Гравитирующие сигма-модели в теории струн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Кечкин, Олег Вячеславович

• Кечкин, Олег Вячеславович
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кечкин, Олег Вячеславович

Введение

1 сг-модели в гравитации и теории струн

1.1 Трёхмерная сг-модель в ТЭ.

1.2 Трёхмерная сг-модель в ТЭМ.

1.3 Трёхмерная генерация из ТЭ в ТЭМ

1.4 Трёхмерная сг-модель в ТЭМД.

1.5 Трёхмерная сг-модель в ТЭМДА.

1.6 Трёхмерная сг-модель в ТГС.

1.7 Симметрии двумерных сг-моделей.

1.8 Солитоны в двумерных сг-моделях.

2 сг-модели с симплектической симметрией

2.1 Изучение усечённой сг-модели.

2.2 Группа заряжающих симметрий.

2.3 Симметрии пространства зарядов

2.4 Построение линеаризующего представления.

2.5 Генерация неэкстремальных решений.

2.6 Инвариантный класс экстремальных решений

2.7 Инвариантный класс геодезических решений.

2.8 Изучение расширенной сг-модели.

3 сг-модели с ортогональной симметрией

3.1 Матричные потенциалы Эрнста

3.2 Классификация скрытых симметрий.

3.3 Группа заряжающих симметрий.

3.4 Линеаризующее представление.

3.5 Инвариантный класс решений ИВП.

3.6 Генерация в моделях с d + п = 2.

3.7 Генерация в моделях cd + n > 2.

4 сг-модели с унитарной и унимодулярной симметрией

4.1 Унитарное усечение модели с d = п = 1.

4.2 Унитарное расширение модели с d — п = 1: группа заряжающих симметрий.

4.3 Унитарное расширение модели с d = п = 1: общий формализм матричных потенциалов.

4.4 Унимодулярное представление для модели с с? = 2, п = О и его расширения.

4.5 Инвариантный класс геодезических решений в модели с d =

2, ?7. = 0.

4.6 Гармонические подпространства в расширенных моделях

4.7 Инвариантные отображения в классе расширенных моделей

5 сг-модели в двух измерениях

5.1 Альтернативные матричные представления.

5.2 Асимптотически плоские солитонные решения.

5.3 Некоторые конкретные примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гравитирующие сигма-модели в теории струн»

Создание последовательной теории, реалистически описывающей все фундаментальные частицы и взаимодействия между ними, является основной задачей теоретической физики. В настоящее время считается, что решение этой задачи может быть найдено на пути построения самосогласованной непертурбативной теории суперструн, с последующей интерпретацией её результатов в терминах объектов и событий, наблюдаемых в эксперименте [1]-[7]. Современное состояние данной области физико-математических наук характеризуется бурным и всесторонним развитием. Представляемая диссертационная работа посвящена изучению ряда предсказываемых теорией суперструн модификаций Общей Теории Относительности.

В настоящее время Общая Теория Относительности (ОТО) [8]-[12] и, особенно, различные её обобщения, составляют существенную часть всей физико-математической деятельности. При этом, в отличие от предшествующего периода развития предмета, современные варианты ОТО оказываются естественным образом связанными с другой, ранее автономной частью теоретической физики - с квантовой теорией поля (КТП) [13]—[19]. Взаимопроникновение феноменологических приложений двух указанных дисциплин - физики чёрных дыр [20]—[23] и космологии [24]—[26] (со стороны ОТО) и физики элементарных частиц [27]—[33] (со стороны КТП) - уже принесло определённые результаты [34]—[38]. Однако как прикладная, так и фундаментальная работа в деле создания соответствующей объединённой теории остаются ещё весьма далекими от своего логического завершения и активно продолжаются в наше время.

Несколько упрощая, можно сказать, что под обобщением ОТО понимается любая общековариантная теория, в рамках которой метрика физического пространства-времени и набор рассматриваемых полей материи описываются в соответствующей (квази)геометрической форме. При этом метрика входит в уравнения движения теории в том числе, и через определяемые тензором кривизны Римана-Кристоффеля величины, а поля материи часто объединяются в различные нетривиальные мультиплеты. Так, например, в рамках простейших обобщений в качестве обсуждаемой метрической конструкции выступает тензор Риччи и скаляр кривизны, а материальные поля являются либо скалярами, либо потенциалами для соответствующих дифференциальных форм (о различных используемых здесь геометрических структурах можно прочитать в [39]-[41]). Разумеется, множество возможных обобщений ОТО оказывается при этом бесконечным, а детальное изучение их свойств и последующая классификация упираются в проблему существенной нелинейности всех подобных теорий.

С учётом указанных трудностей, а также исходя из общих эстетических соображений, до некоторой степени произвольное 'конструирование' очередного варианта обобщения ОТО стараются заменить на 'вывод' уравнений движения новой теории (или её лагранжиана в случае лагранжевых систем) из того или иного 'первопринципа'. Исторически первым таким 'первопринципом' оказался т. н. 'принцип геометризации', в рамках которого не только уравнения движения, но и набор всех материальных полей теории должны иметь 'чисто геометрическое происхождение'.

К классу 'геометризованных' теорий относятся, например, теории Калуцы-Клейна (ТКК), которые являются обобщениями ОТО на случай пространства-времени большей, чем четыре, размерности [42]— [44]. В ТКК поля материи 'получают' из дополнительных компонент метрики, а дополнительные измерения 'сворачивают' в компакты микроскопических (точнее, ненаблюдаемых в 'обычных' экспериментах) размеров. После этого исследуют возникающую четырёхмерную теорию, которая описывает систему определённым образом взаимодействующих скалярных и калибровочных полей, 'минимально' связанных с метрикой. Отметим, что исходная многомерная теория является стандартной Общей Теорией Относительности (с соответствующим числом измерений) в вакууме. Об истории обсуждаемого здесь геометрического подхода к построению обобщений ОТО можно прочитать, например, в сборнике [45].

Теория Борна-Ифельда-Эйнштейна (ТБИЭ) является ещё одним примером 'геометризованной' теории, получившей, к тому же, в последнее время своё второе, уже струнное, рождение. В ТБИЭ у метрического тензора предполагается наличие антисимметричной части; эта последняя полагается пропорциональной максвелловскому тензору напряжённости электромагнитного поля. При этом симметричная часть метрического тензора связывается с 'обычной' метрикой искривлённого четырёхмерного пространства-времени. Не останавливаясь на подробностях, которые могут быть найдены в литературе (например, в работе [46]), отметим, что ТБИЭ оказывается эквивалентной борн-инфельдовскому нелинейному варианту электродинамики, взаимодействующей с гравитационным полем. О некоторых современных вариантах ТБИЭ и их приложениях можно прочитать в [47]—[49].

Следует отметить, что как в случае ТКК, так и в случае ТБИЭ, соответствующая конкретизация 'принципа геометризации', имеющая простой аналитический смысл, позволяет установить как 'спектр' полей теории, так и тип взаимодействия между ними. Иными словами, в рамках такого подхода удаётся 'вывести' интересующий вариант теории в его явном виде, т. е. устанавливаются своего рода 'правила отбора' на множестве всех теорий из рассматриваемого класса. При этом исходный 'первопринцип' вовсе не обязательно должен быть связан, как это было в случае рассмотренных теорий, именно с геометрией.

Действительно, развитие квантовой теории привело к такому изменению области формулирования 'первопринципов', в результате которого 'принцип геометризации' оказался заменённым на 'принцип наличия квантового варианта' у той или иной 'затравочной' классической системы. Разумеется, именно указанный квантовый вариант рассматривается в данном подходе как 'истинная физическая' теория, а породившая его классическая система играет роль лишь соответствующего к нему приближения. Однако в силу требуемой согласованности процедуры квантования на множестве всех 'затравочных' классических теорий из рассматриваемого класса очевидным образом задаются 'правила отбора'. А именно, в силу этих правил отбираются только те классические теории, которые имеют свой квантовый вариант. Мы здесь не будем входить в детали обсуждения последовательной процедуры квантования и лишь отметим, что он по-необходимости понимается в пертурбативном смысле и основывается на свойствах перенормируемости и (почти всегда) отсутствия аномалий у рассматриваемых теорий.

Аномалии, как известно, отвечают потере тех или иных симметрий теории в результате проведения процедуры квантования. При этом полная группа симметрий является одним из основных характеристических свойств рассматриваемой теории. А именно, упрощая, можно сказать, что в рамках соответствующих друг другу классической и квантовой теорий реализуются различные представления одной и той же группы фундаментальных симметрий (о теории представлений групп и её физических приложениях см. курс [50], а также монографии [51] - [53]). Забегая вперёд, отметим, что уравнения струнной гравитации, с исследованием пространства решений которых связана эта диссертационная работа, являются условиями отсутствия аномалий в теории гетеротической струны (ТГС) в низкоэнергетическом приближении. С формальной же точки зрения обсуждаемая струнная гравитация выступает в качестве ещё одного, уже мотивированного пертурбативной ТГС, конкретного обобщения ОТО. Различные современные нетривиальные струнно- и квантовогравитационные обобщения ОТО можно найти, например, в работах С. Одинцова с соавторами, см. [54]—[70] (и, особенно, обзор [71]). В указанных работах также даются многочисленные и приложения струнной теории к космологии и физике чёрных дыр.

Заметим, что теория струн и сама является теоретической схемой, отвечающей второму из сформулированных 'первопринципов'. Соответствующая классическая теория описывает динамику одномерных объектов - замкнутых и открытых струн, инвариантную относительно действия группы конформных симметрий. Последовательная процедура квантования должна, в соответствии с общей схемой деятельности, быть свободной от конформной аномалии. Замечательно, что это требование позволяет, например, 'вычислить' размерность физического пространства-времени [72] - [76]. Отметим, что классическая и квантовая струнная динамика активно исследовалась в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ Б. М. Барбашовым, В. В. Нестеренко и соавторами, [77] - [91]. При этом изучались и различные тесным образом связанные со струнной теорией общие вопросы и конкретные теоретические конструкции [92] - [96].

С целью устранения тахионных состояний изначально бозонная теория должна быть суперсимметризована ( о суперсимметрии см. [97] - [98]), после чего получившаяся теория суперструн должна быть тем или иным образом проквантована. В результате в рамках пертурбативного подхода получаются пять различных согласованных конкретных суперструнных теорий. Их низкоэнергетические пределы описываются, как известно, соответствующими супергравитациями [99] - [102]. Отметим, что все эти супергравитации являются, с формальной точки зрения, вполне определёнными обобщениями ОТО, 'поддерживаемыми', как говорят, теорией суперструн.

Как уже говорилось, теория суперструн претендует на роль последовательной и реалистической теории великого объединения, включающей в себя, в том числе, и гравитационный сектор. Предполагается, что упомянутые пять её известных пертурбативных 'режимов' (с одним из которых - пертурбативной теорией гетеротической струны и связана, главным образом, данная диссертационная работа), являются предельными случаями пока ещё не построенной, но активно разрабатываемой М-теории [103] - [105]. При этом информация о непертурбативной области М-теории получается, в основном, при помощи применения так называемых 'дуальностей', являющихся, по предположению, точными квантовыми симметриями данной теории [106] - [108]. Отметим, что преобразования дуальности применяются к результатам, полученным в рамках 'обычного' пертурбативного подхода. В связи с этим обстоятельством детальное исследование пертурбативных режимов теории суперструн является важной и выходящей за свои собственные рамки задачей.

Обратимся теперь к обсуждению третьего 'первопринципа', или третьего 'правила отбора', замечательным образом согласующегося с уже обсуждавшимися первым и вторым 'правилами'. Имеется в виду принцип выбора из рассматриваемого класса теорий тех его представителей, которые имеют максимально широкую группу скрытых симметрий. При этом под симметрией здесь понимается любое преобразование независимых координат и функциональных переменных теории, переводящее произвольное решение её уравнений движения в соответствующее ему в силу этого преобразования решение.

