Скрытые симметрии и солитоны в теориях супергравитации и суперструн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Чен Чианг-Мей

• Чен Чианг-Мей
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чен Чианг-Мей

Содержание

1 Введение

2 Т-дуальность и вращающиеся решения в 2 + 1 гравитации

2.1 1 + 0 сигма-модель и Т-дуальность

2.2 Эйнштейн-Максвелл теория

2.2.1 Вращающиеся электрические решения

2.2.2 Вращающиеся магнитные решения

2.2.3 Статический дион

2.3 Теория Бранса-Дикке

2.3.1 Случай 7 ф —1,0, ^

2.3.2 Случай 7 = \

2.3.3 Случай 7= -1

2.4 Эйнштейн-Максвелл-дилатон

2.4.1 Вращающиеся электрические решения

2.4.2 Вращающиеся магнитные решения

2.4.3 Статическое дионное решение

2.5 Выводы

3 Черные дыры в четырехмерной теории Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и аксионом

3.1 Действие

3.2 Сигма-модель

3.3 Голоморфное представление изометрий

3.4 Ковариантизация вакуумного решения

3.5 Дилатон-аксион-Керр-НУТ-дион решение

3.5.1 Выбор координат

3.5.2 Термодинамика черной дыры

3.6 Выводы

4 Солитоны в В = 5 эффективной теории гетеротической струны

4.1 От пяти к четырем измерениям

4.2 Редукция к трем измерениям

4.3 Генерация решений

4.4 (0 - 1) браны

4.5 Выводы

5 Вакуумная интерпретация р-бран

5.1 Предварительные сведения

5.2 р-браны

5.2.1 М2-брана

5.2.2 М5-брана

5.2.3 Составная М2С5~брана

5.2.4 Бранные волны

5.2.5 Пересекающиеся браны

5.2.6 Локализованные браны

5.3 сг-модель

5.3.1 Анзац и эффективное действие

5.3.2 Преобразования симметрии

5.3.3 Составные решения с двумя параметрами вращеня

5.4 Восьмимерная интерпретация

6 Составные М-браны

6.1 сг-модель

6.2 Преобразования симметрии

6.3 Генерация решений

6.4 Метод геодезических

7 Заключение 94 А Размерная редукция 97 В 50(1))-симметричное пространство с вращением

1

в

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Скрытые симметрии и солитоны в теориях супергравитации и суперструн»

ведение

В течение последних пяти-шести лет в теории фундаментальных физических взаимодействий произошли существенные изменения. Сейчас становятся видны контуры новой теории, которая вероятно заменит традиционную теорию суперструн. Эта теория, получившая название М-теории, предполагает новое понимание существующих моделей суперструн как различных предельных случаев единой теории [34, 101].. Ее существование подтверждается многочисленными фактами соответствий (дуальностей) между пятью моделями суперструн в десятимерии и различными вариантами их редукции в пространства низшего числа измерений [112, 100, 2, 62]. М-теория, окончательная формулировка которой пока неизвестна, является одиннадцатимерной квантовой теорией, имеющей в качестве классического предела одиннадцатимерную супергравитацию. Она оперирует не только со струнами, но и протяженными объектами более высокой размерности [105]. В частности, предлагается новый подход к теории открытых струн на основе представления о Г)-бранах — многомерных объектах, к которым могут прикрепляться концы струн, и которые несут заряды, ассоциируемые с полями антисимметричных тензоров соответствующей валентности [96]. Их динамика определяется нелинейными лагранжианами типа Борна-Инфельда [52]. С помощью £)-бран впервые удалось получить удовлетворительное статистическое истолкование энтропии черной дыры [94]. Выяснилась также важная роль солитонных решений в теориях супергравитации и моделях су перетру н, которые также являются многомерными классическими объектами аналогичного типа (р-браны). Специальные конфигурации брак в одиннадцатимерном пространстве приводят к суперсимметричным теориям Янга-Миллса в четырехмерии,

причем возникает возможность изучения непертурбативных аспектов таких теорий используя струнные дуальности.

С середины девяностых годов начал аккумулироваться обширный материал о струнных дуальностях, под которыми понимаются симметрии теории, или эквивалентность различных теорий, не очевидные в их первоначальной формулировке, и возможно проявляющиеся лишь на существенно непертурбативном уровне. Исторически первой была обнаружена так называемая Т-дуальность связывающая компактифи-кации теории на окружности радиуса R-vt P/R [56]. Эту симметрию можно понять следующим образом. Условие периодичности на окружности приводит к квантованию соответствующей компоненты импульса в единицах h/R, и вклад в струнный гамильтониан от соответствующих мод становится пропорциональным n2/R2, где п целое число. С другой стороны, струна, в отличие от точечной частицы, может т раз навиваться на окружность, это дает дополнительный вклад в гамильтониан пропорциональный m2R2. Перестановка квантовых чисел п и m с одновременной заменой R на 1/R является преобразованием симметрии. В более общем случае, компактификация струны на многомерный тор связана преобразованием симметрии с ее компактификацией на другой тор, находящийся в таком же отношении к исходному, что обратная решетка в кристалле по отношению к прямой.

