Точные решения в пятимерных и шестимерных супергравитациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Щерблюк, Николай Геннадьевич

• Щерблюк, Николай Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щерблюк, Николай Геннадьевич

Введение

1 Супергравитации в 5 и 6 измерениях

1.1 Бозонный сектор 5D супергравитации с векторными мультиплетами.

1.2 5D [/(I)3 супергравитация.

1.2.1 Модель.

1.2.2 D5 - D4 редукция.

1.3 Некоторые теории в шестимерии

2 Трёхмерные сг-модели

2.1 50(4, 4) сг-модель из Dll - Db - D3 редукции.

2.1.1 Дуализация и скрытые симметрии

2.1.2 Матричное представление косета.

2.1.3 Изометрии пространства-мишени.

2.2 50(4,4) сг-модель из D6 — DS редукции.

2.2.1 Дуализация и скрытые симметрии

2.2.2 Матричное представление косета.

2.3 Частный случай: 50(4,3) сг-модель.

2.3.1 D11-D5-D3 редукция.

2.3.2 D6 - DS редукция.

2.3.3 Погружение 50(4;3) в SO(4,4).

2.4 Частный случай: 2.2) сг-модель.

3 Техника генерации решений

3.1 Общая методика.

3.1.1 Асимптотические условия.

3.2 D = 5 решения с топологией горизонта SB.

3.3 D = 5 решения с топологией горизонта S2 х S1.

3.3.1 Чёрное кольцо с одним угловым моментом

3.3.2 Чёрное кольцо с двумя угловыми моментами

3.4 D = 5 решения с топологией горизонта сплющенной 3-сферы

3.4.1 От метрики Керра к метрике Рашида.

3.4.2 Заряженная дионная чёрная дыра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные решения в пятимерных и шестимерных супергравитациях»

Как известно, в современной теоретической физике основным кандидатом на роль главной теории, объединяющей все известные и неизвестные взаимодействия, является мифическая М-теория [1]. Эта теория, существующая в одиннадцати измерениях, возникла после того, как теоретики поняли, что пять различных теорий суперструн связаны между собой дуальными симметриями (дуальностями). Одной из таких симметрий является Т-дуальность [2], связывающая различные струнные теории при их компактификации. Так, компактификация струны на многомерный тор связана преобразованием симметрии с ее компактификацией на другой тор, находящийся в таком же отношении к исходному, что и обратная решетка в кристалле по отношению к прямой. Например, если компактификация струнной теории типа IIA осуществляется на окружность, то Т-дуальность переведёт эту теорию в теория типа IIB, но компактифицированную на окружность обратного радиуса. Важным достижением было также и то, что струнные теории с различным количеством суперсимметрии удалось связать при их компактификации на более сложные многообразия, допускающие спинорные структуры: ориентифолды, Кз, пространства Калаби-Яу. Во всех этих случаях Т-дуальность отображает область слабой связи одной теории в область слабой связи другой и поэтому может быть проверена в рамках пертубативной теории струн. Также оказалось, что существует еще целый класс симметрий теорий, или эквивалентность различных теорий, не очевидных в их первоначальной формулировке и проявляющихся на существенно непертубативном уровне. Эти дуальности не только связывают между собой различные теории струн, но и позволяют получать предсказания в области, где струнная константа связи велика (и, следовательно, пертубативная теория неприменима), основываясь на вычислениях, сделанных при слабой связи в дуальной теории. Примером такой существенно непертубативной симметрии является S-дуальность, которая объединяет между собой теории с эффективными константами взаимодействия g и 1 /д. 5-дуальность — обобщение известной в четырёхмерных полевых теориях электро-магнитной дуальности, которая меняет электричекое поле на магнитное, и соответственно заряженные частицы на магнитные монополи. В середине 90-х было понято, что и S-и Т-дуальности объединяются в более широкую симметрию, получившую название U-дуальности. Впервые в контексте струнных теорий она была введена в работе [3] Халлом и Таунсендом. Они предположили, что группа дуальности струнной теории типа II, компактифицированной на (-/-мерный тор, будет содержать в себя группы S- и Г-дуальностей и определяться дискретной подгруппой группы симметрии (10 — d)-мерной максимальной супергравитации. Такие группы симметрий в максимальных супергравитациях подробно исследовались Креммером и Жюлиа [4,5].

В данной работе нас будет интересовать низкоэнергетический предел А/-теории — 11D супергравитация (SUGRA). Актуальность её изучения связана с тем, что многие свойства струнных теорий такие, как дуальности и солитонные решения типа D- и р-бран, также присутствуют и в супергравитационном пределе. Одиннадцатимерная супергравитация имеет длинную историю. Её классическое действие впервые было построено Креммером, Жюлиа и Шерком [6], и после изучения компактификаций теории в низшие размерности возникла надежда, что найдена долгожданная теория всех взаимодействий. Однако, столкнувшись с рядом проблем (например, наличие аномалий при квантовании или неправдоподобное значение предсказываемой космологической постоянной), детище Креммера, Жюлиа и Шерка в течение десятилетия отошло на второй план. Интерес к теории возродился во время так называемой "второй суперструнной революции" 1995 года, когда как раз и было понято, что 11D SUGRA — это классический предел, возможно, чего-то более фундаментального.

Поскольку наблюдаемое пространство-время является единым четырёхмерным многообразием, то и М -теорию, и различные струнные теории, и 11D супергравитацию необходмо уметь сводить ("компактифицировать") к низшим размерностям. Вид 1 i многообразия компактификации определяется требованием сохранения нужного количества суперсимметрий. Так возникает широкий класс суперсимметричных теорий (в частности супергравитаций) в различных размерностях. Одним из простейших способов получить низкоразмерную теорию — это скомпактифицировать (или размерно редуцировать) начальную модель на многомерный тор, т.е. воспользоваться идеей Калуце-Клейна [7]. Более общие редукции, например, на многообразия Калаби-Яу, проявляют схожие свойства. В результате таких манипуляций возникают теории с различным набором векторных супермультиплетов. А скаляры, входящие в мультиплеты, образуют (т.е. являются внутренними координатами) многообразия, которые, как оказывается, являются симметрическими пространствами с группами симметрий, называемыми группами [/-дуальностей (см. для обзора [4, 5, 8]). По-другому эти группы называются также группами скрытых симметрий, скрытых, потому что они явно не проявляются в высокоразмерной теории. Как было показано в [8] группы скрытых симметрий порождаются группами общекоординатных преобразований исходных нередуцированных теорий.