Как показывает практика, наличие нетривиальных симметрий у существенно нелинейной теории обеспечивает дополнительные (и наиболее действенные) возможности для исследования пространства её решений и классификации элементов этого пространства [109] - [112]. В качестве примера такой теории может быть названа важная для приложений к физике частиц и крайне интересная с математической точки зрения модель Скирма. Существенный прогресс в её изучении, достигнутый группой Ю. П. Рыбакова, во многом основывается на использовании группы скрытых симметрий этой теории [113] - [118]. В частности, исследовались важные для феноменологии максимально-инвариантные конфигурации в модели Скирма.

Связанные с использованием теории симметрий методы часто называются 'методами генерации'; их использование привело к исключительному прогрессу как в стандартной ОТО, так и в некоторых 'удачных' обобщениях данной теории. При этом выясняснилось, что 'геометризуемые' и 'имеющие квантовый аналог' обобщения ОТО, такие как, например, ТКК и, соответственно, низкоэнергетическая ТГС, обладают максимально широкими группами скрытых симметрий в рамках классов теорий соответствующих типов. В этом смысле три рассмотренных 'правила отбора' замечательным образом приводят к согласующимся результатам. Отметим, что, ввиду своей принципиальной вычислимости, доступными при изучении нелинейных теорий оказываются, фактически, только непрерывные симметрии.

Принципиальная схема метода генерации сводится к следующему. Используя разработанную Софусом Ли и его последователями процедуру, вычисляют все генераторы преобразований симметрии данной системы дифференциальных уравнений. Затем, по найденным инфинитезимальным преобразованиям, 'восстанавливают' соответствующие им конечные элементы группы скрытых симметрий теории. После этого, применяя, по-возможности, общий конечный элемент указанной группы преобразований, 'переводят' каждое из найденных ранее частных решений рассматриваемой системы в соответствующее семейство её решений. При этом каждое из построенных таким образом семейств решений оказывается, автоматически, инвариантным классом по отношению к действию преобразований из группы скрытых симметрий. Отметим также, что поиск 'затравочных' решений выходит за рамки собственно метода генерации, а эффективность этого метода напрямую зависит от того, насколько нетривиальной является группа скрытых симметрий изучаемой теории.

Иногда знание инфинитезимальной структуры группы симметрий системы дифференциальных уравнений оказывается достаточным для отыскания процедуры её интегрирования. Обладающие этим замечательным свойством системы называются 'интегрируемыми'; общеизвестные примеры подобных систем обыкновенных дифференциальных уравнений даёт классическая механика [119] - [120]. С некоторыми уточнениями свойство интегрируемости оказывается ключевым и при исследовании соответствующих (интегрируемых) систем уравнений в частных произвожных, хотя в данном случае ситуация оказывается гораздо более сложной. Ясно, что принципиальная 'вычислимость' пространств решений интегрируемых систем (являющихся, вообще говоря, существенно нелинейными) обеспечивает исключительные возможности для анализа, например, физических приложений соответствующих теорий. Работа, связанная с поиском и изучением интегрируемых систем, активно продолжается в настоящее время и ещё весьма далека даже от своего принципиального завершения [121] - [123].

В контексте данной диссертационной работы наиболее интересными представляются найденные в последнее время новые интегрируемые струнно-гравитационные системы. Все они, с учётом таких фактически не допускающих приближённый анализ 'сингулярных' физических приложений, как теория чёрных дыр и космология, являются исключительно важными в рамках изучения указанных дисциплин. Здесь следует отметить работы А. Т. Филиппова с соавторами, в которых устанавливались и детально исследовались интегрируемые обобщения дилатонной гравитации струнного типа [124] - [134]. При этом данными авторами рассматривались приложения разработанных ими общих методов как к физике чёрных дыр (общий анализ горизонтов), так и к физической космологии. Изучавшиеся в их работах системы, что существенно, не сводились к тем или иным эффективным сигма-моделям, наличие которых обычно значительно упрощает проведение соответствующего анализа.

Заметим, что такие струнно-гравитационные модели, появляющиеся после различных нетривиальных компактификаций предельных режимов теории суперструн, остаются пока малоисследованными в контексте обсуждаемого здесь свойства интегрируемости. Изучение подобных нестандартных' систем, как оказывается, может выявить новые возможности для решения известных фундаментальных теоретических проблем. Так, например, рассмотрение мотивированного теорией суперструн аналога трения в космологии позволило Б. М. Барбашову, В. И. Первушину и соавторам получить ряд новых результатов, связанных, в частности, с необходимостью решения проблем начального состояния в космологии, наличия во Вселенной тёмной материи, а также описания реалистической эволюции галактик [135]-[137]. Разработанная этими авторами масштабно-инвариантная космология оказывается связанной с уже упоминавшимися борн-инфельдовскими обобщениями ОТО.

Предсказываемое теорией суперструн нелинейное обобщение электродинамики (например, борн-инфельдовского типа), взаимодействующей с гравитационным полем, должно приводить, как выясняетя, к многочисленным наблюдаемым последствиям в области звёздной динамики. Здесь следует прежде всего отметить результаты работы группы В. И. Денисова, имеющие, в том числе, конкретные приложения к физике нейтронных звёзд и пульсаров [138]—[145].

Имея в виду постоянно используемую далее терминологию, отметим сразу, что под 'сигма-моделью' здесь понимается любая теория, лагранжиану которой можно обычным образом сопоставить определённое эффективное риманово пространство, называемое 'пространством потенциалов'. При этом 'гравитирующей сигма-моделью' называется любая сигма-модель, минимально связанная с эйнштейновской гравитацией, заданной над соответствующим координатным пространством. Хорошо известно, что как ОТО, так и её наиболее детально изученное классическое обобщение -теория Эйнштейна-Максвелла (ТЭМ), описываются определёнными гравитирующими сигма-моделями как в стационарном, так и в аксиальносимметричном случаях. Тем же свойством обладает и тороидально скомпактифицированная на три измерения ТКК. С этим обстоятельством, а также с фактом наличия нетривиальных симметрий у пространств потенциалов указанных теорий и связан, в основном, исключительный успех, достигнутый в их изучении. Было установлено, что во всех трёх случаях пространства потенциалов теорий являются симметрическими.

В работах Эрнста [146], Элерса [147] Харрисона [148] и Киннерсли

149] - [152] были установлены и классифицированы скрытые симметрии трёхмерных гравитирующих сигма-моделей в ОТО и ТЭМ. В работе Мазура [153] в основном подытоживается соответствующий общий формализм, определяемый представлением этих систем в терминах потенциалов Эрнста, и связанный с последовательным использованием допускаемого обеими системами представления нулевой кривизны. Соответствующая работа для случая (исходной пятимерной) ТКК была проведена Мэйсоном, см. [154]. Полученные в указанных публикациях результаты воспризведены во вводной части диссертационной работы. Они сыграли большую эвристическую роль при постановке и решении тех проблем и реализации тех программ, с которыми связана оригинальная часть данной диссертации.

В работах [155] - [156] Белинского и Захарова была впервые получена пара Лакса для стационарной и аксиальносимметричной ОТО; тем самым было показано, что данная гравитационная система является интегрируемой. В работах Г. А. Алексеева [157] - [161] и Н. Р. Сибгатуллина [162] - [165] был установлен факт интегрируемости стационарной и аксиальносимметричной ТЭМ. В обоих случаях были построены общие ('одевающие') солитонные преобразования на произвольном фоне. Позднее Г. А. Алексеевым был развит 'метод монодромии', в рамках которого, в частности, удаётся получать в том числе и несолитонные решения в ОТО [166]. Интегрируемость пятимерной ТКК, тороидально скомпактифицированной на два измерения, была установлена, в полной аналогии с аналогичным свойством ОТО, Белинским и Руффини, см. [167]. Развитые указанными авторами мощные генерационные процедуры привели к построению большого числа важных с физической точки зрения семейств решений. Так, были получены крайне нетривиальные решения как космологического, так и 'частицеподобного' типов, фактически 'недоступные' при использовании аналитически менее изощрённых подходов.

Большой вклад в изучение двумерных гравитирующих сигма-моделей, появляющихся в ОТО и ТЭМ, был внесён Герочем [168] - [169], Киннерсли с соавторами [170] - [174], Хаузером и Эрнстом [175] - [187], Косгровом [188] - [193], Крамером и Нойгебауэром с соавторами [194] - [202], и рядом других исследователями [203] - [207]. При этом была установлена, в частности, крайне нетривиальная групповая структура указанных интегрируемых систем. Выяснилось, например, что группа скрытых симметрий рассматриваемых теорий является бесконечномерной. Был найден способ нахождения некоторых бесконечномерных подалгебр полной алгебры скрытых симметрий. Восстановление же конечных преобразований симметрии по их уже известным инфинитезимальным частям оказалось, в общем случае, практически неразрешимой задачей.

Обсуждаемая конкретная сигма-модельная деятельность была существенно обобщена на все трёхмерные сигма-модели с симметрическим пространством потенциалов в работах [208] - [210] Брейтенлонера, Гиббонса и Мэйсона. В работах же [211] - [212] Дж. А. Шварца были подытожены исследования алгебры скрытых симметрий соответствующих двумерных систем. При этом была рассмотрена произвольная допускающая представление нулевой кривизны гравитирующая сигма-модель как главного кирального, так и симметрического типов. Ознакомление с результатами, приведёнными в указанных публикациях, значительно повлияло на разработку соответствующей оригинальной части данной диссертации.

В диссертационной работе изучается низкоэнергетический предел бозонного сектора теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицированный на три и два измерения. Он описывает некоторое (конкретизируемое далее) обобщение ОТО, которое, как выясняется, обладает многими характерными чертами ТЭМ. Рассматриваемая гравитационная модель является многомерной (точнее, 10-мерной в согласованном с квантовой теорией гетеротической струны случае). При этом поля материи включают в себя дилатон (скалярное поле), поле Калб-Рамона (антисимметричное тензорное поле второго ранга, оно входит в теорию, фактически, через три-форму), а также набор абелевых калибровочных (максвелловских) полей (квантовая теория гетеротической струны приводит к 16 таким полям). Взаимодействие между указанными полями материи, являющимися, вместе с метрикой, безмассовыми бозонными модами возбуждения гетеротической струны, оказывается однозначно определённым струнной динамикой в рассматриваемом низкоэнергетическом (однопетлевом) приближении.

Отметим, что размерность физического пространства-времени, равно как и число максвелловских полей, имеет смысл оставлять в качестве произвольных параметров, переходя к указанным ранее 'критическим' их значениям только по мере необходимости. Дело в том, что при некоторых других ('некритических') значениях этих параметров получающиеся гравитационные модели также описывают бозонные секторы соответствующих супергравитаций. Кроме того, эти новые 'исключительные' значения приводят, после компактификации рассматриваемых теорий, к динамическим системам, обладающим особыми аналитическими свойствами. В диссертации исследованию указанных систем также отводится соответствующее место: в рамках развиваемого и основанного на использовании скрытых симметрий теории генерационного подхода эти системы играют роль естественных баз генерации.

Первые результаты общего характера в области изучения скрытых симметрий бозонного сектора теории гетеротической струны принадлежат Д. Махаране и Дж. А. Шварцу. Эти авторы, в частности, показали, что после тороидальной компактификации на три измерения рассматриваемая теория становится нелинейной гравитирующей сигма-моделыо [213]. А. Сен, в свою очередь, установил, что указанная сигма-модель обладает симметрическим пространством потенциалов, и первым получил представление нулевой кривизны для данной теории [214J—[215]. Представление А. Сена использовалось многими авторами для построения, прежде всего, имеющих ясный физический смысл новых классов асимптотически-плоских решений (см. обзор [216]). При этом ими использовались как непосредственное интегрирование уравнений движения в тех или иных частных случаях, так и некоторые специальные преобразования симметрии [217]—[221]. Можно сказать, что под вторым (генерационным) подходом данная диссертационная работа подводит определённую логическую черту. Разработанный в ней формализм (трёхмерной) генерации асимптотически-плоских решений является универсальным и не допускающим дальнейшего обобщения.

