, pp.164 194.

27. Enz U. A new type of soliton with particle properties. -J.Math.Phys.,1977, 18, No.3, pp.347 353.

28. Enz U. A particle model based on string-like solitons. -J.Math.Phys.,1978, 19, No.5, pp.1304 1306.

29. Jonsson T. Hedgehogs in a three-dimensional anisotropicspin system. Comm.Math.Phys.,1983, 90, pp.175 - 186.

30. Cass A. Topological properties of the 0(3) nonlinear

31. G*-model in two dimensions. Phys.Rev.,1983, D27, No.4, pp.932 - 936.

32. Kundu A. On a gauge generalization of G"-model with non-vanishing Hopf invariant. Can.J.Phys.,1981, 59, No.II, pp.1609 - 1613.

33. Fernando Lund, Tullio Regge. Unified approach to strings and vortices with soliton solutions. Phys.Rev.,1976, DI4, No.6, pp.1524 - 1535.

34. Hector J. de Vega. Closed vortices and the Hopf index in classical field theory. Phys.Rev.,1978, DI8, No.8, pp.2945 - 2951.

35. Nicole D.A. Solitons with nonvanishing Hopf index. J. Phys.,1978, G4, No.9, pp.1363 - 1369.

36. Y/estenholz von C. Topology of vortices. Ann.Inst.Henri Poincare, 1978, 29, No.3, pp.285 - 303.

37. Williams J.G. String-like solitons in toroidal coordinates. Can.J.Phys.,1979, 57, pp.590 - 592.

38. Hector J. de Vega, Schaposnik P.A. Classical vortex solution of the Abelian Higgs model.-Phys.Rev.,1976, DI4,No.4, pp.1100 1106.

39. Mannque Rho, Alfred S.,Goldhaber & Brown G.E. Topological soliton Bag model for Baryons.-Phys.Rev.Lett.,1983, 51, No.9, pp.747 750.

40. Борисов H.В.,Иоффе M.В.,Эйдес М.И. Струнная модель адронов и КХД. Вестник ЛГУ, 1981, № 2, с.87 - 92.

41. Вигман П.Б. Точное решение SL)(n) главного кирального поля в двух измерениях. - Письма в ЖЭТФ, 1984, 39, № 4, с.180 - 183.

42. Владимиров С.А. Группы симметрии лагранжианов киральных полей со значениями в S2.- ТМФ.,1980, 44, с.410 414.

43. Симонов Ю.А. Многомерные стабильные релятивистские соли-тоны. Ядер.физ.,1979, 30, № 5, с.1457 - 1472.

44. Романов В.И.,Фролов И.В.,Шварц А.С.О сферически-симметричных солитонах. ТМФ.,1978, 37, № 3, с.305 - 318.

45. Тюпкин Ю.С.,Фатеев В.А.,Шварц А.С. Частицеподобные решения уравнений калибровочных теории поля.-ТМФ.,1976,26, № 3,с.397 402.

46. Makhankov V.G. Computer experiments in soliton theory. -Computer Phys.Comm.,1980, 21, No.I, pp.I 49.

47. Pedyanin V.K.,Makhankov V.G. Soliton-like solutions in one dimensional systems with resonance interactions. -Physica Scripta, 1979, 20, pp.552 557.

48. Makhankov V.G.,Kummer G.,Shvachka A.B. Many dimensional U(I) solitons,their interactions,resonance and bound states. Physica Scripta, 1979, 20, pp.454 - 461.

49. Paolo Rossi. Exact results in the theory of nonabelian magnetic monopoles. Phys.Rept.,1982, 86,No.6,pp.317-362.50. t'Hooft G. Magnetic monopoles in unified gauge theories.-Nucl.Phys.,1974, B79, pp.276 284.

50. Goddard P.,Olive D.I. Magnetic monopoles in gauge field theories. Reports on progress on Physics.Д978, 41, pp.1361 - 1367.3 2

51. Ryder L.H. Dirac monopoles and the Hopf map S —S . -J.Phys.,1980, ИЗ, pp.437 447.

52. Minami Masatsugu. Dirac's monopole and the Hopf map. -Progress on theoretical physics, 1979, 62, No.4, pp.1128 -1142.

53. Belavin A.A.,Polyakov A.M.,Schwartz A.S.,Tyupkin Yu.S. Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equation.-Phys. Lett.,1975, B59, pp.85

54. Prasad M.K. Instantons and monopoles in Yang-Mills gauge theories. Physica, 1980, DI, No.2, pp.167 - 191.

55. Переломов A.M. Решения типа инстантонов в киральных моделях. УФН, 1983, 134, вып.4, с.577 - 609.