По вполне определённым причинам интересно сфокусировать внимание на изучении пятимерных супергравитаций. Во-первых, компактификация одиннадцатимерной М-теории к пяти измерениям аналогична хорошо изученной компактификации Е& х Е8 гетеротической струны к четырём измерениям, причём в обоих случаях в качестве составной частьи многообразия компактификации выступает одно и тоже пространство Калаби-Яу [9]. Во-вторых, пятимерная AdS-супергравитация играет немаловажную роль в контексте AdS/CFT соответствия. Кроме того, модные теории "мир на бране" [10,139-141] в простейшем варианте в качестве внешнего по отношению к бране пространства - "балка" — {англ. bulk) используют пятимерное (4+1) пространство. Важно также отметить, что существует такая пятимерная SUGRA, которая структурно очень напоминает одиннадцатимерную SUG-RA. Это так называемая D = 5 N = 2 минимальная супергравитация [11, 12]. В обеих теориях бозонный лагранжиан имеет одну и туже структуру типа теории Эйнштейна-Максвелла с членом Черна-Саймонса только с разными степенями форм полей материи. В 11D SUGRA максвелловским полем является калибровочная 3-форма, а в 5D минимальной SUGRA соответственно 1-форма. Всё это говорит о том, что изучать ^/-дуальности

М-теории можно на примере более понятных теорий в пяти измерениях.

Ещё одним важным аспектом теории суперстун и М-теории, который затрагивает данная диссертационная работа, являются точные классические солитонные решения. Суперструны/Л/-теория допускают введение как пертубативных (обычные кванты), так и непертубативных солитонных состояний. Если первые представлены около классического предела малыми флуктуациями относительно постоянной конфигурации, то классическим пределом солитона является гладкая, локализованная и топологически нетривиальная конфигурация классических полей, причем сюда входят как частицеподобные состояния типа черных дыр и монополей т'Хофта-Полякова, так и протяженные объекты. В теориях с несколькими классическими пределами солитоны и кванты могут меняться местами. Для исследования состояний непертубативных по своей природе можно отыскать нетривиальные решения классических уравнений движения низкоэнергетического приближения струнной теории. Оказывается, такие решения содержат конструкции типа р-бран [13], которые зависят только от части координат пространства-времени (координат поперечного пространства), D-браны — пространственно-временные дефекты (гиперплоскости), на которых могут оканчиваться открытые струны [14], а также их пространственноподобные аналоги — «S-браны [15,16]. Кроме того, особый интерес представляют солитонные решения в низкоэнергетическом пределе -теории, одиннадцатимерной супергравитации, к которым относятся протяженные объекты размерности 2 и 5 — М2 и М5 браны. В низших размерностях А-/-бранные решения могут давать новые конфигурации либо путём "сворачивания" вдоль продольных к мировому объёму координат, либо редукцией по направлениям, поперечным к мировому объёму. Первое приводит как к протяженным объектам типа фундаментальной струны, так и монопольным конструкциям типа чёрных дыр. Второе даёт более сложные конфигурации, представляющие собой пересечения М-бран [17,18].

Помимо многих других свойств классические решения важны и для разрешения давней проблемы теорий гравитаций: как микроскопически объяснить энтропию чёрной дыры, введённую ещё Хоукингом и Бекенштейном. Удивительным и очень важным в контексте вышеозвученной проблемы оказалось существование в пятимерии решений, нарушающих теорему единственности для чёрных дыр. Первыми ласточками оказались чёрные кольца Эмпарана и Риэла [97], т.е. чёрные дыры с тороидальным горизонтом событий. Впоследствии также были обнаружены различные конструкции, состоящие одновременно и из колец, и из дыр [99-101, 103]. Одно из последних достижений — это открытие объектов с топологией горизонта в виде "линзового" пространства {англ. lens space) [104,105].

Одним из способов нахождения точных решений уравнений движения (супер)гравитационной теории является формулировка теории в терминах нелинейной сигма-модели [19], связанной с трёхмерной гравитацией. Такая сигма-модель строится размерной редукцией в трёхмерие лагранжиана исходной многомерной теории. Как правило, редукция осуществляется на многомерный тор и приводит после подходящих дуализаций Ходжа тензорных полей материи к трёхмерному лагранжиану, состоящему из двух слагаемых: скалярной кривизны эйнштейновской гравитации и кинетического члена для набора скалярных полей. Эта последняя часть трёхмерного лагранжиана в терминах сигма-модели играет роль линейного элемента метрики многообразия, которое будет являться пространством решений уравнений сигма-модели. Если обозначить набор скалярных полей (или потенциалов), образующих многообразие сигма-модели Mrs, через {Фл}, трёхмерное пространство-время как Мз, метрики на пространствах Л4з и Mts как hij и Qab соответственно, то говорят, что отображение Ф : х' g М$ —Ф(хг) е M.ts является гармоническим, если функционал действия сигма-модели (определяемый с точностью до мультипликативной постоянной) инвариантен относительно малых деформаций функций Ф, т.е. если эти потенциалы удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа. Для техники генерации новых точных решений в многомерных обобщениях эйнштейновской гравитации представляет интерес следующее свойство сигма-модели. Действие (1) инвариантно относительно инфинитоземальных репараметризаций скалярных полей Фл

1) фа ^ фа которые геометрически интерпретируются как диффеоморфизмы многообразия Mrs- Если окажется так, что есть векторы Киллинга, то они сформируют алгебру группы изометрий G, которая будет оставлять инвариантным метрику Gab многообразия Mrs- В этом случае Mrs будет симметрическим пространством, и его можно представить в виде фактор-пространства группы глобальных симметрий G по подгруппе изотропии. Свойством симметричности многообразия сигма-модели можно воспользоваться для смещения точки Mrs, представляющей "затравочное" {англ. seed) решение многомерной теории, вдоль некоторых кривых на пространстве решений уравнений сигма-модели. Из полученных новых значений потенциалов строится затем новое решение исходной многомерной теории. Более подробно о построении точных решений на основе сигма-модельного подхода в многомерных теориях гравитации можно посмотреть в обзоре [20].

Классическим примером теории со скрытыми симметриями является четырёхмерная вакуумная эйнштейновская гравитация. С помощью размерной редукции её действия (предполагая стационарность решений) из D = 4 в D = 3 можно убедиться, что многорбразие сигма-модели будет изоморфно псевдосфере SO(2, l)/SO(2). Этот результат обобщается на случай D-мерной вакуумной гравитации. Группой U-дуальностей в трёхмерии при редукции этой теории на rf-мерный тор будет SL{D — d,R), а многообразие сигма-модели, соответственно, изоморфно SL(D — с/, R)/SO(cl). Так в пятимерии аналог вакуумной теории Эйнштейна имеет в трёхмерии группу скрытых симметрий SL(3,R), что подробно было изучено в [55-62].

