Нетопологические солитоны некоторых полевых моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Логинов, Алексей Юрьевич

• Логинов, Алексей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Логинов, Алексей Юрьевич

Введение

Глава 1. Нетопологический солитон в модели трех взаимодействующих скалярных полей с глобальной £7(1) х U( 1) - симметрией

1.1. Введение

1.2. Лагранжиан U( 1) х [/(1)-симметричной скалярной модели и ее свойства

1.3. Плосковолновое решение.

1.4. Thin-wall режим.

1.5. Thick-wall режим

1.6. Численные результаты

1.7. Решение системы алгебраических уравнений

Глава 2. Л-солитон в модели Весса-Зумино.

2.1. Введение

2.2. Модель Весса-Зумино

2.3. Д-солитон

2.4. Исследование стабильности Д-солитона

2.5. Численные расчеты.

2.6. Фермионные нулевые моды

2.7. Явные выражения фермионных нулевых мод.

Глава 3. Q-кинк в модели Моттолы-Випфа.

3.1. Введение

3.2. Описание модели

3.3. Решения модели на М

3.4. Исследование стабильности Q-кинка.

3.5. Квантовая поправка к массе кинка.

3.6. Решения модели на S

3.7. Решения модели в общем статическом случае.

Глава 4. Электрически заряженный нетопологический солитон Стандартной модели.

4.1. Введение

4.2. Лагранжиан и полевые уравнения модели.

4.3. Анзац и некоторые свойства решения

4.4. Исследование свойств солитона в thin-wall режиме методом триальных функций

4.5. Численные результаты

4.6. Возможность существования электрически заряженных солитонов в современных условиях

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нетопологические солитоны некоторых полевых моделей»

Начиная с 60-х годов прошлого века стало быстро развиваться новое направление теории поля, связанное с поиском и физической интерпретацией решений классических нелинейных уравнений полевых моделей. В отличие от бесструктурных элементарных частиц решения классических полевых уравнений обладают нетривиальной пространственно-временной структурой и могут быть названы протяженными полевыми конфигурациями. В зависимости от того, обладает или не обладает данная полевая модель нетривиальной топологической структурой, протяженные полевые конфигурации можно разделить на топологические и нетопологические. Топологические полевые конфигурации можно в свою очередь довльно условно разделить на топологические солитоны (кинки, вихри, монополи, дионы, скирмионы), сфалероны и инстантоны. Далее мы кратко перечислим главные особенности различных типов топологических и нетопологических полевых конфигураций и приведем примеры представителей каждого типа.

Топологические солитоны являются пространственно локализованными, стабильными решениями полевых уравнений, обладающими конечной энергией и имеющими нетривиальную топологическую структуру. Топологические солитоны модели Скирма [1, 2] были исторически первыми решениями нелинейных полевых уравнений, которые привлекли к себе большое внимание. В первую очередь это было связано с тем, что эти топологические солитоны были интерпретированы в качестве новых частиц модели Скирма. Это означает, что после квантования солитон будет являться собственным состоянием гамильтониана модели ТС. Собственное значение гамильтониана, соответствующее квантованному солитону, будет равно полной энергии солитона с учетом всех квантовых поправок. Эта энергия интерпретируется в системе покоя солитона как масса соответствующей частицы. Подобные частицы существенно отличаются от обычных элементарных частиц, которые возникают в результате квантования плосковолновых решений линеаризованных полевых уравнений. Их свойства в основном определяются решениями классических нелинейных полевых уравнений, хотя разработаны систематические методы получения квантовых поправок к этим решениям. Характерным свойством этих новых частиц является наличие у них топологической структуры, которая отлична от топологической структуры вакуума. Если предположить, что квантовые возбуждения в окрестности вакуума являются гладкими деформациями полей конечной энергии, то топологическая структура таких деформаций не может отличаться от топологической структуры вакуума. Можно сказать, что обычные элементарные частицы квантовой теории поля не имеют собственной топологической структуры. Новые частицы обладают стабильностью благодаря тому, что их топологическая структура отлична от топологической структуры вакуума [3]. Хотя масса этих новых частиц часто оказывается много большей, чем масса покоя обычных элементарных частиц, распад новых частиц на обычные элементарные частицы становится невозможным из-за различия их топологических структур.

Во многих случаях топологическая структура полевой конфигурации описывается единственным целым числом Л>, называемым топологическим зарядом. Обычно этот заряд представляет собой топологическую степень отображения пространственного многообразия модели на ее полевое многообразие. Полевая конфигурация, соответствующая одной покоящейся частице, является полевой конфигурацией с единичным топологическим зарядом и минимальной энергией — топологическим солитоном. Эта полевая конфигурация будет классически стабильна, так как сохранение топологического заряда запрещает распад N --- 1 полевой конфигурации на обычные элементарные частицы — квантовые возбуждения в окрестности топологически тривиального /V = 0 вакуума. Полевая конфигурация с N > 1 интерпретируется как А^-солитонное (А^-частичное) состояние. Эта конфигурация может представлять N пространственно разделенных односолитонных состояний, либо она может представлять связанное А^-солитонное состояние. Обычно дискретные симметрии лагранжиана модели допускают существование решений полевых уравнений с N = —1 — антисолитонов (античастиц). Солитон-антисолитонная пара может быть получена в результате непрерывной деформации N = 0 вакуума и непрерывно деформирована в N = О вакуум — аналогия с процессами рождения и аннигиляции пар в квантовой теории поля очевидна.

Обычные частицы и топологические солитоны имеют еще одно фундаментальное различие. Масштаб длины и масса солитона определяются константой связи нелинейного взаимодействия в лагранжиане С. Масса же обычных элементарных частиц, возникающих при квантовании плосковолновых решений линеаризованных полевых уравнений, пропорциональна постоянной Планка Н. В классическом пределе Н —» О масса обычной частицы стремится к нулю, масса же топологического солитона остается конечной, при этом квантовые поправки к массе солитона стремяться к нулю при К —> 0.

Между обычными частицами и топологическими солитонами существует важная связь. В пространственной области вдали от солитона поля приближаются к своим вакуумным значениям, и их поведение определяется линеаризованными полевыми уравнениями. Если в линеаризованном уравнении отсутствует массовый член, поведение поля солитона на больших расстояниях от центра будет иметь дальнодействующий характер ~г-1. Если в линеаризованном уравнении имеется массовый член, поле солитона будет экспоненциально быстро ~ ехр (—тг) достигать своего вакуумного значения. Таким образом масса элементарной частицы определяет характер поведения поля топологического солитона на больших расстояниях от его центра. Энергия взаимодействия двух достаточно удаленных друг от друга солитонов определяется асимптотическим поведением их полей. Это поведение определяется массами элементарных частиц модели. Следовательно, элементарные частицы модели определяют характер взаимодействия между солитонами. Линеаризуя полевые уравнения в окрестности солитона, мы можем изучать рассеяние падающей плоской волны в радиальные расходящиеся волны. В квантовой теории поля этот процесс будет соответствовать рассеянию элементарных частиц на топологических солитонах.

