Инстантоны и топологические теории тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Лосев, Андрей Семенович

• Лосев, Андрей Семенович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лосев, Андрей Семенович

0 Введение

0.1 Квантовая гравитация, струны, суперсимметрия и М-теория

0.2 Общая характеристика и структура работы.

1 Спектр в инстантонной квантовой механике

1.1 Инстантонный предел в квантовой механике.

1.1.1 Наблюдаемые в лагранжевой формулировке.

1.2 Гамильтонова интерпретация инстантонного предела.

1.2.1 Локальная теория: гармонический осциллятор

1.2.2 Пример глобальной теории: двумерная сфера.

1.2.3 Глобальная теория: проблемы и решения.

2 А-И-Б зеркальная симметрия

2.1 Инстантонный предел суперсимметричной сигма-модели.

2.2 Нелинейные сигма-модели как деформации свободных теорий

2.3 И-модель и зеркальная симметрия

3 Бета-функция в инстантонном пределе бозонной сигма-модели

3.1 Инстантонный предел бозонной сигма-модели.

3.2 Аномалия и поле дилатона при переходе к стандартным переменным

3.3 Твисторные переменные

3.4 Бета-функция для обратной эрмитовой метрики

4 Теория Саито как предел ходжевой теории струн

4.1 Введение и основные результаты.

4.2 Компактные топологические струны и уравнение ассоциативности

4.3 Амплитуды в конформных топологических теориях струн.

4.4 Интегрирование по положению отмеченных точек

4.5 QG--Cистема ходжевой струны.

4.5.1 Общие сведения о QG- системах.

4.5.2 Решения уравнений ассоциативности, построенные по QG--системы ходжевой струны.

4.6 Реализация Ландау-Гинзбурга ходжевой системы.

4.7 От системы Ландау-Гинзбурга к хорошему сечению К.Саито

4.7.1 QG- система К.Саито и условия на хорошее сечение

4.7.2 Стратегия сведения системы Ландау-Гинзбурга к теории Саито.

4.7.3 Отображения I и Hol, и условие (ii) на хорошее сечение

4.7.4 Высшие спаривания

5 Геометрия уравнений и тензорное произведение решений

5.1 Новые конфигурационные пространства и большая операда

5.2 Применение большой операды.

5.3 Топология пространств LN и уравнение коммутативности.

5.3.1 Топология пространств Lдг.

5.3.2 Пример: пространство L3.

5.3.3 Факторизуемые отображения и уравнения коммутативности

5.4 Решения уравнений коммутативности из суперсимметричной квантовой механики.

5.4.1 Определение суперсимметричной квантовой механики

5.4.2 Построение отображений Sn.

5.5 Совпадение гомологического и квантово-механического тензорных произведений на решениях уравнений коммутативности

5.6 Замена базы и одевающие преобразования для уравнений коммутативности

5.7 Гипотеза о равенстве гомологического и одевающего тензорных произведений.

5.8 Реконструкция решений уравнений ориентируемой ассоциативности из решений уравнений коммутативности.

5.9 Реконструкция решений уравнения ассоциативности.

6 Новый индекс в минимальной суперсимметрии

6.1 Введение

6.2 Гибридная модель.

6.3 Индекс TrQi.

6.4 TrQi как индекс оператора Дирака.

7 БПС конфигурации в сигма-модели с твистованной массой и аномалия

7.1 Введение

7.2 Сигма-модель и твистованная масса.

7.3 Введение суперпотенциала.

7.4 Супералгебра.

7.5 Вакуумы

7.6 Число вакуумов и кинков, или что заменяет индекс ВИФЧ

7.6.1 Резюме конструкции для = 1.

7.6.2 Число 1/2 БПС состояний в X = 2 суперсимметрии.

7.6.3 Число 1/4 БПС состояний в X = 2 суперсимметрии.

7.7 Пример: С* модель (родственник CP1).

7.8 Петлевые поправки

7.9 Аномалия

8 Двумерные инстантоны и фреклы

8.1 Кэлеров фактор.

8.2 Сравнение действий нелинейной и линейной калиброванной моделей

8.3 Инстантоны в линейной калиброванной модели.

8.4 Пример.

9 Контактные члены в теории Зайберга-Виттена

9.1 Введение и основные результаты

9.2 Микроскопические и макроскопические теории.

9.3 Мера на кулоновой ветке.

9.4 Низкоэнергетическая теория.

9.5 Вычисления контактного члена.

9.5.1 Два-наблюдаемые.