При наличии в теории гравитации не только гравитона, но и других полей, многообразие сигма-модели может быть расширено, сохранив симметрическую структуру. Так, редукция четырехмерной теории Эйнштейна-Максвелла приводит к SU( 1,2) симметрии [21], действующей на четырехмерном пространстве погружения с двумя дополнительными скалярами, одним, являющимся компонентой четыре-потенциала соответствующей редуцированному измерению, вторым — следствием дуализации оставшейся трехмерной 2-формы (то есть электрический и магнитные потенциалы в случае редукции временеподобного измерения). Эта группа симметрий содержит в себе помимо иефизических калибровочных и масштабных преобразований также симметрию 5-дуальности (переводящую магнитные решения в электрические и наоборот), электрические и магнитные преобразования Харрисона (генерируют соответствующие заряды), а также их коммутатор, порождающий преобразования типа Эйлерса.

Дальнейшая редукция четырёхмерной вакуумной гравитации в двумерие в предположении стационарности и аксиальной симметричности решений приводит к нелинейной сигма-модели, связанной с 21)-дилатонной гравитацией. Группа симметрий этой модели расширяется до бесконечномерной группы Героча [22], изоморфной аффинной SL{2,М) группе Каца-Муди. При этом редуцированная система двумерных уравнений Эйнштейна оказывается полностью интегрируемой в том смысле, что для неё можно построить линейную спектральную задачу (пара Лакса), условием интегрируемости которой как раз и являются уравнения двумерной сигма-модели. Для таких сигма-моделей была разработана техника генераций решений на основе метода «обратной задачи рассеяния» {англ. «inverse scattering method»).

Помимо чистой эйнштейновской гравитации в четырёхмерии изучались различные модели, возникающие из компактификации струнных теорий. В частности, в работах [23-26] Гальцовым, Кечкиным, Шаракиным и другими исследовались такие 4D модели как, теория Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и аксионом (ЭМДА), дилатон-аксионная гравитация с произвольным набором абелевых полей и теория Эйнштейна-Максвелла с дилатоном (ЭМД) при произвольной константе связи. Их полная интегрируемость в двумерии была продемонстрирована в работе [27].

Ещё одним важным аспектом сигма-моделей и групп [/-дуальности является их применение к проблеме так называемого «космического бильярда» (см. обзор в [28, 29]). Явление космического бильярда заключается в том, что классическая динамика космологических масштабных факторов ) ~ е'1^ и дилатонов в D-мерной гравитации, связанной с р-формами, в окрестности пространственноподобной сингулярности может быть описана как движение фиктивного бильярдного шара в области гиперболического пространства, ограниченной гиперплоскостями. Оказалось, что такая модель полностью определяется структурой группы {/-дуальности. Например, скалярные поля hi{t) принимают значения в подалгебре Картана алгебры [/-дуальности, стенки, от которых отражается бильярдный шар, интерпретируются как гиперплоскости, ортогональные положительным корням алгебры [/-дуальности, отражения от стенок бильярдного стола как отражения Вейля и т.д. Эти группы дуальностей, возникающие как группы симметрий одномерных сигма-моделей, редуцируемых из многомерной гравитационной теории, определяются гиперболическими группами Каца-Муди. Было показано, что • такие одномерные сигма-модели допускают предсталение в виде пары Лакса и полностью интегрируемы [30, 31]. Кроме того, недавно было обнаружено, что супергравитационные уравнения, описывающие как космические бильярды, так и широкий класс черных дыр, являются интегрируемыми по Лиувиллю [32], что даёт новые средства для анализа черных дыр и бильярдов в теориях супергравитаций.

Данная диссертация будет посвящена построению сигма-моделей в пятимерных и шестимерных супергравитациях с целью их последующего применения для генерации новых решений. Структурно работа организована следующим образом.

В первой главе мы дадим небольшой обзор общей D — 5,N — 2 Эйнштейн-Максвелл супергравитационной теории (ЭМСГТ) с произвольным числом векторных мультиплетов и покажем, как из неё получается интересующий нас в этой диссертации частный случай пятимерная супергавитация с тремя абелевыми (U(1)л) векторными полями. С помощью калуце-клейновской редукции в D = 4 будет найдено симплектическое представление группы ^/-дуальности в четырёхмерии. Также будет уделено внимание некоторым супергравитационным моделям в шестимерии и их связи с пятимерными теориями.

Вторая глава будет акцентирована на построение трёхмерной сигма-модели пятимерной U(I)3 супергравитации. Будут даны матричные представления соответствующих косетов и классифицированы изометрии. Кроме того, мы рассмотрим различные частные случаи ко сета трёхмерной сигма-модели [/(1)л SUGRA в контексте > существования связей между теориями супергавитации в пяти и шести измерениях

В последней, третьей главе, будет представлена техника генерации новых решений в пятимерии с различным горизонтом событий. Мы получим ряд новых чёрных дыр и чёрных колец.

Основные обозначения приведены в конце диссертации.

Основные результаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в следующих журнальных статьях :

1. Bouchareb A., Clement G., Chen С.-М., Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G., Wolf Th. G2 generating technique for minimal 5D supergravity and black rings. - Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 76, no. 10. - P. 104032.

2. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Generating technique for U{lf 5D supergravity. - Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 78, no. 6. - P. 064033.

3. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Improved generating technique for D=5 supergravities and squashed Kaluza-Klein Black Holes. — Phys. Rev. D.

- 2009. - Vol. 79, no. 6. - P. 064020.

4. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Three-charge doubly rotating black ring.

- Phys. Rev. D. — 2010. — Vol. 81, no. 4. - P. 044028. сборниках статей :

5. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Hidden symmetries of non-minimal 5D supergravity. — сб. Современные проблемы теоретической физики — 2008. - Томск: Изд. ТГПУ - Сс. 171-186. тезисах конференций :

6. Galtsov D. V., Scherbluk N. G. Hidden symmetries of five-dimensional supergravity and black rings. // Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13, 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия. Сборник тезисов. — Москва: Изд. РУДН, 2008. - С. 74.

7. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Hidden symmetries in 5D supergravities and black rings. // Workshop on Black Holes in General Relativity and String Theory, Veli Losinj, Croatia, 24-30 Aug 2008: Proceedings of science. - PoS BHs,GRandStrings 2008:016.