Современные топологические солитоны имеют своих исторических предшественников. Вероятно первым примером топологических объектов в физике является вихревая модель атома, предложенная Кельвином [4]. В этой модели атомы представляют собой узловые структуры в идеальной жидкости (эфире). Неизменяемая топологическая структура узла объясняет стабильность атомов и неизменность их свойств, различные типы узлов естественным образом соответствуют различным химическим элементам. Динамика течения идеальной жидкости, ведущая к вибрациям формы узла, должна объяснять наблюдаемые атомные спектры.

Еще одним предшественником современных топологических солитонов можно назвать магнитный монополь Дирака [5]. Он представляет собой сингулярное решение уравнений электродинамики, обладающее магнитным зарядом и бесконечной энергией. Магнитный монополь Дирака имеет нетривиальную топологию, которая определяется его магнитным зарядом д. Магнитный заряд монополя и элементарный электрический заряд е связаны условием квантования Дирака: де = —2тг/гЛ''. Таким образом наличие в природе хотя бы одного магнитного монополя приводит к естественному квантованию электрического заряда.

Первым современным примером топологического солитона можно считать скирми-он [1, 2]. Скирмионы были открыты при изучении модели Юкавы, описывающей взаимодействие изодублета нуклонов (р. п) со спином 1/2 с бесспиновым изотриплетом пионов (7г,7г°, 7г+). Скирм предположил, что взаимодействие нуклонов в ядре может быть эффективно описано как их движение в нелинейной классической пионной среде. Он модифицировал пионную часть лагранжиана модели Юкавы, введя в него слагаемое четвертого порядка по производным пионного поля. Это привело к лагранжиану для изотриплета пионных полей, который допускает стабильные солитонные решения с нетривиальной топологической структурой, отличной от топологической структуры вакуума. Солитонное решение обладает вращательными степенями свободы, и Скирм высказал предположение, что после их квантования в спектре гамильтониана возможно появление квантового состояния с полным угловым моментом 1/2. Таким образом, чисто бозонная модель классической теории поля может после квантования описывать состояния со спином в — 1/2 — фермионы. Это предположение Скирма было подтверждено впоследствии в работах [6-8], где фермион-ные состояния с 5' = 1/2 были идентифицированы как нуклоны. Следовательно, в модели Скирма нет необходимости в независимых нуклонных полях — фермионы в этой модели возникают как квантованные солитонные состояния. Последующие исследования показали, что мультискирмионные решения имеют некоторые общие черты с ядрами. За последние годы был достигнут значительный прогресс в численном поиске мультискирмионных решений (к настоящему времени найдены решения с N = 20 и выше).

Интересной разновидностью модели Скирма является модель Скирма-Фаддеева [9]. Она представляет собой модифицированную 0(3) сг-модель, которая включает в себя слагаемое четвертого порядка по производным п-поля, аналогичное слагаемому в модели Скирма. В силу теоремы Деррика это слагаемое необходимо для существования в Е3 локализованных решений с конечной энергией. Для полевых конфигураций с конечной энергией поле п должно стремиться к некоторой постоянной величине на пространственной бесконечности. Это приводит к тому, что К3 становится топологически эквивалентным <5'3. Таким образом любая полевая конфигурация конечной энергии модели Скирма-Фаддеева топологически представляет собой отображение 5'3 —> 52. Это отображение является топологически уникальным, оно является единственным отображением, гомотопическая группа которого тгп (5'т) изоморфна группе целых чисел при п > т: 7г3 (52) = Z. В связи с этим топологический заряд полевой конфигурации (число Хопфа) модели Скирма-Фаддеева не является топологической степенью отображения, так как размерности пространства 5'3 и полевого многообразия Б2 не совпадают. Все это приводит к тому, что модель Скирма-Фаддеева обладает уникальными топологическими солитонами, представляющими собой устойчивые замкнутые струны [10]. Некоторые из этих струн имеют нетривиальные узловые структуры, аналогичные узловым структурам вихревой атомной модели Кельвина. В настоящее время известны (т.е. найдены численно) топологические солитоны модели Скирма-Фадцеева с числом Хопфа N — 7. Было высказано предположение [11], что модель Скирма-Фадцеева возникает как дуальное описание Б и (2) теории Янга-Миллса в режиме сильной связи. В этом дуальном описании солитонные струны, возможно, соответствуют глюболлам.

В качестве упрощенной модели, позволяющей описать фермионы в терминах бозонных полей, Скирм предложил [12] использовать модель синус-Гордона — 1 + 1-мерную лоренц-инвариантную модель с полевым многообразием З1. В этой модели также имеются топологические солитоны — кинки. В отличие от модели Скирма квантовая модель синус-Гордона оказалась точно решаемой [13, 14], а сответствующая классическая модель синус-Гордона вполне интегрируемой. Это означает, что для модели синус-Гордона можно точно вычислить ¿"-матрицу. После квантования спектр модели синус-Гордона содержит элементарные мезонные состояния, аналогичные пионам, и солитонные состояния, которые ведут себя как одномерные фермионы.

Другим примером топологического солитона, открытым несколько раньше скирмио-на, является вихрь. Вихри были открыты при исследованиях в области физики конденсированного состояния. Конденсированные среды представляют собой существенно квантовые нерелятивистские системы, для описания которых необходимо использовать сложные многоэлектронные квантовые состояния. Для описания таких систем был развит подход [15], основанный на классической теории поля. В этом подходе плотность фермионных состояний описывается с помощью некоторого эффективного скалярного поля, медленно меняющегося в пространстве и времени. Эффективное скалярное поле содержит достаточно информации о квантовом состоянии системы, так что энергия системы может быть представлена как функционал эффективного скалярного поля. Этот подход используется, например, при описании сверхпроводимости, где комплексное скалярное поле ф описывает плотность и фазу конденсата спаренных сверхпроводящих электронов. В 1957 году было обнаружено [16], что функционал энергии двумерной сверхпроводящей среды достигает своего минимума на статических полевых конфигурациях, названных вихрями. Вихри имеют нетривиальную топологическую структуру, связанную С гомотопической группой 7Г1 (51) = Ъ, и являются двумерными полевыми конфигурациями. В трех пространственных измерениях вихри представляют собой трубки магнитного потока, пронизывающие сверхпроводник. Аналогичные вихревые решения были найдены [17] и в релятивистской теории поля — абелевой модели Хиггса со спонтанно нарушенной U( 1) калибровочной группой. Затем вихри были обнаружены и в других калибровочных полевых моделях. Эти решения могут быть интерпретированы как двумерные частицы или как массивные релятивистские струны в трех измерениях.