Отметим, что генерация асимптотически-плоских решений производится при помощи тех преобразований симметрии теории, которые сохраняют свойство асимптотической плоскостности. Множество всех таких преобразований образует, очевидно, подгруппу группы скрытых симметрий. Эта подгруппа называется 'группой заряжающих преобразований'. Подобная терминология является естественной с точки зрения использования обсуждаемого генерационного формализма в области физики чёрных дыр. Так, хорошо известно, что применение соответствующих заряжающих преобразований симметрии к нейтральному решению Шварцшильда позволяет 'перевести' его в заряженное решение Райсснера-Нордстрема в рамках теории Эйнштейна-Максвелла. Аналогичная процедура переводит нейтральное решение Керра в заряженное решение Керра-Ньюмена в той же теории. Следует отметить, что 'затравочные' по отношению к генерации (и входящие в соответствующую базу) решения предполагаются здесь, разумеется, асимптотически-плоскими (например, решения Шварцшильда и Керра обладают этим свойством).

В диссертационной работе, в рамках изучения низкоэнергетической теории гетеротической струны, основную роль играет построение в явном виде общего конечного элемента группы трёхмерных заряжающих симметрий, а также последующее его использование в конкретных генерационных целях. С общей же точки зрения, основными целями диссертации являются:

- всестороннее развитие общего формализма в изучаемой струнно-гравитационной теории;

- детальное изучение группы скрытых симметрий этой теории;

- разработка новых и наиболее общих процедур генерации инвариантных классов асимптотически-плоских решений в ней;

- построение и исследование конкретных семейств точных решений, интересных как с точки зрения их физических приложений, так и в рамках общего изучения и развития теории суперструн.

Материал данной диссертационной работы может рассматриваться как естесственное и кардинальное развитие и усиление результатов предыдущей [222], написанной и защищённой под руководством профессора Д. В. Гальцова во время моего обучения в аспирантуре физического факультета МГУ. В настоящее время группа профессора Д. В. Гальцова продолжает работу в том числе и в направлениях, близких к развиваемому здесь, см. [223]—[234].

С формальной точки зрения, моя кандидатская диссертация была связана, в основном, с изучением четырёхмерной теории рассматриваемого здесь типа, включающей, помимо дилатона и калб-рамоновского поля, одно абелево калибровочное поле. В представляемой же диссертационной работе, в числе прочего, ограничения на размерность пространства-времени и число полей в абелевом секторе теории удалось снять. При этом были получены совершенно новые результаты как общего (связанные с развитием формализма теории), так и конкретного (те или иные инвариантные классы точных решений) характера. В разработке некоторых из представленных здесь результатов принимали участие защитившиеся под моим научным руководством к.ф.-м. н. Юрова М.В. ([235]) и Эррера-Агиляр А.Ф. ([236]) которых я также хочу искренне поблагодарить за сотрудничество. Их последующая оригинальная научная деятельность также частично связана с разработкой данной темы (см., соответственно, [237]-[239] и [237]-[239]).

В число научно-исследовательских коллективов, внёсших существенный вклад в изучение и развитие струнно-гравитационных систем рассматривамого в диссертации типа, а также и некоторых родственных тем, нужно включить группы М. Цветич и Д. Юма [244]— [251], Г. Гиббонса [252]—[259], Р. Каллош [260]—[267], М. Гасперини и Г. Венециано [268]-[275], А. Бисваса, А. Кумара и К. Рея [276]-[279], Ю.П. Рыбакова [280]—[283] и В. Н. Мельникова [284]—[291]. Следует отметить работы (с соавторами) М. Цейтлина [292]—[295], И. Бакаса [296]—[299], Ж. Клемана [300]—[303] и В. Сабра [304]—[307]. Сравнение их результатов с полученными в ходе работы над диссертацией имело весьма существенное стимулирующее значение.

Обратимся теперь к обсуждению содержания диссертационной работы. Она включает в себя Введение, пять глав основного текста, Заключение, и список цитируемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кечкин, Олег Вячеславович

Заключение

В диссертационной работе изучался бозонный сектор низкоэнергетической теории гетеротической струны, а также некоторые его естественные математические обобщения. Был получен ряд новых и оригинальных результатов, связанных с нетривиальной природой скрытых симметрий теории, появляющихся после проведения её тороидальной компактификации на три и два измерения. Основное внимание уделялось развитию общих методов построения асимптотически-плоских решений, связанных с использованием группы заряжающих симметрий, которая и сама являлась предметом активного изучения в диссертации. Был детально разработан матричный формализм, при помощи которого оказалось особенно удобным работать с классами асимптотически-плоских решений, инвариантных относительно действия группы заряжающих преобразований симметрии. В рамках этого формализма был построен ряд новых физически значимых классов точных решений. Кроме того, для некоторых специальных реализаций теории с использованием соответствующих групповых изоморфизмов были построены представления, отличающиеся предельной компактностью и простотой. Они также были использованы как для общего анализа соответствующих струнно-гравитационных моделей, так и для достижения конкретных генерационных целей.

Были прослежены глубокие формальные аналогии между низкоэнергетической теорией гетеротической струны и такими классическими гравитационными системами, как Общая Теория Относительности и теория Эйнштейна-Максвелла. Принимая во внимание всю совокупность полученных в диссертации результатов, можно прийти к выводу о том, что бозонный сектор низкоэнергетической теории гетеротической струны является одним из наиболее естесственных математических обобщений указанных двух теорий. То, что обобщение такого рода неединственно, видно на примере исследованного в диссертационной работе класса гравитационных моделей с симплектической группой скрытых симметрий. Рассмотрение данного класса моделей, представляющего также и самостоятельный интерес, сыграло существенную эвристическую роль в ходе изучения гораздо более сложного случая теории гетеротической струны, являющегося основным предметом диссертационного исследования.

Подводя итоги, можно утверждать, что в рамках диссертации была в целом завершена работа, связанная с общими вопросами генерации трёхмерных асимптотически-плоских решений исходя из сравнительно простых, включая и чисто классические, генерационных баз. Что же касается двумерных аспектов развитого здесь формализма, то можно, также, считать в целом завершённой работу по построению простейших солитонных решений заряжающего типа в классе рассматриваемых струнно-гравитационных систем. При этом конкретные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Для бозонного сектора теории гетеротической струны при низких энергиях, тороидально скомпактифицированного на три измерения, развито представление в терминах матричных потенциалов Эрнста. При этом, если число скомпактифицированных измерений есть d, а число исходных абелевых полей равно п, соответствующие 'гравитационный' и 'электромагнитный' матричные потенциалы Эрнста имеют размерности (d + 1) х (d + 1) и (d + 1) х п. В рамках данного представления классическая теория Эйнштейна-Максвелла реализуется как совместный анзац теории гетеротической струны с d = 1 и п = 2.

2. С использованием формализма матричных потенциалов Эрнста исследована и классифицирована полная группа скрытых симметрий теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицированной на три измерения. Показано, что эта группа естественным образом разбивается на пять секторов - матричных аналогов преобразований гравитационного и электромагнитного сдвигов, изменения масштаба, а также преобразований Элерса и Харрисона. Найдено дискретное преобразование симметрии, переводящее друг в друга матричные 'гравитационный сдвиг' и преобразование Элерса, а также матричные 'электромагнитный сдвиг' и преобразование Харрисона. При этом дискретном отображении матричное преобразование изменения масштаба переходит в себя.

3. С использованием матричных потенциалов Эрнста для тороидально скомпактифицированной на три измерения теории гетеротической струны построена полная группа её заряжающих симметрий. В частности, получен явный вид существенно нелинейных 'нормированных' преобразований Элерса и Харрисона в данной теории. Под указанными преобразованиями понимаются матричные преобразования Элерса и Харрисона, скомбинированные с матричными преобразованиями сдвига и изменения масштаба таким образом, чтобы свойство сохранения асимптотической плоскостности полевых конфигураций теории автоматически имело место.

4. Построено представление низкоэнергетической теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицированной на три измерения, в рамках которого полная группа её трёхмерных заряжающих симметрий реализуется линейно и однородно. Это представление связано с использованием 'линеаризующего' матричного потенциала, имеющего размерность (d+ 1) х 1 + п), и определённым образом связанного с 'гравитационным' и 'электромагнитным' матричными потециалами Эрнста. Для произвольного решения теории установлено существование трёх векторных матричных потенциалов (с размерностями (d+1) х (d+ 1), {d +1) х (d+1 + n) и (d+l + n) x (d+l + n)), знание которых сводит проблему 'раздуализации' любого решения (т.е. перехода от его сигма-модельного представления к представлению в терминах исходных физических полей) к чисто алгебраической задаче.

5. В рамках формализма 'линеаризующего' представления данной теории (с произвольными значениями параметров d и п) развита общая техника генерации асимптотически плоских решений, ковариантная относительно действия группы заряжающих симметрий. В явном виде построено инвариантное относительно действия группы заряжающих симметрий расширение пространства решений стационарной теории Эйнштейна-Максвелла в область пространства решений теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицированной на три измерения.

6. Построено новое, тесным образом связанное как с 'линеаризующим', так и с эрнстовским, представление нулевой кривизны низкоэнергетической теории гетеротической струны с произвольными значениями параметров dun. Это представление является базовым для распространения разработанных в трёхмерном случае методов анализа рассматриваемой теории на случай её тороидальной компактификации на два измерения.

7. В рамках использования формализма 'линеаризующего' матричного потенциала для теории гетеротической струны, тороидально скомпактифицированной на три измерения, было построено общее экстремальное решение типа Израэля-Вильсона-Переша. Показано, что в случае (двух) теорий с d -f- п = 2 это решение определяется (d + 1) произвольной гармонической функцией и одним постоянным нормированным стоолбцом высоты 3, в то время как для теорий с d+n > 2 число произвольных гармонических функций равно 2(d+l), а постоянные параметры определяются двумя ортонормированными столбцами высоты d + n — 1.

8. Исследованы непрерывные обобщения класса решений Израэля-Вильсона-Переша в область неэкстремальных решений данной теории, связанные с обобщением геометрии пространства постоянных параметров, определяющих указанный класс. Показано, что такое обобщение эквивалентно отображению пространств решений сигма-модели с симметрическим пространством потенциалов SL(2, R)/SO(2), главной киральной модели с группой симметрии SL(2, R) и эффективной теории гетеротической струны с des = 1, п-eff = d, в пространства решений для теорий с d = п = 1, d = 2,п = 0 и d + п > 2, соответственно. При этом для случая первого отображения в явном виде построено решение вида Райсснера-Нордстрема, свободное от особенностей типа дираковской струны. Для второго отображения полностью классифицирована группа скрытых симметрий (и, в частности, выделены два преобразования элерсовского типа). Для третьего отображения определён специальный случай стартовой системы, эквивалентный стационарной теории Эйнштейна-Максвелла, и построено в явном виде струнное продолжение решения Керра-Ньюмена-НУТ.

9. Для теории с d — п ~ 1 построено новое 'линеаризующее' представление в терминах комплексного симметричного матричного потенциала размерности 2x2. Установлена его связь с соответсвующим комплексным представлением Эрнста данной теории.

10. Для теории с d = 2, п — 0 найдено новое матричное представление нулевой кривизны вида SL(4, R)/SO(4). Это представление использовано для построения общего геодезического решения типа Мажумдара и Папапетру.

11. Для теории с d = 1,п = 2 найдено новое комплексное представление в терминах 2 х 2-матричного потенциала Эрнста, а также связанное с ним 'линеаризующее' представление. На основе 'линеаризующего' представления разработана техника генерации решений с базой, эквивалентной стационарной теории Эйнштейна-Максвелла. Для рассматриваемой струнно-гравитационной системы построено новое представление нулевой кривизны с матрицей нулевой кривизны, параметризующей факторпространство SU(2,2)/S[U(2) х U(2)]. Установлена его связь с представлением в терминах комплексного матричного потенциала Эрнста.