8. Щерблюк H. Г. Чёрные кольца и поиск скрытых симметрий в пятимерных супергравитациях. // Конференция "Ломоносов-2009", секция "Физика". Сборник тезисов. — Москва: Физический факультет МГУ, 2009. - С. 239.

9. Гальцов Д. В., Щерблюк Н. Г. Заряженные чёрные кольца с двумя параметрами вращения. // Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция "Физика". Сборник тезисов докладов. — Москва: Физический факультет МГУ, 2010. — С. 108.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Щерблюк, Николай Геннадьевич

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Проведена размерная редукция пятимерной U(I)8 супергравитации в четырёхмерие и найдено симплектическое представление SL(3,М)Л группы U-дуальности в размерности D = 4.

2. Построены трёхмерные нелинейные гравитирующие сигма-модели для 5D f/(l):i супергравитации, GD супергравитации с дилатоном и полем 3-формы, а также для 6D супергравитации с автодуальной 3-формой, компактифицированных на тор. Найдены матричные представления косетов 50(4,4)/5О(4)2, 50(4,4)/50(2,2)2, 50(4,3)/(50(4) х 50(3)), 50(4.3)/(50(2,2) х 50(2,1)), G(2.2)/SL(2.R)2 и G(2:>)/S0(4), определяющих геометрию соответствующих пространств-мишеней. Указана связь между ними, отражающая соотношения дуальности между названными теориями в пяти и шести измерениях.

3. На основе действия групп изометрий пространств-мишеней построенных трехмерных трёхмерных сигма-моделей разработана техника генерации точных решений в указанных теориях, обладающих различным асимптотическим поведением. Найдены классы преобразований, сохраняющие асимптотическое поведение следующих типов: 1) плоскую метрику в различных координатных системах; 2) локально плоскую метрику, представляющую нетривиальное 51 расслоение над четырёхмерным пространством-временем Минковского.

4. Развитая техника применена к проблеме черных дыр с различной топологией горизонта событий. Построено новое решение пятимерной супергравитации с тремя векторными полями, описывающее черную дыру с тремя независимыми зарядами и двумя независимыми параметрами вращения.

5. Впервые построено решение для пятимерного черного кольца с тремя зарядами и двумя независимыми угловыми моментами. Предложен способ устранения конических сингулярностей Дирака-Мизнера и показано, что несингулярное решение допускает интерпретацию в виде некоторого решения шестимерных вакуумных уравнений Эйнштейна.

6. Найден новый класс заряженных пятимерных чёрных дыр с топологией горизонта "сплющенной" 3-сферы, которые интерполируют между истинно пятимерными черными дырами вблизи горизонта событий и асимптотическими решениями в виде четырехмерных дыр, вытянутых вдоль дополнительного измерения.

Автор выражает искреннюю благодарность Дмитрию Владимировичу Гальцову за поставленную интересную задачу, за научное руководство в процессе её решения, за терпение и готовность всегда помочь. Автор также высоко оценивает научное сотрудничество с иностранными коллегами: Чанг-Меем Ченом (Chen Chiang-Mei — National Central University, Taiwan, Assistant professor) и Жераром Клеманом (Gerard Clement — LAPTH Annecy-le-View (France), Professor).

Автор глубоко благодарен E. M. Мурчиковой за предоставленный образец оформления диссертации, А. В. Борисову, Ю. С. Владимирову, Д. В. Гальцову, Ю. В. Грацу, В. Ч. Жуковскому, К. А. Казакову, Б. К. Керимову, JI. С. Кузьменкову, О. С. Павловой, П. И. Пронину, Г. А. Сарданашвили, А. А. Славнову, К. В. Степаньянцу, А. И. Студеникину за замечательные лекции и семинары, давшие автору неповторимый источник знаний, за внимание и готовность всегда ответить на любые студенческие вопросы, а также Г. JI. Октябрьской и Н. А. Соколовой за чуткое отношение. И, наконец, нельзя не поблагодарить разработчиков программы символьных вычислений «Maple». Без их творения многие результаты данной диссертации могли быть получены автором только за время, сравнимое с временем жизни человека.

Основные обозначения и определения

В данной диссертационной работе принята сигнатура в D-мерном пространстве-времени с большим числом плюсов

-,+,+.,+).

Дифференциальную форму А степени р на многообразии с базисными 1-формами dx1' определим как

А = —А.,, и dx1'1 Л . Л dxflp. р J t'l—Hv

Ковариантная полностью антисимметричная тензорная плотность Леви-Чивиты в D-мерном пространстве выбрана в виде cln.4iD = (+1, -1, 0), . = 0.1, • • •, D - 1 и нормирована ео.£>-1 = 1

Контравариантная тензорная плотность Леви-Чивиты есть где t — число времениподобных координат.

Полностью антисимметричные ковариантный и контравариантный тензоры Леви-Чивиты на D-мерном пространстве с метрикой gflv определены как соответственно.

Дуальный оператор Ходжа в D-мерном пространстве переводит р-форму А в (D — р)-форму (*d-4) по правилу ir*

Дуальный оператор Ходжа, применённый к числу 1 обозначается как

-ко 1 = ео и выражает инвариантный относительно общих координатных преобразований элемент объёма 1 eD = —f^^dx^ Л . Л dxl'D = = y/\g\dx° Л . Л dxD~l = y/\g\dDx.

D-форма из базисный 1-форм dx!' есть dxfil Л . Л dxf'D = (-1 Ys^-'iDeD.

Оператор Ходжа, применённый дважды к р-формс А, даст

А = (~i)f+p(D-i>) А.

Для любых двух форм А и В степени р верно d А Л В = *d В Л А = I(А^В""*») 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щерблюк, Николай Геннадьевич, 2010 год

1. Witten Е. String theory dynamics in various dimensions. — Nucl. Phys. B. - 1995. - Vol. 443, no. 1-2. - Pp. 85-126.

2. Giveon A., Porrati M., Rabinovici E. Target space duality in string theory. Phys. Rep. - 1994. - Vol. 244, no. 2-3. - Pp. 77-202.

3. Hull С. M., Townsend P. K. Unity of superstring dualities. — Nucl. Phys. В.- 1995.-Vol. 438, no. 1-2.-Pp. 109-137.

4. Cremmer E., Julia В., Lii H., Pope C. N. Dualisation of dualities. I. — Nucl. Phys. В.- 1998.-Vol. 523, no. 1-2.- Pp. 73-144.

5. Cremmer E., Julia В., Lii H., Pope C. N. Dualisation of dualities. II: Twisted self-duality of doubled fields and superdualities. — Nucl. Phys. B. 1998. - Vol. 535, no. 1-2. - Pp. 242-292.

