Структура и устойчивость самогравитирующих скирмионов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Адель Мохамад Тарабай

• Адель Мохамад Тарабай
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Адель Мохамад Тарабай

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СТРУКТУРА SU(2) МОДЕЛИ СКИРМА И

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ

§ 1.1. Свойства солитонов в SU(2)

киральной модели Скирма

§ 1.2. Нейтральные вихри в модели Скирма

§ 1.3. Нейтральные вихри в модели Скирма - Эйнштейна

ГЛАВА II. ТОПОЛОГИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫЕ ВИХРИ В SU(2) МОДЕЛИ СКИРМА

§ 2.1. Заряженные вихри в плоском мире

§ 2.2. Заряженные вихри в общей теории

относительности в модели Скирма

ГЛАВА III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В SU(3) КИРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

§ 3.1. Структура интерполирующего анзаца

§ 3.2. Структура гамильтониана и топологического

заряда для интерполирующего анзаца

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура и устойчивость самогравитирующих скирмионов»

ВВЕДЕНИЕ

Анализ трудностей, встречающихся при попытках построения последовательной полевой теории элементарных частиц, показывает, что проистекают они главным образом из-за неумения сохранить в релятивистской квантовой теории образ протяженной частицы. Разделяя мнение Дирака о том, что последовательная квантовая теория должна опираться на хорошую классическую теорию, мы предварительно обратимся к описанию протяженных частиц в рамках классической нелинейной теории поля.

На богатые возможности нелинейной теории поля в описании протяженных частиц неоднократно указывали В.Гейзенберг, Д.Д.Иваненко [57], Я.П.Терлецкий [56] и другие авторы. Особенно отметим направление, восходящее к Г.Ми [58] и А.Эйнштейну [59], в основе которого лежит представление о материальных частицах как сгустках некоторого поля, полевых образованиях с повышенной по сравнению с другими частями пространства концентрацией энергии. С этой точки зрения, частицы должны описываться регулярными, т.е. не имеющими особенностей, локализованными решениями некоторых нелинейных уравнений поля, исчезающими на пространственной бесконечности, которым приписываются конечные энергия, импульс, спин и другие динамические характеристики. Такие решения называются солитонами. Солитоны характеризуются следующими свойствами: а) это локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды; б) которые распространяются без деформаций, перенося энергию, импульс, момент импульса; в) сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими подобными образованиями; г) могут образовывать связанные состояния.

Солитоноподобные решения нелинейных уравнений находят широкое применение в различных областях физики. Они обнаружива-

ются как при исследовании макроскопических явлений — в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, механике сплошных сред и теории гравитации, так и в микроскопической области. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры протяженных частиц [6,33].

Как было установлено в работах [20], многомерные солитоны могут быть только условно-устойчивыми. Это означает, что начальные возмущения должны удовлетворять некоторым дополнительным физическим условиям. Обычно это условия типа фиксации некоторых интегралов движения обобщенных зарядов. С этой точки зрения, топологические солитоны оказываются выделенными. Они появляются в моделях, допускающих абсолютное, т.е. не зависящее от уравнений поля, сохранение некоторых величин (называемых топологическими зарядами), не меняющихся при непрерывной деформации поля и принимающих целочисленные значения.

Д.Финкелынтейн, Ч.Мизнер [35] и независимо от них Т.Скирм [15] в конце 50-х годов впервые ввели в физику топологическую классификацию решений уравнений поля и новый тип законов сохранения, получивших название топологических. В работах Ю.П.Рыбакова впервые была доказана определяющая роль топологии в стабилизации киральных конфигураций в моделях Скирма и Фадцеева (с полевыми многообразиями 53 и Б2 соответственно) [22,23]. Кираль-ная модель Скирма предложена ее автором в 1961 году для описания свойств ядерной материи в терминах мезонных полей. Скирм интерпретировал топологический заряд как барионное число, а солитон-ное возбуждение мезонного поля — как барион. Интерес к модели Скирма значительно вырос после появления работ Виттена [37,38], в которых было установлено, что квантовая хромодинамика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной

мезонной теории, которая в низкоэнергетическом пределе аппроксимируется нелинейной сигма-моделью со спонтанно нарушенной ки-ральной симметрией. Именно к таким моделям и относится модель Скирма.

В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно охватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов.