9.5.2 Контактный член 0-наблюдаемой и 4-наблюдаемой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инстантоны и топологические теории»

0.1 Квантовая гравитация, струны, суперсимметрия и М-теория

Грандиозные успехи физики фундаментальных взаимодействий в первые три четверти 20 века бесспорны. Их вершиной является стандартная модель фундаментальных взаимодействий. Тем не менее, стандартная модель оставила открытыми целый ряд фундаментальных вопросов, таких, как вопросы о фундаментальных степенях свободы (для которых наблюдаемая калибровочная теория является всего лишь эффективной), о великом объединении и о квантовании гравитации. Остались не до конца выясненными вопросы о непертур-бативной формулировке квантовой теории поля и о количественном описании конфайнмента.

В настоящее время одним из подходов к решению этих проблем является развитие М-теории.

Историческим и идеологическим предшественником М-теории является модель Калузы-Клейна (недостатки и достоинства которой близки недостаткам и достоинствам М-теории). Модель Калузы описывала 4-мерную гравитацию, связанную с электромагнитным полем как результат компактификации 5-мерной гравитации на окружность. Удивительным образом на первый взгляд разные теории оказывались объединенными единым принципом, и даже магнитный монополь в такой электродинамике существовал (монополь Гросса-Перри). Однако, неизбежным следствием этой модели являлось существование системы заряженных частиц, масса которых была пропорциональна заряду - это не наблюдается в природе и было сочтено феноменологически неприемлемым. Модель Клейна заменяла окружность на сферу и приводила уже к неабелевой калибровочной теории с группой 50 (3), связанной с гравитацией - это было первое появление теории Янга-Миллса, не получившее, впрочем, широкого резонанса.

В модели Калузы-Клейна феноменологическая составляющая приносится в жертву простоте и геометричности модели, идее объединения и единого пер-вопринципа. Эти модели рассматриваются как простейшие модели некоторого класса, который подлежит изучению. Вопрос о выборе феноменологически приемлемой модели данного класса откладывается на будущее.

Вторым предшественником М-теории являются дуальные резонансные модели. Проблемы теории сильных взаимодействий побудили заменить лагран-жевое описание теории на матрицу рассеяния. При развитии этих идей возникли как теория дуальных резонансных моделей, так и двумерные теории с интегрируемой ¿'-матрицей. Теория дуальных резонансных моделей была переосмыслена как теория струн (в которой взаимодействие переносится протяженными объектами, заменяющими традиционные частицы). В этой теории в течении нескольких лет были открыты гравитация, отсутствие ультрафиолетовых расходимостей и суперсимметрия. Отметим, что как и в случае с моделями Калузы-Клейна ценным считалось не феноменологическое согласие с экспериментом, а решение фундаментальных проблем квантовой теории поля, таких как нетривиальное объединение гравитации с материей и квантование без расходимостей.

Третьим предшественником М-теории стала теория двумерных конформных теорий, выводящая за рамки пертурбативного подхода в квантовой теории поля и являющаяся языком, на котором могут быть сформулированы и доказаны непертурбативные эквивалентности (дуальности) разных теорий.

Четвертым предшественником М-теории стали четырехмерные суперсимметричные теории и супергравитации, созданными Ю.А.Гольфандом, Е.П.Лих-тманом и Д.В.Волковым, В.П.Акуловым, соответственно. Следует отдельно отметить, что авторов к этим теориям привело не желание сократить старшие расходимости (это оказалось позднее), а желание геометрически объяснить существование фермионов как связностей в суперпространстве! Четырехмерные суперсимметричные теории могут обладать удивительными свойствами - они могут вообще не иметь ультрафиолетовых расходимостей, а калибровочные теории с разными калибровочными группами и разным составом полей материи могут быть (гипотетически) непертурбативно эквивалентными: дуальности Монтонена-Олива и Зайберга.

Представляется удивительным, что такие разные теории, как описанные выше, могли бы объединиться в единое целое, но именно это и произошло.

Предшественники М-теории объединились примерно следующим образом.

Суперсимметричные теории (как теории материи, так и супергравитации) можно рассматривать в разных размерностях. Максимальная теория - 11-мерная супергравитация. Теории с меньшим числом суперсимметрий и в пространстве меньшей размерности получаются из теорий с большим числом суперсимметрий в пространстве большей размерности при компактификации типа Калузы-Клейна, но на специальные многообразия - многообразия с ковариантно постоянными спинорами.

Если считать, что 11-мерная супергравитация содержит мембрану и 5-брану (протяженные объекты пространственных размерностей 2 и 5), то при компактификации Калузы на окружность получается теория суперструны в десяти-мерии, а струна возникает из мембраны, намотанной на окружность.