12. Для теории с произвольным d и с п = 0 найдено совместное усечение с нетривиальными метрическим, дилатонным и калб-рамоновским полями. Построено дискретное преобразование, переводящее это усечение в теорию Калуцы-Клейна со скалярным полем и с тем же числом тороидально скомпактифицированных измерений. При помощи проекционного формализма построено отображение пространства решений стационарной теории Эйнштейна-Клейна-Гордона в пространство решений указанной усечённой струнной теории. Вычислено в явном виде струнное продолжение решения Керра-НУТ, модифицированное за счёт наличия дилатонного поля с нетривиальными монопольными и дипольными характеристиками.

13. Для ряда перечисленных моделей, тороидально скомпактифицированных на два измерения, найдено преобразование

Крамера и Нойгебауэра, обобщающее соответствующее преобразование из стационарной и аксиально-симметричной Общей Теории Относительности. При помощи этого преобразования для соответствующих струнно-гравитационных теорий было построено представление нулевой кривизны типа представления Белинского и Захарова в ОТО. С ним было связано, в свою очередь, матричное не-сигма-модельное представление эрнстовского типа.

14. Для ряда перечисленных теорий, тороидально скомпактифицированных на два измерения, были построены солитонные решения в смысле обратной задачи теории рассеяния. При этом все построенные солитонные операторы симметрии сохраняют свойство асимптотической плоскостности фона (т.е. являются заряжающими) и допускают предельный переход к инфинитезимальной форме. Соответствующие инфинитезимальные преобразования принадлежат к алгебре токовых симметрий (аналогу бесконечномерной алгебры группы Героча из Общей Теории Относительности). В простейших случаях, при помощи введения продолженных сфероидальных координат, построенные на плоском фоне солитонные решения были приведены к удобному для физического анализа виду. В ходе их изучения солитонные параметры были истолкованы в терминах мультипольных моментов физических полей рассматриваемых струнно-гравитационных теорий.

Отметим, что все конкретные представители рассмотренного класса теорий (с определёнными значениями параметров d и п), описывающих тороидально скомпактифицированную на три или два измерения теорию гетеротической струны, являются естественными генерационными базами в рамках общей схемы генерации, разработанной в диссертации. Именно в этом качестве они и рассматриваются с точки зрения общей композиции диссертационной работы.

Обращаясь к вопросу о перспективах дальнейшего развития выбранного в диссертации направления исследований, следует сказать следующее. Прежде всего, было бы интересно более подробно исследовать некоторые из построенных классов физически важных решений. Это относится, прежде всего, к классу экстремальных решений Израэля

Вильсона-Переша, который представляет особый интерес с точки зрения изучения его суперсимметричных свойств и последующего выхода в непертурбативную область. Отметим, что соответствующая работа для случая четырёхмерной теории с шестью абелевыми векторными полями, которая соответветствует случаю Af = 4 супергравитации, была проведена Р. Каллош с соавторами.

Далее, исключительно многообещающие перспективы открываются при попытке последовательного анализа эффективных полевых теорий, возникающих в рамках теории суперструн, но не приводящих после компактификации на три и два измерения к какой бы то ни было сигма-модели. Например, эффективное полевое действие может содержать члены второго порядка по тензору Римана-Кристоффеля (типичный представитель такого рода коррекций - член Гаусса-Бонне). Другой пример связан с заменой линейного максвелловского сектора калибровочных векторных полей на также интересный с точки зрения струнной теории нелинейный сектор Борна-Инфельда (об этом уже говорилось во Введении). Отыскание возможных в таких теориях нетривиальных преобразований симметрии и разработка на их основе содержательной генерационной процедуры могли бы существенно продвинуть вперёд изучение предсказаний струнной теории, однако техника поиска скрытых симметрий здесь будет заведомо иной. При этом более простые сигма-модельные системы с нетривиальной группой симметрий, каковыми являются классические ОТО и ТЭМ, а также и изученные в данной диссертации струнно-гравитационные модели из ТГС, могут сыграть роль своего рода эталонов при проведении исследований в указанных крайне нетривиальных направлениях.

Переходя к выражению благодарностей, я хочу, прежде всего, поблагодарить моего непосредственного начальника, профессора Ишханова Бориса Саркисовича, за создание самых благоприятных условий для моей научной деятельности в НИИЯФ МГУ и за общее доброжелательное отношение и всестороннюю поддержку в работе и жизни. Я очень признателен всем сотрудникам института и в особенности отдела, в котором работаю, за поддержание общей обстановки спокойствия и товарищества, без которых написание мной диссертации едва ли стало бы возможным. Профессору Гальцову Дмитрию Владимировичу я благодарен за создание творческой атмосферы и введение в тему исследований во время моего обучения в аспирантуре кафедры теоретической физики на физическом факультете МГУ.

Частично работа была выполнена в Институте Физики и Математики Университета Штата Мичоакан (Морелия, Мексика), где я находился по приглашению к.ф.-м.н. Альфредо Эррера-Агиляр, который также позаботился о создании всех необходимых условий для моей научной деятельности. Часть результатов диссертационной работы была получена в соавторстве с к.ф.-м.н. Юровой Марией Владимировной (научным руководителем диссертационной работы которой я являлся) а также с уже упомянутым к.ф.-м.н. Альфредо Эррера-Агиляр (аналогичное руководство совместно с Махалдиани Нугзаром Владимировичем (ОИЯИ)). Им я хочу выразить свою благодарность за совместную научную деятельность.

Я хочу поблагодарить профессоров В. И. Саврина, А. Т. Филиппова, В. И. Денисова, В. В. Нестеренко, С. Д. Одинцова, Ю. П. Рыбакова, В. И. Первушина, С. М. Елисеева, А. П. Исаева, Э. Э. Бооса, В. Е. Троицкого, И. П. Денисову, В. Н. Мельникова и В. Г. Кречета за полезное и плодотворное обсуждение представленных в диссертации результатов.

Наконец, я хочу поблагодарить свою маму, Кечкину Валентину Тихоновну, а также всех своих друзей и знакомых, за хорошее ко мне отношение на протяжении всего времени работы над настоящей диссертационной работой.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кечкин, Олег Вячеславович, 2005 год

1. А.Морозов. Теория струн - что это такое// УФН (1992) т. 162 N 8 с.84-175;

2. А. М. Поляков. Калибровочные поля и струны. ИТФ им. JI. Д. Ландау, 1995.

3. Barbashov В.М., Nesterenko V.V. Introduction to the Relativistic String Theory. Singapore: World Scientific, 1990.

4. Грин M., Шварц Дж., Виттен E. Теория суперструн. Т. 1-2. М.: Мир, 1990.

5. Бринк Л., Энно М. Принципы теории струн. М.: Мир, 1991.

6. Т. Mohaupt, Introduction to string theory, Lect.Notes Phys. 631, 173251, 2003.

7. Joseph Polchinski. What is string theory?// In: Les Houches Summer School, Session 62: Fluctuating Geometries in Statistical Mechanics and Field Theory, Les Houches, France, 2 Aug 9 Sep 1994.

8. С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

9. П. А. М. Дирак, Общая теория относительности. М.: Атомиздат, 1978.

10. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977. Т. 1 3.

11. Carroll S.M., Lecture notes on general relativity, NSF-ITP-97-147, 1997.

12. H. Stephani. Relativity: an introduction to special and general relativity. Cambridge, UK: Univ. Pr., 2004.1.. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.

13. А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1976.

14. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Т. 1-2. М.: Мир, 1984.

15. Дж. Д. Бъёркен, С. Д. Дрелл. Релятивистская квантовая теория. Т. 1-2. М.: Наука, 1978.

16. Т.-П. Ченг, Л.-Ф. Ли. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. М.: Мир, 1987.

17. Л. Райдер. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.

18. Э. Хенли, В. Тирринг. Элементарная квантовая теория поля. М.: Издательство Иностранной Литературы, 1963.

19. Frolov V.P., Novikov I.D. Black hole physics: basic concepts and new developments. Dordrecht, Germany: Kluwer Academic (1998).

20. Новиков И. Д., Фролов В. П. Чёрные дыры во вселенной// УФН (2001) т. 171, N:3, с. 307-324.

21. Черепащук А. М. Поиски чёрных дыр// УФН (2003) т. 173, N:4, с. 346-384.

22. By S. Hawking. Black holes and baby universes and other essays. Toronto, Canada: Bantam Books, 1994.

23. M. Lachieze-Rey. Cosmology: a first course. Cambridge, UK: Univ. Pr., 1995.

24. А. Д. Долгов, Я. Б. Зельдович, М. В. Сажин. Космология ранней вселенной. Издательство МГУ, 1988.

25. S.W. Hawking. Lectures on quantum cosmology In *De Vega, H.j. ( Ed.), Sanchez, N. ( Ed.): Field Theory, Quantum Gravity and Strings*, 1-45, 1986.

26. Окунь JI.Б. Современное состояние физики элементарных частиц// УФН (1998) т.168, N:6, с.625-629.

27. Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц. М.: Наука, 1972.

28. К. Готтфрид, В. Вайскопф. Концепции физики элементарных частиц. М.: Мир, 1988

29. Л. Б. Окунь. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1990.

30. Хелзен Ф., Мартин А. Кварки и лептоны. М.: Мир, 1987.

31. К. Хуанг. Кварки, лептоны и калибровочные поля. М.: Мир, 1985.

32. Н. Ф. Нелипа, Физика элементарных частиц. М.: Высшая школа, 1977.

33. Рубаков В.А. Физика частиц и космология: состояние и надежды// УФН, (1999) т. 169, N:12, с. 1299-1309.

34. А. Д. Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.: Наука. 1990.

35. М. Treichel, Particle physics and cosmology: an introduction into foundation and connections. Berlin, Germany: Springer, 2000.

36. J.W. Van Holten, Gravitational waves and black holes: an introduction to general relativity// Fortsch. Phys. 45, 439-516, 1997.

37. Maldacena J.M. Black holes in string theory. Princeton U. Ph.D. Thesis. 1996.

38. В. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука, 1986.

39. Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1-2 М.: Наука, 1981.

40. W. Israel. Differential forms in General Relativity. Commun. Dublin Inst. Adv. Studies A 19, 1970.

41. J.M. Overduin, P.S. Wesson, Kaluza-Klein Gravity, Phys.Rept. 283, 303380, 1997

42. Л. Strathdee. Introduction to Kaluza-Klein theories// In *Trieste 1985, Proceedings, Superstrings, Supergravity and Unified Theories*, 1-21. 1985.

43. М.Л. Duff, B.E.W. Nilsson, C.N. Pope. Kaluza-Klein supergravity// Phys.Rept.130 (1986) 1-142.

44. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сб. статей. М.: Мир, 1979.

45. Черников Н. А. Уравнения Борна-Инфельда в единой теории поля Эйнштейна// Препринт ОИЯИ Р2-981, 1976.

46. G.W. Gibbons, D.A. Rasheed. Sl(2, С) invariance of nonlinear electrodynamics coupled to an axion and dilaton// Phys. Lett. B365 (1996) 46-50.

47. R. Garcia-Salcedo, N. Breton. Born-Infeld cosmologies// Int. Л. Mod. Phys. A15 (2000) 4341-4354.

48. M. Sato, A. Tsuchiya. Born-Infeld action from supergravity// Prog. The-or. Phys. 109 (2003) 687-707.

49. Желобенко Д.П. Лекции по теории групп Ли. Дубна, 1965.

50. М. Хамермеш. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966.

51. М. А. Наймарк. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.

52. А. Барут, Р. Рончка. Теория представлений групп и её приложения. Т. 1-2. М.: Мир, 1980.

53. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Modified gravity with negative and positive powers of the curvature: unification of the inflation and of the cosmic acceleration// Phys.Rev.D68 (2003) 123512.

54. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. The minimal curvature of the universe in modified gravity and conformal anomaly resolution of the instabilities // Mod.Phys.Lett.A19 (2004) 627-638.

55. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Modified gravity with LN R terms and cosmic acceleration // Gen.Rel.Grav.36 (2004) 1765-1780.

56. Emilio Elizalde, James E. Lidsey, Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Born-Infeld quantum coondensate as dark energy in the universe// Phys.Lett.B574 (2003) 1-7.

57. Guido Cognola, Emilio Elizalde, Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. One-loop F(R) gravity in de Sitter universe // JCAP 0502 (2005) 010.

58. Emilio Elizalde, Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Late-time cosmology in (pantom) scalar-tensor theory: dark energy and the cosmic speedup// Phys.Rev.D70 (2004) 043539.

59. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. The final state and thermodynamics of dark energy universe // Phys.Rev.D70 (2004) 103522.

60. M.C.B. Abdalla, Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Consistent modified gravity: dark energy, acceleration and the absence of cosmic doomsday // Class.Quant.Grav.22 (2005) L35.

61. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Dark energy and cosmic speed-up from consistent modified gravity // Proc.Sci.WC2004 (2004) 024.

62. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Quantum escape of sudden future singularity // Phys.Lett.B595 (2004) 1-8.

63. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Gravity assisted dark energy dominance and cosmic acceleration // Phys.Lett.B599 (2004) 137-142.

64. Guido Cognola, Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov, Sergio Zerbini. Multigraviton theory from a descretized RS brane world and the induced cosmological constant // Mod.Phys.Lett.Al9 (2004) 1435-1446.

65. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Multisupergravity from latticezed extra dimension // Phys.Lett.B590 (2004) 295-302.

66. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Where new gravitational physics comes from: M theory?// Phys.Lett.B576 (2003) 5-11.

67. Mirjam Cvetic, Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Cosmological anti-de Sitter space-times and time dependent ADS / CFT correspondence// Phys.Rev.D69 (2004) 023513.

68. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov, К. E. Osetrin. Dilatonic quantum multibrane worlds// Phys.Rev.D63 (2001) 084016.

69. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov, Sachiko Ogushi, Akio Sugamoto, Miho Yamamoto. Axion dilatonic conformal anomaly from ADS / CFT corresponding// Phys.Lett.B465 (1999) 128-135.

70. Shin'ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov. Quantum dilatonic gravity in (D = 2)-dimensions, (D = 4)-dimensions and (D = 5)-dimensions// Int.J.Mod.Phys.A16 (2001) 1015-1108.

71. Ю.Н. Кафиев. Аномалии и теория струн, М.: Наука, 1991.

72. Kiritsis Е., Introduction to superstring theory. Leuven, Belgium: Leuven Univ. Pr., 1998.

73. Kiritsis E., Introduction to nonperturbative string theory, in 'La Plata 1997, Trends in theoretical physics' pp. 265-308, 1997.

74. Ashoke Sen, An introduction to nonperturbative string theory, in 'Cambridge 1997, Duality and supersymmetric theories' pp. 297-413, 1998.

75. Варбашов B.M., Нестеренко В.В. Суперструны новый подход к единой теории фундаментальных взаимодействий // УФН (1986) Т. 150, 489-524.

76. Б. М. Барбашов, A. JI. Кошкаров. Открытая струна в фоновом неабелевом поле// ТМФ (1990) 85, 176-182.

77. V.V. Nesterenko, G. Lambiase. Deconfinement of quarks in the Nambu-Goto string with massive ends In *Janke, W. (ed.) et al.: Fluctuating paths and fields* (2001) 635-644.

78. G. Lambiase, V.V. Nesterenko. Nambu-Goto string without tachyons between a heavy and a light quark //In *Janke, W. (ed.) et al.: Fluctuating paths and fields* (2001) 625-634.

79. L. Hadasz, G. Lambiase, V.V. Nesterenko. Casimir energy of a nonuniform string 11 Phys.Rev.D62 (2000) 025011.

80. V.V. Nesterenko, I.G. Pirozhenko. Open rigid string with the Gauss-Bonnet term in action // Mod.Phys.Lett.A13 (1998) 2513-2522.

81. V.V. Nesterenko, I.G. Pirozhenko. Justification of the zeta function renormalization in rigid string model // J.Math.Phys.38 (1997) 62656280.

82. V.V. Nesterenko, I.G. Pirozhenko. On the calculation of the interquark potential generated by a string with massive ends // Phys.Rev.D55 (1997) 6603-6605.

83. G. Lambiase, V.V. Nesterenko. Nambu-Goto string with massive ends at finite temperature // Phys.Lett.B398 (1997) 335-341.

84. H. Kleinert, G. Lambiase, V.V. Nesterenko. Hadronic string without tachyons: real inter-quark potential between a heavy and a light quark at all distances // Phys.Lett.B384 (1996) 213-217.

85. G. Lambiase, V.V. Nesterenko. Quark mass correction to the string potential // Phys.Rev.D54 (1996) 6387-6398.

86. A.L. Kholodenko, V.V. Nesterenko. Classical dynamics of rigid string from Willmore functional // J.Geom.Phys.16 (1995) 15-26.

87. В. M. Barbashov, V. V. Nesterenko, A. M. Chervyakov. General solutions of nonlinear equations in the geometric theory of the relativistic string. Commun. Math. Phys. 84 (1982) 471-481.

88. В. M. Barbashov. Integrals of periodic motion for classical equations of relativistic string with masses at ends// Nucl.Phys.Proc.Suppl.57 (1997) 284-287.

89. В. M. Barbashov, V. V. Nesterenko. Relativistic string model in a space-time of a constant curvature. Commun. Math. Phys. 78 (1981) 499.

90. A. Feoli, V.V. Nesterenko, G. Scarpetta. Functionals linear in curvature and protein folding // Nucl.Phys.B705 (2005) 577-592.

91. V.V. Nesterenko, G. Scarpetta. Pure geometrical approach to singular Lagrangians with higher derivatives // In ^Cambridge 1994, Geometry of constrained dynamical systems* (1994) 229-238.

92. V.V. Nesterenko, A. Feoli, G. Scarpetta. Complete integrability for La-grangian dependent on acceleration in a space-time of constant curvature // Class.Quant.Grav.13 (1996) 1201-1212.

93. A.M. Chervyakov, V.V. Nesterenko. Is it possible to assign physical meaning to field theory with higher derivatives? // Phys.Rev.D48 (1993) 5811-5817.

94. V.V. Nesterenko, A. Feoli, G. Lambiase, G. Scarpetta. Regularizing property of the maximal acceleration principle in quantum field theory // Phys.Rev.D60 (1999) 065001.

95. П. Уэст. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М.: Мир, 1989.

96. Bruno Zumino. Supersymmetry and supergravity// Phys. Rept.1041984) 113.

97. Введение в супергравитацию. Сб. статей под редакцией С. Феррары, Дж. Тейлора. М.: Мир, 1985.

98. Mirjam Cvetic, Harald Н. Soleng. Supergravity domain walls// Phys.Rept.282 (1997) 159-223.

99. E.S. Fradkin, A.A. Tseytlin. Conformal supergravity// Phys.Rept.1191985) 233-362.

100. P. Van Nieuwenhuizen. Supergravity // Phys.Rept.68 (1981) 189-398.

101. P.K. Townsend. Four lectures on M theory// In *Trieste 1996, High energy physics and cosmology* 385-438.

102. N.A. Obers, B. Pioline. U duality and M theory// Phys.Rept.318 (1999) 113-225.

103. John H. Schwarz. From superstrings to M theory// Phys.Rept.315 (1999) 107-121.

104. John H. Schwarz, Ashoke Sen. Duality symmetric actions// Nu-cl.Phys.B411 (1994) 35-63.

105. John H. Schwarz. Superstririg dualities// Nucl.Phys.Proc.Suppl.49 (1996) 183-190.

106. John H. Schwarz. Evidence for nonperturbative string symmetries// Lett.Math.Phys.34 (1995) 309-317.

107. JI. В. Овсянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

108. И. X. Ибрагимов. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

109. В. М. Barbashov, V. V. Nesterenko. Continuous symmetries in field theory. Fortsch. Phys. 31 (1983) 535-567.

110. П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

111. V.G. Makhankov, Y.P. Rybakov, V.I. Sanyuk. Tte Skyrme model: fundamentals, methods, applications// Berlin, Germany: Springer (1993) 265 p. (Springer series in nuclear and particle physics).

112. Yu.P. Rybakov. Maximally invariant configurations in the SU(3) Skyrme model// Published in *Dubna 1993, Symmetry methods in physics, vol. 2* (1993) 423-427.

113. Yu.P. Rybakov, V.I. Sanyuk. Methods to study (3+1) locali-uzed structures: skyrmeon as the absolute minimum of energy// Int.J.Mod.Phys.A7 (1992) 3235-3264.

114. Yu.P. Rybakov, A.M. Tarabay, I.G. Chugunov. SU(2) Skyrme vortices// Phys.Atom.Nucl.63 (2000) 664-665; Yad. Fiz.63 (2000) 730-731.

115. I.R. Kozhevnikov, Yu.P. Rybakov, M.B. Fomin. Structure of topological solitons in the Skyrme model// Theor.Math.Phys.75 (1988) 575-580; Teor.Mat.Fiz.75 (1988) 353-360.

116. Yu.P. Rybakov, A.M. Tarabay, I.G. Chugunov. Vortex-like structures iri the Skyrme-Einstein chiral model// Grav. Cosmol. 4 (1998) 57-60.

117. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

118. Г. Голдстейн. Классическая механика. М.: Наука, 1975.

119. В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, JI. П. Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

120. Zakharov V.E. What is integrability? Berlin, Germany: Springer, 1991.

121. Дж. JI. Лэм. Введение в теорию солитонов. М.: Бибфизмат, 1997.

122. А.Т. Filippov, V. de Alfaro. Integrable low dimensional theories describing high dimensional branes, black holes and cosmologies// e-Print Archive: hep-th/0307269

123. A.T. Filippov. Integrable models of horizons and cosmologies// e-Print Archive: hep-th/0307266

124. Horizons in (l+l)-dimensional dilaton gravity coupled to matter// A.T. Filippov, D. Maison. Class.Quant.Grav.20 (2003) 1779-1786.

125. A.T. Filippov. Integrable models of black holes and their generalizations in the theories of supergravity and superstrings// Phys.Atom.Nucl.65 (2002) 963-967; Yad.Fiz.65 (2002) 907-1001.

126. V. de Alfaro, A.T. Filippov. Integrable 1+1 dimensional models of dilaton gravity// In * Florence 1998, Path integrals from peV to TeV* 197-200

127. A.T. Filippov. Integrable 1+1 dimensional matter: dilaton gravity models// In *Moscow 1996, Physics* 239-242.

128. A.T. Filippov. 1+1 dimensional models of dilaton gravity coupled to bosons and fermions// In *Dubna 1997, Supersymmetries and quantum symmetries* 301-306.

129. A.T. Filippov, V.G. Ivanov. A new class of integrable models of (l+l)-dimensional dilaton gravity coupled to scalar matter// Phys.Atom.Nucl.61 (1998) 1639-1643; Yad.Fiz.61 (1998) 1757-1761.

130. The Birkhoff theorem in the quantum theory of two-dimensional dilaton gravity// Marco Cavaglia, Vittorio de Alfaro, Alexandre T. Filippov. Atti Accad.Sci.Torino.Sci.Fis.Mat.Natur.131 (1997) 65-75.

131. A.T. Filippov. Integrable (l+l)-dimensional gravity models// Int.J.Mod.Phys.A12 (1997) 13-22.

132. A.T. Filippov. Exact solutions of (l+l)-dimensional dilaton gravity coupled to matter// Mod.Phys.Lett.All (1996) 1691-1704.

133. Boris Barbashov, Piotr Flin, Victor Pervushin. The problem of initial data in cosmology and conformal general relativity // Proceedings. IHEP, Protvino, Russia (2002) 293-314.