Было показано, что десятимерные струные теории IIA и ИВ, компактифицированные на окружность, образуют пару, связанную Т-дуальностью [55, 32]. Иначе говоря, компатификация теории IIA на окружность радиуса R (остальные измерения имеют бесконечный объем) эквивалентна компактификации теории IIB на окружность радиуса P/R. В таком же соотношении находятся и классические супергравитации IIA и ИВ, в чем убедиться не так просто: ведь обе теории построены из различных мультиплетов полей, правда с одинаковым полным числом компонент. В аналогичном отношении находятся и два варианта гетеротической теории с калибровочными группами 50(32) PI Е8хЕ8. Несколько сложнее связь между теориями типа I и II, имеющими различное число компонент. В этом случае нужно рассмотреть компактификацию теории типа IIA не на окружность, а на отрезок L, который можно понимать как результат идентификации точек на окружности, симметричных относительно диаметра (операция

О, превращающая окружность в ориентифолд). В результате теория с N — 2 превращается в теорию с N = 1 суперсимметрией. Компактифи-кация теории типа I на окружность радиуса Л оказывается эквивалентной компактификации теории НА на отрезок, отвечающей окружности обратного радиуса. Далее, поскольку теория ПВ связана с теорией НА соотношенем Т-дуальности, ясно, что теория I связана с ПВ преобразованием П. Таким образом, соотношения Г-дуальности сводят число независимых струнных моделей с пяти до двух.

Другой вид (существенно непертурбативной) симметрии представляет собой Б -дуальность, связывающая теории с эффективными константами взаимодействия д и 1 /д. В суперсимметричых теориях Янга Миллса, содержащих дилатон, д = поэтому преобразование д —> 1/д эквивалентно изменению знака ф, при этом одновременно электрический сектор теории переходит в магнитный. Основной частицей в магнитном секторе теорий Янга-Миллса является магнитный монополь, который представляет собой существенно непертурбативный объект (солитон). Точно так же и в теории суперструн для реализации 5-дуальности решающее значение имеет наличие классических солитон-ных решений. В этой теории роль солитонов играют р-браны — многомерные протяженные объекты: р = 0 отвечает точечной частице, р — 1 —- струне, р = 2 — мембране и т.д., в пространстве размерности И могут существовать р-браны вплоть до р = О — 1. Подобно тому, как точечные частицы взаимодействуют с векторным полем, р-браны взаимодействуют с антисимметричыми тензорами ранга р + 1, или (р + 1)-формами, играющими роль потенциала, соответствующая напряженность поля представляет собой (р + 2)-форму. Точечный заряд порождает электромагнитное поле, т.е. поле 2-формы, аналогично р-брана может иметь заряд, соответствующий (р + 2)-форме. В теории струн подобные поля антисимметричных форм действительно присутствуют в спектре элементарных возбуждений (так называемые поля Рамон-Рамона), и неудивительно, что существуют и классические конденсаты в виде р-бран. В теории ПА имеются формы с нечетными р, и соответственно возможны р-браны с нечетными р, в то время как в теории ПВ существуют четные р-браны. В теории типа I и гетеротиче-ских теориях имеются солитонные струны, т.е. 1-браны. Примером 5-дуальности является взаимоотношение теории типа I и гетеротической

теории с калибровочной группой SO (32). Каждая из этих теорий имеет солитонную струну (аналог монополя), при этом (исходная) элементарная струна в каждой из них соответствует солитонной струне в другой теории. В силу сказанного выше, благодяря 5-дуальности можно исследовать струнные теории в режиме сильной связи, при этом SO (32)-гетеротическая теория выступает как непертурбативный сектор теории типа I..B теории типа IIB имеется внутренняя ^-дуальность связывающая пертурбативный и солитонный секторы. Наконец, существуют и соотношения U-дуальности, объединяющей вместе S и Т дуальности [66].

Роль протяженных объектов различной размерности особенно валена для открытых струн. В старом подходе считалось, что на границе открытых струн должны выполняться граничные условия Неймана да-х^ = 0, непосредственно вытекающие из вариационного принципа для действия. Однако, при преобразованиях Т-дуальности это условие переходит в дтх^ — 0, или условие Дирихле х1Л = — const на границах (что также совместно с уравнениями движения). Поскольку Т-дуальность применяется лишь к части координат, то это эквивалентно рассмотрению р-бран, к которым прикрепляются концы открытых струн. Такие объекты называются D (Дирихле) р-бранами, в отличие от солитонных р-бран они являются "элементарными" и могут нести единичные заряды Рамон-Рамона [95]. Таким образом Т-дуальность в случае открытых струн приводит к теории D-бран, позволяющих учесть непертурбативные аспекты струнной динамики. С помощью D-бран впервые удалось статистически объяснить происхождение энтропии черной дыры [94]. Другое важное направление, сложившееся в последнее время, связано с тем, что, если пренебречь гравитацией, при низких энергиях на D-бранах возникают эффективные суперсимметричные теории полей Янга-Миллса, которые таким образом могут исследоваться методами теории струн, в частности, применением струнных дуальностей. На этом пути удается прояснить некоторые непертурбативные аспекты калибровочных теорий.

Самым удивительным открытием последних лет стало появление в теории струн одиннадцатого измерения, которое впервые возникло в супергравитации, но затем отошло на второй план после того, как выяснилось, что супергравитация не может быть кандидатом на роль "оконча-