Если теорию струны компактифицировать на специальное многообразие -с ковариантно постоянным спинором, то на мировом листе струны возникнет двумерная конформная теория - сигма-модель с таргет пространством - специальным многообразием. Непертурбативные эквивалентности таких теорий связывают разные специальные многообразия - так называемая зеркальная (мир-рор) симметрия.

Если 11-мерную супергравитацию компактифицировать на двумерный тор, получится 9-мерная теория струн, уже обладающая дуальностью. Эта дуальность геометрически состоит всего лишь в перестановке образующих тора. Из этой фундаментальной дуальности могут быть выведены другие, в частности, дуальность Монтонена-Олива.

Таким образом, суперсимметричные теории, компактификация, суперструны и дуальности оказываются неразрывно связанными в современном понимании М-теории.

С самого начала в квантовой теории поля была проблема ультрафиолетовых расходимостей. Были предложены разные способы перенормировки, но все они сначала подразумевали некоторый тип ультрафиолетового обрезания для получения конечного регуляризованного ответа. До открытия суперсимметрии был предложен способ Паули-Вилларса, состоявший в добавлении в теорию специальных тяжелых полей противоположной статистики. Но это не отвечало на вопрос о взаимодействии этих полей между собой. Оказывается, конечные суперсимметричные теории решают в точности этот вопрос. А именно, для регуляризации (асимптотически свободной) четырехмерной калибровочной теории (или двумерной сигма-модели) дополним ее до конечной суперсимметричной теории (такая теория всегда существует). После чего мягко нарушим суперсимметрию, давая новым полям массу М. В полученной таким образом теории будут две фазы - исходная, с бегущей константой связи ниже энергии М, и регуляризованная, с фиксированной константой связи при энергиях выше М.

Теперь перенормировка сведется к выбору константы связи во второй фазе способом, зависящим от М так, чтобы поведение константы связи в первой фазе не менялось. Это и есть использование суперсимметричных теорий как непер-турбативного ультрафиолетового регулятора.

Особенностью суперсимметрии является сокращение вклада флуктуации бозонов и фермионов в функциональный интеграл на фоне конфигурации полей, сохраняющих часть суперсимметрий. Такие конфигурации называются БПС конфигурациями.

Первым важным классом БПС конфигураций являются инстантоны - конфигурации с конечным действием, сохраняющие часть суперсимметрий. Инстантоны в четырехмерных калибровочных теориях играют важную роль в проверке справедливости гипотез дуальности и построенных эффективных лагранжианов в теориях с расширенной суперсимметрией. Эффективное действие в таких теориях выражается через голоморфную функцию - препотенциал. Гипотезы дуальности предсказывают его вид, а инстантоиные вычисления дают члены его разложения в ряд. Сравнение этих подходов является тестом гипотез дуальности.

Вторым классом являются БПС солитоны. Функциональный интеграл на фоне такого солитона вычисляется точно, и, как следствие, мы точно знаем массу частицы в теории, даже если теория не интегрируемая. Представляется, что это точное знание окажется крайне важным при изучении двумерных взаимодействующих квантовых теорий поля, получаемых как суперсимметричные деформации суперсимметричных интегрируемых систем методом деформации Э-матрицы.

Инстантонный предел суперсимметричной квантовой теории поля является примером так называемых топологических теорий. Двумерные топологические теории могут рассматриваться как теории на мировой поверхности так называемой топологической струны. Тем самым возникают теории струн, похожие на теорию суперструн, но технически более простые, которые можно рассматривать как модельные примеры. Не исключено также, что и теория суперструн окажется эквивалентной теории топологических струн для некоторого специального таргет суперпространства.

0.2 Общая характеристика и структура работы

Работа посвящена исследованию инстантонного предела в квантовой теории поля, связанных с ним топологических теорий и топологических струн, а также приложениям полученных результатов к изучению суперсимметричных теорий.

Традиционный взгляд на квантовую теорию поля предполагает развивать теорию возмущений вблизи теории с квадратичным лагранжианом - свободной теории. При этом достаточно сложно учесть непертурбативные эффекты ( точно это сделать практически никогда не удается), описывающие нетривиальную топологию таргет пространства в сигма-модели или калибровочной группы в суперсимметричной теории. Роль непертурбативных явлений отчетливо проявляется в суперсимметричных теориях, в которых возникает вырождение пространства вакуумов и различные центральные заряды в алгебре суперсим-метрий, приводящие к появлению частиц - солитонов, массу которых можно установить точно.