Первоначально Скирм поставил перед собой задачу получить ответ на вопрос: "Почему экспериментальные измерения радиуса ядра различными методами приводят к существенно разным результатам?" В экспериментах по а-распаду и по рассеянию тяжелых ядер было установлено, что радиус ядра может быть выражен формулой К = 1,5 А1у/3 • Ю-13 см, где А — число нуклонов в ядре. В то же время эксперименты по рассеянию быстрых электронов на ядрах приводили к существенно меньшему значению для радиусов ядер: к = 1,2 а1/3 • 10 см. Скирм предложил рассматривать ядро как некоторую несжимаемую электрически нейтральную плотную жидкость, заполняющую шарообразную область радиуса Л. В жидкость погружены нуклонные источники, сильно взаимодействующие с пионами и занимающие область меньшего радиуса В'. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей.

Основным объектом в модели Скирма является поле £/(<£>), принимающее значения в группе 811(2) и параметризуемое при помощи изовекторного поля сра, а = 1,2,3, следующим образом:

11{чр) = ехр (т<Х<9), где П — = эт(9; (7 — матрицы Паули.

Скирмионы с топологическим зарядом >> 1 находят широкое применение в астрофизике, где, безусловно, необходим учет гравитации. Учет собственного гравитационного поля солитонов может влиять на их устойчивость. Из физических соображений ясно, что гравитация, как стягивающее поле, должна стабилизировать материю. Примеры подобного рода рассмотрены в работах Ю.П.Рыбакова.

Существенным препятствием для дальнейшего исследования возможностей киральной модели Скирма и для построения на ее основе последовательной квантовой схемы является невозможность получения явных аналитических решений уравнений модели, хотя их существование было доказано[20, 21, 22, 23].

Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурой сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [15-24], что при |(5| = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на "ежовом" анзаце, а при |(5| > 1 — на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура).

Ввиду неинтегрируемости уравнений модели, в данной диссертации предлагается аппроксимировать локализованные структуры с топологическим зарядом > I замкнутыми струнами (вихрями), подчиняющимися значительно более простым уравнениям. В качестве первого шага в этом направлении предлагается простая нейтральная вихревая конфигурация. На ее примере будет продемонстрирован предложенный метод. Следующим шагом будет переход к конфигурациям с ^ 0. Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [67].

При учете гравитации анализ соответствующих уравнений показал, что задача оказывается эквивалентной механической, если использовать гармонические координатные условия и ввести новые переменные.

Для нахождения соответствующих решений системы уравнений Скирма-Эйнштейна был разработан аналитический метод. Отметим, что струноподобные конфигурации могут найти приложения в космологии и астрофизике.

Кратко изложим содержание диссертации.

Глава I "Структура SU(2) модели Скирма и метод построения регулярных решении посвящена анализу структуры киральных соли-тонов в модели Скирма и изложению метода нахождения регулярных решений.

В разделе 1.1 дается обзор свойств солитонов в SU(2) модели Скирма. В этой модели рассматривается эффективный лагранжиан для мезонного поля ir(t, г) : R1 0 R3 —у i?3, которое параметризует SU(2) -матрицу U(t,r) = ег<Т7Г, где а - матрицы Паули. Лагранжиан строится из киральных токов /ц = и+д^11 и имеет вид

где А — параметры модели. Первый член в лагранжиане соответствует обычной сигма-модели, а второй (скирмовский) выбирается из требований, диктуемых теоремой Хобарта — Деррика, и допущения, что временные производные входят в лагранжиан квадратично. Солитонные конфигурации, удовлетворяющие естественному граничному условию 7г(£, оо) = 0, обладают топологическим зарядом (5 типа степени отображения:

принимающим целочисленные значения. Энергия в этой модели допускает оценку снизу через топологический заряд

1

16

(1)

(2)

Я > 6TT2V2(£/X) \Q\

. Состояния, реализующие нижнюю грань энергии в заданном гомотопическом классе, т.е. при Q — 7V, являются устойчивыми по Ляп}'нову. Среди допустимых конфигураций особую роль играют G - инвариантные поля (fo(x)1 удовлетворяющие условию

(р0(х) =Tgip0(g~1x), geG,

где Тд - оператор представления группы G. Согласно принципу Ко-улмена - Пале, экстремали G - инвариантного функционала в инвариантном классе являются истинными экстремалями в случае полупростой группы G или унитарных представлений групп Ли. При этом выделены две группы симметрии:

G1 = diag[SO(3)s (8) SO(3)7], G2 = diag[S0(2)s <g> SO(2)7 ], (3)

отвечающие сферически-симметричным и аксиально-симметричным конфигурациям. Ввиду неинтегрируемости уравнений модели Скир-ма используются различные приближенные методы, основанные на подборе подходящей подстановки.