134. V.V. Papoian, V.N. Pervushin, D.V. Proskurin. Cosmological creation of matter in conformal cosmology // Astrophysics 46 (2003) 92-102.

135. A.A. Gusev, Victor N. Pervushin, S.I. Vinitsky, A.G. Zorin. Cold dark matter as cosmic evolution of galaxies in relative units // Astrophysics 47 (2004) 242-247.

136. Victor I. Denisov, Sergei I. Svertilov. Nonlinear electromagnetic and gravitational actions of neutron star fields on electromagnetic wave propagation// Phys. Rev. D71 (2005) 063002.

137. V.I. Denisov, S.I. Svertilov, LP. Denisova. A possibility for studying gravitational properties of the neutrino // Theor. Math. Phys. 138 (2004) 142-149; Teor. Mat. Fiz. 138 (2004) 167-176.

138. Victor I. Denisov, Igor V. Krivchenkov, Nikolay V. Kravtsov. Experiment for measuring the post Maxwellian parameters of nonlinear electrodynamics of vacuum with laser interferometer techniques// Phys. Rev. D69 (2004) 066008.

139. Victor I. Denisov, Sergey I. Svertilov. Vacuum nonlinear electrodynamic effects in hard emission of pulsars and magnetars// Astron. Astrophys. 399 (2003) L39-L42.

140. Victor I. Denisov, Irene P. Denisova, Sergey I. Svertilov. The nonlinear electrodynamic bending of the X-ray and gamma-ray in the magnetic field of pulsars and magnetars // Dokl. Akad. Nauk Ser. Fiz. 380 (2001) 435.

141. Victor I. Denisov, Mikhail I. Denisov. Verification of Einstein's principle of equivalence using a laser gyroscope in terrestial conditions // Phys. Rev. D60 (1999) 047301.

142. V.I. Denisov. Motion of a massive particle in the vicinity of a singular sphere // Theor. Math. Phys. 112 (1997) 10G8-1079; Teor. Mat. Fiz. 112 (1997) 337-352.

143. Victor I. Denisov. New effect in nonlinear Born-Infeld electrodynamics // Phys.Rev.D61 (2000) 036004.

144. F. J. Ernst. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem // Phys.Rev.167 (1968) 1175-1179

145. J. Ehlers. In *Les Theories de la Gravitation*, CNRS (1959) Paris.

146. B.K. Harrison. New large family of vacuum solutions of the equations of general relativity // Phys.Rev.D21 (1980) 1695-1697.

147. W. Kinnersley, Generation of stationary Einstein-Maxwell fields, J. Math. Phys. 14, 651 (1973).

148. W. Kinnersley, Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. I, J. Math. Phys. 18, 1529 (1977).

149. W. Kinnersley and D. M. Chitre, Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. II, J. Math. Phys. 18, 1538 (1977).

150. W. Kinnersley and D. M. Chitre, Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. Ill, J. Math. Phys. 19, 1926 (1978).

151. P.O. Mazur. A relationship between the electrovacuum Ernst equations and nonlinear sigma model // Acta Phys.Polon.B14 (1983) 219-234.

152. D. Maison. Ehlers-Harrison type transformations for Jordan's extended theory of gravitation // Gen.Rel.Grav.10 (1979) 717-723.

153. Белинский B.A., Захаров B.E. // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. С. 1953-1971.

154. Белинский В.А., Захаров B.E. // ЖЭТФ. 1978. Т. 77. С. 3-19.

155. G. A. Alekseev, N soliton solutions of the Einstein-Maxwell equations, Pis'ma JETP 32, 301 (1980).

156. G. A. Alekseev, On soliton solutions of the Einstein equations in a vacuum, Sov. Phys. Dokl. 28, 158 (1981).

157. G. A. Alekseev, Solitonic configurations of interacting massless fields, Sov. Phys. Dokl. (USA) 28,133 (1983), Original Russian: Doklady Akad. Nauk SSSR 268, 1347 (1983)].

158. G. A. Alekseev, The method of the inverse scattering problem and singular integral equations for interacting massless fields, Sov. Phys. Dokl. (USA) 30, 565 (1985), Original Russian: Dokl. Akad. Nauk SSSR 283, 577 (1985)].

159. G. A. Alekseev, Exact solutions in the general theory of relativity, Trudy Matem. Inst. Steklov 176, 215 (1987).

160. N. R. Sibgatullin, V. S. Manko and M. N. Zaripov, Exterior field of a magnetized rotating disk: Exact formulation as a linear problem, Gravitation Cosmology 2, 231-234 (1996).

161. N. R. Sibgatullin, Proof of the Geroch conjecture for electromagnetic and neutrino fields in the General Theory of Relativity, Sov. Phys. Dokl. (USA) 28, 552 (1983), Original Russian: Doklady Akad. Nauk SSSR 271, 607 (1983)].

162. N. R. Sibgatullin, Construction of the general solution of the Einstein-Maxwell system of equations for the stationary axisymmetric case, Sov. Phys. Dokl. (USA) 29, 802 (1984), Original Russian: Dokl. Akad. Nauk 278, 1098 (1984)].

163. V. S. Manko and N. R. Sibgatullin, Construction of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations corresponding to a given behaviour of the Ernst potentials on the symmetry axis, Class. Quant. Grav. 10, 1383 (1993).

164. G.A. Alekseev. Gravitational solitons and monodromy transform approach to solution of integrable reductions of Einstein equations // Phys-ica D152 (2001) 97-103.

165. V. Belinsky, R. Ruffini. On axially symmetric soliton solutions of the coupled scalar vector tensor equations in general relativity // Phys.Lett.B89 (1980) 195-198.

166. R. Geroch, A Method for Generating Solutions of Einstein's Equations, J. Math. Phys. 12, 918 (1971).

167. R. Geroch, A Method for Generating Solutions of Einstein's Equations. II, J. Math. Phys. 13, 394 (1972).

168. C. Hoenselaers, W. Kinnersley and В. C. Xanthopoulos, Generation of asymptotically flat, stationary space-times with any number of parameters, Phys. Rev. Lett. 42, 481 (1979).

169. C. Hoenselaers, W. Kinnersley and В. C. Xanthopoulos, Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. VI: Transformations which generate asymptotically flat spacetimes with arbitrary multipole moments, J. Math. Phys. 20, 2530 (1979).

170. W. Kinnersley and D. M. Chitre, Group transformation that generates the Kerr and Tomimatsu-Sato metrics, Phys. Rev. Lett. 40, 1608 (1978).

171. W. Kinnersley and D. M. Chitre, Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. IV Transformations which preserve asymptotic flatness, J. Math. Phys. 19, 2037 (1978).

172. W. Kinnersley, Symmetries of the Stationary Axisymmetric Vacuum Einstein Equations which Preserve Asymptotic Flatness, Class. Quantum Grav. 8, 1011 (1991).

173. I. Hauser and F. J. Ernst, A Homogeneous Hilbert Problem for the Kinnersley-Chitre Transformations, J. Math. Phys. 21, 1126 (1980).

174. I. Hauser and F. J. Ernst, A Homogeneous Hilbert Problem for the Kinnersley-Chitre Transformations of Electrovac Spacetimes, J. Math. Phys. 21, 1418 (1980).

175. F. J. Ernst, New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem, Phys. Rev. 167, 1175

176. F. J. Ernst, New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem. II, Phys. Rev. 168, 1415

177. I. Hauser and F. J. Ernst, Integral Equation Method for Effecting Kinnersley-Chitre Transformations, Phys. Rev. D20, 362 (1979).

178. I. Hauser and F. J. Ernst, Integral Equation Method for Effecting Kinnersley-Chitre Transformations. II, Phys. Rev. D20, 1783 (1979).

179. I. Hauser and F. J. Ernst, SU(2,1) Generation of Electrovacs from Minkowski Space, J. Math. Phys. 20, 1041 (1979).

180. F. J. Ernst, Fully electrified Neugebauer spacetimes, Phys. Rev. D 50, 6179-6189 (1994).

181. I. Hauser and F. J. Ernst, On the Generation of New Solutions of the Einstein-Maxwell Field Equations from Electrovac Spacetimes with Isometries, J. Math. Phys. 19, 1316 (1978).

182. I. Hauser and F. J. Ernst, Initial value problem for colliding gravitational plane waves, I., J. Math. Phys. 30, 872 (1989).

183. I. Hauser and F. J. Ernst, Initial value problem for colliding gravitational plane waves, II., J. Math. Phys. 30, 2322 (1989).

184. I. Hauser and F. J. Ernst, Initial value problem for colliding gravitational plane waves, III., J. Math. Phys. 31, 871 (1990).

185. I. Hauser and F. J. Ernst, Initial value problem for colliding gravitational plane waves, IV., J. Math. Phys. 32, 198 (January 1991).

186. С. M. Cosgrove, New family of exact stationary axisymmetric gravitational fields generalising the Tomimatsu-Sato solutions, J. Phys. A 10, 1481 (1977).

187. С. M. Cosgrove, Limits of the generalised Tomimatsu-Sato gravitational fields, J. Phys. A 10, 2093 (1977).

188. С. M. Cosgrove, A new formulation of the field equations for the stationary axisymmetric vacuum gravitational field. I: General theory, J. Phys. A 11, 2389 (1978).

189. С. M. Cosgrove, A new formulation of the field equations for the stationary axisymmetric vacuum gravitational field. II: Separable solutions, J. Phys. A 11, 2405 (1978).

190. С. M. Cosgrove, Relationship between the inverse scattering techniques of Belinskii-Zakharov and Hauser-Ernst in general relativity, J. Math. Phys. 23, 615 (1982).

191. С. М. Cosgrove, Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions, J. Math. Phys. 21, 2417 (1980).

192. G. Neugebauer and D. Kramer, Generation of the Kerr-NUT solution from flat space-time by Backlund transformation, Exp. Tech. Phys. (Germany) 28, 3 (1980).

193. G. Neugebauer, Recursive calculation of axially symmetric stationary Einstein fields, J. Phys. A 13, 1737 (1980).

194. D. Kramer and G. Neugebauer, Prolongation structure and linear eigenvalue equations for Einstein-Maxwell fields, J. Phys. A 14, L33 (1981).

195. G. Neugebauer, Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields, J. Phys. A 12, L67 (1979).

196. G. Neugebauer and E. Herlt, Einstein-Maxwell fields inside and outside rotating sources as minimal surfaces, Class. Quantum Grav. 1, 695 (1984).

197. G. Neugebauer and D. Kramer, Soliton concept in general relativity, Gen. Rel. and Grav. 13, 195 (1981).

198. G. Neugebauer and D. Kramer, Eine Methode zur Konstruktion station-arer Einstein-Maxwell-Felder, Ann. Phys. (Leipzig) 24, 62 (1969).

199. D. Kramer and G. Neugebauer, The superposition of two Kerr solutions, Phys. Lett. A 75, 259 (1980).

200. G. Neugebauer and D. Kramer, Einstein-Maxwell solitons, J. Phys. A 16, 1927 (1983).

201. A. Eris, M. Gurses and A. Karasu, Symmetric space property and an inverse scattering formulation of the SAS Einstein-Maxwell field equations, J. Math. Phys. 25, 1489 (1984).

202. M. Gurses, Gravitational One-Solitons, Phys. Rev. Lett. 51, 1810 (November 1983).

203. Yong-Shi Wu, Mo-Lin Ge. A simplified derivation of the Geroch group in two-dimensional reduced gravity// J.Math.Phys.24 (1983) 1187.

204. Shuri'ya Mizoguchi. The Geroch group in the Ashtekar formulation// Phys.Rev.D51 (1995) 6788-6802.

205. M. Gurses, Soliton geometry and the vacuum gravitational field equations, Lett. Math. Phys. 17, 231 (1989).

206. P. Breitenlohner, D. Maison. On Nonlinear sigma models arising in (super-)gravity // Comrnun.Math.Phys.209 (2000) 785-810.