В диссертации предлагается дополнить традиционный пертурбативный подход новым, в котором стартовая точка теории возмущений является точно решаемой инстантонной теорией, то есть такой, в которой корреляторы даются суммой конечномерных интегралов по пространствам модулей инстантонов. Чтобы перейти в инстантонную теорию, необходимо взять специальный предел в обычной квантовой теории поля, в котором константа связи стремится к нулю, но при этом тэта-угол, отвечающий за сумирование инстантонов и антиинстан-тонов, стремится к мнимой бесконечности. Тогда вклад анти-инстантонов будет подавлен, но вклад инстантонов - усилен. Он остается конечным в пределе, и теория становится вполне содержательной, что и будет продемонстрировано в настоящей работе.

Обычно этот предел разбирается в суперсимметричных теориях для того, чтобы в нем вычислять корреляторы специальных величин, не зависящих от перехода к этому пределу - так называемых топологических наблюдаемых. В самом деле, их корреляторы довольно просты - например, корреляторы простейших наблюдаемых этого вида не зависят от положения в пространстве-времени (что и обусловило их название). В рассматриваемой работе предлагается сделать акцент на вычислении всех корреляторов в этих теориях, выйти за пределы топологического сектора, и сделать это в инстантонном пределе.

Работа построена по принципу восхождения от простого к сложному, поэтому она начинается с изучения инстантонного предела в квантовой механике. Этому посвящена глава 1. Оказывается, что уже этот предел достаточно нетривиален, хотя и точно решаем. Мы описываем гамильтониан, пространство волновых функций и корреляторы, при этом гамильтониан приобретает жорданову форму с положительным целочисленным спектром.

В главе 2 мы изучаем инстантонный предел в двумерной суперсимметричной теории. Топологические корреляторы в этой теории известны как инварианты Громова-Виттена. В работе исследутся не только они, но вся теория в целом. В частности показано, что для торических таргет пространств ( простейшим из которых является двумерная сфера) можно имитировать инстантоны вставкой специальных операторов - голомортексов, и точно учесть вклад суммы по инстантонам, если рассматривать голомортексы как возмущения лагранжиана (переходя к двойственным переменным). Так построено первое доказательство зеркальной симметрии как эквивалентностей квантовых теорий поля, а не только их топологических секторов.

В главе 3 мы изучаем бета-функдию, отвечающую за нарушение конформной инвариантности в инстантонном пределе обычной бозонной сигма-модели. До перехода к инстантонному пределу бета-функция равна левой части уравнений движения в гравитации, отвечающей бозонной струне. Однако стандартные переменные - метрика и поле Калба-Рамона - стремятся к бесконечности в инстантонном пределе. Поэтому вводятся новые переменные, называемые тви-сторными, которые гладко описывают деформации теории в окрестности ин-стантонной точки. Для одной из твисторных переменных - обратной эрмитовой метрики - вычислена бета-функция, оказавшаяся крайне простой - квадратичной. Сравнение со стандартными переменными подтверждает справедливость этого вычисления.

Корреляторы в двумерных суперсимметричных инстантонных теориях образуют формы на пространстве модулей комплексных структур на римановых поверхностях. Интегралы от корреляторов специальных операторов, называемых вертексными, называются амплитудами в теории топологических струн типа А. Однако при преобразовании дуальности (например, при зеркальной дуальности, описанной в главе 2) двумерная инстантонная теория переходит просто в некоторую конформную суперсимметричную теорию поля. Соответственно, понятие амплитуды в теории топологической струны обобщается в произвольную теорию такого вида. Мы разбираем процедуру интегрирования по положению отмеченной точки, и находим, что в случае, когда пространство состояний теории обладает ходжевым свойством, эти амплитуды можно универсалыю вычислить. Они удовлетворяют системе квадратичных уравнений, называемых уравнениями ассоциативности, и мы показываем, что предложенная процедура вычисления амплитуд приводит к такому решению. Мы разбираем пример - теорию типа Ландау-Гинзбурга, а также показываем, что конструкции теории примитивной формы Саито, использованной для построения решений уравнений ассоциативности, следуют из суперсимметричной квантовой механики состояний переходом к голоморфным частям ростков вакуумных волновых функций в главе 4.

В главе 5 мы разбираем топологическую часть конструкции ходжевых струн, предложенной в главе 4, в частности, построена специальная система пространств Ь2\т. обобщающих пространства модулей комплексных структур на сфере с отмеченными точками. Показано, что их топология связана с уравнениями коммутативности (мы так называем ¿-часть уравнений Вафы-Чекотти) так же, как топология пространства модулей комплексных структур на сфере с уравнениями ассоциативности. Также построены решения уравнений коммутативности в терминах корреляторов ходжевой квантовой механики, и исследованы интегрируемые структуры уравнений коммутативности и гомологическое тензорное произведение на его решениях (отвечающее произведению гильбертовых пространств соответствующих квантовых механик). В завершение описана процедура реконструкции, строящая решение уравнений ассоциативности по решению уравнения коммутативности и примитивному элементу.