тельной" теории. В теории суперструн критическая размерность равна десяти, и на протяжении многих лет исследования были сосредоточены именно на десятимерных моделях. Однако одиннадцатое измерение возродилось вновь уже в новом качестве. Радиус окружности на которую производится компактификация, или, в более общем случае, набор параметров, характеризующих тор, в теории струн рассматривается как совокупность безмассовых скалярных полей — модулей, соответствующий гамильтониан обладает потенциалом, имеющим долины, вдоль которых он минимален. Основное состояние (вакуум) вырождено относительно изменения модулей в направлении долин. Большие и малые значения: радиуса компактификации соответствуют поэтому различным вакуумам теории, в окрестности которых молено рассматривать различные секторы квантовой теории. В результате, соотношения дуальности суперструнных теорий, формулируемых изначально в десятимерном пространстве, неожиданным образом приводят к выводу о существовании фундаментальной одиннадцатимерной теории, получившей название М-теории. Конкретная реализация М--теории еще не найдна, однако аргументы в пользу ее существования довольно убедительны. Рассмотрим, например, струну типа IIA. В пределе слабой связи это десятимерная теория. Между тем IIA десятимерную супергравитацию можно рассматривать как результат компактификации одиннадцатимерной супергравитации на окружность радиуса R: при R оо имеем одиннадцатимерную теорию, при R О — десятимерную [112]. В теории струн скалярное поле, отождествляемое с радиусом окружности, определяет эффективную константу связи причем R —> О отвечает слабой, а R —> со — сильной связи. Поэтому струнную теорию IIA можно понимать как предел слабой связи некоторой фундаментальной одиннадцатимерной квантовой М-теории. Иначе, М-теорию можно определить как предел сильной связи теории типа IIA. Классическим пределом М-теории должна являться одиннадцатимерная супергравитация, которая тем самым получает новую интерпретацию.

Существенную роль в понимании непертурбативных свойств суперструнных теорий сыграла Pix связь с эффективными теориями супергравитаций, так как дуальные симметрии суперструнных теорий естественно возникают на уровне теорий супергравитаций и, фактически, являются дискретными подгруппами групп дуальностей в суперграви-

тациях. При этом особо важную роль играют классические решения многомерных теорий супергравитаций, называемые р-бранами. Эти решения описывают многомерные протяженные объекты обладающие внутренним натяжением и зарядами по отношению к антисимметричным формам различных рангов. При определенном соотношении между этими параметрами, представляющем собой обобщенное условие Богомольного, эти объекты обладают остотчной суперсимметрией, что предохраняет их от разрушения за счет квантовых поправок. Такие БПС-насыгцающие р-браны могут быть построены в одиннадцатимерной супергравитации, и они порождают целую иерархию солитонов в более низких измерениях путём Калуце-Клейновской (КК) редукции. Так как при КК редукции первоначальная суперсимметрия сохраняется, то, в случае компактификации на тор, р-бранные солитоны в низшем числе измерений могут быть обратно перенесены в более высокие измерения как решения в супергравитации, которые сохраняют ту же часть суперсимметрии, какую они сохраняли в низшем измерении. Простейшие БПС р-браны сохраняют половину первоначальной суперсимметрии и несут один заряд, связанный с 4-формой напряженности 11В с.упергравитации. Метрические функции и другие неисчезающие поля в решении выражаются в терминах одной гармонической функции в пространстве, поперечном к мировому объему р-браны. Существуют также решения, полученные действием преобразований ¿/-дуальности [66] Креммера-Джулиа [22, 23, 21, 74] в супергравитациях низшего числа измерений. Эти семейства более сложные и содержат более одной формы напряженности. Однако, в силу того, что {/-дуальность коммутирует с суперсимметрией, эти решения тоже будут сохранять половину суперсимметрии. На классическом уровне решение, преобразованное с помощью ¿/-дуальности, эффективно является более сложным представлением решения, содержащего одну форму. Поэтому решения с одной антисимметричной формой и одним типом заряда можно назвать простой однозарядовой р-браной. В общем случае решения в более высоких размерностях, полученные из таких р-бран путем обратной размерной редукции, не обязательно будут иметь форму р-бранного со-литона: это может быть континуум р-бран, гравитационные волны и другие конфигурации.

В более низких измерениях существуют также более сложные р-

бранные солитоны, которые несут более одного типа зарядов. В простейшем случае такие Л^-зарядовые решения характеризуются Лг независимыми гармоническими функциями на поперечном пространстве, одной для каждого заряда. Решение диагонализуется в том смысле, что каждый заряд связывается с анитисимметричной формой, выражающейся в терминах соответствующей гармонической функции. И снова можно найти более сложные решения, применяя ¿/-дуальность. Поэтому можно назвать такие диагонализованые решения простыми Аг - з ар ядов ым и р-бранами. Часть сохраняемой такой р-браной суперсимметрии меньше чем для случая с одним зарядом. Например, при N — 2 сохраняется | часть суперсимметрии, при Лг — 3 — Если р-браны, несущие более одного типа зарядов, поднять обратно в И = 10 или О = 11, то они будз'т описывать более сложную конфигурацию, чем однозарядовые р-браны, упомянутые выше. В общем случае, они могут быть интерпретированы как пересечения основных р-бран, гравитационные волны и КК монополи и НУТ-решения. Эти решения также будут сохранять ту часть суперсимметрии, которую сохраняли в низших измерениях р-браны, полученные из них размерной редукцией.

Помимо БПС-насыщающих решений представляют значительный интерес и так называемые черные р-браны, обобщающие черные дыры на случай протяженных многомерных конфигураций. Эти р-браны квантово-механически нестабильны, однако они представляют интерес в связи с проблемой статистической природы энтропии черной дыры. Известен рецепт построения черных р-бран из БПС-насыщающих решений, его обоснованием является симметрия соответствующей сигма-модели, получаемой путем размерной редукции. Одно из интересных направлений, сложившихся в последние годы, связано с отождествлением асимптотических изометрий 1 + 2 пространства антидеситтера с конформной алгеброй в двумерии. Данную асимптотику имеют черные дыры Банадоса, Тейтелбойма и Занелли в 1 + 2 гравитации с космологической постоянной [4]. В результате удается связать энтропию 1 + 2 черной дыры с числом квантовых состояний конформной теории. Замечательным является факт, что черные дыры и в некоторых других размерностях в окрестности горизонта допускают интерпретацию в терминах 1 + 2 гравитации. В результате возникает возможность статистического объяснения энтропии черной дыры, отличного от ме-

ханизма 1)-бран, привлекавшегося для этой цели в последние годы. В связи с этим представляется целесообразным дальнейшее изучение черных дыр в 1 + 2 гравитации с космологической постоянной также при наличии других полей (дилатона, векторного поля).