В разделе 1.2 "Нейтральные вихри в модели Скирма" изложен аналитический метод построения в SU(2) киральной модели Скир-

и о /

ма решении, описывающих нейтральные ( с трехмерным топологическим зарядом Q = 0 ) вихревые структуры в плоском мире. Рассматривается следующая статическая G2 - инвариантная подстановка:

U = ехр[гтв(р)1 т = antidiag[eîm^e~imipl 0(0) - тг,0(оо) = 0, (4)

где /?, (р -цилиндрические координаты, m = 1,2,..., — двухмерный топологический заряд. Как следует из теоремы Хобарта — Деррика, регулярные решения такого рода существуют, если дополнить лагранжиан Скирма (1) массовым членом — 2mi;/A2 sin2 0. Подставляя (4) в (1), полагая M = л/2\тж и переходя к безразмерным переменным р = Ал/2е*, —00 < t < +00, запишем энергию в виде:

+ оо

E[0] = ^fdt <92(1 + ¿¿e~¿t sin2 0) + sin2 © + 4M2 sin2 <9/2 .(5)

Используя механическую аналогию, по которой функционал (5) играет роль действия, составляем уравнение Гамильтона - Якоби, в которое введем формальный параметр ¡i с целью построения решения в виде степенного ряда по ¡i в духе Пуанкаре. С помощью этого решения вычисляется линейная плотность массы, которая сравнивается с вариационной оценкой. При этом относительная ощибка составляет при т = 1, 2, • • •, 0.042, 0.0026 • • • соответственно.

Раздел 1.3 "Нейтральные вихри в модели Скирма - Эйнштейна" посвящен анализу структуры редуцированного лагранжиана модели Скирма - Эйнштейна, отвечающего цилиндрически-симметричной конфигурации и изложению регулярного метода потроения струно-подобных решений в этой модели. Метод основан на разложении метрических и полевых функций в степенные ряды по двум малым параметрам, имеющимся в модели. Модель Скирма - Эйнштейна описывает самогравитирующее киральное поле и определяется ла-гранжевой плотностью Cs + Cg, где Сд - эйнштейновская лагранжева плотность, a Cs задается формулой (1). Метрика выбирается в виде:

ds2 = e24t2 - e2adi2 - e^dip2 - e2^dz2,

где /i, a, /3, 7 - функции от обобщенной радиальной переменной £ . Рассматривается подстановка (4) и дискретная симметрия /i ^ 7, которая с учетом гармонического координатного условия а — ¡3 + ¡i + 7 приводит к механической задаче, задаваемой действием

S=£r [ dx[-{u'2 -у'2)-в'2{l + c2e-v/2sin20)-A2 J v

- m2eu~v sin2 <9 - 4M2eu~v/2 sin2 -1,

2

где положено £ = Ху/2, и = 4(/3 + 7), V = 4(3, а и и г2 — безразмерные параметры: V ~ Ю-38, с2 ~ Ю-2. Запишем решение соответствующего уравнения Гамильтона - Якоби при М = 0 в виде ряда

5 - e(u~v)/2 ^ + 1 _ Cos0 + jt£2ne~nV/2K(6>)j ,

где функции Vn(0) строятся рекуррентно, и используем его как реи о о тл

шение для внешней части заряженной струны во второй главе. В частном случае s = 0 отсюда получаем стуноподобное решение для а -модели в общей теории относительности, которое обладает топологическим дефектом на оси и может иметь отношение к космическим струнам.

Глава II "Топологически заряженные вихри в SU(2) модели Скир-

ма" посвящена изложению аналитического метода построения решений, описывающих топологически заряженные вихревые структуры в киральной модели Скирма.