После дискурса в область топологии мы возвращаемся к теоретико-полевым сюжетам, а именно к исследованию солитонов в суперсимметричных теориях. В суперсимметричных теориях из-за суперсимметрии оказываются вычислимыми следующие важнейшие свойства солитонов - число БПС солитонов данного топологического типа и их масса. Обычно БПС солитоны, как и другие частицы суперсимметричной теории, образуют супермультиплеты. Но поскольку БПС солитоны зануляются половиной суперсимметрий теории, они образуют короткие мультиплеты. Такие мультиплеты бывают двух типов, и при деформации теории солитоны коротких мультиплетов противоположных типов могут образовывать так называемый длинный мультиплет - и перестанут быть БПС солитонами. Поэтому важным вопросом является вопрос об индексе, то есть о разности числа солитонов противоположных типов.

В главе 6 описывается новый индекс, считающий число коротких мультиплетов в минимальной суперсимметричной двумерной теории поля с компактным таргет пространством и суперпотенциалом. Оказывается, что он равен индексу оператора Дирака на пространстве модулей градиентных траекторий на таргет пространстве, на котором суперпотенциал является функцией Морса и равен нулю, если это пространство модулей не является точкой.

В главе 7 это исследование индекса продолжается в теориях с большим числом суперсимметрий, однако, наиболее интересными результатами тут являются построение модели со спонтанным нарушением расширенной суперсимметрии до нерасширенной и выражение аномалии в центральном заряде в алгебре суперсимметрий через интеграл от пространственной производной киральных полей. Последнее утверждение ценно тем, что оно позволяет выразить голоморфный центральный заряд через разность вакуумных средних киральных полей. Вакуумные средние киральных полей могут быть найдены переходом к инстантонной теории - они не меняются при этом переходе. Тем самым масса солитона в суперсимметричной теории оказывается выраженной через вычисления в инстантонной, что дает пример использования топологических теорий для получения физически интересных результатов.

В главах 8 и 9 мы обсуждаем контактные члены в инстантонных теориях поля. Знание контактных членов необходимо, например, для сравнения корреляторов в двойственных теориях как функций на пространстве модулей теорий. Этот вопрос о специальных координатах уже вставал в главах 4 и 5, и был решен алгебраически с помощью процедуры реконструкции.

В главе 8 мы возвращаемся к этому вопросу с микроскопической точки зрения, сравнивая корреляторы в линейной калиброванной и нелинейной двумерной сигма-моделях. Мы обнаруживаем, что при устремлении калибровочной константы связи к бесконечности эти модели становятся эквивалентны почти везде, и область пространства-времени, в которой они не эквивалентны, имеет стремящуюся к нулю площадь. Но вклад этой области, называемой фреклом, в коррелятор сводится к индуцированию контактных членов, что мы и показываем на примере.

В главе 9 мы переходим к вопросу о контактных членах в в существенно более сложной четырехмерной калибровочной теории. А именно, мы сравниваем теорию 4-мерных инстантонов в неабелевой калибровочной теории с эфектив-ной абелевой калибровочной теорией с нетривиальным препотенциалом. Мы изучаем контактный член два-наблюдаемых, проинтегрированных по пересекающимся в точке поверхностям. Оказывается, что с помощью раздутия точки пересечения этих поверхностей контактный член можно выразить через тэта-функцию, в которой матрица периодов задается эффективной константой связи низкоэнергетической калибровочной теории. Это вычисление в частном случае подтверждается рассуждениями, основанными на использовании выражений для размерности пространства модулей инстантонов.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Лосев, Андрей Семенович

10 Заключение

В заключении перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Описан инстантонный предел суперсимметричной квантовой механики в гамильтоновом формализме. Показано, что гамильтониан стремится к оператору, имеющему жорданову форму и неотрицательные собственные значения. Недиагональные элементы в жордановой форме отвечают инстантонам. Волновые функции стремятся к обобщенным функциям. Для притягивающей точки гамильтониана (являющегося морсовским векторным полем) - это производные дельта-функции, сосредоточенные в этой точке. Для отталкивающей точки -это полиномы.