207. P. Breitenlohner, D. Maison, G. W. Gibbons. Four-dimensional black holes from Kaluza-Klein theories // Commun.Math.Phys.120 (1988) 295.

208. P. Breitenlohner and D. Maison, On the Geroch group, Ann. Inst. H. Poincare 46, 215 (1987).

209. John H. Schwarz. Classical symmetries of some two-dimensional models// Nucl.Phys.B447 (1995) 137-182.

210. J.H. Schwarz. Classical symmetries of some two-dimensional models coupled to gravity// Nucl.Phys.B454 (1995) 427-448.

211. Noncompact symmetries in string theory// Jnanadeva Maharana, John H. Schwarz. Nucl.Phys.B390 (1993) 3-32.

212. Ashoke Sen. Strong weak coupling duality in three-dimensional string theory// Nucl.Phys.B434 (1995) 179-209.

213. Ashoke Sen. Strong weak coupling duality in four-dimensional string theory// Int.J.Mod.Phys.A9 (1994) 3707-3750.

214. Donam Youm, Black holes and solitons in string theory, Phys.Rept., 316, 1-232, 1999.

215. Ashoke Sen. Black hole solutions in heterotic string theory on a torus// Nucl.Phys.B440 (1995) 421-440.

216. S.F. Hassan, Ashoke Sen. Twisting classical solutions in heterotic string theory// Nucl.Phys.B375 (1992) 103-118.

217. Ashoke Sen. Rotating charged black hole solution in heterotic string theory// Phys.Rev.Lett.69 (1992) 1006-1009.

218. Ashoke Sen. Kaluza-Klein dyons in string theory// Phys.Rev.Lett.79 (1997) 1619-1621.

219. Sudipta Mukherji, Sunil Mukhi, Ashoke Sen. Black hole solution and its infinite parameter generalizations in С = 1 string field theory// Phys.Lett.B275 (1992) 39-46.

220. Олег В. Кечкин. "Симметрии и точные решения уравнений струнной гравитации", диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-метематических наук, Физический факультет, МГУ им. Ломоносова, Москва (1995).

221. Dmitri V. Gal'tsov, Elena Yu. Melkumova. Gravitational and dilaton radiation from a relativistic membrane// Phys. Rev. D63 (2001) 064025.

222. V.V. Dyadichev, D.V. Gal'tsov. Solitons and black holes in nonabelian Einstein-Born-Iinfeld theory// Phys.Lett.B486 (2000) 431-442.

223. Chiang-Mei Chen, Dmitri V. Gal'tsov, Sergei A. Sharakin. Vacuum interpretation for supergravity M-branes// Phys.Lett.B475 (2000) 269-274.

224. Chiang-Mei Chen, Dmitri V. Gal'tsov, Sergei A. Sharakin. Intersecting M-fluxbranes// Grav.Cosmol. 5 (1999) 45.

225. D.V. Galtsov, P.S. Letelier. Interpolating black holes in dilaton-axion gravity// Class.Quant.Grav. 14 (1997) L9-L14.

226. Chiang-Mei Chen, Dmitri V. Gal'tsov, Kei-ichi Maeda. SL(4,R) generating symmetry in five-dimensional gravity coupled to dilaton and three form// Phys.Lett.B453 (1999) 7-16.

227. Mikhail S. Volkov, Dmitri V. Gal'tsov. Gravitating nonabelian solitons and black holes with Yang-Mills fields// Phys.Rept.319 (1999) 1-83.

228. D.V. Gal'tsov, O.A. Rytchkov. Generating branes via sigma models// Phys.Rev.D58 (1998) 122001.

229. E.E. Donets, D.V. Galtsov, M.Yu. Zotov. Internal structure of Einstein Yang-Mills black holes// Phys.Rev.D56 (1997) 3459-3465.

230. D.V. Gal'tsov, P.S. Letelier. Ehlers-Harrison transformations and black holes in dilaton axion gravity with multiple vector fields// Phys.Rev.D55 (1997) 3580-3592.

231. Gerard Clement, Dmitri V. Galtsov. Stationary BPS solutions to dilaton axion gravity// Phys.Rev.D54 (1996) 6136-6152.

232. D.V. Gal'tsov. Geroch-Kinnersley-Chitre group for dilaton axion gravity// In *Leipzig 1995, Quantum theory under the influence of external conditions* 226-236.

233. Юрова Мария Владимировна. Точные решения в дилатон-аксионной гравитации// Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. М.: НИИЯФ МГУ (1998).

234. Эррера-Агиляр Альфредо Ф. Точные решения в теории гетеротической струны// Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Дубна: ОИЯИ (1999).

235. Maria Yurova. Rotating soliton solution in Einstein-Maxwell dilaton axion gravity// Phys.Rev. D65 (2002) 024024.

236. Maria Yurova. Soliton solutions in string gravity// Phys.Rev. D64 (2001) 024022.

237. Maria Yurova. Soliton solution in dilaton Maxwell gravity Gen.Rel.Grav.32 (2000) 2219-2227.

238. Alfredo Herrera-Aguilar, Refugio Rigel Mora-Luna. The inverse scattering method, Lie-Bachlund transformations and solutions for low-energy effective field equations of 5-D string theory//Phys.Rev.D69 (2004) 105002.

239. Nandinii Barbosa-Cendejas, Alfredo Herrera-Aguilar. 0(D+1,D+N+1) invariant formulation of stationary heterotic string theory/ / Gen.Rel.Grav.35 (2003) 449-456.

240. A. Herrera-Aguilar. The Harrison transformation and rotating interacting black holes// Rev.Mex.Fis.49S2 (2003) 141-144.

241. Alfredo Herrera-Aguilar, Marek Nowakowski. Charged dual string vacua from interacting rotatuing black holes via discrete and nonlinear symmetries// Class.Quant. Grav.21 (2004) 1015-1030.

242. Cvetic M. and Youm D. Supersymmetric dyonic black holes in Kaluza-Klein theory// Nucl. Phys. В 438 (1995) 182-210.

243. Cvetic M. and Youm D. All the four dimensional static, spherically symmetric solutions of Abelian Kaluza-Klein theory// Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4165-4168.

244. Cvetic M. and Youm D. Dyonic BPS saturated black holes of heterotic string on a six-torus// Phys. Rev. D 53 (1995) 584-588.

245. Cvetic M. and Youm D. Singular BPS saturated states and enhanced symmetries of four-dimensional N=4 supersymmetric string vacua// Phys. Lett. В 359 (1995) 87-92.

246. Cvetic M. and Youm D. General static spherically symmetric black holes of heterotic string on a six torus, Nucl. Phys. В 472 (1996) 249-270.

247. Cvetic M. and Youm D. General rotating five dimensional black holes of toroidally compactified heterotic string// Nucl. Phys. В 476 (1996) 118-132.

248. Cvetic M. and Youm D. Entropy of non-extreme charged rotating black holes in string theory// Phys. Rev. D 54 (1996) 2612-2620.

249. Cvetic M. and Youm D. Near-BPS-saturated rotating electrically charged black holes as string states// Nucl. Phys. В 477 (1996) 449-464.

250. G.W. Gibbons. Rotating black holes in unified theories// Prog.Theor.Phys.Suppl.136 (1999) 18-28.

251. A. Chamblin, G.W. Gibbons. Supergravity on the brane// Phys.Rev.Lett.84 (2000) 1090-1093.

252. G.W. Gibbons, C.A.R. Herdeiro. Supersymmetric rotating black holes and causality violation// Class.Quant.Grav. 16 (1999) 3619-3652.

253. G.W. Gibbons, P.K. Townsend. Black holes and Calogero models. Phys.Lett.B454 (1999) 187-192.

254. G.W. Gibbons, G. Papadopoulos. Calibrations and intersecting branes// Commun.Math.Phys.202 (1999) 593-619.

255. Sergio Ferrara, Gary W. Gibbons, Renata Kallosh. Black holes and critical points in moduli space// Nucl.Phys.B500 (1997) 75-93.

256. АН Н. Chamseddine, Sergio Ferrara, Gary W. Gibbons, Renata Kallosh. Enhancement of supersymmetry near 5-D black hole horizon// Phys.Rev.D55 (1997) 3647-3653.

257. G.W. Gibbons, D.A. Rasheed. Dyson pairs and zero mass black holes// Nucl.Phys.B476 (1996) 515-547.

258. Renata Kallosh. Multivalued entropy of supersymmetric black holes// JHEP 0001 (2000) 001.

259. Piet Claus, Martijn Derix, Renata Kallosh, Jason Kumar, Paul K. Townsend, Antoine Van Proeyen. Black holes and superconformal mechanics// Phys.Rev.Lett.81 (1998) 4553-4556.

260. Renata Kallosh, Andrei D. Linde. Black hole superpartners and fixed scalars// Phys.Rev.D56 (1997) 3509-3514.

261. Renata Kallosh, Arvind Rajaraman, Wing Kai Wong. Supersymmetric rotating black holes and attractors// Phys.Rev.D55 (1997) 3246-3249.

262. Renata Kallosh. Superpotential from black holes// Phys.Rev.D54 (1996) 4709-4713.

263. Sergio Ferrara, Renata Kallosh, Andrew Strominger. N=2 extremal black holes// Phys.Rev.D52 (1995) 5412-5416.

264. Eric BergshoefF, Renata Kallosh, Tomas Ortin. Stationary axion / dilaton solutions and supersymmetry// Nucl.Phys.B478 (1996) 156-180.267J Renata Kallosh, Tomas Ortin. Charge quantization of axion dilaton black holes// Phys.Rev.D48 (1993) 742-747.

265. M. Gasperini, G. Veneziano The pre big bang scenario in string cosmology// Phys.Rept.373 (2003) 1-212.

266. V. Bozza, M. Gasperini, Massimo Giovannini, G. Veneziano. Assisting pre big bang phenomenology through short lived axions// Phys.Lett.B543 (2002) 14-22.

267. M. Gasperini, Massimo Giovannini, K.A. Meissner, G. Veneziano. Evolution of strings in cosmological backgrounds// Nucl.Phys.Proc.Suppl.49 (1996) 70-74.

268. M. Gasperini, G. Veneziano. Constraints on pre big bang models for seeding large scale anisotropy by massive Kalb-Ramond axions// Phys.Rev.D59 (1999) 043503.

269. R. Durrer, M. Gasperini, M. Sakellariadou, G. Veneziano. Seeds of large scale anisotropy in string cosmology// Phys.Rev.D59 (1999) 043511.

270. M. Gasperini, M. Maggiore, G. Veneziano. Towards a nonsingular pre -big bang cosmology// Nucl.Phys.B494 (1997) 315-330.

271. M. Gasperini, G. Veneziano. Singularity and exit problems in two-dimensional string cosmology. Phys.Lett.B387 (1996) 715-720.

272. M. Gasperini, J. Maharana, G. Veneziano. Graceful exit in quantum string cosmology. Nucl.Phys.B472 (1996) 349-360.

273. A.K. Biswas, A. Kumar, K. Ray. Hidden symmetry of heterotic string theory// In *Trieste 1995, High energy physics and cosmology* 375-380.

274. A.K. Biswas, J. Maharana. The holography hypothesis in pre big bang cosmology with string sources// JHEP 0001 (2000) 020.

275. A.K. Biswas, J. Maharana, R.K. Pradhan. The holography hypothesis and pre big bang cosmology// Phys.Lett.B462 (1999) 243-248.

276. Anindya K. Biswas, Alok Kumar, Koushik Ray. Symmetries of heterotic string theory// Nucl.Phys.B453 (1995) 181-198.

277. Yu.P. Rybakov, G.N. Shikin, B. Saha. Exact selfconsistent particle-like solutions to the equations of nonlinear scalar electrodynamics in general relativity// Int.J.Theor.Phys.36 (1997) 1475.

278. Yu.P. Rybakov, G.N. Shikin, B. Saha. Droplets in general relativity: exact selfconsistent solutions to the interacting scalar and electromagnetic field equations// Grav.Cosmol.4 (1998) 114-120.