В последнее время особое внимание привлекают так называемы локализованные пересекающиеся р-браны, для них характерна зависимость функций относящихся к каждой из бран не только от переменных общего трансверсального пространства, но и от отностительных тра-сверсальных переменных. Получение локализованных решений представляет большую трудность, поскольку уравнения для полевых функций становятся существенно нелинейными. В этом направлении пока что сделаны лишь первые шаги и дальнейшее исследование локализованных р-бран представляется весьма важным.

Итак, хотя в настоящее время известно достаточно много классов р-бранных решений, остается неясным, насколько они исчерпывают все возможные решения подобного типа. До сих пор не удалось доказать каких-либо теорем единственности или перечислить все возможные классы решений, поэтому поиск новых методов решения и классификации солитонных решений предсталяет значительный интерес. Это и является предметом настоящей диссертации. Основная идея состоит в совместном использовании размерной редукции и непротиворечивого усечения лагранжиана 1Ю супергравитации. Важным новым элементом также является специальная дуализация полей антисимметричных форм в высших измерениях, позволяющая связать между собой теории в промежуточных измерениях содержащие поля форм различных рангов, в том числе не содержащие их вовсе. На этом пути удается дать некоторым р-бранам супергравитации чисто вакуумную интерпретацию, причем переменные двух теорий оказываются связанными между собой нелокальным образом. В целом, в результате проделанной работы удалось выявить новые симметрии, объединяющие широкие классы солитонных решений в супергравитации/тсории суперструн, получить новые конкретные решения, а также указать новые возможности поиска солитонных решений в многомерных теориях.

План диссертации следующий. Во второй главе изучается Т-дуальность в 2 + 1 гравитации и с ее помощью строятся наиболее общие классы вращающихся черных дыр. Для Эйнштейн-Максвелл-

дилатонной системы с космологической постоянной, допускающей два коммутирующих вектора Киллинга, путем размерной редукции построена 1 + 0 сигма-модель. Показано, что для произвольных значений константы связи, группой Т-дуальности является группа со-

впадающая с группой линейных координатных преобразований вдоль орбит векторов Киллинга. Используя преобразования этой группы при подходящем выборе параметров получены некоторые вращающиеся решения альтернативных гравитационных теорий: Эйнштейна-Максвелла, Бранса-Дикке а также теории с дилатоном.

Третья глава посвящена черным дырам в теории гетеротической струны редуцированной к четырем измерениям. Эта теория рассматривается в предположении существования неизотропной изометрии, в результате чего осуществляется дальнейшая редукция в трехмерие. Построена кэлерова сигма-модель, осуществляющая голоморфное представление 50(2,2+ р) (р - число векторных полей) соответствующей глобальной симметрии. Построено наиболее общее семейство вращающихся черных дыр с помощью 50(2, 2 + р) ковариантизации решения Керра.

В четвертой главе изучаются солитоны в В = 5 эффективной теории гетеротической струны в предположении абелевой двумерной группы изометрий. Исходная теория содержит метрику, дилатон и поле 3-формы. В результате редукции возникает 5Х(4, Д)/50(2, 2) сигма-модель, для которой найдено новое матричное представление, подобное известному ранее для 4х-мерной Эйнштейн-Максвелл-дилатон-аксионнной (ЭМДА) теории. <5Х(4, К) симметрия объединяет некоторые ЪВ решения различной физической природы, включая струны, 0-браны, КК монополи и т.д., интерпретируя их как решения дуальные 4-мерной метрике Керра продолженной по пятой координате. Построены новые вращающиеся струны и составные (0 — 1)-браны с НУТ параметром.

В пятой главе обнаружена и исследована дуальность между восьмимерными вакуумными решениями, обладающими двумя простран-ственноподобными коммутирующими векторами Киллинга, и решениями одпнадцатимерной супергравитации, допускающими 2 + 3 + 6 разбиение. На основе этой дуальности широкий класс пересекающихся М-бран может быть интерпретирован в терминах чисто вакуумных

восьмимерных конфигураций. Более того, она позволяет построить из известных вакуумных решений соответствующие им пересекающиеся М-браны. Используя в качестве вакуумного решения симметричный пятимерный КК-дион, удалось получить новое составное решение одиннадцатимерной супергравитации: М2иМ5-брану. Это решение не подчиняется стандартным правилам пересечений и не выражается в терминах гармонических функций. Кроме того, из пятимерных решений, описывающих КК волну и монополь построен целый класс частично локализованных пересекающихся М-бран с двумя зарядами и пространством типа Tayб-НУТ. Другим примером являются М2 и М5 флаксбраны, также как и некоторые их пересечения, включающие кроме того волны и КК-монополи, которые оказываются дуальными Вселенной Мельвина-Гиббонса-Маеды. Эта глава является центральной в предлагаемой диссертации.

Последняя, шестая глава посвящена построению новых составных (дионных) солитонов в одиннадцатимерной супергравитации/М-теории. Показано, что широкий класс таких решений допускает объединенное описание в терминах SL(3, R)/SO(2) сигма-модели в пятимерном пространстве. Рассмотрены различные методы построения решений этой модели и предложены новые решения представляющие физический интерес, в частности, М2 С М5-браны с двумя параметрами вращения.