2. Введены твисторные переменные в пространстве констант связи бозонной сигма-модели, являющиеся регулярными в инстантонном пределе, описан переход к ним от стандартных переменных. Вычислена однопетлевая бета-функция в инстантонном пределе в твисторных переменных. Показано, что она имеет простой вид (квадратична) по твисторной переменной, отвечающей обратной эрмитовой метрике. Показано, что при переходе к стандартным переменным воспроизводится уравнение движения гравитации с тензорным полем и дила-тоном.

3. Зеркальное соответствие между суперсимметричной инстантонной теорией и теорией с суперпотенциалом описано как эквивалентность конформных теорий. При этом инстантоны смоделированы в свободной теории как корреляторы специальных операторов (голомортексов). Найдено представление, в котором голомортексы являются локальными по полям.

Показано, что вклад газа голомортексов в точности совпадает с деформацией действия суперпотенциалом

4. Показано, как по суперсимметричной квантовой механике со свойством ходжа строится решение уравнения коммутативности. Предложена процедура реконструкции, строящая по решению уравнения коммутативности и примитивному элементу решение уравнения ассоциативности. Показано, что теория Саито примитивной формы возникает при переходе к голоморфной части ростков вакуумных волновых функций в суперсимметричной квантовой механике. Найдена система пространств, чьи когомологии связаны с решениями уравнений коммутативности, как когомологии пространства модулей комплексных структур связаны с решениями уравнений ассоциативности. Определено гомологическое тензорное произведение на решениях уравнений коммутативности. Построена процедура одевания, строящая нетривиальные решения уравнения коммутативности из нетривиальных. Высказана гипотеза, проверенная в нетривиальном частном случае, о совпадении гомологического тензорного произведения с тензорным произведением одевающих преобразований

5. Построен новый индекс, измеряющий (взвешенное со знаками) число со-литонов в двумерной квантовой теории поля с минимальной суперсимметрией. Показано, что он равен индексу оператора Дирака на редуцированном пространстве модулей солитонов и отличен от нуля только если это пространство является точкой.

6. Построена суперсимметричная теория, со спонтанным нарушением расширенной суперсимметрии до нерасширенной. Аномалия в центральном заряде в солитонном секторе в суперсимметричной теории выражена через разность киральных конденсатов.

Т. Показано, что вклад точечных дефектов-фреклов в инстантонные вычисления в асимптотически свободных теориях проявляется в замене переменных на пространстве констант связи.

8. Предложена процедура раздутия точки пересечения дивизоров, позволяющая выразить контактный член 2-наблюдаемых через вклад инстантонов в окрестности точки раздутия. Зануление этого вклада для базисных наблюдаемых позволяет представить контактный член наблюдаемых с малым духовым числом через логарифмическую производную тэта-функции. Показано, что для теории с группой в и (2) и наблюдаемой с минимальным духовым числом этот контактный член согласуется с выражением, полученным из соображений размерности пространства модулей инстантонов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лосев, Андрей Семенович, 2007 год

1. E.Witten, Supersymmetry and Morse theory, J.Diff.Geom., 17 (1982) 661-692

2. S.Cecotti, L.Girardello, A.Pasquinicci, Singularity Theory And N=2 Supersymmetry, Int.J.Mod.Phys., A6 (1991) 2427-2496

3. S.Cecotti, Geometry of N=2 Landau-Ginzburg families, Nucl.Phys., B355 (1991) 755-776

4. S.Cecotti, P.Fendley, K.A.Intriligator, C.Vafa, A New supersymmetric index, Nucl.Phys., B386 (1992) 405-452

5. P.Fendley, K.A.Intriligator, Scattering and thermodynamics of fractionally charged supersymmetric solitons, Nucl.Phys., B372, (1992) 533-558

6. S.Cecotti, C.Vafa, On classification of N=2 supersymmetric theories, Comm. Math.Phys., 158 (1993) 569-644

7. A.Losev, New moduli spaces, commutativity equations and SQM, Proc. of the Int.Conf. Dedicated to the Memory of Professor Efim Fradkin, Moscow, 2000, v.l, Sci.World Publishing (2001) 529-535

8. A.Losev, I.Polyubin, Topological quantum mechanics for physicists, Письма в ЖЭТФ, 82 (2005) 373-380

9. E.Witten, On The Structure Of The Topological Phase Of Two-Dimensional Gravity, Nucl.Phys., B340 (1990) 281-332

10. M.Kontsevich, Yu.Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm.Math.Phys., 164 (1994) 525-562

11. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, Issues in topological gauge theory, Nucl.Phys., B534 (1998) 549-611

12. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, Testing Seiberg-Witten solution, in Proc. of NATO ASI Cargese Conference, 1997. Dordrecht, Boston, Kluwer Academic Publishers (1999) 359-372