Следующей моделью теории поля, в которой были найдены топологические солито-ны, стала модель Джорджи-Глешоу [18]— неабелева SO(3) калибровочная модель с триплетом хиггсовских полей со спонтанно нарушенной симметрией. В этой модели вакуум нарушает исходную SO(3) симметрию модели до ее U(1) подгруппы. Вакуумным многообразием модели, следовательно, является SO(3)/U(l) - 2-сфера. Это подходящая структура для существования топологических солитонов в трех измерениях ввиду топологического соотношения 7г2 (SO (3) /U (1)) = iri (U (1)) = Z. Физически это означает, что поле Хиггса определяет отображение 2-сферы на пространственной бесконечности в 2-сферу вакуумного многообразия модели. Топологическая степень этого отображения является топологическим зарядом солитона. Так же как и для вихря топологическая структура солитона оказывается связанной с его магнитным полем. В отличие от вихря, магнитное поле солитона модели Джорджи-Глешоу имеет радиальное направление, аналогично электрическому полю сферически-симметричного распределения заряда. Поэтому эти солитоны были названы магнитными монополями. Эти чрезвычайно интересные объекты были открыты независимо Поляковым и т' Хоофтом в 1974 году [19, 20].

Стандартная модель электрослабых взаимодействий [21, 22] также является неабеле-вой калибровочной моделью с комплексным дублетом хиггсовских полей. Вакуумные полевые конфигурации хиггсовского поля нарушают исходную SU(2) х U( 1) калибровочную симметрию Стандартной модели до ее Uem( 1) подгруппы. Вакуумное многообразие конфигураций хиггсовского поля представляет собой SU(2)х U(i)/Uem(l) — 3-сферу. Поскольку отображение 2-сферы пространственной бесконечности на 3-сферу вакуумного многообразия модели Sic S3 является тривиальным: тг2(5'3) = I, в Стандартной модели отсутствуют топологические солитоны типа вихрей и монополей, обладающие свойствами частиц. Однако в Стандартной модели существуют топологические объекты другого типа — сфа-лероны [23, 24]. Их существование связано с тем, что хотя каждое из отображений 2-сферы пространственной бесконечности S^ на 3-сферу SU(2) фактора калибровочной группы SU(2) х U( 1) и является топологически тривиальным, функциональное пространство этих отображений Maps (S^ —> S3) топологически нетривиально [3]. Можно сказать, что хотя каждое из отображений S^ —► S3 и может быть непрерывно деформировано в точку, произвольное непрерывное однопараметрическое семейство таких отображений в функциональном пространстве в общем случае не может быть стянуто в точку. Математически это выражается тем, что фундаментальная гомотопическая группа функционального пространства отображений Maps (S£> —> S3) является нетривиальной: tti (Maps (S^ —S3)) = Z — следовательно в Maps (S^ —> S3) существуют нестягиваемые петли. На каждой такой петле существует полевая конфигурация с максимальной энергией. Сфалероны представляют собой в общем случае такую полевую конфигурацию с минимально возможной максимальной энергией. Характерным свойством сфалеронов является то, что спектр их оператора квадратичных флуктуаций содержит в точности одно отрицательное собственное значение. Таким образом сфалероны представляют собой нестабильные пространственно локализованные решения полевых уравнений, обладающие конечной энергией. Энергия сфалерона является высотой энергетического барьера между двумя соседними топологически различными калибровочными вакуумами Стандартной модели. Сфалероны могли играть большую роль в описании процессов, протекавших в ранней Вселенной при очень высоких температурах [25].

Сектор сильных взаимодействий Стандартной модели также описывается калибровочной теорией поля — квантовой хромодинамикой. Квантовая хромодинамика является калибровочной теорией Янга-Миллса без хиггсовских полей, взаимодействующей с кварковыми фермионными полями. Ее бозонный сектор является неабелевой калибровочной теорией с калибровочной группой SU(S). Из теоремы Деррика [26] и топологических соображений [3] следует, что статические полевые уравнения неабелевых калибровочных теорий без хиггсовских полей не могут иметь топологических солитонных решений в М3. Однако в М4 квантовая хромодинамика имеет топологические солитонные решения, известные как ин-стантоны [27]. С топологической точки зрения существование инстантонов связано с тем, что гомотопическая группа отображений 3-сферы пространственной бесконечности в R4 на калибровочную группу SU(3) является нетривиальной: тгг (SU(3)) = 7г3 (S3) — Z. Инстан-тоны играют огромную роль в описании процессов квантовой хромодинамики [28]. Это связано с тем, что амплитуды квантовых процессов могут быть представлены в виде евклидовых функциональных интегралов. В квазиклассическом приближении функциональный интеграл определяется стационарными точками евклидова действия, т. е. решениями евклидовых полевых уравнений теории в М4. Этими решениями евклидовых полевых уравнений с конечным евклидовым действием и являются инстантоны. Евклидову теорию поля в М4 можно интерпретировать как теорию поля в трехмерном пространстве К3, описывающую эволюцию полевых конфигураций в мнимом времени. Эволюция системы в мнимом времени соответствует в квантовой механике процессу туннелирования. В этой связи можно сказать, что инстантоны описывают процесс туннелирования между топологически различными калибровочными вакуумами теории Янга-Миллса [29, 30]. Туннелирование между топологически различными вакуумами теории Янга-Миллса приводит к снятию вырождения между ними и к возникновению понятия (9-вакуума. Были предприняты серьезные усилия описать квантовую теорию Янга-Миллса, особенно с калибровочной группой 311(2), исходя из предположения о том, что функциональный интеграл определяется в основном инстантонными полевыми конфигурациями [31]. Этот подход трудно реализовать в чистой теории Янга-Миллса, поскольку при вычислении функционального интеграла необходимо учитывать вклад мульти-инстантонных и мульти-антиинстантонных полевых конфигураций. Однако в некоторых суперсимметричных версиях теории Янга-Миллса лишь мульти-инстантонные полевые конфигурации дают вклад в функциональный интеграл. В этом случае возможно точно вычислить вклад инстантонов в корреляционные функции [32].

Вторым обширным классом солитонных полевых конфигураций являются нетопологические солитоны. Первые примеры солитонов этого типа были исследованы в конце 60-х начале 70-х годов [33-36]. Систематическое исследование нетопологической солитонной конфигурации скалярной полевой модели было выполнено в известной работе [37]. Большой интерес эти объекты привлекли к себе после появления работы [38], в которой рассматривалась простейшая модель комплексного скалярного поля с нелинейным самодействием (в этой работе нетопологический солитон получил широко используемое сейчас название — ф-болл). ф-боллы также были обнаружены в моделях со спонтанно нарушеннной глобальной 1/( 1)-симметрией [39], в моделях с глобальной неабелевой симметрией [40, 41] и в моделях с локальной калибровочной [/(1)-симметрией [42]. Нетопологические солитоны существуют также в моделях с неабелевой калибровочной симметрией [43, 44]. Суперсимметричные обобщения Стандартной модели с плоскими направлениями в потенциале взаимодействия скалярных полей также допускают существование С^-боллов. В частности, было показано [45], что болл может существовать в минимальной суперсимметричной Стандартной модели (МЭБМ). В этих обобщениях Стандартной модели квантовые поправки снимают вырождение плоских направлений по энергии, и болл формируется из скалярных полей (й-лептонов или в-кварков), несущих ненулевые лептонные или барионные квантовые числа. Кроме нетопологических солитонов, у которых носителями сохраняющегося нетеровского заряда являются бозонные (скалярные или калибровочные) поля, существуют нетопологические солитоны, у которых носителями сохраняющегося нетеровского заряда являются фермионные поля (фермионные <3-боллы) [46, 47].