В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чен Чианг-Мей, 1999 год

Литература

[1] I.Ya. Aref'eva, M.G. Ivanov, O.A. Rytchkov and I.V. Volovieh, Non-Extremal Localised Branes and Vacuum Solutions in Ad-Theory. Class Quant. Grav. 15 (1998) 2923-2936; hep-th/9802163.

[2] P.S. Aspinwall, Some Relationships between Dualities in String Theory, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 46 (1996) 30-38; hep-th/9508154.

[3] M. Bañados, M. Henneaux, C. Teitelboim and J. Zanelli, Geometry of the (2+1) Black Hole, Plujs. Rev. D48 (1993) 1506-1525; gr-qc/9302012.

[4] M. Bañados, C. Teitelboim and J. Zanelli, The Black Hole in Three Dimensional Space Time, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1849-1851; hep-th./9204099.

[5] E. Bergshoeff, R. Kallosh and T. Ortin, Stationary Axion / Dila-ton Solutions and Supersymmetry, Nucl. Phys. B478 (1996) 156-180; hep-th/9605059.

[6] E. Bergshoeff and P.K. Townsencl, Super D Brfines Revisited, Nucl. Phys. B531 (1998) 226-238; hep-th/9804011.

[7] P. Breitenlohner and D. Maison, On Nonlinear a-Mo dels Arizing in (Super-)Gravity, gr-qc/9806002.

[8] P. Breitenlohner, D. Maison and G.W. Gibbons, 4-Dimensional Black Holes from Kaluza-Klein Theories, Comm. Math. Phys. 120 (1988) 295-333.

[9] K.A. Bronnilcov, M.A. Grebeniuk, V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, Integrable Multidimensional Cosmology for Intersecting p-Branes, Grav. Cosmol. 3 (1997) 105-112; gr-qc/9709006.

[10] K.A. Bronnikov, V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, The Reissner-Nordstrom Problem for Intersecting Electric and Magnetic p-Branes, Grav. Cosmol 3 (1997) 203-212; gr-qc/9710054.

[11] K.C.K. Chan, Comment on the Calculation of the Angular Momentum and Mass for the (Anti-) Self Dual Charged Spinning BTZ Black Hole, Phys. Lett. B373 (1996) 296-298; gr-qc/9509032.

[12] K.C.K. Chan and R.B. Mann, Static Charged Black Holes in (2 + 1J-Dimensional Dilaton Gravity, Phys. Rev. D50 (1994) 6385-6393, Erratum: ibid D52 (1995) 2600; gr-qc/9404040.

[13] K.C.K. Chan and R.B. Mann, Spinning Black Holes in (2 + 1)-Dimensional String and Dilaton Gravity, Phys. Lett. B371 (1996) 199-205; hep-th/9510069.

[14] G. Clément, Stationary Solutions in Five-Dimensional General Relativity, Gen. Rel. Grav. 18 (1986) 137-160.

[15] G. Clément, Solutions of Five-Dimensional General Relativity without Spatial Symmetry, Gen. Rel. Grav. 18 (1986) 862-877.

[16] G. Clément, Classical Solutions in Three-Dimensional EinsteinMaxwell Cosmological Gravity, Class. Quant. Grav. 10 (1993) L49-L54.

[17] G. Clément, Spinning Charged BTZ Black Holes and Self-Dual Particle-Like Solutions, Phys. Lett. B367 (1996) 70-74; gr-qc/9510025.

[18] G. Clément and D.V. Gal'tsov, Stationary BPS Solutions to Dilaton-Axion Gravity, Phys. Rev. D54 (1996) 6136-6152; hep-th/9607043.

[19] M.S. Costa, Composite M-Brancs, Nncl. Phys. B490 (1997) 202-216; hep-th/9609181.

[20] M.S. Costa, Black Composite M-Branes, Nucl. Phys. B495 (1997) 195-205; hep-th/9610138.

[21] E. Cremmer, Super gravities in 5 Dimensions, in: Superspace and Su-pergravity, Eds. S.W. Hawking and M. Rocek (Cambridge Univ. Press, 1981), 267.

[22] E. Cremmer and B. Julia, The N — 8 Supergravity Theory. 1. The Lagrangian, Phys. Lett. B80 (1978) 48.

[23] E. Cremmer and B. Julia, The SO(8) Supergravity, Nucl. Phys. B159 (1979) 141.

[24] E. Cremmer, B. Julia, H. Lii and C.N. Pope, Dualisation of Dualities, I, Nucl. Phys. B523 (1998) 73-144; hep-th/9710119.

[25] E. Cremmer, B. Julia, H. Lü and C.N. Pope, Dualisation of Dualities, II: Twisted Self-Duality of Doubled Fields and Superdualities, Nucl. Phys. B535 (1998) 242-292; hep-th/9806106.

[26] E. Cremmer, B. Julia and J. Seherk, Supergravity Theory in Eleven-Dimensions, Phys. Lett. 76B (1978) 409-412.

[27] M. Cvetie and C.M. Hull, Black Holes and U-Duality, Nucl. Phys. B480 (1996) 296-316; hep-th/9606193.

[28] M. Cvetie and A. Tseytlin, Solitonic Strings and BPS Saturated Dy-onic Black Holes, Phys. Rev. D 53 (1996) 5619-5633, Erratum: ibid D55 (1997) 3907; hep-th/9512031

[29] M. Cvetie and A. Tseytlin, Non-Extreme Black Holes from NonExtreme Intersecting M-Branes, Nucl. Phys. B478 (1996) 181-198; hep-th/9606033.