6. Cremmer E., Julia В., Scherk J. Supergravity Theory in Eleven-Dimensions. Phys. Lett. B. - 1978. - Vol. 76, no. 4. - Pp. 409-412.

7. Pope C. N. Lectures on Kaluza-Klein Theory.— Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://faculty.physics.tamu.edu/pope/ihplec.pdf (дата обращения: 20.03.2010).

8. Lavrinenko I. V., Lii H., Pope C. N., Tran T. A. U-duality as general coordinate transformations, and spacetime geometry. — Int. J. Mod. Phys. A. 1999.-Vol. 14, no. 31.-Pp. 4915-4942.

9. Witten E. Strong Coupling Expansion Of Calabi-Yau Compactification. — Nucl Phys. В.- 1996.- Vol. 471, no. 1-2.- Pp. 135-158.

10. Rubakov V. A., Shaposhnikov М. Е. Do we live inside a domain wall?— Phys. Lett. В. 1983.-Vol. 125, no. 2-3.- Pp. 136-138.

11. Cremmer E. Supergravities in 5 dimensions 11 Superspace and Supergrav-ity / Ed. by Hawking S. W., Rocek M. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1981.-P. 267.

12. Chamseddinc A. H., Nicolai H. Coupling the SO(2) supergravity through dimensional reduction. — Phys. Lett. B. — 1980. — Vol. 96, no. 1-2. — Pp. 89-93.

13. Argurio R. Brane physics in M-theory // Ph. D. Thesis. — Bruxelles: Uni-versite Libre de Bruxelles, 1998,— Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://arxiv.org/pdf/hep-th/9807171v2 (дата обращения: 20.03.2010).

14. Polchinski J. Lectures on D-branes. — 1996 Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://arxiv.org/pdf/hep-th/9611050v2 (дата обращения: 20.03.2010).

15. Gutperle M., Strominger A. Spacelike branes.— JHEP.~ 2002,— Vol. 2002, no. 04.-P. 018.

16. Ivashchuk V. D. Composite S-brane solutions related to Toda-type systems. Class. Quant. Grav2003. - Vol. 20, no. 2. - Pp. 261-276.

17. Gauntlett J. P. Intersecting branes.— 1997 Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://arxiv.org/pdf/hep-th/9705011 (дата обращения: 20.03.2010).

18. Ivashchuk V. D., Melnikov V. N. Intersecting p-brane solutions in multidimensional gravity and M-theory. — Grav. CosmoL— 1996.— Vol. 2, no. 4. Pp. 297-305.

19. Breitenlohner P., Maison D. On nonlinear sigma-models arising in (super-gravity.- Commun. Math. Phys 2000.- Vol. 209, no. 3.— Pp. 785810.

20. Ivashchuk V. D., Melnikov V. N. Exact solutions in multidimensional gravity with antisymmetric forms. — Class. Ouant. Grav— 2001.— Vol. 18, no. 20.-Pp. R87-R152.

21. Mazur P. O. Black hole uniqueness theorems 11 Proceedings of the 11th International Conference on General Relativity and Gravitation / Ed. by MacCallum M. A. H. — Cambridge: University Press, 1987.— Pp. 130157.

22. Breitenlohner P., Maison D. On The Geroch Group. — Annates Poincare Phys. Theor.- 1987,- Vol. 46, no. 2.- Pp. 215-246.

23. Gal'tsov D. V., Kechkin О. V. Hidden symmetries in Dilaton-Axion Gravity // Geometry and Integrable Models / Ed. by Pyatov P. N., Solo-dukhin S. N. Dubna: World Scientific, 1996. - Pp. 78-95.

24. Gal'tsov D. V., Sharakin S. A. Matrix Ernst potentials for EMDA with multiple vector fields. Phys. Lett. B. - 1997. - Vol. 399, no. 3-4. - Pp. 250-257.

25. Gal'tsov D. V., Garcia A. A., Kechkin О. V. Symmetries of the stationary Einstein- Maxwell-dilaton Theory. — Class. Quant. Grav. — 1995. — Vol. 12, no. 12.-Pp. 2887-2903.

26. Gal'tsov D. V., Letelier P. S. Ehlers-Harrison transformations and black holes in dilaton-axion gravity with multiple vector fields. — Phys. Rev. D. 1997. - Vol. 55, no. 6. - Pp. 3580-3592.

27. Gal'tsov D. V. Integrable Systems In Stringy Gravity. — Phys. Rev. Lett. — 1995. Vol. 74, no. 15. - Pp. 2863-2866.

28. Damour Т., Henneaux M., Nicolai H. Cosmological billiards. — Class. Quant. Grav. 2003. - Vol. 20. - Pp. R145-R200.

29. Ivashchuk V. D., Melnikov V. N. On billiard approach in multidimensional cosmological models.— Grav. Cosmol.— 2009.— Vol. 15, no. 1.— Pp. 49-58.

30. Fre P., Sorin A. S. Integrability of supergravity billiards and the generalized Toda lattice equation. — Nucl. Phys. B. — 2006. — Vol. 733, no. 3. — Pp. 334-355.

31. Fre' P., Sorin A. S. The arrow of time and the Weyl group: all supergravity billiards are integrable. — 2007 Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://arxiv.org/pdf/0710.1059 (дата обращения: 20.03.2010).

32. Cadavid A. C., Ceresole A., D'Auria R., Ferrara S. Eleven-dimensional supergravity compactified on Calabi-Yau threefolds. — Phys. Lett. B. — 1995,- Vol. 357, no. 1-2.- Pp. 76-80.

33. Gunaydin M., Sierra G., Townsend P. K. Exceptional Supergravity Theories And The Magic Square. — Phys. Lett. В.— 1983.— Vol. 133, no. 1-2.- Pp. 72-76.

34. Gunaydin M., Sierra G., Townsend P. K. The Geometry Of N=2 Maxwell-Einstein Supergravity And Jordan Algebras. — Nucl. Phys. В.— 1984. — Vol. 242, no. 1.- Pp. 244-268.

35. McCrimmon K. Jordan algebras and their applications.— Bull. Amen Math. Soc. 1978. - Vol. 84, no. 4. - Pp. 612-627.

36. Baez John C. The octonions. — Bull. Amer. Math. Soc. — 2002. — Vol. 39. Pp. 145-205.

37. Pioline B. Lectures on on black holes, topological strings and quantum attractors. Class. Quant. Grav. - 2006. - Vol. 23, no. 21. - P. S981.

38. Chou A. S., Kallosh R., Rahmfeld J., Rey S. J., Shmakova M., Wong W. K. Critical points and phase transitions in 5d compactifica-tions of M-theory.- Nucl. Phys. В.- 1997.- Vol. 508, no. 1.- Pp. 147-180.