В то время как необходимым условием существования топологических солитонов является наличие нетривиальной топологической структуры модели (например наличие в ней топологически различных вакуумных состояний) и выполнение условий теоремы Деррика, нетопологические солитоны возможны в моделях с тривиальной топологической структурой (например в модели комплексного самодействующего скалярного поля). Необходимым условием существования нетопологических солитонов является наличие в модели одного или нескольких сохраняющихся нетеровских зарядов [48]. В качестве таких зарядов могут выступать фермионные, барионные, лептонные квантовые числа, а также электрические заряды. Еще одним необходимым условием существования нетопологических солитонов в чисто скалярных полевых моделях является определенная форма потенциала взаимодействия полей [38, 48]. Нетопологический солитон определяется как локализованная в пространстве полевая конфигурация, на которой функционал энергии достигает своего минимума (в общем случае экстремума) в секторе с фиксированными значениями нетеровских зарядов. Это определение и полевые уравнения Гамильтона приводят к характерной временной зависимости полей нетопологического солитона ~ехр (гш1). Наличие этой временной зависимости позволяет обходить ограничения, накладываемые теоремой Деррика. Эта теорема, в частности, запрещает существование статических солитонов в трех пространственных измерениях в чисто скалярных полевых моделях. Временная зависимость полей делает возможным существование нетопологических солитонов в 3 + 1-мерных чисто скалярных моделях теории поля (модель комплексного скалярного поля с нелинейным самодействием [38], модель Фридберга-Ли-Сирлина [37], модель Весса-Зумино [49, 50]).

Одной из областей, где нетопологические солитоны нашли свое применение, является физика адронов (модель Фридберга-Ли [47]). В настоящее время считается общепринятым, что квантовая хромодинамика корректно описывает сильные взаимодействия в терминах кварков и глюонов, и что детальная структура адронов может быть описана с помощью квантовой хромодинамики. Являясь неабелевой калибровочной моделью, квантовая хромодинамика обладает свойством асимптотической свободы, что позволяет описывать процессы, протекающие при больших переданных импульсах и энергиях, в рамках теории возмущений. В области более низких переданных импульсов и энергий калибровочная константа связи квантовой хромодинамики возрастает, эффективными степенями свободы становятся мезоны и барионы, и теория возмущений, сформулированная в терминах кварков и глюонов, становится неприменимой. В этой области переданных импульсов и энергий преобладают непертурбативные эффекты. Фридберг и Ли использовали феноменологическое скалярное поле чтобы учесть непертурбативные эффекты квантовой хромодинамики при низких переданных энергиях и импульсах. В их модели адроны представляют собой нетопологические солитоны, причем в качестве сохраняющегося нетеровского заряда выступает барионный заряд адрона.

Другой областью применения нетопологических солитонов являются экзотические астрофизические объекты, называемые солитонными звездами [51-54]. Были рассмотрены модели, имеющие в качестве своих решений стабильные холодные звездные конфигурации, масса которых может достигать порядка масс галактик. Солитонные звезды могут быть как бозонными, так и фермионными. Их свойства зависят главным образом от величины нелинейной константы связи. Все эти звездные конфигурации имеют энергии, меньшие чем энергии плосковолновых решений с таким же нетеровским зарядом, следовательно, солитонные звезды являются стабильными относительно перехода в плосковолновые конфигурации (т.е. распада на свободные элементарные частицы). Когда масса солитонной звезды превышает некоторое критическое значение, происходит ее коллапс в черную дыру. Так как механизм стабильности обычной звезды и солитонной звезды существенно отличаются друг от друга, критическая масса солитонной звезды [34, 35, 51, 55] может сильно отличаться от критической массы обычных звезд [56]. Нетопологические солитоны могут играть существенную роль в космологических моделях, описывающих эволюцию ранней Вселенной [57, 58]. В частности, (^-боллы могут являться местами сосредоточения темной материи, а также могут помочь объяснить современное наблюдаемое значение барионной асимметрии.

Наличие нелинейного взаимодействия в лагранжиане является необходимым условием существования как топологических, так и нетопологических солитонов. Стоит отметить, что пространственно локализованные решения конечной энергии возможны и при отсутствии взаимодействия полей (т.н. волновые пакеты). Волновые пакеты представляют собой линейную суперпозицию плосковолновых решений данной модели. Однако волновой пакет изменяет свою форму, расплывается с течением времени, в то время как распределение плотности энергии солитона не изменяется со временем. Изменение формы волнового пакета обусловлено дисперсией невзаимодействующих друг с другом плосковолновых мод. Нелинейное слагаемое в лагранжиане приводит к взаимодействию плосковолновых мод друг с другом. Это взаимодействие приводит к тому, что солитон представляет собой пространственно локализованное решение конечной энергии, сохраняющее свою форму в течение неограниченного промежутка времени.