В разделе 2.1 " Заряженные вихри в плоском мире " описан метод построения регулярного струноподобного решения, которое после замыкания дает конфигурацию с Q ф 0. Метод опирается на редуцированное отображение Хопфа и на представление решения уравнения Гамильтона - Якоби в виде формального степенного ряда. Подстановка, порожденная отображением Хопфа, имеет вид:

U — cos ф ехр (гсгзх) + sin^ ехр (га35), (7)

где сг?;, i = 1,2,3 — матрицы Паули; ф, х, 5 — киральные углы. В цилиндрических координатах /?, ip, z:

ф = ф{р), х — ~kz9(a — />), S = тр, к = const, т Е Z.

Здесь 6{х) — ступенчатая функция Хевисайда. В простейшем случае накладываем граничные условия: ф(0) = 7г, ф(оо) = 0. Условие

ф(а) = f необходимо для гладкости сшивания. Наконец, запишем условие замыкания отрезка струны (вихря) длиной I: kl = '2тт, п £ Z, z G При этом прямым вычислением убеждаемся,

что топологический заряд отрезка вихря равен Q = тп. Замена переменной р = \\/2ег сводит задачу к механической. Для ее решения используется метод, который изложен в предыдущей главе. Минимизация по параметрам а и / позволяет получить спектр масс Е = Е(т,п). При этом ветвь Е(т, 1) отвечает "ежовому" анзацу Скирма.

Раздел 2.2 "Заряженные вихри в общей теории относительности в модели Скирма" посвящен анализу уравнений модели Скирма - Эйнштейна в случае подстановки (7). Метод построения решения развит в главе I. При этом внешняя часть струны совпадает с нейтральной струной, а внутренняя часть несет плотность топологического заряда.

Глава III "Топологические солитоны в SU(3) модели Скирма"

посвящена построению гамильтониана в SU(3) киральной модели Скирма на основе специального интерполирующего анза.ца, который включает как частные случаи состояния со сферической симметрией " ежового " типа и типа Шварца - Балачандрана,

В разделе 3.1 " Структура интерполирующего анзаца " отмечается, что в SU(3) - модели Скирма, позволяющей описать странные ба-рионы, допустимы два типа сферически-симметричных конфигураций: " ежовый" и Шварца - Балачандрана, которые отвечают двум возможным реализациям SU(2) — подалгебры. Поэтому для анализа соответствующих топологических локализованных структур в модели желательно учесть оба указанных типа возбуждений. С этой целью предлагается использовать следующий интерполирующий ан-зац:

и _ е1.9(п\)е1.х(тЛ)е-1,фе^(кЛ)2^ ^

где ф = |ф, ТП. п. к - трехмерные единичные векторы, Л = (Лх, Л2, Л3), Л = (Л7,—Лб,Л2), - матрицы Гелл — Манна. При этом допустимо использовать дополнительную связь типа

(п[т, к]) = 0.

В разделе 3.2 " Структура гамильтониана и топологического заряда для интерполирующего анзаца " на основе анзаца (8) вычисляются киральные токи и их коммутаторы и исследуется структура гамильтониана и топологического заряда.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам, полученным в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Адель Мохамад Тарабай

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Предложен аналитический метод построения регулярного стру-ноподобного решения в 811(2) киральной модели Скирма в плоском пространстве. При этом рассмотрены два типа подстановок: а) подстановки, описывающие "нейтральную" струну, б) подстановки, описывающие "заряженную" струну.

2. Получена оценка линейной плотности массы нейтральной струны, которая сравнивается с вариационной оценкой.

3. Предложен аналитический метод построения регулярного стру-ноподобного решения в 811(2) киральной модели Скирма в самосогласованной задаче Скирма - Эйнштейна, приводящий к понижению порядка системы уравнений.

4. Найдено точное струноподобное решение для сг-модели в общей теории относительности, которое может иметь отношение к космическим струнам.

5. В 811(3) киральной модели Скирма предложен интерполирующий анзац, включающий как частные случаи состояния со сферической симметрией "ежового" типа и типа Шварца - Балачанд-рана. Выписаны гамильтониан и топологический заряд, отвечающие этому анзацу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Адель Мохамад Тарабай, 1999 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Patani A., Schlindwein М., Shafi Q. Topological Charges in Field Theories//J. Phys., ser. A: Math., Gen - 1976.- V. 9, No 9.- P. 1513 - 1520.