39. Sabra W. A. General BPS black holes in five dimensions. — Mod. Phys. Lett. A. — 1998. — Vol. 13, no. 3.-Pp. 239-251.

40. Fre P. Lectures on Special Kahler Geometry and Electric-Magnetic Duality Rotations. — Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 1996. — Vol. 45, no. 2-3. -Pp. 59-114.

41. Breitenlohner P., Maison D., Gibbons G. 4-Dimensional Black Holes from Kaluza-Klein theories. — Commun. Math. Phys. — 1987.— Vol. 120, no.2.-Pp. 295-334.

42. Cremmer E., Julia В., Lii H., Pope C. N. Higher-dimensional origin of D = 3 coset symmetries.— 1999 Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://arxiv.org/pdf/hep-th/9909099 (дата обращения: 20.03.2010).

43. Gal'tsov D. V., Rytchkov O. A. Generating branes via sigma-models.— Phys. Rev. D. — 1998.- Vol. 58, no. 12.- P. 122001.

44. Gilmore R. Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications. — New York: John Wiley & Sons., 1974. P. 292.

45. Барут А., Рончка P. Теория представления групп и её приложения / пер. с англ. М.: Мир, 1980. - Т. 1 - с. 60.

46. Maison D. Ehlers-Harrison type transformations for Jordan's extended theory of gravitation. — Gen. Rel. Grav. — 1979.— Vol. 10, no. 8.— Pp. 717-723.

47. Ernst F. J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. Phys. Rev. - 1968. - Vol. 167, no. 5. - Pp. 1175-1178.

48. Ernst F. J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II.- Phys. Rev. 1968. - Vol. 168, no. 5. - Pp. 1415-1417.

49. Kinnersley W. Generation of stationary Einstein-Maxwell fields.— J. Math. Phys. 1973. - Vol. 14, no. 5. - Pp. 651-653.

50. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. I.-J. Math. Phys. 1977.- Vol. 18, no. 8.- Pp. 1529-1537.

51. Neugebauer G., Kramer D. A method for the construction of stationary Einstein-Maxwell fields.— Ann. der Physik (Leipzig).— 1969.— Vol. 24. — P. 62. — (на нем. языке).

52. Mazur Р. О. A relationship between the electrovacuum Ernst equations and nonlinear sigma model. — Acta Phys. Polon. В.— 1983.— Vol. 14, no. 4.-P. 219.

53. Eris A., Giirses M., Karasu A. Symmetric space property and an inverse scattering formulation of the SAS Einstein-Maxwell field equations. — J. Math. Phys. — 1984. — Vol. 25, no. 5.-Pp. 1489-1495.

54. Keurentjes A. The group theory of oxidation. — Nucl. Phys. B. — 2003. — Vol. 658, no. 3.- Pp. 303-347.

55. Keurentjes A. The group theory of oxidation. II: Cosets of non-split groups. Nucl. Phys. B. - 2003. - Vol. 658, no. 3. - Pp. 348-372.

56. Bouchareb A., Clement G., Chen C-M., Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G., Wolf Th. G2 generating technique for minimal 5D supergravity and black rings. Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 76, no. 10. - P. 104032.

57. Clement G. The symmetries of five-dimensional minimal supergravity reduced to three dimensions. — Journ. Math. Phys. — 2008. — Vol. 49, no. 4. P. 042503. - Erratum-ibid.49:079901,2008.

58. Compere G., de Buyl S., Jamsin E., Virm A. G2 Dualities in D=5 Super-gravity and Black Strings. — Class. Quant. Grav. — 2009. — Vol. 26, no. 12.-P. 125016.

59. Possel M. Hidden symmetries in five-dimensional supergravity // Ph. D. Thesis. — Hamburg: Univ. Hamburg, 2003.

60. Possel M., Silva S. Hidden symmetries in minimal five-dimensional supergravity. Phys. Lett. B. - 2004. - Vol. 580, no. 3-4. - Pp. 273-279.

61. Cecotti S., Ferrara S., Girardello L. Geometry of Type II Superstrings and the Moduli of Superconformal Field Theories. — Int. J. Mod. Phys. A. 1989.- Vol. 4, no. 10,- Pp. 2475-2529.

62. Bodner M., Cadavid A. C. Dimensional Reduction Of Type IIB Supergravity And Exceptional Quaternionic Manifolds.— Class. Quant. Grav. 1990. - Vol. 7, no. 5. - Pp. 829-845.

63. Mizoguchi S., Ohta N. More on the similarity between D = 5 simple supergravity and M theory.— Phys. Lett. В.— 1998.— Vol. 441, no. 1-4.-Pp. 123-132.

64. Mizoguchi S., Schroder G. On discrete U-duality in M-theory. — Class. Quant. Grav. 2000.- Vol. 17, no. 4.- Pp. 835-870.

65. Gunaydin M., Neitzke A., Pavlyk O., Pioline B. Quasi-conformal actions, quaternionic discrete series and twistors: SU(2,1) and Go(2). — Commun. Math. Phys. 2008. - Vol. 283, no. 1. - Pp. 169-226.

66. Dasgupta K., Hussin V., Wissanji A. Quaternionic Kahler Manifolds, Constrained Instantons and the Magic Square. I. — Nucl. Phys. B. — 2008. — Vol. 793, no. 1-2.-Pp. 34-82.

67. Giusto S., Saxena A. Stationary axisymmetric solutions of five-dimensional gravity. — Class. Quant. Grav. — 2007. — Vol. 24, no. 17. — Pp. 4269-4294.

68. V. Pravda, A. Pravdova and M. Ortaggio. Type D Einstein spacetimes in higher dimensions.— Class. Quant. Grav. — 2007.— Vol. 24, no. 17.— Pp. 4407-4428.

69. Tangherlini F. R. Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem. — Nuovo Cim.— 1963.— Vol. 27, no. 3.— Pp. 636-651.

70. Cacciatori S. L., Celi A. New constraint for black holes in N = 2, D = 5 supergravity with matter.— 2004 Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://arxiv.org/pdf/hep-th/0405284 (дата обращения: 20.03.2010).

71. Bellorin J., Meessen P., Ortin T. All the supersymmetric solutions of N = 1, d = 5 ungauged supergravity. JHEP. - 2007. - Vol. 2007, no. 01. -P. 020.

72. Cvetic M., Youm D. General Rotating Five Dimensional Black Holes of Toroidally Compactified Heterotic String. — Nucl. Phys. B. — 1996. — Vol. 476, no. 1-2.- Pp. 118-132.