56. Дубровин Б.А.,Новиков С.П.,Фоменко А.Т. Современнаягеометрия. М.: Наука, 1979. - 760с.

57. Рид М.,Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. М.: Мир, 1978. - 395с.

58. Соболев C.JL Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. - 255с.

59. Косевич A.M.,Иванов Б.А.,Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны.- Киев: Наукова думка, 1983. 192с.

60. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.- М.: Наука, 1973. 407с.

61. Понтрягин Л.С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопии. М.: Наука, 1976. - 174с.

62. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехтеориздат, 1955. - 248с.

63. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голо-номий. М.: ИЛ, I960. - 216с.

64. Фаддеев Л.Д. Дифференциально-геометрические структуры и квантовая теория поля. В сб.: Международная конференция по математическим проблемам квантовой статистики.-Труды МИАН, 1975, 135, ч.1, с.218 - 223.

65. Капитанский Л.В.,Ладыженская О.А. О принципе Коулмена нахождения стационарных точек инвариантных функционалов.- Зап.науч.сем. ЛОМИ АН СССР, 1983, 127, № 15f с.84-102.

66. Coleman S. Classical lumps and their quantum descendants in new phenomena in subnuclear physics. NY.: Plenum press, 1977, pp.297 - 421.

67. Palais R.S. The principle of symmetric criticality.

68. Comm.Math.Phys.,1979, 69, No.I, pp.19 30.

69. Faddeev L.D.,Korepin V.E. Quantum theory of solitons. Phys.Reports, 1981, C42, No.I, pp.I 87.

70. Balachandran A.P.,Hair V.P.,Rajeev S.G.,Stern A. Soliton states in the quantum-chromodynamic effective Lagrangian.- Phys.Rev.,1983, D27, No.5, pp.1153 1164.

71. Дзялошинский И.E., Иванов Б.А. Локализованные топологические солитоны в ферромагнетике. Письма в ЖЭТФ, 1979, 29, вып. 9, с. 592 - 595.

72. Камчатов A.M. Топологический солитон в магнитной гидродинамике. ЖЭТФ, 1982, 82, вып. I, с. 117 - 124.

73. Felsager B.,Leinaas J.M. Geometric interpretation of magnetic fields and the motion of charged particles. Nucl. Phys.,1980, BI66, pp.162 - 188.

74. Balachandran A.P.,Stern A.,Trahern G. Nonlinear models as gauge theories. Phys.Rev.,1979, DI9,No.8,pp.2416 - 2423.

75. Халдер А. О соответствии £3 и нелинейных С-моделейс топологическими зарядами. В кн.: Проблемы статистической и квантовой физики. - М.: УДН, 1983, с. 68 - 71.

76. Golo V.L.,Putko В.A. Reduction of two dimensional G-inva-riant G*-models. Lett.Math.Phys.,1980, 4, pp.195 - 200.

77. Balachandran A.P.,Ramachandran R.,Rupertsberger H.,Skoder-stam B.S. Relation between nonlinear models and gauge ambiguities. Lett.Math.Phys.,1980, 4, pp.79 - 86.

78. Witten E. Current algebra,baryons and quark confinement.- Nucl.Phys.,1983, B223, No.2, pp.433 444.

79. Нелипа Н.Ф. Калибровочные поля и элементарные частицы.- В кн.: Неканонические методы в квантовой теории поля. Итоги науки и техники.-М.: ВИНИТИ. 1980, I, с. 4 207.

80. Вакуленко А.Ф.Капитанский Л.В. Устойчивость солитонов в

81. S2 нелинейной <У-модели. ДАН СССР, 1979, 246, № 4, с. 840 - 842.

82. Волков М.К. От КХД к феноменологическим мезонным лагранжианам. В сб.: Проблемы квантовой теории поля. Труды УН международного совещания по проблемам квантовой теории поля. - Дубна, 1984, с. 281 -299.

83. Халдер А. О топологических солитонах в модели Фаддеева.

84. В кн.: Проблемы квантовой и статистической физики. М.: УДН, 1984, с. 106 108.

85. Рыбаков Ю.П., Халдер А. О струнных решениях в нелиней6*-модели с калибровочным полем. Известия вузов, Физика (в печати).