Перечислим некоторые общие и различные свойства топологических и нетопологических солитонов. Общим свойством топологических и нетопологических солитонов является то, что они представляют собой пространственно локализованными полевыми конфигурациями конечной энергии, сохраняющими свою форму в течение неограниченного промежутка времени. В остальном же их свойсва существенно различны. Все топологические солитоны являются статическими полевыми конфигурациями с точностью до преобразований Лоренца или калибровочных преобразований, нетопологические же солитоны имеют явную экспоненциальную временную зависимость ~ехр Эта временная зависимость приводит к тому, что для нетопологических солитонов неприменима теорема Деррика, которая накладывает сильные ограничения на существование статических пространственно-локализованных решений в различных моделях теории поля. Топологический заряд квантован уже на классическом уровне, в то время как классический нетеровский заряд является непрерывной величиной. Изменение дискретного топологического заряда кардинально меняет свойства топологических солитонов. Так например топологический солитон может существовать как статическая устойчивая полевая конфигурация при N = 1 и не существовать при N = 2, в то время как свойства нетопологических солитонов изменяются непрерывно при непрерывном изменении нетеровского заряда за исключением нескольких критических точек. Топологический заряд известных топологических солитонов составляет несколько единиц (за исключением мультискирмионов и мультиинстантонов), в то время как нетеровский заряд нетопологических солитонов может достигать астрономических значений. В некоторых моделях, имеющих в своем спектре топологические солитоны, возможно вывести строгое неравенство [59], ограничивающее энергию топологического солитона снизу — неравенство Богомольного. Топологические солитоны, для которых выполняется это неравенство, удовлетворяют системе полевых уравнений Богомольного [59]. В отличие от обычных полевых уравнений Эйлера-Лагранжа, уравнения Богомольного являются дифференциальными уравнениями первого порядка. Решения уравнений Богомольного [59, 60] обладают рядом замечательных свойств и играют важнейшую роль во многих областях квантовой теории поля. Для нетопологических солитонов аналогичное неравенство отсутствует. Характерным свойством калибровочных топологических солитонов, взаимодействующих с фермионами, является наличие у них киральных фермионных нулевых мод (в том числе и при отсутствии суперсимметрии). Топологический заряд калибровочных топологических солитонов связан с количеством киральных фермионных нулевых мод соответствующего уравнения Дирака посредством теоремы Атьи-Зингера. Фермионы в поле калибровочного топологического солитона приобретают ряд замечательных свойств: дробление фермионного числа и электрического заряда фермиона [61], несохранение фермионных квантовых чисел благодаря явлению пересечения уровней [31, 62-64], целочисленный полный угловой момент фермиона в поле магнитного монополя [61, 65, 66]. Для калибровочных нетопологических солитонов фермионные нулевые моды в общем несуперсимметричном случае отсутствуют.

Приведенный выше список типов солитонных полевых конфигураций является далеко не полным. Каждый из приведенных типов насчитывает десятки известных примеров солитонных решений и их число продолжает быстро расти. Ведутся поиски новых и исследуются свойства известных солитонных решений. Все это определяет актуальность выбранной темы диссертации, связанной с поиском новых солитонных решений полевых моделей и исследованием их свойств.

Целью диссертационной работы является решение следующих задач: поиск новых солитонных решений полевых моделей исследование свойств найденных солитонных решений

Материал диссертации изложен в четырех главах.

В Главе 1 исследованы свойства нетопологической солитонной конфигурации модели трех взаимодействующих скалярных полей с глобальной 11(1) х 11(1) - симметрией.

В Главе 2 исследованы свойства нетопологической солитонной конфигурации — Д-соли-тона в модели Весса-Зумино.

В Главе 3 исследованы свойства топологической солитонной конфигурации с ненулевым нетеровским зарядом — ф-кинка модели Моттолы-Випфа.

Глава 4 посвящена исследованию свойств электрически заряженного нетопологического солитона Стандартной модели электрослабых взаимодействий.

В Заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Логинов, Алексей Юрьевич

Заключение

В заключении представлены основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Показано, что в модели, состоящей из двух комплексных скалярных полей и одного вещественного скалярного поля, обладающей U(l) х U(1)-инвариантным и перенормируемым потенциалом взаимодействия, существует нетопологический солитон. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая нетопологический солитон. Показано, что в случае thin-wall режима нетопологический солитон является устойчивым по отношению к переходу в плосковолновую полевую конфигурацию. Для случая thick-wall режима получены формулы зависимостей энергии и нетеровских зарядов нетопологического солитона от фазовых частот вращений. Для общего случая численными методами получены кривые зависимостей энергии и нетеровских зарядов нетопологического солитона от фазовых частот вращений.

2. Показано, что в Д-симметричной модели Весса-Зумино существует нетопологическая солитонная конфигурация — Д-солитон. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая Д-солитон. Установлены характерные свойства Д-солитона Показано, что Д-солитон является устойчивым по отношению к переходу в плосковолновую полевую конфигурацию во всем диапазоне параметров модели. Для нескольких значений параметров модели выполнены численные расчеты энергии и нетеровского заряда Д-солитона. Получены выражения фермионных нулевых мод Д-солитона и установлены некоторые их свойства.

3. Показано, что нелинейная 0(3) а-модель с явно нарушенной симметрией (модель Моттолы-Випфа) допускает нестатическое обобщение кинка/мультикинка синус-Гордона -Q-кинк/мультикинк. Для всех возможных случаев в аналитическом виде получены решения полевых уравнений, соответствующие (Q-кинкам/мультикинкам. Получены формулы зависимостей энергии и нетеровского заряда Q-кинка от фазовой частоты вращения. Для ряда случаев получены выражения энергии и нетеровского заряда Q-мультикинка. Проведено исследование устойчивости Q-кинка, получены выражения собственных функций и собственных значений оператора квадратичных флуктуаций. Установлено, что Q-кинк является неустойчивым во всем допустимом интервале фазовых частот и 6 [—1,1]. Вычислена однопетлевая квантовая поправка к массе статического кинка и выполнено квантование нулевой моды Q-кинка. Показано, что в общем статическом случае полевые уравнения модели Моттолы-Випфа интегрируются в квадратурах.

4. Показано, что в Стандартной модели электрослабых взаимодействий существует электрически заряженный нетопологический солитон. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая нетопологический солитон. Установлены некоторые свойства электрически заряженного нетопологического солитона. Методом триальных функций получены выражения предельных значений радиуса, энергии и фазовой частоты солитона в thin-wall режиме. Получены численные решения полевых уравнений модели, соответствующие электрически заряженным солитонам. Для нескольких значений параметров модели представлены зависимости энергии и нетеровского заряда солитона от фазовой частоты. Численно установлено существование области параметров модели, в которой нетопологический солитон является устойчивым относительно перехода в плосковолновую полевую конфигурацию.

Материалы диссертационной работы могут иметь следующее применение:

Результаты главы 1 могут быть полезны при изучении нетопологических солитонов более сложных систем взаимодействующих скалярных полей. Результаты, изложенные в главе 2, могут быть использованы при поиске и исследовании свойств нетопологических Д-солитонов абелевых и неабелевых калибровочных суперсимметричных моделей. Результаты главы 3 могут быть использованы при поиске и изучении свойств неустойчивых решений 1 + 1-мерной модели п-поля, равномерно вращающихся вокруг одной из осей изотопического пространства. Результаты главы 4 могут быть использованы при поиске и исследовании свойств электрически заряженных нетопологических солитонов в моделях Янга-Миллса-Хиггса, классический вакуум которых нарушает исходную калибровочную группу до ее [7(1)-подгруппы. В частности, эти результаты можно использовать при поиске электрически заряженного нетопологического солитона в топологически тривиальном секторе модели Джорджи-Глешоу.

Результаты диссертационной работы обсуждались на семинарах лаб. 10, 11 ФТИ ТПУ и были представлены на международных конференциях: Nucleus 2008: Fundamental problems of nuclear physics, Moscow, 2008;

Nucleus 2009: Fundamental problems of nuclear physics, Cheboksary, 2009; Nucleus 2010: Fundamental problems of nuclear physics, St. Petersburg, 2010.

Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [50, 110-113], и 3 тезиса докладов [114-116].

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю Стибу-нову В. Н. за поддержку, постоянный интерес к результатам работы и помощь в процессе подготовки диссертации. Автор благодарит сотрудника ФТИ ТПУ Сидорова А. А. за полезные дискуссии и помощь в процессе подготовки диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Логинов, Алексей Юрьевич, 2012 год

1. Т. Н. R. Skyrme. A nonlinear field theory // Proc. R. Soc. bond. A. — 1961. — Vol. 260. — Pp. 127-141.

2. Т. H. R. Skyrme. A unified theory of mesons and baryons // Nucl. Phys. — 1962. — Vol. 31.-Pp. 556-567.

3. N. Manton, P. Sutcliffe. Topological Solitons. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

4. W. Thomson. On vortex atoms // Trans. R. Soc. Edin. — 1867. — Vol. 6. — P. 94.

5. P. A. M. Dirac. Quantized singularities in the electromagnetic field // Proc. R. Soc. bond. A. 1931. - Vol. 133. - P. 60.

6. Е. Witten. Global aspects of current algebra // Nucl. Phys. B. — 1983. — Vol. 223. — P. 422.

7. E. Witten. Current algebras, baryons, and quark confinement // Nucl. Phys. В. — 1983.— Vol. 223. P. 433.

8. G. S. Adkins, C. R. Nappi, E. Witten. Static properties of nucleons in the Skyrme model // Nucl. Phys. B. 1983. - Vol. 228. - P. 552.

9. L. D. Faddeev. Quantization of solitons. — Princeton: Princeton preprint IAS-75-Q870, 1975.

10. L. Faddeev, A. J. Niemi. Stable knot-like structures in classical field theory // Nature.— 1997.- Vol. 387.-P. 58.

11. L. Faddeev, A. J. Niemi. Partially dual variables in SIJ(2) Yang-Mills theory // Phys. Rev. Lett. — 1999. Vol. 82. - P. 1624.

12. Т. H. R. Skyrme. Particle states of a quantized meson field // Proc. R. Soc. bond. A.— 1961. Vol. 262. - Pp. 237-245.

13. S. Coleman. Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model // Phys. Rev. D. 1975. - Vol. 11, no. 8. - Pp. 2088-2097.

14. S. Mandelstam. Soliton operators for the quantized sine-Gordon equation // Phys. Rev. D. 1975. - Vol. 11, no. 10. - Pp. 3026-3030.

15. B. JI. Гинзбург, Л. Д. Ландау. О теории сверхпроводимости // ЖЭТФ. — 1950.— Т. 20. С. 1064.

16. A. A. Abrikosov. On the magnetic properties of superconductors of the second group // JETP. 1957. - Vol. 5. - P. 1174.

17. H. B. Nielsen, P. Olesen. Vortex line models for dual strings // Nucl. Phys. В. — 1973.— Vol. 61.-Pp. 45-61.

18. H. Georgi, S. L. Glashoui. Unity of all elementary-particle forces // Phys. Rev. Lett. — 1974.- Vol. 32, no. 8.- Pp. 438-441.

19. A. M. Polyakov. Particle spectrum in quantum field theory // JETP Lett. — 1974. — Vol. 20, no. 6. — Pp. 194-195.

20. G. 't Hooft. Magnetic monopoles in unified gauge theories // Nucl. Phys. B. — 1974. — Vol. 79. Pp. 276-284.

21. S. Weinberg. A model of leptons // Phys. Rev. Lett.— 1967.— Vol. 19, no. 21,— Pp. 1264-1266.

22. A. Salam // Elementary Particle Physics / Ed. by N. Svartholm.— Stockholm: Almqvist and Wiksells, 1968.- P. 367.

23. N. Manton. Topology in the Weinberg-Salam theory // Phys. Rev. D.— 1983. — Vol. 28, no. 8. Pp. 2019-2026.

24. F. R. Klinkhamer, N. S. Manton. A saddle-point solution in the Weinberg-Salam theory // Phys. Rev. D.— 1984.— Vol. 30, no. 10.- Pp. 2212-2220.

25. В. A. Pyбаков, M. E. Шапошников. Электрослабое несохранение барионного числа в ранней Вселенной и в столкновениях частиц при высоких энергиях // УФН. — 1996. — Т. 166, № 5. С. 493-537.

26. G. Н. Derrick. Comments on Nonlinear Wave Equations as Models for Elementary Particles 11 J. Math. Phys. 1964. - Vol. 5, no. 9.- Pp. 1252-1254.

27. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwarz, Yu. S. Tyupkin. Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. B. — 1975. — Vol. 59, no. 1. — Pp. 85-87.

28. T. Schafer, E. V. Shuryak. Instantons in QCD // Rev. Mod. Phys. — 1998.— Vol. 70.— Pp. 323-425.

29. R. Jackiw, C. Rebbi. Vacuum Periodicity in a Yang-Mills Quantum Theory // Phys. Rev. Lett. 1976. - Vol. 37, no. 3. - Pp. 172-175.

30. C. G. Callan, R. F. Dashen, D. J. Gross. The structure of the gauge theory vacuum // Phys. Lett. B. — 1976. — Vol. 63, no. 3.- Pp. 334-340.

31. C. G. Callan, R. F. Dashen, D. J. Gross. Toward a theory of the strong interactions // Phys. Rev. D.— 1978. — Vol. 17, no. 10.- Pp. 2717-2763.

32. N. Dorey, T. J. Hollowood, V. V. Khoze, M. P. Mattis. The calculus of many instantons // Phys. Rept. 2002. - Vol. 371. - Pp. 231-459.

33. G. Rosen. Particlelike Solution to Nonlinear Complex Scalar Field Theories with Positive-Definite Energy Densities // J. Math. Phys. — 1968. — Vol. 9, no. 7. — Pp. 996-998.

34. D. J. Kaup. Klein-Gordon Geon // Phys. Rev. 1968. - Vol. 172, no. 5. - Pp. 1331-1342.

35. R. Ruffini, S. Bonazzola. Sysems of Self-Graviting Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 187, no. 5. — Pp. 1767-1783.

36. T. D. Lee, G. C. Wick. Vacuum stability and vacuum excitation in a spin-0 field theory // Phys. Rev. D. — 1974. — Vol. 9, no. 8.- Pp. 2291-2316.

37. R. Friedberg, T. D. Lee, A. Sirlin. Class of scalar-field soliton solutions in three space dimensions // Phys. Rev. D. — 1976. — Vol. 13, no. 10.- Pp. 2739-2761.