73. Ida D., Uchida Y. Stationary Einstein-Maxwell fields in arbitrary dimensions. Phys. Rev. D. - 2003. - Vol. 68, no. 10. - P. 104014.

74. Cvetic M., Lu H., Pope C. N. Charged rotating black holes in five dimensional U(l)3 gauged N=2 supergravity. — Phys. Rev. D. — 2004. — Vol. 70, no. 8.-P. 081502.

75. Morisawa Y., Ida D. A boundary value problem for the five-dimensional stationary rotating black holes. — Phys. Rev. D. — 2004. — Vol. 69, no. 12.- P. 124005.

76. Kunz J., Navarro-Lerida F. D=5 Einstein-Maxwell-Chern-Simons black holes. Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol. 96, no. 8. - P. 081101.

77. Aliev A. N. Rotating black holes in higher dimensional Einstein-Maxwell gravity. Phys. Rev. D. - 2006. - Vol. 74, no. 2. - P. 024011.

78. Kunz J., Navarro-Lerida E, Petersen A. K. Five-dimensional charged rotating black holes. Phys. Lett. В.— 2005.- Vol. 614, no. 1-2,- Pp. 104-112.

79. Kunz J., Navarro-Lerida F. Non-uniqueness, counterrotation, and negative horizon mass of Einstein-Maxwell-Chern-Simons black holes. — Mod. Phys. Lett. A. 2006. - Vol. 21, no. 35. - Pp. 2621-2636.

80. Kunz J., Navarro-Lerida F. Negative horizon mass for rotating black holes. Phys. Lett. B. - 2006. - Vol. 643, no. 1. - Pp. 55-63.

81. Kunz J., Maison D., Navarro-Lerida F., Viebahn J. Rotating Einstein-Maxwell-dilaton black holes in D dimensions. — Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 639, no. 2.-Pp. 95-100.

82. Kunz J., Navarro-Lerida F., Viebahn J. Charged rotating black holes in odd dimensions. — Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 639, no. 3-4. — Pp. 362-367.

83. Mei J., Pope C. N. New Rotating Non-Extremal Black Holes in 5D Maximal Gauged Supergravity. — Phys. Lett. B. — 2007. — Vol. 658, no. 1-3.-Pp. 64-70.

84. Kleihaus В., Kunz J., Navarro-Lerida F. Rotating Black Holes in Higher Dimensions.-AIP Conf. Proc.- 2008.- Vol. 977, no. 1. Pp. 94-115.

85. Emparan R., Reall H. S. Black Holes in Higher Dimensions. — Living Rev. Rel. 2008. - Vol. 11, no. 6.

86. Myers R. С., Репу M. J. Black Holes In Higher Dimensional Space-Times. Annals Phys. - 1986. - Vol. 172, no. 2. - Pp. 304-347.

87. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Generating technique for U(lfbD supergravity. Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 78, no. 6. - P. 064033.

88. Emparan R., Reall H. S. A rotating black ring in five dimensions. — Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88, no. 10. - P. 101101.

89. Emparan R., Reall H. S. Black rings. — Class. Quant. Grav. — 2006.— Vol. 23,no. 20.-P. R169.

90. Elvang H., Figueras P. Black Saturn. JHEP. - 2007. - Vol. 2007, no. 05. - P. 050.

91. Yazadjiev S. S. Black Saturn with dipole ring. — Phys. Rev. D. — 2007. -Vol. 76, no. 6.-P. 064011.

92. Evslin J., Krishnan C. The black di-ring: an inverse scattering construction. Class. Quant. Grav. - 2009. - Vol. 26, no. 12. - P. 125018.

93. Iguchi H., Mishima T. Black di-ring and infinite nonuniqueness.— Phys. Rev. D.— 2007,- Vol. 75, 110. 6,- P. 064018.- Erratum-ibid.D78:069903,2008.

94. Elvang H., Rodriguez M. J. Bicycling Black Rings. — JHEP. — 2008,-Vol. 2008, no. 04.- P. 045.

95. Lii H., Mei J., Pope C. N. New Black Holes in Five Dimensions. — Nucl. Phys. B. 2008. - Vol. 806, no. 1-2. - Pp. 436-455.

96. Lii H., Mei J., Pope C. N. New Charged Black Holes in Five Dimensions. — Class. Quant. Grav. — 2010. — Vol. 27, no. 7. — P. 075013.

97. Harmark Т. Stationary and axisymmetric solutions of higher-dimensional general relativity. Phys. Rev. D. - 2004. - Vol. 70, no. 12. - P. 124002.

98. Iguchi H., Mishima T. Solitonic generation of five-dimensional black ring solution. Phys. Rev. D. - 2006. - Vol. 73, no. 12. - P. 121501.

99. Tomizawa S., Iguchi H., Mishima T. Relationship between solitonic solutions of five-dimensional Einstein equations. — Phys. Rev. D. — 2006. —■ Vol. 74, no. 10,- P. 104004.

100. Tomizawa S., Nozawa M. Vaccum solutions of five-dimensional Einstein equations generated by inverse scattering method. II: Production of black ring solution. Phys. Rev. D. - 2006. - Vol. 73, no. 12. - P. 124034.

101. Koikawa T. Infinite number of soliton solutions to 5-dimensional vacuum Einstein equation. — Prog. Theoi: Phys. — 2005. — Vol. 114, no. 4. — Pp. 793-803.

102. Pomeransky A. A. Complete integrability of higher-dimensional Einstein equations with additional symmetry, and rotating black holes.— Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73, no. 4. - P. 044004.

103. Pomeransky A. A., Sen'kov R. A. Black ring with two angular momenta. — 2007 Электронный ресурс. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader.— URL: http://arxiv.org/pdf/hep-th/0612005 (дата обращения: 20.03.2010).

104. Azuma Т., Koikawa Т. Infinite number of stationary soliton solutions to five-dimensional vacuum Einstein equation. — Prog. Theor. Phys. — 2006.-Vol. 116, no. 2.-Pp. 319-328.

105. Mishima Т., Iguchi H. New axisymmetric stationary solutions of five-dimensional vacuum Einstein equations with asymptotic flatness. — Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73, nor4. - P. 044030.

106. Tomizawa S., Morisawa Y., Yasui Y. Vacuum solutions of five dimensional Einstein equations generated by inverse scattering method. — Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73, no. 6. - P. 064009.

107. Tomizawa S., Morisawa Y., Yasui Y. Boundary Value Problem for Black Rings. — Phys. Rev. D. 2008. - Vol. 77, no. 6,- P. 064019.