2. Фаддеев JI.Д. В поисках многомерных солитонов//Нелокальные, нелинейные и неренормируемые теории поля.- Дубна: ОИЯИ, 1977.- Д2-9788.- С. 207 - 223.

3. Gursey F., on the structure and parity of weak weak interaction currents // Ann. Phys. (USA) - 1961- V. 12, No 1.- P. 91 - 117.

4. Hobart R.H. On the Instability of a Class of Unitary Field Models // Proc. Phys. Soc - 1963 - V. 82, part 2, No 526.- P. 201 - 203.

5. Derrick G.H. Comments on Nonlinear Waves Equations as a Model for Elementary Particles//J. Math. Phys - 1964 - V. 5, No 9 - P. 1252 - 1254.

6. Zahed I., Brown G.E. The Skyrme Model//Phys. Reports, ser. C-1986.- V. 142, No 1 & 2.- P. 1 - 102.

7. Coleman S. Classical Lumps and their Quantum Descendants. Lectures at the 1975 International School of Subnuclear Physics "Ettore Majorana"(Erice) "New Phenomena in Subnuclear Physics". Ed. A. Zichichi.- N.Y.: Plenum Press, 1977,- P. 297 - 421.

8. Palais R. The Principle of Symmetric Criticality//Comm. Math. Phys.- 1979.- V. 69, No 1.- P. 19 - 30.

9. Ладыженская О.А., Капитанский Л.В. О принципе Коулмэ-на нахождения стационарных точек инвариантных функциона-лов//Зап. науч. сем. ЛОМИ.- 1983.- Т. 127, вып. 15.- С. 84 -102.

10. Waterhouse W.C. Do Symmetrie Problems Have Symmetrie Solutions?//Amer. Math. Monthly.- 1983.- V. 90, No 6.- P. 378 - 387.

11. Смейл С. Топология и механика//Усп. мат. наук.- 1972.- Т. 27, N 2.- С. 77 - 133.

12. Биркгоф Г. Гидродинамика - М.: ИЛ, 1954 - 184 с.

13. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике.- М.: Наука, 1983.- 280 с.

14. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем,- М.: Наука, 1985.- 280 с.

15. Skyrme T.H.R. А Unified Field Theory of Mesons and Baryons// Nucl. Phys. 1962. - V. 31, No 4.- P. 556 - 569.

16. Weyl H. Raum, Zeit, Materie. Vorlesungen über algemeine Relativitätstheorie.- Berlin: Springer, 1918.- 234 S.

17. Нисиченко В.П. Исследование регулярных решений нелинейных уравнений для некоторых полевых моделей. Автореф. дисс....канд. физ.-мат. наук.- М.: Ун-т дружбы народов, 1981.

18. Богомольный Е.Б., Фатеев В.А. Асимптотическое вычисление масс солитонов//Ядер, физ - 1983.- Т. 37, N 1.- С. 228 - 241.

19. Копелиович В.Б., Штерн Б.Е. Экзотические скирмионы // Письма в ЖЭТФ.- 1987.- Т. 45, вып. 4.- С. 165 - 168.

20. Рыбаков Ю.П. Устойчивость многомерных солитонов в кираль-ных моделях и гравитации//Итоги науки и техники. Класиче-ская теория поля и теория гравитации. Т. 2. Гравитация и космология,-М.: ВИНИТИ, 1991,- С. 56- 111.

21. Рыбаков Ю.П. Скирмионы в высших гомотопических классах // Вестник Росс. Ун-та дружбы народов, сер. Физика.- 1993.- N 1.-С. 49 - 53.

22. Rybakov Yu.P. Skyrmions in higher homotopic classes / Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. Proc. of Intern. Conf.

"NEEDS-92", Dubna, 1992 / Eds. V. G.Makhankov, I. V. Puzynin, О. K. Pashaev -Singapore, World Scient. 1993. -P. 166 - 169.

23. Рыбаков Ю.П. Структура минимизатаров энергии в S2 нелинейной сигма-модели // Вестник российского университета дружбы народов серия "Математика ". 1995. N. 2. вып. 2, - С. 3-7

24. Рыбаков Ю.П. Об условной устойчивости регулярных решений в нелинейной теории поля//Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.- Вып. 10.- М.: Атомиздат, 1979.- С. 194 -202.