38. S. Coleman. Q-Balls // Nucl. Phys. B. 1985. - Vol. 262.-Pp. 263-283.

39. A. Kusenko. Phase transitions precipitated by solitosynthesis // Phys. Lett. B.— 1997.— Vol. 406. Pp. 26-32.

40. A. Safian, S. Coleman, M. Axenides. Some non-abelian Q-balls // Nucl. Phys. B. — 1988. — Vol. 297. Pp. 498-514.

41. A. Safian. Some more non-abelian Q-balls // Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 304.— Pp. 392-402.

42. K. Lee, J. A. Stein-Schabes, R. Watkins, L. W. Widraw. Gauged Q balls // Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 39, no. 6. - Pp. 1665-1673.

43. R. Friedberg, T. D. Lee, A. Sirlin. Gauge-field non-topological solitons in three space-dimensions (I) // Nucl. Phys. В.- 1976.-Vol. 115.-Pp. 1-31.

44. R. Friedberg, T. D. Lee, A. Sirlin. Gauge-field non-topological solitons in three space-dimensions (II) // Nucl. Phys. B. 1976. - Vol. 115. - Pp. 32-47.

45. A. Kusenko. Solitons in the supersymmetric extensions of the standard model // Phys. Lett. B. 1997. - Vol. 405. - Pp. 108-113.

46. R. Friedberg, T. D. Lee. Fermion-field nontopological solitons // Phys. Rev. D. — 1977.— Vol. 15, no. 6.- Pp. 1964-1711.

47. R. Friedberg, T. D. Lee. Fermion-field nontopological solitons. II. Models for hadrons // Phys. Rev. D. — 1977. Vol. 16, no. 4. - Pp. 1096-2018.

48. T. D. Lee, Y. Pang. Nontopological Solitons // Phys. Rept.— 1992.— Vol. 221, no. 5.-Pp. 251-350.

49. M. Axendies, E. Floratos, A. Kehagias. Non-abelian Q-balls in supersymmetric theories // Phys. Lett. В.— 1998.-Vol. 444.-Pp. 190-195.

50. А. Ю. Логинов. Л-солитон в модели Весса-Зумино // Ядерная физика. — 2010. — Т. 73, № 3. С. 474-487.

51. Т. D. Lee. Soliton stars and the critical masses of black holes // Phys. Rev. D. — 1987. — Vol. 35, no. 12. Pp. 3637-3639.

52. R. Friedberg, T. D. Lee, Y. Pang. Mini-soliton stars // Phys. Rev. D. — 1987.— Vol. 35, no. 12. Pp. 3640-3657.

53. R. Friedberg, T. D. Lee, Y. Pang. Scalar soliton stars and black holes // Phys. Rev. D. — 1987. Vol. 35, no. 12. - Pp. 3658-3677.

54. T. D. Lee, Y. Pang. Fermion soliton stars and black holes // Phys. Rev. D.— 1987.— Vol. 35, no. 12, —Pp. 3678-3694.

55. W. Thirring. Bosonic black holes // Phys. Lett. В. — 1983. — Vol. 127, no. 1. — Pp. 27-29.

56. J. R. Oppenheimer, G. G. Volkoff. On Massive Neuteron Cores // Phys. Rev. — 1939. — Vol. 55, no. 4. — Pp. 374-381.

57. A. Kusenko, M. Shaposhnikov. Supersymmetric Q-balls as dark matter // Phys. Lett. В.— 1998. Vol. 418. - Pp. 46-54.

58. K. Enquist, A. Mazumdar. Cosmological consequences of MSSM flat directions // Phys. Rept. — 2003. — Vol. 380. — Pp. 99-234.

59. E. B. Bogomolny. The stability of classical solutions // Sov. J. Nucl. Phys. — 1976. — Vol. 24. Pp. 449-457.

60. M. K. Prasad, С. M. Sommerfield. Exact classical solution for the't Hooft monopole and the Julia-Zee dyon // Phys. Rev. Lett. — 1975. — Vol. 35, no. 12. — Pp. 760-762.

61. R. Jackiw, C. Rebbi. Solitons with fermion number 1/2 // Phys. Rev. D. — 1976. — Vol. 13, no. 12. — Pp. 3398-3409.

62. J. Kiskis. Fermion zero modes and level crossing // Phys. Rev. D. — 1978. — Vol. 18, no. 10. — Pp. 3690-3694.

63. H. B. Nielsen, M. Ninomiya. The Adler-Bell-Jackiw anomaly and Weyl fermions in a crys-tall I/ Phys. Lett. B. — 1983. — Vol. 130, no. 6.- Pp. 389-396.

64. J. Ambjom, J. Greensite, C. Peterson. The axial anomaly and the lattice Dirac sea // Nucl. Phys. B. 1985. - Vol. 221. - Pp. 381-408.

65. T. Dereli, J. H. Swank, L. J. Swank. Fermions in Yang-Mills electic and magnetic pole potential 11 Phys. Rev. D.— 1975. — Vol. 11, no. 12,- Pp. 3541-3544.

66. P. Hasenfratz, G. 4 Hooft. Fermion-Boson Puzzle in a Gauge Theory // Phys. Rev. Lett. — 1976.-Vol. 36, no. 19.-Pp. 1119-1122.

67. P. Раджараман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — Москва: Мир, 1985.

68. В. А. Рубаков. Классические калибровочные поля. Бозонные теории. — Москва: URSS, 2005.

69. Т. И. Белова, А. Е. Кудрявцев. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля // УФН. 1997. - Т. 167. - С. 377-406.

70. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. Квантовая теория поля, т.1.— Москва: Мир, 1984.

71. F. Paccetti Correia, М. G. Schmidt. Q-balls: some analytical results // Eur. Phys. J. C.~ 2001.—Vol. 21.-Pp. 181-191.

72. D. Spector. First order phase transition in a sector of fixed charge // Phys. Lett. B. — 1987,- Vol. 194, no. 1.- Pp. 103-106.

73. J. Wess, B. Zumino. Supergauge transformation in four dimensions // Nucl. Phys. B. — 1974. Vol. 70. - Pp. 39-50.

74. S. Weinberg. The Quantum Theory Of Fields, vol.3, Supersymmetry. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

75. E. R. C. Abraham, P. K. Townsend. Q-kinks // Phys. Lett. В.— 1992,— Vol. 291.— Pp. 85-88.

76. E. R. C. Abraham, P. K. Townsend. More on Q-kinks: a (l+l)-dimensional analogue of dyons // Phys. Lett. В. — 1992.— Vol. 295.-Pp. 225-232.

77. M. Arai, M. Naganuma, M. Nitta, N. Sakai. Manifest supersymmetry for BPS walls in M = 2 nonlinear sigma models // Nucl. Phys. B. — 2003. — Vol. 652. — Pp. 35-71.

78. N. Dorey. The BPS spectra of two-dimensional supersymmetric gauge theories with twisted mass terms // JHEP. 1998. - Vol. 11. - P. 005.