108. Elvang H., Emparan R., Figueras P. Phases of Five-Dimensional Black Holes. JHEP. - 2007. - Vol. 2007, no. 05. - P. 056.

109. Elvang H. A charged rotating black ring. — Phys. Rev. D. — 2003. — Vol. 68, no. 12.-P. 124016.

110. Emparan R. Rotating circular strings, and infinite non-uniqueness of black rings. JHEP. - 2004. - Vol. 2004, no. 03. - P. 064.

111. Yazadjiev S. S. Completely integrable sector in 5D Einstein-Maxwell gravity and derivation of the dipole black ring solutions. — Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73, no. 10.- P. 104007.

112. Yazadjiev S. S. Solution generating in 5D Einstein-Maxwell-dilaton gravity and derivation of dipole black ring solutions. — JHEP. — 2006. — Vol. 2006, no. 07. P. 036.

113. Yazadjiev S. S. Rotating dyonic dipole black rings: exact solutions and thermodynamics. — Gen. Rel. Grav. — 2007. — Vol. 39, no. 5. — Pp. 601-620.

114. Yazadjiev S. S. 5D Einstein-Maxwell solitons and concentric rotating dipole black rings. Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 78, no. 6. - P. 064032.

115. Belinsky V., Ruffini R. On axially symmetric soliton solutions of the coupled scalar vector tensor equations in general relativity. — Phys. Lett. B. 1980. - Vol. 89, no. 2. - Pp. 195-198.

116. Mateos D., Townsend P. K. Supertubes. Phys. Rev. Lett. - 2001. - Vol. 87, no. l.-P. 011602.

117. Giusto S., Mathur S. D., Saxena A. Dual geometries for a set of 3-charge microstates. Nucl. Phys. B. - 2004. - Vol. 701, no. 1-2. - Pp. 357-379.

118. Giusto S., Mathur S. D., Srivastava Y. K. A microstate for the 3-charge black ring. Nucl. Phys. В. - 2007. - Vol. 763, no. 1-2. - Pp. 60-90.

119. Emparan R., Mateos D., Townsend P. K. Supergravity supertubes.— JHEP.- 2001. -Vol. 2001, no. 07.- P. Oil.

120. Elvang H., Emparan R. Black rings, supertubes, and a stringy resolution of black hole non-uniqueness. — JHEP. — 2003.— Vol. 2003, no. 11.— P. 035.

121. Bena I., Kraus P. Three charge supertubes and black hole hair. — Phys. Rev. D. 2004. - Vol. 70, no. 4. - P. 046003.

122. Bena I. Splitting hairs of the three charge black hole. — Phys. Rev. D. — 2004,- Vol. 70, no. 10.-P. 105018.

123. Elvang H., Emparan R., Mateos D., Reall H. S. A Supersymmetric black ring. Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol. 93, no. 21. - P. 211302.

124. Elvang H., Emparan R., Mateos D., Reall H. S. Supersymmetric black rings and three-charge supertubes. — Phys. Rev. D. — 2005. — Vol. 71, no. 2.-P. 024033.

125. Bena I., Warner N. P. One ring to rule them all . and in the darkness bind them?. Adv. Theor. Math. Phys. - 2005. - Vol. 9. - Pp. 667-701.

126. Gauntlett J. P., Gutowski J. B. General concentric black rings. — Phys. Rev. D. 2005. - Vol. 71, no. 4. - P. 045002.

127. Elvang H., Emparan R., Figueras P. Non-supersymmetric black rings as thermally excited supertubes. JHEP. - 2005. - Vol. 2005, no. 02. - P. 031.

128. Hoskisson J. A Charged Doubly Spinning Black Ring. — Phys. Rev. D. — 2009.- Vol. 79, no. 10.- P. 104022.

129. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Three-charge doubly rotating black ring. Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 81, no. 4. - P. 044028.

130. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. The Hierarchy problem and new dimensions at a millimeter. — Phys. Lett. В. — 1998. — Vol. 429, no. 3-4. Pp. 263-272.

131. Randall L., Sundrum R. A Large mass hierarchy from a small extra dimension. Phys. Rev. Lett. - 1999.- Vol. 83, no. 17.- Pp. 33703373.

132. Randall L., Sundrum R. An Alternative to compactification. — Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83, no. 23. - Pp. 4690-4693.

133. Ishihara H., Matsuno K. Kaluza-Klein black holes with squashed horizons. Prog. Theor. Phys. - 2006. - Vol. 116, no. 2. - Pp. 417-422.

134. Cai R. G., Cao L. M., Ohta N. Mass and thermodynamics of Kaluza-Klein black holes with squashed horizons. — Phys. Lett. B. — 2006. — Vol. 639, no. 3-4.-Pp. 353-361.

135. Wang T. A Rotating Kaluza-Klein black hole with squashed horizons. — Nucl. Phys. B. 2006. - Vol. 756, no. 1-2. - Pp. 86-99.

136. Nakagawa Т., Ishihara H., Matsuno K., Tomizawa S. Charged Rotating Kaluza-Klein Black Holes in Five Dimensions. — Phys. Rev. D. — 2008. — Vol. 77, no. 4. P. 044040.

137. Tomizawa S., Ishihara H., Matsuno K., Nakagawa T. Squashed Kerr-Godel Black Holes: Kaluza-Klein Black Holes with Rotations of Black Hole and Universe. — Prog. Theor. Phys. — 2009.— Vol. 121, no. 4.— Pp. 823-841.

138. Matsuno K., Ishihara H., Nakagawa Т., Tomizawa S. Rotating Kaluza-Klein Multi-Black Holes with Godel Parameter.— Phys. Rev. D.— 2008.-Vol. 78, no. 6.-P. 064016.

139. Tomizawa S., Ishibashi A. Charged Black Holes in a Rotating Gross-Perry-Sorkin Monopole Background. — Class. Quant. Grav. — 2008. — Vol. 25,no. 24.-P. 245007.

140. Tomizawa S., Yasui Y., Morisawa Y. Charged Rotating Kaluza-Klein Black Holes Generated by G2(2) Transformation.— Class. Quant. Grav. 2009. - Vol. 26, no. 14. - P. 145006.

141. Rasheed D. The rotating dyonic black holes of Kaluza-Klein theory.— Nucl. Phys. В. 1995,-Vol. 454, no. 1-2.- Pp. 379-401.

142. Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Improved generating technique for D=5 supergravities and squashed Kaluza-Klein Black Holes. — Phys. Rev. D. — 2009. Vol. 79, no. 6. - P. 064020.

143. Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрий и элементарные частицы. М.: УРСС, 2002. - 371 с.