[30] M. Cvetie and D. Youm, General Static Spherically Symmetric Black Holes of Hcterotic String on a Six Torus, Nucl. Phys. B472 (1996) 249-267; hep-th/9512127.

[31] M. Cvetie and D. Youm, Rotating Intersecting M-Branes, Nucl. Phys. B499 (1997) 253-282; hep-th/9612229.

[32] M. Dine, P. Huet and N. Seiberg, Large and Small Radius in String Throty, Nucl Phys. B322 (1989) 301.

[33] P. Dobiasch and D. Maison, Stationary, Spherically Symmetric Solutions of Jordan's Uniñed Theory of Gravity and Electromagnetism, Gen. Rel. Grav. 14 (1982) 231-242.

[34] M.J. Duff, M-Theory (The Theory Formerly Known as Strings), Int. J. Mod. Phys. All (1996) 5623-5642; hep-th/9608117.

[35] M.J. Duff, R.R. Khuri and J.X. Lu, String Solitons, Phys. Rep. 259 (1995) 213-326; hep-th/9412184.

[36] M.J. Duff and K.S. Stelle, Multimembrane Solutions of D = 11 Su-pergravity; Phys. Lett. B253 (1991) 113-118.

[37] J.D. Edelstein, L. Tataru and R. Tatar, Rules for Localized Overlap-pings and Intersections of p-Branes, J. High Energy Phys. 06 (1998) 003; hep-th/9801049.

[38] F.J. Ernst, New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem, Phys. Rev. 167 (1968) 1175-1178.

[39] F.J. Ernst, New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem II, Phys. Rev. 168 (1968) 1415-1417.

[40] A. Fayyazuddin and D.J. Smith, Localized Intersections of M5-Branes and Four-Dimensional Superconformal Field Theories, hep-th/9902210.

[41] V. Frolov, A. Zelnikov and U. Bleyer, Charged Rotating Black Holes from Five-Dimensional Point of View, Ann. der Physik (Leipzig) 44 (1987) 371-377.

[42] D.V. Gal'tsov, Integrable systems in stringy gravity, Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 2863-2866; hep-th/9410217

[43] D.V. Gal'tsov, Square of General Relativity, in: Proceedings of the First Australasian Conference on General Relativity and Gravitation, Adelaide, February 12-17 (1996); hep-th/9608021.

[44] D.V. Gal'tsov and O.V. Kechkin, Ehlers-Harrison-Type Transformations in Dilation-Axion Gravity, Phys. Rev. D50 (1994) 7394-7399; hep-th/9407155.

[45] D.V. Gal'tsov and O.V. Kechkin, Matrix clilaton-axion for het-erotic string in three dimensions, Phys. Lett.B361 (1995) 52-58; hep—th/9507164.

[46] D.V. Gal'tsov and O.V. Kechkin, U-Duality and Symplectic Formulation of Dilaton-Axion Gravity, Phys. Rev. D54 (1996) 1656-1666; hep-th/9507005.

[47] D.V. Gal'tsov and P.S. Letelier, Reissner-Nordstrom Type Black Holes in Dilation-Axion Gravity, gr-qc/9608023.

[48] D.V. Gal'tsov and P.S. Letelier, Ehlers-Harrison Transformations and Black Holes in Dilation-Axion Gravity with Multiple Vector Fields, Phys. Rev. D55 (1997) 3580-3592; gr-qc/9612007

[49] D.V. Gal'tsov and S.A. Sharakin, Matrix Ernst Potentials for EMDA with Multiple Vector Fields, Phys. Lett. B399 (1997) 250-257; hep-th/9702039.

[50] D.V. Gal'tsov and O.A. Rytchkov, Generating Branes via Sigma-Models, Phys. Rev. D58 (1998) 122001; hep-th/9801160.

[51] G.W. Gibbons, Antigravitating Black Hole Solutions with Scalar Hair inN = 4 Supergravity, Nucl. Phys. B207 (1982) 337-349.

[52] G.W. Gibbons, Born-Infeld Particles and Dirichlet p-Branes, Nucl. Phys. B514 (1998) 603-639; hep-th/9709027.

[53] G.W. Gibbons and K. Maecla, Black Holes and Membranes in Higher Dimensional Theories with Dilaton Fields, Nucl. Phys. B298 (1988) 741-775.

[54] G.W. Gibbons and P.K. Townsend, Vacuum Interpolation in Super-gravity via Super p-Branes, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 3754-3757; hep-th/9307049.

[55] P. Ginsparg, Comment on Toroidal Compactification of Heterotic Su-perstrings, Phys. Rev. D35 (1987) 648.

[56] A. Giveon, M. Porrati and E. Rabinovici, Target Space Duality in String Theory, Phys. Rep. 244 (1994) 77-202; hep-th/9401139.

[57] G.W. Gibbons and D. Wiltshire, Black Holes in Kaluza-Klein Theory, Ann. Phys. 167 (1986) 201-223; Erratum: ibid 176 (1987) 393.

[58] D.J. Gross and M.J. Perry, Magnetic Monopoles in Kaluza-Klein Theories, Nucl. Phys. B226 (1983) 29-48.

[59] R. Giiven, Black p-Brane Solutions of D = 11 Supergravity Theory: Phys. Lett. B276 (1992) 49-55.

[60] A. Hashimoto, Supergravity Solutions for Localized Intersections of Branes, J. High Energy Phys. 9901 (1999) 018; hep-th/9812159.

[61] E.W. Hirschmann and D.L. Welch, Magnetic Solutions to 2 + 1 Gravity, Phys. Rev. D53 (1996) 5579-5582; hep-th/9510181.