25. Николаева P.M., Николаев В.А., Ткачев О.Г. Ядерно-подобные состояния в SU(2) —модели Скирма//Физ. элем, частиц и атом, ядра.- 1992.- Т. 23, вып. 2.- С. 542 - 571.

26. Braaten Е., Carson L. Deutron as a Soliton in the Skyrme Model// Phys. Rev. Lett.- 1986.- V. 56, No 18.- P. 1897 - 1900.

27. Braaten E., Townsend S., Carson L. Novel Structure of Static Multi-soliton Solutions in the Skyrme Model//Phys. Lett., ser. В.- 1990.-P. 147 - 152.

28. Абрикосов А.А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ.- 1957,- Т. 32, вып. 6.- С. 1442 - 1452.

29. Захаров В.Е., Соболев В.В., Сынах B.C. Исследование поведения световых пучков в нелинейных средах//ЖЭТФ.- 1971.- Т. 60, вып. 1,- С. 136 - 145.

30. Vilenkin A. Cosmic strings // Phys. Rev. D. 1981.-V. 24, - P. 2082 - 2089

31. De Vega H. J. Closed vortices and the Hopf index in classical field theory. // Phys., rev ser. D - 1978.- V. 18, No 8.- P. 2945 - 2951.

32. Houghton C.J., Manton N.S., P.M. Sutcliffe P.M., Rational maps, monopoles and skyrmions // Nucl. Phys. ser B. 1998. -V. 510, -P.507-537.

33. Adkins G.S., Nappi Ch.R., Witten E. Static Properties of Nucleons in the Skyrme Model//Nucl. Phys., ser. В.- 1983,- V. 228, No 4.-P. 552 - 566.

34. Шикин Г. H., Основый теории солитонов в общей теории относительности. - М.: Изд-во УРСС, 1995 - 88 с.

35. Finkelstein D., Misner Ch., Some new conservation laws // Ann. Phys. (USA) - 1959.- V. 6, No 2,- P. 230 - 243.

36. Callan C.G., Hornbostel H., Klebanov I. Baryon masses in the bound state approach to strangeness in the skyrme model // Phys.Lett., ser. B. 1988. - V. 202, - P. 269.

37. Witten E. Baryons in the 1/N Expansion//Nucl. Phys., ser. B-1979,- V. 160, No 1.- P. 57 - 115.

38. Witten E. Current Algebra, Baryons, and Quark Confinement//Nucl. Phys., ser. В.- 1983.- V. 223, No 2.- P. 433 - 444.

39. Романов B.H., Фролов И.В., Шварц А.С. О сферически - симметричных солитонах//Теор. и мат. физ.- 1978.- Т. 37, N 3.- С. 305 - 319.

40. Balachandran А..P., Lizzi F., Rogers V. G. j., Stern A. Doubly strange dibaryon in the chiral model // Phys. Rev Lett., 1984. -V. 52, No. 11, - P. 887-890.

41. Balachandran A.P., Nair V.P., Rajeev S.G. Soliton States in the Quantum-Chromodynamic Effective Lagrangian//Phys. Rev., ser. D - 1983.- V. 27, No 5.- P. 1153 - 1164.

42. Kanazawa A., Static of the baryon in the SU(3) Skyrme model //Pro-gr. Theor. Phys.- 1987.- V. 77, No 5.- P. 1240 - 1252.

43. Kanazawa A., A note on the phenomology of the SU(3) Skyrme model //Progr. Theor. Phys.- 1987.- V. 77, No 2.- P. 212 - 217.

44. Ю.П.Рыбаков, А.М.Тарабай. Вихри Скирма - Эйнштейна // Тезисы докладов XXXII научной конференции факультета физико-

математических и естественных наук. М., Изд-во РУДН, 1996. С.37-38.

45. Ю.П.Рыбаков, А.М.Тарабай. Вихри Скирма - Эйнштейна как механическая система // Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М., Изд-во РУДН, 1997. С.38.

46. Ю.П.Рыбаков, А.М.Тарабай. SU(3) - Скирмионы: Интерполирующий анзац // Тезисы докладов XXXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М., Изд-во РУДН, 1997. С.39.