279. R. Alvarado, Yu.P. Rybakov, B. Saha, G.N. Shikin. Exact selfconsistent solutions to the interacting spinor and scalar field equations in Bianchi type I space-time// Russ.Phys.J. 38 (1995) 700-705; Izv.Vuz.Fiz.38N7 (1995) 53-58.

280. I.G. Chugunov, Yu.P. Rybakov, G.N. Shikin. Selfgravitating three-dimensional solitons in nonlinear scale-invariant electrodynamics// Int.J.Theor.Phys.35 (1996) 1493-1502.

281. K.A. Bronnikov, V.N. Melnikov, Heinz Dehnen. On a general class of brane world black holes// Phys.Rev.D68 (2003) 024025.

282. M.A. Grebeniuk, V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. Black brane solution for A(3) algebra// Phys.Lett.B543 (2002) 98-106.

283. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. Exact solutions in multidimensional gravity with antisymmetric forms// Class.Quant.Grav.18 (2001) R87-R152.

284. V.R. Gavrilov, V.N. Melnikov. D-dimensional P-brane cosmological models assotiated with a Lie algebra of the type A(M). Theor.Math.Phys. 123 (2000) 726-743; Teor.Mat.Fiz.123 (2000) 374-394.

285. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. Exact solutions in sigma-model with p-branes// J.Korean Phys.Soc.35 (1999) S638-S648.

286. K.A. Bronnikov, V.N. Melnikov. On observational predictions from multidimensional gravity// Gen.Rel.Grav.33 (2001) 1549-1578.

287. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. Toda p-brane black holes and polinomi-als related to Lie algebras// Class.Quant.Grav.17 (2000) 2073-2092.

288. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. p-brane black holes for general intersections. Grav.Cosmol.5 (1999) 313-318.

289. A.A. Tseytlin. Finite sigma models and exact string solutions with Minkowski signature metric//. Phys.Rev.D47 (1993) 3421-3429.

290. A.A. Tseytlin. Exact solutions of closed string theory// Class.Quant.Grav.12 (1995) 2365-2410.

291. A.A. Tseytlin. Cosmological solutions with dilaton and maximally symmetric space in string theory// Int.J.Mod.Phys.Dl (1992) 223-245.

292. Gary T. Horowitz, A.A. Tseytlin. Extremal black holes as exact string solutions// Phys.Rev.Lett.73 (1994) 3351-3354.29G. Ioannis Bakas. 0(2,2) transformations and the string Geroch group// Nucl.Phys.B428 (1994) 374-398.

293. Ioannis Bakas, Christos Sourdis. Notes on periodic solitons// Fortsch.Phys.50 (2002) 815-824.

294. Ioannis Bakas, Michele Bourdeau, Gabriel Lopes Cardoso. Supersym-metric solutions in three-dimensional heterotic string theory// Nu-cl.Phys.B510 (1998) 103-138.

295. Ioannis Bakas. Solitons of axion dilaton gravity// Phys.Rev.D54 (1996) 6424-6434.

296. Gerard Clement. Rotating string sourses in three-dimensional gravity// Annals Phys.201 (1990) 241-257.

297. G. Clement, A. Fabbri. The cosmological gravitating sigma model: solitons and balck holes// Class.Quant.Grav.17 (2000) 2537-2546.

298. G. Clement, A. Fabbri. Tthe gravitating sigma model in (2+1)-dimensions: black hole solutions// Class.Quant.Grav. 16 (1999) 323-341.

299. Gerard Clement. From Schwarzshild to Kerr: generating spinning Einstein-Maxwell fields from static fields// Phys.Rev.D57 (1998) 48854889.

300. Klaus Behrndt, Dieter Lust, Wafic A. Sabra. Stationary solutions of N=2 supergravity// Nucl.Phys.B510 (1998) 264-288.

301. D. Klemm, W.A. Sabra. Charged rotating black holes in 5-D Einstein-Maxwell (A)DS gravity// Phys.Lett.B503 (2001) 147-153.

302. James T. Liu, W.A. Sabra. Multicentered black holes in gauged D = 5 supergravity// Phys.Lett.B498 (2001) 123-130.

303. Ali H. Chamseddine, W.A. Sabra. Metrics admitting Killing spinors in five-dimensions// Phys.Lett.B426 (1998) 36-42.

304. D. V. Galtsov, A. A. Garcia, Oleg V. Kechkin. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell dilaton theory// Class. Quant. Grav. 12 (1995) 2887-2903.

305. А. П. Альварес, О. В. Кечкин. Класс точных космологических решений многомерных вакуумных уравнений Эйнштейна// Известия ВУЗов. Физика. (1993) 114-117.

306. D. V. Galtsov, Oleg V. Kechkiri. Matrix dilaton-axion for heterotic string in three dimensions// Phys. Lett. B361 (1995) 52-58.

307. D. V. Galtsov, Oleg V. Kechkin. U duality and symplectic formulation of dilaton-axion gravity// Phys. Rev. D54 (1996) 1656-1666.

308. D. V. Galtsov, A. A. Garcia, Oleg V. Kechkin. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell dilaton-axion theory// J. Math. Phys. 36 (1995) 5023-5041.

309. D. V. Galtsov, Oleg V. Kechkin. Ehlers-Harrison type transformations in dilaton-axion gravity// Phys. Rev. D50 (1994) 7394-7399.

310. D. V. Galtsov, A. A. Garcia, Oleg V. Kechkin. Class of stationary ax-isymmetric solutions of the Einstein-Maxwell dilaton-axion field equations// Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 1276-1279.

311. D. V. Galtsov, Oleg V. Kechkin. Hidden symmetries in dilaton-axion gravity// "Geometry and integrable models"(1996), Eds. Solodukhin S. N. Pyatov P. N., 78-95.

312. D. V. Galtsov, A. A. Garcia, Oleg V. Kechkin. Stringy black holes from sigma-models// "Stanford 1994, 7th Marcel Grossmann meeting on general relativity", World Scientific (1996) 878-879.

313. Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум. Точные решения уравнений Эйнштейна// М.: Энергоиздат (1982).

314. Jiri Bicak. Selected solutions of Einstein's field equations: their role in General Relativity and astrophysics// Lect.Notes Phys.540 (2000) 1-126.

315. Oleg V. Kechkin, Maria V. Yurova. Chiral models in dilaton-Maxwell gravity// Gen. Rel. Grav. 32, (2000) 1389-1397.

316. Oleg V. Kechkin, Maria V. Yurova. U(l,l)-invariant generation of charges for Einstein-Maxwell dilaton-axion theory// Gen. Rel. Grav. 29, (1997) 1283-1293.

317. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Charging symmetries and linearizing potentials for Einstein-Maxwell-dilatori-axion theory// Mod. Phys. Lett. A13, (1998) 1907-1914.

318. Oleg V. Kechkin, Maria V. Yurova. Sp(4,R)/GL(2,R) matrix structure of geodesic solutions for Einstein-Maxwell dilaton-axion theory// Int. J. Mod. Phys. A12, (1997) 4357-4368

319. Oleg V. Kechkin. Extremal rotating dipole solution in four-dimensional heterotic string theory// Gen. Rel. Grav., 31 (1999) 1087-1095.

320. Oleg V. Kechkin. Rotating Bonnor solution in dilaton-axion gravity// Mod. Phys. Lett. A14 (1999) 1599-1608.

321. Oleg V. Kechkin, Maria V. Yurova. Symplectic gravity models in four, three and two dimensions// J. Math. Phys. 39, (1998) 5446-5457.

322. Oleg V. Kechkin. Charging symmetries and linearizing potentials for gravity models with symplectic symmetry// Gen. Rel. Grav., 31 (1999) 1075-1086.

323. S.D. Majumdar. A class of exact solutions of Einstein's field equa-tions.//Phys.R,ev.72 (1947) 390-398.

324. A. Papapetrou. Spinning test particles in general relativity. 1. // Proc.Roy.Soc.Lond.A209 (1951) 248-258.

325. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Matrix Ernst potentials and orthogonal symmetry for heterotic string in three dimensions// Int. J. Mod. Phys. A13, (1998) 393-402.

326. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. 0(d,d)-symmetry and Ernst formulation of Einstein-Kalb-Ramond theory// Int. J. Mod. Phys. A12 (1997) 1573-1582.

327. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Charging symmetries and linearizing potentials for heterotic string in three dimensions// Phys. Rev. D59 (1999) 124006.

328. Oleg V. Kechkin. Three-dimensionsional heterotic string theory: new approach and extremal solutions// Phys. Rev. D65 (2002) 066006.

329. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Multidimensional IWP solutions for heterotic string theory// Class. Quant. Grav., 16, (1999) 17451753.

330. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. IWP solutions for heterotic string in five dimensions// Mod. Phys. Lett. A13, (1998) 1979-1986.

331. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Israel-Wilson-Perjes solutions in heterotic string theory// Int. J. Mod. Phys. A14, (1999) 1345-1356.

332. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. String theory extensions of Einstein-Maxwell fields: the static case// Int. J. Mod. Phys. A17 (2002) 2485-2500.

333. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. String theory extensions of Einstein-Maxwell fields: the stationary case// J. Math. Phys. 45 (2004) 216-229.

334. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Blach hole solutions in heterotic string theory via matrix Ernst potentials// "ICRA, Roma 2000, 9th Marcel Grossmann meeting on general relativity "World Scientific (2002) 1254-1256.

335. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Singularidades desnudas esta-cionarias en la teoria de cuerdas heteroticas// en Memorias del III Taller de la DGFM, 2000; Eds. N Breton, O. Pimentel, J. Socorro (U. de Guano-juato, Leon, Mexico, 1999).

336. Z. Perjes. Solutions of the coupled Einstein-Maxwell equations representing the fields of spinning sources // Phys. Rev. Lett. 27 (1971) 1668.

337. W. Israel, G.A. Wilson. A class of stationary e;ectromagnetic vacuum fields// J. Math. Phys. 13 (1972) 865.

338. Oleg V. Kechkin, Maria V. Yurova. Self-dual dion in dilaton-axion gravity // Gen. Rel. Grav. 30, (1998) 975-982.

339. Oleg V. Kechkin. Generation of heterotic string theory solutions from the stationary Einstein-Maxwell fields// Phys. Lett. B522 (2001) 166-176.

340. Oleg V. Kechkin. New progress in the stationary D=N=4 supergravity// Mod. Phys. Lett. A16 (2002) 2221-2230.

341. Oleg V. Kechkin, Maria V. Yurova. BPS solutions in D=5 dilaton-axion gravity// Mod. Phys. Lett. A. 13, (1998) 219-226.

342. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Bosonic string theory exact solutions using 5D-6D dualities// Mod. Phys. Lett. A16 (2001) 29-40.

343. Oleg V. Kechkin. Generation of the bosonic string theory solutions from the stationary Einstein fields via projection symmetry// Phys. Lett. B522 (2001) 323-330.

344. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Kalb-Ramond dipole solution in low-energy bosonic string theory// Gen. Rel. Grav. 34 (2002) 13311344.

345. Oleg V. Kechkin, Maria V. Yurova. Kramer-Neugebauer transformation for Einstein-Maxwell dilaton-axion theory// Phys. Rev. D54, (1996) 6132-6135.

346. Alfredo Herrera-Aguilar, Oleg V. Kechkin. Double Ernst solution in Einstein-Kalb- Ramond theory// Mod. Phys. Lett. A12, (1997) 16291636.

347. Oleg V. Kechkin. Generation of asymptotically flat soliton solutions with current algebra limit in Einstein-Maxwell-dilaton theory// Class. Quant. Grav. V. 20 No. 11, (2003) 2157-2167.

348. Oleg V. Kechkin. Asymptotically flat soliton solutions in bosonic string theory// Class. Quant. Grav. V. 20 No. 18, (2003) L217-L222.

349. Олег В. Кечкин. Гравитирующие сигма-модели в теории струн// ЭЧАЯ т. 35, вып. 3 (2004) 709-762.