[62] P. Horava and E. Witten, Heterotic and Type I String Dynamics from Eleven-Dimensions, Nucl. Phys. B440 (1996) 506-524; hep-th/9510209.

[63] J.H. Home and G.T. Horowitz, Rotating Dilaton Black Holes, Phys. Rev. D46 (1992), 1340-1346; hep-th/9203083.

[64] G.T. Horowitz and A. Sen, Rotating Black Holes which Saturate a Bo-gomoFnyi Bound, Phys. Rev. D53 (1996) 808-815; hep-th/9509108.

[65] G.T. Horowitz and D.L. Welch, Exact Three Dimensional Black Holes in String Theory, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 328-331; hep-th/9308077.

[66] C.M. Hull and P.K. Townsend, Unity of Superstring Dualities Nucl. Phys. B438 (1995) 109-137; hep-th/9410167

[67] W. Israel and G.A. Wilson, A Class of Stationary Electromagnetic Vacuum Fields, J. Math. Phys. 13 (1972) 865-867.

[68] N. Itzhaki, J.M. Maldacena, J. Sonnenschein and S. Yankielowicz, Supergravity and the Large N Limit of Theories with Sixteen Supercharges, Phys. Rev. D58 (1998) 046004; hep-th/9802042. ■

[69] N. Itzhaki, A.A. Tseytlin and S. Yankielowicz, Supergravity Solutions for Branes Localized Within Branes, Phys. Lett. B432 (1998) 298-304; hep-th/9803103.

[70] V.D. Ivashchulc and V.N. Melnikov, Sigma-model for Generalized Composite p-Branes, Class. Quant. Grav. 14 (1997) 3001-3029, Erratum ibid. 15 (1998) 3941-4942; hep-th/9705036.

[71] V.D. Ivashchuk and V.N. Melnilcov, Multidimensional Classical and Quantum Cosmology with Intersecting p-Branes, J. Math. Phys. 39 (1998) 2866-2888; hep-th/9708157.

[72] V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, Majumclar-Papapetrou Type Solutions in Sigma-model and Intersecting p-Branes, Class. Quant. Grav. 16 (1999) 849-869; hep-th/9802121.

[73] V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov and M. Rainer, Multidimensional Sigma-models with Composite Electric p-Branes, Grav. Cosmol. 4 (1998) 73-82; gr-qc/9705005.

[74] B. Julia, Group Disintegrations, in: Superspace and Supergravity, Eels. S.W. Hawking and M. Rocek (Cambridge Univ. Press, 1981), 331.

[75] R. Kallosh, D. Kastor, T. Ortin and T. Torma, Supersymmetry and Stationary Solutions in Dilaton-Axion Gravity, Phys. Rev. D50

(1994) 6374-6384; hep-th/9406059.

[76] R. Kallosh, A. Linde, T. Ortin, A. Peet and A. van Pn^en, Super-symmetry as a Cosmic Censor, Phys. Rev. D46 (1992) 5278-5302; hep-th/9205027.

[77] M. Kamata and T. Koikawa, The Electrically Charged BTZ Black Hole with Self (Anti-Self) Dual Maxwell Fields, Phys. Lett. B353

(1995) 196-200; hep-th/9505037.

[78] M. Kamata and T. Koikawa, 2+1 Dimensional Charged Black Hole with (Anti-) Self Dual Maxwell Fields, Phys. Lett. B391 (1997) 87-92; hep—th/9605114.

[79] O.A. Kechkin and M. Yurova, BPS Solutions in D=5 Dilaton-Axion Gravity, Mod. Phys. Lett. A13 (1998) 219-226; hep-th/9712.200.

[80] Y. Kiem and D. Park, Magnetically Charged Solutions via an Analog of the Electric-Magnetic Duality in (2 + 1)-Dimensional Gravity Theories, Phys. Rev. D55 (1997) 6112-6115; hep-th/9610008.

[81] W. Kinnersley, Generation of Stationary Einstein-Maxwell Fields, Journ. Math. Phys. 14 (1973) 651-653.

W. Kinnersley, Symmetries of the Stationary Einstein-Maxwell Field Equations I, Journ. Math. Phys. 18 (1977) 1529;

I.R. Klebanov and A.A. Tseytlin, Intersecting M-Branes as Four-Dimensional Black Holes, Nucl. Phys. B475 (1996) 179-192; hep-th/9604166.

T. Koikawa, T. Maki and A. Nakamula, Magnetic Solutions to 2+1 Dimensional Gravity with Dilaton Field, Phys. Lett B414 (1997) 4551; hep-th/9706170.

D. Kramer, H. Stephani, M. MacCallum and E. Herlt, Exact Solutions of the Einstein Field Equations, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, (1980).

A. Loewy, Semi Localized Brane Intersections in SUGRA, hep—th/9903038.

H. Lii, C.N. Pope, T.A. Tran and K.-W. Xu, Classification of p-Branes, NUTs, Waves and Intersections, Nucl. Phys. B511 (1998) 98-154; hep—th/9708055.

J. Maharana and J.H. Schwarz, Noncompact Symmetries in String Theory, Nucl. Phys. B390 (1993) 3-32; hep-th/9207016.

D. Maison, Ehlers-Harrison Type Transformations for Jordan's Extended Theory of Gravitation, Gen. Rel. Grav. 10 (1979) 717-723.

D. Marolf and A. Peet, Brane Baldness vs. Superselection Sectors, hep—th/9903213.

J.M. Maldacena, The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231-252; hep-th/9711200.

R.C. Myers and M.J. Perry, Black Holes in Higher Dimensional SpaceTimes, Ann. Phys. 172 (1986) 304-347.