13. E.Frenkel, A.Losev, N.Nekrasov, Notes on instantons in topological field theory and beyond, Nucl.Phys.Proc.Suppl., B171 (2007) 215-230

14. K.Hori and C.Vafa, Mirror symmetry, hep-th/0002222

15. R.Dijkgraaf, E.Witten, Mean Field Theory, Topological Field Theory, And Multimatrix Models, Nucl.Phys., B342 (1990) 486-522

16. B.Dubrovin, Geometry of 2d topological field theories, Springer Lecture Notes in Math., 1620 (1996) 120-348

17. A.Givental, Quantum cohomology of flag manifolds and Toda lattices, Comm.Math.Phys., 168 (1995) 609-642

18. A.Losev, A.Marshakov, A.Zeitlin, On First Order Formalism in String Theory, Phys.Lett., B633 (2006) 375-381

19. E.Frenkel, A.Losev, Mirror symmetry in two steps: A-I-B, Comm.Math.Phys., 269 (2007) 39-86

20. S.Cecotti, C.Vafa, Topological antitopological fusion, Nucl.Phys., B367 (1991) 359-461

21. A.Losev, Hodge Strings and Elements of K.Saito's theory of primitive form, Topological Field Theory: Primitive Form and Related Topics, Progress in Mathematics, v. 160, Boston, Birkhauser (1998) 305-337

22. Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Ed. P.Deligne et al., AMS/IAS, Providence, RI, 1999

23. A.Losev, On "Hodge"topological strings at genus zero, Письма в ЖЭТФ, 65 (1997) 386-392

24. B.Blok, A.Varchenko, Topological conformal field theories and the flat coordinates, Int.J.Mod.Phys., A7 (1992) 1467-1490

25. K.Saito, Period mapping associated to a primitive form, Publ.RIMS Kyoto Univ., 19 (1983) 1231-1264

26. K.Saito, The Higher Residue Pairings K/F (K) for a Family of Hypersurface Singular Points Proc.Symposia Pure Math., AMS, Areata, 40 (1983), Part 2, 441-463

27. E.Verlinde, H.Verlinde, A Solution Of Two-Dimensional Topological Quantum Gravity, Nucl.Phys., B348 (1991) 457-489

28. R.Dijkgraaf, E.Verlinde, H.Verlinde, Notes on topological string theory and 2D quantum gravity, Proc. of the Trieste Spring School 1990, World Scientific, (1991) 66 pp.

29. M.Bershadsky, S.Cecotti, H.Ooguri, C.Vafa, Кodaira-Spencer theory of gravity and exact results for quantum string amplitudes, Comm.Math.Phys., 165 (1994) 311-428

30. S.Keel, Intersection theory of moduli spaces of stable pointed curves of genus zero, Trans.AMS, 330 (1992) 545-574

31. A.Losev, Descendants constructed from matter field in topological Landau-Ginzburg theories coupled to topological gravity, ТМФ, 95 (1993) 595-603

32. A.Losev, I.Polyubin, On connection between topological Landau-Ginzburg gravity and integrable systems, Int.J.Mod.Phys., A10 (1995) 4161-4178

33. A.Losev, I.Polyubin, Gravitational descendants as generators of diffeomorphisms of the target space in topological Landau-Ginzburg gravity, Письма в ЖЭТФ, 58 (1993) 573-578

34. J.Distler, P.Nelson, Topological couplings and contact terms in 2-d field theory, Comm.Math.Phys., 138 (1991) 273-290

35. T.Eguchi et al, Topological strings, flat coordinates and gravitational descendants, Phys.Lett., B305 (1993) 235-241

36. R.Dijkgraaf, Introduction to Topological Field Theory, TASI 1992, Recent Directions in Particle Theory (1993) 689-743

37. A.Losev, On structure and open problems in topological theories coupled to topological gravity, ТМФ, 100 (1994) 879-885

38. A.Losev, Yu.Manin, New moduli spaces of pointed curves and pencils of flat connections, Michigan Math.J., 48 (2000) 443-472

39. A.Losev, Yu.Manin, Extended modular operad, Proc. of the MPIM conference on Frobenius Manifolds. Vieweg, 2004, Frobenius manifolds, E36 (2004) 181211

40. A.Losev, I.Polyubin, On Compatibility of Tensor Products on Solitons to WDVV Equation, Письма в ЖЭТФ, 73 (2001) 59-63