79. R. A. Leese. Q-lumps and their interactions // Nucl. Phys. В.— 1991.— Vol. 366.— Pp. 283-311.

80. A. Alonso-Izquierdo, M. A. Gonzalez Leon, J. Mateos Guilarte. Kinks in a non-linear massive sigma model // Phys. Rev. Lett. 2008. — Vol. 101. — P. 131602.

81. A. Alonso-Izquierdo, M. A. Gonzalez Leon, J. Mateos Guilarte. BPS and non-BPS kinks in a massive non-linear S2 sigma model // Phys. Rev. D. — 2009. — Vol. 79. — P. 125003.

82. E. Mottola, A. Wipf. Unsuppressed fermion-number violation at high temperature: An 0(3) model // Phys. Rev. D. — 1989. — Vol. 39, no. 2,- Pp. 588-602.

83. В. M. Piette, B. J. Schroers, W. J. Zakrewski. Multisolitons in a two-dimensional Skyrme model // Z. Phys. C.- 1995. — Vol. 65,- Pp. 165-181.

84. В. M. Piette, B. J. Schroers, W. J. Zakrewski. Dynamics of baby Skyrmions // Nucl. Phys. B. 1995. - Vol. 439. - Pp. 205-235.

85. A. H. Васильев. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике.— С.-Петербург: Изд-во ПИЯФ, 1998.

86. P. Forgacs, Z. Horvath. Topology and saddle points in field theories // Phys. Lett. B. — 1984,- Vol. 138, no. 5. — Pp. 397-401.

87. В. А. Ленский, В. А. Гани, A. E. Кудрявцев. О доменных стенках, несущих U( 1)-заряд // ЖЭТФ.-2Ш.-Т. 120.- С. 778-785.

88. Л. Я. Цлаф. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. — Москва: Наука, 1966.

89. S. Yu. Slavyanov, W. Lay. Special Functions. — New York: Oxford University Press, 2000.

90. R. F. Dashen, B. Hasslacher, A. Neveu. Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory. I. Semiclassical functional methods // Phys. Rev. D. — 1974. — Vol. 10, no. 12, — Pp. 4114-4129.

91. R. F. Dashen, B. Hasslacher, A. Neveu. Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory. II. Two-dimensional models and extended hadrons // Phys. Rev. D. 1974. - Vol. 10, no. 12. - Pp. 4130-4138.

92. K. Cahill. Extended particles and solitons // Phys. Lett. B. — 1974. — Vol. 53, no. 2. — Pp. 174-176.

93. K. Cahill, A. Comtet, R. J. Glauber. Mass formulas for static solitons // Phys. Lett. В.— 1976.- Vol. 64, no. 3. Pp. 283-285.

94. A. A. Belavin, A. M. Polyakov. Metastable states of two-dimensional isotropic ferromag-nets /1 JETP Lett. 1975. - Vol. 22, no. 10. - Pp. 245-247.

95. R. F. Dashen, B. Hasslacher, A. Neveu. Particle spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques // Phys. Rev. D.— 1975.— Vol. 11, no. 12.— Pp. 3424-3450.

96. R. Rajaraman, E. J. Weinberg. Internal symmetry and the semiclassical method in quantum field theory 11 Phys. Rev. D. 1975. - Vol. 11, no. 10. - Pp. 2950-2966.

97. M. Абрамовиц, И. Стиган. Справочник по специальным функциям. — Москва: Наука, 1979.

98. J. К. Perring, Т. Н. R. Skyrme. A model unified field equation // Nucl. Phys. — 1962.— Vol. 31.-Pp. 550-563.

99. E. Radu, M. S. Volkov. Stationary ring solitons in field theory Knots and vortons // Phys. Rep. - 2008. - Vol. 468. - Pp. 101-151.

100. A. Kusenko, M. Shaposhnikov, P. Tinyakov. Sufficent conditions for the existence of Q-balls in gauge theories // JETP Lett. — 1998. — Vol. 67, no. 4. — Pp. 229-232.

101. K. N. Anagnostopoulos, M. Axenides, E. G. Floratos, N. Tetradis. Large gauged Q-balls // Phys. Rev. D. 2001. - Vol. 64. - P. 125006.

102. T. S. Levi, M. Gleiser. Gauged fermionic Q-balls // Phys. Rev. D. — 2002.— Vol. 66.— P. 087701.

103. JI. Д. Фаддеев. Адроны из лептонов ? // Письма в ЖЭТФ,— 1975.— Т. 21.—1. C. 141-144.

104. R. Rajaraman. Intersoliton forces in weak-coupling quantum field theories // Phys. Rev.

105. D. — 1971. — Vol. 15, no. 10.- Pp. 2866-2874.

106. K. Nakamura, K. Hagiwara, K. Hikasa et al. ParticleData Group //J. Phys. G. — 2010. — Vol. 37. P. 075021.

107. А. Д. Линде. Динамическое восстановление симметрии и ограничения на массы и константы связи в модели Хиггса // Письма в ЖЭТФ. — 1976. — Т. 23. — С. 73-76.

108. S. Weinberg. Mass of the Higgs Boson // Phys. Rev. Lett.- 1976.— Vol. 36, no. 6.-Pp. 294-296.

109. N. H. Christ, Т. D. Lee. Quantum expansion of soliton solution // Phys. Rev. D. — 1975. — Vol. 12, no. 6. Pp. 1606-1627.

110. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. — Москва: Наука, 1989.

111. А. Ю. Логинов. Нетопологическая солитонная конфигурация системы трех взаимодействующих скалярных полей с глобальной абелевой U(l)xU(l) симметрией // Ядерная физика. 2007. - Т. 70, № 4. - С. 1-15.

112. А. Ю. Логинов, А. А. Сидоров, В. Н. Стибунов. Нетопологическая солитонная конфигурация системы двух взаимодействующих скалярных полей с глобальной абелевой симметрией // Известия РАН. Серия физическая.— 2009.— Т. 73, № 11.— С. 1532-1536.

113. А. Ю. Логинов. Q-кинк нелинейной 0(3) сг-модели с явно нарушенной симметрией // Ядерная физика. — 2011. — Т. 74, № 5. С. 766-780.

114. А. Ю. Логинов. Заряженный нетопологический солитон SU(2) х U( 1) калибровочной модели // ЖЭТФ. 2012. - Т. 141, № 1. - С. 56-70.

115. A. Yu. Loginov // Nucleus 2008: Fundamental problems of nuclear physics, Moscow, 2008 / Ed. by A. K. Vlasnikov. — Moscow: Moscow State University, 2008. — P. 207.

116. A. Yu. Loginov // Nucleus 2009: Fundamental problems of nuclear physics, Cheboksary,2009 / Ed. by A. K. Vlasnikov. — Cheboksary: St. Petersburg State University, 2009. — P. 203.

117. A. Yu. Loginov // Nucleus 2010: Fundamental problems of nuclear physics, St. Petersburg,2010 / Ed. by A. K. Vlasnikov. — St. Petersburg: St. Petersburg State University, 2010. — P. 215.