G. Neugebauer and D. Kramer, Ann. der Physik (Leipzig) 24- (1969) 62.

[94] A.W. Peet, The Bekenstein Formula and String Theory (N- Branc Theory), Class. Quant. Grav. 15 (1998) 3291-3338; hep-th/9712253.

[95] J. Polchinski, Dirichlet Branes and Ramond-Ramond Charges, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4724-4727; hep-th/9510017.

[96] J. Polchinski, TASI Lectures on D-Branes, hep-th/9611050.

[97] D. Rasheecl, The Rotating Dyonic Black Holes of Kaluza-Klein Theory, Nucl. Phys. B454 (1995) 379-401; hep-th/9505038.

[98] P.M. Sa, A. Kleber and J.P.S. Lemos, Black Holes in Three-Dimensional Dilaton Gravity Theories, Class. Quant. Grav. 13 (1996) 125-138; hep-th/9503089.

[99] P.M. Sa and J.P.S. Lemos, Stationary Black Holes in a Generalized Three-Dimensional Theory of Gravity, Phys. Lett. B423 (1998) 4953; hep—th/9611169.

[100] J.H. Schwarz, An SL(2,Z) Multiplet of Type IIB Superstrings, Phys. Lett. B360 (1995) 13-18, Erratum: ibid B364 (1995) 252; hep—th/9508143.

[101] J.H. Schwarz, Lectures on Superstring and M-theory Dualities, Nucl. Phys. Proc. Suppl. B155 (1997) 1-32; hep-th/9607201.

[102] J.H. Schwarz, Introduction to M Theory and AdS/CFT Duality, in: Proceedings of the Quantum Aspects of Gauge Theories, Super-symmetry and Unification, (Corfu, Greece, 20-26 September 1998); hep-th/9812037.

[103] K. Sfetsos, On (Multi-) Center Branes and Exact String Vacua, in: Proceedings of the Quantum Aspects of Gauge Theories, Super-symmetry and Unification, (Corfu, Greece, 20-26 September 1998); hep-th/9812165.

[104] R.D. Sorkin, Kaluza-Klein Monopole, Phy. Rev. Lett. 51 (1983) 8790.

[105] K.S. Stelle, Lectures on Supergravity p-Branes, hep—th/9701088.

[106] S. Surya and D. Marolf, Localized Branes and Black Holes, Phys. Rev. D58 (1998) 124013; hep-th/9805121.

[107] K.P. Tod, All Metrics Admitting Supercovariantly Constant Spinors, Phys. Lett. B121 (1983) 241-244.

[108] K.P. Tod, More on Supercovariantly Constant Spinors, Class. Quant. Grav. 12 (1995) 1801-1820.

[109] P.K. Townsend, The Eleven-Dimensional Supermembrane Revisited, Phys. Lett. B350 (1995) 184-187; hep-th/9601068.

[110] P.K. Townsend, Brane Surgery, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 58 (1997) 163-175; hep-th/9609217.

[111] A.A. Tseytlin, Composite BPS Configurations of p-Branes in 10 and 11 Dimensions, Class Quant. Grav. 14 (1996) 2085-2105; hep-th/9702163.

[112] E. Witten, String Theory Dynamics in Various Dimensions, Nucl. Phys. B443 (1995) 85-126; hep-th/9303124.

[113] H. Yang, Localized Intersecting Brane Solutions of D = 11 Super-gravity, hep-th/9902128.

[114] D. Youm, Localized Intersecting BPS Branes, hep-th/9902208.

[115] C.-M. Chen, T-Duality and Spinning Solutions in 2-j-l Gravity, Nucl. Phys. B544 (1999) 775-788; hep-th/9810245.

[116] C.-M. Chen and D.V. Gal'tsov, p-Brane Gerocli groups, in: Abstracts of 15-th International conference on General Relativity and, Gravitation, Pune, India, December 16-21, 1997, p. 112.

[117] C.-M. Chen, D.V. Gal'tsov and S.A. Sharakin, Intersecting M-Fluxbranes, Grav. Cosmol. 5 (1999) 45-48;

[118] C.-M. Chen, D.V. Gal'tsov, K. Maecla and S.A. Sharakin, SL(4,R) Generating Symmetry in Five-Dimensional Gravity Coupled To Dila-ton and Three-Form, Phys. Lett. B453 (1999); hep-th/9901130.

[119] C.-M. Chen, D.V. Gal'tsov and S.A. Sharakin, Vacuum Interpretation of M-Branes, готовится к печати

[120] C.-M. Chen, D.V. Gal'tsov and S.A. Sharakin, Semi-Localized Intersecting M-Branes with NUT Parameter, готовится к печати

[121] C.-M. Chen, D.V. Gal'tsov and S.A. Sharakin, Kaluza-Klein Reduction Revisited: Dualization Alternatives and Non-Local Dualities, готовится к печати

[122] C.-M. Chen, D.V. Gal'tsov, S.A. Sharakin and V.V. Sibrin, Composite M-Branes: Constructive Derivation, готовится к печати

[123] JI. Бринк и М.Энно, Принципы теория струн, М., Издательство МИР, 1991.

[124] М. Грин, Дж. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн, М., Издательство МИР, 1990, в двух томах.

[125] И.Я. Арефьева и И.В. Волович, Суперсимметрия: теории Калуцы-Клейна, аномалии, суперструны, УФН, 1985, т. 146, сс. 655-682.

[126] Б.М. Барбашов и В.В. Нестеренко, Суперструны — новый подход к единой теории фундаментальных взаимодействий, УФН, 1986, т. 150, сс. 489-524.