41. A.Losev, I.Polyubin, Commutativity equations and dressing transformation, Письма в ЖЭТФ, 77 (2003) 62-68

42. M.Kontsevieh, Yu.Manin Quantum Cohomology of the Product, Invent.Math., 124 (1996) 313-339

43. K.Behrend The product formula for Gromov-Witten invariants, alg-geom-9710014

44. M.Shifman, A.Vainshtein, M.Voloshin, Anomaly and quantum corrections to solitons in two-dimensional theories with minimal super symmetry, Phys.Rev., D59 (1999) 045016

45. A.Losev, M.A.Shifman, A.I.Vainshtein, Counting supershort supermultiplets, Phys.Lett., B522 (2001) 327-334

46. A.Losev, M.A.Shifman, A.I.Vainshtein, Single State Supermultiplet in 1+1 Dimensions, New J.Phys., 4 (2002) 21

47. B.de Wit, A.K.Tollsten, H.Nicolai, Locally supersymmetric D = 3 nonlinear sigma models, Nucl.Phys., B392 (1993) 3-38

48. E.Witten, Dynamical Breaking of Supersymmetry, Nucl.Phys., B188 (1981) 513-554

49. N.Dorey, The BPS spectra of two-dimensional supersymmetric gauge theories with twisted mass terms, JHEP, 9811 (1998) 005

50. L.Alvarez-Gaume, D.Z.Freedman, Potentials for the Supersymmetric Nonlinear Sigma Model, Comm.Math.Phys., 91 (1983) 87-101

51. E.A.Ivanov, S.O.Krivonos, A.I.Pashnev, Partial Supersymmetry Breaking In N=4 Supersymmetric Quantum Mechanics, Class.Quant.Grav., 8 (1991) 1940

52. A.Losev, M.A.Shifman, Reduced N — 2 quantum mechanics: Descendants of the Kahler geometries, Mod.Phys.Lett., A16 (2001) 2529-2543

53. X.Hou, A.Losev and M.A.Shifman, BPS saturated solitons in N = 2 two-dimensional theories on R x S (domain walls in theories with compactified dimensions), Phys.Rev., D61 (2000) 085005

54. A.Losev, M.Shifman, N=2 Sigma Model with Twisted Mass and Superpotential: Central Charges and Solitons, Phys.Rev., D68 (2003) 045006

55. S.J.Gates, Superspace Formulation Of New Nonlinear Sigma Models, Nucl.Phys., B238 (1984) 349-366

56. S.J.Gates, C.M.Hull, M.Rocek, Twisted Multiplets And New Super symmetric Nonlinear Sigma Models, Nucl.Phys., B248 (1984) 157-186

57. S.R.Coleman, There Are No Goldstone Bosons In Two-Dimensions, Comm.Math.Phys., 31 (1973) 259-264

58. G.Dvali, M.Shifman, Domain walls in strongly coupled theories, Phys.Lett., B396 (1997) 64-69

59. A.Kovner, M.Shifman, A.Smilga, Domain walls in supersymmetric Yang-Mills theories, Phys.Rev., D56 (1997) 7978

60. B.Chibisov and M.Shifman, BBS-saturated walls in supersymmetric theories, Phys.Rev., D56 (1997) 7990

61. S.Kobayashi, K.Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Interscience Publishers, New York, 1963-1969, Vols. 1&2

62. D.Morrison, R.Plesser, Summing the instantons: Quantum cohomology and mirror symmetry in toric varieties, Nucl.Phys., B440 (1995) 279-354

63. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, The Freckled Instantons, The many faces of the superworld: Yury Golfand Memorial Volume, Singapore, World Scientific, 2000, 453-475

64. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, Freckled instantons in two-dimensions and four-dimensions, Class.Quant.Grav., 17 (2000) 1181-1187

65. M.Aganagic, C.Vafa, Perturbative derivation of mirror symmetry, hep-th/0209138

66. N.Seiberg, E.Witten, Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory, Nucl.Phys., B426 (1994) 19-52

67. R.Donagi, E.Witten, Supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems, Nucl. Phys., B460 (1996) 299-334

68. A.Gorsky et al, Integrability and Seiberg-Witten exact solution, Phys.Lett., B355 (1995) 466-474

69. G.Moore, E.Witten, Integration over the u plane in Donaldson theory, Adv.Theor.Math.Phys., 1 (1998) 298-387

70. A.Losev, N.Nekrasov, S.Shatashvili, On Four Dimensional Mirror Symmetry, Fortsch.Phys., 48 (2000) 163-166

71. E.Witten, On S duality in Abelian gauge theory, Selecta Math., 1 (1995) 383410

72. M.Matone, Instantons and recursion relations in N~2 SUSY gauge theory, Phys.Lett., B357 (1995) 342-348