47. Ю.П.Рыбаков, А.М.Тарабай. Топологически заряженные вихри в модели Скирма // Вестник российского университета дружбы народов серия "Физика". N. 5. вып. 1, 1997. С. 3-7

48. Yu. P. Rybakov, А. М. Tarabay, and I. G. Chugunov. Skyrme-Einstein Vortices // Contributed papers to the 15th intern, con-fernce on general relativity and gravitation. December 16-21, 1997. Ganeshkhind, Pune, India. A. classical general relativity. Al. Exact solution and interpretation. P.26

49. Ю.П.Рыбаков, А.М.Тарабай. Вихреподобные конфигурации в модели Скирма // Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М., Изд-во РУДН, 1998. С.4-5.

50. Yu. P. Rybakov, А. М. Tarabay and I. G. Chugunov. Vortex-like Structures in the Skyrme - Einstein Chiral Model // Gravitation and Cosmology, Vol. 4. No. 13. 1998. p. 57-60.

51. Yu. P. Rybakov, A. M. Tarabay, and I. G. Chugunov. Vortex-like structure of nuclei in the Skyrme model // Тезисы доклада на Международном совещании по физике атомного ядра (XLVIII совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра,

Москва, 16-19 июня 1998 г.). Санкт-Петербург, ПИЯФ. 1998. С.98

52. Ю.П.Рыбаков, А.М.Тарабай, И. Г. Чугунов. Струны Скирма -Эйнштейна // Тезисы докладов на Фридмановских чтениях, (г. Пермь, 7-12 сентября 1998 г.). Пермь, Изд-во ПГУ, 1998. С.35-36

53. Yu. P. Rybakov, А. М. Tarabay, and I. G. Chugunov. SU(2) Skyrme Vortices // (Internet http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9901081), 4pp.

54. Rybakov Yu. P., Maximally invariant configurations in the SU(2) Skyrmes model // Symmetry methods in physics (international workshop, Russia Dubna july 6-10-19993), 1994. - V. 2, -P. 423 - 427.

55. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. - M.: Наука, 1985.572 с.

56. Гласко В.Б., Лерюст Ф., Терлецкий Я.П., Шушурин С.Ф. Исследование частицеподобных решений нелинейного уравнения скалярного поля//ЖЭТФ.- 1958.- Т. 35, вып. 2,- С. 452 - 457.

57. Нелинейная квантовая теория поля Сб. переводов под ред. Иваненко Д.Д. М.: ИЛ. 1959. -С.464

58. Mie G., Grundlangen einner theorie der materie. // Ann. cler. phys. 1912. - V. 37, - P.511

59. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.:Наука Т. 2, 1966. -С. 879; Т. 4, 1967ю -С. 006

60. Hindmarsh М.В., T.W.B. Kibble T.W.B. Cosmic strings // Rept. Prog. Phys. 1995. - V.58 P.477 - 562.

61. Andrew A. de Laix Observing long cosmic strings through gravitational lensing// Phys. Rev. ser. D. 1997. -V. 56 - P.6193-6204.

62. Copeland E. J., Kibble T.W.B., Steer D.A. // Phys.Rev.ser. D. 1998. -V. 58 P. 43508.

63. Witten E Superconducting strings // Nucl. Phys., ser. B. 1985.-V.228, -P.557-592.

64. Chudnovsky E.M., Field G.B., Spergel D.N., Vilenkin A. Superconducting cosmic strings // Phvs. Rev. Lett. ser. D. 1986. -V. 34, -P. 944 - 950.

65 Glendenning Norman K., Kodama Takeshi, Klinkhamer Frans R. Skyrme topological soliton coupled to gravity. // Phys.Rev.ser. D. 1988.-V.38, -P.3226.

66. Lee T. D. Soliton stars and the critical masses of black holes // Phys.Rev.ser. D. 1987. -V. 35,P. 3637.

67. Dubovik V. M. Toroid moments in eletctrodynamics and solid-state physics // Phys.Rep. 1990. -V.187, No 4 -P.145-202

68. Albrecht A. Turok N. Evolution of cosmic strings // Phys. Rev. Lett. 1985. -V. 54, - P. 1868 - 1985.

69. Kopeliovich V.B., B.E. Stern B.E., B. Schwesinger B. SU(3) dibaryon configurations from chiral soliton models with explicit scalar mesons. // Phys.Lett.,ser B. 1990. -V.242. -P.145-150.

70. Atiyah M.F., Manton N.S. Skyrmions from Instantons//Phys. Lett., ser. B - 1989.- V. 222, No 3,4.- P. 438 - 442.